第3章第13讲二次函数考点集训

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【名师面对面】中考数学：(第13讲)《二次函数》考点集训

二次函数一、选择题1．(2018·滨州)下列函数中，图象经过原点的是( A ) A．y＝3x B．y＝1－2xC．y＝4xD．y＝x2－12．(2018·成都)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( D )A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋23．(2018·黄石)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则函数值y＞0时，x的取值范围是( D ) A．x＜－1 B．x＞3C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞34．(2018·毕节)抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2共有的性质是( B )A．开口向下 B．对称轴是y轴C．都有最低点 D．y随x的增大而减小5．(2018·荆门)将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( B )A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－36．(2018·陕西)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( D )A．c＞－1B．b＞0C．2a＋b≠0D．9a＋c＞3b二、填空题7．(2018·云南)抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是__(1，2)__．8．已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式__如：y＝x2－2__．9．(2018·扬州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为__0__．10．出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出(6－x)个，则当x ＝__3__元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．11．数学课本上，用“描点法”画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：该二次函数y ＝ax ＋bx ＋c 在x ＝3时，y ＝__－4__．12．(2018·菏泽)如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1＝x 2(x≥0)与y 2＝x23(x≥0)于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB＝．三、解答题13．(2018·滨州)已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3.(1)用配方法求其图象的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况； (2)求函数图象与x 轴的交点A ，B 的坐标，及△ABC 的面积．(1)y ＝x 2－4x ＋3＝x 2－4x ＋4－4＋3＝(x －2)2－1，所以顶点C 的坐标是(2，－1)，当x≤2时，y 随x 的增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的增大而增大(2)解方程x 2－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1，即A 点的坐标(1，0)，B 点的坐标(3，0)．过C 作CD⊥AB 于D ，∵AB ＝2，CD ＝1，∴S △ABC ＝12AB×CD＝12×2×1＝114．(2018·泉州)如图，已知二次函数y ＝a(x －h)2＋3的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)．(1)写出该函数图象的对称轴；(2)若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？(1)∵二次函数y ＝a(x －h)2＋3的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1 (2)点A′是该函数图象的顶点．理由如下：作A′B⊥x 轴于点B ，∵线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA′，∴OA ′＝OA ＝2，∠A′OA＝60°，在Rt △A ′OB 中，∠OA ′B ＝30°，∴OB ＝12OA′＝1，∴A ′B ＝3OB ＝3，∴A ′点的坐标为(1，3)，∴点A ′为抛物线y ＝－3(x －1)2＋3的顶点15．如图，二次函数的图象与x 轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点，交y 轴于点C(0，3)，点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B ，D.(1)请直接写出D 点的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．(1)∵二次函数的图象与x 轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点，∴对称轴是x ＝－3＋12＝－1.又点C(0，3)，点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，∴D(－2，3) (2)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0，a ，b ，c 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3，所以二次函数的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3 (3)一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜－2或x ＞116．(2018·泰州)某研究所将某种材料加热到1000 ℃时停止加热，并立即将材料分为A ，B 两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min 时，A ，B 两组材料的温度分别为y A ℃，y B ℃，y A ，y B 与x 的函数关系式分别为y A ＝kx ＋b ，y B ＝14(x －60)2＋m(部分图象如图所示)，当x ＝40时，两组材料的温度相同．(1)分别求y A ，y B 关于x 的函数关系式；(2)当A 组材料的温度降至120℃时，B 组材料的温度是多少？ (3)在0＜x ＜40的什么时刻，两组材料温差最大？(1)由题意得y B ＝14(x －60)2＋m 经过(0，1000)，则1000＝14(0－60)2＋m ，解得m ＝100，∴y B ＝14(x －60)2＋100，当x ＝40时，y B ＝14×(40－60)2＋100＝200；y A ＝kx ＋b 经过(0，1000)，(40，200)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1000，40k ＋b ＝200，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1000，k ＝－20，∴y A ＝－20x ＋1000 (2)当A 组材料的温度降至120 ℃时，120＝－20x ＋1000，解得x ＝44，当x ＝44，y B ＝14(44－60)2＋100＝164(℃)，∴B 组材料的温度是164℃(3)当0＜x ＜40时，y A －y B ＝－20x ＋1000－14(x －60)2－100＝－14x 2＋10x ＝－14(x －20)2＋100，∴当x ＝20时，两组材料温差最大为100 ℃。

