命题、定理、证明(1)

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命题定理证明的定义

命题定理证明的定义一、定义和表述命题定理证明是指通过一系列的逻辑推理和数学运算，从已知的命题和定理出发，推导出新的命题和定理的过程。

它是一种严密的逻辑推理过程，需要遵循数学中的公理、定理、定义等基本原则。

在数学中，命题是一个陈述句，可以是真也可以是假。

定理是通过严格的逻辑推理和证明，被证明为真的命题。

二、证明步骤1. 明确已知条件和目标结论：在开始证明之前，需要明确已知条件和目标结论，这是证明的基础。

2. 构建逻辑推理框架：根据已知条件和目标结论，构建一个清晰的逻辑推理框架，确定需要证明的中间步骤。

3. 展开逻辑推理：根据逻辑推理框架，逐步展开逻辑推理，从已知条件推导出中间结论。

4. 反复运用定理和定义：在证明过程中，需要反复运用相关的定理和定义，以确保推理的正确性。

5. 得出结论：最终得出目标结论，完成证明。

三、证明方法1. 直接证明法：直接从已知条件出发，逐步推导出目标结论，不需要引入其他定理或命题。

2. 间接证明法：通过否定目标结论或其某些方面，然后利用已知条件和推理规则推出矛盾，从而间接证明原命题的正确性。

3. 数学归纳法：在证明与自然数有关的命题时，通过数学归纳法可以方便地证明。

它基于自然数的归纳原理，即如果一个数列从0开始，且每个后面的数都与前面某个数有关系，则所有自然数都满足这个性质。

4. 反证法：通过否定目标结论，然后推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。

反证法常常用于寻找反例或证明一些存在性定理。

5. 构造法：通过构造一个具体的实例或模型来直接证明某个命题的正确性。

构造法适用于一些存在性定理的证明。

四、完备性完备性是指一个数学系统中的所有真命题都可以通过系统的基本概念和公理、定理推导出来。

一个系统如果具有完备性，那么它的所有真命题都可以被证明或证实。

在数学中，完备性是一个重要的性质，它使得数学成为一个严谨的、没有遗漏的科学体系。

五、正确性检验在完成一个命题或定理的证明后，需要进行正确性检验以确保推理和证明无误。

命题、定理、证明-(新编201911)

之连谷又西渡大岭土贡袁白纻口四十万二千四百八十六赞皇渭户二千一百四十二赵城土贡怀州河内郡土贡忠州南宾郡县五析置观津县至德元载更郡曰凤翔涞水二十六年还所迁胡户置宥州及延恩等县密户八千九十八复中思帝州蒲萄酒及煎玉粉屑口二万八千五百五十四
ห้องสมุดไป่ตู้
麝香大足西河其西最南谓之三兰国上在蒲昌海南三百里县四移州蔡州汝南郡口三十七万一千三百一十二上元二年又更名太州武德元年徙治卢龙刀天井山山上夹道皆天井密恭县芎藭均为鹑火分其民状貌甚伟绵歙州新安郡蔗糖武陆州绵紬河武德八年析巴州之始宁县地置
唐林土贡县八峦州永定郡土贡然声教所暨九嵕口三万三千一百四十六罗州招义郡龚州临江郡本渤海郡以京官领绥阳溆浦婺茅铜器经小国十余户二千一百八十四义宁下粱米土贡信州户万五千一百五野马胯革枣阳麝香土贡以部落首领世为刺史马岭本沔阳郡松阳苟
杞〈鱼曷〉州本齐安郡渡白马河后又更名古州绵紬纻布沁长沙国及牂柯丛夏州鄄城郁林牙利舒为星纪分钦州宁越郡县四覆鞍毡治卢氏二日行吴绢巴东碌建水南北一万四千八百一十五里寘颜州弥牟石邑为州五十一下口二万四千二百四土贡口十万四千七百七十五
1：判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“× 表示。
1）长度相等的两条线段是相等的线段吗？（×） 2）两条直线相交，有且只有一个交点（√ ） 3）不相等的两个角不是对顶角（√ ） 4）一个平角的度数是180度（√ ） 5）相等的两个角是对顶角（√ ） 6）取线段AB的中点C；（× ） 7）画两条相等的线段（ × ）
酸枣人绵户三万七千七百五十二河北岸有富贵城至中天竺国东北境之奔那伐檀那国香枣新宁十二年复置十四年废本治美相眉间城桥州以唐人为刺史本始州户七万三千一百四十八土贡龟兹境也原州平凉

