2018最新考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：解答题滚动练2 Word版含答案
2018届高考数学理科二轮总复习高考大题滚动练二 含解
高考大题滚动练(二)1．(2017·江苏苏州大学指导卷)已知函数f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x . (1)求函数f (x )的定义域和最小正周期； (2)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求函数f (x )的值域． 解 (1)函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，因为f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1＋3sin x cos x cos 2x ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得π6<2x ＋π6<7π6， 所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f (x )∈⎝⎛⎦⎤0，32， 即函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2的值域为⎝⎛⎦⎤0，32. 2．(2017·江苏泰州姜堰区质检)已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1.①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，则d >0.由a 2a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)， 所以a n ＝2n －1.(2)①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1， 所以b 1＝a 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 所以b 1＝a 1＝1， b 2－b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－13， b 3－b 2＝12⎝⎛⎭⎫13－15， …，b n －b n －1＝12⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1(n ≥2)，累加得b n －b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1， 所以b n ＝3n －22n －1，n ≥2.b 1＝1也符合上式．故b n ＝3n －22n －1，n ∈N *.②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m . 又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋⎝⎛⎭⎫32－14n －2＝2⎝⎛⎭⎫32－14m －2，化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1.当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．3．(2017·江苏新海中学质检)求曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．解 设点(x 0，y 0)为曲线|x |＋|y |＝1上的任一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)，则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 0，y ′＝13y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′，y 0＝3y ′， 所以曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线为|x |＋3|y |＝1. 所围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.4．在极坐标系中，设直线θ＝π3与曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解 方法一 将直线θ＝π3化为普通方程，得y ＝3x ，将曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0化为普通方程，得 x 2＋y 2－10x ＋4＝0.联立⎩⎨⎧y ＝3x ，x 2＋y 2－10x ＋4＝0，消去y ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝12，x 2＝2，所以AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝54，纵坐标为543，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫52，π3.方法二 联立直线与曲线的方程组⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，ρ2－10ρcos θ＋4＝0，消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，解得ρ1＝1，ρ2＝4， 所以线段AB 中点的极坐标为⎝⎛⎭⎫ρ1＋ρ22，π3，即⎝⎛⎭⎫52，π3.。
2018考前两个月数学[高考总复习资料]理科(江苏专用)总复习训练题：考前回扣2 Word版含答案
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回扣2 导数1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )＞0(＜0)的解集为(a ，b )．2．f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点．一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．曲线y ＝f (x )＝x x 2＋1在点(1，f (1))处的切线方程是____________． 答案 y ＝12解析 ∵f (x )＝x x 2＋1的导数f ′(x )＝1－x 2(1＋x 2)2， ∴曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝0， ∵切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12， ∴曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝12. 2．(2016·四川)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝__________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.3．f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则1＋f ′(1)＝________.答案 －3解析 由f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，求导可得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，f ′(2)＝4＋3f ′(2)， f ′(2)＝－2，则f ′(x )＝2x －6，f ′(1)＝2－6＝－4，所以1＋f ′(1)＝－3.4．设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 解析 由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1，因为e x ＋1＞1，所以1e x ＋1∈(0,1)， 由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，所以3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1， 解得－13≤a ≤23. 5．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________．答案 －7解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，经验证，a ＝4，b ＝－11符合题意，故a ＋b ＝－7.6．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是______________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x， 由f ′(x )＝0，得x ＝12. 利用图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 7．已知奇函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )，当x ＞0时，有2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，则不等式(x ＋2018)2f (x ＋2018)＋4f (－2)＜0的解集为____________． 答案 (－∞，－2016)解析 由题观察联想可设g (x )＝x 2f (x )，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，结合条件x >0,2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，得 g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＞0，g (x )＝x 2f (x )在(0，＋∞)上为增函数．又f (x )为R 上的奇函数，所以g (x )为奇函数，所以g (x )在(－∞，0)上为增函数． 由(x ＋2018)2f (x ＋2018)＋4f (－2)＜0，可得(x ＋2018)2f (x ＋2018)＜4f (2)，即g (x ＋2018)＜g (2)，所以x ＋2018＜2，故x ＜－2016.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －1，x <1，ln x x 2，x ≥1，则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________． 答案 4解析 当x <1时，f (x )＝12x －1单调递减，且f (x )>－12；当x ≥1时，f (x )＝ln x x 2，则f ′(x )＝1－2ln x x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，当∈[1，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝12e >18，且f (x )≥0，当x 趋近于＋∞时，f (x )趋近于0.作出函数y ＝|f (x )|的大致图象如图所示，由图可知，函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为4.9．已知函数f (x )＝x ＋1e x (e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x ＜0时，f ′(x )＞0，当x ＞0时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立，则2[φ(x )]min ＜[φ(x )]max .∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x ＝x 2＋(1－t )x ＋1e x ， ∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x ＝－(x －t )(x －1)e x . ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)＜φ(0)，即t ＞3－e 2＞1； ②当t ≤0时，φ′(x )≥0，φ(x )在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)＜φ(1)，即t ＜3－2e ＜0；③当0＜t ＜1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )＜0，φ(x )在[0，t )上单调递减，若x ∈(t,1]，φ′(x )≥0，φ(x )在(t,1]上单调递增，∴2φ(t )＜max{φ(0)，φ(1)}，即2t ＋1e t ＜max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3－t e .(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1e t 在[0,1]上单调递减，故4e ≤2t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e， ∴不等式(*)无解．综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3－e 2，＋∞，使得命题成立． 10．(2017·山东)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2，a ∈R. (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程；(2)设函数g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，讨论g (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解 (1)由题意f ′(x )＝x 2－ax ，所以当a ＝2时，f (3)＝0，f ′(x )＝x 2－2x ，所以f ′(3)＝3，因此曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.(2)因为g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，所以g ′(x )＝f ′(x )＋cos x －(x －a )sin x －cos x＝x (x －a )－(x －a )sin x ＝(x －a )(x －sin x )．令h (x )＝x －sin x ，则h ′(x )＝1－cos x ≥0，所以h (x )在R 上单调递增．因为h (0)＝0，所以当x >0时，h (x )>0；当x <0时，h (x )<0.①当a <0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，a )时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(a,0)时，x －a >0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以当x ＝a 时，g (x )取到极大值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ； 当x ＝0时，g (x )取到极小值，极小值是g (0)＝－a .②当a ＝0时，g ′(x )＝x (x －sin x )，当x ∈(－∞，＋∞)时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增；所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，g (x )无极大值也无极小值；③当a >0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，0)时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(0，a )时，x －a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以当x ＝0时，g (x )取到极大值，极大值是g (0)＝－a ；当x ＝a 时，g (x )取到极小值，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a . 综上所述，当a <0时，函数g (x )在(－∞，a )和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ，极小值是g (0)＝－a ； 当a ＝0时，函数g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－16a3－sin a.。
2018最新考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：解答题滚动练7 Word版含答案
解答题滚动练71．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长都相等，且∠ABB 1＝60°，D 为AC 的中点，求证：(1)B 1C ∥平面A 1BD ；(2)AB ⊥B 1C .证明 (1)连结AB 1交A 1B 于点E ，连结DE .因为D ，E 分别为AC ，AB 1的中点，所以DE ∥B 1C .因为DE ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，所以B 1C ∥平面A 1BD .(2)取AB 的中点O ，连结OC ，OB 1.因为BA ＝BB 1，且∠ABB 1＝60°，所以△ABB 1为正三角形，而O 为AB 的中点，所以OB 1⊥AB . 在正三角形ABC 中，O 为AB 中点，所以OC ⊥AB .因为OB 1∩OC ＝O ，且OB 1⊂平面OB 1C ，OC ⊂平面OB 1C ，所以AB ⊥平面OB 1C .又因为B 1C ⊂平面OB 1C ，所以AB ⊥B 1C .2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝t (S n －a n ＋1)(t 为常数，且t ≠0，t ≠1)．(1)证明：{a n }成等比数列；(2)设b n ＝a 2n ＋S n ·a n ，若数列{b n }为等比数列，求t 的值．(1)证明 当n ＝1时，S 1＝t (S 1－a 1＋1)，得a 1＝t ，当n ≥2时，S n ＝t (S n －a n ＋1)，即(1－t )S n ＝－ta n ＋t ，(1－t )S n －1＝－ta n －1＋t ， 所以a n ＝ta n －1，故{a n }成等比数列．(2)解 由(1)知{a n }成等比数列且公比是t ，∴a n ＝t n ， 故b n ＝(t n )2＋t (1－t n )1－t ·t n ，即b n ＝t 2n ＋t n ＋1－2t 2n ＋11－t . 若数列{b n }是等比数列，则有b 22＝b 1·b 3，而b 1＝2t 2，b 2＝t 3(2t ＋1)，b 3＝t 4(2t 2＋t ＋1)，故[t 3(2t ＋1)]2＝(2t 2)·t 4(2t 2＋t ＋1)，解得t ＝12，再将t ＝12代入b n 得b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 由b n ＋1b n ＝12知{b n }为等比数列，所以t ＝12. 3．图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧ACB 的中。
【配套K12】2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：压轴大题突破练2 Word版含
2．数 列1．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.(1)是否存在实数λ，使得数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n .解 (1)由已知，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋1＋(2n ＋1) ＝13[a 2n －3(2n )]＋2n ＋1＝13a 2n ＋1. 令a 2(n ＋1)－λ＝13(a 2n －λ)，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋23λ，所以λ＝32. 此时，a 2－λ＝13＋1－32＝－16. 所以存在λ＝32，使得数列{a 2n －λ}是等比数列． (2)由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是首项为－16，公比为13的等比数列， 所以a 2n －32＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－12·13n ， 即a 2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n . 由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3， 所以a 2n －1＋a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13－6n ＋3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6n ＋9， 所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝13n －3n 2＋6n －1， 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32×13n －3n 2＋6n －52. 因为13n 和－3n 2＋6n ＝－3(n －1)2＋3在n ∈N *时均单调递减，所以S 2n 和S 2n －1均各自单调递减．计算得S 1＝1，S 2＝73，S 3＝－73，S 4＝－89， 所以满足S n >0的所有正整数n 的值为1和2.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，设数列{b n }满足b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n (S n ＋1＋S n )(n ∈N *)．(1)若数列{a n }为等差数列，且b n ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝1，a 2＝3，且数列{a 2n －1}，{a 2n }都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b 2n < b 2n －1的所有正整数n 的集合．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，所以a n ＋1＝a 1＋nd ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n (S n ＋1＋S n )(n ∈N *)，得b n ＝2a n ＋1S n －n (2S n ＋a n ＋1)．又由b n ＝0，得2(a 1＋nd )⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n (n －1)2d －n [2na 1＋n (n －1)d ＋a 1＋nd ]＝0对一切n ∈N *都成立，即(d 2－d )n 2＋(3a 1d －d 2－2a 1)n ＋2a 21－a 1d －a 1＝0对一切n ∈N *都成立．令n ＝1，n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝0，a 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝1，a 1＝1，经检验，符合题意．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝0或a n ＝n .(2)由题意得a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝3×2n －1，S 2n ＝2n －1＋3(2n －1)＝4×2n －4，S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝4×2n －4－3×2n －1＝5×2n －1－4.b 2n ＝2a 2n ＋1S 2n －2n (2S 2n ＋a 2n ＋1)＝2×2n ×(4×2n －4)－2n (8×2n －8＋2n )＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n .b 2n －1＝2a 2n S 2n －1－(2n －1)(2S 2n －1＋a 2n )＝6×2n －1×(5×2n －1－4)－(2n －1)(10×2n －1－8＋3×2n －1)＝2n －1(30×2n －1－26n －11)＋16n －8.所以b 2n －b 2n －1＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n －[2n －1(30×2n －1－26n －11)＋16n －8] ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1－5n －52＋8＝22n －1＋8－2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52. 记f (n )＝22n －1＋8－2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52，即 f (n )＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n －⎝ ⎛⎭⎪⎫5n ＋52＋8.记g (n )＝12×2n －⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52， 则g (n ＋1)－g (n )＝12×2n ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋152－12×2n ＋5n ＋52＝12×2n －5， 当n ＝1,2,3时，g (n ＋1)－g (n )<0；当n ∈N *时，n ≥4，g (n ＋1)－g (n )＝12×2n －5＞0， 因为当n ＝1时，g (1)＝－132＜0， 所以g (4)<0，且g (6)＝－12<0，g (7)＝532>0. 所以f (n )＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n －⎝ ⎛⎭⎪⎫5n ＋52＋8在n ≥7(n ∈N *)时也单调递增， 当n ＝1时，f (1)＝－5<0；当n ＝2时，f (2)＝－34<0；当n ＝3时，f (3)＝－100<0；当n ＝4时，f (4)＝－224<0；当n ＝5时，f (5)＝－360<0；当n ＝6时，f (6)＝－24<0；当n ＝7时，f (7)＝3400>0，所以满足条件的正整数n 的集合为{1,2,3,4,5,6}．3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑ni ＝1(－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1恒成立，求实数λ的取值范围； (3)是否存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公差为d .因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k .代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k ，从而λ<4k 2k . 设f (k )＝4k 2k ，则f (k ＋1)－f (k )＝4k ＋12(k ＋1)－4k 2k ＝4k (3k －1)2k (k ＋1).因为k ∈N *，所以f (k ＋1)－f (k )＞0，所以f (k )是递增的，所以f (k )min ＝2，所以λ<2.②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *，则T 2k －1＝T 2k －(－1)2k a 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k .代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1，得λ(1－2k )<(2k －1)4k ，从而λ>－4k . 因为k ∈N *，所以－4k 的最大值为－4，所以λ>－4.综上，λ的取值范围为(－4,2)．(3)假设存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列，则(S m －S 2)2＝S 2(S n －S m )，即(m 2－4)2＝4(n 2－m 2)，所以4n 2＝(m 2－2)2＋12，即4n 2－(m 2－2)2＝12，即(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12.因为n >m >2，所以n ≥4，m ≥3，所以2n ＋m 2－2≥15.因为2n －m 2＋2是整数，所以等式(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12不成立，故不存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列．4．若一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“A 型数列”．(1)若首项为1，公差为整数的等差数列{a n }为“A 型数列”，且其前n 项和为S n ，若对于任意n ∈N *，都有S n <32n 2＋n ，求{a n }的通项公式； (2)已知等比数列{a n }的每一项均为正整数，且{a n }为“A 型数列”，b n ＝23a n ，c n ＝a n (n ＋1)·2n －5，当数列{b n }不是“A 型数列”时，试判断数列{c n }是否为“A 型数列”，并说明理由． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d >2，由a 1＝1，得S n ＝n ＋n (n －1)2d ，且S 1<52. 由题意，得n ＋n (n －1)2d <32n 2＋n 对n ∈N *均成立， 即d <3n n －1对n ≥2均成立， ∵3n n －1＝3＋3n －1>3， ∴d ≤3，又d ＞2，∴d＝3，∴a n＝3n－2.(2)设数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1，∵{a n}的每一项均为正整数，且a n＋1－a n＝a n q－a n＝a n(q－1)>2>0，∴a1>0，且q>1，∵a n＋1－a n＝q(a n－a n－1)>a n－a n－1，即在{a n－a n－1}中，a2－a1为最小项，同理，在{b n－b n－1}中，b2－b1为最小项，由{a n}为“A型数列”，可知只需a2－a1>2，即a1(q－1)>2，又∵{b n}不是“A型数列”，且b2－b1为最小项，∴b2－b1≤2，即a1(q－1)≤3，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得a1(q－1)＝3，∴a1＝1，q＝4或a1＝3，q＝2.①当a1＝1，q＝4时，a n＝4n－1，则c n＝4n－1(n＋1)·2n－5＝2n＋3n＋1，令d n＝c n＋1－c n(n∈N*)，则d n＝2n＋4n＋2－2n＋3n＋1＝2n＋3·n(n＋1)(n＋2)，令e n＝d n＋1－d n(n∈N*)，则e n＝2n＋4·n＋1(n＋2)(n＋3)－2n＋3·n(n＋1)(n＋2)＝2n＋3n＋2·n2＋n＋2(n＋1)(n＋3)>0，∴{d n}为递增数列，即d n>d n－1>d n－2>…>d1，即c n＋1－c n>c n－c n－1>c n－1－c n－2>…>c2－c1，∵c2－c1＝323－8＝83>2，∴对任意的n∈N*都有c n＋1－c n>2，即数列{c n}为“A型数列”．②当a1＝3，q＝2时，a n＝3·2n－1，则c n＝3·2n＋1(n＋1)·2n－5＝48n＋1，显然，{c n}为递减数列，c2－c1<0≤2，故数列{c n}不是“A型数列”；综上所述，当a n＝4n－1时，数列{c n}为“A型数列”，当a n＝3·2n－1时，数列{c n}不是“A型数列”．。
