专题11：圆
江苏省南通市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题11 圆
2001-2012年江苏南通中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题11：圆一、选择题1. （2001江苏南通3分）下列命题：（1）相似三角形周长的比等于对应高的比；（2）顶角为800且有一边长为5cm的两个等腰三角形全等；（3）若两圆相切，则这两个圆有3 条公切线；（4）在⊙O中，若弧AB+弧CD＝弧EF，则AB+CD＝EF，其中真命题的个数为【】A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】A。
【考点】相似三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，两圆相切的性质，圆心角、弧、弦的关系，【分析】三角形三边关系。
根据相关知识作出判断：（1）根据相似三角形的性质，相似三角形周长的比和对应高的比都等于它们的相似比，所以相似三角形周长的比等于对应高的比。
故命题正确，是真命题。
（2）顶角为800且有一边长为5cm的两个等腰三角形，可能是腰可能是底为5cm。
当一个等腰三角形底是5cm，另一个等腰三角形腰是5cm时，两个等腰三角形不全等。
故命题错误，不是真命题。
（3）若两圆相切，可能外切也可能内切。
当两圆内切时，这两个圆有1 条公切线.。
故命题错误，不是真命题。
（4）如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，则弧FM=弧AB。
∴AB=FM，CD=EM。
在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF。
故命题错误，不是真命题。
综上所述，真命题的个数为1个。
故选A。
2.（江苏省南通市2002年3分）已知两圆的半径分别是3cm和4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置关系是【】A．内含 B．相交 C．内切 D．外离【答案】B 。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。
∵两圆的半径分别是3cm 和4cm ，圆心距为2cm ，即4－3=1，3＋4=7，∴1＜2＜7。
浙江省杭州市中考数学试题分类解析 专题11 圆
浙江省杭州市中考数学试题分类解析 专题11 圆一、选择题1. （2002年浙江杭州3分）过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ．则OM 的长为【 】． （A ）3cm （B ）5cm（C ）2cm（D ）3cm【答案】B 。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】⊙O 内一点M 的最长的弦是过点M 的直径；最短的弦是过点M 垂直于过点M 的直径的弦。
如图，AB 是最长的弦，CD 是最短的弦，连接OC 。
∵AB=6cm，CD=4cm ；∴OC=OA=3cm，CM=2cm 。
∴2222OM OC CM 325=-=-=（cm ）。
故选B 。
2. （2003年浙江杭州3分）如图，点C 为⊙O 的弦AB 上的一点，点P 为⊙O 上一点，且OC⊥CP，则 有【 】（A ）OC 2＝CA•CB （B ）OC 2＝PA•PB （C ）PC 2＝PA•PB （D ）PC 2＝CA•CB【答案】D。
【考点】垂径定理，相交弦定理。
【分析】延长PC交圆于D，连接OP，OD。
根据相交弦定理，得CP•CD=CA•CB。
∵OP=OD，OC⊥PC，∴PC=CD。
∴PC2=CA•CB。
故选D。
3. （2004年浙江杭州3分）如图，三个半径为3的圆两两外切，且ΔABC的每一边都与其中的两个圆相切，那么ΔABC的周长是【】（A）12+63（B）18+63（C）18+123（D）12+123【答案】B。
【考点】相切圆的性质，等边三角形、矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】∵三圆两两相切，∴外切的△ABC为等边三角形（证明略）。
如图，连接 BO 2，CO 3，分别过点O 1，O 2作BC 的垂线，垂足为D ，E 。
∴BO 2平分∠ABC，∠O 2BC ＝30° 。
∵O 2D⊥BD ，∴22O D 3tan O BC tan30BD 3∠︒＝＝＝。
∵O 2D=3，∴2O D 3BD 33333＝＝＝。
专题11 圆(第02期)(解析版)
专题11 圆1．（2019•贵港）如图，AD 是O e 的直径，»»AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】B【解析】∵»»AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒， ∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ． 【名师点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2019•广元）如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．B ．4C ．D ．4.8【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴6BC ===，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，在Rt CBD △中，BD ==C ．【名师点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．3．（2019•吉林）如图，在O e 中，»AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为»AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°【答案】B【解析】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°，∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°，故选B ．【名师点睛】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍．4．（2019•益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是A ．PA =PB B ．∠BPD =∠APDC ．AB ⊥PD D ．AB 平分PD【答案】D【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，所以A 成立；∠BPD =∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC =BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ．【名师点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．5．（2019•娄底）如图，边长为ABC △的内切圆的半径为A ．1 BC ．2D ．【答案】A【解析】设ABC △的内心为O ，连接AO 、BO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图，∵ABC △为等边三角形，∴CH 平分BCA ∠，AO 平分BCA ∠，∵ABC △为等边三角形，∴60CAB ∠=︒，CH AB ⊥，∴30OAH ∠=︒，12AH BH AB ===在Rt AOH △中，∵tan tan 30OH OAH AH ∠==︒，∴1OH ==， 即ABC △内切圆的半径为1．故选A ．【名师点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．6．（2019•镇江）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，»»DCCB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【答案】A【解析】如图，连接AC ，∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB =180°–∠C =70°，∵»»DCCB =，∴∠CAB =12∠DAB =35°， ∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠ABC =90°–∠CAB =55°，故选A ．【名师点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7．（2019•天水）如图，四边形ABCD 是菱形，O e 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若80D ∠=︒，则EAC ∠的度数为A ．20︒B ．25︒C ．30°D ．35︒【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是菱形，80D ∠=︒，∴11(180)5022ACB DCB D ∠=∠=︒-∠=︒， ∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴80AEB D ∠=∠=︒，∴30EAC AEB ACE ∠=∠-∠=︒， 故选C ．【名师点睛】本题考查了菱形的性质，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质．圆内接四边形的性：①圆内接四边形的对角互补，②圆内接四边形的外角等于它的内对角，③圆内接四边形对边乘积的和，等于对角线的乘积．8．（2019•贵阳）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，连接B D ．则∠CBD 的度数是A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解析】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD=(62)1806-⨯︒=120°，BC=CD，∴∠CBD=12（180°-120°）=30°，故选A．【名师点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．9．（2019•温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为A．3π2B．2πC．3πD．6π【答案】C【解析】该扇形的弧长=90π63π180⨯=．故选C．【名师点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：π180 n Rl=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．10．（2019•遵义）圆锥的底面半径是5 cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是A．cm B．10 cmC．6 cm D．5 cm【答案】A【解析】设圆锥的母线长为R，根据题意得2π·5180π180R=，解得R=10．即圆锥的母线长为10 cm=cm．故选A．【名师点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．11．（2019•南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为A ．6πB ．C ．D ．2π【答案】A【解析】如图，连接OB ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB =OC ，∴AB =OA =OB ， ∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =60°， ∵OC ∥AB ，∴S △AOB =S △ABC ， ∴图中阴影部分的面积=S 扇形AOB =60π366π360⋅⨯=，故选A ．【名师点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 12．（2019•仙桃）如图，AB 为O e 的直径，BC 为O e 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O e 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O e 的直径，BC 为O e 的切线，∴90CBO ∠=︒， ∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠． 又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O e 上，∴CD 是O e 的切线，故①正确， ∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O e 的直径，DC 为O e 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒， ∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△， ∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．13．（2019•娄底）如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1．【名师点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 14．（2019•河池）如图，PA 、PB 是O e 的切线，A 、B 为切点，∠OAB =38°，则∠P =__________︒．【答案】76【解析】∵PA PB 、是O e 的切线，∴PA PB PA OA =⊥，， ∴90PAB PBA OAP ∠=∠∠=︒，，∴90903852PBA PAB OAB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴180525276P ∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：76．【名师点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题．15．（2019•贵港）如图，在扇形OAB 中，半径OA 与OB 的夹角为120︒，点A 与点B 的距离为扇形OAB 恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为__________．【答案】43【解析】如图，连接AB ，过O 作OM AB ⊥于M ，∵120AOB ∠=︒，OA OB =，∴30BAO ∠=︒，AM =，∴2OA =， ∵240π22π180r ⨯=，∴43r =，故答案为：43．【名师点睛】本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键．16．（2019•海南）如图，O e 与正五边形ABCDE 的边AB 、DE 分别相切于点B 、D ，则劣弧»BD所对的圆心角BOD ∠的大小为__________度．【答案】144【解析】Q 五边形ABCDE 是正五边形，∴(52)1801085E A -⨯︒∠=∠==︒．∵AB 、DE 与O e 相切，∴90OBA ODE ∠=∠=︒，∴(52)1809010810890144BOD ∠=-⨯----=︒︒︒︒︒︒，故答案为：144．【名师点睛】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．17．（2019•扬州）如图，AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n =__________．