高一数学下期末试卷附有答案
新高一数学下期末试卷(含答案)
新高一数学下期末试卷(含答案)新高一数学下期末试卷（含答案）一、选择题1.已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=b，则A选2.2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=5选3.3.已知三角形ABC中，A为60度，c=2，cosA=1/2，则ABC为有一个内角为30°的等腰三角形选D。
4.已知对任意实数x、y，不等式(x+y)/(1+xy)≥9恒成立，则实数a的最小值为2选D。
5.已知ABC为等边三角形，AB=2，设P，Q满足AP=λAB，AQ=(1-λ)AC（λ∈R），若BQ·CP=-2，则λ=1/2选A。
6.已知f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ)，ω>π/2，f(x)是奇函数，直线y=2与函数f(x)的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π/2，则f(x)在[π/3.π/8]上单调递减选B。
7.已知函数y=f(x)定义域是[-2,3]，则y=f(2x-1)的定义域是[-1,2]选B。
8.若α,β均为锐角，sinα=2/5，sin(α+β)=3/5，则cosβ=4/5或-3/5选C。
9.要得到函数y=2/3cos2x+1/3的图像，只需将函数y=2sin2x的图像向左平移π/4个单位选C。
10.已知sin(π/3-α)=-1/2，cos(2α+π/3)=2/3，则cosα=7/8选D。
分析】详解】1) 当 $a=1$ 时，$f(x)=-x^2+x+4$，$g(x)=|x+1|+|x-1|$。
因为 $f(x)$ 是一个开口向下的二次函数，所以其图像在顶点处取得最大值。
顶点横坐标为 $x=\frac{-b}{2a}=-\frac{1}{2}$，纵坐标为 $f(-\frac{1}{2})=\frac{15}{4}$。
而 $g(x)$ 的图像是由两个 V 形图像组成的，分别在 $x=-1$ 和 $x=1$ 处取得最小值$0$。
江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含解析)
江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若复数是纯虚数,则实数a 的值为( )A.0B.1C.-1D.2．下列特征数中,刻画一组数据离散程度的是( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差3．已知圆锥的底面半径和高均为1,则该圆锥的侧面积为( )A.C. D.4．已知向量,,若,则( )5．一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子,从盘中任选2个,则选中的水果品种相同的概率为( )6．若( )A.7．某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度,在旗杆底部O 的正东方向A 处,测得旗杆顶端P 的仰角为,在A 的南偏西方向上的B 处,测得P 的仰角为（O ,A ,B在同一水平面内）( )A.10mB.14mC.17mD.20mA. B. C. D.二、多项选择题9．记的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．下列命题为真命题的是( )()21i z a a =+-1±π2π()2,4a =-()1,b x =//a b||b = πcos 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭π26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭60 30 45 ≈ 1.7≈tan tan B C =+∞⎫+⎪⎪⎭⎫+∞⎪⎪⎭()1,+∞()2,+∞ABC △A.若,则为直角三角形B.若,则为等腰三角形C.若,则为等腰三角形为等腰直角三角形10．已知a,b,c为三条直线,,,为三个平面．下列命题为真命题的是( ) A.若,,则 B.若,,,则C.若,,则D.若,,,则11．一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球（标号为1和2）,2个白色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”,“两个球标号的和为奇数”,“两个球标号都不小于2”,则( )A.A与B互斥B.A与C相互独立C. D.三、填空题12．样本数据7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位数为______________．13．已知向量,,向量在,则______________．四、双空题14．以棱长为2的正方体的六个面为底面,分别向外作形状相同的正四棱锥,得到一个多数为____________．五、解答题15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,．（1）求B;（2）若,求．16．如图,在四棱锥中,底面是菱形,平面,E,F分别是棱,的中点．222sin sin sinA B C+=ABC△sin sina Ab B=ABC△cos cosa Ab B=ABC△cos Bb==ABCαβγa c⊥b c⊥//a b//aαaβ⊂bαβ=//a baα⊥aβ⊂αβ⊥αγ⊥βγ⊥aαβ=aγ⊥A=B=C=()()()P AB P AC P A+=()()()()P ABC P A P B P C=a2aba b⋅=ABC△222a c b+=+c=tan CP ABCD-ABCD PA⊥ABCD BC AP（1）证明：;（2）证明：平面．17．某班学生日睡眠时间（单位：h ）频率分布表如下：;（2）用比例分配的分层随机抽样方法,从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人,求2人中至少有1人的日睡眠时间在的概率．18．已知的面积为9,点D 在BC 边上,．（1）若,①证明：;②求AC ;（2）若,求AD 的最小值．19．如图,等腰梯形ABCD 为圆台的轴截面,E ,F 分别为上下底面圆周上的点,且B ,E ,D ,F 四点共面．的PC BD ⊥//EF PCD [)7,7.5[]8.5,9[77.5)，ABC △2CD DB =cos BAC ∠=AD DC =sin 2sin ABD BAD ∠=∠AB BC =1OO（1）证明：;（2）已知,,四棱锥的体积为3．①求三棱锥的体积;②当母线与下底面所成的角最小时,求二面角的正弦值．//BF DE 2AD =4BC =C BEDF -B ADE -C BF D --参考答案1．答案：A解析：根据题意,复数是纯虚数,所以且,解得.故选：A.2．答案：D解析：平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量,方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量,即刻画一组数据离散程度.故选：D.3．答案：B解析：根据题意圆锥的母线长即可求得．故选：B.4．答案：B解析：因为,所以,即所以,所以所以故选：B.5．答案：C解析：根据题意,设2个苹果分别记为：1和2,3个桃子编号为A ,B ,C ,从盘中任选两个,可得,,,,,,,,,共10种情况．选中的水果品种相同的选法有：,,,有4种．故选：C.6．答案：B()21i z a a =+-0a =210a -≠0a =l ==πrl 侧＝π1S ⨯=侧＝//a b =a b λ()()()()2,4=2,4=1,,x x λλλ⇒--2==24==2x x λλλ--⎧⎧⇒⎨⎨-⎩⎩()1,2b =- ||b ==()1,2()1,A ()1,B ()1,C ()2,A ()2,B ()2,C (),A B (),A C (),B C ()1,2(),A B (),A C (),B C =解析：令,,则令所以故选：B.7．答案：C解析：如图,设米,则米.在中,由题意可得,,由余弦定理可得解得米.故选：C.8．答案：A,所以π3x α=-π2cos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos x =2y α=π22y x =-22ππ21sin 2sin sin 2cos 22cos 1216239y x x x α⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==-==-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OP h =tan 60h OA == tan 45hh ==OAB △60OAB ∠= 2cos cos 60OAB ∠== 17h =≈tan tan B C =+()sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos B C B C B C B C A B C B C B C B C++=+===cos B ==又因为三角形ABC 为锐角三角形,所以所以,故选：A.9．答案：ABD解析：对于A,若,由正弦定理得,所以为直角三角形,故A 正确;对于B,若,由正弦定理得,所以,所以为等腰三角形,故B 正确;对于C,若,由正弦定理得,所以或,即或是等腰或直角三角形,故C 错误;,所以,,即为等腰直角三角形,故D 正确;故选：ABD.10．答案：BCD解析：对于A 选项,令,,若,则一定有,,而在同一平面的a ,b 两条直线可以平行,也可以相交,故A 错误;对于B 选项,这是线面平行的性质定理,故B 正确;对于C 选项,这是面面垂直的判定定理,故C 正确;()πsin sin 13tan cos cos 2A A B A A A ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====+ππ00ππ222πππ6200322A A A A C ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪<-<<<⎪⎪⎩⎩tan A ⎫∈+∞⎪⎪⎭1tan 2A ⎫=++∞⎪⎪⎭222sin sin sin A B C +=222a b c +=C =ABC △sin sin a A b B =22a b =a b =ABC △cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B =12sin 22A B =22A B =22πA B +=A B =A B +=ABC cos B b ==cos cos sin sin B CB C==cos sin B B =cos sin C C =B ==ABC a α⊂b α⊂c α⊥a c ⊥b c ⊥对于D 项,设,,过平面内一点A ,分别作,,如图所示,因为,,,,所以,又因为,所以,同理：,又因为,、,所以,故D 项正确.故选：BCD.11．答案：BC解析：根据题意,从袋中不放回地依次随机摸出2个球,则,,,所以有对于A,,事件A 、B 可以同时发生,则A 、B 不互斥,A 错误;对于B,,A 、C 相互独立,B 正确;对于C,,C 正确;对于D,,D 错误．故选：BC ．12．答案：11解析：首先对数据从小到大进行排序：7,8,10,11,12,13,15,17,共有8个数据m αγ= l βγ= γAB m ⊥AC l ⊥αγ⊥m αγ= AB γ⊂AB m ⊥AB α⊥a α⊂AB a ⊥AC a ⊥AB AC A ⋂=AB AC γ⊂a γ⊥()()()()()(){}Ω=1,21,31,42,32,43,4、、、、、()()()(){}()()()(){}1,31,42,32,4,1,2142334A B ==、、、、,、,、,()()(){}2,32,43,4C =、、()(){}()(){}()(){}1,42,3,2,32,4,2,33,4AB AC BC ===、、、(){}2,3ABC =()46P A ==()46B ==()3162C ==()26P AB ==()26AC ==()16P ABC =()(){}1,42,3AB =、()()()=P A P C P AC ()()()+=P AB P AC P A ()()()()P ABC P A P B P C ≠,所以这个样本数据的第40百分位数为第四位,即11,故答案为：11.13．答案：2解析：由已知向量在,.所以故答案为：2.14．答案：①.16②.12解析：根据题意,如图,以棱长为2正方体的一个面为底面的正四棱锥,取底面中心O ,中点E ,因为平面,平面,所以,又,,,平面,所以平面,则所以,从而该多面体的体积为,考虑到四棱锥的侧面夹角为.故答案为：16;12.15．答案：（1）（2）-2的840% 3.2⨯=a b1,2b a b b b ⋅=,1a b = ()cos ,cos ,2a b a b a b a a b b ⋅==⋅= P ABCD -CD PO ⊥ABCD CD ⊂ABCD CD PO ⊥CD PE ⊥PO PE P = PO PE ⊂POE CD ⊥POE PEO ∠=1h PO ==12226221163V =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=π12=π4B =解析：（1）,故因,所以（2）设,,代入中,,故,解得,由余弦定理得则故.16．答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）连接,交于点O ,由四边形是菱形得,因为平面,平面,所以,因为,,,,平面,所以平面,又平面,所以．（2）连接,,因为四边形是菱形,所以点O 为,中点,又E ,F 分别是棱,的中点,所以,,因为平面,平面,所以平面,同理可得平面,因为,平面,且,为222222a c b a c b +=+⇒+-=222cos 2a c b B ac +-===()0,πB ∈B =a t =c =222a cb +=+2228t t b +=+⋅225b t =b =222cos 2a bc C ab +-===sin C ==sin tan 2cos CC C ===-AC BD ABCD AC BD ⊥PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥PA BD ⊥AC BD ⊥PA AC A = PA AC ⊂PAC BD ⊥PAC PC ⊂PAC BD PC ⊥OE OF ABCD AC BD BC AP //FO PC //OE CD PC ⊂PCD FO ⊄PCD //FO PCD //EO PCD EO FO ⊂EFO EO FO O =所以平面平面,又平面,所以平面．17．答案：（1）解析：（1）因为容量,所以,,;（2）由（1）知,该班日睡眠时间在和频率比为,由比例分配的分层随机抽样方法,分别从和两组的学生中抽取2人,3人,记中抽取的2人为a ,b ,中抽取的3人为c,d,e ,设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件A ,则,,所以A 发生的概率所以2人中至少有1人的日睡眠时间在18．答案：（1）证明见解析,（2）4解析：（1）①因为,,所以,在//EFO PCD EF ⊂EFO //EF PCD 8.03h200.450n =÷=500.126y =⨯=50(4206)20x =-++=()7.2547.75208.25208.756⨯+⨯+⨯+⨯()()12915516552.58.03h 50=⨯+++=[)7,7.5[]8.5,92:3[)7,7.5[]8.5,9[)7,7.5[]8.5,9[)7,7.5{}(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e Ω={}(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,)A a b a c a d a e b c b d b e =()P A =AC =2CD DB =AD DC =2AD DB =△=所以;②设,则因为,所以设,因为,所以,在中,,由①知,所以,所以,整理得,又因为,,所以因为,所以,在中,因为,,所以,所以,则,所以（2）记的内角为A ,B ,C ,所对边为a ,b ,c ,因为,所以,所以,在中,因为,所以由余弦定理可得,整理得,sin sin 2sin AD ABD BAD BAD BD∠=⨯∠=∠BAC θ∠=cos θ=0πθ<<sin θ==C α∠=AD DC =C CAD α∠=∠=ABD △π,B BAD θαθα∠∠=--=-sin 2sin ABD BAD ∠=∠sin()2sin()θαθα+=-sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin θαθαθαθα+=-cos 4sin αα=22sin cos 1αα+=0πα<<sin αα==2CD DB =263ACD ABC S S ==△△ACD △AD DC =C α∠=cos 2AC AD α=2cos AC AD AC α==21sin 62ACD S AD AC AC α=⨯⨯⨯== AC =ABC △2CD DB =()22213333AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=+ 222414cos 999AD c b bc BAC =++∠ ABC △AB BC =2222cos c c b bc BAC =+-∠2cos c BAC b ∠=c =因为,所以所以,所以,当且仅当所以AD 的最小值为4.19．答案：（1）证明见解析解析：（1）证明：在圆台中,平面平面,因为平面平面,平面平面,所以;（2）①将圆台的母线延长交于一点P ,连接,延长交底面于点Q ,连接,,在圆台中,平面平面,因为平面平面,平面平面,所以,又由（1）可知,所以,又,,,,,平面,1sin 92ABC S bc BAC =∠=△bc =236cos sin BAC b BAC ∠=∠22294cos cos sin b c BAC BAC BAC ==∠∠∠22412cos 412cos sin cos sin sin cos BAC BAC AD BAC BAC BAC BAC BAC∠+∠=+=∠∠∠∠∠ 224sin 16cos sin cos BAC BAC BAC BAC∠+∠=∠∠sin 4cos 416cos sin BAC BAC BAC BAC ∠∠⎛⎫=+≥ ⎪∠∠⎝⎭sin BAC ∠=BAC ∠=1OO //ADE BFC BEDF ADE DE =BEDF BFC BF =//BF DE 1OO PE PE BQ CQ 1OO //ADE BFC PCQ ADE DE =PCQ BFC CQ =//ED CQ //BF ED //BF CQ CF BF ⊥BQ CQ ⊥BF CF BQ CQ ⊂BFC所以,所以四边形为平行四边形,所以,在圆台中,,,所以,所以,连接,交所以A ,C 到平面所以②在等腰梯形中,过点D 作边的垂线,垂足为G ,在平面内过点G 作的平行线交于点H ,连接,易得,因为平面,所以平面,所以为母线与下底面所成角,因为,,所以,所以,要使最小,只要最小即可,因为,所以,所以,设,因为为圆的直径,所以,所以,,所以,当且仅当所以因为,,所以,因为平面,平面,所以,因为,,平面,所以平面,所以,因此为二面角的平面角,//BQ CF BFCQ BF CQ =1OO 2AD =4BC =AD BC ==AD BC ==2BDF BDE S S = 223D BFC C BDF C BEDF V V V ---===AC AD BC ==BEDF 1124B ADE A BDE C BED C BDF V V V V ----====ABCD BC DG BFC CF GH BF DH 1//DG OO 1OO ⊥BFC DG ⊥BFC DCG ∠2AD =4BC =1CG =tan DCG DG ∠=DCG ∠DG 2D BFC V -=123D BFC BFC V S DG -=⋅=△Δ6BFC DG S =CBF θ∠=BC 1O BF FC ⊥4sin FC θ=4cos FB θ=Δ14sin 242BFC S FC FB θ=⋅=≤θ=BF ==DG CF BF ⊥//CF GH GH BF ⊥DG ⊥BCF BF ⊂BCF DG BF ⊥DG HG G = DG HG ⊂DGH BF ⊥DGH BF DH ⊥DHG ∠C BF D --在因为平面,平面,所以,在中,由勾股定理得所以二面角BCF △BGBC===DG⊥BFC HG⊂BFC DG HG⊥Rt DGH△DH=DHG∠=C BF--。
高一下期末数学试卷含答案解析
故选B．
3．在正项等比数列{an}中，若a2=2，a4﹣a3=4，则公比为（ ）
A．2B．1C． D．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出，
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，
∵a2=2，a4﹣a3=4，∴ =2q2﹣2q=4，
22．已知A（﹣1，0），B（1，0），圆C：x2﹣2kx+y2+2y﹣3k2+15=0．
（Ⅰ）若过B点至少能作一条直线与圆C相切，求k的取值范围．
（Ⅱ）当k= 时，圆C上存在两点P1，P2满足∠APiB=90°（i=1，2），求|P1P2|的长．
-学年河北省沧州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
化为q2﹣q﹣2=0，解得q=2．
故选；A．
4．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a2＞b2B． C．lga＞lgbD．
【考点】不等关系与不等式．
【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性就看得出．
【解答】解：∵a＞b，∴2a＞2b＞0，∴ ，
故D正确．
故选D．
5．若直线l∥平面α，直线m⊂α，则l与m的位置关系是（ ）
A． B． C． D．3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是一个长方体截去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图知几何体是一个长方体截去一个三棱锥所得的组合体，
且长方体长、宽、高分别是1、1、3，
三棱锥的底面是等腰直角三角形、直角边是1，三棱锥的高是1，
A．2B．1C． D．