中考数学专题13 二次函数(知识点串讲)(解析版)

(0 ， 0) ��轴
�� > 0时，��随��的增大而减小；�� < 0时，��随��的增大而增大；�� = 0时，��有最大值0．
1.（2019·辽宁中考模拟）下列关于二次函数 y 2x2 的说法正确的是( )
A．它的图象经过点( ‒ 1, ‒ 2) B．它的图象的对称轴是直线�� = 2
A．�� = (�� ‒ 1)(�� + 2)
C．�� = 1 ‒ 3��2 【答案】D 【详解】
y 1 x 12
B． 2
D． y 2 x 32 2x2
把每一个函数式整理为一般形式， A、�� = (�� ‒ 1)(�� + 2)=x2+x-2，是二次函数，正确；
B．y =‒ 2x + 1
C．y = x2 + 2
1
D．y = 2x ‒ 2
【答案】C
【详解】
根据二次函数的定义，形如y = ax2 + bx + c（其中 a，b，c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数
中是二次函数的是y
=
2
x
+
2。故选
C。
3．（2018·安徽中考模拟）下列函数不属于二次函数的是（）
1
②y=��2，分母中含有自变量，不是二次函数； ③y=x(1−x)=−x2+x，是二次函数；
④y=(1−2x)(1+2x)=−4x2+1，是二次函数.
二次函数共三个，
D．4 个

山东省菏泽市中考数学复习课件：第3章第13讲

技法点拨►利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤： (1)设出自变量，用含有自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入； (2)用含自变量的代数式表示销售成本； (3)确定二次函数的解析式； (4)根据函数解析式求出最值及取得最值时自变量的值，一定要注意自变量x的取值范围．
432 如图，设总占地面积为S(m2)，CD的长度为x(m)，由题意知，AB＝CD＝EF＝GH＝x，∴BH＝48－4x.∵0＜BH≤50，CD＞0 ，∴0＜x＜12.∴S＝AB·BH＝x(48－4x)＝－4(x－6)2＋ 144.∴x＜6时，S随x的增大而增大．∴x＝6时，S可取得最大值，最大值为S＝144.
解：(1)设 y＝kx＋b，根据题意，
80＝60k＋b， k＝－2，
得
解得
100＝50k＋b. b＝200.
∴y＝－2x＋200(30≤x≤60)． (2)w＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6450＝－2(x－65)2＋2000. (3)∵当 30≤x≤60 时，w随 x的增大而增大，∴当 x＝60 时，w有最大值为 1950 元． ∴当销售单价为60 元时，该公司日获利最大，为 1950 元．
(二)利用二次函数求最大利润问题【例2】 [2017·滨州模拟]一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T恤涨价后每周销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？
第三章函数及其图象第13讲二次函数的应用
考点梳理过关
考点二次函数的应用

二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)

二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，244ac b a-）.例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3）图1C.开口向下，顶点坐标为（-5，3）D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x 的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.图2ABCD图1菜园墙专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（）A.y=2a （x-1） B.y=2a （1-x ） C.y=a （1-x 2） D.y=a （1-x ）22.如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1，求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移个单位，使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（）Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x<<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.图2图1考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．x图1。

