高考理科数学刷题增分练 37 概率、随机变量及分布

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高考数学科学复习创新方案：概率与随机变量及其分布列的热点题型

命题动向：在高考的解答题中，对概率与随机变量及其分布相结合的综合问题的考查既是热点又是重点，是高考必考的内容，并且常与统计相结合，设计成包含概率计算、概率分布列、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别等知识的综合题．以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力．题型1求离散型随机变量的均值与方差例1(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．解(1)随机变量X的所有可能取值为0，20，100.P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.故随机变量X的分布列如下：X020100P0.20.320.48(2)设小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则随机变量Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48.故E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.由(1)知E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.因为E(Y)>E(X)，故应先回答B类问题．离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随变式训练1(2024·保定开学考试)2015年5月，国务院印发《中国制造2025》，是我国由制造业大国转向制造业强国战略的行动纲领．经过多年的发展，我国制造业的水平有了很大的提高，出现了一批在国际上有影响的制造企业．我国的造船业、光伏产业、5G等已经在国际上处于领先地位，我国的精密制造也有了长足发展．已知某精密设备制造企业生产某种零件，根据长期检测结果，得知生产该零件的生产线的产品质量指标值X服从正态分布N(64，100)，且质量指标值在[54，84]内的零件称为优等品．(1)求该企业生产的零件为优等品的概率(结果精确到0.01)；(2)从该生产线生产的零件中随机抽取5件，随机变量Y表示抽取的5件中优等品的个数，求Y的分布列、数学期望和方差．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)由题意知，X～N(64，100)，则μ＝64，σ＝10，54＝μ－σ，84＝μ＋2σ，由P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，得P(54≤X≤84)＝P(54≤X≤64)＋P(64≤X≤84)＝12×0.6827＋12×0.9545≈0.82.故该企业生产的零件为优等品的概率为0.82.(2)Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，P(Y＝0)＝(1－0.82)5，P(Y＝1)＝C15×0.82×(1－0.82)4，P(Y＝2)＝C25×0.822×(1－0.82)3，P(Y＝3)＝C35×0.823×(1－0.82)2，P(Y＝4)＝C45×0.824×(1－0.82)，P(Y＝5)＝0.825，则Y的分布列为Y012P(1－0.82)5C15×0.82×(1－0.82)4C25×0.822×(1－0.82)3Y345P C35×0.823×(1－0.82)2C45×0.824×(1－0.82)0.825由Y～B(5，0.82)，则E(Y)＝5×0.82＝4.1，D(Y)＝5×0.82×(1－0.82)＝0.738.题型2概率与统计的综合问题例2(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)解(1)平均年龄x－＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)．(2)由于患者的年龄位于区间[20，70)是由患者的年龄位于区间[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)组成的，所以所求概率P＝(0.012＋0.017×2＋0.023＋0.020)×10＝0.89.(3)设从该地区任选一人，年龄位于区间[40，50)为事件A，患这种疾病为事件B，则P(A)＝16%，由频率分布直方图知，这种疾病患者的年龄位于区间[40，50)的概率为0.023×10＝0.23，结合该地区这种疾病的患病率为0.1%，可得P(AB)＝0.1%×0.23＝0.00023，所以从该地区任选一人，若年龄位于区间[40，50)，则此人患这种疾病的概率为P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.0002316%≈0.0014.概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为高考的一大亮点和热知识竞赛包含预赛和决赛．(1)下表为某10位同学的预赛成绩：得分939495969798人数223111求该10位同学预赛成绩的上四分位数(第75百分位数)和平均数；(2)决赛共有编号为A，B，C，D，E的5道题，学生甲按照A，B，C，D，E的顺序依次作答，答对的概率依次为23，12，12，13，13，各题作答互不影响，若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束，记X为比赛结束时学生甲已作答的题数，求X的分布列和数学期望．解(1)因为10×0.75＝7.5，所以上四分位数为第8个成绩，为96；平均数为93×2＋94×2＋95×3＋96＋97＋9810＝95.(2)由题意可知，X的所有可能取值为2，3，4，5，所以P(X＝2)＝13×12＝16，P(X＝3)＝13×12×12＋23×12×12＝312＝14，P(X＝4)＝13×12×12×23＋23×12×12×23＋23×12×12×23＝1036＝518，P(X＝5)＝23×12×12×13＋13×12×12×13＋23×12×12×13＋23×12×12×13＋23×12×12×23＝1136，所以X的分布列为X2345P16145181136E(X)＝2×16＋3×14＋4×518＋5×1136＝13436＝6718.题型3概率与线性回归的综合问题例3某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X(百斤)都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有24期，超过60百斤的有8期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y(百斤)与使用某种饵料的质量x(百斤)之间的关系如图所示．(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的经验回归方程y^＝b^x＋a^；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由；(2)养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的增氧冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系：鱼的重量(单位：百斤)20<X <4040≤X ≤60X >60增氧冲水机运行台数123若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台增氧冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期增氧冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝解（1）依题意，得所以y ^＝313x ＋3713，当x ＝10时，y ^＝6713>5，故此方案可行．(2)设盈利为Y ，提供1台，盈利Y ＝5000.提供2台，当20<X <40时，Y ＝3000，P ＝15，当X ≥40时，Y ＝10000，P ＝45.所以E (Y )＝15×3000＋45×10000＝8600.提供3台，当20<X <40时，Y ＝1000，P ＝15，当40≤X ≤60时，Y ＝8000，P ＝35，当X >60时，Y ＝15000，P ＝15.所以E (Y )＝1000×15＋8000×35＋15000×15＝8000.因为8600>8000，故应提供2台增氧冲水机．本题主要考查概率与回归方程等知识，体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面．某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据做了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x (单位：mg)，体内抗体数量为y (单位：AU/mL)．∑10i ＝1t i s i∑10i ＝1t i ∑10i ＝1s i ∑10i ＝1t 2i 29.2121634.4表中t i ＝ln x i ，s i ＝ln y i .(1)根据经验，我们选择y ＝cx d 作为体内抗体数量y 关于抗体药物摄入量x 的经验回归方程，将y ＝cx d 两边取对数，得ln y ＝ln c ＋d ln x ，可以看出ln x 与ln y 具有线性相关关系，试根据参考数据建立y 关于x 的经验回归方程，并预测抗体药物摄入量为25mg 时，体内抗体数量y 的值；(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z 大幅提高，经试验统计得z 服从正态分布N (0.48，0.032)，那这种抗体药物的有效率z 超过0.54的概率约为多少？附：①对于一组数据(u i，v i)(i＝1，2，…，n)，其经验回归直线v^＝β^u＋α^的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni＝1u i v i－n u－v－∑ni＝1u2i－n u－2，α^＝v－－β^u－；②若随机变量Z～N(μ，σ2)，则有P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9974；③取e≈2.7.解(1)将y＝cx d两边取对数，得ln y＝ln c＋d ln x，由题知，s＝ln y，t＝ln x，则经验回归方程变为s＝ln c＋dt，由表中数据可知，s－＝110∑10i＝1s i＝1.6，t－＝110∑10i＝1t i＝1.2，所以d^＝∑10i＝1t i s i－10t－s－∑10i＝1t2i－10t－2＝29.2－10×1.2×1.634.4－10×1.22＝0.5，ln c^＝s－－d^t－＝1.6－0.5×1.2＝1，所以s^＝1＋0.5t，即ln y^＝1＋0.5ln x＝ln e＋ln x0.5＝ln e x0.5，故y关于x的经验回归方程为y^＝e x0.5，当x＝25mg时，y^＝e·250.5≈2.7×5＝13.5AU/mL.(2)因为z服从正态分布N(0.48，0.032)，其中μ＝0.48，σ＝0.03，所以P(μ－2σ≤z≤μ＋2σ)＝P(0.42≤z≤0.54)≈0.9545，所以P(z>0.54)＝1－P（0.42≤z≤0.54）2≈1－0.95452＝0.02275.故这种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为0.02275.题型4概率与独立性检验的综合问题例4(2022·新高考Ⅰ卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：组别生活习惯不够良好良好病例组4060对照组1090(1)依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”.P（B|A）P（B－|A）与P（B|A－）P（B－|A－）的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(ⅰ)证明：R＝P（A|B）P（A－|B）·P（A－|B－）P（A|B－）；(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B－)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值．附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），α0.0500.0100.001xα 3.841 6.63510.828解(1)零假设H0：患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯无差异．χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝200×（40×90－60×10）2100×100×50×150＝24＞6.635＝x0.010，依据小概率值α＝0.010的独立性检验，推断H0不成立，即认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．(2)(ⅰ)证明：因为R ＝P （B |A ）P （B －|A ）·P （B －|A －）P （B |A －）＝P （AB ）P （A ）·P （A ）P （A B －）·P （A －B －）P （A －）·P （A －）P （A －B ）＝P （AB ）P （A B －）·P （A －B －）P （A －B ），而P （A |B ）P （A －|B ）·P （A －|B －）P （A |B －）＝P （AB ）P （B ）·P （B ）P （A －B ）·P （A －B －）P （B －）·P （B －）P （A B －）＝P （AB ）P （A －B ）·P （A －B －）P （A B －），所以R ＝P （A |B ）P （A －|B ）·P （A －|B －）P （A |B －）.(ⅱ)由已知P (A |B )＝40100＝25，P (A |B －)＝10100＝110，又P (A －|B )＝60100＝35，P (A －|B －)＝90100＝910，所以R ＝P （A |B ）P （A －|B ）·P （A －|B －）P （A |B －）＝6.此类题目虽然涉及的知识点较多，但每个知识点考查程度相对较浅，考查深小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)．(1)设指定的两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)对照组：17．318.420.120.421.523.224.624.825.025.426．126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5．4 6.6 6.86.97.88.29.410.010.411.214．417.319.220.223.623.824.525.125.226.0(ⅰ)求40只小鼠体重的中位数m ，并完成下面2×2列联表：＜m≥m对照组实验组(ⅱ)根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用？参考数据：P (K 2≥k 0)0.100.050.010k 02.7063.8416.635解(1)依题意，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 020C 220C 240＝1978，P (X ＝1)＝C 120C 120C 240＝2039，P (X ＝2)＝C 220C 020C 240＝1978，所以X 的分布列为X 012P197820391978故E (X )＝0×1978＋1×2039＋2×1978＝1.(2)(ⅰ)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排好后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经按从小到大排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3，17.3，18.4，19.2，20.1，20.2，20.4，21.5，23.2，23.6，…，故第20位数据为23.2，第21位数据为23.6，所以m＝23.2＋23.62＝23.4，故列联表为＜m≥m对照组614实验组146(ⅱ)由(ⅰ)可得，K2＝40×（6×6－14×14）220×20×20×20＝6.4＞3.841，所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．。

