高三年级数学上学期第二次月考试题
三明一中2022-2023学年上学期月考二高三数学科试卷含答案
三明一中2022-2023学年上学期月考二高三数学科试卷（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}{}22,3,4,230A B x x x ==∈+-<N ，则A B 中元素的个数是A.2B.3C.4D.52.复平面内表示复数622iz i+=-，则z =A. B. C.4 D.3.若非零实数,a b 满足a b >，则A.22ac bc> B.2b a a b+> C.e1a b-> D.ln ln a b>4.函数()cos f x x x =的图像大致是A ．B ．C ．D ．5.如图，在矩形ABCD 中，2AD =，点M ，N 在线段AB 上，且1AM MN NB ===，则MD 与NC所成角的余弦值为A ．13B ．45C ．23D ．356.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某“鞠”的表面上有四个点,,,P A B C ，满足1,PA PA =⊥面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则该“鞠”的体积的最小值为A.256π B.9π C.92π D.98π7.如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则22S =A.361B.374C.385D.3958.在ABC 中，角A、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c A =，b a λ=，则实数λ的最大值是A.B．32+C．D．2二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省名校2023届高三上学期第二次月考数学试题
数学（二）试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1+3i1+i 在复平面内对应的点的坐标为（）A.()2,4 B.()4,2 C.()1,2 D.()2,12.设集合{}=Z 2U x x ∈≤，{}1,0,1A =-，{}0,1B =，则()U A B = ð（）A.{}2,1,0,1,2-- B.{}1,0,1- C.{}1- D.{}1,0-3.某游泳馆统计了10天内某小区居民每日到该游泳馆锻炼的人数，整理数据，得到如下所示的折线图.则根据此折线图，下面结论正确的是（）A.这10天内，每日游泳人数的极差大于106B.这10天内，每日游泳人数的平均值大于135C.这10天内，每日游泳人数的中位数大于145D.前5天每日游泳人数的方差小于后5天每日游泳人数的方差4.一个礼堂的座位分左、中、右三组，左、右两组从第一排到最后一排每排依次增加1个座位，中间一组从第一排到最后一排每排依次增加2个座位，各组座位具有相同的排数，第一排共有16个座位，最后一排共有52个座位，则该礼堂的座位总数共有（）A.442个B.408个C.340个D.306个5.已知1sin 23β=，()()2sin sin 3αβαβ++-=，则sin α=（）A.37B.38 C.37- D.38-6.已知0.11.1a-=，ln 3b =，c =，则（）A.a b c<< B.a c b<< C.c a b<< D.c b a<<7.已知双线()222210,0:6x y C a ba =>>=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点M 在C 的右支上运动，12MF F 的内心为I ，若2IO IF =，则C 的离心率为（）A.2B.C.3D.8.已知1x ，2x 是方程e ln a x x =的根，且12x x <，则下列结论正确的是（）A.(],1a ∈-∞- B.()10,1x ∈ C.21,e ex ⎛⎫ ⎪⎝⎭∈ D.122x x +>二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分9.在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =，则下列结论正确的是（）A.1BC 与11A B 的夹角为45°B.1BC 与平面ABC 所成角为45°C.1BC 与1AA 的夹角为45°D.1BC 与平面11ABB A 所成角为45°10.已知椭圆22:195x y E +=的左焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，则下列说法正确的是（）A.若直线l 垂直于x 轴，则103AB =B.10,63AB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦C.若5AB =，则直线l 的斜率为33D.若2AF BF =，则154AB =11.一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用1A ，2A 表示事件“第一次取出白球，”“第一次取出红球”；分别用B ，C 表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（）A.()11=6P B A B.()21=2P C A C.()13P B =D.()115P A C =12.某制造企业一种原材料的年需求量为16000千克（该原材料的需求是均匀的，且不存在季节性因素），每千克该原材料标准价为200元.该原材料的供应商规定：每批购买量不足1000千克的，按照标准价格计算；每批购买量1000千克及以上，2000千克以下的，价格优惠5%；每批购买量2000千克及以上的，价格优惠10%.已知该企业每次订货成本为600元，每千克该原材料年平均库存成本为采购单价的15%.该企业资金充足，该原材料不允许缺货，则下列结论正确的是（）（采购总成本=采购价格成本Ap +订货成本AB Q +库存成本2CQ ，A 为原料年需求量，B 为平均每次订货成本，C 为单位原料年库存成本，Q 为订货批量即每批购买量，p 为采购单价）A.该原材料最低采购单价为180元/千克 B.该原材料最佳订货批量为800千克C.该原材料最佳订货批量为2000千克D.该企业采购总成本最低为2911800元三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设向量a 的模为2，向量,22b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，且2a b -= ，则a 与b的夹角等于______.14.已知函数()()0bf x ax ab x=+≠，使()f x 在(0)+∞，上为增函数的a 与b 组成的有序实数对为(),a b ，则(),a b 可以是______.（写出一对符合题意的即可）15.已知两个平行平面间的距离为2，这两个平面截球O 所得两个截面圆的半径分别为1O 的表面积等于______.16.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，若π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，()f x 在区间5π7π,1818⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值点无最小值点，且5π7π1818f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记满足条件的ω的取值集合为M ，则=M ______.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，sin b C =，1cos c B =.（1）求B ；（2）若b =，求ABC 的面积.18.某市从2017年到2021年新能源汽车保有量y （单位：千辆）与年份的散点图如下：记年份代码为()1,2,3,4,5x x =，2t x =，对数据处理后得：y521ii x=∑521ii t=∑51iii x y=∑51iii t y=∑35559797153115（1）根据散点图判断，模型①y a bx =+与模型②2y c dx =+哪一个更适宜作为y 关于x 的回归模型？（给出结论即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果，建立y 关于x 的回归方程，并预测2022年该市新能源汽车保有量（计算结果都精确到1）.参考公式：回归方程 y abx =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211n niii i i i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑ ， ay bx =- .19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足111b a =，且131n n n b b b +=+.（1）证明：数列{}n a 是等比数列，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T .20.如图，在四面体ABCD 中，ABD △是边长为2的等边三角形，=AB AC ，BC CD ⊥.（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）若二面角A BC D --的余弦值为55，求四面体ABCD 的体积.21.已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，斜率为()0k k ≠的直线l 与E 相切于点A .（1）当=2k ，=5AF 时，求E 的方程；（2）若直线l '与l 平行，l '与E 交于B ，C 两点，且2BAC π∠=，设点F 到l '的距离为1d ，到l 的距离为2d ，试问：12d d 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.22.已知函数()()32,,,R,0f x ax bx cx d a b c d a =+++∈≠是奇函数，曲线()=y f x 在点()()2,2f 处的切线方程为93160x y +-=.（1）求()f x 的零点；（2）若()f x 在区间()2,10m m-内有最大值，求m 的取值范围.数学（二）试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ABD 【11题答案】【答案】AB 【12题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】23π##120 【14题答案】【答案】()1,1-（答案不唯一）【15题答案】【答案】13π【16题答案】【答案】{}1,7,13四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）60B =︒（2）2【18题答案】【答案】（1）模型②2y c dx =+更适宜作为y 关于x 的回归方程（2） 223y x =+，预计2022年该市新能源汽车保有量约为110千辆【19题答案】【答案】（1）证明见解析，2nn a =，131n b n =-（2）()18342n n T n +=+-⋅【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）12【21题答案】【答案】（1）24x y=（2）12d d 是定值，定值为3【22题答案】【答案】（1）()f x 的零点有3个，分别是0（2）[)2,1-第9页/共9页。
湖南省长沙市2025届高三上学期第二次月考数学试卷含答案
湖南2025届高三月考试卷（二）数学（答案在最后）命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是（）A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-，所以其虚部为12-，故C 正确.故选：C.2.已知a 是单位向量，向量b 满足3a b -= ，则b 的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b -= ，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b -= ，即3OA OB BA -== ，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a 是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即 b 的最大值为4.故选：B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（）A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选：D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩，当0x <时，()e 33xf x a =+-单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增，只需1330a a +-≤+，解得1a ≥.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD -的体积为83，则圆柱的表面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB -=⋅△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===，取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，解得=1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为1,0，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，不妨设120y y >>，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，故221212144y y x x =⋅=，又B =1+2=1+1，2212p BF x x =+=+，则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12,23x x ==时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++，因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+，当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =是=的一条对称轴，所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象，当3π4=-x 时，3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，11113π3π4164y --=⨯(-=-<-，当5π4x =时，5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π14111461y =⨯-=->-，当9π4x =时，9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11119π9π4416y =⨯-=-<，当17π4x =时，17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示，可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3，故C 正确.