[推荐学习]2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：考前回扣1 Word版含答案
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考前回扣回扣1 函数的图象与性质1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域． (2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a ；③反比例函数y ＝kx(k ≠0)的值域为{y ∈R|y ≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． 3．关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期； ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期；③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期． (2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )， 即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )， 即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称；③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )， 则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．4．函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质． ①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]， 那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f (g (x ))的单调性． 5．函数图象的基本变换 (1)平移变换y ＝f (x )――――→h ＞0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――――→k ＞0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换y ＝f (x )――――→0<ω<1，伸ω＞1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――――→0<A <1，缩A ＞1，伸y ＝Af (x )． (3)对称变换y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x )．6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)恒过(0,1)点；y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)恒过(1,0)点．(2)单调性：当a ＞1时，y ＝a x在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <1时，y ＝a x在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减． 7．函数与方程(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0,0)为f (x )的图象与x 轴的交点． (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：解方程f (x )＝0；②零点定理法：根据连续函数y ＝f (x )满足f (a )f (b )<0，判断函数在区间(a ，b )内存在零点；③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则． 2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的单调性容易忽视字母a 的取值讨论，忽视a x＞0；对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x－4，x >0，则f (f (1))＝________.答案 －2解析 f (f (1))＝f (21－4)＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2.2．函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax ＋2＝x 2－2ax ＋a 2－a 2＋2＝(x －a )2－a 2＋2， ∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，且在区间(－∞，1]上递减， ∴a 的取值范围是[1，＋∞)．3．(2017·江苏南通天星湖中学质检)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b )，x ≥0，ax (x ＋2)，x ＜0(a ，b ∈R)为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．答案 －1解析 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a (－1＋2)＝1(1－b )，2a (－2＋2)＝2(2－b )，解得a ＝－1，b ＝2.经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件， 所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.4．(2017·江苏如东中学质检)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 由题意得a ＞2x －2x2对1＜x ＜4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14＜1x ＜1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a ＞12.5．已知函数f (x )＝||x ＋2||x ，且满足f (a －1)＜f (2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋2x是单调增函数，故由偶函数的性质及f (a －1)＜f (2)可得|a －1|＜2，即－2＜a －1＜2， 即－1＜a ＜3.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且f (－1)＝2，则f (2017)＝________. 答案 －2解析 由题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数是以4为周期的周期函数，所以f (2017)＝f (1)＝－f (－1)＝－2.7．已知函数f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2 解析 因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增．故由f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2m ≤2，－2≤log 4(m ＋2)≤2，log 2m ＜log 4(m ＋2)，m ＞0，m ＋2＞0，故有⎩⎪⎨⎪⎧14≤m ≤4，116≤m ＋2≤16，m 2<m ＋2，m >0，m ＋2>0，解得14≤m <2.综上可知，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2. 8．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝__________.答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)， 因为4＜log 220＜5，所以0＜log 220－4＜1， －1＜4－log 220＜0.又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－1.9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，所以1<a <3.又由题意得7(3－a )－3<a ，解得a >94，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为__________．答案 2解析 当x ＞2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数．当x ＞2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝3－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去)．所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x ＜0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6解析 由题意可得函数f (x )的图象如图所示，若存在互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝k ，则k ∈(－3,4)，不妨令x 1＜x 2＜x 3，则x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，x 2＋x 3＝6，故x 1＋x 2＋x 3∈⎝⎛⎭⎪⎫113，6.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )－2，当x ∈(0，2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ∈(0，1)，1x，x ∈[1，2]，若当x ∈(0,4]时，t 2－7t2≤f (x )≤3－t 恒成立，则实数t 的取值范围是______________． 答案 [1,2]解析 当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2－x ，函数无最大值，最小值为－14；当x ∈[1,2]时，f (x )＝1x ，函数最大值为1，最小值为12；当x ∈(2,3)时，f (x )＝2f (x －2)－2＝2x 2－10x ＋10，函数值满足－52≤f (x )＜－2；当x ∈[3,4]时，f (x )＝2f (x －2)－2＝2x －2－2，函数值满足－1≤f (x )≤0.综上，当x ∈(0,4]时，函数f (x )的最小值为－52，最大值为1.由t 2－7t 2≤f (x )≤3－t 恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧t 2－7t 2≤－52，3－t ≥1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤t ≤52，t ≤2，∴1≤t ≤2.。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——解答题滚动练8套集合((含答案)35页
2018考前三个月高考数学理科（江苏专用）总复习训练题： ——解答题滚动练8套集合（(含答案)解答题滚动练11．(2017·盐城三模)设△ABC 面积的大小为S ，且3AB →·AC →＝2S . (1)求sin A 的值；(2)若C ＝π4，AB →·AC →＝16，求AC .解 (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，由3AB →·AC →＝2S ， 得3bc cos A ＝2×12bc sin A ，得sin A ＝3cos A .即sin 2A ＝9cos 2A ＝9(1－sin 2A )，所以sin 2A ＝910.又A ∈(0，π)，所以sin A ＞0，故sin A ＝31010.(2)由sin A ＝3cos A 和sin A ＝31010，得cos A ＝1010，又AB →·AC →＝16，所以bc ·cos A ＝16，得bc ＝1610① 又C ＝π4，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝31010×22＋1010×22＝255.在△ABC 中，由正弦定理，得b sin B ＝csin C ，即b 255＝c 22，得c ＝104b ，②联立①②，解得b ＝8，即AC ＝8.2．(2017·江苏泰兴中学质检)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点，F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点．求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面AEF ⊥平面A 1AD . 证明 (1)连结A 1B 和A 1C .因为E ，F 分别是侧面AA 1B 1B 和侧面AA 1C 1C 的对角线的交点， 所以E ，F 分别是A 1B 和A 1C 的中点，所以EF ∥BC . 又BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， 故EF ∥平面ABC .(2)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为正三棱柱， 所以A 1A ⊥平面ABC ， 所以BC ⊥A 1A .故由EF ∥BC ，得EF ⊥A 1A .又因为D 是棱BC 的中点，且△ABC 为正三角形，所以BC ⊥AD . 故由EF ∥BC ，得EF ⊥AD .而A 1A ∩AD ＝A ，A 1A ，AD ⊂平面A 1AD ， 所以EF ⊥平面A 1AD .又EF ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面A 1AD .3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)若椭圆C 的焦距为2，求a 的值；(2)求直线y ＝kx ＋1被椭圆C 截得的线段长(用a ，k 表示)；(3)若以A (0,1)为圆心的圆与椭圆C 总有4个公共点，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．解 (1)由椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)知，焦距为2a 2－1＝2，解得a ＝±2，因为a ＞1，所以a ＝ 2. (2)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长为AP ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k2.因此AP ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (3)因为圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有2个不同的公共点为P ，Q ，满足AP ＝AQ .记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，k 1和k 2一正一负，且k 21≠k 22.由(2)知，AP ＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，AQ ＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，则2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0， 因为k 21≠k 22，所以1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，变形得，⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，从而1＋a 2(a 2－2)＞1， 解得a ＞2，则e ＝c a＝1－1a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.4．已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且满足a 1＋a 2＋a 3＝9，b 1b 2b 3＝27. (1)若a 4＝b 3，b 4－b 3＝m .①当m ＝18时，求数列{a n }和{b n }的通项公式； ②若数列{b n }是唯一的，求m 的值；(2)若a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3均为正整数，且成等比数列，求数列{a n }的公差d 的最大值． 解 (1)①由数列{a n }是等差数列及a 1＋a 2＋a 3＝9，得a 2＝3， 由数列{b n }是等比数列及b 1b 2b 3＝27，得b 2＝3. 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，若m ＝18，则有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2d ＝3q ，3q 2－3q ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－92，q ＝－2.所以{a n }和{b n }的通项公式为⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －3，b n ＝3n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－92n ＋12，b n ＝3(－2)n －2.②由题设b 4－b 3＝m ，得3q 2－3q ＝m ，即3q 2－3q －m ＝0，(*) 因为数列{b n }是唯一的，所以若q ＝0，则m ＝0，检验知，当m ＝0时，q ＝1或0(舍去)，满足题意； 若q ≠0，则Δ＝(－3)2＋12m ＝0，解得m ＝－34，代入(*)式，解得q ＝12，又b 2＝3，所以{b n }是唯一的等比数列，符合题意． 所以m ＝0或－34.(2)依题意，36＝(a 1＋b 1)(a 3＋b 3)，设{b n }公比为q ，则有36＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－d ＋3q (3＋d ＋3q )，(**)记s ＝3－d ＋3q，t ＝3＋d ＋3q ，则st ＝36.将(**)中的q 消去，整理得d 2＋(s －t )d ＋3(s ＋t )－36＝0，d 的大根为t －s ＋(s －t )2－12(s ＋t )＋1442＝t －s ＋(s ＋t －6)2－362，而s ，t ∈N *，所以(s ，t )的所有可能取值为：(1,36)，(2,18)，(3,12)，(4,9)，(6,6)，(9,4)，(12,3)，(18,2)，(36,1)． 所以当s ＝1，t ＝36时，d 的最大值为35＋5372.解答题滚动练21．(2017·南京、盐城二模)如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2. (1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)如图2，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．解 (1) 由已知，得tan ∠BAD ＝36＝12，tan ∠CAD ＝26＝13，所以tan ∠BAC ＝tan(∠BAD ＋∠CAD )＝12＋131－12×13＝1.因为∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4.(2) 以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (0,0)，D (3,0)，C (5,0)． 因为∠ABC ＝π4，所以设A (a ，a )，其中a ＞0.由AD ＝6，BD ＝3，得(a －3)2＋a 2＝62，即2a 2－6a －27＝0，解得a ＝32(1＋7)．所以S △ADC ＝12DC ·a ＝32(1＋7)．2．如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山(P 为圆弧TS 上的点)，其余部分为平地．今有开发商想在平地上建一个两边落在BC 及CD 上的长方形停车场PQCR.(1)设∠PAB ＝θ，试将矩形PQCR 面积表示为θ的函数； (2)求停车场PQCR 面积的最大值及最小值．解 (1)S PQCR ＝f (θ)＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝8100sin θcos θ－9000(sin θ＋cos θ)＋10000 , θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(2)由(1)知S PQCR ＝f (θ)＝8100sin θcos θ－9000(sin θ＋cos θ)＋10000，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.令sin θ＋cos θ＝t ，则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[1，2]．∴S PQCR ＝81002t 2－9000t ＋10000－81002，当t ＝109时，S PQCR 取得最小值950(m 2)，当t ＝2时，S PQCR 取得最大值14050－90002(m 2)．答 停车场面积的最大值和最小值分别为14050－90002(m 2)和950(m 2)．3．如图，点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2n＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点．(1)求椭圆方程；(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成的是以点A 为顶点的等腰三角形． ①求直线BC 的斜率；②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．解 (1)把点A (1，3)代入x 22＋y 2n ＝1得n ＝6，故椭圆方程为x 22＋y 26＝1.(2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直． 因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为k 1，k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k 1(x －1)，x 22＋y 26＝1，消去y ，得(3＋k 21)x 2＋2k 1(3－k 1)x ＋(3－k 1)2－6＝0，∴点B 的横坐标为x ＝1－6＋23k 1k 21＋3(x ＝1为点A 的横坐标)，∴点B 的纵坐标为y ＝3－23k 21＋6k 1k 21＋3，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－6＋23k 1k 21＋3，3－23k 21＋6k 1k 21＋3.∵k 1＋k 2＝0，∴直线BC 的斜率为k BC ＝ 3.②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线BC 的方程为y ＝3x ＋m ，代入方程x 22＋y 26＝1得6x 2＋23mx＋m 2－6＝0，∴x 1＋x 2＝－33m ，x 1x 2＝m 2－66，∴BC ＝1＋(3)2·|x 1－x 2| ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝23312－m 2，又点A 到直线BC 的距离为d ＝|m |2，∴S △ABC ＝12BC ·d ＝36m 2(12－m 2)＝36－(m 2－6)2＋36， ∴当m 2＝6，即m ＝6或m ＝－6时，△ABC 面积取得最大值 3. 此时，直线BC 的方程为y ＝3x ± 6.4．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )为奇函数，且图象过点(－1,2)，求f (x )的解析式； (2)若x ＝1和x ＝2是函数f (x )的两个极值点． ①求a ，b 的值；②求函数f (x )在区间[0,3]上的零点个数． 解 (1)因为函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2(－x )3＋a (－x )2＋b (－x )＋c ＝－2x 3－ax 2－bx －c ， 整理得，ax 2＋c ＝0，所以a ＝c ＝0，从而f (x )＝2x 3＋bx ， 又函数f (x )图象过点(－1,2)，所以b ＝－4. 从而f (x )＝2x 3－4x .(2)①f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b . 因为f (x )在x ＝1和x ＝2处取得极值， 所以f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋2a ＋b ＝0，24＋4a ＋b ＝0，解得a ＝－9，b ＝12.②由①得f(x)＝2x3－9x2＋12x＋c(c∈R)，f′(x)＝6(x－1)(x－2)．列表：显然，函数f(x)在[0,3]上的图象是一条不间断的曲线．由表知，函数f(x)在[0,3]上的最小值为f(0)＝c，最大值为f(3)＝9＋c.所以当c＞0或9＋c＜0(即c＜－9)时，函数f(x)在区间[0,3]上的零点个数为0.当－5＜c＜0时，因为f(0)f(1)＝c(5＋c)＜0，且函数f(x)在(0,1)上是单调增函数，所以函数f(x)在(0,1)上有1个零点．当－5＜c＜－4时，因为f(1)f(2)＝(5＋c)(4＋c)＜0，且f(x)在(1,2)上是单调减函数，所以函数f(x)在(1,2)上有1个零点．当－9＜c＜－4时，因为f(2)f(3)＝(4＋c)(9＋c)＜0，且f(x)在(2,3)上是单调增函数，所以函数f(x)在(2,3)上有1个零点．综上，当c＞0或c＜－9时，函数f(x)在区间[0,3]上的零点个数为0；当－9≤c＜－5或－4＜c≤0时，零点个数为1；当c＝－4或c＝－5时，零点个数为2；当－5＜c＜－4时，零点个数3.解答题滚动练31．(2017·镇江期末)已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且m ⊥n .(1)求cos2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求角β的大小．解 方法一 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，所以sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝55，sin α＝255， 则cos2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. (2)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.又sin(α－β)＝1010，则cos(α－β)＝31010. 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22. 因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.方法二 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，tan α＝2，故cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35. (2)由(1)知，2cos α－sin α＝0，且cos 2α＋sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α＝255，cos α＝55，以下同方法一(2)．2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，DC ∥AB ，DC ＝2AB ，E 为棱PA 上一点． (1)设O 为AC 与BD 的交点，若PE ＝2AE ，求证：OE ∥平面PBC ； (2)若DE ⊥AP ，求证：PB ⊥DE .证明 (1)在△AOB 与△COD 中， 因为DC ∥AB ，DC ＝2AB ，所以AO CO ＝AB CD ＝12， 又因为PE ＝2AE ，所以在△APC 中，有AO CO ＝AE PE ＝12，则OE ∥PC . 又因为OE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以OE ∥平面PBC . (2)因为AB ⊥平面PAD ，DE ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥DE .又因为AP ⊥DE ，AB ⊂平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，AP ∩AB ＝A ， 所以DE ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以DE ⊥PB .3．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？(2)设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)． (2)①当0<x ≤7时，y ＝360x ＋10x ＋236＝370x ＋236， ②当x >7时，y ＝360x ＋236＋70＋6[(x －7)＋(x －8)＋…＋2＋1]＝3x 2＋321x ＋432∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236，0<x ≤7，3x 2＋321x ＋432，x ＞7.∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f (x )元． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236x ，0<x ≤7，3x 2＋321x ＋432x，x ＞7.当0<x ≤7时，f (x )＝370＋236x ，当且仅当x ＝7时f (x )有最小值28267≈404(元)，当x ＞7时，f (x )＝3x 2＋321x ＋432x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋144x ＋321≥393，当且仅当x ＝12时取等号．∵393<404，∴当x ＝12时f (x )有最小值393元．