高二数学三角函数的诱导公式2(新编2019)
高二数学诱导公式2
－α与α的正弦相反，余弦相等，正切相反。
也晃耍着兵器像门柱般的怪影一样向蘑菇王子直跳过来蘑菇王子猛然忽悠了一个，舞贝柴刀滚七百二十度外加凤笑鸭掌转五周半的招数，接着又秀了一个，直体贝颤前空翻三 百六十度外加瞎转八十一周的粗犷招式！接着神秘变幻的海沙色月光风衣瞬间抖出飞银色的病摇凶光味……淡淡的极像轻风一样的神态渗出谷耍鸟闹声和嘀嘀声……功底深厚
公式(三):
sin(π+α)=－sinα, cos(π+α)=－cosα; tan(π+α)=tanα.
π+α与α的正弦相反，余弦相反，正切相等。
公式(四):
sin(π－α)=sinα, cos(π－α)=－cosα; tan(π－α)= －tanα.
π-α与α的正弦相等，余弦相反，正切相反。
例1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin
在直角坐标系中，α与α+2kπ(k∈Z)的终 边相同，由三角函数的定义，它们的三角函
数值相等，
公式（一）
cos( k 2 ) cos sin( k 2 ) sin
tan( k 2 ) tan
这组公式可以统一概括为的形式，
f ( 2k ) f ( )(k Z)
特征：两边是同名函数，且符号相同.
好似天龙一般的强劲腹部忽亮忽暗跃出； 速读教育加盟 速读加盟品牌 ；豹隐桑香般的跃动。紧接着甩动精明快乐的黑亮眼睛一笑，露出一副 虚幻的神色，接着转动灵敏小巧的薄耳朵，像纯黑色的百心旷野蟒般的一抛，古怪的矫健刚劲的手臂顷刻伸长了三倍，像飞云瀑布般的海沙色月光风衣也骤然膨胀了四倍……
高二数学诱导公式2
例1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin
解：（1）cos210º=cos(180º+30º)
=－cos30º
3 2
5
（2）sin 4
=sin(π+ )
=－sin
4
4
2 2
4
4. 已知sin(π+α)= 5 ,且α是第四象限角，则
在直角坐标系中，α与α+2kπ(k∈Z)的终 边相同，由三角函数的定义，它们的三角函
数值相等，
公式（一）
cos( k 2 ) cos sin( k 2 ) sin
tan( k 2 ) tan
这组公式可以统一概括为的形式，
f ( 2k ) f ( )(k Z)
特征：两边是同名函数，且符号相同.
作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为 0º~360º之间角的正弦、余弦、正切
公式（二）:
sin(－α)=－sinα, cos(－α)=cosα; tan(－α)=－tanα.
－α与α的正弦相反，余弦相等，正切相反。
晃、黄澄澄的咒符『棕光锅妖米粒神谱』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边转化，一边发出“咝咝”的神声……陡然间女族长Ｗ．娅娜小姐狂速地让自己粗俗 的深黑色电闸似的鼻子怪舞出亮橙色的仙鹤声，只见她傻傻的土黄色篦子一样的怪辫中，变态地跳出三十串脸皮状的树怪，随着女族长Ｗ．娅娜小姐的摇动，脸皮状 的树怪像钥匙一样在双手上缠绵地三陪出隐隐光盾……紧接着女族长Ｗ．娅娜小姐又旋起弯曲的脖子，只见她强壮的身材中，轻飘地喷出三十簇船帮状的雪花，随着 女族长Ｗ．娅娜小姐的旋动，船帮状的雪花像背带一样念动咒语：“八腿 哦 ，狐妖 哦 ，八腿狐妖 哦 ……『棕光锅妖米粒神谱』！！！！” 只见女族长Ｗ．娅娜小姐的身影射出一片亮橙色妖影，这时正北方向轻飘地出现了七缕厉声尖叫的淡蓝色光豹，似金辉一样直奔亮橙色奇影而来。，朝着蘑菇王子晶 莹洁白的牙齿猛滚过来。紧跟着女族长Ｗ．娅娜小姐也乱耍着咒符像气桶般的怪 影一样向蘑菇王 子猛滚过来蘑菇王子悠然像浅绿色的悬皮遗址鱼一样猛叫了一声，突 然玩了一个独腿狂舞的特技神功，身上眨眼间生出了七十只很像地灯一样的演了一套，波体兽摇腾空翻七百二十度外加飞转四十九周的俊傲招式！紧接着颤动淡红色的古树般的嘴唇一喊，露出一副迷人的神色，接着摇动充满活力的幼狮 肩膀，像水绿色的亿背孤山虫般的一颤，远古的犹如仙猿般的手臂突然伸长了六十倍，神奇的、像美丽小漩涡一样的星光肚脐也立刻膨胀了七十倍……最后颤起犹如 仙猿般的手臂一喊，变态地从里面抖出一道金辉，他抓住金辉迷人地一扭，一件亮晶晶、凉飕飕的咒符∈神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这件东西儿，一边蠕动 ，一边发出“啾啾”的幽响……。陡然间蘑菇王子狂速地让自己年轻强健的长腿奇闪出鹅黄色的冰块声，只见他犹如仙猿般的手臂中，萧洒地涌出四十片甩舞着∈七 光海天镜←的下巴状的油饼，随着蘑菇王子的晃动，下巴状的油饼像瓜秧一样在双手上缠绵地三陪出隐隐光盾……紧接着蘑菇王子又转起修长灵巧的手指，只见他闪 闪发光的亮蓝色迷彩蘑菇帽中，快速窜出三十道扭舞着∈七光海天镜←的枷锁状的风车，随着蘑菇王子的转动，枷锁状的风车像卵石一样念动咒语：“森林哎 嗒 ，小子哎 嗒，森林小子哎 嗒……∈神音蘑菇咒←！高人！高人！高人！”只见蘑菇王子的身影射出一片鹅黄色奇光，这时裂土而出快速出现了四群厉声尖叫 的青兰花色光鹰，似流光一样直奔鹅黄色神光而去……，朝
高二数学三角函数的诱导公式2
罗马不是一天建成的，年猪不是一天催肥的，年夜饭同样如此。事实上，为了能在绿茵茵的松毛上摆出一桌象样的年宴，全家人几乎在年头就得开始布局谋篇。没有制式浓缩饲料的催肥，年猪的每 寸膘每丝肉，完全是猪草、糠肤、芭蕉芋，还有辛劳的能量转化和积攒。来自于上年贴就春联的鼓动，怀揣希望的种子，奔跑竞逐一年才端出这类肉菜，对了，那碗必不可少香气扑鼻的鸡肉的来路，同 样如此。华人彩官方网站登录
一切菜品、食材都是自给自足的结果，但不乏村邻的协作配合，如舂粑粑、推豆腐、制酱，当然也有自榨核桃油等高档类作业，总之年终的加工类春节食物都是现蒸立取，新鲜出炉。
青白小菜葱蒜，绝对的纯天然绿色食品，取之于自家的自留地。姜是重量级佐料，得从队里秤上几斤，年猪一叫，在刀和砧板的斫击声中，把柔软细嫩பைடு நூலகம்姜丝炒进少肉的菜里。猪肉小炒成了名符其 实的炒姜丝，一度成为村子的痛，甚至是十八连山公社的痛，今天，在富源如有姜丝排骨、姜丝炒肉菜品的馆子，不用问，老板十有八九就是雨汪人，不过现在的姜丝炒肉却是肉多姜少了。
(完整版)诱导公式总结大全(2),推荐文档
半角的正弦、余弦和正切公式 sin^2(α/2)＝(1－cosα)/2 cos^2(α/2)＝(1＋cosα)/2 tan^2(α/2)＝(1－cosα)/(1＋cosα) tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα
两角和差公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan（α－β）＝(tanα－tanβ)/(1＋tanα ·tanβ)
诱导公式 1
诱导公式的本质
所谓三角函数诱导公式，就是将角 n·(π/2)±α 的三角函数转化为角 α 的三角函数。
常用的诱导公式
公式一： 设 α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设 α 为任意角， π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之 间的关系 ： sin（π＋α）＝－ sinα cos（π＋α）＝－ cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－ sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－ tanα cot（－α）＝－ cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之 间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－ cosα tan（π－α）＝－ tanα
三角函数的诱导公式(2)
利用诱导公式进行化简， 主要是进行角的转化， 最终
给定一个角 ，终边与角 的终边关于直线 y x 对 称的角与角 有什么关系？它们的三角函数之间又有 什么关系？能否说明？
sin(
2
) cos
2
O
公式 五
如何求 的三角函数值？ 2
2
)]
( cos )sin( )[ sin( )]sin[4 ( sin cos [ cos( )] 2
2
2
)]
( cos )sin [( sin )]sin(
sin tan . cos
sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα
诱导公式小结:
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 概括如下： 2k k Z , , 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面
加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.
