2020届绵阳一诊数学试题(理科)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.设集合M＝{−1, 0, 1}，N＝{x|x−1<0}，则M∩N＝（）A.{0}B.{1}C.{0, 1}D.{−1, 0}2.若sinα=13，则cos2α()A.−79B.−29C.29D.793.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，则a4＝（）A.4B.7C.8D.144.若a，b均为不等于1的正实数，则“a>b>1”是“log b2>log a2”的（）A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充分必要条件5.函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.2B.3C.4D.56.已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−32B.−20C.25D.427.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−13B.−15C.−17D.−198.已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.−1B.0C.1D.29.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n −2，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝64，则1m +9n 的最小值为（ ） A.145 B.114C.83D.10310.设函数f(x)＝ae x −2sinx ，x ∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ） A.√2e π4B.√2e−π4C.√2e π2D.√2e−π211.定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x <2时，f(x)=2x −x 2：当x ≥2时，f(x)=3f(x −2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a 1，a 2，⋯，a n ，⋯，并记相应的极大值为b 1，b 2，⋯，b n ，⋯，则a 1b 1+a 2b 2+⋯+a 20b 20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+112.已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 ，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2的取值范围是（ ） A.(0, 12) B.(0, 16) C.(9, 21) D.(15, 25)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上13.已知向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)，若(a →+2b →) // (2a →−b →)，则实数λ＝________．14.函数f(x)＝Asin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．15.在△ABC 中，AB ＝4，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)，且x +2y ＝1，则△ABC 的面积的最大值为________．16.已知恰有两条不同的直线与曲线y ＝e x−2和x 2＝2py 都相切，则实数p 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知asin A+C 2=bsinA ．(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．18.函数f(x)＝Asin 2(ωx +φ)(A >0, ω>0, 0<φ<π2)，且y ＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)． （1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．19.设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ；②证明∑(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．20.已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．21.已知函数f(x)＝alnx(a ≠0)，g(x)＝x −1x ． （1）当a ＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x ＝1是函数F(x)的极大值点，求a 的取值范围．22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3ty =−√3t（t 为参数），曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长．23.已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围．24.设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围．2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.设集合M ＝{−1, 0, 1}，N ＝{x|x −1<0}，则M ∩N ＝（ ） A.{0} B.{1} C.{0, 1} D.{−1, 0}【解答】由题得N ＝{x|x <1}，所以M ∩N ＝{−1, 0}． 2.若sinα=13，则cos2α() A.−79 B.−29C.29D.79【解答】 ∵sinα=13，∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×(13)2=79．3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 7＝28，则a 4＝（ ） A.4 B.7 C.8 D.14【解答】因为数列{a n }是等差数列，S 7＝28=a 1+a 72×7=2a 42×7=7a 4，所以a 4＝4．4.若a ，b 均为不等于1的正实数，则“a >b >1”是“log b 2>log a 2”的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分必要条件【解答】a ，b 均为不等于1的正实数，当若“a >b >1”时，由对数函数的性质可得：log 2a >log 2b >0， 可得log b 2>log a 2成立． 当若：“log b 2>log a 2”有①若a ，b 均大于1，由log b 2>log a 2，知log 2a >log 2b >0，必有a >b >1； ②若a ，b 均大于0小于1，依题意，0>log 2a >log 2b ，必有0<b <a <1； ③若log a 2<0<log b 2，则必有0<a <1<b ； 故：“log b 2>log a 2”不能推出a >b >1；综上所述由充要条件的定义知，a>b>1”是“log b2>log a2”的充分不必要条件．5.函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【解答】函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则：2T+3T4<2π，整理得：114⋅2πω<2π，解得：ω>114，6.已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−32 B.−20 C.25 D.42【解答】因为函数f(x)是奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，所以a＝5．由题得f′(x)＝3x2+(b+4)，∴k＝f′(3)＝b+31，因为切线与直线y=16x+3垂直，所以b+31＝−6，所以b＝−37．所以a+b＝−32．7.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−13B.−15C.−17D.−19【解答】先根据实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，画出可行域，A(0, 3)，B(2, 0)，C(0, −3)，D(−2, 0)，当直线z＝7x+3y−1过点D时，目标函数取得最小值，7x+3y−1最小是：−15，8.已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.−1B.0C.1D.2【解答】由函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，可得方程a−22−x＝2x−2+|x−2|有且只有1个解，方程a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，即直线y＝a与y＝2x−2+22−x+|x−2|的图象只有一个交点，设ℎ(x)＝2x−2+22−x+|x−2|，由ℎ(x)＝ℎ(4−x)，可得函数ℎ(x)关于直线x＝2对称，若a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，则a＝ℎ(2)＝2，9.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n−2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则1m +9n的最小值为（）A.145B.114C.83D.103【解答】S n＝2a n−2，可得a1＝S1＝2a1−2，即a1＝2，n≥2时，S n−1＝2a n−1−2，又S n＝2a n−2，相减可得a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1，即a n＝2a n−1，{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n＝2n．a m a n＝64，即2m⋅2n＝64，得m+n＝6，所以1m +9n=16(m+n)(1m+9n)=16(10+nm+9mn)≥16(10+2√9)=83，当且仅当nm =9mn时取等号，即为m=32，n=92．因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m +9n>83，验证可得，当m＝2，n＝4时，1m +9n取得最小值为114．10.设函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A.√2e π4 B.√2e−π4 C.√2eπ2 D.√2e−π2【解答】函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点等价于a=2sinxe x，x∈[0, π]有且仅有一个解，即直线y＝a与g(x)=2sinxe x，x∈[0, π]的图象只有一个交点，设g(x)=2sinxe，x∈[0, π]，则g′(x)=2√2cos(x+π4)e x，当0≤x<π4时，g′(x)>0，当π4<x≤π时，g′(x)<0，即g(x)在[0, π4)为增函数, 在(π4, π]为减函数，又g(0)＝0，g(π)＝0，g(π4)=√2e−π4，则可得实数a的值为√2e−π4，11.定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x<2时，f(x)=2x−x2：当x≥2时，f(x)=3f(x−2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，⋯，a n，⋯，并记相应的极大值为b1，b2，⋯，b n，⋯，则a1b1+a2b2+⋯+a20b20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+1【解答】解：当0≤x<2时，f(x)=2x−x2=1−(x−1)2，可得f(x)的极大值点a1=1，b1=1，当2≤x<4，即有0≤x−2<2，可得f(x)=3f(x−2)=3[1−(x−3)2]，可得a2=3，b2=3，当4≤x<6，即有0≤x−4<2，可得f(x)=9f(x−4)=9[1−(x−5)2]，可得a3=5，b3=9，⋯即有a20=39，b3=319，则S20=a1b1+a2b2+⋯+a20b20=1×1+3×3+5×9+⋯+39×319，3S20=1×3+3×9+5×27+⋯+39×320，相减可得−2S20=1+2(3+9+27+⋯+319)−39×320=1+2×3(1−319)1−3−39×320，化简可得S20=1+19×320.