2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足，则()A. B. C. D.2.已知向量，，则()A. B. C.3 D.53.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为()A.8B.16C.D.4.已知m，n是平面外的两条不同的直线，若，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.在中，，，，则()A. B. C. D.6.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次，他按每次通话时间长短进行分组每组为左闭右开的区间，画出了如图所示的频率分布直方图．则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为()A.18B.21C.24D.277.已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为()A. B. C.3 D.或38.近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势．下图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度以下简称增速统计图．注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业．下列说法正确的是()A.4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大B.4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数小C.连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月D.连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月9.在梯形ABCD中，，，，，，则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.10.已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为()A.0B.C.1D.2二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年安徽省六安一中高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年安徽省六安一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为纯虚数，则复数z的共轭复数为()A. B.2024i C. D.2025i2.已知向量，若，则()A. B. C.1 D.23.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A.，，B.，，C.，，D.，，4.某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同.甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为()A. B. C. D.5.已知样本数据，，，…，的平均数为x，方差为，若样本数据，，，…，的平均数为，方差为，则平均数()A.1B.C.2D.6.已知，，，则M到直线AB的距离为()A. B. C.1 D.7.PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的正弦值是()A. B. C. D.8.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，其中底面ABCD，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》以下简称《宣言》承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如图所示：经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的倍，预计该地区()A.2030年煤的消费量相对2020年减少了B.2030年天然气的消费量是2020年的5倍C.2030年石油的消费量相对2020年不变D.2030年水、核、风能的消费量是2020年的倍10.下列对各事件发生的概率判断正确的是()A.某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是11.如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内包括边界的动点，则下列结论正确的是()A.不存在点P，使平面B.三棱锥的体积为定值C.若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为D.若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024高一第二学期期末数学质量检测试题参考答案与评分细则
2023-2024 学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b bb a a b b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
高一数学第二学期期末考试试题(带参考答案)
高一数学第二学期期末考试试题(带参考答案)选择题1. 以下属于集合 {1, 2, 3, 4} 的真子集的个数是：A. 3B. 7C. 15D. 16正确答案：A2. 已知集合 A = {x | -2 ≤ x ≤ 3}，则集合 A 中的元素个数是：A. 4B. 5C. 6D. 7正确答案：C3. 设集合 A = {a, b, c}，集合 B = {1, 2, 3}，则集合 A × B 的元素个数是：A. 3B. 6C. 9D. 12正确答案：D4. 已知集合 A = {x | -5 ≤ x ≤ 5}，则集合 A 的幂集的元素个数是：A. 10B. 20C. 32D. 64正确答案：C解答题1. 已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(-4) 的值。
解答：将 x = -4 代入函数 f(x) = 2x + 3 中，得到 f(-4) = 2(-4) + 3 = -5。
2. 计算下列算式的值：(-3)^4 - 2 × 5^2解答：首先计算指数，得到(-3)^4 = 81，5^2 = 25。
然后代入算式，得到值为 81 - 2 × 25 = 31。
3. 已知一组数据为 {2, 4, 6, 8, 10}，求这组数据的中位数。
解答：将数据从小到大排序为 {2, 4, 6, 8, 10}，可以看出中间的数为 6，所以这组数据的中位数为 6。
4. 某商品标价为 800 元，商场打折后的售价为 720 元，求打折幅度。
解答：打折幅度为原价与打折后价之间的差值除以原价，所以打折幅度为 (800 - 720) ÷ 800 = 0.1，即打折幅度为 10%。
以上为高一数学第二学期期末考试试题及参考答案。
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足，则z的虚部为()A. B.2 C. D.i2.已知向量，则()A.0B.C.D.3.函数的部分图象如图所示，则其解析式为()A. B.C. D.4.若，且，则()A. B. C. D.75.在中，点D满足，若，则()A. B. C.3 D.6.已知，则下列直线中，是函数对称轴的为()A. B. C. D.7.在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中若，则()A. B. C. D.8.在中，已知则下列说法正确的是()A.当时，是锐角三角形B.当时，是直角三角形C.当时，是钝角三角形D.当时，是等腰三角形9.已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.定义域为、的函数的图象的两个端点分别为点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.知复数z满足，则__________，__________.12.在中，，P满足，则__________.13.在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________.14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，如图，相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为，，，根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为___________________15.已知函数，给出下列四个结论：①对任意的，函数是周期函数；②存在，使得函数在上单调递减；③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的，记函数的最大值为，则其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共4小题，共48分。
高一(下学期)期末考试数学试卷
高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。
北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学2024.7一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，且，则a 可以为（）A. －2B. －1C.D.2.在复平面内，复数对应点的坐标为，则（ ）A. B. C. D. 3. 若向量，，，则（ ）A.B. C. 4D. 4. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 5. 下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（ ）A. B. C D. 6. 已知，那么在下列不等式中，不成立的是A. B. C. D. 7. 若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数茎叶图如图所.的{}220A x x =-<a A ∈321iz+()2,1-z =13i +3i +3i-+13i--()2,5a = ()1,2b x x =-+ a b ⊥ x =1717-4-()f x =()1,1-()()1,12,-+∞ [)2,+∞()[)1,12,∞-⋃+ππ,04⎛⎫⎪⎝⎭tan y x =sin y x =212cos y x=-sin cos y x x=-1x <-210x ->12x x+<-sin 0x x ->cos 0x x +>{}n a {}n a {}n a ()*312N n n n n a a a a n +++⋅=⋅∈示，则下列结论错误的是（ ）A. 甲命中个数的极差为29B. 乙命中个数的众数是21C. 甲的命中率比乙高D. 甲每组命中个数的中位数是259. 已知，，，，成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为（ ）A. B. C.D.10. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）A. 72B. 74C. 76D. 78二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 设是等差数列，且，，则数列的前项和_____________.12. 现有甲、乙、丙、丁、戊五种智慧黑板，某学校要从中随机选取3种作为教学工具备选，则其中甲、乙、丙中至多有2种被选取的概率为_____________.13. 函数，其中且，若函数是单调函数，则的一个取值为______，若函数存在极值，则的取值范围为______.14. 已知函数，则_____________.15. 若等差数列满足.对，在中的所有项组成集合.记中最小值为，最大值为，元素个数为，所有元素和为，则下列命题中①为等比数列；②；③；④.所有正确的命题的序号是_____________.1a 2a 3a 4a 5a 5a 81-27-181127G G L L D=L 0L D G 0G 0.50.40.20.21g20.3010≈{}n a 11a =12n n a a +=+{}n a 1010S =()2,11,1x a x f x ax x x ⎧≤=⎨-+>⎩0a >1a ≠a a ()22sin sin 2cos f x x x x =+-5π12f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a ()*3Nn a n n =∈*N k ∀∈{}na ()12,2kk +kT kTk b k c k L k S 12,,,,k c c c 32kk k b c +=⨯1k L k ≥-413kkS <<三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在中，，，分别为，，所对的边，已知.（1）求的大小；（2）若且的长.17. 已知数列满足，且.（1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；（2）若，求满足条件最大整数.18. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）证明：对，函数有且仅有两个极值点，，并求函数的单调区间；（3）在（2）的条件下，若，求实数的取值范围.19. 某学校为了解高一新生体质健康状况，对学生体质进行测试.现从男、女生中各随机抽取40人，测试数据按《国家学生体质健康标准》整理如下：等级数据范围男生人数男生平均分女生人数女生平均分优秀1091.3491良好883.98841及格 16702270.2不及格60以下649.6649.1总计\4075.04071.9（1）若按规定测试数据不低于60，则称体质健康为合格.试估计该校高一新生体质健康合格的概率；（2）在高一新生中，随机选取一名男生和一名女生，试估计恰有一人的体质健康等级是优秀的概率；（3）已知表中男生与女生在优秀、良好、及格、不及格四个等级的各级平均分都接近（差的绝对值不大的.ABC V a b c A ∠B ∠C ∠()sin 2a C c A =-A 2226a b c c -=-ABC S =V a {}n a 123a =()*121n n n a a n a +=∈+N 11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭{}n a 121112025na a a +++< n ()()2xf x x a e =-0a =()y f x =()()00f ，R a ∀∈()f x 1x 212()x x x <()f x ()()()2112214x f x x f x x x -≥-a []90100，[]8089，[]6079，于0.5），但男生的总平均分75.0却明显高于女生的总平均分71.9.经研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级.（只需写出结论）20. 已知函数，.（1）若曲线在处切线过原点，求的值；（2）若在上最小值为1，求的值；（3）当时，若，都有，求整数的最小值.21. 对给定的正整数，设数列，若存在，使得，则将数列进行操作变换，得到数列，且为，或之一，记为. 设（个），从开始进行次操作变换，依次得到数列，即，.（1）当时，分别判断从开始进行次操作变换，是否可以得到如下数列？若不可以，直接判断即可；若可以，请写出相应的及；①；②；③；（2）当时，从开始进行次操作变换，是否可能得到数列？若不可以，请说明理由；若可以，求出与的所有可能取值.（3）给定正奇数，为使的各项均不相同，求操作变换次数的最小值.()ln 1f x k x x =++R k ∈()y f x =()()1,1f k ()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦k 1k =()0,x ∞∀∈+()()22f x m x x ≤+m 3n ≥12:,,...,n A a a a 1i j n ≤<≤i j a a =A T B B 121111,,...,,1,,...,,1,,...,i i i j j j n a a a a a a a a a -+-+-+121111,,...,,1,,...,,1,,...,i i i j j j n a a a a a a a a a -+-++-()B T A =0:0,0,...,0A n 00A m T 12,,...,m A A A ()1i i A T A -=1,2,...,i m =4n =0A m T m 121,,...,m A A A -2,0,0,2-2,1,0,2-3,0,1,2--5n =0A m T :,1,0,1,2m A x --x m 5n ≥m A n m北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学 答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】B 【2题答案】【答案】B 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】D 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】D 【9题答案】【答案】B 【10题答案】【答案】B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】##09.100910【13题答案】【答案】①. 2（满足均可）②. 【14题答案】【15题答案】【答案】②③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）证明略， （2）2024【18题答案】【答案】（1） （2）答案略 （3）【19题答案】【答案】（1） （2）（3）去掉的等级为优秀.【20题答案】【答案】（1） （2）或 （3）1【21题答案】【答案】（1）①可以，，，，；②不可以；③不可以1a >()0,1π6A =a =221nn na =+0y =2a ≥17203101k =1ek =e k =-4m =1:1,0,0,1A -2:1,1,1,1A --3:2,0,1,1A --（2），（3）2x =5m =324n n -。
江西省上饶市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学含答案
上饶市2023—2024学年度下学期期末教学质量检测高一数学试卷（答案在最后）1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答第I 卷时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟，第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 1i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（）A.iB.i- C.1i+ D.1i-2.ABC 是边长为1的正三角形，那么ABC 的斜二测平面直观图'''A B C 的面积（）A.B.68C.38D.343.已知向量()()1,cos ,2,sin a b θθ== ，若a b，则tan θ=（）A.2B.-2C.12D.12-4.已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A.若m α⊂，则m β⊥B.若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥C.若,m m αβ⊄⊥，则//m αD.若,m n m αβ⋂=⊥，则n α⊥5.向量()1,0,a a = 与非零向量b的夹角为60 ，则a在b上的投影数量为（）A.12B.2C.1D.6.已知G 为ABC 的重心，则（）A.2133BG AB AC=-uuu r uu u r uuu r B.2133BG AB AC=-+u uuu r u ur uuu r C.1233BG AB AC=-+uuu r uu ur uuu r D.1233BG AB AC=-7.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A .8a =，16b =，30A =︒，有两解B.18b =，20c =，60B =︒，有一解C.30a =，25b =，150A =︒，有一解D .5a =，2c =，90A =︒，无解8.若函数()sin cos f x a x x ωω=+的对称轴方程为ππ4x k =+，k ∈Z ，则π4f ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2B.2-C. D.二､多选题（本题共3小硕，每小题6分，共18分.在每小䝠给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若复数12,z z 是方程2250x x -+=的两根，则（）A.12,z z 虚部不同B.12,z z 在复平面内所对应的点关于实轴对称C.1z =D.122iz z +-在复平面内所对应的点位于第三象限10.关于函数()π2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A.π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心B.函数()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增C.函数()f x 图像可由函数()2cos21g x x =+的图像向右平移5π12个单位得到D.若方程()20f x m -=在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，则2,6m ⎡⎤∈+⎣⎦11.如图，若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,,E F EF =则下列结论正确的是（）A.直线1AC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为63B.当E 与1D 重合时，异面直线AE 与BF 所成角为π3C.平面1C BD 平面AEFD.1A C ⊥平面AEF第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若tan 2θ=，则()sin cos sin θθθ-=__________.13.设1e 与2e 是两个不共线向量，1232AB e e =+ ，12CB ke e =+ ，1232CD e ke =-.若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．14.ABC 中，8AB AC ==，延长线段AB 至D ，使得2A D ∠=∠，则BD BC +的最大值为__________.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知()()()2,,3,5,a m b m m ==--∈R（1）若a b a b +=-，求实数m 的值.（2）已知向量,a b的夹角为钝角，求实数m 的范围.16.已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式及对称中心；（2）求函数()f x 在ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.（3）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2b C c a +=．（1）求角B ；（2）若D 为AC 的中点，且52BD =，b ＝3，求ABC 的面积．18.如图1，四边形ABCD 为菱形，60,ABC PAB ︒∠=△是边长为2的等边三角形，点M 为AB 的中点，将PAB 沿AB 边折起，使3PC =，连接PD ，如图2，（1）证明：AB PC ⊥；（2）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值；（3）在线段PD 上是否存在点N ，使得PB ∥平面MCN ﹖若存在，请求出PNPD的值；若不存在，请说明理由.19.我们把由平面内夹角成60︒的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“创新坐标系”.