故选：C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=，则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x -，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g -=-，再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f -⋅=，解得()00f =，故A 错；对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-，得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，即()()f y x f x y -=--，故()f x 为奇函数，故B 错；对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==，即()()()()()00000g g f f g -=，()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴-=-，由题知：()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦，令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦，()()1112f g += ，()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦，即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦，令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦，又()()111g f -=，即()()()()11f x g x f x g x -+-=+，即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x -- ，1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确；对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+，则（）A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-，可知()g x 为奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于0,2中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b '=-，当30b a ->时，取1,1a b =-=-，当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b '=-，当0ab >时，()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根，所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +-=，圆心为0,1，()sin 1f x x =+的图象也过0,1，且0,1是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩，与圆交于点()1,0-，1,0，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ，所以()f x 为奇函数，由()30f x kx kx =-=，得0x =或1x =±，所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2624222110k x k x k x -++-=，令2t x =，则()232222110k t k t kt -++-=，即()()222110t k t k t --+=，得1t =或22210k t k t -+=，当1t =时，1x =±，当22210k t k t -+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k=-=-，若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈-时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈-，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =-，则12y x'=-，则11x y ='=，曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，当0a ≠时，则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩，得()2110ax a x -++=，由2Δ(1)40a a =+-=，得1a =.故答案为：1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a =，12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=，又由于12PF F 的内切圆的半径为3c，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅，所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c ca c a =+⋅，整理得：22230a ac c --=，两边同除以2a ，得2320e e +-=，所以23e =或1-，又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b +>恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x ->，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=+=，设事件A =“不等式()f x b >恒成立”，则事件A 包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC 的面积为334，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3B =（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由.112333BD BC CA BA BC =+=+，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y -=（2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和3e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程；（2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y -=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCDS AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得22243c e a ==，则有223a b =，又点(在双曲线E 上，故229213-=b b，解得221,3b a ==，故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--，其中0k ≠，因为12,l l 均与E 的右支有两个交点，所以313,33k k >->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--，所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭，同理)22313k BD k +=-，所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+，所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭，当112t =，即1k =±时，等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，2,P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P 为11A B 中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥.又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ，所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,0,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=，()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===，则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈，设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩，取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+，则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=，即()()21670λλ-+=，所以12λ=或76λ=-（舍），故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小问1详解】（i ）因为21n a n =-单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立，所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质P .（ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ，两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ，即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--，所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ，若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②，2n c -=①②，即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时，0121p <-<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-，()2233g x x ax a a =-+--（a ∈R 且2a <）.（1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++，定义域为{}0xx ≠∣，所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-'，所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>'，所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增，又()20F '=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x '>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥-，要证()()f x g x ≥，只需证()x g x -≥，即证()223130x a x a a -+++≥，令()()22313G x x a x a a =-+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <，则对称轴31425a x +=<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由（1）知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增，又()13a ϕ'=-.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增，所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=-<'，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++'，令()124e(1)a m a a -=-+，则()()()14e 21a m a a h a -=-+='，则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数，令()0h a '=得1ln2a =-，当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减，当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增，又()()10,00m m ='<'，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a '<单调递减，当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a '>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+，所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ'=，即()0200204e 12230x x x a x ---+-=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥，符合题意.若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。
河南省周口市沈丘县长安高级中学2022-2023学年高三上学期第二次月考理科数学试题
B. a∈[ 3 ,1) 4
C. a∈(0, 1 ] 3
D. a∈[ 3 ,2) 4
8.
函数 y
3x 3x
cos
x
在区间
π 2
,
π 2
的图象大致为（）
1
A.
B.
C.
D.
9. 已知函数 f (x) sin 2x 3 cos 2x 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 g(x) 的图象，且 g(x) 的
三、解答题：共 70 分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.
17.
已知幂函数 f x m2 m 1xm1 2在0,
上为增函数.
（1）求实数 m 的值；
（2）求函数 g x f 2x 3 4x 5 的值域.
18. 已知在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对
边分别为
a，b，c，且
A. 2, 4
B. 0, 2, 4
2 f x x2 x 3 ，则 f 1 （）
C. 1,3,5
D. 0, 2, 4,6
A. 6
B. 5
C. 3
D. 2
3. 设命题甲：“ x2 3x 0 ”，命题乙：“ x 1 3 ”，那么命题甲是命题乙的（）
A. 充分非必要条件 C. 充要条件
B. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件
为 22. 已知函数 f x 2x2ex ， gx ax2alnxaR．
（1）求函数 f x 的单调区间和极值；
（2）若函数 h x f x g x 有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．
4
tan C
a2
ab b2
c2
．
（1）求角 C 大小；
南开大学附中高三数学上学期第二次月考试题含解析
A。 （0，2）B. （0，2]C. （2，+∞）D. [2，+∞）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意， 是函数 的一个零点，故问题转化为当 时， 与 图象必有一个交点,再根据导数研究 性质，数形结合求解即可得答案。
【详解】解:根据题意,函数 恰有两个零点
三､解答题
16. 已知函数
(1)求f(x）的最小正周期;
(2）若将f（x)的图象向左平移 个单位，得到函数g（x)的图象，求函数g(x)在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1） (2)
【解析】
【分析】
（1）利用倍角公式及诱导公式化简，然后由周期公式求周期；
(2）由三角函数的图象平移得到函数 的解析式，结合 的范围求得函数 在区间 上的最大值和最小值．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，由正弦定理角化边，得到三边的关系，进而利用余弦定理求解；
（2）由正弦定理求得 ,并根据边的大小关系判定 为锐角,然后利用倍角公式和两角和的正弦公式计算.
【详解】解：(1）∵ ,
由正弦定理得, .
化简得， .
由余弦定理得, 。
又 ，
∴ .Байду номын сангаас
（2）由（1)知， ，
又 ， ，
【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值,考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.
