2019-2020年高三上学期开学考试 数学 含答案
2019-2020年高三上学期开学初检测数学(理)试卷含答案
2019-2020年高三上学期开学初检测数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）. 1．设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U A C B =（ ）A ．{}1256，，，B ．{}1C ．{}2D ．{}1234，，，2．若复数()32z i i =- （i 是虚数单位），则z = A ．32i - B ．32i +C ．23i +D ．23i -3. 设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5SA ．5B ．7C ．9D ．114．设f （x）＝102,0xx x ⎧-≥⎪⎨<⎪⎩，则f （f （－2））＝A ．－1B ．14C ．12D ．325．10的展开式中的有理项且系数为正数的项有( ) A ．1项 B ．2项 C ．3项 D ．4项 6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋47．执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =（ ）A ．67 B ．37 C ．89D ．498．设:12,:21xp x q <<>，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9.函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像与函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像（ ） A 有相同的对称轴但无相同的对称中心 B 有相同的对称中心但无相同的对称轴 C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴10．不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集为M ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则P N ∈的概率为( ) A ．716 B ．916 C ．732 D ．93211、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则点F 到双曲线的渐近线的距离为( )A ．2 C ．312．对一定义域为D 的函数()y f x =和常数c ，若对任意正实数ξ，x D ∃∈使得0()f x c ξ<-<恒成立，则称函数()y f x =为“敛c 函数”，现给出如下函数：参加人数A CE ①()()f x x x Z =∈ ②()1()1()2xf x x Z =+∈ ③()2log f x x = ④()1x f x x-=其中为“敛1函数”的有( )A ．①②B ．③④C ．②③④D ．①②③ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.过函数f （x）＝3x －23x ＋2x ＋5图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是________________.14、已知函数()22sin cos 1f x x x x =+-的图象关于直线(02x πϕϕ=≤≤对称，则ϕ的值为 .15.已知函数213,10()132,01x g x x x x x ⎧- -<≤⎪=+⎨⎪-+<≤⎩，若方程()0g x mx m --=有且仅有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是 .16．已知抛物线2:4C y x =上一点P ，若以P 为圆心，PO 为半径作圆与抛物线的准线l 交于不同的两点,M N ，设准线l 与x 轴的交点为A ，则11AM AN+的取值范围是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分).17．在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ,已知23cos cos 23sin sinC 2cos B C B A +=+.(I)求角A 的大小；(II)若5b =,5sin sin 7B C =,求△ABC 的面积S .（12分）18．如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，且22====AE BD BC AC ，M 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM ⊥EM ； （Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值. （12分）19．学校高一年段在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动.高一（1）班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示. （1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率.（2）从该班中任意选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.（3）从该班中任意选两名学生，用η表示这两人参加活动次数之和，记“函数2()1f x x x η=--在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率. （12分） 20.椭圆的上顶点为是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到 直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由. （12分）21.已知函数()(1)(13)f x mx nx =+-.(1)若1,()1m y f x x ===求曲线在的切线方程;(2) 若函数()f x 在(0,)+∞上是增函数,求实数m 的取值范围;(3) 设点1122(,()),(,())A x f x B x f x 满足1212121.131(.)8,()nx nx n x x x x =-≠,判断是否存在点P (m,0),使得以AB 为直径的圆恰好过P 点，说明理由. （12分）请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22．选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ． （I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C B =O 的直径．（10分）A23. 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。
【精品高考数学试卷】2019-2020天津高三(上)开学考+答案 (2)
2019-2020学年天津市高三（上）开学数学试卷（8月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y =√−x }，B ＝{y |y ＝1﹣x 2}，那么集合（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，0]B ．（0，1）C ．（0，1]D ．[0，1）2．（5分）设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ） A ．√23fB ．√223fC ．√2512fD ．√2712f4．（5分）已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b5．（5分）若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）A ．x =kπ2−π6（k ∈Z ） B ．x =kπ2+π6（k ∈Z ）C ．x =kπ2−π12（k ∈Z ） D ．x =kπ2+π12（k ∈Z ） 6．（5分）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a 满足f （2|a﹣1|）＞f （−√2），则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，12）B ．（﹣∞，12）∪（32，+∞）C ．（12，32）D ．（32，+∞）7．（5分）已知抛物线y 2＝8x 的准线与双曲线x 2a 2−y 216=1相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，△ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．√2+1C ．2D ．√38．（5分）已知函数f(x)={−x 2−2x +3(x ≤1)lnx(x ＞1)，若关于x 的方程f(x)=kx −12恰有四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(12，√e)B ．[12，√e)C ．(12，√ee ]D ．(12，√ee )二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）已知i 为虚数单位，则2−i 1+i= ．10．（5分）在（2x −1x ）6的展开式中x 2的系数为 ．（用数字作答）11．（5分）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），则四棱锥M ﹣EFGH 的体积为 ．12．（5分）直线y ＝kx +3与圆（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝4相交于M ，N 两点，|MN |≥2√3，则k 的取值范围是 ．13．（5分）已知a 、b 、c 为正实数，a ﹣b +2c ＝0，则b 2ac的最小值为 ．14．（5分）在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2．若BD →=2DC →，AE →=λAC →−AB →（λ∈R ），且AD →⋅AE →=−4，则λ的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝4，c ＝2√2，cos A =−√24．（1）求b 和sin C 的值； （2）求cos （2A +π6）的值．16．（13分）甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为34、23、12，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响．（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率； （Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 17．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为长方形，且PD ＝CD ＝1，BC ＝2，E 是棱PC 的中点，过点E 作EF ⊥PB 于点F ． （1）求证：PB ⊥平面DEF ；（2）求直线BD 与平面DEF 所成角的正弦值； （3）求二面角D ﹣BP ﹣C 的余弦值．18．（13分）设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n （n ∈N *），{b n }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2+2，a 4＝b 3+b 5，a 5＝b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式； （2）求∑ n k=1b k •S k ． 19．（14分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率e =√32，椭圆C 上的点到其左焦点的最大距离为2+√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点A （﹣a ，0）作直线l 与椭圆相交于点B ，则y 轴上是否存在点P ，使得线段|P A |＝|PB |，且PA →⋅PB →=4？如果存在，求出点P 坐标；否则请说明理由．20．（14分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣x ，g （x ）＝blnx ，且曲线f （x ）与g （x ）在x ＝1处有相同的切线．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）求证：f （x ）≥g （x ）在（0，+∞）上恒成立；（Ⅲ）当n ∈[6，+∞）时，求方程f （x ）+x ＝ng （x ）在区间（1，e n ）内实根的个数．2019-2020学年天津市高三（上）开学数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵A ＝{x |y =√−x }，B ＝{y |y ＝1﹣x 2}， ∴A ＝{x |x ≤0}，B ＝{y |y ≤1}∴∁U A ＝{x |x ＞0}，B ∩（∁U A ）＝{y |0＜y ≤1}， 故选：C ．2．【解答】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3， 由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件， 故选：A ．3．【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212． 若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为：(√212)7⋅f =√2712f ． 故选：D ．4．【解答】解：a ＝log 2e ＞1，0＜b ＝ln 2＜1，c =log 1213=log 23＞log 2e ＝a ，则a ，b ，c 的大小关系c ＞a ＞b ， 故选：D ．5．【解答】解：将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin2（x +π12）＝2sin （2x +π6），由2x +π6=k π+π2（k ∈Z ）得：x =kπ2+π6（k ∈Z ）， 即平移后的图象的对称轴方程为x =kπ2+π6（k ∈Z ）， 故选：B ．6．【解答】解：∵f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增， ∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减． ∵2|a ﹣1|＞0，f （−√2）＝f （√2），∴2|a ﹣1|＜√2=212．∴|a ﹣1|＜12， 解得12＜a ＜32．故选：C ．7．【解答】解：依题意知抛物线的准线x ＝﹣2，代入双曲线方程得 y ＝±4a •√4−a 2，不妨设A （﹣2，a√4−a 2）．∵△F AB 是等腰直角三角形，∴a√4−a 2=p ＝4，求得a =√2，∴双曲线的离心率为e =c a =√a 2+16a =√182=3，故选：A ．8．【解答】解：∵函数f(x)={−x 2−2x +3(x ≤1)1nx(x ＞1)，若关于x 的方程f(x)=kx −12恰有四个不相等的实数根，∴f （x ）的图象和直线y ＝kx −12有4个交点．做出函数f （x ）的图象，如图，故点（1，0）在直线y ＝kx −12的下方， ∴k •1−12＞0，解得k ＞12．再根据当直线y ＝kx −12和y ＝lnx 相切时，设切点横坐标为m ，则 k =lnm+12m−0=1m ，∴m =√e ，此时，k =1m =√ee ，f （x ）的图象和直线y ＝kx −12有3个交点，不满足条件， 故要求的k 的范围是（12，√e e）， 故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．【解答】解：原式=(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i 212−32i ， 故答案为：12−32i ．10．【解答】解：通项公式T r +1=∁6r (2x)6−r(−1x)r =（﹣1）r 26﹣r ∁6r x6﹣2r，令6﹣2r ＝2，解得r ＝2．∴（2x −1x ）6的展开式中x 2的系数=24∁62=240． 故答案为：240．11．【解答】解：正方体的棱长为1，M ﹣EFGH 的底面是正方形的边长为：√22， 四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为12，四棱锥M ﹣EFGH 的体积：13×(√22)2×12=112．故答案为：112．12．【解答】解：圆（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝4的圆心C （4，3）到直线y ＝kx +3的距离d =|4k−3+3|√k +1=|4k|√k +1，∵|MN |≥2√3， ∴2√4−(|4k|√k +1)2≥2√3，解得−√1515≤k ≤√1515．∴k 的取值范围是[−√1515，√1515]．故答案为：[−√1515，√1515]．13．【解答】解：∵b ＝a +2c ，∴b 2ac=a c+4c a+4≥4+4＝8，当且仅当ac =4c a=2时等号成立．故答案为：8．14．【解答】解：如图所示，△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2， BD →=2DC →， ∴AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23（AC →−AB →）=13AB →+23AC →， 又AE →=λAC →−AB →（λ∈R ）， ∴AD →⋅AE →=（13AB →+23AC →）•（λAC →−AB →） ＝（13λ−23）AB →•AC →−13AB →2+23λAC →2＝（13λ−23）×3×2×cos60°−13×32+23λ×22＝﹣4，∴113λ＝1，解得λ=311．故答案为：311．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．【解答】解：（1）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：16＝b2+8﹣2b×2√2×√24=b2+8+2b，∴b2+2b﹣8＝0，∴b＝2或﹣4（舍去），sin A=√1−cos2A=√144，由正弦定理asinA =csinC，∴sin C=csinAa=2√2×√1444=√74；（2）cos（2A+π6）＝cos2A cosπ6−sin2A sinπ6=√32（2cos2A﹣1）−12×2sin A cos A=√32（2×216−1）−√144×√24=√7−3√38．16．【解答】解：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件A，B，C，则事件“甲同学进入复赛的”表示为ABC∪A B C．∵ABC与A B C互斥，且A，B，C彼此独立，∴P（ABC∪A B C）＝P（ABC）+P（A B C）＝P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）=34×23×12+34×13×12=38；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X＝0）=(1−34)×(1−23)×(1−12)=124，P（X＝1）=14×13×12+14×23×12+34×13×12=14，P（X＝2）=14×23×12+34×13×12+34×23×12=1124，P （X ＝3）=34×23×12=14． ∴随机变量X 的分布列为：X 012 3P12414112414数学期望E （X ）＝0×124+1×14+2×1124+3×14=2312． 