古典概型

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古典概型的定义

古典概型的定义
古典概型，也叫统计学的古典概率，是一种基本的概率计算方法。

所谓“古典”，指的是它适用于那些有限个基本事件、每个事件的发
生概率相等的样本空间。

具体来说，对于一个由有限个基本事件组成的样本空间，假设每
个基本事件出现的可能性相等，那么该事件发生的概率就可以通过排
列组合求出。

以一枚硬币抛掷为例，它的古典概型是：正面朝上概率
为1/2，反面朝上概率为1/2。

古典概型的定义包含了以下三个要素：样本空间、基本事件和等
可能性原理。

1.样本空间：指所有可能发生的事件的集合，用S表示。

比如，
扔一枚骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。

2.基本事件：是样本空间S中每个元素本身，每个基本事件是互
斥的。

比如，扔一枚硬币时，正面朝上和反面朝上就是两个基本事件。

3.等可能性原理：是指每个基本事件发生的概率相等。

在扔一枚
硬币的例子中，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。

按古典概型定义，基本事件的概率是指每个基本事件出现的可能
性大小，因此它是介于0和1之间的一个实数。

所有的基本事件发生
概率之和为1。

应用古典概型，可以计算出概率问题的答案。

比如，如果一副扑
克牌中，从中随机取出一张牌，求取到一张红桃牌的概率是多少？根
据扑克牌的样本空间和等可能性原理，可以得到红桃牌的数量是13张，总牌数为52张，因此概率为13/52 = 1/4。

总之，古典概型是概率论中最基本的概率计算方法，适用于等可
能性的事件。

通过这种方法，可以方便地计算概率问题，为概率统计
学提供了重要的基础。

古典概型

5
6 7 8
(5,1)
(6,1) (7,1) (8,1)
(5,2)
(6,2) (7,2) (8,2)
(5,3)
(6,3) (7,3) (8,3)
(5,4)
(6,4) (7,4) (8.4) (6,5) (7,5) (8,5)
(5,6)
(5,7)
(6,7)
(5,8)
(6,8) (7,8)
(7,6) (8,6) (8,7)
共有64个等可能事件
（摸球问题）:一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球，从中摸出一个球，放回后再摸出一球。 ② 求摸出两个球至少有一个是黄球的概率；
1 1 2 3 4 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) 7 (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) 8 (1,8) (2,8) (3,8) (4,8)
（摸球问题）:一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球，从中依次摸出两个球。 ② 求摸出两个球至少有一个是红球的概率；
1 1 2 3 4 (2,1) (3,1) (4,1) (3,2) (4,2) (4,3) 2 (1,2) 3 (1,3) (2,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) 7 (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) 8 (1,8) (2,8) (3,8) (4,8)