如图所示，1e，2e分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量.若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对{},x y 为向量OP的“创新坐标”，可记作{},OP x y =.（1）已知{}1,1a = ，{}2,3b = ，{}1,2c =- ，设c xa yb =+，求x y +的值.（2）已知{}11,a x y = ，{}22,b x y = ，求证：//a b 的充要条件是12210x y x y -=.（3）若向量a ，b的“创新坐标”分别为{}sin ,1x ，{}cos ,1x ，已知()f x a b =⋅ ，x ∈R 求函数()f x 的最小值.上饶市2023—2024学年度下学期期末教学质量检测高一数学试卷1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答第I 卷时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟，第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 1i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（）A.iB.i- C.1i+ D.1i-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法直接求出z .【详解】因为()1i 1i z -=+，所以()()()()1i 1i i 1i 1i z ++==-+.故选：A2.ABC 是边长为1的正三角形，那么ABC 的斜二测平面直观图'''A B C 的面积（）A.16B.8C.8D.4【答案】A 【解析】【分析】先求出原三角形的面积，再根据原图和直观图面积之间的关系即可得解.【详解】以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，画对应的'x 轴，'y 轴，使'''45x O y ∠=︒，如下图所示，结合图形，ABC 的面积为113312224ABC S AB OC =⨯⨯=⨯⨯=，作C D AB ⊥'''，垂足为D ，则22122224C D O C OC OC ==⨯='''，''AB A B =，所以'''A B C 的面积11222244A B C ABC S A B C D OC AB S =⨯⨯=⨯⨯⨯= ''''''，即原图和直观图面积之间的关系为2=4S S 直观图原图，所以，'''A B C 的面积为2364416A B C S =⨯='''.故选：A.【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积的关系，属于基础题.3.已知向量()()1,cos ,2,sin a b θθ== ，若a b，则tan θ=（）A.2B.-2C.12D.12-【答案】A 【解析】【分析】利用坐标法来判断两向量共线即可得到结果.【详解】由a b得，()()1,cos //2,sin 2cos sin tan 2θθθθθ⇒=⇒=，故选：A.4.已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A.若m α⊂，则m β⊥B.若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥C.若,m m αβ⊄⊥，则//m αD.若,m n m αβ⋂=⊥，则n α⊥【答案】C 【解析】【分析】根据空间线面位置关系的判定定理、性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】由直线,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ为空间中两个互相垂直的平面，对于A 中，若m α⊂，可能//m α，所以A 不正确；对于B 中，若,m n αβ⊂⊂，则//m n 或相交或异面，所以B 不正确；对于C 中，由m β⊥，可得m α⊂或//m α，又由m α⊄，所以//m α，所以C 正确；对于D 中，由面面垂直的性质，可知只有n β⊂时，才有n α⊥，所以D 不正确.故选：C.5.向量()1,0,a a = 与非零向量b的夹角为60 ，则a在b上的投影数量为（）A.12B.2C.1D.【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用投影数量的定义计算即得.【详解】依题意，a 在b 上的投影数量为1||cos ,1cos 602a ab 〈〉=⨯=.故选：A6.已知G 为ABC 的重心，则（）A.2133BG AB AC=-uuu r uu u r uuu r B.2133BG AB AC=-+u uuu r u ur uuu r C.1233BG AB AC=-+uuu r uu ur uuu r D.1233BG AB AC=-【答案】B 【解析】【分析】根据重心的性质及向量的线性运算可得解.【详解】如图所示，设D 为AC 中点，又G 为ABC 的重心，则23B B G D = ()13BA BC =+ 1133BA BC =+uu r uu u r 111333BA BA AC =++uu r uu r uuu r 2133BA AC =+uu r uuu r 2133AB AC =-+uu ur uuu r ，故选：B.7.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A.8a =，16b =，30A =︒，有两解B.18b =，20c =，60B =︒，有一解C.30a =，25b =，150A =︒，有一解D.5a =，2c =，90A =︒，无解【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理依次判断A ，B ，C ，D 即可.【详解】A 中，因为sin sin a b A B=，所以16sin 30sin 18B ⨯︒==，又0150B ︒<<︒，所以90B =︒，即只有一解，故A 错误；B 中，因为sin sin b c B C=，所以20sin 60sin sin 189C B ︒==>，且c b >，所以C B >，故有两解，故B 错误；C 中，因sin sin a b A B =，所以12552sin sin 3012B A ⨯==>，又b a <，所以角B 只有一解，故C 正确；D 中，因为90A =︒,5a =,2c =，所以b =，有解，故D 正确.故选：C.8.若函数()sin cos f x a x x ωω=+的对称轴方程为ππ4x k =+，k ∈Z ，则π4f ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2B.2-C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据三角恒等变换可化简函数解析式，进而可得1π4ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，代入即可得解.【详解】由已知()()sin cos f x a x x x ωωωϕ=+=+，且1tan aϕ=，sin 0ϕ=>，由对称轴为ππ4x k =+，则相邻两条对称轴间距离为π，即函数的最小正周期为2πT =，令2π12πω==，()()f x x ϕ=+，令1ππ2x k ϕ+=+，1k ∈Z ，则1ππ2x k ϕ=-+，即1ππππ24k k ϕ-+=+，k ∈Z ，1k ∈Z ，则()1ππ4k k ϕ=+-，k ∈Z ，1k ∈Z ，又sin 0ϕ=>，所以2ππ4k ϕ=+，2k 为偶数，则()2πππ44f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππππ4444f f ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D.二､多选题（本题共3小硕，每小题6分，共18分.在每小䝠给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若复数12,z z 是方程2250x x -+=的两根，则（）A.12,z z 虚部不同B.12,z z 在复平面内所对应的点关于实轴对称C.1z =D.122iz z +-在复平面内所对应的点位于第三象限【答案】ABC 【解析】【分析】利用一元二次方程的虚根是共轭，并加以计算，就可以判断各选项.【详解】由方程2250x x -+=的求根公式可得：1224i12i 12i ,2z z +==+=-，故A 正确；由12,z z 在复平面内所对应的点分别为()()1,2,1,2-，显然关于实轴对称，故B 正确；由112i z =+，故C 正确；由()()()1222i 242i 42=i 2i 2i 2i 2i 555z z +++===+---+，它对应的点位于第一象限，故D 错误；故选：ABC ．10.关于函数()π2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A.π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心B.函数()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.函数()f x 图像可由函数()2cos21g x x =+的图像向右平移5π12个单位得到D.若方程()20f x m -=在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，则2,6m ⎡⎤∈+⎣⎦【答案】BC 【解析】【分析】根据三角函数图像性质分别判断各选项.【详解】A 选项：由()π2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令π2π3x k -=，Z k ∈，解得ππ62k x =+，Z k ∈，所以其对称中心为ππ,162k ⎛⎫+⎪⎝⎭，所以π,06⎛⎫⎪⎝⎭不是其对称中心，A 选项错误；B 选项：令πππ2π22π232k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，即函数的单调递增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，又ππ5π0,π,π61212k k ⎛⎫⎡⎤⊆-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，Z k ∈，B 选项正确；C 选项：由()π2cos212sin 212g x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，向右平移5π12可得()5πππ2sin 212sin 211223y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 选项正确；D 选项：()π24sin 2203f x m x m ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，即2sin 243m x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设π23t x =-，则π2π,63t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即函数24m y -=与函数sin y t =在π2π,63t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个交点，做出函数图像，如图所示，所以可得2π2sin 134m -≤<，解得26m +≤<，D 选项错误；故选：BC.11.如图，若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,,E F EF =则下列结论正确的是（）A.直线1AC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为63B.当E 与1D 重合时，异面直线AE 与BF 所成角为π3C.平面1C BD 平面AEFD.1A C ⊥平面AEF【答案】ACD 【解析】【分析】利用正方体的性质，结合中位线，勾股定理，可计算和证明各选项，并加以判断.【详解】对于A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，有1CC ⊥平面ABCD ，所以直线1AC 与平面ABCD 所成的角就是1CAC ∠，且1CC AC ⊥，又由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以1AC AC ==，则116cos 3AC CAC AC ∠==，故A正确；对于B ，当E 与1D重合时，由于11EF B D ==F 为11B D 的中点，如上图，连接11,BC C F ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易由11//AB C D 且11AB C D =可得：四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC ，所以异面直线AE 与BF 所成角就是1C BF ∠或其补角，由于1BB ⊥平面1111D C B A ，1B F ⊂平面1111D C B A ，所以11B B B F ⊥，则BF ===又因为11BC C F =所以13cos 2C BF ∠===，因为()10πC BF ∠∈，，所以1π=6C BF ∠，故B 错误；对于C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易由11//AB C D 且11AB C D =可得：四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC ，又因为1AD ⊄平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1//AD 平面1BDC ，同理可证明1AB //平面1BDC ，又因为11AD AB A ⋂=，11,AD AB ⊂平面11AB D ，所以平面11//AB D 平面1BDC ，而平面AEF 与平面11AB D 共面，所以平面1C BD 平面AEF ，故C 正确；对于D ，由于11A B ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以111A B AD ⊥，又因为11AD DA ⊥，1111DA A B A = ，111DA A B ⊂，平面11DA B C ，所以1AD ⊥平面11DA B C ，又因为1AC ⊂平面11DA B C ，所以11A C AD ⊥，同理可证明：11A C AB ⊥，又因为11AB AD A ⋂=，11AB AD ⊂，平面11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，而平面AEF 与平面11AB D 共面，则1A C ⊥平面AEF ，故D 正确；故选：ACD.第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若tan 2θ=，则()sin cos sin θθθ-=__________.【答案】25-##0.4-【解析】【分析】根据同角三角函数关系式，结合齐次式可得解.【详解】由已知()sin cos sin θθθ-2sin cos sin θθθ=-222sin cos sin sin cos θθθθθ-=+22tan tan tan 1θθθ-=+22222215-==-+，故答案为：25-.13.设1e 与2e 是两个不共线向量，1232AB e e =+ ，12CB ke e =+ ，1232CD e ke =-.若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．【答案】94-【解析】【分析】根据三点共线，转化为向量AB BD λ= ，计算向量BD后，再转化为向量相等，即可求解k 的值.【详解】因为A ，B ，D 三点共线，所以必存在一个实数λ，使得AB BD λ=.又1232AB e e =+，12CB ke e =+，1232CD e ke =-，所以()121232BD CD CB e ke ke e =-=--+ ，化简为()()12321BD k e k e =--+ ，所以()()121232321e e k e k e λλ+=--+ ，又1e 与2e 不共线，所以()()33221k k λλ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩解得94k =-.故答案为：94-14.ABC 中，8AB AC ==，延长线段AB 至D ，使得2A D ∠=∠，则BD BC +的最大值为__________.【答案】18【解析】【分析】分别在ABC 与ACD 中用正弦定理，可得BD BC +，再利用二倍角公式化简，结合二次函数性质可得最值.【详解】如图所示，设22A D θ∠=∠=，在ABC 中，由8AB AC ==，则ππ22A ABC ACB θ-∠∠=∠==-，再由正弦定理得sin sin BC ABA ACB=∠，即8πsin 2sin 2BCθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8sin 216sin cos BC θθθ==，又在ACD 中，由正弦定理得sin sin AD ACACD D=∠∠，即()8sin π2sin AD θθθ=--，即()()2284sin cos sin 8sin cos 2sin 2cos 8sin 332cos 8sin sin sin AD θθθθθθθθθθθθ-+====-，所以2232cos 16sin 1632sin 16sin 16BD BC AD BC AB θθθθ+=+-=+-=-++，又0π02π0π3πθθθ<<⎧⎪<<⎨⎪<-<⎩，即π03θ<<，sin 0,2θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，设sin 0,2t θ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则22132161632184BD BC t t t ⎛⎫+=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1sin 4t θ==时，BD BC +取得最大值为18，故答案为：18.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知()()()2,,3,5,a m b m m ==--∈R（1）若a b a b +=-，求实数m 的值.（2）已知向量,a b的夹角为钝角，求实数m 的范围.【答案】（1）67m =（2）6{|7m m >且5}m ≠.【解析】【分析】（1）对a b a b +=- 两边平方化简可得0a b ⋅= ，然后将坐标代入可求出实数m 的值；（2）由题意可得0a b ⋅<且,a b不共线，从而可求出实数m 的范围.【小问1详解】因为a b a b +=- ，所以22a b a b +=- ，所以222222aa ab b a b b -= ，所以0a b ⋅=，因为()()2,,3,5a m b m ==--，所以6250a b m m ⋅=--= ，解得67m =；【小问2详解】根据题意，向量a 与b的夹角为钝角，则有()6701030a b m m m ⎧⋅=-<⎪⎨---≠⎪⎩.解得：67m >且5m ≠，即m 的取值范围为6{|7m m >且5}m ≠.16.已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式及对称中心；（2）求函数()f x 在ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.（3）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间.【答案】（1）()π2sin 23f xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，ππ,0,Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）[]1,2-（3）πππ5π,,,2636⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意，求得()π2sin 23f xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解；（2）由2ππ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得22[,33ππ6π-∈-x ，根据三角函数的性质，求得函数()f x 的最值，即可求解；（3）根据三角函数的图象变换，求得()πsin 26g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求得函数()f x 的单调递减区间，结合π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即可求解.【小问1详解】解：根据函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像，可得32π5ππ2,4123A ω=⋅=+，所以2ω=，再根据五点法作图，可得5ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈，又因为π<ϕ，可得π3ϕ=-，所以()π2sin 23f xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，令π2π,3x k k Z -=∈，解得ππ,Z 62k x k =+∈，故函数()f x 对称中心为ππ,0,Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.【小问2详解】解：因为2ππ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得22[,33ππ6π-∈-x ，当ππ236x -=-时，即π12x =，min π()112f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当ππ232x -=时，即5π12x =，max 5π()212f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值琙为[]1,2-.【小问3详解】解：先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，再向左平移π12个单位，得到πππsin 2sin 21236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，即()πsin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令ππ3π2π22π,Z 262k x k k +≤-≤+∈，解得π5πππ,Z 36k x k k +≤≤+∈，可得()g x 的减区间为π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，结合π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得()g x 在π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为πππ5π,,,2636⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2b C c a +=．