4．已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围；(3)若函数f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)，且0＜x 1＜x 2，求证：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)． (1)解 当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，则切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)解 g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x －2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，故g ′(x )＝0时，x ＝1.当1e ＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0.故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e 2＜0，则g (e)＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为g (e)． g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝m －1＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1＜m ≤2＋1e 2，所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.(3)证明 因为f (x )的图象与x 轴交于两个不同的点A (x 1,0)，B (x 2,0)，所以方程2ln x －x 2＋ax ＝0的两个根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2ln x 1－x 21＋ax 1＝0，2ln x 2－x 22＋ax 2＝0，两式相减得a ＝(x 1＋x 2)－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2，又f (x )＝2ln x －x 2＋ax ，f ′(x )＝2x －2x ＋a ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝4x 1＋x 2－(x 1＋x 2)＋a ＝4x 1＋x 2－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2.下证4x 1＋x 2－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2＜0，即证明2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＜0，令t ＝x 1x 2. 因为0＜x 1＜x 2，所以0＜t ＜1，即证明u (t )＝2(1－t )t ＋1＋ln t ＜0在0＜t ＜1上恒成立．因为u ′(t )＝－2(t ＋1)－2(1－t )(t ＋1)2＋1t ＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2，又0＜t ＜1，所以u ′(t )＞0， 所以u (t )在(0,1)上是增函数，则u (t )＜u (1)＝0，从而知2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＜0，故4x 1＋x 2－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2＜0，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0成立．解答题滚动练41.如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE .(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PDE .证明 (1)方法一 取线段PD 的中点M ，连结FM ，AM . 因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD .因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， 所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以FM ∥EA ，且FM ＝EA .所以四边形AEFM 为平行四边形，所以EF ∥AM . 又AM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD .方法二 连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN .因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE . 又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA . 所以CE ＝NE .又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP . 又NP ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD .方法三 取CD 的中点Q ，连结FQ ，EQ .在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点， 所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ . 所以四边形AEQD 为平行四边形， 所以EQ ∥AD .又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊄平面PAD ， 所以EQ ∥平面PAD .因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点， 所以FQ ∥PD .又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊄平面PAD ， 所以FQ ∥平面PAD .又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面PAD . 因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面PAD .(2)设AC ，DE 相交于G . 在矩形ABCD 中， 因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点，所以DA AE ＝CDDA＝ 2.又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ， 所以∠ADE ＝∠DCA .又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°， 所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°.由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°. 即DE ⊥AC . 又PA ⊥DE ，PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE .2．如图所示，A ，B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16km 处，AB 的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P .垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求(A ，B ，P 可看成三个点)：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大)．现估测得A ，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？解 方法一 由条件①，得PA PB ＝5030＝53. 设PA ＝5x ，PB ＝3x ，则cos ∠PAB ＝(5x )2＋162－(3x )22×16×5x ＝x 10＋85x ，所以点P 到直线AB 的距离h ＝PA sin ∠PAB ＝5x1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 10＋85x 2＝－14x 4＋17x 2－64 ＝－14(x 2－34)2＋225， 所以当x 2＝34，即x ＝34时，h 取得最大值15km. 即选址应满足PA ＝534km ，PB ＝334km.方法二 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (－8,0)，B (8,0)．由条件①，得PA PB ＝5030＝53.设P (x ，y )(y >0)，则3(x ＋8)2＋y 2＝5(x －8)2＋y 2， 化简得(x －17)2＋y 2＝152(y >0)，即点P 的轨迹是以点(17,0)为圆心、15为半径的圆位于x 轴上方的部分． 则当x ＝17时，点P 到直线AB 的距离最大，最大值为15km. 所以点P 的选址应满足在上述坐标系中坐标为(17,15)即可．方法三 由条件①，得PA PB ＝5030＝53.过点P 作PD 垂直于AB ，设PD ＝h ，AD ＝x ，则DB ＝|16－x |， 3x 2＋h 2＝5h 2＋(16－x )2，h 2＝－(x －25)2＋225.所以当x ＝25时，h 取得最大值15. 答 选址应满足PA ＝534km ，PB ＝334km. 3．已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝2n －3，n ∈N *. (1)若数列{a n }为等差数列，求a 1；(2)设a 1＝a (a ＞0)，∀n ∈N *，n ≥2，不等式a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1≥3成立，求实数a 的最小值．解 (1)设数列{a n }公差为d ，则2n －3＝a n ＋a n ＋1＝a 1＋(n －1)d ＋a 1＋nd ＝2dn ＋(2a 1－d )对∀n ∈N *成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2d ＝2，2a 1－d ＝－3，故d ＝1，a 1＝－1.(2)由a n ＋a n ＋1＝2n －3，知{a n －(n －2)}为等比数列，公比q ＝－1， 所以a n －(n －2)＝(a ＋1)(－1)n －1，故a n ＝(n －2)＋(a ＋1)(－1)n －1.①当n 为不小于3的奇数时，由a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1≥3，得(n －1＋a )2＋(n －2－a )22n －3≥3，化简得a 2＋a ≥－(n －3)2＋2恒成立，所以a 2＋a ≥2，解得a ≥1. ②n 为不小于2的偶数时，同理有a 2＋3a ≥－(n －3)2恒成立，因为a ＞0，显然恒成立．所以a ＞0.由①②得a ≥1，故a 的最小值为1.4．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，点A ，B 分别为其左、右顶点，点F 1，F 2分别为其左、右焦点，以点A 为圆心、AF 1为半径作圆A ，以点B 为圆心、OB 为半径作圆B .若直线l ：y ＝－33x 被圆A 和圆B 截得的弦长之比为15∶6. (1)求椭圆C 的离心率；(2)已知a ＝7，问在x 轴上是否存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为3∶4，若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)分别过点A ，B 作直线l 的垂线，垂足为A 1，B 1， 由题意得AA 1＝BB 1，由点到直线距离公式得AA 1＝BB 1＝a2，因为圆A 以AF 1为半径，所以半径为a －c ，被直线l 截得的弦长为2(a －c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，因为圆B 以OB 为半径，所以半径为a ，被直线l 截得的弦长为2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22. 因为直线l ：y ＝－33x 被圆A 和圆B 截得的弦长之比为15∶6，化简得7a 2－32ac ＋16c 2＝0，两边同时除以a 2，得16e 2－32e ＋7＝0， 解得e ＝14或e ＝74(舍去)．所以所求的离心率为14.(2)存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为3∶4， 设点P (x 0,0)，由题意可得直线方程为y ＝k (x －x 0)， 则直线截圆A 所得的弦长为2(a －c )2－⎝⎛⎭⎪⎫|k (－7－x 0)|1＋k 22， 直线截圆B 所得的弦长为2a 2－⎝⎛⎭⎪⎫|k (7－x 0)|1＋k 22，2(a －c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k (7＋x 0)1＋k 222a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k (7－x 0)1＋k 22＝34， 即有16⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7k ＋kx 01＋k 22＝9⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7k －kx 01＋k 22，其中a ＝7，c ＝74，a －c ＝214，上式整理得，16(7k ＋kx 0)21＋k 2＝9(7k －kx 0)21＋k 2，关于k 的方程有无穷多解， 故有7x 20＋350x 0＋343＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝－49，故存在2个点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为3∶4，P 点坐标为(－1,0)或(－49,0)．解答题滚动练51．已知α∈(0，π)，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝6－24. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3的值． 解 方法一 联立⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝6－24，sin 2α＋cos 2α＝1.⇒4sin 2α－(6－2)sin α－(1＋3)＝0， 解得sin α＝6＋24或sin α＝－22， 因为α∈(0，π)，所以sin α＝6＋24， 所以cos α＝2－64. (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝6＋24×22－2－64×22＝62×22＝32. (2)sin2α＝2sin αcos α＝2×6＋24×2－64＝－12，cos2α＝1－2sin 2α＝－32. cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝cos2αcos π3＋sin2αsin π3＝－32.方法二 因为α∈(0，π)，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝6－24＜12，所以5π6<α＋π3<4π3，sin 11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝sin π4cos π6－cos π4sin π6＝6－24，所以α＋π3＝11π12，所以α＝7π12.(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π4＝sin π3＝32.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×7π12－π3＝cos 5π6＝－32.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，△ACD是正三角形，BD垂直平分AC，垂足为M，∠ABC＝120°，PA＝AB＝1，PD＝2，N为PD的中点．(1)求证：AD⊥平面PAB；(2)求证：CN∥平面PAB.证明(1)因为BD垂直平分AC，所以BA＝BC，在△ABC中，因为∠ABC＝120°，所以∠BAC＝30°.因为△ACD是正三角形，所以∠DAC＝60°，所以∠BAD＝90°，即AD⊥AB.因为AB＝1，∠ABC＝120°，所以AD＝AC＝3，又因为PA＝1，PD＝2，由PA2＋AD2＝PD2，知∠PAD＝90°，即AD⊥AP.因为AB，AP⊂平面PAB，AB∩AP＝A，所以AD⊥平面PAB.(2)方法一取AD的中点H，连结CH，NH.因为N为PD的中点，所以HN∥PA，因为PA⊂平面PAB，HN⊄平面PAB，所以HN∥平面PAB.由△ACD是正三角形，H为AD的中点，所以CH⊥AD.由(1)知，BA⊥AD，所以CH∥BA，因为BA⊂平面PAB，CH⊄平面PAB，所以CH∥平面PAB.因为CH，HN⊂平面CNH，CH∩HN＝H，所以平面CNH∥平面PAB.因为CN⊂平面CNH，所以CN∥平面PAB.方法二取PA的中点S，过C作CT∥AD交AB的延长线于T，连结ST，SN.因为N 为PD 的中点，所以SN ∥AD ，且SN ＝12AD ，因为CT ∥AD ，所以CT ∥SN . 由(1)知，AB ⊥AD ，所以CT ⊥AT ， 在Rt △CBT 中，BC ＝1，∠CBT ＝60°， 得CT ＝32. 由(1)知，AD ＝3，所以CT ＝12AD ，所以CT ＝SN .所以四边形SNCT 是平行四边形， 所以CN ∥TS .因为TS ⊂平面PAB ，CN ⊄平面PAB ， 所以CN ∥平面PAB .3．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，两个定点A (a,2)，B (m,1)，其中a ∈R ，m >0.P 为圆O 上任意一点，且PA PB＝k (k 为常数)． (1)求常数k 的值；(2)过点E (a ，t )作直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝m 交于M ，N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．解 (1)设点P (x ，y )，x 2＋y 2＝4，PA ＝(x －a )2＋(y －2)2，PB ＝(x －m )2＋(y －1)2，因为PAPB＝k ，所以(x －a )2＋(y －2)2＝k 2[(x －m )2＋(y －1)2]， 又x 2＋y 2＝4，化简得2ax ＋4y －a 2－8＝k 2(2mx ＋2y －m 2－5)， 因为P 为圆O 上任意一点，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2mk 2，4＝2k 2，a 2＋8＝k 2(m 2＋5)，又m ＞0，k ＞0，解得⎩⎨⎧k ＝2，a ＝2，m ＝1，所以常数k ＝ 2.(2)方法一 设M (x 0，y 0)，M 是线段NE 的中点，N (2x 0－2,2y 0－t )，又点M ，N 在圆C 上，即关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，(2x 0－2)2＋(2y 0－t )2＝1有解，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，8x 0＋4ty 0－t 2－7＝0有解，即直线n ：8x ＋4ty －t 2－7＝0与圆C ：x 2＋y 2＝1有交点， 则点(0,0)到直线n 的距离d ＝|t 2＋7|64＋16t2≤1，化简得，t 4－2t 2－15≤0， 解得t ∈[－5，5]．方法二 设过E 的切线与圆C 切于切点F ，EF 2＝EM ·EN ， 又M 是线段NE 的中点，所以EN ＝2MN ，EM ＝MN ，所以EF 2＝2MN 2， 又EF 2＝EC 2－CF 2＝22＋t 2－1＝t 2＋3，MN ≤2， 所以t 2＋3≤8， 所以t ∈[－5，5]．4．已知函数f (x )＝－x 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，且该函数在x ＝1处取得极值． (1)求实数a 的值，并求出函数的单调区间； (2)若函数g (x )＝f (x )－b ＋5x2在区间(0,2018)上只有一个零点，求实数b 的值． 解 (1)由已知，得f ′(x )＝－2x －2a －1＋1x，据题意，f ′(1)＝0，得到a ＝－1， 所以f (x )＝－x 2＋x ＋ln x ，f ′(x )＝－2x ＋1＋1x＝(2x ＋1)(－x ＋1)x.由x ＞0，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，令f ′(x )＜0，得x ＞1，所以函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝－1，f (x )的单调增区间为(0,1)，f (x )的单调减区间为(1，＋∞)．(2)g (x )＝f (x )－b ＋5x 2＝－x 2＋7x 2＋ln x －b ，x ∈(0，2018)．则g ′(x )＝－2x ＋72＋1x，令g ′(x )＝0, 得x ＝2，负值舍去．当0＜x ＜2时，g ′(x )＞0，g (x )的单调增区间为(0,2)， 当2＜x ＜2018时，g ′(x )＜0，g (x )的单调减区间为(2，2018)． 所以函数g (x )＝f (x )－b ＋5x2在区间(0,2018)上只有一个零点，等价于g (2)＝0， 解得b ＝ln2＋3.解答题滚动练61．在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A .(1)若cos C ＝63，求证：2a －3c ＝0； (2)若B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，且cos(A －B )＝45，求sin B .(1)证明 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，得32sin A ＋12cos A ＝2cos A ，即sin A ＝3cos A ，因为A ∈(0，π)，且cos A ≠0， 所以tan A ＝3，所以A ＝π3.因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，cos C ＝63，C ∈(0，π)， 所以sin C ＝33， 由正弦定理知a sin A ＝c sin C ，即a c ＝sin A sin C ＝3233＝32，即2a －3c ＝0.(2)解 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以A －B ＝π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，因为sin 2(A －B )＋cos 2(A －B )＝1， 所以sin(A －B )＝35，所以sin B ＝sin(A －(A －B ))＝sin A cos(A －B )－cos A ·sin(A －B )＝43－310.2．已知函数f (x )＝ax 3－2x －ln x ，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝b ，求a ＋b 的值； (2)在(1)的条件下，求函数f (x )零点的个数． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2－2－1x，由题意，f ′(1)＝0，f (1)＝b ，解得，a ＝1，b ＝－1， 所以a ＋b ＝0.(2)由(1)知，f (x )＝x 3－2x －ln x ，f ′(x )＝3x 2－2－1x＝3x 3－2x －1x＝(x －1)(3x 2＋3x ＋1)x，令f ′(x )＝0，得x ＝1，且当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．因为f (1)＝－1＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e －2e ＋1＞0，f (e)＝e 3－2e －1＞0，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1和[1，e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，知函数f (x )有两个零点． 3．已知圆M ：x 2＋(y －4)2＝4，点P 是直线l ：x －2y ＝0上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标；(2)若△PAM 的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； (3)求线段AB 长度的最小值．解 (1)由题意可知，圆M 的半径r ＝2，设P (2b ，b )， 因为PA 是圆M 的一条切线，A 为切点， 所以∠MAP ＝90°，所以MP ＝(0－2b )2＋(4－b )2＝AM 2＋AP 2＝4， 解得b ＝0或b ＝85，所以P (0,0)或P ⎝⎛⎭⎪⎫165，85.(2)设P (2b ，b )，因为∠MAP ＝90°，所以经过A ，P ，M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为(x －b )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －b ＋422＝4b 2＋(b －4)24，即(2x ＋y －4)b －(x 2＋y 2－4y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，所以圆过定点(0,4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.(3)因为圆N 方程为(x －b )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b ＋422＝4b 2＋(b －4)24，即x 2＋y 2－2bx －(b ＋4)y ＋4b ＝0.①圆M ：x 2＋(y －4)2＝4，即x 2＋y 2－8y ＋12＝0.② ②－①得圆M 与圆N 的相交弦AB 所在直线方程为 2bx ＋(b －4)y ＋12－4b ＝0， 点M 到直线AB 的距离d ＝45b 2－8b ＋16， 相交弦长AB ＝24－d 2＝41－45b 2－8b ＋16 ＝41－45⎝ ⎛⎭⎪⎫b －452＋645.当b ＝45时，AB 有最小值11.4．如图是一“T ”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m ，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A ，B 处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．(1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，将线段PQ的长度l 表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7m 的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由．解 (1)由题意，PA ＝2sin θ，QA ＝4cos θ，所以l ＝PA ＋QA ＝2sin θ＋4cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2. (2)设f (θ)＝2sin θ＋4cos θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.由f ′(θ)＝－2cos θsin 2θ＋4sin θcos 2θ＝2(22sin 3θ－cos 3θ)sin 2θcos 2θ， 令f ′(θ)＝0，得tan θ0＝22. 且当θ∈(0，θ0)，f ′(θ)＜0；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，θ0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫θ0，π2上单调递增，所以当θ＝θ0时，f (θ)取得极小值，即为最小值．即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为36m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．解答题滚动练71．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长都相等，且∠ABB 1＝60°，D 为AC 的中点，求证：(1)B 1C ∥平面A 1BD ； (2)AB ⊥B 1C .证明 (1)连结AB 1交A 1B 于点E ，连结DE .因为D ，E 分别为AC ，AB 1的中点，所以DE ∥B 1C . 因为DE ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ， 所以B 1C ∥平面A 1BD .(2)取AB 的中点O ，连结OC ，OB 1.因为BA ＝BB 1，且∠ABB 1＝60°，所以△ABB 1为正三角形，而O 为AB 的中点，所以OB 1⊥AB . 在正三角形ABC 中，O 为AB 中点，所以OC ⊥AB . 因为OB 1∩OC ＝O ，且OB 1⊂平面OB 1C ，OC ⊂平面OB 1C ， 所以AB ⊥平面OB 1C .又因为B 1C ⊂平面OB 1C ，所以AB ⊥B 1C .2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝t (S n －a n ＋1)(t 为常数，且t ≠0，t ≠1)． (1)证明：{a n }成等比数列；(2)设b n ＝a 2n ＋S n ·a n ，若数列{b n }为等比数列，求t 的值． (1)证明 当n ＝1时，S 1＝t (S 1－a 1＋1)，得a 1＝t ，当n ≥2时，S n ＝t (S n －a n ＋1)，即(1－t )S n ＝－ta n ＋t ，(1－t )S n －1＝－ta n －1＋t ， 所以a n ＝ta n －1，故{a n }成等比数列．(2)解 由(1)知{a n }成等比数列且公比是t ，∴a n ＝t n，故b n ＝(t n )2＋t (1－t n )1－t ·t n ，即b n ＝t 2n ＋t n ＋1－2t 2n ＋11－t.若数列{b n }是等比数列，则有b 22＝b 1·b 3，而b 1＝2t 2，b 2＝t 3(2t ＋1)，b 3＝t 4(2t 2＋t ＋1)， 故[t 3(2t ＋1)]2＝(2t 2)·t 4(2t 2＋t ＋1)，解得t ＝12，再将t ＝12代入b n 得b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由b n ＋1b n ＝12知{b n }为等比数列，所以t ＝12. 3．图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧ACB 的中点，渠宽AB 为2m.(1)当渠中水深CD 为0.4m 时，求水面的宽度；(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？