【答案】15【解析】如图，连接OB ，∵AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，∴∠AOC =360°÷6=60°， ∵BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，∴∠BOC =360°÷10=36°， ∴∠AOB =60°–36°=24°，即360°÷n =24°，∴n =15，故答案为：15．【名师点睛】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．注意把圆周等分，然后顺次连接各个分点就会得到正多边形．18．（2019•济宁）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ，AC =3．则图中阴影部分的面积是__________．【答案】6π【解析】在Rt ABC △中，∵BC =，3AC =．∴AB ==，∵BC OC ⊥，∴BC 是圆的切线，∵O e 与斜边AB 相切于点D ，∴BD BC =，∴AD AB BD =-==在Rt ABC △中，∵1sin2BC A AB ===，∴30A ∠=︒， ∵O e 与斜边AB 相切于点D ，∴⊥OD AB ，∴9060AOD A ∠=︒-∠=︒，∵tan tan 30OD AAD ==︒3=，∴1OD =， ∴260π13606πS ⨯==阴影．故答案为：6π．【名师点睛】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理、解直角三角形的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．19．（2019•贺州）已知圆锥的底面半径是1，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是__________度．【答案】90【解析】设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得，a =4，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n ︒，根据题意得π42π1180n ⨯⨯=，解得90n =， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90︒．故答案为：90．【名师点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．20．（2019•十堰）如图，AB 为半圆的直径，且6AB =，将半圆绕点A 顺时针旋转60︒，点B 旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】6π【解析】由图可得， 图中阴影部分的面积为：22260π6π(62)π(62)6π36022⨯⨯⨯÷⨯÷+-=，故答案为：6π． 【名师点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（2019•包头）如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，120ABC ∠=︒，弦AC =弦BM 平分ABC∠交AC 于点D ，连接MA MC ，． （1）求⊙O 半径的长；（2）求证：AB BC BM +=．【解析】（1）连接OA OC 、，过O 作OH AC ⊥于点H ，如图1，∵120ABC ∠=︒，∴18060AMC ABC ∠=-∠=︒︒，∴2120AOC AMC ∠=∠=︒， ∴1602AOH AOC ∠=∠=︒，∵12AH AC == ∴2sin60AH OA ==︒， 故⊙O 的半径为2．（2）在BM 上截取BE BC =，连接CE ，如图2，∵120ABC ∠=︒，BM 平分ABC ∠，∴60ABM CBM ∠=∠=︒，∵60MBC BE BC ︒∠==，， ∴EBC △是等边三角形，∴60CE CB BE BCE ==∠=︒，，∴60BCD DCE ∠+∠=︒，∵60ACM ∠=︒，∴60ECM DCE ∠+∠=︒，∴ECM BCD ∠=∠，∴6060CAM CBM ACM ABM ∠︒=∠︒=∠=∠=，， ∴ACM △是等边三角形，∴AC CM =，∴ACB MCE △≌△，∴AB ME =，∵ME EB BM +=，∴AB BC BM +=．【名师点睛】本题是圆的一个综合题，主要考查圆的圆内接四边形定理，圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，内容较多，有一定难度，第一题关键在于求∠AOC 的度数，第二题的关键在于构造全等三角形．22．（2019•襄阳）如图，点E 是ABC △的内心，AE 的延长线和ABC △的外接圆圆O 相交于点D ，过D作直线DG BC ∥．（1）求证：DG 是圆O 的切线；（2）若6DE =，BC =¼BAC的长．【解析】（1）连接OD 交BC 于H ，如图，∵点E 是ABC △的内心，∴AD 平分BAC ∠，即BAD CAD ∠=∠，∴»»BDCD =，∴OD BC ^，BH CH =， ∵DG BC ∥，∴OD DG ⊥，∴DG 是圆O 的切线．（2）连接BD 、OB ，如图，∵点E 是ABC △的内心，∴ABE CBE ∠=∠，∵DBC BAD ∠=∠，∴DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴6DB DE ==，∵12BH BC ==在Rt BDH △中，sin BH BDH BD ∠=== ∴60BDH ∠=︒，而OB OD =，∴OBD △为等边三角形，∴60BOD ∠=︒，6OB BD ==，∴120BOC ∠=︒，∴优弧¼BAC 的长=(360120)π68π180-⋅⋅=． 【名师点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的判定和弧长公式．23．（2019•辽阳）如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，连接AE ，AD ，DE ，过点A 作射线交BE 的延长线于点C ，使EAC EDA ∠=∠．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若CE AE ==【解析】（1）如图，连接OA ，过O 作OF AE ⊥于F ，∴90AFO ∠=︒，∴90EAO AOF ∠+∠=︒，∵OA OE =， ∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠，∵12EDA AOE ∠=∠，∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=︒，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠，∴90CAO ∠=︒，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线．（2）∵CE AE ==∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠，∴2AEO EAC ∠=∠，∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠， ∵90EAO EAC ∠+∠=︒，∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒， ∴OAE △是等边三角形， ∴OA AE =，60EOA ∠=︒，∴OA =∴260π2π360=AOE S ⋅⨯=扇形，在Rt OAE △中，sin 3OF OA EAO =⋅∠==，∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△∴阴影部分的面积=2π-【名师点睛】此题主要考查圆的切线与扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆的性质及判定定理．。
天津市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题11 圆
2001-2012年天津市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题11：圆一、选择题1. （2001天津市3分）已知两圆的半径分别为t 3+和t 3-（其中t ＞3），圆心距为2t ，则两圆的位置关系是【 】A ．相交B ．相离C ．外切D ．内切 【答案】C 。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。
因此，因为t+3+t-3=2t ，圆心距=2t ，即两圆圆心距离等于两圆半径之和，所以两圆的位置关系是外切．故选C 。
2. （2001天津市3分）已知正三角形的边长为a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则r ：a ：R 等于【 】A ．1B ．1C ．1．1【答案】A 。
【考点】正多边形和圆。
【分析】利用正三角形的边长与它的内切圆和外接圆的半径之间的关系求解：等边三角形的一边上的高的13倍为它的内切圆的半径，等边三角形的一边上的高的23倍为它的外倍。
，r ＝1h ，R ＝2h 3（h 为等边三角形的一边上的高）。
∴r：a ：R=12h h=133：。
故选A 。
3. （2001天津市3分）如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，D 为斜边BC 的中点，经过点A 、D 的⊙O 与边AB 、AC 、BC 分别相交于点E 、F 、M ．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③ ED BAEF BC=；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF 为矩形．其中正确结论的个数是【 】A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C。
【考点】圆周角定理，等腰直角三角形的性质。
【分析】连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形。
辽宁省各市中考数学分类解析 专题11：圆
辽宁各市中考数学试题分类解析汇编专题11：圆 锦元数学工作室 编辑一、选择题1. （辽宁锦州3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°.把△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°后得到△AB ＇C ＇，若AB=4，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 【 】A.32π B. 35π C. 2π D. 4π【答案】C 。
【考点】旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。
【分析】∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=4，∴AC=ABcos∠BAC=2，∠CA C′=60°。
∵△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，∴AB C ABC S S ∆''∆=。
∴ABC AB C ABB ACC ABB ACC S S S S S S S ∆∆''''''=-+-=-扇形扇形扇形扇形影部分阴=226046022360360πππ⋅⋅⋅⋅-=。
故选C 。
2. （辽宁铁岭3分）如图，⊙O 中，半径OA=4,∠AOB=120°,用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长是【 】A.1B. 43C. 53D.2 【答案】B 。
【考点】圆锥的计算。
【分析】利用扇形的半径以及以及在圆中所占比例，得出圆心角的度数，再利用圆锥底面圆周长等于扇形弧长求出即可：∵⊙O中，半径OA=4，∠AOB=120°，∴扇形弧长为：l=12048=1803ππ⋅⋅。
∴圆锥的底面圆的周长为：c=2πr=83π解得：r=43。
故选B。
3. （辽宁营口3分）圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为【】(A)1 (B)3 (C)1或2 (D)1或3【答案】 D。
【考点】两圆的位置关系。
专题11圆与圆的对称性(4个知识点7种题1个易错点)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册
专题11圆与圆的对称性（4个知识点7种题1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.圆的相关定义（重点）知识点2.点与圆的位置关系（难点）知识点3.圆的对称性（重点）知识点4.圆心角、弧、弦之间的关系（难点）【方法二】实例探索法题型1.圆的相关概念的考查题型2.点与圆的位置关系判断题型3.分类讨论思想的应用题型4.点与圆的位置关系的实际应用题型5.圆与三角形题型6.优弧、劣弧的判断题型7.辅助线的添加方法【方法三】差异对比法易错点1：在解题中忽略了点与圆的多种位置关系【方法四】成果评定法【学习目标】1.理解圆、等圆、等弧等概念，深刻认识圆中的基本概念。
2.掌握点与圆的三种位置关系。
3.了解圆是中心对称图形和轴对称图形，并能确定圆的对称轴。
4.能运用圆的对称性推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题。
【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.圆的相关定义（重点）1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.【例1】（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，图中⊙O的弦共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【分析】根据弦的定义即可求解．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦．AB BD CD共3条，【详解】解：图中有弦,,3.弧为端点的弧记作，读作“圆弧5.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.6.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【例3】下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B．知识点2.点与圆的位置关系（难点）（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A 【例4】（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已知O的位置关系是（）与OA．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．无法确定【答案】B【详解】解：∵4r=，d=，4=，∴d r∴点A在圆上，知识点3.圆的对称性（重点）（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心（2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
专题11：圆周运动
专题十：圆周运动一、水平面内：1． 如图所示，质量为m 的小物体系在轻绳的一端，轻绳的另一端固定在转轴上。
轻绳长度为L 。
现在使物体在光滑水平支持面上与圆盘相对静止地以角速度 做匀速圆周运动，求： （1）物体运动一周所用的时间T ； （2）绳子对物体的拉力。
2、如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。