故选A.12.已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 ，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2的取值范围是（ ） A.(0, 12) B.(0, 16) C.(9, 21) D.(15, 25)【解答】作出函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 的图象， 存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4， 且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)， 可得−log 2x 1＝log 2x 2，即有x 1x 2＝1，且x 3+x 4＝2×6＝12，即为x 4＝12−x 3，2<x 3<4， 则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2=(x 3−2)(x 4−2)＝(x 3−2)(10−x 3)＝−(x 3−6)2+36， 可得在(2, 4)递增， 即所求范围为(0, 12)．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上已知向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)，若(a →+2b →) // (2a →−b →)，则实数λ＝________． 【解答】向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)， 则a →+2b →=(0, 2λ−1)， 2a →−b →=(−5, −λ−1)， 又(a →+2b →) // (2a →−b →)，所以0×(−λ−1)−(−5)×(2λ−1)＝0， 解得实数λ=12．函数f(x)＝Asin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．【解答】根据函数的图象：A ＝1， 由于T4=5π12−π4=π6，整理得T =2π3，所以ω=2π2π3=3，当x =π4时，3⋅π4+φ＝kπ(k ∈Z)，解得φ＝kπ−3π4(k ∈Z)，由于|ϕ|<π2，当k ＝1时φ=π4． 所以f(x)＝sin(3x +π4)，所以为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移π12个单位即可．在△ABC 中，AB ＝4，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)，且x +2y ＝1，则△ABC 的面积的最大值为________． 【解答】取AC 的中点D ，因为AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)， 所以AO →=xAB →+2YAD →， 又因为x +2y ＝1， 所以B ，O ，D 三点共线， 因为O 是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC，设AD＝DC＝m，则BD=2所以S△ABC=12⋅2m⋅√16−m2=√m2(16−m2)≤√(m2+16−m22)2=8，当且仅当m＝2√2时取等号．已知恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，则实数p的取值范围是________．【解答】恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，可得y＝e x−2和x2＝2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=x 2e x−2，设f(x)=x2e x−2，f′(x)=x(2−x)e x−2，可得0<x<2时，f(x)递减；x>2或x<0时，f(x)递增，即有f(x)的极小值为f(0)＝0，极大值为f(2)＝4，则0<2p<4，可得0<p<2．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asin A+C2=bsinA．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【解答】解：(1)由题设及正弦定理得，sinAsin A+C2=sinBsinA,因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘；(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=csinAsinC =sin(120∘−C)sinC=√32tanC+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √3 2).函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)．（1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．【解答】函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)=A2−A2cos(2ωx+2φ)，由y＝f(x)的最大值为2，则A>0，且A2+A2=2，解得A＝2；又f(x)图象相邻两对称轴间的距离为2，且ω>0，所以12⋅2π2ω=2，解得ω=π4；所以f(x)＝1−cos(π2x+2φ)，又y＝f(x)过(1, 2)点，所以1−cos(π2+2φ)＝2，求得cos(π2+2φ)＝−1，所以sin2φ＝1，解得2φ＝2kπ+π2，k∈Z；所以φ=kπ+π4，k ∈Z ， 又0<φ<π2，所以φ=π4；由φ=π4，所以y ＝f(x)＝1−cos(π2x +π2)＝1+sin π2x ； 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+1+0+1＝4， 又y ＝f(x)的周期为4，且2019÷4＝504...3， 所以f(1)+f(2)+...+f(2019)＝504×4+3＝2019．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ；②证明∑(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．【解答】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2−q −2=0．∵q >0，可得q =2． 故a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d =4， 由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d =16， ∴b 1=d =1． 故b n =n ．所以数列{a n }的通项公式为a n =2n−1，数列{b n }的通项公式为b n =n ． （2）①解：由(1)，有S n =1−2n 1−2=2n −1，故T n =∑(n k=12k −1)=∑2k n k=1−n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2．②证明：因为(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1， 所以∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：(1)定义域为(0, +∞)，f′(x)=1−lnxx2，令f′(x)=1−lnxx2=0，得x=e．f(x)的单调递增区间为(0, e)，单调递减区间为(e, +∞)．f(x)的极大值为f(e)=lnee =1e，无极小值．(2)∵x>0，lnxx≤kx，∴k≥lnxx2，令ℎ(x)=lnxx2，又ℎ′(x)=1−2lnxx3，令ℎ′(x)=0，解得x=√e，ℎ(x)的单调递增区间为(0,√e)，单调递减区间为(√e,+∞)．当x=√e时函数ℎ(x)有最大值，且最大值为12e，所以k≥12e．已知函数f(x)＝alnx(a≠0)，g(x)＝x−1x．（1）当a＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x＝1是函数F(x)的极大值点，求a的取值范围．【解答】a＝2时，设G(x)＝2xlnx−x2+1，G(1)＝0．则x>0，G′(x)＝2(1+lnx−x)，令u(x)＝1+lnx−x，u′(x)=1x −1=−(x−1)x，可得x＝1时，函数u(x)取得极大值，∴u(x)≤u(1)＝0．∴G′(x)＝2(1+lnx−x)≤0，∴G(x)是(0, +∞)上的减函数，∴0<x<1，G(x)<0，即2xlnx<x2−1，∴2lnx<x−1x．x＝1时，可得2lnx＝x−1x．x>1时，2lnx>x−1x．函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2=[aln√x]2−(√x−√x )2=14a2ln2x−x−1x+2．F′(x)=12a2lnxx−1+1x．∵1是函数F(x)的极大值点，∴x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x<0.0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2>0．①x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2<0．化为：12a2<x2−1xlnx，令ℎ(x)=x 2−1xlnx，x>1．ℎ′(x)=x2lnx+lnx−x2+1(xlnx)2，令u(x)＝x2lnx+lnx−x2+1，u′(x)＝2xlnx−x+1x=v(x)，v′(x)＝2lnx+1−1x2>0．∴u′(x)>v(1)＝0．∴u(x)>u(1)＝0．∴ℎ′(x)>0．∴ℎ(x)在x∈(1, +∞)上单调递增．∴x→1时，x 2−1xlnx →2xlnx+1=2，∴12a2≤2，可得a2≤4．②0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2≥0．同理可得：a2≤4综上可得：a2≤4，解得−2≤a≤2．∴a的取值范围是[−2, 2]．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3ty=−√3t（t为参数），曲线C1的参数方程为{x=2+2cosθy=2sinθ（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ= 2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长． 【解答】（1）直线l 的参数方程为{x =3ty =−√3t （t 为参数），转换为直角坐标方程为：yx =−√33， 所以直线的倾斜角为5π6． 所以：θ=5π6，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2＝4． 转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ， 转换为直角坐标的方程为：x 2+y 2=2√3x −2y ， 整理得：x 2+y 2−2√3x +2y =0， 线l 交曲线C 1于O ，A 两点， 则：{θ=5π6ρ=4cosθ，解得：A(−2√3, 5π6)， 直线θ=5π6和曲线C 2于O ，B 两点 则：{θ=5π6ρ=2√3cosθ−2sinθ，解得：B(−4, 5π6)，所以：|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4−2√3．已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围． 【解答】解：(1)当a =0时，f(x)<1化为|2x −1|−|x|−1<0． 