初三学案图形在坐标系中的平移
11.2图形在坐标系中的平移教学设计
播放例题的多媒体课件，教师引导学生利用规律进行解答
活动5举一反三小结归纳
通过例题的学习，教师继续引导学生利用所学的知识解题，并小结图形的平移变换规律
活动6巩固练习畅谈收获
通过练习和对所学内容的回顾，加深对用坐标不服水土平移的知识的理解，渗透由具体到抽象的数学研究方法。
教学准备
学生
另外，“简记”只是为了学生更好地去记忆，所以教师应加以解释。
四、初显身手运用新知
前面是探索点的平移规律，若对一个图形进行平移，又该如何呢？我们结合例题解决：
如图，ΔABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）。
⑴将ΔABC的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点D、E、F，依次连接D、E、F各点，所ห้องสมุดไป่ตู้ΔDEF与ΔABC的大小、形状和位置有什么关系？
为了更好记忆，可简记为：“上下ｘ不变，左右ｙ不变；右上加，左下减。”
教师先让学生自己先独立完成填空（当然，确实有困难的，可向同学或老师求助），再与同桌说说这个“归纳”的具体意义。同时，为了更好地记忆，教师应引导学生用自己的语言来小结平规律。
培养学生的独立解决问题的能力或是与他人合作的能力，同时也培养学生语言叙述和表达能力。
直尺、三角尺、铅笔
教师
多媒体平台
教学过程
问题与情境
师生行为
设计意图
一、创设情境提出问题
１、前面我们学习了哪些与坐标有关的知识？
２、请大家组用坐标表示“第三组第二位，第三组第四位”，从而引导学生得出点的位置不同，它们的坐标也不同，因此，把一个点向左或向右平移时，点的坐标会变化吗？有什么规律？
教师提出问题，学生畅所欲言
学生既有分工，又有合作，所以能充分地调动他们的积极性。同时，同桌之间互相举例，培养他们养成与人合作的习惯。并且通过教师的抽查，能及时便于教师掌握学生的学习情况，以便于调节教学进度。
坐标系中点的平移教案
这是一篇关于坐标系中点的平移教案的文章，重点讲解了平移的概念和方法，以及它在坐标系中的运用。
希望本文能给初学者提供帮助，让他们更好地理解坐标系和平移。
一、引言在学习数学的过程中，坐标系是一个重要的概念和工具。
坐标系可以用来描述平面内的点和线，因此对于许多数学问题的解决都需要使用坐标系。
要理解坐标系，我们需要掌握一些基本的概念，其中一个关键概念就是平移。
平移是指将一个点或者一条线段沿着某个方向移动一定的距离，而不改变它的形状和大小。
在本文中，我们将详细介绍平移的概念和方法，并且讨论它在坐标系中的应用。
二、平移的概念和方法（一）平移的定义平移是指将一个点或一条线段沿着某个方向移动一定的距离，在保持它的形状和大小不变的同时，改变它在平面上的位置。
平移可以看作是将一个几何图形从一处平移到另一处，而不改变它的大小和形状。
平移可以有两种方式，一种是保持方向不变，只改变距离；另一种是保持距离不变，只改变方向。
这两种方式都是平移的基本方式。
（二）平移的性质平移具有以下性质：1.平移不改变图形的大小和形状。
2.平移改变图形的位置，但不改变其形状。
3.平移可以用平移向量来描述。
平移向量指的是从一个点到另一个点的向量。
4.平移向量可以用坐标来表示。
如果一个向量的起点坐标为（x1，y1），终点坐标为（x2，y2），则该向量可以表示为(x2-x1,y2-y1)。
（三）平移的方法平移的方法有很多种，下面介绍几种常用的平移方法：1.矩阵平移法：在二维结构中，平移操作通过矩阵乘法来实现。
平移操作的矩阵表示如下：（x’ y’ 1）=（1 0 tx）（x y 1）其中，(x,y)表示原始点的坐标，(x’,y’)表示平移后的点的坐标，tx表示平移向量的横向分量。
2.点位移法：点位移法是一种简单的平移方法，它通过把每个点的坐标都加上平移向量的分量来实现平移操作。
3.极坐标平移法：极坐标平移法是一种基于极坐标非常直观的平移方法。
它可以通过将图形转换为极坐标系来实现平移。
图形在坐标系中的平移
图形在坐标系中的平移第一篇：图形在坐标系中的平移12.2图形在坐标系中的平移教学目标1．知识与技能在同一坐标中，感受图形上的点的坐标与图形变化之间的关系。
2．过程与方法经历图形在坐标系中的平移过程，发展学生形象思维能力和树形结合意识。
3.情感、态度与价值观调动学生学习主动性，培养合作探究的意识，体会坐标系中的图形平移的实际应用价值。
重、难点与关键1.重点：探究点或图形的平移引起的坐标变化的规律另一个是研究图形上的点的坐标的某种变化引起的图形的平移变换。
2.难点：对图形的坐标中的平移变化的理解。
3.关键：注意留给学生足够的时间，使学生充分的活动起来，通过探究发现并总结规律，对于规律一、创设情境 1.复习回顾。
探究：根据下面条件画一副示意图，标出学校和小强家、小敏家、小刚家的位置。
小刚家：出校门向东走150m，再向北走200m.。
小强家：出校门向西走200m，再向北350m，最后向东走50m。
小敏家：出校门向南走100m，再向东走300m，最后向南走75m.选取直角坐标系的方法很多，在让在学生充分交流的基础是上，引导学生选择最优方案，那就是：选学校所在位置为原点，分别一正东，正北方向为X轴、Y轴正方向建立直角坐标系，并取比例尺1：1000（图中1cm相当于实际中10000cm即100m）。
依题目所给的已知条件，取得小刚家的位置是（150，200），类似地，小强和小敏家的位置分别是（－150，350）和（300，－175）。
2，教师归纳。
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：⑴建立直角坐标系,选择一个适当的参照原点确定X轴,Y轴的正方向.⑵依据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度.⑶在坐标平面的内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称.二、问题牵引，引入研究 1.思考问题如课本12—14,△ABC在坐标平面上平移后得到新图形∆A1B1C1，（1）移动的方向怎样？（2）写出△ABC与∆A1B1C1各点的坐标，比较对应点坐标，看有怎样的变化？（3）如果△ABC与向下平移2个单位，得到∆A2B2C2写出这时各顶点坐标，比较两者对应点坐标，看有怎样的变化？观察比较：对应点的纵坐标都不变,横坐标移动后改变了，即：将横坐标都减去5可得到移动后的点的坐标。