当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ D ）A 、物体所受弹力增大，摩擦力也增大了B 、物体所受弹力增大，摩擦力减小了C 、物体所受弹力和摩擦力都减小了D 、物体所受弹力增大，摩擦力不变3、如图为表演杂技“飞车走壁”的示意图.演员骑摩托车在一个圆桶形结构的内壁上飞驰,做匀速圆周运动.图中a 、b 两个虚线圆表示同一位演员骑同一辆摩托,在离地面不同高度处进行表演的运动轨迹.不考虑车轮受到的侧向摩擦,下列说法中正确的是（ 需受力分析 B ）A ．在a 轨道上运动时角速度较大B ．在a 轨道上运动时线速度较大C ．在a 轨道上运动时摩托车对侧壁的压力较大D ．在a 轨道上运动时摩托车和运动员所受的向心力较大4、如图所示，水平转台上放有质量均为m 的两小物块A 、B ，A 离转轴距离为L ，A 、B 间用长为L 的细线相连，开始时A 、B 与轴心在同一直线上，线被拉直，A 、B 与水平转台间最大静摩擦力均为重力的μ倍，当转台的角速度达到多大时线上出现张力？当转台的角速度达到多大时A 物块开始滑动？★解析：ω =μg2Lω′ = 2μg3L【例题】如图所示，质量相等的小球A 、B 分别固定在轻杆OB 的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O 点匀速转动时，求杆的OA 段及AB 段对球的拉力之比？A BOa bOω解之得：T A ∶T B = 3∶22。
火车转弯模型（或汽车拐弯外侧高于内侧时）例.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R 的圆周运动．设内外路面高度差为h ，路基的水平宽度为d ，路面的宽度为L .已知重力加速度为g .要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )A.gRhL B. gRhd C. gRLh D. gRdhB 对． 3。
江苏省南京市2001中考数学试题分类解析 专题11 圆
2001-2012年江苏南京中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题11：圆一、选择题1. （2001江苏南京2分）如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 为AB 延长线的上一点，∠CBE=40°，则∠AOC 等于【 】A ．20° B．40° C．80° D．100° 【答案】C 。
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质。
【分析】根据圆内接四边形的外角等于内对角求出∠D，再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解：∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠CBE=∠D。
∴∠AOC=2∠D=80°。
故选C 。
2.（江苏省南京市2002年2分）如图，正六边形ABCDEF 的边长是a,分别以C 、F 为圆心，a 为半径画弧，则图中阴影部分的面积是【 】A 、21r 6π B 、21r 3π C 、22r 3π D 、24r 3π【答案】C 。
【考点】多边形内角和定理，扇形面积公式。
【分析】∵正六边形的每个内角为062180=1206⨯（-），∴阴影为两个圆心角为120°的扇形。
∴根据扇形面积公式得图中阴影部分的面积是22120a 2S 2=a 3603ππ⋅⋅=⋅。
故选C 。
3. （江苏省南京市2003年2分）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点C ， PC ＝3，PB ＝1，则⊙O 的半径等于【 】．（A ）25 （B ）3 （C ）4 （D ） 29【答案】C 。
【考点】切割线定理。
【分析】因为PC ，PA 分别是圆的切线与割线，根据切割线定理可求得PC=3，从而求得AB=8，即可求得半径的长：∵PC，PA 分别是圆的切线与割线，∴PC 2=PB•PA。
∵PC=3，PB=1，∴PA=9，AB=8。
∴半径为4．故选C 。
4. （江苏省南京市2003年2分）正方形ABCD 的边长是2cm ，以直线AB 为轴旋转一周，所得到的圆 柱的侧面积为【 】．（A ）16π2cm （B ）8π2cm （C ）4π2cm （D ）42cm 【答案】B 。
中考数学专题练——专题11 圆(试题精选,含答案)
专题十一圆一、单选题1.（2019·高新模拟）如图，O为圆心，是直径，是半圆上的点，是上的点.若，则的大小为（）A. B. C. D.2.（2020·南通模拟）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，BD为直径，若∠A＝65°，则∠DBC的值是（ ）A. 65°B. 25°C. 35°D. 15°3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )A. B. 2 C. 6 D. 84.（2020九上·奉化期末）如图，在菱形ABCD中，已知AB=4，∠B=60°，以AC为直径的⊙O与菱形ABCD 相交，则图中阴影部分的面积为( )A. B. C. D.5.（2019九上·温州月考）如图，△ABC内接于⊙O中，AB=AC，=60°，则∠B=( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°6.（2020九上·中山期末）如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC=55°，则∠BAD等于（）A. 50°B. 55°C. 65°D. 70°7.（2020九上·海曙期末）平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为(-4，-5)，半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是（）A. 相交B. 相离C. 相切D. 以上都不是8.（2019九上·驻马店期末）如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（）A. 3πB.C. 6πD. 24π9.（2020九上·北仑期末）下列四个结论，不正确的是（）①过三点可以作一个圆；②圆内接四边形对角相等③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等A. ②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④10.（2020九上·诸暨期末）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接.若，则的度数为（）A. 106°B. 116°C. 126°D. 136°11.（2019九上·武汉月考）如图，O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的最大面积是（）A. B. C. D.12.如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D. 若⊙O的半径为，AB=8，则BC的长是（）A. B. C. D.13.（2019九上·如皋期末）如图，▱ABCD中，，，，是边AB上的两点，半径为2的过点A，半径为1的过点、E、F分别是边CD，和上的动点则的最小值等于A. B. 6 C. D. 914.（2019·武汉模拟）点G为△ABC的重心（△ABC三条中线的交点），以点G为圆心作⊙G与边AB，AC相切，与边BC相交于点H，K，若AB＝4，BC＝6，则HK的长为（）A. B. C. D.15.（2019·武汉模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD，CD分别与⊙O切于点E，F，点M、N 分别在线段DE，DF上，且MN与⊙O相切，若△MBN的面积为8，则⊙O的半径为（）A. B. 2 C. D. 216.（2020·长兴模拟）如图，AB为☉O的直径，P为弦BC上的点，∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交☉O 于点D，过点D作DE∥AB交AB的延长线于点E.若点C恰好是的中点，BE=6，则PC的长是（）A. -8B. -3C. 2D. 12-17.（2019九上·宜兴月考）在平面直角坐标系中，直线经过点A（－3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），与轴相切于点O，若将⊙P沿轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个18.（2019·海州模拟）如图，菱形ABCD的边AB=5，面积为20，∠BAD＜90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO=2，则⊙O的半径长等于（）A. B. C. D.19.（2019·高台模拟）如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为6cm，AB＝6 cm，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.20.（2019九下·深圳月考）如图，△ABC内接于圆O，∠BOC=120°，AD为圆O的直径．AD交BC于P 点且PB=1，PC=2，则AC的长为( )A. B. C. 3 D. 2二、填空题21.（2019·嘉定模拟）如图，的半径长为5cm，内接于，圆心O在的内部，如果，cm，那么的面积为________cm22.（2019九上·黄石期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°.求∠P的度数________.23.（2020九上·东台期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为________．24.（2019·台江模拟）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是________．25.（2019九上·道里期末）如图，已知，在中，，，，是ABC的内切圆，则这个圆的半径是________．26.（2020九上·北仑期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠B=45°，DE⊥AC于E交AB 于F，若BC=2CD，AE=2，则线段BF=________。
山东省17市2011年中考数学试题分类解析汇编 专题11 圆
山东17市2011年中考数学试题分类解析汇编专题11：圆一. 选择题1.（日照4分）已知AC⊥BC 于C ，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，下列选项中⊙O 的半径为aba b+的是【答案】D 。
【考点】三角形的内切圆与内心，切线的性质，正方形的判定和性质，解一元一次方程，相似三角形的判定和性质。
【分析】设圆的半径是r 。
A 、设圆切BC 于D ，切AC 于E ，切AB 于F ，连接OD ，OE ，OF ，如图，根据切线的性质可得到正方形OECD ，AE ＝AF ，BD ＝BF ，则a －r ＋b －r ＝c ，∴r＝2a b c+-，故本选项错误；B 、设圆切AB 于F ，连接OF ，如图，则OF ＝r ，AO ＝b －r ，△BCA∽△OFA，∴OF AOCB AB =，即r rb a c-=，∴r＝aba c+，故本选项错误；C 、连接OE 、OD ，根据AC 、BC 分别切圆O 于E 、D ，如图，根据切线的性质可得到正方形OECD ，则OE ＝r ，AE ＝b －r ，△BCA∽△OEA，∴OE AEBC AC=，即r rb a b-=，∴r＝ab a b +，故本选项正确；D 、设圆切BC 于D ，连接OD ，OA ，则BD ＝a ＋r ，由BA ＝BD 得c ＝a ＋r ，即r ＝c －a ，故本选项错误。
故选C 。
2.（滨州3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切．若点A 的坐标为（0，8），则圆心M 的坐标为A 、（﹣4，5）B 、（﹣5，4）C 、（5，﹣4）D 、（4，﹣5）【答案】D 。
【考点】垂径定理，勾股定理，正方形的性质。
【分析】过点M 作MD⊥AB 于D ，交OC 于点E ，连接AM 。
设⊙M 的半径为r ．∵以边AB 为弦的⊙M 与x 轴相切，AB∥OC，∴DE⊥CO。
∴DE 是⊙M 直径的一部分。
专题11：圆基础知识习题
专题十二：圆的基础知识一、选择题1.已知，在△ABC 中，∠C＝90°，斜边长为217，两直角边的长分别是关于x 的方程x 2—3（m ＋21）x ＋9m ＝0的两个根，则△ABC 的内切圆面积是【 】．A ．4πB ．23π C ．47π D ．49π2.如图，⊙O 中弦AB 、CD 相交于点F ，AB=10，AF=2．若CF ：DF=1：4，则CF 的长等于【 】A ．．2 C ．3 D ．3.如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝a ，以斜边AB 上的点O 为圆心的圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，与AB 分别相交于点G 、H ，且EH 的延长线与CB 的延长线交于点D ，则CD 的长为【 】A 、1a 2B 、1a 2+ C D 、1a 4⎫⎪⎭第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，在半径为5cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长是【 】 A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 5.如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，则下列结论中不正确的是【 】A 、AB⊥CD B、∠AOB＝4∠ACD C、 AD=BD D 、PO ＝PD 6.已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为３㎝和７㎝，两圆的圆心距O 1O 2＝10㎝，则两圆的位置关系是【 】A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离7.如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO ＝6㎝ ，AB ＝4㎝，则⊙O 的半径为【 】 A ．45㎝ B ．25㎝ C ．213㎝ D ．13㎝ 8.⊙O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是【 】 A.相交 B.相切 C.相离 D. 无法确定9.如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=40°，则∠DCF 等于【 】 A.80° B. 50° C. 40° D. 20°10. 已知1O 的半径r 为3cm ，2O 的半径R 为4cm ，两圆的圆心距12O O 为1cm ，则这两圆的位置关系是【】A．相交B．内含C．内切D．外切第7题图第9题图第11题图第12题图11.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为【】A、30°B、45°C、60°D、90°12.如图，O⊙是A B C△的外接圆，AB是直径．若B O C80∠=°，则A∠等于【】A．60°B．50°C．40°D．30°13.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AO C的度数等于【】A．140° B．130° C．120° D．110°14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于【】A、60°B、50°C、40°D、30°第13题图第14题图第15题图15.已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为【】A．45°B．35°C．25°D．20°二、填空题1.如图，⊙O1与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O1经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙O1于点D，EF为过点A的公切线，若O2D＝22，那么∠BAF＝▲ 度．2.已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且与直径CT交于点D，CD＝2，AD ＝3，BD＝6，则PB ▲ ．第1题图第2题图第3题图3.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，弧BC，弧CD，弧AD的度数比为3：2：4，MN是⊙O的切线，C是切点，则∠BCM的度数为▲ 。