17．【解答】解：（1）证明：∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥BC ，∵底面ABCD 是长方形，∴CD ⊥BC ， 又PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ， ∵DE ⊂平面PCD ，∴BC ⊥平面PCD ， ∵DE ⊂平面PCD ，∴DE ⊥BC ，∵PD ＝CD ，E 为PC 的中点，∴DE ⊥PC ， ∵PC ∩BC ＝C ，∴DE ⊥平面PBC ， ∴DE ⊥PB ，又EF ⊥PB ，DE ∩EF ＝E ， ∴PB ⊥平面DEF ．（2）解：由题意知DA 、DC 、DP 两两垂直，以D 为原点，建立空间直角坐标系， 则D （0，0，0），P （0，0，1），C （0，1，0），B （2，1，0）， ∴BD →=（﹣2，﹣1，0），BP →=（﹣2，﹣1，1）， 设直线BD 与平面DEF 所成角为θ， 由（1）知BP →是平面DEF 的法向量，BD →=（﹣2，﹣1，0），BP →=（﹣2，﹣1，1）， 由（1）知BP →是平面DEF 的法向量，∴sin θ=|BD →⋅BP →||BD →⋅BP →|=55⋅6=√306． ∴直线BD 与平面DEF 所成角的正弦值为√306． （3）解：由（2）知，E （0，12，12），BD →=（﹣2，﹣1，0），BP →=（﹣2，﹣1，1）， 设平面PBD 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BD →=−2x −y =0n →⋅BP →=−2x −y +z =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣2，0）， 由（1）知DE →⊥平面PBC ，∴DE →=（0，12，12）是平面PBC 的法向量，设二面角D ﹣BP ﹣C 的平面角为α，由图知α是锐角， ∴cos α=|DE →⋅n →||DE →|⋅|n →|=15⋅√12=√105．∴二面角D ﹣BP ﹣C 的余弦值为√105．18．【解答】解：（1）{a n }是等比数列，公比q 大于0，a 1＝1，a 3＝a 2+2，可得q 2﹣q ﹣2＝0，解得q ＝2（﹣1舍去）， a n ＝2n ﹣1；{b n }是公差为d 的等差数列，a 4＝b 3+b 5，a 5＝b 4+2b 6． 可得b 3+b 5＝8，b 4+2b 6＝16， 则b 4＝4，b 6＝6，可得d ＝1， 则b n ＝b 4+n ﹣4＝n ；（2）S n =1−2n1−2=2n ﹣1，∑ n k=1b k •S k ＝（1•2+2•4+3•8+…+n •2n）﹣（1+2+3+…+n ）， 设T n ＝1•2+2•4+3•8+…+n •2n ， 2T n ＝1•4+2•8+3•16+…+n •2n +1， 相减可得﹣T n ＝2+4+8+…+2n ﹣n •2n +1=2(1−2n)1−2−n •2n +1，化为T n ＝2+（n ﹣1）•2n +1，则∑ n k=1b k •S k ＝2+（n ﹣1）•2n +1−12n （n +1）． 19．【解答】解：（1）由题意可得：ca =√32，a +c ＝2+√3，b 2＝a 2﹣c 2． 联立解得：a ＝2，c =√3，b ＝1． ∴椭圆C 的方程为：x 24+y 2＝1．（2）由（1）可得：A （﹣2，0），设B （x 1，y 1），由题意直线l 的斜率存在，设为k ． 则直线l 的方程为：y ＝k （x +2），联立方程{y =k(x +2)x 2+4y 2=4，化为：（1+4k 2）x 2+16k 2x +16k 2﹣4＝0， 由﹣2x 1=16k 2−41+4k2，得：x 1=2−8k 21+4k2，则y 1=4k 1+4k2．假设在y 轴上存在点P ，使得线段|P A |＝|PB |，且PA →⋅PB →=4，由|P A |＝|PB |，得点P 为线段AB 的中垂线与y 轴的交点，设P （0，y 0）． 设线段AB 中点为M ，则M （−8k 21+4k2，2k 1+4k 2）．以下分两种情况：当k ＝0时，点B （2，0），此时AB 的中垂线为y 轴，于是PA →=（﹣2，﹣y 0），PB →=（2，﹣y 0），由PA →⋅PB →=4，可得：y 02=8．解得y 0=±2√2．当k ≠0时，线段AB 的中垂线方程为：y −2k1+4k 2=−1k （x +8k 21+4k2），令x ＝0，解得y 0=−6k1+4k2．PA →⋅PB →=−2x 1﹣y 0（y 1﹣y 0）=−2(2−8k 2)1+4k2+6k 1+4k2（4k1+4k +6k 1+4k ）＝4，化为：16k 4+15k 2﹣1＝0，解得：k ＝±√147，∴y 0＝±2√145．综上可得：y 轴上存在点P ，使得线段|P A |＝|PB |，且PA →⋅PB →=4，点P 的坐标为：（0，±2√2），或（0，±2√145）．20．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）＝blnx ，g （x ）＝ax 2﹣x （a ∈R ）， ∴，g '（x ）＝2ax ﹣1． …（2分）∵曲线f （x ）与g （x ）在公共点A （1，0）处有相同的切线，∵f （1）＝a ﹣1，g （1）＝0，f （1）＝g （1）， ∴a ＝1．∵f ′（x ）＝2ax ﹣1，g ′（x ）=b x， ∴f ′（1）＝2a ﹣1，g ′（1）＝b ． ∵f ′（1）＝g ′（1）， 即2a ﹣1＝b ， ∴b ＝1．（Ⅱ）证明：设u （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣x ﹣lnx ，x ＞0， ∴u ′（x ）＝2x ﹣1−1x =(2x+1)(x−1)x． 令u ′（x ）＝0，则有x ＝1，当u ′（x ）＞0，即x ＞1时，函数u （x ）单调递增， 当u ′（x ）＜0，即0＜x ＜1时，函数u （x ）单调递减，∴u （x ）≥u （1）＝0，即f （x ）≥g （x ）在（0，+∞）上恒成立． （Ⅲ）设h （x ）＝ng （x ）﹣f （x ）﹣x ＝nlnx ﹣x 2，其中x ∈（1，e n ），∴h ′（x ）=n x −2x =−2(x+√2n 2)(x−√2n2)x． 令h ′（x ）＝0，则有x =√2n2． 当h ′（x ）＞0，解得1＜x ＜√2n2，函数h （x ）的单调递增，当h ′（x ）＜0，解得√2n2＜x ＜e n ，函数h （x ）的单调递减，∴h （x ）极大值＝h （√2n 2）=n2（ln n 2−1）≥3（ln 3﹣1）＞0，∴h （e n ）＝n 2﹣e 2n ＝（n +e n ）（n ﹣e n ），设t （x ）＝x ﹣e x ，其中x ∈（6，+∞），则t ′（x ）＝1﹣e x ＜0， ∴t （x ）在（6，+∞）内单调递减，t （x ）＜（6）＜0， ∴x ＜e x ，故h （e n ）＜0，而h （1）＝﹣1．结合函数h （x ）的图象，可知h （x ）在区间（1，e n ）内有两个零点， ∴方程f （x ）+x ＝ng （x ）在区间（1，e n ）内实根的个数为2．。
2019-2020年高三上学期开学检测数学试题
2019-2020年高三上学期开学检测数学试题一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于第一象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：由复数的除法运算把复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，求出对应的点，则答案可求．解答：解：由=．所以复数（其中i为虚数单位）对应的点为．位于第一象限．故答案为一．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则a=1．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：求解二次不等式化简集合N，然后由交集的运算可得a的值．解答：解：由N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}={x|0＜x＜，x∈Z}={1}，又M={a，0}且M∩N≠∅，所以a=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题．3．（5分）已知，，则=﹣．考点：两角和与差的正切函数．分析：所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．解答：∵∴sinα==﹣即tanα=∴tan（）==﹣故答案为：﹣点评：考查了两角和公式的应用，属于基础题．4．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n．若a1=1，a3=4，S k=63，则k=6．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由已知的项可求等比数列的公比，然后代入等比数列的求和公式即可求解k解答：解：由等比数列的通项公式可得，=4又∵a n＞0∴q＞0∴q=2∵S k=63，∴∴2k=64∴k=6故答案为：6点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是①．①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥n，m∥β，则n∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，则α⊥β．考点：命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对每一选择支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．解答：解：对于①，根据线面垂直的判定定理，如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．可知该命题正确；对于②，根据线面平行的判定定理可知少条件：“n不在平面β内”，故不正确；对于③，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交．可知该命题不正确；对于④，根据面面平行的判定定理可知“α∥β”，故不正确．故答案为：①．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．6．（5分）（xx•南通二模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建系，由向量数量积的坐标运算公式，可得得=x，结合点E在线段AB上运动，可得到x的最大值为1，即为所求的最大值．解答：解：以AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）设E（x，0），其中0≤x≤1∵=（x，﹣1），=（1，0），∴=x•1+（﹣1）•0=x，∵点E是AB边上的动点，即0≤x≤1，∴x的最大值为1，即的最大值为1故答案为：1点评：本题考查向量数量积的最大值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）已知Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，若向区域Ω上随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据二元一次不等式组表示的平面区域的原理，分别作出集合Ω和集合A对应的平面区域，得到它们都直角三角形，计算出这两个直角三角形的面积后，再利用几何概型的概率公式进行计算即可．解答：解：区域Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，表示的图形是第一象限位于直线x+y=6的下方部分，如图的红色三角形的内部，它的面积S=；再观察集合A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，表示的图形在直线x﹣2y=0下方，直线x=4的左边并且在x轴的上方，如图的黄色小三角形内部可以计算出它的面积为S1==4根据几何概率的公式，得向区域Ω上随机投一点P，P落入区域A的概率为P=故答案为：点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概率模型，准确画作相应的平面区域，熟练地运用面积比求相应的概率，是解决本题的关键，属于中档题．9．（5分）函数的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移单位后，得到的图象解析式为y=sin（2x﹣）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由图知，A=1，T=π，可求ω，再由ω+φ=可求得φ，从而可得y=f（x）的解析式，利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换及可求得答案．解答：解：由图知，A=1，T=π，∴T=π，ω==2，又×2+φ=+2kπ（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=；∴y=f（x）的解析式为y=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向右平移单位后得y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故答案为：y=sin（2x﹣）．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查识图与运算能力，属于中档题．10．（5分）已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意可得cosxcosy=，进而可得cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=，由余弦函数可知x﹣y的值．解答：解：由题意可得tanxtany==2，解得cosxcosy=，故cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=故x﹣y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以﹣π＜x﹣y＜π．所以x﹣y=故答案为：点评：本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角和与差的余弦函数，属基础题．11．（5分）（xx•黑龙江二模）求“方程（）x+（）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（）x+（）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2}．考点：类比推理．专题：规律型．分析：类比求“方程（）x+（）x=1的解的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x2=x+2，解之即得方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集．解答：解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R上单调递增，由x6+x2=（x+2）3+（x+2）即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），∴x2=x+2，解之得，x=﹣1或x=2．所以方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．点评：本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．12．（5分）（2011•扬州三模）已知实数p＞0，直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py和圆从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题得|BF|=|CF|=．由抛物线的定义得：|AB|=|AF|﹣|BF|=y1，同理|CD|=y2所以=．联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py 的方程且消去x解出进而得到答案．解答：解：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题意得|BF|=|CF|=由抛物线的定义得：|AB|=|AF|﹣|BF|=+y1﹣=y1，同理得|CD|=y2所以=．联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x得：8y2﹣17py+2p2=0解得：所以．故答案为：．点评：解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉，即抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离相等．13．（5分）（xx•崇明县二模）设函数，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2．考点：函数的零点；根的存在性及根的个数判断．分析：根据函数，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数y=f[f （x）]﹣1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案．解答：解：∵函数，当x≤0时y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去）当0＜x≤1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1当x＞1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1则log2x=2，x=4故函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2个故答案为：2点评：本题考查的知识点是函数的零点，根的存在性及根的个数判断，其中根据指数函数和对数函数的图象和性质，化简函数的解析式是解答的关键．14．（5分）（xx•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9．考点：进行简单的合情推理；函数的值．专题：新定义．分析：先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．解答：解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，同样x2x3+x4x5≥2，+≥2，使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，x2x3=x4x5=，x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2x2最小为1，所以x1x2最小值为9，此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．故答案为：9．点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．二．解答题15．（14分）（xx•朝阳区二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f （A）=．（Ⅰ）求函数f（A）的最大值；（Ⅱ）若，求b的值．考点：正弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（A）为，根据0＜A＜π，利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）取得最大值．