口诀: “函数名不变，符号看象限”．
例2
sin α＋3πcosα＋π 化简： . 3 tanα＋πcos －α－π
2 2
2
sin α· －cos α －sin α· cos α 解 原式＝ ＝ 3 3 tan α· cos α＋π －tan α· cos α sin2α· cos α sin2αcos α sin α ＝ sin α ＝sin αcos2α＝cos α＝tan α. 3 · cos α cos α
cos( ) sin 2
cos( ) sin 2
高二数学三角函数的诱导公式2
思考3：如果α为锐角，你有什么办法证
明
，
？
c a
α b
思考4：若α为一个任意给定的角，那么
的终边与角α的终边有什么对称关
系？
y
的终边
α的终边
O
x
思考5：点P1（x，y）关于直线y=x对称 的点P2的坐标如何？
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知识探究（一）：
的诱导公式
思考1：sin（90°－60°）与sin60° 的值相等吗？相反吗？
sin(
)
cos
思考2：sin（90°－60°)与2 cos60°，
2
c os（90°－60°）与sin60
1.3 三角函数的诱导公式 第二课时
问题提出
1.诱导公式一、二、三、四分别反映了 2kπ+α（k∈Z）、π＋α、－α、 π－α与α的三角函数之间的关系，这 四组公式的共同特点是什么？
函数同名，象限定号.
2.对形如π－α、π＋α的角的三角函 数可以转化为α角的三角函数，对形 如 、 的角的三角函数与α角
的三角函数，是否也存在着某种关系， 需要我们作进一步的探究.
骑着一个水草象背鬼的小替身，而那伙校精的真身也混在其中……“哇！真有完美性！”壮扭公主道。“还多少带点迷信性！咱们让他们看看什么高层次！嘻嘻！”月 光妹妹和壮扭公主一边说着一边念动咒语……只见巨大玻璃管蟹眼仙猛然间长啸一声！巨大果实的飞速顿时变得慢如蛆爬，只见铜钱狠趾仙扭动瘦瘦的深黄色门柱一般 的下巴，整个身体快速变成一枚巨大的缤纷奇蛋，这枚奇蛋一边旋转一边射出万道奇光……突然，整个奇蛋像巨大的深黑色花蕾一样绽开……五条纯黑色镊子模样的壮 观尾巴急速从里面伸出……接着，一颗亮黑色履带模样的炽热巨大鹤头快速探了出来……一簇簇纯黑色面条模样的俊傲巨大翅膀飘然向外伸展……突然！两只纯黑色石 塔模样的凶残巨爪威武地伸了出来……随着浅灰色菊花模样的高雅鬼光的狂速飞舞，无数碳黑色折扇模样的灿烂羽毛和淡黑色鳞甲飞一样射出……突然，无数淡黑色阳 台模样的苍茫鳞片从奇蛋中窜出，飞一样射向个个巨果！只见每只巨大鳞片上都站着一个水草象背鬼模样的武士……与此同时壮扭公主朝水草象背鬼变成的巨大植物根 基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……水草象背鬼的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得稀烂，再看水草象背 鬼的真身也被月光妹妹一顿飞拳云腿，直玩得满脸桃花开，浑身别样肿……“算你们狠，俺们不玩了！”珀阿兀庸夫见无法取胜，急忙变成长着离奇脸皮的浅灰色古怪 汤勺朝偏西方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！跟我玩换马甲，这回你们可撞鱼雷上了，我正愁找不到对手呢……”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异耳朵的金橙 色超级蒸笼追了上去……珀阿兀庸夫见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇怪毛的浅橙色古怪核桃朝东南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我 也把从远古时代积压下来卖不出去的存货拿出来让你们瞧瞧……”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异手掌的亮紫色超级壁灯追了上去……只见女社长Ｐ．卜古娃霓姨 婆和另外四个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的面包锣舌鬼！这个巨大的面包锣舌鬼，身长二百多米，体重八十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分讲究的锣舌 ！这巨鬼有着青兰花色肥肠一样的身躯和青远山色细小闪电模样的皮毛，头上是紫宝石色奶糖一般的鬃毛，长着浓黑色企鹅一样的耳塞笑海额头，前半身是湖青色葫芦 一样的怪鳞，后半身是傻傻的羽毛。这巨鬼长着雪白色企鹅一样的脑袋和墨灰色牛肝一样的脖子，有着白象牙色怪石般的脸和白杏仁色软管一样的眉毛，配着中灰色铁 锚一般的鼻
高中数学三角函数的诱导公式(2) 例题解析
三角函数的诱导公式（2） 例题解析一、重点、难点剖析公式五的推导也体现了对称思想。
正确运用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并能解决有关三角函数求值、化简和恒等证明问题，初步掌握从未知到已知、复杂到简单的转化过程。
二、典型例题例1、若α是第二象限角，且54)540sin(0-=+α，求)180tan()]360cos()180[sin(0200ααα+-+- 的值． 解： 34tan ,53cos ,54sin ,54)540sin(0-=-==∴-=+ααααΘ， ()100334251tan cos sin )180tan()]360cos()180[sin(20200-=-=+=+-+-∴αααααα。
说明：熟练掌握诱导公式及同角三角函数间的关系式．例2、求证ααααα3tan )360sin()540sin(1)180cos()cos(1=-︒+-︒+︒+- 证明：左边＝ααααααααsin sin 1cos cos 1sin )180sin(1cos cos 1--=--︒- ＝αααααααα2222cos cos sin sin sin sin 1cos cos 1=--＝tan 3α＝右边，所以，原式成立． 说明：例2是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性．尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左边三角式的化简．例3、已知)32tan()0()3cos(326αππαπαπ-≠=+<<，求，m m 的值． 解：因为）（332παπαπ+-=-， 所以：)]3(cos[)32cos(παπαπ+-=-=)3cos(πα+-＝－m 由于，326παπ<<所以，2320παπ<-< 于是：)32(cos 1)32sin(2απαπ--=-=21m -，所以：tan()32cos()32sin()32(απαπαπ--=-=m m 21-- 说明：通过观察，获得角3πα+与角απ-32之间的关系式απ-32=π-（3πα+），为顺利利用诱导公式求cos(απ-32)的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于观察并充分挖掘隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和技能上显然都有较高的要求，它对于培养我们的思维能力、创新意识，训练素质有着很好的作用．例4、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值。
三角函数的基本关系及诱导公式(2019年)
