线面平行与垂直的证明题
平行、垂直问题的证明-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题01平行、垂直问题的证明类型对应典例证明线线平行典例1证明线面平行典例2证明面面平行典例3证明线线垂直典例4证明线面垂直典例5证明面面垂直典例6【典例1】如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△PAB 为等边三角形，E 是PB 中点，平面AED 与棱PC 交于点F .（Ⅰ）求证：//AD EF ；（Ⅱ）求证：PB ⊥平面AEFD ；（III ）记四棱锥P AEFD -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，直接写出12V V 的值.【典例2】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，60DAB ∠= ，2AD =，1AM =，E 为AB 的中点．（1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．【典例3】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1,2,,AB AD E F ==分别为1,AD AA 的中点，Q 是BC 上一个动点，且(0)BQ QC λλ=>.（1）当1λ=时，求证：平面BEF P 平面1A DQ ；（2）是否存在λ，使得BD FQ ⊥？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.【典例4】如图，菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠= ，M 是AD 的中点，以BM 为折痕，将ABM ∆折起，使点A 到达点1A 的位置，且平面1A BM ⊥平面BCDM ，（1）求证：1A M BD ⊥；（2）若K 为1AC 的中点，求四面体1M A BK -的体积．【典例5】如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，M 是PC 上一点，且BM PC ⊥.（1）求证：PC ⊥平面MBD ；（2）求直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值.【典例6】已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为155，点F 在PC 上移动.（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值.1.在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离.2.已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明；(2)求三棱锥E －ABC 的体积.3.已知三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP ⊥.若平面α分别与棱PA PB BC AC 、、、相交于点,,,E F G H 且PC P 平面α.求证:（1）∥EH FG ；（2）AB FG ⊥.4.如图，在四边形'A BCD 中，'E 是'A D 的中点，'A BD ∆为正三角形，2DB =，1DC =，BC =.将'A BD ∆沿直线BD 折起，使'A 到达A 处，'E 到达E 处，此时平面ABD ⊥平面BCD .（1）求证：DC BE ⊥；（2）求点D 到平面BCE 的距离.5.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，AB AC =，,D E 分别为1AA 、1B C 的中点.（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为030，求二面角1D BC B --的余弦值.6.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =.（1）证明：面PAC ⊥面ABCD ；（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30 ，PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值．参考答案【典例1】解：（I ）证明：因为正方形ABCD ，所以//AD BC .因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC .因为AD ⊂平面AEFD ，平面AEFD ⋂平面PBC EF =，所以//AD EF .（II ）证明：因为正方形ABCD ，所以AD AB ⊥.因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面PAB .因为PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥.因为PAB ∆为等边三角形，E 是PB 中点，所以PB AE ⊥.因为AE ⊂平面AEFD ，AD ⊂平面AEFD ，AE AD A ⋂=，所以PB ⊥平面AEFD .（III ）解：由（Ⅰ）知，122133C AEFDE ABCF ADC C AEFD V V V V V V ，＝，----===513BC AEFD V V -∴＝，则1158133P ABCD V V V V -+＝＝，1238V V ∴．【典例2】解：()I CM 与BN 交于F ，连接EF ．由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点．因为E 是AB 的中点，所以//AN EF ．又EF ⊂平面MEC ，AN ⊂平面MEC ，所以//AN 平面MEC ．()II 由于四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥．又四边形ADNM 是矩形，面ADNM ⊥面ABCD ，DN ∴⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，E 0，0)，(0C ，2，0)，P 1-，)h，CE = ，2-，0)，(0EP =，1-，)h ，设平面PEC 的法向量为1(n x =，y ，)z ．则11·0·0CE n EP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，∴200y y hz -=-+=⎪⎩，令y =，∴1(2n h =，又平面ADE 的法向量2(0n =，0，1)，1cos n ∴<，12212·12n n n n n >===，解得377h =， 3717>，∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．【典例3】解：（1）当1λ=时，Q 为BC 中点，因为E 是AD 的中点，所以,ED BQ ED BQ = ，则四边形BEDQ 是平行四边形，所以BE QD .又BE ⊄平面1,A DQ DQ ⊂平面1A DQ ，所以BE 平面1A DQ .因为,E F 分别是1,AD A A 中点，所以1EF A D ，因为EF ⊄平面11,A DQ A D ⊂平面1A DQ ，所以EF 平面1A DQ .因为,BE EF E EF ⋂=⊂平面,BEF BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF 平面1A DQ .（2）如图，连接,AQ BD 与FQ ，因为1A A ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥.若,BD FQ ⊥又1,A A FQ ⊂平面1A AQ ，且1A A FQ F ⋂=，所以BD ⊥平面1A AQ .因为AQ ⊂平面1A AQ ，所以AQ BD ⊥.在矩形ABCD 中，由AQ BD ⊥，得AQB DBA ∽，所以2AB AD BQ =⋅.又1,2AB AD ==，所以13,22BQ QC ==，则13BQ QC =，即13λ=.【典例4】解：（1）证明：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，M 是AD 的中点，∴AD BM ⊥，故在右图中，1A M BM ⊥，∵平面1A BM ⊥平面BCDM ，平面1A BM 平面BCDM BM =，∴1A M ⊥平面BCDM ，又BD ⊂平面BCDM ，所以1A M BD ⊥.（2）解：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，AD BM ⊥，AD BC ∥，∴BC BM ⊥，且3BM =，在右图中，连接CM ，则1111132313323A BCM BCM V S A M -∆=∙=⨯⨯=，∵K 为1AC 的中点，∴1111113226M A BK K MA B C MA B A BCM V V V V ----====．【典例5】解：（1）连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ，BD Ø平面ABCD 得BD PA ⊥，又BD AC ⊥，PA AC A ⋂=，∴BD ⊥平面PAC ，得PC BD ⊥，又PC BM ⊥，BD BC B ⋂=，∴PC ⊥平面MBD .（2）法1：由（1）知PC ⊥平面MBD ，即PBM ∠是直线PB 与平面MBD 所成角，易证PB BC ⊥，而BM PC ⊥，不妨设1PA =，则1BC =，PC =，PB =，在Rt PBC ∆中，由射影定理得22::2:1PM MC PB BC ==，可得22333PM PC ==，所以63PM sin PBM PB ∠==，故直线PB 与平面MBD所成角的正弦值为3.法2：取A 为原点，直线MB ，MD ，MP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -，不妨设1PA AB ==，则0,0,1)P（，()1,0,0B ，()1,1,0C ，由（1）知平面MBD 得法向量()1,1,1PC =- ，而()1,0,1PB =-，∴1,0,11,1,1,cos PB PC -⋅-= 63=.故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为63.【典例6】解：（Ⅰ）连接AC∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，∴ABC ∆是正三角形，∵E 是BC 中点，∴AE BC ⊥又AD BC ，∴AE AD⊥∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥，又PA AE A ⋂=∴AE ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAD .（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AE ⊥平面PAD ，∴AME ∠就是EM 与平面PAD 所成的角，在Rt AME ∆中，15sin 5AME ∠=，即62AE AM =，设2AB a =，则AE =，得AM =，又2AD AB a ==，设2PA b =，则()0,,M a b ，所以AM ==，从而b a =，∴2PA AD a ==，则()0,0,0A，),,0Ba -，),,0Ca ，()0,2,0D a ，()0,0,2P a，),0,0E，3,,22a F a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以),0,0AE =，3,,22a AF a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(),3,0BD a=，设(),,n x y z是平面AEF 一个法向量，则n AE n AF ⎧⋅=⇒⎨⋅=⎩3022ayaz ⎧=++=⎪⎩取z a =，得()0,2,n a a =- 又BD ⊥平面ACF，∴(),3,0BD a=是平面ACF 的一个法向量，∴cos ,n BD n BD n BD⋅==⋅2155=-∴二面角C AF E --的余弦值为155.1.【思路引导】(1)取BD 中点O ,连接,OM OE ,因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OMCD ,且12OM CD =,因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE ,所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE 平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF ,所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =.所以四边形OMFE 为平行四边形，所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ，且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .(2)由(1)得//FM 平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离.取AD 的中点H ,连接,EH BH ,因为四边形ABCD 为菱形,且60,2DAB EA ED AB EF ∠==== ,所以,EH AD BH AD ⊥⊥,因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE 平面ABCD AD =,所以EH ⊥平面,ABCD EH BH ⊥,因为3EH BH ==,所以6BE =所以22161562222BDES ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,设F 到平面BDE 的距离为h ,又因为113342242BDM BCD S S ==⨯⨯=,所以由E BDM M BDE V V --=,得1311533232h =⨯⨯,解得155h =.即F 到平面BDE 的距离为155．2.【思路引导】（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明EN ∥AH ，MN ∥BC 可得平面EMN ∥平面ABC 即可（2）因为点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，求三棱锥E －ABC 的体积可转化为求三棱锥N －ABC 的体积，根据体积公式计算即可.解：(1)如图所示，取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，易知DH NG ＝32，又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12，∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG ＝3.3.解：证明（1）因为PC P 平面α，平面α 平面PAC EH =,PC ⊂平面PAC ，所以有PC EH ,同理可证出PC FG ,根据平行公理，可得∥EH FG ；（2）因为AB AC ⊥，AB AP ⊥，AP AC A ⋂=,,AP AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ,而PC ⊂平面PAC ,所以AB PC ⊥,由（1）可知PC FG EH ,所以AB FG ⊥.4.【思路引导】（1）先由题证明BD DC ⊥，再证明DC ⊥平面ABD 则可得DC BE ⊥；（2）用等体积转化法D BCE E BCD V V --=，求点D 到平面BCE 的距离．解：（1）由2DB =，1DC =，BC =，可知222DB DC BC +=，∴BD DC ⊥，又∵平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =.∴DC ⊥平面ABD ，又BE ⊂平面ABD ，∴DC BE ⊥.（2）取BD 的中点F ，连接AF .∵'A BD ∆为正三角形，∴ABD ∆也为正三角形，∴AF BD ⊥.由2BD =，知AF =.∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，∴AF ⊥平面BCD ，又∵E 为'E 对应的点，∴E 为AD 的中点，∴点E 到底面BCD 的距离为32，BE =，1ED =，又CD AD ⊥，1CD =，∴CE =，又BC =，∴222BE CE BC +=，∴BE CE ⊥，∴116222BCE S BE CE ∆=⨯==，1121122BCD S BD DC ∆=⨯=⨯⨯=.设D 点到平面BCE 的距离为h .∵D BCE E BCD V V --=，∴11133222BCE BCD S h S h ∆∆⋅=⨯⇒=⨯，解得22h =，∴点D 到平面BCE 的距离为22.5.【思路引导】解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直；（2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，易证AF ⊥平面11BCC B ，再证明DE AF ,可得DE ⊥平面11BCC B（2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法3：（1）同解法2（2）设12AA a =，利用三棱锥1B BDC -等体积转化，得到1B 到面BCD 的距离，利用1B C 与平面BCD 所成的角为30︒得到1B C 与d 的关系，解出a ，在两个平面分别找出,DF EF 垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值.【详解】解法1：（1）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设1AB =，AD a =，则()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ，()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,22E a ⎛⎫⎪⎝⎭，11,,022DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,0BC =- ，()11,1,2B C a =--．因为0DE BC ⋅=，10DE B C ⋅= ，所以DE BC ⊥，1DE B C ⊥，BC ⊂面11BCC B ，1B C ⊂面11BCC B ，1BC B C B ⋂=于是DE ⊥平面11BCC B ．（2）设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =，则0n BC ⋅= ，0n BD ⋅=，又()1,1,0BC =- ，()1,0,BD a =-，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--，所以1cos ,sin30n B C =︒ ，11n B C n B C⋅∴=⋅12=，解得22a =，(n= ．由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，11222cos ,2n AF n AF n AF+⋅==⋅，所以二面角1D BC B --的余弦值为22．解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ,AB AC = ∴AF BC ⊥，1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ∴1BB AF ⊥，而BC ⊂平面11BCC B ,1B B ⊂平面11BCC B ,1BC B B B⋂=∴AF ⊥平面11BCC B ．E 为1B C 中点，∴1EF BB ，112EF BB =，∴EF DA ，EF DA ＝，∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ．∴DE ⊥平面11BCC B ．（2）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ，则()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =，则0n BC ⋅= ，0n BD ⋅=，又()1,1,0BC =- ，()1,0,BD a =-，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--，所以1|cos ,)|sin30n B C <>=︒ ，11n B C n B C⋅∴=⋅12=，解得22a =，(n= ．由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1122cos ,2n AF n AF n AF +⋅==⋅所以二面角1D BC B --的余弦值为2．解法3：（1）同解法2．（2）设1AB AC ==，12AA a =，则BC =22AF =,BD DC==DF ∴==122BDC SBC DF ∴=⋅= ，1112BCB S BB BC =⋅= ，D 到平面1BCB 距离22DE =，设1B 到面BCD 距离为d ，由11B BDCD BCB V V --=得11133BCB BDC SDE S d ⋅=⋅，即113232d⋅=⋅⋅d =因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，所以12sin30d B C d ===︒，而在直角三角形1B BC 中1BC ==2=，解得22a =．因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ,所以AF BC ⊥，EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B 所以EF BC ⊥，所以BC ⊥平面DEFA ，DF ⊂ 平面DBC ,EF ⊂平面1B BC所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，而22DA AF ==,可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，所以二面角1D BC B --的余弦值为22．6.【思路引导】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC 与BD 交点为O ，则PO ⊥BD ，而正方形中AC ⊥BD ，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得030PAC ∠=，以A 为坐标原点，,AB AD为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC 和面DPC 的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．解：（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD⊥∵PB PD =，OB OD =,∴BD OP ⊥,又∵OP AC O ⋂=,∴BD PAC ⊥面又BD PAC ⊂面,∴PAC ABCD ⊥面面.（2）∵PAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E∴ABCD PE ⊥面∵PA 与底面ABCD 所成的角为030，∴030PAC ∠=,又PA PC ⊥，设2PC =,则3,4,AP PE AE AC AD =====如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD 为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -()()()()32320,0,0,,,0,,,22A B C D P ⎛ ⎝设面PBC 法向量为()1,,n x y z =，()220,,,22BC CP ⎛==--⎝1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴022022x y ⎧=+-=⎪⎩，1,0,z y x ===令则)1n = 同理PCD 面的法向量()2n = ，1212121cos ,7n n n n n n ⋅==∴求二面角B PC D --的余弦值17-。
线面垂直平行证明解答基础
直线平面平行及垂直的判定解答基础21．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，求证：平面A1C1CA⊥平面B1D1DB．证明：∵AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1=B，∴AC⊥面B1D，∵AC⊂面A1C，∴平面A1C1CA⊥平面B1D1DB．2.如图，四棱锥V﹣ABCD的底面为矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD，求证：平面VBC⊥平面VAC．证明：∵VB⊥面VAD，AD⊂面VAD，VA⊂面VAD，∴VB⊥AD，VB⊥VA，∵AB⊥AD，VA∩AB=A，∴AD⊥面VAB，AD⊂面VAB，∴AD⊥VA，∵AD∥BC，∴VA⊥BC，又∵VA⊥VB，VB∩BC=B，∴VA⊥平面VBC,又VA⊂面VBC，∴平面VBC⊥平面VAC．3．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，D是AB中点，AC⊥BC．（1）求证：BC1∥面A1DC．（2）求证：面A1BC⊥面A1AC．解：（1）证明：取AC1的中点M，∵D是AB中点，∴MD是三角形ABC1的中位线，∴MD∥BC1．而MD在平面A1DC中，BC1不在平面A1DC中，∴BC1∥面A1DC．（2）∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥BC，又 AC⊥BC，AC∩AA1=A，∴BC⊥面A1AC．∵BC⊂面A1BC，∴面A1BC⊥面A1AC．5．如图为正方体ABCD﹣A1B!C!D1切去一个三棱锥B1﹣A!BC1后得到的几何体．（1）画出该几何体的正视图；（2）若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O∥平面A1BC1；（3）求证：平面A1BC1⊥平面BDD1．解：（1）几何体的正视图为：（2）将其补成正方体ABCD﹣A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1=OB，∴四边形D1OBO1为平行四边形，∴D1O∥O1B，∵BO1⊂平面BA1C1，D1O⊄平面BA1C1，∴直线D1O∥平面A1BC1．（3）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，则DD1⊥A1C1，又∵B1D1⊥A1C1且DD1∩B1D1，∴A1C1⊥平面BD1D，又∵A1C1⊂平面A1BC1，∴平面A1BC1⊥平面BD1D．6．如图，在三棱锥S﹣ABC中，OA=OB，O为BC中点，SO⊥平面ABC，E为SC中点，F为AB 中点．（1）求证：OE∥平面SAB；（2）求证：平面SOF⊥平面SAB．证明：（1）取AC的中点G，连接OG，EG，∵OG∥AB，EG∥AS，EG∩OG=G，SA∩AB=A，∴平面EGO∥平面SAB，OE⊂平面OEG∴OE∥平面SAB．（2）∵SO⊥平面ABC，∴SO⊥OB，SO⊥OA，又∵OA=OB，SA2=SO2+OA2，SB2=SO2+OB2，∴SA=SB，又F为AB中点，∴SF⊥AB，又SO⊥AB，SF∩SO=S，∴AB⊥平面SOF，∵AB⊂平面SAB，∴平面SOF⊥平面SAB．7．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H．求证：AH⊥平面BCD．解：如图，取AB中点F，连接CF，DF,∵BC=AC，AD=BD，∴AB⊥CF，AB⊥DF，CF∩DF=F；∴AB⊥平面CDF，CD⊂平面CDF,∴CD⊥AB，CD⊥BE，BE∩AB=B；∴CD⊥平面ABE，AH⊂平面ABE,∴CD⊥AH，即AH⊥CD，又AH⊥BE，BE∩CD=E；∴AH⊥平面BCD．8．如图，棱锥V﹣ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD．求证：（1）AB⊥平面VDC （2）AB⊥CD．证明：（1）连接VD，从而∵VA=VB，AD=BD,∴VD⊥AB,∵VO⊥平面ABC，∴VO⊥AB∴AB⊥平面VDO，∵C在直线DO上，∴AB⊥平面VDC；（2）由（1）得AB⊥平面VDC,∵CD⊂平面VDC∴AB⊥CD．13．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD， AC∩BD=E，AD=2，AB=2，BC=6，求证：平面PBD⊥平面PAC．证明：在Rt△ABC中，tan∠BAC===，∴∠BAC=60°；又∵AD∥BC，∴∠BAD=90°；在Rt△BAD，tan∠ABD===，∴∠ABD=30°；∴∠AEB=90°，∴BD⊥AC；∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD；又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC；∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．14．如图所示，在四面体P﹣ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=2求证：BC⊥平面PAC，PA⊥平面ABC．证明：∵PA2+AC2=36+64=100=PC2，∴PA⊥AC∵PA2+AB2=36+100=136=PB2，∴PA⊥AB∵AB∩AC=A∴PA⊥平面ABC∵PC2+BC2=100+36=136=PB2，∴PC⊥BC∵BC2+AC2=36+64=100=AB2，∴BC⊥AC∵PC∩AC=C∴BC⊥平面PAC．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点，求证：平面PCE⊥平面PCD．证明：∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD=A∴CD⊥平面ADP，∵AF⊂平面ADP，∴CD⊥AF．直角三角形PAD中，∠PDA=45°∴△PAD为等腰直角三角形，∴PA=AD．∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CD∩PD=D．∴AF⊥平面PCD．∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PCD．18．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点求证：平面BDE⊥平面ABCD．证明：如图，连接AC，交BD于O点，连接OE．∵四边形ABCD是平行四边形，E是SA的中点，∴AO=OC，AE=ES，∴OE∥SC∵直线SC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∵OE⊂平面BDE∴平面BDE⊥平面ABCD．19．已知如图底面ABC为直角三角形，∠C=90°，PA⊥平面ABC，求证：平面PBC⊥平面PAC．证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AC，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．。