【高等数学】概率论与数理统计-随机变量及其分布专项试卷及答案解析

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(2）设随机变量X满足XJ ～N(l, 7勺，记标准正态分布函数为φ（叫，则P{l<X<Z}
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t 若 P{X ζ2} = ，则 P{X =3} =
(3）设某时间段内通过路口的车流盐X服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为土，则这段时间内至少有两辆车通过的概率为
(4 ）设随机变:Lt 草在 (1,6 ）上服从均匀分布，则方程x2 十位＋ l=O 有实根的概率是
3. 解答题 (1）设随机变量X服从参数为 λ 以＞ 0 ）的指数分布，且 P{X ζ1} ＝÷，试求：
< I ）参数A ;
(Il)P{X>Z IX> 1}.
(2）设随机变量X的概率密度为
令 Y＝ X
门
Y ）

概率论与数理统计课件：随机变量及其分布

随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
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高中理科数学各类型概率统计、分布列解答题

高中理科数学概率统计、各类分布列解答题类型以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1．随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之和为1．2．求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式3．注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含义．【讲一讲提高技能】1、必备技能：分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥．灵活运用排列组合相应方法进行计数．等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性．【练一练提升能力】1．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（2）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．2．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率．3、某厂有台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于？(2)已知一名工人每月只有维修台机器的能力，每月需支付给每位工人万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有名工人．求该厂每月获利的均值．以二项分布为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1．若随机变量服从二项分布，则对应的事件是两两独立重复的，概率为事件成功的概率．2．求二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差公式:若，则【讲一讲提高技能】1．必备技能：利用离散型随机变量的均值与方差的定义，也可求出二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差，但计算较繁．因此判断随机变量是否服从二项分布是解决问题的关键．判断方法有两个，一是从字面上理解是否符合独立重复条件，二是通过计算，归纳其概率规律是否满足二项分布．【练一练提升能力】1.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23 .(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．2.近年来，我国电子商务蓬勃发展．2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0．6，对服务的满意率为0．75，其中对商品和服务都满意的交易为80次． (Ⅰ) 根据已知条件完成下面的并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？(Ⅱ) 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望．附：（其中为样本容量）3.(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)： (1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．以正态分布为背景离散型随机变量的分布列、均值1、正态分布概念：若连续型随机变量的概率密度函数为，其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为～。