13。 已知a>0,b>0且a+b=1，则 的最小值是___________。
【答案】9
【解析】
【分析】
先利用平方差公式和 得出 ，再去括号、通分得出 ，根据 和基本不等式可求出 的最大值,即 的最小值．
2020-2021学年山东省威海市乳山一中高三(上)第二次月考数学试卷(A卷)
2020-2021学年山东省威海市乳山一中高三（上）第二次月考数学试卷（A卷）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|y= √8−4x }，B={x|（3x+5）（2x-7）≤0}，则A∩B=（）A.[ 53，2]B.（-∞，- 53]C.[2，72]D.[- 53，2]2.（单选题，5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB=bcosA，则△ABC形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形3.（单选题，5分）已知cos(π2−α)−3cosαsinα−cos(π+α)=2，则tanα=（）A.-5B.- 23C. 12D. 154.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（2，1），b⃗⃗ =（m，-1），且b⃗⃗⊥（2 a⃗−b⃗⃗），则m的值为（）A.1B.3C.1或3D.45.（单选题，5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f(x)=log2(x+1)+2x−a，则满足f（x2-3x-1）+2＜0的实数x的取值范围是（）A.（-3，0）B.（-1，0）C.（0，3）D.（1，2）6.（单选题，5分）设函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m恒成立，则实数m的取值范围是（）)A. (−∞，17B.（1，+∞）C.（-∞，1）D. (1，+∞)77.（单选题，5分）若函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，则常数c为（）A.2B.6C.2或6D.-2或-68.（单选题，5分）中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问日行几何”．意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，问每天走的里数各是多少？”根据以上叙述，该匹马第四天走的里数是（）A. 700127B. 2800127C. 5600127D. 448001279.（多选题，5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（）A.a1=22B.d=-2C.当n=10或n=11时，S n取得最大值D.当S n＞0时，n的最大值为2010.（多选题，5分）设向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |=1，且| b ⃗⃗ -2 a ⃗ |= √5 ，则以下结论正确的是（ ） A. a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ B.| a ⃗ + b⃗⃗ |=2 C.| a ⃗ - b⃗⃗ |= √2 D.＜ a ⃗ ， b ⃗⃗ ＞=60°11.（多选题，5分）下列命题正确的是（ ）A.“a ＞1”是“ 1a ＜1 ”的必要不充分条件B.命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x -1”C.若a ，b∈R ，则 b a +a b ≥2√b a •a b =2D.设a∈R ，“a=1”，是“函数 f (x )=a−e x 1+ae x 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件 12.（多选题，5分）设函数 f (x )=√3cos2x −sin2x ，则下列选项正确的是（ ）A.f （x ）的最小正周期是πB.f （x ）在[a ，b]上单调递减，那么b-a 的最大值是 π2C.f （x ）满足 f (π6+x)=f (π6−x)D.y=f （x ）的图象可以由y=2cos2x 的图象向右平移 11π12 个单位得到13.（填空题，5分）计算：log 2 √2− log 3 19 +（ 827 ） −13 =___ ． 14.（填空题，5分）已知函数y=Msin （ωx+φ）（M ＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线 x =13 对称．该函数的部分图象如图所示，AC=BC= √22 ，C=90°，则f （ 12 ）的值为___ ． 15.（填空题，5分）记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n =2a n +1，则S 6=___ ．16.（填空题，5分）已知△AOB 为等腰直角三角形，OA=1，OC 为斜边的高．（Ⅰ）若P 为线段OC 的中点，则 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． （Ⅱ）若P 为线段OC 上的动点，则 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ．17.（问答题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （1，0），点B 在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（Ⅰ）若点B （- 35 ， 45 ），求tan （θ+ π4 ）的值；（Ⅱ）若（ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 95 ，求cos （ 2π3 -2θ）．18.（问答题，12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为2，且a 1，S 2，S 4成等比数列．（1）求a 1，a 2，a 3；（2）设 b n =a n +2n ，求数列{b n }的前9项和．19.（问答题，12分）f （x ）=2lnx+ 1x -mx （m∈R ）． （1）当m=-1时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）若f （x ）在（0，+∞）上为单调递减，求m 的取值范围．20.（问答题，12分）设函数 f (x )=sinx(√3cosx +sinx)−12 ．（Ⅰ）求函数f （x ）的递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若f（B）=1，b=2，且b（2-cosA）=a（cosB+1），求△ABC的面积．21.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足条件：cosA a +cosCc=1b．（1）求证：sin2B=sinAsinC；（2）在数列{a n}中，a n=2n-1，且数列{1a n a n+1}的前n项和为2ncosB2n+1，求角B．22.（问答题，12分）已知函数f(x)=12x2−x+alnx(a＞0)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)+f(x2)＞−3−2ln24．2020-2021学年山东省威海市乳山一中高三（上）第二次月考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|y= √8−4x }，B={x|（3x+5）（2x-7）≤0}，则A∩B=（）A.[ 53，2]B.（-∞，- 53]C.[2，72]D.[- 53，2]【正确答案】：D【解析】：可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|8-4x≥0}={x|x≤2}，B={x|−53≤x≤72}，A∩B=[−53，2]．故选：D．【点评】：本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB=bcosA，则△ABC形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【正确答案】：A【解析】：利用正弦定理化简已知的等式，移项后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（A-B）的值为0，由A和B都为三角形的内角，得出A-B的范围，进而利用特殊角的三角函数值得出A-B=0，即A=B，利用等角对等边可得a=b，即三角形为等腰三角形．【解答】：解：∵acosB=bcosA，由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA，即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，又-π＜A-B＜π，∴A-B=0，即A=B，∴a=b，则△ABC的形状是等腰三角形，故选：A．【点评】：本题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，根据三角函数值求角的大小，推出sin（A-B）=0 是解题的关键．3.（单选题，5分）已知cos(π2−α)−3cosαsinα−cos(π+α)=2，则tanα=（）A.-5B.- 23C. 12D. 15【正确答案】：A【解析】：直接利用诱导公式的应用和同角三角函数的关系式的变换的应用求出结果．【解答】：解：cos(π2−α)−3cosαsinα−cos(π+α)=sinα−3cosαsinα+cosα=2，所以tanα−3tanα+1=2，解得tanα=-5．故选：A．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（2，1），b⃗⃗ =（m，-1），且b⃗⃗⊥（2 a⃗−b⃗⃗），则m的值为（）A.1B.3C.1或3D.4【正确答案】：C【解析】：可求出2a⃗−b⃗⃗=(4−m，3)，根据b⃗⃗⊥(2a⃗−b⃗⃗)即可得出b⃗⃗•(2a⃗−b⃗⃗)=0，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【解答】：解：2a⃗−b⃗⃗=(4−m，3)；∵ b⃗⃗⊥(2a⃗−b⃗⃗)；∴ b⃗⃗•(2a⃗−b⃗⃗)=m(4−m)−3=0；解得m=1或m=3．故选：C．【点评】：考查向量垂直的充要条件，向量减法、数乘和数量积的坐标运算．5.（单选题，5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f(x)=log2(x+1)+2x−a，则满足f（x2-3x-1）+2＜0的实数x的取值范围是（）A.（-3，0）B.（-1，0）C.（0，3）D.（1，2）【正确答案】：C【解析】：根据题意，利用奇函数的性质可得f（0）=log2（1）+20-a=0，可得a=1，即可得函数f（x）的解析式，结合指数函数与对数函数的性质分析可得函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性可得函数f（x）在R上为增函数，由此可以将f（x2-3x-1）+2＜0转化为x2-3x＜0，即可求解．【解答】：解：函数f（x）是定义域为R的奇函数，则有f（0）=0，即f（0）=log21+20-a=0，解得a=1，则当x≥0时，f（x）=log2（x+1）+2x-1，则有f（1）=log22+21-1=2，而函数y=log2（x+1）和函数y=2x-1都是增函数，则函数f（x）=log2（x+1）+2x-1在[0，+∞）上为增函数，又由函数f（x）是定义域为R的奇函数，则在区间（-∞，0]上也是增函数，故函数f（x）在R上为增函数，f（x2-3x-1）+2＜0⇒f（x2-3x-1）+f（1）＜0⇒f（x2-3x-1）＜-f（1）⇒f（x2-3x-1）＜f（-1）⇒x2-3x-1＜-1⇒x2-3x＜0，解得0＜x＜3，即x的取值范围为（0，3）；故选：C．【点评】：本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性求出a的值．6.（单选题，5分）设函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m恒成立，则实数m的取值范围是（）)A. (−∞，17B.（1，+∞）C.（-∞，1）D. (1，+∞)7【正确答案】：B【解析】：函数在区间上恒成立问题，可转化为函数在给定区间上的最值问题，通过求解函数的最值，列出关于实数m的不等式，达到求解该题的目的．【解答】：解：（1）当m=0时，f（x）=-1＞-m恒成立，解得m＞1，不合题意；，f（x）在x∈[1，3]上是单调函数．（2）当m≠0时，该函数的对称轴是x= 12① 当m＞0时，由于f（x）在[1，3]上单调递增，要使f（x）＞-m在x∈[1，3]上恒成立，只要f（1）=-1＞-m即可．解得m＞1，故m＞1；② 当m＜0时，由于函数f（x）在[1，3]上是单调递减，要使f（x）＞-m在x∈[1，3]上恒成立，只要f（3）=9m-3m-1＞-m即可，，不合题意．解得m＞17综上可知：实数m 的取值范围是（1，+∞）．故选：B．【点评】：本题考查函数恒成立问题的解决思路和方法，考查函数与不等式的综合问题，考查学生的转化与化归的思想和方法，考查学生分析问题解决问题的能力．7.（单选题，5分）若函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，则常数c为（）A.2B.6C.2或6D.-2或-6【正确答案】：B【解析】：求出函数的导数，再令导数等于0，求出c 值，再检验函数的导数是否满足在x=2处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的 c值舍去．