静电场的基本方程微分形式积分形式物理意义

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习题课场与波

2.13 （均匀面电荷分布）求电场强度。（求两球壳间电压U）。解： (1)r < a : E = 0
ρ s1 a 2 ρ s1a 2 a < r < b : 4πr ε 0 Er = 4πa ρ s1 , Er = , E = er 2 ε 0r ε 0r 2
2 2
r > b : 4πr 2ε 0 Er = 4π a 2 ρ s1 + b 2 ρ s 2
r
(
)
8πb 5 Q = ∫ ρdτ = ∫ b − r ⋅ 4πr dr = 0 τ 15 2b 5 2 D2 ⋅ 4πr = Q, D2 = 15r 2 2b 5 2b 5 E2 = , E 2 = er 2 15ε 0 r 15ε 0 r 2
b
(
2
2
)
2
*2.12 （两种媒质分界面）求电场强度、面电荷密度、电容。解： D1 = D1n = D2 n = D2 = D
I 1 1 U = ∫ Er dr = − a 4πσ a b U σabU Jr = = 1 1 1 2 (b − a )r 2 − r σ a b I 4πσ 4πσab G= = = U 1 1 b−a − a b
b
3、恒定磁场求解（求磁场强度、磁通、磁场能量、电感） 2.31 求磁通。（求互感）。解： (1)B = µ 0 I , φ = BdS = µ 0 I ∫S 2πx 2π
2.8 （电荷非均匀分布）求球内外任意一点的电场强度。解：
(1)0 ≤ r ≤ b :
1 1 Q = ∫ ρdτ = ∫ b 2 − r 2 ⋅ 4πr 2 dr = 4π b 2 r 3 − r 5 0 τ 5 3 1 1 D1 ⋅ 4πr 2 = Q, D1 = b 2 r − r 3 3 5 1 1 1 1 1 1 E1 = b 2 r − r 3 , E1 = e r b 2 r − r 3 5 5 ε0 3 ε0 3 (2)r ≥ b :

第2章静电场

“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义：它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明：任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量；电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明：静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量；可以直接运用散度方程求解；仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则；积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区；电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2

总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)

静电场分析

电位确定值(电位差)
两点间电位差有定值
选择电位参考点的原则: 应使电位表达式有意义应使电位表达式最简单同一个问题只能有一个参考点电位参考点电位一般为0；
二、电位函数的求解
中国矿业大学
点电荷的电位
v E
q
40r 2
evr
vQ
Q v v P' Q v v
S
Ev(rv)g(4
r2
evr)0
Q
0
v E
Q
4 0 r 2
evr
r
Ñ 在球内区域：ra
Q 3Q
Ev(rv)gdSv
V 4 a3 S
Q
0
Ev(rv)g(4 r2
v E
Qr
4 0 a3
evr ) evr
4 r3
3
0
3.2 电位函数
中国矿业大学
一、电位函数与电位差
电位函数
v
E 0
中国矿业大学
补充内容：利用高斯定理求解静电场
Ñ Ev(rv)gdSv 1 (rv)dV Q
S
0 V
0
求解的关键：高斯面的选择。
高斯面的选择原则：
1）场点位于高斯面上；
2）高斯面为闭合面；
3）在整个或分段高斯面上，Ev
或
vv EgdS
为恒定值。
只有当电荷呈某种对称分布时才可能满足以上原则，因此用
中国矿业大学
真空中静电场性质小结：
微分形式
积分形式
gEv(rv) (rv)
Ev(rv)
0
0
ÑS Ev(rv)gdSv
ÑC
Ev(rv)
0
Q
0
静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。

第3章恒定电场(3) 恒定电场的基本方程

一、电流连续性方程二、恒定电场的基本方程三、导电媒质内的体积电荷
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数（只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
21
因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。

2014年电磁场与电磁波复习资料 (1)

一、名词解释1.通量、散度、高斯散度定理通量：矢量穿过曲面的矢量线总数。

（矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负）散度：矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。

高斯散度定理：任意矢量函数A的散度在场中任意一个体积内的体积分，等于该矢量函在限定该体积的闭合面的法线分量沿闭合面的面积分。

2.环量、旋度、斯托克斯定理环量：矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分称为矢量A沿闭合曲线l的环量。

