2019-2020年高三开学摸底考试数学文含答案
上海高中2024年高三第一次模拟考试(数学试题含解析)
上海高中2024年高三第一次模拟考试（数学试题含解析）请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 2．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 3．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 4．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>5．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-36．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：参加用户比 40% 40% 10% 10%脱贫率 95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）A ．2728倍B ．4735倍C ．4835倍D ．75倍 7．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)28．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．12 11．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x =12．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）．A ．122B ．112C ．102D ．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省2025届高三上学期入学摸底考试 数学试题[含答案]
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四川省2025届新高三秋季入学摸底考试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．的虚部为（ ）96i2i i -+A ．B ．C ．D ．7-6-7i-6i-2．已知等差数列满足，则（）{}n a 399,3a a ==12a =A ．B ．1C ．0D ．2-1-3，则（ ）()ππsin 02αα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭tan α=A B C ．D ．4．函数的极值点个数为（ ）()240e 10xx x x f x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，，，A ．0B ．1C ．2D ．35．已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分X 布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（ ）()295,N σ()95110P X ≤≤=A ．B ．C ．D ．53251611323166．定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空U 真子集且，那么称子集族构成集合()*12,,,N ,k A A A k ∈ 12kA A AU = {}12,,,k A A A的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（U k 2{N |650}I x x x =∈-+<I ）A ．3B ．4C ．14D ．167．已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台外接球的球心到4π,25π35π上底面的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．2782743783748．已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的O 2:2(0)C x py p =>F l F 直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则1l C ,M N M C 2l ,x y ,P Q （ ）PQ ON ⋅=A ．B ．C ．D ．1212-1414-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知函数，则（ ）()()π3sin ,3cos232x x f x g x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭A ．的最小正周期为()f x 4πB ．与有相同的最小值()f x ()g x C ．直线为图象的一条对称轴πx =()f x D ．将的图象向左平移个单位长度后得到的图像()f x π3()g x 10．已知函数为的导函数，则（ ）()()313f x x x f x =-'，()f x A ．()00f '=B ．在上单调递增()f x ()1,∞+C ．的极小值为()f x 23D ．方程有3个不等的实根()12f x =11．已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在1111ABCD A B C D -1,CC BC ,E F G 下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（ ）1111D C B A H 1AD 1GE AA =A ．三棱锥的体积为定值H DEF -B ．动点GC ．不存在点，使得平面G EG ⊥DEFD ．四面体DEFG 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知向量，若，则.(7,12),(6,)a b x =-= a b ⊥ x =13．已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为.3,5,7,,9x 14．已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点O 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>12,F F 在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐M 2F 2OF 1MF 2F 1MF C 近线交于点，且，则的离心率为.N 1F M MN =C 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知中，角所对的边分别为.ABC A B C ，，a b c ，，2sin cos sin B A b A =(1)求的值；A (2)若的面积为，周长为6，求的值.ABC 3a 16．如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为S ABCD -ABCD SA ⊥ABCD M N ，，棱的中点SB SC ，(1)证明：平面;//MN SAD (2)若，求直线与平面所成角的正弦值SA AD =SD ADNM17．已知椭圆，点在上.2222:1(0)x y C a b a b +=>>F (C (1)求的方程；C (2)已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，O A ():0l y kx m k =+≠l C FA l ⊥求的值.OA18．已知函数.()ln f x x x a=-+(1)若，求曲线在处的切线方程；0a =y =f (x )x =1(2)若时，求的取值范围；x >0()0f x <a (3)若，证明：当时，.01a <≤1x ≥()()1e 1x a f x x x -+≤-+19．已知首项为1的数列满足.{}n a 221144n n n n a a a a ++=++(1)若，在所有中随机抽取2个数列，记满足的数列的个数20a >{}()14na n ≤≤40a <{}n a 为，求的分布列及数学期望；X X EX (2)若数列满足：若存在，则存在且，使得{}n a 5m a ≤-{}(1,2,,12k m m ∈-≥ )*m ∈N .4k m a a -=（i ）若，证明：数列是等差数列，并求数列的前项和；20a >{}n a {}n a n n S （ii ）在所有满足条件的数列中，求使得成立的的最小值.{}n a 20250s a +=s1．A【分析】根据复数的运算化简得，再根据虚部的定义即可求解．67i --【详解】，则所求虚部为.2296i 9i 6i 2i 2i 69i 2i 67i i i --+=+=--+=--7-故选：A ．2．C【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.【详解】由可得：，399,3a a ==93391936a a d --===--所以，1293330a a d =+=-=故选：C 3．D【分析】利用诱导公式对进行化简，再利用进行()ππsin 02αα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭sin tan cos ααα=求解即可.，()ππsin 02αα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，cos 0αα+=因此可得，sin tan cos ααα==故选：D.4．B【分析】对分段函数中的每一段的函数分别探究其单调性情况，再进行综合考虑即得.【详解】当时，，0x ≥22()4(2)4f x x x x =-=--此时函数在上单调递减，在上单调递增，故此时函数有一个极小值点为2；[0,2][2,)+∞当时，，因恒成立，故函数在上单调递减，0x <()e 1xf x =-+()e <0x f x '=-()f x (,0)-∞结合函数在上单调递减，可知0不是函数的极值点.[0,2]综上，函数的极值点只有1个.()f x故选：B.5．B【分析】解法一，求出，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，3(80)16P X <=求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案.【详解】解法一：依题意，得，15003(80)800016P X <==故；()()135951108095(95)(80)21616P X P X P X P X ≤≤=≤≤=<-<=-=解法二：数学成绩在80分至95分的有人，400015002500-=由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人，故.()2500595110800016P X ≤≤==故选：B.6．B【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定义对集合进行划分，即可得到所有划I I 分的个数.【详解】依题意，，{}{}{}2650152,3,4I x x x x x =∈-+<=∈<<=N N ∣的2划分为，共3个，I {}{}{}{2,3},{4},{2,4},{3},{3,4},{2}的3划分为，共1个，I {}{}{}{}2,3,4故集合的所有划分的个数为4.I 故选：B.7．C【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为，12,r r 则，则，2212π4π,π25πr r ==122,5r r ==设圆台的母线长为，l 则，解得，()12π35πr r l +=5l =则圆台的高，4h ==记外接球球心到上底面的距离为，x 则，解得.()2222245x x +=-+378=x 故选：C.8．C【分析】通过联立方程组的方法求得的坐标，然后根据向量数量积运算求得.,P Q PQ ON ⋅ 【详解】依题意，抛物线，即，则，设2:2C x y =212y x=1,0,2y x F ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，221212,,,22x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭直线，联立得，则.11:2l y kx =+22,1,2x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩2210x kx --=121x x =-而直线，即，()21211:2x l y x x x -=-2112x y x x =-令，则，即，令，则，故，0y =12x x =1,02x P ⎛⎫ ⎪⎝⎭0x =212x y =-210,2x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭则，故.211,22x x PQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 2212121244x x x x PQ ON ⋅=--= 故选：C【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.9．ABD【分析】对于A ：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B ：根据解析式可得与的最小值；对于C ：代入求，结合最值与对称性分析判断；对于D ：根()f x ()g x ()πf 据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.【详解】因为，()()π3sin ,3cos232x x f x g x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭对于选项A ：的最小正周期，故A 正确；()f x 2π4π12T ==对于选项B ：与的最小值均为，故B 正确；()f x ()g x 3-对于选项C ：因为，()5π3π3sin362f ==≠±可知直线不为图象的对称轴，故C 错误；πx =()f x 对于选项D ：将的图象向左平移个单位长度后，()f x π3得到，故D 正确.()ππ3sin 3cos 3222x x f x g x ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：ABD.10．BD【分析】利用导数和导数的几何意义分别判断即可.【详解】因为，所以，，A 说法错误；()313f x x x =-()21f x x '=-()01f '=-令解得或，令解得，()0f x '>1x <-1x >()0f x '<11x -<<所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，B 说法正确；()f x (),1∞--()1,1-()1,+∞的极大值点为，极大值，极小值点为，极小值()f x 1x =-()21132f -=>1x =，C 说法错误；()2103f =-<因为当时，，当时，，x →-∞()0f x <x →+∞()0f x >所以方程有3个不等的实根，分别在，和中，D 说法正确；()12f x =(),1∞--()1,1-()1,+∞故选：BD 11．ACD【分析】对于A ，由题意可证平面，因此点到平面的距离等于点到1AD ∥DEF H DEF A平面的距离，其为定值，据此判断A ；对于B ，根据题意求出正方体边长及的长，DEF 1C G 由此可知点的运动轨迹；对于C ，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，假设G DEF 点的坐标，求出的方向向量，假设平面，则平面的法向量和的G EG EG ⊥DEF DEF EG 方向向量共线，进而求出点的坐标，再判断点是否满足B 中的轨迹即可；对于D ，利G G 用空间直角坐标系求出点到平面的距离，求出距离的最大值即可.G DEF 【详解】对于A ，如图，连接、，1BC 1AD依题意，，而平面平面，故平面，EF ∥1BC ∥1AD 1AD ⊄,DEF EF ⊂DEF 1AD ∥DEF 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，H DEF A DEF 所以点到平面的距离为定值，故三棱维的体积为定值，故正确；H DEF H DEF -A 对于B ，因为正方体的体积为8，故，则，而，1111ABCD A B C D -12AA =2GE =11EC =故1C G ==故动点的轨迹为以内的部分，即四分之一圆弧，G 1C 1111D C B A故所求轨迹长度为，故B 错误；12π4⨯=以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标1C 11111,,C D C B C C ,,x y z 系，则，故，()()()2,0,2,0,0,1,0,1,2D E F ()()2,0,1,0,1,1DE EF =--=设为平面的法向量，则故n =(x,y,z )DEF 0,0,n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 0,20,y z x z +=⎧⎨--=⎩令，故为平面的一个法向量，2z =()1,2,2n =--DEF 设，故，()()0000,,00,0G x y x y ≥≥()00,,1EG x y =-若平面，则，EG ⊥DEF //n EG 则，解得，但，001122x y -==--001,12x y ==22003x y +≠所以不存在点点，使得平面，故C 正确；G EG ⊥DEF 对于D ，因为为等腰三角形，故，DEF 113222DEFS EF =⋅== 而点到平面的距离，G DEF 0000222233EG n x y xy d n ⋅++++=== 令，则，0x θ=0π,0,2yθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则，d==1tan 2ϕ=则四面体体积的最大值为D 正确.DEFG 1332⨯故选：ACD.12．72【分析】利用向量数量积的坐标公式计算即得.【详解】由可得，解得，.a b ⊥ 42120a b x ⋅=-= 72x =故答案为：.7213．5.5【分析】由平均数的定义算出，再由百分位数的定义即可求解.6x =【详解】依题意，，解得，357965x ++++=6x =将数据从小到大排列可得：，3,5,6,7,9又，则分位数为.50.42⨯=40%565.52+=故答案为：.5.514【分析】由题意可得，由此求出，，即可求出点坐标，代21F M NF ⊥1F M 1230MF F ∠=N 入，即可得出答案.by xa =【详解】不妨设点在第一象限，连接，则，M 2F M 212,F M NF F M c ⊥=故，，1F M =1230MF F ∠=设，因为，所以为的中点，()00,N x y 1F M MN =M 1NF，故.，112NF F M ==0y =0sin30,cos302x c c ==⋅-=将代入中，故()2N c by x a =b a =c e a ===.15．(1)π3(2)2【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求出的值；A （2）根据三角形的面积公式、余弦定理即可求出的值.a【详解】（1，2sin cos sin sin A B A B A =因为，则sin 0,sin 0A B ≠≠sin A A =tan A =因为，故.()0,πA ∈π3A =（2）由题意.1sin 2ABC S bc A === 4bc =由余弦定理得，222222cos ()3(6)12a b c bc A b c bc a =+-=+-=--解得.2a =16．(1)证明见解析；(2).12【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可；//MN BC （2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量,,AB AD AS SD 与平面的法向量,再通过空间角的向量求解即可.ADNM 【详解】（1）分别为的中点M N 、,SB SC 为正方形//MN BC ABCD ∴ 平面平面//BC AD ∴//MN AD MN ∴ ⊄,SAD AD ⊂SAD平面.//MN ∴SAD （2）由题知平面SA ⊥,ABCD AB AD ⊥建立如图所示的空间直角坚标系，，则2SA AD ==设,()()()()()0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,2,0S A D B C ,,,()()1,0,1,1,1,1M N ∴()0,2,2SD ∴=- ()0,2,0AD =()1,0,1AM = 设平面的一个法向量为ADNM n =(x,y,z )则,令则,200n AD y n AM x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1,x =0,1y z ==-()1,0,1n ∴=-设直线与平面所或的角为,SD ADNM θ，1sin cos ,2n SD n SD n SDθ⋅∴====⋅所以直线与平面所成角的正弦值为.SD ADNM 1217．(1)2212x y +=【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及的关系式列出方程组，解之即得；,,a b c （2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由推得，又由，Δ0=2221m k =+FA l ⊥写出直线的方程，与直线联立，求得点坐标，计算，将前式代入化简即得.FA l A 2||OA 【详解】（1）设，依题意，F (c,0)22222131,24c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得222,1,a b ==故的方程为.C 2212x y +=（2）如图，依题意，联立消去，可得，F (1,0)22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222214220k x kmx m +++-=依题意，需使，整理得（*）.()()2222Δ16421220k m k m =-+-=2221m k =+因为，则直线的斜率为，则其方程为，FA l ⊥FA 1k -()11y x k =--联立解得即1(1),y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩221,1,1km x kk m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩221,11km k m A k k -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭故，()()()()()2222222222222222211(1)()11||1111k m km k m k m k m mOA k k k k ++-++++++====++++将（*）代入得，故22221222,11m k k k ++==++OA =18．(1)10y +=(2)(),1-∞(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率即可得解；（2）利用导数求出函数的单调性，得到极值，转化为极大值小于0即可得解；（3）转化为证明，构造关于的函数，利用导数求最小值，再由()1e ln 10x a x x a ---+-≥a 导数求关于的函数的最小值，由不等式的传递性可得证.x【详解】（1）当时，，0a =()ln f x x x=-则，所以，1()1f x x '=-(1)0k f '==又，所以切线方程为.(1)1f =-10y +=（2），()111x f x x x -=-='当时，，单调递增；01x <<()0f x '>()f x 当时，，单调递减，1x >()0f x '<()f x 所以，又，()(1)1f x f a ≤=-+()0f x <所以，即，10a -+<1a <所以的取值范围为.a (),1∞-（3）由可得，()()1e 1x a f x x x -+≤-+()1e ln 10x a x x a ---+-≥即证当，时，，01a <≤1x ≥()1e ln 10x a x x a ---+-≥令，()()1e ln 1x a g a x x a-=--+-则，()()()()1e 111e 1x a x a g a x x --=-⋅--=--'由可知，，故在上单调递减，1x ≥()0g a '<()g a (]0,1所以，()()1(1)1e ln x g a g x x-≥=--令，则，()1()1eln x h x x x-=--()11111()e 1e e x x x h x x x x x ---=+--=-'当时，，，所以，1x ≥1e 1x x -≥11x ≤()0h x '≥故在上单调递增，所以，ℎ(x )[)1,+∞()(1)0h x h ≥=所以，即，()(1)()0g a g h x ≥=≥()1e ln 10x a x x a ---+-≥所以成立.()()1e 1x a f x x x -+≤-+【点睛】关键点点睛：本题第三问中，要证明不等式成立，适当转化为证明成立，首先关键在于构造视为关于的函数()1e ln 10x a x x a ---+-≥a ，由此利用导数求出，其次关键()()1e ln 1x a g a x x a-=--+-()()1(1)1e ln x g a g x x-≥=--在于构造关于的函数，利用导数求其最小值.x ()1()1eln x h x x x-=--19．(1)分布列见解析，1(2)（i ）证明见解析，（ii ）152022n S n n=-【分析】（1）根据递推关系化简可得，或写出数列的前四项，利用14n n a a +=+1,n n a a +=-古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i ）假设数列中存在最小的整数，使得，根据所给条件{}n a ()3i i ≥1i i a a -=-可推出存在，使得，矛盾，即可证明；{}1,2,,1k i ∈- 41ki a a =+≤-（ii ）由题意可确定必为数列中的项，构成新数列1,5,9,,2017,2021,2025------ {}n a ，确定其通项公式及，探求与的关系得解.{}n b 5072025b =-s a n b 【详解】（1）依题意，，故，221144n n n n a a a a ++=++22114444a n n n a a a a ++-+=++即，故，或()()22122n n a a +-=+14n n a a +=+1,n n a a +=-因为，故；121,0a a =>25a =则，:1,5,9,13;:1,5,9,9;:1,5,5,5;:1,5,5,1n n n n a a a a ----故的可能取值为，X 0,1,2故，()()()21122222222444C C C C 1210,1,2C 6C 3C 6P X P X P X =========故的分布列为X X012P162316故.1210121636EX =⨯+⨯+⨯=（2）（i ）证明：由（1）可知，当时，或；2n ≥1n n a a -=-124,5nn a a a -=+=假设此时数列中存在最小的整数，使得，{}n a ()3i i ≥1i i a a -=-则单调递增，即均为正数，且，所以；121,,,i a a a - 125i a a -≥=15i i a a -=-≤-则存在，使得，此时与均为正数矛盾，{}1,2,,1k i ∈- 41ki a a =+≤-121,,,i a a a - 所以不存在整数，使得，故.()3i i ≥1i i a a -=-14nn a a -=+所以数列是首项为1､公差为4的等差数列，{}n a 则.()21422n n n S n n n-=+⋅=-（ii ）解：由，可得，20250s a +=2025s a =-由题设条件可得必为数列中的项；1,5,9,,2017,2021,2025------ {}n a 记该数列为，有；{}n b ()431507n b n n =-+≤≤不妨令，则或，n jb a =143j j a a n +=-=-1447j j a a n +=+=-+均不为141;n b n +=--此时或或或，均不为.243j a n +=-+41n +47n -411n -+141s b n +=--上述情况中，当时，，1243,41j j a n a n ++=-=+32141j j n a a n b +++=-=--=结合，则有.11a =31n n a b -=由可知，使得成立的的最小值为.5072025b =-20250s a +=s 350711520⨯-=【点睛】关键点点睛：第一问数列与概率结合，关键在于得出数列前四项的所有可能，即可按照概率问题求解，第二问的关键在于对于新定义数列，理解并会利用一般的抽象方法推理，反证，探求数列中项的变换规律，能力要求非常高，属于困难题目.。
甘肃静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)
甘肃静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x |-1＜x ＜1}，B ={x |x 2-x -2＜0}，则（∁R A ）∩B =（ ）A. (−1,0]B. [−1,2)C. [1,2)D. (1,2]2. 已知命题p ：“∀a ＞0，有e a ≥1成立”，则￢p 为（ ）A. ∃a ≤0，有e a ≤1成立B. ∃a ≤0，有e a ≥1成立C. ∃a >0，有e a <1成立D. ∃a >0，有e a ≤1成立3. 已知函数f(x)={3x (x ≤0)log 2x(x>0)，则f[f(14)]的值是（ ） A. 9 B. 19 C. −19 D. −94. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A. p ∧qB. ￢p ∧￢qC. ￢p ∧qD. p ∧￢q5. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）A. y =x 3B. y =cosxC. y =1x 2D. y =ln|x| 6. 函数f （x ）=-1x +log 2x 的一个零点落在下列哪个区间（ ）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)7. 已知a =log 23，b =log 123，c =3−12，则（ ） A. c >b >aB. c >a >bC. a >b >cD. a >c >b 8. 曲线y =x x−2在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A. y =x −3B. y =−2x +1C. y =2x −4D. y =−2x −3 9. 函数y =x 33x −1的图象大致是（ ）A. B.C. D.10. 若函数y =x 2-3x +4的定义域为[0，m ]，值域为[74，4]，则m 的取值范围是（ ） A. (0,4] B. [32,4] C. [32,3]D. [32,+∞)11.若函数f(x)=−12(x−2)2+alnx在（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. .[−1,+∞)B. (−∞,−1]C. (1,+∞)D. .(−∞,1]12.定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2；当-1≤x＜3时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=（）A. 336B. 337C. 338D. 339二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=ln（x2-2x-8）的单调递减区间是______．14.已知a＞0且a≠1，函数y=log a(2x−3)+√2的图象恒过定点P，若P在幂函数f（x）的图象上，则f（8）=______．15.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，若f（x-2）＞f（3），则x的取值范围是______．16.（理科）若函数f（x）满足f(x)+1=1f(x+1)，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-m有两个零点，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）求值(√1212018−5)0+2−2⋅(214)−12−log43⋅log3√8；（2）函数f（x）=x2-m是定义在[-3-m，m2-m]上的奇函数，求f（m）的值．18.设f（x）=x3-x．（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设x∈[-1，1]，求f（x）最大值．19.已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2-a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．20.已知函数f（x）=2x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）-f（x+2）．（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最大值和最小值．21.已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的取值范围．22.已知函数f（x）=2a ln x-x2+1．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜1}，B={x|x2-x-2＜0}={x|-1＜x＜2}，∴∁R A={x|x≤-1或x≥1}，（∁R A）∩B={x|1≤x＜2}=[1，2）．故选：C．先求出集合A，B，从而求出∁R A，进而能求出（∁R A）∩B．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：∃a＞0，有e a＜1成立，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】B【解析】解：=f（log2）=f（log22-2）=f（-2）=3-2=，故选：B．因为，所以f（）=log2=log22-2=-2≤0，f（-2）=3-2=，故本题得解．本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．4.【答案】D【解析】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D．由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．5.【答案】D【解析】解：A．函数y=x3为奇函数，在（0，+∞）上单调递增，所以A不合适．B．函数y=cosx为偶数，但在（0，+∞）上不单调，所以B不合适．C．函数y=为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，所以C不合适．D．函数y=ln|x|为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，所以D合适．故选：D．分别判断每个函数的奇偶性和单调性．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见基本函数的奇偶性和单调性．6.【答案】B【解析】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选：B．根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果．本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．7.【答案】D【解析】解：由对数函数y=log2x的图象与性质，得log23＞log22=1，∴a＞1；由对数函数y=x的图象与性质，得3＜1=0，∴b＜0；又∵c==，∴0＜c＜1；∴a＞c＞b．故选：D．利用对数函数的图象与性质，得a＞1，b＜0；利用幂的运算法则，得出0＜c＜1；即可判定a、b、c的大小．本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，解题时应利用对数函数的图象与性质以及1与0等数值比较大小，是基础题．8.【答案】B【解析】解：对于函数y=，∵y′=，∴y在点（1，-1）处的导数为-2，故y=在点（1，-1）处的切线斜率为-2，故y=在点（1，-1）处的切线方程为y+1=-2（x-1），即y=-2x+1，故选：B．先求得y在点（1，-1）处的导数为-2，利用点斜式求得函数y在点（1，-1）处的切线方程．