【解答】：解：∵函数f（x）=x（x-c）2=x3-2cx2+c2x，它的导数为f′（x）=3x2-4cx+c2，由题意知，在x=2处的导数值为 12-8c+c2=0，∴c=6，或 c=2，又函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，故导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．）（x-2），不满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧当c=2时，f′（x）=3x2-8x+4=3（x- 23为负数．当c=6时，f′（x）=3x2-24x+36=3（x2-8x+12）=3（x-2）（x-6），满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．故 c=6．故选：B．【点评】：本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于0，且导数在该点左侧为正数，右侧为负数．8.（单选题，5分）中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问日行几何”．意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，问每天走的里数各是多少？”根据以上叙述，该匹马第四天走的里数是（）A. 700127B. 2800127C. 5600127D. 44800127【正确答案】：C【解析】：由题意可知，每天走的里数是以 12 为公比的等比数列，S 7=700，结合等比数列的求和公式及通项公式可求．【解答】：解：由题意可知，每天走的里数是以 12 为公比的等比数列， 由题意可得，S 7= a 1(1−127)1−12=700，故a 1=350×128127， ∴ a 4=a 1×q 3 = 350×128127 × 18 = 5600127 ． 故选：C ．【点评】：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式在实际问题中的应用，属于基础试题．9.（多选题，5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n （n∈N *），公差d≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A.a 1=22 B.d=-2C.当n=10或n=11时，S n 取得最大值D.当S n ＞0时，n 的最大值为20 【正确答案】：BCD【解析】：由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项a n 和S n ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值．【解答】：解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d≠0， 由S 6=90，可得6a 1+15d=90，即2a 1+5d=30， ①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得a 72=a 3a 9，即（a 1+6d ）2=（a 1+2d ）（a 1+8d ）， 化为a 1+10d=0， ② 由 ① ② 解得a 1=20，d=-2，则a n =20-2（n-1）=22-2n ，S n = 12 n （20+22-2n ）=21n-n 2， 由S n =-（n- 212 ）2+4414，可得n=10或11时，S n 取得最大值110；由S n ＞0，可得0＜n ＜21，即n 的最大值为20． 故选：BCD ．【点评】：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.（多选题，5分）设向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |=1，且| b ⃗⃗ -2 a ⃗ |= √5 ，则以下结论正确的是（ ） A. a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ B.| a ⃗ + b ⃗⃗ |=2 C.| a ⃗ - b ⃗⃗ |= √2 D.＜ a ⃗ ， b ⃗⃗ ＞=60° 【正确答案】：AC【解析】：由已知结合向量数量积的性质对各选项进行检验即可．【解答】：解：因为| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |=1，且| b ⃗⃗ -2 a ⃗ |= √5 ， 所以 b ⃗⃗2−4a ⃗•b ⃗⃗+4a ⃗2 =5，所以 a ⃗•b ⃗⃗ =0，故 a ⃗⊥b ⃗⃗ ，选项A 正确； 因为 (a ⃗+b ⃗⃗)2= a ⃗2+2a ⃗•b ⃗⃗+b ⃗⃗2 =2， 所以| a ⃗+b⃗⃗ |= √2 ，B 错误； 因为（ a ⃗−b ⃗⃗ ）2= a ⃗2−2a ⃗•b ⃗⃗+b ⃗⃗2 =2， 所以| a ⃗−b ⃗⃗ |= √2 ，C 正确； 因为 a ⃗⊥b⃗⃗ ， 所以 ＜a ⃗，b⃗⃗＞ = π2 ，D 错误； 故选：AC ．【点评】：本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 11.（多选题，5分）下列命题正确的是（ ） A.“a ＞1”是“ 1a＜1 ”的必要不充分条件B.命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x -1”C.若a ，b∈R ，则 ba +ab ≥2√ba •ab =2D.设a∈R ，“a=1”，是“函数 f (x )=a−e x1+ae x 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件 【正确答案】：BD【解析】：对于A：直接利用不等式的解法求出解集，进一步利用充分条件和必要条件的应用求出结果．对于B：直接利用命题的否定的应用判定结果；对于C：直接利用基本不等式的应用和不等式的成立的条件的应用判定结果；对于D：直接利用奇函数的性质的应用判定结果．【解答】：解：对于选项A：1a ＜1，整理得1−aa＜0，即a（a-1）＞0，解得a＞1或a＜0，所以“a＞1”是“ 1a＜1”的充分不必要条件，故A错误；对于B：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1”故B正确；对于C：当ab＞0时，ba +ab≥2√ba•ab=2，故C错误．对于D：设a∈R，“a=1”时“函数f(x)=a−e x1+ae x =1−e x1+e x在定义域上是奇函数”，当函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数，利用f（-x）=-f（x），则a=±1，故“a=1”，是“函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，故D正确．故选：BD．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的解法和应用，命题的否定，基本不等式，函数的奇偶性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.（多选题，5分）设函数f(x)=√3cos2x−sin2x，则下列选项正确的是（）A.f（x）的最小正周期是πB.f（x）在[a，b]上单调递减，那么b-a的最大值是π2C.f（x）满足f(π6+x)=f(π6−x)D.y=f（x）的图象可以由y=2cos2x的图象向右平移11π12个单位得到【正确答案】：ABD【解析】：首先利用关系式的变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步求出函数的周期，函数的对称轴方程，确定ABC选项，最后利用函数的图象的平移变换的应用确定选项D．【解答】：解：函数f(x)=√3cos2x−sin2x =2cos（2x+ π6），对于选项A：函数的最小正周期为T=2π2=π．故选项A正确．对于选项B：f（x）在[a，b]上单调递减，所以b-a的最大值为T2=π2，故选项B正确．对于选项C：函数f（x）满足f(π6+x)=f(π6−x)，即函数的对称轴方程为x=π6+x+π6−x2=π6，当x= π6时，函数f（π6）=2cos π2=0，故选项C错误．对于选项D：函数y=2cos2x的图象向右平移11π12个单位，得到f（x）=2cos（2x- 11π6）=2cos（2x+ π6），故选项D正确．故选：ABD．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.（填空题，5分）计算：log2√2− log319 +（827）−13 =___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用指数与对数运算性质即可得出．【解答】：解：原式= 12 log22- log33−2 + (32)−3×(−13)= 12 -（-2）+ 32=4．故答案为：4．【点评】：本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知函数y=Msin（ωx+φ）（M＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线x=13对称．该函数的部分图象如图所示，AC=BC= √22，C=90°，则f（12）的值为___ ．【正确答案】：[1] √34【解析】：AC=BC= √22，C=90°，故AB=1，所以T=2，ω= 2πT= 2π2=π，M=|AC|sin π4=√2 2×√22= 12，又图象关干直线x=13对称，所以π×13+φ= π2+kπ，即φ= π6+kπ，（k∈Z），又0＜φ＜π，所以φ= π6 ，进而可以求f （ 12 ）的值．【解答】：解：依题意，AC=BC= √22 ，C=90°，故AB=1，所以T=2，ω= 2πT = 2π2 =π， M=|AC|sin π4=√22×√22 = 12 ， 又图象关干直线 x =13 对称，所以 π×13+ φ= π2+kπ ，即φ= π6+kπ ，（k∈Z ），又0＜φ＜π，所以φ= π6 ，所以f （x ）= 12sin (πx +π6) ，所以f （ 12 ）= 12sin (π×12+π6) = 12 sin 2π3 = √34 ． 故答案为： √34 ．【点评】：本题考查的知识要点：利用函数的图象求函数的解析式，及利用函数的解析式求函数的值，主要考查学生的应用能力．15.（填空题，5分）记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n =2a n +1，则S 6=___ ． 【正确答案】：[1]-63【解析】：先根据数列的递推公式可得{a n }是以-1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可．【解答】：解：S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =2a n +1， ① 当n=1时，a 1=2a 1+1，解得a 1=-1， 当n≥2时，S n-1=2a n-1+1， ② ， 由 ① - ② 可得a n =2a n -2a n-1， ∴a n =2a n-1，∴{a n }是以-1为首项，以2为公比的等比数列， ∴S 6=−1×(1−26)1−2=-63，故答案为：-63【点评】：本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题． 16.（填空题，5分）已知△AOB 为等腰直角三角形，OA=1，OC 为斜边的高． （Ⅰ）若P 为线段OC 的中点，则 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． （Ⅱ）若P 为线段OC 上的动点，则 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] −18; [2] [−18，0]【解析】：（Ⅰ）可以点O 为原点，直线OB ，OA 分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，从而可求出向量 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可；（Ⅱ）可设P （x ，x ），并得出 x ∈[0，12] ，然后可得出 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x ，x −1)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x ，x) ，从而可得出 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2x 2−x ，然后配方即可求出 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值域，进而得出 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【解答】：解：（Ⅰ）如图，以O 为原点，边OB ，OA 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则：O （0，0），A （0，1），B （1，0），C （ 12，12 ）， P (14，14) ，∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(14，−34)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(14，14) ， ∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=116−316=−18；（Ⅱ）∵P 是OC 上的动点，∴设P （x ，x ），x∈ [0，12] ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x ，x −1)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x ，x) ， ∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2x 2−x =2(x −14)2−18 ，∴ x =14时， AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值 −18 ；x=0时， AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值0，∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 [−18，0] ． 