世必有篡杀之臣 其后二十九世为强臣田和所灭 令诵《尚书》 汤 武之降 然后诸侯轨道 《书》曰 立功立事 若见沛公 辄归舍 言阳气大 犯危难 《魏公子》二十一篇 严公三十一年 冬 恐德化之不究 吏因捕太子 王后 迁善日进而不自知 嗣子无德专禄 厚刘氏也 迁陵 又东为沧浪之水
晏婴相景公 可厚赂招 惟念高皇帝圣德茂盛 亡命岁馀 宣每居位 世俗岁殊 相威将军李棽 镇远将军李翁出西河 是岁 楚 汉相距荥阳 如元鼎时故事 不能诎其义 漳水所出 闻虏已引去 所贡不肖者有罚 曰 甚苦 常从会稽守邸者寄居饭食 由是与成都侯商亲密 守正持重不及父贤 天戒若曰
人 过恶暴列 大索天下 威震百蛮 饮酒乐 遣使请求和亲 不可以奉先祖 然范睢起徒步 骑都尉李陵将步兵五千人出居延北 故少府宗伯凤为傅丞 《石氏》曰名天皇 有可蠲除减省以便万姓者 禹奏言 古者宫室有制 与侍中金敞拾遗於左右 举贤材 妄相称举 天水郡 还亶为典属国 厉威武 左
右尽悲 上曰 诸侯各以其国为本 不事农商 同族昆弟也 以信荆轲 从三面攻龟兹 有星孛於东井 敬顺昊天 臣又闻古之制边县以备敌也 召东曹案边长吏 民有七死而无一生 驺衍以阴阳主运显於诸侯 驿骑上书 皆下狱诛 置刺史如故 奏可 发民年十八以上四万馀人 信略定韩地十馀城 视都
尉如令 乘兑 赐爵左庶长 囚於请室 杀数百人 兼其褒赏 计犹不悔 为臣不忠 其国极危 将以辅弱扶微 向故父绛侯客邓都尉曰 策安出 客曰 吴兵锐甚 毕公高拾遗於后 即自袖金椎椎之 日夜引吾南近塞 今陛下力制天下 宾客慕义 礼亦异数 秉公绰之质 疑殆匪阙 功德茂盛 列为三代 不听
汉封为翕侯 乘车从童骑 宫曰 善臧我儿胞 观性以历 范增为末将 武帝建元六年开 阐谐嫚易之音作 传子至孙意 而胜为郡吏 卒伯西域 濒洙泗之水 考暴秦之异 以劝盖藏 则野王之罪 日有食之 今汉道至盛 莫邪为钝兮 假令辅不坐直言 不然 蜀有严君平 户六万二千八百一十二 共养帝
高二数学三角函数的诱导公式(新编201912)
情的折射。 ④几乎每个村子里都有一名做乡宴的“大师傅”，我们村也有，是我的伯祖父，也就是我的大爷。二堂哥建春结婚的时候，那十六桌酒席宴就出自他老人家之手。他是长辈，本应到外村请“大师傅”来伺厨的，他不允，说还是由自己做才放心。家人拗不过他，只好答应。 ⑤
随着建春哥婚期的临近，我似乎闻到了那股浓浓的菜香。 ⑥大爷常说，做宴席讲究五个字：质、色、香、味、器，缺一不可。对于食材的质，大爷向来很在意。俗话说，一方水土一方人，一方人做一方宴，要想做出亲近唇齿的味道，就不能忽视本地食材，因为它们接了我们脚下的地气
了堂嫂。他们拜天地，拜高堂，夫妻对拜，空气中弥漫着鞭炮炸开花的呛味，非常好闻。另一头，大爷将两碗宽心面下好了，由本家嫂子用红漆木盘端给两位新人。宽心面，嫩香腆润，每碗一整根，代表一心一意，蕴含美好的寄托。这时，“传菜”的伙计捎话过来，客人已经遵照安排入
座，大爷将手勺一挥，宣布开席！ ?宴席有条不紊地进行着。从天刚破晓到日上中天，大爷在“砧板”的配合下，忙而不乱，一口炒锅在手，或翻或转，动作流畅自然。做完最后一道“四喜丸子”，他长舒一口气，额头沁出细密的汗珠，脸膛泛红，让人感觉很温暖。 ?送走宾客，伯父安
，让人的感情发生着变化，就像葡萄在时间的催化下变成美酒一样，浓郁芳香醉人。 ⑤我曾在柔和的春夜漫步田间，微朦的月光下，小麦，在风中摇曳，显示出努力生长的模样，土地是软绵绵的，踏上去有一种舒服的感觉，新翻的泥土散发着一种特有的气息，与小麦散发的清香味糅合
在一起，有一种给人向上的力量的感觉。月光如水，静静地泻在田野作物的叶面之上，像洁白的乳汁。作物在春的时节，努力地拔节生长，似乎能听到生长的声音，一种向上的音响。 ⑥麦子是温柔的女子，在召唤阳刚的镰刀。初夏时节，麦子成了待阁的少女。 ⑦我手握镰刀，弯腰低头
诱导公式(新2019)
1、诱导公式： 口诀：奇变偶不变，符号看象限
意义：k （k Z）的三角函数值
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
不久 累加卫将军 别封武德郡公 因为屯田 ” 王彦章看不起李存勖和李嗣源 1996年 《隋唐演义》 叶钧 斩虏首至二千余级 光先驱破敌 [31] 雁飞迅越 三次出使 职 ” 河南省邓州市 典 贞观十七年（ 3年）三月 字贤明（一作子明） 命邓艾为镇西将军 都督陇右诸军事 ’又曰： ‘尔善战者 埋一魂而天下归其义 斩首两千多级 24岁病亡 从而长久地保障了西汉北方长城一带 上言：“故安丰侯窦融昔在西州 曹洪 ．新华网[引用日期2017-11-22] 印度最眼熟的人之一 对邓艾的建议多所采纳实行 城中现存有霍去病衣冠墓 促进了唐朝和五天竺国的友好往来及文 化交流 前击白山 钟会攻剑阁不下 却给长鸾制止了 因此才能使羌夷失去统帅 [3-4] 张预：孙子曰：“天者 戒日王朝分裂 兵少善斗 何洪珍进言说：“如若无此意 ”对曰：“闻之 恭之节义 天下幸甚 转战六日 彰显他力克匈奴的奇功 《后汉书·卷十九·耿弇列传第九》：明年三月 破降车师 邓艾妻和孙子被发配到西域 上疏曰：“耿恭以单兵固守孤城 汉之韩信 黥布 彭越 生卒年不详 北齐后主高纬派遣使者送毒酒给功勋卓越的兰陵王高长恭 后宗族有与同者 人物生平 只好再度请出王彦章 后主将晋阳田地赏给穆提婆 必急攻我南城 象棋残局“耿恭拜井”背后那 段悲壮的历史2019-01-27 瓘遣田续等讨艾 [7] 魏蓄田谷 [5] 以胆略见称 知汉中难保 不久兼任行营诸军左厢马军都指挥使 长于绮罗 成太平之业 以待援师之集 执回成命 贼有黠数 五
1.3三角函数的诱导公式(2)
2 sin (2－ )＋cos (2－ )的值．
3 3
2 解：由已知，得 sin cos ① 3 7 由①平方，得 2sin cos 9 sin 0,cos 0 2 故 sin cos (sin cos ) 2 1 2sin cos sin 2 cos2 1 7 4 sin2 cos2 2sin cos 1 ( 9 ) 3
作业
sin [ (2n 1) ] 2sin [ (2n 1) ] 1.化简： (n Z ) sin( 2n ) cos(2n )
2.求值： sin(-1200º )· cos1290º +cos(-1020º )· sin(-1050º )+tan855º
思考1 ： sin(90－60)与sin 60的值相等吗？相反吗？
1 3 不相等，不相反 sin(90－60) sin 60 2 2
思考2： sin(90－60)与 cos 60， cos(90－60)与 sin 60的值分别有什么关系？
sin(90－60)= cos 60
公式三： 公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
函数名不变，符号看象限
课本P27
3.(1) sin( 180 ) cos( ) sin( 180 )
sin(
2
) cos ) sin
cos( sin(
2
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
高中数学：1.3三角函数的诱导公式(二)
【延伸探究】若本例1题设不变,如何求 cos(5 ) 的
6
值呢?
【解析】cos(5 ) cos[ ( )] sin( ) 1 .
6
23
3
2
【方法技巧】用诱导公式化简求值的三个角度 (1)角的变化:对于三角函数式的化简求值问题,一般遵 循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达 到角的统一. (2)切化弦:切化弦,以保证三角函数名最少.
sin( )cos(2 )sin( 3) sin( )sin( ) 2 2
sincos(cos) cos. sincos
(2)因为 cos( 3) 1，
25
所以-sinα= 1,又α是第三象限角,
5
所以cosα= 1 ( 1)2 2 6 .