本题主要考查函数在某一点的导数的意义，求曲线在某一点切线的方程，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→-∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x-1，此时y→0，排除D，故选：C．根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法．10.【答案】C【解析】解：y=x2-3x+4=x2-3x++=（x-）2+，定义域为〔0，m〕那么在x=0时函数值最大，即y最大=4，又值域为〔，4〕，根据二次函数的对称性，≤m≤3，故选：C．先配方利用定义域值域，分析确定m的范围．本题考查函数的定义域值域的求法，是一道基础题．11.【答案】B【解析】解：函数，x∈（1，+∞），可得f′（x）=x-2+，函数在（1，+∞）上是减函数，可得-x+2+＜0，在x∈（1，+∞）上恒成立，即a＜x2-2x在x∈（1，+∞）上恒成立，函数g（x）=x2-2x的对称轴为：x=1，在x∈（1，+∞）上是增函数，函数的最小值为：g（1）=1．可得a≤1．实数a的取值范围是：（-∞，1]．故选：B．求出函数的导函数，利用导函数的符号，得到a的不等式，然后求解实数a的取值范围．本题考查函数的导数的综合应用，函数恒成立，考查计算能力以及转化思想的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2当-1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（-3）=-1，f（4）=f（-2）=0，f（5）=f（-1）=-1，f（6）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1，∵f（x+6）=f（x），∴f（x）的周期为6，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=336+f（1）+f（2）+f（3）=338．故选：C．根据函数的周期性，将函数值进行转化即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性，进行转化是解决本题的关键．13.【答案】（-∞，-2）【解析】解：对于函数f（x）=ln（x2-2x-8），有x2-2x-8＞0，求得x＜-2，或x＞4，故函数的定义域为{x|x＜-2，或x＞4}，本题即求y=x2-2x-8在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得y=x2-2x-8在定义域内的减区间为（-∞，-2），故答案为：（-∞，-2）．由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质可得，本题即求y=x2-2x-8在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于基础题．14.【答案】2√2【解析】解：∵log a1=0，∴2x-3=1，即x=2时，y=，∴点P的坐标是P（2，）．由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=，f（8）=故答案为：2．由log a1=0，知2x-3=1，即x=2时，y=，由此能求出点P的坐标．用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，然后求解函数值．本题考查对数函数的性质和特殊点，解题时要认真审题，熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式．仔细解答，避免出错，15.【答案】（-1，5）【解析】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，∴不等式f（x-2）＞f（3）等价为f（|x-2|）＞f（3），则|x-2|＜3，即-3＜x-2＜3，则-1＜x＜5，即不等式的解集为（-1，5）．故答案为（-1，5）．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．]16.【答案】(0，12【解析】解：①x∈[0，1]时，f（x）=x，g（x）=x-mx-m，要使g（x）有零点，则必须有g（0）g （1）＜0，即m（2m-1）＜0，∴0＜m＜，若m=0，g（x）=x，有一个零点0；若m=，g（x）=，有一个零点1，∴m∈[0，]②x∈（-1，0）时，x+1∈（0，1），f（x+1）=x+1，f（x）=，g（x）=-mx-m，g（0）=-mg'（x）=m=0，g（x）单调减，g（0）=0，此时无零点若m＞0，则g′（x）＜0恒成立，x∈（-1，0）时，x→-1，g（x）→+∞，x→0，g（x）=-m ＜0∴此时在（-1，0 ）上必然有一个零点若m＜0，令g′（x）=0，考虑到x∈（-1，0 ），此时没有零点，综上所述：0＜m故答案为：确定分段函数的解析式，分别研究它们的零点，即可得到结论．本题考查分段函数的解析式，考查函数的零点，解题的关键是确定分段函数的解析式．17.【答案】解：（1）根据题意，(√1212018−5)0+2−2⋅(214)−12−log43⋅log3√8=1+14×23−1 2log23×32log32=1+16−34=512，（2）根据题意，函数f（x）=x2-m是定义在[-3-m，m2-m]上的奇函数，则有m2-m=3+m，解可得：m=3或m=-1．当m=3，时f（x）=x-1在x=0无意义，舍当m=-1时f（x）=x3符合，则f（x）=x-1，故f（m）=f（-1）=（-1）3=-1．【解析】（1）根据题意，由指数幂的运算性质分析，计算即可得答案；（2）根据题意，由奇函数的性质可得m2-m=3+m，解可得m的值，验证函数f（x）是否为奇函数可得m 的值，即可得函数的解析式，将m 的值代入解析式分析可得答案．本题考查幂函数的性质以及应用，（2）中关键是求出m 的值，属于基础题． 18.【答案】解：（1）f （x ）=x 3-x ，f ′（x ）=3x 2-1，切线斜率f ′（1）=2，∴切线方程y =2（x -1），即2x -y -2=0；（2）令f ′（x ）=3x 2-1=0，x =±√33，列表：故x =-√33，f （x ）max =2√39． 【解析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．（2）求出导函数，得到极值点，判断导函数的符号，利用函数的单调性求解函数的极值与端点值，即可得到函数的最大值．本题考查了导数的综合应用及函数的最值问题，属于中档题． 19.【答案】解：（1）∵命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a ≥0”，令f （x ）=x 2-a ，根据题意，只要x ∈[1，2]时，f （x ）min ≥0即可， 也就是1-a ≥0，解得a ≤1，∴实数a 的取值范围是（-∞，1]；（2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，a ≤1，命题q 为真命题时，△=4a 2-4（2-a ）≥0，解得a ≤-2或a ≥1． ∵命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题， ∴命题p 与命题q 必然一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，{−2<a <1a≤1⇒−2＜a ＜1， 当命题p 为假，命题q 为真时，{a ≤−2或a ≥1a>1⇒a ＞1， 综上：a ＞1或-2＜a ＜1． 【解析】（1）由于命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a≥0”，令f （x ）=x 2-a ，只要x ∈[1，2]时，f （x ）min ≥0即可；（2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，a≤1，命题q 为真命题时，△=4a 2-4（2-a ）≥0，解得a 的取值范围．由于命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．本题考查了简易逻辑的有关知识、函数的性质、方程的解、不等式组等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵f（x）=2x，∴g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2．（3'）因为f（x）的定义域是[0，3]，所以{0≤x+2≤30≤2x≤3，解之得0≤x≤1．于是g（x）的定义域为{x|0≤x≤1}．（或写成[0，1]，否则扣1分）（6'）（2）设g（x）=（2x）2-4×2x=（2x-2）2-4．（8'）∵x∈[0，1]，即2x∈[1，2]，∴当2x=2即x=1时，g（x）取得最小值-4；（10'）当2x=1即x=0时，g（x）取得最大值-3．（12'）【解析】（1）由f（x）=2x，知g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2．因为f（x）的定义域是[0，3]，所以，由此能求出g（x）的定义域．（2）设g（x）=（2x）2-4×2x=（2x-2）2-4．由2x∈[1，2]，能求出函数g（x）的最大值和最小值．本题考查指数函数的综合题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．21.【答案】解：（1）f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），∴2x2+bx+c＜0的解集是（0，5），∴0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，由韦达定理知，−b2=5，c2=0，解得b=-10，c=0，∴f（x）=2x2-10x；（2）f（x）+t≤2恒成立等价于2x2-10x+t-2≤0恒成立，∴2x2-10x+t-2的最大值小于或等于0．设g（x）=2x2-10x+t-2≤0，则由二次函数的图象可知，g（x）=2x2-10x+t-2在区间[-1，1]为减函数，∴g（x）max=g（-1）=10+t≤0，解得t≤-10．【解析】（1）由题意可得，0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，然后利用根与系数的关系列式求得b，c的最值，则f（x）的解析式可求；（2）把问题转化为2x2-10x+t-2≤0在x∈[-1，1]上恒成立，即g（x）=2x2-10x+t-2在[-1，1]上的最大值小于等于0恒成立，由二次函数的图象可知，g（x）=2x2-10x+t-2在区间[-1，1]为减函数，求其最大值后利用最大值小于等于0列关于t的不等式求解．本题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了利用函数单调性求二次函数的最值，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2ln x-x2+1，f′(x)=2x −2x=−2(x2−1)x，x＞0．令f′(x)=−2(x2−1)x＜0，解得：x＞1或x＜-1，因为x＞0，所以x＞1，所以函数f（x）的单调递减区间是（1，+∞）．（Ⅱ）f′(x)=2ax −2x=−2(x2−a)x，x＞0．令f'（x）=0，由a＞0，解得x1=√a，x2=−√a（舍去）．当√a≤1，即0＜a≤1时，在区间[1，+∞）上f'（x）≤0，函数f（x）是减函数．所以函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；当√a＞综上所述：当0＜a≤1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；当a＞1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f(√a)=alna−a+1．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三(下)开学数学试卷
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三（下）开学数学试卷试题数：20，总分：1601.（填空题，5分）设全集U=R ，若A={-2，-1，0，1，2}，B={x|y=log 2（1-x ）}，则A∩（∁U B ）=___2.（填空题，5分）已知命题：p ：（x-3）（x+1）＞0，命题q ：x 2-2x+1-m 2＞0（m ＞0），若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的范围是___ ．3.（填空题，5分）已知f （x ）=tanx ，则 f′(4π3) 等于___ ．4.（填空题，5分）方程 x 2m−1 + y 22−m =1表示双曲线，则m 的取值范围是___ ．5.（填空题，5分）已知a∈[-1，1]，不等式x 2+（a-4）x+4-2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为___ ．6.（填空题，5分）设M是椭圆 x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）上一点，F 1，F 2为焦点，如果∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，则椭圆的离心率___ ．7.（填空题，5分）已知x ，y∈R 且满足x 2+2xy+4y 2=3，则xy 的取值范围是___ ．8.（填空题，5分）若直线y=x+b 与曲线y=3- √4x −x 2 有公共点，则b 的取值范围是___ ． 9.（填空题，5分）给出以下四个命题：① 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；② 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③ 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 其中真命题的是___ ．10.（填空题，5分）化简 1+cos20°2sin20° -sin10°（ 1tan5° -tan5°）的值为___ ．11.（填空题，5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1，0），B （1，0）均在圆C ：（x-3）2+（y-4）2=r 2外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP⊥BP ，则半径r 的值为___ ． 12.（填空题，5分）如图，扇形的圆心角为90°，其所在圆的半径为R ，弦AB 将扇形分成两个部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，所得旋转体的体积V 1和V 2之比为 ___ ．13.（填空题，5分）如图，已知AC 与BD 交于点E ，AB || CD ， AC =3√10 ，AB=2CD=6，则当tanA=3时， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．14.（填空题，5分）已知方程|ln|x-1||=m•（x-1）2，有且仅有四个解：x 1，x 2，x 3，x 4，则m•（x 1+x 2+x 3+x 4）=___ ．15.（问答题，14分）在四棱锥S-ABCD 中，SA⊥面ABCD ，底面ABCD 是菱形． （1）求证：面SAC⊥面SBD ；（2）若点M 是棱AD 的中点，点N 在棱SA 上，且 AN =12NS ，求证：SC || 面BMN ．16.（问答题，14分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 为AC 的中点，已知2sin 2A+B2- √3 sinC=1，a= √3 ，b=4． （1）求角C 的大小和BD 的长；（2）设∠ACB 的角平分线交BD 于E ，求△CED 的面积．17.（问答题，14分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB=4米，AD=3米，设AN的长为x米（x＞3）．（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）求当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小面积．18.（问答题，16分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y-1=0对称，圆心C在第二象限，半径为√2．（1）求圆C的方程；（2）是否存在直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．19.（问答题，16分）如图，椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的顶点分别为A1，A2，B1，B2，S四边形A1B2A2B1=4，直线y=x+ √2与圆O：x2+y2=b2相切．（1）求椭圆C的离心率；（2）若P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交直线B2P 于点E，问直线EF是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．20.（问答题，16分）已知函数f（x）=ax- 1-lnx，g（x）=ax-a（a∈R）．x，e)（e为自然对数的底数）上的零点个数；（1）若a=0，求函数f（x）在(1e（2）若方程f（x）=g（x）恰有一个实根，求a的取值集合；（3）若方程f（x）=g（x）有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），求证：2＜x1+x2＜3e a-1-1．2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析试题数：20，总分：1601.（填空题，5分）设全集U=R，若A={-2，-1，0，1，2}，B={x|y=log2（1-x）}，则A∩（∁U B）=___【正确答案】：[1]{1，2}【解析】：可解出B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】：解：B={x|x＜1}；∴∁U B={x|x≥1}；∴A∩（∁U B）={1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】：考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集和补集的运算．2.（填空题，5分）已知命题：p：（x-3）（x+1）＞0，命题q：x2-2x+1-m2＞0（m＞0），若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的范围是___ ．【正确答案】：[1]（0，2）【解析】：先求出命题p和命题q的取值范围，它们的取值范围分别用集合A，B表示，由题意有A⫋B，由此列出方程组可求出实数m的范围．【解答】：解：由命题p得x＜-1或x＞3，由命题q得x＜-m+1或x＞m+1，它们的取值范围分别用集合A，B表示，由题意有A⫋B，∴ {−m+1≥−1，解得m≤2，又m＞0，m+1≤3∴0＜m≤2．当m=2，命题p和命题q一样，∴m不能等于m≠2．故答案为：（0，2）．【点评】：本题考查充要条件的性质和应用，解题时要认真审题，解题的关键是借助集合问题进行求解．3.（填空题，5分）已知f（x）=tanx，则f′(4π3)等于___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：根据f（x）=tanx，先求得f′（x），可得f′（4π3）的值．【解答】：解：由f（x）=tanx，可得f′（x）= 1cos2x ，故f′(4π3) = 1cos24π3=4故答案为：4．【点评】：本题主要考查求正切函数的导数，求三角函数的值，属于基础题．4.（填空题，5分）方程x2m−1 + y22−m=1表示双曲线，则m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，1）∪（2，+∞）【解析】：根据双曲线方程的特点进行求解即可．【解答】：解：若方程表示双曲线则（m-1）（2-m）＜0，得（m-1）（m-2）＞0，得m＞2或m＜1，故答案为：（-∞，1）∪（2，+∞）【点评】：本题主要考查双曲线方程的判断，结合双曲线的定义和方程特点是解决本题的关键．比较基础．5.（填空题，5分）已知a∈[-1，1]，不等式x2+（a-4）x+4-2a＞0恒成立，则x的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-∞，1）∪（3，+∞）【解析】：把原不等式看成是关于a的不等式（x-2）a+x2-4x+4，在a∈[-1，1]时恒成立，只要满足在a∈[-1，1]时直线在a轴上方即可．【解答】：解：设关于a的函数y=f（a）=x2+（a-4）x+4-2a=（x-2）a+x2-4x+4，对任意的a∈[-1，1]，当a=-1时，y=f（a）=f（-1）=x2+（-1-4）x+4+2＞0，即f（-1）=x2-5x+6＞0，解得x＜2或x＞3；当a=1时，y=f（1）=x2+（1-4）x+4-2＞0，即f（1）=x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2；综上，x的取值范围是{x|x＜1或x＞3}；故答案为：（-∞，1）∪（3，+∞）．【点评】：本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简洁，是易错题．6.（填空题，5分）设M是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为焦点，如果∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，则椭圆的离心率___ ．【正确答案】：[1] √63【解析】：在三角形MF1F2中，运用正弦定理，结合椭圆的定义和离心率公式，化简求值，即可得到．【解答】：解：由正弦定理得2csin90°=MF1sin15°=MF2sin75°=MF1+MF2sin15°+sin75°=2asin15°+sin75°，所以e=ca =1sin15°+sin75°=√2sin60°=√63．故答案为：√63．【点评】：本题考查椭圆的定义和性质，同时考查正弦定理的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．7.（填空题，5分）已知x，y∈R且满足x2+2xy+4y2=3，则xy的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][- 32，12]【解析】：由已知可得（x+y）2+（√3y）2=3，然后利用换元法x+y= √3cosα，√3 y= √3sinα，代入后结合三角函数的性质可求．【解答】：解由x2+2xy+4y2=3可得（x+y）2+（√3y）2=3，设x+y= √3cosα，√3 y= √3sinα，所以y=sinα，x= √3cosα−sinα，所以xy= √3sinαcosα−sin2α = √32sin2α−1−cos2α2，= √32sin2α+12cos2α−12=sin（2 α+π6）- 12∈[−32，12]所以xy的范围[- 32，12]故答案为：[- 32，12]【点评】：本题主要考查了三角函数的性质在求解范围问题中的应用，解题的关键是换元法的应用．8.（填空题，5分）若直线y=x+b与曲线y=3- √4x−x2有公共点，则b的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][1- 2√2，3]【解析】：曲线即（x-2）2+（y-3）2=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得 b=1+ 2√2 b=1- 2√2．结合图象可得b的范围．【解答】：解：如图所示：曲线y=3- √4x−x2，即y-3=- √4x−x2，平方可得（x-2）2+（y-3）2=4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得|2−3+b|√2=2，∴b=1+ 2√2，或b=1- 2√2．结合图象可得1- 2√2≤b≤3，故答案为：[1- 2√2，3]．【点评】：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．9.（填空题，5分）给出以下四个命题：① 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；② 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③ 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 其中真命题的是___ ． 【正确答案】：[1] ① ② ④【解析】：根据直线与平面平行的性质定理可推断出 ① 正确；根据直线与平面垂直度判定定理推断出 ② 正确；如果这两条直线都在一个平面内，且此平面与直线平行的平面平行，则直线也可相交，推断出 ③ 不正确；利用直线与平面垂直度判定定理可知 ④ 正确【解答】：解：根据直线与平面平行的性质定理可知 ① 正确； 根据直线与平面垂直度判定定理可知 ② 正确；如果这两条直线都在一个平面内，且此平面与直线平行的平面平行，则直线也可相交，故 ③ 不正确；利用直线与平面垂直度判定定理可知 ④ 正确 故答案为： ① ② ④【点评】：本题主要考查了直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定和平面与平面垂直的判定．考查了基础知识的综合运用．10.（填空题，5分）化简 1+cos20°2sin20° -sin10°（ 1tan5° -tan5°）的值为___ ． 【正确答案】：[1] √32【解析】：利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简表达式，求解即可．【解答】：解：原式= 2cos 210°4sin10°cos10°−sin10°(cos5°sin5°−sin5°cos5°)=cos10°2sin10°−sin10°2cos10°sin10°= cos10°−2sin (30°−10°)2sin10°=cos10°−2(12cos10°−√32sin10°)2sin10°=√3sin10°2sin10°=√32， 故答案为： √32 ．【点评】：本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力． 11.（填空题，5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1，0），B （1，0）均在圆C ：（x-3）2+（y-4）2=r 2外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP⊥BP ，则半径r 的值为___ ． 【正确答案】：[1]4【解析】：根据题意，分析可得点P 在以AB 为直径为圆上，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标分析可得圆M 的方程，进而分析可得若圆C 上存在唯一一点P 满足AP⊥BP ，则圆C 与圆M 只有一个交点，即两圆外切，由圆与圆的位置关系可得r+1=|MC|= √32+42 =5，计算可得r的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，点A（-1，0），B（1，0），若点P满足AP⊥BP，则点P在以AB为直径为圆上，设AB的中点为M，则M的坐标为（0，0），|AB|=2，则圆M的方程为x2+y2=1，若圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP，则圆C与圆M只有一个交点，即两圆外切，则有r+1=|MC|= √32+42 =5，解可得r=4，故答案为：4．【点评】：本题考查圆与圆的位置关系，注意将原问题转化为两圆的位置关系的问题．12.（填空题，5分）如图，扇形的圆心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之比为 ___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：所得旋转体分别为圆锥和半球中去掉一个圆锥，分别计算所得旋转体的体积即可得出答案．【解答】：解：△AOB绕AO旋转后所得几何体为圆锥，圆锥的底面半径和高均为R，故V1= 13×πR2×R= πR33，弓形部分绕AO旋转后所得几何体为半球去掉一个圆锥，半球的半径为R，圆锥为△AOB绕AO旋转后所得几何体，故V2= 12×4πR33- πR33= πR33，∴ V1V2=1．故答案为：1．【点评】：本题考查了旋转体的体积计算，属于基础题．13.（填空题，5分）如图，已知AC 与BD 交于点E ，AB || CD ， AC =3√10 ，AB=2CD=6，则当tanA=3时， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：利用三角形相似可得AE=2 √10 ，将 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用向量数量积可得．【解答】：解：易知△ABE∽△CDE ，∴AE ：EC=AB ：CD=6：3=2：1， 又AE+EC=AC=3 √10 ，所以AE=2 √10 ，∴ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ • CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（- 12 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=- 12 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + 12 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=- 12 | AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |•| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAD+ 12×36． ∵tanA=3∴cosA= 1secA =√1+tan 2A=√1+9= √1010 ， ∴ BE⃗⃗⃗⃗⃗ • CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =- 12×2 √10 ×6× √1010+18=12． 故答案为：12【点评】：本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．14.（填空题，5分）已知方程|ln|x-1||=m•（x-1）2，有且仅有四个解：x 1，x 2，x 3，x 4，则m•（x 1+x 2+x 3+x 4）=___ ． 【正确答案】：[1] 4e【解析】：作出两侧函数的图象，根据对称性可知x 1+x 2+x 3+x 4=4，根据图象有4个交点可知两图象相切，利用导数的几何意义求出m 即可计算答案．【解答】：解：令f （x ）=|ln|x-1||，g （x ）=m （x-1）2， 则f （x ）与g （x ）的图象均关于直线x=1对称， ∴x 1+x 2+x 3+x 4=4，作出f （x ）与g （x ）的函数图象如图所示： ∵方程|ln|x-2||=m （x-2）2有且仅有四个解， ∴y=m （x-1）2与y=ln （x-1）相切，设切点为（x 0，y 0），则 {y 0=m(x 0−1)2y 0=ln (x 0−1)2m (x 0−1)=1x 0−1，解得x 0= √e +1 ，m= 1e ．∴m（x1+x2+x3+x4）= 4．e．故答案为：4e【点评】：本题考查了方程的根与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．15.（问答题，14分）在四棱锥S-ABCD中，SA⊥面ABCD，底面ABCD是菱形．（1）求证：面SAC⊥面SBD；NS，求证：SC || 面BMN．（2）若点M是棱AD的中点，点N在棱SA上，且AN=12【正确答案】：【解析】：（1）推导出SA⊥BD，AC⊥BD，由此能证明BD⊥面SAC，从而面SAC⊥面SBD．（2）推导出AD || BC，NE || SC，由此能证明SC || 面BMN．【解答】：证明：（1）因为SA⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，所以SA⊥BD，………………………………（2分）又因为底面ABCD是菱形，得AC⊥BD，由SA，AC都在面SAC内，且SA∩AC=A，所以BD⊥面SAC，………………………………（5分）由BD⊂面SAC，得面SAC⊥面SBD；…………（7分）（2）由底面ABCD是菱形，得AD || BC所以AEEC =AMBC=AMAD=12………………（9分）又因为AN=12NS，所以AEEC =ANNS=12，所以NE || SC…，………………………（11分）因为NE⊂面BMN，SC⊄面BMN，所以SC || 面BMN．………………………………（14分）【点评】：本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.（问答题，14分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，点D为AC的中点，已知2sin2A+B2- √3 sinC=1，a= √3，b=4．（1）求角C的大小和BD的长；（2）设∠ACB的角平分线交BD于E，求△CED的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanC= √33，结合范围C∈（0，π），可求C 的值，由余弦定理可得BD 的值．（2）由（1）可知BD 2+BC 2=4=CD 2，可求∠DBC= π2 ，可得S △DBC = √32，利用三角形的面积公式可求S △BCE = √32 S △CED ，代入S △BCE +S △CED =S △BCD = √32 ，即可解得S △CED 的值．【解答】：解：（1）∵由题意可得： √3 sinC+1-2sin 2 A+B2=0， ∴ √3 sinC+cos （A+B ）=0， 又A+B=π-C ，∴ √3 sinC-cosC=0，可得tanC= √33 ，∵C∈（0，π）， ∴C= π6 ，∴在△BCD 中，由余弦定理可得：BD 2=3+4-2× √3×2×cos π6 =1， 解得：BD=1，（2）由（1）可知BD 2+BC 2=4=CD 2， ∴∠DBC= π2 ，∴S △DBC = 12 BD•BC= √32 ， ∵CE 是∠BCD 的角平分线， ∴∠BCE=∠DCE ，在△CEB 和△CED 中，S △BCE = 12BC •CE •sin∠BCE ， S △CED = 12CD •CE •sin∠DCE ， 可得： S △BCE S △CED= BE DE = √32 ，∴S △BCE = √32 S △CED ，∴代入S △BCE +S △CED =S △BCD = √32，（1+ √32）S △CED = √32， ∴S △CED = √32+√3= √3 （2- √3 ）=2 √3 -3．【点评】：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想的应用，属于中档题．17.（问答题，14分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB=4米，AD=3米，设AN的长为x米（x＞3）．（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）求当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小面积．【正确答案】：【解析】：（1）求出矩形AMPN的长与宽，计算其面积，利用面积大于54平方米，建立不等式，即可求得AN的长的范围；（2）利用换元法，再利用基本不等式，即可求得面积的最小值．【解答】：解：设AN的长为x米（x＞3）∵ABCD是矩形，∴ |DN||AN|=|DC||AM|，∴|AM|= 4xx−3∴S AMPN=|AN|•|AM|= 4x2x−3（x＞3）----------（4分）（1）由S AMPN＞54，得4x2x−3＞54，∵x＞3，∴（2x-9）（x-9）＞0∴3＜x＜92或x＞9∴AN长的取值范围是(3，92)∪(9，+∞）-----------（8分）（2）令y= 4x 2x−3，令t=x-3（t＞0）），则x=t+3----------（10分）∴y= 4(t+3)2t = 4(t+9t+6)≥48当且仅当t= 9t （t ＞0），即t=3时取等号．----------（14分） 此时AN=6，AM=8，最小面积为48平方米．