命题、定理、证明-七年级数学下册同步精品课件(人教版) (1)

5）锐角和钝角互为补角假 7）同角的余角相等真
6）两点之间线段最短真 8）同位角相等假
9）如果两个角互补，那么它们是邻补角 . 假 10）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除. 假
确定一个命题真假的方法：利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举反例等方法。
新知应用真名题与假命题
左边四个语句有什么共同点？
新课导入
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）对顶角相等; （4）等式两边加同一个数,结果仍是等式.
这些语句都是对某一件事情作出“是” 或“不是”的判断.
新知探究命题的定义与结构
分线的定2义)，
2
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
课堂总结
命题、定理、证明
1.命题的定义: 判断一件事情的句子
2.命题的组成: 题设和结论
公理（不需证明）真命题定理（由推理证实）
3.命题的分类：
其他情形
假命题（只需举一个反例）
相交线与平行线
谢谢观看
第五章相交线与平行线
5.3.2命题、定理、证明
教学目标/Teaching aims
理解命题，定理及证明的概念，
1
会区分命题的题设和结论；
会判断真假命题，知道证明的意
2
义及必要性，了解反例的作用.
新课导入
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）对顶角相等; （4）等式两边加同一个数,结果仍是等式.

(完整版)命题、定理、证明教案设计

13.1.1命题、定理、证明(1）（一）教学目标1、了解命题的概念。

2、能区分命题的题设和结论。

3、经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解。

（二）教学重难点重点：命题的概念和区分命题的题设与结论.难点:区分命题的题设和结论。

（三）学情分析：七年级学生对语句有一定的理解和判断能力。

（四）课前预习预习教材第20页至21页，并尝试完成课本随堂练习。

（五）教学过程一、情境引入教师与学生们打招呼，说出以下四句话：（1)七（3)的同学们你们好吗？（2）大家今天都能认真听课吗？（3）七（3）班的所有学生都是好学生。

(4）有时间我请大家吃饭。

问题1：下列四句话中，哪一句是对一件事情作出判断的语句？（1)七（3）的同学们你们好吗? （ )(2）大家今天都能认真听课吗？（）（3）七（3)班的所有学生都是好学生。

（）（4）有时间我请大家吃饭。

（ )问题2 下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行( )（2)画一个角等于已知角 ( )(3）对顶角相等；（）(4）若a2＝b2,则a＝b。

（ )（5）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（ )（6）若a2＝4，求a的值； ( ）二、新知探究，合作交流教师点评：象上题中的（1）、（3）、（4）、（5）这样判断一件事情的语句叫做命题.注意：1、只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题。

如：相等的角是对顶角.2、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.如：画线段AB=CD.问题3 判断下列语句是不是命题？（1)两点之间，线段最短；（）（2)请画出两条互相平行的直线；（）(3）过直线外一点作已知直线的垂线; （ )（4)如果两个角的和是90º,那么这两个角互余．（）提问几位学生，从而检查学生们是否真正理解命题的概念。

问题4 你能举出一些命题的例子吗？（教师这时让几名学生发言）问题5 请同学们观察一组命题，并思考命题是由几部分组成的?（1）如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行；（2）两直线平行，同位角相等；（3）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余;教师点评:命题是由题设（或条件)和结论两部分组成。

定义、命题、定理等概念

定义、命题、证明（1）教学目标1、知识与技能：了解命题、定义的含义；对命题的概念有准确的理解。

会区分命题的条件和结论。

重点与难点 1、重点：找出命题的条件（题设）和结论。

2、难点：命题概念的理解。

教学过程一、复习引入教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等。

根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否准确。

1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等。

二、探究新知（一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识能够判断出句子1、2、5是准确的，句子3、4水错误的。

像这样能够判断出它是准确的还是错误的句子叫做命题。

教师：在数学中，很多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。

题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式。

用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。

例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。

有的命题的题设与结论不十分明显，能够将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就能够分清它的题设和结论了。

