2021年高三入学摸底考试理科数学

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2021年高三上学期摸底考试数学理试题含答案

2021年高三上学期摸底考试数学理试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号、座号”处填涂考生号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班级，以及自己的姓名填写在答题卷上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将试卷和答题卷一并交回．参考公式：圆锥的侧面积公式，其中是圆锥的底面半径，是圆锥的母线长.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）.A. B. C. D.2.已知，则（）.A. B. C. D.3.设，则“”是“直线与直线平行”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的全面积为（）. A. B. C. D.5.在△ABC 中，，，则△ABC 的面积为（）.A.3B.4C.6D.6.函数的零点所在的一个区间是（）. A. B. C. D.7.若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）. A. B. C.2 D. 8.若过点的直线与曲线和都相切，则的值为（）. A.2或 B.3或 C.2 D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．若复数满足，则复数的实部是 .10.的展开式中的常数项是 .（用数字作答）11.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 . 12.已知实数满足，则的最大值是 .13.在区间上随机取一个数，在区间上随机取一个数，则关于的方程有实根的概率是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 相交于点P ，若，，则的值为 . 15．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程是（为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，的最大值是1，最小正周期是，其图像经过点．（1）求的解析式；（2）设、、为△ABC的三个内角，且，，求的值．17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物一次购物量（件）1≤n≤3 4≤n≤6 7≤n≤9 10≤n≤12 n≥13 顾客数（人）20 10 5结算时间（分钟/人）0.5 1 1.5 2 2.5（1）确定与的值；（2）若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望；（3）在（2）的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2分钟的概率.18.（本小题满分14分）如图，菱形的边长为4，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与的大小，并予以证明.20．（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上任意一点，且的最小值为.（1）求椭圆的方程；（2）动圆与椭圆相交于A 、B 、C 、D 四点，当为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积.21.(本小题满分14分)已知函数.（1）是否存在点，使得函数的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（2）定义2111221()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==++⋅⋅⋅+∑，其中，求；（3）在（2）的条件下，令，若不等式对且恒成立，求实数的取值范围.xx 届越秀区高三摸底考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9.1 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16.（1）依题意得.由，解得.所以.因为函数的图像经过点，所以，即. 因为，所以.所以. （2）由（1）得，所以，.因为，所以，.因为为△ABC 的三个内角，所以()cos cos[()]cos()f C C A B A B π==-+=-+ .17.（1）依题意得，，，解得，. （2）该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本，将频率视为概率得，，，，，.所以的分布列为的数学期望为.（3）记“该顾客结算前的等候时间不超过2分钟”为事件A ，该顾客前面第位顾客的结算时间为，由于各顾客的结算相互独立，且的分布列都与的分布列相同，所以121212()(0.5(0.5)(0.5(1)(0.5( 1.5)P A P X P X P X P X P X P X ==⋅=+=⋅=+=⋅=)))121212(1(0.5)(1(1)( 1.5(0.5)P X P X P X P X P X P X +=⋅=+=⋅=+=⋅=)))0.20.20.20.40.20.20.40.20.40.40.20.20.44=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 为所求.18.（1）因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以.因为平面ABD ，平面ABD ，所以平面.（2）因为在菱形ABCD 中，，所以在三棱锥中，.在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，，所以BD ＝4.因为O 为BD 的中点，所以.因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以.因为，所以，即.因为平面ABC ，平面ABC ，，所以平面ABC . 因为平面DOM ，所以平面平面.（3）作于，连结DE .由（2）知，平面ABC ，所以AB .因为，所以平面ODE .因为平面ODE ，所以. 所以是二面角的平面角. 在Rt △DOE 中，，，，所以.所以二面角的余弦值为.19.（1）当时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+- .又也适合上式，所以. （2）由（1）得，所以.因为①，所以②. 由①－②得，，所以121111112212122222212n n n n n n n n n T --+=+++⋅⋅⋅+-=-=--. 因为33222(2)(221)221212212(21)2n n n n nn n n n n n n T n n n n ++++--⎛⎫-=--=-= ⎪++++⎝⎭，所以确定与的大小关系等价于比较与的大小.当时，；当时，；当时，；当时，；……，可猜想当时，.证明如下：当时，.综上所述，当或时，；当时，. 20.（1）因为P 是椭圆上一点，所以.在△中，，由余弦定理得()22121212122444122PF PF PF PF a PF PF PF PF +-⋅--==-⋅⋅. 因为，当且仅当时等号成立. 因为，所以.因为的最小值为，所以，解得. 又，所以.所以椭圆C 的方程为. （2）设，则矩形ABCD 的面积.因为，所以.所以2222222000003231632124332x S x y x x ⎛⎫⎛⎫==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为且，所以当时，取得最大值24.此时，.所以当时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为.21.（1）假设存在点，使得函数的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数的图像上，则函数图像的对称中心为. 由，得，即对恒成立，所以解得所以存在点，使得函数的图像上任意一点关于点M 对称的点也在函数的图像上. （2）由（1）得.令，则.因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n nn=++⋅⋅⋅+-+-①，所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②，由①+②得，所以.所以.（3）由（2）得，所以.因为当且时，2()121ln ln 2n amnmn n ma n n ⋅>⇔⋅>⇔>-. 所以当且时，不等式恒成立.设，则. 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增. 因为，所以，所以当且时，. 由，得，解得.所以实数的取值范围是.]28210 6E32 渲30080 7580 疀|22043 561B 嘛33037 810D 脍u39819 9B8B 鮋20257 4F21 伡32313 7E39 縹26508 678C 枌.O &。

2021届全国高三下学期开学模拟摸底考试(新高考)理科数学试题 Word版含答案

2020-2021学年高三下学期数学开学摸底考试（新课标全国卷理科）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21220,log (1)0A xx x B x x ⎧⎫=-=+>⎨⎬⎩⎭∣∣，则A B ⋂=( ) A.(1,0)- B.(1,0]- C.(2,)+∞ D.[2,)+∞2.已知复数z 满足(1i)22i z -=--，则||z =( )A.2C.13.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,122PF PF =,则12cos F PF ∠等于( ) A.14B.35C.34D.454.设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A B C D ，，，四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是( )D ．5.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程0.70.35y x =+,则实数,m n 应满足( )A.0.7 1.7n m -=B.0.7 1.5n m -=C.0.7 1.7n m +=D.0.7 1.5n m +=6.函数()432f x x x =-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为( ) A.21y x =-- B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+7.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为( ) A .15B .20C .30D .358.若cos(2π)α-=且π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin(π)α-=( )A. B.23- C.13- D.23±9.已知函数()π6f x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭在区间(),0ααα->［］上是增函数，则α的最大值是( ) A.π6B.π3C.π2D.5π610.在三棱锥P ABC -中,2,2,AB AC BC PA PB PC ======,若三棱锥P ABC -的顶点均在球O 的表面上，则球O 的半径为( )D.311.已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<，直线1x y +=与椭圆交于,P Q 两点，若OP OQ ⊥，则椭圆的离心率为( )12.设函数()f x 的定义域为R,满足(1) 2 ()f x f x +=,且当(0,1]x ∈时,()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞,都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是( )A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x y ,满足约束条件210501x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2244z x x y =-++的取值范围是 .14.已知向量,,|||2==a b a b ,且()-⊥a b a ,则向量 a 和 b 的夹角是____________,()⋅+=a a b _______________.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

2021年高三上学期开学摸底考试数学(理)试题含答案

2021年高三上学期开学摸底考试数学（理）试题含答案第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1.已知集合，，则（）A． B． C． D．2.如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于（）A．-6 B． C． D．23.设等差数列的前项和为，若，则的值为（）A． 27 B．36 C．45 D．544.下列命题错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”B．若命题，则C．中，是的充要条件D．若向量满足，则与的夹角为钝角5.某几何体的三视图如上图所示（单位：），则该几何体的体积是（）A． B． C． D．6.若用下边的程序框图求数列的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（）A． B．C．D．7.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是（）A． B． C．D．8.已知实数满足约束条件，则的最小值是（）A． B．2 C． D．19. 若函数y＝（a＞0，且a≠1）的值域为{y｜0＜y≤1}，则函数y＝的图像大致是10.已知双曲线与抛物线相交于两点，公共弦恰过它们的公共焦点，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（）A． B． C． D．11.已知满足，，，则（）A． B． C． D．12.已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为．14.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是．15.已知两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有．16.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2021年高三数学摸底考试试题理

2021年高三数学摸底考试试题理【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。

试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

全面考查了考试说明中要求的内容。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1．已知集合，,则A．B． C．D．【知识点】集合的并集的求法.A1【答案解析】B 解析：因为集合，即，又因为，所以，故选B.【思路点拨】先化简集合，再求结果即可.【题文】2．设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则A. B. C. D.【知识点】复数的运算.L4【答案解析】A 解析：因为复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则，所以，故选A.【思路点拨】先利用已知条件求出再计算结果即可.【题文】3．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A．若则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【知识点】空间中的平行关系、垂直关系.G4、G5【答案解析】B 解析：对于选项A：m、n平行、相交、异面都有可能；选项B显然成立【思路点拨】利用空间中线面平行、垂直的判定与性质确定结论。

【题文】4．设等比数列的前n项和为，若则A．31 B．32 C．63 D．64【知识点】等比数列的性质；等比数列的前n项和． D3【答案解析】C 解析：由等比数列的性质可得成等比数列，即成等比数列，∴，解得63，故选A.【思路点拨】由等比数列的性质可得成等比数列，代入数据计算可得．【题文】5. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A．B． C．D．【知识点】函数的奇偶性与单调性.B3、B4【答案解析】D 解析：根据四个函数的图像获得正确选项。

2021年高三数学上学期第一次摸底考试试题理(含解析)新人教A版

2021年高三数学上学期第一次摸底考试试题理（含解析）新人教A版【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）集合A={x|log3（x-1）<1},B={x|},则(A)(1,2) (B)(1,4) (C)(-2,0) (D)(0,2)【知识点】交集及其运算．A1（x﹣1）＜1}={x|}={x|1＜x＜4}，【答案解析】A 解析：∵A={x|log3B={x|＜2﹣x＜1}={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：A．【思路点拨】利用交集的性质和不等式的性质求解．【题文】(2)命题“对任意的，都有”的否定是（A）对任意的，都有(B)存在，使（C）不存在，使（D）存在，使【知识点】命题的否定．A2【答案解析】B 解析：由全称命题的否定方法得：“对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1≥0”的否定是“存在x0∈R，使得2x2﹣x+1＜0成立．故选B．【思路点拨】将量词改为“存在”，将结论否定当结论．由此得到原命题的否定．【题文】（3）曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（A）（B）（C）(D)【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程． B11【答案解析】D 解析：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e2）∴f（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选D．【思路点拨】利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积．【题文】(4)下列函数中是偶函数且在上单调递增的是（A）（B）（C）（D）【知识点】函数奇偶性的性质． B4【答案解析】D 解析：A，y=2﹣x定义域是{x|x≠0}，是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则A不符合；B，函数y=lnx的定义域是（0，+∞），则是非奇非偶函数，B不符合题意；C，函数y=x﹣2的定义域是{x|x≠0}，但在（0，+∞）单调递减，C不符合题意；D，y=|x|﹣1为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，D正确．故选：D．【思路点拨】根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．【题文】（5）“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【知识点】充要条件． A2【答案解析】A 解析：由得：当a＞0时，有1＜a，即a＞1；当a＜0时，不等式恒成立．所以⇔a＞1或a＜0，从而a＞1是的充分不必要条件．故应选：A【思路点拨】可以把不等式“”变形解出a的取值范围来，然后再作判断，具体地来说，两边同乘以分母a要分类讨论，分a＞0，a＜0两类来讨论，除了用符号法则，这是解答分式不等式的另一种重要方法．【题文】（6）若，则下列不等式成立的是（A）（B）（C）（D）【知识点】不等式的基本性质．E1【答案解析】C 解析：b=，a=，则ab=，b2=，故A不正确；a2=，ab=，故D不正确；log=﹣2，log=﹣1，故B不正确；∵0＜b＜a＜1，2＞1，∴2b＜2a＜2，故选：C．【思路点拨】取特殊值，确定A，B，D不正确，0＜b＜a＜1，2＞1，利用指数函数的单调性，可得C正确．【题文】（7）如图，已知直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积y是时间x的函数，这个函数的图象大致是(A) (B) (C) (D)【知识点】直线与圆相交的性质．H4【答案解析】B 解析：观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求，故选B【思路点拨】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项。