（1）求角B ；（2）若D 为AC 的中点，且52BD =，b ＝3，求ABC 的面积．【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得出角B ；（2）由向量的运算得出2225a c ac ++=，由余弦定理得出229a c ac +-=，进而得出8ac =，最后得出面积.【小问1详解】因为2cos 2b C c a +=，所以222222a b c b a c ab +-⨯=-.即222a cb ac +-=，即2221cos 22a cb B ac +-==又(0,)B π∈，所以3B π=.【小问2详解】由52BD =，得52BD = ，则由平行四边形法则可得，5BA BC += 则22225BA BC BA BC ++⋅=，即2225a c ac ++=①又2222cos b a c ac B =+-，即229a c ac +-=②由①②可得8ac =.则1sin 422ABC S ac B ==⨯=△.18.如图1，四边形ABCD 为菱形，60,ABC PAB ︒∠=△是边长为2的等边三角形，点M 为AB 的中点，将PAB 沿AB 边折起，使3PC =，连接PD ，如图2，（1）证明：AB PC ⊥；（2）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值；（3）在线段PD 上是否存在点N ，使得PB ∥平面MCN ﹖若存在，请求出PNPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）4（3）存在，PN 13PD =【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得PM AB ⊥，再由四边形ABCD ，60ABC ∠=︒可得CM AB ⊥，再由线面垂直的判定可得AB ⊥平面PMC ，则AB PC ⊥；（2）在PM 上取点Q ，使得2PQ QM =，设DB MC F = ，连接NF ，,BQ QF ，可证得BFQ ∠或其补角为异面直线BD 与PC 所成的角，然后在 BFQ 中利用余弦定理求解即可；（3）设DB MC F = ，连接NF ，则由线面平行的性质可得PB ∥NF ，从而可找出N 点的位置.【小问1详解】连接PM ，因为PAB 是边长为2的等边三角形，点M 为AB 的中点，所以PM AB ⊥.因为四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC 为等边三角形，所以CM AB ⊥，因为PM MC M = ，,PM MC ⊂平面PMC ，所以AB ⊥平面PMC ，因为PC ⊂平面PMC ，所以AB PC⊥【小问2详解】在PM 上取点Q ，使得2PQ QM =，设DB MC F = ，连接NF ，,BQ QF ，因为BM ∥CD ，所以12BF MF BM DF CF CD ===，在PMC △中，12MF QM CF PQ ==，所以QF ∥PC ，所以BFQ ∠或其补角为异面直线BD 与PC 所成的角，因为13QF PC =，所以1313QF =⨯=，又13BF BD ====BQ ===，在 BFQ中，由余弦定理得22244133cos 24233BF QF BQ BFQ BF FQ +-+-∠==⋅,所以异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为34.【小问3详解】假设线段PD 上存在点N ，使得PB ∥平面MCN ，因为PB ∥平面MNC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面MNC NF =，所以PB ∥NF ，又12BF BM DF CD ==，所以12BF PN FD ND ==.所以线段PD 上存在点N ，使得PB ∥平面MNC ，且PN 13PD =．19.我们把由平面内夹角成60︒的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“创新坐标系”.如图所示，1e ，2e分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量.若向量12OP xe ye =+ ，则称有序实数对{},x y 为向量OP 的“创新坐标”，可记作{},OP x y = .（1）已知{}1,1a = ，{}2,3b = ，{}1,2c =- ，设c xa yb =+ ，求x y +的值.（2）已知{}11,a x y = ，{}22,b x y = ，求证：//a b 的充要条件是12210x y x y -=.（3）若向量a ，b 的“创新坐标”分别为{}sin ,1x ，{}cos ,1x ，已知()f x a b =⋅ ，x ∈R 求函数()f x 的最小值.【答案】（1）4-（2）证明见解析（3）()min 38f x =【解析】【分析】（1）根据向量线性运算的运算律可得解；（2）根据向量共线定理可得证；（3）根据向量数量积的运算律结合三角函数与二次函数性质可得最值.【小问1详解】由已知{}1,1a = ，{}2,3b = ，{}1,2c =- ，即12a e e =+ ，1223b e e =+ ，122c e e =-+ ，又c xa yb =+，即2132x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得73x y =-⎧⎨=⎩，所以4x y +=-；【小问2详解】由{}11,a x y = ，{}22,b x y = ，则1112a x e y e =+ ，2122b x e y e =+ ，当0b = 时，//a b 的充要条件是12210x y x y -=；当0b ≠ 时，若//a b 时，a b λ= ，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，则1221x y x y λλ=，又λ不恒为0，所以1221x y x y =，即12210x y x y -=，所以12210x y x y -=是//a b 的必要条件；若12210x y x y -=时，2211x y x y λ==，则()212211111112b x e y e x e y e x e y e a λλλλ=+=+=+= ，即//a b，所以12210x y x y -=是//a b 的充分条件；综上所述，//a b的充要条件是12210x y x y -=；【小问3详解】1e ，2e 分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且夹角成60︒，则12121cos 602e e e e ⋅=⋅⋅︒=，所以2212112122112122a b x x e x y e e x y e e y y e ⋅=+⋅+⋅+ ()1212211212x x x y x y y y =+++，所以()()1sin cos sin cos 12f x a b x x x x =⋅=+++设πsin cos 4x x x t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，且21sin cos 2t x x -=，所以当12t =-时，min 38y =，即()min 38f x =.。
高一数学下学期期末试卷及参考答案
试题一、选择题：(共15个小题，每小题4分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.已知全集U=R，A=，B={-|ln-<0}，则A∪B=()A.{-|﹣1≤-≤2}B.{-|﹣1≤-<2}C.{-|-<﹣1或-≥2}D.{-|02.已知，那么cosα=()A.B.C.D.3.已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为()A.B.C.1D.24.△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=()A.B.C.D.5.已知△ABC是边长为1的等边三角形，则(﹣2)?(3﹣4)=()A.﹣B.﹣C.﹣6﹣D.﹣6+6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.277.已知角α是第二象限角，且|cos|=﹣cos，则角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A.5B.4C.3D.29.对任意一个确定的二面角α﹣l﹣β，a和b是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使a和b所成的角也确定的是()A.a∥a且b∥βB.a∥a且b⊥βC.a?α且b⊥βD.a⊥α且b⊥β10.定义2×2矩阵=a1a4﹣a2a3，若f(-)=，则f(-)的图象向右平移个单位得到函数g(-)，则函数g(-)解析式为()A.g(-)=﹣2cos2-B.g(-)=﹣2sin2-C.D.11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.7B.7C.7D.812.若sin(π+α)=，α是第三象限的角，则=()A.B.C.2D.﹣213.已知，记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为()A.10B.11C.12D.1314.(1+tan18°)(1+tan27°)的值是()A.B.C.2D.2(tan18°+tan27°)15.数列{an}满足：且{an}是递增数列，则实数a的范围是()A.B.C.(1，3)D.(2，3)二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在答题纸上)16.已知向量=(k，12)，=(4，5)，=(﹣k，10)，且A、B、C三点共线，则k=.17.已知向量、满足||=1，||=1，与的夹角为60°，则|+2|=.18.在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，则sin∠ABD等于.19.在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥面ABCD，若四边形ABCD为边长为2的正方形，SA=3，则此四棱锥外接球的表面积为.20.设数列{an}的通项为an=2n﹣7(n∈N-)，则|a1|+|a2|+…+|a15|=.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)21.已知平面向量=(1，-)，=(2-+3，﹣-)(-∈R).(1)若∥，求|﹣|(2)若与夹角为锐角，求-的取值范围.22.(文科)已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20.(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式.(Ⅱ)令Cn=nbn(n∈N+)，求{cn}的前n项和Tn.23.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB﹣sin(A﹣B)sinB+cos(A+C)=﹣.(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)若a=4，b=5，求向量在方向上的投影.24.已知如图：四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2，EB=BC=2，点F 为CE上一点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE∥平面BFD;(2)求三棱锥A﹣DBE的体积;(3)求二面角D﹣BE﹣A的大小.25.如图，函数f(-)=Asin(ω-+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P(1，0)，Q(m，0)(m>0)，∠PQR=，M为QR的中点，|PM|=.(Ⅰ)求m的值及f(-)的解析式;(Ⅱ)设∠PRQ=θ，求tanθ.26.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10.(Ⅰ)求证：{lgan}是等差数列;(Ⅱ)设Tn是数列{}的前n项和，求Tn;(Ⅲ)求使Tn>(m2﹣5m)对所有的n∈N-恒成立的整数m的取值集合参考答案及解析一、选择题：(共15个小题，每小题4分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.已知全集U=R，A=，B={-|ln-<0}，则A∪B=()A.{-|﹣1≤-≤2}B.{-|﹣1≤-<2}C.{-|-<﹣1或-≥2}D.{-|0【考点】并集及其运算.【分析】求出A与B中不等式的解集，分别确定出A与B，找出两集合的并集即可.【解答】解：由A中不等式变形得：≤0，即(-+1)(-﹣2)<0，且-﹣2≠0，解得：﹣1≤-<2，即A={-|﹣1≤-<2}，由B中不等式变形得：ln-<0=ln1，得到0则A∪B={-|﹣1≤-<2}，故选：B.2.已知，那么cosα=()A.B.C.D.【考点】诱导公式的作用.【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值.【解答】解：sin(+α)=sin(2π++α)=sin(+α)=cosα=.故选C.3.已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为()A.B.C.1D.2【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】如图所示，由于=+，可得：PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D.即可得出.【解答】解：如图所示，∵=+，∴PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D.∴=1.故选：C.4.△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=()A.B.C.D.【考点】正弦定理.【分析】由已知及正弦定理可得sinC==，又AB【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=60°，∴由正弦定理可得：sinC===，又∵AB∴cosC==.故选：D.5.已知△ABC是边长为1的等边三角形，则(﹣2)?(3﹣4)=()A.﹣B.﹣C.﹣6﹣D.﹣6+【考点】平面向量数量积的运算.【分析】将式子展开计算.【解答】解：(﹣2)?(3﹣4)=3﹣4﹣6+8=3×1×1×cos120°﹣4×1×1×cos60°﹣6×12+8×1×1×cos60°=﹣﹣2﹣6+4=﹣.故选：B.6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27【考点】等差数列的性质.【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得.【解答】解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45∴a7+a8+a9=45故选B.7.已知角α是第二象限角，且|cos|=﹣cos，则角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【考点】三角函数值的符号.【分析】根据α的范围判断出的范围，再由含有绝对值的式子得到角的余弦值的符号，根据“一全正二正弦三正切四余弦”再进一步判断的范围.【解答】解：由α是第二象限角知，是第一或第三象限角.又∵|cos|=﹣cos，∴cos<0，∴是第三象限角.故选C.8.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A.5B.4C.3D.2【考点】等差数列的通项公式.【分析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和即5a1+(2d+4d+6d+8d)，写出数列的第二、四、六、八、十项的和即5a1+(d+3d+5d+7d+9d)，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果.【解答】解：，故选C.9.对任意一个确定的二面角α﹣l﹣β，a和b是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使a和b所成的角也确定的是()A.a∥a且b∥βB.a∥a且b⊥βC.a?α且b⊥βD.a⊥α且b⊥β【考点】异面直线及其所成的角.【分析】作辅助线，利用二面角的定义和线线角的定义证明两角互补即可.【解答】解：如图，若a⊥α且b⊥β，过A分别作直线a、b的平行线，交两平面α、β分别为C、B设平面ABC与棱l交点为O，连接BO、CO，易知四边形ABOC为平面四边形，可得∠BOC与∠BAC互补∵α﹣l﹣β是大小确定的一个二面角，而∠BOC就是它的平面角，∴∠BOC是定值，∴∠BAC也是定值，即a，b所成的角为定值.故选D10.定义2×2矩阵=a1a4﹣a2a3，若f(-)=，则f(-)的图象向右平移个单位得到函数g(-)，则函数g(-)解析式为()A.g(-)=﹣2cos2-B.g(-)=﹣2sin2-C.D.【考点】函数y=Asin(ω-+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用.【分析】利用三角恒等变换化简函数f(-)的解析式，再利用函数y=Asin(ω-+φ)的图象变换规律，求得函数g(-)解析式.【解答】解：由题意可得f(-)==cos2-﹣sin2-﹣cos(+2-)=cos2-+sin2-=2cos(2-﹣)，则f(-)的图象向右平移个单位得到函数g(-)=2cos[2(-﹣)﹣]=2cos(2-﹣π)=﹣2cos2-，故选：A.11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.7B.7C.7D.8【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，结合图中数据即可求出它的体积.【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，如图所示;所以该几何体的体积为V=V正方体﹣﹣=23﹣-12×2﹣-1×2×2=7.故选：A.12.若sin(π+α)=，α是第三象限的角，则=()A.B.C.2D.﹣2【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α为第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，原式利用诱导公式化简，整理后将各自的值代入计算即可求出值.【解答】解：∵sin(π+α)=﹣sinα=，即sinα=﹣，α是第三象限的角，∴cosα=﹣，则原式====﹣，故选：B.13.已知，记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为()A.10B.11C.12D.13【考点】数列的求和.【分析】由，可得a1+a10=a2+a9=…=a5+a6=0，a11>0，则有S9<0，S10=0，S11>0可求【解答】解：由，可得a1+a10=a2+a9=…=a5+a6=0，a11>0∴S9<0，S10=0，S11>0使Sn>0的n的最小值为11故选：B14.(1+tan18°)(1+tan27°)的值是()A.B.C.2D.2(tan18°+tan27°)【考点】两角和与差的正切函数.【分析】要求的式子即1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°，再把tan18°+tan27°=tan45°(1﹣tan18°tan27°)代入，化简可得结果.【解答】解：(1+tan18°)(1+tan27°)=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan45°(1﹣tan18°tan27°)+tan18°tan27°=2，故选C.15.数列{an}满足：且{an}是递增数列，则实数a的范围是()A.B.C.(1，3)D.(2，3)【考点】数列的函数特性;分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数单调性的判断与证明.【分析】根据题意，首先可得an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得;解可得答案.【解答】解：根据题意，an=f(n)=;要使{an}是递增数列，必有;解可得，2故选D.二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在答题纸上)16.已知向量=(k，12)，=(4，5)，=(﹣k，10)，且A、B、C三点共线，则k=.【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示;三点共线.【分析】利用三点共线得到以三点中的一点为起点，另两点为终点的两个向量平行，利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出k.【解答】解：向量，∴又A、B、C三点共线故(4﹣k，﹣7)=λ(﹣2k，﹣2)∴k=故答案为17.已知向量、满足||=1，||=1，与的夹角为60°，则|+2|=.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据条件进行数量积的计算便可得出，从而便可求出，这样即可求出的值.【解答】解：根据条件，;∴;∴.故答案为：.18.在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，则sin∠ABD等于.【考点】正弦定理.【分析】利用余弦定理求得cos∠ABC=cos2θ的值，可得θ的值.【解答】解：∵△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，设∠ABD=θ，则∠ABC=2θ，由余弦定理可得cos2θ===，∴2θ=，∴θ=，故答案为：.19.在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥面ABCD，若四边形ABCD为边长为2的正方形，SA=3，则此四棱锥外接球的表面积为17π.【考点】球内接多面体.【分析】如图所示，连接AC，BD相交于点O1.取SC的中点，连接OO1.利用三角形的中位线定理可得OO1∥SA.由于SA⊥底面ABCD，可得OO1⊥底面ABCD.可得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心，SC是外接球的直径.【解答】解：如图所示连接AC，BD相交于点O1.取SC的中点，连接OO1.则OO1∥S A.∵SA⊥底面ABCD，∴OO1⊥底面ABCD.可得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心.因此SC是外接球的直径.∵SC2=SA2+AC2=9+8=17，∴4R2=17，∴四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为4πR2=π?17=17π.故答案为：17π20.设数列{an}的通项为an=2n﹣7(n∈N-)，则|a1|+|a2|+…+|a15|=153.【考点】等差数列的前n项和.【分析】先根据数列的通项公式大于等于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到数列的前三项为负数，利用负数的绝对值等于它的相反数，求出前三项的绝对值，正数的绝对值等于本身把第四项及后面的各项化简，然后利用等差数列的前n项和的公式即可求出所求式子的值.