中考数学总复习第3章第13讲二次函数考点集训

中考数学总复习第3章第13讲二次函数考点集训一、选择题1．(2014·滨州)下列函数中，图象经过原点的是( A ) A ．y ＝3x B ．y ＝1－2x C ．y ＝4xD ．y ＝x 2－12．(2014·成都)将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h)2＋k 的形式，结果为( D )A ．y ＝(x ＋1)2＋4B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝(x －1)2＋4D ．y ＝(x －1)2＋23．(2014·黄石)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的图象如图，则函数值y ＞0时，x 的取值范围是( D )A ．x ＜－1B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x ＜－1或x ＞34．(2014·毕节)抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2共有的性质是( B )A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．都有最低点D ．y 随x 的增大而减小5．(2014·荆门)将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( B )A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －4)2－2C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －1)2－36．(2014·陕西)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( D )A ．c ＞－1B ．b ＞0C ．2a ＋b ≠0D ．9a ＋c ＞3b二、填空题7．(2014·云南)抛物线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标是__(1，2)__．8．已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y 轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式__如：y ＝x 2－2__．9．(2014·扬州)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a －2b ＋c 的值为__0__．10．出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出(6－x )个，则当x ＝__3__元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．11．数学课本上，用“描点法”画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，列了如下表格：x … －1 －2 0 1 2 … y…－612－4－212－2－212…根据表格上的信息回答问题：该二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在x ＝3时，y ＝__－4__．12．(2014·菏泽)如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1＝x 2(x≥0)与y 2＝x23(x≥0)于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB ＝__3－3__．三、解答题13．(2014·滨州)已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3.(1)用配方法求其图象的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；(2)求函数图象与x 轴的交点A ，B 的坐标，及△ABC 的面积．(1)y ＝x 2－4x ＋3＝x 2－4x ＋4－4＋3＝(x －2)2－1，所以顶点C 的坐标是(2，－1)，当x≤2时，y 随x 的增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的增大而增大(2)解方程x 2－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1，即A 点的坐标(1，0)，B 点的坐标(3，0)．过C 作CD⊥AB 于D ，∵AB ＝2，CD ＝1，∴S △ABC ＝12AB×CD ＝12×2×1＝114．(2014·泉州)如图，已知二次函数y ＝a(x －h)2＋3的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)．(1)写出该函数图象的对称轴；(2)若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？(1)∵二次函数y ＝a (x －h )2＋3的图象经过原点O (0，0)，A (2，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1 (2)点A′是该函数图象的顶点．理由如下：作A′B⊥x 轴于点B ，∵线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA′，∴OA ′＝OA ＝2，∠A′OA ＝60°，在Rt △A ′OB 中，∠OA ′B ＝30°，∴OB ＝12OA′＝1，∴A ′B ＝3OB ＝3，∴A ′点的坐标为(1，3)，∴点A ′为抛物线y ＝－3(x －1)2＋3的顶点15．如图，二次函数的图象与x 轴交于A (－3，0)和B (1，0)两点，交y 轴于点C (0，3)，点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B ，D .(1)请直接写出D 点的坐标； (2)求二次函数的解析式；(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．(1)∵二次函数的图象与x 轴交于A (－3，0)和B (1，0)两点，∴对称轴是x ＝－3＋12＝－1.又点C (0，3)，点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，∴D (－2，3) (2)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0，a ，b ，c 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3，所以二次函数的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3 (3)一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜－2或x ＞116．(2014·泰州)某研究所将某种材料加热到1000 ℃时停止加热，并立即将材料分为A ，B 两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min 时，A ，B 两组材料的温度分别为y A ℃，y B ℃，y A ，y B 与x 的函数关系式分别为y A ＝kx ＋b ，y B ＝14(x －60)2＋m(部分图象如图所示)，当x ＝40时，两组材料的温度相同．(1)分别求y A ，y B 关于x 的函数关系式；(2)当A 组材料的温度降至120℃时，B 组材料的温度是多少？ (3)在0＜x ＜40的什么时刻，两组材料温差最大？(1)由题意得y B ＝14(x －60)2＋m 经过(0，1000)，则1000＝14(0－60)2＋m ，解得m ＝100，∴y B ＝14(x －60)2＋100，当x ＝40时，y B ＝14×(40－60)2＋100＝200；y A ＝kx ＋b 经过(0，1000)，(40，200)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1000，40k ＋b ＝200，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1000，k ＝－20，∴y A ＝－20x ＋1000 (2)当A 组材料的温度降至120 ℃时，120＝－20x ＋1000，解得x ＝44，当x ＝44，y B＝14(44－60)2＋100＝164(℃)，∴B 组材料的温度是164℃ (3)当0＜x ＜40时，y A －y B ＝－20x ＋1000－14(x －60)2－100＝－14x 2＋10x ＝－14(x －20)2＋100，∴当x ＝20时，两组材料温差最大为100 ℃。

