2第二章 容斥原理及其应用

N (a1a2 ) N (a1a3 ) N (a1a4 ) N (a2a3 ) N (a2a4 ) N (a 3a4 ) 3[ N (a1a2a3 ) N (a1a2a4 ) N (a1a3a4 ) N (a2a3a1 )] 6 N (a1a2a3a4 )
例 在1至100的整数中，有多少个整数能且仅能 被 2， 5，这4个整数中的两个整除 ? 3， 7
解 令S {1, 2,,100}.
s S，称s具有性质a1 , a2 , a3 , a4，如果s能被2， 3,5,7整除
4
N (2) ( 1)
k 2
k 2
k N (ai1 ai2 aik ) 2 1 i1 i2 4
例 求由n( n 4)个相异元a1 , a2 , , an作成的a1与 a2 不相邻，a3与a4也不相邻的全排列的个数.
解 S 全排列的集合 A { S中a1与a2 相邻的全排列} B { S中a3与a4 相邻的全排列}
则 N | S A B || S | | A | | B | | A B |
则 hn | S A1 A2 A3 | 3n 32n 3
定理 设s是有限集，Ai S ( i 1, 2, , n, n 2), 则 | Ai |=
i 1 n 1 i1 n
|A
i1
|
1 i1 i2 n

| Ai1 Ai2 |
i 1 k 1 n n 1 i1 i2 ik n

| Ai1 Ai2 Aik |
例 以gn 表示2n( n 2)个相异元a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn , 作成的ak 与bk ( k 1, 2, , n)均不相邻 的不同的全排列的个数，求gn的计数公式.
1 i1 i2 ik n

N (ai1 , ai2 , , aik )
令N 0 | S |, 以N ( m )表示S中恰好具有a1 , a2 , , an中 m (0 m n)个性质的元素的个数，则 N (m )
k m
(1)
n
k m
k Nk . m
第二章
容斥原理及其应用
inclusion and exclusion principle
§1
容斥原理
容斥原理
定理 设S 是有限集，A, B S , 则 (1) | S A || S | | A |; (2) | A B || A | | A B |; (3) | A B || A | | B | | A B |; (4) | S A B || S | | A | | B | | A B | .

| Ai1 Ai 2 Aik |
| Ai1 Ai 2 Aik | 2k (2n k )!
于是 n k gn (2n)! ( 1) 2 (2n k )! k 1 k n k n k = ( 1) 2 (2n k )! k 0 k
n ! － 2( n 1)! － 2( n 1)! ＋ 4( n 2)!
例 以hn 表示把n件相异物分给3个小孩，使得每个小 孩至少分得一件物件的不同方法数，求hn的计数公式. 解 S {把n件相异物分给3个小孩的不同方法}
| S | 3n
Ai {第i 个小孩没有分得物件的方法} i 1, 2, 3 | Ai | 2n
容斥原理的符号形式
约定 N (a b) N (a ) N (b), N (1) N
定理 （容斥原理的符号形式） 定理 设S 是有限集，a1 , a2 , , an 是n个性质，对任意 k (1 k n)个正整数i1 , i2 , , ik (1 i1 i2 ik n), 以N (ai1 , ai2 , , aik )表示S中同时具有性质ai1 , ai2 , , aik 的元素的个数，以N (a1a2 , an )表示S中不具有 a1 , a2 , , an中任一性质的元素的个数，则 N (a1a2 , an ) N [(1 a1 )(1 a2 ) (1 an )]
定理 设n, k 都是正整数，S {1, 2, , n}, 则S中能 n n 被k 整除的正整数的个数为 , 其中 表示不大 k k n 于 的最大的整数 . k
例 由1至300的整数中，有多少个整数能被 7整除 且能被 2或5整除 ?
解： A={能被7和2同时整除的数} B={能被7和5同时整除的数}
k 1 n 1 i1 i2 ik n