【解答】解：由an=2n﹣7≥0，解得n≥，所以数列的前3项为负数，则|a1|+|a2|+…+|a15|=5+3+1+1+3+5+…+23=9+12×1+×2=153.故答案为：153三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)21.已知平面向量=(1，-)，=(2-+3，﹣-)(-∈R).(1)若∥，求|﹣|(2)若与夹角为锐角，求-的取值范围.【考点】平面向量数量积的运算;平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】(1)根据向量平行与坐标的关系列方程解出-，得出的坐标，再计算的坐标，再计算||;(2)令得出-的范围，再去掉同向的情况即可.【解答】解：(1)∵，∴﹣-﹣-(2-+3)=0，解得-=0或-=﹣2.当-=0时，=(1，0)，=(3，0)，∴=(﹣2，0)，∴||=2.当-=﹣2时，=(1，﹣2)，=(﹣1，2)，∴=(2，﹣4)，∴||=2.综上，||=2或2.(2)∵与夹角为锐角，∴，∴2-+3﹣-2>0，解得﹣1又当-=0时，，∴-的取值范围是(﹣1，0)∪(0，3).22.(文科)已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20.(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式.(Ⅱ)令Cn=nbn(n∈N+)，求{cn}的前n项和Tn.【考点】等差数列与等比数列的综合;数列的求和.【分析】(Ⅰ)设公差为d，公比为q，则a2b2=(3+d)q=12①，S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=20②联立①②结合d>0可求d，q，利用等差数列，等比数列的通项公式可求an，bn(Ⅱ)由(I)可得，bn=2n﹣1，cn=n?2n﹣1，考虑利用错位相减求解数列的和即可【解答】解：(Ⅰ)设公差为d，公比为q，则a2b2=(3+d)q=12①S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=20②联立①②可得，(3d+7)(d﹣3)=0∵{an}是单调递增的等差数列，d>0.则d=3，q=2，∴an=3+(n﹣1)×3=3n，bn=2n﹣1…(Ⅱ)bn=2n﹣1，cn=n?2n﹣1，∴Tn=c1+c2+…+cnTn=1?20+2?21+3?22+…+n?2n﹣12Tn=1?21+2?22+…+(n﹣1)?2n﹣1+n?2n…两式相减可得，﹣Tn=1?20+1?21+1?22+…+1?2n﹣1﹣n?2n∴﹣Tn==2n﹣1﹣n?2n∴Tn=(n﹣1)?2n+1…23.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB﹣sin(A﹣B)sinB+cos(A+C)=﹣.(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)若a=4，b=5，求向量在方向上的投影.【考点】两角和与差的余弦函数;向量数乘的运算及其几何意义;二倍角的正弦;二倍角的余弦;余弦定理.【分析】(Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A 的余弦值，然后求sinA的值;(Ⅱ)利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小.【解答】解：(Ⅰ)由可得，可得，即，即，(Ⅱ)由正弦定理，，所以=，由题意可知a>b，即A>B，所以B=，由余弦定理可知.解得c=1，c=﹣7(舍去).向量在方向上的投影：=ccosB=.24.已知如图：四边形ABCD是矩形，B C⊥平面ABE，且AE=2，EB=BC=2，点F 为CE上一点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE∥平面BFD;(2)求三棱锥A﹣DBE的体积;(3)求二面角D﹣BE﹣A的大小.【考点】二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.【分析】(1)连接AC交BD于G，连结GF，则G为AC的中点，推导出BF⊥CE，FG为△ACE的中位线，由此能证明AE∥平面BFD.(2)推导出BF⊥AE，BC⊥AE，AD⊥平面ABE，从而AE⊥BE，由VA﹣DBE=VD﹣ABE，能求出三棱锥A﹣DBE的体积.(3)由AE⊥BE，AD⊥BE，得到∠DEA是二面角D﹣BE﹣A的平面角，由此能求出二面角D﹣BE﹣A的大小.【解答】证明：(1)连接AC交BD于G，连结GF，∵ABCD是矩形，∴G为AC的中点，…1分由BF⊥平面ACE得：BF⊥CE，由EB=BC知：点F为CE中点，…2分∴FG为△ACE的中位线，∴FG∥AE，…3分∵AE?平面BFD，FG?平面BFD，∴AE∥平面BFD.…4分解：(2)由BF⊥平面ACE得：BF⊥AE，由BC⊥平面ABE及BC∥AD，得：BC⊥AE，AD⊥平面ABE，∵BC∩BF=F，∴AE⊥平面BCE，则AE⊥BE，…6分∴VA﹣DBE=VD﹣ABE=，即三棱锥A﹣DBE的体积为.…8分(3)由(2)知：AE⊥BE，AD⊥BE，∴BE⊥平面ADE，则BE⊥DE，∴∠DEA是二面角D﹣BE﹣A的平面角，…10分在Rt△ADE中，DE==4，∴AD=DE，则∠DEA=30°，∴二面角D﹣BE﹣A的大小为30°.…12分.25.如图，函数f(-)=Asin(ω-+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P(1，0)，Q(m，0)(m>0)，∠PQR=，M为QR的中点，|PM|=.(Ⅰ)求m的值及f(-)的解析式;(Ⅱ)设∠PRQ=θ，求tanθ.【考点】由y=Asin(ω-+φ)的部分图象确定其解析式;同角三角函数间的基本关系.【分析】(Ⅰ)由已知可得=，从而解得m的值，由图象可求T，由周期公式可求ω，把p(1，0)代入f(-)，结合|φ|≤，即可求得φ的值，把R(0，﹣4)代入f(-)=Asin(-﹣)，即可解得A的值，从而可求f(-)的解析式.(Ⅱ)由∠ORP=﹣θ，tan∠ORP=，根据tan(﹣θ)=即可解得tanθ的值.【解答】解：(Ⅰ)∵∠PQR=，∴OQ=OR，∵Q(m，0)，∴R(0，﹣m)，…又M为QR的中点，∴M(，﹣)，又|PM|=，=，m2﹣2m﹣8=0，m=4，m=﹣2(舍去)，…∴R(0，4)，Q(4，0)，=3，T=6，=6，，…把p(1，0)代入f(-)=Asin(-+φ)，Asin(+φ)=0，∵|φ|≤，∴φ=﹣.…把R(0，﹣4)代入f(-)=Asin(-﹣)，Asin(﹣)=﹣4，A=.…f(-)的解析式为f(-)=sin(-﹣).所以m的值为4，f(-)的解析式为f(-)=sin(-﹣).…(Ⅱ)在△OPR中，∠ORP=﹣θ，tan∠ORP=，∴tan(﹣θ)=，…∴=，解得tanθ=.…26.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10.(Ⅰ)求证：{lgan}是等差数列;(Ⅱ)设Tn是数列{}的前n项和，求Tn;(Ⅲ)求使Tn>(m2﹣5m)对所有的n∈N-恒成立的整数m的取值集合.【考点】数列的求和;等差关系的确定.【分析】(I)根据等差数列的定义即可证明{lgan}是等差数列;(Ⅱ)求出{}的通项公式，利用裂项法即可求Tn;(Ⅲ)直接解不等式即可得到结论.【解答】解：(I)∵a1=10，an+1=9Sn+10.∴当n=1时，a2=9a1+10=100，故，当n≥1时，an+1=9Sn+10①，an+2=9Sn+1+10②，两式相减得an+2﹣an+1=9an+1，即an+2=10an+1，即，即{an}是首项a1=10，公比q=10的等比数列，则数列{an}的通项公式;则lgan=lg10n=n，则lgan﹣lgan﹣1=n﹣(n﹣1)=1，为常数，即{lgan}是等差数列;(Ⅱ)∵lgan=n，则=(﹣)，则Tn=3(1﹣+…+﹣)=3(1﹣)=3﹣，(Ⅲ)∵Tn=3﹣≥T1=，∴要使Tn>(m2﹣5m)对所有的n∈N-恒成立，则>(m2﹣5m)对所有的n∈N-恒成立，解得﹣1故整数m的取值集合{0，1，2，3，4，5}.。
2022-2023学年河南省平顶山市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省平顶山市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z =5i 31−2i 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．数据71，73，79，83，89，90，96，98的25%分位数为（ ） A ．73B ．75C ．76D ．793．某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.24．已知向量a →=(−2，4)，b →=(−1，1)，则a →在b →上的投影向量为（ ） A ．(35，−65)B ．(−35，65)C ．（3，﹣3）D ．（﹣3，3）5．已知圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则它的侧面展开图的圆心角为（ ） A ．π2B ．πC ．4π3D ．3π26．在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →，则CD →=（ ） A ．12CM →+14BM →B ．14CM →+12BM →C ．13CM →+13BM →D ．13CM →−13BM →7．已知在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点M ，N 分别是BC ，BB 1的中点，则异面直线D 1M ，DN 所成角的余弦值为（ ） A ．17B ．√3514C ．914D ．678．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A +sin （A +C ）＝2sin C ，则（ ） A ．sin C 的最小值为12B ．sinC 的最大值为√32 C ．cos C 的最小值为0 D ．cos C 的最大值为12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．|z|=|z| B ．z −z 一定是虚数 C ．z +z 一定是实数D ．z 2≥010．从1～9这9个整数中随机取1个数，记M ，N 是此试验中的两个事件，且满足P （M ）=13，P （N ）=23，则下列说法正确的是（ ） A ．M 与N 是对立事件B ．若M ⊆N ，则P （MN ）=13C ．若P(MN)=19，则M 与N 相互独立D ．若P （M ∪N ）＝1，则M 与N 互斥11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且b ＝3，A ＝2B ，则下列说法正确的是（ ） A ．若c ＜b ，则△ABC 是钝角三角形 B ．△ABC 可能是顶角为钝角的等腰三角形C ．若a =3√3，则C =π2D ．若c ＝1，则a =2√312．如图所示，扇形OAB 的半径OA ＝4，∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点，点D ，E 是线段OB ，OA 上的动点且满足|OD →|=|AE →|，则CD →⋅CE →的值可以是（ ）A ．6B ．8C ．2√10D ．3√10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)，若(a →+2b →)⊥c →，则t ＝ ． 14．设一组样本数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的方差为5，则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差是 ．15．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为16，甲和乙两本书都买的概率为12，则小王买乙书的概率为 ．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，平面ABC ⊥平面P AB ，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z1＝t+（t2﹣1）i，z2＝sinθ+（2cosθ+1）i，其中t∈R，θ∈[0，π]．（1）若z1，z2∈R且z1＞z2，求t的值；（2）若z1＝z2，求θ．18．（12分）某型号新能源汽车近期升级一项新技术，现随机抽取了100名该技术的体验用户对该技术进行评分（满分100分），所有评分数据按照[84，88），[88，92），[92，96），[96，100]进行分组得到了如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计对该技术的评分的中位数；（2）现从评分在[84，88），[96，100]内的体验用户中按人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1B1，AB，AD的中点．（1）求平面AEC截正方体所得截面面积；（2）证明：平面AEC⊥平面MEF．20．（12分）如图所示，四边形ABCD的外接圆为圆O，BC＝2，AC＝3，tan B＝﹣2√2．（1）求sin∠ACB；（2）若∠COD＝∠AOD，求AD的长．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PD＝AB＝3AD＝3．（1）求点A到平面PBC的距离．（2）若E是P A的中点，F是PB上靠近点P的三等分点，棱PB上是否存在一点G使CG∥平面DEF？证明你的结论并求BG的长．22．（12分）某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖．每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中．甲、乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖．（1）若m＝60，求这两人中奖的概率；（2）若m＝240，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率．2022-2023学年河南省平顶山市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z =5i 31−2i在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：z =5i 31−2i =−5i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2−i ，则z 在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限． 故选：D ．2．数据71，73，79，83，89，90，96，98的25%分位数为（ ） A ．73B ．75C ．76D ．79解：8×25%＝2，该组数据的25%分位数为从小到大第2个数据和第3个数据的平均数 73+792=76．故选：C ．3．某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.2解：前三年6月份最高气温小于30°C 的天数为5+7+24＝36，所以概率为3690=0.4，所以可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率0.4． 故选：C ．4．已知向量a →=(−2，4)，b →=(−1，1)，则a →在b →上的投影向量为（ ） A ．(35，−65)B ．(−35，65)C ．（3，﹣3）D ．（﹣3，3）解：∵a →⋅b →=2+4=6，b →2=2，∴a →在b →上的投影向量为：a →⋅b →|b →|⋅b→|b →|=62(−1，1)=(−3，3)．5．已知圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则它的侧面展开图的圆心角为（ ） A ．π2B ．πC ．4π3D ．3π2解：根据题意，设圆锥的高为h ，它的侧面展开图的圆心角θ， 圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则V =π×4×ℎ3=8√33π， 则h ＝2√3，故该圆锥的母线长l =√12+4=4， 则4θ＝2π×2，解可得θ＝π． 故选：B ．6．在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →，则CD →=（ ） A ．12CM →+14BM →B ．14CM →+12BM →C ．13CM →+13BM →D ．13CM →−13BM →解：如图，在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →， 则CD →=CM →+MD →⋯⋯①， BA →=BM →+MA →⋯⋯②，①×2+②可得：4CD →=2CM →+BM →，即CD →=12CM →+14BM →．故选：A ．7．已知在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点M ，N 分别是BC ，BB 1的中点，则异面直线D 1M ，DN 所成角的余弦值为（ ） A ．17B ．√3514C ．914D ．67解：延长BB 1至G ，使得B 1G ＝1，连接D 1G ，GM ， 易知D 1G ∥DN ，则∠MD 1G 为异面直线D 1M ，DN 所成角，因为D 1G =√32+22+12=√14，MG =√12+32=√10，D 1M =√12+32+22=√14，故△MD 1G 中，cos ∠MD 1G =D 1M 2+D 1G 2−MG 22D 1M⋅D 1G =14+14−102×14×14=914．8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A +sin （A +C ）＝2sin C ，则（ ） A ．sin C 的最小值为12B ．sinC 的最大值为√32 C ．cos C 的最小值为0 D ．cos C 的最大值为12解：由已知得sin A +sin B ＝2sin C ，根据正弦定理可得a +b ＝2c ， 根据余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab =(a+b)2−2ab−c 22ab =3c 22ab −1≥3c 22(a+b 2)2−1=32−1=12，当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以cos C 的最小值为12，sin 2C +cos 2C =1，从而sin C 的最大值为√32． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．|z|=|z| B ．z −z 一定是虚数 C ．z +z 一定是实数D ．z 2≥0解：对于ABC ，不妨设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 则z =a −bi ，对于A ，|z|=|z|=√a 2+b 2，故A 正确； 对于B ，z −z =(a +bi)−(a −bi)=2bi ， 当b ＝0时，z −z =0，故B 错误；对于C ，z +z =a +bi +a −bi =2a ∈R ，故C 正确； 对于D ，设z ＝i ， z 2＝﹣1＜0，故D 错误． 故选：AC ．10．从1～9这9个整数中随机取1个数，记M，N是此试验中的两个事件，且满足P（M）=13，P（N）=23，则下列说法正确的是（）A．M与N是对立事件B．若M⊆N，则P（MN）=13C．若P(MN)=19，则M与N相互独立D．若P（M∪N）＝1，则M与N互斥解：对于A，M与N不一定为对立事件，也有可能由交集，比如M为“抽出的数大于等于7”，N为“抽出的数大于等于8或小于等于4”，A错误；对于B，当M⊆N，则P（MN）＝P（M）=13，B正确；对于C，由P（M）=13，P（N）=23，可得P（N）＝1−23=13，则P（M N）＝P（M）P（N），可得M，N互相独立，即有M与N相互独立，C正确；对于D，由P（M）=13，P（N）=23，可得P（M）+P（N）＝P（M∪N）＝1，即有P（MN）＝0，M与N也可能由交集，比如M为“抽出的数小于等于3”，N为“抽出的数大于等于3且小于等于8”显然P（M∪N）=49+49+19=1，二者的交集是“抽出的数字为3”，互斥，D正确．故选：BCD．11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝3，A＝2B，则下列说法正确的是（）A．若c＜b，则△ABC是钝角三角形B．△ABC可能是顶角为钝角的等腰三角形C．若a=3√3，则C=π2D．若c＝1，则a=2√3解：对于A，若c＜b，则C＜B，由π＝A+B+C＜4B，得B＞π4，所以A＞π2，故A正确；对于C，由正弦定理得asinA =bsinB，即asin2B=bsinB，所以a2sinBcosB=bsinB，结合b＝3得a＝6cos B，若a＝3√3，则\cos B=√32，所以B=π6，A=π3，则C=π2，故C正确；对于B，若△ABC是等腰三角形，当A＝C时，A+B+C＝5B，则顶角B=π5为锐角，当B＝C时，A+B+C＝2A，则顶角A=π2为直角，即顶角不可能为钝角，故B错误；对于D ，由选项C 的分析可知a ＝6cos B ，再由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+1−92a ， 所以a ＝6×a 2+1−92a，整理得a 2＝12，所以a ＝2√3，故D 正确．故选：ACD ．12．如图所示，扇形OAB 的半径OA ＝4，∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点，点D ，E 是线段OB ，OA 上的动点且满足|OD →|=|AE →|，则CD →⋅CE →的值可以是（ ）A ．6B ．8C ．2√10D ．3√10解：∵∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点， ∴∠BOC =∠AOC =π3，设|AE |＝x ，（0≤x ≤4），则|OD |＝x ，|OE |＝4﹣x ， ∴CD →=OD →−OC →，CE →=OE →−OC →， ∴CD →⋅CE →=(OD →−OC →)⋅(OE →−OC →) =OD →⋅OE →−OD →⋅OC →−OC →⋅OE →+OC →2 =x ⋅(4−x)⋅(−12)−4x ⋅12−4(4−x)⋅12+16 =12x 2−2x +8=12(x −2)2+6，0≤x ≤4， ∴6≤CD →⋅CE →≤8，故AB 正确；又6=2√9＜2√10＜2√16=8，故C 正确； (3√10)2=90＞64=82，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)，若(a →+2b →)⊥c →，则t ＝ 32．解：a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)， 则a →+2b →=（1，2）+（﹣4，2）＝（﹣3，4）， ∵(a →+2b →)⊥c →，∴2×（﹣3）+4t ＝0，解得t =32． 故答案为：32．14．设一组样本数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的方差为5，则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差是 45 ．