备战九年级中考数学一轮复习第13课二次函数(全国通用)

考点3 二次函数的应用 10.【例3】把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t(秒)，该足球距离地面的高度h(米)适用公式h＝20t－5t2(0≤t≤4). (1)当t＝3时，足球距离地面的高度为多少？ (2)当足球距离地面的高度为10米时，t是多少？ (3)足球离地面的最大高度是多少米？
解：(1)当t＝3时， h＝20t－5t2＝20×3－5×9＝15(米)， ∴t＝3时，足球距离地面的高度为15米；
A. 开口向上
B. 顶点为(1，2)
C. 对称轴为直线x＝1 D. 当x＜1时，y随x的增大而增大
(2)把y＝－x2－2x＋1配成顶点式y＝a(x－h)2＋k的情势：
_y_＝__－__(_x_＋__1_)2_＋__2__.当x＝__-_1_____时，y的最__大____值为___2_____.
(3)抛物线y＝(x－1)2经过两点(1，y1)，(2，y2)，则y1___＜_____y2.
∴直线DF的解析式为：y＝6x－18＋c－9a，将E( 7 ，3)代入，得c＝9a，
2 ∴抛物线解析式为：y＝ax2－6ax＋9a＝a(x－3)2，
∵1＜x＜6，∴当x＝3时，ymin＝0，当x＝6时，ymax＝9a，∴0＜y＜9a.
谢谢！
解：(1)令x＝0，得y＝－a， ∴C点坐标为(0，－a)，令y＝0，得－x2＋(a＋1)x－a＝0 解得x1＝a，x2＝1 由图象知：a＜0 ∴A点坐标为(a，0)，B点坐标为(1，0) ∵S△ABC＝6 ∴ 1 (1－a)(－a)＝6
2 解得：a＝－3，a＝4(舍去)
(2)∵a＝－3， ∴C(0，3)，y＝－x2－2x＋3 ∵S△ABP＝S△ABC ∴P点的纵坐标为±3，把y＝3代入y＝－x2－2x＋3得－x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝－2 把y＝－3代入y＝－x2－2x＋3得－x2－2x＋3＝－3，解得x＝－1＋ 7 或x＝－1－ 7 ∴P点的坐标为(－2，3)或(－1＋ 7 ，－3)或(－1－ 7 ，－3)

中考数学总复习《二次函数(2)》考点梳理及典例讲解课件

（1）求证：无论为何非零实数，此方程总有两个实数根.
证明：由题意得，无论为何非零实数，此方程总有两个实数根.
（2）若抛物线与轴交于，两点，且，求的值.
解：解方程，得，. 由，得. 解得或.
（3）若，点与点在（2）中的抛物线上（点，不重合），求代数式的值.
解：由（2）得，当时，.此时抛物线为，其对称轴为直线.由题意知，点，关于对称.，即..
（3）若该函数的图象与轴只有一个交点，求的值．
（1）求证：不论为何值，该函数的图象都经过轴上的一个定点.
证明：当时，．不论为何值，函数的图象都经过轴上的一个定点．
（2）当该函数的图象与轴有两个交点时，求的取值范围，并求为最大整数时，方程是常数的两个根.
解：依题意有，且，解得且，则的最大整数值为8. 方程的两个根为,.
解法归纳解决本例一类题，要深刻理解抛物线与一元二次方程的关系.另外需要注意的是，在抛物线上纵坐标相等的两点是关于抛物线对称轴对称的两点.
已知函是常数．
（1）求证：不论为何值，该函数的图象都经过轴上的一个定点.
（2）当该函数的图象与轴有两个交点时，求的取值范围，并求为最大整数时，方程是常数的两个根.
方向
大小
左
右
交点的位置
体验2 如图，二次函数的图象与轴交于点，，有下列说法：；；；④当时，.其中正确说法的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
考点三二次函数图象的位置变换
1.抛物线与抛物线的形状相同，位置不同，平移前后的___值不变. 2.把抛物线向上（下）、向左（右）平移，可以得到抛物线，平移的方向和距离要根据，的值来确定. （1）当时，向____平移个单位长度；当时，向____平移个单位长度. （2）当时，向____平移个单位长度；当时，向____平移个单位长度.