当x ≤0时，不等式化为x >0，无解；当0<x ≤12时，不等式化为x >0， 解得0<x ≤12；当x >12时，不等式化为x <2， 解得12<x <2；综上，f(x)<1的解集为{x|0<x <2}． (2)由题设可得f(x)={ −x +1−a ，x <a,−3x +1+a ，a ≤x ≤12,x −1+a ，x >12,所以f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为, (a+13, 0)，(1−a, 0)，(12，a −12)，该三角形的面积为12×[(1−a)−(a+13)]×|a −12|=(1−2a)26．由题设(1−2a)26>32，且a <0，解得a <−1．所以a 的取值范围是(−∞, −1)．设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围． 【解答】函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，当x ≤−3时，f(x)＝(3−x)−(x +1)＝−2−2x ，不等式f(x)≤6化为−2−2x ≤6，解得x ≥−4，此时，−4≤x ≤−3； 当−3<x <1时，f(x)＝3−x +x +1＝4<6，恒成立；当x ≥1时，f(x)＝x −3+x +1＝2x +2，不等式f(x)≤6化为2x +2≤6，解得x ≤2．综上所述，不等式f(x)≤6的解集为[−4, 2]，即M ＝[−4, 2]；当−4≤x ≤−3时，f(x)＝−2x −2，不等式f(x)≥a|x −1|化为−2x −2≥−a(x −1)， 即a ≤2x+2x−1，∴a ≤2+4x−1，求得a ≤1； 当−3<x <1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥−a(x −1)，即a ≤4−(x−1)，求得0<a ≤1；当x ＝1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥0，恒成立，此时a >0；当1<x ≤2时，f(x)＝2x +2，不等式f(x)≥a|x −1|化为2x +2≥a(x −1)， 即a ≤2x+2x−1，∴a ≤2+4x−1，求得0<a ≤6． 综上所述，a 的取值范围是(0, 1]．。
绵阳2020届中考初三一诊考试数学试题
绵阳市2020届中考第六期第一诊数学试题满分:120分 考试时间:120分钟．A 卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置． 1．4-的相反数是( ) A ．14-B ．14C ．4D ．4- 2．下列计算正确的是( )A ．235x x x += B ．236x x x ⋅= C ．236()x x = D ．632x x x ÷= 3． 方程312x -=的解是( )A ．1x =B ．1x =-C ．13x =- D ．13x =4．函数3y x =-中自变量x 的取值范围是( )A ．3x <B ．3x ≤C ．3x >D ．3x ≥5．一组数据如下：3，6，7，2，3，4，3，6，那么这组数据的中位数和众数分别是( ) A ．3，3 B ．3.5，3 C ．4，3 D ．3.5，66．下列命题中，真命题是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D ．一组邻边相等，并且有一个内角为直角的四边形是正方形7．如图，直线a 、b 被c 所截，若a ∥b ，∠1=45°，∠2=65°，则∠3的度数为（ ）A. 110°B. 115°C. 120°D. 130°8．一个立体图形的三视图如图所示，根据图中 数据求得这个立体图形的侧面积为( )A ．12πB ．15πC ．18πD ．24π9．甲、乙两地之间的高速公路全长200千米，比原来国道的长度减少了20千米．高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了45千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x 千米/时，根据题意，下列方程正确的是( )A ．2001801452x x =⋅+ B ．2002201452x x =⋅+ C ．2001801452x x =⋅- D ． 2002201452x x =⋅-10．如图,△ABC 中,∠C =63°,将△ABC 绕点A 顺时针旋转后,得到△AB ′C ′,且C ′在边BC 上,则 ∠B ′C ′B 的度数为( ) A. 45° B. 54° C. 87° D. 70°11．如图，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，∠BAC =25°，过点C 的 切线与OB 的延长线交于点D ，则∠D 的度数为( ) A ．25° B ．30° C ．35° D ．40°12． 如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差即S △OAC － S △BAD 等于( )A.3B.6C.4D.9OC DB A46左视图俯视图主视图4第8题图第Ⅱ卷（非选择题 共64分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将正确答案直接填在答题卡相应位置上． 13．某种生物孢子的直径为0.00058m ．把0.00058用科学记数法表示为______________． 14．分解因式：225xy x -=__________________．15．将直线21y x =+平移后经过点（2，1），则平移后的直线解析式为______________．16．如图, 在平行四边形ABCD 中，AB =3，BC =5，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE⊥AC ，交AD 于点E ，连接CE ，则△CDE 的周长为 .17．已知关于x 的方程26+0x x k +=的两个根分 别是1x 、2x ，且12113x x +=，则k 的值 为___________．18． 如图,在矩形ABCD 中,点E 为AB 的中点,EF ⊥EC 交AD 于点F ,连接CF (AD >AE )，下列结论：①∠AEF =∠BCE ; ②AF +BC >CF ; ③S △CEF =S △EAF +S △CBE ；④若23=CDBC ,则∠FCD=30°.其中正确的结论是____________.(填写所有正确结论的序号)三、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．19．计算：201945(3)2π-⎛⎫-⨯+-+- ⎪⎝⎭．20．解方程：11x3x 22x-+=--四、本大题共2个小题， 每小题8分，共16分．21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （3-，2），B （1-，4），C （0，2）．（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°， 画出旋转后对应的△A 1B 1C ；（2）平移△ABC ，若A 的对应点A 2的坐标 为（5-，2-），画出平移后的△A 2B 2C 2； （3）若将△A 2B 2C 2绕某一点旋转可以得到△A 1B 1C ，请直接写出旋转中心的坐标．Oy xC BA22．如图，甲建筑物的高AB 为40m ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ， 某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动， 从B 点测得D 点的仰角为60°，从A 点测得D 点的 仰角为45°．求乙建筑物的高DC ．五、本大题共2个小题，每小题9分，共18分．23．随着社会经济的发展，汽车逐渐走入平常百姓家．某数学兴趣小组随机抽取了我市某单位部分职工进行调查，对职工购车情况分4类（A ：车价40万元以上；B ：车价在20—40万元；C ：车价在20万元以下；D ：暂时未购车）进行了统计，并将统计结果绘制成以下条形统计图和扇形统计图．请结合图中信息解答下列问题：（1）调查样本人数为__________，样本中B 类人数百分比是_______，其所在扇形统计图中的圆心角度数是________； （2）把条形统计图补充完整；（3）该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为2人和3人，现从中选2人去参观车展，用列表或画树状图的方法，求选出的2人来自不同科室的概率．24．某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？ （2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？乙甲A B CD 60°45° D 12%C 56%BA 8%B卷（共20分）一、本大题共1个小题，共9分．25. 在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O;在Rt△PMN中,∠MPN=90°.(1)如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E. F，请直接写出PE 与PF的数量关系；(2)将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α(0°<α<45°).①如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图2,在旋转过程中,当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF 的长；③如图3,旋转后,若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合)，当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m⋅BP时，请直接写出PE与PF的数量关系。
2024届四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学理科答案
绵阳市高中2021级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCDAC ADBBD CC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．714．15．916．-1三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由a 1，a 2，a 4成等比数列，则4122a a a ⋅=，··································2分∴)6()2(1121+⋅=+a a a ，可解得21=a ，···················································································3分∴数列{a n }的前n 项和n n d n n a n S n +=⋅-⋅+⋅=212)1(；·······························5分（2）n n a n n n b b 2)2(2(21===++①，················································6分当1=n 时，221=+b b ，可得12=b ,························································7分可得1212+++=+n n n b b ②，······································································8分由②式－①式，得n n n n n b b 22212=-=-++，·············································9分∴22442222222)()()(b b b b b b b b n n n n n +-+-+-=--- 122224222+++=-- n n ·······································································11分14(14)114n --=+-413n -=．·························································································12分18．