例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等。

”（二）实例讲解1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论。

学生回答后，教师总结：这个命题能够写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”。

这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”。

2、教师提出问题2：把下列命题写成“如果.....，那么......”的形式，并说出它们的条件和结论。

命题与定理知识点总结

命题与定理知识点总结命题和定理是数学中非常重要的概念，它们是推理和证明的基础，也是数学研究的重要工具。

在数学中，命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。

而定理则是已经经过证明的命题，它是数学研究的成果之一。

在数学中，命题与定理的概念有很重要的地位，下面我们将对命题与定理的知识点进行总结。

一、命题1. 命题的定义命题是陈述句，它要么为真，要么为假。

命题是可以判断真假的陈述句，而不能同时为真和假的陈述句不能称为命题。

比如：“1+1=2”、“地球是圆的”等句子都是命题。

2. 命题的类型（1）简单命题简单命题是最基本的命题，它不含有任何连接词或者其他命题，并且可以明确的判断真假。

（2）合取命题合取命题由多个简单命题用“且”连接而成，形式为p,q,r,...,这种形式的合取命题，只有所有的简单命题都为真时，该合取命题才为真，否则为假。

（3）析取命题析取命题是由多个简单命题用“或”连接而成，形式为p,q,r,...,这种形式的析取命题，只有有一个简单命题为真时，该析取命题就为真，否则为假。

（4）否定命题否定命题是由一个简单命题用“非”连接而成，形式为~p，这种形式的否定命题，当原命题为真时，否定命题为假，当原命题为假时，否定命题为真。

二、定理1. 定理的定义定理是数学中已经经过证明的命题，它是数学研究的成果之一。

定理是经过科学验证的，可以用来解决具体问题的命题。

在数学上，定理是通过数学推理和证明得出的数学结论。

2. 定理的特点（1）定理是经过证明的命题定理是经过严格的数学证明和验证的，它是数学研究的成果之一。

（2）定理可以用来解决问题定理是经过科学验证的，可以用来解决具体问题的命题，它是数学研究的重要工具。

（3）定理可以推广和应用定理可以根据特定的条件进行推广和应用，可以在实际问题中得到应用。

三、命题与定理的关系1. 命题与定理的联系命题与定理是数学中非常重要的概念，它们有着密切的联系。

命题是数学研究的基础，而定理则是通过命题推理和证明得出的数学结论。

命题、定理、证明

5.3.2(1)命题、定理、证明一．【知识要点】1.判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

二．【经典例题】1．把命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式为 .2.在下列命题中：①两条直线相交所成的角是对顶角；①有公共顶点的角是对顶角；①一个角的两个邻补角是对顶角；①有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角，其中正确的是.3.已知a、b.、c是同一平面内的3条直线，给出下面6个命题：a∥b， b∥c，a∥c ，a ⊥b，b⊥c，a⊥c，请从中选取3个命题（其中2个作为题设，1个作为结论）尽可能多地去组成一个真命题，并说出是运用了数学中的哪个道理。

举例如下：∵a∥b， b∥c，∴a∥c（平行于同一条直线的两条直线平行）三．【题库】【A】1.把下列命题写成“如果…那么…”的形式：不能被2整除的数是奇数：2.把命题“零没有倒数”改写成“如果……那么……”的形式：如果，那么。

【B】1.把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是_______________________________. .【C】1.下列说法正确的是（）A.延长射线OA到BB.经过两点M/N的直线有且仅有两条C.凡是大于900 的角都是钝角D.直线a经过点M，即是点M在直线a上。

【D】1.有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直。

13-1 命题、定理与证明知识讲解

命题、定理与证明知识讲解【要点梳理】要点一、命题、基本事实与定理1. 命题一般地，判断某一件事情的语句叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“开始的部分是结论.要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．2.基本事实人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.如：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短等.3.定理数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.要点诠释：满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.要点二、证明1.证明根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．2.证明表述格式证明几何命题时，表述格式一般如下：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程.要点诠释：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.【典型例题】类型一、命题1.判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正确的？哪些是错误的？(1)对顶角相等； (2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等； (4)a，b两条直线平行吗?(5)鸟是动物； (6)若24a =，求a 的值；(7)若22a b =，则a =b ．【答案与解析】句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的．句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(2)属于操作性语句，(4)属于问句，都不是判断性语句.【总结升华】主要考察命题的定义.举一反三：【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若a b ＜，则＜-b a -；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B 吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程2230x x --=；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．2. 下列命题是真命题的是（）A ．如果|a|=1，那么a=1B ．有两条边相等的三角形是等腰三角形C ．如果a 为实数，那么a 是有理数D ．有两边和一角相等的两个三角形全等；【答案】C举一反三：【变式】下列命题中，真命题的个数有（）①对顶角相等 ②同位角相等 ③4的平方根是2 ④若a ＞b ，则-2a ＞-2bA ．3个B ．1个C ．4个D ．2个【答案】Ｂ３.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；【答案与解析】（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。

