1、因式分解
因式分解所有公式
因式分解所有公式因式分解是数学中常用的一种运算方法，它可以将一个复杂的代数式分解成更简单的乘积形式。
在代数学中，我们经常需要对各种公式进行因式分解，以便更好地理解和运用它们。
一、平方差公式的因式分解平方差公式是一种常见且重要的公式，它用于将两个完全平方数的差分解为两个因数的乘积。
平方差公式的一般形式为：a² - b² = (a + b)(a - b)。
其中，a和b可以是任意实数或变量。
这个公式可以用来解决各种代数问题，比如求解方程、简化算式等。
二、完全平方公式的因式分解完全平方公式是将一个二次多项式进行因式分解的方法。
它的一般形式为：a² + 2ab + b² = (a + b)²。
这个公式可以用来求解二次方程、简化算式等。
通过将二次多项式转化为完全平方形式，我们可以更方便地进行计算和推导。
三、差的平方公式的因式分解差的平方公式是平方差公式的逆运算，它用于将两个因数的乘积分解为两个完全平方数的差。
差的平方公式的一般形式为：a² - 2ab + b² = (a - b)²。
这个公式可以用来求解二次方程、简化算式等。
通过将乘积转化为差的平方形式，我们可以更方便地进行计算和推导。
平方根公式是将一个二次方程进行因式分解的方法。
它的一般形式为：x² - a² = (x + a)(x - a)。
这个公式可以用来求解二次方程、简化算式等。
通过将二次方程转化为平方根形式，我们可以更方便地进行计算和推导。
五、立方差公式的因式分解立方差公式是一种用来分解两个立方数之差的公式。
它的一般形式为：a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)。
这个公式可以用来求解立方方程、简化算式等。
通过将立方数之差分解为两个因数的乘积，我们可以更方便地进行计算和推导。
六、立方和公式的因式分解立方和公式是立方差公式的逆运算，它用于将两个因数的乘积分解为两个立方数的和。
1.因式分解
1.因式分解
教学目标
1.掌握一些常用公式，并能熟练运用；
2.掌握配方法，求根法，十字相乘法，并熟练运用；
3.用试根法解决简单高次(三次)多项式的因式分解
教学重点
1.常用公式的熟练运用
2.配方法，求根法，十字相乘法
教学难点
1.配方法，求根法，十字相乘的熟练运用
2.简单高次(三次)多项式的因式分解
教学过程
因式分解的主要常用方法有：公式法、配方法、求根法、十字相乘法、提取公因式法、分组分解法、试根法、配凑法
常用公式
平法差公式
完全平方公式
立方和公式
立方差公式
证明：(配凑法)
4422
222
224
444(2)(2)(22)(22)x x x x x x x x x x +=++-=+-=-+++
问：一元二次式2(0)ax bx c a ++≠可因式分解的条件是什么？(2
40b ac -≥) 例1.因式分解 2
56x x -+
变式1. 2
53x x -+(配方法、求根法)
变式2. 2253x x --(3种方法：配方法、求根法、十字相乘法)
说明：1.十字相乘原理：2()()()acx ad bc x bd ax b cx d +++=++； 2.24b ac -为有理数时，选用十字相乘法较好；
3.一般的，对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，若240b ac -≥，则方程有实根12,x x ，此时212()()ax bx c a x x x x ++=--。
推导：
例2： (1)332x x -+ (2)32
275x x +- (试根法)。
因式分解教案6篇
因式分解教案6篇在教学工作者开展教学活动前，时常要开展教案准备工作，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。
教案要怎么写呢？下面是精心整理的因式分解教案6篇，仅供参考，希望能够帮助到大家。
因式分解教案篇1知识点：因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。
教学目标：理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。
考查重难点与常见题型：考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。
重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。
习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
教学过程：因式分解知识点多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积。
分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。
分解因式的常用方法有：（1）提公因式法如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式。
（2）运用公式法，即用写出结果。
（3）十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则（4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行。
分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。
（5）求根公式法：如果有两个根X1，X2，那么2、教学实例：学案示例3、课堂练习：学案作业4、课堂：5、板书：6、课堂作业：学案作业7、教学反思：因式分解教案篇2一、教材分析1、教材的地位与作用“整式的乘法”是整式的加减的后续学习从幂的运算到各种整式的乘法，整章教材都突出了学生的自主探索过程，依据原有的知识基础，或运用乘法的各种运算规律，或借助直观而又形象的图形面积，得到各种运算的基本法则、两个主要的乘法公式及因式分解的基本方法学生自己对知识内容的探索、认识与体验，完全有利于学生形成合理的知识结构，提高数学思维能力．利用公式法进行因式分解时，注意把握多项式的特点，对比乘法公式乘积结果的形式，选择正确的分解方法。