高考数学全程训练计划：天天练34 概率、随机变量及分布

天天练34 概率、随机变量及分布小题狂练○34一、选择题1．从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中,是对立事件的是( )A．① B．②④C．③ D．①③答案：C解析：从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶,两个奇数,两个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况,它与两个都是偶数是对立事件．又①②④中的事件可以同时发生,不是对立事件．2．[2018·全国卷Ⅱ]从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3答案：D解析：设两名男同学为A,B,三名女同学为a,b,c,则从5人中任选2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10种.2人都是女同学的情形有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,故所求概率为310＝0.3.3．[2018·全国卷Ⅲ]若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7答案：B解析：由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.4．[2019·湖北七市教科研协作体模拟]从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于12的概率为( )A.225B.13125C.18125 D.29125答案：A解析：从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,基本事件总数n ＝53＝125. 其各位数字之和等于12包含的基本事件有：由2,5,5能组成3个满足条件的三位数, 由4,4,4能组成1个满足条件的三位数, 由3,4,5能组成6个满足条件的三位数, 满足条件的三位数共有3＋1＋6＝10个, ∴其各位数字之和等于12的概率为P ＝10125＝225.5．[2019·石家庄高中毕业班模拟考试(一)]已知函数f(x)＝2x(x ＜0),其值域为D,在区间(－1,2)上随机取一个数x,则x∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D.23 答案：B解析：因为函数y ＝2x是R 上的增函数,所以函数f(x)的值域是(0,1),所以所求概率是13,故选B.6．[2019·河南名校联考]现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为( )A.110B.25C.12D.710 答案：C解析：由题意知共有10个几何体,其中旋转体为球和圆台,共5个,根据古典概型,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率P ＝510＝12.故选C.7．[2019·湖南三湘名校第三次联考]已知以原点O 为圆心,1为半径的圆以及函数y ＝x 3的图象如图所示,则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点),该小米落入阴影部分的概率为( )A.12B.14C.16D.18 答案：B解析：由图形的对称性知,所求概率为14π×12π×12＝14.故选B.8．[2019·贵阳检测]在△ABC 中,AB ＝5,AC ＝12,BC ＝13,一只小蚂蚁从△ABC 的内切圆的圆心处开始随机爬行,当蚂蚁(在三角形内部)与△ABC 各边距离不小于1时,其行动是安全的,则这只小蚂蚁在△ABC 内任意爬行时,其行动是安全的概率为( )A.14B.49C.12D.23 答案：A解析：设△ABC 内切圆的半径为r,则12×5×12＝5＋12＋132×r ,∴r＝2,由题意,与△ABC 各边距离等于1的点组成的图形△A′B′C′与△ABC 相似,△A′B′C′内切圆的半径为1,∴△A′B′C′与△ABC 的相似比为12,∴△A′B′C′与△ABC 的面积之比为14,∴这只小蚂蚁在△ABC 内任意爬行时,其行动是安全的概率是14,故选A.二、非选择题9．一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.2,目标未受损的概率为0.4,则目标受损但未完全击毁的概率为________．答案：0.4解析：∵一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.2,目标未受损的概率为0.4,∴P(目标未受损)＝0.4,P(目标受损)＝1－0.4＝0.6,目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形,它们是对立事件,P(目标受损)＝P(目标受损但未完全击毁)＋P(目标受损且击毁),即0.6＝P(目标受损但未完全击毁)＋0.2,∴P(目标受损但未完全击毁)＝0.6－0.2＝0.4.10．如图,在等腰直角△ABC 中,过直角顶点C 作射线CM 交AB 于M,则使得AM 小于AC 的概率为________．答案：34解析：当AM ＝AC 时,△ACM 为以A 为顶点的等腰三角形,∠ACM＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM<67.5°时,AM<AC,所以AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM的度数∠ACB的度数＝67.5°90°＝34.11．某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个兴趣小组的可能性相同,则甲、乙不在同一个兴趣小组的概率为________．答案：23解析：本题考查古典概型．甲、乙两名学生参加兴趣小组的结果共有9种,其中甲、乙不在同一个兴趣小组的结果有6种,故所求的概率为69＝23.12．[2019·重庆适应性测试]从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个,则所取3个数之和为偶数的概率为________.答案：25解析：依题意,从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个,共有10种不同的取法,其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数,有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数,另一个是偶数,有3种取法),因此所求的概率为410＝25.课时测评○34一、选择题1．[2019·海淀模拟]抛掷一枚均匀的骰子2次,在下列事件中,与事件“第一次得到6点”不相互独立的是( )A ．第二次得到6点B ．第二次的点数不超过3C ．第二次的点数是奇数D ．两次得到的点数和是12答案：D解析：事件“第二次得到6点”、“第二次的点数不超过3”、“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立,而对于事件“两次得到的点数和是12”,由于第一次得到6点,所以第二次也是6点,故不相互独立,故选D.2．[2019·湖南郴州质量监测]甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是( ) A ．1 B.16C.12D.13 答案：D解析：甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙,丙乙甲,共6种,其中甲排在左边的站法为2种, ∴甲排在左边的概率是26＝13.故选D.3．[2019·绵阳诊断]某射手每次射击击中目标的概率是23,且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次,则有3次连续击中目标,另外2种未击中目标的概率为( )A.89B.7381C.881D.19答案：C解析：因为该射手每次射击击中目标的概率是23,所以每次射击不中的概率为13,设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5),“该射手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件A,则P(A)＝P(A 1A 2A 3A 4A 5)＋P(A 1A 2A 3A 4A 5)＋P(A1A 2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881. 4．一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M 是AB 的中点,一只蝴蝶在几何体ADF －BCE 内自由飞翔,则它飞入几何体F －AMCD 内的概率为( )A.34B.23C.13D.12 答案：D解析：因为V F －AMCD ＝13×S AMCD ×DF＝14a 3,V ADF －BCE ＝12a 3,所以它飞入几何体F －AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.5．欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技术之高超,若铜钱直径2 cm,中间有边长为1 cm 的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是( )A.14πB.12πC.1π D.2π答案：C解析：根据几何概型的求解方法可知,用正方形的面积除以圆的面积即为所求概率,故P ＝S 正方形S 圆＝1π.故选C.6．[2019·山西运城模拟]已知五条长度分别为1,3,5,7,9的线段,现从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为( )A.110 B.310C.12D.710 答案：B解析：从五条中任取三条,共有1、3、5,1、3、7,1、3、9,1、5、7,1、5、9,1、7、9,3、5、7,3、5、9,3、7、9,5、7、9十种情况．其中仅3、5、7,3、7、9,5、7、9三种情况可以构成三角形,故构成三角形的概率P ＝310.7．[2019·湖北省四校高三上学期第二次联考试题]如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星,其中这两个等边三角形的三边分别对应平行,且各边都被交点三等分,若往该图案内投掷一点,则该点落在图中阴影部分内的概率为( )A.14B.13C.12D.23 答案：C解析：设六角星的中心为点O,分别将点O 与两个等边三角形的六个交点连接起来,则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形,并且与其余六个小三角形也是全等的,所以所求的概率P ＝12,故选C.8．[2019·成都测试]小明在花店定了一束鲜花,花店承诺将在第二天早上7：30～8：30之间将鲜花送到小明家．若小明第二天离开家去公司上班的时间在早上8：00～9：00之间,则小明在离开家之前收到鲜花的概率是( )A.18B.14C.34D.78 答案：D解析：如图,设送花人到达小明家的时间为x,小明离家去上班的时间为y,记小明离家前能收到鲜花为事件A.(x,y)可以看成平面中的点,试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x,y)|7.5≤x≤8.5,8≤y≤9},这是一个正方形区域,面积为S Ω＝1×1＝1,事件A 所构成的区域为A ＝{(x,y)|y≥x,7.5≤x≤8.5,8≤y≤9},即图中的阴影部分,面积为S A ＝1－12×12×12＝78.这是一个几何概型,所以P(A)＝S A S Ω＝78,故选D.二、非选择题9．[2019·怀化二模]设a∈{1,2,3},b∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，4，6,求函数y ＝log b a 1x 是减函数的概率为________．答案：58解析：∵f(x)＝1x 在区间(0,＋∞)上是减函数,又函数y ＝log b a 1x 是减函数,∴ba>1,∵a∈{1,2,3},b∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，4，6,则b a ＝16,14,12,43,2,3,4,6,共8个值, 其中满足b a >1的有43,2,3,4,6,共5个值,∴函数y ＝log b a 1x 是减函数的概率为58.10．[2019·南昌市项目第一次模拟]在圆x 2＋y 2＝4上任取一点,则该点到直线x ＋y －22＝0的距离d∈[0,1]的概率为________．答案：13解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心为O(0,0),半径r ＝2,所以圆心O 到直线x ＋y －22＝0的距离为d 1＝|0＋0－22|12＋12＝2＝r, 所以直线x ＋y －22＝0与圆O 相切．不妨设圆x 2＋y 2＝4上的点到直线x ＋y －22＝0的距离d∈[0,1]的所有点都在AB 上,其中直线AB 与直线x ＋y －22＝0平行,直线AB 与直线x ＋y －22＝0的距离为1,所以圆心到直线AB 的距离为r －1＝1,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12∠AOB ＝12,所以12∠AOB＝π3,得∠AOB＝2π3,所以所求的概率P ＝23π·22π·2＝13.11．某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1 000张奖券为一个开奖单位,设特等将1个,一等奖10个,二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C,求：(1)P(A),P(B),P(C)； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解析：(1)P(A)＝11 000,P(B)＝101 000＝1100,P(C)＝501 000＝120.故事件A,B,C 的概率分别为11 000,1100,120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M ＝A∪B∪C. ∵A、B 、C 两两互斥,∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.。

2023年高考数学(理科)一轮复习——离散型随机变量及其分布列

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感悟提升
分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
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考点二离散型随机变量的分布列
例1 (12分)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2022年元旦来临之际举行 “庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.
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6.(2021·郑州检测)设随机变量X的概率分布列为
X1 2 34
P
1 3
m
1 4
1 6
5 则P(|X－3|＝1)＝___1_2____.
解析由13＋m＋14＋16＝1，解得 m＝14， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝152.
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考点突破题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
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P(ξ＝1)＝CC13·C29 16＝1386＝12， P(ξ＝2)＝CC23·C29 06＝336＝112.
所以ξ的分布列为
ξ 012
P
5 12
1 2
1 12
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感悟提升
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是： (1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.