沪科版数学八年级上册11.2《图形在坐标系中的平移》教学设计
沪科版数学八年级上册11.2《图形在坐标系中的平移》教学设计一. 教材分析《图形在坐标系中的平移》是沪科版数学八年级上册第11.2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了坐标系和图形的坐标表示的基础上，进一步探究图形的平移变换。
通过本节内容的学习，使学生理解平移的性质，掌握平移的规律，能够将图形的平移运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了坐标系的基础知识，对图形的坐标表示有一定的理解。
但是，对于图形的平移变换，可能还存在一些困惑，如平移的方向、距离等。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考，自主探索图形的平移规律。
三. 教学目标1.理解平移的性质，掌握平移的规律。
2.能够运用平移变换解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力。
四. 教学重难点1.重点：平移的性质，平移的规律。
2.难点：如何将平移变换运用到实际问题中。
五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、操作、思考，自主探索图形的平移规律。
2.实例分析法：通过分析实际问题，让学生理解平移变换的应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示图形的平移变换过程。
2.练习题：准备一些有关图形平移的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的平移现象，如电梯上升、滑滑梯等，引导学生关注平移变换。
2.呈现（5分钟）讲解平移的定义，解释平移的方向和距离。
通过示例，演示图形的平移过程，让学生观察并理解平移的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组选择一个图形，探讨其平移规律。
学生可以自己动手操作，改变图形的位置，观察平移后的变化。
4.巩固（10分钟）出示一些有关图形平移的练习题，让学生独立完成。
教师及时给予反馈，帮助学生巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）让学生思考如何将平移变换运用到实际问题中。
出示一些实际问题，如建筑设计、游戏设计等，让学生尝试用平移变换解决问题。
沪科版数学八年级上册11.2《图形在坐标系中的平移》教学设计
沪科版数学八年级上册11.2《图形在坐标系中的平移》教学设计一. 教材分析《图形在坐标系中的平移》是沪科版数学八年级上册第11.2节的内容。
本节内容是在学生掌握了坐标与图形的基本知识、平行移动物体的坐标变化规律的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生掌握图形在坐标系中的平移规律，学会用坐标表示平移后的图形，并能够运用平移规律解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了坐标与图形的基本知识，对平行移动物体的坐标变化规律有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能对图形平移的理解不够深入，对平移后图形坐标的表示方法可能存在困惑。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、思考，从而深入理解图形平移的规律。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握图形在坐标系中的平移规律，学会用坐标表示平移后的图形。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，增强学生对数学学科的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：图形在坐标系中的平移规律，平移后图形坐标的表示方法。
2.教学难点：对图形平移规律的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设有趣的情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。
2.动手操作法：让学生通过实际操作，观察图形平移的过程，从而深入理解平移规律。
3.小组合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.启发式教学法：教师提出问题，引导学生思考，激发学生的求知欲。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示图形平移的过程。
2.教学素材：准备一些图形，用于让学生实际操作和观察。
3.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过创设一个有趣的情境，如“小猴子的香蕉树”，引起学生的兴趣，然后提出问题：“小猴子把香蕉树从原地向右平移了5米，香蕉树的位置发生了什么变化？”让学生思考并回答。
《图形在坐标系中的平移》示范教学方案