第10讲：因式分解(一)
第十讲因式分解（一）一．定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种代数式变形就叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
二．意义因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
三．要点因式分解要注意一下五点：（1）因式分解的对象是多项式；（2）其结果必须是整式的乘积；（3）不能混淆因式分解和整式乘法；（4）要分解到不能分解为止；（5）因式分解结果的唯一性。
四．因式分解的数域范围因式分解的范围通常都是在有理数域上进行的，即分解的结果里面只能含有有理数。
五．书写惯例（1）因式分解的结果中有如果有一个单项式，通常要放在最前面，如：()232-+=-是不符合惯例的；a a a a a442（2）整式的乘积中如有相同的因式，要写成幂的形式，如：()()32a a a a a a-+=--是不符合惯例的；4422（3）首项的系数是负数时，要提出负号置于最前面，如：()()2111-+=---是不符合惯例的。
x x x六．基本方法1．提公因式法首先，什么叫做公因式呢？各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
这个公因式可以是单项式，也可以是多项式。
定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将一个多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；（3）取相同的多项式，多项式的次数取最低的；（4）正确找出多项式提出最大公因式后剩余的项；注意：（1）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
因式分解的几种常用方法1
例如:分解 x 2 - 10 x + 21
1 -3
x - 3 x - 7
1
-7
注意:处理系数时要带符号一起处理
所以:原式= ( x - 3 ) ( x - 7 )
例2 分解因式 3x －10x＋3 2 x 解：3x －10x＋3 =(x－3)(3x－1) 3x
2
2
Hale Waihona Puke －3－1 －9x－x=－10x ＋3
x 7x 6x
横写因式不能乱。
分解因式： x 2 5x 6 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要 等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从 中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个 因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项 的系数。
1 3( x 2 3 x)
3. ① （2006年长春市 ）已知：抛物线的解析式为y=x2+3x+2,那么 该抛物线与X轴的两个交点坐标为 (-1,0) ; (-2,0) 。
②（变式）已知：抛物线的解析式为 y=x2-（2m-1）x+m2-m．则 此抛物线与x轴的两个交点坐标为 （m , 0）;（m-1 , 0） 。
分析:把“x4+x2”作为一个整体，用一个新字母代替， 从而简化式子的结构.
解：令x4+x2=m，则原式可化为 (m-4)(m+3)+10 =m2-m-12+10 =m2-m-2 =(m-2)(m+1) =(x4+x2-2)(x4+x2+1) =(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1) =(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)
初中数学 因式分解(一)
1．定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．2．因式分解结果的要求：因式分解结果的标准形式 常见典型错误或者不规范形式符合定义，结果一定是乘积的形式 ()()()x x x +1+2+3+7既约整式，不能含有中括号 []()()x x +12+3-1 最后的因式的不能再次分解 ()()x x 2-1-1单项式因式写在多项式因式的前面()()x x x -1+1 相同的因式写成幂的形式 ()()()x x x x -1+1-1 每个因式第一项系数一般不为负数 ()()x x x -+1+1 每个因式第一项系数一般不为分数x x x 12⎛⎫⎛⎫-+1+1 ⎪⎪33⎝⎭⎝⎭因式中不能含有分式 x x x 21⎛⎫+ ⎪⎝⎭因式中不能含有无理数()()()x x x +1+2-23．因式分解基本解法：“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．①提取公因式法几个整式都含有的因式称为它们的公因式． 例如：()ma mb mc m a b c 2+4+6=2+2+3把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式()()a b a b a b 22+-=- 完全平方公式：()a b a ab b 222+=+2+()a b a ab b 222-=-2+立方差公式：()()a b a ab b a b 2233-++=- 立方和公式：()()a b a ab b a b 2233+-+=+三项完全平方公式：()a b c a b c ab ac bc 2222++=+++2+2+2 完全立方公式：()a b a a b ab b 33223+=+3+3+()a b a a b ab b 33223-=-3+3-大立方公式：()()a b c abc a b c a b c ab ac bc 333222++-3=++++---（1）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A ．