----------（16分）【点评】：本题考查矩形面积的计算，考查解不等式，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，属于中档题．18.（问答题，16分）已知圆C ：x 2+y 2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y-1=0对称，圆心C 在第二象限，半径为 √2 ． （1）求圆C 的方程；（2）是否存在直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，求得圆心C （- D2 ，- E2 ）在x+y-1=0上，且半径r= 12 √D 2+E 2−12 = √2 ．联解得D 、E 的值，即可得到圆C 的标准方程；（2）按直线l 经过原点、不经过原点两种情况加以讨论，分别设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式建立关于参数k 、m 的等式，解之即可得到满足条件的直线l 方程．【解答】：解：（1）将圆C 化成标准方程，得（x+ D2 ）2+（y+ E2 ）2= 14 （D 2+E 2-12） ∴圆C 的圆心坐标为（- D2 ，- E2 ），半径r= 12 √D 2+E 2−12 ∵圆C 关于直线x+y-1=0对称，半径为 √2 ． ∴- D2 - E2 -1=0且 12 √D 2+E 2−12 = √2 ， 解之得 {D =2E =−4 或 {D =−4E =2结合圆心C 在第二象限，得C 的坐标为（-1，2），（舍去C （1，-2）） ∴圆C 的方程是（x+1）2+（y-2）2=2 （2）当直线l 过原点时，设为y=kx ，√1+k 2 = √2 ，解之得k= 2±√6 ，得直线l 方程为y=（ 2±√6 ）x ，当直线l 不过原点时，设l ：x+y-m=0√2= √2 ，解之得m=-1或3此时直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0综上所述，与圆C相切且在x轴、y轴上的截距相等的直线l方程为y=（2±√6）x或x+y+1=0或x+y-3=0．【点评】：本题给出圆C满足的条件，求圆C方程并求与圆C相切的直线l方程，着重考查了圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．19.（问答题，16分）如图，椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的顶点分别为A1，A2，B1，B2，S四边形A1B2A2B1=4，直线y=x+ √2与圆O：x2+y2=b2相切．（1）求椭圆C的离心率；（2）若P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交直线B2P于点E，问直线EF是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据直线与圆相切计算b，结合菱形面积计算a，从而可求出椭圆的离心率；（2）设AP斜率为k，用k表示出P点坐标，得出直线B2P的方程，联立方程组求出E点坐标得出直线EF的方程，从而得出结论．【解答】：解：（1）∵直线y=x+ √2与圆O：x2+y2=b2相切，∴ √2√2=b，即b=1，又S四边形A1B2A2B1 = 12ab×4=2a=4，∴a=2，∴c= √a2−b2 = √3，∴椭圆C的离心率e= ca = √32．（2）A1（-2，0），B1（0，-1），B2（0，1），直线A1B1的方程为y=- 12x-1，由题意可知直线A 1P 存在斜率且斜率不为0， 设直线A 1P 的方程为y=k （x+2），则F （0，2k ），联立方程组 {y =k (x +2)x 24+y 2=1 ，消去x 可得（4+ 1k 2 ）y 2- 4k y=0，∴y=0或y= 4k 4k 2+1 ， 把y= 4k4k 2+1 代入y=k （x+2）可得x= 2−8k 24k 2+1 ，故P （ 2−8k 24k 2+1 ， 4k4k 2+1 ），∴直线B 2P 的方程为y= 4k−1−4k 22−8k 2x+1， 联立方程组 {y =4k−1−4k 22−8k 2x +1y =−12x −1，解得 {x =−2−1k y =12k，故E （-2- 1k ， 12k ），∴直线EF 的方程为y=2k−12x+2k ， ∴直线EF 过定点（-2，1）．【点评】：本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 20.（问答题，16分）已知函数f （x ）=ax- 1x -lnx ，g （x ）=ax-a （a∈R ）． （1）若a=0，求函数f （x ）在 (1e ，e) （e 为自然对数的底数）上的零点个数； （2）若方程f （x ）=g （x ）恰有一个实根，求a 的取值集合；（3）若方程f （x ）=g （x ）有两个不同的实根x 1，x 2（x 1＜x 2），求证：2＜x 1+x 2＜3e a-1-1．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数f （x ）的导函数f'（x ），得到单调性和极值点，根据极值点的正负即可判断出函数f （x ）在 (1e ，e) 的零点个数．（2）令φ（x ）=f （x ）-g （x ），求得函数φ（x ）的导数，求得单调区间和最大值，通过最大值的符号，讨论a 的大小，即可得到a 的取值；（3）先证x 1+x 2＞2．依题设，有a= 1x 1+lnx 1= 1x 2+lnx 2，整理，构造函数g （x ）=x 2−12x-lnx ，x ＞1．通过导数判断单调性，即可得证；再证x 1+x 2＜3e a-1-1，仿（1）知，p 是h （x ）的唯一最大值点，故有 {ℎ(p )＞0x 1＜p ＜x 2 ，作函数m （x ）=lnx- 2(x−p )x+p -lnp ，通过导数判断单调性，整理，变形，即可得证．【解答】：解：（1）当a=0时，f （x ）= −1x −lnx ，x ∈(1e ，e) ， ∴f'（x ）=1x 2−1x =1−xx 2，令f'（x ）=0得，x=1，∴当x ∈(1e ，1) 时，f'（x ）＞0，函数f （x ）单调递增；当x∈（1，e ）时，f'（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，∴当x=1时，f （x ）极大值=f （1）=-1＜0，∴函数f （x ）在 (1e ，e) 上恒小于0，所以函数f （x ）在（ 1e ，e ）上无零点．（2）令φ（x ）=f （x ）-g （x ）=- 1x −lnx +a ，则φ′（x ）= 1−xx 2 ，令φ′（x ）=0，得x=1． 当x ＞1时，φ′（x ）＜0，φ（x ）在（1，+∞）上单调递减；当0＜x ＜1时，φ′（x ）＞0，φ（x ）在（0，1）上单调递增， 故φ（x ）max =φ（1）=a-1，① 当a-1=0，即a=1时，因最大值点唯一，故符合题设； ② 当a-1＜0，即a ＜1时，φ（x ）＜0恒成立，不符合题设；③ 当a-1＞0，即a ＞1时，一方面，∃e a ＞1，φ（e a ）=- 1ea ＜0；另一方面，∃e -a ＜1，φ（e -a ）≤2a -ea ＜0（易证：e x ≥ex ），于是，φ（x ）有两零点，不合题设． 综上所述，a 的取值集合为{1}． （3）证明：先证x 1+x 2＞2，依题设，有a= 1x 1 +lnx 1= 1x 2 +lnx 2，于是x 2−x 1x 2x 1 =ln x2x 1， 记 x2x 1=t ，t ＞1，则lnt= t−1tx 1，故x 1= t−1tlnt ，于是x 1+x 2=x 1（t+1）= t 2−1tlnt ，x 1+x 2-2= 2(t 2−12t−lnt)lnt，记函数g （x ）= x 2−12x-lnx ，x ＞1， 因g′（x ）=(x−1)22x 2＞0，故g （x ）在 （1，+∞）上单调递增，于是，t ＞1时，g （t ）＞g （1）=0， 又lnt ＞0，所以，x 1+x 2＞2， 再证x 1+x 2＜3e a-1-1，f （x ）=0⇔h （x ）=ax-1-xlnx=0，故x 1，x 2也是h （x ）=0的两个零点， 由h′（x ）=a-1-lnx=0，得x=e a-1（记p=e a-1）， 仿（1）知，p 是h （x ）的唯一最大值点，故有 {ℎ(p )＞0x 1＜p ＜x 2，作函数m （x ）=lnx- 2(x−p )x+p-lnp ，则m′（x ）= (x−p )2x (x+p)2 ≥0，故m （x ）单调递增，当x＞p时，m（x）＞m（p）=0；当0＜x＜p时，m（x）＜0，+x1lnp，于是，ax1-1=x1lnx1＜2x1(x1−p)x1+p整理，得（2+lnp-a）x12-（2p+ap-plnp-1）x1+p＞0，即x12-（3e a-1-1）x1+e a-1＞0，同理x22-（3e a-1-1）x2+e a-1＜0，故x22-（3e a-1-1）x2+e a-1＜x12-（3e a-1-1）x1+e a-1，即（x2+x1）（x2-x1）＜（3e a-1-1）（x2-x1），于是x1+x2＜3e a-1-1，综上，2＜x1+x2＜3e a-1-1．【点评】：本题考查函数的性质和运用，主要考查函数的零点的求法和取值范围，同时考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，运用构造函数判断单调性是解题的关键，属于中档题．。
山东省德州市2024届高三下学期开学摸底考试数学试题含答案
高三数学试题（答案在最后）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1—3页，第Ⅱ卷3—6页，共150分，测试时间120分钟注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知集合{}20,1,2,02x M N x x ⎧⎫-==∈<⎨⎬+⎩⎭Z ，则M N ⋃=（）A.{}0,1 B.{}1,0,1,2- C.(]2,2- D.()[),20,-∞-+∞ 【答案】B 【解析】【分析】先确定集合N ，再由并集定义求解.【详解】因为{}{}20221,0,12x N x x x x ⎧⎫-=∈<=∈-<<=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，所以{}1,0,1,2M N ⋃=-.故选：B2.已知复数z 满足1i 1z z -=+，则z =（）A.iB.14C.12D.1【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘法和除法法则计算出1ii 1iz +==-，进而得到i z =-，求出1z =.【详解】()11ii 1i i 1i 1i 11iz z z z z z -+=⇒-=+⇒-=+⇒=+-，故()()()2221i 1i 12i+i 2ii 1i 1i 1i 1i 2z +++=====--+-，故i z =-，故1z =.故选：D3.某中学开展高二年级“拔尖创新人才”学科素养评估活动，其中物化生､政史地､物化政三种组合人数之比为6:3:1，这三个组合中分别有10%,6%,2%的学生参与此次活动，现从这三个组合中任选一名学生，这名学生参与此次活动的概率为（）A.0.044B.0.18C.0.034D.0.08【答案】D 【解析】【分析】根据全概率公式求解.【详解】设事件A 为“这名学生参与此次活动”，事件1B 为“这名学生选择物化生组合”，事件2B 为“这名学生选择政史地组合”，事件3B 为“这名学生选择物化政组合”，则()()()1236310.6,0.3,0.1631631631P B P B P B ======++++++，()()()1230.1,0.06,0.02P A B P A B P A B ===，由全概率公式可知()()()()()()()112233P A P B P A B P B P A B P B P A B =++0.60.10.30.060.10.020.08=⨯+⨯+⨯=.故选：D.4.如图所示，某圆台型木桶（厚度不计）上下底面的面积分别为4π和π，且木桶的体积为7π，则该木桶的侧面积为（）A.6πB.9πC. D.【答案】D 【解析】【分析】由台体的体积公式求出圆台的高，作出图象求出台体的母线长，再根据体积公式求解即可.【详解】设上下底面的的半径分别为12,r r ，高为h ，所以2212π4π,ππr r ==，故122,1r r ==，因为木桶的体积为7π，所以(17π3S S h ++⋅=下上，所以(14ππ7π3h ++⋅=，解得：3h =，设圆台的母线长为l ，如下图，所以l ==所以该木桶的侧面积为122π2π2π22π122r r l +⋅+⋅⋅==.故选：D .5.在ABC 中，点D 在直线AB 上，且满足23AD BD =，则CB =（）A.2133CA CD +B.2133CA CD-+C.1233CA CD -D.1233CA CD +【答案】A 【解析】【分析】根据23AD BD = 画出ABC 及点D 的位置，再由向量的线性运算即可由,CA CD 表示出CB.【详解】因为23AD BD =，所以CB = ()11213333CA AB CA AD CA CD CA CA CD+=+=+-=+故选：A.6.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则3π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.1B.2C.32D.3【答案】A 【解析】【分析】根据函数图象求出函数解析式，再代入计算可得.【详解】由图可知()02sin 3f ϕ==3sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，又()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭关于π2x =对称，且πππ2sin 2223f ω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为πT >且0ω>，所以2ππω>，解得02ω<<，所以πππ2π3233ω-<-<，所以πππ232ω-=，解得53ω=，所以()5π2sin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以3π53ππππ2sin 2sin 2π2sin 1232366f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=+==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A7.若正实数,m n 满足338lg lg m n n m -=-，则（）A.n m < B.2m n> C.n 2m < D.n 2m>【答案】C 【解析】【分析】由作差法、对数函数单调性结合分类讨论即可得解.【详解】由题意若0n m <<，则338lg lg 0m n n m -=-<，所以2m n <，但这与0n m <<矛盾，所以不可能存在0n m <<这种情况，若0n m <=，则338lg lg 0m n n m -=-=，所以2m n =，即0m n ==，但这与0n m <=矛盾，所以不可能存在0n m <=这种情况，所以只能0n m >>，则则338lg lg 0m n n m -=->，所以2m n >，对比选项可知只有C 正确.故选：C.8.已知球O 的半径为2，三棱锥的顶点为O ，底面的三个顶点均在球O 的球面上，则该三棱锥的体积最大值为（）A.23B.3C.43D.2【答案】C 【解析】【分析】设三棱锥底面ABC 外接圆半径为r ，可得ABC 为正三角形时面积最大，三棱锥的高h =求得三棱锥的体积O ABC V -，再利用不等式求出体积的最大值.【详解】如图，设点H 为三棱锥底面ABC 外接圆的圆心，半径为r ，则棱锥的高h =，设圆H 内接三角形的任意一条弦AB ，如图，12ABC S AB d =⋅ ，其中d 是高，要使内接三角形面积最大，CH 必垂直与AB ，即CA CB =，设弦AB 对应的圆心角为θ，则2sin 2AB r θ=，cos 2d r r θ=+，因此，221sin sin 1cos sin 22222ABC S AB d r r θθθθ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222cos2cos 11cos 1922cos cos 22222416S r r r θθθθθ+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯=+-⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎢⎣'⎭⎥⎦，(]0,πθ∈，π0,22θ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，当π0,23θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即2π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0S '>，所以面积S 单调递增，当ππ,232θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即2π,π3θ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，0S '<，所以面积S 单调递减，所以当1cos22θ=，即2π3θ=时，ABC S 最大，此时π3C ∠=，因此，半径为r 的圆内接ABC 为正三角形时，ABC 面积最大，此时24ABC S r =V ，1344O ABC ABC V S h r -∴=⋅==443≤=，当且仅当2282r r =-，即283r =时等号成立.故选：C.【点睛】关键点睛：本题关键是平面几何知识：半径为r 的圆，其内接三角形ABC 面积最大是当ABC 时正三角形时.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.如图，在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,1ABCD PA =，直线PC 与平面ABCD 所成角的正切值为2，则下列说法正确的是（）A.异面直线PB 与CD 所成的角为45B.异面直线PB 与AC 所成的角为60C.直线BD 与平面PAB 所成的角为30D.点D 到平面PAC 的距离为22【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，B 选项，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角余弦公式进行求解；C 选项，利用线面角的向量求解公式进行求解；D 选项，利用点到平面的距离公式求出答案.【详解】A 选项，PA ⊥平面,1ABCD PA =，直线PC 与平面ABCD 所成角PCA ∠,1,12PA AC AB AD AC AC==∴=∴==，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0P B A C D ，则()()1,0,1,1,0,0PB CD =-=-，设直线PB 与CD 所成的角大小为β，则2cos cos ,2PB CD PB CD PB CDβ⋅=====⋅ ，故45θ=︒，A 正确；B 选项，()()1,0,1,1,1,0PB AC =-=设直线PB 与AC 所成的角大小为θ，则1cos cos ,2PB AC PB AC PB ACθ⋅====⋅ ，故60θ=︒，B 正确；C 选项，可取()0,1,0n =为平面PAB 的法向量，设直线BD 与平面PAB 所成的角大小为α，则sin cos ,2n BD n BD n BDα⋅====⋅，故直线BD 与平面PAB 所成的角为45︒，C 正确；因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ，又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故PA BD ⊥，因为AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，故可取()1,1,0BD =-为平面PAC 的法向量，故点D 到面PAC的距离2BD AD d BD⋅=== ，D 正确.故选：ABD 10.若函数()()32143f x x ax a x =++-的导函数()f x '是偶函数，则下列说法正确的是（）A.()f x 的图象关于()0,0中心对称B.()f x 有3个不同的零点C.()f x 最小值为23-D.对任意12,0x x ≥，都有()()121222f x f x x x f ''++⎛⎫'≤ ⎪⎝⎭【答案】ABD 【解析】【分析】求出函数的导函数，由()()f x f x ''-=求出a 的值，即可得到函数解析式，从而判断函数的奇偶性，即可判断A ，令()0f x =求出方程的解，即可判断B ，利用导数说明函数的单调性，即可判断C ，利用作差法判断D.【详解】因为()()32143f x x ax a x =++-，则()()224f x x ax a '=++-，又()f x '是偶函数，所以()()f x f x ''-=，即()()()222424x ax a x ax a --+-=++-，所以40ax =对任意的x 恒成立，所以40a =，解得0a =，则()3143f x x x =-，定义域为R ，且()()()33114433x x x x f x f x ⎛⎫-+=--=- ⎪⎝⎭-=，即()3143f x x x =-为奇函数，所以()f x 的图象关于()0,0中心对称，故A 正确；令()0f x =，即31403x x -=，解得10x =、2x =、3x =-，所以()f x 有3个不同的零点，故B 正确；因为()()()2422fx x x x '=-=-+，所以当2x >或<2x -时()0f x ¢>，当22x -<<时()0f x '<，即()f x 的单调递增区间为(),2-∞-，()2,+∞，单调递减区间为()2,2-，所以()f x 不存在最值，故C 错误；设任意12,0x x ≥，则()2114f x x =-'，()2224f x x =-'，则()()221212822f x f x x x ++-=''，又21212422x x x x f '++⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝''⎭'2222121212840222x x x x x x +-+⎛⎫⎛⎫=-+=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭，当且仅当12x x =时取等号，所以对任意12,0x x ≥，都有()()121222f x f x x x f ''++⎛⎫'≤⎪⎝⎭，故D 正确；故选：ABD11.已知,M N 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，焦点为F ，抛物线上一点()1,P t 到焦点F 的距离为2，下列说法正确的是（）A.2p =B.若直线MN 的方程为22y x =-，则4MN =C.若MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆的半径为32（O 为坐标原点）D.若2,MF FN M =在x 轴上方，则直线MN 的斜率为【答案】ACD 【解析】【分析】A.由抛物线上一点()1,P t 到焦点F 的距离为2，利用抛物线定义求解判断；B.由2422y xy x ⎧=⎨=-⎩求得点M ，N 的坐标求解判断；C.根据MOF △的外接圆的圆心是各边的中垂线的交点，结合与抛物线的准线相切求解判断；D.设()0NF m m =>，得到2,3MF m MN m ==，求倾斜角判断.【详解】解：抛物线上一点()1,P t 到焦点F 的距离为2，所以122p+=，解得2p =，故A 正确；则抛物线方程为24y x =，由2422y xy x ⎧=⎨=-⎩，解得33,1,22M N ⎛⎛+-+- ⎝⎝，则5MN =，故B 错误；因为MOF △的外接圆的圆心是各边的中垂线的交点，而线段OF 的中垂线方程为12x =，又与抛物线的准线相切，则外接圆的半径为13222p r =+=，故C 正确；如图所示：，设()0NF m m =>，则2,3MF m MN m ==，所以1cos 33m m θ==，则sin 3θ=，tan θ=，故D 正确；故选：ACD12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个实数0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，0x 为函数的不动点.现新定义：若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点.设函数()112e e x x f x x x a +--=++++，若()f x 在区间()2,1-上存在次不动点，则a 的取值可以是（）A.1- B.22e e 4-++C.22e e 3---- D.22e e 1----【答案】AD 【解析】【分析】由题意可得，112e e x x x x a x +--++++=-在()2,1-上有解，即()()211e e 11x x x a -+++++=-有解，然后换元构造函数，利用导数求最值即可.【详解】根据题意，若()f x 在区间()2,1-上存在次不动点，则()f x x =-在区间()2,1-上有解，即112e e x x x x a x +--++++=-，即()()211e e11x x x a -+++++=-有解，令1x t +=，(1,2)t ∈-，则21e e t t a t --+=++，令函数2()e e t t g t t -=++，()e e 2t t g t t -'=-+且单调递增，当(0,2)t ∈时，()0g t '>，所以()g t 在(0,2)上单调递增，()22()e e e e ()t t t t g t t t g t ---=++-=++=，所以()g t 为偶函数，所以()g t 在(1,0)-上单调递减.min ()(0)2g t g ==，22()(2)e e 4g t g -<=++，故)2212,e e4a -⎡-+∈++⎣，(22e e 3,1a -⎤∈----⎦，则((2222221e e 3,1,e e 1e e 3,1---⎤⎤-∈-------∈----⎦⎦.故选：AD.【点睛】关键点点睛：通过分离参数和换元，构造函数2()e e t t g t t -=++，利用导数研究函数最值，从而得解.第II 卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在723x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，8x 项的系数是__________.【答案】189【解析】【分析】由二项式展开公式可得答案.【详解】由题可得723x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第1r +项为()()()72143771C 3C 3rr r r r r rx x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.令14382r r -=⇒=，则8x 项的系数是()227C 3189⋅-=.故答案为：189.14.已知圆22:(1)4M x y ++=与圆22:2210(0)N x y mx y m +--+=>相交于,A B 两点，当AMB 为直角三角形时，m 的值为__________.【答案】2【解析】【分析】两圆相减得到直线AB 的方程，根据几何关系得到M 到直线AB 的距离，从而根据点到直线距离公式列出方程，求出答案.【详解】22(1)4x y ++=与222210(0)x y mx y m +--+=>相减得，2440mx y --+=，即直线AB 的方程为220mx y +-=，圆22:(1)4M x y ++=的圆心为()0,1M -，半径为2，因为AMB为直角三角形，所以AB =，故M 到直线AB的距离为12AB ==0m >，解得2m =.故答案为：215.过点()0,e 与曲线11e 2x x y x +⎛⎫=<- ⎪⎝⎭相切的直线与x 轴的交点坐标为__________.【答案】()1,0-【解析】【分析】设切点坐标1(,e t t t +，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出t ，即可求出直线与x 轴的交点坐标.【详解】设切点坐标为1(,)e tt t +，由1x x y e+=，得()()2e e 1e e x x xxx x y -+=-'=，则过切点的切线方程为1()e et t t ty x t +-=--，把点()0,e 代入切线方程得，1e (0)e et t t tt +-=--，即12e 1t t t +=++，因为21t <-，而1e t y +=在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，21y t t =++在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，所以12e 1t t t +=++只有一个解，所以1t =-，所以切线方程的斜率为11e e k --=-=，所以切线方程为e e y x -=，令0y =，解得=1x -.故过点()0,e 与曲线11e 2x x y x +⎛⎫=<- ⎪⎝⎭相切的直线与x 轴的交点坐标为()1,0-.故答案为：()1,0-.16.已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，过原点O 的直线l 交双曲线于,A B 两点（A 在第一象限），过A 作x 轴的垂线，垂足为M ，则1AF AM -的最小值为__________.；若12AB =，则1ABF 的面积为__________.【答案】①.8②.【解析】【分析】第一空，由题结合双曲线定义，可知128AF AM AF AM -=+-，当且仅当2F M ，重合时取最小值；第二空，设()00,A x y ，则由题有22002200361169x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得A 点坐标，即可得答案.【详解】第一空，由题及双曲线定义，可知4,3,5a b c ===，128AF AF -=，则128AF AM AF AM -=+-，因AM ⊥x 轴，则2AF AM ≥，则当且仅当2F M ，重合时，2AF AM =，即128AF AM AF AM -=+-的最小值为8，第二空，设()00,A x y ，因12AB =，则6AO =，又A在双曲线上，则220002200036511695x y x x y y ⎧⎧+==⎪⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪=⎩⎪⎩，得,,,5555A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()1111115225ABF AOF BOF A B S S S F O y y =+=+=⨯⨯= 故答案为：8；四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且()2cos cos cos 22B C a A b C c B +=+.（1）求A ；（2）若BAC ∠的平分线交BC 于D ，且1AD =，求4b c +的最小值.【答案】（1）2π3A =（2）9【解析】【分析】（1）借助降幂公式及正弦定理与辅助角公式计算即可得.（2）借助等面积法及基本不等式即可得.【小问1详解】πA B C ++=，则21cos cos 22B C A+-=，由正弦定理可知：()()sin 1cos sin sin cos sin cos 22A A ABC C B -=+，又sin 0A >，化简得):1cos sin cos sin cos A B C C B -=+，即()1cos A B C A -=+=，πcos 2sin 16A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即π1sin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π5π66A +=，从而2π3A =；【小问2详解】由题意可得：BAD CAD ABC S S S +=△△△，且1AD =，即1π1π12πsin sin sin 232323b c bc +=，化简得b c bc +=，即111b c+=，因为0,0b c >>，所以()11444559,c b b c b c b c b c ⎛⎫+=++=++≥+⎪⎝⎭当且仅当2b c =，即33,2b c ==时等号成立，故4b c +的最小值为9.18.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()6322n n S n a =++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()11(1)61n n n n n b a a ++-+=，求数列{}n b 的前100项和100T .【答案】（1）31n a n =-（2）75151【解析】【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩作差得到13134n n a n a n --=-，再利用累乘法计算可得；（2）由（1）可得111(1)3132n n b n n +⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】因为()6322n n S n a =++，当1n =时，1116652S a a ==+，所以12a =，当2n ≥时，()116312n n S n a --=-+，所以()()116663231n n n n n S S a n a n a ---==+--，所以13134n n a n a n --=-，123437n n a n a n ---=-， ，3285a a =，2152a a =，累乘得3112122313485343752n n n n a a a a n n a a a a n n -----⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-- 所以()312n a n n =-≥，当1n =时12a =也成立，所以31n a n =-.【小问2详解】由（1）得()()()()1111(1)61(1)6111(1)31323132n n n n n n n n b a a n n n n ++++-+-+⎛⎫===-+ ⎪-+-+⎝⎭，所以100111111112558399139923100131002T =+--+++--⨯-⨯+⨯-⨯+ 1175231002151=-=⨯+.19.如图，已知三棱锥A BCD -中，,,60,AD AB AC AB AC DAB DAC E ∠∠==⊥== 为BC 的中点.（1）证明：平面ADE ⊥平面ABC ；（2）点F 满足DE AF=，求平面FAC 与平面DAC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）由线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面FAC 与平面DAC 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】因为,AB AC E =为BC 的中点，所以AE BC ⊥.因为,60AB AC AD DAB DAC ∠∠==== ，所以ABD △和ACD 为全等的等边三角形.所以DC DB =.又因为E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥.又因为DE AE E = ，,DE AE ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE .又因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ADE ⊥平面ABC .【小问2详解】不妨设2AB AC AD ===，由（1）知，ABD △和ACD 分别为等边三角形，所以2DC DB ==.又因为,2,AB AC AB AC E ⊥==为BC 的中点，所以BC BE AE ===在Rt BED 中，2222222,DE BD BE DE =-=-==.在AED △中，222AE DE AD +=，所以AE DE ⊥.所以,,ED EB EA 两两互相垂直.以E 为坐标原点，,,ED EB EA的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.由题知，()()()0,0,0,,,0,E A DC所以，(),CA CD ==，()AF DE == .设平面ACD 的一个法向量为(),,m x y z =.则00m CA m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00=+=，令1x =，则1,1y z =-=，所以，()1,1,1m =-.