山东省潍坊市昌乐二中2016届高三上学期期中数学模拟试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年山东省潍坊市昌乐二中高三（上）期中数学模拟试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁R B）∪A等于（）A．R B．（﹣∞，0）∪1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]∪（2，+∞）2．已知，若共线，则实数x=（）A． B．C．1 D．23．函数的定义域是（）A．B． C．D．4．已知角α的终边经过点P（﹣1，2）），则的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣5．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m6．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣27．△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A． B． C． D．8．下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．若向量满足，则与的夹角为钝角D．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件9．已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A． B．C．D．10．若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，2]二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．对任意x∈R，|x+1|+|x+3|≥a恒成立，则实数a的取值范围为．12．函数的图象，其部分图象如图所示，则f（x）=．13．已知函数f（x）=lnx+x﹣3的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为．15．有下列命题：①的图象关于直线x=对称；②y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2x+a=0有且仅有一个实根，则a=±1；④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有一个．其中真命题的序号是．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知命题p：f（x）在R上为偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且有f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3）成立；命题q：不等式x2+2ax+2a≤0有解，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a﹣c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．18．已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•，求数列{b n}的前n项和S n．19．已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．20．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．21．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2015-2016学年山东省潍坊市昌乐二中高三（上）期中数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁R B）∪A等于（）A．R B．（﹣∞，0）∪1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]∪（2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】化简A、B，求出∁R B，再计算（∁R B）∪A．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＜0或x＞2}=（﹣∞，0）∪（2，+∞），B={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，∴∁R B={y|y≤1}=（﹣∞，1]，∴（∁R B）∪A=（﹣∞，1]∪（2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了集合之间的基本运算问题，解题时应按照集合之间的运算法则进行计算即可，是基础题．2．已知，若共线，则实数x=（）A． B．C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题．【分析】利用向量共线时，坐标之间的关系，我们可以建立方程就可求实数x的值【解答】解：∵，∴∵与共线，∴1×1﹣2×（1﹣x）=0∴x=故选B．【点评】向量共线时坐标之间的关系，与向量垂直时坐标之间的关系是我们解决向量共线、垂直的一种方法．3．函数的定义域是（）A．B． C．D．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的及诶小时可得可得，解方程组求得x的范围，即为所求．【解答】解：由函数，可得．解得﹣＜x＜2，故选B．【点评】本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题．4．已知角α的终边经过点P（﹣1，2）），则的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】先根据题意求得tanα的值，进而利用正切的两角和公式求得答案．【解答】解：由题意知tanα=﹣2，∴===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用．属于基础题．5．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；应用题．【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB【解答】解：由正弦定理得，∴，故A，B两点的距离为50m，故选A【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生对基础知识的综合应用．6．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选C【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．7．△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A． B． C． D．【考点】平面向量的综合题．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选D【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．8．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若x 2+y 2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x ，y 中至少有一个不为0，则x 2+y 2≠0”B ．若命题，则￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0C ．若向量满足，则与的夹角为钝角D ．△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的充要条件 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】转化思想；分析法；简易逻辑．【分析】A ．利用逆否命题的定义及其实数的性质即可判断出； B ．利用￢p 的定义即可判断出；C ．由于，则与的夹角为钝角或为平角，即可判断出正误；D ．△ABC 中，利用正弦定理可得sinA ＞sinB=a ＞b ⇔A ＞B ，即可判断出正误．【解答】解：A ．“若x 2+y 2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x ，y 中至少有一个不为0，则x 2+y 2≠0”，正确； B ．命题，则￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0，正确；C ．向量满足，则与的夹角为钝角或为平角，因此不正确；D ．△ABC 中，sinA ＞sinB=a ＞b ⇔A ＞B ，因此正确． 故选：C ．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、向量的夹角公式、正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A． B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选A．【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．10．若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，2]【考点】函数最值的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由基本不等式，算出函数y=在区间（0，2]上为增函数，得到t=2时，的最大值为；根据二次函数的性质，算出t=2时的最小值为1．由此可得原不等式恒成立时，a的取值范围是[，1]．