()ab a b a b ab 223+=3+3B ．x x x x 222⎛⎫2+4=21+ ⎪⎝⎭C ．()()a b a b a b 22-4=+2-2D ．()x xy x x x y 23-6+3=3-2（2）如果下列式子是因式分解的结果，请判断下列式子形式是否正确，如果错误，请说明理由．①()x y x y 224-3+7；②()m m 23-4；③()()a b a b -4+2-2；④()[()]y x 22+1-1-3；⑤x x x 1⎛⎫+ ⎪⎝⎭；⑥()x x x 1⎛⎫+1-2 ⎪2⎝⎭；⑦()()y x x 2-+3-+3；⑧()()()()x y x y x y x y 2244++++．（1）C ；（2）③正确，①②④⑤⑥⑦⑧错误．【教师备课提示】这道题主要讲解因式分解的概念：（1）因式分解是一种恒等变形．（2）因式分解的结果必须是乘积的形式，每一个因式必须是整式，且不可再分解．（1）多项式x y x y x y 3222236-3+12的公因式是___________．（2）多项式()()()x y z a b x y z a b x y z a b 23433232545-24-+20-+8-公因式是_________．（3）观察下列各式：①a b 2+和a b +；②()m a b 5-和a b -+；③()a b 3+和a b --；④x y 22-和x y 22+，其中有公因式的是___________．（1）x y 223；（2）()x y z a b 223-4-；（3）②③．【教师备课提示】这道题主要讲解怎么找公因式，数和式子单独来看，数找公因数，式子找公因式．模块二 提取公因式法模块一 因式分解的概念因式分解：（1）a x abx y acx 232212+6-15（2）()()()()a b x y b c a b x y b c 223322++-6++（3）()()()x y x y x y 322+-2++2+ （4）abx acx ax 43-3+-（5）()()()()x y x y y x x y 2-33-2+2-32+3（6）a b a b ab 3223273-6+4这6道小题反映了提取公因式法的6大原则：（1）一次提净：应当先检查数字系数，然后再一个个字母逐个检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以提取． 原式()ax ax by c 2=34+2-5（2）视“多”为一：把多项式（如x y +，b c +等）分别整个看成是一个字母．原式2322()()(33)a b x y b c x y ab ab c =+++--（3）切勿漏“1”：当多项式的某一项恰好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下“1”，千万不要忽略掉．原式2(2)[(2)(2)1]x y x y x y =++-++22(2)(4421)x y x xy y x y =+++--+ （4）提负数：原式32(31)ax bx cx =--+（5）提相反数：原式(32)[(23)(23)]x y x y x y =---+6(32y x y =--）（6）化“分”为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可以使各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把1-作为公因数提出，使第一项系数称为正整数．原式32231(122427)4a b a b ab =-+223(489)4ab a b ab =-+．因式分解（随堂练习）：（1）x y xyz xy 25-10+5（2）()()()a x a b a x x a -+--- （3）()()()x x a x x -2+1++1++1（4）()()()()x m x m y m m x m y -----（5）n n b b 3-12-131+26（n 是正整数）（6）()()()p x p x p x 32226-1-8-1-21-（1）=()xy x z 5-2+1原式；（2）=()()()a x a b x a x a -----原式()()x a a b =---1； （3）()()x x a =+1-2++1原式()()x x a =-+12--1；（4）()()m x m y 2=---原式；（5）()n n b b 2-11=9+16原式；（6）()[()]p x x p 2=2-13-1-4-1原式()()p x x p 2=2-13-4-4． 【教师备课提示】例3和例4主要考查提取公因式因式分解．因式分解：（1）()x 2-1-9 （2）()()m n m n 229--4+（3）()()a b a b 22-4-+16+ （4）()()a b a b 222222-3-5+5-3 （5）x xy y 229-24+16 （6）a a 28-4-4 （7）()c a b a b 222222---4（1）()()x x +2-4；（2）[()()][()()]m n m n m n m n =3-+2+3--2+原式()()m n m n m n m n =3-3+2+23-3-2-2 ()()m n m n =5--5；（3）原式()()a b a b 43++3=；（4）()()a b a b a b a b 22222222=5-3+3-55-3-3+5原式()()a b a b 2222=8-82+2 ()()()a b a b a b 22=16+-+；（5）()x y 2=3-4原式；（6）()a a 2=-4-2+1原式()a 2=-4-1；（7）原式()()()()c a b c a b c a b c a b +--+++--=．