2021年高三数学摸底考试试卷理

图12021年高三数学摸底考试试卷理说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择、填空题满分70分）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． ⒈已知集合，，则A ．B ．C ．D ． ⒉若复数是纯虚数（是虚数单位），则实数A ．B ．C ．D ．或 ⒊已知平面向量，，若，则实数A ．B ．C ．D ． ⒋已知点，，则线段的垂直平分线的方程是A ．B ．C ．D ． ⒌设、，若，则下列不等式中正确的是A ．B ．C ．D ．⒍如图1，、分别是正方体中、上的动点（不含端点），则四边形的俯视图可能是A ．B ．C ．D ．⒎已知函数，则该函数是A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减⒏如右图，矩形内的阴影部分由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值为（） A ． B ． C ． D ．二．填空题（本大题高三数学（理科）摸底考试试卷第1页（共4页）共7小题，考生作答6小题，满分30分）． (一)必做题（9～13题） ⒐ （填“”或“” ）． ⒑在中，，，，则．⒒设是R 上的奇函数，。

当时，有，则． ⒓若，满足约束条件，则的最大值是．⒔已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线：和距离之和的最小值为．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题．）⒕（坐标系与参数方程选做题）直线与曲线相交，截得的弦长为_ ．⒖（几何证明选讲选做题）如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．第Ⅱ卷（解答题满分80分）三．解答题（本大题共6题，满分80分。

2021年高三上学期摸底考试数学(理)试题含答案

2021年高三上学期摸底考试数学（理）试题含答案本卷共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题：1．已知集合 M= ，集合为自然对数的底数），则=（） A ． B ． C ． D ．2．命题“x ∈R ，x 2－x+l<0”的否定是 A ． x ∈R,x 2一x+1≥0B ．x ∈R,x 2 －x+1>0C ． x ∈R,x 2－x+l ≥0 D ． x ∈R,x 2－x+l>0 3．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10= (A) 12 (B) 16 (C)20 (D)24 4．若的值为 A ． -1 B ． C ．l D ．2 5.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为（）.A. 4B. 4C. 3D. 2 6．定义在上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为（） A ． B ． C ． D ．7、若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，∠=，则到轴的距离为（）A ．B ．C ．D ．8．如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（） A ． B ． C ． D ．9、在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集DABC主视图左视图{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（）A ．B ．C ．D ． 10、已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．11、在三棱锥S －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝，SA ＝SC ＝2，AC 的中点为M ，∠SMB 的余弦值是，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A. B. C. D.12、设定义在上的函数，若关于的方程有3个不同实数解、、，且，则下列说法中错误的是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题。

2021年高三开学摸底考试数学理

2021年高三开学摸底考试数学理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1．设全集,集合,,则=A．B．C．D．2．抛物线的准线方程为A. B. C. D.3. 复数A. B. C. D.4. 在等差数列中，，则此数列的前项的和等于A. B. C. D.5. 若m、n为两条不重合的直线，、β为两个不重合的平面，则下列结论正确的是A. 若m、n都平行于平面，则m、n一定不是相交直线；B. 若m、n都垂直于平面，则m、n一定是平行直线；C. 已知、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥，则n⊥β；D. m、n在平面内的射影互相垂直，则m、n互相垂直.6. 如图，该程序运行后输出的结果为B．21C．28D．367. 曲线在点处的切线方程为A. B.C. D.8. 下列命题: (1) 命题的否定是“”;(2) 已知是“”的必要不充分条件;(3) 若，则不等式成立的概率是 . 其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 的展开式中的系数等于的系数的4倍，则n 等于 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 10. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，则下列判断错误．．的是A ．DB 1⊥平面ACD 1 B ．BC 1∥平面ACD 1 C ．BC 1⊥DB 1D ．三棱锥P-ACD 1的体积与P 点位置有关11. 已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为2的等边三角形，则的值为A ．B ．C ．D ．12. 设函数的定义域为D ，如果对于任意的，存在唯一的，使得成立（其中C 为常数），则称函数在D 上的“算术均值”为C ，则下列函数在其定义域上的“算术均值”可以为2的函数是 A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．若一个几何体的三视图如右，则这个几何体的表面积为14. 已知f(x)是R 上的偶函数，且在(－,0]上是减函数，则不等式f(x)≤f(3)的解集是 15. 已知向量且则的最小值为16. 当对数函数的图象至少经过区域内的一个点时，实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设锐角△ABC 的三内角的对边长分别为a 、b 、c ，已知b 是a 、c 的等比中项，且. (1) 求角的大小； (2) 若，求函数的值域.CDA B C D 1111P xy EF G O18．（本小题满分12分）设是一个公差为2的等差数列，成等比数列.(1) 求数列的通项公式；(2) 数列满足，设的前n项和为，求.19．（本小题满分12分）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片。

