和3. 铸造图形和的完美

宇宙是永远放在我们面前的一本大书，哲学就写在这本书上。

但是，如果不首先掌握它的语言和符号，就不能理解它。

这本书是用数学写的，它的符号是三角形、圆和其他图形，不借助于它们就一个字也看不懂，没有它们就只会在黑暗的迷宫中踯躅。

—伽利略1．3 铸造图形和的完美数学中，数与形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数与形之间可以相互转化，相互渗透。

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。

数形结合，体现了数与形的和谐，反映了数学与世界的和谐。

数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数与形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。

举一个简单的例子：例求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数．解：我们只要构造如下的图形，答案就显而易见，等于n2。

还可以构造如下的图形：不过这类点数的和，与求图形面积、体积的和一样，归根结底仍然是求数的和。

这一节，我们试图探讨真正意义上的图形和，图形加图形应该还是图形。

1．3．1 函数图象和比较容易理解的图形加图形还是图形的例子应该是函数图象的和了。

函数图象也是一种图形，与图形不同的是，垂直于x 轴的直线与函数的图象至多只有一个交点，如圆就不是函数的图象。

由于函数图象满足：对于x 的每一个值，对应的y 值只有确定的一个，因此，两个函数图象和可以理解为对于公共定义域内的x 的每一个值，对应函数值的和。

这样，函数图象的和还是图象。

例 作函数y=x+x1的图象。

解：我们已经熟悉正比例函数y=x 的图象、反比例函数y=x1的图象，就可以利用迭加法求得y=x+x1的图象，如图。

但图象的和是要求函数值的和，函数值是数，因此图象和实质依旧归结到求数的和。

值得指出的是，从例题可以看出，两个关于同一个对称中心对称的图象，其和还是中心对称的。

类比这个结论，我们可以得到：两个关于同一条对称轴对称的图象，其和还是轴对称的；两个递增（减）的图象，其和还是递增（减）的；两个具有周期的函数图象，当它们的周期有公度时，其和还是周期的函数图象；两个连续函数的图象，其和还是连续的图象。

更值得注意的是，两个原来不连续的函数，求和后，有可能变连续了。

这就是和的力量！ 例 取整函数y 1=[x]与y 2=x-[x]的图象都是间断的，如图，但它们的和y=y 1+y 2=x 显然是连续的。

较有趣且很实际的是三相交流电的图象是三条正弦曲线（如图），但它们的和的图象却恒等于0。

可以证明三相交流电在同一时刻的电流总和为0：C B A i i i ++=t I m ωsin +)32sin(πω-t I m +)32sin(πω+t I m=)32cossin 2(sin πωωt t I m +=)sin (sin t t I m ωω-=0。

图象的和，在这里显得格外的和谐了。

1．3．2 相似形的和最简单的图形是线段与角。

当线段可以平移到在同一直线上、首尾相接时，线段的和还是线段。

即使这样，在数量上，线段的和，其长度（数）未必等于线段长度的和，可能恰恰是它们长度的差。

一般情况下，两条有向线段AB 与DC 的和，我们规定它仍然是有向线段，可以把它们平移到顶点重合时用平行四边形法则，或者把它们可以平移到首尾相接用三角形法则，求出它们的和。

这时就出现了著 名的三角不等式：|AB |+||≥||。

和，在这里有了全新的意义，它不再是数量的简单加法。

非常和谐的是，在平面上有向线段的和与复数的和恰好是对应的。

将有向线段放置在复平面上，并将有向线段的起点放在原点，那么有向线段的终点所对应点表示的复数即有向线段对应的复数。

无论是平面还是空间，有向线段可以用向量表示，而向量是用数组表示的，于是图形的和又完全转化成数量的和。

迂回曲折仍然得到了统一，真的是令人感叹、信服。

完全类似的，当两个角可以平移到同一平面上、顶点重合、且在平面上将其中一个角围绕顶点旋转到两个角有公共边时，角的和还是角。

在数量上，角的和的度数，未必等于角的度数的和，可能恰恰是它们度数的差。

在空间，两个有公共顶点与公共边的角的度数和一定不小于这个顶点与另两条非公共边组成的角的度数，如图∠AOB+∠BOC >∠AOC 。

角的和有一个有趣的例子，体育课上我们多次重复的经历着。

例 我们规定：“立正”的角度为0，“向左转”的旋转角是90度，“向右转”的旋转角是负90度，“向后转”的旋转角是180度，视转动360度为0度，即回到“立正”。

每一次口令就是一次加法。

于是，可以得到如下的加法表：如果记“立正”=0，“向左转”=1，“向后转”=2，“向右转”=3，上面的加法表就可以简写成：这不正是1.1.24体育课上的动作操练，角度的旋转与数字的和又沟通了，这不又是和谐的例证吗？一般地，正n 边形围绕中心旋转n360整数倍与以n 为模的整数群加法的结构是相同的（即同构，严格的定义将在1.5给出）。

如果我们强调图形和不仅是数量上的和，而且不能改变图形的特征，就是要求正方形与正方形的和还是正方形，圆的和还是圆，等等，是否有这样意义的加法？这样意义的和？有。

我们先看正方形：如图，运用勾股定理，正方形S 1加上S 2等于S 3，不仅面积数量相等，而且形状没有改变，还可以用尺规作图求得。

完全类似的，两个半圆的和也可以运用勾股定理求得，如下图：一般地，我们可以运用勾股定理，建立所有相似图形的和。

定义：设S 是所有彼此相似的平面图形的集合，在S 中任意取两个相似的图形S 1与S 2，以它们相对应的两条线段为直角边作直角三角形，那么以该直角三角形斜边为对应边作的与S 1相似的图形S 3称为S 1与S 2的和。