古典概型-简单-讲义

古典概型知识讲解一、基本事件的两个特点1.任何两个基本事件是互斥的；2.任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．二、古典概型的概念概念：如果一次实验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个事件出现的可能性相等，则这样的概率模型称为古典概型．三、古典概型的特征1.有限性：即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；2.等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型．注：判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有上述两个特征：有限性和等可能性．四、古典概型计算公式及步骤1. 如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；2. 如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=mn．3. 古典概型的计算步骤：(1) 阅读题目，收集信息，理解题意：(2) 判断是否为古典概型，并用字母表示所求事件：(3) 计算基本事件的个数n和所求事件中包含的基本事件个数：(4) 计算所求事件的概率mPn．典型例题一．选择题（共5小题）1．（2015?广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．2．（2017?新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．故选：D．3．（2015?广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．4．（2018?宣城二模）从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C42A22=12种．其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C21C21=4种，∴其中至少有1名女生的概率P=．故选：A．5．（2015?新课标Ⅰ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C．二．填空题（共3小题）6．（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=．故答案为：．7．（2016?江苏模拟）分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．8．（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=，故答案为：．三．解答题（共3小题）9．袋中有8个白球，2个黑球，从中随机连续摸取3次，每次取1个球，求：（1）不放回抽样时，摸出2个白球，1个黑球的概率．（2）有放回时，摸出2个白球，一个黑球的概率．【解答】解：（1）不放回抽样时，从10个球中摸出3个，基本事件数是==120；其中2个白球，1个黑球的基本事件数是?=?2=56；∴它的概率为P==；（2）有放回时，从10个球中摸出3个，基本事件数是10×10×10=1000；其中2个白球，1个黑球的基本事件数是8×8×2=128；∴它的概率为P==．10．将某校高三年级300名学生的毕业会考数学成绩进行整理后，分成五组，第﹣组[75，80），第二组[80，85），第三组[86，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分．（1）请在图中补全频率分布直方图并估算这300名学生数学成绩的中位数；（2）若M大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试，在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官B的面试，求第4组中至少有1名学生被考官B面试的概率．【解答】解：（1）根据频率和为1，计算第五组[95，100]的频率为1﹣0.03×5﹣0.05×5﹣0.06×5﹣0.04×5=0.1，又频率组距==0.02，补全频率分布直方图如图所示∵0.03×5+0.05×5=0.40＜0.5，0.40+0.06×5=0.70＞0.5，∴中位数在第三组[85，90）中，设为x，则（x﹣85）×5+0.40=0.50，解得x=87；估算这300名学生数学成绩的中位数87；（2）第3组有学生300×0.06×5=90人，第4组有学生300×0.04×5=60人，第5组有学生300×0.02×5=30人；用分层抽样的方法从中抽取6人，则第3组抽取3人，记为a、b、c，第4组抽取2人，记为D、E，第5组抽取1人，记为f；从这6名学生中随机抽取2人，基本事件为ab、ac、aD、aE、af、bc、bD、bE、bf、cD、cE、cf、DE、Df、Ef共15种，第4组中至少有1人被抽取的基本事件为aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE、Df、Ef共9种，故所求的概率为P==．11．某学校阅览室订有甲，乙两类杂志，据调查，该校学生中有70%阅读甲杂志，有45%阅读乙杂志，有22%兼读甲，乙两类杂志．求学生中至少读其中一类杂志的概率？【解答】解：有70%阅读甲杂志，有45%阅读乙杂志，有22%兼读甲，乙两类杂志，则学生中至少读其中一类杂志的读甲，乙两类杂志的有70%+45%﹣22%=93%，故学生中至少读其中一类杂志的概率0.93。

古典概型

(2) 没有两位及两位以上乘客在同一层离开,即6位乘客必在十层中的任意6层离开,故有种离开方式,于是
(3)恰有两位乘客在同一层离开,由于没有规定在哪一层离开,故有种离开方式,有两人在某一层离开,有种离开方式,其余4人的离开方式不在同一层离开,这有以下三种方式：4人在同一层离开共有种离开方式;有3个人在同一层离开,另一个人在其余8层中的任一层离开,共有种可能;4个人都不在同一层离开,共有种结果.于是,有利结果数为
[例2] 一套五卷的选集，随机地放到书架上,求各册自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5的顺序的概率.
解：以a、b、c、d、e表示自左至右的书的卷号,这时一个放置的方式与一个向量（a,b,c,d,e）对应，而a、b、c、d、e只能在1、2、3、4、5中取值（而且不许重复取某一个值），故这种向量数共有5！=120.因为各卷书的安放是随机的,所以这120种放法是等可能的,这时就得到一个古典概型 ,而有利事件发生只有两种可能性:或者卷号的排列为1、2、3、4、5,或者为5、4、3、2、1,所以
一、古典概型
一个随机试验,数学上是用样本空间、事件域和概率来描述的.对一个随机事件 ,如何寻求它的概率是概率论的一个基本问题.我们先讨论一类是简单的随机试验,它具有下述特征:
对于一个试验 ,如果具有:
(1)样本空间的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为个,并记它们为 ,
(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有
.
[例7] 9名学生中有3名女生，将3名女生随机地分成3组，每组3人，求事件：每一组有一名女生，及事件：3 名女生在同一组中的概率.
解：(1)9名学生中有3名女生，将3名女生随机地分成3组，每组3人，共有种分法.
对于事件 ,先将男生分到组里去,每组2名,这有种,再将女生分到每一组,每组一名,共有3!种,因此的有利样本点共有种.所以