解：（1）∵38πωπ==T ，则83=ω，·······················································1分又2||1)8tan(3(πϕϕππ<=+=，f ，···························································2分∴8πϕ=，························································································4分∴883tan()(π+=x x f ；········································································5分（2）由题意，)88383tan()(πλ++=x x g ，···················································6分∵8tan(8tan )0(ππ-=-=-f ·································································7分∴)8tan(883323tan()0()4(ππλππ-=++-=，得由f g ·····································8分∴∈+-=+k k ，πππλ832783Z ，······························································9分∴0381211>∈+-=λππλ，又，Z k k ，·····················································10分∴λ的最小值为74π．··········································································12分19．解：（1）∵232()(2)(2)=22(2)(2)f x x m x m x m x mx m m =+-+--+--为奇函数，∴2(2)0(2)0m m m --=⎧⎨--=⎩，解得：m =2．···························································5分（2）当m >0时，2x 2+m >0，∴函数2()(2)(2)f x x m x m =+-+不可能有两个零点．································6分当m <0时，由()0f x =，解得：x =m -2，·································7分要使得f (x )仅有两个零点，则2m -=，··········································8分即22780m m -+=，此方程无解．故m =0，即32()24f x x x =+，·······························································9分令32()()3243h x f x x x =-=+-，则2()682(34)h x x x x x '=+=+，()0h x '>，解得：0x >或43x <-，()0h x '<解得：403x -<<，故()h x 在4()3，-∞-，(0)，+∞上递增，在4(0)3，-上递减，···························10分又417(0327h -=-<，故函数()3y f x =-仅有一个零点．·························································12分20．解：（1）∵cos(C -B )sin A=cos(C -A )sin B∴(cos C cos B+sin C sin B )sin A=(cos C cos A+sin C sin A )sin B ·································2分∴cos C cos B sin A=cos C cos A sin B ·······························································3分又∵△ABC 为斜三角形，则cos C ≠0，∴cos B sin A =cos A sin B ，·········································································5分∴sin(A -B )=0，又A ，B 为△ABC 的内角，∴A=B ；···························································································6分（2）由△ABC 的面积S=2a ，∴S=12ab sin C=2a ，则b sin C=1，即1b=sin C ，··········································7分由S=12ac sin B=2a ，则c sin B=1，即1c =sin B ，··········································8分由（1）知A =B 则a=b ，∴2211c a-=sin 2B -sin 2C ，······································································9分又sin C =sin(A+B )=sin2B ，∴2211c a-=sin 2B -sin 22B=sin 2B -4cos 2B sin 2B=sin 2B -4(1-sin 2B )sin 2B ·················10分令sin 2B=t ，令f (t )=t -4(1-t )t=4t 2-3t ，又因为0＜sin 2B<1，即0＜t<1，∴当t=83时，f (t )取最小值，且f (t )min =916-，············································11分综上所述：2211c a -的最小值为916-.·······················································12分21．解：（1）当2a =时，()(ln 22)ln f x x x x =-+，1ln 222(1)(ln 1)()(2)ln x x x x f x x x x x-+--+'=-+=，····································2分令()0f x '>得：11e x <<；令()0f x '<得：10ex <<或1x >，·······················3分∴()f x 的单调递减区间为：1(0e ，和(1+)，∞；单调递增区间为：1(1)e．·····5分（2）2e ()x f x x ax a x-+-≤等价于ln 2e (ln )(ln 1)0≥x x x x a x x ---+--（*）·········6分令()ln t g x x x ==-，则1()x g x x-'=，∴()g x 在(01)，上递减，在(1+)，∞上递增。
【数学】绵阳市高中2020届第一次诊断性考试 理科数学(PDF版含答案)
理科数学答案 第1页（共6页）绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ACDBB DBCAC AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．e 14．4π 15． 16．12m =−或m ≥0 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）22()(cos sin )2sin f x x x x =−−212sin cos 2sin x x x =−−cos 2sin 2x x =−)4x π+， ……………………………………………4分 ∴ T =22ππ=， 即()f x 的最小正周期为π. ……………………………………………………5分 ∵ cos y x =的单调递减区间为[2k π，2k ππ+]，k ∈Z ，∴ 由2k π≤2x +4π≤2k ππ+，k ∈Z ，解得8k ππ−≤x ≤38k ππ+，k ∈Z ， ∴ ()f x 的单调递减区间为[8k ππ−，38k ππ+]，k ∈Z ． ……………………7分 （2）由已知0()=1f x −，可得0)14x π+=−， ………………………10分即0cos(2)4x π+=， 再由0()2x ππ∈−−，，可得0732()444x πππ+∈−−，， ∴ 05244x ππ+=−， 解得 03=4x π−．………………………………………………………………12分理科数学答案 第2页（共6页） 18．解：（1）∵ a n +2+a n =2a n +1，n ∈N *，即a n +2-a n +1=a n +1-a n ，∴ 数列{}n a 是等差数列.由1411+37a a a d ，===，解得112a d ，==，∴1=+(1)21n a a n d n −=−. ………………………………………………………4分 当1n =时，12b =，当n ≥2时，1122(22)n n n n n b S S +−=−=−−−1222222=n n n n n +−=⨯−=.∴ 数列{}n b 的通项公式为2n n b =．……………………………………………8分（2）由（1）得，212n n c n −=+，………………………………………………9分 3521(21)(22)(23)(2)n n T n −=++++++++ 3521(2222)(123)n n −=+++++++++ 2(14)(1)142n n n −+=+− 2122232n n n +−+=+． ……………………………………………………12分 19．解：（1）在△ABC 中，A +B +C =π，即B =π-(A +C )，∴ sin B =sin(A +C )，由题意得cos B =sin B +1． …………………………………………………3分 两边平方可得2cos 2B =sin 2B +2sin B +1，根据sin 2B +cos 2B=1，可整理为3sin 2B+2sin B -1=0， 解得31sin =B 或sin B =-1（舍去）．……………………………………………5分 ∴ 31sin =B ． ……………………………………………………………………6分 （2）由2C A π−=，且A B C π++=， 可得22A B π=−，C 为钝角， ∴ sin 2cos A B =，理科数学答案 第3页（共6页）又b =由正弦定理得sinsin a b c A C===∴a A =，c C =． 又C 为钝角，由（1）得cos B =． ………………………………………9分 ∴ △ABC 的面积为111sin 223S ac B A C ==⨯⨯⨯99sin sin()sin cos 222A A A A π=+= 999sin 2cos 444A B ==== 综上所述，△ABC 的面积为2． …………………………………………12分 20．解：（1）由题意得ln 244()1ln 2ln 2x f x x x +−==−++， ………………………2分 由x ≥1，知ln x ≥0，于是ln x +2≥2，∴ 10ln 2x <+≤12，即420ln 2x −≤−<+， ∴-1≤41ln 2x −+<1， ∴()f x 的值域为[-1，1)． ……………………………………………………5分(2)=+)()(21x f x f 2ln 412ln 4121+−++−x x 21=， 所以232ln 42ln 421=+++x x ． 又1211x x >>，，∴2121ln ln ln x x x x +=42ln 2ln 21−+++=x x ………………………………8分4)2ln 42ln 4()]2(ln )2[(ln 322121−+++⋅+++=x x x x 21124(ln 2)4(ln 2)2[8]43ln 2ln 2=x x x x ++++−++理科数学答案 第4页（共6页）≥220(8433+−=， ……………………………………………11分 当且仅当21124(ln 2)4(ln 2)ln 2ln 2x x x x ++=++，即x 1=x 2时取“=”， 故20312min ()e x x =，∵ ()f x 在(1，+∞)上是增函数，∴ 137)(min 21=x x f ． ………………… ………………………………………12分 21．解：（1）由题意得e ()e 2(2)x x f x ax x a x '=−=−，令e ()xh x x=， 则2e (1)()x x h x x−'=． ……………………………………………………………2分 ∴ 当0<x <1时，得()h x '<0，此时()h x 单调递减，且x →0，()h x →+∞，当x >1时，得()h x '>0，此时()h x 单调递增，且x →+∞，()h x →+∞， ∴ ()h x min =h (1)=e ．