一维非稳态导热的数值计算
传热学11 一维稳态和非稳态导热
• 两个边界条件中:一个为r=R时,T=Tw,由于内热源均 匀分布,圆柱体表面温度均为Tw,圆柱体内温度分布对 称于中心线,另一个边界条件可表示为 r=0时,dT/dr=0。 将微分方程分离变量后两次积分,结果为:
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
qv 2 qv 2 dT T r C1 ln r C2 r r C1 4 dr 2 • 根据边界条件,在r=0时, dT/dr=0。可得C1=0;利用 另一个边界条件,在r=R时,T=Tw,可得
• 可见,该条件下平壁内温度是按抛物线规律分布。令 温度分布关系式中的x=0,则得平壁中心温度为:
qv 2 T Tw s 2
11.1 通过平壁的一维稳态导热
• 例题2:炉墙内层为粘土砖,外层为硅藻土砖, 它们的厚度分别为s1=460 mm;s2=230 mm,导 热系数分别为:λ1=0.7+0.64× 10-3T W/m℃; λ2=0.14+0.12× 10-3T W/m℃。炉墙两侧表面温度 各为T1=1400℃;T3=100℃,求稳态时通过炉墙 的导热通量和两层砖交界处的温度。
1
2
Tf1 Tf2 dT q C1 1 s 1 dx
q K (Tf1 Tf2 )
1 s
1
2
1
综合传热系数或传热系数 多层平壁
K
Tf1 Tf2 q n si 1 1
1
2
1
1
i 1
i
2
平壁面积A
Tf1 Tf2 Q n si 1 1 1 A i 1 i A 2 A
11.1 通过平壁的一维稳态导热
对T求导,得: dT C1
传热学传热学 第三章第三节一维非稳态导热问题
§ 3-3 一维非稳态导热的分析解本节介绍第三类边界条件下:无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。
如何理解无 限大物体,女口:当一块平板的长度、 宽度 >> 厚度时,平板的长度和宽度的边缘向四周的散 热对平板内的温度分布影响很少,以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时, 该平板就是一块 无限大”平板。
若平板的长度、宽度、厚度相差较小,但平板四周绝热良好, 则热量交换仅发生在平板两侧面,从传热的角度分析,可简化成一维导热问题。
、无限大平板的分析解已知:厚度2d 的无限大平板,初温t0,初始瞬间将其放于温度为 上9的流体中,而且上9 >(边界条件)E (边界条件)引入过余温度:(0<x< <5 , > 0)(3-9)3(x,0)=灵(0 -X - ^)(初始条件)传热学--第三章第三节维非稳态导热问题to,流体与板面间的表面传热系数为一常数 试确定在非稳态过程中板内的温度分布。
解:如图3-5所示,平板两面对称受热, 于x ±0的半块平板,其导热微分方程:定解条件:t (x,0)= t0(0 -x -占)所以其内温度分布以其中心截面为对称面。
—=说—7肮 即(0<x< 占,r>0)tan (氏&)= 其中离散值是下列超越方程的根,称为特征值。
a 5%其中Bi 是以特征长度为日T液2的毕渥数。
与( T )各自均与 T 有关,但其比值则与 T 无关,而仅取决于几何位置(X/ 6 )及边 界条件(Bi )。
也就是说,初始条件的影响已经消失,无论初始条件分布如何,只要(边界条件)朋(& T)dx(边界条件)3B 护日 —=a ------氏分离变量求解g Sb 等 外=君&0冲首+如(线6 g 貞(3-10由此可见:平板中的无量纲过余温度3/宀与三个无量纲数有关:以平板厚度一半 占为特征长度的傅立叶数、毕渥数及 %即:9E 畑g =畑、曲5(3-12)二、非稳态导热的正规状况阶段1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系前述得到的分析解是一个无穷级数,计算工作量大,但对比计算表明, 用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于当1% , Fo>0.2 时,采因此,当 Fo>0.2Ct/时,采用以下简化结果:丸(3-13 )其中特征值 之值与Bi 有关。
非稳态导热微分方程
非稳态导热微分方程非稳态导热问题是研究物体内部或者在不同温度环境下的温度分布变化的数学模型。
其核心是通过非稳态导热微分方程来描述温度随时间和空间的变化规律。
本文将从导热微分方程的基本概念、一维问题和二维问题等方面进行论述。
一、非稳态导热微分方程的基本概念非稳态导热问题是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
