2021年高三入学摸底考试理科数学

2021年高三入学摸底考试理科数学

一 选择题

1.是虚数单位，若集合=，0，1，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． ∈

答案：A

2.△ABC 的三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大的内角为

A ．150°

B ．135°

C ．120°

D ．60°

答案：A

3.对于一切实数&当变化时，所有二次函数.的函数值恒为非负实数，则的最小值是（ ）

A.2

B. 3

C.

D.

答案：B

4.设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的图像为

（ ）

答案：B

5.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立. 如果实数满足不等式组，那么的取

值范围是（ ） A.(3, 7) B.(9, 25)

C. (9, 49)

D. (13, 49)

答案：D

6.已知0,60,||3||,cos ,a b c a c b a a b ++==<>且与的夹角为则等于 （ ）

A．B．C．D．

答案：D

7.正四棱锥V—ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，

则AB两点的球面距为（）

A． B． C． D．

答案：B

8.已知数列为等差数列,为其前项和,且,则（）

A．25 B．27 C．50 D．54

答案：B

9.有5名毕业生站成一排照相,若甲乙两人之间至多有2人,且甲乙不相邻,则不同的站法有

（）A．36种 B．12种 C．60种 D． 48种

答案：C

10.已知，若的必要条件是，则之间的关系是

（A）（B）（C）（D）

答案：A

11.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )

A. n=0

B. n=1

C.n=2

D. n=4

答案：C

12.设函数若关于x的方程f（x）=x+a有且只有两个实根，则实数a的范围是

A (2,4)

B [3,4]

C D

答案：B

二填空题

13.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

则第个图案中有白色地面砖块.

答案：

14.设函数．若有唯一的零点（），则实数a＝．

答案：4

15.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，

B （6，8），C(8，6),则D 点的坐标为___________.

答案：（0，-2）

16.下列说法中正确的有________

①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等。②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大

③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响。

④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型。

答案：③④ 三 解答题

17.已知向量（1）当时，求的值；

（2）设函数，已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为，若,求 的取值范围.

答案：解：（1）33

// cos sin 0 tan =44

a b x x x ∴+=∴- …………2分

22

222cos 2sin cos 12tan 8

cos sin 2sin cos 1tan 5

x x x x x x x x x ---=

==++…………6分 （2）

由正弦定理得可得，所以…………………9分

1

()4cos(2))642

f x A x ππ++=+-

所以--------------------12分

18.（本小题满分12分）

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，

随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.

根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

（Ⅰ）求出表中及图中的值；

（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区

间 内的人数；

（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人

参加社区服务次数在区间内的概率.

答案：解（Ⅰ）由分组内的频数是4，频率是0.1知，，所以

因为频数之和为，所以，.---4分

因为是对应分组的频率与组距的商，所以----------6分 （Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，

所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人. -------------8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，设在区间内的人为，在区间

内

的

人

为

.

则

任

选

人

共

有

1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b ，15

种情况，

---------------------------10分

而两人都在内只能是一种，所以所求概率为----12分

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为矩形，，为的上一点，且，为PC 的中点.

（Ⅰ）求证：平面AEC ； （Ⅱ）求二面角的余弦值.

答案：

建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，， （2分） （Ⅰ）设平面AEC 的一个法向量为，∵，

A P

C

B

D

E

F