中学数学中的分形几何

中学数学中的分形几何

广西桂林市恭城瑶族自治县栗木中学数学组何桂荣（542502）

桂林市第十八中学数学组蒋雪祥（541004）

内容提要：本文论述了规则图形的容量维，对容量维的计算作了说明，同时还对4个较为著名的与中学有关的，或是可以用于启发学生思维的分形问题进行了分析。

关键字：容量维Sierpinski三角毯Koch曲线

Koch岛Sierpinski-Menger海绵

1973年，曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。数千年来，几何学的发展从来没有二十世纪诞生的分形几何那样对物理学和数学发展产生如此巨大的影响。分形几何对我们大多数人来说是陌生的，因为它看起来离我们太远。其实分形就在我们身边，在近年的竞赛与高考中，分形的影子已经出现。中学数学中的分形与数学研究中的分形所看的角度与研究目标都不同，可以说是羊头狗肉之分吧。笔者试对此进行一点探讨，以抛砖引玉尔。

一、规则图形的容量维

为了描述混沌学中奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。维数是描述客体的重要几何参量。也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘2，就得到另一个线段，长度为n=2个原线段长度。一正方形，每边长×2，得到一个大的正方形，它等于4个原来大小的正方形。一立方体，每边长×2，得到一个大的立方体，它等于8个原来大小的立方体。由此可以推得，一个d维的几何对象，它的每一个独立方向都增长L倍，结果得到N个原来的对象，这三者的关系为,两边取自然对数，得维数。在本例的正方体中，如果是L=2,则必有N=8,于是就有，即立方体是三维的。将上式的定义加以推广，就得到d不必一定是整数，它可以是分数，我们就把这样推广定义的维数称为分维（fractal），用字母"" 表示。对于规则的几何对象，可以使用统一的长度变换倍数L。而对于不规整的复杂体，如海岸线的长度，总长度与测量单位有关，为了得到精确的测量，不是把尺寸放大L倍，而是测量单位缩小为原来的ε倍，L＝１／ε，测量长度次数Ｎ随ε减小而增大，记为Ｎ（ε），这时分维定义为：。上式定义的分维称为容量维，又称为柯尔莫哥洛夫（Ａ.Ｎ.Kolmogorov）容量维。可以证明，拓扑维d和分维满足如下关系：d≤式中取等号是对普通规则几何对象而言的。容量维为非整数的典型的例子是康托集合。

如图示，考虑一闭合线段[0,1]，将其分成三等分，舍弃中段，剩下的两段

再分别三等分和舍弃中段，如此继续下去，最后剩下的点的总体就是康托集合。它是一种处处稀疏的对象（自相似结构），其拓扑维d=0，现在来求它的分维。当ε＝1/3，N=2；当ε

＝1/9，N=4；...亦即当时，N=。于是可得康托集合的容量维为由此可见康托集合满足关系d ≤D。奇怪吸引子的维数从一个侧面反映了说明此吸引子所必须的信息量，它是该系统中最重要和最主要的信息，对它的细致研究将有利于我们抓住问题的主要方面，更根本地分析和认识问题。

二、中学数学分形问题与分形几何学问题的例子

例1、将一个三角形的三边中点连结，挖去所得的小三角形；再将剩下的图形的各边的中点

连结，各得一个三角形，挖去所得三角形；如此继续下去，第七次总共可得多少个三角形（例如第二次挖去后，总共有13个三角形）？

第一次（4个）第二次（13个）第三次（40个）

这个问题就是分形几何学中所说的Sierpinski三角毯，在我们竞赛中是一个数列问题，而在分形几何中，它是一个规则的分形。其中白色的三角形共有（n为第n次挖取）。当然在分形几何中，所研究的不是三角形的个数，而是利用下述公式从测度的角度把规则图形的维度D确定为。这里的是测量单元的尺寸，是测度得到的规则图形的测量单元数。本例中=，=于是得到此分形图的容量维为

例2、如图，挖去线段中间的后，加上等边三角形的二边，形成四段等长线段组成的折线，如此无限地进行下去，形成处处连续、但处处不可微的Koch曲线。

在数学竞赛中，本问题是要求折线的条数。第n次变换后有条。但在分形几何中，用上述的公式可以计算此分形图的容量维为

例3、如图，这是著名的n级三分Koch岛，在我们的问题中，一是可能问及的问题是，每次三分后，边长如何变化；二是当其进行无限次等分后，其面积是多少。前者是数列通项问题，后者是数列与极限问题。在分形几何中，其容量维仍为。

例4、正方体27等分（沿三条棱三等分）成27个小正方体，挖去中心和6个面中心位置上总共6个小正方体，留下20个小正方体，如此无限进行，试求当进行到第n次时，有多少个小正方体。其容量维为多大？

此为分形几何中著名的Sierpinski-Menger海绵，其中正方体有个，其容量维为

上述几个例子说明了分形几何已经成为中学数学的一个问题源。这只是分形几何中与中学学习中最能让我们理解的几个问题，还有许多问题需要我们许多同行去研究挖掘。不难看出，这些问题还只是处于其最常见的变形为数列或几何问题，其基本数学思想还没有进入中学。某些地区已经将分形几何作为中学生学习内容，可以预见，分形几何不仅在内容上走进中学，其根本的思想也将在不久的未来进入中学课堂。学生经常问数列的一些问题是如何来的，一些立体几何问题为什么那么看起来无聊而又一再考试，这些都是应当看到和说明的。教师应当了解一点分形几何，从而拓宽自己的数学问题源，让自己的知识更加丰富，通过这些有趣的知识调动学生的学习积极性、激发学生的求知欲，这无疑是一个很好的选择。教师为学习分形几何可以参考的书有许多，笔者所阅读的书列于本文之后的参考资料。

参考资料：Thomas L.Pirnot 著Mathematics All Around 机械工业出版社，2003年1月第1版

孙霞等编著分形原理及其应用中国科技大学出版社，2003年10月第1版