第十一章平面直角坐标系11.2 图形在坐标系中的平移一、教学目标1．使学生掌握平面直角坐标系中的点或图形平移引起的坐标变化规律.2．运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图.3．经历观察、分析、抽象、归纳等过程，经历与他人合作交流的过程，进一步发展数形结合思想与空间观念.二、教学重点及难点重点：认识直角坐标系，学会坐标系中的平移过程及其应用.难点：根据图形的平移过程，归纳出坐标的变化规律．三、教学用具多媒体课件．四、相关资源《棋盘》图片、《平移》图片、《习题1》图片、《习题2》图片．五、教学过程【课堂导入】教师提出问题：棋盘上推动棋子是否可以看成图形在平面上的平移？插入图片《棋盘》教师带领学生看课本12页11-13题目.总结规律：在平面直角坐标系中，描述平移的一个方法是用图形上任一点的坐标（x，y）的变化来表示.例如：右移两个单位，下移三个单位的平移记作（x，y）→（x+2,y-3）.设计意图：创设情境，通过学生熟知的象棋引入平移的概念，，引出平面直角坐标系中平移的知识，激发兴趣，增强学生的学习热情．本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了用坐标表示平移及平移的规律，并通过讲解实例巩固所学的知识点.若需使用，请插入微课【知识点解析】用坐标表示平移.【新知讲解】1．下面平面直角坐标系中点A的坐标是（，），点A向右平移4个单位后坐标是（，）；点A向左平移2个单位后的坐标是（，）；你能写出点A向右平移25个单位后的坐标是（，）吗？你发现点A平移前后横坐标、纵坐标有什么变化？能找出其中的规律吗？把你的重大发现与大家一起分享.学生思考问题.插入图片《平移》教师分享答案：-3，-1；1，-1；-5，-1；-28，-1；教师在学生回答的基础上讲解：沿x轴平移纵坐标不变；横坐标加上一个正数向右平移；横坐标减去一个正数，向左平移；沿y轴平移横坐标不变；纵坐标加上一个正数，向上平移；纵坐标减去一个正数，向下平移.设计意图：通过做题，带领学生认识平面直角坐标系中平移的规律．此图片是视频缩略图，本资源是坐标方法的简单应用的节前引入视频，通过确定地理位置,引出坐标方法的简单应用.若需使用，请插入【情景演示】用坐标表示平移的应用.2．已知平移方向与距离，确定平移后图形的位置．教师展示PPT上题目，引导学生观察：将三角形ABC向下平移5个单位，再向左平移3个单位后得到三角形A′B′C′，求三角形A′B′C′的顶点坐标.学生相互交流，得出正确答案.教师解析：A(3，5)→(3，0)→A′(0，0)，B(0，3)→(0，-2)→B′(-3，-2)，C(2，0)→(2，-5)→C′(-1，-5)．设计意图：通过习题，培养学生自主探究的学习习惯．插入图片《习题1》3．由坐标的变化确定平移过程．教师展示PPT上题目，引导学生观察：如图所示，在平面直角坐标系内，有一个平行四边形ABCD，点A的坐标是(0，2)．现将这个平行四边形平移，使点A落在点A′(5，-1)处，则此平移可以是()A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位教师归纳总结：由点A(0，2)变化到点A′(5，-1)可得出平移方向与距离，即由横坐标加5，纵坐标减3，得出此平移可以是先向右平移5个单位，再向下平移3个单位．所以答案为B.插入图片《习题2》设计意图：通过习题，学会做由坐标的变化确定平移过程的题．【典型例题】例1将点(1，2)向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是________．解：向左平移1个单位，横坐标减1，向下平移2个单位，纵坐标减2，于是点(1，2)变为(0，0)．故答案为(0，0)．设计意图：认识平面直角坐标中点的平移．例2小雨将平面直角坐标系中的三角形ABC进行平移，得到三角形A′B′C′，已知点A（2，-1）的对应点A′的坐标为（a，-4），点B（5，-2）的对应点B′的坐标为（3，b），则点C（a，b）的对应点C′的坐标为（）A．（3，-4）B．（-2，-8）C．（0，-5）D．无法确定解：∵点A（2，-1）的对应点A′的坐标为（a，-4），∴点A向下平移了3个单位，∵点B（5，-2）的对应点B′的坐标为（3，b），∴点B向左平移了2个单位，∴点A、B应该是先向下平移了3个单位，再向左平移了2个单位，∴a=2-2=0，b=-2-3=-5，∴-（0，-5），∴C′的坐标为（0-2，-5-3），即（-2，-8），故选：B．设计意图：通过练习，巩固已知平移方向与距离，确定平移后图形的位置的题型．【随堂练习】1.已知△ABC平移后得到△A1B1C1，且A1（﹣2，3），B1（﹣4，﹣1），C1（m，n），C（m+5，n+3），则A，B两点的坐标为（）A．（3，6），（1，2）B．（-7，0），（-9，-4）C．（1，8），（-1，4）D．（-7，-2），（0，-9）解：观察C1（m，n），C（m+5，n+3），发现平移时的坐标变化规律，再求A、B两点的坐标由C1到C，横坐标加5，纵坐标加3，B1C1到BC也遵循此规律，∴A点的坐标为（-2+5，3+3），B点的坐标为（-4+5，-1+3），即A（3，6），B（1，2）；故选A设计意图：通过学生对平面直角坐标系中平移练习，使教师及时了解学生对平移知识的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结1．在平面直角坐标系中，描述平移的一个方法是用图形上任一点的坐标（x，y）的变化来表示.例如：右移两个单位，下移三个单位的平移记作（x，y）→（x+2,y-3）.2．沿x轴平移纵坐标不变；横坐标加上一个正数向右平移；横坐标减去一个正数，向左平移；沿y轴平移横坐标不变；纵坐标加上一个正数，向上平移；纵坐标减去一个正数，向下平移.3.左右(上下)平移的距离，就是平移前后两点横(纵)坐标差的绝对值．设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象.七、板书设计11.2 图形在坐标系中的平移沿x轴平移纵坐标不变；横坐标加上一个正数向右平移；横坐标减去一个正数，向左平移；沿y轴平移横坐标不变；纵坐标加上一个正数，向上平移；纵坐标减去一个正数，向下平移.。
人教版九年级数学教案：22.1二次函数图像在坐标系中的平移
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数图像平移的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数图像平移的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
②向左平移：y=a(x-h)²+k → y=a(x-h-c)²+k，图像向左平移c个单位；
③向上平移：y=a(x-h)²+k → y=a(x-h)²+k+c，图像向上平移c个单位；
④向下平移：y=a(x-h)²+k → y=a(x-h)²+k-c，图像向下平移c个单位。