立体几何线面平行垂直、面面平行垂直专题练习(高三党必做)
立体几何线面平行垂直、面面平行垂直专题一、解答题（本大题共27小题，共324.0分）1.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．2.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．BC＝12(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥B1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD=√6，AP=4AF．（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面BDF如果存在，求BM的值，如果不存在，请说明理BP由．5.如图，在直三棱柱ABC-A1B l C1中，AC=BC=√2，∠ACB=90°．AA1=2，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD：（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．6.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=√6，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B-PD-A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP=1，AD=√3，三棱锥P-ABD的体积V=√3，求A到平面PBC的距4离．9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．10.如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．11.如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点，N是CE的中点．（I）求证：EM⊥AD；（II）求证：MN∥平面ADE；（III）求点A到平面BCE的距离．12.已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥DC，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，AB=AD=EA=1，CD=CF=2．（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面BCF；（Ⅱ）求点B到平面ECD的距离．13.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=2，E、F分别为CD、PB的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB；（3）设AB=√2AD，求直线AC与平面AEF所成角θ的正弦值．14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC=45∘，AD=AC=2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO=6，M为BD的中点．(1)证明：AD⊥平面PAC；(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．15.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=√2，点D为A1C1的中点．（I）求证：BC1∥平面AB1D；（II）求证：A1C⊥平面AB1D；（Ⅲ）求异面直线AD与BC1所成角的大小．16.如图，P-ABD和Q-BCD为两个全等的正棱锥，且A，B，C，D四点共面，其中AB=1，∠APB=90°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面APQ；（Ⅱ）求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，AB=BC=2，∠ACB=30°，∠C1CB=60°，BC1⊥A1C，E为AC的中点，侧棱CC1=2．（1）求证：A1C⊥平面C1EB；（2）求直线CC1与平面ABC所成角的余弦值．18.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，BC=2√3，AC=2√6，D为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；，求点B到平面PAC的距离．（2）若∠PAB=π419.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D是BC边的中点，AA1=AB=1．（1）求证：平面ADB1⊥平面BB1C1C；（2）求点B到平面ADB1的距离．20.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC．（1）求证：平面BED⊥平面PAC；（2）求二面角F-DE-B的大小；（3）若PA=6，DF=5，求PC与平面PAB所成角的正切值．21.如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD＝CD＝1,DB=2√2.(1)证明PA∥平面BDE;(2)证明AC⊥平面PBD;(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.22.如图所示，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2．（Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．=√2.23.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，E为A1C1的中点，CC1C1E（Ⅰ）证明：CE⊥平面AB1C1；（Ⅱ）若AA1=√6，∠BAC=30°，求点E到平面AB1C的距离．24.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为√2的正方形，平面AEC⊥平面CDE，∠AEC=90°，F为DE中点，且DE=1．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CD⊥DE；（Ⅲ）求FC与平面ABCD所成角的正弦值．25.已知：平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=√2AD=2√2，平面AED⊥平面ABCD，△AED为等边三角形，EF∥AB，EF=√2，M为线段BC的中点．（1）求证：直线MF∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面EAD；（3）求直线BF与平面BED所成角的正弦值．26.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=√2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AC=√2，AB=BC=1，E为AD中点．（Ⅰ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成的二面角．27.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．答案和解析1.【答案】（1）证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ，∵N 为PC 的中点， ∴NG ∥BC ，且NG =12BC ，又AM =23AD =2，BC =4，且AD ∥BC ， ∴AM ∥BC ，且AM =12BC ，则NG ∥AM ，且NG =AM ，∴四边形AMNG 为平行四边形，则NM ∥AG ， ∵AG ⊂平面PAB ，NM ⊄平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB ； 法二、在△PAC 中，过N 作NE ⊥AC ，垂足为E ，连接ME ， 在△ABC 中，由已知AB =AC =3，BC =4，得cos ∠ACB =42+32−322×4×3=23，∵AD ∥BC ，∴cos ∠EAM =23，则sin ∠EAM =√53，在△EAM 中，∵AM =23AD =2，AE =12AC =32，由余弦定理得：EM =√AE 2+AM 2−2AE ⋅AM ⋅cos∠EAM =√94+4−2×32×2×23=32，∴cos ∠AEM =(32)2+(32)2−42×32×32=19，而在△ABC 中，cos ∠BAC =32+32−422×3×3=19，∴cos ∠AEM =cos ∠BAC ，即∠AEM =∠BAC ， ∴AB ∥EM ，则EM ∥平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AC ，又NE ⊥AC ， ∴NE ∥PA ，则NE ∥平面PAB ． ∵NE ∩EM =E ，∴平面NEM ∥平面PAB ，则MN ∥平面PAB ；（2）解：在△AMC 中，由AM =2，AC =3，cos ∠MAC =23，得CM 2=AC 2+AM 2-2AC •AM •cos ∠MAC =9+4−2×3×2×23=5．∴AM 2+MC 2=AC 2，则AM ⊥MC ， ∵PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ∩平面PAD =AD ， ∴CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN=12PC=12√PA2+PC2=52，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=PA⋅AMPM =√42+22=4√55，∴sin∠ANF=AFAN =4√5552=8√525．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8√525．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=12BC，再由已知得AM∥BC，且AM=12BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）由勾股定理得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．2.【答案】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF=12AD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，EF∥BC,EF=BC,∴四边形BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB;（2）解:如图所示，取AD中点O，连接PO，CO，由于△PAD为正三角形，则PO⊥AD，因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥CO. 因为AO=AB=BC=12AD，且∠BAD=∠ABC= 90∘，所以四边形ABCO是矩形，所以CO⊥AD，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系,不妨设AB=BC=12AD=1，则OA=OD=AB=CO=1.又因为△POC为直角三角形，|OC|=√33|OP|，所以∠PCO=60∘.作MN⊥CO，垂足为N，连接BN，因为PO ⊥CO ，所以MN //PO ，且PO ⊥平面ABCD ，所以MN ⊥平面ABCD ，所以∠MBN 即为直线BM 与平面ABCD 所成的角, 设CN =t ，因为∠PCO =60∘，所以MN =√3t ，BN =√BC 2+CN 2=√t 2+1. 因为∠MBN =45∘，所以MN =BN ，即√3t =√t 2+1，解得t =√22，所以ON =1−√22，MN =√62，所以A (0,−1,0)，B (1,−1,0)，M (1−√22,0,√62)，D (0,1,0)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−√22,1,√62). 设平面MAB 和平面DAB 的法向量分别为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2), 则{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1⃗⃗⃗⃗ =0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1⃗⃗⃗⃗ =0，即{x 1=0(1−√22)x 1+y 1+√62z 1=0， 可取z 1=−2，则n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,√6,−2), 同理可得n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，所以.因为二面角M -AB -D 是锐角，所以其余弦值为√105.【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间向量求二面角夹角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，通过证明CE ∥BF ，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．（2）取AD 中点O ，连接PO ，CO ，作MN ⊥CO ，垂足为N ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，即可求出二面角M -AB -D 的余弦值．3.【答案】证明：（1）因为BB 1⊥面ABC ，AE ⊂面ABC ，所以AE ⊥BB 1,由AB =AC ，E 为BC 的中点得到AE ⊥BC , ∵BC ∩BB 1=B ，BC 、BB 1⊂面BB 1C 1C ， ∴AE ⊥面BB 1C 1C ，,∴AE ⊥B 1C ；解：（2）取B 1C 1的中点E 1，连A 1E 1，E 1C ，则AE ∥A 1E 1， ∴∠E 1A 1C 是异面直线AE 与A 1C 所成的角， 设AC =AB =AA 1=2，则由∠BAC =90°， 可得A 1E 1=AE =√2，A 1C =2√2，E 1C 1=EC =12BC =√2，∴E 1C =√E 1C 12+C 1C 2=√6，∵在△E 1A 1C 中，cos ∠E 1A 1C =2+8−62⋅√2⋅2√2=12， 所以异面直线AE 与A 1C 所成的角为π3；（3）连接AG ，设P 是AC 的中点，过点P 作PQ ⊥AG 于Q ，连EP ，EQ ，则EP ⊥AC ，又∵平面ABC ⊥平面ACC 1A 1,平面ABC ∩平面ACC 1A 1=AC ∴EP ⊥平面ACC 1A 1， 而PQ ⊥AG ∴EQ ⊥AG ．∴∠PQE 是二面角C -AG -E 的平面角， 由(2)假设知：EP =1，AP =1， Rt △ACG ∽Rt △AQP ，PQ =CG·AP AG=1√5，故tan ∠PQE =PEPQ =√5，所以二面角C -AG -E 的平面角正切值是√5.【解析】本题考查异面直线的夹角，线线垂直的判定，属于中档题，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键，属于较难题.（1）由BB 1⊥面ABC 及线面垂直的性质可得AE ⊥BB 1，由AC =AB ，E 是BC 的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE ⊥BC ，结合线面垂直的判定定理可证得AE ⊥面BB 1C 1C ，进而由线面垂直的性质得到AE ⊥B 1C ；（2）取B 1C 1的中点E 1，连A 1E 1，E 1C ，根据异面直线夹角定义可得，∠E 1A 1C 是异面直线A 与A 1C 所成的角，设AC =AB =AA 1=2，解三角形E 1A 1C 可得答案． （3）连接AG ，设P 是AC 的中点，过点P 作PQ ⊥AG 于Q ，连EP ，EQ ，则EP ⊥AC ，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP ⊥平面ACC 1A 1，进而由二面角的定义可得∠PQE 是二面角C -AG -E 的平面角．4.【答案】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，AC ∩BD =O ，所以O 为AC ，BD 中点．-------------------------------------（1分）又因为PA =PC ，PB =PD ，所以PO ⊥AC ，PO ⊥BD ，---------------------------------------（3分）所以PO ⊥底面ABCD ．----------------------------------------（4分）（Ⅱ）解：由底面ABCD 是菱形可得AC ⊥BD ， 又由（Ⅰ）可知PO ⊥AC ，PO ⊥BD ．如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz ．由△PAC 是边长为2的等边三角形，PB =PD =√6，可得PO =√3，OB =OD =√3．所以A(1，0，0)，C(−1，0，0)，B(0，√3，0)，P(0，0，√3)．---------------------------------------（5分）所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，√3)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，√3)． 由已知可得OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +14AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(34，0，√34)-----------------------------------------（6分） 设平面BDF 的法向量为n −=（x ，y ，z ），则{√3y =034x +√34z =0令x =1，则z =−√3，所以n ⃗ =（1，0，-√3）．----------------------------------------（8分） 因为cos ＜CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=-12，----------------------------------------（9分） 所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为12，所以直线CP 与平面BDF 所成角的大小为30°．-----------------------------------------（10分）（Ⅲ）解：设BMBP =λ（0≤λ≤1），则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，√3(1−λ)，√3λ)．---------------------------------（11分）若使CM ∥平面BDF ，需且仅需CM −⋅n ⃗ =0且CM ⊄平面BDF ，---------------------（12分） 解得λ=13∈[0，1]，----------------------------------------（13分） 所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ． 此时BM BP =13．-----------------------------------（14分）【解析】（Ⅰ）证明PO ⊥底面ABCD ，只需证明PO ⊥AC ，PO ⊥BD ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出直线CP 的方向向量，平面BDF 的法向量，利用向量的夹角公式可求直线CP 与平面BDF 所成角的大小；（Ⅲ）设BMBP =λ（0≤λ≤1），若使CM ∥平面BDF ，需且仅需CM −⋅n ⃗ =0且CM ⊄平面BDF ，即可得出结论．本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求出向量的坐标是关键．5.【答案】解：（I ）证明：∵CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∠ACB =90°， ∴CC 1⊥AC ，AC ⊥BC ，又BC ∩CC 1=C ，∴AC ⊥平面BCC 1，BC 1⊂平面BCC 1， ∴AC ⊥BC 1．（II ）证明：如图，设CB 1∩C 1B =E ，连接DE ， ∵D 为AB 的中点，E 为C 1B 的中点，∴DE ∥AC 1， ∵DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ， ∴AC 1∥平面B 1CD ．（III ）解：由DE ∥AC 1，∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，在△CDE 中，DE =12AC 1=12√AC 2+CC 12=√62， CE =12B 1C =12√BC 2+BB 12=√62，CD =12AB =12√AC 2+BC 2=1，cos ∠CED =CE 2+DE 2−CD 22×CE×DE=32+32−12×√62×√62=23，∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为23．【解析】本题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线及其所成的角． （I ）先证线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直即可； （II ）作平行线，由线线平行证明线面平行即可；（III ）先证明∠CED 为异面直线所成的角，再在三角形中利用余弦定理计算即可． 6.【答案】解：如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， 设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1， 则，OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，故以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底， 建立空间直角坐标系O -xyz ，∵AB =AA 1=2，A （0，-1，0），B （√3，0，0）， C （0，1，0），A 1（0，-1，2），B 1（√3，0，2），C 1（0，1，2）．（1）点P 为A 1B 1的中点．∴P(√32，−12，2)，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32，−12，2)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)． |cos <BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|−1+4|√5×2√2=3√1020．∴异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为：3√1020； （2）∵Q 为BC 的中点．∴Q （√32，12，0）∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32，32，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，设平面AQC 1的一个法向量为n⃗ =（x ，y ，z ）， 由{AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =√32x +32y =0AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n⃗ =2y +2z =0，可取n⃗ =（√3，-1，1）， 设直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为θ， sinθ=|cos|=|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=2√5×2=√55， ∴直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为√55．【解析】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，建立空间直角坐标系O -xyz ，（1）由|cos ＜BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |可得异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求得平面AQC 1的一个法向量为n⃗ ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为θ，可得sinθ=|cos ＜CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ ＞|=|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |，即可得直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．7.【答案】（1）证明：如图，设AC ∩BD =O ，∵ABCD 为正方形，∴O 为BD 的中点，连接OM ，∵PD ∥平面MAC ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面AMC =OM ， ∴PD ∥OM ，则BOBD =BM BP，即M 为PB 的中点；（2）解：取AD 中点G ， ∵PA =PD ，∴PG ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，则PG ⊥AD ，连接OG ，则PG ⊥OG ，由G 是AD 的中点，O 是AC 的中点，可得OG ∥DC ，则OG ⊥AD ．以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴距离空间直角坐标系， 由PA =PD =√6，AB =4，得D （2，0，0），A （-2，0，0），P （0，0，√2），C （2，4，0），B （-2，4，0），M （-1，2，√22），DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√2)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，4，0)． 