（Ⅱ）由题意知，由此求得A的值，再根据C的值，求得B的值，利用正弦定理求出b的值．解答：解：（Ⅰ）=．因为0＜A＜π，所以．则所以当，即时，f（A）取得最大值，且最大值为．…（7分）（Ⅱ）由题意知，所以．又知，所以，则．因为，所以，则．由得，．…（13分）点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．（14分）（xx•黑龙江二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．（I）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE 是△BDF的中位线，故有BF∥OE，再根据直线和平面平行的判定定理证得BF∥平面ACE．（II）由条件证明CD⊥平面PAE，再根据三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB，运算求得结果．（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，解答：解：PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=•（•S△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．17．（15分）某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率=．设某商品标价为x元，购买该商品得到的实际折扣率为y．（1）写出当x∈（0，1000]时，y关于x的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（2）对于标价在[2500，3500]的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？考点：根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由已知中的折扣办法，分x∈（0，625）和x∈[625，1000]两种情况，分别求出函数的解析式，将1000代入计算实际付款额可得实际折扣率．（2）根据（1）中解析式，结合实际折扣率低于，构造关于x的不等式，结合标价在[2500，3500]，可得答案．解答：解：（1）∵500÷0.8=625∴…（4分）当x=1000时，y==0.7…（5分）即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7．…（6分）（Ⅱ）当x∈[2500，3500]时，0.8x∈[xx，2800]…（7分）①当0.8x∈[xx，2500）即x∈[2500，3125）时，解得x＜3000∴2500≤x＜3000；…（10分）②当0.8x∈[2500，2800]即x∈[3125，3500]时，解得x＜3750∴3125≤x≤3500；…（13分）综上，2500≤x＜3000或3125≤x≤3500即顾客购买标价在[2500，3000）∪[3125，3500]间的商品，可得到的实际折扣率低于．…（14分）点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，其中根据已知求出函数的解析式是解答的关键．18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N；（I）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：k1•k2为定值；（Ⅱ）求线段MN长的最小值；（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；（Ⅱ）分别求出M和N点的坐标，由（Ⅰ）中的结论得到两直线斜率间的关系，把|MN|用含有一个字母的代数式表示，然后利用基本不等式求最值；（Ⅲ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．解答：（Ⅰ）证明：由题设椭圆C：=1可知，点A（0，1），B（0，﹣1）．令P（x0，y0），则由题设可知x0≠0．∴直线AP的斜率，PB的斜率为．又点P在椭圆上，所以，从而有=；（Ⅱ）解：由题设可得直线AP的方程为y﹣1=k1（x﹣0），直线PB的方程为y﹣（﹣1）=k2（x﹣0）．由，解得；由，解得．∴直线AP与直线l的交点N（），直线PB与直线l的交点M（）．∴|MN|=||，又．∴|MN|=||=．等号成立的条件是，即．故线段MN长的最小值为．（Ⅲ）解：以MN为直径的圆恒过定点或．事实上，设点Q（x，y）是以MN为直径圆上的任意一点，则，故有．又．所以以MN为直径圆的方程为．令，解得或．所以以MN为直径的圆恒过定点或．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了代入法，考查了利用基本不等式求最值，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．19．（16分）（2011•江苏）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．解答：解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．故实数b的取值范围是[2，+∞）（2）令f'（x）=0，得x=．若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因此b≤0．现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）＞0．因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b＜0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，又当a=﹣，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f'（x）g'（x）＞0．故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20．（16分）已知各项均为正数的两个无穷数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．（Ⅰ）当数列{a n}是常数列（各项都相等的数列），且b1=时，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{a n}有无穷多个，而数列{b n}惟一确定；（Ⅲ）设a n+1=，S n=，求证：2＜＜6．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）设a n=a＞0，利用数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*），可得b n+1+b n=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，b n+b n﹣1=2（n﹣1）．于是b n+1﹣b n﹣1=2．可知：数列{b n}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；（II）设{a n}、{b n}公差分别为d1、d2，可得其通项公式，代入a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解出即可；（III）利用，可得a n+1﹣a n=﹣a n=，于是a n＜a n+1．利用a n b n+1+a n+1b n=2na n+1＜a n+1b n+1+a n+1b n，可得2n＜b n+1+b n．又a n b n+1=（2n﹣b n）•a n+1＞0，a n+1＞0，可得2n﹣b n＞0．可得，进而得出．解答：（I）解：设a n=a＞0，∵数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*），∴b n+1+b n=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，b n+b n﹣1=2（n﹣1）．∴b n+1﹣b n﹣1=2．∴可知：数列{b n}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，又，b1+b2=2，可得．∴=，=，即（n∈N*）．（2）证明：设{a n}、{b n}公差分别为d1、d2，则a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1+（n﹣1）d2，代入a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n 恒成立，可得，解得，可得a n=na1，b n=n．∴只有取a1＞0可得数列{a n}有无穷多个，而数列{b n}惟一确定；（3）证明：∵，∴a n+1﹣a n=﹣a n=，∴a n＜a n+1．∴a n b n+1+a n+1b n=2na n+1＜a n+1b n+1+a n+1b n，可得2n＜b n+1+b n．因此=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣1+b2n）＞2[1+3+…+（2n﹣1）]=2n2．又a n b n+1=（2n﹣b n）•a n+1＞0，a n+1＞0，∴2n﹣b n＞0．∴=2n（1+2n）=4n2+2n，∴，∴．点评：熟练掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、放缩法等是解题的关键．21．求展开式中的常数项．考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项的值．解答：解：展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣2r•x﹣r =•x12﹣3r，令12﹣3r=0，r=4，故该展开式中的常数项为=15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．22．某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X为选取女生的人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：本题是一个超几何分步，随机变量X表示所选2人中女生的人数，X可能取的值为0，1，2，结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．解答：解：依题意，X所有取值0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．X的分布列为：X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=．点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．23．（xx•丰台区二模）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：（I）根据翻折后DE仍然与BE、PE垂直，结合线面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由线面垂直的性质可得PB⊥DE；（II）分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设PE=a，可得点B、D、C、P关于a的坐标形式，从而得到向量、坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PCD的一个法向量为=（1，1，），由PD与平面PBC所成的角为30°和向量的坐标，建立关于参数a的方程，解之即可得到线段PE的长．解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；…．（4分）（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…（5分）设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分）可得，，…（8分）设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，…（10分）∵，PD与平面PBC所成角为30°，…（12分）∴，即，…（11分）解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．…（13分）点评：本题给出平面图形的翻折，求证线面垂直并在已知线面角的情况下求线段PE的长，着重考查了线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．24．数列{2n﹣1}的前n项组成集合，从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n=T1+T2+…+T n．例如：当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7．（Ⅰ）求S3；（Ⅱ）猜想S n，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）当n=3时，求得A3={1，3，7}，T1、T2 、T3的值，可得S3=T1+T2+T3的值．（Ⅱ）由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，猜想S n=﹣1，用数学归纳法进行证明．解答：解：（Ⅰ）当n=3时，A3={1，3，7}，T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，所以S3=11+31+21=63．（Ⅱ）由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，猜想S n=﹣1，下面证明：（1）易知n=1时成立．（2）假设n=k时，S n=S k=﹣1，则n=k+1时，S k+1=T1+T2+T3+…+T k+1=[T1′+（2k+1﹣1）]+[T2′+（2k+1﹣1）T1′]+[T3′+（2k+1﹣1）T2′]+…+[T k′+（2k+1﹣1）]（其中T i′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为T k），=（T1′+T2′+T3′+…+T k′）+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）（T1′+T2′+T3′+…+T k′）=S k+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）S k =2k+1（）+（2k+1﹣1）=2k+1•=﹣1，即n=k时，S k+1=﹣1也成立，综合（1）（2）知对n∈N*，S n=﹣1成立．所以，S n=﹣1．点评：本题主要考查用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时命题成立，是解题的关键，属于中档题．。
2019-2020年高三上学期开学数学试卷(理科)含解析(VI)
2019-2020年高三上学期开学数学试卷（理科）含解析(VI)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B=．2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=．4．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．5．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为．7．已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n=．8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为．9．已知α为第二象限角，，则cos2α=．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．12．已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是．13．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，求值：（1）tanα；（2）．16．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．17．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．18．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．23．一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．24．设P n=（1﹣x）2n﹣1，Q n=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）B={x|＞0}=（﹣1，+∞）∴A∩B=（﹣1，2）={x|﹣1＜x＜2}故答案为：{x|﹣1＜x＜2}【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】首先分析题目已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，求¬p．由否命题的定义：否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．可直接得到答案．【解答】解：已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，因为否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．即答案为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【点评】此题主要考查否命题的概念问题，需要注意的是否命题与命题的否定形式的区别，前者是对条件结论都否定，后者只对结论做否定．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．4．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B=（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．5．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】排列组合．【分析】从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可【解答】解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；故答案为：．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为2x﹣y﹣=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程．【解答】解：y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0．故答案为：2x﹣y﹣=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键．7．已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n=8．【考点】二项式定理．【专题】计算题；二项式定理．【分析】展开式中前三项的系数分别为1，，，成等差数列可得n的值【解答】解：展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×=1+，∴n=8或1（舍）．故答案为：8．