高2017届绵阳一诊数学(理科)答案
2020届四川省绵阳市2017级高三上学期一诊考试数学(理)试卷及解析
2020届四川省绵阳市2017级高三上学期一诊考试数学（理）试卷★祝考试顺利★一、选择题1.已知{*|3}A x x =∈≤N ,{}2|40B x x x =-≤,则A B =I ( )A. {1,2,3}B. {1,2}C. (0,3]D. (3,4]【答案】A【解析】【分析】 先求解集合,A B ,然后求解A B I .【详解】因为{}{*|3}1,2,3A x x ==∈≤N ,{}{}2|40|04B x x x =x x =-≤≤≤,所以{}1,2,3A B =I .故选：A.2.若0b a <<,则下列结论不正确的是( ) A.11a b < B. 2ab a > C. |a|+|b|>|a+b| D.>【答案】C【解析】【分析】结合不等式的性质或特殊值,逐个选项验证.【详解】因为0b a <<,所以11a b<,选项A 正确； 因为0b a <<,所以2ab a >,选项B 正确；因为0b a <<,所以|a|+|b|=|a+b|,选项C 不正确；因为13y x =为增函数,>选项D 正确.故选：C.3.下列函数中定义域为R ,且在R 上单调递增的是( )A. 2()f x x =B. ()f x =C. ()ln ||f x x =D.2()e x f x = 【答案】D【解析】【分析】先求解选项中各函数的定义域,再判定各函数的单调性,可得选项.【详解】因为()f x =[0,)+∞,()ln ||f x x =的定义域为{}0x x ≠,所以排除选项B,C.因为2()f x x =在(,0]-∞是减函数,所以排除选项A,故选：D.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若32a =,33S =,则6a =( )A. 4B. 5C. 10D. 15【答案】B【解析】【分析】先由3S 求2a ,再求公差d ,最后可得6a .【详解】因为3233S a ==,所以21a =,可得32211d a a =-=-=,所以6335a a d =+=, 故选：B.5.已知函数2()21xx f x =-,若()2f m -=,则()f m =( ) A. -2B. -1C. 0D. 12【答案】B【解析】【分析】 先由()f x 写出()f x -,再由二者关系可得()f m 与()f m -的关系,易得()f m .。
2017年四川省高考数学一诊试卷(理科)含答案解析
2017年四川省广安、遂宁、内江、眉山高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={x|x≤9，x∈N+}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则?U （A∪B）=（）A．{3} B．{7，8}C．{7，8，9}D．{1，2，3，4，5，6}2．已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．若，则=（）A． B．C．D．4．已知命题p，q是简单命题，则“ｐ∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分有不必要条件5．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若点P为CD 的中点，且，则λ+μ＝（）A．3 B．C．2 D．16．如图，是某算法的程序框图，当输出T＞29时，正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．57．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A．B．C．D．8．已知数列{a n}满足a n=若对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（，1）9．已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]C．[，]D．[，+∞）10．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=，则直线AD与平面BCD所成角的大小是（）A．B．C．D．11．椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF 是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．已知函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=F （x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）A．（0，2]B．[，+∞）C．[，2] D．[，2]∪[4，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项为．14．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“Ｂ作品获得一等奖”；丙说：“Ａ，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为．16．若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinAcosB的取值范围．18．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：年龄（岁）78910111213身高（cm）121128135141148154160（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．20．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足2=a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=（a n+1）?2，求数列{b n}的前n项和T n．21．已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．。
四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)解析版
高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={-1，0，1}，N={x|x-1＜0}，则M∩N=（）A. {0}B. {1}C. {0，1}D. {-1，0}2.若，则cos2α（）A. B. C. D.3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7=28，则a4=（）A. 4B. 7C. 8D. 144.若a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分必要条件5.函数f（x）=sin（ωx-）在区间[0，2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56.已知函数f（x）=x3+（a-5）x2+（b+4）x，若函数f（x）是奇函数，且曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线与直线y=x+3垂直，则a+b=（）A. -32B. -20C. 25D. 427.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y-1的最小值为（）A. -13B. -15C. -17D. -198.已知定义在R上的函数f（x）=a-22-x与函数g（x）=2x-2+|x-2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 29.已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为（）A. B. C. D.10.设函数f (x)＝ae x－2sin x，x∈ [0，π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A. B. C. D.11.定义在[0，+∞)上的函数f(x)满足：当0≤x＜2时，f(x)＝2x-x2；当x≥2时，f(x)＝3f(x-2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，…，a n，…，并记相应的极大值为b1，b2，…，b n，…，则a1b1+a2b2+…+a20b20的值为（）A. 19×320+1B. 19×319+1C. 20×319+1D. 20×320+112.已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A. （0，12）B. （0，16）C. （9，21）D. （15，25）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若（+2）∥（2-），则实数λ=______．14.函数f（x）=A sin（ωx+φ），其中ω＞0，的图象如图所示，为了得到g（x）=sin3x的图象，只需将f（x）的图象向右平移______个单位．15.在△ABC中，AB=4，O为三角形的外接圆的圆心，若=x+y（x，y∈R），且x+2y=1，则△ABC的面积的最大值为______．16.已知恰有两条不同的直线与曲线y=e x-2和x2=2py都相切，则实数p的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．18.函数f（x）=A sin2（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，），且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．（1）求φ；（2）计算f（1）+f（2）+…f（2019）．19.设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=-2（n∈N*）．20.已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间与极值；（2）若不等式f（x）≤kx对任意x＞0恒成立，求实数k的取值范围．21.已知函数f（x）=a ln x（a≠0），g（x）=x-．（1）当a=2时，比较f（x）与g（x）的大小，并证明；（2）令函数F（x）=[f（）]2-[g（）]2，若x=1是函数F（x）的极大值点，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．23.已知函数f（x）=|2x-1|-|x-a|，a≤0．（1）当a=0时，求不等式f（x）＜1的解集；（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于，求a的取值范围．24.设函数f（x）=|x+3|+|x-1|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M，（1）求M；（2）当x∈M时，f（x）≥a|x-1|恒成立，求正数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题得N={x|x＜1}，所以M∩N={-1，0}．故选：D．先化简集合N，再求M∩N得解．本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2.【答案】D【解析】解：∵，∴cos2α=．故选：D．由已知直接利用二倍角的余弦求解．本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的余弦，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为数列{a n}是等差数列，S7=28===7a4，所以a4=4．故选：A．根据等差中项的性质，将S7转化为a4的算式，解方程即可．本题考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：a，b均为不等于1的正实数，当若“a＞b＞1”时，由对数函数的性质可得：log2a＞log2b＞0，可得log b2＞log a2成立．当若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知log2a＞log2b＞0，必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，0＞log2a＞log2b，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜0＜log b2，则必有0＜a＜1＜b；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的充分不必要条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数f（x）=sin（ωx-）在区间[0，2π]上至少存在5个不同的零点，ωx-,根据题意得，，解得，所以正整数ω的最小值是3.故选：B．直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：因为函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），所以a=5．由题得f′（x）=3x2+（b+4），∴k=f′（3）=b+31，因为切线与直线y=x+3垂直，所以b+31=-6，所以b=-37．所以a+b=-32．故选：A．先根据函数是奇函数求出a的值，再根据切线与直线垂直得到b的值，即得a+b的值．本题主要考查奇函数的性质，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．7.【答案】B【解析】解：先根据实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，画出可行域，A（0，3），B（2，0），C（0，-3），D（-2，0），当直线z=7x+3y-1过点D时，目标函数取得最小值，7x+3y-1最小是：-15，故选：B．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=7x+3y-1表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由函数f（x）=a-22-x与函数g（x）=2x-2+|x-2|的图象有唯一公共点，可得方程a-22-x=2x-2+|x-2|有且只有1个解，方程a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有1个解，即直线y=a与y=2x-2+22-x+|x-2|的图象只有一个交点，设h（x）=2x-2+22-x+|x-2|，由h（x）=h（4-x），可得函数h（x）关于直线x=2对称，若a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有1个解，则a=h（2）=2，故选：D．由函数图象的交点个数与方程的解的个数的相互转化得：函数f（x）=a-22-x与函数g（x）=2x-2+|x-2|的图象有唯一公共点，可得方程a-22-x=2x-2+|x-2|有且只有1个解，方程a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有1个解，即直线y=a与y=2x-2+22-x+|x-2|的图象只有一个交点，由函数图象的性质得：设h（x）=2x-2+22-x+|x-2|，由h（x）=h（4-x），可得函数h（x）关于直线x=2对称，若a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有1个解，则a=h（2）=2，得解．本题考查了函数图象的交点个数与方程的解的个数的相互转化及函数图象的性质，属中档题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查数列的通项公式的求法，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，属于中档题．运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得a n=2n．求得m+n=6，=（m+n）（）=（10++），运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值．【解答】解：S n=2a n-2，可得a1=S1=2a1-2，即a1=2，n≥2时，S n-1=2a n-1-2，又S n=2a n-2，相减可得a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1，即a n=2a n-1，{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n=2n．a m a n=64，即2m•2n=64，得m+n=6，所以=（m+n）（）=（10++）≥（10+2）=，当且仅当=时取等号，即为m=，n=．因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则＞，验证可得，当m=2，n=4时，取得最小值为．故选：B．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题及利用导数研究函数的图象，属中档题.函数f（x）=ae x-2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a=，x∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y=a与g（x）=，x∈[0，π]的图象只有一个交点．【解答】解：函数f（x）=ae x-2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a=，x∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y=a与g（x）=，x∈[0，π]的图象只有一个交点，设g（x）=，x∈[0，π]，则g′（x）=，当0≤x时，g′（x）＞0，当＜x≤π时，g′（x）＜0，即g（x）在[0，）为增函数，在（，π]为减函数，又g（0）=0，g（π）=0，g（）=，则可得实数a的值为，故选B．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的极值的求法，以及数列的错位相减法求和，考查等比数列的求和公式，考查化简运算能力，属于中档题．由二次函数的最值求法，可得f（x）的最小极大值点和极大值，再讨论x的范围，可得其余的极大值点和极大值，再由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=2x-x2=1-（x-1）2，可得f（x）的极大值点a1=1，b1=1，当2≤x＜4，即有0≤x-2＜2，可得f（x）=3f（x-2）=3[1-（x-3）2]，可得a2=3，b2=3，当4≤x＜6，即有0≤x-4＜2，可得f（x）=9f（x-4）=9[1-（x-5）2]，可得a3=5，b3=9，…即有a20=39，b3=319，则S20=a1b1+a2b2+…+a20b20=1•1+3•3+5•9+…+39•319，3S20=1•3+3•9+5•27+…+39•320，相减可得-2S20=1+2（3+9+27+…+319）-39•320=1+2•-39•320，化简可得S20=1+19•320，故选：A．12.【答案】A【解析】【分析】作出函数f（x）的图象，由图象及对称性可得，x1x2=1，x3+x4=12，即为x4=12-x3，2＜x3＜4，代入所求式子，运用二次函数的值域，结合单调性可得所求范围．本题考查分段函数的运用：求取值范围，考查正弦函数的对称性和应用，以及二次函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），可得-log2x1=log2x2，即有x1x2=1，且x3+x4=2×6=12，即为x4=12-x3，2＜x3＜4，则=（x3-2）（x4-2）=（x3-2）（10-x3）=-（x3-6）2+36，可得在（2，4）递增，即所求范围为（0，12）．