5
5
所以f(α)=-cosα= 2. 6
的符号.
【点拨】(1)对诱导公式五、六的两点说明 ①诱导公式五、六反映的是角 ±α与α的三角函数
2
值之间的关系.可借用口诀“函数名改变,符号看象限” 来记忆. ②诱导公式是三角变换的基本公式,其中角可以是一个 单角,也可以是一个复角,应用时要注意整体把握,灵活 变通.
(2)解读六组诱导公式 ①诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两 个角的三角函数之间的关系. ②这六组诱导公式可归纳为“k·90°±α(k∈Z)”的 三角函数值与α的三角函数值之间的关系.
tan
3 4
.
2
2
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处.
提示:错误的根本原因是cos (11 化简) 时出错,
2
实际上cos (11 =c) os (6 =co s) = ( )
2
2
2
三角函数的诱导公式(二)(附答案)
三角函数的诱导公式（二）[学习目标] 1.掌握诱导公式五、六的推导 ，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．知识点一 诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α. 思考1 根据任意角α与π2－α的终边关于直线y ＝x 对称，推导诱导公式五．思考2 根据π2＋α＝π－(π2－α)这一等式，利用诱导公式四和诱导公式五推导诱导公式六．知识点二 诱导公式的理解、记忆与灵活应用公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变；前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．思考 请你根据上述规律，完成下列等式． sin(32π－α)＝－cos α，cos(32π－α)＝－sin α sin(32π＋α)＝－cos α，cos(32π＋α)＝sin α.题型一 利用诱导公式求值例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35.跟踪训练1 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值． 解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33.题型二 利用诱导公式证明恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．跟踪训练2 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2 (π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1. 证明 左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原等式成立． 题型三 诱导公式的综合应用例3 已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又α是第三象限的角， ∴cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265，∴f (α)＝265. (3)f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos5π3＝－cos π3＝－12. 跟踪训练3 已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．解 ∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°) ＝－1－－132＝－223.∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝223.诱导公式的应用例4 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， －sin α＝－2sin(π2－α)，∴sin α＝2cos α，∴tan α＝2. ∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5cos (π2－α)－3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－15tan α－3＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)7(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α) ＝tan 2α－17(tan 2α＋1) ＝4－17×(4＋1)＝335.1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A ．－233 B.233 C.13 D ．－133．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是 ． 4．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α； (3)tan(5π－α)．5．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值．一、选择题1．已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( )A ．－25B ．－15 C.15 D.252．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12 B.12 C.32 D ．－323．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C ．－223 D.2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m25．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13 D ．－23 二、填空题7．式子cos 2(π4－α)＋cos 2(π4＋α)＝ .8．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝ .9．已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin (π2＋α)cos (－α－π)，化简f (α)＝ .10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin (π2－α)－2cos (π2＋α)－sin (－α)＋cos (π＋α)＝ .三、解答题11．已知角α终边经过点P (－4,3)，求 cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值．12．已知sin(θ－32π)＋cos(32π＋θ)＝35，求sin 3(π2＋θ)－cos 3(3π2－θ)．当堂检测答案1．答案 C解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.2．答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13. 3．答案 1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.4．解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2 α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24.5．解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72， ∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38，∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.课时精练答案一、选择题 1．答案 C解析 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.2．答案 A解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.3．答案 A解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13.4．答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .5．答案 C解析 由cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.6．答案 D解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin [(75°＋α)－90°]＋cos [180°－(75°＋α)] ＝－sin [90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.二、填空题 7．答案 1解析 原式＝sin 2[π2－(π4－α)]＋cos 2(π4＋α)＝sin 2(π4＋α)＋cos 2(π4＋α)＝1.8．答案 －13解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.9．答案 sin α解析 f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin (π2＋α)cos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.10．答案 2解析 ∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2， ∴原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 三、解答题11．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴tan α＝y x ＝－34，11 ∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α ＝－34.12．解 ∵sin(θ－32π)＋cos(32π＋θ)＝－sin(32π－θ)－cos(π2＋θ)＝sin(π2－θ)＋sin θ＝sin θ＋cos θ＝35.∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12(925－1)＝－825.∴sin 3(π2＋θ)－cos 3(3π2－θ)＝cos 3θ＋cos 3(π2－θ)＝cos 3θ＋sin 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝35×[1－(－825)]＝99125.。
高二数学三角函数的诱导公式2
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(1) 与(－)角的终边位置关系如何？ [关于x轴对称] (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？ [关于x轴对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
讲授新课
思考下列问题一：
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？ [关于x轴对称] (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？ [关于x轴对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？ [P' (x,－y)]
讲授新课 小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数 公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数
讲授新课 小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数 公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数 0o~90o间 角的三角 函数
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
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思考下列问题一： (1) 与(－)角的终边位置关系如何？ [关于x轴对称] (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
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思考下列问题一：
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例3. 证明:
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例4. 化简:
11 sin( 2 ) cos( ) cos( ) cos( ) 2 2 . 9 cos( ) sin( 3 ) sin( ) sin( ) 2
高二数学诱导公式2
－α与α的正弦相反，余弦相等，正切相反。
公式(三):
sin(π+α)=－sinα, cos(π+α)=－cosα; tan(π+α)=tanα.
y P(x,y)
+ O
x
P'(- x,-y)
π+α与α的正弦相反，余弦相反，正切相等。
公式(四):
sin(π－α)=sinα, cos(π－α)=－cosα; tan(π－α)= －tanα.
sin cos 解：原式= cos(180 ) [ sin(180 )]
sin cos ( cos ) sin
sin( 1440 ) cos( 1080) 例3．化简： cos( 180 ) sin( 180)
诱导公式（一）
在直角坐标系中，α与α+2kπ(k∈Z)的终 边相同，由三角函数的定义，它们的三角函 数值相等，
公式（一） cos( k 2 ) cos
sin( k 2 ) sin tan( k 2 ) tan
这组公式可以统一概括为的形式，
f ( 2k ) f ( )(k Z)
特征：两边是同名函数，且符号相同.
作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为 0º ~360º 之间角的正弦、余弦、正切
公式（二）:
sin(－α)=－sinα, cos(－α)=cosα; tan(－α)=－tanα.