故答案为：（Ⅰ） −18 ；（Ⅱ） [−18，0] ．【点评】：本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，中点坐标公式，向量坐标的数量积的运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于基础题． 17.（问答题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （1，0），点B 在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（Ⅰ）若点B （- 35， 45），求tan （θ+ π4）的值； （Ⅱ）若（ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 95，求cos （ 2π3-2θ）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值，再利用两角和的正切公式求得tan （θ+ π4）的值；（Ⅱ）由题意利用两个向量的数量积的运算，以及二倍角的正弦公式、两角差的余弦公式求得cos （ 2π3 -2θ）的值．【解答】：解：（Ⅰ）由题意利用任意角的三角函数的定义可得tanθ= 45−35=- 43 ，∴tan （θ+ π4 ）= tanθ+11−tanθ =- 17 ．（Ⅱ）∵（ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =cosθ+1= 95 ，∴cosθ= 45，∴sinθ= √1−cos 2θ = 35， ∴sin2θ=2sinθcosθ= 2425 ，cos2θ=2cos 2θ-1= 725，∴cos （ 2π3 -2θ）=cos 2π3 cos2θ+sin 2π3 sin2θ=- 12 • 725 + √32 • 2425 = 24√3−750．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，两个向量的数量积的运算，以及二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．18.（问答题，12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为2，且a 1，S 2，S 4成等比数列．（1）求a 1，a 2，a 3；（2）设 b n =a n +2n ，求数列{b n }的前9项和．【正确答案】：【解析】：（1）先由题设求出等差数列{a n }的首项a 1，进而求得a 2，a 3；（2）先利用（1）求得a n ，进而求得b n ，再利用分组求和的办法求得数列{b n }的前9项和．【解答】：解：（1）由a 1，S 2，S 4成等比数列得 S 22=a 1S 4 ，化简得 (2a 1+d )2=a 1(4a 1+6d ) ，又d=2，解得a 1=1，所以a 2=3，a 3=5；（2）由（1）可知数列{a n }的通项公式a n =1+2（n-1）=2n-1， 所以 b n =2n −1+2n ， 设{2n }的前n 项和为T n ，则 T n =2×(1−2n )1−2=2n+1−2 ，又 S n =n (1+2n−1)2=n 2 ，所以{b n }的前9项和为S 9+T 9=81+1024-2=1103．【点评】：本题主要考查等差、等比数列基本量的计算及分组求和法在数列求和中的应用，属于中档题．19.（问答题，12分）f（x）=2lnx+ 1x-mx（m∈R）．（1）当m=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在（0，+∞）上为单调递减，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得m=-1时，f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）由题意可得f′(x)=2x −1x2−m≤0在x∈（0，+∞）恒成立，由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围．【解答】：解：（1）当m=-1时，f(x)=2lnx+1x+x，∴ f′(x)=2x −1x2+1，∴f（1）=2，f'（1）=2，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是：y-2=2（x-1），即2x-y=0；（2）若f（x）在（0，+∞）上单调递减，则f′(x)=2x −1x2−m≤0在x∈（0，+∞）恒成立，即m≥2x −1x2在（0，+∞）恒成立，令g(x)=2x −1x2，（x＞0），则m≥g（x）max，∵ g(x)=−(1x −1)2+1，∴当1x=1，即x=1时，有g（x）max=1，故m≥1．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查转化思想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题．20.（问答题，12分）设函数f(x)=sinx(√3cosx+sinx)−12．（Ⅰ）求函数f（x）的递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若f（B）=1，b=2，且b（2-cosA）=a（cosB+1），求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（2x- π6），利用正弦函数的单调性即可求解．（Ⅱ）由f（B）=1，可得sin(2B−π6)=1，进而解得B的值，由正弦定理，两角和的正弦函数公式可求2b=a+c，由余弦定理可得ac=b2=4，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】：解：（Ⅰ）函数的解析式可化为：f(x)=√32sin2x+1−cos2x2−12= √32sin2x−1 2cos2x=sin(2x−π6)．由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2⇒kπ−π6≤x≤kπ+π3，得函数f（x）的递增区间为[kπ−π6，kπ+π3](k∈Z)．（Ⅱ）因为f（B）=1，即sin(2B−π6)=1，所以2B−π6=2kπ+π2⇒B=kπ+π3，因为B是三角形的内角，所以B=π3，又因为b（2-cosA）=a（cosB+1），由正弦定理得sinB（2-cosA）=sinA（cosB+1），所以2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sin（A+B）=sinA+sinC，所以2b=a+c，因为b=2，B=π3，由余弦定理得b2=a2+c2-ac⇒b2=（a+c）2-3ac⇒ac=b2=4．所以，S=12acsinB=12•4•sinπ3=2•√32=√3，故△ABC的面积为√3．【点评】：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足条件：cosA a +cosCc=1b．（1）求证：sin2B=sinAsinC；（2）在数列{a n}中，a n=2n-1，且数列{1a n a n+1}的前n项和为2ncosB2n+1，求角B．【正确答案】：【解析】：（1）在已知等式中利用正弦定理化边为角得答案；（2）利用裂项相消法求出数列{1a n a n+1}的前n项和，再由其前n项和等于2ncosB2n+1求角B．【解答】：（1）证明：在等式cosAa +cosCc=1b中，由正弦定理得cosAsinA +cosCsinC=1sinB，即sinCcosA+sinAcosCsinAsinC =1sinB，∴ sin(A+C) sinAsinC =1sinB，得sin2B=sinAsinC；（2）解：由a n=2n-1，则1a1a2+1a2a3+1a4a3+ (1)a n a n+1= 11×3+13×5+… +1(2n−1)(2n+1)= 12(11−13+13−15+… +12n−1−12n+1) = 12(1−12n+1)=n2n+1．由已知得n(2n+1)=2ncosB2n+1⇒cosB=12，在△ABC中，∵0＜B＜π，∴ B=π3．【点评】：本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，训练了正弦定理在解三角形中的应用，是中档题．22.（问答题，12分）已知函数f(x)=12x2−x+alnx(a＞0)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)+f(x2)＞−3−2ln24．【正确答案】：【解析】：（1）求导得f′（x），由f′（x）＞0分别对a进行的讨论，从而得到f（x）的单调区间；（2）由极点的概念得到x1，x2是方程x2-x+a=0的两根，故由根与系数的关系，得到f（x1）+f（x2）关系式，最后利用单调性求得其最小值【解答】：解：（1）f′(x)=x−1+ax =x2−x+ax(a＞0)，① 若a≥14，x2−x+a≥0，f′(x)≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；② 若0＜a＜14，解x2-x+a＞0，得0＜x＜1−√1−4a2，或x＞1+√1−4a2，解x2-x+a＜0，得1−√1−4a2＜x＜1+√1−4a2，此时f（x）在(1−√1−4a2，1+√1−4a2)上单调递减．在(0，1−√1−4a2)上单调递增，在(1+√1−4a2，+∞)上单调递增．综上，当a≥14时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当0＜a＜14时，f（x）在(1−√1−4a2，1+√1−4a2)上单调递减，在(0，1−√1−4a2)上单调递增，在(1+√1−4a2，+∞)上单调递增．（2）由（1）知0＜a＜14时，f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1，x2是方程x2-x+a=0的两根，所以x1+x2=1，x1•x2=a，所以f(x1)+f(x2)=12x12−x1+alnx1+12x22−x2+alnx2=12(x1+x2)2−x1x2−(x1+x2)+aln(x1x2) = 12−a−1+alna=alna−a−12，令g(x)=xlnx−x−12(0＜x＜14)，g′(x)=lnx＜0，所以g（x）在(0，14)上单调递减，所以g(x)＞g(14)=−3−2ln24，所以f(x1)+f(x2)＞−3−2ln24【点评】：本题主要考查导数研究函数单调性，导数研究函数极值的知识点，运用了求导法，参数讨论法，根与系数关系，及转化的数学思想。