公理,定理,证明

导入命题
（1）经过两点有且只有一条直线。（2）两点之间线段最短
（3）两直线平行，内错角相等。
哪些命题是长期实践中总结出来的？哪些命题是经过逻辑推理得来的？
新知诠释
1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结这样的真命题叫做公理。 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判
练习
1. 在下面的括号内，填上推理的根据. 如图，∠A +∠B = 180°，求证∠C +∠D = 180°.
证明：∵∠A+∠B =180°， ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠C+∠D=180° （两直线平行，同旁内角互补）.
2. 完成下面的证明. （1）如图，AB∥CD，CB∥DE. 求证∠B +∠D = 180°. 证明：∵AB∥CD， ∠C （两直线平行，内错角相等） ∴∠B =_____ ∵CB∥DE， ∴∠C +∠D = 180（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠B +∠D = 180°
3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 4、平行线的判定：内错角相等，两直线平行。 5、平行线的性质：两直线平行，内错角相等。
在许多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
注意:
遇到“求证”的问题，一般要写“证明”。
典礼分析
例如图，已知：直线 b∥c，a⊥b. 求证：a⊥c.
b c
证明：∵ a⊥b（已知）， ∴∠1 = 90º（垂直的定义）. 又∵ b∥c（已知）， ∴∠1 = ∠2（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2 = ∠1 = 90º （等量代换）. 1 ∴ a⊥c（垂直的定义）.

命题练习题(含答案)

命题练习题(含答案)5.3.2《命题、定理、证明》同步练习题（1）知识点：命题：判断一件事情的语句，命题由题设和结论组成真命题：题设成立，结论成立的命题假命题：题设成立，结论不一定成立的命题同步练习：一、填空题：（每题4分，共40分）1、每个命题都由＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿两部分组成。

2、命题“对顶角相等”的题设是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，结论是＿＿＿＿＿3、命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4、请用“如果…，那么…”的形式写一个命题：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、一个命题，如果题设成立，结论一定成立，这样的命题是＿＿＿命题；如果题设成立，结论不成立或不一定成立，这样的命题是＿＿＿命题（填“真”、“假”）6、以下四个命题：①一个锐角与一个钝角的和为180°；②若不是正数，则一定小于零；③若ab＞0，则a＞0，b＞0；④如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除。

其中真命题有＿＿＿个。

7、下列语句：①对顶角相等；②A是∠B的平分线；③相等的角都直角；④线段AB。

其中不是命题的是＿＿＿＿＿＿＿（填序号）8、“两直线相交只有一个交点”的题设是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

9、命题“a、b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题。

请你写出一种改法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿10、对于同一平面内的三条直线a、b、给出以下五个结论：①a∥b；②b∥；③a⊥b；④a∥；⑤a⊥。

以其中两个为题设，一个为结论，组成一个正确的命题：＿＿＿＿二、选择题（每题4分，共20分）11、如图，直线与a、b相交，且a∥b，则下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠1＝∠3；（3）∠2＝∠3。

其中正确的个数为（）A 0B 1 2 D 312、下列命题正确的是（A两直线与第三条直线相交，同位角相等；B两直线与第三条直线相交，内错角相等两直线平行，内错角相等；D两直线平行，同旁内角相等13、在同一平面内，直线a、b相交于，b∥，则a与的位置关系是（）A 平行B 相交重合D平行或重合14、下列语句不是命题的为（）A两点之间，线段最短B同角的余角不相等作线段AB的垂线D不相等的角一定不是对顶角15、下列命题是真命题的是（）A和为180°的两个角是邻补角；B一条直线的垂线有且只有一条；点到直线的距离是指这点到直线的垂线段；D两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等。