解：已知4＝1×3+1，7＝2×3+1，3a +1＝3×a +1， 3b +1＝3×b +1，16＝5×3+1，19＝6×3+1，25＝8×3+1，所以数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25是数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的3倍再加1， 则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差为32×5＝45． 故答案为：45．15．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为16，甲和乙两本书都买的概率为12，则小王买乙书的概率为34．解：设事件A 表示“小王买甲书”，事件B 表示“小王买乙书”， 由题意可知，事件A 与事件B 相互独立， 所以事件A 与事件B 也相互独立，所以P （A B ）＝P （A ）P （B ）＝P （A ）（1﹣P （B ））=16，即P （A ）﹣P （A ）P （B ）=16， 又因为P （AB ）＝P （A ）P （B ）=12，所以P （A ）=12+16=23，P （B ）=1223=34，即小王买乙书的概率为34．故答案为：34．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，平面ABC ⊥平面P AB ，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 40π ．解：因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外接圆圆心即点D ，三棱锥外接球球心在过点D 与平面ABC 垂直的直线上，即在平面P AB 内，所以球心即为△P AB 的外接圆圆心，球的半径即为△P AB 的外接圆半径R ，因为PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，所以BD =2√2，从而AD =2√2，设P A ＝x ，在△P AD 中，根据余弦定理有PA 2=22+(2√2)2−2×2×2√2cos3π4=20，所以PA =2√5， 由正弦定理得2R =2√5sin∠PBA =2√10，所以R =√10，所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝40π．故答案为：40π．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z 1＝t +（t 2﹣1）i ，z 2＝sin θ+（2cos θ+1）i ，其中t ∈R ，θ∈[0，π]．（1）若z 1，z 2∈R 且z 1＞z 2，求t 的值；（2）若z 1＝z 2，求θ．解：（1）由z 1，z 2∈R 且z 1＞z 2，可得{t 2−1=2cosθ+1=0t ＞sinθ，且θ∈[0，π]，解得t ＝1； （2）因为z 1＝z 2，所以{t =sinθt 2−1=2cosθ+1θ∈[0，π]，解得cos θ＝﹣1，所以θ＝π．18．（12分）某型号新能源汽车近期升级一项新技术，现随机抽取了100名该技术的体验用户对该技术进行评分（满分100分），所有评分数据按照[84，88），[88，92），[92，96），[96，100]进行分组得到了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并根据频率分布直方图，估计对该技术的评分的中位数；（2）现从评分在[84，88），[96，100]内的体验用户中按人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率．解：（1）因为4（0.025+0.075+0.1+a ）＝1，解得a ＝0.05，易得评分在[84，92）内的频率为4（0.025+0.075）＝0.4＜0.5，评分在[84，96）内的频率为4（0.025+0.075+0.1）＝0.8＞0.5，所以中位数在区间[92，96）内，则中位数为92+0.5−0.40.8−0.4×4=93；（2）易知这6人中评分在[84，88）内的有2人，记为x 、y ，评分在[96，100]内的有4人，记为a ，b ，c ，d ，则从这6人中随机抽取2人有：xy 、xa 、xb 、xc 、xd 、ya 、yb 、yc 、yd 、ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共15种情况，其中至少有一人评分在[84，88）内的有：xy 、xa 、xb 、xc 、xd 、ya 、yb 、yc 、yd 共9种情况，则这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率P =915=35． 19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是A 1B 1，AB ，AD 的中点．（1）求平面AEC 截正方体所得截面面积；（2）证明：平面AEC ⊥平面MEF ．解：（1）平面AEC 截正方体所得截面为梯形ACQE ，其中Q 为B 1C 1的中点，由题易知AC ＝2√2，EQ =√2，OC ＝AE =√5，∴梯形的高h =√5−12=√92=3√22，所以截面面积为√2+2√22×3√22=92． 证明：（2）连接BD ，∵M ，F 为AD ，AB 的中点，∴MF ∥BD ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴AC ⊥MF ，∵E ，F 分别是A 1B 1，AB 的中点，∴EF ∥AA 1，∵AA1⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥AC，又∵EF∩MF＝F，∴AC⊥平面MEF，又∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面MEF．20．（12分）如图所示，四边形ABCD的外接圆为圆O，BC＝2，AC＝3，tan B＝﹣2√2．（1）求sin∠ACB；（2）若∠COD＝∠AOD，求AD的长．解：（1）由tanB=−2√2，可得sinB=2√23，cosB=−13，设AB＝c（c＞0），在△ABC中，由余弦定理得9=4+c2−4c×(−13)，即c2+43c−5=0，解得c＝﹣3（舍去）或c=5 3，由正弦定理得sin∠ACB=c⋅sinB3=53×2√233=10√227．（2）∵∠COD＝∠AOD，∴AD＝CD，由已知得∠B+∠ADC＝π，∴cos∠ADC=1 3，设AD＝CD＝m（m＞0），在△ACD中，由余弦定理得9=m2+m2−2m2×13=43m2，所以m2=27 4，所以m=3√32，即AD=3√32．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PD＝AB＝3AD＝3．（1）求点A到平面PBC的距离．（2）若E是P A的中点，F是PB上靠近点P的三等分点，棱PB上是否存在一点G使CG∥平面DEF？证明你的结论并求BG的长．解：（1）因为AD∥BC，AD∉平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离即点D到平面PBC的距离，作DM⊥PC，垂足为M，如下图所示：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，又BC⊥CD，CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD，且交线为PC，又DM⊂平面PCD，所以DM⊥平面PBC，点D到平面PBC的距离即DM，在等腰直角△PCD中，PD＝CD＝3，所以DM=3×332=3√22，即点A到平面PBC的距离为3√2 2．证明：（2）存在满足条件的点G，且点G为线段PB上靠近点B的三等分点，证明如下：连接AC，BD交于点O，连接OG，AG，因为点F，G是PB的三等分点，所以F为PG的中点，G为BF的中点，在矩形ABCD中，O为BD的中点，所以OG∥DF，OG∉平面DEF，所以OG∥平面DEF，因为点E为P A的中点，所以EF∥AG，AG∉平面DEF，所以AG∥平面DEF，又因为OG∩AG＝G，OG，AG⊂平面ACG，所以平面ACG∥平面DEF，又因为CG⊂平面ACG，所以CG∥平面DEF，因为PB=√12+32+32=√19，所以BG=√193．22．（12分）某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖．每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中．甲、乙共有购物小票一张，购物金额为m 元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖．（1）若m ＝60，求这两人中奖的概率；（2）若m ＝240，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率．解：（1）记1个红球为a ，4个白球分别为b ，c ，d ，e ．则从箱子中随机摸出两球，样本点有：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10个样本点 其中含有红球的为：ab ，ac ，ad ，ae ，共4个样本点，所以在一次摸奖中，中奖概率为410=25． 当m ＝60时，甲、乙两人只能摸奖一次，所以他们中奖的概率为25．（2）当m ＝240时，他们可以摸奖4次．记事件第i 次由甲摸奖为A i （i ＝1，2，3，4），记第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖为事件B ， 则B =A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4，所以P(B)=P(A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4)，=P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)，=12×(25)3+12×25×35×35+12×35×35×25+12×35×25×35 =31125．。
高一数学下册期末试卷及答案
高一数学下册期末试卷及答案心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，顽强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功!下面给大家分享一些关于高一数学下册期末试卷及答案，希望对大家有所帮助。
一.选择题1.若函数f(x)是奇函数，且有三个零点x1、x2、x3，则x1+x2+x3的值为( )A.-1B.0C.3D.不确定[答案] B[解析] 因为f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，它有三个零点，即f(x)的图象与x轴有三个交点，故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数.∴x1+x2+x3=0.2.已知f(x)=-x-x3，x∈[a，b]，且f(a)?f(b)<0，则f(x)=0在[a，b]内( )A.至少有一实数根B.至多有一实数根C.没有实数根D.有惟一实数根[答案] D[解析] ∵f(x)为单调减函数，x∈[a，b]且f(a)?f(b)<0，∴f(x)在[a，b]内有惟一实根x=0.3.(09?天津理)设函数f(x)=13x-lnx(x>0)则y=f(x)( )A.在区间1e，1，(1，e)内均有零点B.在区间1e，1，(1，e)内均无零点C.在区间1e，1内有零点;在区间(1，e)内无零点D.在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点[答案] D[解析] ∵f(x)=13x-lnx(x>0)，∴f(e)=13e-1<0，f(1)=13>0，f(1e)=13e+1>0，∴f(x)在(1，e)内有零点，在(1e，1)内无零点.故选D.4.(2010?天津文，4)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )A.(-2，-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)[答案] C[解析] ∵f(0)=-1<0，f(1)=e-1>0，即f(0)f(1)<0，∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内.5.若方程x2-3x+mx+m=0的两根均在(0，+∞)内，则m的取值范围是( )A.m≤1B.0C.m>1D.0[答案] B[解析] 设方程x2+(m-3)x+m=0的两根为x1，x2，则有Δ=(m-3)2-4m≥0，且x1+x2=3-m>0，x1?x2=m>0，解得06.函数f(x)=(x-1)ln(x-2)x-3的零点有( )A.0个B.1个C.2个D.3个[答案] A[解析] 令f(x)=0得，(x-1)ln(x-2)x-3=0，∴x-1=0或ln(x-2)=0，∴x=1或x=3，∵x=1时，ln(x-2)无意义，x=3时，分母为零，∴1和3都不是f(x)的零点，∴f(x)无零点，故选A.7.函数y=3x-1x2的一个零点是( )A.-1B.1C.(-1,0)D.(1,0)[答案] B[点评] 要准确掌握概念，“零点”是一个数，不是一个点.8.函数f(x)=ax2+bx+c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有[答案] C[解析] 若a=0，则b≠0，此时f(x)=bx+c为单调函数，∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点;若a≠0，则f(x)为开口向上或向下的抛物线，若在(1,2)上有两个零点或无零点，则必有f(1)?f(2)>0，∵f(1)>0，f(2)<0，∴在(1,2)上有且仅有一个零点，故选C.9.(哈师大附中2009～2010高一期末)函数f(x)=2x-log12x的零点所在的区间为( )A.0，14B.14，12C.12，1D.(1,2)[答案] B[解析] ∵f14=214-log1214=42-2<0，f12=2-1>0，f(x)在x>0时连续，∴选B.10.根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为( )x -1 0 1 2 3ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)[答案] C[解析] 令f(x)=ex-x-2，则f(1)?f(2)=(e-3)(e2-4)<0，故选C.二、填空题11.方程2x=x3精确到0.1的一个近似解是________.[答案] 1.412.方程ex-x-2=0在实数范围内的解有________个.[答案] 2三、解答题13.借助计算器或计算机，用二分法求方程2x-x2=0在区间(-1,0)内的实数解(精确到0.01).[解析] 令f(x)=2x-x2，∵f(-1)=2-1-(-1)2=-12<0，f(0)=1>0，说明方程f(x)=0在区间(-1,0)内有一个零点.取区间(-1,0)的中点x1=-0.5，用计算器可算得f(-0.5)≈0.46>0.因为f(-1)?f(-0.5)<0，所以x0∈(-1，-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75，用计算器可算得f(-0.75)≈-0.03>0.因为f(-1)?f(-0.75)<0，所以x0∈(-1，-0.75).同理，可得x0∈(-0.875，-0.75)，x0∈(-0.8125，-0.75)，x0∈(-0.78125，-0.75)，x0∈(-0.78125，-0.765625)，x0∈(-0.7734375，-0.765625).由于|(-0.765625)-(0.7734375)|<0.01，此时区间(-0.7734375，-0.765625)的两个端点精确到0.01的近似值都是-0.77，所以方程2x-x2=0精确到0.01的近似解约为-0.77.14.证明方程(x-2)(x-5)=1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2.[解析] 令f(x)=(x-2)(x-5)-1∵f(2)=f(5)=-1<0，且f(0)=9>0.f(6)=3>0.∴f(x)在(0,2)和(5,6)内都有零点，又f(x)为二次函数，故f(x)有两个相异实根，且一个大于5、一个小于2.15.求函数y=x3-2x2-x+2的零点，并画出它的简图.[解析] 因为x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x-1)(x+1)，所以函数的零点为-1,1,2.3个零点把x轴分成4个区间：(-∞，-1]，[-1,1]，[1,2]，[2，+∞].在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值(取精确到0.01的近似值)表：x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 …y … -4.38 0 1.88 2 1.13 0 -0.63 0 2.63 …在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.16.借助计算器或计算机用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1,0)内的近似解.(精确到0.1)[解析] 原方程为x3-4x2+x+5=0，令f(x)=x3-4x2+x+5.∵f(-1)=-1，f(0)=5，f(-1)?f(0)<0，∴函数f(x)在(-1,0)内有零点x0.取(-1,0)作为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下端点或中点横坐标端点或中点的函数值定区间a0=-1，b0=0 f(-1)=-1，f(0)=5 [-1,0]x0=-1+02=-0.5f(x0)=3.375>0 [-1，-0.5]x1=-1+(-0.5)2=-0.75 f(x1)≈1.578>0 [-1，-0.75]x2=-1+(-0.75)2=-0.875 f(x2)≈0.393>0 [-1，-0.875]x3=-1-0.8752=-0.9375 f(x3)≈-0.277<0 [-0.9375，-0.875]∵|-0.875-(-0.9375)|=0.0625<0.1，∴原方程在(-1,0)内精确到0.1的近似解为-0.9.17.若函数f(x)=log3(ax2-x+a)有零点，求a的取值范围.[解析] ∵f(x)=log3(ax2-x+a)有零点，∴log3(ax2-x+a)=0有解.∴ax2-x+a=1有解.当a=0时，x=-1.当a≠0时，若ax2-x+a-1=0有解，则Δ=1-4a(a-1)≥0，即4a2-4a-1≤0，解得1-22≤a≤1+22且a≠0.综上所述，1-22≤a≤1+22.18.判断方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]内有无实数解;如果有，求出一个近似解(精确到0.1).[解析] 设函数f(x)=x3-x-1，因为f(1)=-1<0，f(1.5)=0.875>0，且函数f(x)=x3-x-1的图象是连续的曲线，所以方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]内有实数解.取区间(1,1.5)的中点x1=1.25，用计算器可算得f(1.25)=-0.30<0.因为f(1.25)?f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5).再取(1.25,1.5)的中点x2=1.375，用计算器可算得f(1.375)≈0.22>0.因为f(1.25)?f(1.375)<0，所以x0∈(1.25，1.375).同理，可得x0∈(1.3125,1.375)，x0∈(1.3125，1.34375).由于|1.34375-1.3125|<0.1，此时区间(1.3125，1.34375)的两个端点精确到0.1的近似值是1.3，所以方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]精确到0.1的近似解约为1.3.。
2023-2024学年广东省部分学校高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省部分学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则()A. B. C. D.12.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是个半圆，则此圆锥的体积为()A.3B.C.9D.3.已知正方体的棱长为2，E，F分别是BC和CD的中点.则两条平行线EF和间的距离为()A. B. C. D.4.端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件“乙端午节吃咸粽子”，且，事件A与事件B相互独立，则()A. B. C. D.5.菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐如图的高约为36cm，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成如图，圆台的上底直径约为20cm，下底直径约为40cm，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为()A. B. C. D.6.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为已知，，若P，Q的余弦距离为则()A. B. C. D.7.在棱长为1的正方体中，，E是线段含端点上的一动点，则①；②面；③三棱锥的体积为定值；④OE与所成的最大角为上述命题中正确的个数是()A.1B.2C.3D.48.已知正方体的棱长为2，M 是棱的中点，空间中的动点P 满足，且，则动点P 的轨迹长度为()A.B.3C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列有关复数的说法正确的是()A.若，则B.C.D.若，则的取值范围为10.已知点，，则下列结论正确的是()A.与向量垂直的向量坐标可以是B.与向量平行的向量坐标可以是C.向量在方向上的投影向量坐标为D.对，向量与向量所成角均为锐角11.在正方体中，，E 是棱的中点，则下列结论正确的是()A.若F 是线段的中点，则异面直线EF 与AB 所成角的余弦值是B.若F 为线段上的动点，则的最小值为C.若F 为线段上的动点，则平面ABF 与平面CDF 夹角的余弦值的取值范围为D.若F 为线段上的动点，且与平面ABCD 交于点G ，则三棱锥的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