古典概型

3 10
练习巩固
3、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算： (1)两枚硬币都出现正面的概率是 0.25 (2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是 0.5
4、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的4个答案中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案便随意说出其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是 0.25
上述试验和例1的共同特点是：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
我们将具有这两个基本特点的概率模型称为

古典概率模型，简称古典概型。古典概型具有两大特征：有限性、等可能性。只具有有限性的不是古典概型，只具有等可能性的也不是古典概型。例如，在适宜的条件下，种下一粒种子观察它是否发芽。在0.6——2.8中间取实数。
练习巩固
2、从1，2, 3，4, 5五个数字中，任取两数，求两数都是奇数的概率。
解：试验的样本空间是
Ω={(12) , (13), (14) ,(15) ,(23), (24), (25), (34) ,(35) ,(45)}
∴n=10 用A来表示“两数都是奇数”这一事件，则 A={(13)，(15)，(3,5)} ∴m=3 ∴P(A)=
练1：连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚
硬币出现正面还是反面。（1）写出这个试验的基本事件空间；（2）求出基本事件的总数；
在一次试验中，所有
基本事件空间={（正正
可能发生的每一个基本结果，都称为一个基本事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件的空间。
正）（正正反）（正反正）（正反反）（反正正）（反正反）（反反正）（反正正）} 基本事件总数是8。

古典概型

解:有放回的连取两次取得两件,其一切可能的结果组成的有放回的连取两次取得两件, 基本事件是
={ (a,a),(a,b),(a,c), (b,a), (b,b),(b,c),(c,a), (c,b),(c,c) } ∴n=9 表示" 用B表示"恰有一件次品"这一事件, 表示恰有一件次品"这一事件, 则 (a,c), (b,c), (c,a), (c,b) } B={ ∴m=4 ∴P(B) = 4
9
练习巩固
从含有两件正品a,b和一件次品的三件产品中任取2 和一件次品c的三件产品中任取 1 从含有两件正品和一件次品的三件产品中任取求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 件,求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 解:试验的样本空间 ={ab,ac,bc} ∴n = 3 设事件A={取出的两件中恰好有一件次品 ,则取出的两件中恰好有一件次品}, 设事件取出的两件中恰好有一件次品 A={ac,bc} ∴m=2 ∴P(A)=
∴n = 1000000
表示" 用A表示"能取到钱"这一事件,它包表示能取到钱"这一事件, 含的基本事件的总数只有一个. 含的基本事件的总数只有一个.
∴m=1 ∴P(A) =
1 = 0 .0 0 0 0 0 1 1000000
和一件次品c的三件产品例5,从含有两件正品和一件次品的三件产品 ,从含有两件正品a,b和一件次品中每次任取1件每次取出后不放回, 中每次任取件,每次取出后不放回,连续取两求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 次,求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 每次取一个, 解:每次取一个,取后不放回连续取两次, 两次,其基本事件是
小结

古典概型

练习：练习：
1、同时抛掷1角与元的两枚硬币，计算：、同时抛掷角与元的两枚硬币，计算：角与1元的两枚硬币 (1)两枚硬币都出现正面的概率是（）两枚硬币都出现正面的概率是（两枚硬币都出现正面的概率是 (2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是（）一枚出现正面，一枚出现正面一枚出现反面的概率是（ 2、在标准化的考试中既有单选题又有不定项选择题，不定项选、在标准化的考试中既有单选题又有不定项选择题， 28 择题是从A，，，四个选项中选出所有正确的答案四个选项中选出所有正确的答案，择题是从，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，同学们 45 可能有一种感觉，如果不知道答案，不定项选择题很难猜对，这可能有一种感觉，如果不知道答案，不定项选择题很难猜对，是为什么？是为什么？ 3、在10支铅笔中，有8支正品和支次品。从中任取支，恰好、支铅笔中，支正品和2支次品支铅笔中支正品和支次品。从中任取2支都取到正品的概率是（都取到正品的概率是（）
（有限性）有限性）
(2)每个基本事件出现的可能性相等。 (2)每个基本事件出现的可能性相等。
（等可能性）等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，古典概型。率模型，简称古典概型。
对于古典概型，任何事件A 对于古典概型，任何事件A的概率为： A包含的基本事件的个数 P（A）=———————————— 基本事件的总数
小结
1．古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）这样两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。 2．古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
A所包含的基本事件的个数 P A）＝（基本事件的总数