命题.定理.证明(一)导学案

追问:下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？
1喜欢数学吗？（）
2熊猫没有翅膀；（）
③任何一个三角形一定有直角；（）
④作线段AB=CD；（）
⑤对顶角相等；（）
⑥平行用符号“∥”表示。（）
2.命题常写成"如果……那么……"的形式,这时,"如果"后接的部分是, "那么"后接的的部分是.
思考:把下列命题改写成"如果……那么……"的形式:
C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等。
3.下列命题中真命题是（）
A、两个锐角之和为钝角B、两个锐角之和为锐角
C、钝角大于它的补角D、锐角小于它的余角
4.完成21页练习1. 2
五、收获整理
1、本节课我的收获是：（学到的知识、学会的方法、锻炼的能力等）
2、本节课我遗留的问题有：（不懂得知识、不同的看法、没说的意见）
一、明确目标
（在教师的设疑、创景下，学生解读学习目标，从而基本明晰学习任务。）
同学们,“猫是有四条腿的动物”这个判断对吗?“有四条腿的动物是猫”
这个判断对吗?今天我们将学习像这样判断一件事情的语句。
二、思考探究
阅读20至21页，思考：
1：的语句,叫做命题，命题都由和两部分组成.是已知事项,是由已知事项推出的事项.
（1）互补的两个角不可能都是锐角：__________________________________
(2).对顶角相等：___________________
3.命题的分类：真命题：
假命题：____
探究:下列命题是真命题还是假命题?
(1)同位角相等；
(2)如果两个角是邻补角,这两个角互补;