在一维情况下,我们可以将问题简化为描述物体内部温度分布随空间变化的微分方程。
非稳态导热微分方程的一般形式如下:∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中,u(x,t)表示温度随空间和时间的变化,α是导热系数。
二、一维非稳态导热问题在一维情况下,我们考虑物体的温度分布只与空间变量x有关。
根据非稳态导热微分方程,我们可以通过分析边界条件和初始条件来求解问题。
具体的求解方法包括分离变量法、格林函数法等。
例如,我们考虑均匀杆的一维非稳态导热问题。
初始时刻杆上各点的温度分布u(x,0)已知,杆的两端分别与两个恒温热源接触。
边界条件可以表示为u(0,t)=T1和u(L,t)=T2,其中T1、T2为两个恒温热源的温度。
通过求解非稳态导热微分方程,我们可以得到随时间变化的温度分布u(x,t)。
三、二维非稳态导热问题在二维情况下,物体的温度分布与空间变量x和y都有关。
同样地,我们需要给定边界条件和初始条件来求解问题。
二维非稳态导热微分方程的一般形式如下:∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)例如,我们考虑矩形板的二维非稳态导热问题。
初始时刻板上各点的温度分布u(x,y,0)已知,板的边界上的温度分布也已知。
通过求解非稳态导热微分方程,我们可以得到随时间变化的温度分布u(x,y,t)。
结论非稳态导热微分方程是研究温度随时间和空间的变化规律的重要数学模型。
通过分析边界条件和初始条件,可以求解一维和二维非稳态导热问题,并得到随时间变化的温度分布。
(完整word版)一维非稳态导热的数值计算
int i,j,l;
float cha;
float a,x,y,Fo,Bi;
float t[N][K],b[N][K];
/*打印出题目*/
printf("\t\t\t一维非稳态导热问题\t\t");
printf("\n\t\t\t\t\t\t----何鹏举\n");
printf("\n题目:补充材料练习题三\n");
/*时刻为零时,赋予初场温度*/
for(i=0;i<N;i++)
t[i][0]=1000;
/*循环开始,每次计算一个时刻*/
for(j=0;j<K-1;j++)
{
for(i=0;i<N;i++)
b[i][j]=t[i][j];
/*下面对每一个时刻进行迭代求解对应的温度分布,公式按传热学课本P178页公式*/
y=1;/*y代表Δτ*/
x=0.05/(N-1);
a=34.89/(7800*712);
Fo=(a*y)/(x*x);
Bi=233*x/34.89;
printf("\n显示格式条件:");
printf("\n1、Fo=%3.1f<0.5\t",Fo);
printf("\t2、1-2Fo*Bi-2Fo=%4.2f>0\n\n",1-2*Fo*Bi-2*Fo);
{
printf("\n");
l=0;
}
}ห้องสมุดไป่ตู้
getchar();/*为了是生成的exe文件结果算的后不会立即退出,方便观看*/
传热学-学习课件-4-4 一维非稳态导热问题的数值求解
1
2
a x2
2h cx
2
a x2
t
i
N
1
2h cx
tf
③对称点
t (i)
-1
t (i)
2
传热学 Heat Transfer
2.直接用差分代替微分
①向前差分(forward difference)
i
t
t
i
n
1
t
i
n
n,i
②向后差分(backward difference)
t
t
i
n
t
i
n
1
n,i
i n,i+1
n-1,i n,i n+1,
t
i
n
1
t
n
i
a
t (i1) n 1
2
t
( n
i
1
)
x2
t (i1) n 1
(1,1)
n,i-1 i
n
x
整理成隐式格式:
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
主讲老师:王舫 适用专业:能源与动力工程专业
传热学 Heat Transfer
§4.4 一维非稳态导热问题的数值求解
在非稳态导热问题中,不但需要对空间区域进 行离散,还需要对时间变量进行离散,接下来以一 个一维非稳态导热问题为例,重点介绍对非稳态项 的离散方法,以及不同离散方法对计算带来的影响 等。
第三章第三节 一维非稳态导热的分析解
θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
μ1
cos(
μ1