2021-2022年高三上学期第二次月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}， 则A∩（）=（ ）A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) (A)y=tanx (B)y=3x (C)y= (D)y=lg|x|3.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1}的子集有3个;②“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为真;③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;④命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得x 02-3x 0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.已知函数则f(f())的值是( ) (A)9(B)(C)-9(D)-5.若a=log 20.9,则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b(D)b<c<a6.若函数y=-x 2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )()()()()53A B C D 4664ππππ7.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且﹁q 为真命题,则实数a 的取值范围是 ( ) (A)a>1(B)a ≤2 (C)1<a ≤2(D)a ≤1或a>28.函数f(x)=的大致图象为( )9．设函数f （x ）=x 2+xsinx ，对任意x 1，x 2∈（﹣π，π）， 若f （x 1）＞f （x 2），则下列式子成立的是（ ） A ．x 1＞x 2B ．C ．x 1＞|x 2|D ．|x 1|＜|x 2|10函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=-f(x)，且x ∈［-1,1］时f(x)=1-x 2，函数()lg x,x 0,g x 1,x 0,x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，4］内的零点的个数为( ) (A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，，则M∩N=_____ 12．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是 [﹣1，0]，则a+b= ．13.已知p:≤x ≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p 是﹁q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .14．若f （x ）=是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ． 15.若方程有正数解，则实数的取值范围是_______三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知p ：∀x ∈R ，2x ＞m （x 2+1），q ：∃x 0∈R ， x+2x 0﹣m ﹣1=0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．17、（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．19．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20. （13分）已知函数f(x)满足()()()x 121f x f 1e f 0x x .2-='-+(1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)若f(x)≥x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.21、 (14分)已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=x 2﹣2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得 f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围．高三数学第一次检测题答案解析1. C ．2.C.3.D.4.B.5.B.6.D.7.C 8、D.9.【解析】∵f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣xsin （﹣x ）=x 2+xsinx=f （x ），∴函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，又f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，∴当x ＞0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）=xsinx 在[0，π]上单调递增，∴f （﹣x ）=f （|x|）；∵f （x 1）＞f （x 2），∴结合偶函数的性质得f （|x 1|）＞f （|x 2|），∴|x 1|＞|x 2|，∴x 12＞x 22．故选B ．10.选A.由f（x＋1）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，求h（x）＝f（x）－g（x）的零点，即求f（x）＝g（x）在区间［－5,4］的解的个数.画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由图可知两图象在［－5,4］之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.11、解：∵集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，∴M∩N=．故答案为：．12、解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：13.q:x>a+1或x<a,从而﹁q:a≤x≤a+1.由于p是﹁q的充分不必要条件,故a111a2≥⎧⎪⎨≤⎪⎩＋，，即0≤a≤.答案:[0,]14、解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）15.16、解：不等式2x＞m（x2+1），等价为mx2﹣2x+m＜0，若m=0，则﹣2x＜0，即x＞0，不满足条件．若m≠0，要使不等式恒成立，则，即，解得m＜﹣1．即p：m＜﹣1．———————————————————————4分若∃x0∈R，x+2x﹣m﹣1=0，则△=4+4（m+1）≥0，解得m≥﹣2，即q：m≥﹣2．———————————————————————8分若p∧q为真，则p与q同时为真，则，即﹣2≤m＜﹣1————12分17、解：（1）⇔﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；————————————4分（2）∵，∴f（x）是奇函数；————————————————————————————6分（3）设0＜x1＜x2＜1，则∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞0∴，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减——————————————————12分另解：∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，1）内是减函数．—————————————————12分18、解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴且f′（1）=﹣2a≥0∴a≤0———4分（2）∵x=﹣是f（x）的极值点，∴∴∴a=4——6分∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴x1=﹣，x2=3令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；∴x=3时，函数取得最小值﹣18∵f（1）=﹣6，f（4）=﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值为﹣6．————————————————12分19、解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v （x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．——————4分（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．—————————————————————————10分答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．——————————————————————————12分20.(1)∵f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2,∴f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得：f(0)=1,∴f(x)=f′(1)e x-1-x+x2,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f′(1)=e得：f(x)=e x-x+x2.—————————4分设g(x)=f′(x)=e x-1+x,g′(x)=e x+1>0,∴y=g(x)在R上单调递增.令f′(x)>0=f′(0)，得x>0,令f′(x)<0=f′(0)得x<0，∴f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2且单调递增区间为（0，+∞),单调递减区间为（-∞,0).————————————-4分(2)由f(x)≥x2+ax+b得e x-(a+1)x-b≥0，令h(x)=e x-(a+1)x-b,则h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时，h′(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增.x→-∞时，h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾.——————————6分②当a+1>0时，由h′(x)>0得x>ln(a+1),由h′(x)<0得x<ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0.———8分得当x=ln(a+1)时，h(x)min（a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) (a+1>0).令F(x)=x2-x2ln x(x>0)，则F′(x)=x（1-2ln x),——————10分由F′(x)>0得0<x<,由F′(x)<0得x>,当x=时，F（x)=,∴当a=-1,b=时，（a+1)b的最大值为.—————————max—————————————13分21、解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．————————————4分（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．————————————8分（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max ＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．——————————————————12分②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．————————————————14分21072 5250 剐31873 7C81 粁31426 7AC2 竂z33043 8113 脓e35722 8B8A 變 39463 9A27 騧K34467 86A3 蚣38124 94EC 铬=40272 9D50 鵐。
湖南省百所重点高中2024学年高三3月线上第二次月考数学试题试卷
湖南省百所重点高中2024学年高三3月线上第二次月考数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3πB．2C ．12πD ．24π2．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆3．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥5．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．206．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]7．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 8．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32-D ．2-9．已知集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q 为（ ） A ．[0，2)B ．(2，3]C ．[2，3]D ．(0，2]10．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．311．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）12．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省龙岩第一中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题(解析版)