故选A．13.【答案】【解析】解：向量，，则+2=（0，2λ-1），2-=（-5，-λ-1），又（+2）∥（2-），所以0×（-λ-1）-（-5）×（2λ-1）=0，解得实数λ=．故答案为：．根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：根据函数的图象：A=1，由于，整理得，所以ω=，当时，φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ-（k∈Z），由于，当k=1时φ=．所以f（x）=sin（3x+），所以为了得到g（x）=sin3x的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位即可．故答案为：．首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的图象的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】8【解析】解：取AC的中点D，因为=x+y（x，y∈R），所以=，又因为x+2y=1，所以B，O，D三点共线，因为O是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC，设AD=DC=m，则BD=，所以S△ABC===8，当且仅当m=2时取等号．故答案为：8．先取AC的中点D，根据已知得到B，O，D三点共线，且BD⊥AC，设AD=DC=m，求出△ABC面积的表达式，再利用基本不等式求其最大值即可得解．本题主要考查平面向量的性质，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．16.【答案】0＜p＜2【解析】解：恰有两条不同的直线与曲线y=e x-2和x2=2py都相切，可得y=e x-2和x2=2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=，设f（x）=，f′（x）=，可得0＜x＜2时，f（x）递减；x＞2或x＜0时，f（x）递增，即有f（x）的极小值为f（0）=0，极大值为f（2）=4，则0＜2p＜4，可得0＜p＜2．故答案为：0＜p＜2．由题意可得y=e x-2和x2=2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=，设f（x）=，求得导数和单调性、极值，即可得到p的范围．本题考查导数的运用：求切线和单调性、极值，考查曲线的交点的判断，化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）a sin=b sin A，即为a sin=a cos=b sin A，可得sin A cos=sin B sin A=2sin cos sin A，∵sin A＞0，∴cos=2sin cos，若cos=0，可得B=（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin=，由0＜B＜π，可得B=；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，由余弦定理可得b==，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1＞1且1+a2-a+1＞a2，解得＜a＜2，可得△ABC面积S=ac•sin=a∈（，）．【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、三角形面积公式、二倍角公式和诱导公式，以及化简运算能力，属于中档题．（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1＞1且1+a2-a+1＞a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．18.【答案】解：（1）函数f（x）=A sin2（ωx+φ）=-cos（2ωx+2φ），由y=f（x）的最大值为2，则A＞0，且+=2，解得A=2；又f（x）图象相邻两对称轴间的距离为2，且ω＞0，所以•=2，解得；所以f（x）=1-cos（x+2φ），又y=f（x）过（1，2）点，所以1-cos（+2φ）=2，求得cos（+2φ）=-1，所以sin2φ=1，解得2φ=2kπ+，k∈Z；所以，k∈Z，又，所以；（2）由，所以y=f（x）=1-cos（x+）=1+sin x；所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，又y=f（x）的周期为4，且2019÷4=504…3，所以f（1）+f（2）+…+f（2019）=504×4+3=2019．【解析】（1）化函数f（x）为余弦型函数，根据余弦函数的图象与性质求出A、ω和φ的值；（2）由（1）写出y=f（x）的解析式，再根据函数f（x）的周期性计算f（1）+f（2）+…+f （2019）的值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数值的计算问题，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2-q-2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==-2．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{a n}的通项公式可求；等差数列{b n}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；（Ⅱ）（i）由等比数列的前n项和公式求得S n，再由分组求和及等比数列的前n项和求得数列{S n}的前n项和为T n；（ii）化简整理，再由裂项相消法证明结论．20.【答案】解：（1）定义域为（0，+∞）.，令，得x=e．f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．f（x）的极大值为，无极小值．（2）∵x＞0，，∴，令，又，令h'（x）=0，解得，h（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．当时函数h（x）有最大值，且最大值为，所以．【解析】（1）求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性以及函数的极值即可．（2）化简函数的解析式，求出函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的最值然后推出k即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．21.【答案】解：（1）a=2时，设F（x）=2x lnx-x2+1，F（1）=0．则x＞0，F′（x）=2（1+ln x-x），令u（x）=1+ln x-x，u′（x）=-1=，可得x=1时，函数u（x）取得极大值，∴u（x）≤u（1）=0．∴F′（x）=2（1+ln x-x）≤0，∴F（x）是（0，+∞）上的减函数，∴0＜x＜1，F（x）＜0，即2x lnx＜x2-1，∴2ln x＜x-．x=1时，可得2ln x=x-．x＞1时，2ln x＞x-．（2）函数F（x）=[f（）]2-[g（）]2=-=a2ln2x-x-+2．F′（x）=-1+．∵x=1是函数F（x）的极大值点，∴x＞1时，F′（x）=-1+＞0.0＜x＜1时，F′（x）=-1+＜0．①x＞1时，F′（x）=-1+＞0．化为：a2＜，令h（x）=，x＞1．h′（x）=，令u（x）=x2ln x+ln x-x2+1，u′（x）=2x lnx-x+=v（x），v′（x）=2ln x+1-＞0．∴u′（x）＞v（1）=0．∴u（x）＞u（1）=0．∴h′（x）＞0．∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增．∴x→1时，→=2，∴a2≤2，可得a2≤4．②0＜x＜1时，F′（x）=-1+＜0．同理可得：4≤a2．综上可得：a2=4，解得a=±2．∴a的取值范围是{-2，2}．【解析】（1）a=2时，设F（x）=2x lnx-x2+1，F（1）=0．x＞0，F′（x）=2（1+ln x-x），令u（x）=1+ln x-x，利用导数研究函数F（x）在（0，+∞）上单调性，即得出大小关系．（2）函数F（x）=[f（）]2-[g（）]2=-=a2ln2x-x-+2．F′（x）=-1+．根据x=1是函数F（x）的极大值点，可得x＞1时，F′（x）=-1+＞0.0＜x＜1时，F′（x）=-1+＜0．利用导数研究函数的单调性极值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：，所以直线的倾斜角为．所以：，曲线C1的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4．转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ，曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标的方程为：，整理得：，线l交曲线C1于O，A两点，则：，解得：A（2，），直线和曲线C2于O，B两点则：，解得：B（4，），所以：|AB|=|ρ1-ρ2|=4-2．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）＜1化为|2x-1|-|x|-1＜0．．当x≤0时，不等式化为x＞0，无解；当时，不等式化为x＞0，解得；当时，不等式化为x＜2，解得；综上，f（x）＜1的解集为{x|0＜x＜2}．（2）由题设可得所以f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为（，0），（1-a，0），，该三角形的面积为×[（1-a）-（）]×|a-|=．由题设，且a＜0，解得a＜-1．所以a的取值范围是（-∞，-1）．【解析】（1）将a=0代入，根据零点分段去掉绝对值，分别求出x的范围再合并；（2）由a≤0，按照零点分段对函数去掉绝对值，求出三角形的三个顶点坐标，根据三角形面积公式求出的代数式大于，解出a的范围即可．本题考查零点分段法解不等式以及三角形的面积公式，属于中档题．24.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+3|+|x-1|，当x≤-3时，f（x）=（3-x）-（x+1）=-2-2x，不等式f（x）≤6化为-2-2x≤6，解得x≥-4，此时，-4≤x≤-3；当-3＜x＜1时，f（x）=3-x+x+1=4＜6，恒成立；当x≥1时，f（x）=x-3+x+1=2x+2，不等式f（x）≤6化为2x+2≤6，解得x≤2．综上所述，不等式f（x）≤6的解集为[-4，2]，即M=[-4，2]；（2）当-4≤x≤-3时，f（x）=-2x-2，不等式f（x）≥a|x-1|化为-2x-2≥-a（x-1），即a≤，∴a≤2+，求得a≤1；当-3＜x＜1时，f（x）=4，不等式f（x）≥a|x-1|化为4≥-a（x-1），即a≤，求得0＜a≤1；当x=1时，f（x）=4，不等式f（x）≥a|x-1|化为4≥0，恒成立，此时a＞0；当1＜x≤2时，f（x）=2x+2，不等式f（x）≥a|x-1|化为2x+2≥a（x-1），即a≤，∴a≤2+，求得0＜a≤6．综上所述，a的取值范围是（0，1]．【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式f（x）≤6的解集即可；（2）分别讨论x的取值，从而求出不等式f（x）≥a|x-1|恒成立时a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想与集合的应用问题，是中档题．。
2017年四川省高考数学一诊试卷
2017年四川省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x|x2＞4}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2）D．（2，3）2．复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（）A．B．C．D．3．设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤04．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3B．3C．﹣3或3D．﹣1或35．函数f（x+1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于（）A．直线x=1对称B．直线x=﹣1对称C．点（1，0）对称D．点（﹣1，0）对称6．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象可以由y=3sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度得到B．向左平移个单位长度得到C．向右平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到7．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=+1（）A．16B．32C．64D．1289．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 36510．定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.11]=2，[﹣1.39]=﹣2，执行如下图所示的程序框图，则输出m的值为（）A．B．C．D．11．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A．36πB．πC．8πD．π12．已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为（）A．2B．2C．4D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项为．14．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为．16．若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅰ）求sinAcosB的取值范围．18．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：年龄（岁）78910111213135141148154160身高（cm）121128（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；（Ⅰ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅰ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．20．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足2=a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅰ）若b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．21．已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅰ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅰ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅰ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．2017年四川省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x|x2＞4}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2）D．（2，3）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，B={x|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，则A∩B={x|2＜x＜3}，故选：D．2．复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵（3﹣4i）z=1+2i，∴（3+4i）（3﹣4i）z=（3+4i）（1+2i），∴25z=﹣5+10i，则z=﹣+i．故选：A．3．设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是∃x＞0，x﹣lnx≤0．故选：D．4．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3B．3C．﹣3或3D．﹣1或3【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由倍角公式求得sinα与cosα的数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可．【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α，∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1，即2sinαcosα=cos2α，①当cosα=0时，，此时，②当cosα≠0时，，此时，综上所述，tan（α+）的值为﹣1或3．故选：D．5．函数f（x+1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于（）A．直线x=1对称B．直线x=﹣1对称C．点（1，0）对称D．点（﹣1，0）对称【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由偶函数的性质可知y=f（x+1）的图象关于y轴对称，根据平移变换可得y=f（x+1）与y=f（x）的图象关系，从而可得答案．【解答】解：因为y=f（x+1）是偶函数，所以y=f（x+1）的图象关于y轴对称，而把y=f（x+1）右移1个单位可得y=f（x）的图象，故y=f（x）的图象关于x=1对称，故选A．6．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象可以由y=3sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度得到B．向左平移个单位长度得到C．向右平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把y=3sin2x的图象向右平移个单位长度，可得f（x）═3sin2（x ﹣）=3sin（2x﹣）的图象，故选：C．7．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=2AB=2，则B（1，1，0），E（1，0，1），C（0，1，0），D1（0，0，2），=（0，﹣1，1），=（0，1，﹣2），设异面直线BE与CD1所形成角为θ，则cosθ===．异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．8．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=+1（）A．16B．32C．64D．