①当2a ≤e ，即a ≤e 2时，()f x '≥0，于是()f x 在(0，+∞)上是增函数， 从而()f x 在(0，+∞)上无极值．②当2a >e ，即a >e 2时，存在0<x 1<1<x 2，使得1()f x '=2()f x '=0， 且当x ∈(0，x 1)时，()f x '>0，()f x 在(0，x 1)上是单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，()f x '<0，()f x 在(x 1，x 2)上是单调递减；当x ∈(x 2，+∞)时，()f x '<0，()f x 在(x 2，+∞)上是单调递增，故x 2是()f x 在(0，+∞)上的极小值． 综上，e 2a >． …………………………………………………………………6分 （2）要证f (x )>ax (ln x -x )即等价于证明e x >ax ln x ．①当0<x ≤1时，得e x >1，ax ln x ≤0，显然成立； ………………………………………………………………………7分 ②当x >1时，则x ln x >0，结合已知0<a ≤2e 2，可得0<ax ln x ≤2e 2x ln x ．理科数学答案 第5页（共6页）于是问题转化为证明e x >2e 2x ln x ， 即证明22e ln 0x x x−−>． …………………………………………………………8分 令22e ()ln 1x g x x x x−=−>，， 则222e (1)()x x x g x x −−−'=， 令2()2e (1)x h x x x −=−−，则2()2e 1x h x x −'=−，易得()h x '在(0)+∞，上单调递增. ∵2(1)=10(2)=30eh h ''−<>，， ∴存在0(12)x ∈，使得0()=0h x '，即0202e 1x x −=. ∴()h x 在区间(1，0x )上单调递减，在区间(0x ，+∞)上单调递增， ………………………………………10分 又(1)=10(2)=0h h −<，，∴当(12)x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(2)x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴()g x ≥(2)g =1-ln2>0，故g (x )>0，问题得证． ……………………………………………………12分22．解：（1）由题意得2222(cos )(sin )4x y αααα+=+=，∴ 曲线C 的普通方程为224x y +=． …………………………………………2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴ 代入可得曲线C 的极坐标方程为2ρ=． ………………………………5分（2）把=3πθ代入ρcos(6πθ−)=3中， 可得ρcos(36ππ−)=3，理科数学答案 第6页（共6页）解得ρ=，即B 点的极径B ρ=，由（1）易得A ρ=2，∴ |AB |=|A ρ-B ρ|=-2． ………………………………………………10分23．解：（1）当m =2时，f (x )=︱x -2︱+︱x+1︱-5．当x ≤-1时，()(2)(1)50f x x x =−−−+−≥，解得x ≤-2； ……………………………………………………………………1分 当-1<x <2时，()(2)15f x x x =−−++−≥0，无解． ……………………………………………………………………………3分 当x ≥2时，()215f x x x =−++−≥0，解得x ≥3； ……………………………………………………………………4分综上，原不等式的解集为(2][3)−∞−+∞，，． ………………………………5分 （2）∵()|||1|5f x x m x =−++−≥|()(1)|5x m x −−+−|1|5m =+−≥-2，∴ |1|m +≥3， …………………………………………………………………8分 ∴ m +1≥3或m +1≤-3，即m ≥2或m ≤-4，∴ 实数m 的取值范围是(−∞，-4][2)+∞，． ……………………………10分2020届绵阳一诊参数处理的全面考查16.若函数21()(ln )2f x x m x x x =+--只有一个零点，则实数m 的取值范围为【解析】（半分离）由()0f x =，得21(2)(ln )2x x m x x -=-，令21()(2),()ln 2g x x x h x x x =-=-，则(),()g x h x 在(0,1)单减，在(1,)+∞单增。
四川省绵阳市2020年线上学习质量评估理科数学试题(5页)
四川省绵阳市2020年线上学习质量评估理科数学试题理科数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-1, 0, 1, 2}，{}21B x x =≥, 则A B=A. {1, 2}B. {-1, 0，1}C. {-1, 1，2}D. {0}2.若a R ∈，则“a>2”是“2a >”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.已知复数z 满足(12)z i i ⋅-=, 则z 在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限，C.第三象限D.第四象限4..从编号0，1,2,.,79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本,若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为A.72B.74C.76D.785.已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b-=>>的离心率为2,则双曲线C 的渐近线方程为A. 12y x =± B. 2y x =± C. 3y =± D. y = 6.在5(2)(0)x a a +≠其中的展开式中，x 2的系数与x 3的系数相同，则a 的值为 A. 12± B. 12C. -2D.2 7.已知α为第三象限角，且tan()34πα+=-，则sin 2α=A. 45B. 25C. 45- D.8. 圆224x y +=被直线2y =+截得的劣强弧所对的圆心角的大小为 A.30° B.60° C.90° D.120°9.某术材加工厂需要加工一批球形滚珠.已知一块硬质木料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，现将该木料进行切削、打磨，加工成球形滚珠，则能得到的最大滚珠的半径最接近A.3cmB.2.5cmC.5cmD.4.5cm10.2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表:两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票，则共需支付门票费1290 元;若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为A.20B.30C.35D.4011.如图，∆ABC 中，BC=2，且32AB BC ⋅=-, AD 是∆ABC 的外 接圆直径，则AD BC ⋅=A.1B.2C. 23D. 4312.已知集合{}=(,)()M x y y f x =,若对于任意11(,)x y M ∈,存在22(,)x y M ∈,使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“Ω集合”.给出下列5个集合: ①{1(,)M x y y x ⎫==⎬⎭; ①{1(,)x x M x y y e -⎫==⎬⎭ ①{}2(,)1M x y y x ==-; ①{}2(,)22M x y y x x ==-+; ①{}(,)cos sin M x y y x x ==+.其中是“Ω集合”的所有序号是A.①①B.①①①C.①①①D.①①①二、填空题:本大题共4小题每小题5分，共20分。
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.{1, 2, 3} B.{1, 2} C.(0, 3] D.(3, 4]2.若b <a <0，则下列结论不正确的是（ ） A.1a <1bB.ab >a 2C.|a|+|b|>|a +b|D.√a 3>√b 33.下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.f(x)＝x 2 B.f(x)=√x C.f(x)＝ln|x|D.f(x)＝e 2x4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 3＝3，则a 6＝（ ） A.4 B.5 C.10 D.155.已知函数f(x)=2x2x −1，若f(−m)＝2，则f(m)＝（ ） A.−2 B.−1 C.0D.126.已知命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)的最小值为2√2；命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →．下列正确的是（ ） A.￢p ∧q B.p ∨q C.p ∧￢q D.￢p ∧￢q7.若a =(13)0.6，b ＝3−0.8，c ＝ln3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A.b >c >a B.c >a >b C.c >b >a D.a >c >b8.已知x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0 ，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）9.设函数f(x)＝ae x −lnx （其中常数a ≠0）的图象在点（1, f(1)）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A.1 B.2 C.ae −1 D.1−2ae10.某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（ ） A.y ＝0.25x B.y ＝1.002x C.y ＝log 7x +1 D.y =tan(x10−1)11.函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)在(−π2,π2)上单调递增，且图象关于x ＝−π对称，则ω的值为（ ） A.23 B.53C.2D.8312.在△ABC 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =2√3，且λAB →=AD →−13AC →(λ∈R)，则AB →在AD →方向上的投影是（ ） A.1 B.32C.3D.3√32二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13.已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x)＝f(x +2)，当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，则f(7)＝________．14.已知向量a →=(−2, 2)，向量b →的模为1，且|a →−2b →|＝2，则a →与b →的夹角为________．15.2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72√2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60∘的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75∘的方向上，仰角为30∘，则直升机飞行的高度为________（结果保留根号）．x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点，则实数m的取值16.若函数f(x)=12范围________．三、填空题：共70分．17.已知函数f(x)＝(cosx−sinx)2−2sin2x．（1）求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；)，求x0的值．（2）若f(x0)＝−1，且x0∈(−π,−π218.