2.能够根据平移规律，解决实际问题，如物体运动轨迹的平移等。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数图像平移的基本概念。二次函数图像平移是指在不改变二次函数图像形状和大小的情况下，通过改变顶点的位置来实现图像在坐标系中的移动。它是二次函数图像性质的重要组成部分，对于解决实际问题具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次函数图像平移在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
4.数学运算：培养学生熟练运用二次函数图像平移的公式，进行符号运算和数值计算，提高数学运算素养。
5.数据分析：通过对二次函数图像平移过程中数据变化的观察和分析，培养学生数据分析的能力，形成严谨的科学态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
本节课的教学重点是使学生掌握二次函数图像在坐标系中的活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得相当顺利。我观察到，他们在讨论中能够主动思考，提出自己的见解，这对于培养他们的逻辑思维和团队合作能力非常有益。同时，我也发现有些小组在实验操作过程中遇到了一些困难，比如在实施多步骤平移时，部分学生对于平移顺序和计算方法不够清晰。这提示我，在今后的教学中，需要更加注重对这类难点的详细解释和反复练习。
坐标系中的平移操作教案
坐标系中的平移操作教案1.教学目标通过本教案的学习，学生将掌握坐标系中的平移操作，包括平移的概念、平移的方式、平移的规律及其基本性质。
同时，学生还将拓展对坐标系和平几何的认识，提高空间观念和图形处理能力。
2.教学重点(1) 平移的概念(2) 平移的方式(3) 平移的规律及其基本性质(4) 坐标系和平面几何的认识3.教学难点(1) 平移的规律及其基本性质的掌握(2) 如何运用平移方法对图形进行变换4.教学过程4.1.教学方法本课程采用“师生互动，学生主体”和“讲授、练习、实践”相结合的教学方式。
引导学生在教师的指导下，积极参与，主动思考，自主探索和合作学习。
通过讲解课堂练习、课外作业、实践演练等一系列活动，将平移操作的概念、方式、规律及其基本性质逐步深入地呈现给学生。
4.2.教学内容4.2.1.平移的概念平移是指将一个图形沿着一个方向移动一定的距离，而新图形仍然和原图形形状大小相同，位置不同，新旧图形之间存在着等量的对应关系。
平移的本质是求新坐标，即将原图形上每一点沿着平移方向移动相同的距离，即得到新图形上对应点的坐标。
4.2.2.平移的方式平移的方式有两种：向右平移和向上平移。
向右平移：向右平移会使该图形在坐标轴上向右移动x个单位。
向上平移：向上平移会使该图形在坐标轴上向上移动y个单位。
4.2.3.平移的规律及其基本性质(1) 平移是向量加法的一种表现形式。
(2) 平移是等量代换的一种形式。
(3) 平移是一种等距变换。
(4) 平移不改变图形的面积和形状，仅改变其位置。
4.2.4.坐标系和平面几何的认识平移是基于坐标系的平面几何学的一个重要概念。
学生在学习平移时，需要深入了解和掌握坐标系和平面几何的基本知识，包括直线、曲线、角度、面积等。
这将为学生后续学习几何学打下坚实的基础。
4.3.教学实践4.3.1.理论讲解教师可以通过详细介绍平移的概念、方式、规律、基本性质、坐标系和平面几何的关系等来引导学生逐步了解平移的本质和基本原理。
坐标的平移教案初中
坐标的平移教案初中教学目标：1. 知识与技能：理解坐标系中点的平移规律，能用坐标表示图形平移后的位置。
2. 过程与方法：通过观察、操作、猜想、归纳等数学活动，培养学生的探究能力和数形结合思想。
3. 情感态度价值观：感受数学与现实生活的联系，培养学生解决实际问题的能力。
教学重点：坐标系中点的平移规律。
教学难点：坐标系中图形平移的坐标表示。
教学准备：直角坐标系图，点、线段的平移图示。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习坐标系的基础知识，引导学生回顾点的坐标表示方法。
2. 提问：同学们，你们知道物体在平面直角坐标系中的位置是如何表示的吗？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解点的平移规律：（1）将点A（2，3）向右平移5个单位长度，得到点A1，引导学生观察坐标变化，发现横坐标增加5，纵坐标不变。
（2）将点A（2，3）向上平移4个单位长度，得到点A2，引导学生观察坐标变化，发现纵坐标增加4，横坐标不变。
（3）总结规律：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右平移a个单位长度，得到对应点（x+a，y）；将点（x，y）向上平移b个单位长度，得到对应点（x，y+b）。
2. 讲解图形的平移：（1）以正方形为例，引导学生观察正方形在坐标系中的平移过程，发现正方形的四个顶点坐标按照相同规律变化。
（2）引导学生归纳图形平移的坐标表示方法：将图形的每个顶点坐标按照平移规律进行变换，得到平移后的图形坐标表示。
三、课堂练习（15分钟）1. 请同学们完成教材P67的练习题，巩固点的平移规律。
2. 请同学们完成教材P68的练习题，巩固图形的平移规律。
四、总结与拓展（5分钟）1. 总结：本节课我们学习了坐标系中点的平移规律和图形的平移规律，能用坐标表示图形平移后的位置。
2. 拓展：思考一下，坐标系中的旋转是否也有类似的规律呢？下节课我们一起来探究。
教学反思：本节课通过观察、操作、猜想、归纳等数学活动，让学生掌握了坐标系中点的平移规律和图形的平移规律。
初中数学坐标平移讲解教案
初中数学坐标平移讲解教案教学目标：1. 理解坐标平移的概念，掌握坐标变化与图形平移的关系。
2. 能够利用点的平移规律将平面图形进行平移。
3. 根据图形上点的坐标的变化，判断图形的移动过程。
4. 发展学生的形象思维能力和数形结合的意识。
5. 培养学生探究的兴趣和归纳概括的能力。
教学重点与难点：1. 重点：掌握坐标变化与图形平移的关系。
2. 难点：利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习坐标的概念，回顾坐标轴上的点的表示方法。