128【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意得S n+S n+1=2S n，得a n+2=﹣2a n+1，从而得到{a n}从第二项起是公+2比为﹣2的等比数列，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，∴由题意得S n+S n+1=2S n，得a n+2+a n+1+a n+1=0，即a n+2=﹣2a n+1，+2∴{a n}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，∴．故选：C．9．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 365【考点】等比数列的通项公式．【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．【解答】解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意得，解得b=125，a=20%，m=369．故选：A．10．定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.11]=2，[﹣1.39]=﹣2，执行如下图所示的程序框图，则输出m的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依据程序逐级运算，并通过判断条件n＜7？调整运算的继续与结束，即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得m=3，n=1[3]=3为奇数，m=，n=3满足条件n＜7，执行循环体，[]=6不为奇数，m=，n=5满足条件n＜7，执行循环体，[]=6不为奇数，m=，n=7不满足条件n＜7，退出循环，输出m的值为．故选：B．11．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A．36πB．πC．8πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD=O，取AB的中点E，OE⊥AB，OE⊥侧面PAB，PE=2，AB=4．则点O为其外接球的球心，半径R=2．即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD=O，取AB的中点E，OE⊥AB，OE⊥侧面PAB，PE=2，AB=4．则点O为其外接球的球心，半径R=2．∴这个几何体外接球的体积V==π．故选：B．12．已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为（）A．2B．2C．4D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】作AH⊥BM交BM的延长线于H，求出|BM|，|AH|，即可求得△ABC 的面积．【解答】解：根据题意设A（a，a2），B（b，b2），C（c，c2），不妨设a＞c，∵M为边AC的中点，∴M（，），又BM∥y轴，则b=，故|BM|=|﹣b2|==2，∴（a﹣c）2=8，即a﹣c=2，作AH⊥BM交BM的延长线于H．==2|a﹣b|=a﹣c=2．故△ABC的面积为2S△ABM故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项为24．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为0求出r的值，从而求出展开式中常数项．【解答】解：二项式展开式的通项公式为：T r=••x r=24﹣r••x2r﹣4，+1令2r﹣4=0，解得r=2，∴展开式中常数项为T3=22•=24．故答案为：24．14．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为48π．【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】判断几何体的特征，正方体中的三棱锥，利用正方体的体对角线得出外接球的半径求解即可．【解答】解：三棱锥补成正方体，棱长为4，三棱锥与正方体的外接球是同一球，半径为R==2，∴该球的表面积为4π×12=48π，故答案为：48π．16．若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a的值为3．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设切点为（t，），求出切线方程，利用直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数y=的图象相切于同一点，建立方程，求出t，即可得出结论．【解答】解：设切点为（t，），y′=，x=t时，y′=t，∴切线方程为y﹣=（x﹣t），即y=tx﹣，∵一直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数y=的图象相切于同一点，∴=，∴t=2，∴切点为（2，1），代入圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0，可得a=3，故答案为3．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅰ）求sinAcosB的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C的大小；（Ⅰ）由（I）和内角和定理表示出B，并求出A的范围，代入sinAcosB后，由两角差的余弦公式、正弦公式化简后，由A的范围和正弦函数的性质求出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，（2a+b）cosC+ccosB=0，∴由正弦定理得，（2sinA+sinB）cosC+sinCcosB=0，则2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，即sin（B+C）=﹣2sinAcosC，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴1=﹣2cosC，得cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅰ）由（I）得C=，则A+B=π﹣C=，即B=﹣A，所以，∴sinAcosB=sinAcos（﹣A）=sinA（cos cosA+sin sinA）=sinA（cosA+sinA）=sin2A+=（）=∵，∴，则，即，∴sinAcosB的取值范围是．18．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：年龄（岁）78910111213135141148154160身高（cm）121128（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；（Ⅰ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）首先根据表格与公式求得相关数据，然后代入线性回归方程求得，由此求得线性回归方程；（Ⅰ）将先15代入（Ⅰ）中的回归方程即可求得张三同学15岁时的身高．【解答】解：（Ⅰ）由题意得=（7+8+9+10+11+12+13）=10，==141，（=9+4+1+0+1+4+9=28，（x i﹣）（y i﹣）=（﹣3）×（﹣20）+（﹣2）×（﹣13）+（﹣1）×（﹣6）+0×0+1×7+2×13+3×19=182，所以==，=﹣=141﹣×10=76，所求回归方程为=x+76．（Ⅰ）由（Ⅰ）知，=＞0，故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6.5cm．将x=15代入（Ⅰ）中的回归方程，得=×15+76=173.5，故预测张三同学15岁的身高为173.5cm．19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅰ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．【分析】（Ⅰ）首先求得导函数，然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得a的值，由此求得函数f（x）的解析式；（Ⅰ）将问题转化为函数f（x）的图象与y=m有三个公共点，由此结合图象求得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x＞0时，f′（x）=x2+a，因为曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行，所以f′（）=+a=﹣，解得a=﹣1，所以f（x）=x3﹣x，设x＜0则f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x，又f（0）=0，所以f（x）=x3﹣x．（Ⅰ）由（Ⅰ）知f（﹣3）=﹣6，f（﹣1）=，f（1）=﹣，f（）=0，所以函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，等价于函数f（x）在[﹣3，]上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f（x）在区间[﹣3，]上大致图象可知，实数m的取值范围是（﹣，0）．20．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足2=a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅰ）若b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）首先利用S n与a n的关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n；结合已知条件等式推出数列{a n}是等差数列，由此求得数列{a n}的通项公﹣1式；（Ⅰ）首先结合（Ⅰ）求得b n的表达式，然后利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，有2=a1+1，解得a1=1；当n≥2时，由2=a n+1得4S n=a n2+2a n+1，4S n﹣1=a n﹣12+2a n﹣1+1，两式相减得4a n=a n2﹣a n﹣12+2（a n﹣a n﹣1），所以（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，因为数列{a n}的各项为正，所以a n﹣a n﹣1﹣2=0，所以数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（Ⅰ）由（Ⅰ）知b n=（a n+1）•2=2n•22n﹣1=n•4n．所以前n项和T n=1•4+2•42+3•43+…+n•4n，4T n=1•42+2•43+3•44+…+n•4n+1，两式相减得﹣3T n=4+42+43+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1，化简可得T n=+•4n+1．21．已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅰ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类，当a≤0时，f′（x）＜0，f （x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅰ）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，分离参数a，可得恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用导数求得函数g（x）在[1，2]上的最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ae x﹣x，得f′（x）=ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，令ae x﹣1=0，得x=lna，若x∈（﹣∞，﹣lna），则f′（x）＜0，此时f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），则f′（x）＞0，此时f（x）为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f（x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，若x∈（﹣∞，﹣lna），f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），f（x）为的单调增函数．（Ⅰ）由题意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，即x∈[1，2]，恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值．由g（x）==，函数y=在[1，2]上单调递减，令h（x）=，x∈[1，2]，h′（x）=．∴h（x）=在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）=．故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立的实数a的取值范围是[，+∞）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅰ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出C2的参数方程，即可求C2的极坐标方程；（Ⅰ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2=1，∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；（Ⅰ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d==，∴|PQ|=2=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅰ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当b=1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f（x）≥1的解集．（Ⅰ）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b2+1，再求得g（x）的最小值，根据g（x）的最小值减去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．【解答】解：（Ⅰ）由题意，当b=1时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2＜1，不等式f（x）≥1无解，不等式f（x）≥1的解集为∅；当﹣1＜x＜1时，f（x）=2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥，所以≤x＜1；当x≥1时，f（x）=2≥1恒成立，所以不等式f（x）≥1的解集为[，+∞）．（Ⅰ）（Ⅰ）当x∈R时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +（﹣x+1）|=|b2+1|=b2+1；g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|=≥|x+a2+c2﹣（x﹣2b2）|=|a2+c2+2b2|=a2+c2+2b2．而a2+c2+2b2﹣（b2+1）=a2+c2+b2﹣1=（a2+c2+b2+a2+c2+b2）﹣1≥ab+bc+ac ﹣1=0，当且仅当a=b=c=时，等号成立，即a2+c2+2b2≥b2+1，即f（x）≤g（x）．2017年4月2日。
绵阳市高中2017级(2019.10.31)第一次诊断性考试理科数学全面考查第16,21题
2020届绵阳一诊参数处理的全面考查16.若函数21()(ln )2f x x m x x x =+--只有一个零点，则实数m 的取值范围为【解析】（半分离）由()0f x =，得21(2)(ln )2x x m x x -=-，令21()(2),()ln 2g x x x h x x x =-=-，则(),()g x h x 在(0,1)单减，在(1,)+∞单增。
所以min min 1()(1),()(1)12g x g h x h ==-==，注意到,()()x g x f x →+∞>，所以当0m >时，两个函数有唯一交点。
当0m =时，显然唯一零点。
当0m <时，两个函数有唯一交点当且仅当(1)(1)g mh =，即12m =-，综上：12m =-或0m ≥。
21.已知函数2(),,(0,)x f x e ax a R x =-∈∈+∞。
（1）若()f x 存在极小值，求实数a 的取值范围；（2）若202e a <≤，求证：()(ln )f x ax x x >-。
【解析】（1）'()2(2)xxe f x e ax x a x =-=-，令()2x e g x a x =-，则(1)'()x x e g x x -=，所以()g x 在(0,1)单减，在(1,)+∞单增，则min ()(1)2g x g e a ==-，注意到当0x →时，()g x →+∞，当0x →时，()g x →+∞，若()f x 存在极小值，则min ()20g x e a =-<，即2e a >。
（2）原不等式等价于ln x e ax x >，①当(0,1)x ∈时，有0ln x e ax x >>；②当(1,)x ∈+∞时，有ln 0x x >，法一：（分离参数）下面证明：1ln x x x a e >，令ln ()x x x m x e =，则1ln ln '()xx x x m x e +-=，令()1ln ln n x x x x =+-，则1'()1ln 0,(1,)n x x x x =--<∈+∞，所以()n x 在(1,)+∞单减，因为(2)0,()0n n e ><，所以()n x 有唯一零点，记为0x ，0(2,)x e ∈，且000ln 1ln x x x =+。
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题及答案(超清)