因式分解（随堂练习）：（1）()a b 216-3+2 （2）x y x y 62575-12（3）a b c 444-81+16 （4）()()a b a b 2222223---3（5）()()x y z x y z 22+-6++9 （6）()x y x y 22222+-4（7）m m 4216-72+81模块三 公式法（1）()()a b a b =4+3+24-3-2原式；（2）()x y x y 244=325-4原式()()x y x y x y 22222=35+25-2；（3）()()c a b c a b 222222=4-94+9原式()()()c ab c ab c a b 222=2+32-34+9； （4）()()a b a b a b a b 22222222=3-+-33--+3原式()()a b a b 2222=4-42+2()()()a b a b a b 22=8+-+；（5）原式()x y z 2+-3=； （6）原式()()x y x y 22=+-；（7）()()m m 2222=4-2⋅4⋅9+9原式()m 22=4-9()()m m 22=2-32+3． 【教师备课提示】例5和例6主要考查平方差公式和完全平方公式因式分解．因式分解：（1）x 38+27 （2）y 3-+64（3）x x y 5239-72 （4）a b 66+ （5）a b 66-（1）()()x x x 2=2+34-6+9原式； （2）()()y y y 2=4-+4+16原式；（3）()x x y 233=9-8原式()()x x y x xy y 222=9-2+2+4； （4）()()a b 2323=+原式()()a b a a b b 224224=+-+； （5）()()a b 3232=-原式()()a b a b 3333=+-()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++另解：()()a b 2323=-原式()()a b a a b b 224224=-++()()()a b a b a a b b a b 422422=+-+2+- ()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++；【教师备课提示】这道题主要考查立方差和立方和公式． 因式分解：（1）a b c bc ca ab 2224+9+9-18-12+12（2）x x y xy y 32238-36+54-27（1）()a b c 2=2+3-3原式；（2）()x y 3=2-3原式．【教师备课提示】这道题主要考查三项完全平方和完全立方公式．下列因式分解正确的是（ ）A ．()()()a b a b a b a b 2222-4+4=-4-4=-4+2-2B ．()m m m m 323-12=3-4C ．()x y x y x y x y 422224-12+7=4-3+7D ．()()m m m 24-9=2+32-3D ．因式分解：（1）abc a b a b 2336-14+12 （2）a a a 324-6+15-12 （3）()x a x a x 22224+--（4）()()p q p 22-1-4-1（5）()()()(a b m p a b m p 5-22+3-2-72+3） （6）()()()x y x y x y 232++6+-4+（1）()ab a c ab 22=26+3-7原式； （2）()a a a 22-34+2-5=原式； （3）()()a x x 22=+4-1原式； （4）原式()()p p q =2-1-2-1； （5）=()()m p a b 2+33+5原式；（6）()[()()]x y x y x y 2=2+1+3+-2+原式()()x y x y x y xy 22=2+1+3+3-2-2-4．模块二 提取公因式法模块一 因式分解的概念已知b c a +-=-2，求()()a a b c b c a b c b c a 22221⎛⎫--+-++2+2-2 ⎪33333⎝⎭的值．()()a b c a b c 2=----3原式()a b c 22=--3．∵b c a +-=-2，∴a b c --=2，则原式8=3．因式分解：（1）()y z x 224-2-（2）(m x y mn 2232--3）（3）x y 88-（4）x x 516-（5）()()x x x x 22225+2-3--2-3 （6）()()x x x x 2222+4+8+4+16（7）n n n a a a +2-2+8+16（1）=()()y z x y z x 2+2-2-2+原式；（2）原式=()()m x y n x y n 32-+2--；（3）=()()x y x y 4444-+原式()()()x y x y x y 222244=-++()()()()x y x y x y x y 2244=+-++；（4）()()()x x x x x 422=16-1=4-14+1原式()()()x x x x 2=2-12+14+1； （5）()()x x x 22=6-64+4原式()()()x x x x =24+1-1⋅⋅+1()()x x x 2=24-1+1； （6）()x x 22=+4+4原式()x 4=+2；（7）()n a a a -242=+8+16原式()n a a -222=+4．因式分解：（1）a b c 3338-1（2）a b b 33932-4（3）x y y 631564+（1）()()abc a b c abc 222=2-14+2+1原式；（2）=原式()b a b 33648-()()b a b a ab b 32224=42-4+2+； （3）()y x y 3612=64+原式()()y x y x x y y 3244248=4+16-4+．模块三 公式法。
因式分解(一)
