高2017届绵阳一诊数学(理科)答案

绵阳市高2014级第一次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

ADBCB BADAC CA

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

13．1

14．13

15．e

16．t ≤-3或t ≥1或t =0

三、解答题：本大题共6小题，共75分． 17．解 ：(Ⅰ)由图得：2=A ．

由

2

1

3165424=-==ωπT ，解得πω=． ………………………………………3分 由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ，可得223ππϕπ+=+k ，解得6

2ππϕ+=k ，

又2

π

ϕ<

，可得6π

ϕ=

，

∴ )6

sin(2)(π

π+

=x x f ．………………………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知3

4)6

sin(2)(=

+=π

απ

α

f ， ∴ 3

2)6

sin(=

+

π

α， 由α∈(0，3π)，得6π

α+∈(6π，2π)， ∴ 3

5

)32(1)6cos(2=

-=+

π

α． ……………………………………………9分 ∴ ]6

)6

cos[(cos π

π

αα-

+==6

sin

)6

sin(6

cos

)6

cos(

π

π

απ

π

α+

++

=2

1322335⨯+⨯ =

6

2

15+． …………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ)令111121a a S n =-==，，解得11=a ．……………………………2分

由12-=n n a S ，有1211-=--n n a S ， 两式相减得122--=n n n a a a ， 化简得12-=n n a a （n ≥2），

∴ 数列}{n a 是以首项为1，公比为2 的等比数列，

∴ 数列}{n a 的通项公式12-=n n a ．……………………………………………6分

(Ⅱ)由(1)n k S +≥29n -，整理得k ≥

n

n 29

2-， 令n n n b 292-=，则1112

211292272+++-=---=-n n n n

n n

n n b b ， ………………………8分 n =1，2，3，4，5时，022111

1>-=-++n n n n

b b ， ∴ 54321b b b b b <<<<．………………………………………………………10分

n =6，7，8，…时，022111

1<-=-++n n n n

b b ，即⋅⋅⋅>>>876b b b ． ∵ b 5=

321<64

36=b ， ∴ n b 的最大值是64

3

6=b ．

∴ 实数k 的取值范围是)64

3

[∞+，．…………………………………………12分

19．解：(Ⅰ)由5

4

cos =A 得53sin =A ，

∴ 5

2

14453122821sin 21=

⨯⨯⨯==

∆A bc S ABC ．……………………………3分 (Ⅱ)由AC AB DA DO 41

31+=-，

可得AC AB AO 4

1

31+=

， 于是AO AC AO AB AO AO ⋅+⋅=⋅4

1

31 ， ……………………………………5分

即OAC OAB AO ∠∠=2，①

又O 为△ABC 的的外接圆圆心，则

OAB ∠OAC ∠=，②…………………………7分

将①代入②得到2

8

1

61AO +=

1288

1

14461⨯+⨯=

401624=+=，

解得

102=．……………………………………………………………10分

由正弦定理得1042sin ===R B b

，

可解得5

5

2sin =

B ．…………………………………………………………12分 20．解：(Ⅰ) x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，

∴ )32(，∈x 时，0cos )(<='x x x f ，

∴ 函数)(x f 在(2，3)上是减函数． …………………………………………2分 又02sin )4

2sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=π

f ， ……4分

∵ 75.04

2

63)43sin(312sin 31211sin

33sin 3≈-⨯=-==<ππππ， 95.04

26)43cos(12cos 1211cos

3cos -≈+-=--=-=<ππππ， ∴ 03cos 3sin 3)3(<+=f ， 由零点存在性定理，)(x f 在区间(2，3)上只有1个零点．…………………6分 (Ⅱ)由题意等价于x x x cos sin +x kx cos 2+>， 整理得x

x

k sin <． ………………………………………………………………7分 令x x

x h sin )(=

，则2

sin cos )(x x x x x h -='， 令x x x x g sin cos )(-=，0sin )(<-='x x x g ，

∴ g (x )在)2

4(π

π，∈x 上单调递减， …………………………………………9分

∴ 0)14

(22)4()(<-⨯=<π

πg x g ，即0sin cos )(<-=x x x x g ，

∴ 0sin cos )(2

<-=

'x x x x x h ，即x x x h sin )(=在)24(π

π，上单调递减， ……11分

∴ π

π

π

π

224

22

4

4sin

)(==<

x h ，

即π

2

2<

k ． …………………………………………………………………12分

21．解：(Ⅰ) x

ax ax x x f 1

221)(2+=+='，