e x ) − μ12F0 δ
θ
(0,τ θ0
)
=
θ m (τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ 1 sin μ1 cos
μ1
e − μ12 F0
第三节一维非稳态导热的分析解
θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
式中常数a ,b ,c ,d 见P75表3-3 a`,b`,c`,d`见P75表3-4
第三节一维非稳态导热的分析解
3 正规热状况的实用计算方法-线算图法
诺谟图
以无限大平板为例,F0>0.2 时,取其级数首项即可
θ (x,τ ) =θ0
μ1
+
2sin μ1 sin μ1 cos
μ1
e−μ12
F0
cos(μ1
第三节一维非稳态导热的分析解
上式化为:
∂θ = a ∂ 2θ
∂τ
∂x 2
θ =θ0
∂θ = 0 ∂x
0 < x < δ ,τ > 0 τ =0 x=0
− λ ∂θ = hθ x = δ ∂x
第三节一维非稳态导热的分析解
用分离变量法可得其分析解为:
θ
( x,τ θ0
)
=
∞
∑
n =1
2 sin( β nδ ) cos( β n x) β nδ + sin( β nδ ) cos( β nδ
4-3非稳态导热的数值计算
t k 1 i 1
)
tik
已知k时层的温度值,求k+1 时层的温度值要联立求解方 程组,即求解复杂,但无条件稳定(、x的取值不受 限制)。
三、边界节点的离散方程
t
1. 第三类边界条件:已知tf、h
tf、h
L
节点的热平衡:
N-1点导入 对流换热传 N节点内
+
=
N点的热量 入N点的热量 能的增量 0 1 N 1 N x
2t ( x2 )i,k
tk i 1
tk i 1
2tik
(x)2
节点 时层
( t
)i,k
t k 1 i
tik
空间用中心差分格式 时间用向前差分格式
将上面两式代入微分方程:
t k 1 i
tik
a
tk i 1
tk i 1
(x)2
2tik
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tik 1
k N
稳定性条件: 1 2Fo Bi 2Fo 0
或:
Fo 1 2Bi 2
2. 第二类边界条件:已知qw
建立节点0的差分方程(显式格式) t
t k 1 0
2Fo t1k
(1
2Fo)t0k
tf、
L
稳定性条件:
1 2Fo 0
0 1 N 1 N x 绝热
THANKS
非稳态导热 的数值计算
讨论: 一维、无内热源、常物性、非稳态导热
t f (x, )
t
a
2t x 2
一、显式差分格式
1. 内节点
k 1
1) 离散化: t f (x, )
k
第五章 导热问题的数值方法
5 热传导问题的数值方法5.1一维稳态导热一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为:0)(=+s dxdT k dx d (5-1) 式中k 为导热系数,T 是温度,s 是单位容积的热产生率。
首先选定控制体和网格,如图5.1所示,并对方程(5-1)在所选定的控制体进行积分,即得:0)()(=+-⎰dx s dxdTk dx dT ke w w e (5-2)图5.1 控制体和网格然后进行离散化。
如果用分线段性分布来计算方程(5-2)中的微商dxdT,那么最终的方程为:0)()()()(=∆+---x s x T T k x T T k wW P w e P E e δδ (5-3)假设源项s 在任一控制体中之值可以表示为温度的线性函数,即P P c T s s s +=,则导出的离散化方程为:b T a T a T a W W E E P P ++= (5-4)式中x s b xs a a a x k a x k a c P W E P w wW ee E ∆=∆-+=δ=δ=)()( (5-5) 式(5-4)就是一维稳态导热方程的离散形式,系数a E 和a W 分别代表了节点P 与E 间及W 与P 间导热阻力的倒数,它们的大小反映了节点W 和E 处的温度对P 点的影响程度。
式中的k e 和k w 是控制容积中的e 和w 界面上的当量导热系数。
进行计算时,物理参数值存储在节点的位置上。
为了确定k e 和k w ,还需规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。
常用的方法由两种,即算术平均法与调和平均法。
