高2018届绵阳三诊数学理科试题及参考答案(word纠错版)

绵阳市高2015级第三次诊断性考试数学(理工类)

参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

ABBCC ACBDD BA

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．16 14．2 15．81256π 16．325+ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（Ⅰ）由已知a 1a n =S 1+S n ，可得

当n =1时，a 12=a 1+a 1，可解得a 1=0，或a 1=2， ……………………………1分 当n ≥2时，由已知可得a 1a n -1=S 1+S n -1，

两式相减得a 1(a n -a n -1)=a n ．……………………………………………………3分 若a 1=0，则a n =0，此时数列{a n }的通项公式为a n =0． ……………………4分 若a 1=2，则2(a n -a n -1)=a n ，化简得a n =2a n -1，

即此时数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．

∴ 综上所述，数列{a n }的通项公式为a n =0或a n =2n ．………………………6分 （Ⅱ）因为a n >0，故a n =2n ．

设b n =32

log 2n a ，则b n =n -5，显然{b n }是等差数列，…………………………8分 由n -5≥0解得n ≥5，…………………………………………………………10分

∴ 当n =4或n =5时，T n 最小，最小值为T 5=2

045）（+-=-10．……………12分 18．解：（Ⅰ）由题得P (270≤X ≤310)=0.25=4

1， 设在未来3年里，河流的污水排放量X ∈)310270[，

的年数为Y ， 则Y ~B (3，

4

1)．…………………………………………………………………2分 设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量X ∈)310270[，”为事件A ， 则P (A )=P (Y =0)+P (Y =1)=32

2741)43()43(213303=⨯+C C ． ∴ 在未来3年里，至多1年污水排放量X ∈)310270[，的概率为32

27．……5分 （Ⅱ）方案二好，理由如下： ………………………………………………6分 由题得P (230≤X ≤270)=0.74，P (310≤X ≤350)=0.01． …………………7分 用S 1，S 2，S 3分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失．

则S 1=3.8万元． ………………………………………………………………8分 的分布列为：

210分

3∴ 三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好． ………12分

19．解：（Ⅰ）在菱形ABCD 中，AB //CD ，

∵ CD ⊂面CDPN ，AB ⊄面CDPN ，

∴ AB //面CDPN ． ………………………………………………………………3分 又AB ⊂面ABPN ，面ABPN ∩面CDPN =PN ，

∴ AB //PN ．………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）作CD 的中点M ，则由题意知AM ⊥AB ，

∵ PA ⊥面ABCD ， ∴ PA ⊥AB ，PA ⊥AM ．

如图，以A 点为原点，建立空间直角坐标系A -xy z ，

设AB =2， 则B (2，0，0)，C (1，3，0)，D (-1，3，0)，

N (1，0，2)，

∴

(3,DB =，(1,0,2)NB =-，(2,0,0)DC =

，(0,CN =…………7分

设平面BDN 的一个法向量为n 1=(x 1，y 1，z 1)， 则由n 1•DB =0，n 1•NB =0

，得11113020x x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，

令x 1=2，则y 1

=z 1=1，即n 1=(2

，1)， …………………………9分 同理，设平面DNC 的一个法向量为n 2=(x 2，y 2，z 2)，

由n 2•DC =0，n 2•CN =0

，得2222020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，

令y 2

z 2=32，x 2=0，即n 2=(0

32

)，…………………………11分 ∴ cos=1212⋅⋅n n n n

=119

， 即二面角B -DN -C

． ………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设F (c ，0)，由题意可得12222=+b

y a c ，即y M =a b 2

． ∵ OH 是△F 1F 2M 的中位线，且OH =4

2， ∴ |MF 2|=22，即a b 2=2

2，整理得a 2=2b 4．① …………………………2分 又由题知，当Q 在椭圆E 的上顶点时，△F 1F 2Q 的面积最大，

∴ 122

1=⨯⨯b c ，整理得bc =1，即b 2(a 2-b 2)=1，②…………………………4分 联立①②可得2b 6-b 4=1，变形得(b 2-1)(2b 4+b 2+1)=0，

解得b 2=1，进而a 2=2，

∴ 椭圆E 的方程为12

22

=+y x ． ……………………………………………5分 （Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由对称性可知D (x 1，-y 1)，B (x 2，-y 1)．

设直线AC 与x 轴交于点(t ，0)，直线AC 的方程为x =my +t (m ≠0)， 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=，，12

22y x t my x 消去x ，得(m 2+2)y 2+2mty +t 2-2=0， ∴ y 1+y 2=222+-m mt

，y 1y 2=22

22+-m t ，……………………………………………8分