设平面ACF 的一个法向量为()111,,n x y z =.则00n CA n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100+==⎪⎩，令11y =-，则110,1x z ==，所以，()0,1,1n =-.设平面FAC 与平面DAC 所成角为θ，则cos cos ,3m n m n m n θ⋅===.20.为了开展“成功源自习惯，习惯来自日常”主题班会活动，引导学生养成良好的行为习惯，提高学习积极性和主动性，在全校学生中随机调查了100名学生的某年度综合评价学习成绩，研究学习成绩是否与行为习惯有关.已知在全部100人中随机抽取一人，抽到行为习惯良好的概率为35，现按“行为习惯良好”和“行为习惯不够良好”分为两组，再将两组学生的学习成绩分成五组：[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100，绘制得到如图所示的频率分布直方图.（1）若规定学习成绩不低于80分为“学习标兵”，请你根据已知条件填写下列22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“学习标兵与行为习惯是否良好有关”；行为习惯良好行为习惯不够良好总计学习标兵非学习标兵总计（2）现从样本中学习成绩低于60分的学生中随机抽取2人，记抽到的学生中“行为习惯不够良好”的人数为X ，求X 的分布列和期望.参考公式与数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.()2P k χ≥0.1000.0500.0250.0100.0050.001k 2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有（2）分布列见解析，()87E X =【解析】【分析】（1）根据题中信息完善22⨯列联表，计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）分析可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值.【小问1详解】解：已知在全部100人中随机抽取一人，抽到行为习惯良好的概率为35，则100名学生中，行为习惯良好的有3100605⨯=人，行为习惯不够良好的有2100405⨯=人.由频率分布直方图可知，行为习惯良好组中不低于80分的学生有()0.0250.045106042+⨯⨯=人，行为习惯不够良好组中不低于80分的学生有()0.0100.030104016+⨯⨯=人则22⨯列联表为：行为习惯良好行为习惯不够良好总计学习标兵421658非学习标兵182442总计6040100()221004224181618008.86760404258203χ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，()2 6.6350.01P χ≥=，因为8.867 6.635>，所以有99%的把握认为“学习标兵与行为习惯是否良好有关”.【小问2详解】解：行为习惯良好组中低于60分的学生有0.00510603⨯⨯=人，行为习惯不够良好组中低于60分的学生有0.01010404⨯⨯=人，则X 的可能值为0、1、2，()024327C C 10C 7P X ===，()114327C C 41C 7P X ===，()204327C C 22C 7P X ===.X 的分布列为：X12P174727期望()14280127777E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点为A ，左焦点为F ，直线AF 与圆22:230M x y y ++-+=相切.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不过点A 的动直线l 与椭圆相交于,P Q 两点，若2AP AQ k k =+，求证：直线l 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）2213x y +=（2）证明见解析，定点为()1,1--【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，由点到直线的距离公式即可求解，（2）方法一：对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，设出直线l 的方程，与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合2AP AQ k k =+可得出直线方程中参数的等量关系或值，进而可求得直线l 所过定点的坐标.方法二：()0,1A 平移到原点，则椭圆方程为22(1)13x y ++=，设直线为1mx ny +=，代入椭圆方程，由韦达定理可得21m n -=+，即可得出答案.【小问1详解】由题意()()0,1,,0A F c -，则直线AF 的方程为：0x cy c -+=可知圆的标准方程为22((1)1x y ++-=，1=，则22c =，从而23a =所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=.【小问2详解】方法一：设()()1122,,,P x y Q x y 若直线l 的斜率不存在，设其方程为x t =，则2213t y +=，所以120y y +=121211222AP AQ y y y y k k t t t t--+-+=+==-=，所以1t =-则直线l 方程为：=1x -.若直线l 的斜率存在，设其方程为()1y kx m m =+≠由()2222233136330x y k x mkx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩()()2222Δ36413330m k k m =-+->，即22310k m +->由韦达定理得：12221226133313mk x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩1212112AP AQ y y k k x x --+=+=1212112kx m kx m x x +-+-+=，即()()()()121222101k x x m x x m -+-+=≠()()()22233160k m m km ----⋅=，整理得1m k =-，则直线l 方程为：1y kx k =+-，即()11y k x +=+综上所述，直线l 过定点，该定点坐标为()1,1--.方法二：()0,1A 平移到原点，则椭圆方程为22(1)13x y ++=设直线为1mx ny +=，代入椭圆方程得()226360n y mxy x +++=两边同时除以2x 得到()2263610y y n m x x +++=得到6263AP AQ m k k n +=-=+，所以，21m n -=+.代入直线方程1mx ny +=得()21n x y x -+=+.所以直线过定点()1,2--向上平移1个单位以后，直线恒过定点()1,1--.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数()e 2cos 1xf x a x x =--+，其中e 为自然对数的底数.（1）当1a =时，判断函数()f x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性；（2）令()()g x f x '=，若函数()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围；（3）求证：当1a ≥时，()0f x ≥.【答案】（1）()f x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减（2）()2,0-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导函数()f x '在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上的正负判断函数的单调性；（2）求出导函数()g x '，函数()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，可转化为2cos ex x a =-在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，令()2cos ex x h x =-，根据函数的单调性求出()h x 的范围，从而求出a 的取值范围；（3）当1a ≥时，要证()0f x ≥，即证e 2cos 1x a x x -≥-，只需要()()max min e 2cos 1x a x x -≥-，根据函数的单调性求出()min e x a x-，进而即可证明()0f x ≥.【小问1详解】1a =时，()()e 2cos 1,e 12sin x x f x x x f x x =--+=-+'.显然，()f x '在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.所以()()00e 12sin00f x f <=-+'='，即()0f x '<.所以()f x 在区间π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减.【小问2详解】()()e 12sin x g x f x a x -+'==在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值.即()e 2cos x g x a x =+'在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有变号零点.令e 2cos 0x a x +=.则2cos e xx a =-记()2cos e x x h x =-，即y a =与()2cos e x x h x =-的图像在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有交点.()()π2sin cos 4e e x xx x x h x '⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==易知()0h x '>在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数且()π02,02h h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.所以()()2,0h x ∈-，从而()2,0a ∈-当()2,0a ∈-时，存在唯一实数0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=成立当()00,x x ∈时()()0,g x g x '>在()00,x 上单调递增；当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<在0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.所以()0g x 为函数()g x 的极值，综上，若函数()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，a 的取值范围为()2,0-.【小问3详解】当1a ≥时，要证()e 2cos 10xf x a x x =--+≥，即证e 2cos 1x a x x -≥-.令()2cos 1G x x =-，显然()1G x ≤.令()()e ,e 1x xH x a x H x a '=-=-，当1ln x a <时，()0H x '<；当1ln x a>时，()0H x '>.所以()H x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭时单调递减；在1ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭时单调递增.所以()1ln 11ln e ln a H x H a a a ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭1ln 1ln1 1.a =+≥+=所以()()H x G x ≥，即e 2cos 1x a x x -≥-.所以1a ≥时，()0f x ≥，得证.。
年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 文科数学——02 函数的概念与基本初等函数I(教师
专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设3log 42a =，则4a -= A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 2．【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A BC D【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，设需要志愿者x 名，500.95900x≥，17.1x ≥,故需要志愿者18名. 故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C 【解析】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设a =log 32，b =log 53，c =23，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A 【解析】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==， 所以a c b <<. 故选A .【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 6．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设函数f (x )=x 3－31x ，则f (x ) A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 7．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 8．【2020年高考天津】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =， 所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ ．1,0]3][[1,-【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦， 当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭， 当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++.由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+， 所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.12．【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.13．【2020年高考北京】已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.14．【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．15．【2020年高考浙江】已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则 A ．a <0 B ．a >0 C ．b <0 D ．b >0【答案】C【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 零点为123,,2x a x b x a b ===+ 当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <. 故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.16．【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x =，则()8f -的值是 ▲ ． 【答案】4-【解析】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.1．【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选B.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,属于基础题.2．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A．2B ．12C ．3log 2-D ．3log 2【答案】A【解析】依题意12331log log 32f -===-⎝⎭，12122f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A.【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.3．【安徽省2020届高三名校高考冲刺模拟卷数学（文科）试题】已知10.23121log 3,(),23a b c ===，则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【答案】A【解析】∵1122log 3log 10a =<=，0.20110()()133b <=<=，1131222c <=<=，∴a <b <c ，故选A ．4．【2020·重庆巴蜀中学高三月考（文）】已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为A ．(),2-∞-B ．2,C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),22,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】设()()1F x f x x =--，则()()11F x f x x -=--，()()11110F f =--=，对任意的1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-， 得()()112211f x x f x x --<--， 即()()12F x F x <， 所以()F x 在R 上是增函数，不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->， 所以11x ->，2x >. 故选B.【点睛】本题考查函数的单调性解不等式，属于中档题．5．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】已知函数||()e ||x f x x =+，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由||()e ||()x f x x f x --=+-=，知()f x 是偶函数，∴不等式1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价为1(|21|)()3f x f -<，当0x >时，()e xf x x =+，()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，1|21|,3x ∴-<解得1233x <<.故选A.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题. 6．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】函数πx x y x=的图象大致形状是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当0x <时，ππx xx y x -==-；当0x >时，ππx x x y x ==，πx y =为R 上的增函数，πx x y x∴=在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，可知B 正确.故选B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，解题关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在不同区间内的解析式，进而根据指数函数单调性判断出结果.7．【2020·重庆市育才中学高三开学考试（文）】若函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是A ．103⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，B ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】B【解析】由函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则1202113a a a a a⎧≤⎪⎪>⎨⎪-≤--⎪⎩，解得103a <≤，即实数a 的取值范围是103⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 故选B.【点睛】本题考查了分段函数的性质，重点考查了运算能力，属基础题.8．【贵州省黔东南州2019-2020学年高三高考模拟考试卷数学（文科)试题】已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为 A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤. 故选C.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、对称性等知识，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.9．【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，1 03a≤≤.故选D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.10．【2020·四川省成都外国语学校高三月考（文）】若函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是A．()1,+∞B．（1,8）C．（4,8）D．[4,8)【答案】D【解析】因为函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，所以140482422aaaaa⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选D.【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.11．【2020届山西省太原五中高三3月模拟数学（文）试题】函数ln||cos ()sinx xf xx x⋅=+在[π,0)(0,π]-的图像大致为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，π()02f ±=，π()03f >，()0f π<，故排除B ，C.故选D.【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.12．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,)+∞上为增函数，且1()03f =，则不等式18(log )0f x >的解集为A ．1(,2)2B ．(2,)+∞C ．1(0,)(2,)2+∞ D ．1(,1)(2,)2+∞【答案】C【解析】∵118811(log )0()(log )()33f x f f x f >=⇔>，又()f x 在区间[0,)+∞上为增函数，∴181log 3x >，∴118811log log 33x x 或><-，∴1022x x <或，∴不等式18(log )0f x >的解集为1(0,)(2,)2+∞，故选C.13．【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模（文）】已知函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数，且在0,上单调递减，则()30f x -<的解集为A ．()2,4 B ．()(),24,-∞+∞C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】因为()()2f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =， ∴()2f x ax a =-，因为()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以0a <，∴()()2330f x a x a -=--<，可化为()2310x -->， 即2680x x -+>，解得2x <或4x >. 故选B .【点睛】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考（一）数学试题】已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若()ln34a f =，e (2)b f -=，1ln πc f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底数，π为圆周率），则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】A【解析】因为函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，所以()f x 的图象关于y 轴对称，因为(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递减； 因为ln3ln e e 01444,0221,lnln ln e 1->=<<==π>=π，所以a c b >>. 故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质，根据条件判断出函数的单调性和奇偶性是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.15．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =A ．2x -B ．2x -C ．2x --D ．2x【答案】C 【解析】0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.【点睛】本题考查奇偶函数解析式的求解，一般利用对称转移法求解，即先求出()f x -的表达式，再利用奇偶性得出()f x 的表达式，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.16．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D. 满足条件的只有A. 故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，意在考查函数的基本性质，属于基础题型. 17．【2020届广东省化州市高三第四次模拟数学（文）试题】已知函数()()2,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩若不等式()10f x kx k -++<的解集为空集，则实数k 的取值范围为A ．(222,0⎤-⎦B ．(232,0⎤-⎦C ．222,0⎡⎤-⎣⎦D ．[]1,0-【答案】C【解析】因为不等式()10f x kx k -++<的解集为空集， 所以不等式()10f x kx k -++恒成立.()10f x kx k -++可变形为()(1)1f x k x --.在同一坐标系中作出函数(),(1)1y f x y k x ==--的图象，如图：直线(1)1y k x =--过定点(1,1)A -，当直线(1)1y k x =--与2(0)y x x =相切时，方程()10f x kx k -++=有一个实数解，可得2(1)1x k x =--，即210x kx k -++=，由24(1)0k k ∆=-+=，可得2k =-2k =+（舍去）， 故由函数图象可知使不等式恒成立的实数k的取值范围为2⎡⎤-⎣⎦.故选C.【点睛】本题考查了函数图象、根据函数的图象求参数的取值范围，考查了数形结合思想，属于中档题.18．【2020·山东省青岛第五十八中学高三一模】已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD 【解析】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+, 当且仅当2x =时,等号成立；当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小,则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+,即1294a a -+≤+,解得2a ≥,故选BCD.【点睛】本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值.19．【2020·山东省高三零模】已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则A ．函数()y f x =是周期函数B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数 【答案】ABC【解析】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T=，故A 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-的图像关于原点成中心对称，所以B 正确；又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确.故选ABC.【点睛】本题考查了函数的周期性和奇偶性以及对称性，属于基础题.20．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)4,+∞【解析】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =， ()f x 在区间(),4-∞上是增函数，所以4a ≥.故答案为[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.21．【福建省厦门外国语学校2020届高三下学期高考最后一次模拟数学（文）试题】已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则(1)f -=_____________【答案】2【解析】函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()1(1)122f f -===. 故答案为：2【点睛】本题考查了分段函数求值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.22．【2020·陕西省交大附中高三三模（文）】设函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，则()–3f =_____【答案】4【解析】函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，2(3)(1)(1)1314f f f -=-==+⨯=．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题． 23．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()a f a +=___________. 【答案】2【解析】由于函数()y f x =为奇函数，且()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的奇函数，()21511log 22222f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2a =. ()()()222f f f =-=-，()20f ∴=.因此，()()222a f a f +=+=.故答案为2.【点睛】本题考查函数值的计算，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.24．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩， 所以33ππππ,66x k x k k -≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩Z ， 解得5π36x -≤<-或ππ66x -<<或5π36x <≤. 故答案为5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．【江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题】已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n ∈N ，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点，则数列{}2nk 的前n 项和为________. 【答案】()41n n + 【解析】当02x ≤<时，()y f x ==()2211x y -+=，0y ≥； 当2x ≥时()()2f x f x =-，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：n y k x =与函数恰有21n 个不同的交点，根据图象知，直线n y k x =与第1n +个半圆相切，故()2244211n k n n n ==++-，故2211114441n k n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 数列{}2n k 的前n 项和为()11111114223141n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭. 故答案为：()41n n +. 【点睛】本题考查了数列求和，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力，画出图象是解题的关键.。
北京市西城区2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析