1、算术平均法假定k 与x 呈线性关系,由P 与E 点的导数系数确定e k 的公式为:eeEe e P e x x k x x k k )()()()(δδ+δδ=-+ (5-6) 2、调和平均法利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导热系数的调和平均公式。
控制容积中P 和E 的导热系数不相等,但界面上热流密度应该连续,则由Fourier 定律可得:()()()()EePePE EeeE PePe e k x k x T T k x T T k x T T q +-+-δ+δ-=δ-=δ-=(5-7)而()Pe PE e k x T T q δ-=则()()()Ee Pe eek x k x k x +-+=δδδ (5-8)这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式,它反映了串联过程热阻的迭加原则。
一维非稳态导热CRANK-NICOLSON解法
一维非稳态导热CRANK-NICOLSON解法题目:数值计算一维非稳态导热,长度1米的不锈钢棒原来温度都是0度,一端温度突然变为300度,并保存不变,采用CRANK-NICOLSON 方法数值计算不锈钢内温度分布随时间的变化。
解法:一维导热微分方程边界条件为u(0,t)=0;u(a0,t)=300初值u(x,0)=0;主程序clcclearuX=1; %不锈钢长1米uT=2000; %时长2000秒M=10; %空间轴等分区间数N=1000; %时间轴等分区间数rou=8030; %不锈钢密度cp=502.48; %不锈钢热容kk=16.27; %不锈钢导热率D=kk/rou/cp; %扩散系数phi=inline('0'); %初值psi1=inline('0'); %左边界psi2=inline('300'); %右边界%计算步长dx=uX/M;%x的步长dt=uT/N;%t的步长x=(0:M)*dx;r=D*dt/dx/dx;%步长比Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素for i=1:M-2Diag(i)=1+r;Low(i)=-r/2;Up(i)=-r/2;endDiag(M-1)=1+r;%计算初值和边值U=zeros(M+1,N+1);for i=1:M+1U(i,1)=phi(x(i));endfor j=1:N+1U(1,j)=psi1(t(j));U(M+1,j)=psi2(t(j));endB=zeros(M-1,M-1);for i=1:M-2B(i,i)=1-r;B(i,i+1)=r/2;B(i+1,i)=r/2;endB(M-1,M-1)=1-r;%逐层求解,需要使用追赶法(调用函数EqtsForwardAndBackward)for j=1:Nb1=zeros(M-1,1);b1(1)=r*(U(1,j+1)+U(1,j))/2;b1(M-1)=r*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2;b=B*U(2:M,j)+b1;U(2:M,j+1)=zhuiganfa(Low,Diag,Up,b);endU=U';%作出图形xlabel('空间变量x')ylabel('时间变量t')shading interp程序用到了追赶法子程序,代码如下function x=zhuiganfa(L,D,U,b)%追赶法求解三对角线性方程组Ax=b%检查参数的输入是否正确n=length(D);m=length(b);n1=length(L);n2=length(U);if n-n1 ~= 1 || n-n2 ~= 1 || n ~= mdisp('输入参数有误!')x=' ';return;end%追的过程for i=2:nL(i-1)=L(i-1)/D(i-1);D(i)=D(i)-L(i-1)*U(i-1);endx=zeros(n,1);x(1)=b(1);for i=2:nx(i)=b(i)-L(i-1)*x(i-1);end%赶的过程x(n)=x(n)/D(n);for i=n-1:-1:1x(i)=(x(i)-U(i)*x(i+1))/D(i);endreturn;运行主程序,最终得到如图所示结果。
matlab一维非稳态导热 -回复
matlab一维非稳态导热-回复Matlab是一种常用的科学计算软件,广泛应用于工程、物理、数学等领域。
在热传导研究中,非稳态导热问题是一个重要课题。
本文将以Matlab 为工具,介绍一维非稳态导热问题的求解方法。
首先,我们需要了解非稳态导热问题的基本概念。
非稳态导热问题是指热传导过程中温度场随时间的变化,即瞬态问题。