2015届高三数学理科统计概率及随机变量分布列大题训练(16题)(含答案)

2015届高三数学理科统计概率及随机变量分布列大题训练(16题)(含答案)1.一个口袋中有2个白球和$n$个红球($n\geq2$，且$n\in\mathbb{N}^*$)，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。

1)试用含$n$的代数式表示一次摸球中奖的概率$p$；2)若$n=3$，求三次摸球恰有一次中奖的概率；3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为$f(p)$，当$n$为何值时，$f(p)$取最大值。

2.一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：学生 | S1.| S2.| S3.| S4.| S5.|语文 | 87.| 90.| 91.| 92.| 95.|英语 | 86.| 89.| 89.| 92.| 94.|1)根据表中数据，求英语分$y$对语文分$x$的线性回归方程；2)要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以$\xi$表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量$\xi$的分布列及数学期望$E\xi$。

3.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动。

为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为$n$）进行统计。

按照$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80)$，$[80,90)$，$[90,100]$的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在$[50,60)$，$[90,100]$的数据）。

1)求样本容量$n$和频率分布直方图中$x$，$y$的值；2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设$\xi$表示所抽取的3名同学中得分在$[80,90)$的学生个数，求$\xi$的分布列及其数学期望。

4.某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B。

高考数学冲刺专题3.5 随机变量及其分布(新高考)(原卷版)

专题3.5 随机变量及其分布1．判断随机变量是否服从二项分布：（1）看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p ，1p -；（2）看是否为n 次独立重复试验，且随机变量是否为某事件在这n 次独立重复试验中发生的次数．2．求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤：（1）理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值；（2）求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；（3）由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；（4）若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解．【预测题1】近年来，手机行业的竞争已经进入白热化阶段，各大品牌手机除了靠不断提高手机的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升，用“烧钱”来形容毫不为过小明对某品牌手机近5年的广告费投入(单位：亿美元)进行了统计，具体数据见下表．并随机调查了300名市民对该品牌手机的喜爱情况，得到的部分数据见下表（1）求广告费投入y 与年份代号x 之间的线性回归方程；（2）是否有99%的把握认为市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度具有相关性？（3）若以这300名市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度的情况估计整体情况，则从这300名市民中随机选取3人，记选到喜欢该品牌手机且50岁以上的市民人数为X．求X的分布列及数学期望 ()E X．附：①回归直线中y bx a=+，()()()121ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，a y bx=-；②22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．【预测题2】企业在商业活动中有依法纳税的基本义务，不依法纳税叫做逃税，是一种违法行为．某地区有2万家企业，政府部门抽取部分企业统计其去年的收入，得到下面的频率分布表．根据当地政策综合测算，企业应缴的税额约为收入的5%，而去年该地区企业实际缴税的总额为291亿元．（1）估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量；（2）估计该地区企业去年的平均收入，并以此估计该地区逃税的企业数量；（3）根据统计，该地区企业逃税被查出来的概率为0.3，被查出逃税的企业除了要补缴税款n n∈N倍的罚款，从企业逃税的获益期望考虑，n至少定为以外，还会被处以应缴税额()*多少，才能对逃税行为起到惩罚作用？注：每组数据以区间中点值为代表，假设逃税的企业缴税额为0，未逃税的企业都足额缴税．【预测题3】京西某地到北京西站有阜石和莲石两条路，且到达西站所用时间互不影响．下表是该地区经这两条路抵达西站所用时长的频率分布表：若甲､乙两人分别有40分钟和50分钟的时间赶往西站(将频率视为概率)（1）甲､乙两人应如何选择各自的路径？（2）按照（1）的方案，用X表示甲､乙两人按时抵达西站的人数，求X的分布列和数学期望．【预测题4】“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲､乙在相同的条件下轮流射击．每轮中，甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分．已知甲､乙每次射中的概率分别为11,32，且各次射击互不影响．（1）经过1轮射击打靶，记甲､乙两人的得分之和为X，求X的分布列；（2）试问经过第2轮还是第3轮射击打靶后，甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高？并说明理由．【预测题5】某市为了解游客对某景区的满意程度，市文旅委随机对景区的1000名游客进行问卷调查（满分100分），这1000名游客的评分分别落在区间[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]内，游客之间的评分情况相互独立，得到统计结果如频率分布直方图所示，视频率为概率．（1）求频率分布直方图中a的值，规定评分不低于80分为非常满意，60～80分为基本满意，低于60分为不满意，记游客非常满意的概率为p．市文旅委对部分游客进行了继续去旅游的意愿调查，若“不再去旅游”记1分，“继续去旅游”记2分，假设每位游客有继续旅游意愿的概率均为p，且这次调查得分恰为n分的概率为n B，求4B；（2）用分层抽样的方法，从这1000名游客中抽取5人，组成咨询小组．若从该小组中抽取E X．2人进行咨询．记2人中非常满意人数为X，求X的分布列和数学期望()【预测题6】在某工厂年度技术工人团体技能大赛中，有甲､乙两个团体进行比赛，比赛分两轮，每轮比赛必有胜负，没有平局．第一轮比赛甲团体获胜的概率为0.6，第二轮比赛乙团体获胜的概率为0.7，第一轮获胜团体有奖金5000元，第二轮获胜团体有奖金8000元，未获胜团体每轮有1000元鼓励奖金．（1）求甲团体至少胜一轮的概率；（2）记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为X元，求X的分布列及其数学期望．【预测题7】2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议．对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺､不可违．某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄频率分布直方图如图所示．（1）求这100名受访群众年龄的平均数x 和方差2s (同一组数据用该区间的中点值代替)．（2）由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为x ，2σ近似为2s ． ①求()33.246.6P X <<；②从年龄在[)45,55，[)65,75的受访群众中，按分层抽样的方法，抽出7人参加访谈节目录制，再从这7人中随机抽出3人作为代表发言，设这3位发言人的年龄落在[)45,55内的人数为Y ，求变量Y 的分布列和数学期望．参考数据：取18013.4=，若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=．【预测题8】品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出n （*n N ∈且4n ≥）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序．这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以1a 、2a 、3a 、、n a 表示第一次排序时被排在1、2、3、、n 的n 种酒在第二次排序时的序号，并令123123n X a a a n a =-+-+-+⋅⋅⋅+-，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．（1）证明：无论n 取何值，X 的可能取值都为非负偶数；（2）取4n =，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，1a 、2a 、3a 、4a 等可能地为1、2、3、4的各种排列，且各轮测试相互独立． ①求X 的分布列和数学期望；②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X ≤，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能．求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性．【预测题9】为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员从某市随机选取20000名志愿者，并将该疫苗注射到这些人体内，独立环境下试验一段时间后检测这些人的某项医学指标值，统计得到如表频率分布表：（1）根据频率分布表，估计20000名志愿者的该项医学指标平均值x (同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；（2）若认为注射该疫苗的人群的此项医学指标值X 服从正态分布()2,N μσ，用（1）中的平均值x 近似代替μ，且(1417.76)0.5P X ≤<=，且首次注射疫苗的人该项医学指标值不低于14时，则认定其体内已经产生抗体；现从该市随机抽取3人进行第一次疫苗注射，求能产生抗体的人数ξ的分布列与期望．【预测题10】城市大气中总悬浮颗粒物(简称TSP )是影响城市空气质量的首要污染物，我国的《环境空气质量标准》规定，TSP 日平均浓度(单位：3μg/m )在[]0,120时为一级水平，在(]120,300时为二级水平．为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重TSP 日平均浓度的扬尘污染刻不容缓．扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持．某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统，实现了依据扬尘监测仪的TSP 日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如下表：根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TSP 日平均浓度X 不高于380μg/m ，3120μg/m ，3200μg/m ，3300μg/m 的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95．（1）若单个喷雾头能实现有效降尘38m ，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数．（2）若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间TSP 日平均浓度X 不高于380μg/m ，3120μg/m ，3200μg/m ，3300μg/m 的概率均相应提升了5%，求：①该工地在未来10天中至少有2天TSP 日平均浓度能达到一级水平的概率；(100.60.006≈，结果精确到0.001)②设单个喷雾头出水量一样，如果TSP 日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平时启用所有喷雾头150个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由．【预测题11】2017年国家发改委､住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收､用率要达35%以上．某市在实施垃圾分类之前，对该市大型社区(即人口数量在1万左右)一天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查．已知该市这样的大型社区有200个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图．现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区．（1）根据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值x (四舍五入精确到整数)；（2）若当天该市这类大型社区的垃圾量()~,9X N μ，其中μ近似为（1）中的样本平均值x ，请根据X 的分布估计这200个社区中“超标”社区的个数(四舍五入精确到整数)；（3）市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，现从这些社区中随机抽取3个进行重点监控，设Y 为其中当天垃圾量至少为16吨的社区个数，求Y 的分布列与数学期望．附：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈；(33)0.9974P X μσμσ-<≤+≈．【预测题12】到2020年年底，经过全党全国各族人民共同努力，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12．8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．在接下来的5年过渡期，为巩固脱贫成果，将继续实行“四个不摘”，某市工作小组在2021年继续为已脱贫群众的生产生活进行帮扶，工作小组经过多方考察，引进了一种新的经济农作物，并指导一批农户于2021年初开始种植．已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，由于天气、市场经济等因素的影响，近几年该经济农作物的亩产量与每千克售价具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设2021年当地某农户种植一亩该经济农作物的纯收入为X元，求X的分布列；（2）已知当地某农户在2021年初种植了3亩该经济农作物，假设各亩地的产量相互独立，求该农户在2021年通过种植该经济农作物所获得的纯收入超过12000元的概率．（注：纯收入=种植收入-种植成本）【预测题13】第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京举行实践“绿色奥运、科技奥运、人文奥运”理念，举办一届“有特色、高水平”的奥运会，是中国和北京的庄严承诺，也是全世界的共同期待．为宣传北京冬奥会，激发人们参与冬奥会的热情，某市开展了关于冬奥知识的有奖问答．从参与的人中随机抽取100人，得分情况如下：（1）得分在80分以上称为“优秀成绩”，从抽取的100人中任取2人，记“优秀成绩”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）由直方图可以认为，问卷成绩值Y 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差．①求(77.289.4)P Y <<；②用所抽取100人样本的成绩去估计城市总体，从城市总人口中随机抽出2000人，记Z 表示这2000人中分数值位于区间(77.2,89.4)的人数，利用①的结果求()E Z ．参考数据：12.2≈，12.1≈，()0.6826P Y μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Y μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Y μσμσ-<<+=．【预测题14】某市在司法知识宣传周活动中，举办了一场司法知识网上答题考试，要求本市所有机关、企事业单位工作人员均要参加考试，试题满分为100分，考试成绩大于等于90分的为优秀．考试结束后，组织部门从所有参加考试的人员中随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64．假设该市机关、企事业单位工作人员有20万人，考试成绩ξ服从正态分布()82,64N ．（1）估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有多少万人？（2）该市组织部门为调动机关、企事业单位工作人员学习司法知识的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加考试者，均可参与网上“抽奖赢手机流量”活动，并且成绩优秀者可有两次抽奖机会，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数()10,11,,99，若产生的两位数的数字相同，则可获赠手机流量5G ，否则获赠手机流量1G ．假设参加考试的所有人均参加了抽奖活动，试估计此次抽奖活动赠予的手机流量总共有多少G ？参考数据：若()2,N ξμσ，则()0.68P μσξμσ-<<+=【预测题15】在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的A ､B 两所同类学校的高三学年分别采用甲､乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校的高三学年各随机抽取60名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为80及以上的学生为优秀学生，经统计得到两所学校抽取的学生中共有72名优秀学生．（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A ､B 两个学校的高三学年随机抽取3名学生，求所抽取的学生中的优秀学生数的分布列和数学期望；（2）已知A 学校抽出的优秀学生占该校抽取总人数的23，填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关．参考公式及数据：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．。

