2017年四川省绵阳市高考数学三诊试卷及答案(理科)

2017年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∪（∁U B）=（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，2）D．（0，1）

2．（5分）已知i是虚数单位，则||=（）

A．1 B．2 C．2 D．

3．（5分）某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是（）

A．B．C．.D．

4．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7，则a5=（）A．B．C．20 D．40

5．（5分）已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且BC=3BM，N为DC的中点，则=（）

A．﹣6 B．12 C．6 D．﹣12

6．（5分）在如图所示的程序框图中，若函数f（x）=，则输出的结果是（）

A．16 B．8 C．216D．28

7．（5分）已知函数f（x）=4cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，若|a﹣b|的最小值是1，则f（）=（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣

8．（5分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）

A．50 B．75 C．25.5 D．37.5

9．（5分）已知函数f（x）=mcos2x+（m﹣2）sinx，其中1≤m≤2，若函数f （x）的最大值记为g（m），则g（m）的最小值为（）

A．﹣ B．1 C．3﹣D．﹣1

10．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为

其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|=2|ON|，则双曲线的离心率为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC 上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）

A．2πB．4πC．8πD．16π

12．（5分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax2+3，若存在实数m、n∈[1，5]满足n﹣m ≥2时，f（m）=f（n）成立，则实数a的最大值为（）

A．B． C．D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）若实数x、y满足，则x+2y的最小值是．

14．（5分）过定点M的直线：kx﹣y+1﹣2k=0与圆：（x+1）2+（y﹣5）2=9相切于点N，则|MN|=．

15．（5分）已知（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为．（用数字作答）

16．（5分）设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a11成等比数列，且a11=2（S m﹣S n）（m＞n＞0，m，n∈N*），则m+n的值是．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）2=b2+3ac．（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b=2，且sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

18．（12分）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示，若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”，已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．

（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2

列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？

使用共享单车情况与年龄列联表

（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取

3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X ，求X 的分布列与期望． （参考数据：

其中，K 2=

，n=a +b +

c +

d ）

19．（12分）已知矩形ADEF 和菱形ABCD 所在平面互相垂直，如图，其中AF=1，AD=2，∠ADC=

，点N 时线段AD 的中点．

（Ⅰ）试问在线段BE 上是否存在点M ，使得直线AF ∥平面MNC ？若存在，请证明AF ∥平面MNC ，并求出

的值，若不存在，请说明理由；

（Ⅱ）求二面角N ﹣CE ﹣D 的正弦值．

20．（12分）已知点E （﹣2，0），点P 时圆F ：（x ﹣2）2+y 2=36上任意一点，线段EP 的垂直平分线交FP 于点M ，点M 的轨迹记为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）过F 的直线交曲线C 于不同的A 、B 两点，交y 轴于点N ，已知=m

，

=n

，求m +n 的值．

21．（12分）函数p（x）=lnx+x﹣4，q（x）=axe x（a∈R）．

（Ⅰ）若a=e，设f（x）=p（x）﹣q（x），试证明f′（x）存在唯一零点x0∈（0，

），并求f（x）的最大值；

（Ⅱ）若关于x的不等式|p（x）|＞q（x）的解集中有且只有两个整数，求实数a的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．

（Ⅰ）分别写出C 1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）若射线l的极坐标方程θ=（ρ≥0），且l分别交曲线C1、C2于A、B两点，求|AB|．

23．已知函数f（x）=|3x﹣a|+|3x﹣6|，g（x）=|x﹣2|+1．

（Ⅰ）a=1时，解不等式f（x）≥8；

（Ⅱ）若对任意x1∈R都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．