广东2011年中考数学试题分类解析汇编专题11：圆
广东2011年中考数学试题分类解析汇编专题11：圆一、选择题1. （佛山3分）若O 的一条弧所对的圆周角为60︒，则这条弧所对的圆心角是A 、30︒B 、60︒C 、120︒D 、以上答案都不对【答案】C 。
【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角的一半的定理，直接得出结果。
故选C 。
2. （广州3分）如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝23，AB ＝3，弦BC ∥OA ，则劣弧BC的弧长为A 、33π错误！未找到引用源。
B 、错误！未找到引用源。
32π C 、π D 、错误！未找到引用源。
32π 【答案】A 。
【考点】弧长的计算，切线的性质，特殊角的三角函数值，平行线的性质。
【分析】要求劣弧 BC的长首先要连接OB ，OC ，由AB 切⊙O 于点B ，根据切线的性质得到OB ⊥AB ，在Rt △OBA 中，OA ＝2错误！未找到引用源。
，AB ＝3，利用三角函数求出∠BOA ＝60°，同时得到OB ＝12OA ＝3，又根据平行线内错角相等的性质得到∠BOA ＝∠CBO ＝60°，于是有∠BOC ＝60°，最后根据弧长公式计算出劣弧 BC 的长6033==1803ππ⋅⋅。
故选A 。
3.（茂名3分）如图，⊙O 1、⊙O 2相内切于点A ，其半径分别是8和4，将⊙O 2沿直线O 1O 2平移至两圆相外切时，则点O 2移动的长度是A 、4B 、8C 、16D 、8或16【答案】D 。
【考点】圆与圆的位置关系，平移的性质。
【分析】由题意可知点O 2可能向右移，此时移动的距离为⊙O 2的直径长；如果向左移，则此时移动的距离为⊙O 1的直径长。
∵⊙O 1、⊙O 2相内切于点A ，其半径分别是8和4，如果向右移：则点O 2移动的长度是4×2=8，如果向左移：则点O 2移动的长度是8×2=16．∴点O 2移动的长度8或16。
专题11 圆(第01期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(解析版)
专题11 圆一、选择题1.（2021浙江衢州第10题）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB =10，CD =6，EF =8。
则图中阴影部分的面积是（ ）A. π225B. π10C. π424+D. π524+【答案】A.【解析】试题解析：作直径CG ，连接OD 、OE 、OF 、DG ．∵CG 是圆的直径，∴∠CDG =90°，则DG 2222106CG CD -=-=8，又∵EF =8，.∴DG =EF ，∴DG EF =，∴S 扇形ODG =S 扇形OEF ，∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD =S △ACD ，S △OEF =S △AEF ，∴S 阴影=S 扇形OCD +S 扇形OEF =S 扇形OCD +S 扇形ODG =S 半圆=12π×52=252π．考点：1.圆周角定理；2.扇形面积的计算.2.（2021浙江宁波第9题）如图，在Rt ABC △中，90A ∠°，22BC ，以BC 的中点O 为圆心分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，则DE 的长为( )A.4B.2C.D.2 【答案】B.【解析】试题解析：如图，连接OD ，OE∵AC ，AB 是圆O 的切线∴OE ⊥AC ，OD ⊥AB∵O 是BC 的中点∴点E ，点D 分别是AC ，AB 的中点∴OE =12AB ，OD = 12AC∵OE =OD∴AC =AB∵BC 2由勾股定理得AB =2∴OE =1DE 的弧长=901180π⨯⨯=2π.考点：1.三角形的中位线；2.弧长的计算.3.（2021重庆A 卷第9题）如图，矩形ABCD 的边AB =1，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E ，若点E 是AD 的中点，以点B 为圆心，BE 为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．24π-B ．324π-C ．28π-D ．328π- 【答案】B.∴图中阴影部分的面积=S 矩形ABCD ﹣S △ABE ﹣S 扇形EBF=1×2﹣12×1×1﹣245（2）360π⨯ =324π-． 故选B ．考点：1.矩形的性质；2.扇形的面积计算.4.（2021广西贵港第9题）如图，,,,A B C D 是O 上的四个点，B 是AC 的中点，M 是半径OD 上任意一点，若40BDC ∠= ，则AMB ∠的度数不可能是（ ）A．45B．60 C. 75D．85【答案】D【解析】试题解析：∵B是AC的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故选D．.考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．5.（2021贵州如故经9题）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD 的长为（）A．65B．85C．75D．235【答案】B【解析】试题解析：连接B D．∵AB是直径，∴∠ADB=90°．∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BO C．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC=25 OBOC，∴cos∠A=cos∠BOC=25．又∵cos∠A=ADAB，AB=4，∴AD=85．故选B．考点：解直角三角形；平行线的性质；圆周角定理．6.（2021湖北武汉第9题）已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（）A．32B．32C．3D．23【答案】C【解析】试题解析：如图，AB=7，BC=5，AC=8过A作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD＝5-x由勾腰定理得：72-x2=82-（5-x）2解得：x=1∴AD=43设ΔABC的内切圆的半径为r，则有：1 2（5r+7r+8r）=12×5×43解得：r=3故选C.考点：三角形的内切圆.7.（2021江苏无锡第9题）如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD 都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（）A ．5B ．6C ．25D ．32【答案】C.【解析】试题解析：如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB =20，面积为320，∴AB •DH =32O ，∴DH =16，在Rt △ADH 中，AH 22AD DH -，∴HB =AB ﹣AH =8，在Rt △BDH 中，BD 2285DH BH +=设⊙O 与AB 相切于F ，连接AF ．∵AD =AB ，OA 平分∠DAB ，∴AE ⊥BD ，∵∠OAF +∠ABE =90°，∠ABE +∠BDH =90°， ∴∠OAF =∠BDH ，∵∠AFO =∠DHB =90°，∴△AOF ∽△DBH ，∴OA OFBD BH =，10885OF=，∴OF 5．故选C ．考点：1.切线的性质；2.菱形的性质．8.（2021甘肃兰州第4题）如图，在O ⊙中，AB BC ，点D 在O ⊙上，25CDB ∠°，则AOB ∠()A.45°B.50°C.55°D.60°【答案】B考点：圆周角定理．9.（2021甘肃兰州第2题）如图，正方形ABCD 内接于半径为2的O ⊙，则图中阴影部分的面积为()A.1B.2C.1D.2【答案】D ．【解析】试题解析：连接AO ，DO ，∵ABCD 是正方形，∴∠AOD =90°，AD 2222OA OD +=圆内接正方形的边长为2=14[4π﹣（2）2]=（π﹣2）cm 2．故选D ．考点：1正多边形和圆；2.扇形面积的计算．10.（2021贵州黔东南州第5题）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2 B．﹣1 C．2D．4【答案】A．【解析】试题解析：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵OC=2，∴CE=12OC=1，∴CD=2OE=2，故选A．考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理．11. （2021贵州黔东南州第8题）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD 于O，则∠DOC的度数为（）A．60°B．67.5° C．75°D．54°【答案】A．【解析】试题解析：如图，连接DF 、BF ．∵FE ⊥AB ，AE =EB ，∴F A =FB ，∵AF =2AE ，∴AF =AB =FB ，∴△AFB 是等边三角形，∵AF =AD =AB ，∴点A 是△DBF 的外接圆的圆心，∴∠FDB =12∠F AB =30°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =BC ，∠DAB =∠ABC =90°，∠ADB =∠DBC =45°，∴∠F AD =∠FBC ，∴△F AD ≌△FBC ，∴∠ADF =∠FCB =15°，∴∠DOC =∠OBC +∠OCB =60°．故选A ．考点：正方形的性质．12.（2021山东烟台第9题）如图，□ABCD 中，070=∠B ，6=BC ，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则弧DE 的长为（ ）A ．π31B ．π32 C.π67 D ．π34 【答案】B ．∴DE 的长=40321803ππ⨯=. 故选：B ．考点：弧长的计算；平行四边形的性质；圆周角定理．13.（2021四川泸州第6题）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ．若AB =8，AE =1，则弦CD 的长是（ ）7 7 C ．6 D ．8【答案】B．考点：1.垂径定理；2.勾股定理．14.（2021四川自贡第10题）AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°【答案】B.【解析】试题解析：∵P A切⊙O于点A，∴∠P AB=90°，∵∠P=40°，∴∠POA=90°﹣40°=50°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO=25°，故选B．考点：切线的性质.15.（2021新疆建设兵团第9题）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O 于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（）A ．12B ．15C ．16D ．18【答案】A.【解析】考点：圆周角定理；垂径定理．16.（2021江苏徐州第6题）如图，点,,A B C ，在⊙O 上，72AOB ∠=，则ACB ∠=（）A ．28B ．54 C.18 D ．36【答案】D ．【解析】试题解析：根据圆周角定理可知，∠AOB =2∠ACB =72°，即∠ACB =36°，故选D ．考点：圆周角定理．二、填空题1.（2021浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为（-1，0），半径为1，点P 为直线343+-=x y 上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是__________【答案】22．【解析】试题解析：连接AP ，PQ ，当AP 最小时，PQ 最小，∴当AP ⊥直线y =﹣34x +3时，PQ 最小， ∵A 的坐标为（﹣1，0），y =﹣34x +3可化为3x +4y ﹣12=0，∴AP =22|3(1)4012|34⨯-+⨯-+=3，∴PQ =223-1=22．考点：1.切线的性质；2.一次函数的性质.2.（2021山东德州第17题）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交(,F G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m ，根据设计要求，若45EOF ∠= ，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面枳的比值）为 ．【答案】（+2）28π 【解析】试题解析：如图，过F 作FG ⊥OF ，连接OG ,OM ,ON△OFH 是等腰直角三角形，∴FH =OFsin 45°=22，AB =2，BC =2OF =2 ∴矩形ABCD 面积=22∴S 空白=2S 扇形FOM +2SΔAOG=290112+2113602π⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+12π ∴窗户的透光率=（+2）28π 考点：扇形的面积及概率3.（2021重庆A 卷第15题）如图，BC 是⊙O 的直径，点A 在圆上，连接AO ，AC ，∠AOB =64°，则∠ACB = ．【答案】32°．【解析】试题解析：∵AO =OC ，∴∠ACB =∠OAC ，∵∠AOB =64°，∴∠ACB +∠OAC =64°，∴∠ACB =64°÷2=32°．考点：圆周角定理.4.（2021甘肃庆阳第14题）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB =32°，则∠C = °．【答案】58°．【解析】试题解析：如图，连接OB ，∵OA =OB ，∴△AOB 是等腰三角形，∴∠OAB =∠OBA ，∵∠OAB =32°，∴∠OAB =∠OAB =32°，∴∠AOB =116°，∴∠C =58°．考点：圆周角定理．5. （2021甘肃庆阳第17题）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，AB =2，以点A 为圆心、AC 的长为半径画弧，交AB 边于点D ，则弧CD 的长等于 ．（结果保留π）【答案】3π. 【解析】考点：弧长的计算；含30度角的直角三角形．6.（2021广西贵港第17题）如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，,CD OA CD ⊥ 与AB 交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作CE 交OB 于点E ，若4,120OA AOB =∠=，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）【答案】4233π+．【解析】试题解析：连接OD、AD，∵点C为OA的中点，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO为等边三角形，∴S扇形AOD=260483603ππ⨯=，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD）=221204120281(223) 36036032πππ⨯⨯---⨯⨯=164823 333πππ--+=4233π+．