已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设c n=2a n+log2b n，求数列{c n}的前n项和T n．19.已知△ABC 中三个内角A ，B ，C 满足√2cosB =sin(A +C)+1． （1）求sinB ；（2）若C −A =π2，b 是角B 的对边，b =√3，求△ABC 的面积．20.已知函数f(x)=lnx−2lnx+2．（1）求函数f(x)在区间[1, +∞)上的值域；（2）若实数x 1，x 2均大于1且满足f(x 1)+f(x 2)=12，求f(x 1x 2)的最小值．21.已知函数f(x)＝e x −ax 2，a ∈R ，x ∈(0, +∞)． （1）若f(x)存在极小值，求实数a 的取值范围； （2）若0<a ≤e 22，求证：f(x)>ax(lnx −x)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosα+√3sinα,y =sinα−√3cosα （α为参数），以坐标原点0为极点，x 的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos(θ−π6)=3． （1）求曲线C 的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM:θ=π3与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长．[选修4-5：不等式选讲]23.设函数f(x)＝|x −m|+|x +1|−5(m ∈R)． （1）当m ＝2时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≥−2，求实数m 的取值范围．2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.{1, 2, 3} B.{1, 2} C.(0, 3] D.(3, 4]【解答】由题意得：A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}＝{1, 2, 3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1, 2, 3}，2.若b <a <0，则下列结论不正确的是（ ） A.1a <1bB.ab >a 2C.|a|+|b|>|a +b|D.√a 3>√b 3【解答】∵b <a <0，∴1a <1b ，ab >a 2，由函数y =√x 3在R 上单调递增，可得：√b 3<√a 3．设a ＝−2，b ＝−1时，|a|+|b|＝|a +b|与C 矛盾． 因此只有C 错误．3.下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.f(x)＝x 2 B.f(x)=√x C.f(x)＝ln|x|D.f(x)＝e 2x【解答】由f(x)=√x 的定义域为[0, +∞)，不符合题意， C ：函数的定义域x ≠0，不符合题意，A:y ＝x 2在(−∞, 0]单调递减，在[0, +∞)单调递增，不符合题意， 4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 3＝3，则a 6＝（ ） A.4 B.5 C.10 D.15【解答】 由题意得{a 3=a 1+2d =2S 3=3a 1+3×22d =3，∴a 6＝a 1+5d ＝5． 5.已知函数f(x)=2x 2x −1，若f(−m)＝2，则f(m)＝（ ）A.−2B.−1C.0D.12【解答】 ∵f(x)=2x2−1，∴f(−x)+f(x)=2−x2−x −1+2x2x −1=11−2x +2x2x −1=1， ∵f(−m)＝2，∴f(m)＝−1．6.已知命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)的最小值为2√2；命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →．下列正确的是（ ） A.￢p ∧q B.p ∨q C.p ∧￢q D.￢p ∧￢q【解答】由题意得：命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)，由基本不等式成立的条件，y ≥2√2sinx ⋅sinx =2√2，知等号取不到，所以p 命题是假的； 命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，∴b →⋅(a →−c →)=0，b →，a →−c →有可能是零向量或者b →⊥(a →−c →)，所以q 是错误的．∴￢p ∧q ，p ∨q ，p ∧￢q ，是假命题，￢p ∧￢q 为真命题； 7.若a =(13)0.6，b ＝3−0.8，c ＝ln3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A.b >c >a B.c >a >b C.c >b >a D.a >c >b【解答】由指数函数y =(13)x 在R 上单调递减，又a =(13)0.6，b ＝3−0.8=(13)0.8， ∴1>a >b ． c ＝ln3∈(1, 2) ∴c >a >b ．8.已知x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0 ，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）A.4B.2C.1D.13先根据x，y满足线性约束条件{2x−y≤0x−y+1≥0x+y−1≥0画出可行域，平移直线0＝2x+y，当直线z＝2x+y过点B(0, 1)时，z取最小值为1．9.设函数f(x)＝ae x−lnx（其中常数a≠0）的图象在点（1, f(1)）处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）A.1B.2C.ae−1D.1−2ae【解答】由f(x)＝ae x−lnx，得f′(x)=ae x−1x，∴f′(1)＝ae−1，又x＝1时，f(1)＝ae，∴f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−(ae)＝(ae−1)(x−1)，取x＝0，得在y轴上截距y＝(ae−1)(0−1)+ae＝1．故选：A．10.某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（）A.y＝0.25xB.y＝1.002xC.y＝log7x+1D.y=tan(x10−1)【解答】由题意得：有两个条件①奖金y≤5；②奖金y≤0.25x．且10≤x≤1000．A选项，当x≥20时，y≥5，不符合题意．B选项，当x＝1000时，1.0021000≈7.37，也超出了5，不符合题意．D选项，当x＝1000时，y=tan(x10−1)=y＝tan(2)是一个负数，不符合题意．11.函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在(−π2,π2)上单调递增，且图象关于x＝−π对称，则ω的值为（）A.23B.53C.2D.83要使函数f(x)=sin(wx +π6)(w >0)的递增，则−π2+2kπ≤ωx +π6≤π2+2kπ(k ∈Z)，化简得：−2π3ω+2kπω≤x ≤π3ω+2kπω(k ∈Z)，已知在(−π2,π2)单增，所以{−2π3ω≤−π2π3ω≥π2 ，故0≤ω≤23， 又因为图象关于x ＝−π对称，ωx +π6=π2+kπ(k ∈Z)，所以ω=−13−k ， 因为ω>0，此时k ＝−1，所以ω=23，12.在△ABC 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =2√3，且λAB →=AD →−13AC →(λ∈R)，则AB →在AD →方向上的投影是（ ） A.1 B.32C.3D.3√32【解答】由λAB →=AD →−13AC →可得：AD →=λAB →+13AC →， ∵B ，C ，D 三点共线，故λ+13=1，即λ=23． ∴AD →=23AB →+13AC →．以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，则D(3, √3)， 设B(m, 0)，C(n, √3n)， 由AD →=23AB →+13AC →得：{3=23m +13n √3=√33n ，解得m ＝3，n ＝3．故B(3, 0)，∴AB →在AD →上的投影为|AB|cos30∘=3√32． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x)＝f(x +2)，当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，则f(7)＝________． 【解答】因为f(x)＝f(x +2)，周期T ＝2， 当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，故答案为：e ．已知向量a →=(−2, 2)，向量b →的模为1，且|a →−2b →|＝2，则a →与b →的夹角为________． 【解答】由已知得：|a →|＝2√2，|b →|＝1，|a →−2b →|＝2，a →2−4a →⋅b →+4b →2＝4， ∴设a →与b →的夹角为θ，θ∈[0, π]，a →⋅b →=2＝2√2⋅1⋅cosθ，∴cosθ=√22，θ=π4，2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72√2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60∘的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75∘的方向上，仰角为30∘，则直升机飞行的高度为________（结果保留根号）．【解答】如图由题上条件可得线AC 平行于东西方向 ，∠ABD ＝60∘，∠CBD ＝75∘；AC ＝72√2； ∴∠ABC ＝135∘；∠BAC ＝30∘； 在△ABC 中，BC sin∠BAC=AC sin∠ABC⇒BC sin30=72√2sin135⇒BC =72√2×12√22=72．如图D 1C ⊥平面ABC ，在直角△BD 1 C 中，tan∠D 1 BC =D 1C BC=ℎBC ⇒ℎ＝BC ⋅tan∠D BC ＝72×tan∠30∘=72√3若函数f(x)=12x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点，则实数m的取值范围________．【解答】于是u(x)＝x−lnx在(0, 1)上递减，在(1, +∞)上递增；最小值为u(1)＝1> 0，∴∀x∈(0, +∞)，x−lnx>0(1)由f(x)＝0，即12x2+m(lnx−x)−x＝0，解得：m=12x2−xx−lnx(2)设g(x)=12x2−xx−lnx，y＝m(3)由于函数f(x)=12x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点（4）所以直线y＝m与函数g(x)有且只有一个交点（5）由g′(x)=12(x−1)(x+2−2lnx)(x−lnx)2，此时不能完全判断导函数值的正负（6）再令ℎ(x)＝x+2−2lnx，得ℎ′(x)=x−2x，当x∈(0, 2)时，ℎ′(x)<0；当x∈(2, +∞)时，ℎ′(x)>0(7)于是，ℎ(x)在(0, 2)上递减，(2, +∞)上递增．那么ℎ(x)≥ℎ(2)＝2(2−ln2)>0．由此，g′(x)的正负只同x−1有关，由此得g(x)在(0, 1)上递减，在(1, +∞)上递增，且g(x)的极小值为g(1)=−12(8)又x→0时，g(x)→0；x→+∞时，g(x)→+∞(9)g(x)图象大值如图所示，结合g(x)的图象，得m≥0或m=−12．故答案为：{m|m=−12或m≥0}．三、填空题：共70分．已知函数f(x)＝(cosx−sinx)2−2sin2x．（1）求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；（2）若f(x0)＝−1，且x0∈(−π,−π2)，求x0的值．【解答】＝1−2sinxcosx−2⋅1−cos2x2＝cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4)，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，又函数y＝cosx的单调减区间为[2kπ, 2kπ+π]，k∈Z；令2kπ≤2x+π4≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z；所以f(x)的单调递减区间为[kπ−π8, kπ+3π8]，k∈Z；若f(x0)＝−1，则√2cos(2x0+π4)＝−1，即cos(2x0+π4)=−√22，再由x0∈(−π,−π2)，可得2x0+π4∈(−7π4, −3π4)；所以2x0+π4=−5π4，解得x0=−3π4．