【解答】解：∵函数y==+，在t∈（0，2]上为减函数∴当t=2时，的最小值为1；又∵≤=，当且仅当t=3时等号成立∴函数y=在区间（0，2]上为增函数可得t=2时，的最大值为∵不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，∴（）max≤a≤（）min，即≤a≤1可得a的取值范围是[，1]【点评】本题给出不等式恒成立，求参数a的取值范围．着重考查了基本不等式、函数的单调性、函数最值的求法和不等式恒成立的处理等知识，属于中档题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．对任意x∈R，|x+1|+|x+3|≥a恒成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，2]．【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】设f（x）=|x+1|+|x+3|，由绝对值不等式的性质，可得|x+1|+|x+3|≥|（x+1）﹣（x+3）|=2，即有f（x）的最小值为2，再由恒成立思想即为a≤f（x）=|x+1|+|x+3|的最小值，可得a 的范围．【解答】解：设f（x）=|x+1|+|x+3|，由绝对值不等式的性质，可得|x+1|+|x+3|≥|（x+1）﹣（x+3）|=2，当且仅当（x+1）（x+3）≤0，即﹣3≤x≤﹣1时，取得等号．则f（x）的最小值为2，由任意x∈R，|x+1|+|x+3|≥a恒成立，即为a≤f（x）=|x+1|+|x+3|的最小值，则a≤2．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用构造函数法，由绝对值不等式的性质求得最值，属于中档题．12．函数的图象，其部分图象如图所示，则f（x）=2sin（x﹣）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由函数f（x）的图象可得A=2，=•=﹣，求得ω=1，在根据五点法作图可得1×+φ=0，求得φ=﹣，故f（x）=2sin（x﹣），故答案为：．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．13．已知函数f（x）=lnx+x﹣3的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=2．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】先判断该函数为增函数，再确定f（2）和f（3）的符号，进而得出函数的零点所在的区间．【解答】解：f（x）=lnx+x﹣3的定义域为（0，+∞），且f（x）在定义域上单调递增，又∵f（2）=ln2+2﹣3=1﹣ln2＜0，且f（3）=ln3＞0，∴f（2）•f（3）＜0，因此，函数f（x）的零点在区间（2，3）内，所以，n=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了函数零点的判定定理，涉及对数函数的单调性和数值大小的比较，属于基础题．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．有下列命题：①的图象关于直线x=对称；②y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2x+a=0有且仅有一个实根，则a=±1；④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有一个．其中真命题的序号是①④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】化简函数的解析式，结合余弦函数的对称性，可判断①；分析出函数对称中心坐标，可判断②；根据一元一次方程也只有一个实根，可判断③；判断三角形解的个数，可判断④．【解答】解：①=（cos2x﹣sin2x）=cos2x，当x=时，y取最小值，故函数的图象关于直线x=对称，故正确；②y==+1的图象由y=的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，故关于点（1，1）对称，故错误；③关于x的方程ax2﹣2x+a=0有且仅有一个实根，则a=±1，或a=0，故错误；④AC=，∠B=60°，AB=1时，sin∠C=且∠C＜∠B，此时三角形只有一解，故正确．故正确的命题有：①④，故答案为：①④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的对称性，类一元二次方程根的个数，解三角形等知识点，难度中档．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知命题p：f（x）在R上为偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且有f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3）成立；命题q：不等式x2+2ax+2a≤0有解，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】假设p真，由偶函数的性质可得f（x）在（0，+∞）上递减，f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），可得2a2+a+1＞2a2﹣2a+3，解不等式可得a的范围；假设q真，可得判别式不小于0，解不等式可得a的范围；再由“p或q”是假命题，可得p假q假，可得不等式组，解得a的范围即可．【解答】解：若p真，有2a2+a+1=2（a+）2+＞0，2a2﹣2a+3=2（a﹣）2+＞0，由f（x）在R上为偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，可得f（x）在（0，+∞）上递减，由f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），可得2a2+a+1＞2a2﹣2a+3，解得a＞；若q真，不等式x2+2ax+2a≤0有解即为△≥0，即有4a2﹣8a≥0，解得a≥2或a≤0．由命题“p或q”是假命题，可得p假q假，即有，解得0＜a≤．则实数a的取值范围是（0，]．【点评】本题主要考查命题的真假和运用，考查函数的性质和运用，考查不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a﹣c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．【考点】余弦定理的应用．【专题】方程思想；综合法；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用余弦定理化简整理，再由特殊角的三角函数值，即可得到所求角B；（Ⅱ）运用余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，结合基本不等式即可得到a+c的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴b2﹣c2=a2﹣ac∴b2=a2+c2﹣ac，∴，又∵；（Ⅱ）∵b2=a2+c2﹣2accosB，∴1=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，∵当且仅当a=c时等号成立，∴，即a+c≤2．即有a+c的最大值为2．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查运用基本不等式求最值的方法，以及运算化简能力，属于中档题．18．已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由b n=a n•=（2+1）•，利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=2n+1．（2）b n=a n•=（2+1）•，∴+…+（2n+1）•，①∴=+…+，②①﹣②，得：=++…+﹣（2n+1）•=+﹣（2n+1）=，∴S n=5﹣．【点评】本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用张弦函数的定义域和值域，求得g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x））==2cosωx（sinωx﹣cosωx）﹣2+3=sin2ωx﹣cos2ωx=，∵，∴．令，求得f（x）的增区间为．（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象；然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）=sin（4x+）的图象，故，∵，、∴，故函数g（x）的值域是．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．20．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．【解答】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．【点评】考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．21．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．【考点】数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．【解答】解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（Ⅱ）中通过求h′（x）后，转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（Ⅲ）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．。