考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．7.（2021湖南怀化第14题）如图，O⊙的半径为2，点A，B在O⊙上，90AOB∠°，则阴影部分的面积为．【答案】π﹣2．考点：扇形面积的计算．8. （2021湖南怀化第16题）如图，在菱形ABCD中，120∠°，10cmAB，点P是这个菱形内部或ABC边上的一点，若以,,P B C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为cm.【答案】310（cm）.【解析】试题解析：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，P A最小，最小值P A=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为310；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC 为等腰三角形，当点P与点A重合时，P A最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PD的最小值为3﹣10（cm）..考点：菱形的性质；等腰三角形的性质．9.（2021江苏无锡第17题）如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD 的内部作半圆O1和半圆O2，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF=2（EF与AB在圆心O1和O2的同侧），则由AE，EF，FB，AB 所围成图形（图中阴影部分）的面积等于．【答案】534﹣6π．【解析】试题解析：连接O1O2，O1E，O2F，则四边形O1O2FE是等腰梯形，过E作EG⊥O1O2，过F⊥O1O2，∴四边形EGHF是矩形，∴GH=EF=2，∴O1G=12，∵O1E=1，∴GE3∴111 2O GO E=；∴∠O 1EG =30°，∴∠AO 1E =30°，同理∠BO 2F =30°，∴阴影部分的面积=S 矩形ABO 2O 1﹣2S 扇形AO 1E ﹣S 梯形EFO 2O 1=3×1﹣2×2301360π⨯⨯=12（2+3）×32=3﹣534﹣6π． 考点：1.扇形面积的计算；2.矩形的性质．10.（2021江苏盐城第14题）如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AmB 上，点D 在AB 上，若∠ACB =70°，则∠ADB = °．【答案】110°【解析】试题解析：∵点C 在AmB 上，点D 在AB 上，若∠ACB =70°，∴∠ADB +∠ACB =180°，∴∠ADB =110°考点：圆周角定理.11.（2021山东烟台第18题）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB .已知6=OA ，取OA 的中点C ，过点C 作OA CD ⊥交弧AB 于点D ，点F 是弧AB 上一点，若将扇形BOD 沿OD 翻折，点B 恰好与点F 重合.用剪刀沿着线段FA DF BD ,,依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 .【答案】36π﹣108【解析】试题解析：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=12OA=12OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于点E，则DE=12OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=2306360π⨯﹣12×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108考点：扇形面积的计算12.（2021四川宜宾第15题）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是．【答案】5﹣1【解析】考点：正多边形和圆．13.（2021四川宜宾第17题）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=433，则AD=．【答案】4.【解析】试题解析：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°，∵BD是直径，∴∠BAD=90°，∠ABD=60°，∴∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°，∴∠ABC=∠CBD，∴AC CD AB==，∴CB AD=，∴AD=CB，∵∠BCD=90°，∴BC=CD•tan60°=433•3=4，∴AD=BC=4．考点：1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质；3.含30°角的直角三角形.14.（2021江苏徐州第15题）正六边形的每个内角等于．【答案】120°.【解析】试题解析：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为：7206︒=120°.考点：多边形的内角与外角.15. （2021江苏徐州第16题）如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为,2D AB BC==，则AOB∠=．【答案】60°．【解析】考点：切线的性质.ABm=︒，弓16.（2021浙江嘉兴第13题）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的O，90形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为．【答案】（32+48π）cm2【解析】试题解析：连接OA、OB，∵AB=90°，∴∠AOB=90°，∴S △AOB =12×8×8=32， 扇形ACB （阴影部分）=22036078π⨯⨯=48π， 则弓形ACB 胶皮面积为（32+48π）cm 2考点：1.垂径定理的应用；2.扇形面积的计算．三、解答题1.（2021浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。
专题11 直线与圆(解析版)
专题11 直线与圆【要点提炼】1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝ －1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.考点考向一 直线的方程【典例1】 (1)(2020·西安检测)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A.1B.－2C.1或－2D.－32(2)已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为________.解析 (1)由题意知m (1＋m )－2×1＝0，解得m ＝1或－2，当m ＝－2时，两直线重合，舍去；当m ＝1时，满足两直线平行，所以m ＝1.(2)由题意可知，直线l 1：kx －y ＋4＝0经过定点A (0，4)， 直线l 2：x ＋ky －3＝0经过定点B (3，0)，注意到直线l 1：kx －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋ky －3＝0始终垂直，点M 又是两条直线的交点，则有MA ⊥MB ，所以|MA |2＋|MB |2＝|AB |2＝25.故|MA |·|MB |≤252(当且仅当|MA |＝|MB |＝522时取“＝”). 答案 (1)A (2)252探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【拓展练习1】 (1)(多选题)光线自点(2，4)射入，经倾斜角为135°的直线l ：y ＝kx ＋1反射后经过点(5，0)，则反射光线还经过下列哪个点( ) A.(14，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98 C.(13，2)D.(13，1)(2)已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________.解析 (1)因为直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ＝－1，设点(2，4)关于直线l ：y ＝－x ＋1的对称点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －4m －2＝1，n ＋42＝－m ＋22＋1，解得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝－1，所以反射光线经过点(－3，－1)和点(5，0)，则反射光线所在直线的方程为y ＝0－（－1）5－（－3）(x －5)＝18(x －5)，当x ＝13时，y ＝1；当x ＝14时，y ＝98.故选BD.(2)当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1与l 2间的距离最大.由A(1，1)，B(0，－1)得k AB＝－1－10－1＝2.∴两平行直线的斜率k＝－1 2.∴直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案(1)BD(2)x＋2y－3＝0考向二圆的方程【典例2】(1)(2020·石家庄模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4 km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的3倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：km2)是()A.2 3B.4 3C.3 6D.4 6(2)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x －y－3＝0上截得的弦长为6，则圆C的方程为________.解析(1)以甲、乙两地所在直线为x轴，线段甲乙的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设甲、乙两地的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，丙地坐标为(x，y)(y≠0)，则（x＋2）2＋y2＝3·（x－2）2＋y2，整理得(x－4)2＋y2＝12，可知丙地所在的圆的半径为r＝2 3.所以三角形信号覆盖区域的最大面积为12×4×23＝4 3.(2)∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴设所求圆的圆心为(a，－a).又∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝2|a|2＝2|a|.又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为6，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝|2a－3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即（2a －3）22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案 (1)B (2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2探究提高 1.第(1)题是一道以阿波罗尼斯圆为背景的数学应用问题，解题关键是先利用题设条件给出的关系式，求出阿波罗尼斯圆的方程，即(x －4)2＋y 2＝12，然后应用圆中的几何量求解三角形信号覆盖区域的最大面积.2.求圆的方程主要方法有两种：(1)直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，否则选择圆的一般方程. 温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质. 【拓展练习2】 (1)(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A.4B.5C.6D.7(2)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3，4)为C 上一点，则△P AB 的外接圆的标准方程为________.解析 (1)由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为d min ＝（3－0）2＋（4－0）2－1＝4.故选A. (2)∵P (3，4)为C 上一点，9m －162＝1， 解得m ＝1，则B (1，0)，A (－1，0)， ∴k PB ＝4－03－1＝2，BP 的中点为(2，2)，PB 的垂直平分线方程为l 1：y ＝－12(x －2)＋2， AB 的垂直平分线方程为l 2：x ＝0，则圆心是l 1与l 2的交点M ，联立l 1与l 2方程， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3，则M (0，3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10，∴△P AB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 答案 (1)A (2)x 2＋(y －3)2＝10 考向三 直线(圆)与圆的位置关系 角度1 圆的切线问题【典例3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( ) A.y ＝2x ＋1 B.y ＝2x ＋12 C.y ＝12x ＋1D.y ＝12x ＋12(2)(多选题)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的可能取值是( ) A.1B.2C.3D.4解析 (1)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0>0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程y ＝12x ＋12.(2)由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，则圆心为C (2，0)，半径r ＝2，过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A ，B ，连接AC ，BC ，所以四边形P ACB 为正方形，即PC ＝2r ＝22，圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k |1＋k 2≤22，即－22≤k ≤22，所以实数k 的取值可以是1，2.故选AB. 答案 (1)D (2)AB探究提高 1.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式. 2.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.【拓展练习3】 (1)(2020·浙江卷)已知直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1和圆(x －4)2＋y 2＝1均相切，则k ＝__________，b ＝__________.(2)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，点A (0，－2)，B (a ，2)，从点A 观察点B ，要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－433，433 解析 (1)直线kx －y ＋b ＝0(k ＞0)分别与圆心坐标为(0，0)，半径为1，及圆心坐标为(4，0)，半径为1的两圆相切， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|b |k 2＋1＝1，①|4k ＋b |k 2＋1＝1，②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33，b ＝－233.