北京市西城区2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，222AF F B =u u u u v u u u u v ，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34CD 【答案】C【解析】【分析】根据222AF F B =u u u u r u u u r 表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率.【详解】222AF F B =u u u u r u u u u r Q设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=u u u r u u u u r Q ,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x = 2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，c e a ∴==故选C 项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.2．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a 的方程即可求解【详解】 因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题3．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】 {}n a Q 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>Q ，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠Q ，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．4．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(3)f =（ ）A ．18-B ．18C ．2-D ．2【答案】C【解析】【分析】由题设条件()()4f x f x +=，可得函数的周期是4，再结合函数是奇函数的性质将()3f 转化为()1f 函数值，即可得到结论.【详解】由题意，()()4f x f x +=，则函数()f x 的周期是4，所以，()()()3341f f f =-=-，又函数()f x 为R 上的奇函数，且当()0,2x ∈时，()22f x x =， 所以，()()()3112f f f =-=-=-.故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.5．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】【分析】 根据题意可将1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3x x k ≥，令()ln x f x x=，利用导数，判断其单调性即可得到实数k 的最小值．【详解】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k x x≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥． 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<，所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥． 故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．6．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-【答案】C【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C ． 7．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ）A ．3πB ．3πC ．3πD ．243π 【答案】D 【解析】【分析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得6R =，此外接球的体积为2463，三棱锥O EFG -体积为23，得到答案. 【详解】 如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD . 依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ，在Rt OHD V 中，OD R =，34333HD BC ==，133R OH OA ==，由勾股定理：2224333R R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6R =，此外接球的体积为246π， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，球心O 到平面EFG 的距离为KO ，则126233R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==， 所以三棱锥O EFG -体积为211362434433⨯⨯⨯⨯=， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π.故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 8．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32 B ．12 C ．78 D ．98【答案】C【解析】【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-，因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 9．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A【解析】【分析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =，方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ，所以，阴影部分区域的面积为()1232100111233S x x dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.10．已知()3,0A -，()3,0B ，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =u u u r u u u r ，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．2x ≥【答案】A【解析】【分析】 由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.【详解】如图，连接OP ，AM ，由题意得22MB MA BQ OP -===， ∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，∴1x ≥.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.11．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =u u u v u u u v ，则该双曲线的离心率为（ ） A 32 B ．23 C 30 D 5【答案】B【解析】【分析】先求出直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±b a x 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =u u u r u u u r ，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率．【详解】双曲线2222x y a b-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，∴k l 222ab a b =-， ∴直线l 的方程为y 222ab a b=-（x ﹣c ）， 与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 222abc a b=+， ∵2AF FB =u u u r u u u r ， ∴222abc a b =+2•2223abc a b -， ∴a 3=b ，∴c ＝2b ，∴e 23c a ==． 故选B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．12．函数()()23ln 1x f x x +=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项；当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项；当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省稳派教育2020届高三下学期调研考试(三)数学(文科)试题(含答案)
2019-2020学年高三年级调研考试(三)数学(文)卷一、选择题1.若集合A =x ,y x 2-2x =0,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，则A ∩B 中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】因为A =x ,y x =0 或x =2,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，所以A ∩B =0,0 ,2,2 ,2,-2 ，故选C .2.已知a +2i 2a ∈R 是纯虚数，则a +i =()A.3 B.5 C.3D.5【答案】B【解析】a +2i 2=a 2-4+4a i ，因为a +2i 2a ∈R 是纯虚数，所以a 2-4=04a ≠0，所以a =±2，由a +i =±2+i =5 ，故选B .3.若a <b <1且ab ≠0，则下列结论恒成立的是()A.a <12B.ab <b 2C.1a >1b>1D.ab +1>a +b【答案】D【解析】取a =23 ，b =34 ，可排除A ，取a =-2，b =-12 ，可排除B ，取a =-2，b =12，可排除C ，由a <b <1可得a -1 b -1 >0，展开得ab +1>a +b ，故选D .4.已知圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m -y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则m =()A.12B.13C.15D.17【答案】D【解析】圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m-y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则圆心1,-2 在渐近线y =-m +12mx 上，所以m +12m =2，m =17，故选D .5.已知a ,b 是单位向量，且a +b =2,-1 ，则a -b =()A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】因为a ,b 是单位向量，a +b =2 ,-1 ，两边平方得2a ⋅b =1，所以a -b =a 2-2a ⋅b +b 2=1，故选A .6.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 6=2，a 2+a 10 2a 3+a 9 =12，则S 5=()A.5B.3C.-3D.-5【答案】D【解析】由题意得a 2+a 10 2a 3+a 9 =2a 6a 3+a 3+a 9 =2a 6a 3+2a 6 =4a 3+4 =12，可得a 3=-1，所以S 5=5a 3=-5，故选D .7.新冠肺炎病毒可以通过飞沫方式传染，已知甲通过检测确诊为新冠肺炎，经过追踪发现甲有A ,B ,C ,D ,E 5名密切接触者，现把这5人分为2组(一组2人，一组3人)，分别送到2个医院进行隔离观察，则A ,B 在同一个医院的概率为()A.15B.310C.25D.12【答案】C【解析】把A ,B ,C ,D ,E 分为2组(一组2人，一组3人)，结果有：AB ,CDE ，AC ,BDE ，AD ,BCE ，AE ,BCD ，BC ,ADE ，BD ,ACE ，BE ,ACD ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共10种，A ,B 在同一个医院的结果有：AB ,CDE ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共4种，所以所求概率P =410 =25 ，故选C .8.已知函数f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，则下列结论错误的是()A.g f x =0B.f f x =f xC.f x g x =sinπxD.f g x +2 =1【答案】C【解析】由f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，可得当x >0时，g f x =g 1 =sinπ=0，当x =0时，g f x =g 0 =sin0=0，当x <0时g f x =g -1 =sin -π =0，所以A 正确；当x >0时，f x =1，f f x =f 1 =1，f f x =f x 成立，当x =0时，f 0 =0，f f 0 =f 0 =0，f f x =f x 成立，当x <0时，f x =-1，f f x =f -1 =-1，f f x =f x 成立，所以B 正确，由f 32 g 32 =-1，可知C 错误，由g x ≥-1，g x +2≥1，可知f g x +2 =1正确，故选C .9.已知函数f x =x 3+ax 2-3x +b 满足f x +f -x =2，则f x 的图象在x =1处的切线方程为()A.y =-1B.y =0C.y =x -1D.y =-x +1【答案】A【解析】由f x +f-x=2可得2ax2+2b=2，所以a=0，b=1，f x =x3-3x+1，f x =3x2-3，f1 =-1，f 1 =0，所以f x 的图象在x=1处的切线方程为y=-1，故选A.10.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，共17卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程大位著.书中有这样一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图，则图中①②可分别填入()A.s=3m+n3 ；n=100B.s=3n+m3 ；n=100C.s=3n+m3 ；s=100D.s=3m+n3 ；s=100【答案】D【解析】由程序框图可知，n表示小僧人数，m表示大僧人数，根据“大僧三个更无争，小僧三人分一个”，设馒头数为s，则s=3m+n3 ，所以①中填入s=3m+n3，当s=100时结束程序，输出n，故选D.11.如图，正三角形ABC为圆锥的轴截面，D为AB的中点，E为弧BC的中点，则直线DE与AC所成角的余弦值为()A.13B.12C.22D.34【答案】C【解析】取BC 中点O ，BO 中点F ，连接OD ,OE ,FE ,DF ，则∠ODE 就是直线DE 与AC 所成角.设AB =4，则OD =2，OF =1，OE =2，DF =3 ，EF =OE 2+OF 2 =5 ，DE =DF 2+EF 2 =22 ，所以∠ODE =π4 ，即直线DE 与AC 所成角的余弦值为22，故选C .12.已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b2 =1a >b >0 的右焦点为F ，设c =a 2-b 2 ，直线x c +y b =1与椭圆C 在第四象限交于点A ，点A 在x 同上的射影为B ，若AB ⋅AF =49b 2，则椭圆C 的离心率为()A.15B.5 5C.25D.10 5【答案】B【解析】由AB ⊥x 轴可得AB ⋅AF =AB 2，所以AB =2b 3，又AB FB=tan ∠BFA =b c ，所以FB =2c 3 ，所以A 5c 3 ,-2b3，代入椭圆C 的方程得25c 29a 2+49 =1，所以e =5 5，故选B .二、填空题13.若函数f x =x 2,x ≥1a x +1 ,x <1的值域为R ，则a 的取值范围是______.【答案】12 ,+∞ 【解析】当x ≥1时，f x =x 2≥1，若a =0，x <1时，f x =0，f x 的值域不是R ；若a <0，x <1时，f x >2a ，f x 的值域不是R ，若a >0，x <1时，f x <2a ，所以当2a ≥1时，f x 的值域为R ，所以a 的取值范围是12,+∞ .14.正项数列a n 满足a 2=1，a 2n +1a n=2a n +a n +1，则使a n >100的最小的n 值为______.【答案】9【解析】由a 2n +1a n=2a n +a n +1得a 2n +1-a n a n +1-2a 2n =0，即a n +1+a n a n +1-2a n =0，因为a n >0，所以a n +1-2a n =0，a n +1=2a n ，a n =a 2⋅2n -2=2n -2，a 8=64，a 9=128，所以使a n >100的最小的n 值为9.15.已知f x =sin x +π3 ，若方程f x =a 在0,5π3上只有4个不同实根x 1,x 2,x 3,x 4x 1<x 2<x 3<x 4 ，则a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为______.【答案】23π【解析】画出f x 的图象，由图象可知3 2≤a <1，x 1+x 2=2×π6 =π3 ，x 2+x 3=2×2π3 =4π3 ，x 3+x 4=2×7π6 =7π3，相加得x 1+2x 2+2x 3+x 4=4π，所以a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为23 π.16.在△ABC 中，AB =AC =3，BC =3，点D 在BC 上，且BD =2DC ，将△ABD 沿AD 折起，使点B 到达点P 位置，且AP ⊥AC ，则三棱锥P -ACD 的外接球半径为______.【答案】7 2【解析】由题意可得AD =DC =1，AB ⊥AD ，因为AP ⊥AC ，所以三棱锥P -ACD 中，AP ⊥底面ADC ，把三棱锥P -ACD 补成三棱柱，则该三棱柱的外接球就是三棱锥P -ACD 的外接球，球心是三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点，底面外接圆半径r =12 ⋅3 sin120°=1，又AP =3，所以三棱锥P -ACD 外接球半径R =12+3 22 =72.三、解答题17.2020年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过60个国家或地区宣布进人紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始倒闭，下表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表：企业成立年份20192018201720162015企业成立年限x 12345倒闭企业数量(万家) 5.28 4.72 3.58 2.70 2.15倒闭企业所占比例y %21.4%19.1%14.5%10.9%8.7%(1)由所给数据可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于x 的回归方程，预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例.参考数据：5i =1y i =74.6 ，5i =1x i y i =190.2 ，5i =1y i-y 2≈10.70，10 ≈3.16，相关系数r =ni =1x i y i -nx yn i =1x i -x 2ni =1y i -y2，样本x i ,y i i =1,2,...,n 的最小二乘估计公式为b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2 ，a =y -b x .【答案】(1)用线性回归模型拟合y 与x 的关系;(2)4.84%【解析】(1)由表中数据及参考数据可得x =3，5i =1x i -x 2=10 ，5i =1y i -y 2≈10.70，由5i =1x i =15 ，5i =1y i =74.6 ，可得x =3，y =14.92，所以5i =1x i y i -5x y=190.2-5×3×14.92=-33.6 ，所以r ≈-33.610.70×3.16≈-0.99，因为y 与x 的相关系数近似为-0.99，说明y 与x 的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)b =5i =1x i y i -5x y5i =1x 2i -5x 2 =-33.655-5×9 =-3.36，则a =y -b x=14.92+3.36×3=25，所以y 关于x 的回归方程y=-3.36x +25.当x =6时，y=-3.36×6+25=4.84，所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为4.84%.18.已知△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足c tan A tan C+1 -9b =0.(1)求cos A 的值；(2)若点D 在边BC 上，AD 平分角A ，且AD =5 ，求1b+1c 的值.【答案】(1)19 ;(2)23【解析】(1)由c tan Atan C+1 -9b =0及正弦定理可得sin C ⋅sin A cos C +sin C cos Asin C cos A-9sin B =0，即sin A +Ccos A-9sin B =0，因为sin A +C =sin π-B =sin B ，且sin B ≠0，所以cos A =19.(2)因为cos A =19 ，所以sin A =1-cos 2A =459 ，因为AD 平分角A ，所以sin ∠BAD =sin ∠CAD =1-cos A 2=1-19 2=23，由S △ABC =S △ADB +S △ADC ，可得12 bc sin A =12 c ⋅AD sin ∠BAD +12b ⋅AD sin ∠CAD ，12 bc ⋅459 =12 c ⋅5 ⋅23 +12 b ⋅5 ⋅23 ，整理得23bc =b +c ，所以1b+1c =23 .19.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，点D 为BB 1中点，点E 为点B 关于直线AC 的对称点，AB =BC =AA 1=2，AC =22.(1)求证：平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1；(2)求三棱锥E -ADC 1的体积.【答案】(1)见解析;(2)三棱锥E -ADC 1的体积为23【解析】(1)设AC 1的中点为F ，连接BE 与AC 交于G ，则点G 为AC 中点，连接DF ,FG ，则FG ∥CC 1，且FG =12CC 1.又D 为BB 1的中点，所以DB ∥FG ，且DB =FG ，所以四边形BDFG 为平行四边形，所以BG ∥DF ，因为AA 1⊥底面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，因为AB =BC ，G 为AC 中点，所以BG ⊥平面ACC 1A 1，所以DF ⊥平面ACC 1A 1.又DF ⊂平面AC 1D ，所以平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(2)由(1)知BE ∥DF ，所以点E ,B 到平面ADC 1的距离相等，所以V 三棱锥E -ADC 1=V 三棱锥B -ADC 1=V 三棱锥A -BDC 1.由AB =BC =2，AC =22，可得AB ⊥BC ，因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，AB ⊥平面BCC 1B 1，又△BDC 1的面积S =12 ×1×2=1，所以V 三棱锥A -BDC 1=13 ×AB ×S =13 ×2×1=23，所以三棱锥E -ADC 1的体积为23.20.已知抛物线C :y 2=2px p >0 与直线y =x +1只有一个公共点，点A ,B 是抛物线C 上的动点.(1)求抛物线C 的方程；(2)①若k OA +k OB =1，求证：直线AB 过定点；②若P x 0,y 0 是抛物线C 上与原点不重合的定点，且k PA +k PB =0，求证：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值.【答案】(1)y 2=4x ;(2)①见解析;②见解析,定值为-2y 0 .【解析】(1)y 2=2px 与y =x +1联立得y 2-2py +2p =0因为抛物线C 与直线y =x +1只有一个公共点，所以△=2p 2-8p =0，p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)①设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k OA +k OB =4y 1 +4y 2=1，所以y 1y 2y 1+y 2 =4，又k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 ，所以直线AB 的方程为y -y 1=4y 1+y 2x -y 214，即y =4y 1+y 2 x +y 1-y 21y 1+y 2 =4y 1+y 2 x +y 1y 2y 1+y 2 =4y 1+y 2x +4，当x =0时y =4，所以直线AB 过定点0,4 .②设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k PA +k PB =y 1-y 0y 214 -y 204 +y 2-y 0y 224 -y 204=4y 1+y 0 +4y 2+y 0 =0，所以y 1+y 0+y 2+y 0=0，y 1+y 2=-2y 0，所以直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 =-2y 0 .即直线AB 的斜率为定值-2y 0 .21.已知函数f x =ax 2ln x +12-x ln x +1.(1)若a <e2，讨论f x 的单调性；(2)若a =1，x ≥1，求证：f x >32 x 2-2x +1+sin x .【答案】(1)当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减;(2)见解析【解析】(1)因为f x =ax 2ln x +12-x ln x +1，所以f x =2ax ln x +2ax -ln x -1=2ax -1 ln x +1 x >0 ，①若a ≤0，则2ax -1<0，当x ∈0,1e时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e,+∞ 时，f x <0，f x 是减函数；②若0<a <e 2 ，即12a >1e ，当x ∈0,1e 和x ∈12a ,+∞ 时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e ,12a时，f x <0，f x 是减函数.综上可得，当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减.(2)当a =1时，要证f x >32x 2-2x +1+sin x ，只需证f x ≥32 x 2-2x +2，即证x 2-x ln x -1+1x≥0，因为x ≥1，所以x 2-x ≥0，设g x =ln x -1+1x，则g x =1x -1x 2 =x -1x2 ≥0，所以g x 在1,+∞ 上是增函数，g x ≥g 1 =0，ln x -1+1x≥0，所以x 2-x ln x -1+1x≥0，因此f x >32x 2-2x +1+sin x 成立22.平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为3,3 ，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=2+22 ρsin θ+π4.(1)求曲线C 的参数方程；(2)若P ,Q 是曲线C 上的不同两点，且AP 2+AQ 2=40，求证：线段PQ 的中点M 恒在一条直线上，并求出此直线的直角坐标方程.【答案】(1)曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数);(2)x +y =0【解析】(1)ρ2=2+22 ρsin θ+π4=2+2ρcos θ+2ρsin θ，由ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2+2x +2y ，即x -1 2+y -1 2=4，设x -1=2cos φ，y -1=2sin φ，得曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数).(2)设P 1+2cos φ1,1+2sin φ1 ，Q 1+2cos φ2,1+2sin φ2 ，设M x ,y ，则x =1+cos φ1+cos φ2，y =1+sin φ1+sin φ2，由AP 2+AQ 2=40，得2cos φ1-2 2+2sin φ1-2 2+2cos φ2-2 2+2sin φ2-2 2=40，整理得1+cos φ1+cos φ2+1+sin φ1+sin φ2=0，即x +y =0，所以点M 恒在直线x +y =0上，所以此直线的直角坐标方程为x +y =0.23.已知函数f x =x -m -x -2m .(1)若m =2，求不等式f x >1的解集；(2)若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集∅，求m 的取值范围.【答案】(1)72,+∞ ;(2)m 的取值范围是-3,3【解析】解：(1)当m =2时，f x =x -2 -x -4 =-2,x <22x -6,2≤x ≤42,x >4，当x <2时，-2>1不成立，当2≤x ≤4时，由2x -6>1，得72<x ≤4，当x >4时，2>1成立，所以不等式f x >1的解集为72,+∞ .(2)因为f x =x -m -x -2m ≤x -m -x -2m =m ，所以-m ≤f x ≤m ，又a +1a -b b =a -b +b +1a -b b ≥33a -b b ⋅1a -b b=3，当a -b =b =1a -b b，即a =2，b =1时取等号，若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集为∅，则m <3，所以m 的取值范围是-3,3 .。
吉林省长春市东北师大附中2024届高三上学期第三次摸底考试数学试题含答案
2023-2024学年上学期东北师大附中数学学科试卷高三年级第三次摸底考试第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2Z 230A x x x =∈--<∣，则集合A 的子集个数为（）A.3B.4C.8D.162.设()()1i 21i z -=+，则z =（）A.22B.1C.D.23.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4771==）（）A.6B.8C.10D.124.命题“2R,230x x x ∃∈-+<”的否定是（）A.2R,230x x x ∃∈-+>B.2R,230x x x ∀∈-+>C.2R,230x x x ∃∈-+≥ D.2R,230x x x ∀∈-+≥5.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.26B.28C.30D.326.已知π1sin 63x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.79-B.29-C.29D.797.已知函数()f x 及其导数()f x '的定义域均为R ，()f x '在R 上单调递增，()1f x '+为奇函数，若23a =，45b =，34c =，则（）A.()()()f a f b f c <<B.()()()f b f a f c <<C.()()()f b f c f a << D.()()()f c f b f a <<8.若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（）A.12B.1- C.1D.12+二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知k ∈Z ，则函数()()22kxxf x x -=⋅+的图象可能是（）A.B.C. D.10.已知函数2()cos (0)3f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且()f x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.21099f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.将()f x 的图象向右平移4π3个单位长度后对应的函数为偶函数D.函数5()4y f x =+在[0,]π上有且仅有一个零点11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为棱11,B C CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC⊥B.当,M N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C.当,M N 分别为棱11,B C CD 的中点时，过1,,A M N 三点作正方体的截面，则截面为五边形D.三棱锥11D A MN -的体积为定值12.已知曲线()e xf x =在点()()11,P x f x 处的切线和曲线()lng x x =在点()()22,Q x g x 处的切线互相平行，则下列命题正确的有（）A.12x x +有最大值是1B.()()12f x g x +有最小值是1C.12x x 有最小值是1eD.若10x <，则221212x x x x +有最大值为1e e--第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()2,1P -是θ终边上的一点，则sin 2θ=_____________.14.在ABC 中，2,4AB AC ==，P 是ABC 的外心，则AP BC ⋅等于___________.15.已知两个等差数列2，6，10，…，210及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于___________.16.正三棱锥-P ABC 的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为α，二面角P AB C --的平面角为β.当该球的表面积最小时，()tan αβ+=____________.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na n ⋅的前n 项和nT .18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知()2cos cos cos B C B Cbcab ac+=+.（1）求A ；（2）D 为BC 边上一点，DA BA ⊥，且3BD DC =，求cos C .19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，11D D D C ==，22AB BC ==.（1）求证：1AD D C ⊥；（2）若点P 的在线段1BD 上，且二面角P CD B --的大小为4π，求1D P PB的值.20.甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．21.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为())12,F F ，渐近线方程为12y x =±.（1）求E 的方程；（2）直线l 与E 的左、右两支分别交于,M N 两点（,M N 在x 轴的同侧），当12//F M F N 时，求四边形12F F NM 面积的最小值.22.已知函数()()sin sin 0f x a x ax a =+>.（1）当1,0a x =>时，证明()2f x x <；（2）当2a =时，讨论()f x 的单调性；（3）设0x >，证明()()e 2e axax f x +->.2023-2024学年上学期东北师大附中数学学科试卷高三年级第三次摸底考试第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2Z 230A x x x =∈--<∣，则集合A 的子集个数为（）A.3B.4C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A 作答.【详解】解不等式2230x x --<，得13x -<<，因此{}3Z{0,1,12}A x x -<<=∈=∣，所以集合A 的子集个数为328=.故选：C2.设()()1i 21i z -=+，则z =（）A.2B.1C.D.2【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及模长公式求解.【详解】由()()1i 21i z -=+可得()()()21i 1i 21i z -+=+，所以()21i 2i z =+=，故2z =，故选：D3.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4771==）（）A.6B.8C.10D.12【答案】A 【解析】【分析】先由题设得到前几次操作去掉的区间的长度，然后总结出第n 次操作去掉的区间的长度和为123n n -，把n 次操作和去掉的区间的长度之和转化为等比数列的前n 项和，求出前n 项和n S ，再求解不等式910n S ≥即可．