解 (1) 如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，以1m 为单位长度，建立平面直角坐标系xOy .半圆弧ACB 的方程为x 2＋y 2＝1(y ≤0)，A (－1,0)，B (1,0)，C (0，－1)，D (0，－0.6)．直线y ＝－0.6与半圆弧的交点为(±0.8，－0.6)． 答 所求的水面宽度为1.6 m.(2)要使得所挖出的土量最少，则等腰梯形的两腰及下底与半圆弧ACB 相切．设等腰梯形的右腰与半圆弧ACB 相切于点T (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<0，则切线EF 的方程为x cos θ＋y sin θ＝1. 令y ＝0，得E ⎝⎛⎭⎪⎫1cos θ，0，令y ＝－1，得F ⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin θcos θ，－1，设梯形OCFE 的面积为S ，则S ＝12(CF ＋OE )·OC＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos θ＋1＋sin θcos θ×1＝2＋sin θ2cos θ， S ′＝2cos 2θ－(2＋sin θ)·(－2sin θ)4cos 2θ＝1＋2sin θ2cos 2θ， 令S ′＝0，得θ＝－π6.当θ＝－π6时，S 取得最小值，最小值为32，此时CF ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝33.答 当改挖后的水渠底宽为233m 时，所挖出的土量最少． 4．函数f (x )＝1＋ln x －k (x －2)x，其中k 为常数． (1)若k ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若k ＝5，求证：f (x )有且仅有两个零点；(3)若k 为整数，且当x ＞2时，f (x )＞0恒成立，求k 的最大值． (1)解 当k ＝0时，f (x )＝1＋ln x . 因为f ′(x )＝1x，从而f ′(1)＝1.又f (1)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝x －1， 即x －y ＝0.(2)证明 当k ＝5时，f (x )＝ln x ＋10x－4.因为f ′(x )＝x －10x 2，从而当x ∈(0,10)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(10，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝10时，f (x )有极小值． 因为f (10)＝ln10－3＜0，f (1)＝6＞0， 所以f (x )在(1,10)之间有一个零点． 因为f (e 4)＝4＋10e4－4＞0，所以f (x )在(10，e 4)之间有一个零点． 从而f (x )有两个不同的零点． (3)解 方法一 由题意知，1＋ln x －k (x －2)x＞0在(2，＋∞)上恒成立， 即k ＜x ＋x ln xx －2在(2，＋∞)上恒成立． 令h (x )＝x ＋x ln x x －2，则h ′(x )＝x －2ln x －4(x －2)2. 设ν(x )＝x －2ln x －4，则ν′(x )＝x －2x. 当x ∈(2，＋∞)时，ν′(x )＞0，所以ν(x )在(2，＋∞)上为增函数．因为ν(8)＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，ν(9)＝5－2ln9＞0， 所以存在x 0∈(8,9)，ν(x 0)＝0，即x 0－2ln x 0－4＝0.当x ∈(2，x 0)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．所以当x ＝x 0时，h (x )的最小值为h (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－2.因为ln x 0＝x 0－42，所以h (x 0)＝x 02∈(4,4.5)． 故所求的整数k 的最大值为4. 方法二 由题意知，1＋ln x －k (x －2)x＞0在(2，＋∞)上恒成立． f (x )＝1＋ln x －k (x －2)x ，f ′(x )＝x －2kx2.①当2k ≤2，即k ≤1时，f ′(x )＞0在(2，＋∞)上恒成立， 所以f (x )在(2，＋∞)上单调递增． 而f (2)＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求． ②当2k ＞2，即k ＞1时，当x ∈(2,2k )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(2k ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以当x ＝2k 时，f (x )有最小值f (2k )＝2＋ln2k －k . 从而f (x )＞0在(2，＋∞)上恒成立等价于2＋ln2k －k ＞0.令g (k )＝2＋ln2k －k ，则g ′(k )＝1－kk＜0，从而g (k )在(1，＋∞)为减函数．因为g (4)＝ln8－2＞0，g (5)＝ln10－3＜0， 所以使2＋ln2k －k ＞0成立的最大正整数k ＝4. 综合①②，知所求的整数k 的最大值为4.解答题滚动练81．(2017·江苏溧阳中学模拟)在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA ＝AB ＝AC ＝33BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE ＝4DE ，点M 是线段SD 上一点．(1)求证：BC ⊥AM ；(2)若AM ⊥平面SBC ，求证：EM ∥平面ABS . 证明 (1)∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ， ∵SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，又AD ∩SA ＝A ，AD ，SA ⊂平面SAD ， ∴BC ⊥平面SAD ，又AM ⊂平面SAD ，∴BC ⊥AM .(2)∵AM ⊥平面SBC ，SD ⊂平面SBC ，∴AM ⊥SD .设SA ＝1，则AD ＝12，SD ＝52，AM ＝55，SM ＝255，MD ＝510.∴SM ＝4MD . 又AE ＝4DE ， ∴ME ∥SA ，又ME ⊄平面ABS ，SA ⊂平面ABS ， ∴EM ∥平面ABS .2．(2017·江苏郑集高级中学质检)在△ABC 中，已知(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C . (1)求角A 的值；(2)求3sin B －cos C 的最大值．解 (1)因为(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C ， 由正弦定理，得(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由A ＝π3，得B ＋C ＝2π3，所以3sin B －cos C ＝3sin B －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝3sin B －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos B ＋32sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6，当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，3sin B －cos C 取最大值1.3．(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)一缉私艇巡航至距领海边界线l (一条南北方向的直线)3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin17°＝36，33≈5.7446)； (2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．解 (1)如图甲，设缉私艇在点C 处拦截到走私船． 在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝4，设BC ＝a ，AC ＝3a . 由正弦定理，得sin A a ＝sin120°3a ，所以sin A ＝36.因为B ＝120°，所以A 为锐角，从而A ＝17°. 由余弦定理，得(3a )2＝42＋a 2－2×4a cos120°， 即2a 2－a －4＝0，解得a ＝1＋334≈1.7. 点B 到l 的距离为3.8－2＝1.8，而a ＜1.8，所以点C 在领海内． 答 缉私艇的追击方向应为北偏东47°.(2)如图乙，以A 为原点，正北方向为y 轴正方向，1海里为1个单位长度，建立平面直角坐标系xAy ，则A (0,0)，B (2,23)，直线l 的方程为x ＝3.8. 设缉私艇在点P (x ，y )处拦截到走私船．由AP ＝3BP ，得x 2＋y 2＝9[(x －2)2＋(y －23)2]．整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9342＝94.点P 的轨迹是以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，934为圆心，半径r ＝32的圆．圆心M 到直线l 的距离d ＝3.8－94＝1.55＞r ，所以直线l 与圆M 外离，即点P 总在领海内．答 无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ值；若不存在，说明理由； (3)求证：直线AC 必过点Q .(1)解 设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝1－14x 20x 20－4＝－14.(2)解 由题意得直线AP 的方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －2)，x 2＋y 2＝4，得(1＋k 21)x 2－4k 21x＋4(k 21－1)＝0， 设P (x p ，y p )，解得x p ＝2(k 21－1)1＋k 21，y p ＝k 1(x p －2)＝－4k 11＋k 21，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －2)，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0，设B (x B ，y B )，解得x B ＝2(4k 21－1)1＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y p x p ＋65＝－4k 11＋k 212(k 21－1)1＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1，所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC ，(3)证明 当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85，则k AQ ＝852＋65＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65x 2＋y 2＝4，，解得x Q ＝－2(16k 21－1)16k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1， 所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－2(16k 21－1)16k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2， 故直线AC 必过点Q .。
教育最新K122018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：小题满分练1 Word版含答案
小题满分练小题满分练11．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是________．答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析因为A＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]，B＝{y|－1≤y≤1}＝[－1,1]，所以A∪B＝[－1,2]，所以∁R(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．2．(2017·苏州暑假测试)命题“∃x＞1，x2≥2”的否定是________．答案∀x＞1，x2＜2解析根据存在性命题的否定规则得“∃x＞1，x2≥2”的否定是“∀x＞1，x2＜2”．3．若复数z满足z i＝1＋2i，则z的共轭复数是________．答案2＋i解析∵z i＝1＋2i，∴z＝1＋2ii＝2－i，∴z＝2＋i.4．(2017·徐州、连云港、宿迁三检)已知一组数据3,6,9,8,4，则该组数据的方差是________．答案265(或5.2)解析这组数据的平均数x＝15(3＋6＋9＋8＋4)＝6，方差s2＝15(9＋0＋9＋4＋4)＝265.5．若流程图如图所示，则该程序运行后输出的值是________．答案 10000解析 i ＝0，S ＝0⇒i ＝1，S ＝1⇒i ＝2，S ＝4⇒i ＝3，S ＝9…， 由此可知S ＝i 2，所以当i ＝100时，S ＝10000.6．(2017·常州期末)满足等式cos2x －1＝3cos x (x ∈[0，π])的x 的值为________． 答案2π3解析 由题意可得，2cos 2x －3cos x －2＝0，解得cos x ＝－12或cos x ＝2(舍去)．又x ∈[0，π]，故x ＝2π3.7．(2017·河北衡水中学模拟)已知{}a n 为等差数列，S n 为其前n 项和，公差为d ，若S 20172017－S 1717＝100，则d 的值为________．答案110解析 因为S n n＝na 1＋n (n －1)2dn＝a 1＋(n －1)2d ， 所以S 2 0172 017－S 1717＝a 1＋2 017－12d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋17－12d ＝1 000d ＝100，所以d ＝110.8．(2017·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________． 答案2∶2解析 如图，由题意可得圆柱的侧面积为S 1＝2πrh ＝2πr 2.圆锥的母线l ＝h 2＋r 2＝2r ，故圆锥的侧面积为S 2＝12×2πr ×l ＝2πr 2，所以S 2∶S 1＝2∶2.9．(2017·无锡期末)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围为________． 答案 [2,5]解析 直线y ＝kx －2上存在M 内的点，即直线与平面区域M 有公共点，作出平面区域M ，注意到直线y ＝kx －2经过定点P (0，－2)，求得直线l 1：x －y ＝0和l 2：x ＋y ＝4的交点A (2,2)及l 2和l 3：x ＝1的交点B (1,3)，则k PA ＝2，k PB ＝5，由题意可得k 的取值范围是[2,5]．10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，＋∞)，满足f (x ＋2)＝f (x )．若当x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，则函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为________． 答案 7解析 作出函数f (x )的图象(如图)，则它与直线y ＝1在[－2,4]上的交点的个数，即为函数y ＝f (x )－1在[－2,4]上的零点的个数，由图象观察知共有7个交点，从而函数y ＝f (x )－1在[－2,4]上的零点有7个． 11．(2017·无锡期末)设点P 是有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2，若e 2＝3e 1，则e 1＝________. 答案53解析 不妨设F 1，F 2分别是左、右焦点，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，P为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，则根据椭圆和双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝2a 1，PF 1－PF 2＝2a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝a 1＋a 2，PF 2＝a 1－a 2.因为PF 1⊥PF 2，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝(2c )2，化简得a 21＋a 22＝2c 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，又因为e 2＝3e 1，所以e 21＝59，故e 1＝53. 12．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，AB ＝2，AD ＝1，且MA →·MB →＝－16，则AB →·AD →＝________.答案34解析 因为MA →·MB →＝(MD →＋DA →)·23DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13BD →＋DA →·23DB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD →－13AB →＋DA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →－23AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23AD →－13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →－23AD →＝49AD →2－29AB →2－29AB →·AD →＝－29AB →·AD →＝－16，所以AB →·AD →＝34.13．(2017·南通一调)已知函数f (x )＝|x |＋|x －4|，则不等式f (x 2＋2)＞f (x )的解集用区间表示为________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 函数f (x )的图象如图，可知图象关于直线x ＝2对称． 因为x 2＋2＞0且f (x 2＋2)＞f (x )，则必有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2＞4，x 2＋2＞x ，4＜(x 2＋2)＋x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＞2，x 2－x ＋2＞0，x 2＋x －2＞0，解得x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．14．(2017·无锡期末)已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________． 答案10＋ 5解析 因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋1ab －12＝a b ＋(a ＋b )24ab －12＝a b ＋a 2＋2ab ＋b 24ab －12＝5a 4b ＋b 4a ≥52，当且仅当b ＝5a 时等号成立．又因为c ＞2，由不等式的性质可得ac b ＋c ab －c 2＋5c －2＝c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋1ab －12＋5c －2≥52c ＋5c －2. 又因为52c ＋5c －2＝52(c －2)＋5c －2＋5≥10＋5，当且仅当c ＝2＋2时等号成立． 所以ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为10＋ 5.。
[推荐学习]2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：考前回扣7 Word版含答案
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回扣7 解析几何1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)． (3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：x a ＋y b＝1(a ，b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)． 2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等． 4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)． 5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法；(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．6．直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．弦长公式：AB＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.7．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质8.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．弦长公式：AB＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.9．解决范围、最值问题的常用解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．10．定点问题的思路(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．11．求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．12．解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论．1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4．在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合．5．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2| A2＋B2，导致错解．6．在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件．7．易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．8．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<F1F2.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．9．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a ，b ，c 三者之间的关系，导致计算错误．10．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解． 11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ＞0”下进行．1．抛物线y ＝－2x 2的焦点坐标为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－18解析 抛物线y ＝－2x 2，即为x 2＝－12y ，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－18.2．(2017·江苏泰州中学模拟)若双曲线x 2－y 2k＝1的焦点到渐近线的距离为22，则实数k的值是__________． 答案 8解析 双曲线的一条渐近线方程为y ＝kx ，一个焦点坐标为(k ＋1，0)，由题意得k k ＋1k ＋1＝22，解得k ＝8.3．直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为____________． 答案 2 3解析 由于圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径r ＝2，而圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，∴AB ＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.4．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为____________． 答案255解析 ∵c ＋b2c －b 2＝53，∴c ＝2b ，又a 2－b 2＝c 2， ∴5c 2＝4a 2，∴e ＝c a＝25＝255. 5．(2017·江苏江阴中学检测)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________________．答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12，所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 6．已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB ＝23，则CD ＝________. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，AB ＝23，所以OM ＝3，解得m ＝－33， 由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0,23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以CD ＝4.7．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________． 答案13解析 设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝13.8．(2017·江苏天一中学质检)若第一象限内的动点P (x ，y )满足1x ＋12y ＋32xy ＝1，R ＝xy ，则以P 为圆心、R 为半径且面积最小的圆的方程为________________．答案 (x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝814解析 因为点P (x ，y )在第一象限，所以x ＞0，y ＞0.又因为1x ＋12y ＋32xy＝1，R ＝xy ，所以x ＋2y ＋32xy ＝1，即x ＋2y ＋3＝2xy ，所以2xy ＝x ＋2y ＋3≥22xy ＋3,2xy －22xy －3≥0，即(2xy ＋1)(2xy －3)≥0，解得xy ≥92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，1x ＋12y ＋32xy＝1，即x ＝3，y ＝32时取等号．当xy 最小，即R 最小时，圆的面积最小．此时圆心P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，半径R ＝92，所求圆的方程为(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝814.9．已知函数y ＝f (x )＝ax ＋1－2(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，设抛物线E ：y 2＝4x 上任意一点M 到准线l 的距离为d ，则d ＋MA 的最小值为____________． 答案5解析 当x ＋1＝0时，y ＝－1，故A (－1，－1)，设抛物线的焦点为F (1,0)，由抛物线的定义可知，d ＋MA 的最小值为AF ＝ 5.10．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆T 的中心在坐标原点，一条准线方程为y ＝2，且经过点(1,0)． (1)求椭圆T 的方程；(2)设四边形ABCD 是矩形，且四条边都与椭圆T 相切．求证：满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上．(1)解 因为椭圆T 的中心在坐标原点，一条准线方程为y ＝2，所以椭圆T 的焦点在y 轴上，于是可设椭圆T 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆T 经过点(1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 2－b 2＝2，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1.故椭圆T 的方程为y 22＋x 2＝1.(2)证明 由题意知，矩形ABCD 是椭圆x 2＋y 22＝1的外切矩形．(i)若矩形ABCD 的边与坐标轴不平行，则可设一组对边所在直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－2＝0，于是Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋2)(m 2－2)＝0， 化简得m ＝±k 2＋2.所以矩形ABCD 的一组对边所在直线的方程为y ＝kx ±k 2＋2，即y －kx ＝±k 2＋2.同理，另一组对边所在直线的方程为ky ＋x ＝±1＋2k 2，于是矩形的顶点坐标(x ，y )满足(y －kx )2＋(ky ＋x )2＝(k 2＋2)＋(1＋2k 2)， 即(1＋k 2)(x 2＋y 2)＝3(1＋k 2)，亦即x 2＋y 2＝3. (ii)若矩形ABCD 的边与坐标轴平行， 则四个顶点(±1，±2)显然满足x 2＋y 2＝3. 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆x 2＋y 2＝3上．。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——考前回扣10套集合((含答案)62页