2021年高三上学期摸底数学试卷(理科) 含解析

2021年高三上学期摸底数学试卷（理科）含解析一、填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知复数z=i（i﹣3）（i是虚数单位），则复数z的虚部为．2．集合P={（x，y）|x+y=0}，Q={（x，y）|x﹣y=2}，则P∩Q=．3．不等式4x﹣2x+2＞0的解集为．4．已知函数y=log2（ax﹣1）在（1，2）单调递增，则a的取值范围为．5．随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1，a2，…，an，若n=4，a1=195，a2=197，a3=193，，a4=199，，则如图所示的程序框图输出的S= ．6．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，且函数图象关于点对称，则函数解析式为．7．对于直线m，n，和平面α，β，γ，有如下四个命题：（1）若m∥α，m⊥n，，则n⊥α（2）若m⊥α，m⊥n，则n∥α（3）若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ（4）若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β其中正确命题的序号是．8．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是．9．命题p：已知椭圆+=1（a＞b＞0），F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线﹣=1（a＞b＞0），F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作∠F1PF2的的垂线，垂足为M，则OM的长定值为．10．设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=．11．已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为．12．设点（a，b）在平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}中均匀分布出现，则双曲线的离心率e满足1＜e＜的概率为．13．设点O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC2﹣2AC+AB2=0，则的范围是．14．设函数f（x）=ln，其中a∈R，对于任意的正整数n（n≥2），如果不等式f（x）＞（x ﹣1）lnn在区间[1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为．二、解答题（本题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，求比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ．16．如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分别为棱C1C、B1C1的中点．（1）求点E到平面ADB的距离；（2）求二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值；（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1DB？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．17．为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？18．已知函数f（x）=4sinxcos（x+）+（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．19．已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e=，且过点P（1，1）．（1）求椭圆的方程；（2）若点A（x0，y0）为圆x2+y2=1上任一点，过点A作圆的切线交椭圆于B，C两点，求证：CO⊥OB（O为坐标原点）．20．函数f（x）=+lnx是[1，+∞）上的增函数．（Ⅰ）求正实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）=x2+2x，在使g（x）≥M对定义域内的任意x值恒成立的所有常数M 中，我们把M的最大值M=﹣1叫做f（x）=x2+2x的下确界，若函数f（x）=+lnx的定义域为[1，+∞），根据所给函数g（x）的下确界的定义，求出当a=1时函数f（x）的下确界．（Ⅲ）设b＞0，a＞1，求证：ln＞．xx学年江苏省盐城市学富镇时杨中学高三（上）摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知复数z=i（i﹣3）（i是虚数单位），则复数z的虚部为﹣3．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】先将z化为代数形式，再求出虚部即可．【解答】解：z=i（i﹣3）=﹣1﹣3i，复数z的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．2．集合P={（x，y）|x+y=0}，Q={（x，y）|x﹣y=2}，则P∩Q={（1，﹣1）} ．【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，P∩Q即由集合P={（x，y）|x+y=0}与Q={（x，y）|x﹣y=2}表示的直线的交点，可得，解之即可得出答案．【解答】解：由集合P={（x，y）|x+y=0}，Q={（x，y）|x﹣y=2}，∴，解得，∴P∩Q={（1，﹣1）}，故答案为：{（1，﹣1）}．3．不等式4x﹣2x+2＞0的解集为（2，+∞）．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【分析】不等式即22x＞2x+2，利用指数函数的单调性及特殊点可得2x＞x+2，由此求得不等式4x﹣2x+2＞0的解集．【解答】解：不等式4x﹣2x+2＞0，即22x＞2x+2，即2x＞x+2，即x＞2，故不等式4x﹣2x+2＞0的解集为（2，+∞），故答案为（2，+∞）．4．已知函数y=log2（ax﹣1）在（1，2）单调递增，则a的取值范围为[1，+∞）．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】由题意可得a＞0且a×1﹣1≥0，由此解得a的取值范围．【解答】解：∵函数y=log2（ax﹣1）在（1，2）上单调递增，∴a＞0且a×1﹣1≥0，解得a≥1，故a的取值范围为[1，+∞），故答案为[1，+∞）．5．随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1，a2，…，a n，若n=4，a1=195，a2=197，a3=193，，a4=199，，则如图所示的程序框图输出的S=196．【考点】循环结构．【分析】利用循环框图，推出循环计算的规律，然后求出输出的结果．【解答】解：随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1，a2，…，a n，若n=4，a1=195，a2=197，a3=193，，a4=199，…，第1次循环：s=，i=2；第2次循环：s=，i=3；第3次循环：s==，i=4；第4次循环：s=，i=5；规律是求循环次数的平均数，当i=5≤4不满足判断框，结束循环，输出结果为=196．故答案为：196．6．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，且函数图象关于点对称，则函数解析式为y=sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过函数的周期求出ω，利用对称轴求出φ，即可求出函数的解析式．【解答】解：因为函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，所以，所以ω=2，因为函数图象关于点对称，所以0=sin（2×+φ），因为0＜φ＜π，所以φ=．所以函数的解析式为：y=sin（2x+）．故答案为：y=sin（2x+）．7．对于直线m，n，和平面α，β，γ，有如下四个命题：（1）若m∥α，m⊥n，，则n⊥α（2）若m⊥α，m⊥n，则n∥α（3）若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ（4）若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β其中正确命题的序号是（4）．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由直线m，n，平面α，β，γ，知：若m∥α，m⊥n，，则n与α相交、平行或n ⊂α；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α；若α⊥β，γ⊥β，则α与γ相交或平行；若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β．【解答】解：由直线m，n，平面α，β，γ，知：若m∥α，m⊥n，，则n与α相交、平行或n⊂α，故（1）不正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故（2）平正确；若α⊥β，γ⊥β，则α与γ相交或平行，故（3）不正确；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，∵n⊂β，∴α⊥β，故（4）正确．故答案为：（4）．8．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是[﹣，0] ．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k的取值范围．【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN=2≥2，故d ≤1，即≤1，化简得8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故答案为[﹣，0]．9．命题p：已知椭圆+=1（a＞b＞0），F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线﹣=1（a＞b＞0），F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作∠F1PF2的内角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长定值为a．【考点】类比推理．【分析】根据椭圆中的结论，利用角平分线的性质与椭圆的定义，可类比双曲线中的相应结论．【解答】解：点F2关于∠F1PF2的外角平分线PM的对称点Q在F1P的延长线上∵F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M∴|F1Q|=|PF1|+|PF2|=2a（椭圆长轴长），又OM是△F2F1Q的中位线，故|OM|=a；不妨设点P在双曲线右支上，点F1关于∠F1PF2的内角平分线PM的对称点Q在PF2的延长线上当过F2作∠F1PF2的内角平分线的垂线，垂足为M时，|F2Q|=|PF1|﹣|PF2|=2a，又OM 是△F2F1Q的中位线，故|OM|=a；故答案为：内角平分线，a10．设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=8．【考点】等差数列的性质；等比数列的通项公式．【分析】由S3，S9，S6成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用等比数列的前n项和公式化简，得到关于q的关系式，再利用等比数列的性质化简a2+a5=2a m的左右两边，将得到的关于q的关系式整理后代入，即可得出m的值．【解答】解：∵S n是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，∴2S9=S3+S6，即=+，整理得：2（1﹣q9）=1﹣q3+1﹣q6，即1+q3=2q6，又a2+a5=a1q+a1q4=a1q（1+q3）=2a1q7，2a m=2a1q m﹣1，且a2+a5=2a m，∴2a1q7=2a1q m﹣1，即m﹣1=7，则m=8．故答案为：811．已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为4+4．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosB，将B的度数，以及AC，即b的值代入，整理后再利用基本不等式求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：∵∠B=45°，AC=b=4，∴由余弦定理cosB=得：=，∴ac=a2+c2﹣16≥2ac﹣16，即（2﹣）ac≤16（当且仅当a=c时取等号），∴ac≤=8（2+）=16+8，∴△ABC面积S=acsinB≤（16+8）×=4+4，则△ABC面积的最大值为4+4．故答案为：4+412．设点（a，b）在平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}中均匀分布出现，则双曲线的离心率e满足1＜e＜的概率为．【考点】双曲线的简单性质；几何概型．【分析】根据双曲线的离心率e满足1＜e＜，可得．利用平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}的面积为4，，a＞b＞0围成区域的面积为，即可求得结论．【解答】解：∵双曲线的离心率e满足1＜e＜∴∵平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}的面积为4，，a＞b＞0围成区域的面积为∴双曲线的离心率e满足1＜e＜的概率为故答案为：13．设点O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC2﹣2AC+AB2=0，则的范围是[﹣，2）．【考点】三角形五心；平面向量数量积的运算．【分析】先利用余弦定理，确定AB，AC，利用向量的数量积，化简，再利用配方法确定其范围，即可得到结论．【解答】解：设圆的半径为R，∠AOB为α，∠AOC为β，则AB2=AO2+BO2﹣2AO×BOcosα=2R2﹣2R2 cosα，AC2=AO2+CO2﹣2AO×COcosβ=2R2﹣2R2cosβ∴==R2 cosα﹣R2cosβ=∵AC2﹣2AC+AB2=0，∴∵AC2﹣2AC=﹣AB2＜0，0＜AC＜2∴∴的范围是[﹣，2）故答案为：[﹣，2）．14．设函数f（x）=ln，其中a∈R，对于任意的正整数n（n≥2），如果不等式f（x）＞（x ﹣1）lnn在区间[1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为{a|a＞} ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据题意，将原不等式等价变形为：（1﹣a）n x＜1x+2x+3x+…+（n﹣1）x，再变量分离得到1﹣a＜（）x+（）x+（）x+…+（）x，原不等式在区间[1，+∞）上有解，即1﹣a 小于右边的最大值．根据指数函数的单调性得到右边的最大值，最后结合n≥2即可得到实数a的取值范围．【解答】解：不等式f（x）＞（x﹣1）lnn，即ln＞lnn x﹣1，∵对数的底e＞1，∴原不等式可化为1x+2x+3x+…+（n﹣1）x+n x a＞n x，移项得（1﹣a）n x＜1x+2x+3x+…+（n﹣1）x，因为n是正整数，所以两边都除以n x，得：1﹣a＜（）x+（）x+（）x+…+（）x，…（*）不等式f（x）＞（x﹣1）lnn在区间[1，+∞）上有解，即（*）式的右边的最大值大于1﹣a，∵g（x）=（）x+（）x+（）x+…+（）x 在[1，+∞）上是一个减函数，∴当x=1时，g（x）的最大值为+++…+=•=，因此1﹣a＜，得实数a的取值范围是a＞1﹣，结合n≥2得a＞，故答案为：{a|a＞}．二、解答题（本题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，求比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，所以随机变量ξ的所有可能的取值为2，4，6，利用随机变量的定义及独立事件同时发生的概率公式求出每一个随机变量取值时对应的随机事件的概率，在有离散型随机的期望公式求出期望．【解答】解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，，P（ξ=6）=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=4）=，故．16．如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分别为棱C1C、B1C1的中点．（1）求点E到平面ADB的距离；（2）求二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值；（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1DB？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1），，，设平面ADB的法向量为得：可取法向量为，则点E到平面ADB的距离．（2）A1（0，2，2），E（1，0，2），D（0，0，1）可得，，设平面A1ED的法向量为，则，平面A1BD的法向量为，则，所以，即求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值为．（3）假设存在点F，坐标为（0，y，0），则，EF⊥平面A1DB得，F（0，1，0），F即为AC中点．【解答】解：（1）如图所示，以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系，由C1C=CB=CA=2可得C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2）．则，，设平面ADB的法向量为得即则取法向量为，则点E到平面ADB的距离．（2）A1（0，2，2），E（1，0，2），D（0，0，1）可得，，设平面A1ED的法向量为，故可令，A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），可得，，设平面A1BD的法向量为，故可令，∴，即求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值为；（3）假设存在点F，坐标为（0，y，0），则，EF⊥平面A1DB得，即，∴F（0，1，0）F即为AC中点．17．为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=列式求出k的值；（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f （n）的表达式，然后利用基本不等式求出f （n）的最小值，并求出层数．【解答】解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米，所有建筑费用为[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，1270=，解之得：k=50．（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），由题设可知f （n）==+25n+825≥2+825=1 225（元）．当且仅当=25n，即n=8时等号成立．答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元．18．已知函数f（x）=4sinxcos（x+）+（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换进行化简，得到f（x）=2sin（2x+），再利用正弦函数的周期性可求得f（x）的最小正周期；（Ⅱ）x∈⇒2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的单调性质即可求得f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．【解答】解：（Ⅰ）=…=…所以…（Ⅱ）因为，所以…所以，所以﹣1≤f（x）≤2，当，即时，f（x）min=﹣1，当，即时，f（x）max=2，…19．已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e=，且过点P（1，1）．（1）求椭圆的方程；（2）若点A（x0，y0）为圆x2+y2=1上任一点，过点A作圆的切线交椭圆于B，C两点，求证：CO⊥OB（O为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆的切线方程；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆方程，根据e=，可得a2=3b2，利用椭圆过点P（1，1），可得，从而可求椭圆的方程；（2）由题意可求得切线方程为x0x+y0y=1．①若y0=0，则切线为x=1（或x=﹣1），求得B、C的坐标，从而可得CO⊥OB；②当y0≠0时，切线方程为x0x+y0y=1，与椭圆联立并化简，利用韦达定理，证明x1x2+y1y2=0即可．【解答】（1）解：由题意，设椭圆方程为∵e=，∴，∴a2=3b2∵椭圆过点P（1，1），∴∴a2=4，∴椭圆的方程为；（2）证明：由题意可求得切线方程为x0x+y0y=1①若y0=0，则切线为x=1（或x=﹣1），则B（1，1），C（1，﹣1），∴CO⊥OB（当x=﹣1时同理可得）；②当y0≠0时，切线方程为x0x+y0y=1，与椭圆联立并化简得∴x1+x2=，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1x2+y1y2===0∴CO⊥OB20．函数f（x）=+lnx是[1，+∞）上的增函数．（Ⅰ）求正实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）=x2+2x，在使g（x）≥M对定义域内的任意x值恒成立的所有常数M 中，我们把M的最大值M=﹣1叫做f（x）=x2+2x的下确界，若函数f（x）=+lnx的定义域为[1，+∞），根据所给函数g（x）的下确界的定义，求出当a=1时函数f（x）的下确界．（Ⅲ）设b＞0，a＞1，求证：ln＞．【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当函数单调递增时，其导数大于等于0恒成立求参数的范围（Ⅱ）求下确界就是求函数的最小值利用导数求函数的最值（Ⅲ）证明不等式就是求最值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，∴a≥对x∈[1，+∞）恒成立，又≤1，∴a≥1，故正实数a的取值范围为a≥1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=1时，函数f（x）是定义域[1，+∞）上的增函数，故f（x）min=f（1）=0，f（x）≥M恒成立∴M≤f（x）min=0，∴M的最大值为0，∴当a=1时函数f（x）的下确界为0．答：当a=1时函数f（x）的下确界是0；（Ⅲ）证明：取x=，∵a＞1，b＞0，∴＞1，由（Ⅰ）知f（x）=+lnx在[1，+∞）上是增函数，∴f（）＞f（1）=0，∴+ln＞0，即ln＞．xx年1月2日pNA35354 8A1A 訚22406 5786 垆20982 51F6 凶26955 694B 楋i {38311 95A7 閧。

2021年高三上学期开学摸底考试理科数学试题含答案

秘密★启用前2021年高三上学期开学摸底考试理科数学试题含答案数学试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. =( ).A. 1B. 0C. -1D. 22. 已知集合{}Z n n N x x M n ∈≤≤=>-=且1321},03|{2，则( ).A. B. C. D.3. 已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是( ).A. B. C. D.4. 已知，则函数的零点位于区间( )内.A. B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)5. 若)1(,2)]([,21)(-+=-=g x x f g x x f x 则的值为( ).A.1B.3C.D.6 6. 的内角、、所对的边是、、. 若，则内角A =( ).A.30°B. 45°C.60°D. 90°7. 下列说法中错误．．的是( ). A. “”是“”的必要不充分条件.B. 若命题： . 则：，.C. 若为假命题，则也为假命题.D. 命题“若，则”是真命题.8. 某正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)的正视图和俯视图如右图所示.若它的体积为，则它的侧视图面积为( ).A. B.3 C.2 D. 49. =︒︒-︒︒-)200sin(80sin 160cos )10sin(( ).A. B. C. D.10. 在区间内随机抽取两个数x 和y ，恰好满足的概率是( ).A. B. C. D.11. (原创)在直角坐标系中，A 、B 分别是轴和轴上的动点，若以线段AB 为直径的圆C 与直线相切，则圆C 面积的最小值为( ).A. B. C. D.12. (原创)已知，若对任意三个实数，均存在一个以为边长的三角形，则实数的取值范围是( ).A. B. C. D.第II 卷（非选择题，共90分）第13 ~ 21题为必考题，每个小题考生都必须作答。