其物理意义随A所代表的场而定，当A为电场强度时，其环量是围绕闭合路径的电动势；在重力场中，环量是重力所做的功。

旋度：面元与所指矢量场f之矢量积对一个闭合面S的积分除以该闭合面所包容的体积之商，当该体积所有尺寸趋于无穷小时极限的一个矢量。

斯托克斯定理:一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分。

3.亥姆霍兹定理在有限区域V内的任一矢量场，由他的散度，旋度和边界条件（即限定区域V的闭合面S上矢量场的分布）唯一的确定。

说明的问题是要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其散度和旋度4.电场力、磁场力、洛仑兹力电场力：电场对电荷的作用称为电场力。

磁场力：运动的电荷，即电流之间的作用力，称为磁场力。

洛伦兹力：电场力与磁场力的合力称为洛伦兹力。

5.电偶极子、磁偶极子电偶极子：一对极性相反但非常靠近的等量电荷称为电偶极子。

磁偶极子：尺寸远远小于回路与场点之间距离的小电流回路（电流环）称为磁偶极子。

6.传导电流、位移电流传导电流：自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成的电流。

位移电流：电场的变化引起电介质内部的电量变化而产生的电流。

7.全电流定律、电流连续性方程全电流定律（电流连续性原理）：任意一个闭合回线上的总磁压等于被这个闭合回线所包围的面内穿过的全部电流的代数和。

电流连续性方程：8.电介质的极化、极化矢量电介质的极化：把一块电介质放入电场中，它会受到电场的作用，其分子或原子内的正，负电荷将在电场力的作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成一个个小电偶极子，这种现象称为电介质的极化。

电磁场理论基础试题集

电磁场理论基础习题集（说明：加重的符号和上标有箭头的符号都表示矢量）一、填空题1.矢量场的散度定理为(1)，斯托克斯定理为(2)。

【知识点】：1.2 【难易度】：C 【参考分】：3【答案】：（1）()∫∫⋅=⋅∇SS d A d A v v v ττ （2）()S d A l d A SCvv v v ⋅×∇=⋅∫∫2.矢量场A v满足(1)时，可用一个标量场的梯度表示。

【知识点】：1.4 【难易度】：C 【参考分】：1.5【答案】：(1) 0=×∇A v 3.真空中静电场的基本方程的积分形式为(1)，(2)，微分形式为(3),(4)。

【知识点】：3.2 【难易度】：B【参考分】：6【答案】：(1) 0=⋅∫c l d E v v (2) ∑∫=⋅q S d D Sv v 0(3) 0=×∇E v (4)()r D vv ρ=⋅∇04.电位移矢量D v 、极化强度P v 和电场强度E v满足关系(1)。

【知识点】：3.6 【难易度】：B【参考分】：1.5【答案】：(1) P E P D D vv v v v +=+=00ε 5.有面电流s 的不同介质分界面上，恒定磁场的边界条件为(1),(2)。

【知识点】：3.8 【难易度】：B【参考分】：3【答案】：(1) ()021=−⋅B B n v v v (2) ()s J H H n v v vv =−×21 6.焦耳定律的微分形式为(1)。

【知识点】：3.8 【难易度】：B 【参考分】：1.5【答案】：(1) 2E E J p γ=⋅=v v 7.磁场能量密度=m w (1)，区域V中的总磁场能量为=m W (2)。

【知识点】：5.9 【难易度】：B 【参考分】：3【答案】：(1) 221H μ (2) ∫Vd H τμ2218.理想导体中，时变电磁场的=(1)，=(2) 。

【知识点】：6.1 【难易度】：A 【参考分】：3【答案】：(1)0 (2)0 9.理想介质中，电磁波的传播速度由(1)决定，速度=v (2)。

电磁场与电磁波简答题及答案试题库

电磁场与电磁波简答题及答案试题库1. 写出⾮限定情况下麦克斯韦⽅程组的微分形式，并简要说明其物理意义。

2.答⾮限定情况下麦克斯韦⽅程组的微分形式为,,0,D BH J E B D t tρ=+??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。

1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界⾯时的边界条件。

2. 时变场的⼀般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。

(或⽮量式2n D σ= 、20n E ?=、2s n H J ?=、20n B = )1. 写出⽮量位、动态⽮量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。

2. 答⽮量位,0B A A == ；动态⽮量位A E t ??=-?-? 或AE t ??+=-??。

库仑规范与洛仑兹规范的作⽤都是限制A 的散度，从⽽使A的取值具有唯⼀性；库仑规范⽤在静态场，洛仑兹规范⽤在时变场。

1. 简述穿过闭合曲⾯的通量及其物理定义2.sA ds φ=是⽮量A 穿过闭合曲⾯S 的通量或发散量。

若Ф>0，流出S ⾯的通量⼤于流⼊的通量，即通量由S ⾯内向外扩散，说明S ⾯内有正源若Ф< 0，则流⼊S ⾯的通量⼤于流出的通量，即通量向S ⾯内汇集，说明S ⾯内有负源。