高考复习(数学)专项练习：概率、随机变量及其分布【含答案及解析】

专题突破练18 概率、随机变量及其分布一、单项选择题1.(2021·湖南师大附中月考)电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关.某品牌的电视机的显像管开关了10 000次还能继续使用的概率是0.8,开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.6,则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( )A.0.20B.0.48C.0.60D.0.752.(2021·江苏泰州考前模拟)马林·梅森(Marin Mersenne,1588—1648)是17世纪法国数学家.他在欧几里得、费马等人研究的基础上深入地研究了2p -1型的数.人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2p -1(其中p 是素数)的素数,称为梅森素数.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,至少有一个为梅森素数的概率是( )A.37B.512C.1328D.19553.(2021·新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、填空题4.为研究如何提高大气污染监控预警能力,某学校兴趣小组的成员设计了一套大气污染检测预警系统.该系统设置了三个控制元件,三个元件T 1,T 2,T 3正常工作的概率分别为12,34,34,将T 2,T 3两个元件并联后再和T 1串联接入电路,如图所示,则该预警系统的可靠性是 .5.(2021·河北衡水模拟)已知甲、乙、丙三位选手参加某次射击比赛,比赛规则如下:①每场比赛有两位选手参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的选手与未参加此场比赛的选手进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一位选手首先获胜两场,则本次比赛结束,该选手获得此次射击比赛第一名.若在每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,且甲与乙先参加比赛,则甲获得第一名的概率为 . 三、解答题6.(2021·江苏新高考基地学校联考)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹,产于江苏苏州,蟹身青壳白肚,体大膘肥,肉质膏腻,营养丰富,深受消费者喜爱.某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹,随机抽取了50只统计其重量,得到的结果如下表所示:(1)试用组中值来估计该批大闸蟹有多少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只,记重量在区间[260,280]内的大闸蟹数量为X,求X 的概率分布列和数学期望.7.(2021·福建漳州模拟)随着5G通信技术的发展成熟,移动互联网短视频变得越来越普及,人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台,为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频,会对创作者上传的短视频进行审核,通过审核后的短视频,会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后,先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核,短视频审核通过的概率为35,通过智能机器人审核后,进入第二阶段的人工审核,人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核,同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12,若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过,则该短视频获得重点分发推荐.(1)某创作者上传一条短视频,求该短视频获得重点分发推荐的概率;(2)若某创作者一次性上传3条短视频作品,求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.专题突破练18概率、随机变量及其分布1.D解析记事件A:电视机的显像管开关了10 000次还能继续使用,记事件B:电视机的显像管开关了15 000次后还能继续使用,则P(AB)=0.6,P(A)=0.8,所以,已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.8=0.75.2.C 解析可知不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,其中梅森素数有3,7,共2个,则在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数共有C 82=28种,其中至少有一个为梅森素数有C 21C 61+C 22=13种,所以至少有一个为梅森素数的概率是P=1328. 3.B 解析由已知得P (甲)=16,P (乙)=16,P (丙)=56×6=536,P (丁)=66×6=16,P (甲丙)=0,P (甲丁)=16×6=136,P (乙丙)=16×6=136,P (丙丁)=0.由于P (甲丁)=P (甲)·P (丁)=136,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故选B . 4.1532 解析 T 2,T 3并联电路正常工作概率为1-1-34×(1-34)=1516,故电路不发生故障的概率为12×1516=1532.5.2572 解析因为每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,所以甲选手获胜的概率是P (A )=13×34+13×(1-34)×12×13+(1-13)×(1-12)×34×13=2572.6.解 (1)50只大闸蟹的平均重量为150×(170×3+190×2+210×15+230×20+250×7+270×3)=224,所以水产品超市购进的100千克大闸蟹只数约为100 000÷224≈446.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,概率分别为:P (X=0)=C 30C 74C 104=16,P (X=1)=C 31C 73C 104=12, P (X=2)=C 32C 72C 104=310,P (X=3)=C 33C 71C 104=130.分布列为:所以E (X )=0×16+1×12+2×310+3×130=65.7.解 (1)设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A ,则P (A )=35×C 32×(12)2×(1-12)1+C 33×(12)3×(1-12)0=310. (2)设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X ,X 可取0,1,2,3.则X~B (3,310),P (X=0)=C 30×(310)0×(1-310)3=3431 000, P (X=1)=C 31×(310)1×(1-310)2=4411 000, P (X=2)=C 32×(310)2×(1-310)1=1891 000, P (X=3)=C 33×(310)3×(1-310)0=271 000, 随机变量X 的分布列如下:E (X )=0×3431 000+1×4411 000+2×1891 000+3×271 000=910.[或E (X )=3×310=910]。