2023届福建省龙岩第一中学高三上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知{}1,0,1,3,5A =-，{}230B x x =-<，则R A B =ð（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,1,3-C ．{}1,0,1-D ．{}3,5【答案】D【分析】由题意求出B ，R B ð，由交集的定义即可得出答案.【详解】因为{}230B x x =-<32x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭， 所以R B =ð32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，所以A R B =ð{}3,5.故选：D. 2．若5:11xp x -≤+，则p 成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．21x -<≤- B ．12x -≤≤ C ．15x ≤≤ D ．25x <<【答案】D【分析】先求出分式不等式的解集，进而结合选项根据充分不必要条件的概念即可求出结果. 【详解】因为511xx -≤+，即51011x x x x -+-≤++，因此4201x x -≤+等价于()()42+10+10x x x -≤≠⎧⎨⎩，解得2x ≥或1x <-，结合选项可知p 成立的一个充分不必要条件是25x <<， 故选：D.3．已知函数()()2ln 16f x x x =++-，则下列区间中含()f x 零点的是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C【分析】分别求出()0f 、()1f 、()3f 、()4f 的值，即可判断其正负号，利用零点存在定理则可选出答案.【详解】由题意知：()0ln1660f =-=-<，()231ln2+16ln3+462ln 32ln0e f f =-<-==-=<（）， ()ln3+96ln3303f =-=+>，()ln4+166ln 40041f =-=+>. 由零点存在定理可知()f x 在区间()2,3一定有零点. 故选：C.4．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】通过弧长比可以得到OA 与OB 的比，接着再利用扇形面积公式即可求解 【详解】解：设AOD θ∠=，则12,l OA l OB θθ=⋅=⋅，所以122l OAl OB==，即2OA OB =， 所以12221222111222231122OA l OB l OB l OB l S S OB l OB l ⋅-⋅⋅-⋅===⋅⋅， 故选：C5．已知22sin sin ,cos cos 33αβαβ-=--=，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ta n()αβ-的值为（ ）AB．CD．【答案】B【分析】将条件的两个式子平方相加可得()8922cos αβ--=，然后可得()5os 9c αβ-=，再由2sin sin 03αβ-=-<，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()π,02αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而可求出()in s αβ-=，由商式关系可求得()an t αβ-=【详解】由2sin sin 3αβ-=-，得22sin 2sin sin sin 49ααββ-+=，由2cos cos 3αβ-=，得22cos 2cos cos cos 49ααββ-+=，两式相加得，()8922cos αβ--=，所以可得()5os 9c αβ-=，因为2sin sin 03αβ-=-<，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()π,02αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()in s αβ-=()an t αβ-=故选：B6．已知()()2222cos 1ln 4f x x x =-⋅，则函数()f x 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用二倍角余弦公式化简()2f x 的表达式，令()20t x t =≠，可得()f x 的解析式，再判断函数()f x 的奇偶性，可排除选项C 、D ，最后根据0x +→时，()0f x <即可求解.【详解】解：()()()()22222cos 1ln 4cos 2ln 2f x x x x x =-⋅=⋅，令()20t x t =≠，则()2cos ln f t t t =⋅()0t ≠，所以()2cos ln f x x x =⋅()0x ≠，定义域关于原点对称，因为()()()()22cos ln cos ln f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除选项C 、D ；又0x +→时，因为2cos 0,ln 0x x ><，所以()2cos ln 0f x x x =⋅<，所以排除选项B ，选项A 正确； 故选：A.7．已知()22231,0log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()()g x f x b =+有四个不同的零点1234,,,x x x x ，且满足：1234x x x x <<<.则下列结论中不正确的是（ ） A ．10b -<< B ．341x x =C ．3112x ≤< D ．1232x x +=-【答案】A【分析】作出()f x 图象，利用函数有四个不同的交点求出10b -≤<，A 错误； 根据二次函数的对称轴求出1232x x +=-可判断D ；数形结合结合对数运算得到341x x =可判断B ；数形结合求出231log 0x -≤<，解得3112x ≤<，可判断C. 【详解】如图，作出()f x 图象，若y ＝－b 与()y f x =有四个交点，需01b <-≤，则10b -≤<，故A 错误；这四个交点的横坐标依次为1234,,,x x x x ，因为抛物线2231y x x =++的对称轴为34x =-，所以1232x x +=-，故D 正确；因为2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，故B 正确；()(]323log 0,1f x x =-∈，即231log 0x -≤<，所以3112x ≤<，故C 正确.故选：A.8．已知13sin 2,ln 2,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】D【分析】判断sin2和2πsin3的大小，比较a 与34、b 与34、c 与34的大小可判断a 与b 大小关系及b 与c 大小关系，判断aca 与c 大小关系，从而可判断a 、b 、c 大小关系．【详解】2π3sin2sin34a =>=>， 4333344443e e 2e 2lne ln24⎛⎫=>⇒>⇒=> ⎪⎝⎭，即b 34<，∴a >b ；∵3131322264-⎛⎫== ⎪⎝⎭，3327464⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴13324->，c b ∴>；∵62764=⎝⎭，6131162464-⎛⎫== ⎪⎝⎭，132->，a c ∴>； a cb ∴>>． 故选：D ．【点睛】本题关键是利用正弦函数的值域求出sin2的范围，以34两个值作为中间值，比较a 、b 、c 与中间值的大小即可判断a 、b 、c 的大小．二、多选题9）A ．2252cos cos 1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1tan151tan15+︒-︒C．cos15︒︒ D ．16sin10cos20cos30cos40︒︒︒︒【答案】ABD【分析】对于A ，采用降幂公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于B ，根据特殊角三角函数，结合正切的和角公式，可得答案； 对于C ，根据辅助角公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于D ，根据积化和差公式，结合特殊角三角函数，可得答案.【详解】对于A ，2251cos 1cos 55662cos cos 2cos cos12122266ππππππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭=，故A 正确； 对于B ，()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--，故B 正确；对于C ，13cos153sin152cos15sin1522⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭()()()2sin30cos15cos30sin152sin 30152sin152sin 4530=-=-==-()212sin 45cos30cos 45sin 302222⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭C 错误； 对于D ，16sin10cos 20cos30cos 40 ()116sin 30sin 10cos30cos 402⎡⎤=⨯+-⎣⎦ 8sin30cos30cos 408sin10cos30cos 40=-()18408sin 40sin 20cos 402⎡⎤=-⨯+-⎣⎦404sin 40cos 404sin 20cos 40=-+()1402sin804sin 60sin 202⎡⎤=-+⨯+-⎣⎦402sin8032sin 20=-+-404sin50cos303=-+ )cos 40sin 503=-+)cos 40cos 403=-+=D 正确；故选：ABD.10．已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．4ab ≤ B ．111a b+≥ C ．2216a b +≥ D ．228a b +≤【答案】AB【分析】根据基本不等式进行逐一判断即可.【详解】A ：因为0a >，0b >，所以4a b ab +≥≤，当且仅当2a b ==时取等号，故本选项正确；B ：因为0a >，0b >，所以有11111()(2)(21444a b b a a b a b a b b a ++=+=++≥+=+，当且仅当2a b ==时取等号，故本选项正确；C ：因为228a b +≥=，当且仅当2a b ==时取等号，所以本选项不正确；D ：因为0a >，0b >，所以有22282a b a b +≤≤+≥，当且仅当2a b ==时取等号，所以本选项不正确，故选：AB11．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π【答案】AC【分析】根据题意得6πϕ=-，()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数的图像性质依次分析各选项即可得答案.【详解】解：因为函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，所以，2,Z 32k k ππϕπ⨯+=+∈，解得,Z 6k k πϕπ=-+∈，因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-，即()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，对于A 选项，函数3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，是奇函数，故正确；对于B 选项，当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，25,626x πππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由于函数sin y x =在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故错误；对于C 选项，函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像对应的解析式为()3sin 226g x x a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()g x 图像关于6x π=对称，则22,Z 662a k k ππππ⨯--=+∈，解得,Z 62k a k ππ=-+∈， 由于0a >，故a 的最小值是3π，故正确； 对于D 选项，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，672,66x πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-∈，故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=， 所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC12．已知1a b >>，则（ ） A ．ln ln a b b a > B ．11ea ba b-<C ．11e b a ->D ．若m b b n =+，则m a a n >+ 【答案】BC【分析】根据各个选项中的不等式，通过构造新函数，利用导数判断其单调性，再结合特例法进行判断即可.【详解】因为1a b >>，所以ln ln ln ln b aa b b a b a>⇔>， 设函数ln ()(1)xf x x x=>，21ln ()x f x x -'=，当(1,e)x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以A 选项错误；因为1a b >>，所以由111111eln ln ln ln a ba ab a b b a b a b -<⇔-<-⇔->-， 设函数1()ln g x x x =-，211()g x x x '=+，当,()0x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以B 选项正确；因为111eln 1ba a b->⇔>-，设函数1()ln 1h a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以21()a h a a -'=，当()1,a ∞∈+时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增， 当()0,1a ∈时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，所以()(1)0h a h >=，即11ln 10ln 1a a a a ⎛⎫-->⇒>- ⎪⎝⎭，因为1a b >>，所以111111a b a b <⇒->-，因此11ln 11a a b>->-，所以C 选项正确. 