若Ф=0，则流⼊S ⾯的通量等于流出的通量，说明S ⾯内⽆源。

1. 证明位置⽮量x y z r e x e y e z =++的散度，并由此说明⽮量场的散度与坐标的选择⽆关。

2. 证明在直⾓坐标系⾥计算，则有()()xy z x y z r r e e e e x e y e z xy z =++?++ ??????3x y zx y z=++= 若在球坐标系⾥计算，则 23==??由此说明了⽮量场的散度与坐标的选择⽆关。

电磁场选择题

填空题：1. 设某螺旋管通有直流I 时的自感为L ，当通有电流2I 时，其自感为 L 。

2. 矩形波导填充 6.25r ε=的理想介质，波导尺寸5025a b mm mm ⨯=⨯。

若要求只传输10TE 模，工作波长0λ的范围为。

050100mm mm λ<<3. 已知一平面波的电场强度(34)ˆˆˆ(453)o jk x z x y z E aj a a e --=++，该平面波的传播方向上的单位矢量ˆn a=(0.6,0,0.8)-，极化方式为右旋圆极化。

4. 一个由理想非均匀媒质填充的有限封闭区域被外加均匀电场所极化，则在该区域内部出现的与束缚体电荷密度p ρ对应的束缚体电荷p Q 和与束缚面电荷密度ps ρ对应的束缚面电荷ps Q 之间满足的关系是 0p ps Q Q +=，因为ˆ()()0nVSP dV aP dS -∇+=⎰⎰（填相关公式）。

1．麦克斯韦方程中包括了三个实验定律,它们分别为: 库伦定律、安培定律和法拉第电磁感应定律。

2．在研究静电场时，可以引入电位函数的原因是：0E ∇⨯=（或静电场是无旋场或静电场是保守场）。

3．无源场中麦克斯韦方程组的积分形式为：B E dS c sdl t ∂⋅=-⋅⎰⎰∂ 、DH dS c s dl t∂⋅=⋅⎰⎰∂ 、0S D dS ⋅=⎰ 、B 0s dS ⋅=⎰。

4. 麦克斯韦方程的微分形式中，说明存在电磁波的方程为：BE t∂∇⨯=-∂， D H J t∂∇⨯=+∂ 5. 在时变场中位移电流密度为：J d Dt∂=∂；它与磁场的关系为:J d H J ∇⨯=+;位移电流的物理含义为: 时变电场产生时变磁场.6. 联系着一个矢量场A()r 的散度和通量关系的定理叫：高斯（散度）定理，其关系式为：d d V S A V A S ∇=⎰⎰；另外联系着A()r 的旋度和环流关系的定理叫：斯托克斯定理，其关系式为：A A l SCdS d ∇⨯=⎰⎰7. 在圆柱坐标中有一电场矢量E Ae Ae ρφ=+，其中A 为常数，E 是常矢量吗？不是。

静电场的标势及其微分方程

介质的电磁性质方程：Dv
v E
2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
1、静电场的标势
静电场的Maxwell方程为：
v
D
v E 0
自由电荷分布
是电位移
v D
的源
静电场是无旋场
➢静电场的无旋性表明电场沿任意闭合回路L的环量等于零
vv
Ñ L E dl 0
蜒 v v v v
E dl E dl 0
v D
vv
对于各向同性线性均匀介质有： D E
v E
v
E
2
Poisson方程，静电势满足的基本微分方程
7
讨论： (1) Poisson方程的求解，必须给定边界条件。
2
(2) 若介质为不同类型的均匀介质组成，则对于每种介质，建立 Poisson方程，而在介质分界面上建立合适的边值关系以及边界条件。
➢ 导体内部不带净电荷，净电荷只能分布于导体表面上
由高斯定理
S E dS
q
0
可知，q=0
➢ 导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为等势面，整
个导体为等势体
由
v E
可知，
为常量，因而是等势体；如果导体表面上的电场
不沿法线方向，则必有切向分量，因而电荷将沿切线方向移动
11
3）导体表面的边值关系
2 S12 常数
静电场
静电场的基本特点：
电荷静止
v J
vv
0
场量不随时间变化物理量 =0
t
静电场的基本问题：
给定自由电荷的分布，以及周围空间介质或导体的分布，运用电磁场理论求解带电体系的电场。
1
解决静电问题的基本方程：