【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；⋯，第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为112[1()]1222331()2393313n n nn n S --=++⋯+==--，由题意知：291()310n-≥，解得： 5.679n ≥，又n 为整数，可得n 的最小值为6，故选：A4.命题“2R,230x x x ∃∈-+<”的否定是（）A.2R,230x x x ∃∈-+>B.2R,230x x x ∀∈-+>C.2R,230x x x ∃∈-+≥D.2R,230x x x ∀∈-+≥【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系得，命题“2R,230x x x ∃∈-+<”的否定是“2R,230x x x ∀∈-+≥”.故选：D.5.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.26B.28C.30D.32【答案】B 【解析】【分析】用棱台的体积公式(1213V h S S =+求解，其中h 为高，12,S S 分别为上下底面积.【详解】设正四棱锥为S ABCD -，截取的正四棱锥为1111S A B C D -，1,O O 分别为正四棱台1111A B C D ABCD -上下底面的中心，如图.因为114,2,AB A B ==，所以OA ===，11O A =，由于截面平行于底面得11112SO O A SO OA ===，又13SO =，所以16,3SO OO ==，所以正四棱台上下底面边长分别为2,4，高为3，所以(14163283V =⨯++⨯=，故选：B 6.已知π1sin 63x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.79-B.29-C.29D.79【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.【详解】因为π1sin 63x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以22π2πππcos 2cos π2cos 212sin 3336⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-⎭⎣=⎦x x x x 2179123⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦=-⎝⎭.故选：A.7.已知函数()f x 及其导数()f x '的定义域均为R ，()f x '在R 上单调递增，()1f x '+为奇函数，若23a =，45b =，34c =，则（）A.()()()f a f b f c <<B.()()()f b f a f c <<C.()()()f b f c f a <<D.()()()f c f b f a <<【答案】C 【解析】【分析】先由()1f x '+为奇函数得到()10f '=，再由()f x '的单调性可推得()f x 的单调性，再比较,,,1a b c 的大小即可得解.【详解】因为()1f x '+为奇函数，所以()()11f x f x ''+=--，令0x =，则()()11f f ''=-，故()10f '=，又()f x '在R 上单调递增，所以当1x <时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当1x >时，()0f x ¢>，则()f x 单调递增；因为23a =，45b =，34c =，所以22log 3log 21a =>=，44log 541log b =>=，33log 4log 31c =>=，因为()()()()()()22224ln 2ln 4ln 2ln 4ln 8ln 94ln 3≤+=<=，由于ln 2ln 4≠，故上式等号不成立，则()()()2ln 2ln 4ln 3<，又ln 30,ln 20>>，所以ln 4ln 3ln 3ln 2<，即32log 4log 3<，即c a <，同理可得b c <，所以1b c a <<<，所以()()()f b f c f a <<.故选：C.8.若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（）A.12B.1-C.1D.12+【答案】D 【解析】【分析】分离变量将问题转化为a ≥0,0x y >>(0)t t =>及1(1)t m m +=>，然后通过基本不等式求得答案.【详解】由题意可得，a ≥0,0x y >>1x =+(0)t t =>，则2111t t x+=++，再设1(1)t m m +=>，则22111(1)1t m t m x+===++-+212222m m m m m =-++-12+≤==，当且仅当21m m=⇒=-时取得“=”.所以12a ≥，即实数a 的最小值为212.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知k ∈Z ，则函数()()22kxxf x x -=⋅+的图象可能是（）A.B.C. D.【答案】ABC 【解析】【分析】令()22xxg x -=+，先分析函数()g x 的奇偶性，再分情况讨论()kh x x =的奇偶性，然后逐项分析四个选项即可求解.【详解】令()22xx g x -=+，则()()22xx g x g x --=+=，故()22x x g x -=+为偶函数.当0k =时，函数()22xxf x -=+为偶函数，且其图象过点()0,2，显然四个选项都不满足.当k 为偶数且0k ≠时，易知函数()kh x x =为偶函数，所以函数()()22kxxf x x -=⋅+为偶函数，其图象关于y 轴对称，则选项C ，D 符合；若k 为正偶数，因为()()22kxxf x x -=⋅+，则1()(22)(2ln 22ln 2)k x x k x x f x kx x ---'=++-，当0x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为函数()()22kx xf x x -=⋅+为偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，选项C 符合；若k 为负偶数，易知函数()()()12222kxxxx kf x x x ---=⋅+=⋅+的定义域为{}0xx ≠∣，排除选项D .当k 为奇数时，易知函数()kh x x =为奇函数，所以函数()()22kxxf x x -=⋅+为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则选项A,B 符合，若k 为正奇数，因为()()22kxxf x x -=⋅+，则1()(22)(2ln 22ln 2)k x x k x x f x kx x ---'=++-，当0x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为函数()()22kxxf x x -=⋅+为奇函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，选项B 符合；若k 为负奇数，函数()()()12222kxxxx kf x x x ---=⋅+=⋅+的定义域为{}0xx ≠∣，不妨取1k =-，则()22x xf x x-+=，当0x +→时，()f x →+∞；当12x =时，12()122f ==；当1x =时，1(1)22f =；当2x =时，1(2)28f =；当3x =时，17(3)2(2)24f f =>；当x 趋向于正无穷时，因为指数函数的增长速率比幂函数的快，所以()f x 趋向于正无穷；所以()0,∞+内()f x 先减后增，故选项A 符合.故选：ABC .10.已知函数2()cos (0)3f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且()f x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.21099f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.将()f x 的图象向右平移4π3个单位长度后对应的函数为偶函数D.函数5()4y f x =+在[0,]π上有且仅有一个零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的单调性和对称性列式求出ω，再根据最小正周期公式可判断A ；根据解析式计算可判断B ；利用图象变换和余弦函数的奇偶性可判断C ，利用余弦函数的图象可判断D.【详解】因为函数2()cos (0)3f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，所以()f x 的最小正周期T 满足π3π(π)222T ≥--=，即π3π2ω≥，所以203ω<≤.因为()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以π2πππ332k ω-+=+，Z k ∈，得132k ω=-，Z k ∈，由120323k ω<=-≤，得11186k -≤<，因为Z k ∈，所以0k =，12ω=.所以12π()cos()23f x x =+.对于A ，()f x 的最小正周期为2π4π12T ==，故A 正确；对于B ，2π(9f =12π2πcos(293⨯+7π2πcos cos 99==-，10π110π2π(cos()9293f =⨯+11π2πcos cos 99==-，所以21099f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不正确；对于C ，将()f x 的图象向右平移4π3个单位长度后对应的函数为14π2π()cos[()]233g x x =-+1cos 2x =为偶函数，故C 正确；对于D ，5()4y f x =+12π5cos(423x =++，令0y =，得12π4cos()235x +=-，令12π23t x =+，由0πx ≤≤，得2π7π36t ≤≤，作出函数cos y t =2π7π36t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭与直线45y =-的图象如图：由图可知，函数cos y t =2π7π36t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭与直线45y =-的图象有且只有一个交点，所以函数5()4y f x =+在[0,]π上有且仅有一个零点，故D 正确.故选：ACD11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为棱11,B C CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC⊥B.当,M N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C.当,M N 分别为棱11,B C CD 的中点时，过1,,A M N 三点作正方体的截面，则截面为五边形D.三棱锥11D A MN -的体积为定值【答案】ACD 【解析】【分析】当N 为CD 的中点时，过M 作MM BC '⊥于M '，证AC MM N '⊥平面判断A ；根据正方体棱的特征和线面平行的判定方法判断B ；通过线线平行和线面平行的性质，作出平面1A MN 与正方体各个面的交线判断C ；利用等体积法计算判断D.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别在棱11,B C CD 上，对于A ，如图，当N 为CD 的中点时，过M 作1//MM BB '交BC 于M '，显然M '为BC 的中点，MM '⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，则有MM AC '⊥，又M N AC ¢^，M N '与MM '相交于M '，因此AC ⊥平面MM N '，又MN ⊂平面MM N '，所以MN AC ⊥，A 正确；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是与11111,,A A A B A D 平行的棱，而11111,,A A A B A D 与平面1A MN 都相交于1A ，因此在正方体中不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；对于C ，如图，取BC 中点M '，连接AM '，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，有1//EN A M ，即EN 为过1,,A M N 三点的平面与平面ABCD 的交线；连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，有11//A E B F ，再过点M 作1B F 的平行线交1CC 于点G ，此时113CG CC =，且1//A E MG ，即MG 为过1,,A M N 三点的平面与平面11BCC B 的交线；连接NG ，则五边形1A MGNE 即为正方体中过1,,A M N 三点的截面，C 正确；对于D ，M ，N 在棱11,B C CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，因此1111114222323D A MN N A MD V V --==⨯⨯⨯⨯=恒为定值，D 正确.故选：ACD12.已知曲线()e xf x =在点()()11,P x f x 处的切线和曲线()lng x x =在点()()22,Q x g x 处的切线互相平行，则下列命题正确的有（）A.12x x +有最大值是1B.()()12f x g x +有最小值是1C.12x x 有最小值是1eD.若10x <，则221212x x x x +有最大值为1e e--【答案】BD 【解析】【分析】根据导数值相等可得121e x x =，进而分别构造函数()1e x m x x =+()=e x n x x -()e ,xq x x =(),e xx p x =即可利用导数求解函数的最值求解.【详解】()1e ,()xf xg x x ''==，所以()11221e ()x f x g x x ''===，故121e x x =，进而121e xx =对于A ，11211ex x x x +=+，令()()11e 1,e e 1ex x x xm x x m x =+=-∴=-，故当()0,0,()x m x m x '>>单调递增，当()0,0,()x m x m x '<<单调递减，故()()01m x m ≥=，因此12x x +有最小值为1，A 错误，对于B ，()()11111221e ln e lne exxx x f x g x x x +=+=+=-，令()()=e ,e 1xx n x x n x '-∴=-，故当0,()0,()x n x n x '>>单调递增，当0,()0,()x n x n x '<<单调递减，所以()(0)1n x n ≥=，故()()12f x g x +的最小值为1，B 正确，对于C ，1112e x x x x =，令1(),()e ex xx xp x p x -'=∴=，故当1,()0,()x p x p x '><单调递减，当1,()0,()x p x p x '<>单调递增，所以1()(1)ep x p ≤=，故12x x 有最大值是1e，C 错误，对于D ，11221211211e ex x x x x x x x +=+，令()()()e ,1e x x q x x q x x '=∴=+，当01,()0,()x q x q x '>>->单调递增，当1,()0,()x q x q x '<-<单调递减，所以1()(1)eq x q ≥-=-，故()1,0e q x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭由于函数11,,0ey t t t ⎡⎫=+∈-⎪⎢⎣⎭单调递减，所以当max 111,e,eet y t t ⎛⎫=-=+=-- ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：BD【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数()h x ；(3)利用导数研究()h x 的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()2,1P -是θ终边上的一点，则sin 2θ=_____________.【答案】45-##0.8-【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义以及二倍角的正弦公式求解.【详解】由题可知，r OP ==,所以525sin ,55θθ===-所以4sin 22sin cos ,5θθθ==-故答案为:45-.14.在ABC 中，2,4AB AC ==，P 是ABC 的外心，则AP BC ⋅等于___________.【答案】6【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律求解.【详解】如图，若P 是ABC 的外心，过P 作,PS AB PT AC ⊥⊥,垂足分别为,S T ，则,S T 分别为,AB AC 中点，所以1,2AS AT ==,所以()·AP BC AP AC AB AP AC AP AB⋅=-=⋅-⋅ 24126AT AC AS AB =⋅-⋅=⨯-⨯=，故答案为:6.15.已知两个等差数列2，6，10，…，210及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于___________.【答案】1872【解析】【分析】分别求出两数列的通项公式，求得满足公共项的特征，可知公共项组成的数列是首项为2，公差为12的等差数列，且项数为18项，即可求出各项之和等于1872.【详解】根据题意可知，令数列2，6，10，…，210为{}n a ，易知数列{}n a 是首项为2，公差为4的等差数列，即()*24142,N ,153n a n n n n =+-=-∈≤≤；令数列2，8，14，…，212为{}n b ，易知数列{}n b 是首项为2，公差为6的等差数列，即()*26164,N ,136n b n n n n =+-=-∈≤≤；这两个等差数列的公共项需满足12124264n n a n b n =-==-，可得12426n n +=，易知当21n =时，11n =；当22n =时，*15N 2n =∉；当23n =时，14n =；当24n =时，*111N 2n =∉；当25n =时，17n =……即可得21,3,5,,35n =⋅⋅⋅⋅时为两数列的公共项，设公共项为数列{}n c ，易知1232,14,c c b ===⋅⋅⋅所以{}n c 是以12c =为首项，公差为12的等差数列，且项数为18项，即()21211210,118n c n n n =+-=-≤≤；可得数列{}n c 的各项之和等于()121818212181018722c c c ⨯+⨯-++⋅⋅⋅+==.故答案为：187216.正三棱锥-P ABC 的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为α，二面角P AB C --的平面角为β.当该球的表面积最小时，()tan αβ+=____________.【答案】3-【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用球心到A ，B ，C ，P 的距离等于半径，将半径表示为只含有一个变量的函数，利用导数找到最小值，将三棱锥特殊化，再分别求角即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，记ABC 中心为Q，则(0,0,0)Q，A ，33(,22C --，33(,22B -,(0,0,)P m 设球心为(,,)a b c ，半径为R ，则(()222222222222222233223322a b c R a b c R a b c R a b c m R ⎧++=⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪++++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎛⎛⎫⎪-+++= ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎪++-=⎪⎩，解得0a =，0b =，c =，232m R m+=，该球的表面积最小，∴该球半径最小，构建()()2302m f m m m+=>，则223()2-'=m f m m ，令()0f m '<，∈m ，令()0f m '>，)∈+∞m ，故()f m在单调递减，在)+∞单调递增，当m =时，半径最小，此时P易知面ABC 法向量(0,0,1)n =，(0,= AP ，故·sin 2·AP n AP nα== ，且π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得π4α=，故tan 1α=，而3(,22AB =-，设面ABP 法向量(,,)m x y z = ，则333·022·0m AB x y mAP ⎧=-=⎪⎨⎪=+=⎩，令x =可得m = ，且π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故·5cos 5n m n m β== ，所以sin 5β=，tan 2β=，故()tan tan tan 31tan tan αβαβαβ++==--故答案为：3-.【点睛】本题解题关键是先利用球的表面积最小得到P 的坐标，然后再利用向量法求得线面角，面面角，结合和角公式可得答案.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na n ⋅的前n 项和nT .【答案】（1）*21,N n a n n =-∈（2）211122339n n T n +⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据等差数列定义利用等比中项即可求得11a =，求得*21,N n a n n =-∈；（2）利用错位相减法求和即可求得数列{}2na n ⋅的前n 项和211122339n nTn +⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭.【小问1详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，由124,,S S S 成等比数列可得()()211112462a a a a ++=+⨯，解得11a =,所以数列{}n a 是以11a =为首项，公差为2的等差数列；即()12121n a n n =+-=-，所以数列{}n a 的通项公式为*21,N n a n n =-∈【小问2详解】由（1）可得2122n a n n n -⋅=⋅，所以前n 项和135211232222n n T n -⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅+，()35721214211232222n n n n n T -+⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅=⋅+-⋅；两式相减可得()213572121212121422222222232143n nn n n n n n n T n +-+++--+++⋅⋅⋅+-⋅=--⋅-⋅-=+=；可得211122339n n T n +⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知()2cos cos cos B C B Cbcab ac+=+.（1）求A ；（2）D 为BC 边上一点，DA BA ⊥，且3BD DC =，求cos C .【答案】（1）2π3（2）71938【解析】【分析】1.先利用三角形的内角和及诱导公式，把()cos B C +转化为cos A -，然后两边同乘以abc ，转化为：2cos cos cos a A c B b C -=+，再由正弦定理把边化成角，得：()2sin cos sin cos cos sin sin sin A A C B C B B C A -=+=+=，进一步得：1cos 2A =-，可得角A .2.可以采用向量的方法，表示AD，根据AB AD ⊥，转化为向量的数量积为0，得到边的关系；在再ABC 中，用余弦定理求解.【小问1详解】∵πB C A +=-⇒()cos cos B C A +=-，所以：2cos cos cos A B Cbc ab ac-=+，两边同乘以abc 得：2cos cos cos a A c B b C -=+.由正弦定理得：()2sin cos sin cos cos sin sin sin A A C B C B B C A -=+=+=.∵sin 0A ≠，所以1cos 2A =-.所以2π3A =.【小问2详解】取AB 、AC为平面向量的基底.因为D 在BC 边上，且3BD DC =，所以1344AD AB AC =+ .因为DA BA ⊥，所以·0AD AB = ⇒13·044AB AC AB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⇒23·0AB AC AB +=，所以232c bc =⇒23c b =.不妨设2b =，3c =.在ABC 中，由余弦定理：2222π2cos496193a b c bc =+-=++=，所以a =.由余弦定理：222719cos 238a b c C ab +-===.故cos 38C =.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B都是矩形，11D D D C ==，22AB BC ==.（1）求证：1AD D C ⊥；（2）若点P 的在线段1BD 上，且二面角P CD B --的大小为4π，求1D P PB的值.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）通过证明AD ⊥平面11DCC D ，可证1AD D C ⊥；（2）建立空间直角坐标系，设()1101D P D B λλ=≤≤ ，由二面角P CD B --的大小为π4，利用平面法向量求出λ，可求1D PPB.【小问1详解】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，则侧面11ADD A 都是矩形，有AD DC ⊥，1AD DD ⊥，1DC DD D ⋂=，1,DC DD ⊂平面11DCC D ，AD ⊥平面11DCC D ，1D C ⊂平面11DCC D ，1AD D C⊥【小问2详解】11D D D C ==，22AB BC ==.,E F 分别为,AB DC 的中点，连接1ED ，EF//EF AD ，AD ⊥平面11DCC D ，EF ⊥平面11DCC D ，11D D D C =，以E 为原点，1,,EF EC ED 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，11D D D C ==，22AB BC ==，则12ED =.则()()()()10,1,0,0,1,0,0,0,2,1,1,0C D D B -，设()1101D P D B λλ=≤≤ ，即()11,1,2D P λ=-，可得(),,22P λλλ-，()0,2,0DC = ，(),1,22CP λλλ=-- ，设平面PCD 的一个法向量(),,n x y z =r，则有()()201220n DC y n CP x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-+-=⎪⎩ ，令z λ=，则22,0x y λ=-=，得()22,0,n λλ=-r ，又平面BCD 的一个法向量()0,0,1m =，二面角P CD B --的大小为π4，则有πcos cos42n m n m n m ⋅⋅====⋅ ，解得23λ=，1123D P D B = ，则113PB D B = ，有1D PPB的值为2.20.甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．【答案】（1）23p =．（2）ξ246P592081168126681E ξ=．【解析】【分析】（1）分析题意，甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．列方程求出p ；（2）依题意知，分析出ξ的所有可能值为2，4，6．分别求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望.【详解】（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴有225(1)9p p +-=．解得23p =或13p =．12p >，23p ∴=．（2）依题意知，依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，5520(4)(1)()9981P ξ==-=，5516(6)(1)(1)19981P ξ==--⋅=．∴随机变量ξ的分布列为：ξ246P5920811681则52016266246.9818181E ξ=⨯+⨯+⨯=【点睛】（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.21.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为())12,F F ，渐近线方程为12y x =±.（1）求E 的方程；（2）直线l 与E 的左、右两支分别交于,M N 两点（,M N 在x 轴的同侧），当12//F M F N 时，求四边形12F F NM 面积的最小值.【答案】（1）2214x y -=（2【解析】【分析】（1）根据焦点坐标可得c =，再由渐近线方程可知12b a =，即可求得E 的方程为2214x y -=；（2）利用双曲线的对称性可知，将12,F M F N 延长分别交双曲线与点11,M N ，即可得1211F F NM M N N S S =V ，设出直线1N N的方程为x my =+并于双曲线联立，求得弦长()212414m NN m +=-，再由点到直线距离公式可得1124M N NS m=-V ，利用换元法和函数单调性可知当0m =时，四边形12F F NM 的面积取最小【小问1详解】根据意义可得c =，即225a b +=，又渐近线方程为by x a =±可得12b a =，解得224,1a b ==，即双曲线E 的方程为2214x y -=；【小问2详解】根据题意延长12,F M F N 分别交双曲线与点11,M N ，连接111,M N M N，如下图所示：由12//F M F N 以及双曲线的对称性可知四边形11M N NM 为平行四边形，四边形12F F NM 的面积即为平行四边形11M N NM 的一半，即1211F F NM M N N S S =V ，易知直线1N N过右焦点)2F ，可设直线1N N的方程为x my =+，()()11122,,,N x y N x y联立直线和双曲线方程2214x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 可得()22410m y -++=；显然()()22220441610m m m ∆=--=+>，且121222251,44y y y y m m +==--，易知12,y y 异号，即122104y y m =<-，可得24m <；由弦长公式可得()212414m NN m +===-，由平行可知1M 到直线1NN 的距离与()1F 到直线1NN 的距离相等，即为d =，所以()1211212241114224514F F NM M N NS m S NN d m m =+=⋅⨯==--V，t ⎡=∈⎣，则225455554441m tm t t==---，易知函数5y t t=-在t ⎡∈⎣上单调递减，所以max 5141y =-=，此时0m =；因此面积最小值为()11min4M N N S ==V ，即12,F M F N 都与x 轴垂直时，四边形12F FNM .【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用直线平行以及双曲线的对称性，将四边形面积转化为三角形面积，再利用弦长公式以及点到直线距离公式求出面积表达式，根据函数单调性求出面积最小值.22.已知函数()()sin sin 0f x a x ax a =+>.（1）当1,0a x =>时，证明()2f x x <；（2）当2a =时，讨论()f x 的单调性；（3）设0x >，证明()()e 2e axax f x +->.【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数与单调性、最值的关系证明；（2）利用导数与单调性的关系求解；（3）利用导数与单调性、最值的关系，证明不等式恒成立.【小问1详解】1,0a x =>时，()2sin f x x =，要证()2f x x <，即证()20f x x -<，即sin 0x x -<，设()sin ,(0),()cos 10g x x x x g x x '=->=-≤恒成立，所以()sin g x x x =-在()0,∞+单调递减，所以()sin (0)0g x x x g =-<=，即sin 0x x -<在()0,∞+恒成立，命题得证；【小问2详解】当2a =时，()2sin sin 2f x x x =+，所以()22cos 2cos 24cos 2cos 22(2cos 1)(cos 1)f x x x x x x x '=+=+-=-+，因为cos 10x +≥，在()2(2cos 1)(cos 1)f x x x '=-+的一个周期范围π5π,33⎡⎤-⎢⎣⎦内，ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0f x ¢>；π5π,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤；所以()f x 在ππ2π,2π,Z 33x k k k ⎡⎫∈-++∈⎪⎢⎣⎭单调递增，在π5π2π,2π,Z 33x k k k ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣⎭单调递减.【小问3详解】要证：()()e 2e axax f x +->，即证：()e 2e sin sin axax a x ax +->+，即证：()e e sin sin 0axa x a x x ax ax -+-+->，因为0,0x a >>，所以0ax >，由（1）可知，sin 0x x -<在()0,∞+恒成立，所以()sin 0,sin 0a x x ax ax ->->，令()e e ax h x a x =-，()e e ax h x a a '=-，令()e e=0ax h x a a '=-，解得1x a=，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以函数()e e ax h x a x =-在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以1()e e ()0axh x a x h a=-≥=，所以()e e sin sin 0axa x a x x ax ax -+-+->恒成立，原命题得证.。
最新陕西省渭南市富平县2020届高三上学期第一次摸底考试数学(文) 含答案
注意事项：
1.本试卷共 4 页，全卷满分 150 分，答题时间 120 分钟；
2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3.第 I 卷选择题必须使用 2B 铅笔填涂， 第 II 卷非选择题必须使用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书 写，涂写要工整、清晰；
A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.己知函数 f(x) ＝ xcosx ，则曲线 y=f(x) 在点 (0， f(0)) 处的切线方程是
A.2x － y＝0
B.x－ y＝ 0
C.2x＋ y＝ 0
D.x － 2y=0
11.已知 a 和 b 是平面 α内两条不同的直线， β是－个平面，则下列命题正确的是
。
15.过抛物线 C： y 2＝ 4x 的焦点作一条倾斜角为
点，则 |AB|＝
。
的直线 l ，直线 l 与抛物线 C 交于 A 、B 两
6
2
16.《九章算术》是我国古代数学经典名著，其中有这样一个问题：
“今有圆材，埋在壁中，
不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径几何
?”其意为：今有－圆柱形木材，埋在
B. ln a ln b
11
C.
ab
11
D.