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=x x A ，}05|{2<-∈=x x Z x B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}3,2{ C ．}3,2,1{ D ．}4,3,2{2.已知命题p ：01,2>+-∈∀x x R x ，则p ⌝为（ ）A ．01,2>+-∉∀x x R xB ．01,0200≤+-∉∃x x R x C ．01,2≤+-∈∀x x R x D ．01,0200≤+-∈∃x x R x3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．114.若实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．23 5.设命题p ：1)21(<x，命题q ：1ln <x ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元7.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象，可将x y 2sin 2=的图象向左平移（ ） A ．6π个单位 B ．3π个单位 C ．4π个单位 D ．12π个单位8.已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ） A ．αβcos 2cos = B ．αβ22cos 2cos =C ．02cos 22cos =+αβD ．αβ2cos 22cos =9.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，当)1,0[∈x 时，x x x f +-=2)(，设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈，则=++543a a a （ ） A ．7 B ．87 C ．45D ．1410.在ABC ∆中，81cos =A ，4=AB ，2=AC ，则A ∠的角平分线D A 的长为（ ） A ．22 B ．32 C ．2 D ．111.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若m =，DC n DN =)0,0(>>n m ，则n m 32+的最小值是（ ）A ．56 B ．512 C ．524 D ．54812.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞-D ．),212(+∞-二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量)0,1(=a ，)1,2(=b ，)1,(x c =满足条件-3与垂直，则=x . 14.在公差不为0的等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则=5a .15.函数x x a x f ln )(=的图象在点))(,(22e f e 处的切线与直线x ey 41-=平行，则)(x f 的极值点是 .16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若），（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(12*N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若对任意的*N n ∈，不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立，求实数k 的取值范围.19.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知12=c ，64=b ，O 为ABC ∆的外接圆圆心. （1）若54cos =A ，求ABC ∆的面积S ； （2）若点D 为BC 边上的任意一点，1134DO DA AB AC -=+，求B sin 的值.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.（1）判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：4.12≈，4.26≈）（2）若存在)2,4(ππ∈x ，使得x kx x f cos )(2+>成立，求实数k 的取值范围.21.已知函数1ln )(2-+=ax x x f ，e e x g x-=)(. （1）讨论)(x f 的单调区间；（2）若1=a ，且对于任意的),1(+∞∈x ，)()(x f x mg >恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数），设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=. （1）若1=a ，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若方程()f x x =有三个实数根，求实数a 的取值范围.四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题答案一、选择题1、A2、D3、B4、C5、B6、B7、A8、D9、A 10、C 11、C 12、A 二、填空题13、1 14、 13 15、e 16、3t ≤-或1t ≥或0t = 三、解答题17、【答案】（1）)6sin(2)(ππ+=x x f （2）6215+ 【解析】试题分析：（1）由图像最值关系确定振幅2=A ，由最值点与相邻零点之间横坐标距离为四分之一周期得213165424=-==ωπT ，解得πω=，最后根据最值坐标求初始角：由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ，可得223ππϕπ+=+k ，62ππϕ+=k 又2πϕ<，可得6πϕ=（2）先根据34)(=παf 得32)6sin(=+πα，再根据给值求值，将欲求角化为已知角]6)6cos[(cos ππαα-+=，最后根据同角三角函数关系以及两角差余弦公式求结果：35)32(1)6cos(2=-=+πα，]6)6cos[(cos ππαα-+=6sin)6sin(6cos)6cos(ππαππα+++=6215+考点：求三角函数解析式，给值求值n 64【解析】试题分析：（1）由和项求通项，要注意分类讨论：当1n =时，11a S =；当1n =时，11a S =解得11=a ；当2n ≥时，1n n n a S S -=-化简得12-=n n a a ；最后根据等比数列定义判断数列}{n a 为等比数列，并求出等比数列通项（2）先化简不等式，并变量分离得k ≥nn 292-，而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即k ≥nn 292-的最大值，而对数列最值问题，一般先利用相邻两项关系确定其增减性：令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ，所以数列先增后减，最后根据增减性得最值取法：n b 的最大值是6436=b ．(2)由(1)n k S +≥29n -，整理得k ≥nn 292-， 令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ， ………………………8分 n=1，2，3，4，5时，0221111>-=-++n n n nb b ，∴54321b b b b b <<<<．………10分n=6，7，8，…时，0221111<-=-++n n n nb b ，即⋅⋅⋅>>>876b b b ．∵b 5=321<6436=b ， ∴n b 的最大值是6436=b ．∴实数k 的取值范围是)643[∞+，．…………………………………………12分考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值5试题解析：(1)由54cos =A 得53sin =A ，∴5214453122821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC ．……………………………3分(2)由AC AB DA DO 4131+=-， 可得AC AB AO 4131+=，于是AO AC AO AB AO AO ⋅+⋅=⋅4131， ……………………………………5分即OAC OAB ∠∠=2，①又O 为△ABC 的的外接圆圆心，则OAB ∠，OAC ∠，②…………………………7分将①代入②得到28161+=1288114461⨯+⨯=401624=+=解得102=．……………………………………………………………10分由正弦定理得1042sin ===R B b ， 可解得552sin =B ．…………12分 考点：向量投影，正弦定理20、【答案】（1）有且只有1个零点（2）π22<k【解析】试题分析：（1）判定函数零点个数从两个方面，一是函数单调性，二是函数零点存在定理，先求函数导数()cos f x x x '=，确定函数在(2，3)上是减函数，即函数在(2，3)上至多一个零点．再研究区间端点函数值的符号：02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ，03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，得函数在(2，3)上至少一个零点，综上可得函数在(2，3)上有且仅有一个零点（2）先将不等式变量分离得：xxk sin <，再根据不等式有解问题转化为对应函数最值：x xk sin <的最大值，然后利用导数求函数xx x h sin )(=在)2,4(ππ∈x 上最大值试题解析：(1)x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，∴)32(，∈x 时，0cos )(<='x x x f ，∴函数)(x f 在(2，3)上是减函数． ……2分 又02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ， ……4分∵75.04263)43sin(312sin 31211sin33sin 3≈-⨯=-==<ππππ， 95.0426)43cos(12cos 1211cos 3cos -≈+-=--=-=<ππππ，∴03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，)(x f 在区间(2，3)上只有1个零点．…………………6分∴ππππ2242244sin)(==<x h ，即π22<k ． ………12分 考点：函数零点，利用导数研究不等式有解21、【答案】（1）a ≥0时，)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 0<a 时，)(x f 的单调递增区间是)210(a -，；单调递减区间是)21(∞+-，a ．（2）m ≥e3．（2）先化简不等式：2()ln 10x m e e x x ---+>，再变量分离转化为求对应函数最值：2ln 1x x x m e e +->-的最大值，利用导数求函数2ln 1x x x y e e+-=-最值，但这样方法要用到洛必达法则，所以直接研究=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x 单调性及最值，先求导数=')(x h x xme x 21--，再研究导函数符号变化规律：当m ≤0时，导函数非正，所以)(x h 在)1(∞+，上单调递减，注意到(1)=0h ，)(x h <h(1)= 0，不满足条件．当m>0时,讨论x x q xme x p x 2)(1)(=-=，大小关系，即确定导函数符号规律，注意到(1)=0h ，(),()p x q x 皆为单调递增函数，所以3(1)(1)p q m e≥⇒≥，从而导函数符号为正，即满足条件(2)01ln )()()(2>+---⇔>x x e e m x f x mg x ，令=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x ，则=')(x h x xme x 21--，令=')1(h 0，即03=-me ，可解得m=e 3． ①当m ≤0时，显然=')(x h 021<--x x me x ，此时)(x h 在)1(∞+，上单调递减， ∴)(x h <h(1)= 0，不满足条件． ……………………………………………6分 ②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，． 显然xme x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增，∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件． 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x0，当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减，又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0，不满足条件．……9分③当m ≥e 3时，令x xme x x 21)(--=ϕ，则21)(2-+='x me x x ϕ． ∵x ∈)1(∞+，，∴21)(2-+='x me x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e， 故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增， 于是033211)1()(=-⨯>--=>e e me x ϕϕ，即0)(>'x h ， ∴)(x h 在)1(∞+，上单调递增，∴0)1()(=>h x h 成立． 综上，实数m 的取值范围为m ≥e 3．………………………………………12分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值范围22、【答案】（1）24y x =（2）【解析】试题分析：（1）根据sin ,cos y x ρθρθ==将曲线极坐标方程化为直角坐标方程：24y x =（2）根据直线参数方程几何意义得12PA PB t t +=-入曲线方程24y x =，利用韦达定理代入化简得结果试题解析：(1)由曲线C 的原极坐标方程可得θρθρcos 4sin 22=，化成直角方程为24y x =．………………………………………………………4分(2)联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程可得)521(4)511(2t t +=+， 整理得015562=--t t ， ……………………………………………………7分∵01521<-=⋅t t ，于是点P 在AB 之间， ∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义23、【答案】（1）)21[∞+-，（2）11a -<<试题解析：(1)∵1=a 时，111)(+--+=x x x f ，∴当x ≤-1时，1)(-=x f ，不可能非负．当-1<x<1时，12)(+=x x f ，由)(x f ≥0可解得x ≥21-，于是21-≤x<1． 当x ≥1时，3)(=x f >0恒成立． ∴不等式)(x f ≥0的解集)21[∞+-，．………………………………………5分(2)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a ． 令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分 于是由题意可得11a -<<．…………10分 考点：绝对值定义。
四川绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学试题解析版(16页)
秘密★启用前【考试时间：2019年10月31日15:00-17：00】注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，0}4x -x |{x 2≤=B ，则=⋂B A （ ）}3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D【答案】A【解析】由题意得：{1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A ，[]4,10}4x -x |{x 2=≤=B ，所以=⋂B A }3,2,1{.【方法总结】集合是数学中比较基础的题目，但是仍然有许多同学出现考试失分。
特此总结下与集合中的元素有关问题的求解策略。
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学否满足元素的互异性．2．若0<<a b ,则下列结论不正确的是（ ）A.ba 11< B.2a ab > C.||||||b a b a +>+ D.33b a < 【答案】C【解析】由题意得：此题可以用特殊值加排除法，设1,2-=-=b a 时，||||||b a b a +=+与C 矛盾.【方法总结】此题考查不等式的性质，基础题。
||||||||||b a b a b a -≥+≥+ 3．下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.2)(x x f = B.x x f =)( C.||ln )(x x f = D.x e x f 2)(= 【答案】D【解析】B.的定义域为[)∞+，0，C 的定义域0≠x ，排除。
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理科综合试题绵阳一诊及参考答案
秘密★启用前【考试时间:2016年11月2日上午9:00～11:30】绵阳市高中2014级第一次诊断性考试理科综合能力测试可能用到的相对原予质量:Hl C12 N14 O16 Na23 Ti48 Ni59第I卷一、选择题:本题共13小题,每小题6分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.细胞中的元素和化合物是构成生命系统的物质基础,下列有关叙述错误的是A.以碳链为骨架的有机化合物构成了细胞的基本框架B.化合物的含量和比例在细胞的生命历程中不会改变C.不同种类细胞中化合物的种类和含量均有一定差异D.构成各类大分子有机物的单体在不同细胞中是相同的2.下列与细胞呼吸有关的叙述正确的是A.酵母菌经研磨、搅拌、加压过滤后得到的提取液仍可进行呼吸作用B.缺氧时有氧呼吸的第三阶段无法进行,但是第一、二阶段不受影响C.细胞呼吸包含一系列的放能反应,但仅有少部分能量储存到ATP中D.细胞无线粒体时只能进行无氧呼吸,有线粒体时仍可进行无氧呼吸3.生长在太平洋西北部的一种海蜇能发出绿色荧光,这是因为该种海蜇DNA分子上有一段长度为5 170个碱基对的片段——绿色荧光蛋白基因。
转基因实验表明,转入了海蜇的绿色荧光蛋白基因的转基因鼠,在紫外线的照射下,也能像海蜇一样发光。
这个材料说明:①基因是DNA分子上的片段②基因在染色体上③基因控制特定的遗传性状④基因控制性状的途径有两条⑤转基因技术可以定向地改造生物的遗传性状A.①②③B.②③④C.①④⑤D.①③⑤4.下列实验中实验材料、试剂或者操作与实验目的不相符合的是A.在鉴定可溶性还原糖时用斐林试剂并水浴加热B.用显微镜观察叶绿体时以菠菜叶下表皮作材料C.制作根尖细胞有丝分裂装片时漂洗根尖用清水D.提取绿叶中的色素时保护叶绿素分子用CaCO35.大气中CO2浓度升高引起的温室效应,可能改变土壤矿质元素含量。
为探究有关生态因子的变化对植物的影响,有人用同一环境中生长的两种植物,在光照和水分等适宜条件下做了模拟试验,测得数据如表。
2017绵阳一诊理科数学解析版