电动力学复习题库02(修改)

三、简答题1. 电磁场理论赖以建立的重要实验及其重要意义。

2. 静电场能量公式12e W dV ρϕ=⎰、静磁场能量公式12m W J AdV =⋅⎰的适用条件。

3.静电场能量可以表示为12e W dV ρϕ=⎰，在非恒定情况下，场的总能量也能这样完全通过电荷或电流分布表示出来吗为什么4. 写出真空中Maxewll 方程组的微分形式和积分形式，并简述各个式子的物理意义。

5. 写出线性均匀各向同性介质中麦克斯韦方程微分形式和积分形式，其简述其物理意义。

6.电象法及其理论依据。

答：镜像法的理论基础（理论依据）是唯一性定理。

其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的“像电荷”代替真实的导体上的感应电荷或介质中的极化电荷对场点的作用。

在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所处的位置由Poisson 方程和边界条件决定。

7. 引入磁标势的条件和方法。

|答：在某区域内能够引入磁标势的条件是该区域内的任何回路都不被电流所链环，就是说该区域是没有自由电流分布的单连通区域。

若对于求解区域内的任何闭合回路，都有则引入φm ， 8. 真空中电磁场的能量密度和动量密度，并简述它们在真空中平面电磁波情况下分别与能流密度及动量流密度间的关系。

9. 真空中和均匀良导体中定态电磁波的一般形式及其两者的差别。

10. 比较库仑规范与洛伦兹规范。

11.$12.分别写出在洛仑兹规范和库仑规范下电磁场标势矢势所满足的波动方程，试比较它们的特点。

13. 写出推迟势，并解释其物理意义。

答：推迟势的物理意义：推迟势说明电荷产生的物理作用不能立刻传至场点, 而是在较晚的时刻才传到场点, 所推迟的时间r /c 正是电磁作用从源点x ’传至场点x 所需的时间, c 是电磁作用的传播速度。

14. 解释什么是电磁场的规范变换和规范不变性答：设ψ为任意时空函数，作变换ψ∇+='→A A A ，t∂∂-='→ψϕϕϕ /有B A A =⨯∇='⨯∇，E tAt A =∂∂--∇=∂'∂-'∇-ϕϕ,0d =⋅⎰Ll H 0=⨯∇H mH ϕ-∇=V rc r t t '-'=⎰d )/,(4),(0x J x Απμ即()ϕ'',A 与()ϕ,A 描述同一电磁场。

静电场的标势及其微分方程

于标势梯度的模长，即$F = |mathbf{nabla} varphi|$。
03
电场分布
通过求解拉普拉斯方程可以得到静电场的分布情况，进而得到电场中各
点的电场强度和电势。
03
静电场的微分方程
微分方程的推导
通过高斯定理和库仑定律推导得到静电场的微分方程。
高斯定理表明，在静电场中，穿过任意闭合曲面的电场线数等于该闭合曲面所包围的
边界条件的物理意义
01
边界条件的物理意义在于限制静电场中电荷分布的可能性和标势函数的取值范围。
02
Dirichlet边界条件限制了标势函数在边界上的取值，而
Neumann边界条件限制了电荷分布的允许范围。
这些限制条件对于确定静电场的分布和性质具有重要意义。
03
05
静电场的标势的应用
在电场力分析中的应用
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在推导过程中，利用了静电场的无源性和有界性，以及标势函数的定义和性质。
边界条件的形式
边界条件的形式包括Dirichlet边界条件和Neumann边界条件，分别表示标势函数在边界上的值和法向导数的值。
Dirichlet边界条件要求标势函数在边界上取特定值，而Neumann边界条件要求标势函数的法向导数在边界上取特定值。
线性性
电场强度与产生电场的电荷量成正比，与距离的平方成反比，满足线性关系。
环路定理
电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零，说明静电场是无旋场。
02
静电场的标势
标势的定义
标势
在静电场中，如果一个标量函数$varphi(mathbf{r})$满足拉普拉斯方程 $nabla^2varphi = 0$，并且满足一定的边界条件，则称其为静电场的标势。