古典概型

36 3
答：同时掷两颗骰子，共有36种不同的结果；点数之和是3的倍数的结果共有12种；点数之和是3 的倍数的概率为 1 .
3
P(A)11 1m nn n n
m个
P (A )事件基 A 包本含事的件基的本总事数件数 m n
古典概型
【典型例题】
一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球， 2只黑球， (1)从中一次摸出一个球，求摸得黑球的概率. (2)从中一次摸出两只球，（i）共有多少个基本事件？（ii）摸出的两只球都是白球的概率是多少？
解：（1） 2 . 5
古典概型
【典型例题】
（2）（i）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），因此，共有10个基本事件．（ii）上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3 个基本事件是摸到两只白球（记为事件A），即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）＝ 3 ．
古典概型
【变式训练】（2）第1颗骰子抛掷，向上的点数为1，2，3，4，5， 6这6个数中的某一个，第2颗骰子抛掷时都可以有两种结果，使两次向上的点数和为3的倍数（例如，第1次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数之和都为3的倍数），于是共有6×2＝12．
（3）因为同时掷两颗骰子得到的36种结果是等可能出现的，记“向上的点数之和是3的倍数” 为事件Ａ，则事件Ａ的结果有12种，故所求的概率为 P(A) 12 1 .
10
古典概型
【变式训练】
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数之和是3的倍数的概率是多少？

古典概型

规律方法总结
2．事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么？它包含的基本事件有多少？回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．
课堂互动讲练
考点一古典概型的有关概念
弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面，判断一次试验中的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区分．而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性．
例1
(2009年高考福建卷)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球． (1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果； (2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1 分，求3次摸球所得总分为5的概率．
高考真题

自我挑战

1 . （081 ）一个骰子连续投2次，点数和为4 的概率 12 2 . （09）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 0.2 . 3.（10）盒子中有大小相同的3只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 0.5
规律方法总结
1．用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中 m 的基本事件，利用公式P(A)＝ n 求出事件A的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏．

规律方法总结
2．事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么？它包含的基本事件有多少？回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．

古典概型

计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P( A )=1－P(A)；
（二）分布列 1．分布列：设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，ξ 取每一个值 xi（i=1，2，…）的概率为
P(
xi )
pi ，则称表为随机变量 ξ
的概率分布，简称 ξ
的分布列
新疆王新敞
奎屯
ξ
x1
x2
…
8．两点分布列: 随机变量 X 的分布列是：
ξ
0
1
P 1 p
p
像上面这样的分布列称为两点分布列．
[全面解读] 古典概型这一模块内容分两个部分，一个是古典概型，一个是离散型随机变量的概率分布。古典概型的问题基本是数个数，它本质是排列组合问题，分布列问题主要应掌握期望与方差的公式，对二项分布问题应重点关注。 [难度系数]★★☆☆☆
知识点分析：
（一）古典概型
１．随机事件 A 的概率： 0 P( A) 1，其中当 P( A) 1时称为必然事件；当 P( A) 0 时称为不可能事件；
2．等可能事件的概率（古典概型）： P(A)= m 。理解这里 m、ｎ的意义。 n
3．互斥事件：A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。 4．对立事件：A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生。
6.方差的性质： Da b a2D ；
7．二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是

古典概型

A包含的基本事件的个数基本事件的总数
m . n
预习检测
1.判断正误,说明理由(在括号内打“√”或“×”)大本196
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.( ×) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件.( × ) (3)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一 1 个兴趣小组的概率为 .( √ ) 3 （ 4 ）同时掷两颗均匀的骰子，向上点数不相同的概率等于
考点突破考点二
古典概型的概率问题
例2（1）（大本197页）（2015.广东）袋中共有 5个红球，从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ B ）
5 A、 21
15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，
10 B、 21
11 C、 21
D、 1
易错选项： A
考点突破考点二
方法：求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数常用的方法是列举法，树状图法，排列组合）注意：有序无序，有放回无放回，要做到不重不漏。
思考：大本198页典例
2.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( B ) 1 1 1 1 A.18 B.9 C.6 D.12
3.(2015· 全国Ⅰ卷)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数.从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( C ) 3 A.10 1 B.5 1 C.10 1 D.20
4.(2016· 青岛诊断)从数字 1，2，3 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 30 的概率为 ( ) 1 B.3 1 C.2 2 D.3 1 A.6 答案