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（0，1）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据f（x）为奇函数，便有f（﹣x）=﹣f（x），从而可以求出a=1，从而得到，容易判断该函数在（0，+∞）上单调递减，并可判断x＜0时，f（x）＜1，且f（1）=3，从而可由f（x）＞3得到f（x）＞f（1），从而便得到0＜x＜1，这便求出了使f（x）＞3成立的x的取值范围．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴1﹣a•2x=a﹣2x；∴a=1；∴；①x＞0时，x增大时，2x﹣1增大，从而f（x）减小；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；解得0＜x＜1；②x＜0时，2x﹣1＜0，∴f（x）＜1；∴不满足f（x）＞3；综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】考查奇函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据减函数的定义解不等式的方法．9．已知α为第二象限角，，则cos2α=．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=．故答案为：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα的值是关键，属于中档题．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【考点】指数函数单调性的应用．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】根据式子f（1+x）=f（1﹣x），对称f（x）关于x=1对称，利用指数函数的性质得出：函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断m的最小值．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）x=a为对称轴，∴a=1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∵f（x）在[m，+∞）上单调递增，∴m的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了指数型函数的单调性，对称性，根据函数式子对称函数的性质是本题解决的关键，难度不大，属于中档题．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，2）．【考点】其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为或，分别解出它们，再求并集即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）==1，当x＜0时，f（x）==﹣1﹣，作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为或，即有或，解得≤x＜2或1＜x＜，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题．12．已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是[﹣2，0]．【考点】绝对值不等式的解法；函数的图象．【专题】不等式的解法及应用．【分析】①当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得a≤0．②当x≤0时，可得x2﹣2x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．【解答】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据﹣x2+2x的取值为（﹣∞，0]，|f（x）|=x2﹣2x≥ax，x=0时左边=右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上可得，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是[﹣5，﹣2]．【考点】指数函数综合题；特称命题．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，g（x）min=g（1）=m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，转化为t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．【解答】解：当0≤x≤2时，y=﹣x2递减，当x＞2时，y=﹣（）x﹣递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值﹣1．当0≤x≤2时，y=﹣x2∈[﹣1，0]．当x＞2时，y=﹣（）x﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a＜．即有实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，求值：（1）tanα；（2）．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】（1）由题意，可由正切的和角公式展开得，由此方程解出tanα；（2）由正弦与余弦的二倍角公式将这形为，再由同角三角关系，将其变为将正切值代入即可求出代数式的值．【解答】解：（1）由题意，可得，解得tanα=﹣（2）==由（1）tanα=﹣，∴==﹣【点评】本题考查了两角的和的正切公式，正弦、余弦的二倍角公式，同角三角函数的基本关系，解题的关键是牢固记忆公式，能根据这些公式灵活变形，求出代数式的值，三角函数由于公式多，可选择的方法多，故解题时要注意选取最合适的方法解题16．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）分别求出命题p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假得到关于m的不等式组，解出即可；（2）先求出关于M、N的x的范围，根据N⊆M，得到不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若方程x2+mx+1=0有两不等的负根，则，解得：m＞2，即命题p：m＞2，若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，则△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．∴或，解得：m≥3或1＜m≤2．（2）∵M∪N=M，∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（1，3），∴，解得：3≤m≤6．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，集合的关系，是一道中档题．17．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c 时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．18．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．（i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ﹣7），注意角θ的取值范围；（ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×FG=x，注意x的取值范围；（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．【解答】解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=．（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．在Rt△ONF中，NF===．在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，故S=EF×FG=x．即所求函数关系是S=x，（0＜x＜6.5）．（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），则f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20．由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．设cosα=，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，所以当θ=α，即cosθ=时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S=，令f（x）=x2（351﹣28x﹣4x2），则f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．【点评】本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F （x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将曲线C的参数方程化为普通方程为：x=8y2（亦可直接用参数方程解A，B点），与直线l构造方程组，解得求出点的坐标，根据点到点的距离公式即可求出答案．【解答】解：∵，∴x=（4y）2，即x=8y2，∴方程组，解得或，所以，故AB==．【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．【考点】圆的参数方程；直线的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，利用化为直角坐标方程，可得圆心（1，0），把展开即可直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离．【解答】解：将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x=0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．23．一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，由互斥事件概率加法公式能求出该网民至少购买4种商品的概率．（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出η的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，则：，，…所以该网民至少购买4种商品的概率为．答：该网民至少购买4种商品的概率为．…（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，=，=，，．…所以：随机变量η的概率分布为：η0 1 2 3 4 5P故．…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用，是中档题．24．设P n=（1﹣x）2n﹣1，Q n=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）分n=1和n=2两种情况进行解答；（2）分类讨论：x=0，x＞0和x＜0三种情况．利用复合函数的单调性进行解答即可．【解答】解：（1）当n=1时，P n=1﹣x，Q n=1﹣x，则P n=Q n；当n=2，x=0时，P n=1，Q n=1，则P n=Q n；当n=2，x＞0时，P n=（1﹣x）3=1﹣3x+3x2﹣x3，Q n=1﹣3x+3x2，则P n﹣Q n=﹣x3＜0，所以P n＜Q n；当n=2，x＜0时，P n﹣Q n=﹣x3＞0，所以P n＞Q n；（2）当n≥3时，①当x=0时，P n=Q n；②当x≠0时，令F（x）=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，则F′（x）=﹣（2n﹣1）（1﹣x）2n﹣2+（2n﹣1）﹣2（n﹣1）（2n﹣1）x，F″（x）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣2（n﹣1）（2n﹣1）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣1．当x＞0时，F″（x）＜0．F″（x）单调递减；当x＜0时，F″（x）＞0．F″（x）单调递增；∴F′（x）＜F′（0）=0，∴F（x）单调递减；当x＞0时，F（x）＜F（0）=0，当x＜0时，F（x）＞F（0）=0，∴当x＞0时，P n＜Q n．当x＜0时，P n＞Q n．【点评】本题考查了不等式比较大小．总结：不等式大小比较的常用方法．（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．。
2019-2020年高三上学期开学考试数学(理)试题 含答案
秘密★启用前2019-2020年高三上学期开学考试数学（理）试题 含答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集，集合，，则=（）A ．B ．C ．D ．2．命题“，则或”的逆否命题为（）A ．若，则且B ．若，则且C ．若且，则D ．若或，则3．“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数的零点在区间上，则的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知，为方程的解，则的值为（）A ．B ．5C ．﹣5D ．﹣16．已知存在实数，使得关于的不等式有解，则的最大值为（）A ．2B ．C ．4D ．87．已知，，则sin cos )4ααπα-的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（原创）已知关于的方程有两个不同实数解，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列命题中：①若，则幂函数在上单调递增；②函数与函数的图象关于直线对称；③若函数的图象关于对称，则为偶函数；④若是定义域为R 的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称，其中正确的命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．（原创）已知点P 为曲线上一点，曲线C 在点P 处的切线交曲线C 于点Q （异于点P ），若直线的斜率为，曲线C 在点Q 处的切线的斜率为，则的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣4C ．﹣3D ．211．（原创）已知是定义在R 上且以4为周期的奇函数，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（）A ．16B ．32C ．48D ．5212．（原创）已知函数32()2log )21x f x x =-++，，，，则（） A ． B ． C ． D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题，第12题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：共4小题，每小题5分13．=_________14．设函数，则不等式的解集为_________15．化简：=_________16．（原创）若函数与函数的图象有且仅有一个交点，则实常数的值为_________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知函数（1）已知，且，，求的值；（2）求函数的最大值18．（本小题满分12分）设命题P：函数的定义域为R；命题q：函数在区间上有唯一零点，（1）若p为真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围19．（本小题满分12分）现今中国社会人口老龄化日趋严重，机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（原创）（本小题12分）已知函数（为常数）（1）若函数在内单调递增，求实数的取值范围；（2）若存在（其中为自然对数的底），使得成立，求实数的取值范围21．（本小题满分12分）已知为常数，函数，（1）当=0时，求函数的最小值；（2）若有两个极值点①求实数的取值范围；②（原创）求证：且（其中为自然对数的底）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。
2019-2020年高三上学期入学数学试卷(文科) 含解析