静电场4

例若真空中电荷q均匀分布在半径为a的球体内，计算电场能量。
解：用高斯定理可以得到电场为
E E
qr 4 0 a q 4 0 r 3
3
(r<a)
(r<a)
所以
1 We 0 E 2 dV 2 V 1 q 0 4 2 0 3q 2 20 0a
–微分形式说明：
• 静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
旋度方程：
E 0
E dl 0
C
微分形式积分形式
• 物理意义：
– 它们说明静电场是一种保守场。 – 积分形式说明：电场力做功的大小与路径无关。 – 微分形式说明：静电场没有旋度源；
高斯定理
积分形式微分形式
内、外导体间的电压为
U E dr E1 dr E2 dr
a a r0
b
r0
b
l 2
1 b 1 r0 1n 1n r0 1 a 2
因此，单位长度的电容为
C
l
U

2
b 1 r0 1n 1n 2 r0 1 b
Q E dS
D dS q
s
S

E

D
利用物质特征方程
D E
1 4 0 9 109
1 0 8.85 1012 ( F / m) 4 9 109
例1 ：已知场求源，书例2.3（球坐标系）解：真空中高斯定理的微分形式 E ，得电荷密度为
l E e (V / m) 2
则两导体间的电位差
a b U

电磁场与电磁波习题及答案

11 麦克斯韦I 方程组.的微分形式是：J . H =J JD,\ E = _。

「|_B =0,七出=：2静电场的基本方程积分形式为：性£虏=03理想导体（设为媒质 2）与空气（设为媒质 1）分界面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。

6电位满足的泊松方程为；在两种完纯介质分界面上电位满足的边界。

7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理论依据是。

8.电场强度E Aj 单位是,电位移D t 勺单位是。

9.静电场的两个基本方程的微分形式为“黑E =0 Q D = P ； 10.—个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用1 .在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A,并令冒=%，的依据是（c.V 值=0）2 . “某处的电位中=0,则该处的电场强度 E=0的说法是（错误的）。

3 .自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a ,线间距为D ,则传输线单位长度的电容为4 .点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2）。

5 . N 个导体组成的系统的能量 W =1£ q * ,其中e i 2 t i i 是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。

6 .为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J,其国际单位为（a/m2 ）7 .应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。

8 .如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零）。

9 .真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（ 1/r2 ）。

10.半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于（整个空间）。

三、海水的电导率为 4S/m,相对介电常数为 81,求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为：E = e x E m cos t则位移电流密度为：J d =— = -ex ：-. ■ 0 r E m Sin t；t其振幅彳1为：J dm = 网 5E m = 4.5X10- E m 传导电流的振幅值为： J cm -二- E m = 4E m 因此：Jm =1.125/0J -cm四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。

2.1 静电场基本方程

对点电荷电场的旋度方程积分形式书上有证对于多个电荷或者任意电荷分布所形成的电场根据电场叠加原理或者电场力做功叠加的原理不难证明旋度方程的积分形式
2.1 静电场的基本方程
散度方程旋度方程物质本征方程
电磁场与电磁波
1
☆ 先认识一下这些方程
积分形式 1. 真空中的高斯定理散度方程微分形式
D dS q
E ? D 0E ?
电磁场与电磁波
8
方法二：静电场的基本方程 1 2 (r ) 场点在球内 D 2 (r D) ＝场点在球外 r r 0 注意“边界条件”——微分方程定常数！
r＝a时，…… r＝∞时，…… 边界条件将在后文学到
电磁场与电磁波
微分形式说明：
静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
电磁场与电磁波
7
例1. 求电位移
已知:真空中半径为a的球形区域内,电荷分布的按照某个体密度分布, (r ) 0 (1 r 2 / a 2 ) 求电通量密度. 分析：
“球体”——“对称性”——球座标！要分“球内”、“球外”分别计算！
方法一：Electrostatic Gauss’s Law
S S
E dS E R dS E R ( 4r )
S 2
r 2
1 E dS
0 V
dV
? 场点在球内 r a dV (r ) (4R )dR 0 ? 场点在球外 r a V
请注意：此处的 q 是指自由电荷qf ！！！详细证明过程从略。详见书：P25－26 ?????
证明要点： 1. 仅一个电荷时，证明… 2. 多个电荷时，“叠加原理” 3. 任意曲面上求积分时，“立体角”

静电场第3章静电场分析

第3章静电场分析以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场(包括恒定电场) 的特性和求解方法。

建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程，以及电介质的特性方程，将静电场的求解归结为电位问题的求解。