2. 提问：上节课我们学习了用坐标表示地理位置，那么坐标还可以表示什么呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解坐标平移的概念，解释图形平移与坐标变化的关系。
2. 示例：以点A（2，3）为例，向右平移5个单位长度，向上平移4个单位长度，引导学生观察坐标的变化。
3. 引导学生发现平移规律：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（x-a，y））；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（x，y-b））。
三、练习与探究（15分钟）1. 让学生自主尝试一些平移问题，例如：将点B（4，-1）向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度，求得点B'的坐标。
2. 引导学生发现平移规律：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化。
四、应用与拓展（15分钟）1. 出示一些实际问题，让学生利用坐标平移的知识解决，例如：一个矩形ABCD，其中A （1，2），B（3，2），C（3，4），D（1，4），将矩形ABCD向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，求得新的顶点坐标。
2. 引导学生运用坐标平移的规律，将图形平移的过程转化为坐标的变化。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的坐标平移的知识，总结平移规律。
2. 提问：坐标平移在实际生活中有哪些应用？教学评价：1. 课后作业：布置一些有关坐标平移的练习题，巩固所学知识。
用坐标表示平移教案
用坐标表示平移教案一、教学目标：1. 让学生理解平移的性质，掌握平移在坐标系中的表示方法。
2. 培养学生运用坐标解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 培养学生的团队协作精神，提高学生的动手操作能力。
二、教学内容：1. 平移的定义及性质2. 坐标系中平移的表示方法3. 平移在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：平移的性质，坐标系中平移的表示方法。
2. 教学难点：平移在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解平移的定义及性质，引导学生理解平移的概念。
2. 采用案例分析法，分析坐标系中平移的表示方法，让学生学会运用坐标解决实际问题。
3. 采用小组讨论法，让学生在团队合作中探索平移在实际问题中的应用。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如滑滑梯、拉抽屉等，引导学生感受平移现象。
2. 新课讲解：讲解平移的定义及性质，让学生理解平移的概念。
3. 案例分析：分析坐标系中平移的表示方法，让学生学会运用坐标解决实际问题。
4. 小组讨论：让学生在团队合作中探索平移在实际问题中的应用。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，拓展学生的知识视野。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对平移概念的理解程度，以及是否能熟练运用坐标表示平移。
2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度，以及他们的合作意识和解决问题的能力。
3. 课后作业：通过课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学内容的掌握程度。
七、教学资源：1. 教学PPT：展示平移的定义、性质和坐标表示方法。
2. 坐标纸：用于让学生在实际操作中体验平移。
3. 课后作业：提供具有不同难度的题目，以适应不同学生的需求。
八、教学进度安排：1. 第一课时：讲解平移的定义及性质。
2. 第二课时：分析坐标系中平移的表示方法。
3. 第三课时：探索平移在实际问题中的应用。
4. 第四课时：总结本单元内容，布置课后作业。
11.2 图形在坐标系中的平移1.(一课时)doc
孙疃中心学校”st”互助学习“三步九环节”学案年级八学科数学主备教师郜小毛审核人年级组长签名班级姓名时间【研学目标】1、掌握图形在平移过程中各点坐标的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上平移的实质就是点坐标的对应变换。
2、运用图形在直角坐标系中平移的点坐标的变化规律进行简单的平移。
3、经历观察、分析、抽象、归等过程，经历与他人合作交流的过程，进一步发展数形结合思想与空间观念【研学重点】掌握用坐标的变化规律来描述平移的过程。
【研学难点】根据图形的平移过程，探索、归纳出坐标的变化规律。
【研学过程】一、自学质疑1.请仔细阅读教科书P12-14。
2. 师友交流预学案。
3.小组展示本节课的质疑问题，师板书。
二、合作探究1.情境导入（1)问题1：同学们会下象棋吗？棋子“车”在棋盘上移动时，什么在变，什么不变？（2）揭示并板书：图形在坐标系中的平移2.探究活动【活动1】探索图形在平移过程中各点坐标的变化规律：如图，△ABC在坐标平面内平移后得到新图形△A1B1C1（1）移动的方向怎样？（2）完成下表并比较对应点坐标，班级姓名时间1、把点M(3,－2)向上平移3个单位得到点M1,则点M1的坐标是 _，点M1在_ 象限；2、小雪将直角坐标系中猫的图案向右平移了3个单位长度，平移前猫眼的坐标为（－4，3）和（－2，3），则平移后猫眼的坐标为和；3、若使三角形ABC的三个顶点在直角坐标系中的纵坐标保持不变，横坐标增加3个单位，则三角形ABC的平移方向是（）A. 向左平移3个单位B. 向右平移3个单位C. 向上平移3个单位D. 向下平移3个单位4、将点P (x,y)先左移3个单位，再下移2个单位，则所得点的坐标是（，）5、将一个图形作平移变换(x,y)→(x+1, y－4)，则该图形的平移路径是（）A. 先左移1个单位，后上移4个单位B. 先左移1个单位，后下移4个单位C. 先右移1个单位，后下移4个单位D. 