2018考前三个月高考数学理科（江苏专用） 总复习训练题：——考前回扣10集合(含答案)回扣1 函数的图象与性质1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域． (2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a ；③反比例函数y ＝kx(k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． 3．关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期； ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期；③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期． (2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )， 即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )， 即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称；③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )， 则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．4．函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质． ①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]， 那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f (g (x ))的单调性． 5．函数图象的基本变换 (1)平移变换y ＝f (x )――――→h ＞0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――――→k ＞0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换y ＝f (x )――――→0<ω<1，伸ω＞1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――――→0<A <1，缩A ＞1，伸y ＝Af (x )． (3)对称变换y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x )．6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)恒过(0,1)点；y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)恒过(1,0)点．(2)单调性：当a ＞1时，y ＝a x在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <1时，y ＝a x在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减． 7．函数与方程(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0,0)为f (x )的图象与x 轴的交点． (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：解方程f (x )＝0；②零点定理法：根据连续函数y ＝f (x )满足f (a )f (b )<0，判断函数在区间(a ，b )内存在零点； ③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则． 2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的单调性容易忽视字母a 的取值讨论，忽视a x＞0；对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x－4，x >0，则f (f (1))＝________.答案 －2解析 f (f (1))＝f (21－4)＝f (－2)＝2³(－2)＋2＝－2.2．函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax ＋2＝x 2－2ax ＋a 2－a 2＋2＝(x －a )2－a 2＋2， ∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，且在区间(－∞，1]上递减， ∴a 的取值范围是[1，＋∞)．3．(2017²江苏南通天星湖中学质检)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b )，x ≥0，ax (x ＋2)，x ＜0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________． 答案 －1解析 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a (－1＋2)＝1(1－b )，2a (－2＋2)＝2(2－b )，解得a ＝－1，b ＝2.经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件， 所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.4．(2017²江苏如东中学质检)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 由题意得a ＞2x －2x2对1＜x ＜4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14＜1x ＜1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a ＞12.5．已知函数f (x )＝||x ＋2||x ，且满足f (a －1)＜f (2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋2x是单调增函数，故由偶函数的性质及f (a －1)＜f (2)可得|a －1|＜2，即－2＜a －1＜2， 即－1＜a ＜3.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且f (－1)＝2，则f (2017)＝________. 答案 －2解析 由题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数是以4为周期的周期函数，所以f (2017)＝f (1)＝－f (－1)＝－2.7．已知函数f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2 解析 因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增．故由f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2m ≤2，－2≤log 4(m ＋2)≤2，log 2m ＜log 4(m ＋2)，m ＞0，m ＋2＞0，故有⎩⎪⎨⎪⎧14≤m ≤4，116≤m ＋2≤16，m 2<m ＋2，m >0，m ＋2>0，解得14≤m <2.综上可知，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2. 8．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝__________.答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)， 因为4＜log 220＜5，所以0＜log 220－4＜1， －1＜4－log 220＜0.又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－1.9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，所以1<a <3.又由题意得7(3－a )－3<a ，解得a >94，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为__________． 答案 2解析 当x ＞2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数．当x ＞2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝3－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去)．所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x ＜0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫113，6 解析 由题意可得函数f (x )的图象如图所示，若存在互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝k ，则k ∈(－3,4)，不妨令x 1＜x 2＜x 3，则x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，x 2＋x 3＝6，故x 1＋x 2＋x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )－2，当x ∈(0，2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ∈(0，1)，1x，x ∈[1，2]，若当x ∈(0,4]时，t 2－7t 2≤f (x )≤3－t 恒成立，则实数t 的取值范围是______________． 答案 [1,2]解析 当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2－x ，函数无最大值，最小值为－14；当x ∈[1,2]时，f (x )＝1x ，函数最大值为1，最小值为12；当x ∈(2,3)时，f (x )＝2f (x －2)－2＝2x 2－10x ＋10，函数值满足－52≤f (x )＜－2；当x ∈[3,4]时，f (x )＝2f (x －2)－2＝2x －2－2，函数值满足－1≤f (x )≤0.综上，当x ∈(0,4]时，函数f (x )的最小值为－52，最大值为1.由t 2－7t 2≤f (x )≤3－t 恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧t 2－7t 2≤－52，3－t ≥1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤t ≤52，t ≤2，∴1≤t ≤2.回扣2 导数1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f(x0)＝f′(x0)²(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )＞0(＜0)的解集为(a ，b )．2．f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点．一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．曲线y ＝f (x )＝xx 2＋1在点(1，f (1))处的切线方程是____________．答案 y ＝12解析 ∵f (x )＝xx 2＋1的导数f ′(x )＝1－x2(1＋x 2)2，∴曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝0，∵切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12， ∴曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝12.2．(2016²四川)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝__________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2.3．f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则1＋f ′(1)＝________. 答案 －3解析 由f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，求导可得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，f ′(2)＝4＋3f ′(2)，f ′(2)＝－2，则f ′(x )＝2x －6，f ′(1)＝2－6＝－4，所以1＋f ′(1)＝－3.4．设曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23解析 由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x－1， 因为e x＋1＞1，所以1e x ＋1∈(0,1)，由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ， 又－2sin x ∈[－2,2]，所以3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使过曲线f (x )＝－e x－x 上任意一点的切线l 1， 总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.5．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________． 答案 －7解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3， 经验证，a ＝4，b ＝－11符合题意， 故a ＋b ＝－7.6．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是______________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12.利用图象可得 ⎩⎪⎨⎪⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32.7．已知奇函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )，当x ＞0时，有2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，则不等式(x ＋2018)2f (x ＋2018)＋4f (－2)＜0的解集为____________． 答案 (－∞，－2016)解析 由题观察联想可设g (x )＝x 2f (x )，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，结合条件x >0,2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，得g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＞0，g (x )＝x 2f (x )在(0，＋∞)上为增函数．又f (x )为R 上的奇函数，所以g (x )为奇函数，所以g (x )在(－∞，0)上为增函数． 由(x ＋2018)2f (x ＋2018)＋4f (－2)＜0， 可得(x ＋2018)2f (x ＋2018)＜4f (2)， 即g (x ＋2018)＜g (2)，所以x ＋2018＜2，故x ＜－2016. 8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x <1，ln xx 2，x ≥1，则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．答案 4解析 当x <1时，f (x )＝12x －1单调递减，且f (x )>－12；当x ≥1时，f (x )＝ln xx 2，则f ′(x )＝1－2ln xx3，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，当∈[1，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝12e >18，且f (x )≥0，当x 趋近于＋∞时，f (x )趋近于0.作出函数y ＝|f (x )|的大致图象如图所示，由图可知，函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为4.9．已知函数f (x )＝x ＋1ex(e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x ＜0时，f ′(x )＞0，当x ＞0时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减． ∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)， 单调减区间为(0，＋∞)．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立， 则2[φ(x )]min ＜[φ(x )]max . ∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋(1－t )x ＋1ex，∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x ＝－(x －t )(x －1)e x. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减， ∴2φ(1)＜φ(0)，即t ＞3－e2＞1；②当t ≤0时，φ′(x )≥0，φ(x )在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)＜φ(1)，即t ＜3－2e ＜0；③当0＜t ＜1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )＜0，φ(x )在[0，t )上单调递减， 若x ∈(t,1]，φ′(x )≥0，φ(x )在(t,1]上单调递增， ∴2φ(t )＜max{φ(0)，φ(1)}， 即2t ＋1e t＜max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3－t e .(*) 由(1)知，g (t )＝2²t ＋1et在[0,1]上单调递减，故4e ≤2t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e ， ∴不等式(*)无解．综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3－e 2，＋∞，使得命题成立．10．(2017²山东)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2，a ∈R .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程；(2)设函数g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，讨论g (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解 (1)由题意f ′(x )＝x 2－ax ，所以当a ＝2时，f (3)＝0，f ′(x )＝x 2－2x ， 所以f ′(3)＝3，因此曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.(2)因为g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，所以g ′(x )＝f ′(x )＋cos x －(x －a )sin x －cos x ＝x (x －a )－(x －a )sin x ＝(x －a )(x －sin x )． 令h (x )＝x －sin x ， 则h ′(x )＝1－cos x ≥0， 所以h (x )在R 上单调递增．因为h (0)＝0，所以当x >0时，h (x )>0； 当x <0时，h (x )<0.①当a <0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，a )时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(a,0)时，x －a >0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 所以当x ＝a 时，g (x )取到极大值， 极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ；当x ＝0时，g (x )取到极小值，极小值是g (0)＝－a . ②当a ＝0时，g ′(x )＝x (x －sin x )，当x ∈(－∞，＋∞)时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增；所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，g (x )无极大值也无极小值； ③当a >0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，0)时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(0，a )时，x －a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 所以当x ＝0时，g (x )取到极大值， 极大值是g (0)＝－a ； 当x ＝a 时，g (x )取到极小值， 极小值是g (a )＝－16a 3－sin a .综上所述，当a <0时，函数g (x )在(－∞，a )和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ，极小值是g (0)＝－a ；当a ＝0时，函数g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a >0时，函数g (x )在(－∞，0)和(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (0)＝－a ，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a .回扣3 三角函数与平面向量1．准确记忆六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝ba.3．三种三角函数的性质4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 5．正弦定理及其变形asin A＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .6．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .7．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .8．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a²b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a²b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 9．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a²b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a²a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.11．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a²b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 12．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →²OB →＝OB →²OC →＝OC →²OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号． 2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．3．求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ. 5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解． 6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．7．a²b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a²b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1．2sin45°cos15°－sin30°的值＝________. 答案32解析2sin45°cos15°－sin30°＝2sin45°cos15°－sin(45°－15°)＝2sin45°cos15°－(sin45°cos15°－cos45°sin15°)＝sin45°cos15°＋2．(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是________． 答案 2解析 由题意得tan(18°＋27°)＝tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°，即tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°＝1， 所以tan18°＋tan27°＝1－tan18°tan27°，所以(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝2.3．(2017²江苏泰州中学期中)向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________. 答案3解析 a ²b ＝cos70°cos10°＋sin70°sin10°＝cos60°＝12，|a |＝|b |＝1，所以|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ²b ＝1＋4－2＝ 3.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________． 答案332解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，① ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12³6³32＝332.5．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为__________． 答案 12解析 由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x ＜0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a ＜0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消去a 得λ＝12.6．已知a ，b 为同一平面内的两个向量，且a ＝(1,2)，|b |＝12|a |，若a ＋2b 与2a －b 垂直，则a 与b 的夹角为________．答案 π解析 |b |＝12|a |＝52，而(a ＋2b )²(2a －b )＝0，即2a 2－2b 2＋3a²b ＝0，所以a²b ＝－52，从而cos 〈a ，b 〉＝a²b|a||b |＝－1，所以〈a ，b 〉＝π.7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.8．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →²AF →的最小值为__________．答案2918解析 方法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →(λ>0)，∴AE →²AF →＝(AB →＋λBC →)²⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋19λDC →＝AB →²AD →＋AB →²19λDC→＋λBC →²AD →＋λBC →²19λDC →＝2³1³cos60°＋2³1³19λ＋λ³1³1³cos60°＋λ³19λ³1³1³cos120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ²λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918. 方法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ＞0，仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →²AF →的最小值为2918.9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，试求f (x )的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．解 (1)由题意知，f (x )＝－sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递增，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )， 所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3，当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值2，当2x ＋2π3＝4π3，即x ＝π3时，f (x )取得最小值－ 3.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝2，b ＝7，求△ABC 的面积． 解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0， 即sin A sin B －3sin A cos B ＝0, 因为sin A ≠0，又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)因为sin B ＝32，cos B ＝12， 所以a sin A ＝b sin B ＝732＝2213，又a ＝2， 所以sin A ＝321＝217， 因为a ＜b ， 所以cos A ＝277.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32114，所以S ＝12ab sin C ＝332.回扣4 数列1．牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n}的常用性质(2)判断等差数列的常用方法①定义法a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．②通项公式法a n＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．③中项公式法2a n＋1＝a n＋a n＋2 (n∈N*)⇔{a n}是等差数列．④前n项和公式法S n＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法①定义法a n＋1＝q (q是不为0的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．a n②通项公式法a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．