因式分解(一)撰稿：徐长明审稿：张扬责编：孙景艳一、目标认知学习目标：1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式；3．会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；4．经历综合利用提公因式法和公式法将多项式因式分解的过程，发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯。
知识结构重点难点：重点：因式分解的概念及各种方法的使用条件。
难点：因式分解方法的综合应用。
二、知识要点梳理知识点一：因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，如：，等。
要点诠释：（1）因式分解的实质就是把加减形式化成乘积形式；（2）因式分解的过程和整式乘法的过程正好相反，即因式分解和整式乘法是互逆的，可表示为：多项式几个因式的乘积；（3）分解要彻底：即要使分解后每个因式（在我们所学的范围内）都不能再进行因式分解（不含有因式了）．知识点二：公因式的概念1、公因式的定义：在多项式中各项都有的因式叫做这个多项式的公因式．如：多项式中每项都含有因式k，则k就是这个多项式的公因式．2、公因式的特点：a．公因式的系数是原多项式各项系数的最大公约数；b．公因式中的字母是各项中都含有字母；c．公因式字母的次数是相同字母的最低次．也即：知识点三：提公因式法分解因式把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提取公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即(ma＋mb＋mc)＝m(a＋b＋c)；（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式。
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号。
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误。
课件《因式分解》课件PPT_人教版1
x=
（b2-4ac≥0）
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
5 ， x2=5.
导入新知
1. 解一元二次方程的方法有哪些？
直接开平方法 x2=a (a≥0)
配方法
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
x= b b2 4ac（b2-4ac≥0）
2a
2. 什么叫因式分解?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式 分解，也叫把这个多项式分解因式.
(4)移项，得 y2－2y－15＝0.
a b c (∵2ax＝∵＋31，)(b2＝＝x－－314，，)=c0＝. －＝1，－4， ＝－1，
②(x－1)2＝3；
把方程左边因式分解，
y y x①b=2x－∴2－4ax3c＝x=＋(－1－＝100)；－（2－b240-=41±a0c0≥0）－24×2－3 4×3×－1＝2±3
能力提升题
我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直 接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从 以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当 的方法解这个方程．
降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1 0,
100 x2 49 2.04
这种解法是不是很简单？
探究新知
【思考】以上解方程 10x-4.9x2=0 的方法是如何使二次方 程降为一次的？
x(10-4.9x)=0 ①
x=0或10-4.9x=0 ②
（2）x(x+4)=8x+12. 解：x2-4x-12=0，
(x+1)2=-1.
(x-2)2=16.
此方程无解.
x1=6, x2=-2.
第一章因式分解
因式分解（1）目标：1、理解因式分解的概念和意义2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
一、看谁算得快：1、若a=101,b=99,则a 2-b 2=___________；2、若a=99,b=-1,则a 2-2ab+b 2=____________；3、若x=-3,则20x 2+60x=____________。
观察以上结果，请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。
a 2-b 2=(a+b)(a-b) ， a 2-2ab+b 2 = (a-b)2 ， 20x 2+60x=20x(x+3)， 找出它们的特点。
(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？) 因式分解： 也叫分解因式。
(a+b)(a-b)= a 2-b 2 , (a-b)2= a 2-2ab+b 2， 20x(x+3)= 20x 2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？二、、因式分解与整式乘法的关系：因式分解结合：a 2-b 2=========（a+b ）（a-b ）整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。
三、轻松练习1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什(1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m ＋n)(a ＋b)＋(m ＋n)(x ＋y)＝(m ＋n)(a ＋b ＋x ＋y)；(3)2m(m-n)=2m 2-2mn ； (4)4x 2-4x+1=(2x-1)2； (5)3a 2+6a=3a （a+2）； (6)x 2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x ； (7)k 2+21k +2=（k+k1）2；2、解方程：（1）012=-x （2）x 2–5x = 03、4、6、14的最大公因数是 。