2021年高三上学期12月摸底数学试卷(理科)含解析

2021年高三上学期12月摸底数学试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.M=（）1．已知R是实数集，，则N∩∁RA．（1，2）B．[0，2] C．∅D．[1，2]2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i3．已知平面向量，，||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．4．下列命题中，真命题是（）A．∀x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，e x＜0C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dD．ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件5．已知实数x，y满足，则z=（x﹣1）2+y2的最大值是（）A．1 B．9 C．2 D．116．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x= B．x= C．x= D．x=﹣7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则loga +loga=（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函数f（x）=ax2﹣e x，f′（﹣1）=﹣4，则函数y=f（x）的零点所在的区间是（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（4，5）9．若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．3 B．4 C．5 D．610．已知函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等差数列，f′（x）是f（x）的导函数，则（）A．f′（x0）＜0 B．f′（x0）=0C．f′（x0）＞0 D．f′（x0）的符号无法确定二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，则f（log49）的值为．12．将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位，所得图象经过点，则ω的最小值是．13．已知等比数列{a n}的前6项和S6=21，且4a1、a2、a2成等差数列，则a n=．14．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为．15．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1）．且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x2+1，如果函数g（x）=f（x）﹣a|x|恰有8个零点，则实数a的值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知向量，函数．（Ⅰ）若，求cos2θ的值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=（x+2）e﹣x﹣2（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（Ⅰ）当x＞0时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，2]时，方程f（x）=m有实数根，求实数m的取值范围．19．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2．（Ⅰ）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（Ⅲ）是否存在点G满足BF⊥平面AEG？并说明理由．20．已知数列{a n}的首项a1=2，且a n=2a n﹣1（n∈N*，N≥2）﹣1（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列；并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n•a n﹣n}的前n项和S n．21．已知函数f（x）=（xlnx+ax+a2﹣a﹣1）e x，a≥﹣2．（I）若a=0，求f（x）的单调区间；（II）讨论函数f（x）在区间上的极值点个数；（III）是否存在a，使得函数f（x）的图象在区间上与x轴相切？若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由．xx学年山东省淄博市桓台二中高三（上）12月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知R是实数集，，则N∩∁R M=（）A．（1，2） B．[0，2]C．∅D．[1，2]【考点】交集及其运算；补集及其运算；函数的值域；其他不等式的解法．【分析】先化简2个集合M、N到最简形式求出M，N，依照补集的定义求出C R M，再按照交集的定义求出N∩C R M．【解答】解：∵M={x|＜1}={x|x＜0，或x＞2}，N={y|y=}={y|y≥0 }，故有N∩C R M={y|y≥0 }∩{x|x＜0，或x＞2}=[0，+∞）∩（（﹣∞，0）∪（2，+∞））=[0，2]，故选B．2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：z==，则=﹣1+3i．故选：C．3．已知平面向量，，||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积的定义及其性质即可得出．【解答】解：设向量，的夹角为θ，∵||=1，||=，|﹣2|=，∴|﹣2|2=||2+4||2﹣4||•||cosθ=5，即1+4×2﹣4×1×cosθ=5，即cosθ=，∴θ=，故选：C4．下列命题中，真命题是（）A．∀x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，e x＜0C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dD．ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，B，C 根据特殊值法和指数函数的性质直角判断即可；D主要是对c=0特殊情况的考查．【解答】解：A当x=2时，2x=x2，故错误；B根据指数函数性质可知对任意的x，都有e x＞0，故错误；C若a＞b，c＞d，根据同向可加性只能得出a+c＞b+d，故错误；Dac2＜bc2，可知c≠0，可推出a＜b，但反之不一定，故是充分不必要条件，故正确．故选D．5．已知实数x，y满足，则z=（x﹣1）2+y2的最大值是（）A．1 B．9 C．2 D．11【考点】简单线性规划．【分析】画出平面区域，利用z=（x﹣1）2+y2的几何意义表示为区域内的点与（1，0）的距离的平方最大值求得．【解答】解：x，y满足的平面区域如图：z=（x﹣1）2+y2的几何意义表示为区域内的点与（1，0）的距离的平方最大值，显然到D 的距离最大，所以z=（x﹣1）2+y2的最大值z=（1﹣1）2+32=9；故选B．6．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x= B．x= C．x= D．x=﹣【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．8．已知函数f（x）=ax2﹣e x，f′（﹣1）=﹣4，则函数y=f（x）的零点所在的区间是（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（4，5）【考点】二分法求方程的近似解．【分析】求导数，利用f′（﹣1）=﹣4，求出a，再利用零点存在定理，即可求出函数y=f（x）的零点所在的区间．【解答】解：∵f（x）=ax2﹣e x，f′（﹣1）=﹣4，∴﹣2a﹣e﹣1=﹣4，∴a=2﹣，∴f（x）=（2﹣）x2﹣e x，∴f（﹣1）=2﹣＞0，f（0）=﹣1＜0，∴函数y=f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0），故选：B．9．若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】二项式系数的性质．=C n r（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数【分析】二项式的通项公式T r+1为0，建立方程求出n的最小值．=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r 【解答】解：由题意，（x6）n的展开式的项为T r+1令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：C．10．已知函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等差数列，f′（x）是f（x）的导函数，则（）A．f′（x0）＜0 B．f′（x0）=0C．f′（x0）＞0 D．f′（x0）的符号无法确定【考点】导数的运算．【分析】由已知存在x1＜a＜x2，f'（a）=0，解得a=，由已知得，从而能求出．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），∴，∴存在x1＜a＜x2，f'（a）=0，∴，∴，解得a=，假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0．∵，∴，∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，∴x0＞a，又∵x＞x0，又∵x＞x0时，f''（x）递减，∴．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，则f（log49）的值为﹣．【考点】函数的值．【分析】由奇函数的性质得当x＞0时，f（x）=﹣，由此利用对数函数的性质和换底公式能求出f（log49）的值．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，∴当x＞0时，f（x）=﹣，∴f（log49）=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．12．将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位，所得图象经过点，则ω的最小值是2．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】求出图象变换后所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣），再由所得图象经过点，可得ω•=kπ，由此求得ω的最小值．【解答】解：将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣）．再由所得图象经过点可得sinω=sin（ω）=0，∴ω•=kπ，k∈Z．又ω＞0故ω的最小值是2，故答案为：2．13．已知等比数列{a n}的前6项和S6=21，且4a1、a2、a2成等差数列，则a n=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设公比为q，由题意和等差中项的性质列出方程，化简后求出q，由条件和等比数列的前n项和公式列出方程，化简后求出a1，由等比数列的通项公式1求出a n．【解答】解：设公比为q，因为4a1、a2、a2成等差数列，所以2×a2=4a1+a2，即a2=2a1，则q=2，由S6=21得，，解得a1=，所以a n=，故答案为：．14．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S ﹣ABC 的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明过O ，A ，B 的平面与SC 垂直，求出三角形OAB 的面积，即可求出棱锥S ﹣ABC 的体积．【解答】解：如图，由题意△ASC ，△BSC 均为等腰直角三角形，求出SA=AC=SB=BC=2，∴∠SOA=∠SOB=90°，所以SC ⊥平面ABO ．又AB=2，△ABO 为正三角形，则S △ABO=×22=，进而可得：V S ﹣ABC =V C ﹣AOB +V S ﹣AOB ==故答案为：15．若定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ﹣1）=f （x +1）．且当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）=﹣x 2+1，如果函数g （x ）=f （x ）﹣a |x |恰有8个零点，则实数a 的值为 8﹣2 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由函数f （x ）满足f （x +1）=﹣f （x ），变形得到函数的周期，由周期性即可求得函数在某一段上的解析式，代入进行计算即可得出答案．【解答】解：由f （x +1）=f （x ﹣1），则f （x ）=f （x ﹣2），故函数f （x ）为周期为2的周期函数．∵函数g （x ）=f （x ）﹣a |x |恰有8个零点，∴f （x ）﹣a |x |=0在（﹣∞，0）上有四个解，即f （x ）的图象（图中黑色部分）与直线y=a |x |（图中红色直线）在（﹣∞，0）上有4个交点，如图所示：又当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x2+1，∴当直线y=﹣ax与y=﹣（x+4）2+1相切时，即可在（﹣∞，0）上有4个交点，∴x2+（8﹣a）x+15=0，∴△=（8﹣a）2﹣60=0．∵a＞0，∴a=8﹣2．故答案为：8﹣2．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知向量，函数．（Ⅰ）若，求cos2θ的值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（I）化简f（x），根据求出sinθ，代入二倍角公式；（II）根据x的范围求出2x﹣的范围，结合正弦函数的图象与性质得出．【解答】解：（Ⅰ），∴f（）=2sin（θ+π）=﹣2sinθ=，∴sinθ=﹣．∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣=．（Ⅱ）由，则，∴当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值﹣，当2x﹣=时，f（x）取得最大值2．∴f（x）的值域为．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）当n=1时，求得首项；当n≥2时，根据已知条件S n=2n+1﹣2（n ∈N*）推知，易得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求出b n，运用分组求和和错位相减求和．【解答】解：（Ⅰ）由，当n=1时，，当n≥2，，则，当n=1时，a1=2满足上式，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ），．则，所以，则==（1﹣n）2n+1﹣2．所以．18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=（x+2）e﹣x﹣2（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（Ⅰ）当x＞0时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，2]时，方程f（x）=m有实数根，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）利用函数的奇偶性转化求解函数的解析式即可．（Ⅱ）通过当x=0时，当0＜x≤2时，当0＜x＜1时，求出函数的零点，极值，然后求解实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=（x+2）e﹣x﹣2，当x＞0时，则﹣x＜0时，f（﹣x）=（﹣x+2）e x﹣2，由于f（x）奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x+2）e x﹣2]，故当x＞0时，f（x）=（x﹣2）e x+2．（Ⅱ）当x=0时，f（0）=0．当0＜x≤2时，f（x）=（x﹣2）e x+2，f'（x）=（x﹣1）e x，由f'（x）=0，得x=1，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当1＜x＜2时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，2）上单调递增．则f（x）在x=1处取得极小值f（1）=2﹣e，又f（0）=0，f（2）=2，故当0＜x≤2时，f（x）∈[2﹣e，2]．综上，当x∈[0，2]时，f（x）∈[2﹣e，2]，所以实数m的取值范围是[2﹣e，2]．19．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2．（Ⅰ）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（Ⅲ）是否存在点G满足BF⊥平面AEG？并说明理由．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）当GB=GF时，根据线面平行的判定定理即可证明EG∥平面ABC；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（Ⅲ）根据线面垂直的判定定理和性质定理，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）取AB中点D，连接GD，CD，又GB=GF，所以．因为，所以，四边形GDCE是平行四边形，所以CD∥EG因为EG⊄平面ABC，CD⊂平面ABC所以EG∥平面ABC．（Ⅱ）因为平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，所以AF⊥AB，AF⊥BC因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），是平面ABF的一个法向量．设平面BEF的法向量n=（x，y，z），则，即令y=1，则z=﹣2，x=﹣2，所以n=（﹣2，1，﹣2），所以，由题知二面角E﹣BF﹣A为钝角，所以二面角E﹣BF﹣A的余弦值为．（Ⅲ）因为，所以BF与AE不垂直，所以不存在点G满足BF⊥平面AEG．20．已知数列{a n}的首项a1=2，且a n=2a n﹣1（n∈N*，N≥2）﹣1（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列；并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n•a n﹣n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）已知通项公式变形，利用等比数列的性质判断得证，求出数列{a n}的通项公式即可；（2）根据题意表示出数列{n•a n﹣n}的前n项和S n，利用数列的递推式确定出S n通项公式即可．【解答】证明：（1）由a n=2a n﹣1﹣1，得a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），∴数列{a n﹣1}构成首项为a1﹣1=1，公比q=2的等比数列，∴a n﹣1=2n﹣1，即a n=2n﹣1+1；解：（2）∵na n﹣n=n•2n﹣1+n﹣n=n•2n﹣1，∴S n=1•20+2•21+3•22+…+n•2n﹣1，①，2S n=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，②，②﹣①，得：S n=﹣20﹣21﹣22﹣…﹣2n﹣1+n•2n=﹣+n•2n=n•2n+1﹣2n=（n﹣1）2n+1．21．已知函数f（x）=（xlnx+ax+a2﹣a﹣1）e x，a≥﹣2．（I）若a=0，求f（x）的单调区间；（II）讨论函数f（x）在区间上的极值点个数；（III）是否存在a，使得函数f（x）的图象在区间上与x轴相切？若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）若a=0，求函数的导数，利用导数求f（x）的单调区间；（II）利用导数分别讨论a的取值，进而讨论函数f（x）在区间上的极值点个数；（III）假设存在a，使得f（x）在区间（）上与x轴相切，则f（x）必与x轴相切于极值点处，利用导数与极值之间的关系进行讨论．【解答】解：（1）当a=0时：f（x）=（xlnx+﹣1）e x，（x＞0）故f'（x）=（lnx+1+xlnx﹣1）e x=lnx（x+1）e x，当x=1时：f'（x）=0，当x＞1时：f'（x）＞0，当x＜1时：f'（x）＜0．故f（x）的减区间为：（0，1），增区间为（1，+∞）．（2）f'（x）=（lnx+xlnx+ax+a2）e x，令g（x）=lnx+xlnx+ax+a2，故g'（x）=，g“（x）=﹣，显g''（1）=0，又当x＜1时：g''（x）＜0．当x＞1时：g''（x）＞0．故g'（x）min=g'（1）=2+a，∵a≥﹣2，∴g'（x）≥g'（x）min=2+a≥0．故g（x）在区间（）上单调递增，注意到：当x→+∞时，g（x）→+∞，故g（x）在（）上的零点个数由g（）=（a﹣1）（a+1+）的符号决定．①当g（）≥0，即：﹣2或a≥1时：g（x）在区间（）上无零点，即f（x）无极值点．②当g（）＜0，即：﹣1﹣时：g（x）在区间（）上有唯一零点，即f（x）有唯一极值点．综上：当﹣2或a≥1时：f（x）在（）上无极值点．当：﹣1﹣时：f（x）在（）上有唯一极值点．（3）假设存在a，使得f（x）在区间（）上与x轴相切，则f（x）必与x轴相切于极值点处，由（2）可知：﹣1﹣时．不妨设极值点为x0，则有：…（*）同时成立．联立得：lnx0+a+1=0，即x代入（*）可得e﹣（a+1）+（a+1）﹣a2=0．令t=﹣（a+1），则t，h（t）=e t﹣t﹣（t+1）2，则h'（t）=e t﹣2t﹣3，h''（t）=e t﹣2，当t时，（∵）．故h'（t）在t上单调递减．又h'（﹣2）=e﹣2+1＞0，h'（）=．故h'（t）在t上存在唯一零点t0．即当t∈（﹣2，t0）时，h'（t）＞0，h（t）单调递增．当t时，h'（t）＜0，h （t）单调递减．因为h（﹣2）=e﹣2+1＞0，h'（）=．故h（t）在t∈（﹣2，t0）上无零点，在t上有唯一零点．由观察易得h（0）=0，故a+1=0，即：a=﹣1．综上可得：存在唯一的a=﹣1使得f（x）在区间（）上与x轴相切．xx年2月11日38922 980A 頊21677 54AD 咭_23825 5D11 崑37667 9323 錣PG21062 5246 剆32393 7E89 纉38029 948D 钍_ 22401 5781 垁29099 71AB 熫。