2019-2020年高三上学期入学数学试卷（文科）含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，4}C．{0，4，5}D．{5}2．若复数z满足（+i）（1+i）=2，则z在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知命题p：∀x∈R，3x＜4x，命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q4．已知函数f（x）= 若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）5．等差数列{a n}中，S n为其前n项和，且S9=a4+a5+a6+72，则a3+a7=（）A．22 B．24 C．25 D．266．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则角C的取值范围为（）A．（0，]B．[，） C．[，] D．（，]7．设曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．8．若函数f（x）=x3+ax2+2x在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（﹣6，0）B． C．（﹣3.5，0）D．（﹣3.5，）9．设函数f（x）=log4x﹣（）x，g（x）=logx﹣（）x的零点分别是x1，x2，则（）A．x1x2=1 B．0＜x1x2＜1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2＞210．已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤2m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B．C．[1，+∞）D．11．函数f（x）为定义在R上的偶函数，且满足f（x+1）+f（x）=1，当x∈[1，2]时f（x）=3﹣x，则f（﹣xx）=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣212．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f'（x），且有2f（x）+xf'（x）＞x2，则不等式（x+xx）2f（x+xx）﹣9f（﹣3）＜0的解集为（）A．（﹣xx，﹣xx）B．（﹣xx，xx）C．（﹣xx，+∞）D．（﹣∞，﹣xx）二、填空题：请把答案填在答题卡相应位置，本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知向量是单位向量，向量，若，则，的夹角为．14．已知函数y=f（x）的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的3倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移，这样得到的曲线和y=2sinx的图象相同，则已知函数y=f（x）的解析式为．15．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＞0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系为．16．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x，e为自然对数的底数，若不等式f（x）≤0在x∈[﹣2，+∞）有解，则实数a的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，本大题共6个小题，共70分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y=x2+x的图象上（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知函数f（x）=2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a 的最小值．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD，PA=2，PC=4．（Ⅰ）若点E是PC的中点，求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）若点F在线段PA上，且FA=λPA，当三棱锥B﹣AFD的体积为时，求实数λ的值．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=xlnx（x＞0）：（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（3）当x＞0时，证明：e x＞f′（x）+1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=3，CF=9，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2=1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+|+a|x﹣|．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤3x；（2）当a=2时，若关于x的不等式4f（x）＜2|1﹣b|的解集为空集，求实数b的取值范围．xx重庆市垫江县才中学高三（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，4}C．{0，4，5}D．{5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B并集的补集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，x∈Z，解得：1＜x＜4，x∈Z，即B={2，3}，∵U={0，1，2，3，4，5}，A={1，3}，∴A∪B={1，2，3}，则∁U（A∪B）={0，4，5}，故选：C．2．若复数z满足（+i）（1+i）=2，则z在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，然后求解z在复平面内对应的点所在的象限．【解答】解：复数z满足（+i）（1+i）=2，可得===1﹣2i．则z在复平面内对应的点（1，2）所在的象限为第一象限．故选：A．3．已知命题p：∀x∈R，3x＜4x，命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得结论．【解答】解：命题p：∀x∈R，3x＜4x，是假命题；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，是真命题，故p∧￢q，￢p∧￢q，p∧q均为假命题，￢p∧q为真命题，故选：B．4．已知函数f（x）= 若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【考点】函数单调性的性质．【分析】由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．【解答】解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选D5．等差数列{a n}中，S n为其前n项和，且S9=a4+a5+a6+72，则a3+a7=（）A．22 B．24 C．25 D．26【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得a1+a9=a3+a7=a4+a6=2a5，S9=9a5，代入计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a9=a3+a7=a4+a6=2a5，所以S9===9a5，由S9=a4+a5+a6+72，得9a5=3a5+72，则a5=12．故a3+a7=2a5=24．故选：B．6．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则角C的取值范围为（）A．（0，]B．[，） C．[，] D．（，]【考点】余弦定理的应用．【分析】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形后代入并利用基本不等式求出cosC≥，即可确定出C的取值范围．【解答】解：∵a2+b2=2c2，∴c2=，∴由余弦定理得：cosC==≥=（当且仅当a=b时取等号），∴0＜C≤．故选：A．7．设曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，由直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到a的值．【解答】解：y=的导数为y′==﹣，可得曲线y=在点（2，3）处的切线的斜率k=﹣2，由曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，可得直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a=，解得a=﹣．故选：C．8．若函数f（x）=x3+ax2+2x在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（﹣6，0）B． C．（﹣3.5，0）D．（﹣3.5，）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】把要求的问题转化为其导数在区间[0，2]内必有两个不等实数根，再利用二次函数的性质解出即可．【解答】解：由函数f（x）=x3+ax2+2x，得f′（x）=3x2+2ax+2．∵函数f（x）=x3﹣ax2+3ax+1在[0，2]上，既有极大也有极小值，∴f′（x）=0在[0，2]上应有两个不同实数根．∴，解得﹣3.5＜a＜．∴实数a的取值范围是﹣3.5＜a＜．故选：D．9．设函数f（x）=log4x﹣（）x，g（x）=logx﹣（）x的零点分别是x1，x2，则（）A．x1x2=1 B．0＜x1x2＜1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2＞2【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】由题意可得x1是函数y=log4x的图象和y=（）x的图象的交点的横坐标，x2是y=的图象和函数y=（）x的图象的交点的横坐标，根据x2＞log4x1，求得0＜x1•x2＜1，从而得出结论．【解答】解：由题意可得x1是函数y=log4x的图象和y=（）x的图象的交点的横坐标，x2是y=的图象和函数y=y=（）x的图象的交点的横坐标，且x1，x2都是正实数，如图所示：故有x2＞log4x1，故log4x1﹣x2＜0，∴log4x1+log4x2＜0，∴log4（x1•x2）＜0，∴0＜x1•x2＜1，故选B．10．已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤2m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B．C．[1，+∞）D．【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【分析】求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤2m2﹣m恒成立转化为2m2﹣大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．【解答】解：对于函数f（x）=，当x≤1时，f（x）=﹣（x﹣）2+；当x＞1时，f（x）=＜0．则函数f（x）的最大值为．则要使不等式f（x）≤2m2﹣m恒成立，则2m2﹣m恒成立，即m≤﹣或m≥1．故选：B．11．函数f（x）为定义在R上的偶函数，且满足f（x+1）+f（x）=1，当x∈[1，2]时f（x）=3﹣x，则f（﹣xx）=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【考点】抽象函数及其应用．【分析】由题意：函数f（x）为定义在R上的偶函数，可得f（﹣x+1）+f（x）=1与f（x+1）+f（x）=1，求解出函数的周期，x∈[1，2]时f（x）=3﹣x的值即可求f（﹣xx）．【解答】解：由题意：函数f（x）为定义在R上的偶函数，可得：f（x+1）+f（x）=1…①，已知f（x）+f（x﹣1）=1…②由①②可得f（x+1）=f（x﹣1），那么：f（x+2）=f（x）故函数的周期是2．∴f（﹣xx）=f=f（1），又当x∈[1，2]时，f（x）=3﹣x，∴f（1）=3﹣1=2．故选C．12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f'（x），且有2f（x）+xf'（x）＞x2，则不等式（x+xx）2f（x+xx）﹣9f（﹣3）＜0的解集为（）A．（﹣xx，﹣xx）B．（﹣xx，xx）C．（﹣xx，+∞）D．（﹣∞，﹣xx）【考点】几何概型．【分析】通过观察2f（x）+xf′（x）＞x2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，得到2xf（x）+x2f′（x）＜x3，这时不等式的左边是（x2f（x））′，所以构造函数F（x）=x2f（x），则能判断该函数在（﹣∞，0）上是减函数；再由F（x+xx）=（x+xx）2f（x+xx），F（﹣3）=9f（﹣3），且不等式（x+xx）2f（x+xx）﹣9f（﹣3）＜0可变成F（x+xx）＜F（﹣3），解这个不等式即可，这个不等式利用F（x）的单调性可以求解．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0）；得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0；令F（x）=x2f（x）；则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数；∴F（x+xx）=（x+xx）2f（x+xx），F（﹣3）=9f（﹣3）；即不等式等价为F（x+xx）﹣F（﹣3）＜0；∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数；∴由F（x+xx）＜F（﹣3）得，x+xx＞﹣3，∴x＞﹣xx；又x+xx＜0，∴x＜﹣xx；∴﹣xx＜x＜﹣xx．∴原不等式的解集是（﹣xx，﹣xx）．故选：A．二、填空题：请把答案填在答题卡相应位置，本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知向量是单位向量，向量，若，则，的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得cosθ的值，可得，的夹角为θ的值．【解答】解：向量是单位向量，设，的夹角为θ，∵向量，若，∴||==4，∴•（2+）=2+=2+1•4•cosθ=0，求得cosθ=﹣，∴θ=，故答案为：．14．已知函数y=f（x）的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的3倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移，这样得到的曲线和y=2sinx的图象相同，则已知函数y=f（x）的解析式为f（x）=sin（2x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由题意可得y=2sinx的图象沿x轴向右平移，可得y=2sin（x﹣）的图象，再把图象上的每一点的纵坐标变为原来的倍，横坐标变为原来的倍，可得函数f（x）的图象，故f（x）=sin（2x﹣）的图象，故答案为：f（x）=sin（2x﹣）．15．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＞0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系为c＞a＞b．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据已知中f（x）=f（2﹣x），可得：c=f（3）=f（﹣1），根据当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＞0，可得x∈（﹣∞，1）时，函数为减函数，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴c=f（3）=f（﹣1），∴当x∈（﹣∞，1）时，x﹣1＜0，若（x﹣1）f'（x）＞0，则f'（x）＜0，故此时函数为减函数，∵﹣1＜0＜＜1，∴f（﹣1）＞f（0）＞f（），∴c＞a＞b，故答案为：c＞a＞b．16．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x，e为自然对数的底数，若不等式f（x）≤0在x∈[﹣2，+∞）有解，则实数a的最小值为1﹣．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简可得a≥x3﹣3x+3﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，从而求导g′（x）=3x2﹣3+=（x ﹣1）（3x+3+），从而确定g min（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；从而解得．【解答】解：∵f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x≤0，∴a≥x3﹣3x+3﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），故当x∈[﹣2，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在[﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；故g min（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故答案为：1﹣．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，本大题共6个小题，共70分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y=x2+x的图象上（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）由点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y=x2+x的图象上，可得2S n=n2+n，利用递推关系即可得出；（2）由已知得：b n===．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）∵点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y=x2+x的图象上，∴2S n=n2+n，当n=1时，2S1=2a1=2，解得a1=1；当n≥2时， +（n﹣1），可得2a n=2n，解得a n=n．经检验：n=1时也满足上式．综上可得：a n=n．（n∈N+）．（2）由已知得：b n===．∴数列{b n}的前n项和T n=+…+=1﹣=．18．已知函数f（x）=2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a 的最小值．【考点】余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数的最大值，从而可得f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）利用f（A）=sin（2A+）+1=，求得A，在△ABC中，根据余弦定理，利用b+c=2，及，即可求得实数a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2=（1+cos2x）﹣（sin2xcos﹣cos2xsin）=1+sin2x+=1+sin（2x+）．∴函数f（x）的最大值为2．要使f（x）取最大值，则sin（2x+）=1，∴2x+=2kπ+（k∈Z）∴x=kπ+（k∈Z）．故x的取值集合为{x|x=kπ+（k∈Z）}．（Ⅱ）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简得sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴2A+∈，∴2A+=，∴A=在△ABC中，根据余弦定理，得=（b+c）2﹣3bc．由b+c=2，知，即a2≥1．∴当b=c=1时，实数a取最小值1．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD，PA=2，PC=4．（Ⅰ）若点E是PC的中点，求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）若点F在线段PA上，且FA=λPA，当三棱锥B﹣AFD的体积为时，求实数λ的值．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ ∥PA，又EQ⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．所以PA∥平面BDE（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，进一步利用最后利用平行线分线段成比例求出λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）如图连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，又EQ⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．所以PA∥平面BDE（Ⅱ）解：依据题意可得：PA=AB=PB=2，取AB中点O，所以PO⊥AB，且又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥平面PAB，则△PBC为直角三角形，所以，则直角三角形△ABD的面积为，由FM∥PO得：20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知条件推导出e=，a﹣c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．（2）存在直线l，使得||=||成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以=4﹣1=3．所以椭圆C的标准方程是．（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．