4、分解因式（1）42-x （2） 5x x +2当堂达标一、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）。
因式分解知识点归纳总结一
因式分解知识点归纳总结一（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
第一讲因式分解
第1讲 因式分解【考点 .方法 .破译】(一) 考点点击1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
2. 因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法、换元法、主元法、配方法、待定系数法等。
3. 因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。
4. 竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项法、配方法和待定系数法等方法、例如2x px q ++的多项式,当; a p b =+，q ab =时，可分解为()()x a x b +- 的形式。
5. 利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解。
(二)热点提示1． 本章的重难点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法。
2. 考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。
重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。
习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
【预见性困难】学生结合自己实际情况认真填表【教材知识全解】一、知识结构二、知识要点因式分解的概念：把一个含字母的多项式表示成多个均含字母的多项式乘积的形式，其中单项式可以看成只有一项的多项式，分解后的多项式是原多项式的因式。
如：f gh =，其中,g h 是f 的因式。
强化观念：⑴整式的乘法是一种运算，而因式分解是对多项式形 式的一种转变。
⑵因式分解是对多项式而言的,单项式不能进行因式分解,如 3...a b a a a b = 就不是因式分解。
⑶因式分解的结果必须是积的形式,不能是和差的形式,如 234(3)4y y y y --=-- 从总体上看，等式的右边是两数之 差，不是积的形式，所以从左边到右边的变形不是因式分解。
(4)因式分解的结果中的每一个因式必须是整式，即分母中不含字母，如11(1)x x x -=- , 结果中的因式中含11x - 不是整式,所以这不是因式分解。
因式分解1
5
• 例：把下列各式分解因式： • １．８ａ３ｂ－１２ａｂ３ｃ ２ • ２．３ｘ －６ｘｙ+ｘ ３ ２ • ３．－４ｍ +１６ｍ －２６ｍ
6
• 当堂训练一
１．指出下列各式的公因式： ２ｂ２ ２ ３ ３ ２ ａ （１）ａ ｂ －ａ ｂ （２）３ｘｙ－９ｘ２ｙ ３ｘｙ （３）２ｍ２ｘ３－３ｍｘ２－４ｘ ｘ （４）－５ｍ３ｎ－１０ｍ２ｎ２+５ｍ
－５ｍ
7
• ２．对下列多项式进行因式解 （1）3a＋3b（2）5x－5y＋5z
2 2 （3）－5a ＋25a（4）3a －9ab；
10
当堂训练3
• 先因式分解,再计算: 1. 11.302×9.8+8.698×9.8 2. 2003×99-27 ×11
11
因式分解(1)
1
学习目标
• 1.了解因式分解与整式乘 法之间的关系. • 2.发现因式分解的基本方 法提公因式法.
2
自学指导
自读教材P87页 理解什么是因式分解.以及 因式分解的基本方法Байду номын сангаас公因 式法.能用提公因式法分解因 式.
3
4
• 1.把一个多项式化为几个整式 的乘积形式，这就是因式分解 • 2.把公因式提出来,这种因式分 解的方法，叫做提公因式法。
2 （5）a ＋a
2 （6）4ab－2a b
8
当堂训练2 对下列多项式进行因式解：
1.4a-8b 3 2 3 3.6x y -5xy
因式分解1讲义模板
教学目标
重点、难点
考点及考试要求 教学内容
一、因式分解的意义 把一个多项式化成为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 总结：(1)因式分解是多项式的一种恒等变形，也是单项式与多项式，多项式与多项式相乘的逆变 形. (2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式. (3)分解因式都是在指定的数集内进行(如无特殊说明，一般指有理数)，其结果要使每一个因式不 能再分解为止. 二、提公因式法 (1)公因式：多项式中每一项都含有的因式，叫公因式. (2)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多 项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. (3)公因式的构成： ①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 提公因式时要一次提尽.公因式可以是单项式，也可以是多项式。 练习： （1）2x2y－xy （2）6a2b3－9ab2 （3）x（a－b）＋y（b－a） （4）ax＋ay＋bx＋by
a 4 1 a 2 1 a 1a 1
4、对某些多项式还要了解经过一定变形后才能分解的因式，如：分解 x 2 4 xy 3 y 2 的因式，此题用 现有的方法还不能分解因式.但若适当处理后配成完全平方，就可以继续分解.