高中数学随机变量及其分布讲义及练习

随机变量及其分布要求层次重难点取有限值的离散型随机变量及其分布列C⑴理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．⑵理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．超几何分布A（一）知识内容1．运用计数原理，求随机事件的概率，为求随机变量的分布列打下基础．2．涉及到的主要是古典概型的概率求法，与概率初步相承接．对于直接列出基本事件空间求概率的题型不再收集，属于概率初步中的内容．（二）典例分析：【例1】甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，知识框架例题精讲高考要求离散型随机变量二点分布超几何分布二项分布离散型随机变量的分布列板块一：随机事件的概率随机变量及其分布把乙猜的数字记为b，且{0129}，，，，，，若||1a b∈-≤，则称甲乙“心有灵犀”．现任意a b找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为．【例2】从装有3个白球，4个红球的箱子中，把球一个个取出来，到第五个恰好白球全部取出来的概率是_____．【例3】从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为_____．【例4】某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是______．【例5】（09上海春）一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘．若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为______．【例6】6女，4男中随机选出3位参加测验．每位女同学能通过测验的概率为0.8，每位男同学能通过测验的概率为0.6．试求：⑴选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．【例7】（06江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a p，的值分别为（）A ．510521a p ==， B ．410521a p ==， C ．521021a p ==， D ．421021a p ==，【例8】（07四川）已知一组抛物线2112y ax bx =++，其中a 为2468，，，中任取的一个数，b 为1357，，，中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是（）A ．112B ．760C ．625D ．516【例9】（08湖南）对有(4)n n ≥个元素的总体{}12n ，，，进行抽样，先将总体分成两个子总体{}12m ，，，和{}12m m n ++，，，（m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ；所有(1)ij P i j n <≤≤的和等于．【例10】（2009江西10）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（）A ．3181B ．3381C ．4881D ．5081【例11】（2009重庆6）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A ．891B ．2591C ．4891D ．6091【例12】（2009安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A ．175B ．275C ．375D ．475【例13】（2009安徽10）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（）A ．1B ．12C ．13D ．0【例14】在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为_______．【例15】右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（）A ．445B ．136C ．415D ．815【例16】已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为（）A ．2140B ．1740C ．310D ．7120【例17】（2006上海）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是______（结果用分数表示）．【例18】某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（）A．120B．110C．25D．35【例19】从数字12345，，，，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A．19125B．18125C．16125D．13125【例20】（2007年全国II卷文）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．⑴求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；⑵若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B．【例21】（2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球．由甲，乙两袋中各任取2个球．⑴若3n=，求取到的4个球全是红球的概率；⑵若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n．【例22】（2009江苏23）对于正整数2n ≥，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组()a b ，的组数，其中{}12a b n ∈，，，，（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{}12a b n ∈，，，，（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率．⑴求2n T 及2n P ；⑵求证：对任意正整数2n ≥，有11n P n>-．【例23】某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是12，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为1233，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为3255，；记第(*)n n ∈N 次按下按钮后出现红球的概率为n P ． ⑴求2P 的值；⑵当2n n ∈N ，≥时，求用1n P -表示n P 的表达式； ⑶求n P 关于n 的表达式．（一）知识内容1．离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n pX 的分布列．板块二：离散型随机变量及其分布列（二）典例分析：【例1】以下随机变量中，不是离散型随机变量的是：⑴ 某城市一天之内发生的火警次数X ；⑵ 某城市一天之内的温度Y ．【例2】写出下列各随机变量可能的取值．⑴ 小明要去北京旅游，可能乘火车、汽车，也可能乘飞机，他的旅费分别为100元、260元和600 元，记他的旅费为X ；⑵ 正方体的骰子，各面分别刻着123456，，，，，，随意掷两次，所得的点数之和X ．【例3】若()1P X n a =-≤，()1m P X b =-≥，其中m n <，则()P m X n ≤≤等于（）A ．(1)(1)a b --B ．1(1)a b --C ．1()a b -+D ．1(1)b a --【例4】甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至有人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且每次不受其他次投篮结果的影响，甲投篮的次数为X ，若甲先投，则()P X k ==_________．【例5】某12人的兴趣小组中，有5名三好生，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中三好生的人数，则(3)P X ==________．【例6】设随机变量的分布列如下：k【例7】设随机变量X 等可能的取值123n ，，，，，如果(4)0.3P X <=，那么（） A ．3n = B ．4n = C ．9n = D ．10n =【例8】设随机变量X 的概率分布列为2()1233iP X i a i ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，，则a 的值是（） A ．1738 B ．2738 C ．1719 D ．2719【例9】已知随机变量X 的分布列为()(123)2iP X i i a===，，，则(2)P X == ．【例10】设随机变量X 的概率分布是()5kaP X k ==，a 为常数，123k =，，，则a =（） A ．2531 B ．3125 C ．12531 D ．31125【例11】设随机变量ξ所有可能取值为1234，，，，且已知概率()P k ξ=与k 成正比，求ξ的分布．【例12】设随机变量X 的概率分布列为()1262k cP X k k ===，，，，，其中c 为常数，则(2)P X ≤的值为（）A ．34B ．1621C ．6364D ．6463【例13】设随机变量X 的分布列为()()123k P X k k n λ===，，，，，，求λ的取值．【例14】已知(12)(1)k p k k k λ==+，，为离散型随机变量的概率分布，求λ的取值．【例15】随机变量X 的分布列()(1234)(1)p P X k k k k ===+，，，，p 为常数，则1522P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．34C ．45D ．56【例16】（2008年北京卷理）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．⑴求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；⑵求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；⑶设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．【例17】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：⑴记甲击中目标的次数为ξ，ξ的概率分布及数学期望；⑵乙至多击中目标2次的概率；⑶甲恰好比乙多击中目标2次的概率．【例18】甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记国徽面（记为正面）朝上的次数为随机变量X；乙用一枚硬币掷2次，记国徽面（记为正面）朝上的次数为随机变量Y．⑴求随机变量X与Y的分布列；⑵求甲得到的正面朝上的次数不少于1的概率．⑶求甲与乙得到的正面朝上的次数之和为3的概率；⑷求甲得到的正面朝上的次数大于乙的概率．【例19】一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得1-分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列，并求出所得分数不为0的概率．【例20】一袋中装有编号为123456，，，，，的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X表示取出的最大号码．⑴求X的概率分布；⑵求4X 的概率．【例21】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止所需要的取球次数．⑴求袋中所有的白球的个数；⑵求随机变量X的概率分布；⑶求甲取到白球的概率．【例22】一个袋中有5个球，编号为12345，，，，，在其中同时取3个球，以X表示取出的3个球中的最大号码，试求X的概率分布列以及最大号码不小于4的概率．（一）知识内容1．如果随机变量X 的分布列为 X 1 0P p q其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0P 0.8 0.2两点分布又称01-为伯努利分布．2．超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C mn m M N M nNP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．（二）典例分析：【例23】某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为____．【例24】在15个村庄中有6个村庄交通不便，现从中任意选取10个村庄，其中有X 个村庄交通不便，下列概率中等于46691015C C C 的是（） A ．(4)P X = B ．(4)P X ≤ C ．(6)P X =D ．(6)P X ≤板块三：二点分布与超几何分布【例25】4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选三人中女生人数，则所选三人中女生人数1ξ≤的概率为（）．A．15B．25C．35D．45【例26】袋中装有2个5分硬币，3个二分硬币，5个一分硬币，任意抓取3个，则总面值超过1角的概率是（）A．115B．215C．1315D．1415【例27】从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇数的概率是______【例28】从一副扑克（无王牌）中随意抽取3张，其中至少有一张是黑桃的概率_______（保留四位有效数字）【例29】袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出的3个球中红球个数X的概率分布．【例30】袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．⑴摸出2个或3个白球；⑵至少摸出一个黑球．【例31】一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率．⑴10件产品中至多有一件废品；⑵10件产品中至少有一件废品．【例32】（2009四川文）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．⑴在该团中随即采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；⑵在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．【例33】已知10件产品中有3件是次品．⑴任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；⑵为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？【例34】人类血型有A型，B型，AB型，O型，四种常见血型，现在有100人，其中是A型血的有40人，B型血的有20人，AB型血的有10人，O型血的有30人，从这100人中随机选出两人，问血型不同的概率是多少？【例35】交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，所得奖励是所抽2球的钱数之和，求摸奖人至少不赔的概率．【例36】一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球，⑴红球的个数不比白球少的概率是多少？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，使总分不少于7分的概率是多少？【例37】已知甲盒内有大小相同的1个红球、1个绿球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球、1个绿球和3个黑球，现从甲乙两个盒子内各任取2球．⑴求取出的4个球中恰有1个红球的概率；⑵求取出的4个球中红球的个数不超过2个的概率．。