(2)易知点B 在直线y ＝2上，过点A (0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝kx －2， 即kx －y －2＝0. 由d ＝|0－0－2|1＋k 2＝1，得k ＝±3. ∴切线方程为y ＝±3x －2，和直线y ＝2的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－433，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫433，2. 故要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞. 答案 (1)33 －233 (2)B 角度2 圆的弦长的相关计算【典例4】 在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用勾股定理来处理.【拓展练习4】 (1)(2020·天津卷)已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相交于A ，B 两点.若|AB |＝6，则r 的值为__________.(2)(2020·菏泽联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A (2，2)，若|AP |2＋|AQ |2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为________. 解析 (1)依题意得，圆心(0，0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝|8|12＋（－3）2＝4，因此r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝25，又r ＞0，所以r ＝5.(2)设点M 为PQ 的中点，则|PM |＝|MQ |，在△APQ 中，由余弦定理易得|AP |2＋|AQ |2＝|AM |2＋|PM |2＋|MQ |2＋|AM |2＝2(|AM |2＋|MQ |2) 又|MQ |2＝|OQ |2－|OM |2＝4－|OM |2，|AP |2＋|AQ |2＝40. ∴40＝2|AM |2＋8－2|OM |2，则|AM |2－|OM |2＝16， 设M (x ，y )，则(x －2)2＋(y －2)2－(x 2＋y 2)＝16. 化简得x ＋y ＋2＝0.当OM ⊥l 时，OM 取到最小值，即|OM |min ＝22＝ 2. 此时，|PQ |＝2|OQ |2－|OM |2＝2 2. 故弦PQ 的长度的最大值为2 2.【专题拓展练习】一、单选题1．一条光线从点()1,1-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1x y -+=相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为（ ） A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【详解】 如图所示，由题意可设入射光线PQ 的方程为()11y k x +=-， 令0x =，则1y k =--，可得()0,1Q k --. 则反射光线QA 的方程为1y kx k =---.22111k k k ---<+，解得304k -<<.∴入射光线所在直线的斜率的取值范围为3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C .2．方程(6)30x y x y +++-表示的曲线是（ ） A ．两条平行线 B ．一个直线和一条射线 C ．两条射线 D ．一条直线【答案】D 【详解】因为 (6)30x y x y +++-，所以6030x y x y ++=⎧⎨+-≥⎩或30x y +-=，此时6030x y x y ++=⎧⎨+-≥⎩无解，所以曲线表示一条直线：30x y +-=，故选：D.3．过坐标原点O 作圆()()22341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )A ．46B ．26C ．6D ．365【答案】A 【详解】如图所示，设圆()()22341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =， 则22345OM =+=,2512426OA =-==，则11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，可得2465OA MA AB OM ⨯⨯==， 故选A.4．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距2212(12)(22)5C C =--+--=1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C.5．设点P 为圆22:(1)4C x y -+=上的任意一点，点(2,3)Q a a -()a R ∈，则线段PQ 长度的最小值为（ ） A2 BC2 D1【答案】C 【详解】设点(),Q x y ，则2,3x a y a ==-，化简可得：260x y --= 即点Q 在直线260x y --=上，圆C 的圆心()1,0到直线260x y --=的距离为d ==则线段PQ2 故选：C6．已知直线:10l x by ++=与圆()()22:28C x b y +++=相交于A 、B 两点，且ABC 是顶角为23π的等腰三角形，则b 等于（ ） A ．1 B ．17C ．1-D ．1或17-【答案】D 【详解】因为A 、B 两点在圆()()22:28C x b y +++=上，所以AC BC r === 又ABC 是顶角为23π的等腰三角形，则6B C π==，BC边上的高6h π==，即圆心(),2C b --到直线:10l x by ++=上距离d h ===27610b b --=，解得1b =或17b =-.故选：D.7．与圆()2215x y +-=相切于点()2,2的直线的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】A 【详解】可设圆心与切点的连线斜率为1k ，切线斜率为2k ，由()2215x y +-=可知圆心为()0,1点，切点为()2,2点，则1211202k -==-，根据题可知圆心与切点的连线和切线垂直， 所以121k k ，则22k =-.所以切线斜率为-2. 故选：A8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+= 上，则ABP △面积的取值范围是（ ）A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．【答案】A 【详解】圆心(2,0)到直线的距离d ==所以点P 到直线的距离1d ∈.根据直线的方程可知,A B 两点的坐标分别为(2,0),(0,2)A B --，所以AB =,所以ABP △的面积1112S AB d ==， 所以[2,6]S ∈, 故选：A.9．过点()4,1A --作圆()22(214):C y x -+-=的一条切线AB ，切点为B ，则三角形ABC的面积为（ ）A ．B ．C ．12D ．6【答案】D 【详解】因为圆心C 坐标为()2,1，所以AC ==所以224046AC r AB =-=-=，因此1162622ABCSAB CB =⋅=⨯⨯=． 故选：D ．10．在平面直角坐标系中，点A ，B 分别是圆()2221x y -+=与直线()0y x t t =+>上的动点，若AB 的最小值为221-，则t 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】圆心()2,0到直线y x t =+的距离为222t +=， 可得AB 的最小值为12212-=-，解得2t =. 故选：B.11．已知22:1O x y +=，直线:20+-=l x y ，P 为l 上的动点，过点Р作O 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则OP AB ⋅最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．22【答案】C 【详解】 如图所示：圆心为()0,0O ，半径1r =，因为OA OB =，PA PB =，所以AB OP ⊥. 所以12PAOB S OP AB =⋅， 又1222PAOBPOA S S OA PA PA ∆==⨯⨯⨯=所以2OP AB PA ⋅=．要使OP AB ⋅取到最小值即PA 取到最小值．由勾股定理得PA =即要使OP AB ⋅取到最小值即OP 取到最小值.当直线OP 与直线20x y +-=垂直时，OP 取到最小值.所以min OP ==min1PA ==.所以OP AB ⋅最小值为2． 故选：C ．12．已知直线:30l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点.且A ，B 在x 轴同侧，过A ，B 分别做x 轴的垂线交x 轴于C ，D 两点，O 是坐标原点，若||3CD =，则AOB ∠=（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B 【详解】因为直线的方程:30l mx y m ++=化为()30m x y ++=，所以直线l 恒过点(3-，而点(-满足2212x y +=，所以点(3-在圆2212x y +=上，不妨设点(3A -，又||3CD =，所以点(B 0，所以||AB ==又圆2212x y +=的半径为所以AOB 是等边三角形，所以AOB ∠=3π． 故选：B ． 二、解答题13．已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长. 【详解】（1）已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为20221k -==-，直线l 的方程为y=2(x-1)，即 2x -y -2=0． （2）当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y -2=x -2 ,即 x-y =0. 所以圆心C 到直线l 的距离为d =．因为圆的半径为3，所以，弦AB 的长AB ==． 14．已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为（2）求222||||||PA PB PC ++的最值.【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C 且被圆E 截得的弦长为所以圆心到直线的距离设直线方程为2(4)y k x +=-,即420kx y k ---=,=解得17k =-或1k =-所以直线方程为7100x y ++=或20x y +-=.(2)设P 点坐标为(),x y 则224x y +=.222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++()223468804x y y y =+-+=-因为22y -≤≤,所以7280488y ≤-≤,即222||||||PA PB PC ++的最大值为88,最小值为72.15．已知点(4,0),(2,0)A B -，动点P 满足||2||PA PB =.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）求经过点(2,2)M -以及曲线C 与224x y +=交点的圆的方程.【详解】(1)设(,)P x y ,因为(4,0),(2,0)A B -,||2||PA PB =,所以=整理得2280x y x +-=,所以曲线C 的方程为2280x y x +-=.(2)设所求方程为()2222480x y x y x λ+-++-=,即22(1)(1)840x y x λλλ+++--=,将(2,2)M -代入上式得22(1)2(1)(2)8240λλλ+⋅++⋅--⋅-=,解得12λ=, 所以所求圆的方程为2288033x y x +--=.。
广东深圳2018-2019年中考数学试题分类解析专项11：圆
广东深圳2018-2019年中考数学试题分类解析专项11：圆专题11：圆【一】选择题1. 〔2001广东深圳3分〕两圆的半径分别是3厘米和4厘米，它们的圆心距是5厘米，那么这两圆的位置关系是【】(A) 外离 (B) 外切 (C) 内切 (D) 相交【答案】D。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】依照两圆的位置关系的判定：外切〔两圆圆心距离等于两圆半径之和〕，内切〔两圆圆心距离等于两圆半径之差〕，相离〔两圆圆心距离大于两圆半径之和〕，相交〔两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差〕，内含〔两圆圆心距离小于两圆半径之差〕。
因此，∵4－3＝1＜5，4＋3＞5，∴这两圆的位置关系是相交。
应选D。
2. 〔2001广东深圳3分〕：如图，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点B，C、D是⊙O上的点，弦切角∠CBE=40o，AD CD=，那么∠BCD的度数是【】(A) 110o (B) 115o(C) 120o (D) 135o【答案】B。
【考点】切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，圆内接四边形的性质。
【分析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点B，∴EF⊥AB，即∠ABE＝900。
∵弦切角∠CBE＝40o，∴∠ABC＝50o。
∵AD CD=，∴∠ABD＝∠DBC＝25o。
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90o。
∴∠BAD＝65o。
∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BCD＝180o－65o＝115o。
应选B。
3.〔深圳2003年5分〕如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，A、△AED∽△BECB、∠AEB=90ºC、∠BDA=45ºD、图中全等的三角形共有2对【答案】D。
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，全等的三角形的判定。
【分析】A、依照圆周角定理的推论，可得到：∠ADE=∠BCE，∠DAE=∠CBE∴△AED∽BED，正确；B、由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD，有AB CD，从而依照等弧所对圆周角相等的性质，得∠EBC=∠ECB，由等腰三角形等角对等边的性质，得BE=CE，∴BE=CE=3，AB=5，AE=AC－CE=4，依照勾股定理的逆定理，△ABE为直角三角形，即∠AEB=90°，正确；C、AE=DE，∴∠EAD=∠EDA=45°，正确；D、从条件不难得到△ABE≌△DCE、△ABC≌△DCB、△ABD≌DCA共3对，错误。
专题11 圆的最值问题(隐圆模型)(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)