x 2 4 xy 3 y 2 x 2 4 xy 3 y 2 y 2 y 2 x 2 4 xy 4 y 2 y 2 x 2 y y 2 x 2 y y x 2 y y x y x 3 y
（2）3ax2+6axy+3ay2
（3）4x2－12x＋9
（4）16x4+24x2+9；
1、因式分解
1、因式分解第1讲因式分解(1)【竞赛导航】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
本讲主要涉及用提公因式法和公式法分解因式.一、提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数取各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
二、把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式：a 2-b 2=(a +b )(a -b )完全平方公式：a 2 ±2a b+b 2=(a ±b )2推广公式：a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2立方和、立方差公式: a 3±b 3=(a ±b )( a 2 μa b+b 2)和（差）的立方公式：33223)(33b a b ab b a a ±=±+±补充：欧拉公式： a 3+b 3+c 3= (a +b +c )(a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc ) +3abc ])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++=+3abc 特别地：（1）当a +b +c =0时，有a 3+b 3+c 3=3abc（2）当0=c 时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
【典例解析】例1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213；（2）)(2)(2)(223a b ab a b a b a a ---+-例2. 计算：1368987521136898745613689872681368987123?+?+?+?例3. 不解方程组23532x y x y +=-=-，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
1-5因式分解定理
高等代数II 第一章多项式第5节. 因式分解定理教学大纲一．素因子的个数小学算术就学了正整数的因子分解, 学了质数合数. 初中学了多项式的因式分解. 因子分解是你们熟悉的. 很多人就认为因式分解很容易, 就凭那三招(提取公因子, 用乘法公式，分组分解法）就可以纵横天下。
其实，正整数的因子分解都是世界难题。
多项式就更不可能容易。
先别去碰难题。
还有些入门的小儿科都没有搞清楚。
比如, 1不能分解,为什么不是质数?学了负整数, 2=(-2)(-1)可以分解, 2还是质数吗?-6的分解式是3×(-2) 还是(-3)×2 还是(-1)×3×22x+4 在有理系数范围内能不能分解？2x+4=2(x+2) 不就分解了吗？还有一个被忽略的问题：书上要求因式分解到底。
你分到不知道怎么分就结束了。
为什么不想一下,你不知道怎么分,不能断定它就不能分。
有可能是它还能分，你水平不够没有发现它的分解式。
因此, 不但应该有方法教你怎样分，还应该教你判别分到什么时候就到底了。
最简单的情况: 全部因式都是一次，肯定到底了。
大部分时候不能分到一次，怎么知道它到底没有。
比如x10+x5+1, x12+x9+x6+x3+1在有理数范围内能不能分？1.正整数的分解：不能分解的正整数叫做质数(也叫素数), 能分解的叫合数.例1.1是质数还是合数?学生: 1不能分解, 是质数.老师: 1既不是合数, 也不是质数.学生: 既不是合数, 也不是质数, 是什么呢?老师: 它就是1.点评: 为什么不说“2 既不是合数, 也不是质数, 它就是2”？1 和2 都不能分解，它们有什么区别？例2. 如下正整数是多少个素因子的乘积？(1)24; (2) 24×2×1×3×1; (3) 24÷2÷1÷3÷1; (4) 23×32; (5) 210÷210。
因式分解方法大全1
因式分解方法大全（一）因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫因式分解或分解因式。
它与整式乘法是方向相反的变形.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
因式分解的主要方法：⑴提公因式法；⑵运用公式法；⑶分组分解法；⑷十字相乘法；⑸添项折项法；⑹配方法；⑺求根法；⑻特殊值法；⑼待定系数法；⑽主元法；⑾换元法；⑿综合短除法等。
第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+-⑵完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+（新课标不做要求）⑷立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++（新课标不做要求）⑸三项完全平方公式：2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++⑹ 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）abc c b a 3333-++四、十字相乘法.㈠二次项系数为1的二次三项式：2x bx c ++，条件：如果存在两个实数p 、q ，使得c pq =且b p q =+，那么2()()x bx c x p x q ++=++例1、分解因式：652++x x分析：将6分解成两个数的积，且这两个数的和等于5。
八年级数学知识点分类讲解1因式分解(一)
八年级数学知识点分类讲解第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．。
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第1讲 因式分解(1)
【竞赛导航】
如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
本讲主要涉及用提公因式法和公式法分解因式.