设平面PBD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，则由{m ⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2x +√2z =0−4x +4y =0，取z =√2，得m ⃗⃗⃗ =(1，1，√2)． 取平面PAD 的一个法向量为n ⃗ =(0，1，0)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12×1=12． ∴二面角B -PD -A 的大小为60°；（3）解：CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3，−2，√22)，平面BDP 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1，1，√2)．∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为|cos ＜CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ ＞|=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||=|−2√9+4+12×1|=2√69．【解析】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．（1）设AC ∩BD =O ，则O 为BD 的中点，连接OM ，利用线面平行的性质证明OM ∥PD ，再由平行线截线段成比例可得M 为PB 的中点；（2）取AD 中点G ，可得PG ⊥AD ，再由面面垂直的性质可得PG ⊥平面ABCD ，则PG ⊥AD ，连接OG ，则PG ⊥OG ，再证明OG ⊥AD ．以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD 与平面PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B -PD -A 的大小；（3）求出CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．8.【答案】解：（Ⅰ）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ， ∵ABCD 是矩形， ∴O 为BD 的中点 ∵E 为PD 的中点， ∴EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ∴PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）∵AP =1，AD =√3，三棱锥P -ABD 的体积V =√34，∴V =16PA ⋅AB ⋅AD =√36AB =√34，∴AB =32，PB =√1+(32)2=√132．作AH ⊥PB 交PB 于H ， 由题意可知BC ⊥平面PAB ， ∴BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ．又在三角形PAB 中，由射影定理可得：AH =PA⋅AB PB=3√1313A 到平面PBC 的距离3√1313．【解析】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）通过AP =1，AD =√3，三棱锥P -ABD 的体积V =√34，求出AB ，作AH ⊥PB 角PB于H ，说明AH 就是A 到平面PBC 的距离．通过解三角形求解即可． 9.【答案】证明：（I ）∵PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD =DC =AP =2，AB =1，点E 为棱PC 的中点． ∴B （1，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0）， P （0，0，2），E （1，1，1）∴BE⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，1），DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，0） ∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴BE ⊥DC ；（Ⅱ）∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，2，0），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，-2），设平面PBD 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−x +2y =0x −2z =0， 令y =1，则m⃗⃗⃗ =（2，1，1）， 则直线BE 与平面PBD 所成角θ满足： sinθ=m⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6×√2=√33， 故直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为√33．（Ⅲ）∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2，0），CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，-2，2），AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2，0）， 由F 点在棱PC 上，设CF⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2λ，-2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 故BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-2λ，2-2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 由BF ⊥AC ，得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2（1-2λ）+2（2-2λ）=0， 解得λ=34，即BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-12，12，32）， 设平面FBA 的法向量为n ⃗ =（a ，b ，c ）， 由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{a =0−12a +12b +32c =0令c =1，则n⃗ =（0，-3，1）， 取平面ABP 的法向量i =（0，1，0）， 则二面角F -AB -P 的平面角α满足： cosα=|i ⋅n ⃗⃗ ||i|⋅|n ⃗⃗ |=3√10=3√1010，故二面角F -AB -P 的余弦值为：3√1010【解析】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．（I ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据BE ⃗⃗⃗⃗⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得BE ⊥DC ；（II ）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF ⊥AC ，求出向量BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而求出平面FAB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F -AB -P 的余弦值． 10.【答案】证明：（Ⅰ）取AD 的中点F ，连接EF ，CF ，∵E 为PD 的中点，∴EF ∥PA ，EF ∥平面PAB ，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AD =2DC =2CB ，F 为中点，∴四边形CBAF 为平行四边形，故CF ∥AB ，CF ∥平面PAB ，∵CF ∩EF =F ，EF ∥平面PAB ，CF ∥平面PAB ， ∴平面EFC ∥平面ABP ， ∵EC ⊂平面EFC ， ∴EC ∥平面PAB ．解：（Ⅱ）连接BF ，过F 作FM ⊥PB 于M ，连接PF ， ∵PA =PD ，∴PF ⊥AD ，∵DF ∥BC ，DF =BC ，CD ⊥AD ，∴四边形BCDF 为矩形，∴BF ⊥AD ， 又AD ∥BC ，故PF ⊥BC ，BF ⊥BC ，又BF ∩PF =F ,BF 、PF ⊂平面PBF ，BC ⊄平面PBF ， ∴BC ⊥平面PBF ，∴BC ⊥PB ，设DC =CB =1，由PC =AD =2DC =2CB ，得AD =PC =2， ∴PB =√PC 2−BC 2=√4−1=√3， BF =PF =1，∴MF =√12−(√32)2=12，又BC ⊥平面PBF ，∴BC ⊥MF ，又PB ∩BC =B ,PB 、BC ⊂平面PBC ，MF ⊄平面PBC ， ∴MF ⊥平面PBC ，即点F 到平面PBC 的距离为12，∵MF =12，D 到平面PBC 的距离应该和MF 平行且相等，均为12， E 为PD 中点，E 到平面PBC 的垂足也为所在线段的中点，即中位线， ∴E 到平面PBC 的距离为14，在△PCD 中,PC =2,CD =1,PD =√2，,故由余弦定理得CE =√2， 设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=14CE=√28．【解析】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB．（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．11.【答案】证明：（Ⅰ）∵EA=EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM⊂平面ABE，∴EM⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴EM⊥AD；（Ⅱ）取DE的中点F，连接AF，NF，∵N是CE的中点，∴NF=//12CD，∵M是AB的中点，∴AM=//12CD，∴NF=//AM，∴四边形AMNF是平行四边形，∴MN∥AF，∵MN⊄平面ADE，AF⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE；解：（III）设点A到平面BCE的距离为d，由（I）知ME⊥平面ABC，BC=BE=2，MC=ME=√3，则CE=√6，BN=√BE2−EN2=√102，∴S△BCE=12CE⋅BN=√152，S△ABC=12BA×BC×sin60°=√3，∵V A-BCE=V E-ABC，即13S△BCE×d=13S△ABC×ME，解得d=2√155，故点A到平面BCE的距离为2√155．【解析】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，涉及到力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．（Ⅰ）推导出EM ⊥AB ，从而EM ⊥平面ABCD ，由此能证明EM ⊥AD ；（Ⅱ）取DE 的中点F ，连接AF ，NF ，推导出四边形AMNF 是平行四边形，从而MN ∥AF ，由此能证明MN ∥平面ADE ；（III ）设点A 到平面BCE 的距离为d ，由V A -BCE =V E -ABC ，能求出点A 到平面BCE 的距离．12.【答案】（I ）证明：∵AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB =AD =1，CD =2，∴BD =BC =√2， ∴BD 2+BC 2=CD 2， ∴BD ⊥BC ，∵EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴EA ⊥BD ，∵EA ∥FC ， ∴FC ⊥BD ，又BC ⊂平面BCF ，FC ⊂平面BCF ，BC ∩CF =C ， ∴BD ⊥平面FBC ， 又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCF ．（II ）解：过A 作AM ⊥DE ，垂足为M ， ∵EA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴EA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，EA ∩AD =A ， ∴CD ⊥平面EAD ，又AM ⊂平面EAD ， ∴AM ⊥CD ，又AM ⊥DE ，DE ∩CD =D ， ∴AM ⊥平面CDE ，∵AD =AE =1，EA ⊥AD ，∴AM =√22，即A 到平面CDE 的距离为√22，∵AB ∥CD ，CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ， ∴AB ∥平面CDE ，∴B 到平面CDE 的距离为√22．【解析】（I ）先计算BD ，BC ，利用勾股定理的逆定理证明BD ⊥BC ，再利用EA ⊥平面ABCD 得出AE ⊥BD ，从而有CF ⊥BD ，故而推出BD ⊥平面FBC ，于是平面EBD ⊥平面BCF ；（II ）证明AB ∥平面CDE ，于是B 到平面CDE 的距离等于A 到平面CDE 的距离，过A 作AM ⊥DE ，证明AM ⊥平面CDE ，于是AM 的长即为B 到平面CDE 的距离． 本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质，空间距离的计算，属于中档题． 13.【答案】证明：方法一：（1）取PA 中点G ，连结DG 、FG ． ∵F 是PB 的中点， ∴GF ∥AB 且GF =12AB ，又底面ABCD 为矩形，E 是DC 中点， ∴DE ∥AB 且DE =12AB∴GF ∥DE 且GF =DE ，∴EF ∥DG∵DG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ．（2）∵PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ∴PD ⊥AB又底面ABCD 为矩形 ∴AD ⊥AB 又PD ∩AD =D ∴AB ⊥平面PAD ∵DG ⊂平面PAD ∴AB ⊥DG∵AD =PD ，G 为AP 中点 ∴DG ⊥AP又AB ∩AP =A ， ∴DG ⊥平面PAB又由（1）知EF ∥DG ∴EF ⊥平面PAB ，又EF ⊂面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAB ．证法二：（1）以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．设AB =a ． ∵AD =PD =2，∴A （2，0，0），B （2，a ，0），C （0，a ，0），P （0，0，2）， ∵E 、F 分别为CD ，PB 的中点 ∴E （0，a2，0），F （1，a2，0）．∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)， ∵DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，2）+（2，0，0）=（2，0，2）， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12（DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面， 又EF ⊄平面PAD ∴EF ∥平面PAD ．（2）由（1）知EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，a ，0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，2)． ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ •AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2+0+2=0， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AB ∩AP =A ，∴EF ⊥平面PAB ， 又EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAB ， （3）AB =2√2由（1）知，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，√2，0），EF⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，1）设平面AEF 的法向量n ⃗ =(x ，y ，z)，则{n⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即−2x +√2y =0令x =1，则y =√2，z =-1， ∴n⃗ =（1，√2，-1）， 又AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，2√2，0）， ∴cos ＜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=−2+4+02√12=√36， ∴sinθ=|cos ＜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=√36．【解析】方法一；（1）取PA 中点G ，连结DG 、FG ，要证明EF ∥平面PAD ，我们可以证明EF 与平面PAD 中的直线AD 平行，根据E 、F 分别是PB 、PC 的中点，利用中位线定理结合线面平行的判定定理，即可得到答案． （2）根据线面垂直的和面面垂直的判断定理即可证明．方法二：（1）求出直线EF 所在的向量，得到EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12（DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可证明EF ∥平面PAD ．（2）再求出平面内两条相交直线所在的向量，然后利用向量的数量积为0，根据线面垂直的判定定理得到线面垂直，即可证明平面AEF ⊥平面PAB（3）求出平面的法向量以及直线所在的向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角，即可解决问题．本题考查了本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，面面垂直，直线与平面所成的角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题，属于中档题．14.【答案】解：（1）证明：∵PO ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥AD ， ∵∠ADC =45°且AD =AC =2， ∴∠ACD =45°， ∴∠DAC =90°， ∴AD ⊥AC ，∵AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，且AC ∩PO =O ， ∴由直线和平面垂直的判定定理知AD ⊥平面PAC ． （2）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ， 由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ， ∴∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角， ∵M 为PD 的中点， ∴MN ∥PO ，且MN =12PO =3， AN =12DO =√52，在Rt △ANM 中，tan ∠MAN =MNAN =3√52=6√55， 即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为6√55．【解析】（1）由PO ⊥平面ABCD ，得PO ⊥AD ，由∠ADC =45°，AD =AC ，得AD ⊥AC ，从而证明AD ⊥平面PAC ．（2）取DO 中点N ，连接MN ，AN ，由M 为PD 的中点，知MN ∥PO ，由PO ⊥平面出直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题． 15.【答案】证明：（I ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，连接A 1B ，交AB 1于O 点，连接OD∵在△A 1BC 1中，A 1D =DC 1，A 1O =OB ， ∴OD ∥BC 1，又∵OD ⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ； ∴BC 1∥平面AB 1D ；（II ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1； ∵B 1D ⊂平面A 1B 1C 1； ∴A 1A ⊥B 1D在△A 1B 1C 1中，D 为A 1C 1的中点 ∴B 1D ⊥A 1C 1又∵A 1A ∩A 1C 1=A 1，A 1A ，A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1D ⊥平面AA 1C 1C ， 又∵A 1C ⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1D ⊥A 1C又∵A 1D AA 1=AA1AC =√22∴∠DA 1A =∠A 1AC =90°∴△DA 1A ∽△A 1AC ，∠ADA 1=∠CA 1A∵∠DA 1C +∠CA 1A =90° ∴∠DA 1C +∠ADA 1=90°∴A 1C ⊥AD又∵B 1D ∩AD =D ，B 1D ，AD ⊂平面AB 1D ； ∴A 1C ⊥平面AB 1D ；解：（III ）由（I ）得，OD ∥BC 1， 故AD 与BC 1所成的角即为∠ADO在△ADO 中，AD =√3，OD =12BC 1=√62，AO =12A 1B =√62，∵AD 2=OD 2+AO 2，OD =AO∴△ADO 为等腰直角三角形故∠ADO =45°即异面直线AD 与BC 1所成角等于45°【解析】（I ）连接A 1B ，交AB 1于O 点，连接OD ，由平行四边形性质及三角形中位线定理可得OD ∥BC 1，进而由线面平行的判定定理得到BC 1∥平面AB 1D ；（II ）由直棱柱的几何特征可得A 1A ⊥B 1D ，由等边三角形三线合一可得B 1D ⊥A 1C 1，进而由线面垂直的判定定理得到B 1D ⊥平面AA 1C 1C ，再由三角形相似得到A 1C ⊥AD 后，可证得A 1C ⊥平面AB 1D ．（III ）由（I ）中OD ∥BC 1，可得异面直线AD 与BC 1所成角即∠ADO ，解△ADO 可得答案．本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，（I ）的关键是证得OD ∥BC 1，（II ）的关键是熟练掌握线面垂直与线线垂直之间的转化，（III ）的关键是得到异面直线AD 与BC 1所成角即∠ADO ．16.【答案】（Ⅰ）证明：由P -ABD ，Q -BCD 是相同正三棱锥，且∠APB =90°，分别过P 、Q 作PE ⊥平面ABD ，QF ⊥平面BCD ，垂足分别为E 、F ，则E 、F 分别为底面正三角形ABD 与BCD 的中心． 连接EF 交BD 于G ，则G 为BD 的中点，连接PG 、QG ，则PG ⊥BD ，QG ⊥BD ，又PG ∩QG =G ，∴BD ⊥平面PQG ，则BD ⊥PQ ， 再由正三棱锥的性质可得PA ⊥BD ， 又PQ ∩PA =P ，∴BD ⊥平面APQ ；（Ⅱ）∵正三棱锥的底面边长为1，且∠APB =90°，∴PQ =EF =2EG =2×13AG =2×13×√32=√33， PE =√(√22)2−(√33)2=√66，则V B−PQD =13×12×√33×√66×1=√236．△PDQ 底边PQ 上的高为√(√22)2−(√36)2=√156，∴S △PDQ =12×√33×√156=√512．设B 到平面PQD 的距离为h ，则13×√512ℎ=√236，得h =√105．∴直线PB 与平面PDQ 所成角的正弦值为√105√22=2√55．【解析】（Ⅰ）由题意分别过P 、Q 作PE ⊥平面ABD ，QF ⊥平面BCD ，可得E 、F 分别为底面正三角形ABD 与BCD 的中心．连接EF 交BD 于G ，可得PG ⊥BD ，QG ⊥BD ，由线面垂直的判定及性质可得BD ⊥PQ ，再由正三棱锥的性质可得PA ⊥BD ，则BD ⊥平面APQ ；（Ⅱ）由已知求得PQ ，PE 的长，求得四面体B -PQD 的体积，利用等积法求出B 到平面PQD 的距离，则直线PB 与平面PDQ 所成角的正弦值可求．本题考查直线与平面所成的角，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 17.【答案】（1）证明：如图：∵AB =BC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， ∴BE ⊥平面A 1ACC 1，∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴BE ⊥A 1C ．（2）解：∵面A1ACC1⊥面ABC，∴C1在面ABC上的射影H在AC上，∴∠C1CA为直线C1C与面ABC所成的角．过H作HM⊥BC于M，连C1M，在Rt△C1CM中，CM=CC1cos∠C1CM=2cos60°=1．在Rt△CMH中，CH=CMcos∠ACB =2√33．∴在Rt△C1CH中，cos∠C1CH=CHCC1=23√32=√33．∴直线C1C与面ABC所成的角的余弦值为√33.【解析】（1）证明BE⊥平面A1ACC1，可得BE⊥A1C，即可证明：A1C⊥平面C1EB；（2）判断∠C1CA为直线C1C与面ABC所成的角．过H作HM⊥BC于M，连C1M，即可求直线CC1与平面ABC所成角的余弦值．本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】证明：（1）连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos∠ABC=2√36=√33，∴CD2=4+12−2×2×2√3cos∠ABC=8，∴CD=2√2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CD⊂平面ABC,∴CD⊥平面PAB，∵PD⊂平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，CD、AC⊂平面ABC,∴PD⊥平面ABC．解：（2）∵∠PAB=π4，∴PD=AD=4，∴PA=4√2，在Rt△PCD中，PC=√PD2+CD2=2√6，∴△PAC是等腰三角形，∴S△PAC=8√2，设点B到平面PAC的距离为d，由V B-PAC=V P-ABC，得13S△PAC×d=13S△ABC×PD，∴d==3，故点B到平面PAC的距离为3．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）连接CD，推导出CD⊥AB，CD⊥PD，由此能证明PD⊥平面ABC．（2）设点B到平面PAC的距离为d，由V B-PAC=V P-ABC，能求出点B到平面PAC的距离．19.【答案】解：（1）证明：∵ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，又BB 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，又平面BB 1C 1C ∩平面ABC =BC ， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， 又AD ⊂平面ADB 1，∴平面ADB 1⊥平面BB 1C 1C ；（2）由（1）可得△ADB 1为直角三角形， 又AD =√32，B 1D =√52，∴S △ADB 1=12×AD ×B 1D =√158，又S △ADB =12S △ABC =√38，设点B 到平面ADB 1的距离为d ， 则V B−ADB 1=V B 1−ADB ， ∴13S △ADB 1⋅d =13S △ADB ⋅BB 1， ∴点B 到平面ADB 1的距离d =S △ADB ⋅BB 1S △ADB 1=√3√15=√55．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.（1）推导出BB 1⊥平面ABC ，从而平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，推导出AD ⊥BC ，从而AD ⊥平面BB 1C 1C ，由此能证明平面ADB 1⊥平面BB 1C 1C ；（2）设点B 到平面ADB 1的距离为d ，由V B−ADB 1=V B 1−ADB ，能求出点B 到平面ADB 1的距离.20.【答案】证明：（1）∵PA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ， ∴PA ⊥BE ．∵AB =BC ，E 为AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA ∩AC =A ， ∴BE ⊥平面PAC ，又BE ⊂平面BED ， ∴平面BED ⊥平面PAC ．（2）∵D ，E 是PC ，AC 的中点， ∴DE ∥PA ，又PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵EF ⊂平面ABC ，BE ⊂平面ABC ， ∴DE ⊥EF ，DE ⊥BE ．∴∠FEB 为二面角F -DE -B 的平面角．∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，AB =AC ， ∴EF =12BC =12AB =BF ，EF ∥BC ．又AB ⊥BC ，∴BF ⊥EF ，∴△BEF 为等腰直角三角形，∴∠FEB =45°． ∴二面角F -DE -B 为45°．∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．∵PA=6，∴DE=12PA=3，又DF=5，∴EF=√DF2−DE2=4．∴AB=BC=8．∴PB=√PA2+AB2=10．∴tan∠CPB=BCPB =4 5．【解析】（1）通过证明BE⊥平面PAC得出平面BED⊥平面PAC；（2）由DE∥PA得出DE⊥平面ABC，故DE⊥EF，DE⊥BE，于是∠FEB为所求二面角的平面角，根据△BEF为等腰直角三角形得出二面角的度数；（3）证明BC⊥平面PAB得出∠CPB为所求角，利用勾股定理得出BC，PB，即可得出tan∠CPB．本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，空间角的计算，做出空间角是解题关键，属于中档题．21.【答案】解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH∥PA，又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2√2，可得DH=CH=√22，BH=3√22在Rt△BHC中，tan∠CBH=CHBH =13，所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为13．【解析】（1）欲证PA∥平面BDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BDE内一直线平行，设AC∩BD=H，连接EH，根据中位线定理可知EH∥PA，而又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，满足定理所需条件；（2）欲证AC⊥平面PBD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与平面PBD内两相交直线垂直，而PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D，满足定理所需条件；（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，则∠CBH为直线与平面PBD所成的角，在Rt△BHC中，求出此角即可．本小题主要考查直线与平面平行．直线和平面垂直．直线和平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理能力．。
