2019年湖南对口招生考试数学试卷
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湖南省 2019 年普通高等学校对口招生
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 4 页。时量120 分钟。满分120 分。
一、选择题(本大题共10 小题,每小题 4 分,共40 分。在每小题给出的四个选项中,只
有一个是符合题目要求的)
1.已知集合A = {1,3},B = { 0, a},且A B{ 0,1,2,3} ,则 a()
A .0B.1C.2 D .3
2.“x 4”是“x 2 ”的()
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
3. 过点P 1,1且与直线 3x4y0 平行的直线的方程是()
A .4x 3y 7 0
B .3x 4y 1 0
C.4x 3y 1 0D.3x 4y 1 0
4.函数f ( x)log 2 x ( x[1,8])的值域是()
A .[0,4]B.[ 0,3]C.[1,4]D.[1,3]
5.不等式x(x1)0 的解集是()
A .{ x x1}
B .{ x x 0}C.{ x 1 x 0} D .{ x x1或x 0}
6.已知tan
3
,且为第二象限角,则sin()4
4433
A .
5B.C. D .555
7.已知A, B为圆x2y21上两点,O为坐标原点.若
AB2,则OA OB()
A .
3
B .0C.
1
2 2
D.
2
8.函数 f ( x) A sin x 2 (A为常数)的部分图象如图所示,则A()
y
3
2
1
2O32x 22
(第8题 )
A.1B.2C.3D.1
9.下列命题中,正确的是()
A .垂直于同一直线的两条直线平行
B .垂直于同一平面的两个平面平行
C.若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等,则该直线与平面平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个垂直,则必与另一个垂直
10.已知直线l : ax by1( a, b为常数)经过点(cos, sin) ,则下列不等式一定成
33
立的是()
A .a2b21B.a2b21C.a b 1 D .a b 1
二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分)
11.在一次射击比赛中,某运动员射击20 次的成绩如下表所示:
单次成绩(环)78910
次数4664则该运动员成绩的平均数是__________ (环).
12.已知向量a(1,0) , b(0,1) , c(13,14),且 c xa yb ,则x y.13.已知ax 15的展开式中x的系数10,则a.
14 .将2,5,11三个数分别加上相同的常数m,使这三个数依次成等比数列,则
m.
15 .已知函数 f ( x) ( x R)为奇函数,g(x) (x R)为偶涵数,且
f ( x) g( x) x 24x 1 ,则 f ( 2) g(2).
三、解答题(本大题共7 小题,其中第21、 22小题为选做题。满分60 分.解答应写出文
字说明或演算步骤)
16.(本小题满分10分)
已知数列 a n是等差数列, a11, a3 3 .
(Ⅰ)求数列a n的通项公式;
(Ⅱ)设 b n( 1)n a n,数列b n的前 n 项和为 T n,求 T100.
17. (本小题满分 10分)
10 件产品中有 2件不合格品,每次取一件,有放回地抽取三次.用表示取到不合格
品的次数,求:
(Ⅰ)随机变量的分布列;
(Ⅱ)三次中至少有一次取到不合格品的概率.
18.(本小题满分10 分)
x2 ,0 x 2,
已知函数 f ( x)
6 x , 2 x 4,
(Ⅰ)画出 f ( x) 的图象;
(Ⅱ)若 f (m) 2 ,求 m 的取值范围.
19.(本小题满分10分)
如图,在三棱柱ABC A B C中, AA1底面 ABC ,
111C1
AB BC1ABC90
,D
为
AC
的中点.
,
(Ⅰ)证明:BD平面 ACC1A1;
(Ⅱ)若直线 BA1与平面 ACC 1 A1所成的角为 30 ,求三棱
C 柱
ABC A1 B1C1的体积.B1
A1
B A
D
20.(本小题满分 10 分)
2
已知椭圆 C :
x
y 2 1.
2
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;
(Ⅱ)已知点 M
1,0 ,直线 y x 1 与椭圆 C 交于 A, B 两点, 求 ABM 的面积.
选做题:请考生在第 21,22 题中选择一题作答. 如果两题都做, 则按所做的第 21 题计分.作答时,请写清题号.
21.(本小题满分 10 分)
如图,在直角三角形
ABC 中,
ACB 90 , ABC
60 ,BC
2 ,为内一点,
BMC 90 ,且 MC
1.
A
(Ⅰ)求 AM 的长;
(Ⅱ)求 sin AMB 的值.
M
B
C
(第21题)
22.(本小题满分 10 分)
某企业拟生产产品
A 和产品
B ,生产一件产品 A 需要新型材料 2 千克,用 3 个工时;
生产一件产品 B 需要新型材料
1 千克,用
2 个工时,生产一件产品 A 的利润为 1600 元,
生产一件产品
B 的利润为 1000 元,现有新型材料 200 千克,问该企业在不超过
360 个
工时的条件下, 如何规划生产, 才能使企业获得的总利润最大?并求出总利润的最大值.