先右移1个单位，后上移4个单位6、一个图形上有两个点A、B，A（1，2）平移到Aˊ（3，5）、B（1，2）经过平移之后，Bˊ的坐标是7、某点向右平移5个单位，再向下平移3个单位到达原点，则该点原来的坐标为________.9、.A点向下平移了3个单位长度，得到B（3，-2），则平移前A的坐标为10．将点P (x-1,y)先左移2个单位，再上移2个单位，则所得点的坐标是11、.如图：（1）三角形ABC三个顶点坐标分别是A________，B________，C________．（2）将三角形ABC三个顶点的横坐标减去3，纵坐标不变，分别得到点A1________、B1________、C1________；依次连接A1、B1、C1各点，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？（3）将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去2，横坐标不变，分别得到点A2________、B2________、C2________，依次连接A2、B2、C2各点，所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？（4）画出（2）、（3）平移后的图形．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
坐标系中的点沿x轴,y轴的平移 精品学案
3.1 图形的平移第2课时坐标系中的点沿x轴，y轴的平移【学习目标】1、经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能。
2、对组合图形要找到一个或者几个“基本图案”。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：平移图形的规律，作图的顺序；难点：平行线的作法及对应点的连结。
【学习过程】模块一预习反馈一、学习准备1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿着移动的距离，这样的图形运动叫平移。
平移不改变图形的和，改变的是位置。
2、平移的性质：（1）平移前后的两个图形、一样。
（2）经过平移，对应点所连线段____________；对应线段______________；对应角________。
3、阅读教材：P68—P69第1节《图形的平移》二、教材精读4、图形的坐标变化与平移例1将图中“鱼”向右平移5个单位长度，画出图形。
解：原来各顶点坐标分别为（）、（）、（）、（）、（）、（）。
平移后各顶点坐标分别为（）、（）、（）、（）、（）、（）。
描点、连线如图所示，对应点的坐标间的关系 ________________________。
实践练习：（1）将上题中的“鱼”向左平移3个单位长度，在第一个方格中画出图形。
（2）将上题中的“鱼”向上平移3个单位长度，在第二个方格中画出图形。
归纳：（1）在平面直角坐标系中，一个图形沿X轴方向平移a（a＞0）个单位长度，①向右平移时，原图形对应点的___坐标分别加a，___坐标保持不变。
②向左平移时，原图形对应点的___坐标分别减a，___坐标保持不变。
（2）在平面直角坐标系中，一个图形沿Y轴方向平移b（b＞0）个单位长度，①向上平移时，原图形对应点的___坐标分别加b，___坐标保持不变。
②向下平移时，原图形对应点的___坐标分别减b，___坐标保持不变。
模块二合作探究5、如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。
【学案】 图形在坐标系中的平移.doc(2)
11.2 图形在坐标系中的平移学校： 班级：小组：姓名：学习目标：1、理解点的坐标变化与图形移动之间的内在联系；2、使学生经历图形在坐标系中的平移过程，理解“数形结合”；体会坐标系中的图形平移的实际应用价值。
学习重点：探究点或图形平移引起的的坐标的变化规律。
学习难点：如何正确理解图形在坐标系中的平移变换。
学习过程： 一、知识回顾1、温度的变化是人们经常谈论的话题。
请你根据右图，讨论某地某天温度变化的情况：⑴上午9时的温度是 度 12时的温度是 度 ⑵这一天最高温度是 度， 是在 时达到的； 最低温度是 度， 是在 时达到的， ⑶这一天最低温度是 ℃， 从最低温度到最高温度经过了 小时；⑷温度上升的时间范围为 ，温度下降的时间范围为⑸图中A 点表示的是 ，B 点表示的是 ⑹你预测次日凌晨1时的温度是 。
2、在平面直角坐标系中，描出下列各点，并将 各点用线段依次连接起来：（1，1） （2，3） （3，1） （4，3） （5，1） 观察得到的图形，你觉得它像什么？ 二、自主学习1、坐标系中“平移”的探究已知A （-1，3），①若把它的纵坐标加2，那么该点将向平移个单位；②若把它的横纵坐标减4，那么该点将向平移个单位。
（借助坐标系分析）时间/时温度/cBA37353331292725232421181512963YX76543211234562、通过上题的结论，请你思考一下坐标系中点的平移与坐标变化之间的关系，试填空：（1）点的横坐标每增加1个单位，那么这个点将向移动1个单位。
（2）点的横坐标每减少1个单位，那么这个点将向移动1个单位。
（3）点的纵坐标每增加1个单位，那么这个点将向移动1个单位。
（4）点的纵坐标每减少1个单位，那么这个点将向移动1个单位。
（5）已知点P（-3，5），如果把它向上平移6个单位，再向左平移4个单位，得到点Q，则Q点的坐标是。
3、在下图中，把△平移，使平移后△的顶点A和D重合，请你画出平移后的图形，并指出平移后另外两点的坐标，试计算平移前后两个三角形的面积，有变化吗？4、如图：铅笔图案的五个顶点的坐标分别是（0，1）（4，1）（5，1.5）（4，2）（0，2），将图案向下平移2个单位长度，作出相应图案，并写出平移后相应5点的坐标。
教学设计.2图形在坐标系中的平移 教学设计
11.2图形在坐标系中的平移一、教学内容本节主要学习平面上图形平移的方法，进一步理解图形平移的内涵，会写出平移前后图形上任一点的坐标，给出变化的点坐标能够知道点的移动路径与距离，进一步发展学生数形结合思想与空间观念。
二、教学目标知识与技能1、能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换。