2021年高三数学第一次摸底考试理(含解析)

2021年高三数学第一次摸底考试理（含解析）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．【题文】1．计算：=（）A． i+1 B．i﹣1 C．﹣i+1 D．﹣i﹣1【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4【答案解析】C 解析：化简可得===1﹣I,故选：C【思路点拨】分子分母同乘以分母的共轭复数﹣i﹣1，化简可得．【题文】2．已知A⊆B，A⊆C，B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，则A可以是（）A． {1，2} B．{2，4} C．{2} D．{4}【知识点】集合的包含关系判断及应用.A1【答案解析】C 解析：∵A⊆B，A⊆C，∴A⊆（B∩C），∵B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，∴B∩C={2}，而A⊆（B∩C）则A={2}或∅，故选C。

【思路点拨】先根据A⊆B，A⊆C可知A⊆（B∩C），然后求出B∩C，最后求出所求满足条件的A，最后得到结论．【题文】3．已知条件p：x2﹣2ax+a2﹣1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3 D．a≤﹣3【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断。

A2【答案解析】B 解析：∵条件p：x2﹣2ax+a2﹣1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，∴q⊊p，即a≤2且4﹣4a+a2﹣1≥0，解不等式组可得：a≤1，故选：B。

【思路点拨】把充分性问题转化为结合关系，再利用不等式求解．【题文】4．某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 6【知识点】程序框图．L1【答案解析】C 解析：当S=1时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=2，k=2；当S=2时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=22，k=3；当S=22时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=24，k=4；当S=24时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=216，k=5；当S=216时，不满足进入循环的条件，故输出结果为：5，故选：C【思路点拨】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【题文】5．已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）【知识点】简单空间图形的三视图．G2【答案解析】A 解析：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选A．【思路点拨】结合选项，正方体的体积否定C，推出正确选项A即可．【题文】6．将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A． g（x）=2sin（+）﹣1 B． g（x）=2sin（﹣）+1C． g（x）=2sin（﹣）+1 D． g（x）=2sin（﹣）﹣1【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】A 解析：函数y=2sin（+）的图象先向左平移个单位，可以得到函数y=2sin[（x+）+]=2sin（+）的图象再向下平移1个单位后可以得到y=2sin（+）﹣1的图象故选：A．【思路点拨】根据平移变换的法则﹣﹣“左加右减，上加下减”，我们先求出将函数y=2sin （+）的图象先向左平移个单位的图象对应的函数的解析式，再求出再向下平移1个单位后得到图象的解析式即可得到答案．【题文】7．已知等差数列{an}的公差为2，若前17项和为S17=34，则a12的值为（）A． 8 B． 6 C． 4 D． 2【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．D2【答案解析】A 解析：∵等差数列{an}的前17项和为S17=34，∴=34∴a1+a17=4，∵a1+a17=2a9，∴a9=2，，等差数列{an}的前17项和为S17=34∴a12=a9+（12﹣9）×2，∴a12=8，故答案选A。

2021年高三数学上学期开学摸底测试试卷理

2021年高三数学上学期开学摸底测试试卷理一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合则( )A． B． C． D．2．函数的定义域是( )A． B． C． D．3.设命题P：nN，>，则P为（）（A）nN, >（B） nN, ≤（C）nN, ≤（D） nN, =4．设集合则M中元素的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 5．下列函数中，是奇函数且在区间上为减函数的是( )A． B． C． D．6．函数的图象必经过定点P的坐标为( )A． B． C． D．7．已知函数则的值是( )A． B． C．24 D．128．已知且在同一坐标系中画出其中两个函数的是( )A． B． C． D．9．函数是定义在上的奇函数，当时，则的值为( )A． B． C． D．10．函数，则函数的递减区间是( )A． B． C． D．11．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，y＝f(x)是奇函数.②b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实数根；③y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称；④方程f(x)＝0最多有两个实根．其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②④ B C ．①②③ D ．①②④12．已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为 ( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知集合则___14．设则的大小关系是____．（从小到大排列） 15若函数为偶函数，则 .16．设函数在内有定义，对于给定的正数K ，若定义函数取函数当时，函数的单调递增区间为____． .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

数学(理)-2021秋季高三开学摸底考试卷01(解析版)