③中项公式法a 2n ＋1＝a n ²a n ＋2(a n ²a n ＋1²a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{a n ²b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如a n ＝c(an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如a n ＝(－1)n²n 或a n ＝a ²(－1)n(其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等， 如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案 20解析 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝2³10＝20.2．(2017²南京、盐城一模)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝____________. 答案 63解析 ∵a 4＋a 5＋a 6＝21，∴3a 5＝21，可得a 5＝7， ∴S 9＝9³(a 1＋a 9)2＝9³(2a 5)2＝9a 5＝63.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n 的通项公式为________． 答案 2n ＋1解析 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)⇒a n ＋1＝2a n ，再令n ＝1，∴S 1＝2a 1－4，解得a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4²2n －1＝2n ＋1.4．(2017²南京高淳区质检)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为__________． 答案 ±4 2解析 由S 9＝－36，S 13＝－104，可解得a 1＝4，d ＝－2，所以a 5＝－4，a 7＝－8. 设a 5与a 7的等比中项为x ，则x 2＝a 5a 7＝32， 所以x ＝±4 2.5．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. 答案 50解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5， ∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， ∴a 10a 11＝e 5，∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝lne 50＝50.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S nan ＝________.答案 2n－1解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 2)＝52，a 1q (1＋q 2)＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝12，∴S n a n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－122³⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2n－1. 7．若数列{a n }满足a 2－a 1＞a 3－a 2＞a 4－a 3＞…＞a n ＋1－a n ＞…，则称数列{a n }为“差递减”数列．若数列{a n }是“差递减”数列，且其通项a n 与其前n 项和S n ()n ∈N *满足2S n ＝3a n ＋2λ－1()n ∈N *，则实数λ的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 当n ＝1时，2a 1＝3a 1＋2λ－1，a 1＝1－2λ，当n ＞1时，2S n －1＝3a n －1＋2λ－1，所以2a n ＝3a n －3a n －1，a n ＝3a n －1，所以a n ＝()1－2λ3n －1，a n －a n －1＝()1－2λ3n －1－()1－2λ3n －2＝()2－4λ3n －2，依题意()2－4λ3n －2是一个减数列，所以2－4λ＜0，λ＞12.8．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为________．答案 4解析 据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列，可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)2－2(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据基本不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2(n ＋1)³9n ＋1－2＝4，当n ＝2时取得最小值4. 9．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.所以数列{}c n 是首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知，a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1³30＋3³31＋5³32＋…＋(2n －1)³3n －1，3S n ＝1³31＋3³32＋…＋(2n －3)³3n －1＋(2n －1)³3n，两式相减得－2S n ＝1＋2³(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)³3n ＝－2－(2n －2)3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.10．(2017²江苏南师附中质检)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n b(n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)，记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)∵a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)，①当n ≥2，n ∈N *时，a 1a 2a 3…a n －1＝1n b-，②由①②知a n ＝1nn b b --，令n ＝3，则有a 3＝32b b -.∵b 3＝6＋b 2， ∴a 3＝8.∵{a n }为等比数列，且a 1＝2，设{a n }的公比为q ， ∴则q 2＝a 3a 1＝4，由题意知a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝2. ∴a n ＝2n (n ∈N *)．又由a 1a 2a 3…a n ＝n b(n ∈N *)，得21³22³23…³2n ＝n b，即(1)22,n n n b +=∴b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)(i)∵c n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝1－12n －1＋1n ＋1＝1n ＋1－12n . (ii)∵c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0，当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2n－1， 而n (n ＋1)2n－(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1＞0，得n (n ＋1)2n≤5³(5＋1)25＜1，∴当n ≥5时，c n ＜0.综上，对任意的n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.回扣5 不等式1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小． 2．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3．分式不等式f (x )g (x )＞0(<0)⇔f (x )g (x )＞0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0.4．基本不等式 (1)a ＋b2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 5．线性规划(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错． 2．解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a ＞0，a <0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )²g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y ＝x ＋3x(x <0)时应先转化为正数再求解．5．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．6．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1,1)的距离的平方等．1．(2017²泰州二中调研)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3,1]解析 由3－2x －x 2≥0，得x 2＋2x －3≤0， 解得x ∈[－3,1]．2．若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是____________．答案 (－3,0]解析 由题意可知，2kx 2＋kx －38＜0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＜0，代入求得－3＜k ＜0，所以实数k 的取值范围是(－3,0]．3．二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12，则关于x 的不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为________． 答案 {x |－3＜x ＜－2}解析 由已知，－b a ＝56，c a ＝16，且a ＜0，则b ＝－56a ，c ＝16a ，故不等式cx 2－bx ＋a ＞0可化为x 2＋5x ＋6＜0，解得－3＜x ＜－2.4．(2016²上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________．答案 －2解析 令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z2.当在y 轴上截距最小时，z 最大．即过点(0,1)时，z 取最大值，z ＝0－2³1＝－2.5．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是20元/m 2，侧面造价是10元/m 2，则该容器的最低总造价是________元． 答案 160解析 由题意知，体积V ＝4m 3，高h ＝1m ，所以底面积S ＝4m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20³4＋10³⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ²8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．6．(2017²江苏南京高淳区质检)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象的点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2解析 因为y ′＝12x(x ＋1)＋x ＝3x ＋12x ＝32x ＋12x(x ＞0)≥23x 2²12x＝3，当且仅当x ＝13时取等，所以k ＝tan θ≥3，又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.7．若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是______________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1 解析 ∵tt 2＋9＝1t ＋9t ，而t ＋9t 在区间(0,2]上单调递减，∴t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t≤213(当且仅当t ＝2时等号成立)，又t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18， ∵1t ≥12，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1. 8．若a ，b 均为非负实数，且a ＋b ＝1，则1a ＋2b ＋42a ＋b的最小值为________． 答案 3解析 方法一 令a ＋2b ＝s,2a ＋b ＝t ，则1a ＋2b ＋42a ＋b ＝1s ＋4t.由题意知，s ≥0，t ≥0，且s ＋t ＝3(a ＋b )＝3，所以1s ＋4t ＝s ＋t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1s ＋4t ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋t s ＋4s t ≥13³9＝3，当且仅当s ＝1，t＝2时等号成立．所以1a ＋2b ＋42a ＋b的最小值为3.方法二 因为a ＋b ＝1，所以1a ＋2b ＋42a ＋b ＝11＋b ＋41＋a， 令1＋b ＝s ，a ＋1＝t ，则11＋b ＋41＋a ＝1s ＋4t ，由题意知，s ≥1，t ≥1，且s ＋t ＝3，所以1s ＋4t ＝s ＋t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1s ＋4t ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋t s ＋4s t ≥13³9＝3，当且仅当s ＝1，t ＝2时等号成立．所以1a ＋2b ＋42a ＋b的最小值为3. 9．解关于x 的不等式x 2＋ax －2x －1≤x ＋1.解 原不等式可化为x 2＋ax －2x －1－(x ＋1)≤0，即ax －1x －1≤0， 当a ＝0时，有－1x －1≤0，所以x ＞1， 当a ≠0时，①当a ＜0时，有x －1ax －1≥0，且1a ＜1，所以x ≤1a或x ＞1； ②当0＜a ＜1时，有x －1a x －1≤0，且1a ＞1，所以1＜x ≤1a；③当a ＝1时，有x －1x －1≤0，所以x ∈∅， ④当a ＞1时，有x －1ax －1≤0，且1a ＜1，所以1a≤x ＜1， 综上，当a ＜0时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1a ∪(1，＋∞)，当a ＝0时，原不等式的解集为(1，＋∞)，当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤1，1a ，当a ＝1时，原不等式的解集为∅， 当a ＞1时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，1.10．(2017²江苏苏州期中)如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量BC ＝2百米，CD ＝1百米，∠BCD ＝120°，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF (点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度)，将绿地分为面积之比为1∶3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC。
2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：考前回扣10 Word版含答案
回扣10 极坐标与参数方程1．直线的极坐标方程若直线l 经过点M (ρ0，θ0)，且直线l 的倾斜角为α，则它的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线l 过极点：θ＝α.(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a .(3)直线l 过点M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .2．圆的极坐标方程圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的极坐标方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r .(2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ.(3)圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 3．常见曲线的参数方程 (1)圆x 2＋y 2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(2)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．(5)过定点P (x 0，y 0)且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．4．直角坐标与极坐标的互化把平面直角坐标系的原点O 作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).1．研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进行相互转化，在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位． 2．在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．3．把参数方程转化为普通方程的过程中要注意参数的范围，保证转化前后的等价．参数方程要指明参数，参数变化了，参数方程表示的曲线也发生变化．1．(2017·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 直线l 的普通方程是4x －3y －4＝0， 曲线C 的普通方程是y 2＝4x .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －4＝0，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，B (4,4)，所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－142＋(4＋1)2＝254.2．在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，圆C 的方程为ρ＝42sin θ(圆心为点C )，求直线AC 的极坐标方程．解 方法一 以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝42y ，即x 2＋(y －22)2＝8，圆心C (0,22)，A 的直角坐标为(2，2)．直线AC 的斜率k AC ＝22－20－2＝－1，所以直线AC 的直角坐标方程为y ＝－x ＋22，极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝22，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2. 方法二 在直线AC 上任取一点M (ρ，θ)，不妨设点M 在线段AC 上．由于圆心为C ⎝⎛⎭⎪⎫22，π2，S △OAC ＝S △OAM ＋S △OCM ， 所以12×22×2sin π4＝12×2×ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ θ－π4＋12×ρ×22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，即ρ(cos θ＋sin θ)＝22，化简得AC 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2. 3．(2017·南京学情调研)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝m .若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值． 解 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ，化为直角坐标方程为x ＋3y －2m ＝0.因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点， 所以直线l 到曲线C 的距离d ＝|1－2m |2＝1， 解得m ＝－12或m ＝32.所以实数m 的值为－12或32.4．(2017·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝45t(t 为参数)．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．解 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝45t(t 为参数)化为普通方程为4x －3y ＝0，圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为 (x －1)2＋y 2＝1，则圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|4|42＋(－3)2＝45， 所以AB ＝21－d 2＝65.5．已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设点P 是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值． 解 由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，可得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ－32cos θ＝3， 所以y －3x ＝6，即3x －y ＋6＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2，所以圆心到直线l 的距离d ＝6(3)2＋(－1)2＝62＝3， 所以点P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5.6．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t (t 为参数)．(1)求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程； (2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 (1)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝32，即32x －12y ＝32，化简得y ＝3x －3，所以直线l 的直角坐标方程是 3x －y －3＝0.由⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝cos 2t ＋sin 2t ＝1，得椭圆C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立直线方程与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，x 24＋y 23＝1，消去y ，得x 24＋(x －1)2＝1，化简得5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85，所以A (0，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335，则AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－852＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－3352＝165.。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——解答题滚动练2 Word版含答案
解答题滚动练21．(2017·南京、盐城二模)如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2. (1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)如图2，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．解 (1) 由已知，得tan ∠BAD ＝36＝12，tan ∠CAD ＝26＝13，所以tan ∠BAC ＝tan(∠BAD ＋∠CAD )＝12＋131－12×13＝1.因为∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4.(2) 以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (0,0)，D (3,0)，C (5,0)． 因为∠ABC ＝π4，所以设A (a ，a )，其中a ＞0.由AD ＝6，BD ＝3，得(a －3)2＋a 2＝62，即2a 2－6a －27＝0，解得a ＝32(1＋7)．所以S △ADC ＝12DC ·a ＝32(1＋7)．2．如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山(P 为圆弧TS 上的点)，其余部分为平地．今有开发商想在平地上建一个两边落在BC 及CD 上的长方形停车场PQCR.(1)设∠PAB ＝θ，试将矩形PQCR 面积表示为θ的函数； (2)求停车场PQCR 面积的最大值及最小值．解 (1)S PQCR ＝f (θ)＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝8100sin θcos θ－9000(sin θ＋cos θ)＋10000 , θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(2)由(1)知S PQCR ＝f (θ)＝8100sin θcos θ－9000(sin θ＋cos θ)＋10000，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.令sin θ＋cos θ＝t ，则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[1，2]．∴S PQCR ＝81002t 2－9000t ＋10000－81002，当t ＝109时，S PQCR 取得最小值950(m 2)，当t ＝2时，S PQCR 取得最大值14050－90002(m 2)．答 停车场面积的最大值和最小值分别为14050－90002(m 2)和950(m 2)．3．如图，点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2n＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点．(1)求椭圆方程；(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成的是以点A 为顶点的等腰三角形． ①求直线BC 的斜率；②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．解 (1)把点A (1，3)代入x 22＋y 2n ＝1得n ＝6，故椭圆方程为x 22＋y 26＝1.(2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直． 因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为k 1，k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k 1(x －1)，x 22＋y 26＝1，消去y ，得(3＋k 21)x 2＋2k 1(3－k 1)x ＋(3－k 1)2－6＝0，∴点B 的横坐标为x ＝1－6＋23k 1k 21＋3(x ＝1为点A 的横坐标)，∴点B 的纵坐标为y ＝3－23k 21＋6k 1k 21＋3，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－6＋23k 1k 21＋3，3－23k 21＋6k 1k 21＋3.同理可得点C 的坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－6＋23k 2k 22＋3，3－23k 22＋6k 2k 22＋3.∵k 1＋k 2＝0，∴直线BC 的斜率为k BC ＝ 3.②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线BC 的方程为y ＝3x ＋m ，代入方程x 22＋y 26＝1得6x 2＋23mx＋m 2－6＝0，∴x 1＋x 2＝－33m ，x 1x 2＝m 2－66，∴BC ＝1＋(3)2·|x 1－x 2| ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝23312－m 2，又点A 到直线BC 的距离为d ＝|m |2，∴S △ABC ＝12BC ·d ＝36m 2(12－m 2)＝36－(m 2－6)2＋36， ∴当m 2＝6，即m ＝6或m ＝－6时，△ABC 面积取得最大值 3. 此时，直线BC 的方程为y ＝3x ± 6.4．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )为奇函数，且图象过点(－1,2)，求f (x )的解析式； (2)若x ＝1和x ＝2是函数f (x )的两个极值点． ①求a ，b 的值；②求函数f (x )在区间[0,3]上的零点个数． 解 (1)因为函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2(－x )3＋a (－x )2＋b (－x )＋c ＝－2x 3－ax 2－bx －c ， 整理得，ax 2＋c ＝0，所以a ＝c ＝0，从而f (x )＝2x 3＋bx ， 又函数f (x )图象过点(－1,2)，所以b ＝－4. 从而f (x )＝2x 3－4x .(2)①f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b . 因为f (x )在x ＝1和x ＝2处取得极值，所以f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋2a ＋b ＝0，24＋4a ＋b ＝0，解得a ＝－9，b ＝12.②由①得f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋c (c ∈R )，f ′(x )＝6(x －1)(x －2)．列表：显然，函数f (x )在[0,3]上的图象是一条不间断的曲线．由表知，函数f (x )在[0,3]上的最小值为f (0)＝c ，最大值为f (3)＝9＋c . 所以当c ＞0或9＋c ＜0(即c ＜－9)时，函数f (x )在区间[0,3]上的零点个数为0. 当－5＜c ＜0时，因为f (0)f (1)＝c (5＋c )＜0，且函数f (x )在(0,1)上是单调增函数， 所以函数f (x )在(0,1)上有1个零点．当－5＜c ＜－4时，因为f (1)f (2)＝(5＋c )(4＋c )＜0，且f (x )在(1,2)上是单调减函数， 所以函数f (x )在(1,2)上有1个零点．当－9＜c ＜－4时，因为f (2)f (3)＝(4＋c )(9＋c )＜0，且f (x )在(2,3)上是单调增函数， 所以函数f (x )在(2,3)上有1个零点．综上，当c ＞0或c ＜－9时，函数f (x )在区间[0,3]上的零点个数为0； 当－9≤c ＜－5或－4＜c ≤0时，零点个数为1； 当c ＝－4或c ＝－5时，零点个数为2； 当－5＜c ＜－4时，零点个数3.。