长沙市2023~2024学年高一年级期末考试数学试卷（答案在最后）2024年7月时量：120分钟满分：150分命题：高一数学组审题：高一数学组一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2i z =-，则zz z =-（）A.1i 2-+ B.1i 2- C.1i 2+ D.1i 2--2.有一组互不相等的样本数据126,,,x x x ，平均数为x .若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为125,,,y y y ，平均数为y ，则下列说法错误的是（）A.新数据的极差可能等于原数据的极差B.新数据的中位数不可能等于原数据的中位数C.若x y =，则新数据的方差一定大于原数据方差D.若x y =，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数3.设ABC 的内角A B C ､､所对边分别为,,a b c ，若π3A =，且不等式(230x x -+<的解集为{}x b x a <<∣，则B =（）A.π6B.5π6C.π6或5π6 D.2π34.在侧棱长为S ABC -中，40ASB BSC CSA ∠∠∠=== ，过A 作截面AEF ，则截面的最小周长为（）A. B.4C.6D.105.设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得b a λ= ”是“a b a b +=+ ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC CC AC BC ==⊥，点D 是AB 的中点，则直线1B B 和平面1CDB 所成角的正切值为（）A.22B.3222D.227.在正方体1111ABCD A B C D -中边长为2，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π4，则此时点P 构成的图形面积为（）A.πB.25π16C.41π16D.2π8.已知平面向量12312312,,,1,,60e e e e e e e e ====.若对区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的三个任意的实数123,,λλλ，都有11223312312e e e e e e λλλ++≥++，则向量13,e e 夹角的最大值的余弦值为（）A.366-B.356+-C.366-D.356-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为12,x x ，事件A =“13x =”，事件B =“26x =”，事件12“9C x x =+=”，则（）（）A.AB C ⊆B.AC B ⊆C.,B C 互斥D.,B C 独立10.已知函数()23sin 2sin (0)2xf x x ωωω=+>的图象在区间[]0,π上有且仅有三个对称中心，则（）A.ω的取值范围是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()f x 的图象在区间[]0,π上有2条或3条对称轴C.()f x 在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值不可能为3D.()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,,E F G 分别为棱11,,AA CC BC 上的点，()10,1A E CF CG λ===∈，则（）A.EG GF⊥B.平面EFG 经过棱AB 的中点HC.平面EFG 截该正方体，截面面积的最大值为4D.点D 到平面EFG 距离的最大值为2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象与坐标轴交于点,,A B C ，直线BC 交()f x 的图象于点,D O （坐标原点）为ABD 的重心（三条边中线的交点），其中()π,0A -，则ABD 的面积为__________.13.明德中学为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数为x ，方差为2x s ，所有教师评分样本的半均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x s y s s ==，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为__________.14.正四棱锥的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则Rr的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面,2,22,,ABCD PA AB PB AD BC AB BC AD =====⊥∥,BC M 为棱AP 的中点.（1）求证：BM ∥平面PCD ；（2）求直线PC 与平面BCM 所成角的正弦值.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos sin 3a b C C =-.（1）求B 的大小；（2）若ABC 的面积为，且3BC BD =，当线段AD 的长最短时，求AC 的长.17.（15分）袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲､乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，...，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求取球2次即终止的概率：（2）求甲取到白球的概率.18.（17分）如图，已知四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，且6AB =，60BAD BAF DAF ∠∠∠=== .（1）证明：直线BD ⊥平面ACEF ；（2）设平面BEF ⋂平面ABCD l =，且二面角E l D --的平面角为26,tan 3θθ=，设G 为线段AF 的中点，求DG 与平面ABCD 所成角的正弦值.19.（17分）点A 是直线PQ 外一点，点M 在直线PQ 上（点M 与,P Q 两点均不重合），我们称如下操作为“由A 点对PQ 施以视角运算”：若点M 在线段PQ 上，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=；若点M 在线段PQ 外，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=-.（1）若M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 的延长线上，且22AB BM ==，由1A 对AB 施以视角运算，求(),;A B M 的值：（2）若M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 上，且2AB =，由1A 对AB 施以机角运算，得到()1,;2A B M =，求AM MB的值；（3）若1231,,,,n M M M M - 是ABC 的边BC 的()2n n ≥等分点，由A 对BC 施以视角运算，证明：()()(),;,;11,2,3,,1k n k B C M B C M k n -⨯==- .长沙市2023~2024学年高一年级期末考试数学答案题号12345678答案ADACBDAA【解析】因为2i z =-，所以2i z =+，所以()()()2i i 2i 2i 12i 1i 2i 2i 2i 2i i 22z z z +⋅++-+=====-+---+--⋅.故选：A.2.【答案】D【解析】不妨设原数据126x x x <<< ，新数据.125y y y <<< .，A ：例如原数据为1,2,3,4,5,6，新数据为，此时极差均为615-=，故A 正确；B ：原数据中位数为342x x +，新数据中位数为3y ，可知33y x =或34y x =，若33y x =，可得34332x x x y +>=；若34y x =，可得34432x xx y +<=；综上所述：新数据的中位数不可能等于原数据的中位数，故B 正确；C ：若x y =，可知去掉的数据为x ，则652211(()i i x x y y ==-=-∑∑，可得652211111,3,4,5,6()()65i i x x y y ==-<-∑∑，所以新数据的方差一定大于原数据方差，故C 正确；D：若x y =，可知去掉的数据为x ，因为640% 2.4⨯=，可知原数据的40%分位数为第3位数，540%2⨯=，可知新数据的40%分位数为第2位数与第3位数的平均数，例如原数据为2,2,3,4,5,6-，新数据为2,2,4,5,6-，此时新数据的40%分位数､原数据的40%分位数均为3，故D 错误；故选：ABC.3.【答案】A【解析】不等式(230x x -+<即()(30x x -<3x <<，所以，3,a b ==，由正弦定理可得sin sin b a B A=，所以，πsin 13sin 32b A B a ===，b a < ，所以B A <，可得B 是锐角，所以π6B =，故选A .4.【答案】C【解析】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面AEF 的周长最小，就是侧面展开图中AG 的距离，因为侧棱长为2的正三棱锥V ABC -的侧棱间的夹角为40,120AVG ∠=，所以由余弦定理可知22222cos12036,6AG VA VG VA VG AG =+-⋅==∴= ，故选C.5.【答案】B【解析】若“a b a b +=+，则平方得2222|2||2|a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，即a b a b ⋅=⋅ ，即cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅=⋅ ，则cos ,1a b = ，即,0a b = ，即,a b同向共线，则存在实数λ使得b a λ= ；反之当,πa b = 时，存在0λ<，满足b a λ= ，但“a b a b +=+ ”不成立，即“存在实数λ使得b a λ= ”是“a b a b +=+ ”的必要不充分条件.故选：B.6.【答案】D【解析】由题意，以C 为坐标原点，以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间坐标系，如下图所示：令12AC BC CC ===，则()0,0,0C ，()()()()12,0,0,0,2,0,1,1,0,0,2,2A B D B 故()()()110,0,2,1,1,0,0,2,2B B CD CB =-==设(),,n x y z = 为平面1CDB 的一个法向量，则100CD n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0220x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则1,1y z =-=，从而()1,1,1n =-，设直线1B B 和平面1CDB 所成角为θ，则111sin cos ,3||n B B n B B n B Bθ⋅=<>==⋅，故cos 3θ=，从而tan 2θ=.故选：D.7.【答案】A【解析】如下图所示，设三棱锥P ABC -的外接球为球O '，分别取11AC A C ､的中点1O O ､，则点O '在线段1OO 上，由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则ABC的外接圆的半径为OA =O 的半径为R ，则2414ππ4R =，解得4R =.所以，34OO =='，则1135244OO OO OO '=-=-=，易知，点P 在上底面1111A B C D 所形成的轨迹是以1O为圆心的圆，由于4O P R =='，所以，11O P ==，因此，点P 所构成的图形的面积为21ππO P ⨯=.故选：A.8.【答案】A【解析】设()cos ,sin C θθ，如图，不妨设()()12311,0,,,cos ,sin 22e OA e OB e CO θθ⎛⎫======-- ⎪ ⎪⎝⎭.设M 为AB 的中点，G 为OC 的中点，F 为BD 的中点，E 为AD 的中点.则()1233111,,cos ,sin ,44222M G e e e GO OM GM θθ⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设112233e e e HO OP HP λλλ++=+=，点P 在平行四边形EDFM 内（含边界）.由题知HP GM ≥恒成立.为了使13,e e最大，则思考13,e e为钝角，即思考C 点在第一或第四象限.思考临界值即P 与M 重合，G 与H 重合，且GM 不能充当直角三角形斜边，否则可以改变H 的位置，使得HM GM <，此时θ最小，所以GM OC ⊥ ，即()311cos ,sin cos ,sin 04242θθθθ⎛⎫--⋅= ⎪⎪⎝⎭，即22311cos cos sin 04242θθθθ-+-=.即331cos sin 1222θθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即π1cos 262θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以πcos 63θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以ππππππcos cos cos cos sin sin 666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1332326+=⨯+=，其中向量1e 与3e 夹角为πθ-，故1e 与3e 夹角的最大值的余弦值为36+-.故选：A.9.【答案】ABD【解析】AB =“13x =且26x ="，事件C 的基本事件有121212121,8;2,7;3,6;4,5x x x x x x x x ========；121212125,4;6,3;7,2;8,1x x x x x x x x ========共8个，所以AB C ⊆，故A 正确；AC ="13x =且129"x x +=="13x =且26"x =，所以AC B ⊆，故B 正确；对于C ，当13x =且26x =时，事件,B C 同时发生，所以,B C 不互斥，故C 错误；对于()()181D,,8888P B P C ===⨯，而BC =“13x =且26x =”，则()164P BC =，所以()()()P BC P B P C =，所以,B C 独立，故D 正确.故选：ABD.10.【答案】BD【解析】()1cos π2cos 12sin 126xf x x x x x ωωωωω-⎛⎫=+⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，令()ππ6x k k ω-=∈Z ，得()()61πππ66k k x k ωωω+=+=∈Z ，由()()61π0π6k k ω+≤≤∈Z 结合0ω>，得()1166k k ω-≤≤-∈Z ，依题意.k .有且只有三个整数值，所以1236ω≤-<，得131966ω≤<，故A 不正确；令()πππ62x k k ω-=+∈Z ，得()()32ππ2π33k k x k ωωω+=+=∈Z ，由()()32π0π3k k ω+≤≤∈Z 结合0ω>，得()2233k k ω-≤≤-∈Z ，当13863ω≤<时，32223ω≤-<，此时0k =或1k =，函数()f x 的图象在区间[]0,π上有2条对称轴，为2π5π,33x x ωω==，当81936ω≤<时，25232ω≤-<，此时0k =或1k =或2k =，函数()f x 的图象在区间[]0,π上有2条对称轴，为2π5π8π,,333x x x ωωω===，所以()f x 的图象在区间[]0,π上有2条或3条对称轴，故B 正确；当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππππ,6646x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为131966ω≤<，所以ππ3π5π,4688ω⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，所以当ππ62x ω-=，即2π3x ω=时，()f x 取得最大值3，故C 不正确；由π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππππ,6666x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为131966ω≤<，所以ππ7π13π,663636ω⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，因为0ω>，所以()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故D 正确.故选：BD11.【答案】ABD【解析】记M 为11D C 的中点，棱AB 的中点H ，取线段11A D 上的点N 使得1A N λ=，正方体1111ABCD A B C D -的中心为O .则根据对称性，E 和,F G 和,N H 和M 分别关于点O 对称.从而O 在平面EFG 内，而FG ∥1BC ∥HM ，故FG ∥HO ，从而H 在平面EFG 内.由于前面的对称性，及,,,,E F G H O 在平面EFG 内，知平面EFG 截该正方体的截面就是中心为O 的六边形EHGFMN ，从而H 一定在平面EFG 内，至此我们得到选项B 正确.前面已经证明FG ∥MH ，同理有NE ∥MH ，故FG ∥MH ∥NE .由于11A N A E CF CG λ====，故111D N AE C F BG λ====-，同时显然有1112AH BH D M C M ====.从而EN FG λ===，MN MF EH GH =====由于,EN FG HM FG λ==<=∥MH ∥NE ，故四边形ENMH 和GFMH 都是等腰梯形，从而,OE ON OF OG ==.这表明线段EF 和GN 互相平分且长度相等，所以四边形是EGFN 矩形，故EG GF ⊥，至此我们得到选项A 正确.由于四边形ENMH 和GFMH λ，下底均为，.所以它们的面积都等于(11122λλ⋅+=+故截面EHGFMN 的面积(1S λ=+.当34λ=时，(7321411644S λ⋅=+=>，至此我们得到选项C 错误.由于1122DO DB ==，且O 在平面EFG 内，故点D 到平面EFG的距离不超过2.而当12λ=时，,,,,,E H G F M N分别是各自所在棱的中点，从而DE DF DG ===而2OE OF OG ===，这表明点D 和点O 到,,E F G 三点的距离两两相等.故点D 和点O 在平面EFG 的投影同样满足到,,E F G 三点的距离两两相等，从而点D 和点O 在平面EFG 的投影都是EFG 的外心，所以由点D 和点的投影是同一点，知DO 垂直于平面EFG .从而由O 在平面EFG 内，知点D 到平面EFG 的距离就是DO 的长，即32.所以，点D 到平面EFG 的距离的最大值是32，至此我们得到选项D 正确.故选：ABD.12.【答案】2【解析】因为O 为ABD 的重心，且()π,0A -，可得2π3OA AC ==，解得3π2AC =，所以π,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1π3ππ222T =--=，所以3πT =，所以2π3πω=，解得23ω=，可得()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()π0f -=，即()2sin π03ϕ⎡⎤⋅-+=⎢⎥⎣⎦，可得()2π2π3k ϕ⨯-+=，解得2π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又由0πϕ<<，所以2π3ϕ=，所以()22π2sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，于是()22π02sin 033OB f ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭，故ABD的面积为13π2222S =⨯⨯.故答案为：2.13.【答案】160【解析】假设在样本中，学生､教师的人数分别为,(1200,,)m n n m m n ≤<<∈N ，记样本中所有学生的评分为(),1,2,3,,i x i m =⋯，所有教师的评分为(),1,2,3,,j y j n =⋯，由x y =得mx ny z x y m n +===+，所以()()222111200m n i j i j s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()222211114,2002005m n i j x y x y i j x x y y ms ns s s ==⎡⎤=-+-=+=⎢⎥⎣⎦∑∑，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y x y xs s m n s s +=，令x ys t s =，则()21600,Δ2560042560042000mt t n mn m m -+==-=--≥，即220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤<<且200m n +=，得100m >，所以160m ≥.所以总样本中学生样本的个数至少为160.故答案为：160.14.1+【解析】设正四棱锥P ABCD -底面边长为a ，高为h ，底面ABCD 的中心为M ，连接,PM BM，则,2BM a PM h ==，所以PB ==，设外接球球心为1O ，内切球球心为2O ，则12,O O 在PM 上，因为11PO BO R ==，所以11O M PM PO h R =-=-，在1Rt O MB中，222()2h R a R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得2224h a R h +=，因为22111143332P ABCDV a h a r -==+⨯⨯所以r =，所以()22222222244h a h a a a R h a a h ahr h ah ++++===2222224ha h +⋅=，令h k a =，则222221h R a r ⎛⎫+ ⎪=，令1)t t =>，则()2121R t r t +=-，令1(0)m tm =->，则222111122R m m m r m m ++==++≥+=+，当且仅当12m m =，即m =时取等号，所以R r1+.1+.15.【解析】（1）取PD 的中点N ，连接,MN CN ，则MN ∥AD 且12MN AD =，又BC ∥AD 且12BC AD =，所以MN ∥BC 且MN BC =，故四边形BCNM 为平行四边形，所以BM ∥CN ，又BM ⊄平面,PCD CN ⊂平面PCD ，所以BM ∥平面PCD（2）由2,2AB PA PB ===222AB PA PB +=，所以PA AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PA =⊂平面PAB ，所以PA ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥.由2,1,AB BC AB BC ==⊥，得225AC AB BC =+=，所以223PC AC PA =+=，22226,5CM AM AC BM AM AB =+==+=，得222CM BM BC =+，则BC BM ⊥，所以1522MBC S BM BC =⋅= .又()()111121213323P MBC P ABC M ABC ABC V V V S PA MA ---=-=-=⋅⋅⋅⋅-= ，设P 到平面MBC 的距离为h ，直线PC 与平面MBC 的所成角为θ，则1536P MBC MBC V hS -== ，所以1536h =，解得55h =，所以5255sin 315h PC θ===，即直线PC 与平面MBC 的所成角的正弦值为515.16.