2021秋季高三数学（理）开学摸底考试卷01班级___________ 姓名___________ 分数____________（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合2|01x A x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，2{|20}B x x x =--<，则A B =A ．[2-，2)B ．(1-，1]C ．(1,1)-D ．(1,2)-【答案】C【解析】集合2|0{|21}1x A x x x x +⎧⎫==-<⎨⎬-⎩⎭， 2{|20}{|12}B x x x x x =--<=-<<， {|11}(1,1)AB x x ∴=-<<=-．故选C ．2．若虚数z 满足2(1)||z i z +=，则z = A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+【答案】A【解析】设z a bi =+，a ，b R ∈，则由2(1)||z i z +=，得222()(1)||a bi i a bi a b ++=+=+，即22()a b a b i a b -++=+，所以220a b a b a b ⎧-=+⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，所以1z i =-．故选A ．3．已知命题:(1,2)p k ∀∈，方程22121x y k k -=--都表示双曲线；q ：抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)；下列判断正确的是 A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题【答案】C【解析】方程22121x y k k -=--表示双曲线，则有(2)(1)0k k -->，解得12k <<，故命题:(1,2)P k ∀∈，方程22121x y k k -=--都表示双曲线为真命题；抛物线24y x =的焦点坐标为1(0,)16，故命题q ：抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)是假命题；所以q ⌝为真，p ⌝为假，则()p q ∧⌝为真，()p q ⌝∧为假，故选C ．4．下列函数为奇函数的是A ．32()3f x x x =+B ．()22x x f x -=+C ．()sin f x x x =D ．3()3xf x lnx+=- 【答案】D 【解析】对于A ，(1)2f -=，f （1）4=，(1)f f -≠-（1），∴函数不是奇函数；对于B ，函数定义域为R ，()()2222()x x x x f x f x -----=+=+=，∴函数为偶函数；对于C ，函数定义域为R ，()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，∴函数为偶函数；对于D ，由303xx+>-，得33x -<<，函数定义域为(3,3)-，而1333()()()333x x xf x lnln ln f x x x x--++-===-=-+--， ∴函数为奇函数．故选D ．5．已知a =b =2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】C【解析】根据指数运算与对数运算的性质，3a =>，12b <=，21log 32c <=<，设2log b =，2log 3c =，由于函数2log m t =为增函数，由于y =4，所以a b c >>．故选：C ．6．在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1AB 与BD 的夹角为 A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，11//DD BB ，且11DD BB =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//BD B D ，所以异面直线1AB 与BD 夹角等于11AB D ∠或其补角，连接1AD ，因为△11AB D 为正三角形，所以113AB D π∠=，所以异面直线1AB 与BD 夹角为3π．故选B ．7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则它可以组成种重卦．A ．6B ．15C ．20D ．1【答案】C【解析】每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则有3620C =种．故选C ．8．将函数()sin(3)6f x x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移(0)m m >个单位长度，得到函数()g x 的图象．若()g x 为奇函数，则m 的最小值为 A ．18πB ．9πC ．6π D ．3π 【答案】D【解析】将函数()sin(3)6f x x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到1sin()26y x π=+，再将所得到的图象向右平移(0)m m >个单位长度，得到函数()g x 的图象由，即11()sin[()]sin()26262mg x x m x ππ=-+=+-，因为()g x 是奇函数，所以62mk ππ-=，k Z ∈．解得23m k ππ=-．因为0m >，所以当0k =时，m 的最小值为3π．故选D ．9．在圆224x y +=内任取一点，则该点到直线0x y +-=的距离小于1的概率为A ．13B ．1134π-C ．13-D ．13+【答案】C【解析】由点到直线的距离公式得原点O 到直线0x y +-2=，故到直线0x y +-距离为 1的点在直线0x y c ++=上，1=，c =c =-；满足圆224x y +=内到直线0x y +=的距离小于1的点位于两直线之间的弓形内，由于圆的半径为2，23AOB π∠=，AB =21214212323S ππ=⨯⨯-⨯=弓形．故概率41343S P S ππ===弓形圆故选C ．10．已知函数21()(1)2f x xlnx m x x =-+-有两个极值点，则实数m 的取值范围为 A ．1(e-，0)B ．1(1,1)e--C ．1(,1)e-∞-D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】由21()(1)2f x xlnx m x x =-+-，得()(1)f x lnx m x '=-+，0x >．要使21()(1)2f x xlnx m x x =-+-有两个极值点，只需()(1)0f x lnx m x '=-+=有两个变号根，即1lnxm x+=有两个变号根．令()lnxg x x=，(0)x >，则21()lnx g x x -'=，由()0g x '=得x e =，易知当(0,)x e ∈时，()0g x '>，此时()g x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，此时()g x 单调递减．所以1()()max g x g e e==，而1()0g e e=-<，1limlim 01x x lnx x x →+∞→+∞==，作出()y g x =，1y m =+的图象，可知：101m e <+<，解得111m e-<<-+．故选B ．11．已知O 为椭圆C 的中心，F 为C 的一个焦点，点M 在C 外，3MO OF =，经过M 的直线l 与C 的一个交点为N ，MNF ∆是有一个内角为120︒的等腰三角形，则C 的离心率为 ABC1 D【答案】B【解析】不妨设(,0)F c ，3MO OF =，则(3,0)M c -，易知MNF ∆中只能120MNF ∠=︒，MNF ∆是有一个内角为120︒的等腰三角形，则(,)N c -，将N 代入椭圆方程得到2222431c c a b+=，即222413(1)e e e +=-，解得213e =或23e =（舍去），故e =故选B ．12．已知函数||1()2x f x e =-，11,0()2(1),0x x g x x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪->⎩．若关于x 的方程(())0g f x m -=有四个不同的解，则实数m 的取值集合为( ) A ．2(0,)2ln B ．2(,1)2ln C ．22ln ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．(0,1)【答案】A【解析】解：设()t f x =，方程(())0g f x m -=有四个不同的解， ||||11()()22x x f x e e f x --=-=-=， ()t f x ∴=为偶函数，且当0x >时，1()2x f x e =-为增函数，则当0x 时，()t f x =为减函数，011(0)22min t f e ∴==-=，即12t，当0x >时，()(1)g x x lnx =-，则11()(1)1g x lnx x lnx x x'=+-=-+，另()0g x '=，解得1x =，所以当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数，又1112()2222ln g ln =-=，作出()g x 在0x >时的图像，如图所示：由图可知，当2(0,)2ln m ∈时，()y g t =，12t的图像与y m =图像有2个交点，作出()t f x =的图像，如下：此时1y t =与2y t =分别与()y f x =有2个交，即(())0g f x m -=有4个不同的解，故实数m 的取值范围为2(0,)2ln ，故选A ．二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 交C 的右支于A ，B两点，且10AB AF ⋅=，112||5||AB AF =，则C 的离心率为．【解析】可设1||12AF t =，0t >，由112||5||AB AF =，可得||5AB t =，由双曲线的定义可得21||||2122AF AF a t a =-=-，22||||||5(122)27BF AB AF t t a a t =-=--=-，由双曲线的定义可得12||||247BF BF a a t =+=-，在直角1ABF ∆中，可得1||1347BF t a t ==-，即15t a =，在直角△12AF F 中，可得2221212||||||AF AF F F +=，即为222122()()455a a c +=，即c =，可得c e a ==．． 14．已知向量(2,3)a =，(1,)b m =-，且a 与a b +垂直，则m = ．【答案】113-【解析】向量(2,3)a =，(1,)b m =-，∴(1,3)a b m +=+，a ab +与垂直，23(3)0m ∴++=，解得113m =-．故答案为：113-． 15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3B π=，2a =，b =ABC ∆的面积为．【解析】由余弦定理可得，214324c c+-=，解可得，1c =，所以ABC ∆的面积11sin 2122S ac B ==⨯⨯=16．将满足23001x y x y +-⎧⎪⎨⎪-⎩的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的主观图面积为．【答案】8【解析】将满足23001x y x y +-⎧⎪⎨⎪-⎩的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的几何体是圆锥，圆锥的底面半径为：2，高为4，几何体的主视图图是等腰三角形，面积为：14482⨯⨯=．故答案为：8．三、解答题：共70分。

2021届高三数学上学期开学考试(摸底)试题理

2021届高三数学上学期开学考试（摸底）试题理本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（）A．B． C．D．2．已知复，则复数的共轭复数（）A．B．C．D．3．若，，则（）A．B．C．D．4、函数的零点所在的一个区间是( )A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1）D．（1,2）5.( )A． B． C．D．6．已知抛物线的焦点为，，直线交抛物线于，两点，且为的中点，则的值为（）A．3 B．2或4 C．4 D．27.在中，为边上的中线，为的中点，则( ) A．B．C．D．8.名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A．120种 B．90种 C．60种 D．30种9．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A． B． C．D．10.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为( )A. B. C. D.11.设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为（）A．或 B．或C．或 D．或12.已知函数有唯一零点，则=( )A． B． C．D．1二填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分13.曲线在点处的切线方程为____________．焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为______．已知的展开式中的系数为5，则＝______16.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．三、解答题：共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

2021年秋季高三数学(理)开学摸底考试卷02(解析版)