线面平行、垂直经典练习题汇编
1. 三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为AB 边中点，且12CC AB =．⑴求证：平面1C CD ⊥平面ABC ；⑵求证：1AC ∥平面1CDB ； ⑶求三棱锥1D CBB -的体积．2.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B D 的中点，F 是1BC 的中点，求证：11//EF ABB A3．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PCD 为正三角形，且与底面ABCD 垂直，已知底面ABCD 菱形，60ADC ∠=︒，M 为PB 的中点，求证：（1）PA CD ⊥；（2）面CDM ⊥面PAB 。
C 1B 1A 1D CBAA B4．（07天津理19，本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥； （Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；5、如图，P 为ABC ∆所在平面外一点，PA ┴面BAC ，<90,ABC ∠=oAE ┴PB 于E ，AF ┴PC 于F ，求证：（1）BC ┴面PAB ，（2）AE ┴面PBC ，（3）PC ┴面AEF 。
6．（2010年高考山东卷文科20）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积 之比.A CBPEFABCDPPEB2. 如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，(1) 求证：AC ⊥平面B 1D 1DB; (2) 求证：BD 1⊥平面ACB 1 (3) 求三棱锥B-ACB 1体积．3.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面 ABCD ，E 是PC 的中点。
专题06五种直线、平面平行与垂直的判定与性质解题方法(解析版)
专题06五种直线、平面平行与垂直的判定与性质解题方法 题型一：求异面直线所成角题型二：证明线线、线面平行的方法题型三：证明面面平行的方法题型四：证明线线、线面垂直的方法题型五：证明面面垂直的方法题型一：求异面直线所成角一、单选题1．（2019·江苏苏州·高一期末）正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【分析】利用异面直线1AA 与BC 所成角的的定义，平移直线BC ，即可得答案．【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，易得190A AD ∠=︒．//AD BC ∴异面直线1AA 与BC 垂直，即所成的角为90︒.故选：D ．【点睛】本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题.2．（2020·宁夏银川·高一期末）下图的正方体ABCD A B C D ''''-中，异面直线AA '与BC '所成的角是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】B 【解析】只需将异面直线AA '与BC '平移至同一个平面内，转化为两条相交直线，即可求出它们所成的角．【详解】在正方体ABCD A B C D ''''-中，因为//AA BB ''，所以B BC ''∠即为异面直线AA '与BC '所成的角，因为45B BC ''∠=，所以异面直线AA '与BC '所成的角为45.故选：B.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决，根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．3．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，在正三棱锥D ABC -中，AD DC ⊥，点F 为棱AC 的中点，则异面直线DF 与AB 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C 【分析】取BC 的中点E ，∠DFE 即为所求，结合条件即求.【详解】如图取BC 的中点E ，连接EF ，DE ，则EF ∠AB ，∠DFE 即为所求，设DF a =，在正三棱锥D ABC -中，AD DC ⊥，故2,AB AC BC a DA DB DC ======，∠EF DE DF a ===，∠60DFE ∠=，即异面直线DF 与AB 所成角的大小为60.故选：C.4．（2021·湖北孝感·高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 和11B D 的交点，则异面直线BM 与1AD 所成的角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】A 【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即得结果.【详解】如图，连接1,BC MB ，因为1AD ∠1BC ，所以MBC 1∠或其补角为直线MB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB MC ⊥，又111MC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，111,BB B D ⊂平面1MBB ，所以MC 1⊥平面1MBB ，所以1MC PB ⊥，设正方体棱长为2，则111112BC MC AC ===1111sin 2MC MBC BC ∠===，而直角三角形中MBC 1∠是锐角， 所以16MBC π∠=，即异面直线BM 与1AD 所成的角是6π. 故选：A. 5．（2021·贵州毕节·高一期末）在空间四边形ABCD 中，AB CD =，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，若AB 与CD 所成的角为40°，则EF 与AB 所成角的大小为（ ）A ．20°B ．70°C ．20°或70°D ．40°或140°【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义转化为相交直线所成角，利用几何图形求EF 与AB 所成角的大小.【详解】取AC 的中点M ，BD 的中点N ，连接,,,,ME EN NF FM EF ，,,,M E N F 分别是,,,AC BC BD AD 的中点，//,//ME AB NF AB ∴，∴//ME NF ，同理//EN MF ，∴四边形MENF 是平行四边形，又AB CD =，∴=ME EN ，四边形MENF 是菱形，AB 与CD 所成的角为40，40MEN ∴∠=或140，∴EF 与AB 所成角是1202MEF MEN ∠=∠=或70. 故选：C二、多选题6．（2021·江苏常州·高一期末）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）A ．//BF CDB ．DG BH ⊥C ．CH 与BG 成60°角D ．BE 与平面ABCD 所成角为45°【答案】BCD 【分析】由正方体的平面展开图还原原正方体，再由正方体的结构特征结合空间角的概念逐个分析判断即可【详解】由正方体的平面展开图还原原正方体如图所示，由正方体的结构特征可知，BF 与CD 异面垂直，所以A 错误，DG CH ⊥，而CH 为BH 在平面DCGH 上的射影，所以DG BH ⊥，所以B 正确，连接AH ，由AB ∠GH ，AB GH =，可得四边形ABGH 为平行四边形，则AH ∠BG ，所以AHC ∠或其补角为异面直线CH 与BG 所成的角，连接AC ，可得AHC 为等边三角形，得CH 与BG 成60°角，所以C 正确，因为AE ⊥平面ABCD ，所以EBA ∠为BE 与平面ABCD 所成角为45︒，所以D 正确，故选：BCD三、填空题7．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_________. 【答案】3π 【分析】连接1A D 、BD ，证明11//A D B C ，可得1DA B ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成角，在1DA B △求1DA B ∠即可求解.【详解】如图，连接1A D 、BD ， 因为11A B DC ，所以四边形11A B CD 是平行四边形，所以11//A D B C ，所以1DA B ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，在1DA B △中，11DA A B BD ===，所以1DA B △是等边三角形，所以13DA B π∠=，即异面直线1A B 与1B C 所成角为3π， 故答案为：3π 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，具体步骤如下（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．（2022·陕西西安·高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，则异面直线1AB 与1BC 的夹角为_________． 【答案】3π 【解析】先证明11//AD BC ，可得11D AB ∠或其补角即为异面直线1AB 与1BC 所成的角，连接11D B ，在11AB D 中求11D AB ∠即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//,AB DC AB CD =， 1111//,,D C DC D C DC =所以1111//,AB D C AB D C =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC ，所以11D AB ∠或其补角即为异面直线1AB 与1BC 所成的角，连接11D B ，由1111ABCD A B C D -为正方体可得11AB D 是等边三角形， 所以113D AB π∠=.故答案为：3π 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．9．（2020·湖北湖北·高一期末）已知M 是长方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 的中点，底面ABCD 为正方形且12AA AB =，则AM 与11B D 所成角的大小用弧度制可以表示为______. 【答案】3π 【分析】取1AA 中点N ，连接11,B N D N ，可判断11D B N 即为AM 与11B D 所成角，求出即可.【详解】如图，取1AA 中点N ，连接11,B N D N ，设12=2AA AB =，,M N 是中点，可知1//AN B M 且1AN B M ，∴四边形1AMB N 是平行四边形，1//AM B N ∴,则11D B N 即为AM 与11B D 所成角， 可知11112,2,2B N B D D N ，113D B N，即AM 与11B D 所成角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，属于基础题.10．（2021·吉林·长春市第二十中学高一期末）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 依次是A 1D 1和B 1C 1的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为_____.【答案】35【解析】先推导出BF ∠AE ，从而∠BFC 是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值.【详解】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠E ，F 依次是A 1D 1和B 1C 1的中点，∠BF ∠AE ，∠∠BFC 是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则BF ＝CF ==∠cos ∠BFC 35==. ∠异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为35. 故答案为：35.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.11．（2021·山西吕梁·高一期末）已知正三棱柱中111ABC A B C -中，2AB =，14BB =，D ，E 分别是棱11A C ，1BB 的中点，则异面直线1B D 与AE 所成角的正切值为______.【分析】作出辅助线，证得1DB F ∠或其补角为异面直线1B D 与AE 所成角，然后求出相关线段的长度，进而在1B DF 中，利用余弦定理求出余弦值，进而可以求出结果.【详解】取1A A 的中点F ，连接1,B F DF ,因为E 分别是棱1BB 的中点，所以1AF B E =且1//AF B E ，所以四边形1AFB E 为平行四边形，故1//FB EA ，所以1DB F ∠或其补角为异面直线1B D 与AE 所成角，因为111A B C △为等边三角形，D 分别是棱11A C 的中点，所以111B DA C ，所以1B D ，在1Rt A DF 中，DF在Rt ABE △中，AE =1B F =在1B DF 中，2221cos DB F +-∠==0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1DB F ∠为异面直线1B D 与AE 所成角，而1tan DB F ∠=题型二：证明线线、线面平行的方法一、单选题1．（2020·湖南师大附中高一期末）设a 是直线，α是平面，则能推出//a α的条件是（ ）A ．存在一条直线b ，//a b ，b α⊂B ．存在一条直线b ，a b ⊥，b α⊥C ．存在一个平面β，a β⊂，//αβD ．存在一个平面β，a β⊥，αβ⊥【答案】C【分析】利用a α⊂可得到ABD 的反例，利用面面平行性质知C 正确.【详解】对于A ，若a α⊂，可满足//a b ，b α⊂，但无法得到//a α，A 错误；对于B ，若a α⊂，可满足a b ⊥，b α⊥，但无法得到//a α，B 错误；对于C ，由面面平行的性质知：若//αβ，a β⊂，则//a α，C 正确；对于D ，若a α⊂，可满足a β⊥，αβ⊥，但无法得到//a α，D 错误.故选：C.2．（2019·天津市红桥区教师发展中心高一期末）下列正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点， M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出直线AB ∠平面MNP 的图形的序号是（ ）A．①③B．①②C．①④D．②③【答案】A【分析】运用线面平行的判定、面面平行及线面相交、面面平行的性质，并结合图形即可判断结论在各图中是否正确NC PC，得平面MCPN【详解】图①，如图，作MC//NP，连接,AB NC，NC⊂平面MCPN∠AB//平面MCPN//即AB//平面MNP，故①项正确；AC AD CD图②，如图，连结,,由已知可得平面MNP//平面ACD；∠AB和平面ACD相交，∠AB不平行于平面MNP，故②项错误；图③，如图，连接CD由已知可得AB//CD，而MP//CD，可得AB//MP，∠平面AB⊄/平面MNP，又∠MP⊂平面MNP∠AB //平面MNP ，故③项正确；③④项，如图，由DB //MN ，MN ⊂平面MNP ，若AB //平面MNP ，又ABDB B = 则平面ACBD //平面MNP而由图可知，平面ACBD 不可能平行平面MNP∠AB 不平行于平面MNP ，故④项错误.综上，①③符合题意.故选：A二、填空题3．（2021·天津河东·高一期末）如图，CD αβ=，EF αγ=，AB βγ=，AB//α，则CD 与EF 的位置关系为___________．【答案】//CD EF【分析】由线面平行的性质有//AB CD ，根据线面平行的判定可得//CD γ，最后再由线面平行的性质即可得//CD EF .【详解】∠AB//α，AB β⊂，CD αβ=，∠//AB CD ，又AB γ⊂，CD γ⊄，∠//CD γ，又CD α⊂，EF αγ=， ∠//CD EF .故答案为：//CD EF4．（2021·浙江·高一期末）空间四边形ABCD 中，,E F 分别在边,AD CD 上，且满足DE DF EA FC =，则直线EF 与平面ABC 的位置关系是_________．【答案】平行【分析】由已知得//EF AC ，由此能证明//EF 平面ABC ．【详解】空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 上的点，且DE DF EA FC= //EF AC ∴，EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ．故答案为：平行．5．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）如图，平面////αβγ，直线,l m 分别与α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若13AB BC =，20DF =，则EF =_______.【答案】15【分析】分两种情况：（1）直线l 和m 在同一平面内（2）直线l 和m 不在同一平面内，即l 和m 异面然后利用面面平行的性质定理得到线线平行，进一步利用平行线分线段成比例定理得到结果．【详解】分两种情况：（1）直线l 和m 在同一平面内，设该平面为τ，连结,,AD BE CF因为平面////αβγ，==,=,AD BE CF αβγτττ，所以////AD BE CF ， 所以13AB DE BC EF ==，又20DF = ，所以15EF = ； （2）直线l 和m 不在同一平面内，即l 和m 异面，过D 作//DH AC ，平面////αβγ，∠,AB DG BC GH ==，设直线DH 与AC 所确定的平面为ξ，又,GE HF ξβξγ==，又//βγ，所以//GE HF ， 利用平行线分线段成比例，可得13AB DG DE BC GH EF ===，又20DF =，所以15EF =. 综上，15EF =.故答案为：15．三、解答题6．（2021·新疆·伊宁市第四中学高一期末）已知E F G H 、、、为空间四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、上的中点，求证：//EH FG .【分析】根据中位线定理与平行公理证明即可.【详解】证明：∠ 在ABD △中，E H 、为边AB DA 、的中点，∠ //EH BD ，∠在BCD △中，F G 、为边BC CD 、上的中点，∠//FG BD ，∠//EH FG .7．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱11,BB DD 的中点．求证：(1)//BD 平面AEF ；(2)EF ⊥平面11ACC A ．【分析】（1）易证得四边形BDFE 为平行四边形，可知//BD EF ，由线面平行的判定可得结论； （2）由正方形性质和线面垂直性质可证得BD AC ⊥，1AA BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面11ACC A ，由//EF BD 可得结论.(1),E F 分别为11,BB DD 的中点，11BB DD =，11//BB DD ，//BE DF ∴且BE DF =，∴四边形BDFE 为平行四边形，//BD EF ∴，又EF ⊂平面AEF ，BD ⊄平面AEF ，//BD ∴平面AEF .(2)四边形ABCD 为正方形，//BD AC EF BD BD EF ∴⊥∴⊥；1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，11//AA BDEF BD AA EF ∴⊥∴⊥， 又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，11EF ACC A ∴⊥平面8．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱1DD ，BC 的中点.(1)证明：1A D ⊥平面11ABC D ；(2)证明：//EF 平面11ABC D .【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证；（2）设11A D AD G ⋂=，由题可得EF ∠GB ，再利用线面平行的判定定理可证.(1)由正方体1111ABCD A B C D -的性质，可得11A D AD ⊥，AB ⊥平面11ADD A ，∴1AB A D ⊥，又1AD AB A ⋂=，∠1A D ⊥平面11ABC D ；(2)设11A D AD G ⋂=，连接,EG BG ，则11//,,//,,22EG AD EG AD BF AD BF AD == ∠//,EG BF EG BF =，∠四边形BFEG 为平行四边形，∠EF ∠GB ，又EF ⊄平面11ABC D ，GB ⊂平面11ABC D ，∠//EF 平面11ABC D9．（2022·陕西渭南·高一期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、1CC 的中点，AC 与BD 交于点O .求证：(1)1//CE FD ；(2)平面//AEC 平面1BFD .【分析】（1）证明出四边形1CED F 为平行四边形，可证得结论成立；（2）证明出//OE 平面1BFD ，//CE 平面1BFD ，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.(1)证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CC DD 且11CC DD =，因为E 、F 分别为1DD 、1CC 的中点，则1//CF D E 且1CF D E =，所以，四边形1CED F 为平行四边形，则1//CE FD .(2)证明：因为四边形ABCD 为正方形，ACBD O =，则O 为BD 的中点，因为E 为1DD 的中点，则1//OE BD ， OE ⊄平面1BFD ，1BD ⊂平面1BFD ，所以，//OE 平面1BFD ，因为1//CE FD ，CE ⊄平面1BFD ，1FD ⊂平面1BFD ，所以，//CE 平面1BFD ，因为OE CE E ⋂=，因此，平面//ACE 平面1BFD .题型三：证明面面平行的方法一、单选题1．（2021·贵州铜仁·高一期末）已知a ，b ，c 表示直线，α表示平面，给出下列命题：①若//a α，//b α，那么//a b ；②若b α⊂，//a α，那么//a b ；③若a c ⊥，b c ⊥，则a b ⊥；④若a α⊥，b α⊥，那么//a b ．其中正确的命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】对于①②③可以判断出直线a b 、可能平行，可能相交，也可能异面；对于②直线a b 、可能平行，也可能异面；对于④利用线面垂直的性质定理直接证明即可.【详解】对于①若//a α，//b α，那么直线a b 、可能平行，可能相交，也可能异面；故①错误； 对于②若b α⊂，//a α，那么直线a b 、可能平行，也可能异面；故②错误；对于③若a c ⊥，b c ⊥，那么直线a b 、可能平行，可能相交，也可能异面；故③错误；对于④若a α⊥，b α⊥，按照线面垂直的性质定理可得: //a b .故④正确.故选:B2．（2021·贵州·黔西南州同源中学高一期末）已知两条不重合的直线m n ，和两个不重合的平面αβ，，有下列命题：①若m α⊂，n β⊥，//αβ，则//m n ；②若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ；③若m n ⊥，m α⊥，则//n α；④若//m α，//n α，则//m n ．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】利用空间线面、线线，面面的位置关系一一判定各选项即可.【详解】①当m α⊂，n β⊥，//αβ，则m n ⊥，所以①错误；②因为m α⊥，//m n n α⇒⊥，又n β⊥则//αβ，所以②正确；③若m n ⊥，m α⊥，则//n α或n a ⊂，所以③错误；④若//m α，//n α，则//m n 或,m n 相交或,m n 异面，所以④错误.故选：A.二、多选题3．（2021·江苏·金陵中学高一期末）已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）A ．若,//m n n α⊥，则m α⊥B ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥C ．若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n β⊥D ．若,m n αα⊂⊂，且m 与n 不平行，//,//,m n ββ则//αβ【答案】BD【解析】结合空间线面位置关系及平行垂直的判定与性质定理对选项进行分别判断.【详解】A ：若,//m n n α⊥，则m 与α平行或相交或m α⊂，A 选项错误；B ：因为,ααβ⊥⊥m ，所以//m β或m β⊂，又n β⊥，所以m n ⊥，B 选项正确；C ：若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n 与β相交或平行或n β⊂，C 选项错误；D ：若一个平面内两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行，D 选项正确；故选：BD.三、填空题4．（2019·湖南·临澧县第一中学高一期末）平面几何中我们有“垂直于同一条直线的两条直线平行”，试将该命题中的直线（部分或全部）换成平面，写出一个在空间中成立的命题：_________.【答案】“垂直于同一直线的两个平面平行”或“垂直于同一平面的两直线平行”【分析】从直线到平面，从平面到空间进行类比得解.