2017绵阳市一诊数学试卷（理科）一、选择题（共60分）1．（5分）集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{2，3，4}2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤03．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8 B．9 C．10 D．114．（5分）实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．5．（5分）命题＜1，命题q：lnx＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）2016年国庆期间，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠劵C：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%．若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（）A．300元B．400元C．500元D．600元7．（5分）要得到函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左平移多少个单位（）A．个B．个C．个D．个8．（5分）已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）A．cosβ=2cosαB．cos2β=2cos2αC．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α9．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x．设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为a n（n∈N*），则a3+a4+a5=（）A．7 B．C．D．1410．（5分）△ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则∠A的角平分线AD的长为（）A．B．C．2 D．111．（5分）如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，过P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于M，E，N，若，则2m+3n的最小值是（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）二、填空题13．（5分）若向量满足，则x=．14．（5分）公差不为0的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5=．15．（5分）函数f（x）=的图象在点（e2，f（e2））处的切线与直线y=﹣x 平行，则f（x）的极值点是．16．（5分）f（x）定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=x3，若对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．三.解答题（共70分）17．（12分）函数的图象（部分）如图．（1）求f（x）解析式（2）若，求cosα．18．（12分）设数列{a n}前n项和为S n，已知S n=2a n﹣1（n∈N*），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，求实数k的取值范围．19．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4，O为△ABC的外接圆的圆心．①若cosA=，求△ABC的面积S；②若D为BC边上任意一点，，求sinB的值．20．（12分）f（x）=xsinx+cosx；（1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参考数据：≈2.4）（2）若存在，使得f（x）＞kx2+cosx成立，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣1，g（x）=e x﹣e．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，且对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒成立，求实数m 的取值范围．[极坐标与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ；（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+a（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围．2017绵阳市一诊数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共60分）1．（5分）（2016秋•天水期末）集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{2，3，4}【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2﹣5x＜0}={x∈Z|0＜x＜5}={1，2，3，4}，且集合A={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={1，2}，故选A．【点评】本题考查了交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2．（5分）（2015•唐山二模）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（2017春•北市区校级月考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，由S7=28，得7a4=28，∴a4=4，则d=a5﹣a4=1，∴a9=a5+4d=5+4×1=9．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了上厕所了的前n项和，是基础的计算题．4．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：x，y对应的可行域如图：z=2x+y变形为y=﹣2x+z，当此直线经过图中A（1，0）时在y轴的截距最大，z最大，所以z的最大值为2×1+0=2；故选C．【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是关键．5．（5分）（2016秋•绵阳月考）命题＜1，命题q：lnx＜1，则p是q 成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：＜1，即p：x＞0；命题q：lnx＜1，即：0＜x＜e，则p是q成立的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．6．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）2016年国庆期间，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠劵C：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%．若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（）A．300元B．400元C．500元D．600元【分析】根据条件，分别求出减免钱款，可得结论；利用顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，建立不等式，即可求出他购买的商品的标价的最低价．【解答】解：设标价为x元，则（x﹣200）×20%＞x×10%且（x﹣200）×20%＞30，∴x＞400，即他购买的商品的标价应高于400元．故选B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．7．（5分）（2016秋•绵阳月考）要得到函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左平移多少个单位（）A．个B．个C．个D．个【分析】根据两角和差的正弦公式求得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），故将y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得f（x）=2sin（2x+）的图象，故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）A．cosβ=2cosαB．cos2β=2cos2αC．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系可得1+sin2θ=4sin2α，再利用二倍角公式化简可得cos2α=cos2β，从而得出结论．【解答】解：∵sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，∴1+sin2θ=4sin2α，即1+2sin2β=4sin2α，即1+2•=4•，化简可得cos2α=2cos2β，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．9．（5分）（2016秋•绵阳月考）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x．设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为a n（n∈N*），则a3+a4+a5=（）A．7 B．C．D．14【分析】f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x=﹣+．可得a1=f（），q=2，可得a n，即可得出．【解答】解：∵f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x=﹣+．a1=f（）=，q=2，∴a n==2n﹣3，∴a3+a4+a5=1+2+22=7．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的单调性、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2017春•金牛区校级月考）△ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则∠A的角平分线AD的长为（）A．B．C．2 D．1【分析】由条件利用余弦定理求得BC、cosB的值，根据角平分线的性质求得BD 的值，再利用余弦定理求得AD的值．【解答】解：在△ABC中，因为cosA=，AB=4，AC=2，则由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=16+4﹣16×=18，解得BC=3，所以cosB===，根据角平分线的性质可得：=，所以BD=，CD=，由余弦定理得，AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB=16+8﹣2×4××=4，则AD=2，故选C．【点评】本题考查了余弦定理，以及角平分线的性质的综合应用，考查化简、计算能力．11．（5分）（2016秋•绵阳月考）如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，过P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于M，E，N，若，则2m+3n的最小值是（）A．B．C．D．【分析】梅涅劳斯定理，，，，求出m，n的关系，即可利用基本不等式求解2m+3n的最小值．【解答】解：矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，可得：，，由梅涅劳斯定理，，，可得：，即，⇒2m+3n=5mn，2m+3n≥，解的：mn．当且仅当2m=3n时取等号，∴2m+3n=5mn≥故选C．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用12．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）若函数f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）【分析】问题转化为ax2＞﹣x4﹣4x3+4x﹣1，x=0时，成立，x≠0时，a＞﹣﹣4（x﹣）﹣2，求出a的范围即可．【解答】解：∵f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1＞0，∴ax2＞﹣x4﹣4x3+4x﹣1，x=0时，成立，x≠0时，a＞﹣x2﹣﹣4（x﹣）=﹣﹣4（x﹣）﹣2，设x﹣=t，则a＞﹣t2﹣4t﹣2=﹣（t+2）2+2，要使x≠0时a恒大于﹣（t+2）2+2，则只需a比﹣（t+2）2+2的最大值大，故a＞2，综上，a＞2，故选：A．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质以及转化思想，是一道中档题．二、填空题13．（5分）（2017•甘肃模拟）若向量满足，则x=1．【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由列式求得x值．【解答】解：∵，∴，又，且，∴x﹣1=0，即x=1．故答案为：1．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量垂直与坐标之间的关系，是基础的计算题．14．（5分）（2017•全国模拟）公差不为0的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5=13．【分析】设等差数列{a n}的公差d≠0，由a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，可得2a1+2d=8，，联立解出即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差d≠0，∵a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，∴2a1+2d=8，，解得a1=1，d=3．则a5=1+3×4=13．故答案为：13．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2016秋•绵阳月考）函数f（x）=的图象在点（e2，f（e2））处的切线与直线y=﹣x平行，则f（x）的极值点是x=e．【分析】求出函数的导数，根据f′（e2）=﹣=﹣，求出a的值，从而求出f （x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可．【解答】解：f′（x）=，故f′（e2）=﹣=﹣，解得：a=1，故f（x）=，f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=e，经检验x=e是函数的极值点，故答案为：x=e．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．16．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）f（x）定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=x3，若对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪{0}∪[1，+∞）．【分析】由题意f（x）为R上偶函数，f（x）=x3在x＞0上为单调增函数知|3x ﹣t|≥|2x|，转化为对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，5x2﹣6xt+t2≥0 恒成立问题．【解答】解：f（x）为R上偶函数，f（x）=x3在x＞0上为单调增函数，f（3x﹣t）≥8f（x）=f（2x）；|3x﹣t|≥|2x|；∴（3x﹣t）2≥（2x）2；化简后：5x2﹣6xt+t2≥0 ①；（1）当t＞0时，①式解为：x≤或x≥t；对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，①式恒成立，则需：t≤2t﹣1故t≥1；（2）当t＜0时，①是解为：x≤t 或x≥；对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，①式恒成立，则需：2t+3≤t故t≤﹣3；（3）当t=0时，①式恒成立；综上所述，t≤﹣3或t≥1或t=0．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪{0}∪[1，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的基本性质，以及函数恒成立问题，属中等题．三.解答题（共70分）17．（12分）（2016秋•绵阳月考）函数的图象（部分）如图．（1）求f（x）解析式（2）若，求cosα．【分析】（1）利用函数的图象，求出A，T，解出ω，求出，即可得到函数的解析式．（2）利用已知条件转化求出角的正弦函数，利用角的变换，求解即可．【解答】解：（1）由图得：A=2．由，解得ω=π．…（3分）由，可得，解得，又，可得，∴．…（6分）（2）由（Ⅰ）知，∴，由α∈（0，），得∈（，），∴．…（9分）∴===．…（12分）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，考查计算能力．18．（12分）（2016秋•绵阳月考）设数列{a n}前n项和为S n，已知S n=2a n﹣1（n ∈N*），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求出数列的首项，利用a n=S n﹣S n﹣1，求解数列的通项公式．（2）由k（S n+1）≥2n﹣9，整理得k≥，令，判断数列的单调性，求出最大项，然后求解实数k的取值范围．【解答】解：（1）令n=1，S1=2a1﹣1=a1，解得a1=1．…（2分）由S n=2a n﹣1，有S n﹣1=2a n﹣1﹣1，两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1，化简得a n=2a n﹣1（n≥2），∴数列{a n}是以首项为1，公比为2 的等比数列，∴数列{a n}的通项公式．…（6分）（2）由k（S n+1）≥2n﹣9，整理得k≥，令，则，…（8分）n=1，2，3，4，5时，，∴b1＜b2＜b3＜b4＜b5．…（10分）n=6，7，8，…时，，即b6＞b7＞b8＞…∵b5=＜，∴b n的最大值是．∴实数k的取值范围是．…（12分）【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列与函数相结合，考查构造法以及函数的单调性的应用，考查计算能力．19．（12分）（2016秋•绵阳月考）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4，O为△ABC的外接圆的圆心．①若cosA=，求△ABC的面积S；②若D为BC边上任意一点，，求sinB的值．【分析】①由，得，代入三角形面积公式求得△ABC的面积S；②由，利用余弦定理求出，再由正弦定理求得sinB的值．【解答】解：①由，得，∴；②由，可得，于是，即，（1）又O为△ABC的外接圆圆心，则，=，（2）将（1）代入（2），得到=，解得||=4．由正弦定理得，可解得sinB=．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理及其意义，训练了正弦定理和余弦定理在求解三角形问题中的应用，是中档题．20．（12分）（2016秋•绵阳月考）f（x）=xsinx+cosx；（1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参考数据：≈2.4）（2）若存在，使得f（x）＞kx2+cosx成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调性，根据零点的判定定理证明即可；（2）求出．令，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，∴x∈（2，3）时，f'（x）=xcosx＜0，∴函数f（x）在（2，3）上是减函数．…（2分）又，…（4分）∵，，∴f（3）=3sin3+cos3＜0，由零点存在性定理，f（x）在区间（2，3）上只有1个零点．…（6分）（2）由题意等价于xsinx+cosx＞kx2+cosx，整理得．…（7分）令，则，令g（x）=xcosx﹣sinx，g'（x）=﹣xsinx＜0，∴g（x）在上单调递减，…（9分）∴，即g（x）=xcosx﹣sinx＜0，∴，即在上单调递减，…（11分）∴，即．…（12分）【点评】本题考查了函数的零点判定定理，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．21．（12分）（2016秋•绵阳月考）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣1，g（x）=e x﹣e．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，且对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求导得f'（x）=，对a进行分类讨论，然后解不等式，即可分别求出单调区间；（2）构造新函数h（x）=m（e x﹣e）﹣（lnx+x2﹣1），利用转化思想，将条件转化为对于任意的x∈（1，+∞），h（x）＞0恒成立，h'（x）=me x﹣（），则h'（1）=me﹣3．