【解析】（1）因为3cos sin 3a b C C =-，由正弦定理可得3sin sin cos sin 3A B C B C =-，又()()sin sin πsin sin cos cos sin A B C B C B C B C ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，所以sin cos cos sin sin cos sin sin 3B C B C B C B C +=-，所以cos sin sin 3B C B C =-，又()0,πC ∈，所以sin 0C >，所以cos sin 3B B =-，即tan B =，又()0,πB ∈，所以2π3B =；（2）因为ABC 的面积为，即1sin 2ac B =，即12πsin 23ac =11222ac ac ⨯==，因为3BC BD = ，所以13BD BC = ，在ABD 中2222cos AD BA BD BA BD B =+-⋅，即2221121123333AD c a ac ca ac ac ⎛⎫=++≥+== ⎪⎝⎭，当且仅当13c a =，即6,2a c ==时取等号，所以AD ≥AD 的最小值为6,2a c ==，则2222212cos 62262522b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以b =，即AC =17.【解析】（1）设事件A 为“取球2次即终止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助树状图求出相应事件的样本点数：因此，()432767P A ⨯==⨯.（2）设事件B 为“甲取到白球”，“第i 次取到白球”为事件1,2,3,4,5i =，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.借助树状图求出相应事件的样本点数：所以()()()()135135()P B P A A A P A P A P A =⋃⋃=++343343213361227765765437353535⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++=++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯18.【解析】（1）设AC BD O ⋂=，连接,DF OF ，四边形ABCD 为菱形，则,,AB AD AC BD BO OD =⊥=，又60BAF DAF ∠∠== ，易得BAF DAF ≅ ，所以BF DF =，则BD OF ⊥，又,,AC OF O AC OF ⋂=⊂平面ACEF ，所以直线BD ⊥平面ACEF（2）过F 点作FH AC ⊥于H 点，过H 点作HM l ⊥于M 点，连接FM ，过H 点作HN AD ⊥于N 点，连接FN ，由（1）易证，,FM l FN AD ⊥⊥，则FMH ∠为二面角E l D --的平面角，在直角FHM 中，6tan 3FH HM θ==，又3HM BO ==，可得6FH =，设2AF a =，则,33AN a NH FN a ===，直角FHN 中，222(26)3)3a +=，可得6AF =，G 为线段AF 的中点，则G 到平面ABCD 的距离6d =，又33DG =，设直线DG 与平面ABCD所成角为,sin 3d DG αα==，直线DG 与平面ABCD所成角的正弦值为3.19.【解析】（1）如图1，因为22AB BM ==，所以113,AM A B A M ===.由正方体的定义可知1AA AB ⊥，则190A AB ∠= ，故11sin 22AA B AA B ∠∠==，11sin 1313AA M AA M ∠∠==.因为111BA M AA M AA B ∠∠∠=-，所以11111sin sin cos cos sin 26BA M AA M AA B AA M AA B ∠∠∠∠∠=-=，则()11112sin 13,;3sin A A AA M A B M A B MA B ∠∠⨯=-=--.（2）如图2，设()02AM a a =≤≤，则1122sin ,cos 44AA M AA M a a ∠∠==++.因为111BA M AA B AA M ∠∠∠=-，所以()()()()()()22111sin sin 224/24BA M AA B AA M a a a ∠∠∠=-=-++，则()211112sin 14,;sin 22A A AA M a a A B M A B MA B a ∠∠⨯===-，解得23a =，故122AM a MB a ==-.（3）证明：如图3，因为1231,,,,n M M M M - 是BC 的n 等分点，所以k n k BM CM -=,n k k k n k BC BM CM BC n n --===.在k ABM 中，由正弦定理可得sin sin k k k BM AB BAM AM B ∠∠=，则sin sin k k k AB BAM BM AM B ∠∠=.在k ACM 中，同理可得sin sin k k k AC CAM CM AM C ∠∠=.因为πk k AM B AM C ∠∠+=，所以sin sin k k AM B AM C ∠∠=，则()sin sin ,;sin sin k k k k k k k k k AB BAM BM AM B BM k B C M AC CAM CM AM C CM n k∠∠∠∠====-.同理可得(),;n k n k n k BM n k B C M CM k ----==.。
2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题(含答案)
2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 的模为10，虚部为−8，则复数z 的实部为A. −6B. 6C. ±6D. 362.掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系为( )A. 互斥B. 互为对立C. 相互独立D. 相等3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′ // B′C′，O′A′=2B′C′=2，A′B′=1，则该平面图形的高为A.2 B. 1 C. 22 D. 24.已知一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，则这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是A. 29B. 30C. 31D. 325.已知M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且MN =12ON,AP =34AN ，以OA ,OB ,OC 为基底，则OP 可以表示为( )A. OP =12OA +14OB +14OC B. OP =12OA +13OB +13OC C. OP =14OA +13OB +13OCD. OP =14OA +14OB +14OC6.已知非零向量a ，b 满足|a +b |=|a−2b |，且b 在a 上的投影向量为23a ，则|a ||b |( )A. 12B.32C. 2D.37.如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若点E ，F 分别满足AE =23AB ，AF =23AC ，三棱柱高为3，△ABC面积为3 3，则几何体B 1C 1BCFE 的体积为A.8 33B. 33C.10 33 D.11 338.有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p ，录用到能力中等的人的概率为q ，则(p,q)=( )A. (16,16)B. (12,16)C. (12,14)D. (12,13)二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023学年华中师大一附中高一数学(下)期末考试卷附答案详析
2023学年华中师大一附中高一数学（下）期末考试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()20241i i z +-=（i 为虚数单位），则z 的虛部为（）A ．12B ．12-C ．i 2D ．i 2-2．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A=“取出的小球编号为奇数”，事件B=“取出的小球编号为偶数”，事件C=“取出的小球编号小于6”，事件D=“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（）A ．A 与B 互斥B ．A 与B 互为对立事件C ．C 与D 互为对立事件D ．B 与D 相互独立3．已知m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是（）A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若m α∥，m β∥，则αβ∥C ．若m α∥，αβ∥，则m β∥D ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥4．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（）A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.95．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，则“cos sin a C a C b c -=-”是“△ABC 为直角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，圆台1OO 的轴截面是等腰梯形ABCD ，24AB BC CD ===，E 为下底面O e 上的一点，且AE =，则直线CE 与平面ABCD 所成角的正切值为（）A ．2B ．12C D ．57．掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（）A ．17216B ．554C ．427D ．352168．在平行四边形ABCD 中，2π3BAD ∠=，1AB =，2AD =．P 是以C 动点，且AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r，则λμ+的最大值为（）A ．2+BC ．2+D ．27+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（）A ．中位数为3，极差为3B ．平均数为2，第80百分位数为4C ．平均数为3，中位数为4D ．平均数为3，方差为110．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量类似的，可以把有序复数对()()1212,,C z z z z ∈看作一个向量，记()12,a z z =r ，则称a r 为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于()12,a z z =r，()34,b z z =r ，1234,,,C z z z z ∈，规定如下运算法则：①()1324,a b z z z z +=++rr ；②()1324,a b z z z z -=--rr ；③1324a b z z z z ⋅=+r r ；④||a =r ．则下列结论正确的是（）A ．若(i,1i)a =+r ，(2,2i)b =-r ，则15ia b ⋅=+rr B ．若0a =r ，则()0,0a =rC ．a b b a⋅=⋅r r r r D ．()a b c a b a c⋅+=⋅+⋅r r r r r r r 11．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=︒，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，且AD BC ∥，222AB ED BC AF ====，将四边形ADEF 沿AD 向上折起，连接BE ，BF ，CE ．在折起的过程中，下列结论正确的是（）A ．AC ∥平面BEFB ．BE 与AD 所成的角先变大后变小C ．几何体EFABCD 体积有最大值53D ．平面BCE 与平面BEF 不可能垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆锥体积为3π，表面积是底面积的3倍，则该圆锥的母线长为______．13．已知平面向量a r ，b r ，3b =r ，向量a r 在向量b r 上的投影向量为16b -r，则a b ⋅=r r ______．14．在正三棱柱111ABC A B C -中，14AB AA ==，E 为线段1CC 上动点，D 为BC 边中点，则三棱锥A-BDE 外接球表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[)50,60，[)60,70，[)70,80三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人，求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率．16．（15分）如图，四边形PDCE 为矩形，直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面．90ADC BAD =∠=︒∠，F 是线段PA 的中点，PD =112AB AD CD ===．（1）求证：AC ∥平面DEF ；（2）求点F 到平面BCP 的距离．17．（15分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，S 为△ABC 的面积．且2sin sin sin 21sin C ab B a A S B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．（1）求A ；（2）若2a =，求△ABC 内切圆半径的最大值．18．（17分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为4的等边三角形，14CC =，D 、E 分别是线段AC 、1CC 的中点，点1C 在平面ABC 内的射影为点D ．（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）设G 为棱11B C 上一点，111C G C B λ=，()0,1λ∈．①若12λ=，请在图中作出三棱柱111ABC A B C -过G 、B 、D 三点的截面，并求该截面的面积；②求二面角G-BD-E 的取值范围．19．（17分）对于两个平面向量a r ，b r ，如果有0a b a a ⋅-⋅>r r r r ，则称向量a r是向量b r 的“迷你向量”．（1）若(1,)m x =r ，(2,1)n x =-r ，m r 是n r的“迷你向量”，求实数x 的取值范围；（2）一只蚂蚁从坐标原点()0,0O 沿最短路径爬行到点(),N n n 处（n N ∈且2n ≥）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i 次后停留的位置记为()112P i n ≤≤，设()1,0M n -．记事件T=“蚂蚁经过的路径中至少有n 个i P 使得ON uuu r 是i OP uuu r的迷你向量”。
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1
高一年级第二学期期末考试
数学试卷
第I 卷
一、选择题：(每小题5分，共计60分)
1.已知角α的终边过点()m m P 34，-，()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是（ ）
A ．1或－1
B ．
52或52- C ．1或52- D ．－1或5
2
2.从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，计算其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为( )
A. 1000
B. 1200
C. 130
D.1300
3.已知向量a =(3,2),b =(x,4)，且a ∥b ,则x 的值为( ) A.6 B.-6 C.38-
D.3
8 4. 若|2|= ，2||= 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是 （ ）
（A ）
6π （B ）4π （C ）3π
（D ）π12
5 5、如果数据n x x x ,,,21 的平均数是 x ，方差是2
S ，则32,,32,3221+++n x x x 的平均数和方差分别是（ ）
A.x 与2
S B.2 x ＋3 和2
S C. 2 x ＋3 和 42
S D. 2x ＋3 和 42
S ＋12S ＋9
6、设有一个直线回归方程y
ˆ＝2－1.5x ，则变量 x 增加一个单位（ ） A. y 平均增加 1.5 个单位 B. y 平均增加 2 个单位
C. y 平均减少 1.5 个单位
D. y 平均减少 2 个单位 7.要得到函数y=sin(2x-3
π
)的图象，只要将函数y=sin2x 的图象( ) A.向左平行移动
3
个单位 B.向左平行移动6个单位 C.向右平行移动3π个单位 D.向右平行移动6
π
个单位
8、用二分法求方程的近似值一般取区间[]b a ,具有特征 ( )
A. 0)(>a f
B.0)(>b f
C.0)()(<⋅b f a f
D. 0)()(>⋅b f a f
9.在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取
一张卡片，则两数之和等于5的概率为（ ） A.
31 B.61 C.91 D.12
1 10． 一批产品中，有10件正品和5件次品，对产品逐个进行检测，如果已检测到前3次均
为正品，则第4次检测的产品仍为正品的概率是（ ）
A.7/12
B. 4/15
C. 6/11
D. 1/3
若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ） A.y=x+6 B.y=-x+42 C.y=-2x+60 D.y=-3x+78
12.如图1，在一个边长为a 、b(a>b>0)的矩形内画一梯形，梯形上、下底分别为31a 与2
1
a ，高为b.向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )
A.
31 B.21
C.52
D.12
5
图1
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13.函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的部分图象如图2所示， 则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等于____________.
图2 14.已知=2e 1+k e 2,=e 1+3e 2,=2e 1-e 2，若A 、
B 、D 三点共线，则k=____________.
15、某企业三月中旬生产 A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员只记得Ａ产品的样本容量比Ｃ产品的样本容量多10，请你根据以上信息填补表格中数据。
16、在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是____________
2
) .
19. （本小题12分）已知函数y= 4cos 2x+43sinxcosx －2,（x ∈R ）。
（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值及其相对应的x 值； （3）写出函数的单调增区间；
20．为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：
3
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 装 订 线 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
21. 某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、
0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率， （2）至少射中7环的概率； （3）射中环数不足8环的概率.
22.(本小题满分12分)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(
2π,2
3π). (1)若|AC |=|BC |，求角α的值；
(2)若AC ·BC =-1，求
α
α
αtan 12sin sin 22++的值.
4
高一数学试题参考答案
一、选择题：（每小题5分共计60分）
二、填空题：（每小题4分，共计16分） 13、___222+_____ 14、____-4_____ 15、__900、90、800、80____ 16、_0。
004_____
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知cosα=
31，且-2
π
＜α＜0，求αααππαtan )cos()2sin()cot(-+∙--的值.
解：∵cosα=31，且-2
π
＜α＜0，∴sinα=-322,cotα=42-. ∴原式=
α
α
αααααsin sin cot tan )cos(sin )cot(-=
--=-cotα=42.
18、（1）0.2 (2)50 (3)0.9 19． (1)T=π (2)4),(6
m ax =∈+=y Z k k y ππ
(3))(],6
,
3
[Z k k k ∈++-ππ
ππ
20 略
21解：设“射中
10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的
事件分别为A 、B 、C 、D 、E ，则
（1）P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=0.24+0.28=0.52， 即射中10环或9环的概率为0.52. （2）P （A+B+C+D ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）+P （D ）=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87， 即至少射中7环的概率为0.87.
（3）P （D+E ）=P （D ）+P （E ）=0.16+0.13=0.29，
即射中环数不足8环的概率为0.29.
22解：(1)∵=(cosα-3,sinα)，=(cosα,sinα-3),
∴||=αααcos 610sin )3(cos 2
2-=+-,
||=αααsin 610)3(sin cos 2
2-=-+.
由||=||得sinα=cosα.
又∵α∈(
2π,2
3π
)，∴α=45π.
(2)由·
=-1得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα=
3
2
. 又α
αααααααcos sin 1)
cos (sin sin 2tan 12sin sin 22+
+=++=2sinαcosα.
由①式两边平方得1+2sinαcosα=9
4
, ∴2sinαcosα=9
5
-
. ∴
9
5
tan 12sin sin 22-=++ααα.。