【详解】从直线到平面，从平面到空间进行类比得到一个在空间中成立的命题：“垂直于同一直线的两个平面平行”或“垂直于同一平面的两直线平行”.故答案为：“垂直于同一直线的两个平面平行”或“垂直于同一平面的两直线平行”【点睛】本题主要考查空间位置关系，考查类比推理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题5．（2021·贵州黔东南·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =， ,,E F G 分别是,,PC PD BC 的中点．(1)求证：PC AD ⊥；(2)求证：平面//PAB 平面EFG ．【分析】（1）由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥，再根据线面垂直的判定定理和性质定理得证（2）由//EF AB 证明//EF 平面PAB ，由//EG PB 证明//EG 平面PAB ，再由面面平行的判定定理证明即可.(1)由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥，又AD CD ⊥(ABCD 是正方形)，PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PDC ，所以AD PC ⊥.(2)由,E F 分别是线段,PC PD 的中点，所以//EF CD ，又ABCD 为正方形，//AB CD ，所以//EF AB ，又EF ⊄平面PAB ，所以//EF 平面PAB .因为,E G 分别是线段,PC BC 的中点，所以//EG PB ，又EG ⊄平面PAB ，所以//EG 平面PAB .因为,,EF EG E EF EG =⊂平面EFG ，所以平面//EFG 平面PAB . 6．（2021·广东江门·高一期末）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点.（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）设Q 为PA 的中点，G 为AOC △的重心，求证：面//OQG 平面PBC .【分析】（1）根据圆直径的性质，得BC AC ⊥，由PA ⊥平面ABC 得BC PA ⊥，利用线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面PAC ；（2）延长OG ，交AC 于M ，连结GM 、QM ，证出QM 是PAC △的中位线，得//QM PC .利用线面平行的判定定理证出//QM 平面PBC ，同理可得//QO 平面PBC ，根据面面平行的判定定理，可得平面//OQG 平面PBC .【详解】解：（1）∠AB 是圆O 的直径，∠BC AC ⊥，又∠PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∠BC PA ⊥.∠PA AC A =，∠BC ⊥平面PAC ；（2）延长OG ，交AC 于M ，连结GM 、QM ，∠G 为AOC △的重心，∠OM 是AOC △的中线，∠Q 为PA 的中点，M 为AC 的中点，∠//QM PC ，∠QM ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，∠//QM 平面PBC ，同理可得//QO 平面PBC ，∠QM 、QO 是平面OQG 内的相交直线，∠平面//OQG 平面PBC .7．（2021·贵州毕节·高一期末）如图甲，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（1）若:::PM MA BN ND PQ QD ==，求证：平面//MNQ 平面PBC ；（2）如图乙所示，若Q 满足:2PQ QD =，PM tPA =，当t 为何值时，//BM 平面AQC ．【答案】（1）证胆见解析，（2）12t = 【分析】（1）由已知比例式结合平行线截线段成比例证明线线平行，进一步得到线面平行，再由面面平行的判定定理可证得结论；（2）连接AC 交BD 于O ，连接OQ ，取PQ 的中点G ，连接BG ，则可得BG ∠OQ ，可得BG ∠平面AQC ，取PA 的中点M ,连接GM ，则GM ∠AQ ，可得GM ∠平面AQC ，则平面BGM ∠平面AQC ，则BM ∠平面AQC ，可得M 为PA 的中点.【详解】（1）证明：因为::PM MA PQ QD =，所以QM ∠AD ，因为AD ∠BC ，所以QM ∠BC ，因为QM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以QM ∠平面PBC ，因为::BN ND PQ QD =，所以QN ∠PB ，因为QN ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，，所以QN ∠平面PBC ，因为QM QN Q =,QM ⊂平面MNQ ,QN ⊂平面MNQ ，所以平面//MNQ 平面PBC ；（2）连接AC 交BD 于O ，连接OQ ，取PQ 的中点G ，连接BG ，则BG ∠OQ ，因为QO ⊂平面AQC ,BG ⊄平面AQC ，所以BG ∠平面AQC ，取PA 的中点M ,连接GM ，则GM ∠AQ ， 因为AQ ⊂平面AQC ，GM ⊄平面AQC ，， 所以GM ∠平面AQC ，因为BG GM G ⋂=，所以平面BGM ∠平面AQC ， 因为BM ⊂平面BGM ， 所以BM ∠平面AQC ， 此时M 为PA 的中点， 所以12PM PA =， 因为PM tPA =，所以12t =题型四：证明线线、线面垂直的方法 一、单选题1．（2021·辽宁·辽河油田第一高级中学高一期末）设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则下列条件一定能得到m β⊥的是（ ） A ．m αγ=，αγ⊥，βγ⊥ B ．αβ⊥，l αβ=，m l ⊥C ．n α⊥，n β⊥，m α⊥D ．αγ⊥，βγ⊥，m α⊥【答案】C【解析】根据排除法，结合线面垂直的判定，可得结果. 【详解】在A 中，因为m αγ=，所以,m m αγ⊂⊂， 而,m βγ⊥并不垂直于β内的所有直线， 所以β和m 可能不垂直，故A 错误； 在B 中，m 只垂直β内的一条直线， 所以不能推出m β⊥，故B 错误；在C 中，因为,n n αβ⊥⊥，所以α//β， 又m α⊥，所以m β⊥，故C 正确； 在D 中，由,αγβγ⊥⊥，不能推出α//β， 所以由m α⊥不能推出m β⊥，故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要是线面垂直的判定，属基础题.2．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）已知α，β，γ是三个不同的平面，l 是一条直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若αβ⊥，αγ⊥，l βγ=，则l α⊥B ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C ．若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥D ．若αβ⊥，l αβ=，l γ∥，则βγ⊥【答案】A【分析】利用面面垂直的性质，线面的位置关系，面面的位置关系，结合几何模型即可判断.【详解】对于A ，在平面α内取一点P ，在平面α内过P 分别作平面α与β，α与γ的交线的垂线a ,b ，则由面面垂直的性质定理可得,a b βγ⊥⊥，又l βγ=，∠,l a l b ⊥⊥，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故A 正确；对于B ，若αβ⊥，l α⊂，则l 与β位置关系不确定，可能l 与β平行、相交或l 在β内，故B 错误； 对于C ，若αβ⊥，βγ⊥，则α与γ相交或平行，故C 错误； 对于D ，如图平面,αβγ，且αβ⊥，l αβ=，l γ∥，显然β与γ不垂直，故D 错误. 故选：A.3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角的大小关系为（ ） A ．相等 B ．互补 C ．相等或互补 D ．不确定【答案】D【分析】EDF ∠的边DE 垂直平面EOF ，所以DE OE ⊥ ，作EF OF ⊥ 则DF OF ⊥.【详解】如下图所示，EOF ∠确定一个平面，EDF ∠的边DE 垂直平面EOF ，所以DE OE ⊥ ， 作EF OF ⊥，因为DE ⊥平面EOF ，而OF ⊂平面EOF ，故DE OF ⊥， 而EF DE E ⋂=，故OF ⊥平面EDF ，又DF ⊂平面EDF 中，则DF OF ⊥，对于给定的EOF ∠，当D 变化时，EDF ∠的取值范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故EOF ∠的大小跟EDF ∠无关.故选：D 二、填空题4．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面ABCD 满足条件___________时，有111AC B D ⊥.（只需填写一种正确条件即可）【答案】AC BD ⊥(答案不唯一)【分析】直四棱柱1111ABCD A B C D -，11A C 是1A C 在上底面1111D C B A 的投影，当1111AC B D ⊥时，可得111AC B D ⊥，当然底面ABCD 满足的条件也就能写出来了. 【详解】根据直四棱柱1111ABCD A B C D -可得：1BB ∠1DD ，且11BB DD =，所以四边形11BB D D 是矩形，所以BD ∠11B D ，同理可证：AC ∠11A C ，当AC BD ⊥时，可得：1111AC B D ⊥，且1CC ⊥底面1111D C B A ，而11B D ⊂底面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥，而1111AC CC C =，从而11B D ⊥平面11A CC ，因为1AC ⊂平面11A CC ，所以111AC B D ⊥，所以当AC BD ⊥满足题意. 故答案为：AC BD ⊥. 三、解答题5．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）已知直线//m 平面α，直线l ⊥平面α.求证：l m ⊥. 【分析】过m 作平面β交平面α于直线m '，根据线面平行的性质易知//m m '，再由线面垂直的性质有l ⊥m '，由平行线的性质即可证结论.【详解】证明：如下图，过m 作平面β交平面α于直线m '， ∠//m α，m βα'⋂=， ∠//m m '，∠l ⊥α，而m α'⊂， ∠l ⊥m '，综上，l m ⊥，得证.6．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，90ADB PDC ∠=∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，M 是棱PC 上的点.(1)证明：PD ⊥底面ABCD ；(2)若三棱锥A BDM -的体积是四棱锥P ABCD -体积的14，设PM tMC =，试确定t 的值.【答案】(1)详见解析；(2)1t =.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，可得BD ⊥平面PAD ，然后利用线面垂直的判定定理即证； （2）由题可得14A BDM M ABD P ABCD V V V ---==，进而可得12MC PC =，即得.(1)∠90ADB ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，∠AD BD ⊥，平面PAD 底面ABCD =AD ，BD ⊂底面ABCD ， ∠BD ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∠BD ⊥PD ，又90PDC ∠=︒， ∠PD DC ⊥，BD DC D =， ∠PD ⊥底面ABCD ；(2)设PD h =，M 到底面ABCD 的距离为h '，∠三棱锥A BDM -的体积是四棱锥P ABCD -体积的14，∠14A BDM M ABD P ABCD V V V ---==，又11,33M ABD ABDP ABCD ABCDV Sh V Sh --'=⋅=⋅，12ABDABCDSS =，∠12h h '=，故12MC PC =， 又PM tMC =， 所以1t =.题型五：证明面面垂直的方法 一、多选题1．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知,a b 是两条不重合的直线，αβ，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若//αβ，a 与α所成的角和b 与β所成的角相等，则//a bB ．若a α⊥，a β⊥，则//αβC ．若//a b ，a α⊥，//b β，则αβ⊥D ．若//a α，//αβ，则//a β 【答案】BC【分析】判断命题真假可以直接对各选项逐个判断.对于A 可通过直观想象判断其存在平行或异面或相交几种情况；对于B 可通过直线与平面垂直的性质得到；对于C 通过直线与平面垂直性质和平面与平面垂直的判定定理判断；对于D 可直观想象知存在//a β或a β⊂两种情况.【详解】对于A ，若//αβ，a 与α所成的角和b 与β所成的角相等，则//a b 或a 与b 相交或a 与b 异面，故A 错误；对于B ，若a α⊥，a β⊥，由线面垂直的性质可知//αβ，故B 正确； 对于C ，若//a b ，a α⊥，则b α⊥，又因为//b β，则αβ⊥，故C 正确； 对于D ，若//a α，//αβ，则//a β或a β⊂，故D 错误. 故选:BC 二、解答题2．（2021·江苏南通·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点．（1）求证：//EF 平面P AB（2）若AP AD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，证明：平面PAD ⊥平面PCD【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合矩形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】（1）证明：因为点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以//EF CD 又在矩形ABCD 中，//AB CD ，所以//EF AB 又AB平面P AB ，EF ⊄平面P AB所以//EF 平面.PAB（2）证明：在矩形ABCD 中，AD CD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面P AD ，又AF ⊂平面P AD所以.CD AF ⊥①因为PA AD =且F 是PD 的中点，所以AF PD ⊥，②由①②及PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD CD D ⋂=所以AF ⊥平面PCD ．又AF ⊂平面P AD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ．3．（2021·广东·封开县渔涝中学高一期末）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的正方形，AP =PD =APD ∠平面ABCD ，E 为AP 的中点，F 为CD 的中点．（1）求证：EF ∠平面PBC ； （2）求证：平面APB ∠平面PCD ．【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】（1）设PB 的中点为G ，连接,EG FG ，因为E 为AP 的中点，所以//EG AB 且12EG AB =， 因为F 为CD 的中点，底面ABCD 是正方形， 所以//FC AB 且12FC AB =，因此//FC EG 且FC EG =， 所以四边形EGCF 是平行四边形，因此//EF GC ，因为EF ⊄平面PBC ，GC ⊂平面PBC ，所以EF ∠平面PBC ；（2）因为底面ABCD 是边长为3的正方形，所以3AD =，因为AP =PD = 所以有222AD PA PD =+，因此PD PA ⊥，因为底面ABCD 是正方形，所以BA DA ⊥，因为平面APD ∠平面ABCD ， 平面APD平面ABCD AD =，所以AB ⊥平面APD ，因为PD ⊂平面APD ，所以AB PD ⊥， 因为AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面APB ， 所以PD ⊥平面APB ，因为PD ⊂平面APD ， 所以平面APB ∠平面PCD .4．（2021·江苏扬州·高一期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 中点.（1）求证：1//BD 平面AEC ； （2）求证：平面1⊥B AC 平面11B BDD .【分析】（1）由线面平行的判定定理可证得结果；（2）证得AC ⊥平面11BDD B ，进而由面面垂直的判定定理可证得结果.【详解】（1）设AC 与BD 交于点O ，连结OE .因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以ABCD 为正方形，O 为BD 中点.又因为E 为1DD 中点，所以1//OE BD .又因为OE ⊂平面1,AEC BD ⊄平面AEC ，所以1//BD 平面AEC .（2）因为1111ABCD A B C D -是正方体，1BB ⊥平面ABCD .又AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥.又ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥.因为11,,AC BD AC BB BB ⊥⊥⊂平面11,BDD B BD ⊂平面111,BDD B BB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面11BDD B .又因为AC ⊂平面1B AC ，所以平面1⊥B AC 平面11B BDD .5．（2021·山东枣庄·高一期末）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是线段PA ，PC 的中点．（1）证明：平面BEF ⊥平面PBC ；（2）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线EF 与直线l 的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）//EF l ，理由见解析.【分析】（1）推导出AC PC ⊥，AC BC ⊥，AC ⊥平面PBC ，从而//EF AC ，进而EF ⊥平面PBC ，由此能证明平面BEF ⊥平面PBC ．（2）推导出//EF AC ，//EF 平面ABC ，根据线面平行的性质，即能证明//EF l ． 【详解】解：（1）因为PC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以AC PC ⊥.因为C 是以AB 为直径的圆O 上的点， 所以AC BC ⊥． 又PC BC C ⋂=， 所以AC ⊥平面PBC ．因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点， 所以//EF AC ． 所以EF ⊥平面PBC ．又EF ⊂平面BEF ，故平面BEF ⊥平面PBC ．。
高考数学出题人预测专题01 平行、垂直问题的证明(第三篇)(解析版)
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇 立体几何专题01 平行、垂直问题的证明【典例1】【2020届北京市通州区三模考试】如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥ 平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△PAB 为等边三角形，E 是PB 中点，平面AED 与棱PC 交于点F . （Ⅰ）求证：//AD EF ； （Ⅰ）求证：PB ⊥平面AEFD ；（III ）记四棱锥P AEFD -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，直接写出12V V 的值.【思路引导】（Ⅰ）由ABCD 为正方形，可得//AD BC ．再由线面平行的判定可得//AD 平面PBC .．再由面面平行的性质可得//AD EF ；（Ⅰ）由ABCD 为正方形，可得AD AB ⊥．结合面面垂直的性质可得AD ⊥平面PAB ．从而得到AD PB ⊥.．再由已知证得PB AE ⊥．由线面垂直的判定可得PB ⊥平面AEFD ；（Ⅰ）由（Ⅰ）知，1C AEFD V V -=，利用等积法把2V 用1V 表示，则12V V 的值可求． 解：（I ）证明：因为正方形ABCD ，所以//AD BC . 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC .因为AD ⊂平面AEFD ，平面AEFD ⋂平面PBC EF =， 所以//AD EF .（II ）证明：因为正方形ABCD ，所以AD AB ⊥.因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ， 所以AD ⊥平面PAB . 因为PB ⊂平面PAB ， 所以AD PB ⊥.因为PAB ∆为等边三角形，E 是PB 中点， 所以PB AE ⊥.因为AE ⊂平面AEFD ，AD ⊂平面AEFD ，AE AD A ⋂=， 所以PB ⊥平面AEFD .（III ）解：由（Ⅰ）知，122133C AEFDE ABCF ADC C AEFD V V V V V V ，＝，----===513BC AEFD V V -∴＝， 则1158133P ABCD V V V V -+＝＝，1238V V ∴＝ ． 【典例2】【2020届湖北省沙市中学期末考试】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，60DAB ∠=o ，2AD =，1AM =，E 为AB 的中点．（1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由． 【思路引导】()I 利用CM 与BN 交于F ，连接EF ．证明//AN EF ，通过直线与平面平行的判定定理证明//AN 平面MEC ；()II 对于存在性问题，可先假设存在，即假设x 在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断． 解：()I CM 与BN 交于F ，连接EF ．由已知可得四边形BCNM 是平行四边形， 所以F 是BN 的中点． 因为E 是AB 的中点， 所以//AN EF ．又EF ⊂平面MEC ，AN ⊂平面MEC ， 所以//AN 平面MEC ．()II 由于四边形ABCD 是菱形，60DAB o ∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥．又四边形ADNM 是矩形，面ADNM ⊥面ABCD ，DN ∴⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，E ，0，0)，(0C ，2，0)，P 1-，)h ，CE =u u u v ，2-，0)，(0EP =u u u v，1-，)h ，设平面PEC 的法向量为1(n x =u v，y ，)z ．则11·0·0CE n EP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u v u vu u u v u v ，∴20y y hz -=-+=⎪⎩，令y =，∴ 1(2n h =u v，又平面ADE 的法向量2(0n =u u v，0，1)，1cos n ∴<u v，12212·12n n n n n >===u v u u v u u v u v u u v，解得h =Q17>，∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．【典例3】【2020届河北省衡水中学高三上学期九模】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中， 1,2,,AB AD E F ==分别为1,AD AA 的中点，Q 是BC 上一个动点，且(0)BQ QC λλ=>.（1）当1λ=时，求证：平面BEF P 平面1A DQ ；（2）是否存在λ，使得BD FQ ⊥？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由. 【思路引导】（1）当1λ=时，Q 为BC 中点，因为E 是AD 的中点，所以,ED BQ ED BQ =P ， 则四边形BEDQ 是平行四边形，所以BE QD P .又BE ⊄平面1,A DQ DQ ⊂平面1A DQ ，所以BE P 平面1A DQ . 因为,E F 分别是1,AD A A 中点，所以1EF A D P ，因为EF ⊄平面11,A DQ A D ⊂平面1A DQ ，所以EF P 平面1A DQ .因为,BE EF E EF ⋂=⊂平面,BEF BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF P 平面1A DQ . （2）如图，连接,AQ BD 与FQ ，因为1A A ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥.若,BD FQ ⊥又1,A A FQ ⊂平面1A AQ ，且1A A FQ F ⋂=，所以BD ⊥平面1A AQ . 因为AQ ⊂平面1A AQ ，所以AQ BD ⊥.在矩形ABCD 中，由AQ BD ⊥，得AQB DBA V V ∽， 所以2AB AD BQ =⋅. 又1,2AB AD ==，所以13,22BQ QC ==， 则13BQ QC =，即13λ=.【典例4】【福建省龙岩市2019年5月高中毕业班教学质量检查】如图，菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=o ，M 是AD 的中点，以BM 为折痕，将ABM ∆折起，使点A 到达点1A 的位置，且平面1A BM ⊥平面BCDM ， （1）求证：1A M BD ⊥；（2）若K 为1A C 的中点，求四面体1M A BK -的体积．【思路引导】（1）先在左图中证明AD BM ⊥，再结合右图，根据面面垂直的性质定理，证明1A M ⊥平面BCDM ，进而可得出结论；（2）先计算出1A BCM V -，再由题意得到11111122M A BK K MA B C MA B A BCM V V V V ----===，即可得出结果． 解：（1）证明：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=o ，M 是AD 的中点， ∴AD BM ⊥，故在右图中，1A M BM ⊥，∵平面1A BM ⊥平面BCDM ，平面1A BM I 平面BCDM BM =，∴1A M ⊥平面BCDM ， 又BD ⊂平面BCDM ， 所以1A M BD ⊥.（2）解：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，AD BM ⊥，AD BC ∥，∴BC BM ⊥，且BM =，在右图中，连接CM ，则1111121332A BCM BCM V S A M -∆=•=⨯⨯=， ∵K 为1A C 的中点，∴11111122M A BK K MA B C MA B A BCM V V V V ----====． 【典例5】【2020届陕西咸阳模拟】如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，M 是PC 上一点，且BM PC ⊥.（1）求证：PC ⊥平面MBD ；（2）求直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值. 【思路引导】（1）连接AC ，由线面垂直的性质定理可得BD PA ⊥，且BD AC ⊥，故BD ⊥平面PAC ，PC BD ⊥，又PC BM ⊥，利用线面垂直的判断定理可得PC ⊥平面MBD .（2）法1：由（1）知PC ⊥平面MBD ，即PBM ∠是直线PB 与平面MBD 所成角，设1PA =，则1BC =，PC =PB =3PM sin PBM PB ∠==，即直线PB 与平面MBD 所成角. 法2：取A 为原点，直线MB ，MD ，MP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -，不妨设1PA AB ==，结合(1)的结论可得平面MBD 得法向量()1,1,1PC =-u u u v ，而()1,0,1PB =-u u u v，据此计算可得直线PB 与平面MBD . 解：（1）连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ，BD Ø平面ABCD 得BD PA ⊥， 又BD AC ⊥，PA AC A ⋂=， ∴BD ⊥平面PAC ，得PC BD ⊥， 又PC BM ⊥，BD BC B ⋂=， ∴PC ⊥平面MBD .