高考数学总复习优编增分练：高考附加题加分练八)随机变量及其概率分布

(八)随机变量及其概率分布1．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512.现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． (1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的概率分布及数学期望E (X )．解 (1)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C 2nC 29，由题意知C 2n C 29＝512，化简得n 2－n －30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，故袋中原有白球的个数为6. (2)由题意，X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝69＝23，P (X ＝2)＝3×69×8＝14， P (X ＝3)＝3×2×69×8×7＝114，P (X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.所以取球次数X 的概率分布为所求数学期望E (X )＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.2．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测．在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2)在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值范围．解 (1)所求概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12·12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23⎝ ⎛⎭⎪⎫12·12＝13.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝⎛⎭⎪⎫23·23P 22＝89P 2－49P 22. 而ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ，由E (ξ)≥5知，⎝ ⎛⎭⎪⎫89P 2－49P 22·12≥5，解得34≤P 2≤54.又0≤P 2≤1，∴34≤P 2≤1.3．(2018·南通调研)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出m 个． (1)若m ＝1，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；(2)若m ＝2，记所取子集的元素个数之差的绝对值为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)．解 (1)当m ＝1时，记事件A ：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”．则集合{1,2,3,4,5}的非空子集数为25－1＝31，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23－1＝7，全为偶数的子集数为22－1＝3，所以P (A )＝31－(7＋3)31＝2131.(2)当m ＝2时，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (ξ＝0)＝C 2C 15＋C 2C 25＋C 2C 35＋C 2C 45C 231＝110465＝2293， P (ξ＝1)＝C 15C 25＋C 25C 35＋C 35C 45＋C 45C 55C 231＝205465＝4193， P (ξ＝2)＝C 15C 35＋C 25C 45＋C 35C 55C 231＝110465＝2293， P (ξ＝3)＝C 15C 45＋C 25C 55C 231＝35465＝793， P (ξ＝4)＝C 15C 55C 231＝5465＝193，所以ξ的概率分布为所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×2293＋1×4193＋2×2293＋3×793＋4×193＝11093.4．(2018·启东模拟)如图，已知正六棱锥S －ABCDEF 的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．(1)求概率P (X ＝3)的值；(2)求X 的概率分布，并求其数学期望E (X )．解 (1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 37＝35(种)取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个．因此P (X ＝3)＝6C 37＝635.(2)由题意知，X 的可能取值为3，2，6，23，3 3. 其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；其中X ＝2的三角形有两类，如△SAD (3个)，△SAB (6个)，共有9个；其中X ＝6的三角形如△SBD ，这类三角形共有6个；其中X ＝23的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个；其中X ＝33的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个．因此P (X ＝3)＝635，P (X ＝2)＝935，P (X ＝6)＝635，P (X ＝23)＝1235，P (X ＝33)＝235.所以随机变量X 的概率分布为所求数学期望E (X )＝3×635＋2×935＋6×635＋23×1235＋33×235＝363＋66＋1835.。