ln a ln b
8.一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为
0.2，目标未受损的概率为
0.4 ，则目标受损但未
被击毁的概率为
A.0.8
B.0.6
C. 0.5
D. 0.4
9.已知 m∈R，若命题 p：m ≤0；命题 q： x∈ R， m≤ sinx，则 p 是 q 的
2020高考精品系列之数学(文)专题11 立体几何解答题(原卷版)
专题11立体几何解答题考纲解读三年高考分析1、对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．对于探索性问题用向量法比较容易入手．一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．2、空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．3、空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段P A，PB，PC两两互相垂直，且P A＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．垂直关系的证明和平行关系的证明是考查的重点，解题时常用到平行判定定理、垂直判定定理、垂直性质定理、平行性质定理，考查学生的数学逻辑推理能力、数学运算能力、直观想象能力，题型以选择填空题和解答题为主，中等难度.1、直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.2、直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1．【2019年天津文科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面P AC⊥平面PCD，P A⊥CD，CD＝2，AD＝3．（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面P AD；（Ⅱ）求证：P A⊥平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面P AC所成角的正弦值．2．【2019年新课标3文科19】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积．3．【2019年新课标2文科17】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．4．【2019年新课标1文科19】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．5．【2019年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E 为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面P AC；（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面P AB⊥平面P AE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面P AE？说明理由．6．【2018年新课标2文科19】如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．7．【2018年新课标1文科18】如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC 为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．8．【2018年新课标3文科19】如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．9．【2018年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面P AB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．10．【2018年天津文科17】如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2，∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．11．【2017年新课标2文科18】如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．（1）证明：直线BC∥平面P AD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．12．【2017年新课标1文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；（2）若P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．13．【2017年新课标3文科19】如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．14．【2017年北京文科18】如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，AB⊥BC，P A＝AB＝BC ＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：P A⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面P AC；（3）当P A∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．15．【2017年天津文科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD ＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．1．【2019年湖南省娄底市高三上学期期末】如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，BD 为梯形对角线，将梯形中的ABD ∆部分沿AB 翻折至ABE 位置，使ABE∆所在平面与原梯形所在平面垂直（如图2）.（1）求证：平面AED ⊥平面BCE ；（2）探究线段EA 上是否存在点P ，使//EC 平面PBD ？若存在，求出EPEA；若不存在说明理由. 2．【四川省威远中学2020届高三上学期第一次月考】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值； (3)若，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值．3．【2019年山西重点中学协作体高三暑假联考】如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD DC CB ===，60ABC =︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.（1）求证：BC ⊥平面ACFE ； （2）求多面体ABCDEF 的体积.4．【2020年四川省雅安市雨城区雅安中学高三上学期开学摸底】如图，已知多面体ABCDEF 中，ABD ∆、ADE ∆均为正三角形，平面ADE ⊥平面ABCD ，AB CD EF P P ，::2:3:4AD EF CD =. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面BFC ； （Ⅱ）若2AD =，求该多面体的体积.5．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，160,CBB A ∠=o在侧面11BB C C 上的投影恰为1B C 的中点O ．（1） 证明：1B C AB ⊥； （2） 若1ACAB ⊥，且三棱柱111ABC A B C -的体积为38，求三棱柱111ABC A B C -的高.6．【湖南省衡阳市第八中学2020届高三上学期月考（二)】如图，在五面体ABCDFE 中，侧面ABCD 是正方形，ABE ∆是等腰直角三角形，点O 是正方形ABCD 对角线的交点EA EB =，26AD EF ==且//EF AD .（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）若侧面ABCD 与底面ABE 垂直，求五面体ABCDFE 的体积.7．【江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试】如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12AB AC AA ===，E 是BC 的中点，F 是1A E 上一点，且12A F FE =.（Ⅰ）证明：AF⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求三棱锥11C A FC -的体积．8．【2020年安徽省江淮十校高三第一次联考】如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA AB ==，AE SC ⊥，垂足为E ，点A 在面SDC 上的投影为F 。
【精准解析】甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试(二)数学(文)试题
2020年兰州一中高三数学模拟试卷（二）文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()RA B =（ ）A. ()1,3B. (]1,3C. [)3,+∞ D. ()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R的范围,最后根据交集的含义计算()RA B ⋂的结果.【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,RA =-∞-⋃+∞,又因为()1,B =+∞,所以()[)3,RA B =+∞.故选C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解. 2. 设复数z 满足(2)34z i i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先根据(2)34z i i i +=-计算出复数z ，写出其共轭复数z ，即可根据复数的坐标表示选出答案．【详解】设复数z a bi =+，(2)(2)3423z i i ai b i b ∴+=-+=-⇒+=-，4a =-；4a ∴=-，5b =-；∴复数45z i =--，∴45z i =-+，复数z 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选B ．【点睛】本题考查共轭复数与复数的坐标表示，属于基础题． 3. 若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A. b a > B. b a < C. b a < D. b a >【答案】C 【解析】 【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得．【详解】令23abt ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3tb t ==， ()lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，a b >. 故选：C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 4. 已知α为锐角，3cos 5α=，则tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.13B.12C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得tan2α，再根据两角和正切公式求结果.【详解】∵α为锐角，3cos5α=，∴4sin5α，则2sin2sin cos222tan2cos2cos22αααααα==4sin1531cos215αα===++，∴1tan tan1422tan31421tan tan1422παπαπα++⎛⎫+===⎪⎝⎭--.故选：D【点睛】本题考查半角公式以及两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.5. 已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（）A. s＞3？B. s＞5？C. s＞10？D. s＞15？【答案】C【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得：k＝1，s＝1，s＝1，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝2，s＝4，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝3，s＝6，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝4，s＝11，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为4.因此判断框内的条件可填：s ＞10？ 故选：C .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力. 6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M满足MA MO= ，则·OM ON 的取值范围是（ ）A. []0,2B. 0,⎡⎣C. []22-,D. -⎡⎣【答案】D 【解析】 【分析】设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M 的参数方程，则·22os OM ON θ=，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON 结果.【详解】设(,)M x y ，则∵MA MO=，()0,2A -=∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：·22os OM ON θ=又∵cos [1,1]θ∈-∴2·2cos [22,22]OM ON θ=∈- 故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法7. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】D 【解析】 【分析】6根算筹可分为1、5,2、4，3、3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案．【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714⨯=个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示212⨯=个两位数； 则一共可以表示14216+=个两位数； 故选D ．【点睛】本题结合算筹计数法，考查排列与组合，属于基础题，本题的关键在于读懂题意． 8. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ） A. (3,7)-B. ()4,5-C. (7,3)-D. ()2,6-【答案】C 【解析】 【分析】首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解.【详解】当0x ≥时,2()45f x x x =-<的解为05x <≤；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<， 所以不等式()5f x <的解集为{}55x x -<<，所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}52573x x x x -<+<=-<<. 故选：C【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.9. 已知双曲线C ：22221x y a b-=，O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，若OAB ∆是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）A. 2213x y -=B. 2213y x -=C. 221124x y -= D.221412x y -= 【答案】A 【解析】 【分析】先根据双曲线性质得3a =，再根据渐近线求得1b =，即得双曲线C 的方程.【详解】由图可知，3a =且一条渐近线的倾斜角为30，所以3b a =，解得1b =，所以双曲线C的方程为2213x y -=.故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.10. 甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m ，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n ，且m ，{}1,2,3n ∈，若1m n -≤，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A.16B.13C.23D.79【答案】D 【解析】 【分析】由m ，{}1,2,3n ∈，分别作分类讨论，可写出9组数据，再结合古典概型公式计算即可 【详解】当1m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()1,1,1,2,1,3； 当2m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()2,1,2,2,2,3； 当3m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()3,1,3,2,3,3；其中符合1m n -≤的组合为： ()()()()()()()1,1,1,2,2,1,2,2,2,3,3,2,3,37种情况， 故两人心有灵犀的概率为：79P = 故选：D【点睛】本题考查古典概型的基本求法，列举法、树状图法常用来求解此种题型，属于基础题11. 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A.35B. 45-C. 3-D. 【答案】B 【解析】【分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定()12sin x x -的值. 【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=， 结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且120x x π<<<，故12712312x x πππ<<<<， 2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 已知函数21(),()2ln 2,()f x kx g x x e x e e==+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ） A. 224[,]e e-- B. 2[,2]e e-C. 24[,2]e e-D.24[,)e -+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,推导出2k lnx x=-，由此利用导数性质能求出实数k 的取值范围.【详解】因为函数()()21,2ln 2,f x kx g x x e x e e ⎛⎫==+≤≤⎪⎝⎭的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，所以设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -, 所以22ln 2e kx x e -=+，所以2k lnx x =-，222lnx k x+='-，由0k '=得x e =， 因为21x e e ≤≤，所以1,)x e e⎡∈⎢⎣时，0k '<，2k lnx x =-是减函数； 当2(,x e e ⎤∈⎦时，0k '>，2k lnx x=-是增函数， 所以x e =时，22k lne e e =-=-；当2x e =时，22224k lne e e =-=-， 当1x e=时，2121k ln ee e =-=；所以2min k e=-，2max k e =，所以实数的取值范围是22e e，⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, 所以选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性，从而可求出结果.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 已知多项式5432()254367f x x x x x x =--+-+，则(5)f =________． 【答案】2677 【解析】 【分析】结合秦九韶算法，将5432()254367f x x x x x x =--+-+转化为()()()()5432()254367254367f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+，然后由内至外逐步计算即可求出答案【详解】()()()()5432()254367254367f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+令125,t x =- 当5x =时，12555t =⨯-=；则令214t t x =-，当15,5t x ==时，255421t =⨯-=； 则令323t t x =+，当221,5t x ==时，32153108t =⨯+=；则令436t t x =-，当3108,5t x ==时，410856534t =⨯-=； 则令547t t x =+，当4534,5t x ==时，5534572677t =⨯+=； 故(5)2677f = 故答案为：2677【点睛】本题考查秦九韶算法，将多项式转化为()()()()()254367f x x x x x x =--+-+至关重要，属于中档题14. 设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为__________. 【答案】95【解析】 【分析】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，1312n m n ++++可化为111a b++，利用基本不等式可求11a b+的最小值，从而可得所求的最小值. 【详解】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，且13a <<，24b <<， 又1311112n m n a b++=++++， 而()()114222551151115b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎛⎫+=⨯+⎝⨯ ⎪⎝⎭⎭， 当且仅当52a b ==时等号成立， 故1312n m n ++++的最小值为95. 故答案为：95.【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立.15. 设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'fx ，若()()'1f x f x +>，()02020f =，则不等式()2019xxe f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为__________.【答案】()0,∞+ 【解析】 【分析】构造函数()()2019xxg x e f x e =--，由题意，只需解()0>g x 即可，利用导数研究()g x 的单调性即可得到答案.【详解】设()()2019x xg x e f x e =--，不等式()2019x xe f x e >+的解等价于不等式()0>g x 的解，因为''()(()()1)0xg x e f x f x =+->，所以()g x 在R 上单调递增，又(0)(0)120190g f =--=， 所以()0(0)g x g >=，所以0x >，所以原不等式的解集为()0,∞+ 故答案为：()0,∞+【点睛】本题主要考查构造函数利用函数的单调性解不等式，考查学生转化与化归思想，是一道中档题.16. 已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，BC ＝3，PB ＝，PC =P ﹣ABC 外接球的表面积为______．【答案】10π 【解析】 【分析】由O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，可得球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心， 在△PBC 中，由余弦定理、正弦定理可得R .【详解】因为O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，根据球的性质，球心一定在垂线l 上，∵球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心，在△PBC 中，由余弦定理得cos B 222222PB BC PC BP BC +-==⋅，⇒sin B 22=， 由正弦定理得：2PC R sinB =，解得R 10=， ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为s ＝4πR 2＝10π， 故答案为10π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE 是等边三角形，侧面ADE ⊥底面ABCD ，其中//AB DC ，24BD DC ==，3AD =，5AB =.（Ⅰ）F 是EC 上一点，求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（Ⅱ）求三棱锥C BDE -的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）35. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由勾股定理得BD AD ⊥，再由平面ADE ⊥平面ABCD ， 得BD ⊥平面ADE ，得证； （Ⅱ）由13C BDE E BCD BCD V V S EH --==⋅△，得112336335C BDE V -=⨯= 【详解】（Ⅰ）在ABD △中，4BD =，3AD =，5AB =222AB AD BD ∴+=，BD AD ∴⊥又平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，BD ∴⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF∴平面⊥BDF 平面ADE（Ⅱ）取AD 中点H ，由ADE 为等边三角形得EH AD ∴⊥ 平面ADE ⊥平面ABCD ，EH ∴⊥平面ABCD ，1·3C BDE E BCD BCD V V S EH --∴==△又因为ADE 中，332EH =， 在ABD △中，AB 边上的高341255⨯==112112(25)342525BCD ABCD ABD S S S ∆∴=-=⨯+⨯-⨯⨯=△ 112336335C BDE V -∴=⨯⨯=∴三棱锥C BDE -的体积为63.考点：空间中的位置关系、体积计算． 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =，()1310n n n S nS ++-=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若*112,n n n n a b n S S ++=∈N ，求证：123n b b b +++<.【答案】（1）()3*423,n n a n n -=+⋅∈N ；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）题设中的递推关系可转化为131n n S S n n +=+，利用等比数列的通项公式可求n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，从而求出n S 后可求{}n a 的通项公式.（2）利用裂项相消法可求{}n b 的前n 项和，从而可证不等式成立. 【详解】（1）∵()1310n n n S nS ++-=，∴131n n S S n n+=+，又12013S =≠，所以113n n S n S n++=， ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以23为首项，3为公比的等比数列，∴1223233n n n S n --=⨯=⨯，223n n S n -=⋅. 当2n ≥时，()()2331=23213423n n n n n n a S S n n n -----=⋅--⋅=+⋅；当1n =时，123a =符合上式，∴()3*423,n n a n n -=+⋅∈N . （2）证明：()1111122112n n n n n n n n nn S S a b S S S S S S +++++-⎛⎫===- ⎪⎝⎭，∴12122311111112n nn b b b S S S S S S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111223n S S S +⎛⎫=⨯-<⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查数列通项的求法以及裂项相消法求和，后者应该根据通项的特征选择合适的求和方法.19. 根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．()1已知[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；()2该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和为200元的概率． 【答案】(1)0.035a =，0.025b =.(2)35【解析】【详解】试题分析：(1)根据频率直方图中结论：所有频率之和为1，则有：(0.0150.0100.015)101a b ++++⨯=，即有：0.060a b +=，又由条件：[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，则有：20.015b a =+，解方程组得：0.035a =，0.025b =；(2) 根据(1)中：0.060a b +=，可得高消费人群所占比例为60100，有利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. 由古典概率模型的求法：令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，例举总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 这10种情况，其中,,,ABa ABb ACa ,,ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况，运用概率公式可求出三人获得代金券总和为200元的概率.试题解析：(1) 根据频率直方图中结论：所有频率之和为1，则有：(0.0150.0100.015)101a b ++++⨯=，即有：0.060a b +=，又由条件：[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，则有：20.015b a =+，解方程组得：0.035a =，0.025b =根据(1)中：0.060a b +=，可得高消费人群所占比例为60100，有利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. 令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 10种情况， 其中,,,,,ABa ABb ACa ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况，因此，三人获得代金券总和为200元的概率为35. 考点：考查统计与概率的相关知识20. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(2,2)A ，点B 在抛物线C 上，且满足2OF FB FA =-（O 为坐标原点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l D '，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l D '与抛物线C 交于M ，N 两点，OPQ △的面积记为1S ，OMN 的面积记为2S ，求证：221211S S +为定值. 【答案】（1）24y x =（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据条件解得B 点坐标，代入抛物线方程解得p ，即得结果；（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得1S 与2S ，最后代入化简221211S S +得结果. 【详解】（1）设11(,)B x y 11(,0),2(,0)(4,4)222p p pF OF FB FA x p y ∴=-⇒=--+- 11114,404,422p px p y x y =--+-=∴== 因为点B 在抛物线C 上，2242424p p y x ∴=⋅∴=∴=（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设:1lx my =+，代入24y x =得2440y my --=，所以1212124,4||y y m y y y y +==-∴-==因此1211||1S 2y y =-⨯=2S =因此22222212211111114(1)4(1)4(1)44(1)m S S m m m m+=+=+=++++ 【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.21. 已知函数()2ln f x x x x =-+（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式()2(1)12a f x x ax <-+-恒成立；【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证出结论即可； 解析：（1）()()2121'210x x f x x x x x-++=-+=＞，由f'（x ）＜0，得2x 2﹣x ﹣1＞0．又x ＞0，所以x ＞1，所以f （x ）的单调递减区间为（1，+∞），函数f （x ）的单增区间为（0，1）． （2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()()2111'1ax a x g x ax a x x-+-+=-+-=，因为a≥2，所以()()11'a x x a g x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令g'（x ）=0，得1x a =，所以当()10'0x g x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，＞，当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，g'（x ）＜0， 因此函数g （x ）在10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，是增函数，在1x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，是减函数， 故函数g （x ）的最大值为()2111111()1122g ln a a lna a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()12h a lna a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为()12204h ln =-＜，又因为h （a ）在a∈（0，+∞）是减函数， 所以当a≥2时，h （a ）＜0，即对于任意正数x 总有g （x ）＜0， 所以关于x 的不等式恒成立．点睛：这个题目考查的是利用导数研究函数的单调性和最值问题；证明不等式的恒成立问题；证明不等式恒成立问题一般采用以下方法：其一可以转化为函数最值问题，使得函数最值大于或者小于0；其二可以转化为两个函数的不等式关系，使得一个函数的最小值大于另一个函数的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，A 、B 均异于原点O，且AB =α的值. 【答案】（1）(223x y +=，()2211x y -+=；（2）512π或1112π. 【解析】 【分析】（1）由题意消去参数即可得曲线1C 的普通方程，由极坐标方程、直角坐标方程转化公式可得2C 的直角坐标方程；（2）由题意结合极坐标方程、直角坐标方程转化公式可得曲线1C 的极坐标方程，设()1,A ρα，()2,B ρα，由ρ的几何意义可得4sin 6AB πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由特殊角的三角函数值即可得解.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程消参可得曲线1C的普通方程为(223x y +=；曲线2C 极坐标方程可变为22cos ρρθ=，∴2C 的直角坐标方程为222x y x +=即()2211x y -+=；（2）曲线1C 化极坐标方程为ρθ=，设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρα=，22cos ρα=，∴122cos 4sin 6AB πρρααα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，由AB =sin 62πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭， ∵0απ<<，∴5666πππα-<-<，∴64ππα-=或364ππα-=， ∴512πα=或1112πα=. 【点睛】本题考查了直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的转化，考查了ρ的几何意义的应用及运算求解能力，属于中档题.23. 已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值. 【答案】（1）6m =（2）32 【解析】 【分析】()1利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于m 的方程,求出m 的值即可;()2由()1知6m =可得,212a b c ++=，利用三个正数的基本不等式a b c ++≥,构造和是定值即可求出()()()113a b c ++-的最大值. 【详解】（1）∵()2f x x m x =--+，()2222f x x m x ∴-=----+，所以不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，, 即为不等式20x m x ---≥的解集为(] 4-∞，，- 21 - ∴2x m x --≥的解集为(] 4-∞，, 即不等式()222x m x --≥的解集为(] 4-∞，， 化简可得,不等式()()2220m m x ++-≥的解集为(] 4-∞，， 所以242m +=,即6m =. （2）∵6m =，∴212a b c ++=.又∵0a >，0b >，3c >，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-,212a b c ++=等号成立,即3a =，1b =，7c =时，等号成立，∴()()()113a b c ++-的最大值为32.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a b c ++≥的灵活运用;其中利用212a b c ++=构造出和为定值即()()()1223a b c ++-+-为定值是求解本题的关键;基本不等式a b +≥取最值的条件:一正二定三相等是本题的易错点;属于中档题.。
大庆市2019届高三第一次模拟考试数学(理科)含答案解析
【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0， ]内的x0的值．
【解答】解：∵曲线f（x）=sin（wx）+ cos（wx）=2sin（wx+ ）的两条相邻的对称轴之间的距离为 ，
∴ =π，
∴w=2
∴f（x）=2sin（2x+ ）．
∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，
【解答】解：函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a的导数为f′（x）=3x2﹣2x﹣1，
当x＞1或x＜﹣ 时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当﹣ ＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（1）为极小值，f（﹣ ）为极大值．
∵f（x）在（﹣∞，﹣ ）上单调递增，
∴当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，
构造函数g（x）=x3+2x﹣ ，则问题转化为g（x）在x∈[﹣1，1]上的零点个数，
求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，
由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．
故选：A．
【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．
因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；
因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；
由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．
2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（含答案）本试卷共5页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2iC ．1–2iD ．–1–2i3．已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=A B ．2C ．D ．504．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23 B ．35 C ．25D ．155．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．129．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．8 10．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=11．已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．15BCD12．设F为双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为ABC．2 D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x，y满足约束条件23603020x yx yy⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则z=3x–y的最大值是___________.14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.15．ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A+a cos B=0，则B=__________ _.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）三、解答题：共70分。
(新九省地区专用)2025届新高三数学开学摸底考试卷二(含答案与解析+答题卡)