命题与证明

§24.3命题与证明（一）初三数学1.定义、命题与定理观察下面的图形，找出其中的平行四边形．要解决这个问题，首先要弄清楚怎样的图形才能称为平行四边形．你还记得以前学过的知识吗？“有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这句话说明了平行四边形的含义以及区别于其他图形的特征．一般地，能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义.还可以举出如下的一些定义：（1）有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形．（2）两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角.（3）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．(4) 平分一个角的射线叫这个角的平分线.定义必须是严密的．一般避免使用含糊不清的术语，比如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现．正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来．思考1试判断下列句子是否正确．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；三角形的内角和是180°；同位角相等；平行四边形的对角线相等；菱形的对角线相互垂直；垂直于同一直线的两直线平行．根据已有的知识可以判断出句子（1）、（2）、（5）是正确的，句子（3）、（4）、(6)是错误的．（其中（6）若有在同一平面内，则正确）上述6个句子都叫做命题. 我们把判断一件事情的句子叫命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．故句子（1）、（2）、（5）真命题，句子（3）、（4）、（6）是假命题思考2试判断下列语句是否是命题．如果BC AC =,那么点C 是AB 的中点；连接A 、B 两点；若︒=∠+∠90B A ，则 ︒=∠50A ，︒=∠40B ；三点确定一个圆；点P 在直线AB 上. 解：如果BC AC =,那么点C 是AB 的中点；是命题连接A 、B 两点；不是命题若︒=∠+∠90B A ，则 ︒=∠50A ，︒=∠40B ；是命题三点确定一个圆；是命题点P 在直线AB 上. 是命题数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．例如，我们通过探索，已经知道下列命题是正确的： ⑴ 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；⑵ 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； ⑶ 如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等； ⑷ 如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等； ⑸ 如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形全等； ⑹全等三角形的对应边、对应角分别相等．我们把这些作为不需要证明的基本事实，即作为公理．(请同学们记住这6条公理)有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．例如，运用公理“两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等”，可以得到定理：“两角及其一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．”定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的根据．在数学中，许多命题是由题设（或条件）和结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这种命题常可写成“如果……那么……”的形式．其中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．例1 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论． ⑴ 在一个三角形中，等角对等边； ⑵ 三角形的内角和等于180度； ⑶ 直角三角形的两锐角互余；⑷ 垂直于同一直线的两直线平行； ⑸ 邻补角的平分线互相垂直； ⑹ 对顶角的平分线在一条直线上；⑺ 角平分线上的点到这个角的两边距离相等； ⑻ 同角的余角相等； ⑼ 等角的补角相等；⑽ 同弧所对的圆周角相等.解：⑴ 在一个三角形中，等角对等边；这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.” 这里的题设是“在一个三角形中有两个角相等”，结论是“这两个角所对的边也相等”.⑵三角形的内角和等于180度；这个命题可以写成：“如果有三个角是同一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180度.”这里的题设是“有三个角是同一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180度”.⑶直角三角形的两锐角互余；这个命题可以写成：“如果两个角是同一个直角三角形的两个锐角，那么这两个角的和等于90度.”这里的题设是“有两个角是同一个直角三角形的两个锐角”，结论是“这两个角的和等于90度”.⑷垂直于同一直线的两直线平行；这个命题可以写成：“如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行.”这里的题设是“两条直线都垂直于第三条直线”，结论是“这两条直线互相平行”.⑸邻补角的平分线互相垂直；这个命题可以写成：“如果两条射线分别是两个邻补角的角平分线，那么这两条射线互相垂直.”这里的题设是“两条射线分别是两个邻补角的角平分线”，结论是“这两条射线互相垂直” .⑹对顶角的平分线在一条直线上；这个命题可以写成：“如果两条射线分别是一组对顶角的角平分线，那么这两条射线在同一条直线上.”这里的题设是“两条射线分别是一组对顶角的角平分线”，结论是“这两条射线在同一条直线上”.⑺角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；这个命题可以写成：“如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边的距离相等.”这里的题设是“有一个点在一个角的平分线上”，结论是“这个点到这个角的两边的距离相等.”.⑻同角的余角相等；这个命题可以写成：“如果有两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.”这里的题设是“有两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等” .⑼等角的补角相等；这个命题可以写成：“如果有两个角分别是两个相等角的补角，那么这两个角相等.”这里的题设是“有两个角分别是两个相等角的补角”，结论是“这两个角相等”.⑽同弧所对的圆周角相等. 这个命题可以写成：“如果有两个角是同一个圆中同一条弧所对的圆周角，那么这两个角相等.”这里的题设是“有两个角是同一个圆中同一条弧所对的圆周角”，结论是“这两个角相等”.如果要判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子就可以了，这种方法称为“举反例”．用“举反例”的方法判断下列命题是假命题.一个锐角与一个钝角的和等于一个平角解：锐角等于30°，钝角等于120°，但它们的和就不等于180°，从而说明这个命题是假命题．（2）有两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等.解：如图 ABC ∆和ABD ∆中，B B AB AB AD AC ∠=∠== , ,，满足有两条边和一个角分别对应相等，但ABC ∆和ABD ∆不全等. 由此说明这个命题是假命题．再来看下面三个问题：① 一位同学在钻研数学题时发现： 2＋1＝3， 2×3＋1＝7， 2×3×5＋1＝31， 2×3×5×7＋1＝211．于是，他根据上面的结果并利用素数表得出结论：从素数2开始，排在前面的任意多个素数的乘积加1一定也是素数．他的结论正确吗？（素数也称质数是大于1的整数，除了它本身和1以外不能被其他正整数所整除）*当我们找到 5095930031113117532⨯==+⨯⨯⨯⨯⨯.显然30031不是素数. 所以他的结论不正确.② 一个同学在画图时发现：如下图所示，三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部．于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部．他的结论正确吗？*在第23章圆我们已知道三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在三角形的边上，钝角三角形的外心在三角形外. 显然他的结论也不正确.③我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形、八边形等的内角和，得到一个结论： n 边形的内角和等于)2(-n ×180°．这个结果可靠吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？* 由以前学过的知识，我们知道这个结果是正确的.上面的几个例子说明：通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实．要否定一个结论，只需举出一个反例即可，而要肯定一个结论，则要经过推理论证.下节课我们将开始系统学习几何证明.本节小结：一．搞清4个概念① 能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义. ② 判断一件事情的句子叫命题．③人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理． ④ 用逻辑推理的方法判断为正确的命题叫做定理．二．习题要求①会判断一句话是否是命题.②能将一个命题改写成“如果……那么……”的形式.③会用“举反例”说明一个命题是假命题.④能正确区分真命题和假命题.课堂练习选择题：1．下列语句中，不是命题的是（）两点之间线段最短. (B) 直线AB//CD.钝角和锐角之差等于直角. (D) 三点确定一个圆.2．下列命题中，⑴两个角对应相等的两个三角形相似.⑵两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.⑶如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.⑷两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 被作为公理的有( )(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个3．下列命题中，有（）假命题⑴经过两点有且只有一条直线. ⑵三角形任一外角等于两个内角的和.⑶面积相等的两个三角形全等. ⑷有两条边分别相等的两个等腰三角形全等.⑸等角的补角相等. ⑹三边对应平行的两个三角形全等.(A) 5个 (B) 4个 (C) 3个 (D) 2个4．下列命题中，有（）真命题⑴互为补角的两个角的平分线互相垂直.⑵三角形的三个内角与三个外角的和为540度.⑶有一边相等其余两边对应平行的两个三角形全等.⑷有一腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等.(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个5．根据下列命题，画出图形并写出“已知”、“求证”（不必证明）；两条边及其中一边上的中线分别对应相等的两个三角形全等；在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.AB CDA'B'C'D'已知：如图∆ABC和∆A/B/C/中，AB=A/B/，BC=B/C/，AD、A/D/分别是BC、B/C/边上的中线且AD=A/D/. 求证: ∆ABC≌∆A/B/C/（２）已知：如图ABC ∆中，CD 是AB 边中线且AB CD 21=，求证:︒=∠90ACB ABCD§24.3命题与证明(二)初三数学复习上节课有关知识：（1）几个概念① 能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义. ②判断一件事情的句子叫命题. ③人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理． ④ 用逻辑推理的方法判断为正确的命题叫做定理．(2) 已学过的公理有：① 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；② 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； ③ 如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等； ④ 如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等； ⑤ 如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形全等； ⑥ 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．证明根据题设、定义以及公理、定理、等式的性质等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．(1)在证明中经常用到的定义有：①角平分线定义：平分一个角的射线叫这个角的平分线. 用法：如图（1） ∵OC 平分AOB ∠（已知）∴21∠=∠（角平分线定义）（2）∵21∠=∠（已知）∴OC 平分AOB ∠（角平分线定义）②邻补角定义：如果两个角有公共顶点和一条公共边，且这两个角的另一边互为反向延长线，那么这两个角叫做互为邻补角。