数学-随机变量及其分布试题版

第七章随机变量及其分布目录第七章随机变量及其分布 27.1条件概率与全概率公式 27.1.1条件概率 27.1.2全概率公式 3习题7.1 47.2离散型随机变量及其分布列 5习题7.2 67.3离散型随机变量的数字特征 77.3.1离散型随机变量的均值 77.3.2离散型随机变量的方差 9习题7.3 107.4二项分布与超几何分布 117.4.1二项分布 117.4.2超几何分布 13习题7.4 147.5正态分布 15习题7.5 16复习参考题7 17随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率思考原理一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B∣A)=P(AB) P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率(conditional probability ).思考原理由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B∣A)我们称上式为概率的乘法公式(multiplication formula).1在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：(1)第1次抽到代数题目第2次抽到几何题的概率；(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.2已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？3银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.练习1.设A⊆B，且P(A)=0.3，P(B)=0.6.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出P(B∣A)和P(A∣B)的值再由条件概率公式进行验证.2.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率.3.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：(1)在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；(2)两次都摸到白球的概率.7.1.2全概率公式探究公式一般地,设A 1,A 2,⋯,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω,且P A i >0,i =1,2,⋯,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,有P (B )=ni =1 P A i P B ∣A i .我们称上面的公式为全概率公式(t otalprobability formula ).4某学校有A ，B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.6；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率.5有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第式£=1，2，3)台车床加工的概率.探究公式贝叶斯公式(Bayes formula )：设A 1,A 2,⋯,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω,且P A i >0,i =1,2,⋯,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T .Bayes ,1702-1761)发现的,它用来描述两个条件概率之间的关系.P (B )>0,有P A i ∣B =P A i P B ∣A iP (B )=P A i P B ∣A ink =1P A k P B ∣A k,i =1,2,⋯,n6在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率；(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.练习1.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.2.两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件.(1)求这件产品是合格品的概率；(2)已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.习题7.1复习巩固1.为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校2000名学生，数据如下表所示.男女合计色盲60262非色盲11407981938合计12008002000从这2000人中随机选择1个人.(1)已知选到的是男生，求他患色盲的概率；(2)已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率.2.从人群中随机选出1人，设B=“选出的人患有心脏病”，C=“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，请你判断P(B)和P(C)的大小，并说明理由.3.甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率.4.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.5.在A、B、C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%、5%、4%的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一个人.(1)求这个人患流感的概率；(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.6.已知P(A)>0，P(B)>0，P(B∣A)=P(B)，证明：P(A∣B)=P(A).综合运用7.一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率.8.在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD、Dd、dd，其中D为显性基因，d为隐性基因，且这三种基因型的比为1:2:1.如果在子二代中任意选取2颗豌豆作为父本杂交，那么子三代中基因型为dd的概率是多大？9.证明条件概率的性质(1)和(2).拓广探索10.证明：当P(AB)>0时，P(ABC)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB).据此你能发现计算P A1A2⋅⋅⋅A n的公式吗？7.2离散型随机变量及其分布列思考原理一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X (ω)与之对应,我们称X 为随机变量(random var iable ).思考原理可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量(discrete random var iable ).通常用大写英文字母表示随机变量,例如X ,Y ,Z ;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x ,y ,z .思考原理一般地,设离散型随机变量X 的可能取值为x 1,x 2,⋯,x n ,我们称X 取每一个值x i 的概率P X =x i =p i ,i =1,2,⋯,n为X 的概率分布列(list of probability distribution ),简称分布列.探究公式对于只有两个可能结果的随机试验,用A 表示“成功”,A表示“失败”,定义X =1,A 发生,0,A发生.如果P (A )=p ,则P (A)=1-p ,那么X 的分布列如表7.2-3所示.表7.2-3X 01P1-pp我们称X 服从两点分布(two -po int distribution )或0-1分布.1一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义X =1,抽到次品,0,抽到正品. 求X 的分布列.2某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表7.2-4所示.表7.2-4等级不及格及格中等良优分数12345人数2050604030从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X 的分布列，以及P (X ≥4).3一批笔记本电脑共有10台，其中A 品牌3台，B 品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A 品牌台数的分布列.练习1.举出两个离散型随机变量的例子．2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)抛掷2枚骰子，所得点数之和；(2)某足球队在5次点球中射进的球数；(3)任意抽取一瓶标有1500mL的饮料，其实际含量与规定含量之差．3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的分布列．4.抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列．习题7.2复习巩固1.张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯．(1)写出随机试验的样本空间；(2)设他可能遇到红灯的次数为X，写出X的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件．2.某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为：X0123P0.20.30.150.45试说明该同学的计算结果是否正确．3.在某项体能测试中，跑1km时间不超过4min为优秀．某位同学跑1km所花费的时间X是离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？4.某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为：X678910P0.050.150.250.350.20如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少？综合运用5.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．6.某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：(1)李明在一年内参加考试次数X的分布列；(2)李明在一年内领到资格证书的概率．7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值探究公式一般地,若离散型随机变量X的分布列如表7.3-2所示,表7.3-2X x1x2⋯x nP p1p2⋯p n则称E(X)=x1p1+x2p2+⋯+x n p nn=x i p ii=1为随机变量X的均值(m ean)或数学期望(mathematical exp ectation),数学期望简称期望.1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8．那么他罚球1次的得分X的均值是多少？2抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值．3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示．表7.3-3歌曲A B：C 猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．探究公式一般地,下面的结论成立:E(aX+b)=aE(X)+b.4根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60600元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1运走设备，搬运费为3800元；方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；方案3不采取措施．工地的领导该如何决策呢？练习1.已知随机变量X的分布列为：X12345P0.10.30.40.10.1(1)求E(X)；(2)求E(3X+2)．2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，求得分X的均值．3.甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为X1，X2其分布列分别为：甲机床次品数的分布列X10123P0.40.30.20.1乙机床次品数的分布列X2012P0.30.50.2哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义？7.3.2离散型随机变量的方差探究公式我们称D (X )=x 1-E (X ) 2p 1+x 2-E (X ) 2p 2+⋯+x n -E (X ) 2p n=ni =1 x i -E (X ) 2p i为随机变量X 的方差(va r iance ),有时也记为V ar (X ),并称D (X )为随机变量X 的标准差(s ta n dard deviation ),记为σ(X ).探究公式在方差的计算中,利用下面的结论经常可以使计算简化.D (X )=ni =1 x i -E (X ) 2p i=n i =1 x 2i -2E (X )x i +(E (X ))2p i=ni =1x 2i p i -2E (X )ni =1x i p i +(E (X ))2ni =1p i=ni =1x 2i p i -(E (X ))2.5抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X 的方差．6投资A ，B 两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示．表7.3-9股票A 收益的分布列收益X /元-102概率0.10.30.6表7.3-10股票B 收益的分布列收益Y /元012概率0.30.40.3(1)投资哪种股票的期望收益大？(2)投资哪种股票的风险较高？练习1.已知随机变量X 的分布列为：X 1234P0.20.30.40.1求D (X )和σ(2X +7)．2.若随机变量X 满足P (X =c )=1，其中c 为常数，求D (X )．3.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差(精确到1cm )X 和Y 的分布列如下：甲班的目测误差分布列X-2-1012P0.10.20.40.20.1乙班的目测误差分布列Y-2-1012P0.050.150.60.150.05先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断．!习题7.3复习巩固1.某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况．按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润-300元．据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1.求每部手机获利的均值和方差．2.现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张．1张彩票可能中奖金额的均值是多少元？3.随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=a，P(X=2)=b，若E(X)=1，求a和b．4.在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项正确．如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25．请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值为0．5.证明：D(aX+b)=a2D(X)．综合运用6.有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元，规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？7.甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为：甲品牌的走时误差分布列X-101P0.10.80.1乙品牌的走时误差分布列Y-2-1012P0.10.20.40.20.1试比较甲、乙两种品牌手表的性能．拓广探索8.设E(X)=μ，a是不等于μ的常数，探究X相对于μ的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小，并说明结论的意义．7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布思考原理我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials ).思考原理我们将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验.显然,n 重伯努利试验具有如下共同特征：(1)同一个伯努利试验重复做n 次;(2)各次试验的结果相互独立.探究公式一般地,在n 重伯努利试验中,设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1),用X 表示事件A 发生的次数,则X 的分布列为P (X =k )=C k n p k (1-p )n -k ,k =0,1,2,⋯,n如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,则称随机变量X 服从二项分布(binomialdistribution ),记作X ∼B (n ,p ).1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在0.4,0.6 内的概率.2如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，⋯，10，用X 表示小球最后落入格子的号码，求X 的分布列.3甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？归纳一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下:(1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;(2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X∼B(n,p).探究公式一般地,可以证明:如果X∼B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).练习1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.(1)求X的分布列；(2)E(X)=，D(X)=.2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：(1)没有鸡感染病毒的概率；(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.3.判断下列表述正确与否，并说明理由：(1)12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12,0.25)；(2)100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6,0.1).4.举出两个服从二项分布的随机变量的例子.7.4.2超几何分布探究公式一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X 表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=C k M C n-k N-kC n N,k=m,m+1,m+2,⋯,r其中n,N,M∈N∗,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布(hypergeometric distribution).探究公式随机变量X服从超几何分布，则E(X)=nM N4从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.5一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.6一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率：练习1.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.2.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率.3.举出两个服从超几何分布的随机变量的例子.习题7.4复习巩固1.抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差.2.若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大.3.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.(1)质点回到原点；(2)质点位于4的位置.4.从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有2张A牌的概率(精确到0.00001).综合运用5.某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)：(1)恰有8次击中目标的概率；(2)至少有8次击中目标的概率.6.有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率(精确到0.001).7.一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列.(1)假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；(2)这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%.拓广探索8.某药厂研制一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为90%.随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑药厂的宣传.7.5正态分布思考原理取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量(continuous random var iable).思考原理对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如图7.5-4所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normal distribution ),记为X∼Nμ,σ2.特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.思考原理由X的密度函数及图象可以发现,正态曲线还有以下特点:(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(2)曲线在x=μ处达到峰值1;σ2π(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.探究公式若X∼Nμ,σ2,则E(X)=μ,D(X)=σ2.1李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布．(1)估计X，Y的分布中的参数；(2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；(3)如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由．练习1.设随机变量X~N(0,1)，则X的密度函数为，P X≤0≈，P X ≤1≈，P X≤1≈，P(X>1)≈．(精确到0.0001．)2.设随机变量X~N0,22，随机变量Y~N0,32，画出分布密度曲线草图，并指出P(X≤-2)与P(X≤2)的关系，以及P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系．3.举出两个服从正态分布的随机变量的例子．习题7.5复习巩固1.对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X服从正态分布N72,82，女生成绩Y服从正态分布N74,62．请你从不同角度比较男、女生的考试成绩．2.某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N170,52，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率：(1)165<X≤175；(2)X≤165；(3)X>175．3.若X~Nμ,σ2，则X位于区域[μ,μ+σ]内的概率是多少？综合运用4.袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率．复习参考题7复习巩固1.举例说明P(B)与P(B∣A)没有确定的大小关系．2.抛掷两枚质地均匀的骰子，求：(1)两个点数都出现偶数的概率；(2)已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率．3.假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件．(1)求取出的零件是次品的概率；(2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率．4.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示：X012P0.361-2q q2求：(1)常数q的值；(2)E(X)和D(X)．5.已知随机变量X取可能的值1，2，⋯，n是等可能的，且E(X)=10，求n的值．6.已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现存n门大炮同时对某一目标各射击一次．(1)当n=10时，求恰好击中目标3次的概率(精确到0.001)；(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？综合运用7.长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率．8.某商场要在国庆节开展促销活动，促销活动可以在商场内举行，也可以在商场外举行．统计资料表明，每年国庆节商场内的促销活动可获得利润2万元；商场外的促销活动，如果不遇到有雨天气可获得利润8万元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3万元．9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是40%，商场应该选择哪种促销方式？9.一份某种意外伤害保险费为20元，保险金额为50万元．某城市的一家保险公司一年能销售10万份保单，而需要赔付的概率为10-5．利用计算工具求(精确到0.0001)：(1)这家保险公司亏本的概率；(2)这家保险公司一年内获利不少于100万元的概率．拓广探索10.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率．11.某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就。