2025届新高三开学摸底考试卷（新九省地区专用）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合(){}23|0,log 221x A x B x x x -⎧⎫=∈≤=+⎨⎬+⎩⎭Z ，则U A B =I ð（ ） A ．{}12x x -≤≤∣ B ．{12}xx -<≤∣ C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．在复平面内，复数12,z z 对应的点关于直线y x =对称，若12i z =+，则213i z +-=（ ） AB ．5CD ．13．已知向量(2,4),(3,1)a b ==-，则“k =()()a kb a kb +⊥- ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知()()()1sin 2cos ,tan 2αβαβαβ-=+-=，则tan tan αβ-=（ ） A ．35B ．53C ．45D ．655．已知正四棱台1111ABCD A B C D -32π的球面上，且该球的球心在底面ABCD 上，则棱台1111ABCD A B C D -的体积为（ ） AB．CD．6．已知函数()21sin π4f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则方程()1f x =在区间[]2,3-上的所有实根之和为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，121n n na a a +=+，若()2024,1S k k ∈+，则正整数k 的值为（ ）A ．2024B ．2023C ．2022D ．20218．对于函数()y f x =和()y g x =，及区间D ，若存在实数k b ､，使得()()f x kx b g x ≥+≥对任意x D ∈恒成立，则称()y f x =在区间D 上“优于”()y g x =.有以下两个结论：①()2log f x x =在区间[]1,2D =上优于()2(1)g x x =-；②()32f x x =+在区间[]1,1D =-上优于()e x g x =.那么（ ） A ．①､②均正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确D ．①､②均错误二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（ ）A ．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是4591B ．已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，若()20,()10E X D X ==，则40n =C ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，若(1)P p ξ>=，则(3)1P p ξ<=-D ．已知随机事件A ，B 满足32(),()55P B P AB ==，则1()3P AB =∣ 10．关于函数()12ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ） A ．12x =是()f x 的极大值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．对1k >不等式()f x kx <在[)1,+∞上恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则121x x +>11．已知()()1122,,,P x y Q x y 是曲线222:7666321C x y y x y -+++-=上不同的两点，O 为坐标原点，则（ ）A ．2211x y +的最小值为3B ．24≤≤C ．若直线3y kx =+与曲线C 有公共点，则,k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在,P Q 两点处的切线垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知双曲线22221x y a b-=的左焦点为F ，P 为渐近线位于第一象限内的点，过原点O 作直线AB 平行于FP ，交双曲线于A ，B 两点，四边形FPBA 为矩形，则该双曲线的离心率为 ．13．已知直线:l y kx =是曲线()1e xf x +=和()lng x x a =+的公切线，则实数a = ．14．一个书包中有标号为“1,1,2,2,3,3,,,n n ”的2n 张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为n P ，则3P = .7P = .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()223sin sin 222B A aba b a b c +=++． (1)求角C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求a bc+的取值范围． 16．（15分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F ，，点P 的坐标为()a b ，，且线段OP(1)求椭圆的离心率e ；(2)若直线2PF 交椭圆于M N ，两点（M 在N 的上方），过2F 作PN 的垂线l 交y 轴于点D ，若线段2DF 延长线上的一个点H 满足DPH △2． ①证明四边形DPHN 是菱形； ②若243DF =，求椭圆的方程．17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，5AB AD +=，CD =120PAD ∠=︒，=45ADC ∠︒.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)设AB AP =.①若直线PB 与平面PCD AB 的长.②在线段AD 上是否存在点G ，使得点P ，C ，D 在以G 为球心的球上？若存在，求线段AB 的长；若不存在，说明理由.18．（17分）已知函数()e 2,,e xf x ax a =--ÎR 是自然对数的底数.(1)若1a =，证明：()1f x ≥-；(2)若关于x 的方程()20f x +=有两个不相等的实根，求a 的取值范围； (3)若1,a k =为整数，且当0x >时，不等式()11k xf x x -'<+恒成立，求k 的最大值. 19．（17分）中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界冠军，2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一次排球训练课上，体育老师安排4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形（如图），已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为25，传给对角线上的同学的概率为15，由甲开始传球．(1)求第3次传球是由乙传给甲的概率； (2)求第n 次传球后排球传到丙手中的概率；(3)若随机变量i X 服从两点分布，且()()110i i i P X P X q ==-==，1i =，2，…，n ，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，记前n 次（即从第1次到第n 次传球）中排球传到乙手中的次数为Y ，求()E Y ．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合(){}23|0,log 221x A x B x x x -⎧⎫=∈≤=+⎨⎬+⎩⎭Z ，则U A B =I ð（ ） A ．{}12x x -≤≤∣ B ．{12}xx -<≤∣ C ．{}0,1,2 D ．{}1,0,1,2-【答案】C【分析】解分式不等式求解集合A ，解对数函数不等式得集合B ，然后利用补集运算和交集运算求解即可. 【详解】由301x x -≤+得()()31010x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得13x -<≤.又x ∈Z ，所以{}0,1,2,3A =. 由()22log 22log 4x +>=，得2x >，所以{2}B x x =>∣，所以{}2U B x x =≤∣ð， 所以{}0,1,2U A B ⋂=ð. 故选：C .2．在复平面内，复数12,z z 对应的点关于直线y x =对称，若12i z =+，则213i z +-=（ ）A B ．5C D ．1【答案】C【分析】由12,z z 关于直线y x =对称求出2z ，再根据复数模的定义计算即可． 【详解】因为12i z =+，所以其对应点为()2,1，()2,1关于直线y x =对称的点为()1,2，则212i z =+，所以213i 12i 13i 2i z +-=++-=-= 故选：C ．3．已知向量(2,4),(3,1)a b ==- ，则“k =是“()()a kb a kb +⊥-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先计算()()a kb a kb +⊥- 时k 的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可.【详解】因为(2,4)a =，(3,1)b =- ，所以()+23,4a kb k k =+- ，()23,4a kb k k -=-+，当()()a kb a kb +⊥-时，()()·0a kb a kb +-=，即(23)(23)(4)(4)0k k k k +-+-+=解得k =所以“k =是()()a kb a kb +⊥-的充分不必要条件.故选：A.4．已知()()()1sin 2cos ,tan 2αβαβαβ-=+-=，则tan tan αβ-=（ ） A ．35B ．53C ．45D ．65【答案】C【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除cos cos αβ，得到tan tan tan tan 12αβαβ-⋅=-.再利用两角差的正切公式展开()tan αβ-，将tan tan αβ⋅换成tan tan 12αβ--，化简即可得到答案.【详解】()()sin 2cos αβαβ-=+，所以()sin cos cos sin 2cos cos sin sin αβαβαβαβ-=-， 两边同除cos cos αβ，得到tan tan 22tan tan αβαβ-=-⋅，即tan tan tan tan 12αβαβ-⋅=-.()tan tan tan tan 1tan tan tan 1tan tan 2112αβαβαβαβαβ---===-+⋅+-，4tan tan 5αβ∴-=.故选：C.5．已知正四棱台1111ABCD A B C D -32π的球面上，且该球的球心在底面ABCD 上，则棱台1111ABCD A B C D -的体积为（ ） AB．CD．【答案】C【分析】利用棱台及其外接球的特征结合台体体积公式计算即可. 【详解】设球心为O ，球O 的半径为R ，棱台高为h ，则24π32πR =，所以R =，由于O 在底面ABCD 上，底面ABCD 为正方形， 易得正方形ABCD4=，面积为16； 设底面1111D C B A 的外接圆半径为r，则r == 易得正方形1111D C B A2=，面积为4；所以正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为(11643V =⨯+=. 故选:C ．6．已知函数()21sin π4f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则方程()1f x =在区间[]2,3-上的所有实根之和为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】首先确定()f x 的图象关于12x =对称，然后分12x =和12x ≠两种情况进行讨论，利用数形结合的方法，在同一直角坐标系中画出sin πy x =、 2112y x =⎛⎫- ⎪⎝⎭，通过判断两函数在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上的交点个数即可求出函数()1f x =的实根和.【详解】因为()2211sin πsin π42f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()221111sin π1sin π22f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=---=-= ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象关于12x =对称，因为102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时()1f x =不成立， 当12x ≠时，由()1f x =，即21sin π12x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则21sin π12x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()214sin 2π09122=<=⎛⎫- ⎪⎝⎭，2511sin π1245122⎛⎫=>= ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，214sin 3π025132=<=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 在同一平面直角坐标系中画出2112y x =⎛⎫- ⎪⎝⎭与sin πy x =，[]2,3x ∈-的图象如下所示：由图可得2112y x =⎛⎫- ⎪⎝⎭与sin πy x =在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上有且仅有2个交点，图象都关于12x =， 所以所有的实根之和为122⨯=. 故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是判断出()f x 关于12x =对称，再将方程的解转化为函数与函数的交点横坐标，根据对称性计算.7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，121nn na a a+=+，若()2024,1S k k ∈+，则正整数k 的值为（ ） A ．2024 B ．2023C ．2022D ．2021【答案】C【分析】根据递推关系，构造等比数列求出通项公式，再由分组求和及放缩法得出n S 的范围即可. 【详解】由121n n n a a a +=+，两边取倒数可得：111122n n a a +=+， 即1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又111n a -=，所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为12的等比数列， 所以111111*********n n n n n n a a a ----=⇒=+⇒=-+， 故011111212121n n S n -⎛⎫=-++⋯+ ⎪+++⎝⎭， 令011111212121n M -=++⋯++++ 由112112n n -<+且3n ≥，则32111151112322642n n M -⎛⎫>++++=+- ⎪⎝⎭ ，由1111212n n --<+，则0111111212222n nM -⎛⎫<+++=- ⎪⎝⎭， 则1113122122nn nn S n --+<<-+，所以20242023202411112022202220232122S +<<++<， 故()20242022,2023S ∈，则正整数k 的值为2022． 故选：C8．对于函数()y f x =和()y g x =，及区间D ，若存在实数k b ､，使得()()f x kx b g x ≥+≥对任意x D ∈恒成立，则称()y f x =在区间D 上“优于”()y g x =.有以下两个结论：①()2log f x x =在区间[]1,2D =上优于()2(1)g x x =-；②()32f x x =+在区间[]1,1D =-上优于()e x g x =.那么（ ） A ．①､②均正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确 D ．①､②均错误【答案】A【分析】在同一个平面直角坐标系作出函数(),()y f x y g x ==在区间D 上的图形，由题意给的定义，根据数形结合的数学思想依次判断即可求解.【详解】①：当1x =时，(1)0,(1)0f g ==；当2x =时，(2)1,(2)1f g ==， 所以函数(),()f x g x 图象都经过点(1,0),(2,1)A B ， 则直线AB 的方程为()100121y x --=--，即1y x =-， 在同一个平面直角坐标系作出函数(),()y f x y g x ==在区间[]1,2上的图形，如图，由图可知，()()()22log 11f x x y x g x x =³=-³=-，即存在1,1k b ==-使得()()f x kx b g x ≥+≥在区间[]1,2上恒成立， 所以()2log f x x =在区间[]1,2D =上优于()()21g x x =-，故①正确；②：问题等同于()3f x x =在区间[]1,1D =-上优于()e 2xg x =-在同一个平面直角坐标系作出函数(),()y f x y g x ==在区间[]1,1D =-上的图形，如图，由图可得，()()11e 2,1e 2g g -=--=-，即()()11,e 2,1,e 2A B ----，所以直线AB 的方程为()()1e 2e 2e 212y x ---+--=-，即11e e e e e 222y x ----=+--.设曲线3()f x x =在()()3000,0,x x x >处且平行于直线AB 的切线为l ，由()2003l k f x x ¢==，//l AB ，得120e e 32x --=，解得0x =则切点，所以1e e :2l y x -æ-ç-=-ççè，即1e e 2y x --=取e 2.7=，则1e e 0.47e 20.482---≈-->-， 所以切线l 位于直线AB 的下方，则存在实数,k b 使得()()3e 2x f x x y kx b g x =³=+³=+，即()32f x x =+在区间[]1,1D =-上优于()e x g x =，故②正确.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数新定义，利用导数研究不等式恒成立，和导数的几何意义；在利用导数求切线方程时，可用导数的意义求出切线的斜率.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（ ）A ．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是4591B ．已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，若()20,()10E X D X ==，则40n =C ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，若(1)P p ξ>=，则(3)1P p ξ<=-D ．已知随机事件A ，B 满足32(),()55P B P AB ==，则1()3P AB =∣ 【答案】BD【分析】对A ，根据超几何分布可计算判断；对B ，由二项分布的均值和方差公式计算判断；对C ，根据正态分布的对称性求出概率判断；对D ，根据全概率和条件概率的计算公式求解.【详解】对于A ，从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为21410314C C 61015C 1413291p ⋅⨯===⨯⨯，故A 错误； 对于B ，(),X B n p ~ ，()20110np np p =⎧∴⎨-=⎩，解得4012n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，故B 正确；对于C ，()22,N ξσ ，则正态曲线的对称轴为2ξ=，根据正态曲线的对称性可得()()13P P p ξξ>=<=，故C 错误；对于D ，()()()P B P AB P AB =+ ，()321555P AB ∴=-=， 所以()()()115335P AB P A B P B ===，故D 正确. 故选：BD.10．关于函数()12ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ） A ．12x =是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．对1k >不等式()f x kx <在[)1,+∞上恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则121x x +> 【答案】BCD【分析】对于A ，直接对函数()12ln f x x x=+求导研究即可；对于B ，构造函数()()12ln x x x g x f x x =-=+-，求导，利用单调性来判断即可；对于C ，将问题转化为()212ln f x x k x x x>=+在[1,)∞+上恒成立，构造函数()212ln xh x x x=+，求其最大值即可；对于D ，将问题转化为证明()()1f x f x >-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，构造函数()()()1g t f t f t =--，利用导数求其最值可得答案. 【详解】对于A ，()12ln f x x x=+ ，()221221x x x x f x -'∴=-+=，当102x <<时，()0f x '<，函数()12ln f x x x =+在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当12x >时，()0f x ¢>，函数()12ln f x x x =+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 12x ∴=为()f x 的极小值点，A 错误； 对于B ，()()12ln x x xg x f x x =-=+-， 则()()22211210x g x x x x --'=-+-=≤，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递减， 又()112ln110g =+-=，所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，B 正确； 对于C ，若()f x kx <在[1,)∞+上恒成立， 得()212ln f x xk x x x>=+在[1,)∞+上恒成立， 则2max 12ln x k x x ⎡⎤>+⎢⎥⎣⎦，令()212ln xh x x x =+，则()323222ln 222ln x x x x h x x x x ---+-'=+=， 令()222ln k x x x x =-+-，()2ln k x x '=-， 当[1,)x ∞∈+时，()0k x '≤，()k x 单调递减，()()1222ln 20k x k ∴≤=-+-=，即()0h x '≤，()h x ∴在[1,)∞+上单调递减，故函数()()max 11h x h ==，则1k >，C 正确；对于D ， 令10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()()()11122ln 2ln 12ln 1111g tt t tt f t f t t t t t t -=+-=----=+---，则()()()()()()()()222222211212211120111t t t t t t t t t t t t t t g t -----'----+=+⨯⨯=<--- ()g t ∴在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()012g t g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即()()10f t f t -->， 10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x > ，()()12f x f x =，结合A 选项可得122111,0,1222x x x ><<->，()()221f x f x ∴>-，()()121f x f x ∴>-，函数()12ln f x x x =+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 则121x x >-，121x x +>即对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则121x x +>，D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题难点在选项D ，将问题转化为证明()()1f x f x >-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是关键，然后构造出函数()()()1g t f t f t =--来解决问题.11．已知()()1122,,,P x y Q x y 是曲线222:7666321C x y y x y -+++-=上不同的两点，O 为坐标原点，则（ ）A ．2211x y +的最小值为3B ．24≤+≤C ．若直线3y kx =+与曲线C 有公共点，则,k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在,P Q 两点处的切线垂直 【答案】BCD【分析】根据题中曲线表达式去绝对值化简，根据表达式求值判定A ，根据几何意义判断B ，根据直线与椭圆的位置关系判断C ，根据图形特征以及切线概念判断D.【详解】当2630x y +-≥时，原方程即2227666321x y y x y -+++-=，化简为22143y x +=，轨迹为椭圆，将22334y x =-代入2630x y +-≥，解得08y ≤≤，则此时02y ≤≤，即此部分为椭圆的一半，当2630x y +-<时，原方程即()2227666321x y y x y -+-+-=，化简得()2214x y +-=，将()2241x y =--代入2630x y +-<，解得2y >或0y <， 则此时10y -≤<，即此部分为圆的一部分，作出曲线的图形如下：选项A ：当0y ≥时，1222221111333344y x y y y =-++=+≥，当10y =时取最小值3，当0y <时，()2222111114123x y y y y +=--+=+，当11y =-时取最小值1，则2211x y +的最小值为1，故A 错误；选项B ()11,x y 与点()0,1和点()0,1-的距离之和，当0y ≥时，点()0,1和点()0,1-为椭圆22143y x +=的焦点，，当0y <时，点()0,1为圆()2214x y +-=的圆心，点()0,1-在圆()2214x y +-=上，2当点P 在()或)最大，且为2，[]2,4，即24≤≤，故B 正确；选项C ：直线3y kx =+过定点()0,3，当直线经过()或)时，直线斜率k =，联立221433y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得()224318150k x kx +++=， 因直线3y kx =+与曲线C 有公共点，即()()22Δ18443150k k =-+⨯≥，解得k ≥k ≤， 所以直线3y kx =+与曲线C有公共点时,k ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确； 选项D ：当点P 在椭圆上时，对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ， 则曲线C 在点P 处的切线斜率可以取任何非零正实数，曲线C 在y 轴右侧椭圆部分切线斜率也可以取到任何非零负实数，使得两切线斜率为负倒数， 同理，当点P 在圆上时，对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ， 则曲线C 在点P 处的切线斜率可以取任何非零负实数，曲线C 在y 轴右侧圆部分切线斜率也可以取到任何非零正实数，使得两切线斜率为负倒数，所以对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在,P Q 两点处的切线垂直，故D 正确； 故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为： （1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解；（2）坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知双曲线22221x y a b-=的左焦点为F ，P 为渐近线位于第一象限内的点，过原点O 作直线AB 平行于FP ， 交双曲线于A ，B 两点，四边形FPBA 为矩形，则该双曲线的离心率为 ．1【分析】由已知，可得P 点坐标为(),a b ，由双曲线的性质可得B 为PE 的中点，则得,22a c b B +⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程，化简即可解出双曲线的离心率. 【详解】由已知，四边形FPBA 为矩形，可知O 为AB 的中点，所以OP OF c ==， 设P 点坐标为(),x y ，则22222x y c a b +==+， 又P 在渐近线by x a=上，联立解得(),P a b ， 延长PB 交x 轴于点E ，由对称性可得E 为双曲线的右焦点，则B 为PE 的中点，则,22a c b B +⎛⎫⎪⎝⎭，代入22221x y a b-=化简得，22240c ac a +-=， 则得2240e e +-=，解得1e =-（负值舍去）.1.13．已知直线:l y kx =是曲线()1e xf x +=和()lng x x a =+的公切线，则实数a = ．【答案】3【分析】先设在()y f x =上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在()y g x =上的切点，即可求出a 的值.【详解】设直线l 与曲线()y f x =相切于点()00,x y ，由()1e x f x +'=，得()010e x k f x +'==，因为l 与曲线()1e xf x +=相切，所以0010010e ,e ,x x y x y ++⎧=⎪⎨=⎪⎩消去0y ，得00110e e x x x ++=，解得01x =． 设l 与曲线()y g x =相切于点()11,x y ，由()1g x x'=，得211e k x ==，即21e 1x =，因为()11,x y 是l 与曲线()ln g x x a =+的公共点，所以21111e ,ln ,y x y x a ⎧=⎨=+⎩消去1y ，得211e ln x x a =+，即211ln e a =+，解得3a =．故答案为：3.14．一个书包中有标号为“1,1,2,2,3,3,,,n n ”的2n 张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为n P ，则3P =.7P =.【答案】35/0.6 275005【分析】先求出他手中3张单张卡片含有2张相同卡片的概率，进而得出n P 和1n P -间的递推关系，用累乘方法求解73,P P 即可.【详解】2n 张卡片选取3张卡片的选法共有：32C n 种，事件“手中这3张单张卡片中含有2张相同卡片”的选法共有：(22)n n -种； 由古典概型的计算公式可得其概率为：32(22)3C 21nn n n -=-， 若书包中2n 张卡片全部被拿走的概率为n P ，将这两张相同的卡片拿掉以后，相当于从1n -对相同的卡片中已拿出一张卡，事件“书包中2n 张卡片全部被拿走”发生需保证事件“书包中22n -卡片全部被拿走”发生， 且书包中22n -卡片全部被拿走概率为1n P -， 因而1321n n P P n -=-，且21P =， 则32332315P P ==⨯-，7333332713119755005P =⨯⨯⨯⨯=， 故答案是：35（或0.6），275005. 【点睛】思路点睛：本题主要考查递推数列与概率知识的交汇问题，解决该类问题应该注意的事项有： （1）做好互斥事件的划分，正确进行独立事件概率的计算；（2）借助待定系数方法建立不同事件概率间的递推关系，即构建递推数列； （3）正确运用数列求通项公式或求和的方法解决问题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()223sin sin 222B A ab a b a b c +=++． (1)求角C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求a bc+的取值范围． 【答案】(1)π3C =(2)2⎤⎦【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，结合余弦定理将角转化为边，可将式子变形为222a b c ab +-=，再利用余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角恒等变换可得π2sin 6a b A c +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据锐角三角形可得A 的取值范围，结合三角函数的图象和性质即可求解. 【详解】（1）在ABC 中，()()221cos 1cos cos cos sin sin 222222a Bb A B A a b a B b A a b --+++=+=-()22222211cos cos 222222a b a b a c b b c a a B b A a b ac bc ⎛⎫+++-+-=-+=-⨯+⨯ ⎪⎝⎭2a b c+-=， 因为()223sinsin 222B A ab a b a b c +=++， 所以()322a b c ab a b c +-=++， 化简得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,πC ∈，所以π3C =；..........................................................6分 （2）由正弦定理知2πsin sin sin sin 3πsin sin 3A A a b AB cC ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭==13sin sin sin 22A A A A A ⎫⎫=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭1π2cos 2sin 26A A A ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 由ABC 为锐角三角形可知π02π02A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，而π3C =，..........................................................9分 所以π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩得ππ62A <<，所以ππ2π363A <+<，πsin 16A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即π2sin 26A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，则a bc+的取值范围为2⎤⎦...........................................................13分16．（15分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F ，，点P 的坐标为()a b ，，且线段OP(1)求椭圆的离心率e ；(2)若直线2PF 交椭圆于M N ，两点（M 在N 的上方），过2F 作PN 的垂线l 交y 轴于点D ，若线段2DF 延长线上的一个点H 满足DPH △2． ①证明四边形DPHN 是菱形； ②若243DF =，求椭圆的方程． 【答案】(1)12;(2)①证明见解析 ；②2231164x y +=.【分析】（1）利用条件中线段长关系可构造齐次式求离心率；（2）①根据上问结论化简椭圆方程，分别求直线DH PN 、的方程，根据面积求出22DF F H =，再求出N 坐标，可判定22NF F P =，从而证明结论；②直接由243DF =解方程即可. 【详解】（1）由已知得长轴长为2a ，则2222134,4,22OPc a b a c e a a ===∴===；.........................................................3分 （2）① 证明：由（1）知22224,3==a c b c ，所以椭圆方程为2222143x y c c +=，易知()()22,,0P c F c ，所以2PF k ==，故直线DH 的方程为)y x c =-，直线PN 的方程为)y x c =-，令0x =，则2,,y D DF ⎛⎫=∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 易知22PF c =，2211222PDF PDH S c S ∴=⨯==⇒ 22DF F H =，联立方程组)2222215240143y x c x cx x y c c ⎧=-⎪⇒-=⎨+=⎪⎩， 解得1280,5c x x ==， M 在N的上方，()20,,2N NF c ∴=，即22NF F P =，由上得，四边形DPHN 的对角线互相垂直且平分，故四边形DPHN 是菱形．..........................................................11分 ②解：由243DF c ==⇒，从而2a b ==， 即椭圆的方程为2231164x y +=...........................................................15分17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，5AB AD +=，CD =120PAD ∠=︒，=45ADC ∠︒.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)设AB AP =.①若直线PB 与平面PCD，求线段AB 的长. ②在线段AD 上是否存在点G ，使得点P ，C ，D 在以G 为球心的球上？若存在，求线段AB 的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)①2AB =或7023AB =；②不存在点G ，理由见解析【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得AB ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定定理即可证得结论； （2）①依题建系，设AB t =，利用题设条件，分别求得相关点和向量的坐标，利用空间向量坐标的夹角公式列出方程，求解即得t 的值；②假设存在点G ，可由GC GD =推得1GD =，得点G 坐标，由GP GD =得方程24150t t -+=，因此方程无实数解，假设不成立.【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥， AB ⊂平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ..........................................................4分（2）如图以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立如图所示直角空间坐标系A xyz -，设AB t =，则AP t =，由5AB AD +=，CD =120PAD ∠=︒，=45ADC ∠︒，则(),0,0B t，0,2t P ⎛- ⎝，因5AD t =-，则()0,5,0D t -，()1,4,0C t -，所以1,2t CP ⎛=-- ⎝ ，()1,1,0CD =-①设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由n CP ⊥ ，n CD ⊥ ，得：8020t x y x y ⎧--+=⎪⎨⎪-+=⎩，可取n ⎛= ⎝设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，则有：sin cos ,n BP θ=，,2t BP t ⎛=-- ⎝ ，2231161400t t-+=，解得2t=或7023t=，即2AB=或7023AB=...........................................................10分②如图，假设在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上，由GC GD=，得45GCD GDC∠=∠=︒，所以90CGD∠=︒，所以cos451GD CD=︒=，又AB t=得5AD t=-，4AG AD GD t=-=-，所以()0,4,0G t-，0,2tP⎛-⎝由GP GD=得()22412tt⎡⎤---+=⎢⎥⎣⎦，即2234124tt⎛⎫-+=⎪⎝⎭，亦即24150t t-+=（*），因为()2Δ44150=--⨯<，所以方程（*）无实数解，所以线段AD上不存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上 (15)分【点睛】方法点睛：本题主要考查利用空间向量解决线面所成角以及多点是否在同一球面上的开放性问题，属于较难题.根据题意，创建合适的空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标表达式即可求解相关问题，对于开放性问题，一般是假设结论成立，通过推理计算求得结论成立的条件或者推导出矛盾.18．（17分）已知函数()e2,,exf x ax a=--ÎR是自然对数的底数.(1)若1a=，证明：()1f x≥-；(2)若关于x的方程()20f x+=有两个不相等的实根，求a的取值范围；(3)若1,a k=为整数，且当0x>时，不等式()11k xf xx-'<+恒成立，求k的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)()e,+∞ (3)2【分析】（1）构造函数()e 1xx x ϕ=--，利用导函数求得函数单调性并求得其最值，可得结论；（2）将方程e 0xax -=有两个实根转化为函数y a =与函数()e xg x x=有2个交点，求得函数单调性结合图象可知e a >； （3）将不等式()11k xf x x '-<+恒成立转化为()()e 11x k x x --<+即可，构造函数并根据零点存在定理可得存在()01,2x ∈，满足002xe x =+，再结合单调性和零点范围可得k 的最大值为2.【详解】（1）若1a =，即证e 10x x --≥，设()e 1xx x ϕ=--，则()e 1x x ϕ'=-，由()0x ϕ'=，得0x =，所以当0x <时，()0x ϕ'<；当0x >时，()0x ϕ'>， 即()x ϕ在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以()x ϕ在0x =处取得最小值， 即()()00x ϕϕ≥=，即e 10x x --≥，所以可得()1f x ≥-...........................................................5分（2）方程()20f x +=，即e 0xax -=，显然当0x =时，方程不成立，则e ,0xa x x=≠，若方程有两个不等实根，即函数y a =与函数()e xg x x=有2个交点，易知()()21e x x g x x -'=， 当()(),00,1x ∞∈-⋃时，()()0,g x g x '<在区间(),0∞-和()0,1上单调递减， 当(),0x ∞∈-时，()0g x <，当()0,1x ∈时，()0g x > 当()1,x ∞∈+时，()()0,g x g x '>在()1,∞+上单调递增， 所以当0x >时，1x =时，()g x 取得最小值，且()1e g =， 且0x +→时，()g x ∞→+，当x →+∞时，()g x ∞→+ 其图象如图所：，结合图象可知y a =与()xe g x x=有2个交点，则e a >；因此a 的取值范围为()e,+∞.........................................................11分（3）当1a =时，()()e 2,e 1x xf x x f x '=--=-，所以0x >时，()11k xf x x '-<+，也即()()e 11x k x x --<+， 当0x >时，1e 10,e 1xx x k x +-><+-， 令()1,0e 1x x h x x x +=+>-，则()()()()22e e 2e 11e 1e 1x x x x x x x h x ----=+=-'-， 令()e 2,0xm x x x =-->当0x >时，()e 10xm x ='->，则()e 2x m x x =--在()0,∞+单调递增，又易知()()10,20m m ，所以()m x 在()0,∞+上存在唯一的零点，即()h x '在()0,∞+上存在唯一的零点，设此零点为0x ，则()01,2x ∈，且002xe x =+，当()00,x x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()()0,h x h x '>单调递增， 所以()h x 的最小值为()()00000112,3e 1x x h x x x +=+=+∈-， 所以()0k h x <，即可得整数k 的最大值为2..........................................................17分【点睛】关键点点睛：不等式恒成立问题往往通过构造函数将问题转化成求函数最值问题，再利用导函数得出函数单调性求得其最值，即可得出结论.19．（17分）中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界冠军，2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一次排球训练课上，体育老师安排4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形（如图），已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为25，传给对角线上的同学的概率为15，由甲开始传球．(1)求第3次传球是由乙传给甲的概率； (2)求第n 次传球后排球传到丙手中的概率；(3)若随机变量i X 服从两点分布，且()()110i i i P X P X q ==-==，1i =，2，…，n ，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，记前n 次（即从第1次到第n 次传球）中排球传到乙手中的次数为Y ，求()E Y ． 【答案】(1)8125(2)14-11132545nn⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)4n +*331,325nn ⎡⎤⎛⎫--∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦N【分析】（1）设第n 次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为*,,,,n n n n a b c d n ∈N ，得到11112120,,,555a b c d ====，求出2425b =，从而得到第3次传球是由乙传给甲的概率；（2）求出*,,,,n n n n a b c d n ∈N 之间的关系式，联立后得到15nn n a c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，n n b d =，进而得到111254n n c ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以11111325420c ⎛⎫+--=- ⎪⎝⎭为首项，公比为35-的等比数列，求出1111342545n nn c ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）在（2）的基础上求出113445nn b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求出11()i i i i n n E Y E Y b ==⎛⎫=∑=∑ ⎪⎝⎭，利用等比数列求和公式得到答案.【详解】（1）设第n 次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为*,,,,n n n n a b c d n ∈N ，则11112120,,,555a b c d ====．第2次传球到乙手中的概率211212112455555525b c d =+=⨯+⨯=，所以第3次传球是由乙传给甲的概率为2285125b =．..........................................................4分（2）根据已知条件可得，当2n ≥时，111111111111212,555221,555212,555212,555n n n n n n n n n n n n n n n n a b c d b a c d c b a d d a b c ------------⎧=++⎪⎪⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎪⎪=++⎩①②③④联立则有()()11111,515n n n n n n n n a c a c b d b d ----⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩，所以{}n n a c -是首项为15-，公比为15-的等比数列，故15nn n a c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．因为1125b d ==，所以n n b d =， 代入①②式得11111411,5552141,5555nn n n n n n n b c c b c b -----⎧⎛⎫=+--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-++ ⎪⎪⎝⎭⎩⑤⑥， 将⑤代入⑥得113714445n n n n b c c -⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，11223615555n n n n c c c ---⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则()1112336135555n n n n n c c c c n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，其中211222555555252228b dc =+=⨯+⨯=，故211811252533555c c ⨯==++，2322133615555c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3433233615555c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……，111233615555n n n n n c c c c ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由累加法可得2211311611121525555555n nn n c c --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+-++-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， 所以1111131112545254n n n n c c --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--=-+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以111254n n c ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以111125c ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭13420=-为首项，公比为35-的等比数列，所以1111342545n nn c ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故第n 次传球后排球传到丙手中的概率为1111342545nnn c ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (12)分（3）随机变量i Y 服从两点分布，设第i 次未传到乙手中的概率为()0i P Y =， 则排球第i 次传到乙手中的概率为()11i P Y ==-()0,1,2,,i i P Y b i n === ， 则11i i i i n nE Y b ==⎛⎫∑=∑ ⎪⎝⎭．由（2）知113714445nn n n b c c -⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭111111333133711685165168516545n n n n n--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭113445n⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 其中1111333533353553585588515n in n i n +++=⎛⎫--- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∑-==---=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以11*11333()1,4454325i n i i i n nn E Y b n ==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=∑=∑--=+--∈⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N ．.........................................................17分【点睛】方法点睛：由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法， （1）若()1n n a a f n +-=，采用累加法； （2）若()1n na f n a +=，采用累乘法； （3）若()11n n a pa q p +=+≠，可利用构造111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭进行求解；数学第2页（共6页）数学第3页（共6页）学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025届高三开学摸底考试卷数学·答题卡请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！16．（15分）。
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2019-2020年高三开学摸底考试数学文含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共
22小题，共150分，共4
页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用
2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域
(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题
共60分）一、选择题：本大题共
12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求。
1．设集合U={0，l ，2，3，4，5，6}，M ={l ，3，5}，N={4，5，6}，则
()U M N e = A ．{0，2，4，6}
B ．{4, 5，6}
C ．{4, 6}
D ．{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. 设i 为虚数单位，则复数
2i i = A ．1
2i B ．12i C ．12i D ．12i 3. 抛物线24x y 的焦点坐标是
A ．（2，0）
B ．（0，2）
C ．（l ，0）
D ．（0，1）4. ()tan sin 1f x x
x ，若2)(b f ，则)(b f A. 0 B. 3 C. 1 D. 2
5. 如图. 程序输出的结果
s=132 , 则判断框中应填A. i ≥10? 开始
输出s i = 12 , s = 1
s = s i 是
否。