若h'（1）＜0，存在x∈（1，+∞），使得h（x）＜0，不符合条件；若h'（1）≥0，则h'（x）≥﹣﹣2x，利用导数可判断φ（x）=﹣﹣2x＞0在（1，+∞）上恒成立，即h'（x）＞0恒成立，则h（x）在（1，+∞）上单调递增，从而h（x）＞h（1）=0恒成立，故m的取值范围为[，+∞）．【解答】解：（1）易知f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）==a≥0时，f'（x）＞0恒成立，故f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间；a＜0时，由f'（x）＞0，得0＜x＜；由f'（x）＜0，得x＞，故f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；（2）a=1时，f（x）=lnx+x2﹣1记h（x）=mg（x）﹣f（x）=m（e x﹣e）﹣（lnx+x2﹣1），x∈（1，+∞），则h （1）=0，∵对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒成立，∴对于任意的x∈（1，+∞），h（x）＞0恒成立，h'（x）=me x﹣（），则h'（1）=me﹣3若h'（1）＜0，即m＜，则存在x0∈（1，+∞），使得x∈（1，x0）时，h'（x）＜0，即h（x）在（1，x0）上单调递减，此时h（x）＜h（1）=0，不符合条件；若h'（1）≥0，即m≥，则h'（x）≥﹣﹣2x，令φ（x）=（x＞1），∵φ'（x）=＞＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（1）=0，即h'（x）≥φ（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，即对于任意的x∈（1，+∞），h（x）＞0恒成立，综上可得，m≥．【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间，还考查了不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题求解，再利用导数研究函的数最值，同时要注意对参数进行分类讨论．[极坐标与参数方程]22．（10分）（2016秋•西昌市校级月考）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ；（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可．（2）参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义求解即可．【解答】解：（1）由曲线C的原极坐标方程可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，化成直角方程为y2=4x．…（4分）（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，整理得，…（7分）∵t1•t2=﹣15＜0，于是点P在AB之间，∴．…（10分）【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016秋•西昌市校级月考）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+a（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的意义，求得不等式f（x）≤6的解集．（Ⅱ）函数f（x）的图象与直线y=x有3个不同的交点，数形结合可得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+1，∴当x≤﹣1时，f（x）=﹣1，不可能非负．当﹣1＜x＜1时，f（x）=2x+1，由f（x）≥0可解得x≥，于是≤x＜1．当x≥1时，f（x）=3＞0恒成立．∴不等式f（x）≥0的解集．…（5分）（Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为a=x+|x﹣1|﹣|x+1|．令作出图象如右．…（8分）于是由题意可得﹣1＜a＜1．…（10分）【点评】本题主要绝对值的意义，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：gongjy；qiss；sxs123；changq；刘老师；lcb001；caoqz；沂蒙松；左杰；wzhlq；叶老师（排名不分先后）菁优网2017年5月22日。
四川省绵阳市 中考数学一诊试卷(解析版)
四川省绵阳市中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选择中,只有一项符合题目要求）1．下列各数中,最小的实数是（）A．B．﹣1C．0D．2．下列计算正确的是（）A．a+a＝a2B．（2a）3＝6a3C．a3×a3＝2a3D．a3÷a＝a23．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体,其左视图是（）A．B．C．D．4．为了响应学校“书香校园”建设,阳光班的同学们积极捐书,其中宏志学习小组的同学捐书册数分别是：5,7,x,3,4,6．已知他们平均每人捐5本,则这组数据的众数、中位数和方差分别是（）A．5,5,B．5,5,10C．6,5.5,D．5,5,5．在联欢会上,甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上,他们在玩抢凳子的游戏,要在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,凳子应放的最恰当的位置是△ABC 的（）A．三条高的交点B．重心C．内心D．外心6．如图,在平面直角坐标系中,已知点A（﹣3,6）、B（﹣9,﹣3）,以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣3,﹣1）B．（﹣1,2）C．（﹣9,1）或（9,﹣1）D．（﹣3,﹣1）或（3,1）7．如图,圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O,三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处,铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处,铁片与三角尺的唯一公共点为B,下列说法错误的是（）A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm28．要制作一个圆锥形的烟囱帽,使底面圆的半径与母线长的比是4：5,那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A．288°B．144°C．216°D．120°9．已知方程组的解x,y满足x+2y≥0,则m的取值范围是（）A．m≥B．≤m≤1C．m≤﹣1D．m≥﹣110．如图,某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里11．如图示,若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB,则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle1780﹣1855）于1816年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意,1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845﹣1922）重新发现,并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中,∠EDF＝90°,若点Q为△DEF的布洛卡点,DQ＝1,则EQ+FQ＝（）A．5B．4C．D．12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点,现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中,正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共6个小题,每小题3分,共18分.）13．使函数y＝+（2x﹣1）0有意义的x的取值范围是．14．某病毒的直径是0.000 068毫米,这个数据用科学记数法表示为毫米．15．若实数m、n满足|m﹣2|+＝0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是．16．一个布袋内只装有一个红球和2个黄球,这些球除颜色外其余都相同,随机摸出一个球后放回搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球都是黄球的概率是．17．设S1＝1++,S2＝1++,S3＝1++,…,S n＝1++,设S＝++…+,则S＝（用含n的代数式表示,其中n为正整数）．18．如图,矩形ABCD中,AD＝5,AB＝8,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,若点D的对应点D′,连接D′B,以下结论中：①D′B的最小值为3；②当DE＝时,△ABD′是等腰三角形；③当DE＝2是,△ABD′是直角三角形；④△ABD′不可能是等腰直角三角形；其中正确的有．（填上你认为正确结论的序号）三、解答题：（本大题共7个小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（1）2sin30°﹣（π﹣）0﹣|﹣1|+（）﹣1（2）先化简,再求值：÷,其中x＝﹣220．（11分）某校为了预测本校九年级男生毕业体育测试达标情况,随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分50分,成绩均记为整数分）,并按测试成绩m（单位：分）分成四类：A类（45＜m≤50）,B类（40＜m≤45）,C类（35＜m≤40）,D类（m≤35）绘制出如图所示的两幅不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题：（1）求本次抽取的样本容量和扇形统计图中A类所对的圆心角的度数；（2）若该校九年级男生有500名,D类为测试成绩不达标,请估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多少名？21．（11分）如图,反比例函数y＝（x＞0）过点A（3,4）,直线AC与x轴交于点C（6,0）,过点C 作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B．（1）求k的值与B点的坐标；（2）在平面内有点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形,试写出符合条件的所有D点的坐标．22．（11分）对于实数m、n,我们定义一种运算“※”为：m※n＝mn+m+n．（1）化简：（a+b）※（a﹣b）．（2）解关于x的方程：x※（1※x）＝3．23．（11分）我市公交总公司为节约资源同时惠及民生,拟对一些乘客数量较少的路线投放“微型”公交车．该公司计划购买10台“微型”公交车,现有A、B两种型号,已知购买一台A型车比购买一台B型车多20万元,购买2台A型车比购买3台B型车少60万元．（1）问购买一台A型车和一台B型车分别需要多少万元？（2）经了解,每台A型车每年节省2.4万元,每台B型车每年节省2万元,若购买这批公交车每年至少节省22.4万,则购买这批公交车至少需要多少万元？24．（12分）如图,AB是半圆O的直径,D为BC的中点,延长OD交弧BC于点E,点F为OD的延长线上,CF切⊙于C．（1）求证：∠F＝∠B．（2）若DE＝1,∠ABC＝30°．求cos∠DAB的值．25．（14分）如图,直线y＝﹣x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上的点,连接OP交直线AB于点Q．设点P的横坐标为m,PQ与OQ 的比值为y,求y与m的函数关系式,并求出PQ与OQ的比值的最大值；（3）点D是抛物线对称轴上的一动点,连接OD、CD,设△ODC外接圆的圆心为M,当sin∠ODC 的值最大时,求点M的坐标．四川省绵阳市中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选择中,只有一项符合题目要求）1．【分析】对于正数、负数、0的比较应该很简单,关键在于对两个负数的比较,所以比较﹣与﹣1的大小成了本题的关键．【解答】解：∵与0一定大于负数,所以考查﹣与﹣1的大小．∵|﹣|＝,|﹣1|＝1,则＜1∴﹣＞﹣1∴以上各数中,最小的数是﹣1．故选：B．【点评】本题考查的是有理数的大小比较,关键是正确的对两个负数利用绝对值进行比较．2．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式＝2a,故A错误；（B）原式＝8a3,故B错误；（C）原式＝a6,故C错误；故选：D．【点评】本题考查整式的运算法则,解题的关键是熟练运用整式的运算法则,本题属于基础题型．3．【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【解答】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图．4．【分析】根据平均数,可得x的值,根据众数的定义、中位数的定义、方差的定义,可得答案．【解答】解：由5,7,x,3,4,6．已知他们平均每人捐5本,得x＝5．众数是5,中位数是5,方差＝,故选：D．【点评】本题考查了方差,利用方差的公式计算是解题关键．5．【分析】为使游戏公平,要使凳子到三个人的距离相等,于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知,要放在三边中垂线的交点上．【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等,∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．故选：D．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力,要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．6．【分析】利用以原点为位似中心,相似比为k,位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k,把B点的横纵坐标分别乘以或﹣即可得到点B′的坐标．【解答】解：∵以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,∴点B（﹣9,3）的对应点B′的坐标是（﹣3,﹣1）或（3,1）．故选：D．【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．7．【分析】由BC,AC分别是⊙O的切线,B,A为切点,得到OA⊥CA,OB⊥BC,又∠C＝90°,OA＝OB,推出四边形AOBC是正方形,得到OA＝AC＝4,故A,B正确；根据扇形的弧长、面积的计算公式求出结果即可进行判断．【解答】解：由题意得：BC,AC分别是⊙O的切线,B,A为切点,∴OA⊥CA,OB⊥BC,又∵∠C＝90°,OA＝OB,∴四边形AOBC是正方形,∴OA＝AC＝4,故A,B正确；∴的长度为：＝2π,故C错误；S＝＝4π,故D正确．扇形OAB故选：C．【点评】本题考查了切线的性质,正方形的判定和性质,扇形的弧长、面积的计算,熟记计算公式是解题的关键．8．【分析】根据底面圆的半径与母线长的比设出二者,然后利用底面圆的周长等于弧长列式计算即可．【解答】解：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5,∴设底面圆的半径为4x,则母线长是5x,设圆心角为n°,则2π×4x＝,解得：n＝288,故选：A．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长．9．【分析】把两个方程相减后×得出x+2y的值,再代入不等式解答即可．【解答】解：两个方程相减得：2x+4y＝﹣1﹣m,整理可得：x+2y＝﹣,把x+2y＝﹣代入x+2y≥0中,可得：﹣≥0,解得：m≤﹣1,故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式,熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．10．【分析】首先证明PB＝BC,推出∠C＝30°,可得PC＝2PA,求出PA即可解决问题；【解答】解：在Rt△PAB中,∵∠APB＝30°,∴PB＝2AB,由题意BC＝2AB,∴PB＝BC,∴∠C＝∠CPB,∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°,∴∠C＝30°,∴PC＝2PA,∵PA＝AB•tan60°,∴PC＝2×20×＝40（海里）,故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题,解题的关键是证明PB＝BC,推出∠C＝30°．11．【分析】由△DQF∽△FQE,推出＝＝＝,由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图,在等腰直角三角形△DEF中,∠EDF＝90°,DE＝DF,∠1＝∠2＝∠3,∵∠1+∠QEF＝∠3+∠DFQ＝45°,∴∠QEF＝∠DFQ,∵∠2＝∠3,∴△DQF∽△FQE,∴＝＝＝,∵DQ＝1,∴FQ＝,EQ＝2,∴EQ+FQ＝2+,故选：D．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型．12．【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0,可以推断抛物线最小值最小为0,对称轴在y 轴左侧,并得到b2﹣4ac≤0,从而得到①②为正确；由x＝﹣1及x＝﹣2时y都大于或等于零可以得到③④正确．【解答】解：∵b＞a＞0∴﹣＜0,所以①正确；∵抛物线与x轴最多有一个交点,∴b2﹣4ac≤0,∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0中,△＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a＜0,所以②正确；∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点,∴x取任何值时,y≥0∴当x＝﹣1时,a﹣b+c≥0；所以③正确；当x＝﹣2时,4a﹣2b+c≥0a+b+c≥3b﹣3aa+b+c≥3（b﹣a）≥3所以④正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系,解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向；a、b的符号决定对称轴的位置；抛物线与x轴的交点个数,决定了b2﹣4ac的符号．二、填空题：（本大题共6个小题,每小题3分,共18分.）13．【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零,可得答案．【解答】解：由题意,得,解得x＞﹣3且．故答案为：x＞﹣3且．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围,利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题关键．14．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 068＝6.8×10﹣5．故答案为：6.8×10﹣5．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|＜10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．15．【分析】由已知等式,结合非负数的性质求m、n的值,再根据m、n分别作为等腰三角形的腰,分类求解．