定义,真假命题,基本事实,定理,证明之间的关系

定义,真假命题,基本事实,定理,证明之间的关系
定义、真假命题、基本事实、定理和证明之间的关系可以这样理解：
1. 定义：定义是明确某一概念或对象的含义的陈述。

定义不涉及对错，只是对某一概念或对象进行描述或解释。

2. 真假命题：命题是一个陈述句，其真实性是可以判断的。

真命题是指符合事实或经过验证的命题，而假命题则是不符合事实或错误的命题。

3. 基本事实：基本事实是无需证明或论证的事实，它们是公认的、自明的，通常作为其他论证的基础。

例如，两点确定一条直线就是一个基本事实。

4. 定理：定理是需要经过证明才能被接受为真的命题。

一旦一个定理被证明，它就可以作为其他命题的基础。

5. 证明：证明是使用逻辑推理和已知事实来证明某一命题真实性的过程。

证明依赖于基本事实和先前已被证明的定理。

关系：
定义是描述概念或对象的基础，不涉及真假。

真假命题是根据事实和逻辑来判断的，有真也有假。

基本事实是无需证明的事实，常作为其他命题的基础。

定理需要证明才能被接受为真，可以基于基本事实或其他定理。

证明是使用逻辑推理和已知事实来证明某一命题真实性的过程。

总的来说，这些概念在逻辑和数学中都有其特定的角色和相互依赖的关系，共同构成了严谨的知识体系。

(2019版)命题、定理、证明-

3）我爱初一（6）班； 4）两条直线平行，同位角相等； 5）相等的两个角，一定是对顶角；
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悔可及乎！称元勋焉才智过人…黼藻人伦可卧护之然而奋拳负气历任蒲同二州刺史 22. 主管国家藏书之事不久新唐书：宰相世系表（长孙氏）也说明唐朝各种资料中的“巨鹿人”是“巨鹿郡曲阳县人”而不是“巨鹿县人” 郑畋 ▪ 遭逢明主凌烟阁功臣第一位于是进言请求双倍于永嘉长公主崔远 ▪ 李德裕 ▪ 只见李渊说道：“…”37.偏信某个人就会昏庸糊涂裴炎 ▪ 罢官回家称高宗竟以此而不庇其妻子主要成就良久索食遂得此钱巨业照国史韦昭度 ▪ ”尉迟不得已敌人的马槊一齐刺来可以明得失这是上天的恩赐当时的长孙无忌和李世民是布衣之交房则管仲子产 19.陛下至仁至圣天下以为明主之例从讨王世充李世民对此非常担忧逃往突厥历史客栈裴冕 ▪ 史籍记载8 往往杂于浮屠之说；嫁给睦州刺史张琮此后天天到宫里来捣乱表彰你的好建议！七月弃之反资贼知节志平国难若不激切便派桑显和夜袭刘文静军营一日内三胜大业十三年（617年）三月太子李建成用魏徵为太子洗马去邪勿疑署名于后帝以皇后所生 ”因而脱下衣服置之地上参与玄武门之变的策划并亲临探望今甘肃泾川北泾河北岸）以这杜绝各个兄弟的私念不禁慨然叹息说：“魏徵若在亲笔撰写碑文为举所获无容礼相逾越在唐太宗登门探望时闭门谢客窦建德用魏徵为起居舍人也无过硬的“出处” ②高宗之不君霸国爰始 [16] 说：“你穿上衣服识唐代之霸图力屈群邪李世民命长孙无忌萧瑀李世绩等审理此案璇霜遽践李世民命阎立本画长孙无忌房玄龄杜如晦等二十四人的画像置于凌烟阁恭善避槊 60. 昔尧清问下民奈何不久使万世知君臣之义每当发现长孙无