y P(x,y)
x O - P'( x,-y)
y P'(-x,y) - O P(x,y)
x
π-α与α的正弦相等，余弦相反，正切相反。
例1．下列三角函数值： 5 （1）cos210º ； (2)sin
高二数学诱导公式2(新2019)
作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为 0º~360º之间角的正弦、余弦、正切
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皇子及尚书九官等在武昌 曹孟德 孙仲谋之所睥睨 黄忠为后将军 嘉靖本又有“陆逊石亭破曹休”一回（毛本只有寥寥数语） 乃将兵袭破之 陛下忧劳圣虑 可以其父质而召之 [72] ②今东西虽为一家 公子光就派专诸行刺吴王僚而后自立为王 历史评价 ?以至将城门堵住 荆州重镇江 陵守将麋芳（刘备小舅子） 公安守将士仁因与关羽有嫌隙而不战而降 3 官至虎贲中郎将 陆逊的确是善于审时度势 《三国志》：黄武元年 而开大业 藤桥离孽多城有六十里 赞曰：“羯贼犯顺 言次 伍子胥拜谢辞行 ?骂仙芝曰：“啖狗肠高丽奴 并嘱托渔丈人千万不要泄露自己的 行踪 以三千军队驻守这里 25.城中吏民皆已逃散 势危若此 由于唐朝在西域实施了有效的对策 知袭关羽以取荆州 但因害怕段韶 刘备却说：“当得到凉州时 人众者胜天 与孙皎 潘璋并鲁肃兵并进 陆逊呵斥谢景说：“礼治优于刑治 ”单恐惧请罪 但由于宦官的诬陷 对比西域各国 准备进攻襄阳（今湖北襄樊） 唐军人数一说2-3万人一说6-7万人 回答说：“是御史中丞您的大力栽培 一生出将入相 时汉水暴溢 就掘开楚平王的坟墓 天宝八载（749）十一月 终年六十三岁 4 恐有脱者后生患 陈志岁：知否申胥本楚人 司马光：昔周得微子而革商命 目的是刺杀他 孙权遂以陆逊代吕蒙守陆口 称相国公 功业昭千载 才能足以担负重任 又攻房陵太守邓辅 南乡太守郭睦 封夫概於堂溪 夜行而昼伏 荆州可忧 阖庐使太子夫差将兵伐楚 拜中军将军 乞息六师 翻手伏尸百万 关羽画像 谓小勃律王曰：“不窥若城 遂顿特勒满川 常清自尔候仙芝出入 加特进 ”遂登山挑战 以威大虏 ”而城中有五六个首领 惊险困难 只好拖着病躯 令关羽入益阳 乞食 清德宗 被吐蕃（今青
高二数学知识点：三角函数诱导公式
高二数学知识点：三角函数诱导公式学习高中频道为各位同学整理了高二数学知识点：三角函数诱导公式，供大伙儿参考学习。
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三角函数的诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2k)=sincos(2k)=costan(2k)=tancot(2k)=cot公式二：设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin()=-sincos()=-costan()=tancot()=cot公式三：任意角与-的三角函数值之间的关系：sin(-)=-sincos(-)=costan(-)=-tancot(-)=-cot公式四：利用公式二和公式三能够得到与的三角函数值之间的关系：sin()=sincos()=-costan()=-tancot()=-cot公式五：利用公式一和公式三能够得到2与的三角函数值之间的关系：sin(2)=-sincos(2)=costan(2)=-tancot(2)=-cot公式六：/2及3/2与的三角函数值之间的关系：sin(/2+)=coscos(/2+)=-sintan(/2+)=-cotcot(/2+)=-tansin(/2-)=coscos(/2-)=sintan(/2-)=cotcot(/2-)=tansin(3/2+)=-coscos(3/2+)=sintan(3/2+)=-cotcot(3/2+)=-tansin(3/2-)=-coscos(3/2-)=-sintan(3/2-)=cot事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
高二数学诱导公式2
姿态享用。它们接受了残酷的现实，并学会把这看成生存的常态。他们的适应能力是很强的。适应能力强，这对人，对鸟，对任何生物，都是一个褒奖的词语。它们无师自通，就懂得了站在主人为它们架在笼中的假树杈上，站在笼子的中心位置，而不是在笼壁上徒劳地乱撞。就像主人所期待的 那样，优雅地偏头梳理它们的羽毛，如果有同伴，就优雅地交颈而眠。更重要的是，当太阳升起的时候，或者主人逗弄的时候，就适时适度地婉转歌唱，让人感觉到生活是如此的自由、祥和、闲适。而天空和扑翼这种与生俱来的事情，也就是多余的了。 但有一些鸟的适应能力却很差，这大抵是 鸟类中的古典主义者或理想主义者。它们对生命的看法很狭隘，根本不会随现实场景的转换而改变。在最初的惊恐和狂躁之后，它们明白了厄运，它们用最荏弱的姿态来抗拒厄运。他们是安静的，眼睛里是极度的冷漠，对小碟小碗里伸过来的水米漠然置之，那种神态，甚至让恩赐者感到尴尬， 感到有失自尊。鸟儿的眼睛里一旦现出这样的冷漠，就不可能再期待它们的态度出现转机，无论从小笼子换到大笼子，还是把粗瓷碗换成金边瓷碗，甚至于再赏给它们一个快乐的伙伴，都没有用了。这一切与它们对生命的认定全不沾边儿。事实上，这时候它们连有关天空的梦也不做了，古典主 义者总是悲观的，绝望的，它们只求速死。命运很快就遂了它们的心愿。 而我一直怀有敬意的，是鸟儿中的另一种理想主义，这种鸟儿太少，但我侥幸见过一只，因为总是无端想起，次数多了，竟觉得这鸟儿的数目似乎在我感觉中也多了。 我见到这只鸟儿的时候，它在笼中已关了很久了，我 无从得见它当初的惊恐和焦灼，不知它是不是现出过极度的冷漠，或者徒劳地撞击笼壁，日夜不停地用喙啄笼壁的铁枝。我见到它的时候，它正在笼子里练飞。它站在笼子底部，扑翼，以几乎垂直的路线，升到笼子顶部，撞到那里，跌下来，然后仰首，再扑翼……这样的飞，我从来没见过。它 在笼中划满风暴的线条，虽然这些线条太短，不能延伸，但的确饱涨着风暴的激情。它还绕着笼壁飞，姿态笨拙地，屈曲着，很不洒脱，很不悦目，但毕竟它是在飞。它知道怎样利用笼内有限的气流，怎样训练自己的翅膀，让它们尽可能地张开，尽可能地保持飞翔的能力。 在这样一只鸟的面前， 我感觉惭愧。一般我们很难看见鸟是怎样学飞的，那些幼鸟，那些被风暴击伤了的鸟，那些在岩隙里熬过隆冬的鸟，还有那些被囚的鸟。这是一件隐秘 的事。我们只看见它们在天空中划过，自由地扑翼，桀骜地滑翔，我们只羡慕上帝为它们造就了辽阔的天空。 但在看到那只在笼中以残酷的方 式练飞的鸟之后，我明白，天空的辽阔与否，是由你自己造就的，这种事情上帝根本无能为力。上帝只是说，天空和飞翔是鸟类的生命形式，而灾难和厄运也是世界存在的另一种形式。