（2）法1：由（1）知PC ⊥平面MBD ，即PBM ∠是直线PB 与平面MBD 所成角，易证PB BC ⊥，而BM PC ⊥，不妨设1PA =，则1BC =，PC =PB =在Rt PBC ∆中，由射影定理得22::2:1PM MC PB BC ==，可得233PM PC ==，所以3PM sin PBM PB ∠==，故直线PB 与平面MBD .法2：取A 为原点，直线MB ，MD ，MP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -，不妨设1PA AB ==，则0,0,1)P（，()1,0,0B ，()1,1,0C ， 由（1）知平面MBD 得法向量()1,1,1PC =-u u u v ，而()1,0,1PB =-u u u v，∴1,0,11,1,1,cos PB PC -⋅-=u u u v u u u v= 故直线PB 与平面MBD .【典例6】【河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次（1月)质量预测】已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为5，点F 在PC 上移动.（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ； （Ⅰ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值.【思路引导】（Ⅰ）推导出AE ⊥P A ，AE ⊥AD ，从而AE ⊥平面P AD ，由此能证明无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面P AD ．（Ⅰ）以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C ﹣AF ﹣E 的余弦值． 解：（Ⅰ）连接AC∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒， ∴ABC ∆是正三角形，∵E 是BC 中点，∴AE BC ⊥ 又AD BC P ，∴AE AD ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA AE ⊥，又PA AE A ⋂= ∴AE ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAD .（Ⅰ）由（Ⅰ）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∵AE ⊥平面PAD ，∴AME ∠就是EM 与平面PAD 所成的角， 在Rt AME ∆中，sin AME ∠=，即AE AM =， 设2AB a =，则AE =，得AM =，又2AD AB a ==，设2PA b =，则()0,,M a b ，所以AM ， 从而b a =，∴2PA AD a ==， 则()0,0,0A，),,0Ba -，),,0Ca ，()0,2,0D a ，()0,0,2P a ，),0,0E，,2a F a ⎫⎪⎪⎝⎭，所以),0,0AE =u u u v，,2a AF a ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u v，(),3,0BD a u u u v=，设(),,n x y z v是平面AEF 一个法向量，则00n AE n AF ⎧⋅=⇒⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v02ayaz ⎧=+=取z a =，得()0,2,n a a =-v又BD ⊥平面ACF，∴(),3,0BD a u u u v=是平面ACF 的一个法向量，∴cos ,n BD n BD n BDu u u v v u u u v vu u u v v ⋅==⋅2=∴二面角C AF E --1. 【2020届湖南长郡中学月考】在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离. 【思路引导】(1)取BD 中点O ,连接,OM OE ,因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OMCD ,且12OM CD =,因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD ABCD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE ,所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE I 平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF , 所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =.所以四边形OMFE 为平行四边形，所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ，且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .(2)由(1)得//FM 平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离. 取AD 的中点H ,连接,EH BH ,因为四边形ABCD 为菱形,且60,2DAB EA ED AB EF ∠====o,所以,EH AD BH AD ⊥⊥,因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE I 平面ABCD AD =,所以EH ⊥平面,ABCD EH BH ⊥,因为EH BH ==,所以BE =所以12BDES ==V ,设F 到平面BDE 的距离为h ,又因为1142242BDM BCD S S ==⨯⨯=V V ,所以由E BDM M BDE V V --=,得1133h =⨯解得h =即F 到平面BDE 的距离为5． 2. 【2019届福建厦门第一中学模拟】已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；(2)求三棱锥E－ABC的体积.【思路引导】（1）取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求，证明EN∥AH，MN∥BC可得平面EMN∥平面ABC即可（2）因为点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，求三棱锥E－ABC 的体积可转化为求三棱锥N－ABC的体积，根据体积公式计算即可.解：(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN ∥平面ABC ， 又EF ⊂平面EMN ， ∴EF ∥平面ABC ，即直线MN 上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行. (2)连接DH ，取CH 的中点G ，连接NG ，则NG ∥DH ， 由(1)可知EN ∥平面ABC ，∴点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等， 又△BCD 是边长为2的等边三角形， ∴DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH ⊂平面BCD ， ∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，易知DH NG又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12，∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG . 3. 【江苏省扬州中学2019届高三4月考试】已知三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP ⊥ .若平面α分别与棱PA PB BC AC 、、、相交于点,,,E F G H 且PC P 平面α.求证:（1）∥EH FG ； （2）AB FG ⊥.【思路引导】（1）利用线面平行的性质定理可得线线平行，最后利用平行公理可以证明出∥EH FG ； （2）利用线面垂直的判定定理可以证明线面垂直，利用线面垂直的性质可以证明线线垂直，利用平行线的性质，最后证明出AB FG ⊥.解：证明（1）因为PC P 平面α，平面αI 平面PAC EH =,PC ⊂平面PAC ，所以有PC EH P ,同理可证出PC FG P ,根据平行公理，可得∥EH FG ；（2）因为AB AC ⊥，AB AP ⊥，AP AC A ⋂=,,AP AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ,而PC ⊂平面PAC ,所以AB PC ⊥,由（1）可知PC FG EH P P ,所以AB FG ⊥. 4. 【河北省衡水市全国普通高中2019届高三四月大联考】如图，在四边形'A BCD 中，'E 是'A D 的中点，'A BD ∆为正三角形，2DB =，1DC =，BC =.将'A BD ∆沿直线BD 折起，使'A 到达A 处，'E 到达E 处，此时平面ABD ⊥平面BCD .（1）求证：DC BE ⊥； （2）求点D 到平面BCE 的距离.【思路引导】（1）先由题证明BD DC ⊥，再证明DC ⊥平面ABD 则可得DC BE ⊥； （2）用等体积转化法D BCE E BCD V V --=，求点D 到平面BCE 的距离．解：（1）由2DB =，1DC =，BC =可知222DB DC BC +=， ∴BD DC ⊥，又∵平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =. ∴DC ⊥平面ABD ， 又BE ⊂平面ABD ， ∴DC BE ⊥.（2）取BD 的中点F ，连接AF .∵'A BD ∆为正三角形，∴ABD ∆也为正三角形， ∴AF BD ⊥.由2BD =，知AF =∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =， ∴AF ⊥平面BCD ， 又∵E 为'E 对应的点， ∴E 为AD 的中点，∴点E 到底面BCD 的距离为2，BE =1ED =，又CD AD ⊥，1CD =，∴CE =，又BC =∴222BE CE BC +=，∴BE CE ⊥，∴1122BCE S BE CE ∆=⨯==， 1121122BCD S BD DC ∆=⨯=⨯⨯=. 设D 点到平面BCE 的距离为h . ∵D BCE E BCD V V --=，∴11133BCE BCD S h S ∆∆⋅=⇒=解得2h =，∴点D 到平面BCE 的距离为2. 5. 【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，AB AC =，,D E 分别为1AA 、1B C 的中点.（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为030，求二面角1D BC B --的余弦值.【思路引导】解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直； （2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，易证AF ⊥平面11BCC B ，再证明DE AF P ,可得DE ⊥平面11BCC B（2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值. 解法3：（1）同解法2（2）设12AA a =，利用三棱锥1B BDC -等体积转化，得到1B 到面BCD 的距离，利用1B C 与平面BCD 所成的角为30︒得到1B C 与d 的关系，解出a ，在两个平面分别找出,DF EF 垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值. 【详解】 解法1：（1）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设1AB =，AD a =，则()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ， ()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,22E a ⎛⎫⎪⎝⎭，11,,022DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，()1,1,0BC =-u u u v ，()11,1,2B C a =--u u u v．因为0DE BC ⋅=u u u v u u u v，10DE BC ⋅=u u u v u u u v ， 所以DE BC ⊥，1DE B C ⊥，BC ⊂面11BCC B ，1B C ⊂面11BCC B ，1BC B C B ⋂= 于是DE ⊥平面11BCC B ．（2）设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =v，则0n BC ⋅=u u u v v ，0n BD ⋅=u u u v v ，又()1,1,0BC =-u u u v ，()1,0,BD a =-u u u v ，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a v ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--u u u v，所以1cos ,sin30n B C =︒u u u v v ，11n B C n B C⋅∴=⋅u u u v v u u u v v12=，解得2a =，(n=v ． 由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫=⎪⎝⎭u u u v ，11cos,2n AFn AFn AF+⋅==⋅u u u vvu u u vvu u u vv，所以二面角1D BC B--的余弦值为2．解法2：（1）取BC中点F，连接AF、EF,AB AC=Q∴AF BC⊥，Q1BB⊥平面ABC，AF⊂平面ABC∴1BB AF⊥，而BC⊂平面11BCC B,1B B⊂平面11BCC B,1BC B B B⋂=∴AF⊥平面11BCC B．EQ为1B C中点，∴1EF BBP，112EF BB=，∴EF DAP，EF DA＝，∴四边形ADEF为平行四边形，∴AF DEP．∴DE⊥平面11BCC B．（2）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz-．设()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ，则()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =v， 则0n BC ⋅=u u u v v ，0n BD ⋅=u u uv v ，又()1,1,0BC =-u u u v ，()1,0,BD a =-u u u v， 故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭v ． 因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--u u u v，所以1|cos ,)|sin30n BC <>=︒u u u v v ，11n B C n B C⋅∴=⋅u u u v v u u u v v12=，解得a =(n=v ． 由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，11cos ,2n AF n AF n AF+⋅==⋅u u u v v u u u v vu u u v v所以二面角1D BC B -- 解法3： （1）同解法2．（2）设1ABAC ==，12AA a=，则BC =2AF =,BD DC == DF ∴==12BDC S BC DF ∴=⋅=V ，1112BCB S BB BC =⋅=V ，D 到平面1BCB 距离2DE =，设1B 到面BCD 距离为d ， 由11B BDC D BCB V V --=得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅V V ，即113232d ⋅=⋅⋅d =因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒， 所以12sin30d B C d ===︒而在直角三角形1B BC V 中1B C ===，解得2a =． 因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ,所以AF BC ⊥，EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B 所以EF BC ⊥，所以BC ⊥平面DEFA ，DF ⊂Q 平面DBC ,EF ⊂平面1B BC所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，而2DA AF ==,可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，所以二面角1D BC B --的余弦值为2．6. 【2020届吉林辽源田家炳高级中学期末联考】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =.（1）证明：面PAC ⊥面ABCD ；（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30o ， PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值．【思路引导】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC 与BD 交点为O ，则PO ⊥BD ，而正方形中AC ⊥BD ，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得030PAC ∠=，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC 和面DPC 的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦． 解：（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥∵PB PD =，OB OD =,∴BD OP ⊥,又∵OP AC O ⋂=,∴BD PAC ⊥面又BD PAC ⊂面,∴PAC ABCD ⊥面面.（2）∵PAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E∴ABCD PE ⊥面∵PA 与底面ABCD 所成的角为030，∴030PAC ∠=,又PA PC ⊥，设2PC =,则3,4,AP PE AE AC AD ===== 如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz - ()()()()0,0,0,,,0,,22A B C D P ⎛ ⎝设面PBC 法向量为()1,,n x y z =u v，()0,,BC CP ⎛== ⎝u u u v u u u v1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ,∴0022x y ⎧=+-=⎪⎩，1,0,z y x ===令则)1n =u v 同理PCD 面的法向量()2n =u u v ，1212121cos ,7n n n n n n ⋅==u v u u v u v u u v u v u u v ∴求二面角B PC D --的余弦值17-。
直线、平面平行与垂直地判定及其性质(证明题详解)
直线、平面平行与垂直的判定及其性质7. 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若平面PAB平面PCD l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由.【解析】（1）因为∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,所以AD⊥平面PAB, 所以AD⊥PA.同理可得AB⊥PA.由于AB、AD平面ABCD，且AB AD=A,所以PA⊥平面ABCD.（2）（方法一）不平行.证明：假定直线l∥平面ABCD,由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以l∥CD.同理可得l∥AB, 所以AB∥CD.这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰不平行相矛盾,故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行.（方法二）因为梯形ABCD中AD∥BC,所以直线AB与直线CD相交，设AB CD=T.由T CD，CD平面PCD得T平面PCD.同理T平面PAB.即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.所以直线l与平面ABCD不平行.DCPAB（第16题）8. 如图，在三棱柱111ABC A B C 中，11,,AB BC BC BC AB BC ，,,E F G 分别为线段1111,,AC AC BB 的中点，求证：（1）平面ABC平面1ABC ;（2）//EF 面11BCC B ；（3）GF平面11ABC 【解析】(1)BCAB11BC BC ABBC BBC 平面1ABC BC平面ABC平面ABC 平面1ABC (2)111,AEEC A F FC ,1//EF AA 11//BB AA 1//EF BB 11EFBCC B 面//EF 面11BCC B ；(3)连接EB ，则四边形EFGB 为平行四边形11111111111111BE FG A C EB AC FG AC BC ABC B C ABC B C B C B C C 面面,GF平面11AB C 。
专题20立体几何中的平行与垂直问题(解析版)
专题20 立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。
直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、（2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点.已知侧面PAD丄底面ABCD,底面ABCD是矩形，DA=DP.求证：（1）MN〃平面PBC；MD丄平面PAB.【证明】（1）在四棱锥P-ABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点，所以MN〃AD.（2分）又底面ABCD是矩形，所以BC〃AD.所以MN〃BC.（4分）又BC U平面PBC，MN Q平面PBC，所以MN〃平面PBC. （6分）（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB丄AD.又侧面PAD丄底面ABCD，侧面PAD n底面ABCD=AD, AB U底面ABCD，所以AB丄侧面PAD.（8分）又MD U侧面PAD，所以AB丄MD.（10分）因为DA=DP,又M为AP的中点，从而MD丄PA. （12分）又PA，AB在平面PAB内，PA n AB=A，所以MD丄平面PAB.（14分）例2、（2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B丄平面ABC,点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点.（1）求证：EF〃平面ABC；（2）求证：BB］丄AC.规范解答（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B,四边形BB1C1C均为平行四边形，E, F分别是侧面AA1B1B, BB1C1C对角线的交点，所以E, F分别是AB1，CB1的中点，所以EF〃AC.（4分）因为EF Q平面ABC, AC U平面ABC，所以EF〃平面ABC.（8分）（2）因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1丄AB.因为平面AA1B1B丄平面ABC,且平面AA1B1B n平面ABC=AB, BB1U平面AA1B1B, 所以BB1丄平面ABC.（12分）因为AC U平面ABC，所以BB1丄AC.（14分）例3、（2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC, A1C丄BC］, AB］丄BC1，D, E 分别是AB1和BC的中点.求证：（1）DE〃平面ACC1A1；（2）AE丄平面BCC1B1.A _________ c,规范解答⑴连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1#BB1且AA1=BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形．又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点.（2分）在厶BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE〃A］C.又因为DE G平面ACC1A1，A1C U平面ACC1A1，所以DE〃平面ACC1A1.（6分）（2）由（1）知DE〃A］C，因为A1C丄BC” 所以BC］丄DE.（8 分）又因为BC］丄AB1，AB1H DE=D，AB1，DE U平面ADE，所以BC1丄平面ADE.又因为AE U平在ADE,所以AE丄BC1.（10分）在厶ABC中，AB=AC，E是BC的中点，所以AE丄BC.（12分）因为AE丄BC1，AE丄BC，BC1H BC=B，BC1，BC U平面BCC1B1，所以AE丄平面BCC1B1. （14 分）例4、（2019苏锡常镇调研）如图，三棱锥DABC中，已知AC丄BC，AC丄DC，BC=DC，E，F 分别为BD，CD 的中点．求证：（1）EF〃平面ABC；（2）BD丄平面ACE.所以EF 〃平面ABC.（6分）（2）因为AC丄BC，AC丄DC，BC H DC = C，BC，DC U平面BCD所以AC丄平面BCD，（8分）因为BD U平面BCD，所以AC丄BD，（10分）因为DC=BC，E为BD的中点，所以CE丄BD，（12分）因为AC n CE = C, AC，CE U平面ACE，所以BD丄平面ACE.（14分）例5、（2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1 丄B1C1•设A1C与AC1交于点D, B1C与BC1交于点E.求证：（1） DE〃平面ABB1A1；（2） BC］丄平面A1B1C.规范解答（1）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C 与AC1 交于点D,所以D为AC]的中点，同理，E为BC]的中点•所以DE〃AB.（3分）又AB U平面ABB]A], DE G平面ABB]A], 所以DE〃平面ABB]A].（6分）（2）因为三棱柱ABCA]B]C]为直三棱柱，所以BB]丄平面A]B]C]. 又因为A]B]U平面A]B]C],所以BB]丄A]B i.（8分）又A]B]丄B]C], BB], B]C] U 平面BCC]B], BB]n B]C1=B1，所以A]B]丄平面BCC]B].（10 分）又因为BC]U平面BCC]B1，所以A]B丄BC].（12分）又因为侧面BCC]B1为正方形，所以BC]丄BQ.又A1B1n B1C=B1，A1B1，B1C U平面A1B1C, 所以BC1丄平面A1B1C.（14分）例6、（2017苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D, E分别为BC, B1C1的中点，点F 在棱CC1上，且EF丄CD.求证：（1）直线A1E〃平面ADC1；⑴证法1连结ED,因为D, E分别为BC, B1C1的中点，所以B&/BD且B1E=BD, 所以四边形BBDE是平行四边形，（2分）所以BB/DE且BB1=DE. 又BB]〃AA]且BB]=AA], 所以AA/DE且AA1=DE, 所以四边形AA]ED是平行四边形，所以A]E〃AD.（4分）又因为AE G平面ADC, AD U平面ADC，所以直线AE〃平面ADC.（7分）1 1 1畀 ------ 1B证法2连结ED,连结A1C, EC分别交AC” DC1于点M, N,连结MM,则因为D, E分别为BC,B1C1的中点，所以C1E^CD且C、E=CD,所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点.（2分）因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，（4分）所以MN//A\E.又因为A]E G平面ADC，MN U平面ADC，，所以直线Af〃平面ADC、.（7分）（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB]丄平面ABC.又AD U平面ABC，所以AD丄BB、.又A ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD丄BC.（9分）又BB，，BC U 平面BBCC，，BB1A BC=B，所以AD丄平面B,BCC,，又EF U平面BBCC，所以AD丄EF.（11分）又EF丄CD，CD，AD U平面ADC,，C,D A AD=D，所以直线EF丄平面ADC,.（14分）题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