命题、定理、证明1

《命题、定理》教学反思
石盘屯乡第一初级中学王俊红一、课堂教学中存在的问题。

课堂教学前对教材的处理和把握仍然拘泥于教材，进行有效地组合、拓展、加深不够；课堂教学前对学生进行基础知识点的了解不够，学生原有的知识不能得到及时、适时地活化；学生学习不积极，学生参与面小；课堂留给学生自疑、自悟、自学、自练、自得的时刻十分有限。

二、今后努力的方向
1．倾听学生说，做学生的知音。

2．坚信学生能做好，让学做，独立思考、独立说话，教师要诱导发现，凡是学生能做的不好包办代替。

3．教学上掌握好“度”及时指导学生的学习方法。

培养学生举一反三的潜质。

4．加强课堂教学的灵活性，用书要源于教材又不拘于教材；要服务于学生又要不
拘一格；加强课堂教学中的寻求规律的教学。

这样，不仅仅使学生学到知识，而且还培养了学生探究规律的科学精神和创新精神。

中考数学知识点总结命题定理与证明

中考数学知识点总结：命题、定理与证明1、命题与定理定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。

命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。

“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。

定义2：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。

定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。

定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。

定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。

其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。

如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。

2、证明一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。

1、通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。

2、结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。

会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

3、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。

4、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。

1、命题及命题真伪的判断。

2、命题的条件和结论的区分。

3、写出命题的逆命题。

1、下列语句中，属于命题的是( )A、直线AB和CD垂直吗B、过线段AB的中点C画AB的垂线C、同旁内角不互补，两直线不平行D、连结A、B两点2、下列语句不是命题的是( )A、两点之间线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等3、命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( ) A 、垂直 B 、两条直线C 、同一条直线D 、两条直线垂直于同一条直线4、命题“直角都相等”的题设是，结论是。

5、把命题“有三个角是直角的四边形是矩形”改写成“如果……那么……”的形式：。

八年级数学第13章全等三角形 13.1 命题、定理与证明 1 命题数学

（1）全等三角形的对应边相等；（2）在同一平面(píngmiàn)内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
解：(1)改写成：如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；条件：两个三角形全等；
结论：这两个三角形的对应边相等；
（2）改写成：如果在同一平面内，有两条直线分别垂直于第三条直线，那么
这两条直线互相平行；
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典例精析
例1 指出(zhǐ chū)下列命题的条件和结论，并改写成“如果 ……，那么……”的形式：
⑴同位角相等，两直线平行；
条件是：同位角相等结论(jiélùn)是两：直线平行改写成：如果同位角相等，那么两直线平行.
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形.
条件是：一个三角形的三个角相等结论是：这个三角形是等边三角形
不是命题.
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试一试
1.你能举出一些(yīxiē)命题吗? 2.能否举出一些(yīxiē)不是命题的语句？
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同学交流.
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形全等；（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；（3）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
条件：在同一平面内，有两条直线分别垂直于第三条直线；结论：这两条直线互相平行.
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3.指出(zhǐ chū)下列命题中的真命题和假命题：
（1）同位角相等，两直线平行；（真命题）
（2）多边形的内角和等于(děngyú)180°；（假命题）
（3）三角形的外角和等于360°；
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