古典概型

(1)试验结果有限的概率模型一定是古典概型. (
)
(2)只要每个试验结果出现的可能性相同,则该概率模型一定是古典概型. ( )
(3)有限性和等可能性是判定一个事件是古典概型的关键.( (4)事件A包含的基本事件有m个,试验的所有可能结果数有n 个,则P(A)= . m (
n
)
【解析】(1)错误.因为每个试验的结果不一定等可能
【微思考】
判断一个试验是否为古典概型的关键是什么?
提示:关键在于判断是否具备古典概型的两个
特征,即有限性和等可能性.
对古典概型的理解
古典概型由于满足基本事件的有限性和基本
事件发生的可能性相等这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.
3.试验③中,虽然基本事件只有两个,但是两个基本事件发生的
可能性不相等,故不是古典概型;试验①中,所有可能出现的基
本事件有无数多个,故不是古典概型.试验②④是古典概型.
答案:②④
【变式训练】下列试验是否属于古典概型?
(1)一个盒子中有三个除颜色外完全相同的球, 其中红球、黄球、黑球各一个,从中任取一
出现.
(2)错误.因为试验的结果不一定有有限个.
(3)正确.有限性和等可能性是判定一个事件是古典概型的关键. (4)错误.该概率模型未必是古典概型. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)先后抛掷均匀的壹分、贰分的硬币各一次: ①一共可出现________种不同的结果; ②出现“一枚正面朝上,一枚反面朝上”的结果有_____种; ③出现“一枚正面朝上,一枚反面朝上”的概率是________. (2)三张卡片上分别写上字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为________. (3)从甲、乙、丙、丁4位同学中任选两人参加演讲比赛,则

古典概型

3
4 5 6
从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。
1号骰子
2号骰子
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（2，3）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（4，1）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）
1号骰子 2号骰子
4 5 6
（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6） (4,1) （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）
A所包含的基本事件的个数 2 P A）＝（＝基本事件的总数 21
2
根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
A所包含的基本事件的个数 P A）＝（基本事件的总数
在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；（2）要判断该概率模型是不是古典概型。22
例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考察的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？
同时抛掷两枚均匀的硬币，会出现几种结果？出现“一枚正面向上，一枚反面向上”的概率是多少？

古典概型

n! 其组合总数为: 其组合总数为: = C (n m)!m! n n! 或: = m (n m)!m!
m n
P14例2 一袋中有六只球,4白2红.从中取球两次,分别在例一袋中有六只球, 白红从中取球两次, (a)放回抽样;(b)不放回抽样两种情况下求: 放回抽样; 不放回抽样两种情况下求不放回抽样两种情况下求: 放回抽样 (1)取得的两只球都是白球的概率; 取得的两只球都是白球的概率; 取得的两只球都是白球的概率 (2)取得的两只球颜色相同的概率; 取得的两只球颜色相同的概率; 取得的两只球颜色相同的概率 (3)取得的两只球至少有一只白球的概率; 取得的两只球至少有一只白球的概率; 取得的两只球至少有一只白球的概率取得的两只球都是白球" 解:令A="取得的两只球都是白球" 取得的两只球都是白球 B="取得的两只球都是红球取得的两只球都是红球" 取得的两只球都是红球 C="取得的两只球至少有一只白球" 取得的两只球至少有一只白球" 取得的两只球至少有一只白球
… 种方式有n 第m种方式有 m种方法种方式有种方法, …
2, 乘法原理 , 第一个步骤有n 种方法, 设完成一件事有m个步骤第一个步骤有 1种方法, 个步骤, 设完成一件事有个步骤, 第二个步骤有n 种方法, 第二个步骤有 2种方法必须通过每一步骤,才算完成这件事, 必须通过每一步骤才算完成这件事, 才算完成这件事则完成这件事总共有n 则完成这件事总共有 1 n2 … nm种方法 .
一,几何概型的定义
若随机试验满足下述两个条件: 若随机试验满足下述两个条件: (1)无限性: 它的样本空间有无限个样本点且全体样本点无限性: 无限性它的样本空间有无限个样本点,且全体样本点可用一个有度量的几何区域来表示; 可用一个有度量的几何区域来表示; (2) 等可能性:每个样本点出现的可能性相同等可能性:每个样本点出现的可能性相同. 则称这种试验为几何概型