N (ai1 , ai2 , , aik )
例 以g( m , n)表示把m件相异物分给n( m n) 个人，使得每人至少分得一件物体的不同的 分配方法数，求 g( m , n)的计数公式.
解 S {把m件相异物分给n个人的方法} | S | nm
1 i1 i2 ik n

w(ai1 ai2 aik ).
以w (0)表示S中所有元素的权和，E ( m )表示S中恰好具有 a1 , a2 , , an中m (0 m n)个性质的元素的劝和，则 E (m )
k m
(1)
n
k m
k w( k ) m
推论 设S 是有限集，a1 , a2 , , an 是n个性质，对任意 k (1 k n)个正整数i1 , i2 , , ik (1 i1 i2 ik n), 以N (ai1 ai2 aik )表示S中同时具有性质ai1 , ai2 , , aik 的元素的个数，以N (a1a2 ak ak 1 , an )表示S中同时 具有性质a1a2 ak 但不具有ak 1 , an中任一性质的元素 的个数，则 N (a1a2 ak ak 1 , an ) N [a1a2 ak (1 ak 1 ) (1 an )]
容斥原理的一般形式
定理 （容斥原理的一般形式） 设S 是有限集，S中的任一元s都被赋予了唯一的权w ( s ), a1 , a2 , , an 是n个性质，对任意k (1 k n)个正整数 i1i2 ik (1 i1 i2 ik n), 以w (ai1 ai2 aik )表示 S中同时具有性质ai1 ai2 aik 的元素的权和，令 w( k )
则 | N || A B |
故 N | A | | B | | A B | 300 300 300 35 7 2 5 25 14
例 由1至1000的整数中，有多少个整数能被2整除但 不能被3整除也不能被5整除？
解 S {由2n个相异元作成的全排列}
| S | (2n)! Ai {ai 与bi 相邻的排列} i 1, 2, n | Ai | 2(2n 1)!
n n
则 gn | S Ai || S | ( 1)k
i 1 k 1
1 i1 i2 ik n
称分配方法具有性质ai , 如果第i 个人没有分得物件.
则 N (ai1 ai2 aik ) (n k )m
g ( m , n) | S | ( 1)k
k 1 n m k n
1 i1 i2 ik n

N (ai1 ai2 aik )
n 1 n m k n =n ( 1) ( n k ) = ( 1) ( n k )m k 1 k 0 k k n n k n m = ( 1) k k 1 k
解 A＝{能被2整除的数} B＝{能被3整除的数} C＝{能被5整除的数}
则 N | A B C || A | | A ( B C ) | = | A| | A B | | AC | | A B C | 1000 1000 1000 1000 = 2 3 2 5 2 3 5 2 =267
推论 设S 是有限集，a1 , a2 , , an 是n个性质，对任意 k (1 k n)个正整数i1 , i2 , , ik (1 i1 i2 ik n), 以N (ai1 , ai2 , , aik )表示S中同时具有性质ai1 , ai2 , , aik 的元素的个数，以N (a1a2 ak )表示S中同时具有性质 a1a2 ak 的元素的个数，令 Nk
例 由1至1000的整数中，有多少个整数能被 4 整除但不能被 3也不能被10整除？
解 令S {1, 2,,1000}
s S , 称s具有性质a1 , a2和a3，若s能被4, 3,10整除.
则 N (a1a2a3 ) N [a1 (1 a2 )(1 a3 )] =N ( a1 ) N ( a1a2 ) N ( a1a3 ) N ( a1a2a3 ) 1000 1000 1000 1000 = 4 3 4 5 4 3 5 4 =133
定理 设S 是有限集，A, B , C S，则 (1) | A B C || A | | B | | C | | A B | | B C | | A C | | A B C |; (2) | S A B C || S | | A | | B | | C | + | A B | | B C | | A C | | A B C |
+( 1)k 1
1 i1 i2 ik n

| A1 A2 An | = ( 1)k 1
k 1 n 1 i1 i2 ik n