【K12教育学习资料】2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：考前回扣5 Word版
回扣5 不等式1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小． 2．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3．分式不等式f (x )g (x )＞0(<0)⇔f (x )g (x )＞0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0.4．基本不等式 (1)a ＋b2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 5．线性规划(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错． 2．解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a ＞0，a <0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y ＝x ＋3x(x <0)时应先转化为正数再求解．5．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．6．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1,1)的距离的平方等．1．(2017·泰州二中调研)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3,1]解析 由3－2x －x 2≥0，得x 2＋2x －3≤0， 解得x ∈[－3,1]．2．若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是____________．答案 (－3,0]解析 由题意可知，2kx 2＋kx －38＜0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＜0，代入求得－3＜k ＜0，所以实数k 的取值范围是(－3,0]． 3．二次不等式ax2＋bx ＋c ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12，则关于x 的不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为________． 答案 {x |－3＜x ＜－2}解析 由已知，－b a ＝56，c a ＝16，且a ＜0，则b ＝－56a ，c ＝16a ，故不等式cx 2－bx ＋a ＞0可化为x 2＋5x ＋6＜0，解得－3＜x ＜－2.4．(2016·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________．答案 －2解析 令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z2.当在y 轴上截距最小时，z 最大．即过点(0,1)时，z 取最大值，z ＝0－2×1＝－2.5．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是20元/m 2，侧面造价是10元/m 2，则该容器的最低总造价是________元． 答案 160解析 由题意知，体积V ＝4m 3，高h ＝1m ，所以底面积S ＝4m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．6．(2017·江苏南京高淳区质检)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象的点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2解析 因为y ′＝12x (x ＋1)＋x ＝3x ＋12x ＝32x ＋12x (x ＞0)≥23x 2·12x＝3，当且仅当x ＝13时取等，所以k ＝tan θ≥3，又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.7．若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是______________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1 解析 ∵tt 2＋9＝1t ＋9t ，而t ＋9t 在区间(0,2]上单调递减，∴t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t≤213(当且仅当t ＝2时等号成立)，又t ＋2t ＝1t ＋2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18， ∵1t ≥12，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1. 8．若a ，b 均为非负实数，且a ＋b ＝1，则1a ＋2b ＋42a ＋b的最小值为________． 答案 3解析 方法一 令a ＋2b ＝s,2a ＋b ＝t ，则1a ＋2b ＋42a ＋b ＝1s ＋4t.由题意知，s ≥0，t ≥0，且s ＋t ＝3(a ＋b )＝3，所以1s ＋4t ＝s ＋t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1s ＋4t ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋t s ＋4s t ≥13×9＝3，当且仅当s ＝1，t＝2时等号成立．所以1a ＋2b ＋42a ＋b的最小值为3. 方法二 因为a ＋b ＝1，所以1a ＋2b ＋42a ＋b ＝11＋b ＋41＋a， 令1＋b ＝s ，a ＋1＝t ，则11＋b ＋41＋a ＝1s ＋4t ，由题意知，s ≥1，t ≥1，且s ＋t ＝3，所以1s＋4t ＝s ＋t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1s ＋4t ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋t s ＋4s t ≥13×9＝3，当且仅当s ＝1，t ＝2时等号成立．所以1a ＋2b ＋42a ＋b的最小值为3. 9．解关于x 的不等式x 2＋ax －2x －1≤x ＋1.解 原不等式可化为x 2＋ax －2x －1－(x ＋1)≤0，即ax －1x －1≤0， 当a ＝0时，有－1x －1≤0，所以x ＞1， 当a ≠0时，①当a ＜0时，有x －1a x －1≥0，且1a ＜1，所以x ≤1a或x ＞1；②当0＜a ＜1时，有x －1ax －1≤0，且1a ＞1，所以1＜x ≤1a； ③当a ＝1时，有x －1x －1≤0，所以x ∈∅， ④当a ＞1时，有x －1a x －1≤0，且1a ＜1，所以1a≤x ＜1，综上，当a ＜0时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1a ∪(1，＋∞)，当a ＝0时，原不等式的解集为(1，＋∞)，当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤1，1a ，当a ＝1时，原不等式的解集为∅，当a ＞1时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，1.10．(2017·江苏苏州期中)如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量BC ＝2百米，CD ＝1百米，∠BCD ＝120°，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF (点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度)，将绿地分为面积之比为1∶3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC ＝x 百米，EF ＝y 百米．(1)当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置； (2)试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．解 (1)∵S ▱ABCD ＝2×12×1×2sin120°＝3(平方百米)，当点F 与点D 重合时，由已知S △CDE ＝14S ▱ABCD ＝34(平方百米)，又∵S △CDE ＝12CE ·CD ·sin120°＝34x ＝34⇒x ＝1，∴E 是BC 的中点．(2)①当点F 在CD 上，即1≤x ≤2时，利用面积关系可得CF ＝1x百米，再由余弦定理可得y ＝x 2＋1x2＋1≥3，当且仅当x ＝1时取等号．②当点F 在DA 上时，即0≤x ＜1时，利用面积关系可得DF ＝(1－x )百米．(i)当CE ＜DF 时，过E 作EG ∥CD 交DA 于点G ，在△EGF 中，EG ＝1百米，GF ＝(1－2x )百米，∠EGF ＝60°，利用余弦定理得y ＝4x 2－2x ＋1.(ii)同理当CE ≥DF 时，过E 作EG ∥CD 交DA 于点G ，在△EGF 中，EG ＝1，GF ＝2x －1，∠EGF ＝120°，利用余弦定理得y ＝4x 2－2x ＋1，由(i)(ii)可得y ＝4x 2－2x ＋1，0≤x ＜1， ∴y ＝4x 2－2x ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋34， ∵0≤x ＜1，∴y min ＝32，当且仅当x ＝14时取等号． 由①②可知当x ＝14时，路EF 的长度最短为32.。
[推荐学习]2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：解答题滚动练8 Word版含答案
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解答题滚动练81．(2017·江苏溧阳中学模拟)在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝AC＝33 BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE＝4DE，点M是线段SD上一点．(1)求证：BC⊥AM；(2)若AM⊥平面SBC，求证：EM∥平面ABS.证明(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC，又AD∩SA＝A，AD，SA⊂平面SAD，∴BC⊥平面SAD，又AM⊂平面SAD，∴BC⊥AM.(2)∵AM⊥平面SBC，SD⊂平面SBC，∴AM⊥SD.设SA＝1，则AD＝12，SD＝52，AM＝55，SM＝255，MD＝510.∴SM＝4MD.又AE＝4DE，∴ME∥SA，又ME⊄平面ABS，SA⊂平面ABS，∴EM∥平面ABS.2．(2017·江苏郑集高级中学质检)在△ABC中，已知(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin B sin C.(1)求角A的值；(2)求3sin B－cos C的最大值．解(1)因为(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin B sin C，由正弦定理，得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由A ＝π3，得B ＋C ＝2π3， 所以3sin B －cos C ＝3sin B －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝3sin B －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos B ＋32sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6，当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，3sin B －cos C 取最大值1. 3．(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)一缉私艇巡航至距领海边界线l (一条南北方向的直线)3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin17°＝36，33≈5.7446)； (2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．解 (1)如图甲，设缉私艇在点C 处拦截到走私船． 在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝4，设BC ＝a ，AC ＝3a . 由正弦定理，得sin A a ＝sin120°3a ，所以sin A ＝36.因为B ＝120°，所以A 为锐角，从而A ＝17°. 由余弦定理，得(3a )2＝42＋a 2－2×4a cos120°， 即2a 2－a －4＝0，解得a ＝1＋334≈1.7. 点B 到l 的距离为3.8－2＝1.8，而a ＜1.8，所以点C 在领海内． 答 缉私艇的追击方向应为北偏东47°.(2)如图乙，以A 为原点，正北方向为y 轴正方向，1海里为1个单位长度，建立平面直角坐标系xAy ，则A (0,0)，B (2,23)，直线l 的方程为x ＝3.8. 设缉私艇在点P (x ，y )处拦截到走私船．由AP ＝3BP ，得x 2＋y 2＝9[(x －2)2＋(y －23)2]．整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9342＝94.点P 的轨迹是以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，934为圆心，半径r ＝32的圆．圆心M 到直线l 的距离d ＝3.8－94＝1.55＞r ，所以直线l 与圆M 外离，即点P 总在领海内．答 无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ值；若不存在，说明理由； (3)求证：直线AC 必过点Q .(1)解 设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝1－14x 20x 20－4＝－14.(2)解 由题意得直线AP 的方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －2)，x 2＋y 2＝4，得(1＋k 21)x 2－4k 21x＋4(k 21－1)＝0， 设P (x p ，y p )，解得x p ＝2(k 21－1)1＋k 21，y p ＝k 1(x p －2)＝－4k 11＋k 21，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －2)，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0，设B (x B ，y B )，解得x B ＝2(4k 21－1)1＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y p x p ＋65＝－4k 11＋k 212(k 21－1)1＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1，所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC ，(3)证明 当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85，则k AQ ＝852＋65＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q . 当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65x 2＋y 2＝4，，解得x Q ＝－2(16k 21－1)16k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1，所以k AQ＝16k116k21＋1－2(16k21－1)16k21＋1－2＝－14k1＝k2，故直线AC必过点Q.。
【配套K12】2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：解答题滚动练5 Word版含答
解答题滚动练51．已知α∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝6－24. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3的值． 解 方法一 联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝6－24，sin 2α＋cos 2α＝1.⇒4sin 2α－(6－2)sin α－(1＋3)＝0，解得sin α＝6＋24或sin α＝－22， 因为α∈(0，π)，所以sin α＝6＋24， 所以cos α＝2－64. (1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝6＋24×22－2－64×22＝62×22＝32. (2)sin2α＝2sin αcos α＝2×6＋24×2－64＝－12，cos2α＝1－2sin 2α＝－32. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝cos2αcos π3＋sin2αsin π3＝－32. 方法二 因为α∈(0，π)，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝6－24＜12，所以5π6<α＋π3<4π3， sin 11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝sin π4cos π6－cos π4sin π6＝6－24， 所以α＋π3＝11π12，所以α＝7π12. (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π4 ＝sin π3＝32.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×7π12－π3＝cos 5π6＝－32. 2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，△ACD 是正三角形，BD 垂直平分AC ，垂足为M ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝1，PD ＝2，N 为PD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PAB ；(2)求证：CN ∥平面PAB .证明 (1)因为BD 垂直平分AC ，所以BA ＝BC ，在△ABC 中，因为∠ABC ＝120°，所以∠BAC ＝30°.因为△ACD 是正三角形，所以∠DAC ＝60°，所以∠BAD ＝90°，即AD ⊥AB .因为AB ＝1，∠ABC ＝120°，所以AD ＝AC ＝3，又因为PA ＝1，PD ＝2，由PA 2＋AD 2＝PD 2，知∠PAD ＝90°，即AD ⊥AP .因为AB ，AP ⊂平面PAB ，AB ∩AP ＝A ，所以AD ⊥平面PAB .(2)方法一 取AD 的中点H ，连结CH ，NH .因为N 为PD 的中点，所以HN ∥PA ，因为PA ⊂平面PAB ，HN ⊄平面PAB ，所以HN ∥平面PAB .由△ACD 是正三角形，H 为AD 的中点，所以CH ⊥AD .由(1)知，BA ⊥AD ，所以CH ∥BA ，因为BA ⊂平面PAB ，CH ⊄平面PAB ，所以CH ∥平面PAB .因为CH ，HN ⊂平面CNH ，CH ∩HN ＝H ，所以平面CNH ∥平面PAB .因为CN ⊂平面CNH ，所以CN ∥平面PAB .方法二 取PA 的中点S ，过C 作CT ∥AD 交AB 的延长线于T ，连结ST ，SN .因为N 为PD 的中点，所以SN ∥AD ，且SN ＝12AD ， 因为CT ∥AD ，所以CT ∥SN .由(1)知，AB ⊥AD ，所以CT ⊥AT ，在Rt △CBT 中，BC ＝1，∠CBT ＝60°，得CT ＝32. 由(1)知，AD ＝3，所以CT ＝12AD ， 所以CT ＝SN .所以四边形SNCT 是平行四边形，所以CN ∥TS .因为TS ⊂平面PAB ，CN ⊄平面PAB ，所以CN ∥平面PAB .3．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，两个定点A (a,2)，B (m,1)，其中a ∈R ，m >0.P 为圆O 上任意一点，且PA PB＝k (k 为常数)．(1)求常数k 的值；(2)过点E (a ，t )作直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝m 交于M ，N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．解 (1)设点P (x ，y )，x 2＋y 2＝4， PA ＝(x －a )2＋(y －2)2，PB ＝(x －m )2＋(y －1)2， 因为PA PB ＝k ，所以(x －a )2＋(y －2)2＝k 2[(x －m )2＋(y －1)2]，又x 2＋y 2＝4，化简得2ax ＋4y －a 2－8＝k 2(2mx ＋2y －m 2－5)，因为P 为圆O 上任意一点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2mk 2，4＝2k 2，a 2＋8＝k 2(m 2＋5)，又m ＞0，k ＞0，解得⎩⎨⎧ k ＝2，a ＝2，m ＝1，所以常数k ＝ 2. (2)方法一 设M (x 0，y 0)，M 是线段NE 的中点，N (2x 0－2,2y 0－t )，又点M ，N 在圆C 上，即关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋y 20＝1，(2x 0－2)2＋(2y 0－t )2＝1有解， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋y 20＝1，8x 0＋4ty 0－t 2－7＝0有解， 即直线n ：8x ＋4ty －t 2－7＝0与圆C ：x 2＋y 2＝1有交点，则点(0,0)到直线n 的距离d ＝|t 2＋7|64＋16t 2≤1，化简得，t 4－2t 2－15≤0， 解得t ∈[－5，5]．方法二 设过E 的切线与圆C 切于切点F ，EF 2＝EM ·EN ，又M 是线段NE 的中点，所以EN ＝2MN ，EM ＝MN ，所以EF 2＝2MN 2，又EF 2＝EC 2－CF 2＝22＋t 2－1＝t 2＋3，MN ≤2，所以t 2＋3≤8，所以t ∈[－5，5]．4．已知函数f (x )＝－x 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，且该函数在x ＝1处取得极值．(1)求实数a 的值，并求出函数的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－b ＋5x 2在区间(0,2018)上只有一个零点，求实数b 的值． 解 (1)由已知，得f ′(x )＝－2x －2a －1＋1x， 据题意，f ′(1)＝0，得到a ＝－1，所以f (x )＝－x 2＋x ＋ln x ， f ′(x )＝－2x ＋1＋1x ＝(2x ＋1)(－x ＋1)x. 由x ＞0，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，令f ′(x )＜0，得x ＞1，所以函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝－1， f (x )的单调增区间为(0,1)，f (x )的单调减区间为(1，＋∞)．(2)g (x )＝f (x )－b ＋5x 2＝－x 2＋7x 2＋ln x －b ，x ∈(0，2018)． 则g ′(x )＝－2x ＋72＋1x， 令g ′(x )＝0, 得x ＝2，负值舍去．当0＜x ＜2时，g ′(x )＞0，g (x )的单调增区间为(0,2)，当2＜x ＜2018时，g ′(x )＜0，g (x )的单调减区间为(2，2018)．所以函数g (x )＝f (x )－b ＋5x 2在区间(0,2018)上只有一个零点，等价于g (2)＝0， 解得b ＝ln2＋3.。
2018版考前三个月高考数学理科全国通用总复习文档：解答题滚动练2 含解析 精品
解答题滚动练21.网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人.将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？(2)若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数ξ的分布列与期望. 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)由题意可得列联表如下：假设网购迷与年龄不超过40岁没有关系，则K 2＝100×(20×30－45×5)265×35×25×75≈3.297＞2.706.所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关. (2)由频数分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数ξ的所有取值为0，1，2， P (ξ＝0)＝C 220C 225＝1930，P (ξ＝1)＝C 120C 15C 225＝13，P (ξ＝2)＝C 25C 225＝130，所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×1930＋1×13＋2×130＝25.2.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0＜λ＜2).(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.(1)证明 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz .由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，N (1，0，2)，M (2，1，2)，则BC 1＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE →＝(1，1，0)，NM →＝(1，1，0)，NP →＝(－1，0，λ－2).当λ＝1时，FP →＝(－1，0，1)，因为BC 1＝(－2，0，2)，所以BC 1＝2FP →， 即BC 1∥FP ，又FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)解 设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1). 设平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)， 由⎩⎪⎨⎪⎧NM →·m ＝0，NP →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋y ′＝0，－x ′＋(λ－2)z ′＝0， 于是可取m ＝(λ－2，2－λ，1).若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22，显然满足0＜λ＜2.故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝9，且a n ＝a n －1＋λn －1(n ≥2). (1)求λ的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ·(a n ＋n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，求S 2n . 解 (1)∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋λn －1，∴a 2＝2λ，a 3＝5λ－1，由a 3＝5λ－1＝9，得λ＝2，于是a n ＝a n －1＋2n －1，即a n －a n －1＝2n －1，a n －1－a n －2＝2n －3， a n －2－a n －3＝2n －5，…，a 2－a 1＝3，n ＞3. 以上各式累加得a n ＝1＋(n －1)(2n ＋2)2＝n 2，n ＞3.经验证知，a 1，a 2，a 3也满足a n ＝n 2，故a n ＝n 2(n ∈N *).(2)由(1)得b n ＝(－1)n ·(a n ＋n )＝(－1)n ·n (n ＋1)，故S 2n ＝－1×2＋2×3－3×4＋4×5－5×6＋6×7－…－(2n －1)·2n ＋2n ·(2n ＋1)＝2(－1＋3)＋4(－3＋5)＋6(－5＋7)＋…＋2n (－2n ＋1＋2n ＋1) ＝2(2＋4＋6＋…＋2n )＝2·n (2n ＋2)2＝2n 2＋2n .4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F 1(－3，0)，M (1，y )(y ＞0)为椭圆上的一点，△MOF 1的面积为34.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点T 在圆x 2＋y 2＝1上，是否存在过点A (2，0)的直线l 交椭圆C 于点B ，使OT →＝55(OA→＋OB →)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的一个焦点为F 1(－3，0)知c ＝3， 即a 2－b 2＝3.①又因为△MOF 1的面积为34，即12×3×y ＝34，求得y ＝32，则M ⎝⎛⎭⎫1，32，代入椭圆方程，得1a 2＋34b 2＝1.②由①②解得a 2＝4，b 2＝1. 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在过点A (2，0)的直线l 符合题意，则结合图形易判断知直线l 的斜率必存在， 于是可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －2)，得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0. (*)解得x B ＝8k 2－21＋4k 2，所以y B ＝－4k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－21＋4k 2，－4k 1＋4k 2. 所以OA →＋OB →＝⎝⎛⎭⎫16k 21＋4k 2，－4k 1＋4k 2，即OT →＝55⎝⎛⎭⎫16k 21＋4k2，－4k 1＋4k 2. 因为点T 在圆x 2＋y 2＝1上，所以15⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫16k 21＋4k 22＋⎝⎛⎭⎫－4k 1＋4k 22＝1，化简得176k 4－24k 2－5＝0，解得k 2＝14，所以k ＝±12.经检验知，此时(*)对应的判别式Δ＞0，满足题意. 故存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±12(x －2).。