2.在同一坐标中，感受图形上的点的坐标与图形变化之间的关系。
过程与方法1.经历图形在坐标系中的平移过程，发展学生形象思维能力和数形结合意识。
2、运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图情感、态度与价值观1.调动学生学习主动性，培养合作探究的意识，体会坐标系中的图形平移的实际应用价值。
2.经历观察、分析、抽象、归纳等过程，经历与他人合作交流的过程，进一步发展数形结合思想与空间观念，培养合作交流能力。
三、教学重点坐标平面内图形左、右或上、下平移后对应点的坐标关系，感受点在坐标系中的平移过程及其应用。
四、教学难点利用平移后对应点间的坐标关系，分析已知图形的平移变换。
五、教学关键：图形的平移过程与相应点坐标的变化规律之间的关系。
六、教学准备：多媒体教学课件、三角尺七、教学方法：探讨、合作八、教学过程：（一）回顾旧知：1.什么是平移？平移的要素？平移后得到的新图形与原图形有什么关系？2.A是数轴一个点表示数5，现在我们把A往右平移3个单位得到B，向左平移2个单位得到C，你能说出B和C各表示什么数吗？B是_______, C是_________。
3.你是如何得到的呢？（二）共同探究新知1.观察：说出图中三角形ABC的顶点A,B,C的坐标。
平移三角形ABC后得到新图形三角形A1B1C1，问：（1）是怎样移动的？（2)说出A1 B1 C1各点的坐标。
3.总结原图形上的点(x ,y ) (x —a ,y )；原图形上的点((x ,y ) (x +a ,y )；4.练习在坐标中描出点A （-2，-3）并进行如下平移：（1）将点A 向右平移5个单位长度得到点A1，则 点A1点的坐标是（2）将点A 向左平移6个单位长度得到点A2，则 点A2点的坐标是（3）将点A 向右平移a(a>o)个单位长度得到点An 则点An 点的坐标是（4）将点A 向左平移a(a>o)个单位长度得到点An ´，则 点An ´点的坐标是5. 将三角形ABC 向下平移2个单位后得到新图形三角形A2 B2 C2， 说出A2 B2 C2各点的坐标。
《图形在坐标中的平移》word优质课获奖教案(省优)
按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。
2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。
从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。
本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
12.2图形在坐标系中的平移一、教学内容在同一坐标系中，感受图形上的点的坐标与图形变化之间的关系二、教学目标1、能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的变换，掌握图形在平移过程中各点坐标的变化规律，理解图形在平面坐标系上的平移实质上就是点坐标的对应变换；2、运用图形在直角坐标系中平移的点坐标的变化规律进行简单的平移作图；3、经历观察、分析、抽象、归纳等过程，经历与他人合作交流的过程进一步发展数形结合的思想与空间观念。
三、教学重点掌握用坐标系的变化规律来描述平移的过程四、教学难点根据图形的平移过程，探索、归纳出坐标的变化规律五、教学关键通过探究发现并总结规律，让学生在坐标系中，结合图形的变换理解得出的结论。
六、教学准备多媒体、三角板及相关资料七、教学方法：探究、启发教学八、教学过程（一）创设情境（多媒体显示）1、平移的概念（提问学生，强调方向和距离）2、同学们会下棋吗？棋子的移动，什么在变，什么不变？那么在棋盘上推动棋子是否可以看成图形在平面上的平移？（二）问题导入，新课讲解探索图形在平移过程中各点坐标的变化规律。
第13页思考题（多媒体显示）师：引导学生讨论、分析；生：与同伴交流回答问题。
（教师指正）发现：第（2）题对应点的纵坐标都不变，横坐标变了，将横坐标都减去5即可；第（3）题对应点的横坐标都不变，纵坐标变了，将纵坐标都减去2即可。
师：把三角形ABC向左或向上移动1个单位，点坐标又将怎样的变化？生：讨论回答问题师生共同归纳出平移规律：（1）三角形的平移，是通过三角形任意一点坐标的变化而得到的；（2）在直角坐标系中，沿横轴平移，图形上每一点的纵坐标不变，而横坐标增减，简记“左减右加”；沿纵轴平移，横坐标不变，纵坐标增减，简记“上加下减”。
11.2图形在坐标系中的平移学案
11．2图形在坐标系中的平移
感知考点1点在平面直角坐标系中的平移：
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a(a>0)个单位，可以得到对应点____或____；将点(x，y)向上或向下平移b(b>0)个单位，可以得到对应点____或___．
预习练习1－1(2016·长沙)若将点A(1,3)向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为()
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(－1，－1) D．(－2,0)
预习练习1－2将点P向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到P′(－4,2)，则点P的坐标是____．
感知考点2图形在平面直角坐标系中的平移
在平面直角坐标系中，图形向右或向左平移n个单位，则图形上各点的纵坐标____，横坐标加上或减去____(n＞0)；图形向上或向下平移n个单位，则图形上各点的____不变，____加上或减去n个单位(n＞0)(简记为“左负右正x，上正下负y”)；所得图形与原图形相比，面积大小不变．
预习练习2－1(2016·安顺)如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是()
A．(－2，－4) B．(－2,4)
C．(2，－3) D．(－1，－3)。
【教育资料】11.2 图形在坐标系中的平移 教案学习专用