2021年秋季高三数学（理）开学摸底考试卷02班级___________ 姓名___________ 分数____________（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足(2)|34|z i i -=+，则z = A ．2i + B ．2i - C ．105i + D ．105i -【答案】B【解析】因为(2)|34|5z i i -=+=，所以55(2)5(2)22(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+，故2z i =-．故选B ．2．已知集合{|1}A x Z x =∈>-，集合2{|log 2}B x x =<，则A B =A ．{|14}x x -<<B ．{|04}x x <<C ．{0，1，2，3}D ．{1，2，3}【答案】D【解析】集合{|1}A x Z x =∈>-，集合2{|log 2}{|04}B x x x x =<=<<，{1A B ∴=，2，3}，故选D ．3．已知命题:p x R ∃∈，sin 1x <；命题:q x R ∀∈，||1x e ，则下列命题中为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A【解析】对于命题:p x R ∃∈，sin 1x <，当0x =时，sin 01x =<，故命题p 为真命题，p ⌝为假命题；对于命题:q x R ∀∈，||1x e ，因为||0x ，又函数x y e =为单调递增函数，故||01x e e =，故命题q 为真命题，q ⌝为假命题，所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧为假命题，p q ∧⌝为假命题，()p q ⌝∨为假命题，故选A ．4．设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是 A ．(1)1f x -- B ．(1)1f x -+C ．(1)1f x +-D ．(1)1f x ++【答案】B【解析】因为1(1)22()1111x x f x x x x --++===-++++，所以函数()f x 的对称中心为(1,1)--，所以将函数()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数(1)1y f x =-+，该函数的对称中心为(0,0)，故函数(1)1y f x =-+为奇函数．故选B ．5．矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 为CD 中点，沿AE 把ADE ∆折起，点D 到达点P ，使得平面PAE ⊥平面ABCE ，则异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为A ．14B ．12C D 【答案】D【解析】如右图，因为//AB CE ，异面直线AB 与PC 所成角就是PCE ∠或其补角，在PCE ∆中，2EC =，2PE =，在左图中作DO AE ⊥，垂足为O ，则DO =OC =，所以PC =，所以22222cos2PC EC PE PCE PC EC +-∠===⋅故选D ．6．公元2020年年初，19COVID -肆虐着中国武汉，为了抗击19COVID -，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉．达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A 医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．180【答案】A【解析】根据题意，分2步进行：①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有2226423315C C C A =种分组方法； ②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有222A =种情况，则有15230⨯=种不同的安排方法．故选A ．7．把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin()4y x π=-的图像，则()f x =A ．7sin()212x π-B ．sin()212x π+C ．7sin(2)12x π-D ．sin(2)12x π+【答案】B【解析】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin()4y x π=-的图像，∴把函数sin()4y x π=-的图像，向左平移3π个单位长度，得到sin()sin()3412y x x πππ=+-=+的图像；再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得1()sin()212f x x π=+的图像．故选B ． 8．若22ln a =，33ln b =，55ln c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是 A ．a b c << B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】B 【解析】3223329803266ln ln ln ln ln ln ---==>，即a b <， 25522532250251010ln ln ln ln ln ln ---==>，即c a <， c a b ∴<<，故选B ．9．如图，已知四边形ABCD 为正方形，扇形GEF 的弧EF 与BC 相切，点G 为AD 的中点，在正方形ABCD 中随机取一点，则该点落在扇形GEF 内部的概率为A ．6πB ．4π C ．8π D ．12π【答案】A【解析】不妨设正方形ABCD 的边长为2，则扇形GEF 的半径为2，2,1,3GE GD DGE π==∴∠=，同理3AGF π∠=，∴3EGF DGE AGF ππ∠=-∠-∠=，∴2122233GEF S ππ=⨯⨯=扇形，而正方形ABCD 的面积224ABCD S =⨯=， ∴在正方形ABCD 中随机取一点，则该点落在扇形GEF 内部的概率6GEF ABCDS P S π==扇形．故选A ．10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2A B =，角C 的平分线交对边AB 于D ，且CD 将三角形的面积分成3:4两部分，则cos B =A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C【解析】因为CD 为ACB ∠的平分线，由角平分线的性质定理可得AD ACBD BC=，而34ACD BCD S AD S BD ∆∆==，可得34AC BC =，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin AC BCB A=，又2A B =，可得sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin A B B BB B B B===，所以42cos 3B =，可得2cos 3B =，故选C ．11．设(,)P x y 是椭圆2244x y +=上的一个动点，定点(1,0)M ，则2||PM 的最大值是 A ．23B ．1C ．3D ．9【答案】D【解析】根据题意，(,)P x y 是椭圆2244x y +=即2214x y +=上的一个动点，则22x -，且2214x y =-，而定点(1,0)M ，则22222223342||(1)(21)122()44433x PM x y x x x x x =-+=-++-=-+=-+，函数2342()433y x =-+是开口向上的二次函数，其对称轴为43x =，当2x =-时，22342||()433PM x =-+取得最大值，且其最大值为9，故选D ．12．已知函数42()(0)f x ax bx c abc =++≠．记()f x 零点个数为p ，极大值点个数为q ，若p q =，则A ．0b <B ．0b >C ．0ac <D ．0ac >【答案】B【解析】取1a =，2b =，1c =，则4222()21(1)1f x x x x =++=+，其图象如下，由图易知，0p q ==，符合题意，故排除选项A ，C ；取1a =-，2b =，1c =，则42()21f x x x =-++，则3()444(1)(1)f x x x x x x '=-+=-+-，易知函数()f x 在(,1)-∞-，(0,1)单调递增，在(1,0)-，(1,)+∞单调递减，其图象如下，由图象易知，2p q ==，符合题意，故排除选项D ；故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．51()(2)ax x x x+-的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中4x 的系数为．【答案】48-【解析】由题意令1x =，则5(11)(2)2a +⨯-=，解得1a =． 51()(2)a x x x x ∴+-即511()(2)x x x x+-；51(2)x x-的通项公式为：5151(2)()(1)2r r r r r T x x-+=-=-5525rr r x --，分别令523r -=，525r -=，解得1r =，0．则展开式中4x 的系数是：14105(1)2(1)2-⨯+-50548=-．故答案为：48-14．已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为．【答案】4【解析】根据题意，双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，=3m =，则双曲线的方程为2213x y -=，则2c ，其焦距24c =；故答案为：4．15．已知向量AB 与AC 的夹角为60︒，且||2AB =，||1AC =，若AP AB AC λ=+，且AP AC ⊥，则实数λ的值是．【答案】1-【解析】向量AB 与AC 的夹角为60︒，且||2AB =，||1AC =，∴21cos601AB AC ⋅=⨯⨯︒=．若AP AB AC λ=+，且AP AC ⊥，则2()10AP AC AB AC AC AB AC AC λλλ⋅=+⋅=⋅+=+=，则实数1λ=-，故答案为：1-．16．在平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，2221AB BD +=，将此平行四边形沿对角线BD 折叠，使平面ABD ⊥平面CBD ，则三棱锥A BCD -外接球的体积是．【答案】6π【解析】解：如图，平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，AB BD ⊥，AB ⊂平面ABD ，AB ∴⊥平面CBD ，BC ⊂平面CBD ，AB BC ∴⊥，同理可证CD AD ⊥，在Rt ABC ∆中，2222222221AC BC AB CD BD AB AB BD =+=++=+=，所以1AC =，取AC 中点为O ，连接OB ，OD ，由直角三角形的性质可知，12OB AC =，12OD AC =，又12OA OC AC ==，即O 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等， O ∴为三棱锥A BCD -外接球的球心，1122R AC ∴==， ∴球的体积341()326V ππ=⋅⋅=，故答案为：6π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 满足11a =，112(1)(*)n n a a n N n +=+∈．（1）求证：数列{}n an 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）12n n na -=；（2）11222n n n n S +---=．【解析】（1）证明：因为*112,n n n a a n N n ++=∈，所以1112n n a an n+=⨯+，又1101a =≠，故数列{}n a n 为首项为1，公比为12的等比数列．所以11111()22n n n a n --=⨯=，故12n n n a -=．（2）因为01221123122222n n n n nS ---=+++++①， 23111231222222n n nn nS --=+++++②， ①、②式错位相减得：12111()111122211222222212nn n n n n nn n n S +----=++++-=-=- 化简整理得11222n n n n S +---=．18．《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法，为了增强学生的法律意识，了解法律知识．某大学为此举行了《中华人民共和国民法典》知识竞赛，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，若把分数不低于90分的成绩称为优秀，整理得到如下22⨯列联表：参考数据：2)k0.152.072参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．（Ⅰ）依据0.05α=的独立性检验，能否认为该校此专业大一学生的性别与测试成绩有关联；（Ⅱ）若从获优秀的学生中随机抽取3人进行座谈，记X 为抽到男生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）没有；（Ⅱ）分布列见解析；5()4E X =.【解析】（Ⅰ）由列联表中的数据，可得22100(528607) 3.263 3.84165351288K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以依据0.05α=的独立性检验，认为该校此专业大一学生的性别与测试成绩没有关联；（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，则03573127(0)44C C P X C ===，125731221(1)44C C P X C ===，21573127(2)22C C P X C ===，30573121(3)22C C P X C ===，所以X 的分布列为：55()3124E X =⨯=．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，60BAD ∠=︒，122AB AD CD ===，E为棱PD 上的一点，且22D E EP ==．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）求二面角A EC D --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结OE ，在底面ABCD 中，因为//AB CD ，12AB CD =，由ABO CDO ∆∆∽，可得2DO CDOB AB==，因为2D E EP =，即2DEEP=，所以在BDP ∆中，DO DEOB EP=，故//EO PB ，因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊂/平面AEC ，所以//PB 平面AEC ；（2）解：取AB 的中点H ，连结DH ，因为60BAD ∠=︒，AB AD =，所以ABD ∆为等边三角形，则DH AB ⊥，因为//AB CD ，则DH CD ⊥，因为PD ⊥平面ABCD ，又DH ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD D H ⊥，PD CD ⊥，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标如图所示，因为DH CD ⊥，PD D H ⊥，PD CD D =，PD ，CD ⊂平面PCD ，则D H ⊥平面PCD ，因为2AD =，60BAD ∠=︒，所以DH =平面PCD 的一个法向量为(3,0,0)n =，因为122AB CD ==，22D E EP ==，故1,0),(0,4,0),(0,0,2)A C E -，所以(3,5,0),(3,1,2)AC AE =-=-，设平面ACE 的法向量为(,,)m x y z =，则00m AC m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即5020y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令5x =，则y z == 故(5,3,2m =，所以||5|cos ,|||||3n m n m n m ⋅<>===⨯，故二面角A EC D --．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点3(1,)2M 为椭圆C 上一点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(1,0)F -作动直线l 与椭圆交于A ，B 两点，过点A 作直线4x =-的垂线垂足为N ，求证：直线BN 过定点．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）1(1,0)F -，2(1,0)F ，点3(1,)2M 为椭圆C 上一点，∴由椭圆定义可得122||||4a MF MF =+=，2a ∴=，1c =，222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆方程为22143x y +=．（2）证明：设直线l 的方程为1x my =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1(4,)N y -，联立直线l 与椭圆方程221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22(43)690m y my +--=，∴运用韦达定理，可得122643m y y m +=+①，122943y y m -=+②，1(4,)N y -，∴直线BN 的方程为1(4)BN y y k x -=+，即1(4)BN BNy y k x k =++③，又2121212224(1)43BN y y y y y y k x my my ---===+-++， ∴11212121121(3)32BN y y my my y y k y y y y y ++==-+-④，将①、②式代入④式化简得132BN y k =-⑤， ⑤代入③化简得直线BN 的方程为5()2BN y k x =+，故直线BN 过定5(,0)2D -，即得证．21．已知0x =为函数()x f x e kx =-的极值点．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）若(0,)x ∀∈+∞，2()(1)1f x x a x >-+-+，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1k =；（2）1a .【解析】（Ⅰ）()x f x e k '=-，0(0)0f e k '=-=，解得1k =，经检验，()f x 在(,0)-∞递减，在(0,)+∞递增，0x =为()f x 的极小值点，符合题意，因此，1k =．（Ⅱ）(0,)x ∀∈+∞，210x e x ax +-->，设2()1x g x e x ax =+--，其中(0)0g =，()2x g x e x a '=+-，()2x h x e x a =+-，()20x h x e '=+>， ()h x ∴在(0,)+∞递增，()(0)1h x h a >=-．（1）当10a -时，即1a ，()0g x '，()g x 在(0,)+∞递增，()(0)0g x g >=符合题意，所以1a ；（2）当10a -<时，即1a >，0(0,)x ∃∈+∞，0()0g x '=，在0(0,)x 上，()0g x '<，()g x 在0(0,)x 递减，所以0(0,)x x ∈时，()(0)0g x g <=不符合题意；综上，实数a 的取值范围为1a ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()3πρθ+．（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设射线(0)6πθρ=->与直线l 交于点A ，点B 在曲线C 上，且3AOB π∠=，求||AB ．【答案】（1）4sin ρθ=；0x -.（2）2.【解析】（1）曲线C 的普通方程22(2)4x y +-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，整理得4sin ρθ=，即为曲线C 的极坐标方程．对于直线l ，1(cos sin 2ρθθ⋅-=cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，整理得0x -，即为直线l 的直角坐标方程．（2）把6πθ=-代入直线l 的极坐标方程得(2,)6A π-，射线OB 的极坐标方程为63ππθ=-+，即6πθ=．把6πθ=代入曲线C 的极坐标方程，得(2,)6B π，3AOB π∠=，AOB ∴∆为等边三角形，||2AB ∴=．23．已知函数1()||22x f x x =--，3()||22a g x x =-++．（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ，求a 的取值范围．【答案】（1）{|02}x x <<；（2）4(1,]3-.【解析】（1）函数1()||22x f x x =--，3()||22a g x x =-++，当2a =-时，不等式()()f x g x <，即13|||1|0222x x x --+--<，设13|||1|222x y x x =--+--，当12x <时，135102222x xy x x =--+--=-<，解得102x <<，当112x 时，131102222x xy x x =--+--=--<，解得112x ，当1x >时，133132222x xy x x =--+--=-，解得12x <<，综上所述，()()f x g x <的解集为{|02}x x <<．（2）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，113()2222x x f x x =--=-，33()222a a g x x x -=--+=--，()()f x g x ∴<，即133222xa x ----， 2x a ∴-，对1[,)22a x ∈-内恒成立，2min x a ∴-，∴22aa --，解得43a ， a ∴的取值范围为4(1,]3-．。