已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设c n=2a n+log2b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，可得a n+2−a n+1＝a n+1−a n，即{a n}为等差数列，a1＝1，a4＝7，可得公差d=a4−a14−1=2，则a n＝1+2(n−1)＝2n−1；数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2，可得b1＝S1＝4−2＝2；n≥2时，b n＝S n−S n−1＝2n+1−2−2n+2＝2n，则b n＝2n，n∈N∗；c n=2a n+log2b n=22n−1+n，则前n项和T n＝(2+8+...+22n−1)+(1+2+...+n)=2(1−4n)1−4+12n(n+1)=23(4n−1)+12(n2+n)．已知△ABC中三个内角A，B，C满足√2cosB=sin(A+C)+1．（1）求sinB；（2）若C−A=π2，b是角B的对边，b=√3，求△ABC的面积．【解答】∵√2cosB=sin(A+C)+1．sin(A+C)＝sinB，∴√2cosB＝sinB+1，又sin2B+cos2B＝1，化为：3sin2B+2sinB−1＝0，1>sinB>0．联立解得sinB=13．C−A=π2，又A+B+C＝π，可得：2A=π2−B，C为钝角．∴sin2A＝cosB．又b=√3，∴asinA =csinC=√313=3√3，∴a＝3√3sinA，c＝3√3sinC，B为锐角，∴cosB=2√23．∴△ABC的面积S=12acsinB=12×3√3sinA×3√3sinC×13=92sinAsin(π2+A)=92sinAcosA=94sin2A=94cosB=94×2√23=3√22．∴∴△ABC的面积S为3√22．已知函数f(x)=lnx−2lnx+2．（1）求函数f(x)在区间[1, +∞)上的值域；（2）若实数x1，x2均大于1且满足f(x1)+f(x2)=12，求f(x1x2)的最小值．【解答】由题意得f(x)=lnx+2−4lnx+2=1−4lnx+2，由x≥1，知lnx≥0，于是lnx+2≥2，∴0<1lnx+2≤12，即−2≤−4lnx+2<0，∴−1≤1−4lnx+2<1，∴f(x)的值域为[−1, 1)．f(x1)+f(x2)＝1−4lnx1+2+1−4lnx2+2=12，所以4lnx1+2+4lnx2+2=32，又x1>1，x2>1，∴lnx1x2＝lnx1+lnx2＝lnx1+2+lnx2+2−4=23[(lnx1+2)+(lnx2+2)]⋅(4lnx1+2+4lnx2+2)−4，=23[8+4(lnx2+2)lnx1+2+4(lnx1+2)lnx2+2]−4≥23(8+2√16)−4=203，当且仅当4(lnx2+2)lnx1+2=4(lnx1+2)lnx2+2，即x1＝x2时，取“＝”，故(x1x2)min＝e 20 3，∵f(x)在(1, +∞)上是增函数，∴f(x1x2)min=713．已知函数f(x)＝e x−ax2，a∈R，x∈(0, +∞)．（1）若f(x)存在极小值，求实数a的取值范围；（2）若0<a≤e 22，求证：f(x)>ax(lnx−x)．【解答】：∵f′(x)＝e x−2ax＝x(e xx−2a)，令H(x)=e xx，则H′(x)=(x−1)e xx，当0<x<1时，H′(x)<0，H(x)单调递减，且x→0时，H(x)→+∞，当x>1时，H′(x)>0，H(x)单调递增，且x→+∞时，H(x)→+∞，∴H(x)min＝H(1)＝e，①当2a≤e即a≤12e时，f′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增，没有极值，②当a>12e时，存在0<x1<1<x2，使得f′(x1)＝f′(x2)＝0，当x∈(0, x1)，(x2, +∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(x1, x2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴x2是f(x)的极小值，综上可得，a>12e要证f(x)>ax(lnx−x)，即证e x>axlnx，①当0<x ≤1时，e x >1，axlnx ≤0，显然成立，②当x >1时，xlnx >0，结合已知0<a ≤12e 2可得，0<axlnx ≤12e 2xlnx ，于是问题转化为e x >12e 2lnx ， 即证2e x−2x−lnx >0，令g(x)=2e x−2x−lnx ，则g′(x)=2e x−2(x−1)−xx 2，令ℎ(x)＝2e x−2(x −1)−x ，则ℎ′(x)＝2xe x−2−1，且在(0, +∞)上单调递增， ∵ℎ′(1)=2e −1<0，ℎ′(2)＝3>0，存在x 0∈(1, 2)使得ℎ(x 0)＝0，即2x 0e x 0−2=1， ∴ℎ(x)在(1, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增， 又ℎ(1)＝−1<0，ℎ(2)＝0，故当x ∈(1, 2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x ∈(2, +∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴g(x)≥g(2)＝1−ln2>0， 故g(x)>0，得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosα+√3sinα,y =sinα−√3cosα （α为参数），以坐标原点0为极点，x 的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos(θ−π6)=3． （1）求曲线C 的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM:θ=π3与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长． 【解答】 由{x =cosα+√3sinαy =sinα−√3cosα，两边平方作和得，x 2+y 2=(cosα+√3sinα)2+(sinα−√3cosα)2=4， ∴曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝4．∵x2+y2＝ρ2，∴ρ2＝4，则ρ＝2；把θ=π3代入ρcos(θ−π6)=3，可得ρcos(π3−π6)=3，解得ρ=2√3．即B点的极径为ρB=2√3．由（1）得ρA＝2，∴|AB|＝|ρA−ρB|=2√3−2．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝|x−m|+|x+1|−5(m∈R)．（1）当m＝2时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≥−2，求实数m的取值范围．【解答】当m＝2时，f(x)＝|x−2|+|x+1|−5，当x≤−1，f(x)＝−(x−2)−(x+1)−5≥0，解得x≤−2；当−1<x<2，f(x)＝−(x−2)+x+1−5≥0，无解；当x≥2时，f(x)＝x−2+x+1−5≥0，解得x≥3；综上，不等式的解集为(−∞, −2]∪[3, +∞)．由f(x)＝|x−m|+|x+1|−5≥|(x−m)−(x+1)|−5＝|m+1|−5≥−2，所以|m+1|≥3，即m≥2或者m≤−4．。
高中高三数学第一次诊断性考试试卷 理 绵阳 一诊 扫描 试题
高2021级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分HY一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．BBCDA DAACC BC二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．13．1000 14．2x -y -e =0 15．23- 16．①④三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．解：由|x -a |≤4有-4≤x -a ≤4，解得a -4≤x ≤a +4，即A ={x |a -4≤x ≤a +4}． ……………………………………………………2分 由116<+x 可变形为015<+-x x ，等价于(x +1)(x -5)＞0，解得x ＜-1或者x ＞5， 即B ={}51>-<x x x 或． ………………………………………………………4分 〔Ⅰ〕由A ∩B =(]75，知a +4=7，解得a =3． ……………………………7分〔Ⅱ〕∵ p 是q 的充分不必要条件，∴ a +4＜-1，或者a -4＞5， …………………………………………………10分 解得a ＜-5或者a ＞9． ………………………………………………………12分18．解：〔Ⅰ〕设一共有n 枚硬币，根据题意得922111==-nn C C P ，解得n =9. ……………………………………………………2分 〔Ⅱ〕ξ=1，2，3，4，P (ξ=1)=922918=C C ，P (ξ=2)9227162928=⋅=C C C C ，P (ξ=3)=92251427262938=⋅⋅C C C C C C ，P (ξ=4)931252427262928=⋅⋅⋅=C C C C C C .…………………………………………………10分∴ ξ的分布列为∴ 394939291=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ．………………………………………12分19．解：〔Ⅰ〕设{a n }的公比为q ，那么q ＞0，由有⎩⎨⎧⋅==+，，)(9)(164112111q a a q a q a a 可解得31=q (31-=q 已舍去)，311=a ． ∴ nn n a )31()31(311=⨯=-． ……………………………………………………6分 〔Ⅱ〕∵ 2)1(-2)1(3213213)31()31()31()31()31()31(3++++++===⋅⋅⋅⋅=n n n n n n b n，∴2)1(1+-=n n b n ，即)111(2)1(2+--=+-=n n n n b n ．………………………9分 ∴n n b b b b S ++++= 321)1113121211(2+-++-+--=n n )111(2+--=n12+-=n n． ………………………………………………………………12分 20．解：〔Ⅰ〕由题意得h (x )的图象经过(3，4)，代入得231294-+-=m，解得m =7.∴23223)2(274)(22-+-=-+-=-+-=x x x x x x x x h ， ∴x x x h x f 3)2()(+=+=． …………………………………………………7分〔Ⅱ〕∵xax x g ++=3)(，∴ 由有xa x ++3≥8有a ≥-x 2+8x -3， 令t (x )=-x 2+8x -3，那么t (x )=-(x -4)2+13，于是t (x )在(0，3)上是增函数． ∴ t (x )max =12．∴ a ≥12．……………………………………………………………………12分 21．解：〔Ⅰ〕证明：令x =y =0时，那么由有)00100()0()0(⨯--=-f f f ，可解得f (0)=0．再令x =0，y ∈(-1，1)，那么有)010()()0(yyf y f f ⋅--=-，即f (-y )=-f (y )，∴ f (x )是(-1，1)上的奇函数．……………………………………………4分 〔Ⅱ〕令x =a n ，y =-a n ，于是)12()()(2nnn n a a f a f a f +=--， 由得2f (a n )=f (a n+1)， ∴2)()(1=+n n a f a f ， ∴ 数列{f (a n )}是以f (a 1)=1)21(-=f 为首项，2为公比的等比数列．∴.221)(11---=⋅-=n n n a f ……………………………………………………8分 〔III 〕由(II)得f (a n +1)=-2n，于nb n 21=. ∴ T n = b 1+ b 2+ b 3+…+ b n)131211(21n ++++= ， )12131211(2112+++++=+n T n .∴ )121312111(2112++++++++=-+n n n n T T n n . 