初二数学下册平行线与平面的垂直性练习题
初二数学下册平行线与平面的垂直性练习题平行线和平面的垂直性是初中数学中的一个重要概念。
理解和掌握这个概念对于解决几何问题至关重要。
通过练习题的形式，我们可以检验自己对这个概念的掌握程度，并进一步加深对该概念的理解。
下面是一些关于平行线和平面垂直性的练习题。
练习题 1：已知一直线l和一个平面P，证明：若直线l和平面P垂直，则与这个平面上任何一条直线相交的直线都与l平行。
解答：首先，已知直线l与平面P垂直，则直线l与平面P上任意一条直线的夹角为90度。
假设l与平面P的交点为A，与平面P上的直线交于B点。
我们需要证明，直线AB与直线l平行。
我们可以通过反证法来证明这个命题。
假设直线AB与直线l不平行，即直线AB与直线l相交于C点。
根据直线AB与平面P的垂直关系，得知直线AB在平面P上。
这样，就有直线l与平面P上的两条直线AB和BC相交于C点，与已知条件直线l与平面P的垂直性相矛盾。
因此，我们可以得出结论：直线AB与直线l平行。
练习题 2：已知直线l与平面P垂直，且直线l与平面P上的某一条直线相交于点A。
若平面P上有一条直线BC与直线AB平行，试证明：直线BC与直线l平行。
解答：设平面P上的直线BC与直线AB平行，即直线BC与平面P的交点为D。
我们需要证明直线BC与直线l平行。
根据已知条件，直线l与平面P垂直，即直线l与平面P上的任意一条直线所成角均为90度。
因此，角BAD为90度。
接下来，我们利用反证法假设直线BC与直线l不平行，即直线BC 与直线l相交于点E。
由于直线BC与平面P的垂直性，直线BC与平面P上的两条直线BC和BE相交于点E，与已知条件直线BC与直线AB平行相矛盾。
因此，我们可以得出结论：直线BC与直线l平行。
练习题 3：已知一个平面P与一条直线l垂直，平面P上有一条直线DE与直线l平行。
若平面P上有一条直线EF与直线DE垂直，试证明：直线EF与平面P平行。
解答：设直线EF与平面P相交于点F，我们需要证明直线EF与平面P平行。
线面平行判定练习(总结较全)
线面平行判定练习（总结较全）第1题. 已知a αβ=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证：a b //．答案：证明：m m m a a b a m b βγααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////．第2题. 已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a ，b 相交但不垂直 Ｄ．a ，b 异面答案：Ａ．第3题. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ．答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ．连结PM ，AD BC ∵//，BF MF FD FA =∴，又由已知PE BF EA FD =，PE MFEA FA=∴． 由平面几何知识可得EF //PM ，又EF PBC ⊄，PM ⊂平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．第4题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11E F 是平面11A C 上的线段，求证：11E F //平面AC ．答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截取11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ．∵长方体1AC 的各个面为矩形，11A E ∴平行且等于AE ，11D F 平行且等于DF ，故四边形11AEE A ，11DFF D 为平行四边形．1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF ，四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //．EF ⊂∵平面ABCD ，11E F ⊄平面ABCD ，∴11E F //平面ABCD ．第5题. 如图，在正方形ABCD 中，BD 的圆心是A ，半径为AB ，BD 是正方形ABCD 的对角线，正方形以AB 所在直线为轴旋转一周．则图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得几何体的体积之比为 ．答案：111∶∶第6题. 如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶． （１） 求证：直线MN //平面PBC ； （２） 求线段MN 的长．（１） 答案：证明：连接AN 并延长交BC 于E ，连接PE ，则由AD BC //，得BN NEND AN=． BN PM ND MA =∵，NE PMAN MA=∴． MN PE ∴//，又PE ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， ∴MN //平面PBC ．（２） 解：由13PB BC PC ===，得60PBC ∠=； 由58BE BN AD ND ==，知5651388BE =⨯=， 由余弦定理可得918PE =，8713MN PE ==∴．第7题. 如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点， 求证：PD //平面MAC ．答案：证明：连接AC 、BD 交点为O ，连接MO ，则MO 为BDP △的中位线，∴PD MO //．PD ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴PD //平面MAC ．第8题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ．答案：证明：如图，取11D B 的中点O ，连接OF ，OB ，OF ∵ 平行且等于1112B C ，BE 平行且等于1112B C ，OF ∴ 平行且等于BE ，则OFEB 为平行四边形， EF ∴//BO ．EF ⊄∵平面11BB D D ，BO ⊂平面11BB D D ，∴EF //平面11BB D D ．第9题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，试作出过AC 且与直线1D B 平行的截面，并说明理由．答案：解：如图，连接DB 交AC 于点O ，取1D D 的中点M ，连接MA ，MC ，则截面MAC 即为所求作的截面．MO ∵为1D DB △的中位线，1D B MO ∴//．1D B ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，1D B ∴//平面MAC ，则截面MAC 为过AC 且与直线1D B 平行的截面．第10题. 设a ，b 是异面直线，a ⊂平面α，则过b 与α平行的平面（ ） Ａ．不存在 Ｂ．有1个 Ｃ．可能不存在也可能有1个 Ｄ．有2个以上答案：Ｃ．第11题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面1A BD //平面11CD B ．答案：证明：111111B B A A B B D D A A D D ⎧⎪⇒⎨⎪⎩∥ ∥ ∥ ⇒ 四边形11BB D D 是平行四边形⇒ 111111D B DBDB A BD D B A BD⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩平面平面//⇒111111111D B A BDB C A BD D B B C B⎧⎪⎨⎪=⎩平面同理平面//// ⇒111B CD A BD 平面平面//．第12题. 如图，M 、N 、P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM MB CN NB CP PD ==∶∶∶．求证：（１）AC //平面MNP ，BD //平面MNP ； （２）平面MNP 与平面ACD 的交线AC //．答案：证明：（１）AM CN MN AC MB NBAC MNP AC MNP MN MNP⎫=⇒⎪⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面．CN CP PN BD NB PDBD MNP BD MNP PN MNP⎫=⇒⎪⎪⊄⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面．（２）MNP ACD PE AC ACD PE AC AC MNP =⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭设平面平面平面//，//平面 MNP ACD AC 即平面与平面的交线//．第13题. 如图，线段AB ，CD 所在直线是异面直线，E ，F ，G ，H 分别是线段AC ，CB ，BD ，DA 的中点．（１） 求证：EFGH 共面且AB ∥面EFGH ，CD ∥面EFGH ； （２） 设P ，Q 分别是AB 和CD 上任意一点，求证：PQ 被平面EFGH 平分．答案：证明：（１）∵E ，F ，G ，H 分别是AC ，CB ，BD ，DA 的中点．，EH CD ∴//，FG CD //，EH FG ∴//．因此，E ，F ，G ，H 共面． CD EH ∵//，CD ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ， CD ∴//平面EFGH ．同理AB //平面EFGH ．（２）设PQ平面EFGH ＝N ，连接PC ，设PCEF M =．PCQ △所在平面平面EFGH ＝MN ，CQ ∵//平面EFGH ，CQ ⊂平面PCQ ，CQ MN ∴//．EF ∵ 是ABC △是的中位线，M ∴是PC 的中点，则N 是PQ 的中点，即PQ 被平面EFGH 平分．第14题. 过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为（ ） Ａ．都平行Ｂ．都相交且一定交于同一点 Ｃ．都相交但不一定交于同一点 Ｄ．都平行或都交于同一点答案：Ｄ．第15题. a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是（ ） Ａ．过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在 Ｂ．过A 有且只有一个平面平行于a 和b Ｃ．过A 至少有一个平面平行于a 和b Ｄ．过A 有无数个平面平行于a 和b答案：Ａ．第16题. 若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长分别是8，12，过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为 ． 答案：20．第17题. 在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 上的一点，且EFGH 为菱形，若AC //平面EFGH ，BD //平面EFGH ，AC m =，BD n =，则AE BE =： ．答案：m n ∶．第18题. 如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成60的角，且AD BC a ==，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于E 、F 、G 、H ． （１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２）E 在AB 的何处时截面EGFH 的面积最大？最大面积是多少？答案：（１）证明：BC ∵//平面EFGH ，BC ⊂平面ABC ， 平面ABC 平面EFGH EF =，BC EF ∴//．同理BC GH //， EF GH ∴//，同理EH FG //， ∴四边形EGFH 为平行四边形． （２）解：∵AD 与BC 成60角，∴60HGF ∠=或120，设:AE AB x =，∵EF AEx BC AB==， BC a =，∴EF ax =，由1EH BEx AD AB==-， 得(1)EH a x =-．∴sin 60EFGH S EF EH =⨯⨯四边形(1)2ax a x =⨯-⨯22()2a x x =-+2211()24x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦． 当12x =时，28S a =最大值， 即当E 为AB的中点时，截面的面积最大，最大面积为28a ．第19题. P 为ABC △所在平面外一点，平面α//平面ABC ，α交线段PA ，PB ，PC 于ABC '''，23PA AA =∶∶''，则AB C ABC S S =△△∶''' ．答案：425∶第20题. 如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN //平面PAD ．答案：证明：如图，取CD 的中点E ，连接NE ，ME ∵M ，N 分别是AB ，PC 的中点，NE PD ∴//，ME AD //，可证明NE //平面PAD ，ME //平面PAD ． 又NE ME E =，∴平面MNE //平面PAD ，又MN ⊂平面MNE ，∴MN //平面PAD ．第21题. 已知平面α//平面β，AB ，CD 是夹在两平行平面间的两条线段，A ，C 在α内，B ，C 在β内，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且AE EB CF FDm n ==∶∶∶． 求证：EF //平面α．答案：证明：分AB ，CD 是异面、共面两种情况讨论． （１） 当AB ，CD 共面时，如图（a ）αβ∵//，AC BD ∴//，连接E ，F ．AE EB CF FD =∶∶∵，EF AC BD ∴////且EF α⊄，AC α⊂，∴EF //平面α．（２） 当AB ，CD 异面时，如图（b ），过点A 作AH CD // 交β于点H ．在H 上取点G ，使AG GH m n =∶∶，连接EF ，由（１）证明可得GF HD //，又AG GH AE EB =∶∶得EG BH //．∴平面EFG //平面β//平面α．又EF ⊂面EFG ，∴EF //平面α．第22题. 已知a αβ=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证：a b //．答案：证明：m m m a a b a m b βαααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////．第23题. 三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB 、CD 都平行，则截面MNPQ 的周长是（ ）．Ａ．4a Ｂ．2aＣ．32aＤ．周长与截面的位置有关答案：Ｂ．第24题. 已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）． Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥Ｃ．a 、b 相交但不垂直 Ｄ．a 、b 异面答案：Ａ．第25题. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E 、F 分别是PA 、BD 上的点且:PE EA BF =答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ． 连结PM ，AD BC ∵//，BF MFFD FA=∴， 又由已知PE BF EAFD =，PE MFEA FA=∴． 由平面几何知识可得EF //PM ， 又EF PBC ⊄，PM ⊂平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．第26题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD ．答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截得11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ．∵长方体1AC 的各个面为矩形，1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF ，四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //．EF ⊂∵平面ABCD ，11E F ⊄平面ABCD ，∴11E F //平面ABCD ．第27题. 已知正方体1111ABCD A B C D -， 求证：平面11AB D //平面1C BD ．答案：证明：因为1111ABCD A B C D -为正方体， 所以1111D C A B //，1111D C A B =． 又11AB A B //，11AB A B =， 所以11D C AB //，11D C AB =， 所以11D C BA 为平行四边形．所以11D A C B //．由直线与平面平行的判定定理得1D A //平面1C BD ．同理11D B //平面1C BD ，又1111D A D B D =，所以，平面11AB D //平面1C BD ．第28题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．如图，已知直线a ，b 平面α，且a b //，a α//，a ，b 都在α外． 求证：b α//．答案：证明：过a 作平面β，使它与平面α相交，交线为c ． 因为a α//，a β⊂，c αβ=，所以a c //．因为a b //， 所以b c //．又因为c α⊂，b α⊄， 所以b α//．第29题. 如图，直线AA '，BB '，CC '相交于O ，AO AO ='，BO B O ='，CO C O ='． 求证：ABC //平面ABC '''．答案：提示：容易证明AB AB //''，AC AC //''． 进而可证平面ABC //平面ABC '''．第30题. 直线a 与平面α平行的充要条件是（ ） Ａ．直线a 与平面α内的一条直线平行 Ｂ．直线a 与平面α内两条直线不相交Ｃ．直线a 与平面α内的任一条直线都不相交 Ｄ．直线a 与平面α内的无数条直线平行答案：Ｃ．。
必修2-2.2线面平行面面平行的经典7道证明题
D CA 1A For personal use only in study and research; not for commercial use必修2 —2.2线面平行、面面平行的证明经典练习1.直三棱柱111C B A ABC -中，D 是AB 的中点，证明：1BC //平面1ACD 2.如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点。
求证：直线EF ∥平面PCD ；3.4.5.如图，在四棱锥P —ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。
证明PA//平面EDB ；6.正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点。
求证：//1C B 平面BD A 1；7.两个边长均为3的正方形ABCD 和ABEF 所在平面垂直相交于AB ，,AC M∈FB N ∈,且FN AM =.（1）证明：//MN 平面BCE ；仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文。
空间垂直平行证明练习题
空间垂直平行证明练习题一、线线垂直证明1. 在空间直角坐标系中，已知直线l通过点A(1,2,3)且方向向量是向量a=(2,0,1)，直线m通过点B(0,1,4)且方向向量是向量b=(1,2,1)。
证明直线l与直线m垂直。
2. 已知平面α上的两条相交直线AB和CD，且AB垂直于CD。
若直线EF平行于AB，证明EF垂直于CD。
3. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，证明对角线AC1垂直于面对角线BD。
二、线面垂直证明1. 已知平面α的法向量是向量n=(3,4,5)，直线l通过点P(1,2,3)且方向向量是向量m=(2,3,1)。
证明直线l垂直于平面α。
2. 在空间直角坐标系中，直线l的方程为x=2，y=3，z=4。
平面α的方程为3x4y+5z=6。
证明直线l垂直于平面α。
3. 已知四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，且PA垂直于底面ABCD。
证明侧面PBC垂直于底面ABCD。
三、面面垂直证明1. 已知平面α的法向量是向量n1=(1,2,3)，平面β的法向量是向量n2=(2,1,4)。
证明平面α与平面β垂直。
2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，证明平面ABB1A1垂直于平面BCC1B1。
3. 已知三棱锥PABC，底面ABC为等边三角形，且PA垂直于底面ABC。
证明侧面PAB垂直于侧面PBC。
四、线线平行证明1. 在空间直角坐标系中，直线l的方程为x=2t，y=3t，z=4t，直线m的方程为x=2t+1，y=3t2，z=4t+3。
证明直线l与直线m平行。
2. 已知平面α上的两条直线AB和CD，且AB平行于CD。
若直线EF平行于AB，证明EF平行于CD。
3. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，证明对角线AC平行于对角线A1D1。
五、线面平行证明1. 已知平面α的方程为2x3y+4z=5，直线l的方程为x=2t+1，y=3t2，z=4t+3。
证明直线l平行于平面α。
2. 在空间直角坐标系中，直线l通过点A(1,2,3)且方向向量是向量a=(2,4,6)，平面α的方程为2x4y+6z=8。
直线与平面的平行垂直判定经典例题
一、教学目标1. 巩固直线与平面的平行、垂直判定二、上课内容1、回顾上节课内容2、直线与平面的平行、垂直判定知识点回顾3、经典例题讲解4、课堂练习三、课后作业见课后练习一、上节课知识点回顾1． 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内.那么这条直线在此平面内． 2． 直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内3． 直线与平面平行的判定与性质4.二、直线与平面平行、垂直的判定知识点回顾1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直.则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中.有一条垂直于一个平面.那么另一条直线也垂直这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面.则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角.叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线.则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直.则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点.在两个半平面内分别作与棱垂直的射线.则两射线所成的角叫做二面角的平面角．[难点正本疑点清源]1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理.即如果两个平面垂直.那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据.要过平面外一点P作平面的垂线.通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β.设β∩α＝l.在β内作直线a⊥l.则a⊥α.2．两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．方法与技巧1． 证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b .a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β.a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β.α∩β＝l .a ⊂α.a ⊥l ⇒a ⊥β. 2． 证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a ⊥α.b ⊂α⇒a ⊥b ； (4)线面垂直的性质：a ⊥α.b ∥α⇒a ⊥b . 3． 证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交.所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α.a ⊥β⇒α⊥β. 4． 转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线.若这样的直线图中不存在.则可通过作辅助线来解决． 失误与防范1．在解决直线与平面垂直的问题过程中.要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用.即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线.通常是先找这个平面的一个垂面.在这个垂面中.作交线的垂线即可．三、经典例题讲解（一）直线与平面垂直的判定与性质例1：如图所示.在四棱锥P—ABCD中.PA⊥底面ABCD.AB⊥AD.AC⊥CD.∠ABC＝60°.PA＝AB＝BC.E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.（二）平面与平面垂直的判定与性质例2：如图.在直三棱柱ABC－A1B1C1中.A1B1＝A1C1.D.E分别是棱1上的点(点D不同于点C).且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.（三）线面、面面垂直的综合应用例3：如图所示.在四棱锥P—ABCD中.平面PAD⊥平面ABCD.AB∥DC.△PAD是等边三角形.已知BD＝2AD＝8.AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点.求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．（四）线面角、二面角的求法例4：如图.在四棱锥P—ABCD中.PA⊥底面ABCD.AB⊥AD.AC⊥CD.∠ABC＝60°.PA＝AB＝BC.E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明AE⊥平面PCD；(3)求二面角A—PD—C的正弦值．四、课堂练习 选择题：1、如图.四棱锥S －ABCD 的底面为正方形.SD ⊥底面ABCD .则下列结论中不正．．确的是 ( )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角2、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中.BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 ( )A.23B.33C.23D.633、 已知l .m 是不同的两条直线.α.β是不重合的两个平面.则下列命题中为真命题的是( )A ．若l ⊥α.α⊥β.则l ∥βB ．若l ∥α.α⊥β.则l ∥βC ．若l ⊥m .α∥β.m ⊂β.则l ⊥αD ．若l ⊥α.α∥β.m ⊂β.则l ⊥m4、已知矩形ABCD .AB ＝1.BC ＝ 2.将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折.在翻折过程中 ( )A ．存在某个位置.使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置.使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置.使得直线AD 与直线BC 垂直D．对任意位置.三对直线“AC与BD”.“AB与CD”.“AD与BC”均不垂直填空题：1．在正四棱锥P—ABCD中.PA＝32AB.M是BC的中点.G是△PAD的重心.则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．2．已知a、b、l表示三条不同的直线.α、β、γ表示三个不同的平面.有下列四个命题：①若α∩β＝a.β∩γ＝b.且a∥b.则α∥γ；②若a、b相交.且都在α、β外.a∥α.a∥β.b∥α.b∥β.则α∥β；③若α⊥β.α∩β＝a.b⊂β.a⊥b.则b⊥α；④若a⊂α.b⊂α.l⊥a.l⊥b.l⊄α.则l⊥α.其中正确命题的序号是________．解答题：1、(1)如图所示.证明命题“a是平面π内的一条直线.b是π外的一条直线(b不垂直于π).c是直线b在π上的投影.若a⊥b.则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题.并判断其真假(不需证明)．2、如图所示.已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形.E 为线段AD 1的中点.F 为线段BD 1的中点. (1)求证：EF ∥平面ABCD ；(2)设M 为线段C 1C 的中点.当D 1DAD 的比值为多少时.DF ⊥平面D 1MB ？并说明理由．3、如图.在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中.AA 1⊥BC .∠A 1AC ＝60°.A 1A ＝AC ＝BC ＝1.A 1B ＝ 2.(1)求证：平面A 1BC ⊥平面ACC 1A 1； (2)如果D 为AB 中点.求证：BC 1∥平面A 1CD .五、课后练习1、已知三棱锥S－ABC中.底面ABC为边长等于2的等边三角形.SA垂直于底面ABC.SA＝3.那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( )A.34B.54C.74D.342、已知P为△ABC所在平面外一点.且PA、PB、PC两两垂直.则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．3、如图.在四棱锥P－ABCD中.平面PAD⊥平面ABCD.AB＝AD.∠BAD ＝60°.E.F分别是AP.AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD. . .。