古典概型

基本步骤： • 算出所有基本事件的总数n • 求出事件E包含的所有基本事件数m • 代入公式P(E)=m/n，求出P（E）
概率公式 P（E）= —mn P(E)=—E包—基含—本的—事基—件本—的事—总件—数的—个—数—
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1/n
古典概型也叫传统概率，其定义是由法国数学家拉普拉斯（Laplace ）提出的。
定义：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）试验中每个基本事件出现的可能性相等。
具有以上两个特点的概率模型是大量存在的，这种概率模型称为古典概率模型，简称古典概型，也叫等可能概型。
投掷一个质地均匀，形状规范的硬币，落定后有几种可能性？
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。
概率公式 P（E）= —mn P(E)=—E—包基— 含本的—事基—件本—的事—总件—数的—个—数—
一般地，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件E包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数那么事件E发生的概率可用此公式计算。
①是。共有二十个基本事件。 ②设摸出一个球是黄球为事件E，则P（E）=5/20=1/4 ③设摸出一个球是白球为事件A，则P（A）=0/20=0
抛两枚硬币，一正一反的概率是多少? A A.1/2 B.1/3 C.1/4
满足以下两个特点的随机试验的概率模型称为古典概型 1.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； 2. 试验中每个基本事件出现的可能性相等。
一般地，当事件E是必然事件时P(E)=1;当事件E是不可能事件时P(E)=0;当事件E为随机事件时P(E)在0与1之间

§1.3古典概型

例 2 一个袋子中装有 10 个大小相同的球, 其中 3 个大小相同的球, 个黑球, 个白球, 个黑球, 7 个白球, 求: 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率; (1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率; 从袋子中任取两球, (2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的以及两个球全是黑球的概率. 概率以及两个球全是黑球的概率. 解 (1) 10 个球中任取一个, 共有 C = 10 种. 从个球中任取一个,
我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,…,10 . 号球，号球则该试验的样本空间 S={1,2,…,10} , 且每个样本点(或者说且每个样本点或者说基本事件)出现的可能基本事件出现的可能性相同 . 称这样一类随机试验古典概型. 为古典概型
如i =2
2
8 5 6 19 4 7 3 10
记 S = {e1 , e2 ,⋯, en }; Ai = {ei }(i = 1,⋯, n ), 即
P ( A1 ) = P ( A2 ) = ⋯ = P ( An ).
1 = P ( S ) = P (U Ai ) = nP ( Ai )
i =1 n
由概率的公理化定义知
P ( Ai ) = 1 , i = 1,2,⋯, n n
问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？
解：七个字母的排列总数为7！七个字母的排列总数为！拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
2×2 = 4
故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为：
4 1 p= = ≈ 0.00079 7! 1260
第三节古典概型
一、古典概型定义二、古典概型中事件概率的计算三、几何概型