专题11圆的最值问题（隐圆模型）【知识点梳理】隐圆模型汇总固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径A．1B．作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交半圆O于=，根据对称性有：PD PF+=+，则有：PE PD PE PF+的长度最小值，则线段EF的长即为PE PD【答案】634-【分析】取AD 的中点O ，连接OF BC ⊥于F ，交CD 于G 取AD 的中点O ，连接OM ，过点于F ，交CD 于G ，则OM ME + AB CD ，60DAB ∠= ，AD ∴120ADC ∠=︒，AD CD =，【答案】3∴BD＝2，∴11 2BD=．D运动的一个动点，联结EF，将AEF沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为（）A．23πB C．3πD．1【答案】A【详解】解：∵点E 为AB 中点，点F 为AD 边上从A 到D 运动的一个动点，联结EF ，将AEF 沿EF 折叠，∴AE EB EG ==，∴G 点在以E 为圆心，AE 长为半径的圆上运动．当F 与D 点重合时，如图，则G 点运动的路径为 AG ．∵AB ＝2，点E 为AB 中点，∴112AE AB ==，∵矩形ABCD ，∴90EAD ∠=︒，∵1AE =，AD =90EAD ∠=︒，∴tan AD AED AE∠==60AED ∠=︒．∵将AEF 沿EF 折叠，∴60DEG AED ∠=∠=︒，∴120AEG ∠=︒，∵1AE =，∴120223603AG AE ππ=⨯⨯=．故选：A ．3．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5AC =，12BC =，D 是以点A 为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD ，M 是BD 的中点，则线段CM 长度的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【详解】作AB 的中点E ，连接EM 、CE 、AD ，则有AD =3，∵∠ACB =90°，即在Rt ABC 中，13AB ==，∵E 是Rt ABC 斜边AB 上的中点，∴11322CE AB ==，∵M 是BD 的中点，E 是AB 的中点，∴1322ME AD ==，∴在CEM 中，1331332222CM -+＜＜，即58CM ＜＜；当C 、M 、E 三点共线时有133822CM +==或者133522CM -==；即58CM ≤≤，∴CM 最小值为5，故选：C ．【答案】21022-【分析】由题意可知，AGB ∠圆周角45APB ∠=︒的圆上，（要使。
北京中考专题《圆》(原卷版)
5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（北京专用）专题11圆（共78题）一．填空题（共2小题）1．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB̂=CD̂，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．2．（2017•北京）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD̂=CD̂．若∠CAB＝40°，则∠CAD＝．二．解答题（共10小题）3．（2020•北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD 于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sin C=13，BD＝8，求EF的长．4．（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；五年中考真题（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．5．（2018•北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．6．（2017•北京）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．7．（2016•北京）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交AĈ于点D，过点D作⊙O 的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．8．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．9．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DÊ上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DÊ为△ABC的中内弧．例如，图1中DÊ是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC=2√2，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧DÊ，并直接写出此时DÊ的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t=12，求△ABC的中内弧DÊ所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧DÊ，使得DÊ所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．10．（2018•北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）＝1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．̂所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB̂于点M，连接MB，过点P 11．（2017•北京）如图，P是AB作PN⊥MB于点N．已知AB＝6cm，设A、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm．（当点P 与点A或点B重合时，y的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0123456y/cm0 2.0 2.3 2.10.90（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△P AN为等腰三角形时，AP的长度约为cm．12．（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为√2，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．一．选择题（共19小题）1．（2020•怀柔区二模）如图，在⊙O中，A，B，P为⊙O上的点，∠AOB＝68°，则∠APB的度数是（）A．136°B．34°C．22°D．112°2．（2020•朝阳区三模）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．130πcm2B．120πcm2C．65πcm2D．60πcm23．（2020•石景山区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝125°，则∠BOD的度数为（）A．55°B．65°C．110°D．125°4．（2020•朝阳区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝50°，则∠B的度数为（）一年模拟新题A．50°B．65°C．75°D．130°5．（2020•西城区二模）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（）A．√2B．2√2C．2√3D．46．（2020•门头沟区二模）如图，线段AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，如果AB＝4，AC＝2，那么∠ADC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°7．（2020•丰台区二模）如图，点A，B是⊙O上的定点，点P为优弧AB上的动点（不与点A，B重合），在点P运动的过程中，以下结论正确的是（）A．∠APB的大小改变B．点P到弦AB所在直线的距离存在最大值C．线段P A与PB的长度之和不变D．图中阴影部分的面积不变8．（2020•海淀区二模）如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于90°，那么圆心O 到弦AB 的距离为（ ）A ．√2B ．2C ．2√2D ．3√29．（2020•西城区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB ＝65°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．65°B ．35°C ．32.5°D ．25°10．（2020•朝阳区一模）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，CD ＝4，tan C =12，则AB 的长为（ ）A ．2.5B ．4C ．5D ．1011．（2020•朝阳区校级模拟）如图，在△ABC 中，∠C ＝40°，∠A ＝60°．以B 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB ，BC 于点D ，E ；分别以D ，E 为圆心，大于12DE 长度为半径作弧，两弧交于点F ；作射线BP ，交AC 于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于M ；以P 为圆心，PM 的长为半径作⊙P ．则下列结论中，错误的是（ ）A ．∠PBA ＝40°B ．PC ＝PBC ．PM ＝MBD ．⊙P 与△ABC 有4个公共点12．（2020•海淀区校级二模）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD ＝CD ＝2√3．则BC ̂的长为（ ）A ．π3B ．2π3C ．√3π3D ．2√3π313．（2020•海淀区校级模拟）如图，已知⊙O 的半径为6，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为（ ）A ．6B ．8C ．3√3D ．6√314．（2020•朝阳区模拟）如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，当∠OBC ＝40°时，∠A 的度数是（ ）A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°15．（2020•青州市一模）如图，⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，半径OD ⊥弦BC 于D ，如果∠BAC ＝60°，那么OD 的长是（ ）A ．2B ．√3C ．√32D ．116．（2020•丰台区模拟）已知⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3是等圆，△ABP 内接于⊙O 1，点C ，E 分别在⊙O 2，⊙O 3上．如图，①以C 为圆心，AP 长为半径作弧交⊙O 2于点D ，连接CD ； ②以E 为圆心，BP 长为半径作弧交⊙O 3于点F ，连接EF ； 下面有四个结论： ①CD +EF ＝AB ②CD̂+EF ̂=AB ̂ ③∠CO 2D +∠EO 3F ＝∠AO 1B ④∠CDO 2+∠EFO 3＝∠P 所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．②③④17．（2020•丰台区三模）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若∠CDB ＝32°，则∠CBA 的度数为（ ）A ．68°B ．58°C ．64°D ．32°18．（2020•北京模拟）如图，抛物线y =19x 2−1与x 轴交于A ，B 两点，D 是以点C （0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接OE ，BD ，则线段OE 的最小值是（ ）A ．2B ．3√22C ．52D ．319．（2020春•海淀区校级月考）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∠A ＝30°，CD ＝4√3，则⊙O 的直径的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二．填空题（共21小题）20．（2020•石景山区二模）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，OA ＝3，∠OCA ＝40°，则阴影部分的面积为 ．21．（2020•怀柔区二模）扇形的半径为3，圆心角θ为120°，这个扇形的面积是 ．22．（2020•顺义区二模）如图，在每个小正方形的边长为1cm 的网格中，画出了一个过格点A ，B 的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是 cm ．（结果保留一位小数）23．（2020•海淀区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，则∠ACB∠ADB．（填“＞”，“＝”或“＜”）̂的长约为cm．（π取3.14，结果24．（2020•房山区二模）如图，扇形AOB，通过测量、计算，得AB保留一位小数）25．（2020•大兴区一模）将面积为225cm2的正方形硬纸片围成圆柱的侧面，则此圆柱的底面直径为cm （结果保留π）．26．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．27．（2020•东城区一模）如果一个正n边形的每个内角为108°，那么这个正n边形的边数为．28．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，点D为AĈ的中点，且OD与AC相交于点E，若⊙O的半径为4，∠CAB＝30°，则弦AC的长度为．29．（2020•房山区一模）如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．30．（2020•泰州二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为．̂上两点，若∠D＝110°，则∠ABC＝31．（2020•海淀区校级二模）如图，AB是半圆O的直径，C，D是AB度．32．（2020•延庆区一模）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．33．（2020•东城区校级模拟）我们知道任意三角形都存在内切圆．同样的，一些凸四边形也存在内切圆．我们规定：存在与凸四边形的三条边相切的圆叫四边形的伪内切圆．以下结论正确的是：．①凸四边形必存在伪内切圆；②当平行四边形只存在1个伪内切圆时，它的对角线一定相等；③矩形伪内切圆个数可能为1、2、4；④当且仅当四边形对角线互相垂直平分且相等时，该四边形的伪内切圆与内切圆重合．34．（2020•东城区校级模拟）如图，点C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，且∠CAB＝25°，则∠ACD的度数为°．35．（2020•西城区校级模拟）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC ＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，则BD的长为．36．（2020•朝阳区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边BC的中点，点P在边AD上，设DP＝x，若以点D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点，则所有满足条件的x的取值范围是．37．（2020•西城区校级模拟）如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O 上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于．