一维非稳态导热问题可以用下面的热传导方程描述:∂T/∂t = α∂²T/∂x²其中,T是温度,t是时间,x是空间坐标,α是热扩散系数。
为了求解上面的偏微分方程,我们需要确定边界条件和初始条件。
假设热导体的两端为x=0和x=L,边界条件可以是温度固定、热流固定或边界绝热(无热量流入或流出)。
初始条件是指在t=0时刻的温度场分布。
首先,我们需要定义问题的参数,包括热扩散系数α、热导体的长度L、时间范围tspan等等。
在Matlab中,可以使用类似下面的语句进行定义:alpha = 0.1; 热扩散系数L = 1; 热导体长度tspan = [0 10]; 时间范围接下来,我们需要定义初始条件和边界条件。
假设在t=0时刻,热导体的温度分布是一个高斯函数,可以使用下面的语句定义初始条件:x = linspace(0, L, 100); 在空间范围内生成100个均匀分布的点T0 = exp(-(x-L/2).^2); 初始温度分布对于边界条件,我们可以选择温度固定的情况,即热导体的两端温度为固定值T1和T2。
可以使用下面的语句定义边界条件:T1 = 1; 左端温度T2 = 0; 右端温度然后,我们可以使用Matlab的pdepe函数来求解一维非稳态导热问题。
pdepe函数是用于求解偏微分方程组的函数,其中包含了默认的边界条件和初始条件设置。
可以使用下面的语句进行求解:sol = pdepe(0,pdefun,icfun,bcfun,x,tspan);在上面的语句中,pdefun是一个用于计算偏微分方程右端项的函数句柄,icfun是一个用于计算初始条件的函数句柄,bcfun是一个用于计算边界条件的函数句柄。
一维非稳态导热的数值计算
一维非稳态导热的数值计算一维非稳态导热问题是指材料的温度在时间上发生变化,且只沿一个方向进行传热的问题。
这种问题在实际工程、材料科学和热传导研究中都十分常见。
数值计算是求解这类问题的重要方法之一,接下来我们将介绍一维非稳态导热的数值计算方法。
首先,我们来定义一维非稳态导热的数学模型。
假设我们考虑的材料是一维的杆状物体,其长度为L,温度分布随时间t和空间x而变化,记作T(x,t)。
根据热传导方程,我们可以得到如下的一维非稳态导热方程:∂T/∂t=α*∂^2T/∂x^2其中,α是热扩散系数,反应了材料导热性能的指标。
我们的目标是求解在给定边界条件下的温度分布T(x,t)。
为了使用数值方法求解该方程,我们需要将其离散化。
首先,我们将时间t离散化为一系列的时间步长Δt,将空间x离散化为一系列的空间步长Δx。
然后,我们使用中心差分法来近似替代方程的二阶空间导数项和一阶时间导数项:∂T/∂t≈(T(i,j+1)-T(i,j))/Δt∂^2T/∂x^2≈(T(i+1,j)-2T(i,j)+T(i-1,j))/Δx^2其中,i和j分别表示空间和时间的离散节点索引。
将上述近似代入导热方程中,得到离散的差分方程:(T(i,j+1)-T(i,j))/Δt=α*(T(i+1,j)-2T(i,j)+T(i-1,j))/Δx^2根据上述差分方程,我们可以通过迭代计算来逐步更新温度分布。
首先,我们需要给定初始条件T(x,0)和边界条件T(0,t)和T(L,t)。
然后,我们通过迭代计算来更新温度值,直到达到所需的时间步长和空间步长。
具体来说,我们可以根据以下的更新公式进行迭代计算:T(i,j+1)=T(i,j)+α*Δt*(T(i+1,j)-2T(i,j)+T(i-1,j))/Δx^2其中,T(i,j+1)表示在第j+1个时间步长和第i个空间步长的温度值,T(i,j)表示在第j个时间步长和第i个空间步长的温度值。
总之,一维非稳态导热的数值计算方法可以使用离散化和迭代计算来求解热传导方程。
第四章_导热问题的数值方法
5 热传导问题的数值方法5.1一维稳态导热一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为:0)(=+s dxdT k dx d (5-1) 式中k 为导热系数,T 是温度,s 是单位容积的热产生率。
首先选定控制体和网格,如图5.1所示,并对方程(5-1)在所选定的控制体进行积分,即得:0)()(=+-⎰dx s dxdTk dx dT k e w w e (5-2)图5.1 控制体和网格然后进行离散化。