古典概型

一、古典概型一个随机试验,数学上是用样本空间、事件域和概率来描述的.对一个随机事件,如何寻求它的概率是概率论的一个基本问题.我们先讨论一类是简单的随机试验,它具有下述特征:对于一个试验,如果具有:(1)样本空间的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为个,并记它们为,(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有通常就称这种数学模型为古典概型.它在概率论中有很重要的地位,一方面,因为它比较简单,许多概念既直观而又容易理解,另一方面,它又包括了许多实际问题,有很广泛的应用.对上述的古典概型,它的样本空间,事件域为的所有子集的全体,这时,连同在内,共含有个事件,并且从概率的有限可加性知于是对任意一个随机事件,如果是个基本事件的总和,即则=中所含的基本事件数/ 基本事件总数=中有利事件数/ 基本事件总数（中所含的基本事件数,习惯上常常称为的有利事件数）.不难验证,上述的概率的确具有非负性、规范性和有限可加性.二、几个古典概型的例子[例1]在盒子中有十个相同的球,分别标为号码,从中任取一球,求此球的号码为偶数的概率.解法1令={取得球的标号为}则故基本事件总数为.又令={所取球的号码为偶数}显然所以中含有5个基本事件,从而解法2令，其中这时,由的对称性即得这两种解法都是正确的,但二者的样本空间(从而事件域)是不同的,严格地说,两者所描述的随机试验是不同的.例如,对于第二种解法来说,={所取球的号码为4}并不属于事件域,也就是说,不是一个事件,从而也就没有概率可言. 但对于第一种解法来说,是事件,而且.因此提请读者注意,为求一个事件的概率,样本空间可以有不同的取法,但一定要认清,基本事件总数和有利事件数的计算都要在同一个样本空间中进行,否则要引起混淆并导致谬误![例2] 一套五卷的选集，随机地放到书架上,求各册自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5的顺序的概率.解：以a、b、c、d、e表示自左至右的书的卷号,这时一个放置的方式与一个向量（a,b,c,d,e）对应，而a、b、c、d、e只能在1、2、3、4、5中取值（而且不许重复取某一个值），故这种向量数共有5！=120.因为各卷书的安放是随机的,所以这120种放法是等可能的,这时就得到一个古典概型,而有利事件发生只有两种可能性:或者卷号的排列为1、2、3、4、5,或者为5、4、3、2、1,所以[例3] 设有任意个人,每个人都等可能地被分配到个房间中的任一间去住,求下列事件的概率:(1)指定的个房间各有一个人住；(2)恰好有个房间，其中各住一个人.解：(1)因为每一个人有个房间可供选择,所以个人住的方式共有种,它们是等可能的.在第一个问题中,指定的个房间各有一个人住,其可能总数为个人的全排列,于是(2)个房间可以在个房间中任意选取，其总数有个，对选定的个房间，按前述的讨论可知有种分配方式，所以恰好有个房间，其中各住一个人的概率为这个例子常称为“分房问题”.如把例子中的“人”理解为“粒子”, “房间”理解为粒子所处的能级,那么“分房问题”所描述的模型就是统计物理学中的马克斯威尔-波尔兹曼统计.如果个人不可分辨的,那么上述模型即对应于玻色-爱因斯坦统计; 如果粒子不可分辨的,并且每一个“房间”里最多只能放一个“粒子”,这时就得到费米-狄拉克统计.这三种统计在物理学中有各自的适用范围.由以上的例题我们看到,求解古典概型问题的关键是在寻求基本事件总数和有利事件数,但正面求这两个数并不那么容易的,有时要研究一些技巧.要掌握这些技巧,当然需要一些艰苦的训练.[例4] 某班级有个人,问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大?解假定一年按365天计算,把365天当作365个“房间”, 那么问题就可以归结为例3,这时“个人的生日全不相同”就相当于例3中的(2): “恰好有个房间，其中各住一个人”.令={个人中至少有两个人的生日在同一天}则={个人的生日全不相同}由例3的(2)知而于是这个例子是历史上有名的“生日问题”,对不同的一些值,计算得相应的值如下表:上表所列的答案是足以引起多数读者惊奇的，因为“一个班级中至少有两个人的生日相同”这种情形发生的概率,并不如大多数人直觉想象的那么小,而是相当大.由表中可以看出,当班级中的人数为23时,就有半数以上的班级会发生上述事情,而当班级中的人数达到50时,竟有97%的会发生上述事件.当然,这里讲的“半数以上”、“有97%”都是就概率而言,正如前面中所讨论的那样,只是在大数次重复下(这就要求班级的数目相当多),才可以理解为频率.这个例子告诉了我们,“直觉”并不很可靠,这就有力地说明了研究随机现象统计规律的重要性.[例5] 袋子中有只黑球,只白球,它们除颜色不同外,其他方面没有差别,现在把球随机地一只只地摸出来,求第次摸出来的一只球是黑球的概率.解法1:把只黑球与只白球都看作是不同的(对它们进行编号)，若把摸出的球依次放在排列成一条直线的个位置上,则可能的排列相当于把个元素进行全排列,总数为,把它们作为样本点全体.有利场合数为,这是因为第次摸得黑球有种取法,而另外次摸球相当于只球进行全排列,有种构成法,故所求概率为这个结果与无关.回想一下,就会发现这与我们平常生活经验是一致的.例如在体育比赛中进行抽签，对各队机会均等,与抽签先后次序无关.解法2:把只黑球看作是没有区别的,把只白球也看作是没有区别的.仍把摸出的球依次放在排列成一条直线的个位置上,因若把只黑球的位置固定下来,则其他位置必然是白球,而黑球的位置可以有。