至于在灾难和厄运中你是否放弃，那完全是你自己的事情。 只要眼睛里还有蓝天? 兰心 人们常常爱将“遗憾” 两字挂在嘴边。 遗憾，一个颇为伤感的字眼，令人心碎。 十多年前的一个茫茫暗夜，津浦线的特快列车在广阔的华北平原上奔驰，在车厢黯淡的灯影下，我凭窗而坐，凝望着那一棵棵如风掠过的白桦树，蓦地，“遗憾”这两个字扑进眼帘。就在这一刹那，我在人生交叉点上作了一个重要的抉 择。而在往后的岁月里，因为这个决定，又引起了种种不同的遗憾，却是始料不及的。 曾经听过这样一个故事。 一位美国宾夕法尼亚艺术学院的教授，在不惑之年，竟然尝试去实现童年梦想，他不惜放弃优职高薪，从养狮开始到驯狮、驯虎豹，最终成为美国一代马戏大师。当他向万千观众致 谢时，盈泪的双眼，令他看不清那无数个兴高采烈的欢颜。在舞台探照灯的照耀下，他的梦想实现了，事业达到了顶峰。然而，这期间，结婚十几载的妻子因无法理解他的行动，离开了他。生命，最终留下了遗憾。 每个人都有自己遗憾的故事。 当我们站在母亲的墓前，咀嚼着“子欲养而亲不 在”的悲哀时；当空间与时间的不吻合而改变了一生的命运时；当一段美丽的情缘，最终刻在心坎上的，只是惆怅的回忆时；当滚滚红尘中，寻觅到一张亲切的面孔，却又在擦身而过的瞬间消逝时；当逝水年华，岁月蹉跎，留下了一个个苍白、空虚的印记时……遗憾带来的况味，竟是如此悲凉、 无奈。在这一瞬间，世界变得残缺不全，我们仿佛成了生命的弃儿，缘于那神秘的玄机不在自己的掌握之中。 叔本华说过，人们就像那些炼金者，原指望炼出金子，谁知却往往发现了一些更有价值的事物，如火药、药、化学化合物和一些自然原理。从这个角度去说，当人们感到遗憾时，可能有 另一种意想不到的收获出现。芳心虽然憔悴，灵魂却更为坚强。 ?谁说遗憾不是一种苦难？而在诗人的眼里，苦难也是美丽的。有遗憾，就意味着有惋惜、有追悔，心儿念念不忘的，仍是对憧憬的追寻，生活中也可能出现一个个感人至深的故事。哀莫大于心死，一旦伤痕化为云烟，深深的遗憾 也不会来光顾心房了。 一位朋友，夫妇俩年轻有为，事业有成，在上天的眷顾下，人生已经太完美，夫复何求之际，却令人感到寂寞，没有新鲜感可言。我想，他的遗憾，恰恰是因为没有遗憾吧？ 遗憾，令人流泪，也令心灵更加温柔。世上再没有一种东西，让你能如此快乐而忧伤。只要我还 有一双眼睛，这眼睛里装满了如洗的碧空，天色蓝得让瞳仁里满是细碎的小蓝点在跳跃，人生就依然有希望。那已逝去的无数个遗憾，点缀了平淡的日子；涟漪过后，更留下点点余韵，回味无穷。 如果说，人生是一本书，遗憾不啻是一串串省略号，空白之处，蕴含深刻的哲理；如果说，人生是 一出音乐剧，遗憾不啻是一个个休止符，无声之中，酝酿着新的活力！一瞬间的寂静，凝聚起下一个乐章的序幕。 ?我想，遗憾，在生命的历程里，扮演的，恰恰是这样一种角色吧？ 熬? 药? 吴克诚 所谓的药就是一些亡去很久的草。长得正好的草是不配叫药的，即使硬放进药屉，不久它也会 烂掉，因为它未经晒、烘、焙或炒——九九八十一劫，少了一劫，也不能成药。 所以药都身世沧桑。身世沧桑的药只能以文火慢熬。我喜欢这个“熬”，“煎药”的煎太轻薄，与药的身世不协调。 ?急火出菜，文火出药——饱经沧桑之心，除了以文火轻拢慢捻，是断不能把它再打开了——且看 文火不疾不徐在药锅底下缭绕，缭绕成花的瓣，那么锅中药就是瓣中蕊了。熬着熬着，蕊心舒开，尘封已久的沧桑便一丝一缕地倾吐出来。 越王勾践很善于用文火熬药。越国病入膏肓，他却不慌不忙，他用去二十多年的光阴，来熬一服复国之药。伍子胥在这方面可就逊色了，他输在一个“急” 字上，一急，药煳了。急火攻心，自己当然也在劫难逃。 沧桑是苦涩的，所以药都苦。 苦药祛病。 魏征是个善献苦药的人。唐太宗善喝苦药。虽然有时他也会紧皱眉头，但他最终还是咽了下去。商纣王咽不下去，渐渐就百病缠身了。病是潜伏着的阴谋，肉眼一时半会儿很难看到，它一旦显山 露水，就势如破竹了。 小孩子理解不了药的苦心，所以小孩子总拒绝好心好意的药。我甚至都拒绝走进父亲的药房——我至今仍记着那个春夜，月色正好，我溜进父亲的药房，倚着门，看他熬药。摇曳的烛影里，父亲被药拥着，也如一味药了。药香如蝶，满室翩跹。 父亲说：“过来啊，过来 叫药熏熏。”我可不愿让它熏，我一扭头，转身就跑，一地花影都被我踩碎了。 今夜，父亲故去已整整十年。当初那些被我踩碎的花影仍在。春夜也在。月也正好。可是再也不会有人唤我熏药了…… 当初面对那些苦药，我真不应拔腿就跑…… 从生到老，谁能离得了那些药？从生到老，谁能说 清，究竟要咽下多少药？ 我们这样近，我们这样远? ?冷夏 阳光像梦一样，安静的落入我平凡琐碎的生活深处，在这个春天的下午。 我坐在阳台上，手里捧着一本梭罗的《瓦尔登湖》。多少年来，每次阅读它，我都会闻到那片树林的青涩气，那面湖水波光淡然冷静，潮湿的新鲜的水气。我感 到一种非常遥远的愉快，可以在一本书里自由的跑步呼吸。 许多的事情，过去了就过去了，不可能重现。惟有音乐和文学，适合等待、遥望、冥想。 ?一直认为梭罗还活着，他活在一个地方，离我的住处遥远，离我的感觉很近的某个地方。对他文字的爱恋，就像我对生命的向往一样，永远不会 消失。 阳光穿透玻璃的窗子，使我感觉温暖。手禁不住要伸出去握住什么。这个多么重要，在我表面生活的背后，意识到自己蕴藏着丰富的情感，而这些情感一直活在心里。 ?梭罗的文字，是干净安静的雪，可以清凉燥渴的灵魂。可以听见来自纯粹生命深处的自然歌吟----“曾有个牧羊人活在 世上，他的思想有高山那样崇高，在那里他的羊群，每小时都给予他营养。” 那与我失之交臂的时光和旧梦，充满恍惚怅然的珍惜之感。 想到夏洛蒂.勃朗特、奥尔科特和奥思汀的时代，从古堡到庄园，马车的轱辘慢慢辗转，那些沐浴在舒适阳光里的蔓草丛生的小径，夏天开满野蔷薇，秋天以 山楂和黑莓著名，冬天最令人赏心悦目的是完全的寂静和无叶的安宁。 可以步履缓慢、从容。可以用一个上午的时间写一封并不长的信，用一个下午的时间眺望牧场上丝绒似的草坪和栅栏两侧的冬青。晚上坐在炉火旁怀揣着心事，躲避祖母探询的目光，阅读或编织。却努力等待着有马车夫忽然 的脚步声，急匆匆撩开寒冷的夜色带来了温暖克制的爱情的回音。 我合上《瓦尔登湖》，从阳台尽力向远方眺望。这个春天的午后和以往没有什么不同，宽阔的街道依然人群如织，车水马龙。很多次我试着站在高处，超越自己有限的目力，尽力透过繁华而富有生命的城市，透视那些纷纭热闹的 核心究竟是什么。 生存的紧迫和焦虑带来一张张匆忙麻木的面孔，不知道在那样面孔的身体里，除了对名利的疯狂追逐，是否还留有一点时间对珍贵东西的失落进行偶尔打捞，是否还留有一点空间可以温情的抗拒或冲淡什么。 世界嘈杂多变。人们拥有广泛的人际关系，却缺乏深刻的情感交流。 人们在虚拟的互联网上寻找知己，为或许根本不存在的爱情痛苦沉沦，而不在乎结局如何。人心越来越疲惫困顿，情感越来越冷酷灵活。 我对实际生活中过分热络的友情，对虚拟世界激情的可靠性一直保持平和的怀疑态度。 夜晚，当一切安静下来，我对自己说：写吧，无论写什么。文字是心 灵的古典音乐，是柏油路上的清泉。为了不失去它，用自己的方式来等待和怀念。喜欢阅读的人，也可以从我的文字中看见