2021届高三开学摸底测试卷理科数学1

2021届高三开学摸底测试卷理科数学（一）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}2．在复平面内，复数23iz i+=对应的点的坐标为( ) A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(2,3)-D ．(3,2)-3．已知向量(1,)a m =，向量(1,3)b =-，若//a b ，则(m = ) A ．3B ．3-C ．3 D ．3-4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，从全校1000名学生中随机抽查了100名，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90名，阅读过《红楼梦》的学生共有80名，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60名，则该校阅读过《西游记》的学生人数估计有( ) A ．500B ．600C ．700D ．8005．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程3y x =，则该双曲线的离心率为() A ．3B ．2C ．12D ．237．函数||2sin 2x y x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．8．设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面9．已知直线512x π=和点(6π，0)恰好是函数()2)f x x ωϕ=+图象的相邻的对称轴和对称中心，则()f x 的表达式可以是( ) A ．()2)6f x x π=-B ．()2)3f x x π-C ．()2)3f x x π+D ．()2)6f x x π+10．已知函数2,01,()1,1x x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( ) A ．5[4，9]4B ．5(4，9]4C ．5(4，9]{1}4D ．5[4，9]{1}411．设定义在R 上的函数()y f x =满足t R ∀∈都有1(2)()f t f t +=，且(0x ∈，4]时，()()f x f x x'>，则6(2017)f 、3(2018)f 、2(2019)f 的大小关系是( ) A ．6(2017)3(2018)2(2019)f f f << B ．3(2018)6(2017)2(2019)f f f << C ．2(2019)3(2018)6(2017)f f f << D ．2(2019)6(2017)3(2018)f f f <<12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( )A ．B ．C ．D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数1()lnx f x x +=的图象在1x e=处的切线方程为．14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A =︒，4b =，a =则ABC ∆的面积等于．15．若22log log 1m n +=，那么m n +的最小值是．16．已知点(1,1)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k = ．三、解答题（共70分.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题） 17．（12分）已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ．18．（12分）如图，直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥，1AC BC ==，12CC =，点M 是11A B 的中点．（1）求证：1//B C 平面1AC M ；（2）求1AA 与平面1AC M 所成角的正弦值．19．（12分）某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由高考成绩和学业水平性考试成绩共同构成．该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调査，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见，如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图．（1）根据已知条件与等高条形图完成下面的22⨯列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”．赞成不赞成合计城镇居民农村居民合计（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3人，记这3位家长中是城镇户口的人数为X ，试求X 的分布列及数学期望()E X ． 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（其中n a b c d =+++为样本容量） 20()P K k0.10 0.05 0.010 0.005 0k2.7063.8416.6357.87920．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>2，点2)在C 上．()I 求C 的方程；()II 直线l 不经过原点O ，且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值． 21．（12分）已知函数32()f x x x b =-++，()g x alnx =．（Ⅰ）若()f x 在1[2x ∈-，1)上的最大值为38，求实数b 的值；（Ⅱ）若对任意[1x ∈，]e ，都有2()(2)g x x a x -++恒成立，求实数a 的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是：(x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是参数，m 是常数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且||2PQ =，求实数m 的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知()|||2|()f x x a x x x a =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）当(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．2021届高三开学摸底测试卷理科数学（一）答案解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}【解析】因为{1A =-，0，1，2}，2{|1}{|11}B x x x x ==-，所以{1AB =-，0，1}，故选：A ．2．在复平面内，复数23iz i+=对应的点的坐标为( ) A ．(3,2) B ．(2,3)C ．(2,3)-D ．(3,2)-【解析】223(23)()32i i i z i i i ++-===--， ∴在复平面内，复数23iz i+=对应的点的坐标为(3,2)-．故选：D ．3．已知向量(1,)a m =，向量(1,3)b =-，若//a b ，则(m = )A B ．C D ．【解析】向量(1,)a m =，向量(1,3)b =-，若//a b ，则10m =，解得m =，故选：B ．4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，从全校1000名学生中随机抽查了100名，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90名，阅读过《红楼梦》的学生共有80名，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60名，则该校阅读过《西游记》的学生人数估计有( ) A ．500B ．600C ．700D ．800【解析】某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出维恩图，如右图，∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：700.7100=．所以该校阅读过《西游记》的学生人数估计有：10000.7700⨯=人．故选：C ．5．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】模拟程序的运行，可得 1k =，1s = 2s =不满足条件3k ，执行循环体，2k =，2s =不满足条件3k ，执行循环体，3k =，2s = 此时，满足条件3k ，退出循环，输出s 的值为2．故选：B ．6．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程3y x =，则该双曲线的离心率为() A ．3B ．2C ．12D ．23【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，∴由3ba=得3b a =，平方的22223b a c a ==-，即224a c =，则2c a =，即离心率22c a e a a===，故选：B ．7．函数||2sin 2x y x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解析】根据函数的解析式||2sin 2x y x =，得到：函数的图象为奇函数，故排除A 和B ．当2x π=时，函数的值也为0，故排除C ．故选：D ．8．设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【解析】对于A ，α内有无数条直线与β平行，αβ或//αβ；对于B ，α内有两条相交直线与β平行，//αβ；对于C ，α，β平行于同一条直线，αβ或//αβ；对于D ，α，β垂直于同一平面，αβ或//αβ．故选：B ． 9．已知直线512x π=和点(6π，0)恰好是函数())f x x ωϕ=+图象的相邻的对称轴和对称中心，则()f x 的表达式可以是( ) A．())6f x x π=-B．())3f x x π-C．())3f x x π+ D．())6f x x π+【解析】由题意可得112544126T πππω==-，2ω∴=．再把点(6π，0)代入函数()f x )06πϕ⨯+=，sin(2)06πϕ∴⨯+=，故可取3πϕ=-，故选：B ．10．已知函数1,()1,1x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( ) A ．5[4，9]4B ．5(4，9]4C ．5(4，9]{1}4D ．5[4，9]{1}4【解析】作出函数1,()1,1x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-的图象，关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，即为()y f x =和14y x a =-+的图象有两个交点，平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =，考虑直线与1y x =在1x >相切，可得2114ax x -=，由△210a =-=，解得1(1a =-舍去），综上可得a 的范围是5[4，9]{1}4．故选：D ．11．设定义在R 上的函数()y f x =满足t R ∀∈都有1(2)()f t f t +=，且(0x ∈，4]时，()()f x f x x'>，则6(2017)f 、3(2018)f 、2(2019)f 的大小关系是( ) A ．6(2017)3(2018)2(2019)f f f << B ．3(2018)6(2017)2(2019)f f f << C ．2(2019)3(2018)6(2017)f f f << D ．2(2019)6(2017)3(2018)f f f <<【解析】定义在R 上的函数()y f x =满足t R ∀∈都有1(2)()f t f t +=，1(4)()(2)f t f t f t ∴+==+，∴函数()f t 是周期为4的函数．令函数()()f x g x x =，2()()()xf x f x g x x '-'=， (0x ∈，4]时，()()f x f x x'>，()0g x ∴'>，∴函数()g x 在(0x ∈，4]时单调递增．又6(2017)6f f =（1），3(2018)3f f =（2），2(2019)2f f =（3）． g （1）g <（2）g <（3）， ∴(1)(2)(3)123f f f <<， 6f ∴（1）3f <（2）2f <（3）．即6(2017)3(2018)2(2019)f f f <<．故选：A ．12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( ) A ．86π B ．46πC ．26πD ．6π【解析】如图，由PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，可知三棱锥P ABC -为正三棱锥，则顶点P 在底面的射影1O 为底面三角形的中心，连接1BO 并延长，交AC 于G ，则AC BG ⊥，又1PO AC ⊥，11PO BG O =，可得AC ⊥平面PBG ，则PB AC ⊥，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，//EF PB ∴，又90CEF ∠=︒，即EF CE ⊥，PB CE ∴⊥，得PB ⊥平面PAC ，∴正三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为2226D PA PB PC =++= 6，则球O 的体积为346(63ππ⨯=．故选：D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数1()lnx f x x +=的图象在1x e=处的切线方程为 2y e x e =- ．【解析】f ()x 定义域为(0,)+∞，2()lnxf x x -∴'=， f 21()e e =，∴切点为1(e，0)，又2k e =．∴函数y f = ()x 在1x e =处的切线方程为：21()y e x e=-，即2y e x e =-．故答案为：2y e x e =-．14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A =︒，4b =，a =则ABC ∆的面积等于【解析】根据题意，在ABC ∆中，60A =︒，4b =，a = 则由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，即212164c c =+-，解得2c =，ABC ∆的面积11sin 4222S bc A ==⨯⨯=故答案为：15．若22log log 1m n +=，那么m n +的最小值是【解析】由对数的运算性质可得222log log log 1m n mn +==，2mn ∴=．由基本不等式可得2m n mn +=m n ==故答案为：16．已知点(1,1)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k = 2 ．【解析】抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，∴过A ，B 两点的直线方程为(1)y k x =-，联立24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩可得，22222(2)0k x k x k -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则212242k x x k++=，121x x =， 12124(2)y y k x x k∴+=+-=，2212121212(1)(1)[()1]4y y k x x k x x x x =--=-++=-，(1,1)M -，∴1(1MA x =+，11)y -，2(1MB x =+，21)y -，90AMB ∠=︒，∴0MA MB = 1212(1)(1)(1)(1)0x x y y ∴+++--=，整理可得，12121212()()20x x x x y y y y +++-++=， 24412420k k∴++--+=，即2440k k -+=， 2k ∴=．故答案为：2三、解答题（共70分.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题） 17．（12分）已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ．【解析】()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，32a =，前3项和392S =． 122a d ∴+=，19332a d +=，解得11a =，12d =． 111(1)22n n a n +∴=+-=． 11()1II b a ==，4158b a ==，可得等比数列{}n b 的公比q 满足38q =，解得2q =．{}n b ∴前n 项和212121n nn T -==--． 18．（12分）如图，直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥，1AC BC ==，12CC =，点M 是11A B 的中点．（1）求证：1//B C 平面1AC M ；（2）求1AA 与平面1AC M 所成角的正弦值．【解析】（1）证明：直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥，1AC BC ==，12CC =，点M 是11A B 的中点．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0B ，1，2)，(0C ，0，0)，(1A ，0，0)，1(0C ，0，2)，11(,22M ，2)，1(0B C =，1-，2)-，1(1AC =-，0，2)，11(,22AM =-，2)，设平面1AC M 的法向量(n x =，y ，)z ，则120112022n AC x z n AM x y z ⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩，取1z =，得(2n =，2-，1)， 10B C n =，1B C ⊂/平面1AC M ， 1//B C ∴平面1AC M ．（2）解：1(0AA =，0，2)，平面1AC M 的法向量(2n =，2-，1)，设1AA 与平面1AC M 所成角为θ，则1AA 与平面1AC M 所成角的正弦值为： 11||21sin 233||AA n AA n θ===⨯．19．（12分）某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由高考成绩和学业水平性考试成绩共同构成．该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调査，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见，如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图．（1）根据已知条件与等高条形图完成下面的22⨯列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”．赞成不赞成合计城镇居民农村居民合计（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3人，记这3位家长中是城镇户口的人数为X ，试求X 的分布列及数学期望()E X ． 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（其中n a b c d =+++为样本容量） 20()P K k0.10 0.05 0.010 0.005 0k2.7063.8416.6357.879【解析】（1）已知条件与等高条形图完成22⨯列联表如下：22()100(300675) 3.03 3.841()()()()75254555n ad bc K a b c d a c b d -⨯-==≈<++++⨯⨯⨯，∴我们没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”．（2）用样本的频率估计概率，随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6，抽中农村户口家长的概率为0.4，X 的可能取值为0，1，2，3，3(0)0.40.064P X ===，123(1)0.6040.288P X C ==⨯⨯=，223(2)060.40.432P X C ==⨯⨯=，333(3)060.216P X C ==⨯=．X ∴的分布列为：()00.06410.28820.43230.2161.8E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>2，点在C 上．()I 求C 的方程；()II 直线l 不经过原点O ，且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值．【解析】（Ⅰ）由题意得222222421c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得28a =，24b =，∴椭圆C 的方程为22184x y +=；证明：（Ⅱ）设直线:(0,0)l y kx b k b =+≠≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(M M x ，)M y ，把y kx b =+代入22184x y +=，得222(21)4280k x kbx b +++-=．故12222,22121M M M x x kb bx y kx b k k +-===+=++，于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k =-，∴直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值．21．（12分）已知函数32()f x x x b =-++，()g x alnx =．（Ⅰ）若()f x 在1[2x ∈-，1)上的最大值为38，求实数b 的值；（Ⅱ）若对任意[1x ∈，]e ，都有2()(2)g x x a x -++恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）函数32()f x x x b =-++，函数2()32f x x x =-+，()0f x =得0x =，23x =， ()0f x >，203x <<；()0f x <，0x <或23> 可知：()f x 在1[2x ∈-，1)有1[2-，0)，2(3，1)是减区间，2(0,)3是增区间13()28f b -=+，24()327f b =+，可以判断）3388b +=，0b = 所以实数b 的值为0（2）任意[1x ∈，]e ，都有2()(2)g x x a x -++，()g x alnx =．22x x alnx x -+-，设22()x x T x lnx x-+=-，[1x ∈，]e 2(1)(2)()()x x lnx T X lnx x -+-'=-，[1x ∈，]e ，10x -，1lnx ，20x lnx +->，从而()0t x '，()t x 在[1，]e 上为增函数．所以()min t x t =（1）1=-，所以1a -选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是：(2x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是参数，m 是常数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且||2PQ =，求实数m 的值．【解析】（1）因为直线l的参数方程是：(2x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是参数），所以直线l 的普通方程为0x y m --=．因为曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=，故26cos ρρθ=，所以226x y x +=所以曲线C 的直角坐标方程是22(3)9x y -+= （2）设圆心到直线l 的距离为d ，则d ==又d ==，所以|3|4m -=，即1m =-或7m =． [选修4-5：不等式选讲]23．已知()|||2|()f x x a x x x a =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）当(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，()|1||2|(1)f x x x x x =-+--，()0f x <，∴当1x <时，2()2(1)0f x x =--<，恒成立，1x ∴<；当1x 时，()(1)(|2|)0f x x x x =-+-恒成立，x ∴∈∅；综上，不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a 时，()2()(1)0f x a x x =--<在(,1)x ∈-∞上恒成立；当1a <时，(,1)x a ∈，()2()0f x x a =->，不满足题意， a ∴的取值范围为：[1，)+∞。

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