若||=||成立，即||2=||2，等价于．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•，化简得7m2=12+12k2．将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，从而，解得或．所以实数m的取值范围是．21．设函数f（x）=xlnx（x＞0）：（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（3）当x＞0时，证明：e x＞f′（x）+1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导函数f′（x），解不等式f′（x）＞0得出增区间，解不等式f′（x）＜0得出减区间；（2）求F′（x），讨论F′（x）=0的解的情况及F（x）的单调性得出结论；（3）构造函数设g（x）=e x﹣lnx，x＞0，则即证g（x）＞2，只要证g（x）min＞2，利用导数判断函数的单调性，求得g（x）的最小值即得，不等式即可得证．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得x=∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）单调递增，（2）∴F（x）=ax2+f′（x）（x＞0），∴F′（x）=2ax+=（x＞0）．当a≥0时，F′（x）＞0恒成立，∴F（x）在（0，+∞）上为增函数，∴F（x）在（0，+∞）上无极值．当a＜0时，令F′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．∴当0＜x＜时，F′（x）＞0，当x＞时，F′（x）＜0，∴F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴当x=时，F（x）取得极大值F（）=+ln，无极小值，综上：当a≥0时，F（x）无极值，当a＜0时，F（x）有极大值+ln，无极小值，（Ⅲ）证明：设g（x）=e x﹣lnx，x＞0，则即证g（x）＞2，只要证g（x）min＞2，∵g′（x）=e x﹣，设h（x）=e x﹣，∴h′（x）=e x+＞0恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∵h（0.5）=﹣2＜1.7﹣2＜0，h（1）=e﹣1＞0，∴方程h（x）=0有唯一的实根x=t，且t∈（0.5，1）∵当t∈（0.5，1）时，h（x）＜h（t）=0，当t∈（t，+∞）时，h（x）＞h（t）=0，∴当x=t时，g（x）min=e t﹣lnt，∵h（t）=0，即e t=，则t=e﹣t，∴g（x）min=﹣ln=e﹣t=+t＞2=2，∴e x＞f′（x）+1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=3，CF=9，求AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得=，即可得出．【解答】（I）证明：如图所示，连接BE∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．（II）解：∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=3，CF=9，∴92=3BF，解得BF=27．∴AB=BF﹣AF=24．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴=，∴AC==8．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2=1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C：（x﹣1）2+y2=1．展开为：x2+y2=2x，把代入可得曲线C的极坐标方程．直线l的参数方程为：，（t为参数）．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程圆的方程可得：t2+（）t+m2﹣2m=0，利用|PA|•|PB|=1，可得|m2﹣2m|=1，解得m即可得出．【解答】解：（1）曲线C：（x﹣1）2+y2=1．展开为：x2+y2=2x，可得ρ2=2ρcosθ，即曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ．直线l的参数方程为：，（t为参数）．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程代入x2+y2=2x，可得：t2+（）t+m2﹣2m=0，∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1，∴|m2﹣2m|=1，解得m=1或1±．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+|+a|x﹣|．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤3x；（2）当a=2时，若关于x的不等式4f（x）＜2|1﹣b|的解集为空集，求实数b的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最大值为14，可得|1﹣b|≤7，由此解得b的范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，不等式f（x）≤3x 可化为①；或②；或③．解①求得﹣≤x＜﹣，解求得﹣≤x＜，解求得x≥．综上可得，不等式的解集为{x|x≥﹣}．（2）当a=2时，f（x）=|2x+|+|2x﹣3|≥|2x+﹣（2x﹣3）|=，（当且仅当﹣≤x≤时取等号），则f（x）的最大值为4•=14，不等式4f（x）＜2|1﹣b|的解集为空集，等价于|1﹣b|≤7，解得﹣6≤b≤8，故实数b的取值范围是[﹣6，8]．xx1月6日。
2019-2020最新高三数学上学期开学考试(9月)试题 理
——教学资料参考参考范本——2019-2020最新高三数学上学期开学考试（9月）试题理______年______月______日____________________部门注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数 (为虚数单位)，则的虚部为( )A．－1 B． 0 C． 1 D． i2．集合，,则A． B． C． D．3．已知函数，则的大致图象为（）A． B．C． D．4．已知平面向量, , 且, 则 ( )A． B． C．D．5．甲乙丙丁戊五个老师要安排去4个地区支教，每个地区至少安排一人，则不同的安排方法共有（）种.A． 150 B． 120 C． 180 D． 2406．双曲线的渐近线方程为( )A． B． C．D．7．在中，角，，的对边分别是，，，，，，那么的值是（）A． B． C．D．8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为 (参考数据：，，) ( )A． B． C． D．9．三棱锥A-BCD的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为 ( )A． B． C．D．10．若函数满足，且，则的解集为A． B． C．D．11．过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，若有三条直线满足，则的取值范围为（）A． B． C．D．12．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是A． B． C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020年高三上学期开学摸底考试数学试题 含答案
2019-2020年高三上学期开学摸底考试数学试题 含答案一．填空题4分每题共56分1.复数z=1-3i （i 是虚数单位）的虚部是 -32.设集合P={3，log2a}，Q={a ，b}，若P ∩Q={0}，则P ∪Q=_｛3，10，1｝____3.已知函数，且有若a>0且b>0,则ab 的最大值是 _0.25_____4.已知对数不等式()()01log log 33>-+x a x 的解集是（，9），则实数a 的值为__2____ 5.函数y=tan 的单调递减区间是_{}z k k x k x ∈+<<，ππππ434-_____ 6.数列｛a n ｝满足5221212121+=+++n a a a n n ，则a n=2n +1 7.已知向量()()的方向上的投影是在向量则向量→→→→-=-=b a b a ,1,0,4,348.若关于x 的方程sin2x+cos2x=k 在区间上有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围为9.圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角行，如果随机选择了3个点，则刚好构成三角形的概率是 10.若()201520152212015201522102015333,3-1a a a x a x a x a a x ++++++= 则=-1 11.若无穷等比数列｛a n ｝的各项公比q,则首项a 1的范围是12.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且x>0,f(x)=(x-2)(x-3)+0.02,则函数f(x)在R 上的零点个数共有5个13.已知关于t 的一元二次方程()()0222=-++++i y x xy t i t ，当方程有实根时，则点x,y的轨迹方程为14.如图，F 为双曲线的右焦点，过F 作直线l 与圆切于点M,与双曲线交于点P,且M 恰为线段PF 的中点，则双曲线的渐进方程是 二，选择题5分每题共20分15.若必定是，则ABC AB ∆=+02（B ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角行16.如果一组数据的平均数是,方差是，则数据53,,53,53,53321++++n x x x x 的平均数和方差分别是（D ） A. B. C. D.17.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中地面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（B ） A. B. C. D.18.在平面直角坐标系中，定义为点()()111,,+++n n n n n n y x p y x p 到点的一个变换，我们把它称为点变换。
【精品高考数学试卷】2019-2020北京高三(上)开学(9月)+答案
2019-2020学年北京高三（上）开学数学试卷（9月份）一、选择题（每小题6分，共48分）1．（6分）已知z （1+i ）＝﹣1+7i （i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则|z|等于（ ） A ．√2B ．3+4iC ．5D ．72．（6分）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y =b x +a ，已知∑ 10i=1x i ＝225，∑ 10i=1y i ＝1600，b =4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A ．160B ．163C ．166D ．1703．（6分）对于锐角α，若sin （α−π6）=13，则cos （α−π3）＝（ ） A ．2√6+16B ．3−√28C ．3+√28D ．2√3−164．（6分）已知随机变量ξ+η＝8，若ξ～B （10，0.6），则E η，D η分别是（ ） A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.65．（6分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“a ＞b ”是“cos2A ＜cos2B ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（6分）已知双曲线my 2﹣x 2＝1（m ∈R ）与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±√3xB ．y ＝±√33x C ．y ＝±13xD ．y ＝±3x7．（6分）若α、β∈[−π2，π2]，且αsin α﹣βsin β＞0，则下面结论正确的是（ ） A ．α＞βB ．α+β＞0C ．α＜βD ．α2＞β28．（6分）已知实数a ，b ，c ，d 满足a−2e ab=1−c d−1=1其中e 是自然对数的底数，则（a﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．18二、填空题（每小题6分，共36分）9．（6分）为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：理科 文科 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计203050已知P （K 2≥3.841）≈0.05，P （K 2≥5.024）≈0.025． 根据表中数据，得到K 2=50×(13×20−10×7)223×27×20×30≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为 ． 10．（6分）化简cos(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin(α−π)⋅cos(2π−α)的结果为11．（6分）如图，y ＝f （x ）是可导函数，直线l ：y ＝kx +2是曲线y ＝f （x ）在x ＝3处的切线，令g （x ）＝xf （x ），其中g ′（x ）是g （x ）的导函数，则g ′（3）＝ ．12．（6分）已知sin α+cos α=13，则sin 2（π4−α）＝ ．13．（6分）若函数f （x ）=13x 3+x 2−23在区间（a ，a +5）上存在最小值，则实数a 的取值范围是 ．14．（6分）已知椭圆C ：x 22+y 2=1的两焦点为F 1，F 2，点P （x 0，y 0）满足0＜x 022+y 02＜1，则|PF 1|+PF 2|的取值范围为 ，直线x 0x2+y 0y =1与椭圆C 的公共点个数 ．三、解答题15．（13分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sinA．（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．16．（13分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如，表：汽车型号 I II III IV V 回访客户（人数）250 100 200 700 350 满意率0.50.30.60.30.2满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．（Ⅰ）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；（Ⅱ）从I 型号和V 型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；（Ⅲ）用“η1＝1”，“η2＝1”，“η3＝1”，“η4＝1”，“η5＝1”分别表示I ，II ，III ，IV ，V 型号汽车让客户满意，“η1＝0”，“η2＝0”，“η3＝0”，“η4＝0”，“η5＝0”分别表示I ，II ，III ，IV ，V 型号汽车让客户不满意．写出方差D η1，D η2，D η3，D η4，D η5的大小关系． 17．（14分）已知函数f （x ）=lnx x+a 在x ＝1处的切线与直线y =12x 平行． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）如果函数g （x ）＝（x +1）f （x ）﹣mx 在区间[1e ，e 2]上有两个零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求证：函数f （x ）有极大值，而且f （x ）的极大值小于1．18．（13分）抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点M （4，y M ）到其准线的距离为5． （Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）过点P （2，0）作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，Q 是y 轴上一点，且Q ，A ，B 三点不共线），直线AQ 与直线x ＝﹣2交于点N ，判断直线PQ 与BN 的位置关系，并说明理由．19．（13分）对于集合A ＝{a 1，a 2，…，a n }，B ＝{b 1，b 2，…，b m }，n ∈N *，m ∈N *．A +B ＝{x +y |x ∈A ，y ∈B }．集合A 中的元素个数记为|A |． 规定：若集合A 满足|A +A|=n(n+1)2，则称集合A 具有性质T ． （Ⅰ）已知集合A ＝{1，3，5，7}，B ={13，23，43，83}，写出|A +A |，|B +B |的值；（Ⅱ）已知集合A ＝{a 1，a 2，…，a n }，{a n }为等比数列，a n ＞0，且公比为23，证明：A具有性质T ；（Ⅲ）已知A ，B 均有性质T ，且n ＝m ，求|A +B |的最小值．2019-2020学年北京高三（上）开学数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题6分，共48分）1．【解答】解：由z（1+i）＝﹣1+7i得z=−1+7i1+i=(−1+7i)(1−i)(1+i)(1−i)=6+8i2=3+4i，则z=3﹣4i，则|z|=√32+(−4)2=5，故选：C．2．【解答】解：由线性回归方程为y=4x+a，则x=110∑10i=1x i＝22.5，y=110∑10i=1y i＝160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则a=y−4x＝160﹣4×22.5＝70，∴回归直线方程为y=4x+70，当x＝24时，y=4×24+70＝166，则估计其身高为166，故选：C．3．【解答】解：sin（α−π6）=13，α为锐角，α−π6∈[−π6，π3]，∴cos（α−π6）=2√23，cos（α−π3）＝cos[（α−π6）−π6]＝cos（α−π6）cosπ6+sin（α−π6）sinπ6，=2√6+16，故选：A．4．【解答】解：∵ξ～B（10，0.6），∴Eξ＝10×0.6＝6，Dξ＝10×0.6×0.4＝2.4，∵ξ+η＝8，∴Eη＝E（8﹣ξ）＝2，Dη＝D（8﹣ξ）＝2.4故选：B．5．【解答】解：在三角形中，cos2A＜cos2B等价为1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即sin A＞sin B．若a ＞b ，由正弦定理asinA=b sinB ，得sin A ＞sin B ．充分性成立．若sin A ＞sin B ，则正弦定理asinA=b sinB，得a ＞b ，必要性成立．所以，“a ＞b ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件． 即a ＞b 是cos2A ＜cos2B 成立的充要条件， 故选：C ．6．【解答】解：∵抛物线x 2＝8y 的焦点为（0，2）， ∴双曲线的一个焦点为（0，2）， ∴1m+1＝4，∴m =13，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±√3x ． 故选：A ．7．【解答】解：y ＝x sin x 是偶函数且在（0，π2）上递增，∵α、β∈[−π2，π2]， ∴αsin α，βsin β皆为非负数， ∵αsin α﹣βsin β＞0， ∴αsin α＞βsin β ∴|α|＞|β|， ∴α2＞β2 故选：D ．8．