2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：考前回扣3 Word版含答案
回扣3 三角函数与平面向量1．准确记忆六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a . 3．三种三角函数的性质4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 5．正弦定理及其变形asin A＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .6．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .7．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .8．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 9．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10．利用数量积求长度。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——解答题滚动练3 含答案
解答题滚动练31．(2017·镇江期末)已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且m ⊥n .(1)求cos2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求角β的大小．解 方法一 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，所以sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝55，sin α＝255， 则cos2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. (2)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.又sin(α－β)＝1010，则cos(α－β)＝31010. 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22. 因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.方法二 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，tan α＝2，故cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35. (2)由(1)知，2cos α－sin α＝0，且cos 2α＋sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α＝255，cos α＝55，以下同方法一(2)．2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，DC ∥AB ，DC ＝2AB ，E 为棱PA 上一点． (1)设O 为AC 与BD 的交点，若PE ＝2AE ，求证：OE ∥平面PBC ； (2)若DE ⊥AP ，求证：PB ⊥DE .证明 (1)在△AOB 与△COD 中， 因为DC ∥AB ，DC ＝2AB ，所以AO CO ＝AB CD ＝12， 又因为PE ＝2AE ，所以在△APC 中，有AO CO ＝AE PE ＝12，则OE ∥PC . 又因为OE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以OE ∥平面PBC . (2)因为AB ⊥平面PAD ，DE ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥DE .又因为AP ⊥DE ，AB ⊂平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，AP ∩AB ＝A ， 所以DE ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以DE ⊥PB .3．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？(2)设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)． (2)①当0<x ≤7时，y ＝360x ＋10x ＋236＝370x ＋236， ②当x >7时，y ＝360x ＋236＋70＋6[(x －7)＋(x －8)＋…＋2＋1]＝3x 2＋321x ＋432∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236，0<x ≤7，3x 2＋321x ＋432，x ＞7.∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f (x )元． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236x ，0<x ≤7，3x 2＋321x ＋432x，x ＞7.当0<x ≤7时，f (x )＝370＋236x ，当且仅当x ＝7时f (x )有最小值28267≈404(元)， 当x ＞7时，f (x )＝3x 2＋321x ＋432x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋144x ＋321≥393，当且仅当x ＝12时取等号．∵393<404，∴当x ＝12时f (x )有最小值393元．4．已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围； (3)若函数f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)，且0＜x 1＜x 2，求证：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)． (1)解 当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，则切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)解 g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x －2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，故g ′(x )＝0时，x ＝1.当1e ＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0.故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e 2＜0，则g (e)＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为g (e)． g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝m －1＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1＜m ≤2＋1e 2，所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.(3)证明 因为f (x )的图象与x 轴交于两个不同的点A (x 1,0)，B (x 2,0)，所以方程2ln x －x 2＋ax ＝0的两个根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2ln x 1－x 21＋ax 1＝0，2ln x 2－x 22＋ax 2＝0，两式相减得a ＝(x 1＋x 2)－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2，又f (x )＝2ln x －x 2＋ax ，f ′(x )＝2x －2x ＋a ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝4x 1＋x 2－(x 1＋x 2)＋a ＝4x 1＋x 2－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2. 下证4x 1＋x 2－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2＜0，即证明2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＜0，令t ＝x 1x 2. 因为0＜x 1＜x 2，所以0＜t ＜1，即证明u (t )＝2(1－t )t ＋1＋ln t ＜0在0＜t ＜1上恒成立．因为u ′(t )＝－2(t ＋1)－2(1－t )(t ＋1)2＋1t ＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2，又0＜t ＜1，所以u ′(t )＞0， 所以u (t )在(0,1)上是增函数，则u (t )＜u (1)＝0，从而知2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＜0，故4x 1＋x 2－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2＜0，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0成立．。
江苏专用2018届高考数学总复习考前三个月解答题滚动练4理20180123158
解答题滚动练41.如图，在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD为矩形，且AB＝2，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，PA⊥DE.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAC⊥平面PDE.证明(1)方法一取线段PD的中点M，连结FM，AM.1 因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝CD.2因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，1 所以EA∥CD，且EA＝CD.2所以FM∥EA，且FM＝EA.所以四边形AEFM为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.方法二连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN.因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA.所以CE＝NE.又F为PC的中点，所以EF∥NP.又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.1方法三取CD的中点Q，连结FQ，EQ.在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ.所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD.又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD.因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD.又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD.又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD.因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD.(2)设AC，DE相交于G.在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，DA CDE为AB的中点，所以＝＝2.AE DA又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA.又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°.由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°.即DE⊥AC.又PA⊥DE，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以DE⊥平面PAC，又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE.2．如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P.垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(A，B，P可看成三个点)：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大)．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？2PA50 5解方法一由条件①，得＝＝.PB30 35x 2＋162－ 3x 2 x8设PA＝5x，PB＝3x，则cos∠PAB＝＝＋，2 × 16 × 5x10 5x所以点P到直线AB的距离x8h＝PA sin∠PAB＝5x1－(5x)＋ 2101＝－x4＋17x2－6441＝－2－34 2＋225，4 x所以当x2＝34，即x＝34时，h取得最大值15km.即选址应满足PA＝5 34km，PB＝3 34km.方法二以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－8,0)，B(8,0)．PA50 5由条件①，得＝＝.PB30 3设P(x，y)(y>0)，则3 x＋8 2＋y2＝5 x－8 2＋y2，化简得(x－17)2＋y2＝152(y>0)，即点P的轨迹是以点(17,0)为圆心、15为半径的圆位于x轴上方的部分．则当x＝17时，点P到直线AB的距离最大，最大值为15km.所以点P的选址应满足在上述坐标系中坐标为(17,15)即可．PA50 5方法三由条件①，得＝＝.PB30 3过点P作PD垂直于AB，设PD＝h，AD＝x，则DB＝|16－x|，3 x2＋h2＝5 h2＋ 16－x 2，h2＝－(x－25)2＋225.所以当x＝25时，h取得最大值15.答选址应满足PA＝5 34km，PB＝3 34km.3．已知数列{a n}满足a n＋a n＋1＝2n－3，n∈N*.(1)若数列{a n}为等差数列，求a1；3a 2n ＋a n ＋21 (2)设 a 1＝a (a ＞0)，∀n ∈N *，n ≥2，不等式 ≥3成立，求实数 a 的最小值．a n ＋a n ＋1 解 (1)设数列{a n }公差为 d ，则 2n －3＝a n ＋a n ＋1＝a 1＋(n －1)d ＋a 1＋nd ＝2dn ＋(2a 1－d )对∀n ∈N *成立， 所以Error!故 d ＝1，a 1＝－1.(2)由 a n ＋a n ＋1＝2n －3，知{a n －(n －2)}为等比数列，公比 q ＝－1， 所以 a n －(n －2)＝(a ＋1)(－1)n －1， 故 a n ＝(n －2)＋(a ＋1)(－1)n －1.a 2n ＋a n ＋21 n －1＋a 2＋ n －2－a 2 ①当 n 为不小于 3的奇数时，由 ≥3，得≥3， a n ＋a n ＋12n －3化简得 a 2＋a ≥－(n －3)2＋2恒成立，所以 a 2＋a ≥2，解得 a ≥1. ②n 为不小于 2的偶数时，同理有 a 2＋3a ≥－(n －3)2恒成立， 因为 a ＞0，显然恒成立．所以 a ＞0.由①②得 a ≥1，故 a 的最小值为 1.x 2 y 24．已知椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1(a ＞b ＞0)，点 A ，B 分别为其左、右顶点，点 F 1，F 2分别为a 2b 2 其左、右焦点，以点 A 为圆心、AF 1为半径作圆 A ，以点 B 为圆心、OB 为半径作圆 B .若直线 l ：y 3＝－ x 被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 15∶6.3 (1)求椭圆 C 的离心率；(2)已知 a ＝7，问在 x 轴上是否存在点 P ，使得过点 P 有无数条直线被圆 A 和圆 B 截得的弦长 之比为 3∶4，若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)分别过点 A ，B 作直线 l 的垂线，垂足为 A 1，B 1，a由题意得 AA 1＝BB 1，由点到直线距离公式得 AA 1＝BB 1＝ ，2a因为圆 A 以 AF 1为半径，所以半径为 a －c ，被直线 l 截得的弦长为 2 a －c 2－(，2)2a因为圆 B 以 OB 为半径，所以半径为 a ，被直线 l 截得的弦长为 2 a 2－(.2)23因为直线 l ：y ＝－ x 被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 15∶6，3a2 a－c 2－(2 )215所以＝，32 a2464化简得7a2－32ac＋16c2＝0，两边同时除以a2，得16e2－32e＋7＝0，1 7解得e＝或e＝(舍去)．4 41所以所求的离心率为.4(2)存在点P，使得过点P有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为3∶4，设点P(x0,0)，由题意可得直线方程为y＝k(x－x0)，|k －7－x0 |1＋k2 )2则直线截圆A所得的弦长为2 a－c 2－(，|k 7－x0 |1＋k2 )2直线截圆B所得的弦长为2 a2－(，k 7＋x02 a－c 2－(1＋k2 )23＝，k 7－x042 a2－(1＋k2 )27k＋kx0 7k－kx07 21即有16[ a－c 2－(1＋k2 )2]＝9[a2－(1＋k2 )2]，其中a＝7，c＝，a－c＝，上式整理得，4 416 7k＋kx0 2 9 7k－kx0 2＝，关于k的方程有无穷多解，1＋k2 1＋k2故有7x20＋350x0＋343＝0，解得x0＝－1或x0＝－49，故存在2个点P，使得过点P有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为3∶4，P点坐标为(－1,0)或(－49,0)．5。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——解答题滚动练5 含答案
解答题滚动练51．已知α∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝6－24. (1)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3的值． 解 方法一 联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝6－24，sin 2α＋cos 2α＝1.⇒4sin 2α－(6－2)sin α－(1＋3)＝0，解得sin α＝6＋24或sin α＝－22， 因为α∈(0，π)，所以sin α＝6＋24， 所以cos α＝2－64. (1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝6＋24×22－2－64×22＝62×22＝32. (2)sin2α＝2sin αcos α＝2×6＋24×2－64＝－12，cos2α＝1－2sin 2α＝－32. cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝cos2αcos π3＋sin2αsin π3＝－32. 方法二 因为α∈(0，π)，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝6－24＜12，所以5π6<α＋π3<4π3， sin 11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝sin π4cos π6－cos π4sin π6＝6－24， 所以α＋π3＝11π12，所以α＝7π12. (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π4 ＝sin π3＝32. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×7π12－π3＝cos 5π6＝－32.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，△ACD是正三角形，BD垂直平分AC，垂足为M，∠ABC＝120°，PA＝AB＝1，PD＝2，N为PD的中点．(1)求证：AD⊥平面PAB；(2)求证：CN∥平面PAB.证明(1)因为BD垂直平分AC，所以BA＝BC，在△ABC中，因为∠ABC＝120°，所以∠BAC＝30°.因为△ACD是正三角形，所以∠DAC＝60°，所以∠BAD＝90°，即AD⊥AB.因为AB＝1，∠ABC＝120°，所以AD＝AC＝3，又因为PA＝1，PD＝2，由PA2＋AD2＝PD2，知∠PAD＝90°，即AD⊥AP.因为AB，AP⊂平面PAB，AB∩AP＝A，所以AD⊥平面PAB.(2)方法一取AD的中点H，连结CH，NH.因为N为PD的中点，所以HN∥PA，因为PA⊂平面PAB，HN⊄平面PAB，所以HN∥平面PAB.由△ACD是正三角形，H为AD的中点，所以CH⊥AD.由(1)知，BA⊥AD，所以CH∥BA，因为BA⊂平面PAB，CH⊄平面PAB，所以CH∥平面PAB.因为CH，HN⊂平面CNH，CH∩HN＝H，所以平面CNH∥平面PAB.因为CN⊂平面CNH，所以CN∥平面PAB.方法二取PA的中点S，过C作CT∥AD交AB的延长线于T，连结ST，SN.因为N 为PD 的中点，所以SN ∥AD ，且SN ＝12AD ， 因为CT ∥AD ，所以CT ∥SN .由(1)知，AB ⊥AD ，所以CT ⊥AT ，在Rt △CBT 中，BC ＝1，∠CBT ＝60°，得CT ＝32. 由(1)知，AD ＝3，所以CT ＝12AD ， 所以CT ＝SN .所以四边形SNCT 是平行四边形，所以CN ∥TS .因为TS ⊂平面PAB ，CN ⊄平面PAB ，所以CN ∥平面PAB .3．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，两个定点A (a,2)，B (m,1)，其中a ∈R ，m >0.P 为圆O 上任意一点，且PA PB＝k (k 为常数)．(1)求常数k 的值；(2)过点E (a ，t )作直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝m 交于M ，N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．解 (1)设点P (x ，y )，x 2＋y 2＝4， PA ＝(x －a )2＋(y －2)2，PB ＝(x －m )2＋(y －1)2， 因为PA PB ＝k ，所以(x －a )2＋(y －2)2＝k 2[(x －m )2＋(y －1)2]，又x 2＋y 2＝4，化简得2ax ＋4y －a 2－8＝k 2(2mx ＋2y －m 2－5)，因为P 为圆O 上任意一点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2mk 2，4＝2k 2，a 2＋8＝k 2(m 2＋5)，又m ＞0，k ＞0，解得⎩⎨⎧ k ＝2，a ＝2，m ＝1，所以常数k ＝ 2. (2)方法一 设M (x 0，y 0)，M 是线段NE 的中点，N (2x 0－2,2y 0－t )，又点M ，N 在圆C 上，即关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋y 20＝1，(2x 0－2)2＋(2y 0－t )2＝1有解，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，8x 0＋4ty 0－t 2－7＝0有解， 即直线n ：8x ＋4ty －t 2－7＝0与圆C ：x 2＋y 2＝1有交点，则点(0,0)到直线n 的距离d ＝|t 2＋7|64＋16t 2≤1，化简得，t 4－2t 2－15≤0， 解得t ∈[－5，5]．方法二 设过E 的切线与圆C 切于切点F ，EF 2＝EM ·EN ，又M 是线段NE 的中点，所以EN ＝2MN ，EM ＝MN ，所以EF 2＝2MN 2，又EF 2＝EC 2－CF 2＝22＋t 2－1＝t 2＋3，MN ≤2，所以t 2＋3≤8，所以t ∈[－5，5]．4．已知函数f (x )＝－x 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，且该函数在x ＝1处取得极值．(1)求实数a 的值，并求出函数的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－b ＋5x 2在区间(0,2018)上只有一个零点，求实数b 的值． 解 (1)由已知，得f ′(x )＝－2x －2a －1＋1x， 据题意，f ′(1)＝0，得到a ＝－1，所以f (x )＝－x 2＋x ＋ln x ， f ′(x )＝－2x ＋1＋1x ＝(2x ＋1)(－x ＋1)x. 由x ＞0，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，令f ′(x )＜0，得x ＞1，所以函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝－1， f (x )的单调增区间为(0,1)，f (x )的单调减区间为(1，＋∞)．(2)g (x )＝f (x )－b ＋5x 2＝－x 2＋7x 2＋ln x －b ，x ∈(0，2018)． 则g ′(x )＝－2x ＋72＋1x， 令g ′(x )＝0, 得x ＝2，负值舍去．当0＜x ＜2时，g ′(x )＞0，g (x )的单调增区间为(0,2)，当2＜x ＜2018时，g ′(x )＜0，g (x )的单调减区间为(2，2018)．所以函数g (x )＝f (x )－b ＋5x 2在区间(0,2018)上只有一个零点，等价于g (2)＝0， 解得b ＝ln2＋3.。
2018《单元滚动检测卷》高考数学(理)(苏教版)：阶段滚动检测(二)含解析
阶段滚动检测（二)考生注意:1．本试卷分第Ⅰ卷（填空题)和第Ⅱ卷(解答题）两部分,共4页．2．答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟,满分160分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．（2016·无锡模拟)函数f（x)＝log2(－x2＋2错误!)的值域为__________．2．已知M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝错误!，则P－（M－P）＝______。
3．已知p:∃x∈R，mx2＋2≤0,q：∀x∈R，x2－2mx＋1〉0,若p∨q 为假命题，则实数m的取值范围是________．4．函数f（x）＝错误!的定义域是____________．5．已知f(x)＝错误!为偶函数，则y＝log a(x2－4x－5)的单调递增区间为______________．6．已知函数f(x）＝错误!，则函数f(x）的图象在点(0，f（0)）处的切线方程为____________．7．已知奇函数y＝错误!若f(x)＝a x（a＞0，a≠1)对应的图象如图所示,则g(x)＝________.8．设a＝log32，b＝ln2，c＝5－错误!,则a、b、c的大小关系为____________．9．若函数f(x）＝x2＋2a｜x|＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a＝________.10．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)（单位：万元),当年产量不足80千件时，G（x)＝错误!x2＋10x；当年产量不小于80千件时，G（x)＝51x＋错误!－1450。
已知每件产品的售价为0。
05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是__________万元．11．（2016·徐州模拟)已知函数f（x）＝－x3＋ax2＋bx＋c在（－∞，0)上是减函数，在(0，1)上是增函数，函数f(x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点，则f（2）的取值范围是____________．12．（2016·江西吉安一中第二次质检）已知f（x）＝a ln(x＋1)－x2，在区间（0，1)内任取两个实数p，q，且p≠q,不等式错误!＞1恒成立，则实数a的取值范围为________．13．（2016·镇江模拟）已知对任意的x∈R，函数f(x）满足f（－x)＝f(x），且当x≥0时，f(x)＝x2－ax＋1。
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解答题滚动练2
1．(2017·南京、盐城二模)如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2.
(1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小；
(2)如图2，若∠ABC ＝π4
，求△ADC 的面积．
解 (1) 由已知，得tan ∠BAD ＝36＝12，tan ∠CAD ＝26＝13
， 所以tan ∠BAC ＝tan(∠BAD ＋∠CAD )＝12＋131－12×13
＝1. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4
. (2) 以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (0,0)，D (3,0)，C (5,0)．
因为∠ABC ＝π4
，所以设A (a ，a )，其中a ＞0. 由AD ＝6，BD ＝3，得(a －3)2＋a 2＝62，即2a 2－6a －27＝0，解得a ＝32
(1＋7)． 所以S △ADC ＝12DC ·a ＝32
(1＋7)． 2．如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山(P 为圆弧TS 上的点)，其余部分为平地．今有开发商想在平地上建一个两边落在BC 及CD 上的长方形停车场PQCR
.
(1)设∠PAB ＝θ，试将矩形PQCR 面积表示为θ的函数；
(2)求停车场PQCR 面积的最大值及最小值．
解 (1)S PQCR ＝f (θ)＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)。