如果用分线段性分布来计算方程(5-2)中的微商dxdT,那么最终的方程为:0)()()()(=∆+---x s x T T k x T T k wW P w e P E e δδ (5-3)假设源项s 在任一控制体中之值可以表示为温度的线性函数,即P P c T s s s +=,则导出的离散化方程为:b T a T a T a W W E E P P ++= (5-4)式中x s b xs a a a x k a x k a c P W E P w wW ee E ∆=∆-+=δ=δ=)()( (5-5) 式(5-4)就是一维稳态导热方程的离散形式,系数a E 和a W 分别代表了节点P 与E 间及W 与P 间导热阻力的倒数,它们的大小反映了节点W 和E 处的温度对P 点的影响程度。
式中的k e 和k w 是控制容积中的e 和w 界面上的当量导热系数。
进行计算时,物理参数值存储在节点的位置上。
为了确定k e 和k w ,还需规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。
常用的方法由两种,即算术平均法与调和平均法。
1、算术平均法假定k 与x 呈线性关系,由P 与E 点的导数系数确定e k 的公式为:eeE e e P e x x k x x k k )()()()(δδ+δδ=-+ (5-6)2、调和平均法利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导热系数的调和平均公式。
控制容积中P 和E 的导热系数不相等,但界面上热流密度应该连续,则由Fourier 定律可得:()()()()EePePE EeeE PePe e k x k x T T k x T T k x T T q +-+-δ+δ-=δ-=δ-=(5-7)而()Pe PE e k x T T q δ-=则()()()Ee Pe eek x k x k x +-+=δδδ (5-8)这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式,它反映了串联过程热阻的迭加原则。
一维非稳态导热问题的数值解
计算传热学程序报告题目:一维非稳态导热问题的数值解姓名:学号:学院:能源与动力工程学院专业:工程热物理日期:2014年 5月 25日一维非稳态导热问题数值解求解下列热传导问题:2T1T (0x L)x 2tT ( x,0)T (0, t) 1,T ( L,t )L 1,11.方程离散化对方程进行控制体积分得到:t t e 2Tdxdt1t t eT tw2twdxdtxtt tT (T ]dt1 e(T t tT t)dx[() e) wwtxx非稳态项:选取 T 随 x 阶梯式变化,有eT t)dx (T p t tT p t ) x(Tt tw扩散项:选取一阶导数随时间做显示变化,有[( T)e( T ) w ] dt [(T) e t( T)t w ] tt ttxx xx进一步取 T 随 x 呈分段线性变化,有( T) eT E T P , ( T)wT P T W x( x) ex( x ) w整理可以得到总的离散方程为:1 T E ttT P t T E t 2T P t T W ttx 22.计算空间和时间步长取空间步长为:h=L/N网格 Fourier 数为:F 0tt (小于 0.5 时稳定) x2x 2时间步长为:h2nF3.建立温度矩阵与边界条件T=ones(N+1,M+1)T(:,1)=Ti(初始条件温度都为 0)T(1,:)=To(边界条件 x=0 处温度为 1)T(N+1,:)=Te(边界条件 x=L 处温度为 0)4.差分法求解温度由离散方程可得到:T E t t F0 (T E t2T P t T W t ) T P t转化为相应的温度矩阵形式:T (m, k 1) F0 [ T (m 1, k)T (m1, k) 2 T ( m,k )] T (m, k)5.输入界面考虑到方程的变量,采用inputdlg 函数设置 5 个输入变量,对这 5 个变量设置了默认值,如图 1 所示。
材料制备传输原理:6.4 一维非稳态导热
m = x =0 =f 6 Fo,Bi 0
(6.36)
6.4 一维非稳态导热
式(6.36)及式(6.35j)就是壁内特定点温度场的解的准则关系式。 图1为中心过余温度的理论解按式(6.36)表示的诺谟图。已知Fo和Bi
准则,从图上可以得到θm/θ0值。
图1 无限大平壁中心温度的诺谟图
(6.39)
6.4 一维非稳态导热
图3为无量纲累计热量Q/Q0与t的诺谟图。为了读图方便, 横坐标取Bi2Fo的组合。
图3 无限大平壁(厚2δ)中累计热量
Q 与时间的诺谟图 Q0
6.4 一维非稳态导热
例 题