古典概型

问:
(1)一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求三次摸球所得总分为5的概率.
解析： (1)一共有8种不同的结果,列举如下: (红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、
黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、
黑、黑). (2)记“三次摸球所得总分为5”为事件A. 事件A包含的基本事件为:(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)事件A包含的基本事件数为3,由(1)可知,基本事件总
数为8,
3 所以事件A的概率为P(A)= . 8
练习3. 在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送
钱”，只见他手拿一黑色小布袋，小布袋只有3个黄色、 3个白色的球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板，写道：“摸球方法：从小布袋中随机摸出3 个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元
6 2b x 0 2a b y 2a 3 032, b＜ 3
或

2a＜b, a＜32,
b＞3.
其包含的事件有13个： (2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2) 13 ,(6,2),(1,4),(1,5),(1,6),因此所求的概率为 . 36
钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元
钱”. （1）摸出的3个球为白球的概率是多少？ (2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估
算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
解析：把3个黄球标记为A、B、C，3个白球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、 AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、 C13、C23、123，共20个. （1）事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个， 1 即摸出123号3个球P（E）= =0.05. 20 （2）事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本 9 事件有9个，P（F）= =0.45. 20 (3)事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出 2 的3个球为黄球}，P（G）= =0.1.假定一天中有100人次摸奖， 20 由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次,不发生有90次,则一天可赚90〓1-10〓5=40,所以每月可赚1200元.

古典概型

古典概型
1.基本事件：
试验结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件.
基本事件的特点：
(1)每个基本事件的发生都是等可能的.
(2)因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个.
(3)任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现一个结果，即产生一个基本事件.
(4)基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.
2.古典概型的定义：
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等；
我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
3.计算古典概型的概率的基本步骤为：
(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m；
(2)计算基本事件的总数n；
(3)应用公式计算概率.
4.古典概型的概率公式：
.应用公式的关键在于准确计算事件所包含的基本事件的个数和基本事件的总数.
要点诠释：
古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题；若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题；“在线段AB上任取一点C，求AC>BC的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.。

古典概型

【解题指南】(1)可以利用树状图写出所有不同的结果.(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件,利用古典概型的概率计算公式求出.(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件,利用古典概型的概率计算公式求出.
【解析】(1)用树状图表示所有的结果为
所以所有不同的结果是 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de.
共3个基本事件;事件A包含(1,2),(2,3),共2个基本事件,
则P(A)= 2 .
3
答案: 2
3
【知识探究】探究点1 基本事件 1.掷一枚质地均匀的硬币两次,观察哪一面向上.基本事件有哪些? 提示:基本事件有4个,即正正、正反、反正、反反. 2.事件A=“恰有一次正面向上”包含哪些试验结果? 提示:正反、反正.
3.从集合{1,2,3,4}中任取两个元素,可能的结果数
为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选D.从集合{1,2,3,4}中任取两个元素,则可
能的结果为:{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},
共6个.
4.若书架上放有中文书五本,英文书三本,日文书两本,
则抽出一本外文书的概率为 ( )
2.方法一(列举法): (1)用(x,y)表示结果,其中x表示骰子第1次出现的点数, y表示骰子第2次出现的点数,则试验的所有结果为: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),