11.2图形在坐标系中的平移◇教学目标◇【知识与技能】1.能在平面直角坐标系中用坐标的方法研究图形的变换,掌握图形在平移过程中各点坐标的变化规律,理解图形在平面直角坐标系上的平移实质上就是点坐标的对应变换;2.运用图形在平面直角坐标系中平移的点坐标的变化规律进行简单的平移作图.【过程与方法】经历观察、分析、抽象、归纳等过程,经历与他人合作交流的过程.【情感、态度与价值观】让学生发现数学与图形的平移、物体的运动等有实际意义的事情之间的关系,体会数学在现实生活中的用途.◇教学重难点◇【教学重点】掌握用坐标系的变化规律来描述平移的过程.【教学难点】根据图形的平移过程,探索、归纳出坐标的变化规律.◇教学过程◇一、情境导入(1)平移的概念是什么?(2)下象棋时,棋子的移动,什么在变,什么不变?在棋盘上推动棋子是否可以看成图形在平面上的平移?二、合作探究1.2.探究图形的平移与其坐标变化的关系:(1)左、右平移:原图形上的点(x,y)(x a,y);原图形上的点(x,y)(x a,y).(2)上、下平移:原图形上的点(x,y)(x,y b);原图形上的点(x,y)(x,y b).3.归纳出平移规律:(1)三角形的平移,是通过三角形任意一点坐标的变化而得到的.(2)在平面直角坐标系中,沿横轴平移,图形上每一点的纵坐标不变,而横坐标增减,简记为“左减右加”;沿纵轴平移,横坐标不变,纵坐标增减,简记为“上加下减”.(3)“左减右加,上加下减”也可这样理解:按x轴(y轴)正方向平移,则横(纵)坐标加上平移的单位数量,按x轴(y轴)负方向平移,则横(纵)坐标减去平移的单位数量.典例1如图,将三角形ABC先向右平移6个单位,再向下平移2个单位得到三角形A1B1C1,写出各顶点变动前后的坐标.[解析]用箭头代表平移,有→A1(4,4),B(-4,4)→(2,4)→B1(2,2),C(1,1)→(7,1)→C1(7,-1).将三角形ABC先向左移动3个单位,再向上移动2个单位,得到三角形A2B2C2,写出三角形A2B2C2的各顶点坐标.[解析]点A2(-5,8),点B2(-7,6),点C(-2,3).典例2说一说,下列由点A到点B是怎样平移的?(1)A(x,y)→B(x-1,y+2);(2)A(x,y)→B(x+3,y-2);(3)A(x+3,y-2)→B(x,y).[解析](1)将点A先向左平移1个单位,再向上平移2个单位,即可得到点B.(2)将点A先向右平移3个单位,再向下平移2个单位,即可得到点B.(3)将点A先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,即可得到点B.三、板书设计图形在坐标系中的平移1.点的平移与坐标的变化.2.图形的平移与其坐标变化的关系.3.平移规律.◇教学反思◇本节课的主要内容是平移的变化规律“左减右加”“上加下减”,让学生在理解的基础上加以消化掌握,不能死记硬背,只要正确作出图形即可知道变化情况.方位角和距离的讲解要补充并强化.教学时注重与中考知识点链接,训练学生的逆向思维能力.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图形在坐标系中的平移
学习目标：掌握坐标平面内图形平移的规律 一、学前准备：
1.A 是数轴一个点表示数5，现在我们把A 往左平移3个单位得到B ，向右平移2个单位得到C ，你能说出B 和C 各表示什么数吗？B 是_______, C 是_________。
2.在下列直角坐标系中找点A （-2,1）， （1）将点A 的横坐标加3，纵坐标保持不变，得到点1A ,点1A 与点A 相比有什么变化？
（2）将点A 沿Y 轴方向向下平移3个单位长度，点A 的横坐标，纵坐标分别有什么变化？写出平移后得到的点2A 的坐标
二、 学习新知
1、将直角坐标系中的点沿X 轴方向向右（向左）平移，平移之后的点的坐标有什么变化？ 请你探究点的平移与坐标的变化
2、探究图形的平移与其坐标的变化 (1) 左、右平移：
原图形上的点(x ,y ) (x ___a , y )；
原图形上的点((x ,y ) (x ___a , y )；
向右平移a 个单位长度位
向左平移a 个单位长度
(2) 上、下平移：
原图形上的点(x ,y ) (x ,y ___b )； 原图形上的点(x ,y ) (x ,y ___b ).
三、典型例题
例题2.已知三角形ABC 的三个顶点坐标分别是A （-3，-1），B
（-2，-3），C （-1，-2） （1）请将三角形ABC 的图形画在图1中
（2）将三角形三个顶点的横坐标都加3，纵坐标不变，得到三角形 ，在图2中画出这个图形 （3）将三角形的三个顶点的纵坐标都加2，横坐标不变，得到三角形 ，在图3中画出图形
图1 图2 图3
例题1.已知点A 的坐标是（-3,4），点B 的坐标是（3,2），将线段AB 沿X 轴的方向向左平移4个单位长度，得到线段'
'
B A ,分别求出点'
A 和'
B 的坐标，并画出线段'
'
B A
向上平移b 个单位长度
向下平移b 个单位长度
四、合作探究
1．如图，将三角形ABC 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形A 1B 1C 1，
并写出点A 1、B 1、C 1的坐标。
2.如图，在直角坐标中，△ABC 经过平移后得到△DEF 和△MNG 。
已知点A ，B ，C ，F ，N 的坐标分别是（-3，5），（-5,2），（-1,3），（4,3），（-5，-3）。
求点D,E,M,G 坐标，并画出△DEF 和△MNG
五、跟踪练习
1.已知点A 的坐标为（－2，－3），分别求点经下列平移变换后所得的像的坐标。
(1)向上平移3个单位 （2）向下平移3个单位
(3)向左平移2个单位 （4）向右平移4个单位
(5)先向右平移3个单位，再向下平移3个单位
2、线段AB 是由线段CD 平移得到的，点A （－1，4）的对应点为C （4，7），则点B （－4，－1）的对应点D 的坐标为________。
3、在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都减去3，•则得到的新三角形与原三角形相比向_______平移了3个单位长度．
4、已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （－1，4）,B （－4，－1）,C （1，1），将△ABC 平移后得△111A B C ，若1A 的坐标为（4，3），求1B 和1C 的坐标并求出△111A B C 的面积。
六、作业：课本85页随堂练习，习题4.3。