例6.6 一块厚200mm的钢板,初始温度为20℃,被送入1000℃高温的热 炉内,两侧受热。已知钢板的λ=34.8QW/(m K),a=0.555 10-5m2/s,加 热过程中的平均表面对流换热系数h=174W/(m2 K).试求: (1)钢板受热表面温度达到500℃所需的时间 (2)此段时间内每平方米截面传入钢板的累计热量 解:(1)在此问题中,钢板半厚δ=100mm,于是在表面上
从图3查得Q/Q0=0.78,再从已知条件得ρc=λ/a=6.27×106,
每平方米截面的累计热量为 Q=0.78Q0=0.78×2×0.1×6.27×106×(20-1000) = -968×108(J) 负号表示热量从炉子传入钢板车。
如何利用线算图 a)对于由时间求温度的步骤为,计算Bi数、Fo数和
采用这些无量纲变量,微分方程式(6.35a)~(6.35c)可转换成为
at 0 2 = 2 X 2
(6.35d)
τ=0时
=1
(6.35e)
τ>0时,X=1处, -
一维非稳态导热问题的数值计算
一维非稳态导热问题的数值计算一、本文概述导热是热量在物质内部由高温部分传向低温部分的过程,它在自然界和工程应用中无处不在,如建筑物的保温隔热、热机的热传递等。
一维非稳态导热问题作为导热理论中的一个重要分支,研究的是热量在一维空间内随时间变化的传递过程。
由于其实用性和理论深度,一维非稳态导热问题一直是热传导研究领域的热点之一。
然而,一维非稳态导热问题的解析解往往难以求得,因此数值计算成为了解决这类问题的主要手段。
数值计算不仅能提供问题的近似解,还能通过改变计算条件和参数,模拟各种实际场景,为工程实践提供有力支持。
本文旨在探讨一维非稳态导热问题的数值计算方法。
我们将首先介绍一维非稳态导热问题的基本理论和数学模型,然后详细阐述几种常用的数值计算方法,如有限差分法、有限元法和谱方法等。
在此基础上,我们将通过具体的算例,分析这些数值方法的计算精度和效率,并讨论其在实际应用中的优缺点。
本文的目标读者主要是对导热理论和数值计算方法感兴趣的学者和工程师。
希望通过本文的介绍,读者能对一维非稳态导热问题的数值计算有更深入的理解,并能将其应用于实际问题的求解中。
二、一维非稳态导热问题的数学模型一维非稳态导热问题是在某一方向上热量随时间变化的热传导过程。
在实际应用中,这类问题常见于金属棒、电缆、管道等物体的热量传递过程。
为了对这一问题进行深入研究,需要建立相应的数学模型。
一维非稳态导热的基本方程是热传导方程,它描述了热量在物体内部随时间和空间的变化。
在一维情况下,该方程可以表示为:\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2T}{\partial x^2} ]其中,(T(x, t)) 表示物体在位置 (x) 和时间 (t) 的温度,(\alpha) 是热扩散系数,它决定了热量在物体内部传递的速度。
为了求解这一方程,需要定义初始条件和边界条件。
初始条件指的是物体在初始时刻的温度分布,通常表示为:T(0, t) = T_1(t), \quad T(L, t) = T_2(t) ]其中,(T_1(t)) 和 (T_2(t)) 是边界上的温度分布函数,(L) 是物体的长度。
传热学3-33.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
数值计算表明,Fo>0.2后,略去无穷级数中的第二项及以 后各项所得的计算结果与按完整级数计算结果的偏差小于 1%。
以平板为例进行分析
θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
μ1
cos(
μ1
e x ) −μ12F0
δ
e θm (τ ) = θ (0,τ ) =
传热学 第三章 非稳态导热
东北电力大学 柏静儒
1
毕渥数 Bi 对温度分布的影响
分析:设有一块金属平板 2δ,λ,a,фV=0,h, 初始温度t0,突置于流体t∞中,且t∞ < t0。
Bi → 0
Bi → ∞
Bi →0 (1)
t
τ=0 τ1
t0
τ2 τ3
t∞ -δ
t∞ 0 δx
9内部导热热阻
趋于零;
2 sin μ1
− μ12 F0
θ0
θ0
μ1 + sin μ1 cos μ1
θ (x,τ ) θm (τ )
=
θ (x,τ ) /θ0 θ m (τ ) / θ0
=
co
s(
μ1
x
δ
)
平板中心处 过余温度
与时间无关, 只取决于边界条件
2. 正规状况阶段三个分析解的简化表达式
平板;
θ (x / δ ,τ ) θ0
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ
∂x 2
(0 ≤ x < δ , τ > 0)
t τ=0
I.C τ = 0 θ = θ 0 (0 ≤ x ≤ δ )