一、提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数取各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
二、把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有： 平方差公式：a 2-b 2=(a +b )(a -b )
完全平方公式： a 2 ±2a b+b 2=(a ±b )2
推广公式：a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2
立方和、立方差公式: a 3±b 3=(a ±b )( a 2 μa b+b 2)
和（差）的立方公式：33223)(33b a b ab b a a ±=±+±
补充：欧拉公式： a 3+b 3+c 3
= (a +b +c )(a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc ) +3abc ])()())[((2
1222a c c b b a c b a -+-+-++=+3abc 特别地：（1）当a +b +c =0时，有a 3+b 3+c 3=3abc
（2）当0=c 时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
【典例解析】
例1. 把下列各式因式分解
（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213；（2）)(2)(2)(223a b ab a b a b a a ---+-
例2. 计算：1368
987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯
例3. 不解方程组23532
x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
例4. 证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。
例5. 已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。
例6. 设x 为正整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由。
例7. 分解因式a a b b 2222+--= .
例8. 已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
例9. 已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。
例10. 两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
例11. 已知a b c a b c ++=++=00333，， 求证：a b c 5550++=
【沙场练兵】
1、因式分解（1）322x x x ()()---= .
（2）412132q p p ()()-+-= .
（3）-+-41222332m n m n mn = .
（4）234xy x -= .
（5）2883223x y x y xy ++= .
（6）()()a a +--23122= .
（7）x x y x y x 5222()()-+-= .
2、计算：200020012001200120002000⨯-⨯= .
3. 计算：()()-+-221110的结果是（ ）
A. 2100
B. -210
C. -2
D. -1
4. 已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y.
5. 证明：812797913--能被45整除.
6．已知：a m b m c m =
+=+=+121122123，，， 求a ab b ac c bc 222222++-+-的值.
7．若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值.
8．已知：x x +
=-13，求x x
441+的值.
【冲刺金牌】
1、因式分解：
（1）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）= .
（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---322222= .
（3）a x y a x y x y 22342()()()-+-+-= .
2. 化简：20122)1()1()1(1x x x x x x x ++++++++Λ
3. 若a b c ，，是三角形的三条边，求证：a b c bc 22220---<
4. 已知：ωω210++=，求2013ω的值。
5. 已知a b c ，，是不全相等的实数，且abc a b c abc ≠++=03333，，试求
（1）a b c ++的值； （2）a b c b c a c a b
()()()111111+++++的值.
6．求证：n n 53
+是6的倍数.（其中n 为整数） （法一：若n n 53+是6的倍数，则n n 53+-6也是6的倍数；法二：n n 53+=n n n 63+-）.
7．已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较ab c b a 2222和-+的大小.
8．已知：a 、b 、c 是非零实数，且3)11()11()11(1222-=+++
++=++b
a c a c
b
c b a c b a ，， 求a+b+c 的值.
3)11()11()11(-=+++++b
a c a c
b
c b a 两边乘abc a 2(c+b)+b 2(a+c)+c 2
(a+b)+3abc=0
ac(a+b+c)+ab(a+b+c)+cb(a+b+c)=0
(a+b+c)(ac+bc+ab)=0
又因为(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1+2(ab+bc+ca)
所以(a+b+c)不可能等于0 则ab+bc+ac=0
所以a+b+c=1
继续追问： a^2(c+b)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+3abc=0这一步到
这一步 怎么来的ac(a+b+c)+ab(a+b+c)+cb(a+b+c)=0
继续追问： a+b+c=±1都行？
1/b+1/c 中就缺a/a 就可因式分解了 同理 得：
a(1/b+1/c)+a/a+b(1/a+1/c)+b/b+c(1/a+1/b)+c/c=0
a(1/a+1/b+1/c)+b(1/a+1/b+1/c)+c(1/a+1/b+1/c)=0
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0
这就好办了 a+b+c=0或 1/a+1/b+1/c=0 通分 (ab+bc+ac)/abc=0 因为abc 不等于0 则ab+bc+ac=0
(a+b+c)2 =a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
a+b+c=1,-1
所以 a+b+c=0,+1,-1
a(1/c+1/b)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=－3两边乘abc
a^2(c+b)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+3abc=0
ac(a+b+c)+ab(a+b+c)+cb(a+b+c)=0
(a+b+c)(ac+bc+ab)=0
又因为
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1+2(ab+bc+ca)
所以(a+b+c)不可能等于0 则ab+bc+ac=0
a+b+c=1。