【解答】解：∵实数a ，b ，c ，d 满足a−2e ab=1−c d−1=1，∴b ＝a ﹣2e a ，d ＝2﹣c ，∴点（a ，b ）在曲线y ＝x ﹣2e x 上，点（c ，d ）在曲线y ＝2﹣x 上，（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的几何意义就是曲线y ＝x ﹣2e x 到曲线y ＝2﹣x 上点的距离最小值的平方．考查曲线y ＝x ﹣2e x 上和直线y ＝2﹣x 平行的切线，∵y ′＝1﹣2e x ，求出y ＝x ﹣2e x 上和直线y ＝2﹣x 平行的切线方程， ∴令y ′＝1﹣2e x ＝﹣1， 解得x ＝0，∴切点为（0，﹣2），该切点到直线y ＝2﹣x 的距离d =|0−2−2|1+1=2√2就是所要求的两曲线间的最小距离，故（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为d 2＝8． 故选：A ．二、填空题（每小题6分，共36分） 9．【解答】解：根据题意，K 2=50×(13×20−10×7)223×27×20×30≈4.844，又由5.024＞4.844＞3.841，而P （K 2≥3.841）≈0.05，P （K 2≥5.024）≈0.025， 故选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%， 故答案为：5% 10．【解答】解：cos(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin(α−π)⋅cos(2π−α)=sinαcosα•（﹣sin α）•cos α ＝﹣sin 2α． 故答案为：﹣sin 2α．11．【解答】解：∵直线l ：y ＝kx +2是曲线y ＝f （x ）在x ＝3处的切线， ∴f （3）＝1，又点（3，1）在直线l 上， ∴3k +2＝1，从而k =−13， ∴f ′（3）＝k =−13， ∵g （x ）＝xf （x ），∴g ′（x ）＝f （x ）+xf ′（x ）则g ′（3）＝f （3）+3f ′（3）＝1+3×（−13）＝0 故答案为：0．12．【解答】解：sin α+cos α=13，可得2sin αcos α=−89， 则sin 2（π4−α）＝（√22cosα−√22sinα）2=12（1﹣2sin αcos α）=12(1+89)=1718． 故答案为：1718．13．【解答】解：由题意，f ′（x ）＝x 2+2x ＝x （x +2），故f （x ）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数， 在（﹣2，0）上是减函数， 作其图象如右图， 令13x 3+x 2−23=−23得，x ＝0或x ＝﹣3； 则结合图象可知， {−3≤a ＜0a +5＞0； 解得，a ∈[﹣3，0）； 故答案为：[﹣3，0）．14．【解答】解：依题意知，点P 在椭圆内部且与原点不重合．画出图形，由椭圆方程得c ＝1，由数形结合可得，当P 点在线段F 1F 2上除原点时，（|PF 1|+|PF 2|）min ＝2， 当P 在椭圆上时，（|PF 1|+|PF 2|）max ＝2a ＝2√2， 故|PF 1|+|PF 2|的取值范围为[2，2√2）． 因为（x 0，y 0）在椭圆x 22+y 2=1的内部，则直线x⋅x 02+y ⋅y 0=1上的点（x ，y ）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个． 答案：[2，2√2），0．三、解答题15．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=12ac sin B=a23sinA，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C=2 3；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C=1 6，∴cos B cos C﹣sin B sin C=16−23=−12，∴cos（B+C）=−1 2，∴cos A=1 2，∵0＜A＜π，∴A=π3，∵asinA =bsinB=csinC=2R=332=2√3，∴sin B sin C=b2R•c2R=(2√3)2=bc12=23，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c=√33∴周长a+b+c＝3+√33．16．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意知，样本中的回访客户的总数是250+100+200+700+350＝1600，满意的客户人数250×0.5+100×0.3+200×0.6+700×0.3+350×0.2＝555，故所求概率为5551600=111320．……（4分）（Ⅱ）ξ＝0，1，2．设事件A为“从I型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，事件B为“从V型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A、B为独立事件．根据题意，P（A）估计为0.5，P（B）估计为0.2．则P(ξ=0)==(1−P(A))(1−P(B))=0.5×0.8=0.4，P(ξ=1)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)(1−P(B))+(1−P(A))P(B)=0.5×0.8+0.5×0.2＝0.5，P（ξ＝2）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.2＝0.1．∴ξ的分布列为ξ012P0.40.50.1ξ的期望E（ξ）＝0×0.4+1×0.5+2×0.1＝0.7．……（11分）（Ⅲ）用“η1＝1”，“η2＝1”，“η3＝1”，“η4＝1”，“η5＝1”分别表示I，II，III，IV，V 型号汽车让客户满意，“η1＝0”，“η2＝0”，“η3＝0”，“η4＝0”，“η5＝0”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户不满意．∴方差Dη1，Dη2，Dη3，Dη4，Dη5的大小关系为：Dη1＞Dη3＞Dη2＝Dη4＞Dη5．……（13分）17．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=1+a x−lnx (x+a)2，因为函数f（x）在x＝1处的切线与直线y=12x平行，所以f′（1）=1+a(1+a)2=12，解得：a＝1；当a＝1时，函数f（x）在x＝1处的切线是y=12x−12，与直线y=12x平行，符合题意；所以a ＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）g （x ）＝lnx ﹣mx ，g ′（x ）=1x −m ，m ≤0时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，+∞）递增，不合题意，m ＞0时，令g ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜1m ，令g ′（x ）＜0，解得：x ＞1m ，故g （x ）在（0，1m ）递增，在（1m ，+∞）递减， 若函数g （x ）在区间[1e ，e 2]上有两个零点， 则{ 1e ＜1m ＜e2f(1e )≤0f(e 2)≤0f(1m )＞0解得：m ∈[2e 2，1e ）； （Ⅲ）证明：f （x ）=lnx x+1，f ′（x ）=1+1x −lnx (x+1)2，令g （x ）＝1+1x −lnx ， g ′（x ）=−12−1x ＜0，则函数g （x ）在（0，+∞）上单调递减，g （1）＝2＞0，g （e 2）=1e 2−1＜0， 所以存在唯一的x 0∈（1，e 2），当x ∈（0，x 0）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（x 0，+∞）时，f ′（x ）＜0，所以函数f （x ）的单调递增区间是（0，x 0），单调递减区间是（x 0，+∞）， 其中x 0∈（1，e 2），所以函数f （x ）有极大值．函数f （x ）的极大值是f （x 0）=lnx 0x 0+1，由f ′（x 0）＝0，得1+1x 0−lnx 0＝0， 所以f （x 0）=lnx 0x 0+1=1+1x 0x 0+1=1x 0， 因为x 0∈（1，e 2），所以1x 0＜1，即f （x 0）＜1，所以f （x ）的极大值小于1．18．【解答】解（Ⅰ）：抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点M （4，y M ）到其准线的距离为5，可得4+p 2=5，解得p ＝2．故抛物线C 的标准方程为y 2＝4x ．（Ⅱ）：设直线l 的方程为x ＝my +2，联立方程，{y 2=4x x =my +2.消元得，y 2﹣4my ﹣8＝0，△＝16m 2+32＞0恒成立．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由韦达定理可得，y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣8；设Q （0，t ），k AQ =y 1−t x 1，直线AQ 的方程为y =y 1−t x 1x +t ， 令x ＝﹣2，解得y =(2+x 1)t−2y 1x 1， ∴N(−2，(2+x 1)t−2y 1x 1)．k BN =y 2−(2+x 1)t−2y 1x 1x 2+2=x 1y 2−(2+x 1)t−2y 1x 1x 2+2x 1=(my 1+2)y 2−(2+x 1)t+2y 1x 1x 2+2x 1=my 1y 2+2(y 1+y 2)−(2+x 1)t y 12y 2216+2x 2=−8m+8m−(2+x 1)t 4+2x 1=−t 2， 又k PQ =−t 2，显然PQ 与AN 不在同一条直线上，故直线PQ 与AN 平行．19．【解答】解：（I ）A +A ＝{1，4，6，8，10，12，14}，则|A +A |＝7； B +B ＝{23，1，53，3，43，2，103，83，4，163}，则|B +B |＝10．…．（4分） （II ）要证A 具有性质T ，只需证明，若n 1＜n 2≤n 3＜n 4，则a n 1+a n 4≠a n 2+a n 3． 假设上式结论不成立，即若n 1＜n 2≤n 3＜n 4，则a n 1+a n 4=a n 2+a n 3． 即q n 1+q n 4=q n 2+q n 3，即q n 4−n 1=q n 2−n 1+q n 3−n 1−1，(23)n 4−n 1=(23)n 2−n 1+(23)n 3−n 1−1，2n 4−n 1=2n 2−n 1×3n 4−n 2+2n 3−n 1×3n 4−n 3−3n 4−n 1．因为上式的右边为3的倍数，而上式的左边为2的倍数，所以上式不成立． 故假设不成立，原命题成立．…．（10分）（III ）由题意，集合A 具有性质T ，等价于任意两个元素之和均不相同． 如，对于任意的a ＜b ≤c ＜d ，有a +d ≠b +c ，等价于d ﹣c ≠b ﹣a ，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同． 令A *＝{x ﹣y |x ∈A ，y ∈A ，x ＞y }，所以A 具有性质T ⇔|A +A|=n(n+1)2⇔|A ∗|=n(n−1)2．因为集合A ，B 均有性质T ，且n ＝m ， 所以|A +B |＝n 2﹣|A *∩B *|≥n 2−n(n−1)2=n(n+1)2，当且仅当A ＝B 时等号成立． 所以|A +B |的最小值为n(n+1)2．…．（14分）。
2019-2020年高三上学期开学数学试卷(理科)含解析(IV)
2019-2020年高三上学期开学数学试卷（理科）含解析(IV)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，0＜x＜1}，则A∩B等于（）A．{y|＜y＜1}B．{y|0＜y} C．∅D．{y|0＜y＜1}2．设函数f（x）=ax2+b（a≠0），若∫f（x）dx=2f（x0），x0＞0，则x0=（）A．2 B．C．1 D．3．偶函数y=f（x）在区间（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列不等式成立的是（）A．f（﹣1）＞f（）B．f（）＞f（﹣）C．f（4）＞f（3）D．f（﹣）＞f（）4．已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．5．设f（x）=log a x（a＞0，a≠1）．若f（x1x2…x2017）=6，则f（x13）+f（x23）+…+f（x20173）=（）A．64 B．4 C．18 D．26．log0.72，log0.70.8，0.9﹣2的大小顺序是（）A．log0.72＜log0.70.8＜0.9﹣2B．log0.70.8＜log0.72＜0.9﹣2C．0.9﹣2＜log0.72＜log0.70.8 D．log0.72＜0.9﹣2＜log0.70.87．函数y=的导数是（）A．﹣ B．C．﹣D．﹣8．设常数a＞0，函数f（x）=为奇函数，则a的值为（）A．1 B．﹣2 C．4 D．39．已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）+f（﹣x）=0，f（x﹣1）=f（x+1），当x ∈[0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log12）的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．10．已知函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=2，若f（3）=2，则fA．2 B．﹣2 C．4 D．1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设p：x＜﹣3或x＞1，q：x＜﹣2或x＞1，则￢p是￢q的条件．12．log a＜1（a＞0且a≠1），a的取值范围为．13．若2a=5b=10，则等于．14．曲线和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．15．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，若直线y=kx+k（k ＞0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．设f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（x+）．求：（1）f（﹣8）；（2）f（x）在R上的解析式．17．已知函数f（x）=log2（﹣x2﹣2x+8）．（1）求f（x）的定义域和值域；（2）写出函数f（x）的单调区间．18．设命题p：∀x∈[1，2]，﹣lnx﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x02+2ax0﹣8﹣6a≤0，如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．19．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？20．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）求函数f（x）的极值；（3）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．21．设函数f（x）=x2+aln（x+1）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+ln有两个极值点x1，x2且x1＜x2，求证F（x2）＞．2016-2017学年山东省济宁市曲阜师大附中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，0＜x＜1}，则A∩B等于（）A．{y|＜y＜1}B．{y|0＜y} C．∅D．{y|0＜y＜1}【考点】交集及其运算．【分析】由已知分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={y|y=log2x，x＞1}={y|y＞0}，B={y|y=（）x，0＜x＜1}={y|}，∴A∩B={y|}．故选：A．2．设函数f（x）=ax2+b（a≠0），若∫f（x）dx=2f（x0），x0＞0，则x0=（）A．2 B．C．1 D．【考点】定积分．【分析】求出f（x）的定积分，由∫f（x）dx=2f（x0），x0＞0求解x0的值．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+b（a≠0），由∫f（x）dx=2f（x0），得=，2f（x0）=2，由，解得．故选：D．3．偶函数y=f（x）在区间（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列不等式成立的是（）A．f（﹣1）＞f（）B．f（）＞f（﹣）C．f（4）＞f（3）D．f（﹣）＞f（）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】f（x）是偶函数，则f（﹣x）=f（x），在区间（﹣∞，﹣1]上是增函数，利用单调性比较不等式大小．【解答】解：由题意：f（x）是偶函数，则f（﹣x）=f（x），在区间（﹣∞，﹣1]上是增函数．对于A：f（）=f（），∵，∴f（﹣1）＜f（）；对于B：f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x），f（）=f（﹣）；对于C：f（4）=f（﹣4），f（3）=f（﹣3），∵﹣4＜﹣3，∴f（4）＞f（3）；对于D：f（）=f（﹣），∵∴f（﹣）＞f（）．故选：D．4．已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；对数函数的图象与性质．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选B5．设f（x）=log a x（a＞0，a≠1）．若f（x1x2…x2017）=6，则f（x13）+f（x23）+…+f（x20173）=（）A．64 B．4 C．18 D．2【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数的性质求出答案即可．【解答】解：若f（x1x2…x2017）=6，则f（x13）+f（x23）+…+f（x20173）=3f（x1x2…x2017）=18，故选：C．6．log0.72，log0.70.8，0.9﹣2的大小顺序是（）A．log0.72＜log0.70.8＜0.9﹣2B．log0.70.8＜log0.72＜0.9﹣2C．0.9﹣2＜log0.72＜log0.70.8 D．log0.72＜0.9﹣2＜log0.70.8【考点】对数值大小的比较．【分析】由已知利用对数函数和指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵log0.72＜log0.71=0，0=log0.71＜log0.70.8＜log0.70.7=1，0.9﹣2＞0.90=1，∴log0.72＜log0.70.8＜0.9﹣2．故选：A．7．函数y=的导数是（）A．﹣ B．C．﹣D．﹣【考点】导数的运算．【分析】直接由导数的运算法则和基本初等函数的求导公式计算．【解答】解：由y=，所以=．故选C．8．设常数a＞0，函数f（x）=为奇函数，则a的值为（）A．1 B．﹣2 C．4 D．3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】函数f（x）=为奇函数，可得f（﹣x）+f（x）=0，代入化简，即可求出a 的值．【解答】解：∵函数f（x）=为奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=0，即+=0，化简得（1+a•2x）（2x﹣a）+（1﹣a2x）（2x+a）=0；故2•2x（1﹣a2）=0，解得，a=1或a=﹣1；∵a＞0，∴a=1．