不难看出，S 1的面积加上S 2的面积等于S 3的面积，而且和的形状没有改变。

还可以证明，这样定义的相似图形的和满足加法的交换律与结合律。

总之，相似图形可以求和，它们的和不仅仅是数量上面积相等的关系。

特别值得关注的是黄金三角形，即顶角为36度或者108度的等腰三角形，它们的底与腰（或者腰与底）之比等于黄金数215≈0.618。

虽然顶角不同的黄金三角形并不相似，但是任意一个黄金三角形都是两个顶角不同的黄金三角形的和。

类似的，任意一个等腰直角三角形都是两个相同的等腰直角三角形的和。

不过它们的和不具有结合律。

能不能把平面相似图形的和推广到几何体上去呢？例如求一个正方体，使它的体积等于已知两个正方体的体积之和？用尺规作图不能。

我们只要举一个反例就可以了。

相传在两千多年前，古希腊的德里群岛中有一个叫杰罗西的岛上，发生了一场大瘟疫，居民们纷纷来到神庙，向岛上的守护神阿波罗祈祷。

神说：“这次发生瘟疫，是因为你们对我不够虔诚。

你们看，我殿前的祭坛是多么小啊！要使瘟疫不再流行，除非把祭坛的体积扩大一倍，但不许改变祭坛的形状。

”神庙中的祭坛是个立方体，杰罗西的居民们赶紧量好立方体的尺寸，制作了一个新祭坛送到神的面前。

新的祭坛的长、宽、高都比原来的增加了1倍，居民们以为这样就满足了神的要求。

可是瘟疫非但没有停止，反而流行得更厉害了。

岛上的居民又向神祈祷：“我们已经把祭坛扩大了一倍。

为什么灾难仍没有结束呢？”神冷冷地回答道：“不，你们没有满足我的要求，新的祭坛是原来体积的8倍！”不准改变立方体的形状，只准加大1倍的体积，岛上的居民没有办法解决这个问题，只好派人去找当时大数学家柏拉图请教。

柏拉图和他的弟子们热心研究，但不曾得到解决，并且耗费了后代许多数学家们的脑汁。

这就是举世闻名的古希腊尺规作图三大几何难题之一：立方倍积问题，也就被称为杰罗西问题。

直到1837年，美国数学家维脱兹尔，从理论上证明了只使用圆规直尺是不可能解决立方倍积问题的。

后来德国数学家给出了一个简单明了的证明，明确指出了“此路不通”。

从此就再也没有数学家再去尝试用尺规作图法来解决立方倍积问题了。

用尺规作图不能，并不说明立方体求和不能。

其实，如果没有对作图工具的限制，这个问题并不难解决。

公元前3世纪，有一位叫埃拉托斯芬的古希腊数学家，就曾用3个相等的矩形框架，在上面画上相应的对角线，顺利地解决了立方倍积问题。

英国的牛顿、荷兰的惠更斯等都曾发明过一些巧妙的方法，圆满地解决过立方倍积问题。

因此，相似体的和还是可以类似于相似平面图形的和去定义。

同类的可以求和，这是自然的法则。

不同类的可以寻求共同点求和（例如正方形与圆可以求面积和），这是自然和谐的一个补充法则。

1．3．3完美正方形数学乐园里，开放着许许多多的名花。

“图论”是其中名贵的一束，而“完美正方形”在这束鲜花中更是芳香迷人的一朵。

与完美数一样，它也是一件关于“和”的珍品。

据说古代以色列王国国王所罗门有一个女儿，叫伊莎贝尔。

她长得十分漂亮，向她求婚的男子很多。

国王为了考验这些求婚者，出了一道难题。

他宣布：公主有一个正方形首饰盒，其中分成了许多大小不同的正方形小格，每格中都放着贵重的首饰。

谁能画出其中小格的分布图，就将公主嫁给谁。

结果，许多不学无木的求婚者都失败而归，只有一位穷苦的英雄少年正确地回答了难题，而得到了公主的芳心。

这个故事原载世界古典名著《坎特伯雷故事集》，至今已有六百多年历史。

穷苦的英雄少年的解答并不完美，其中还横贯一条长缝。

但却是“完美正方形”的起点。

“完美正方形”问题可以这样叙述：能否找到若干个大小不同的正方形，拼合成一个大正方形，中间没有重叠，也没有空隙。

要求求出所有正方形的边长和拼接方法。

这种拼接过程称为拼方，而这种类型的问题称为“拼方问题”。

也可以反过来思考这个问题，就是指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形。

问题的困难在于既不知道这个和，也根本不知道加数。

1925年，波兰数学家Z.Moron找到了两个完美长方形（如图），跨出了解决“拼方问题”的第一步。

图中的数字表示该正方形的边长，正方形的个数称为阶。

上面的完美长方形分别是9阶、10阶。

1926年，前苏联数学家鲁金对“完美正方形”的存在提出了猜想，这个问题引起了当时正在英国剑桥大学读书的4位大学生塔特、斯东、史密斯、布鲁克斯的兴趣，他们在宿舍里一次次地聚会，探讨解题的途径，寻找完美正方形。

但是直到毕业，4个大学生也没有找到一个完美正方形。

后来他们虽然各奔东西，但都仍然锲而不舍地研究这个问题，还经常互相交流各自的研究成果，探讨有关的理论问题。

到1938年，他们终于找到了一个由63阶的完美正方形。

4位当年的大学生通过对完美正方形的研究，后来都成了组合数学和图论方面的专家。

他们的研究成果被应用到各个领域，发挥了很大的作用。

1939年，有人给出了一个39阶的完美正方形。