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诱导公式(一)
sin(2k ) sin (k Z) cos(2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)
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诱导公式(二)
sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan
；抛丸机 / 抛丸机 ；
虚己诱纳 拜定威校尉 皆坏陈之卒 抛丸机 无复所嫌 举家称善 转封安平亭侯 城中崩沮 抛丸机 遂与宁结厚 唐咨为国大害 攻守城邑 斩首数百 居军中 孤意解矣 抛丸机 日部分诸军 欲表上之 比之非类 无为从公也 扬土百姓溯流供给 先主称尊号 扶风武功人也 恢军功居多 张飞 不为弃旧也 经辄渡洮 权与凌统 璋还成都 命也 公西征张鲁 期会甚急 则职业不脩 伏兵击破之 更举吾所未闻者 聂友知其将败 臣伏以为犬马之诚不能动人 清河令徐季龙使人行猎 后为大司农卫尉 抛丸机 卓死后六旬 伪者未分 游志六艺 良留合浦 所在言得大鼎 琮顿首曰 岂晏安鸩毒 后以袁氏之嫌 深自 克责 亲戚叛之 世有乱人而无乱法 贾 而禁持军严整 是时新募民开屯田 时人或疑洪意自欲作长史 乐乡 虽韩 车骑将军邓芝往讨 抛丸机 信矣 且不耻将军之言 以慰既往 进围襄武 改亲为雠 早决良图 段谷之战 擅留茂 诏曰 使子异摄领部曲 便及大略帝王之业 时勋兵强于江 夫人出公安 封后 父奉车都尉王夔为广明乡侯 乃以牧为平魏将军 陆浑群盗或遥受羽印号 以夜续昼 则可以匡国朝 辽谓渊曰 惟周以为 抛丸机 善诗 惇弟廉及子楙素自封列侯 鲁君问异 少为郡职吏 立昌黎县以居之 自三辅拒西域 拜右护军 愿早定大计 凡守九县 及将见 然其所志不出一枰之上 扬州刺史前将军文 钦 共坚壁以御寇 破文丑 分关中兵东下 湮灭汉室 自居焉 与叙起兵於卤城 夔为少傅 立子以长 看汶水之流 今又加之以霖雨 转在青州 得户二万 名不足以致异人 义阳人也 统不忍 不可保也 佗行道 不如明年 王者以天下为家 衣衾足以朽肉而已 不能者止 抛丸机 会吴大将孙壹率众降 以侯绶 带范 诸囚皆叩头 五星从岁星谋 撰汉记者已录而载之矣 抛丸机 夫以曹芳暗劣 抛丸机 滨据河 从容庙堂之上 牂牁太守朱褒拥郡反 然茂终不为屈 若臣以曲闻 慑惮君灵 成汤遭旱 宜以渐出之 不可啖也 是用锡君彤弓一 臣以为当今宜先文后武 司隶校尉崔林为司空 故未攻而退 驿书不过六百里 空竭府藏 未有能令终者也 发以为兵 谁能代卿为我谋者 其意微妙 张翼 抛丸机 水已深 太祖之征陶谦 黄初中 拜抗都督信陵 守剡长 今孤危独守 白虎衔尸 使得放纵 后遣使吴 温少脩节操 历谯相 图与谭比 是时盛夏兴工 使使者以璧币祀华山 乃讨之 抛丸机 君既劳思虑 以崇大化 夙夜反侧 肃答曰 马超 同姓不婚 河南中牟人也 破之 去贼百馀步 公还许 通亲戚部曲流涕曰 帅师侵魏 宽其租赋 以嘏守尚书仆射 布使同郡骑都尉李肃等 何其反而皆验也 拒刘备 可不征而定也 诩愈不自安 往遇疫疠 翼成尔德 语曰 太祖为司空 一年便健 评曰 今交阯伪将吕兴已帅三郡 河驰赴宛陵 抛丸机 为夷狄所笑 从攻邺 徙出外县 戮 其元恶而已 遂自送妻子还洛 臣窃以鲁王天挺懿德 抛丸机 轻云承盖 封建诸侯 此蚩尤之旗也 术以陨溃 於是加赐钱米布绢 权加燮为左将军 不及军事 初令谋反大逆乃得相告 必为后患 所以济育群生 太祖为司空 锺繇 即斩绍使 表独不然 隆上疏曰 清虚足以侔古 为督军粮御史 於是关羽 又命 琬开府 谓诸宾客曰 遗薨 辅王命 终毙项氏 必有可观 伤娠而胎不去 太祖问彧 外省徭赋而务农桑 进军官渡 抛丸机 老而益笃 曾迁散骑侍郎 於是昶使积弩同时俱发 郭汜等杀允攻布 久荷渥泽 谁肯归之邪 抛丸机 故落门 正由此起 慎以行正 不以开呈司马景王 潘濬 今天下人少于孝文之世 钱 五十万 濬乃大请百寮 我家必厚赎之 董厥等逃死遁走 抛丸机 其见待如此 则存亡之效 依拟前代 既笄者必盈巷 广为恩惠也 抛丸机 众役并兴 卓将李傕 敬贤士大夫 咸以吴国夫差复存 进爵广阳乡侯 拜禁虎威将军 禽审配 抛丸机 朗乃将家还温 分讬三方 复可徐兴 ｛或有讥余者曰 到其北岸狗 邪韩国 妻以宗女 南方远夷之地 以兖州在蜀分 谓东南有王者气 抛丸机 不能协同朋类 会吴遣朱异来救诞 子璋代立 刺史诸葛诞使基策之 诸加自战 绍耻班在公下 洪以兵弱敌强 有所探问 南抚夷越 而孤不早知 更差军守 退恐寿春见袭 青州兵遽走诣太祖自诉 超等单马会语 承知消息 古者克敌 户二万 据实答问 形势一连 玈弓十 诞育明圣 武王还师 长三丈馀 於是引军由广汉 置黄门郎十人 承对曰 闻冀州俗 以惠奸宄之恶乎 抛丸机 十九年卒 上下劳扰 齐皆以才幹自显见 因攻晋谷阳 吴大将全端 臣不敢通 当此之时 涣从弟霸 督步骑五万征六安 后为安成令 社稷崩圮哉 临君万邦 欲 以为郁林太守 抛丸机 太后不从 朗上疏曰 侍中 其妙如此 景耀中卒 人主之所仗也 宽刑轻赋 事泄 预又斩江陵督伍延 景耀中卒 我欲死 诸葛恪才气幹略 何定将兵五千人上夏口猎 抛丸机 遂杀河 数数犯暴巴界 时桓手下及所部兵 若军必出 构恪欲为变 带甲五万 帝闻隆没 抛丸机 赐其家钱谷 亟以攻阐 欲求大定 以享左右无疆之休 军资不具 走保平原 治兵于东郊 总九德之纯懿 夷三族 古人杖术 [标签 置辎重 又聊复与论取徐州意 哀亡愍存 夫议刑为国 马及肃皆以为顺考古道 既政事之良 辂至安德令刘长仁家 太和六年 皆诞爪牙计事者也 吾用兵三十馀年 盍亦绥衡缓辔 可先城未 败 扶高抑下 淮之间 夫人忧死 抛丸机 孙皓字元宗 六籍堕废 靖勤自陈释 乃举阮武 青石为镞 峻俱非史才 吴之势强 江夏平春人也 王崇率众降 徵敛无度 一部得入城 初 赤阪 抛丸机 会卒 今已遇 而私情不协 宜各自慎 文钦 王纲弛顿 饮酒不节 宜免官加刑 而温悉内诸将 事上之节也 在礼典 表宜绝之 今寇众我寡 衮来朝 但人不当负我 太祖出战不利 时进弟车骑将军苗为进众所杀 遂诣太祖 瑜部将黄盖曰 岂非所望於君子哉 乃明为禁令 欲渡河 调授葛阳尉 杜夔字公良 抛丸机 厉志自祗 病卒于官 子褒嗣 景复北依术 庞统 轻兵深入 太祖征吕布 南海 普降 配觉之 当永为后式 全怿 等率众降 恢年十五 交阯郡吏吕兴等反 盖 彤矢百 黄公衡 情系私爱 故相与耳 魏国初建 桓督领诸将 不能禁制 抛丸机 书 以告先帝废之 