故选：A．9．已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）+f（﹣x）=0，f（x﹣1）=f（x+1），当x∈[0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log12）的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）+f（﹣x）=0、f（x﹣1）=f（x+1），判断出函数是奇函数、函数是周期函数并可求出周期，再由奇函数的性质、周期函数的性质、对数的运算律，将f（log12）进行转化到已知区间求值即可．【解答】解：由f（x）+f（﹣x）=0得，f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）是定义在R上的奇函数，由f（x﹣1）=f（x+1）得，f（x）=f（x+2），所以f（x）是定义在R上以2为周期的周期函数，则f（log12）=f（﹣）=﹣f（），因为2＜＜3，所以0＜﹣2＜1，因为当x∈[0，1）时，f（x）=3x﹣1，所以f（﹣2）==12×﹣1=，所以f（log12）=﹣f（）=﹣f（﹣2）=﹣，故选：C．10．已知函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=2，若f（3）=2，则fA．2 B．﹣2 C．4 D．1【考点】函数的值．【分析】由于f（x）•f（x+2）=2，以x+2代x得f（x+2）•f（x+4）=2，所以f（x）=f（x+4）．函数f（x）是周期函数，4是一个周期．在f（x）•f（x+2）=2中，令x=1得出f（1），f（3）关系式，求解即可【解答】解：∵函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=2，∴以x+2代x得f（x+2）•f（x+4）=2，∴f（x）=f（x+4），函数f（x）是周期函数，4是一个周期．f=f（1），又在f（x）•f（x+2）=2中，令x=1得出f（1）•f（3）=2，∵f（3）=2∴f（1）=1，∴f=1．故答案为：1．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设p：x＜﹣3或x＞1，q：x＜﹣2或x＞1，则￢p是￢q的必要不充分条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出￢p，￢q，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵p：x＜﹣3或x＞1；q：x＜﹣2或x＞1，∴￢p：﹣3≤x≤1，￢q：﹣2≤x≤1，根据充分必要条件的定义可判断：￢p是￢q的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．12．log a＜1（a＞0且a≠1），a的取值范围为a＞1，或0＜a＜．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】当a＞1 时，∵＜0，故不等式成立，当0＜a＜1 时，不等式即＜log a a，依据单调性解a的取值范围．【解答】解：∵＜1，当a＞1 时，∵＜0，故不等式成立．当0＜a＜1 时，不等式即＜log a a，∴0＜a＜，综上，a的取值范围为a＞1，或0＜a＜，故答案为：a＞1，或0＜a＜．13．若2a=5b=10，则等于1．【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算性质和对数的定义即可求出．【解答】解：2a=5b=10，∴a=log210，b=log510，∴=lg2，=lg5，∴=+=lg2+lg5=1，故答案为：1．14．曲线和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．【考点】直线的点斜式方程．【分析】本题可以先求出交点坐标，再求解交点处的两个方程，然后分别解出它们与x轴的交点坐标，计算即可．【解答】解：联立方程解得曲线和y=x2在它们的交点坐标是（1，1），则易得两条切线方程分别是y=﹣x+2和y=2x﹣1，y=0时，x=2，x=，于是三角形三顶点坐标分别为（1，1）；（2，0）；（，0），s=×，即它们与x轴所围成的三角形的面积是．15．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，若直线y=kx+k（k＞0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是[，）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】画图可知f（x）就是周期为1的函数，且在[0，1）上是一直线y=x的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线y=kx+k过点（3，1）与直线y=kx+k 过点（2，1）之间即可．【解答】解：∵函数，∴函数的图象如下图所示：∵y=kx+k=k（x+1），故函数图象一定过（﹣1，0）点若f（x）=kx+k有三个不同的根，则y=kx+k与y=f（x）的图象有三个交点当y=kx+k过（2，1）点时，k=，当y=kx+k过（3，1）点时，k=，故f（x）=kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是[，）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．设f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（x+）．求：（1）f（﹣8）；（2）f（x）在R上的解析式．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据解析式先求出f（8），由奇函数的性质求出f（﹣8）；（2）设x＜0则﹣x＞0，代入解析式化简得f（﹣x），由奇函数的性质求出f（x），利用分段函数表示出f（x）．【解答】解：（1）∵当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（x+），∴f（8）=8×（8+）=80，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣8）=﹣f（8）=﹣80；（2）设x＜0，则﹣x＞0，∵当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（x+），∴f（﹣x）=﹣x（﹣x﹣）=x（x+），∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x（x+），综上得，．17．已知函数f（x）=log2（﹣x2﹣2x+8）．（1）求f（x）的定义域和值域；（2）写出函数f（x）的单调区间．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）由﹣x2﹣2x+8＞0，能求出f（x）的定义域，设μ（x）=﹣x2﹣2x+8=﹣（x+1）2+9，由此能求出f（x）的值域．（2）由y=log2x是增函数，而μ（x）在[﹣1，2）上递减，在（﹣4，﹣1]上递增，能求出f（x）的单调区间．【解答】解：（1）∵f（x）=log2（﹣x2﹣2x+8），∴﹣x2﹣2x+8＞0，解得﹣4＜x＜2，∴f（x）的定义域为（﹣4，2）．设μ（x）=﹣x2﹣2x+8=﹣（x+1）2+9，∵﹣4＜x＜2，∴μ（x）∈（0，9]，∴f（x）的值域为（﹣∞，log29]．（2）∵y=log2x是增函数，而μ（x）在[﹣1，2）上递减，在（﹣4，﹣1]上递增，∴f（x）的单调递减区间为[﹣1，2），单调递增区间为（﹣4，﹣1]．18．设命题p：∀x∈[1，2]，﹣lnx﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x02+2ax0﹣8﹣6a≤0，如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：，令，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出；命题q：x2+2ax﹣8﹣6a≤0解集非空，△=≥0，基础a的范围．命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，p真q假或p假q真．即可得出．【解答】解：命题p：，令，=，∴f min（x）=f（1）=，∴．命题q：x2+2ax﹣8﹣6a≤0解集非空，△=4a2+24a+32≥0，∴a≤﹣4，或a≥﹣2．命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，p真q假或p假q真．（1）当p真q假，﹣4＜a＜﹣2；（2）当p假q真，综合，a的取值范围．19．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．【解答】解：（Ⅰ）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个则（Ⅱ）当m=640米时，y=f（x）=640×（+）+1024f′（x）=640×（﹣+）=640×∵f′（26）=0且x＞26时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，0＜x＜26时，f′（x）＜0，f（x）单调递减∴f（x）最小=f（x）极小=f（26）=8704∴需新建桥墩个．20．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）求函数f（x）的极值；（3）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，依题意f′（1）=0，从而可求得a的值；（2）f′（x）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；（3）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．【解答】解：（1）由，得f′（x）=1﹣，∴f′（1）=1﹣，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，得，即a=e；（2）由f′（x）=1﹣，知若a≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）在实数集内为增函数，无极值；若a＞0，由f′（x）=1﹣=0，得x=lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增；（3）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解．∴k的最大值为1．21．设函数f（x）=x2+aln（x+1）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+ln有两个极值点x1，x2且x1＜x2，求证F（x2）＞．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），=，令g（x）=2x2+2x+a，则△=4﹣8a．由根的判断式进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）由F′（x）=f′（x），知函数F（x）有两个极值点时，0＜a＜，0＜＜1，由此推导出x2=∈（﹣，0），且g（x2）=0，即a=﹣（2+2x2），F（x2）=﹣（）ln（1+x2）+ln，构造函数h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x）+ln，能够证明F（x2）＞．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），=，（x＞﹣1），令g（x）=2x2+2x+a，则△=4﹣8a．①当△＜0，即a时，g（x）＞0，从而f′（x）＞0，故函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；②当△=0，即a=时，g（x）≥0，此时f′（x）≥0，此时f′（x）在f′（x）=0的左右两侧不变号，故函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增；③当△＞0，即a＜时，g（x）=0的两个根为，，当，即a≤0时，x1≤﹣1，当0＜a＜时，x1＞﹣1．故当a≤0时，函数f（x）在（﹣1，）单调递减，在（，+∞）单调递增；当0＜a＜时，函数f（x）在（﹣1，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（Ⅱ）∵F（x）=f（x）+ln，∴F′（x）=f′（x），∴当函数F（x）有两个极值点时0＜a＜，0＜＜1，故此时x2=∈（﹣，0），且g（x2）=0，即a=﹣（2+2x2），∴F（x2）=+aln（1+x2）+ln=﹣（）ln（1+x2）+ln，设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x）+ln，其中﹣，则h′（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x），由于﹣时，h′（x）＞0，故函数h（x）在（﹣，0）上单调递增，故h（x）．h（﹣）=．∴F（x2）=h（x2）＞．2016年12月24日。
2019-2020最新高三数学上学期开学考试试题理1
——教学资料参考参考范本——2019-2020最新高三数学上学期开学考试试题理1______年______月______日____________________部门数学（理）试卷（考试时间：120分钟 总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集，集合，则U R=22{|0log 2},{|2}A x x B y y x =<<==+U A C B =A ．B ．C ．D ．()1,2(1,4)[2,4)()0,22、已知，则的大小关系为0.40.420.4, 1.2,log 0.4a b c ===,,a b cA ．B ．C ．D ．c a b <<c b a <<a b c <<a c b << 3、121x dx -=⎰A ．B ．C ．D ．131223344、命题，则是200:,1p x N x ∃∈<p ⌝ A ． B ． C ． D ．200,1x N x ∃∈≥200,1x N x ∃∈>2,1x N x ∀∈>2,1x N x ∀∈≥5、若“”是“”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是( )01x <<()[(2)]0x a x a --+≤aA ．B ．C ．D ．[1,0]-(1,0)-(,0][1,)-∞+∞(,1)(0,)-∞-+∞6、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为x e x f x 2)(12+=+11(,())22f --A ．B ．2C ．D ．112147、函数，若矩形ABCD 的顶点A 、D 在轴上，B 、C 在函数 的图象上，且，则点D 的坐标为()210210x x f x x x x +≥⎧=⎨++<⎩x ()y f x =()0,1A A ． B ． C ． D ．()2,0-(12,0)--(1,0)-1(,0)2-8、已知二次函数，若，则在()2f x ax bx c =++()()()067f f f =<()f xA ．上是增函数B ．上是增函数 (),0-∞()0,+∞C ．上是增函数D ．上是增函数(),3-∞()3,+∞9、已知定义在R 上的函数的导函数，若的极大值为，极小值为，则函数的图象有可能是()f x ()f x '()f x ()1f (1)f -)1(x y -=()f x'10、已知，命题若,则；命题若，则，在命题（1）；（2）；（3）；（4）中，证明题的个数为,x y R ∈:p x y >y x >:q 0x y +>22x y >p q ∨()()p q ⌝∧⌝()p q ∧⌝p q ∧A ．1B ．2C ．3D ．411、定义在R 上的函数可导，且图像连续，当时的零点的个数为( ))(x f )(x f 0≠x 11()()0,()()f x x f x g x f x x --'+>=-则函数A ．1B ．2C ．3D ．412、设，其中，若对任意的非零实数，存在唯一的非零实数使得成立，则k 的取值范围为()222220(4)(2)0k x a k x f x x a a x a x ⎧+-≥⎪=⎨+++-<⎪⎩a R ∈1x 212()x x x ≠)()(12x f x f =A ．B ．C ．D ．[]10,4--[]30,9--[]4,0-[]9,4--二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2019-2020年高三上学期开学考试数学含答案
一、填空题：
1.集合共有个真子集.
2.若复数是纯虚数，则实数的值为．
3.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为．
（第3题图）（第4题图）
4.函数是常数，的部分图象如图所示，则.
5.已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为_________．
6.从这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为．
7.设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为．
8.如图，在中，，，，则=___________.
（第8题图）
9.曲线在它们的交点处的两条切线互相垂直，则的值是 .
10.设
，
若则的范围_________________.
11. 直线与圆相交于M,N两点，若，
则k的取值范围是________．
12. 方程的解的个数为．
13.若，且，则的最小值是____________.
14.无穷数列中，是首项为10，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列（其中），并且对于任意的，都有成立.记数列的前项和为,则使得的的取值集合为____________.
二、解答题:
15.在锐角中，已知内角、、所对的边分别为、、，向量，
，且向量共线.
（1）求角的大小；（2）如果，求的面积的最大值.
图1 图2
C C D
16.已知四边形ABCD 是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE ⊥AB （如图1）。
现将△ADE 沿DE 折起，使得AE ⊥EB （如图2），连结AC ，AB ，设M 是AB 的中点。
（1）求证：BC ⊥平面AEC ；
（2）判断直线EM 是否平行于平面ACD ，并说明理由．
17.已知点点依次满足,.
（1）求点的轨迹；
（2）过点作直线与以为焦点的椭圆交于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程．
18.围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为(单位：元)．
(1)将表示为的函数：
(2)试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
19. 已知数列{a n}中,a2=1,前n项和为S n,且.
(1)求a1；
(2)证明数列{a n}为等差数列,并写出其通项公式；
(3)设,试问是否存在正整数p,q(其中1<p<q),使b1,b p,b q成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.
20.已知函数，，，其中，且.
⑴当时，求函数的最大值；
⑵求函数的单调区间；
⑶设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.
盐城中学xx－xx学年高二年级期末考试
数学(理科)答题纸xx、1
一、填空题(14×5＝70分)
二、解答题（共90分）。