中考数学总复习第三单元函数第13课时二次函数与方程、不等式课件

抛物线与 x 轴的交点个数
Δ=b2-4ac 的符号
方程有实数根的个数
两个交点
Δ>0
两个不相等的实根
一个交点
Δ=0
两个相等的实根
没有交点
Δ<0
没有实根
2.已知函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为 k,求自变量 x 的值,就是解方程 ax2+bx+c=k;反过来,解方程 ax2+bx+c=k,就是令二
4
3
②当 a<0 时,抛物线的顶点为(2,4),且过点(4,1),∴抛物线的解析式为 y=- x2+3x+1.
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综上所述,抛物线的解析式为 y= x2-3x+4 或 y=- x2+3x+1.
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高频考向探究
探究三用二次函数的性质解决( jiějué)实际问题
图②),你选择的方案是
3”),则 B 点坐标是
(填“方案 1”“方案 2”或“方案
,求出你所选方案中的抛物线的表
达式;
图13-7
(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为 6 m,求水面上涨的高度.
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高频考向探究
解:解法一:(1)方案 1 (5,0)
设抛物线的解析式为 y=a(x+5)(x-5).由题意可以得到抛物线的顶点为(0,5),
1
1
5
5
代入解析式可得:a=- ,∴抛物线的解析式为 y=- x(x-10).
答:当 AB 为 20 米时,活动区的面积最大,

二次函数基本知识点梳理及训练(最新)