【解答】解：∵|m﹣2|+＝0,∴m﹣2＝0,n﹣4＝0,解得m＝2,n＝4,当m＝2作腰时,三边为2,2,4,不符合三边关系定理；当n＝4作腰时,三边为2,4,4,符合三边关系定理,周长为：2+4+4＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了等腰三角形的性质,非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值,再根据m或n作为腰,分类求解．16．【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是黄球的情况,再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果,两次摸出的球都是黄球的有4种情况,∴两次摸出的球都是黄球的概率是,故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．17．【分析】根据已知等式得出一般性规律,表示出S n,代入表示出,代入S中计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：S1＝1++＝1+1+＝,S2＝1++＝1++＝,S3＝1++＝1++＝,…,S n＝1++＝＝,＝＝1+＝1+﹣,则S＝++…+＝1+1﹣+1+﹣+…+1+﹣＝n+1﹣＝．故答案为：．【点评】此题考查了实数的运算,弄清题中的规律是解本题的关键．18．【分析】解：当D′落在线段AB上时,D′B的值最小,此时D′B＝AB﹣AD＝3,得出①正确；过D′作MN⊥AB交AB于点N,交CD于点M,设AN＝x,则EM＝x﹣2.5,证出∠ED′M＝∠D′AN,因此△EMD′∽△D′NA,得出对应边成比例＝,求出x＝4,得出AN＝BN,因此AD′＝D′B,得出②正确；当DE＝2时,假设△ABD′是直角三角形,则E、D′、B在一条直线上,作EF⊥AB于点F,由勾股定理求出D′B、EB,得出③不正确；当AD′＝D′B时,由勾股定理的逆定理得出△ABD′不是直角三角形,当△ABD′是直角三角形时,由勾股定理求出D′B,得出AD′≠D′B,因此△ABD′不可能是等腰直角三角形,得出④正确．【解答】解：当D′落在线段AB上时,D′B的值最小,如图1所示：此时D′B＝AB﹣AD＝8﹣5＝3,∴①正确；过D′作MN⊥AB交AB于点N,交CD于点M,如图2所示：设AN＝x,则EM＝x﹣2.5,∵∠AD′N＝∠DAD′,∠ED′M＝180°﹣∠AD′E﹣∠AD′N＝180°﹣90°﹣∠AD′N＝90°﹣∠AD′N,∴∠ED′M＝90°﹣∠DAD′,∵∠D′AN＝90°﹣∠DAD′,∴∠ED′M＝∠D′AN,∵MN⊥AB,∴∠EMD′＝∠AND′,∴△EMD′∽△D′NA,∴＝,即＝,解得：x＝4,∴AN＝BN,∴AD′＝D′B,即△ABD′是等腰三角形,∴②正确；当DE＝2时,假设△ABD′是直角三角形,则E、D′、B在一条直线上,作EF⊥AB于点F,如图3所示：D′B＝＝＝,EB＝＝＝,∵2+≠,∴③不正确；当AD′＝D′B时,52+52≠82,∴△ABD′不是直角三角形,当△ABD′是直角三角形时,D′B＝＝＝,∴AD′≠D′B,∴△ABD′不可能是等腰直角三角形,∴④正确；故答案为：①②④．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定等知识；本题综合性强,有一定难度,熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解决问题的关键．三、解答题：（本大题共7个小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案．（2）根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝2×﹣1+﹣1+2＝+1；（2）原式＝×＝＝,当x＝﹣2时,原式＝＝2﹣1；【点评】本题考查分式的化简求值,解题的关键是熟练实数的运算法则以及分式的运算法则,本题属于基础题型．20．【分析】（1）用A类别人数除以其所占百分比可得样本容量,再用360°乘以A类别百分比可得其所对圆心角度数；（2）用总人数乘以样本中达标人数所占百分比可得．【解答】解：（1）本次抽取的样本容量为10÷20%＝50,扇形统计图中A类所对的圆心角的度数为360°×20%＝72°；（2）估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有500×（1﹣）＝470名．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用本估计总体,解题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答．21．【分析】（1）将A点的坐标代入反比例函数y＝求得k的值,然后将x＝6代入反比例函数解析式求得相应的y的值,即得点B的坐标；（2）使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形,如图所示,找出满足题意D的坐标即可．【解答】解：（1）把点A（3,4）代入y＝（x＞0）,得k＝xy＝3×4＝12,故该反比例函数解析式为：y＝．∵点C（6,0）,BC⊥x轴,∴把x＝6代入反比例函数y＝,得y＝＝2．则B（6,2）．综上所述,k的值是12,B点的坐标是（6,2）．（2）①如图,当四边形ABCD为平行四边形时,AD∥BC且AD＝BC．∵A（3,4）、B（6,2）、C（6,0）,∴点D的横坐标为3,y A﹣y D＝y B﹣y C即4﹣y D＝2﹣0,故y D＝2．所以D（3,2）．②如图,当四边形ACBD′为平行四边形时,AD′∥CB且AD′＝CB．∵A（3,4）、B（6,2）、C（6,0）,＝6．∴点D的横坐标为3,y D′﹣y A＝y B﹣y C即y D﹣4＝2﹣0,故y D′所以D′（3,6）．③如图,当四边形ACD″B为平行四边形时,AC＝BD″且AC∥BD″．∵A（3,4）、B（6,2）、C（6,0）,∴x D ″﹣x B ＝x C ﹣x A 即x D ″﹣6＝6﹣3,故x D ″＝9．y D ″﹣y B ＝y C ﹣y A 即y D ″﹣2＝0﹣4,故y D ″＝﹣2．所以D ″（9,﹣2）．综上所述,符合条件的点D 的坐标是：（3,2）或（3,6）或（9,﹣2）．【点评】此题考查了反比例函数综合题,涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式,平行四边形的判定与性质,解答（2）题时,采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想．22．【分析】（1）根据公式列式计算可得；（2）根据新定义计算左边可得关于x 的一元二次方程,解之可得．【解答】解：（1）∵m ※n ＝mn +m +n ,∴（a +b ）※（a ﹣b ）＝（a +b ）（a ﹣b ）+a +b +a ﹣b ＝a 2﹣b 2+2a ；（2）∵x ※（1※x ）＝3,∴2x 2+4x +1＝3,∴x 1＝﹣1+,x 2＝﹣1﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程和整式的运算,解题的关键是掌握新定义及解一元二次方程的能力．23．【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组,从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到y 与x 的函数关系式,然后求出x 的取值范围,即可解答本题．【解答】解：（1）设购买一台A 型车和一台B 型车分别需要a 万元、b 万元,,得,答：购买一台A 型车和一台B 型车分别需要120万元、100万元；（2）设A 型车购买x 台,则B 型车购买（10﹣x ）台,需要y 元,y ＝120x +100（10﹣x ）＝20x +1000,∵2.4x +2（10﹣x ）≥22.4,∴x ≥6,∴当x ＝6时,y 取得最小值,此时y ＝1120,答：购买这批公交车至少需要1120万元．【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用一次函数的性质解答．24．【分析】（1）连接OC,根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠B,根据垂径定理得到OF⊥BC,根据切线的性质得到OC⊥CF,根据余角的性质得到∠F＝∠BCO,于是得到结论；（2）设⊙O的半径为r,解直角三角形求得OD＝OB＝r,进而解得r＝2,过D作DH⊥AB于H,根据三角形函数求得DH＝,OH＝,根据勾股定理得到AD＝,于是得到结论．【解答】解：（1）连接OC,∵D是BC的中点,OC＝OB,∴OD⊥BC,∴∠BCO+∠COD＝90°∵FC是⊙O的切线,∴OC⊥CF,∴∠F+∠COF＝90°,∴∠F＝∠BCO,∵OC＝OB,∴∠OCB＝∠B,∴∠B＝∠F；（2）设⊙O的半径为r,∵OD⊥BC,且∠ABC＝30°,∴OD＝OB＝r,∵DE＝1,且OE＝OD+DE,∴r＝1+r,解得r＝2,过D作DH⊥AB于H,在Rt△ODH中∠DOH＝60°,OD＝1,∴DH＝,OH＝,在Rt△DAH中,∵AH＝AO+OH＝,∴AD＝＝,∴cos∠DAB＝＝＝．【点评】本题考查了切线的判定和性质,垂径定理,勾股定理,三角函数的定义,正确的作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）根据直线解析式求得点A、B的坐标,将两点的坐标代入抛物线解析式求解可得；（2）过点P作y轴的平行线交AB于点E,据此知△PEQ∽△OBQ,根据对应边成比例得y＝PE,由P（m,﹣m2+m+3）、E（m,﹣m+3）得PE＝﹣m2+m,结合y＝PE可得函数解析式,利用二次函数性质得其最大值；（3）设CO的垂直平分线与CO交于点N,知点M在CO的垂直平分线上,连接OM、CM、DM,根据∠ODC＝∠CMO＝∠OMN、MC＝MO＝MD知sin∠ODC＝sin∠OMN＝＝,当MD 取最小值时,sin∠ODC最大,据此进一步求解可得．【解答】解：（1）在y＝﹣x+3种,令y＝0得x＝4,令x＝0得y＝3,∴点A（4,0）、B（0,3）,把A（4,0）、B（0,3）代入y＝﹣x2+bx+c,得：,解得：,∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）如图1,过点P作y轴的平行线交AB于点E,则△PEQ∽△OBQ,∴＝,∵＝y、OB＝3,∴y＝PE,∵P（m,﹣m2+m+3）、E（m,﹣m+3）,则PE＝（﹣m2+m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m,∴y＝（﹣m2+m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+,∵0＜m＜4,∴当m＝2时,y＝,最大值∴PQ与OQ的比值的最大值为；（3）由抛物线y＝﹣x2+x+3易求C（﹣2,0）,对称轴为直线x＝1,∵△ODC的外心为点M,∴点M在CO的垂直平分线上,设CO的垂直平分线与CO交于点N,连接OM、CM、DM,则∠ODC＝∠CMO＝∠OMN、MC＝MO＝MD,∴sin∠ODC＝sin∠OMN＝＝,又MO＝MD,∴当MD取最小值时,sin∠ODC最大,此时⊙M与直线x＝1相切,MD＝2,MN＝＝,∴点M（﹣1,﹣）,根据对称性,另一点（﹣1,）也符合题意；综上所述,点M的坐标为（﹣1,）或（﹣1,﹣）．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质、三角形的外心、圆的有关性质等知识点．。
四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)解析版
最小值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6. 已知函数 f（x）=x3+（a-5）x2+（b+4）x，若函数 f（x）是奇函数，且曲线 y=f（x）
在点（3，f（3））的切线与直线 y= x+3 垂直，则 a+b=（ ）
A. -32
B. -20
C. 25
D. 42
7. 设实数 x，y 满足 3|x|+2|y|≤6，则 7x+3y-1 的最小值为（ ）
值为 b1，b2，…，bn，…，则 a1b1+a2b2+…+a20b20 的值为（ ）
A. 19×320+1
B. 19×319+1
C. 20×319+1
D. 20×320+1
12. 已知函数 f（x）=
，若存在实数 x1，x2，x3，x4，满足 x1＜x2＜
x3＜x4，且 f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则
其图象相邻两对称轴间的距离为 2，并过点（1，2）． （1）求 φ； （2）计算 f（1）+f（2）+…f（2019）．
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19. 设{an}是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Sn（n∈N*），{bn}是等差数列．已
知 a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设数列{Sn}的前 n 项和为 Tn（n∈N*）， （i）求 Tn；
8.【答案】D
【解析】解：由函数 f（x）=a-22-x 与函数 g（x）=2x-2+|x-2|的图象有唯一公共点， 可得方程 a-22-x=2x-2+|x-2|有且只有 1 个解， 方程 a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有 1 个解， 即直线 y=a 与 y=2x-2+22-x+|x-2|的图象只有一个交点， 设 h（x）=2x-2+22-x+|x-2|， 由 h（x）=h（4-x）， 可得函数 h（x）关于直线 x=2 对称，
绵阳一诊数学试题及答案
绵阳一诊数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值。
A. -1B. 1C. 5D. -5答案：B2. 计算下列几何图形的面积：一个长为6，宽为4的矩形。
A. 18B. 24C. 12D. 36答案：B3. 已知等差数列的首项a1 = 2，公差d = 3，求第5项的值。
A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A4. 求解方程2x^2 - 5x + 2 = 0的实数根。
A. x = 1/2 或 x = 2B. x = 1 或 x = 2C. x = 2 或 x = 4D. x = 1 或 x = 4答案：A5. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (1, 2)，求向量a与向量b的点积。
A. -1B. 1C. 5D. -5答案：C6. 计算函数y = sin(x)在x = π/4处的导数值。
A. √2/2B. 1/2C. 1D. -1答案：A7. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，判断三角形ABC的形状。
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不等边三角形答案：B8. 求解不等式3x - 5 > 2x + 1的解集。
A. x > 6B. x > 1C. x < 6D. x < 1答案：B9. 计算复数z = 3 + 4i的模。
A. 5B. √41C. 7D. √29答案：A10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求导数f'(x)。
A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 计算圆的周长，半径为5。
答案：10π12. 计算函数y = x^2 - 4x + 4在x = 2处的值。
答案：013. 已知向量a = (1, 1)和向量b = (2, -1)，求向量a与向量b的叉积。
2017届绵阳一诊文科和理科数学试题及答案
桃密★启用闹【尋试时间；2016年II月I H乃8—门：001绵阳市高中2014级第一次诊斷性考试数学（文史类〉注童事髓*L本试卷分第I «（选择魁）和第11粒（非透择国〉两部分.善卷亂考生务密梅自己的班姓名.考号填写在需题卡上.£回答第I轄时.选出毎小趙狰案后.用钳卑把答翹長上对琏睦甘的答宴妹苹涂XL 如需改动.用檢皮擦干净后.再选涂其它答羞标号*写庄本试卷匕无3.囘答聲H卷时・将衿宴耳在谷趙卡上柯写庄車试卷上无效*4”考试絡束厉，搐衿愿卡交冋•第I卷（选择题，共60分）一. 选择本大■典強小・・毎小・5井.«60#+在毎小JH蜡岀的BMSW申*只窝一牛是袴含■目JI瑕巒・L 己知隼合才=倜-25<3}・^{xeZlx2-5KO）t則卅门沪A. {], 2}B. {2. 3）G {1. 2. 3} D, （2t 3・4}2.已知命IB严VxER, ?-x+iM）t则¥为A. VreR. t\r+l>0 E” BxbtfR. J^3-^+1 ^0C* VxeR, D* m兀€R・埒-gHWO 3- <>L*算术〉是我區古代内容扱为丰富的一部数甞专苦*韦中有如T问题’今有女子善织.BW尺.七日织二十八尺.第二Ek第五日、第八日所织之和为十五尺，IM第九日所织尺数为A・ E 氐9 C. 10 D*11r->^0*4.若实ttx. yM&ix + yih的晟大的XlA. 0 B・\ C・ 2 D* -2<* (丈史戾》心M 1 < (*4X)s.设命Up 尸<2・*■?：剧p 是？成立的A*丸分不必鼻条件 缶必JF 不充分条件C.充县參件D.既不充分也不必J!条韩& 5WHfifc /（x ） - <in2x + VJcos2x （x 皂R ）的图氣 可将尸乙还的圈■向左平移A ・£小单位B.辛个单蚀C. £个单位D.兰个犖位6 3 4 127*三次函敷的am 在Ao» /（1»处的切&与工辑平th M /（X ）在区闾（1. 3）上的■小值是g. 201&年国庆节期间.堤阳市某大型商场举荷禅购物送券"活动.一名原客计划到该商 场购输，他有三张商场的tts#・裔场規定毎购买一件商品只能便用一张优再券.m 据购买商品的标偷，三強优毒券的优羸方式不同，具体如下，优惠券弘 若裔品标价超过100元’刚付歉时减免标价的10%； 优思券从 若商品标价趙过200元.魁忖款时减免30元二若訴品标价*0过200元，则村款时减免超过200元剳分的20%.若顾客想便用优豊券G 井希塑比便用优鬲券/应月减免的铁款都赛.刚他购买的裔 品的标价应高于A. 30Q 元B. 400 元C. 500 >tD. 600 元9.已却石in^Poslsina.A« co^>2cosa■in242sift%・则B. cos'沪2cosbC. CM 2严2cos2aD. cos2^2cc«2a=010.已知定义ft (O t +00)上的ft /(X)M 足 刃"1〉= 2几0・当"PL 1｝时. /(r)s-x J »Ift/(X )在卜-1・ u)上的(nGN*). Wa 4A ・2B ・ 1G *D ・吕11.在&BC 中.85.4 =1 *8AB^A. AC ^2,则乙*的角平分StXD 的怪为2 2“B ・2万C ・2D* 1IN tt/M = i* + 4? + ax2- 4x + i 在* 轴上方.JM实数口的取fit范!S是第II卷（非选择题共90分〉二、41空凤’車大■共4小■”S分.共20分.13. 若向0）t A（签O U滿足峯件3旷由可£垂直・—一14. 住公產不为。
绵阳2020级一诊理科数学答案