导出泊松方程和拉普拉斯方程，确立电场的边界条件。

介绍电容的计算，电场能量及静电力的计算。

§1 真空中静电场的基本方程由静止电荷形成的电场称为静电场。

一、静电场分析的基本变量1、场源变量—电荷体密度ρ(r )是一种标量性质的源变量，因而静电场是一种有散度的矢量场。

2、场变量（1）电场强度矢量E (r )表示电场对带电质点产生作用的能力。

（2）电位移矢量D (r )反映电介质内存在电场时，电介质内的束缚电荷在电场作用下出现的位移现象。

（3）电流密度矢量J (r )反映物质内存在电场时，构成物质的带电粒子在电场强度的作用下出现运动或移动。

3、本构关系D=εEJ=εE二、真空中静电场的基本方程1、电场的散度—高斯定理（1）定理内容在静电场中，电位移矢量D 0穿过任意闭合曲面S 的通量等于曲面S 所包围的总电荷。

D ?dS=积分形式?0S?ρd ττD=ρ微分形式0（2）物理意义静电场是有源场，是有散场。

（3）定理证明立体角概念一面积元对dS 对一点O 张的立体角dS ?e r R2d Ω==d S cos θR2闭合曲面对面内一点O 所张的立体角因为闭合曲面的外法线为正。

所以整个积分区域θπ2，即，cos θ>0，所以d S ?e r R2πΩ=?=?R122πR sin θd θ=4π2闭合曲面对面外一点O 所张的立体角此时在整个积分区域中有一半是θc o s θπ2，即c o s θ>0。

而另一半是θ>π2，即。

电磁场与电磁波(第三章)静电场分析

P
电位参考点不能位于无穷远点。
取r=1柱面为电位参考面，即 rQ 1得：
P

l 20
ln rP
无限长线电荷的电位
3、体分电布荷电：荷体(系rv)在空间1中产生的(rv电')d位V c
4 0
面电荷： (rv) 1
V sR(rv')dS c
4 0
线电荷： (rv) 1
SR
l (rv')dV c
式中：
R

rv

4 rv'

0
l
R
若参考点在无穷远处，c=0。
引入电位函数的意义：简化电场的求解！
v
E
四、例题例题一例题二
例题一求电偶极子pv qlv在空间中产生的电位和电场。
分析：电偶极子定义
先求解空间电位，再求电场 q
(2
cos
evr

sin
ev
)
例题二
求半径为a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和
电场强度。
解：在面电荷上取一面元 ds
如图所示。
z P(0,0, z)
dr
v
R
d dq 4 0 R
y
r
a
s r 'dr 'd '
x
40 R
R (z2 r '2 )1/ 2
2 a
uv v Q p ql
uv v

P

pgr
4 0 r 3
v
E

(
r
evr

电动力学内容简介

电动力学内容简介The Summery of Contents in Electrodynamics电动力学：研究电磁场的基本属性、运动规律、与带电物质的相互作用。

1．场：物理量在空间或一部分空间的分布。

通过对电磁场的研究加深对场的理解。

场是一种物质，有其特殊的运动规律和物质属性，但是又是一种特殊的物质它可以与其他物质共同占有一个空间（存在形式的特点）。

有关电磁场的概念是有法拉第提出的，麦克斯韦进一步完善。

一个很核心的问题：“物质能不能在它们不存在的地方发生相互作用” “实验证实超距作用的不正确”所以说场的引入可以说正是解释了这一问题。

电磁场作为电磁现象的共性所引入的2．如何研究电磁场所对应的物理量()(),,,,,,,E x y z t B x y z t ：从理论上和实验上证明了是必需的也是最基本的。

3．电磁学和电动力学的区别：（学过了数学物理方法）就像中学中的电与磁的现象与电磁学的区别在于学了微积分一样。

电磁学：麦克斯韦方程组：只有积分的形式只是作为最后的结果并没有给出应用。

求解静电场的问题：库伦定理+积分、高斯定理、已知电势求电场电动力学：麦克斯韦方程组：不仅有积分形式而且还有位分形式，先结果再应用。

求解静电场的问题：分离变量法、镜像法、格林函数法4．本书的主要结构：⎧⎧→⎨⎪⎪⎩→⎨⎧⎪→⎨⎪⎩⎩第二章静电场静第三章静磁场第一章电磁现象的普遍规律第四章电磁场的的传播动第五章电磁场的发射第六章相对论第一章电磁现象的普遍规律Universal Law of Electromagnetic Phenomenon本章将从基本的电磁实验定律出发建立真空中的Maxwell’s equations 。

并从微观角度论证了存在介质时的Maxwell’s equations 的形式及其电磁性质的本构关系。

继而给出Maxwell’s equat ions 在边界上的形式，及其电磁场的能量和能流，最后讨论Maxwell’s equations 的自洽性和完备性。