二次函数基本知识点梳理及训练(最新) 二次函数是初中数学的重要内容之一，也是高中数学的基础。

它是一个形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，x是自变量。

在这篇文章中，我们将通过一些有趣的例子来帮助你更好地理解二次函数的基本知识点。

让我们来看一个简单的例子。

假设你正在参加一场婚礼，新郎新娘要求你在婚礼上做一个小游戏。

游戏规则是这样的：他们会给你一张纸条，上面写着一个二次函数的表达式，比如y=2x^2-3x+1。

你需要在规定的时间内猜出这个函数的顶点坐标。

听起来很有趣吧？你知道如何求出二次函数的顶点坐标吗？答案是：使用公式y=(-b±sqrt(b^2-4ac))/2a。

其中，a、b、c分别是二次函数的系数，sqrt表示根号。

例如，对于y=2x^2-3x+1这个函数，a=2,b=-3,c=1。

将这些值代入公式，我们可以得到顶点的横坐标为(-b±sqrt(b^2-4ac))/2a=(3±sqrt(9-8))/4=(3±1)/4=1或2。

因此，这个函数的顶点坐标为(1,0)或(2,0)。

接下来是一个更难一点的例子。

假设你是一位厨师，正在为自己的餐厅设计一道新菜。

这道菜的味道非常特别，需要用到二次函数的知识。

你的顾客们都很好奇这道菜的味道是如何制作的，于是你决定给他们做一个演示。

你可以准备一些食材和工具，然后按照以下步骤制作这道菜：1. 你需要准备一些鸡肉和土豆。

将它们切成小块备用。

2. 在一个大碗里加入适量的盐、胡椒粉、生抽和料酒，搅拌均匀后放入鸡肉和土豆块腌制30分钟左右。

3. 接着，在一个平底锅中倒入适量的油，加热至六成热后放入腌制好的鸡肉和土豆块翻炒至金黄色捞出备用。

4. 在一个干净的大碗里加入适量的白糖、醋和番茄酱，并加入适量的水调匀制成酸甜汁。

将炒好的鸡肉和土豆块放入酸甜汁中浸泡片刻即可食用。

这就是一道简单的二次函数应用实例——鸡肉土豆煲。

【名师面对面】2015中考数学总复习第3章第13讲二次函数课件

C．a－b＋c＜0
D．4ac－b2＜0
4．函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象可能是( C )
解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－ 4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋ b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号，并以此推出其他代数式的符号
(1) 由表格中数据可猜测，y1是x的一次函数．设y1＝kx＋b，代入数值解得k=2，b=54∴y1＝2x＋54，经检验其他各点都符合该解析式，∴y1＝2x＋54(1≤x≤7，且x为整数) (2)设去年第x月的利润为w万元．当1≤x≤7，且x为整数时，w＝p1(100－8－y1)＝(0.1x＋ 1.1)(92－2x－54)＝－0.2x2＋1.6x＋41.8＝－0.2(x－4)2＋45，∴ 当x＝4时，w最大＝45万元；当8≤x≤12，且x为整数时，w＝p2(100 －8－y2)＝(－0.1x＋3)(92－x－62)＝0.1x2－6x＋90＝0.1(x－30)2, ∴当x ＝8时，w最大＝48.4万元．∴该厂去年8月利润最大，最大利润为48.4万元
二次函数是中考的重点内容： 1．直接考查二次函数的概念、图象和性质等． 2实际问题情境中构建二次函数模型，利用二次函数的性质来解释、解决实际问题． 3在动态的几何图形中构建二次函数模型，常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查． 4．体现数形结合思想、转化的思想、方程的思想．
1．(2014· 金华)如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4
b 当 x＜－时，y 随 x 的增大 2a b 而增大；当 x＞－时， y随x 2a 的增大而减小 b 当 x＝－时，y 有最大值 2a 4ac－b2 4a

二次函数知识点梳理及经典练习(超详细)

二次函数知识点梳理及经典练习【知识点梳理】一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做，，是常数，0二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）2. 平移规律： “h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．即“左加右减，上加下减”．四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，、()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a>-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法 1.二次函数解析式表示方法：（1）一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；（2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；（3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a : 0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口大小． 2. 一次项系数b : 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．▲ab 符号判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，即“左同右异”.3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结：c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称：2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称：（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称： ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，习惯上先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图像与x 轴的交点个数：（1）当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.（2）当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；（3）当0∆<时，图像与x 轴没有交点.①当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； ②当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图像的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图像关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：【基础题型概览】一、二次函数的基本概念 1、y=mx m2+3m+2是二次函数，则m 的值为（）A 、0，-3B 、0，3C 、0D 、-32、关于二次函数y=ax 2+b ，命题正确的是（） A 、若a>0,则y 随x 增大而增大 B 、x>0时y 随x 增大而增大。

备考集训2 二次函数-2022-2023学年九年级上册初三数学(人教版)

备考集训2 二次函数-2022-2023学年九年级上册初三数学(人教版)一、知识点回顾1. 二次函数的定义二次函数是指具有形式为f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a eq0。

2. 二次函数的图像二次函数的图像是抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

图像的顶点坐标为$(-\\frac{b}{2a}, f(-\\frac{b}{2a}))$，其中f(x)为二次函数。

3. 二次函数的性质•对称性：二次函数的图像关于顶点对称。

•零点：二次函数的零点是指使得f(x)=0的x值。

•纵轴交点：二次函数与纵轴交点的横坐标为$-\\frac{b}{a}$。

•定值区间：当二次函数的开口向上时，其值域为$[f(-\\frac{b}{2a}),\\infty)$；当二次函数的开口向下时，其值域为$(-\\infty, f(-\\frac{b}{2a}))$。

4. 二次函数的解析式求解方法•因式分解法：将二次函数形式化简为(x−x1)(x−x2)=0的形式，通过求解x1和x2得到解。

•公式法：利用二次函数的根公式，即$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。

二、教学重点•理解二次函数的定义和图像特征；•掌握二次函数图像的顶点坐标、零点、纵轴交点以及值域的求解方法；•掌握用因式分解法和公式法求解二次函数解析式的方法；•理解二次函数与实际问题的联系和运用。

三、教学难点•熟练掌握二次函数图像的特征和求解方法；•理解并能够应用二次函数解析式求解实际问题。

四、教学流程第一步：知识点回顾（10分钟）•复习二次函数的定义和图像特征；•复习二次函数的性质；•复习二次函数的解析式求解方法。

第二步：教学重点讲解（30分钟）•对二次函数的定义和图像特征进行详细解释；•介绍二次函数的性质及求解方法；•讲解二次函数的解析式求解方法的步骤和原理；•举例说明二次函数与实际问题的联系和运用。