线面垂直判定经典证明题
线面垂直判定经典证明题第一篇：线面垂直判定经典证明题线面垂直判定1、已知：如图，PA⊥AB，PA⊥AC。
求证：PA⊥平面ABC。
2、已知：如图，PA⊥AB，BC⊥平面PAC。
求证：PA⊥BC。
3、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。
求证：VB⊥AC4、在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD中心。
求证：BD⊥平面AEGC5、如图，AB是圆O的直径，PA⊥AC, PA⊥AB,求证：BC⊥平面PAC6、如图，AD⊥BD, AD⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60°求证：BD⊥平面ADC7、.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.8、已知：如图，P是棱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC 求证：AC⊥平面PBD __C9、已知四面体ABCD中，AB=AC,BD=CD,平面ABC⊥平面BCD,E为棱BC的中点。
（1）求证：AE⊥平面BCD;（2）求证：AD⊥BC;BECD10、三棱锥A-BCD中，AB=1，AD=2，求证：AB⊥平面BCD11、在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形求证：AC⊥平面SBD12、如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，求证：AB⊥平面ADE；AED13、三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心求证:PH 底面ABC14、正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D._A_115、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BCSCAB16、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中点．求证C1D ⊥平面A1B ；第二篇：线面垂直的判定漯河高中2013—2014高一数学必修二导学案2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质编制人：魏艳丽方玉辉审核人：高一数学组时间：2013.12.03【课前预习】一、预习导学1、直线与平面垂直的性质定理：_________________________________________.2、垂直于同一条直线的两个平面____________.3、平面与平面垂直的性质定理：_________________________________________.4、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在___________.二、预习检测教材P71、P73【课内探究】［例1］如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.［例2］如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.我主动，我参与，我体验，我成功第1页（共4页）［例3］10、在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º.（1）证明：AB⊥PC；（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P—ABC的体积.［例4］如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM=MA1吗？请叙述你的判断理由.我主动，我参与，我体验，我成功第2页（共4页）【巩固训练】1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是()①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上；④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A．4B．3C．2D．1()()2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是A．相交B．平行C．异面D．相交或平行3．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为m∥n⎫m⊥α⎫⎪⎪⎬⎬⇒m∥n；①⇒n⊥α；②⎪⎪m⊥α⎭n⊥α⎭m⊥α⎫m∥α⎫⎪⎪⎬⎬⇒n⊥α.③⇒m⊥n;④⎪⎪n∥α⎭m⊥n⎭A．4B．3C．2D．1D．重心oo4．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的()A．垂心B．外心C．内心5.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为45和30.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于()A．3∶1B．2∶1C．3∶2D．4∶36．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么()A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b不可能垂直，但可能平行 C．a与b可能垂直，也可能平行 D．a与b不可能垂直，也不可能平行7．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．9.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.我主动，我参与，我体验，我成功第3页（共4页）求证：BC⊥AB.10.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．11．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4(1)设M是PC上的一点，求证：平面M BD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．※12．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，D是棱AA12的中点，DC1⊥BD.(1)证明：DC1⊥BC；(2)求二面角A1－BD－C1的大小．我主动，我参与，我体验，我成功第4页（共4页）第三篇：线面垂直的判定1（模版）深圳市第二课堂文化教育徐老师***直线与平面垂直的判定1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定2．直线a与b垂直，b⊥平面α，则a与平面α的位置关系是()A．a∥αB．a⊥αC．a⊂αD．a⊂α或a∥α3．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．m⊂α,n⊂α,m//β,n//β⇒α//βB．α//β,m⊂α,n⊂β⇒m//nC．m⊥α,m⊥n⇒n//αD． m//n,n⊥α⇒m⊥α4．已知两条直线m,n，两个平面α,β，给出下面四个命题：①m//n,m⊥α⇒n⊥α②α//β,m⊂α,n⊂β⇒m//n③m//n,m//α⇒n//α④α//β,m//n,m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③5．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（）A．BC．D26．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为.7．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是．（第6题图）（第7题图）8．已知∆ABC所在平面外一点P到∆ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是∆ABC的。
第二章 线面平行与垂直判定证明 习题
• 高考重在考查数学中普遍运用的常规方法，侧重通性通法，适当淡化技 巧；不要为解题而解题，要学会举一反三；由一题带动多题，要从不同 角度思考问题，当不满足已有的解法时，从其他角度考虑，这种做法对 解决难题尤其有好处． 解题时，弄清各概念之间的包含关系，理清定 理的来龙去脉，从条件、结论和使用范围上去比较容易混淆的各个定理， 从内涵和外延上比较容易混淆的各个概念，注重化归、转化思想，掌握 常见的化归转化方法，如：立几问题向平面问题转化，符号语言、文字 语言、图形语言的相互转化等；注重模型化方法和整体考虑问题、处理 问题的方法，如有时把形体纳入不同的几何背景之中，从而宏观上把握 形体，巧妙地解决问题． 要把握常见图形及常见题型，关注新题型的 考查，比如：存在性问题、与代数结合的最值问题等等． 对于一些特 殊的技巧要能理解并灵活运用，比如求线面角时，可能转化为斜线段外 端点到平面的距离与斜线段的长度的比得线面角的正弦值；距离问题可 以用等体积法转化，用这种方法能简化作图、证明与计算的过程．
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点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不可确定，往 往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。
1.在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的各面 的对角线的条数是 。
• 2.如图，ABCD为正方形，SA垂直ABCD所在的平面，过A
且垂直SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G。求证：
中，AB=AD=1，
• 7.S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC, 平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.
S
A
C B
• 8.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD， ∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点． 求证：(1)直线EF∥平面 PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD. •
线面、面面平行、垂直例题
¤学习目旳：以立体几何旳定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面平行旳鉴定,掌握直线与平面平行鉴定定理,掌握转化思想“线线平行⇒线面平行”. ¤知识要点:1. 定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.2. 鉴定定理:平面外旳一条直线与此平面内旳一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表达为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒． 图形如右图所示. ¤例题精讲：【例1】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,Ｅ、F 分别为AB 、PD 旳中点,求证:AF ∥平面PEC【例2】在正方体ＡB ＣD -A 1B 1Ｃ１D 1中,E 、Ｆ分别为棱BC 、C 1D １旳中点． 求证:EF ∥平面ＢＢ１Ｄ１D.【例３】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别是AB 、PC 旳中点（1)求证:ＭN //平面PA Ｄ；(２）若4MN BC ==，43PA =,求异面直线PA 与MN 所成旳角旳大小． ．¤学习目旳：以立体几何旳定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中面面平行旳鉴定,掌握两个平面平行旳鉴定定理与应用及转化旳思想.¤知识要点:面面平行鉴定定理：如果一种平面内有两条相交直线都平行于另一种平面，那么这两个平面平行.用符号表达为：,,////,//a b ab P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭. ¤例题精讲:【例1】如右图，在正方体A ＢC Ｄ—A 1B 1Ｃ1D １中,Ｍ、N 、Ｐ分别是C 1C 、B １Ｃ1、C １Ｄ1旳中点,求证:平面ＭＮP ∥平面A 1B Ｄ.．【例２】已知四棱锥P －A ＢCD 中， 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在ＰA 、BD 、P Ｄ上， 且PM ：ＭＡ=BN ：ND ＝PQ ：ＱD .求证：平面MNQ ∥平面P ＢC .第14讲 §2.２.3 直线与平面平行旳性质¤学习目旳:通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面平行旳性质,掌握直线和平面平行旳性质定理，灵活运用线面平行旳鉴定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行旳转化.NM P DCQB A¤知识要点:线面平行旳性质：如果一条直线和一种平面平行，通过这条直线旳平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭. ¤例题精讲:【例１】通过正方体ABCD -Ａ1B 1C 1D 1旳棱ＢB 1作一平面交平面AA １D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥Ｂ1B【例2】如右图，平行四边形EFG Ｈ旳分别在空间四边形AB ＣD 各边上,求证:BD ／/平面ＥＦG Ｈ.第１5讲 §2.2.4 平面与平面平行旳性质¤学习目旳：通过直观感知、操作确认、思辨论证，结识和理解空间中面面平行旳性质，掌握面面平行旳性质定理,灵活运用面面平行旳鉴定定理和性质定理,掌握“线线”“线面”“面面”平行旳转化. ¤知识要点:1. 面面平行旳性质:如果两个平行平面同步与第三个平面相交，那么它们旳交线平行. 用符号语言表达为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒.2． 其他性质:①//,//l l αβαβ⊂⇒； ②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；βaαb③夹在平行平面间旳平行线段相等. ¤例题精讲:【例1】如图，设平面α∥平面β，A Ｂ、C Ｄ是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 旳中点，且A 、Ｃ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN ∥α.【例4】如图,已知正方体1111ABCD A B C D -中,面对角线1AB ，1BC 上分别有两点Ｅ、F ，且11B E C F =. 求证：ＥF ∥平面ＡＢCD ．第16讲 §2.３.1 直线与平面垂直旳鉴定¤学习目旳:以立体几何旳定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面垂直旳鉴定,掌握直线与平面垂直旳定义，理解直线与平面垂直旳鉴定定理,并会用定义和鉴定定理证明直线与平面垂直旳关系. 掌握线面角旳定义及求解． ¤知识要点:1. 定义:如果直线l 与平面α内旳任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直,记作l α⊥. l －平面α旳垂线,α－直线l 旳垂面,它们旳唯一公共点P 叫做垂足．（线线垂直→线面垂直）２. 鉴定定理:一条直线与一种平面内旳两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面GNMFEEC DBAD 1C 1B 1A 1βαEN MDBCA垂直. 符号语言表达为：若l ⊥m ,l ⊥n ,m ∩n =B ，m α,nα，则l ⊥α３. 斜线和平面所成旳角，简称“线面角”，它是平面旳斜线和它在平面内旳射影旳夹角. 求直线和平面所成旳角,几何法一般先定斜足，再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证(证所作为所求)→求（解直角三角形）”. 一般，通过斜线上某个特殊点作出平面旳垂线段,垂足和斜足旳连线是产生线面角旳核心． ¤例题精讲：【例1】四周体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 旳中点,且22EF AC =,90BDC ∠=,求证:BD ⊥平面ACD ．【例２】已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ,2AB =，4PA AD ==，E 为BC 旳中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；(2）求直线DP 与平面PAE 所成旳角．【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，,PO ⊥平面AB Ｃ,垂足为O ,求证：O 为底面△ＡBC 旳垂心.第１7讲 §２．3.2 平面与平面垂直旳鉴定¤学习目旳：通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中面面垂直旳鉴BD CAE FG定,掌握二面角和两个平面垂直旳定义，理解平面与平面垂直旳鉴定定理并会用鉴定定理证明平面与平面垂直旳关系，会用所学知识求两平面所成旳二面角旳平面角旳大小.¤知识要点:１. 定义:从一条直线出发旳两个半平面所构成旳图形叫二面角(dihedral a ｎgl ｅ）. 这条直线叫做二面角旳棱,这两个半平面叫做二面角旳面． 记作二面角AB αβ－－． (简记P AB Q －－）2. 二面角旳平面角：在二面角l αβ－－旳棱l 上任取一点O ,以点O 为垂足,在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 旳射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 构成旳AOB ∠叫做二面角旳平面角． 范畴：0180θ︒<<︒.3. 定义:两个平面相交,如果它们所成旳二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.4. 鉴定:一种平面过另一种平面旳垂线,则这两个平面垂直. (线面垂直→面面垂直) ¤例题精讲:【例1】已知正方形ABC Ｄ旳边长为1，分别取边ＢC 、CD 旳中点E 、F ，连结AE 、ＥＦ、A Ｆ,以A Ｅ、EF 、ＦＡ为折痕，折叠使点B 、C 、D 重叠于一点P ．（1）求证：A Ｐ⊥EF ；(2)求证:平面ＡPE ⊥平面APF .【例2】如图, 在空间四边形A ＢCD 中,,,AB BC CD DA ==,,E F G分别是,,CD DA AC 旳中点，求证:平面BEF ⊥平面BGD .【例３】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 旳中点，求证：1A BD BED ⊥平面平面．第18讲 §2.３.3 线面、面面垂直旳性质¤学习目旳:通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面、面面垂直旳有关性质,掌握两个性质定理及定理旳应用. ¤知识要点:１. 线面垂直性质定理:垂直于同一种平面旳两条直线平行． (线面垂直→线线平行) ２． 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一种平面内垂直于交线旳直线与另一种平面垂直. 用符号语言表达为:若αβ⊥,l αβ=，a α⊂，a l ⊥,则a β⊥．（面面垂直→线面垂直) ¤例题精讲：【例1】如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 旳菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． (1）若G 为AD 旳中点,求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证:AD PB ⊥；(３)求二面角A BC P --旳大小．【例２】如图，已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==，E 是AB 旳中点。
高考中线线,线面,面面的平行与垂直关系专题
直线与直线平行 (1)平行直线与平面平行 平面与平面平行 直线与直线垂直 (2)垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直
考向三 平行与垂直关系的综合应用 【例3】►如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点 E、F分别是AB、BD的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD. [审题视点] EFC. 第(1)问需证明EF∥AD；第或b⊂α，故A错误；由面面平行 的判定定理知，B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故C 错误． 答案 D
4．(2012· 温州模拟)已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个 不同的平面，则下列命题中正确的是( A．m∥n，m⊥α⇒n⊥α B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β )．
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 错因 实录 受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况． 甲同学：A 乙同学：C 丙同学：D.
3．(2012· 银川质检)在空间中，下列命题正确的是( A．若a∥α，b∥a，则b∥α B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α C．若α∥β，b∥α，则b∥β D．若α∥β，a⊂α，则a∥β
考向三 利用向量求二面角 【例3】►(2011· 全国新课标)如图，四棱锥PABCD中，底面 ABCD为平行四边形，∠DAB＝60° ，AB＝2AD，PD⊥底面 ABCD. (1)证明：PA⊥BD； (2)若PD＝AD，求二面角APBC的余弦值． [审题视点] 会判断法向量的方向，找准向量夹角与二面角是
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线面平行与垂直的证明1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.
（1）求证：AC⊥平面B1BDD1；
（2）求三棱锥B-ACB1体积．
2：如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面BDE．
D1
C1
B1
A1
C
D
B
A
3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，2
1
AD ． （Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明：平面SBC ⊥平面SCD .
4：已知多面体ABCDFE 中， 四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，平面ABEF ⊥平面ABCD ， O 、M 分别为AB 、FC 的中点，且AB = 2，AD = EF = 1. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面FBC ； （Ⅱ）求证：OM ∥平面DAF .
5：．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是P C的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；
6：已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且
AM=FN.
C
求证：MN ‖平面BCE.
7：如图，正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求证：直线//1B A 平面1ACD （2）求证：平面1ACD ⊥平面D BD 1；
8：如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，
求证：(1) FD∥平面ABC (2) AF⊥平面EDB.
9：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点，
（1）求证：平面A B1D1∥平面EFG;
（2）求证：平面AA1C⊥面EFG.
10：如图，PC AB N M ABCD PA 、分别是、所在的平面，矩形⊥的中点. （1）求证：PAD MN 平面//；（2）求证：CD MN ⊥；
11：如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， 求证：⑴ AC ⊥平面B 1D 1DB;
⑵ 求证：BD 1⊥平面ACB 1 ⑶ 求三棱锥B-ACB 1体
N
M
P
D
C
B
A
D 1
C 1
B 1
A 1
C
D
B
A
积．
P
形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE.
13：在三棱锥S ABC -中，已知点D 、E 、F 分别为棱AC 、
SA 、SC 的中点. ①求证：EF ∥平面ABC .
②若SA SC =，BA BC =，求证：平面SBD ⊥平面ABC .
14：如图, 已知正三角形PAD , 正方形ABCD ,
平面PAD ⊥平面ABCD , E 为PD 的中点.
（Ⅰ）求证：CD AE ⊥; （Ⅱ）求证：AE ⊥平面PCD .
B
15：四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M N 、分别是
AB PC 、的中点，PA AO a ==．
（1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：平面PMC ⊥平面PCD ． （自己画图）
16：如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，
AB BC ⊥， D 、E 分别是AB 、PB 的中点.
（1）求证：DE ∥平面PAC ；（2）求证：AB ⊥PB ；
17：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点.
(1)求证：AC 1∥平面B 1CD ； (2)求二面角B －B 1C －D 的正弦值.
A
C
P
B
D
E
18：已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使DE⊥EC.
(1)求证：BC⊥平面CDE；
(2)求证：FG∥平面BCD；
(3)求四棱锥D－ABCE的体积.
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