绵阳市高中 2017 级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．ACDBB DBCAC AD二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．2 3 5 1 1 3．e 14． 15． 16． m = − 或 m ≥0 4 2三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．1 7．解：（1） f (x ) = (cos x −sin x )2 − 2sin 2 x= = 1− 2sin x cos x − 2sin 2 xcos 2x − sin 2x= 2 cos(2x + ) ， ……………………………………………4 分 42 ∴ T = = ， 2即 f (x ) 的最小正周期为 . ……………………………………………………5 分 2k + ] ，k Z ∵ ∴ y = cos x 的单调递减区间为[ 2k ， ∈ ， 3 由 2k ≤2x + ≤ 2k + ， ∈ ，解得 k Z k − ≤ ≤ x k + ，k ∈Z ， 4 88 3 ∴ f (x ) 的单调递减区间为[ k − ， k + ]，k ∈Z ． ……………………7 分 88 2）由已知 f (x )= 1，可得 − 2 cos(2x + ) = −1， ………………………10 分 （ 0 0 42 即 cos(2x + ) = − ， 0 4 27 3 再由 x 0 (− ，− ) ，可得 2x + (− ，− ) ， 0 2 4 4 45 + = − ∴ 2x 0 ， 4 43 解得 x = − ．………………………………………………………………12 分 0 41 8．解：（1）∵ a n +2+a =2a ，n ∈N *，即 a -a =a -a ，n n +1 n +2 n +1 n +1 n ∴ 数列{a }是等差数列.n 由 a =1，a = a +3d = 7 ，解得 a =1，d = 2 ， 1 4 1 1∴ a =a +(n −1)d = 2n −1. ………………………………………………………4 分n 1当 n 1时， = b = 2，1 当 n ≥2 时， b = S − S= 2n +1 − 2 − (2n − 2) n n n −1 = 2 n +1 − 2n = 2 2 b = 2n ．……………………………………………8 分 nn − 2 n = 2 n . ∴ （ 数列{b }的通项公式为n = 22n −1 + n ，………………………………………………9 分2）由（1）得， c nT = (2+1) + (23 + 2) + (25 +3) + n 1 + n )= (2+ 23 + 25 +2 2 (1− 4n ) n (1+ n ) = + 1 − 4 22n 1 + − 2 n 2 + n = + ． ……………………………………………………12 分 3 2 1 9．解：（1）在△ABC 中，A +B +C =π，即 B =π-(A +C )，∴ sin B =sin(A +C )，由题意得 2 cos B =sin B +1． …………………………………………………3 分 两边平方可得 2cos 2B =sin 2B +2sin B +1，根据 sin 2B +cos 2B=1，可整理为 3sin 2B+2sin B -1=0，1 解得 sin B = 或 sin B =-1（舍去）．……………………………………………5 分 31 ∴ sin B = ． ……………………………………………………………………6 分 3− A = A + B + C = ，且 ，（ 2）由 C 2 可得 2A = − B ，C 为钝角， 2∴ sin 2A cos B ，=又 b = 3 ，a b c = = = 3 3 ， 由正弦定理得 sin A sin B sin Ca 3 3 sin A ， c = 3 3sin C = ∴ ．2 2 又 C 为钝角，由（1）得 cos B = ． ………………………………………9 分 31 12 1 = ac sin B =3 3 sin A 3 3sin C ∴ △ABC 的面积为 S 2 39 sin A sin( + A ) = sin A cos A 9 = 2 2 29 4 9 9 4 2 2 3 2 = sin 2A = cos B = = ， 4 3 23 2 综上所述，△ABC 的面积为 ． …………………………………………12 分 2ln x + 2 − 4 ln x + 24 2 0．解：（1）由题意得 f (x ) = =1− ， ………………………2 分ln x + 2 由 x ≥1，知 ln x ≥0，于是 ln x +2≥2， 1 1 2 4 ∴ 0 ≤ ，即 −2 − 0 ， ln x + 2 ln x + 24 ∴ ∴ -1≤1− <1， ln x + 2f (x )的值域为[-1，1)． ……………………………………………………5 分4 4 1 2 f (x )+ f (x ) = 1− +1− = (2) ， 1 2 + ln x 2 + 2ln x 1 24 4 3 所以 + = ． ln x + 2 ln x + 2 2 1 2又 x 1，x 1，1 2 ln x x = ln x +ln x = ln x + 2+ln x + 2−4 ∴ ………………………………8 分 1 2 1 2 12 234 4 = [(ln x + 2) + (ln x + 2)] ( + ) − 4 1 2 ln x 1 2 ln x 2+ 2 + 2 4(ln x + 2) 4(ln x + 2) = [8 + 2 + 1 ]− 4 3ln x + 2 ln x + 2 1 22 3 20 3≥ (8 + 2 16) − 4 = ， ……………………………………………11 分 ，即 x =x 时取“=”， 4 (ln x + 2) 4(ln x + 2) ln x + 2= 1 当且仅当 2 1 2 ln x + 2 1 2 20故 (x x ) 2 min= e 3 ，1 ∵ ∴ f (x )在(1，+∞)上是增函数，7 f (x x ) = 2 min． ………………… ………………………………………12 分1 131．解：（1）由题意得 f (x ) = e x − 2ax = x (e x − 2a ) ，令 h (x ) = e x 2 ， x x e x (x −1) = 则 h (x ) ． ……………………………………………………………2 分 x 2h (x ) h (x ) h (x ) h (x )<0 x 0 →+∞， ∴ 当 0<x <1 时，得 ，此时 单调递减，且 → ， h (x ) 当 x >1 时，得h (x ) h (x )>0 ，此时 单调递增，且 → ∞， x + →+∞， ∴ ① min =h (1)=e ．e f (x ) 在(0， ∞ 上是增函数，当 2a ≤e ，即 a ≤ 时， f (x ) ≥ ，于是 0 + ) 2 f (x ) 在(0， ∞ 上无极值．+ ) 从而 e 当 2a >e ，即 a > 时，存在 0<x <1<x ，使得f (x ) = f (x ) =0 ，② 1 2 1 2 2 f (x ) f (x ) 且当 x ∈(0，x )时， f (x ) >0 ， 在(0 ，x )上是单调递增； 11当 x ∈(x ，x )时， f (x ) <0 ， 在(x 1，x )上是单调递减；1 2 2 f (x ) 在(x ， ∞ 上是单调递增， 当 x ∈(x ，+∞)时， f (x ) <0 ， + ) 2 2 故 x 是 f (x )在(0， ∞ 上的极小值． + ) 2 e 综上， a ． …………………………………………………………………6 分 2（ ① 2）要证 f (x )>ax (ln x -x )即等价于证明 e x >ax ln x ．当 0<x ≤1 时，得 e x >1，ax ln x ≤0，显然成立； ………………………………………………………………………7 分 当 x >1 时，则 x ln x >0，② e 2 e 2 结合已知 0<a ≤ ，可得 0<ax ln x ≤ x ln x ． 2 2e 2 于是问题转化为证明 e x >x ln x ， 2 x −2 2e 即证明 − ln x 0 ． …………………………………………………………8 分 xx −2 2e 令 g (x ) = − ln x ，x 1， x 2 e x −2 (x −1) − x = 则 g (x ) ， x 2令 h (x ) 2e x −= 2 (x −1) − x ， 则 h (x ) 2x e x − −1， =2 + 易得 h (x ) 在 ( 0， ) 上单调递增.2 −1 0，h (2)=3 0 ， ∵ h (1) = ex −2 =1. ∴ ∴ 存在 x (1，2) 使得 h (x )=0 ，即 2x e 0 0 0 0h (x ) 在区间(1， x )上单调递减， 0在区间( x ， + )上单调递增， ………………………………………10 分 0 又 h (1) = −1 0，h (2)=0 ，∴ 当 x (1，2) 时， g (x ) 0 ， g (x ) 单调递减， 当 x ( 2，+ ) 时， g (x ) 0 ， g (x ) 单调递增，∴ g (x ) ≥ g (2) =1-ln2>0，故 g (x )>0，问题得证． ……………………………………………………12 分22．解：（1）由题意得 x 2 + y 2 = (cos + 3 sin )2 + (sin − 3 cos )2 = 4 ， x + y = 4 ． …………………………………………2 分 2∴ 曲线 C 的普通方程为 2 ∵ ∴ x = cos ， y = sin ，代入可得曲线 C 的极坐标方程为 = 2 ． ………………………………5 分2）把 = 代入 ρcos( − )=3 中， （ 3 6可得 ρcos( − )=3， 3 6解得 ρ= 2 3 ，即 B 点的极径 = 2 3 ，B 由（1）易得 =2，A ∴ |AB |=| - |= 2 3 -2． ………………………………………………10 分A B2 3．解：（1）当 m =2 时，f (x )=︱x -2︱+︱x+1︱-5．当 x ≤-1 时， f (x ) = −(x − 2) − (x +1) − 5 0 ，解得 x ≤-2； ……………………………………………………………………1 分 当-1<x <2 时， f (x ) = −(x − 2) + x +1− 5 ≥0，无解． ……………………………………………………………………………3 分 当 x ≥2 时， f (x ) = x − 2 + x +1− 5 ≥0，解得 x ≥3； ……………………………………………………………………4 分综上，原不等式的解集为 (− ，− 2] ，． ………………………………5 分 2）∵ f (x ) =| x − m | + | x +1| −5 ≥ | (x − m ) − (x +1) | −5| m +1| −5 ≥-2，（ = ∴ ∴ | m +1| ≥3， …………………………………………………………………8 分 m +1≥3 或 m +1≤-3，即 m ≥2 或 m ≤-4，− ∴ 实数 m 的取值范围是( ，-4] ， ． ……………………………10 分。
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绵阳市高2014级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ADBCB BADAC CA二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．13．114．1315．e16．t ≤-3或t ≥1或t =0三、解答题：本大题共6小题，共75分． 17．解 ：(Ⅰ)由图得：2=A ．由213165424=-==ωπT ，解得πω=． ………………………………………3分 由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ，可得223ππϕπ+=+k ，解得62ππϕ+=k ，又2πϕ<，可得6πϕ=，∴ )6sin(2)(ππ+=x x f ．………………………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知34)6sin(2)(=+=παπαf ， ∴ 32)6sin(=+πα， 由α∈(0，3π)，得6πα+∈(6π，2π)， ∴ 35)32(1)6cos(2=-=+πα． ……………………………………………9分 ∴ ]6)6cos[(cos ππαα-+==6sin)6sin(6cos)6cos(ππαππα+++=21322335⨯+⨯ =6215+． …………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ)令111121a a S n =-==，，解得11=a ．……………………………2分由12-=n n a S ，有1211-=--n n a S ， 两式相减得122--=n n n a a a ， 化简得12-=n n a a （n ≥2），∴ 数列}{n a 是以首项为1，公比为2 的等比数列，∴ 数列}{n a 的通项公式12-=n n a ．……………………………………………6分(Ⅱ)由(1)n k S +≥29n -，整理得k ≥nn 292-， 令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ， ………………………8分 n =1，2，3，4，5时，0221111>-=-++n n n nb b ， ∴ 54321b b b b b <<<<．………………………………………………………10分n =6，7，8，…时，0221111<-=-++n n n nb b ，即⋅⋅⋅>>>876b b b ． ∵ b 5=321<6436=b ， ∴ n b 的最大值是6436=b ．∴ 实数k 的取值范围是)643[∞+，．…………………………………………12分19．解：(Ⅰ)由54cos =A 得53sin =A ，∴ 5214453122821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC ．……………………………3分 (Ⅱ)由AC AB DA DO 4131+=-，可得AC AB AO 4131+=， 于是AO AC AO AB AO AO ⋅+⋅=⋅4131 ， ……………………………………5分即OAC OAB AO ∠∠=2，①又O 为△ABC 的的外接圆圆心，则OAB ∠OAC ∠=，②…………………………7分将①代入②得到28161AO +=1288114461⨯+⨯=401624=+=，解得102=．……………………………………………………………10分由正弦定理得1042sin ===R B b，可解得552sin =B ．…………………………………………………………12分 20．解：(Ⅰ) x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，∴ )32(，∈x 时，0cos )(<='x x x f ，∴ 函数)(x f 在(2，3)上是减函数． …………………………………………2分 又02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ， ……4分∵ 75.04263)43sin(312sin 31211sin33sin 3≈-⨯=-==<ππππ， 95.0426)43cos(12cos 1211cos3cos -≈+-=--=-=<ππππ， ∴ 03cos 3sin 3)3(<+=f ， 由零点存在性定理，)(x f 在区间(2，3)上只有1个零点．…………………6分 (Ⅱ)由题意等价于x x x cos sin +x kx cos 2+>， 整理得xxk sin <． ………………………………………………………………7分 令x xx h sin )(=，则2sin cos )(x x x x x h -='， 令x x x x g sin cos )(-=，0sin )(<-='x x x g ，∴ g (x )在)24(ππ，∈x 上单调递减， …………………………………………9分∴ 0)14(22)4()(<-⨯=<ππg x g ，即0sin cos )(<-=x x x x g ，∴ 0sin cos )(2<-='x x x x x h ，即x x x h sin )(=在)24(ππ，上单调递减， ……11分∴ ππππ2242244sin)(==<x h ，即π22<k ． …………………………………………………………………12分21．解：(Ⅰ) xax ax x x f 1221)(2+=+='，①a ≥0时，0)(>'x f ，)(x f 在)0(∞+，上单调递增．………………………2分②0<a 时，由0)(>'x f 可解得ax 210-<<，由0)(<'x f 可解得a x 21->，综上： a ≥0时，)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，；0<a 时，)(x f 的单调递增区间是)210(a-，；单调递减区间是)21(∞+-，a ．…………………………………………………………4分(Ⅱ)01ln )()()(2>+---⇔>x x e e m x f x mg x ， 令=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x ，则=')(x h x xme x 21--，令=')1(h 0，即03=-me ，可解得m =e 3．①当m ≤0时，显然=')(x h 021<--x xme x ，此时)(x h 在)1(∞+，上单调递减，∴ )(x h <h (1)=0，不满足条件． ……………………………………………6分②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，．显然xme x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增， ∴ 2131)1()(min =-⨯<-==e eme p x p ．由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ． ∴ min min )()(x q x p <．于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件．若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x >1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x 0， 当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减， 又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴ )(x h 不可能恒大于0，不满足条件． ……………………………………9分 ③当m ≥e 3时，令x x me x x 21)(--=ϕ，则21)(2-+='x me x x ϕ．∵ x ∈)1(∞+，， ∴ 21)(2-+='x me x x ϕ>2-xme ≥0123>=-⋅e e ，故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增， 于是033211)1()(=-⨯>--=>e eme x ϕϕ，即0)(>'x h ，∴ )(x h 在)1(∞+，上单调递增， ∴ 0)1()(=>h x h 成立． 综上，实数m 的取值范围为m ≥e3．………………………………………12分 22．解：(Ⅰ)由曲线C 的原极坐标方程可得θρθρcos 4sin 22=，化成直角方程为y 2=4x ．………………………………………………………4分 (Ⅱ)联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程可得)521(4)511(2t t +=+，整理得015562=--t t ， ……………………………………………………7分 ∵ 01521<-=⋅t t ，于是点P 在AB 之间，∴ 1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分 23．解：(Ⅰ)∵ 1=a 时，111)(+--+=x x x f ，∴ 当x ≤-1时，1)(-=x f ，不可能非负． 当-1<x <1时，12)(+=x x f ，由)(x f ≥0可解得x ≥21-，于是21-≤x <1． 当x ≥1时，3)(=x f >0恒成立．∴ 不等式)(x f ≥0的解集)21[∞+-，．………………………………………5分(Ⅱ)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分于是由题意可得-1<a <1．…………10分。