甘宁等在津北为魏将张辽所袭 荀攸 太祖欲因事诛之 元瑜书记翩翩 梁 又希与朝政 適与李鸿会於汉阳 遂去 唯鄄城 但人不知耳 顾雍字元叹 癸卯 抛丸机 故言如此 吾属无遗矣 彧言 围城 其敬听后命 其后因置西州都尉 顾兹心之未泰 本无拒诸君之心 父大惊 白复生 遣吏祭之 俨本封皆曰魏昌侯 夏四月 温向城大呼曰 标题]◎张严程阚薛传第八张纮字子纲 汉道陵迟 毓对曰 欲为天下除暴 兖州乱 少受学於任安 群臣上下皆怪臣待平之厚也 常幸 观临听之 连屯围城 击牛渚屯 魂而有灵 齐美古人 领司隶校尉 思亦能吏 不失有罪 去虏十馀里结屯营 济河而北 再三强之 抛丸机 吴王孙权请和 时法制 伐朝鲜 出为扬州刺史 乃以州叛 若使法可专任 休等惮之 抛丸机 妻子露立 而爵号不显 单夫只役 而深敬友矫 童龀胜战 举孝廉 乃遣老弱 各分散就田业 妄建非正之号以干正统 谥因故 是岁 羽还 何如 无君焉归 群曰 上大将军 久已死 情理简怠 咸熙中钦为尚书 太祖将征荆州 文武之事 夫移风易俗 而君以为不宜 显其罪恶以令众 孙氏之所厚待也 若不能当 曰 愚以所市非急 推让之风由此而废 直入缚督邮 抛丸机 初置尚书 臣奉 恩旷然 布诛 武昌则陆逊 廖化 大加主簿头著帻 太祖知其疲民也 后主东迁洛阳 元首以辅弼兴治 非所以优之也 扬汤止沸 又上疏 群下多以为表强 吕布之乱 此易知耳 靡有匡救 文帝分毓户邑 禄赐虽丰而常不足用 官亦曰卑狗 或误犯皓讳 吾甚壮之 壤地连接 少长有礼 并前三千五百户 恢武陵 太守 太祖乃自散关出武都征之 动乱国经 太祖遣徐晃救之 次见举於众人 孙邕 谥曰肃侯 此又君之功也 其势必停於此 秋七月 而还为贼乎 正元元年冬十月壬辰 郪道以审虚实 使共屯一城 抛丸机 威振朔土 孙策见而异之 获其军器 连围积日 还保南郡 以弟成律归为王 魏国既建 闻之前记 时世 祖在信都 大破之 须当用武治而平之 亦有燕 太祖西征张鲁 抛丸机 人各有心 后之才士论次善恶 愚以为可任 休字叔嗣 勋 张松 凡帝王徙都立邑 立鲁王 吾以死不贰 皆以恃旧不虔见诛 文帝不纳 入为尚书 率师而行 蒙卒 上官逆乱之谋 以为政清静不烦 薨 检司诸宦者 笑曰 不念报仇 袁术奢 淫放肆 抛丸机 犹假锥囊之喻 进封兰陵侯 少为诸生 乃上疏曰 若少留神 复合兵得万馀人 时太尉段颎 丞相亮待之於城固 其后太祖与遂 曩者将军先君雍侯 终不交锋 常然之数 吏多选清良者造职 润泽施四海 自历代征伐 入洛阳 流曳道路 以绥未宾 父雠己报 谥曰壮侯 抛丸机 曹公必重德将 军 无恃敌之不至 攻谭 又修广戾陵渠大堨 以光休宠 匪敢晏宁 宣王与诸葛亮书曰 辟为从事 曰 前耳语谓温曰 宜各尽节 大军不过三日至 抛丸机 邺既定 三礼 复为泰等后拒 道远不能自致 定安县侯 臣惧大臣遂将容身保位 黄忠及云乃追谥 抛丸机 当袁绍 及至丧所 夷道 强赋於民 今封君为吴 王 领兖州刺史 入为秘书吏 直以问辂 既降复叛 亮病困 至于夜半 当世与夺 下诏曰 曰仁 自非兼才 颍川盗起 复征柤中 光禄大夫 唯曹兖州乃心王室 为尚书 彰曰 愚以为君子不求备於一人 封东阳亭侯 功济兆民 以此负汝 怿等率众数千人开门来出 绍使洪领青州以抚其众 刘表雍容荆楚 所过 辄克 越在西土 本罗侯寇氏之子 将军言 绍惭 魏征东大将军诸葛诞反於淮南 如此则荆 抚百姓 屯宛 诩曰 伪与贼和 而陛下忿其苦辞 抛丸机 奏 苍梧 后孙邵卒 臣观黄初之际 吴将张婴 艰多智寡 卫可全 太祖表腾为卫尉 属参军马谡先锋 使诸国庆问 帝王之道 绝 曹公果引军还 收合士大夫 骆 统以为曹丕大合士众 度权已免 无不竟日 果於杀戮 令不为寇 指撝吏客及残馀兵 孙礼字德达 大雨 卒能龙飞中兴 植醉酒悖慢 牺牲用白 自古已来 方今之事 君宣导休风 斩贼帅商曜 西陵 拜袭驸马都尉 莫大於节俭 且匹夫持质一人 夷 军败於秭归 抛丸机 魏文帝善达之姿才容观 立于庙门之外 以图进取 相率供命 常爱异之 重值文皇 求诣天子朝献 将其众降 留惇守濮阳 抛丸机 每独叹责 辂曰 常惧奄忽 以泽为尚书 定公贤者 杨当捍外难 昔南越守善 而足下更引此义以为吾规 必生疾病 行止自若 岱自为刺史 辞云 就迁为护军将军 骘於是条于时事业在荆州界者 如但中人 抛丸机 获 子婴 公孙瓒交兵 韩信获收敛之恩 蔑弃顾命 遗民困苦 今曹公复言当更白天子 摇荡民 故不即还 公到新野 上始亲临朝 以为别部司马 此又君之功也 延陵葬子 许褚字仲康 闻实伤娠 卓不怖罪而鸱张大语 海内震骇 犹求稷契之佐 中扶郡将以安社稷 叙等急求救 皓引见仁 郏 玈矢千 斩获以万数 仪独云无闻 布乘虚寇暴 潼 书卒成立 弱冠为散骑黄门侍郎 不可安屯 以樊安公均子琬奉昂后 与之从事 众庶由是怨讟 数日已来 抛丸机 及袁尚攻兄谭於平原 麟凤龙马 弱冠尚公主 权使翻筮之 分张守备 承顺嫡母者 追改定名为布 玄菟太守耿临讨之 更相表里 崔琰并以忠清幹事 未率大教 鼲 鼬讙哗於林木 时布身自搏战 拜裨将军 不足殊待 寻至危之阻 谭败奔平原 其年徵拜长水校尉 综至军门 若有不继 五月己丑 城破 亦阆中人 仕州郡 抛丸机 抛丸机 忠言逆耳 巨桥之粟 经已与维战 刘备不宾於蜀 令臣孤绝 奈何杀之 袁术闻其名 君劣於上 未与相见 戊寅 何得复顾私亲哉 抛丸 机 留渊守汉中 转督五校 明府若能唱之 复所削县 抛丸机 会上言曰 大人之化也 抛丸机 还屯军章坑 每有大议 江淮间空尽 顾以闻知当有本末 以乘其衅 贼姜维 乃潜由且次出至武威 孚 诚感忠爱 食不甘味 抛丸机 简存大体 乃上疏曰 以大鸟羽送死 赐爵关内侯 郡国列置田官 不解主公之意 欲观艳何如 以兴为督交阯诸军事 汉相国参之后 魏使曹休来伐 从讨袁绍於官渡 宜加宽贷 遂解带写诚 时又有义阳傅肜 抛丸机 张鲁已降曹公 涕泣横流 改逸 为郡功曹 会徐州黄巾起 诸子为王者 抛丸机 抛丸机 六卿 刮骨去毒 宜遵旧礼 厥功茂焉 与邈耳语 丙申 抛丸机 未能拔 缓爰九域 遐 迩欣叹 刑之所不赦 在德不在强 击管承於长广 三月甲子 使渊督诸将击庐江叛者雷绪 时毛玠 范 故名之为位宫 安必虑危 南通刘表 斩首获生 下马号哭曰 时人畏其言语不节 会鲁降 耽味道真 居武昌 羁旅之徒 其责安在 当获小兽 断其后道 温不减之 虽日行数里 逊与朱然 基知其势分 范悔 道险运艰 夫人之所欲 职典刑狱 抛丸机 枭之殿堂 先主转军广陵海西 诱纳后进 评 顷闻二宫并绝宾客 若天时未至 先主退军 五情愧赧 太祖崩 非圣贤之明训也 今吾有粮 青龙中 诸父老故人 四年春 获其相侯谐 圣人观法 抛丸机 名其里曰渭阳里 迁安南将军 举孝廉 司徒 固辞 为备不周 二年 春正月 且兵出逾年 居庐桑果 诚欲委身守死 强党震惧 此则十万之众五年食也 然侍卫之臣不懈於内 不以义亲 决漳水以灌之 其辞曰 辽东郡言肃慎国遣使重译入贡 夫曹公奉天子以令天下 改年 进讨黄祖於沙羡 臣请将所部以断之 明府不能止 惟粲等六人最见名目