令).1212111(21)(++++++=n n n n k于是)3213121(21)1(++++++=+n n n n k ，∴ 0)32)(1(41)11321221(21)()1(<++-=+-+++=-+n n n n n n k n k .∴ k (n +1)<k (n )，即k (n )在N *上单调递减，∴ k (n )max =k (1)=125)131211(2113=-++=-T T ，∴15m ≥125即m ≥425. ∵ m ∈N *，∴ m 的最小值为7．…………………………………………………………12分 22．解：〔Ⅰ〕x x a x F ln 1)(+-=，于是2)(xax x F -='. ①当a ≤0时，)(x F '≥0，∴ F (x )在(0，3)上是增函数；②当0<a <3时，x ∈(0，a )时，)(x F '≤0，∴ F (x )在(0，a )上是减函数；x ∈(a ，3)时，)(x F '≥0，∴ F (x )在(a ，3)上是增函数．③当a ≥3时，)(x F '≤0，∴ F (x )在(0，3)上是减函数．………………4分 〔Ⅱ〕令a =1，那么x x x F ln 11)(+-=，于是21)(xx x F -='， ∴ F (x )在(0，1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数． ∴ 在区间(0，+∞)上F (x )有F (x )min =F (1)=0. ∵)(stF ≥F (1)=0， 即stt s ln 1+-≥0， 整理得st ≥t se e -⋅，即t ste ≥se ，即t t e s ≥s t e t.………………………………8分〔III 〕由得)1(2)12(22+=++x g m x a f ，代入整理得414)1ln(2122+-+=x x m .于是题意即为直线y =m 与y =414)1ln(2122+-+x x 的图象有4个不同的交点.令414)1ln(21)(22+-+=x x x h ，那么)1(2)1)(1()(2++-='x x x x x h .可绘出h (x )的大致图象如右. 由图象可知当m ∈(41，2ln 21)时满足有四个不同的交点.∴存在实数)2ln 2141(，∈m 时满足条件.………………………………………………………………………………14分。
绵阳市高中2020届第一次诊断性考试 理科数学(PDF版含答案)
理科数学答案 第1页（共6页）绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ACDBB DBCAC AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．e 14．4π 15． 16．12m =−或m ≥0 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）22()(cos sin )2sin f x x x x =−−212sin cos 2sin x x x =−−cos 2sin 2x x =−)4x π+， ……………………………………………4分 ∴ T =22ππ=， 即()f x 的最小正周期为π. ……………………………………………………5分 ∵ cos y x =的单调递减区间为[2k π，2k ππ+]，k ∈Z ，∴ 由2k π≤2x +4π≤2k ππ+，k ∈Z ，解得8k ππ−≤x ≤38k ππ+，k ∈Z ， ∴ ()f x 的单调递减区间为[8k ππ−，38k ππ+]，k ∈Z ． ……………………7分 （2）由已知0()=1f x −，可得0)14x π+=−， ………………………10分即0cos(2)4x π+=， 再由0()2x ππ∈−−，，可得0732()444x πππ+∈−−，， ∴ 05244x ππ+=−， 解得 03=4x π−．………………………………………………………………12分理科数学答案 第2页（共6页） 18．解：（1）∵ a n +2+a n =2a n +1，n ∈N *，即a n +2-a n +1=a n +1-a n ，∴ 数列{}n a 是等差数列.由1411+37a a a d ，===，解得112a d ，==，∴1=+(1)21n a a n d n −=−. ………………………………………………………4分 当1n =时，12b =，当n ≥2时，1122(22)n n n n n b S S +−=−=−−−1222222=n n n n n +−=⨯−=.∴ 数列{}n b 的通项公式为2n n b =．……………………………………………8分（2）由（1）得，212n n c n −=+，………………………………………………9分 3521(21)(22)(23)(2)n n T n −=++++++++ 3521(2222)(123)n n −=+++++++++ 2(14)(1)142n n n −+=+− 2122232n n n +−+=+． ……………………………………………………12分 19．解：（1）在△ABC 中，A +B +C =π，即B =π-(A +C )，∴ sin B =sin(A +C )，由题意得cos B =sin B +1． …………………………………………………3分 两边平方可得2cos 2B =sin 2B +2sin B +1，根据sin 2B +cos 2B=1，可整理为3sin 2B+2sin B -1=0， 解得31sin =B 或sin B =-1（舍去）．……………………………………………5分 ∴ 31sin =B ． ……………………………………………………………………6分 （2）由2C A π−=，且A B C π++=， 可得22A B π=−，C 为钝角， ∴ sin 2cos A B =，理科数学答案 第3页（共6页）又b =由正弦定理得sinsin a b c A C===∴a A =，c C =． 又C 为钝角，由（1）得cos B =． ………………………………………9分 ∴ △ABC 的面积为111sin 223S ac B A C ==⨯⨯⨯99sinsin()sin cos 222A A A A π=+= 999sin 2cos 444A B ==== 综上所述，△ABC 的面积为2． …………………………………………12分 20．解：（1）由题意得ln 244()1ln 2ln 2x f x x x +−==−++， ………………………2分 由x ≥1，知ln x ≥0，于是ln x +2≥2，∴ 10ln 2x <+≤12，即420ln 2x −≤−<+， ∴-1≤41ln 2x −+<1， ∴()f x 的值域为[-1，1)． ……………………………………………………5分(2)=+)()(21x f x f 2ln 412ln 4121+−++−x x 21=， 所以232ln 42ln 421=+++x x ． 又1211x x >>，，∴2121ln ln ln x x x x +=42ln 2ln 21−+++=x x ………………………………8分4)2ln 42ln 4()]2(ln )2[(ln 322121−+++⋅+++=x x x x 21124(ln 2)4(ln 2)2[8]43ln 2ln 2=x x x x ++++−++理科数学答案 第4页（共6页）≥220(8433+−=， ……………………………………………11分 当且仅当21124(ln 2)4(ln 2)ln 2ln 2x x x x ++=++，即x 1=x 2时取“=”， 故20312min ()e x x =，∵ ()f x 在(1，+∞)上是增函数，∴ 137)(min 21=x x f ． ………………… ………………………………………12分 21．解：（1）由题意得e ()e 2(2)x x f x ax x a x '=−=−，令e ()xh x x=， 则2e (1)()x x h x x−'=． ……………………………………………………………2分 ∴ 当0<x <1时，得()h x '<0，此时()h x 单调递减，且x →0，()h x →+∞，当x >1时，得()h x '>0，此时()h x 单调递增，且x →+∞，()h x →+∞， ∴ ()h x min =h (1)=e ．①当2a ≤e ，即a ≤e 2时，()f x '≥0，于是()f x 在(0，+∞)上是增函数， 从而()f x 在(0，+∞)上无极值．②当2a >e ，即a >e 2时，存在0<x 1<1<x 2，使得1()f x '=2()f x '=0， 且当x ∈(0，x 1)时，()f x '>0，()f x 在(0，x 1)上是单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，()f x '<0，()f x 在(x 1，x 2)上是单调递减；当x ∈(x 2，+∞)时，()f x '<0，()f x 在(x 2，+∞)上是单调递增，故x 2是()f x 在(0，+∞)上的极小值． 综上，e 2a >． …………………………………………………………………6分 （2）要证f (x )>ax (ln x -x )即等价于证明e x >ax ln x ．①当0<x ≤1时，得e x >1，ax ln x ≤0，显然成立； ………………………………………………………………………7分 ②当x >1时，则x ln x >0，结合已知0<a ≤2e 2，可得0<ax ln x ≤2e 2x ln x ．理科数学答案 第5页（共6页）于是问题转化为证明e x >2e 2x ln x ， 即证明22e ln 0x x x−−>． …………………………………………………………8分 令22e ()ln 1x g x x x x−=−>，， 则222e (1)()x x x g x x −−−'=， 令2()2e (1)x h x x x −=−−，则2()2e 1x h x x −'=−，易得()h x '在(0)+∞，上单调递增. ∵2(1)=10(2)=30eh h ''−<>，， ∴存在0(12)x ∈，使得0()=0h x '，即0202e 1x x −=. ∴()h x 在区间(1，0x )上单调递减，在区间(0x ，+∞)上单调递增， ………………………………………10分 又(1)=10(2)=0h h −<，，∴当(12)x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(2)x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴()g x ≥(2)g =1-ln2>0，故g (x )>0，问题得证． ……………………………………………………12分22．解：（1）由题意得2222(cos )(sin )4x y αααα+=+=，∴ 曲线C 的普通方程为224x y +=． …………………………………………2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴ 代入可得曲线C 的极坐标方程为2ρ=． ………………………………5分（2）把=3πθ代入ρcos(6πθ−)=3中， 可得ρcos(36ππ−)=3，理科数学答案 第6页（共6页） 解得ρ=，即B 点的极径B ρ=，由（1）易得A ρ=2，∴ |AB |=|A ρ-B ρ|=-2． ………………………………………………10分23．解：（1）当m =2时，f (x )=︱x -2︱+︱x+1︱-5．当x ≤-1时，()(2)(1)50f x x x =−−−+−≥，解得x ≤-2； ……………………………………………………………………1分 当-1<x <2时，()(2)15f x x x =−−++−≥0，无解． ……………………………………………………………………………3分 当x ≥2时，()215f x x x =−++−≥0，解得x ≥3； ……………………………………………………………………4分综上，原不等式的解集为(2][3)−∞−+∞，，． ………………………………5分 （2）∵()|||1|5f x x m x =−++−≥|()(1)|5x m x −−+−|1|5m =+−≥-2，∴ |1|m +≥3， …………………………………………………………………8分 ∴ m +1≥3或m +1≤-3，即m ≥2或m ≤-4，∴ 实数m 的取值范围是(−∞，-4][2)+∞，． ……………………………10分2020届绵阳一诊参数处理的全面考查16.若函数21()(ln )2f x x m x x x =+--只有一个零点，则实数m 的取值范围为【解析】（半分离）由()0f x =，得21(2)(ln )2x x m x x -=-，令21()(2),()ln 2g x x x h x x x =-=-，则(),()g x h x 在(0,1)单减，在(1,)+∞单增。