38．（2020•丰台区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AĈ=CD̂，则∠ACD的度数是．39．（2020•丰台区模拟）如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC ＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为．40．（2020•朝阳区校级模拟）如图，tan∠1＝．三．解答题（共10小题）̂的中点，CA与⊙O相切于点A交BE延长于41．（2020•怀柔区二模）如图，AB是⊙O的直径，点E是AB点C，过点A作AD⊥OC于点F，交⊙O于点D，交BC于点Q，连接BD．（1）求证：BD＝AF；（2）若BD＝2，求CQ的长．42．（2020•丰台区三模）如图，四边形OABC中，∠OAB＝∠OCB＝90°，BA＝BC．以O为圆心，以OA 为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，①补全图形；②若AD̂=AĈ，求证：OF＝OB．43．（2020•怀柔区二模）如图，在半⊙O中，P是直径AB上一动点，且AB＝6，过点P作PC⊥AB交半⊙O 于点C，P为垂足，连接BC，过点P作PD⊥BC于点D．小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，PD的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于动点P在AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AP，CP，PD的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9位置10 AP/cm0.370.88 1.59 2.01 2.44 3.00 3.58 4.37 5.03 5.51 CP/cm 1.45 2.12 2.65 2.83 2.95 3.00 2.95 2.67 2.21 1.65 PD/cm 1.40 1.96 2.27 2.31 2.27 2.13 1.87 1.390.890.48在AP，CP，PD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当CP＝2PD时，AP的长度约为．44．（2020•朝阳区三模）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若cos∠P AB=√55，BC＝2，求PO的长．45．（2020•丰台区三模）如图1，在弧MN和弦MN所组成的图形中，P是弦MN上一动点，过点P作弦MN的垂线，交弧MN于点Q，连接MQ．已知MN＝6cm，设M、P两点间的距离为xcm，P、Q两点间的距离为y1cm，M、Q两点间的距离为y2cm．小轩根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小轩的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm x/cm0123456y1/cm0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.240y2/cm0 2.45 3.46 4.24 4.90m6上表中m的值为．（保留两位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy（图2）中，函数y1的图象如图，请你描出补全后的表中y2各组数值所对应的点（x，y2），并画出函数y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△MPQ有一个角是60°时，MP的长度约为．（保留两位小数）46．（2020•石景山区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，D是弦AB的中点，点E在AB的延长线上，连接OC，OD，CE，∠CED+∠COD＝180°．（1）求证：CE是⊙O切线；（2）连接OB，若OB∥CE，tan∠CEB＝2，OD＝4，求CE的长．47．（2020•昌平区二模）如图，P A，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径．（1）若∠ACB＝70°，求∠APB的度数；（2）连接OP，若AB＝8，BC＝6，求OP的长．48．（2020•门头沟区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O 的切线DE交AB于E．（1）求证：DE⊥AB；（2）如果tan B=12，⊙O的直径是5，求AE的长．49．（2020•平谷区二模）如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD交AC于点F，且FC＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，tan A=34，求GF的长．50．（2020•密云区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC平分∠BAD，过点C的切线交直径AB的延长线于点E，连接AD、BC．（1）求证：∠BCE＝∠CAD；（2）若AB＝10，AD＝6，求CE的长．51．（2020•朝阳区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC经过点O，过点D作⊙O 的切线DE，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE∥AC；（2）若AB＝8，tan E=43，求CD的长．52．（2020•房山区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC 中点，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）设CD与OE的交点为F，若AB＝10，BC＝6，求OF的长．53．（2020•北京二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O切线CD交BA的延长线于点D，过点O作OE∥AC交切线DC于点E，交BC于点F．（1）求证：∠B＝∠E；（2）若AB＝10，cos B=45，求EF的长．54．（2020•海淀区二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于点E，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D．（1）求证：∠DBC＝∠OCA；（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的长．55．（2020•门头沟区一模）如图，∠APB，点C在射线PB上，PC为⊙O的直径，在∠APB内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M，图形M交⊙O于D，过点D作直线DE⊥P A，分别交射线P A，PB于E，F．（1）根据题意补全图形；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）如果PC＝2CF，且DF=√3，求PE的长．56．（2020•通州区一模）已知：△ABC为等边三角形．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF∥BC；③若DE＝2，求EF的长．57．（2020•大兴区一模）已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D 作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sin B=√55，求线段F A的长．58．（2020•海淀区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．59．（2020•北京一模）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BĈ中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF＝4，sin∠F=35，求⊙O的半径．60．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．（1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为√5，tan∠BDC=12，求AC的长．61．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．62．（2020•西城区一模）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若AD̂=AĈ，①补全图形；②求证：OF＝OB．63．（2020•房山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，线段BC 上有一点P．（1）当点P在什么位置时，直线DP与⊙O有且只有一个公共点，补全图形并说明理由．（2）在（1）的条件下，当BP=√102，AD＝3时，求⊙O半径．64．（2020•海淀区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．（1）求证：∠ECB＝∠EBC；（2）连接BF，CF，若BF＝5，sin∠FBC=35，求AC的长．65．（2020•朝阳区校级模拟）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证：∠AEB＝2∠C；（2）若AB＝5，tan B=43，求DE的长．66．（2020•北京模拟）如图，AC是Rt△OAB斜边上的高，到点O的距离等于OA的所有点组成的图形记为G，图形G与OB交于点D，连接AD．（1）依题意补全图形，并求证：AD平分∠BAC；（2）如果OC＝6，tan B=34，求BD的长．。
专题11 正多边形以及与圆有关的计算
专题11 与圆有关的计算一、正多边形和圆1. 正多边形的定义：各条边 ，并且各个 也都相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：⑴ 正多边形的中心：正多边形的 的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵ 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 ．⑶ 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角．⑷ 正多边形的边心距： 到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3. 正多边形的性质：⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个 的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形 的对称轴；⑶偶数条边的正多边形既是 图形，也是轴对称图形，其 就是对称中心.【例 1】⑴求正三角形的边心距、半径和高的比。
⑵若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为3r ，4r ，6r ，求346::r r r 。
边心距二、与圆有关的计算 1、弧长的计算如果弧长为 l ，圆心角度数为 n ，圆的半径为 r ，那么，弧长 l ＝ 。
【推导】：【例 2】⑴将下表补充完整。
⑵【易错】若弦AB 将圆的周长分为1:5的两部分，则弦AB 所对的圆周角为 。
⑶图中有五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 的路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）A. 甲先到B 点B. 乙先到B 点C. 甲、乙同时到B 点D. 无法确定⑷如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针A 3A 2A 1GFE D CBAB DOA2、扇形面积计算方法一：如果已知扇形圆心角为n，半径为r，那么扇形面积S=。
【推导】：方法二：如果已知扇形弧长为l ，半径为r，那么扇形面积S=。
【推导】【例 3】将下表补充完整。
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专题11：圆
一、选择题
1. 如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝BD AB 的长为【 】
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【考点】垂径定理，勾股定理。
题1图 题2图 题3图 题4图
2.如图，⊙O 过点B 、C ．圆心O 在等腰直角△ABC 的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6， 则 ⊙O 的半径 为【 】
A B ．． D
【考点】等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理。
3. 如图，⊙O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧BC 的长是【 】
A ．π51
B ．π52
C ．π53
D ．π54
【考点】同弧所对的圆周角与圆心角的关系，弧长公式。
4.如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆⊙O 上的点，在以下判断中，不正确．．．
的是【 】 A 、当弦PB 最长时，ΔAPC 是等腰三角形 B 、当ΔAPC 是等腰三角形时，PO⊥AC
C 、当PO⊥AC 时，∠ACP=300
D 、当∠ACP=300
时，ΔPBC 是直角三角形
二、填空题
5.如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B=130°，则∠AOC 的度数是 ▲ 度．
【考点】圆内接四边形的性质，圆周角定理。
6.如图，△ABC 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=50°，点D 是BAC 上一点，则∠D= 度。
【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。
7.如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB ＝CD ，CE ＝1， DE ＝3，则⊙O 的半径是 ▲ ．
【考点】全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，同弧所对圆周角与圆心角的关系。
8.如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=°
【考点】圆周角定理，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质。
三、解答题
14. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B分别是切点，点C是AB上任意一点，连接OA，OB，CA，CB，
∠P=70°，求∠ACB的度数。
【考点】切线的性质，多边形内角和定理，圆周角定理。
15. 如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：M O∥BC．
【考点】圆周角定理，切线的性质，平行线的判定和性质。
16.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF 延长线与⊙O的交点，若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长.。