令2,0b m ==，则有1n =-，又令3a =，所以01,2m a a a n ==+=， 显然不成立，所以D 选项错误， 故选：BC【点睛】方法点睛：不等式是否成立可以通过构造函数利用导数的性质来进行判断.三、填空题13．已知角θ的终边经过点(2,1)P -，则22cos 2sin cos 2θθθ-=___________.【答案】23【分析】利用三角函数定义求出tan θ，再利用二倍角公式化简，结合齐次式法计算作答.【详解】因角θ的终边经过点(2,1)P -，则1tan 2θ=-，所以2222222222112()cos 2sin cos 2sin 12tan 221cos 2cos sin 1tan 31()2θθθθθθθθθ-⨯----====----. 故答案为：2314．函数()xe f x x =的单调递减区间是__________.【答案】和（或写成和）【详解】试题分析：由题意得22(1)()x x x xe e e x f x x x-='-=，令()0f x '<，解得0x <或01x <<，所以函数的递减区间为和．【解析】利用导数求解函数的单调区间．15．已知函数(1)y f x =+的图象关于直线3x =-对称，且对R x ∀∈都有()()2f x f x +-=，当2(]0,x ∈时，()2f x x =+.则(2022)f =___________. 【答案】2-【分析】根据给定条件，推理论证出函数()f x 的周期，再利用周期性计算作答. 【详解】因函数(1)y f x =+的图象关于直线3x =-对称，而函数(1)y f x =+的图象右移1个单位得()y f x =的图象，则函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称，即(4)()f x f x --=，而对R x ∀∈都有()()2f x f x +-=，则(4)()2f x f x --+-=，即R x ∀∈，(4)()2f x f x +=-+，有(8)(4)2f x f x +=-++[()2]2()f x f x =--++=，因此函数()y f x =是周期函数，周期为8，又当2(]0,x ∈时，()2f x x =+， 所以(2022)(25382)(2)2(2)242f f f f =⨯-=-=-=-=-. 故答案为：2-16．已知函数()sin cos (0,0)f x x a x a ωωω=+>>图像的两条相邻对称轴之间的距离小于,3f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，则ω的最小值为___________. 【答案】13【分析】先由对称轴间的距离确定了1ω>，再利用()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得到2,Z 62k k πωπϕπ+=+∈，依次利用诱导公式与基本关系式求得tan 6πω⎛⎫⎪⎝⎭、cos 6πω⎛⎫ ⎪⎝⎭、sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的a 关于表达式，求出a 的值，进而得到121,Z k k ω=+∈，即可得到结果. 【详解】()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+，tan a ϕ=， 因为两条相邻对称轴之间的距离小于π，即2T π<，故22T ππω=<，所以1ω>， 因为()f x 在6x π=处取得最大值，所以2,Z 62k k πωπϕπ+=+∈，即2,Z 26k k ππωϕπ=+-∈，所以1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以1tan 6a πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭3πωϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又2222sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23a =，又0a >，所以a =1sin 62πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，又tan 06πω⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以2,Z 66k k πωππ=+∈，解得121,Z k k ω=+∈，又1ω>，所以ω的最小值为13.故答案为：13.四、解答题17．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足2225,sin 2sin 8b c a bc C B +-==． （1）求cos A ；（2）若ABC 的周长为6ABC 的面积．【答案】（1）516；（2【解析】（1）由余弦定理可求得cos A ；（2）根据正弦定理可得2c b =，再由已知和余弦定理可求得2b =，根据三角形的面积可求得答案.【详解】解：（1）因为22258b c a bc +-=，所以2225cos 216b c a A bc +-==；（2）因为sin 2sin C B =，所以2c b =．由余弦定理得2222152cos 4a b c bc A b =+-=，则a =，因为ABC 的周长为636b =2b =，所以ABC 的面积为122b b ⨯⨯【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.18．已知函数()2ππ2sin sin cos cos 44f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的对称中心，并求当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 的值域；(2)若函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称，求()g x 在区间()0,π上的单调递增区间.【答案】(1)对称中心：π1π,622k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，值域：12⎛⎤- ⎥⎝⎦(2)5π11π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据三角恒等变换，化简函数()f x ，再结合正弦型函数的对称中心公式，即可得到对称中心，结合正弦函数的图像即可求得其值域.（2）由（1）中()f x 的解析式，根据对称变换即可得到函数()g x 的解析式，再结合正弦型函数的单调区间即可求得结果.【详解】(1)因为函数()2ππ2sin sin cos cos 44f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos x x x x x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎝⎭()221cos 2cos sin 22xx x x +=-+π1232x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭令π2π,3x k k +=∈Z ，解得ππ62k x =-+，即对称中心π1π,622k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则ππ4π2,333x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像可得()12f x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦所以，函数对称中心：π1π,622k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，值域：12⎛⎤- ⎥⎝⎦.(2)因为函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称，则()()π1232g x f x x ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π232k x k +≤-+≤+，k ∈Z ，解得7ππππ,1212k x k k -+≤≤-+∈Z 当1k =时，即为5π11π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当()0,πx ∈时，()g x 的单调递增区间：5π11π,1212⎛⎫⎪⎝⎭.19．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)ay b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元 (3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． 【详解】(1)由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠，()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)ay b a x=+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．(2)把()2,102，()6,78，()20,120分别代入2y ax bx c =++，得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得12a =，10b =-，120c = ∴()221110120107022y x x x =-+=-+，,()0x ∈+∞． ∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元． (3)令()()()1701010210f xg x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+， 因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立， 则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增，∴ 当10x =+()g x 取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥20．己知函数21()2ln (21)(0)2f x x ax a x a =-+->．(1)若曲线(=)y f x 在点(1,(1))f 处的切线经过原点，求a 的值；(2)设2()2g x x x =-，若对任意(0,2]s ∈，均存在(0,2]t ∈，使得()()f s g t <，求a 的取值范围．【答案】(1)=4a ； (2)(0,1ln 2)-.【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程（含参数a ），由切线过原点求出a 的值； （2）利用导数研究()f x 的单调性并求出(0,2]上的最大值，由二次函数性质求()g x 在(0,2]上的最大值，根据已知不等式恒（能）成立求参数a 的范围.【详解】(1)由21()2ln (21)(0)2f x x ax a x a =-+->，可得2()21f x ax a x '=-+-．因为(1)2211f a a a '=-+-=+，13(1)21122f a a a =-+-=-，所以切点坐标为3(1,1)2a -，切线方程为：()311(1)2a y a x ⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭， 因为切线经过(0,0)，所以3112aa -=+，解得=4a ． (2)由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，21()[(21)2]f x ax a x x'=----，令()f x '=2(21)20ax a x ---=，解得1x a=-或=2x ， 因为0,a >所以10a-<，所以12a-<， 令()0f x '>，即2(21)20ax a x ---<，解得：12x a-<<，令()0f x '<，即2(21)20ax a x --->，解得：1x a<-或2x >，所以()f x 增区间为(0,2)，减区间为(2,)+∞．因为()22()211g t t t t =-=--，所以函数()g t 在区间(0,2]的最大值为0， 函数()f s 在(0,2)上单调递增，故在区间(0,2]上max ()(2)2ln 222f s f a ==+-， 所以2ln 2220a +-<，即ln 210a +-<，故1ln 2a <-， 所以a 的取值范围是(0,1ln 2)-.21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1112,,AB AC AA AB AC A AB A AC ===⊥∠=∠，D 是棱11B C 的中点.(1)证明：1AA BC ⊥；(2)若三棱锥11B A BD -1A BD 与平面11CBB C 所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）作出辅助线，由三线合一证明线线垂直，进而证明线面垂直，得到BC ⊥平面1AAO ，从而证明1AA BC ⊥；（2）作出辅助线，由三棱锥的体积求出1A H =用空间向量求解二面角；方法二：作出辅助线，找到二面角的平面角，再求解余弦值. 【详解】(1)取BC 中点O ，连接AO ，1AO ,1AC,因为AB AC =,所以AO BC ⊥,因为11A AB A AC ∠=∠，11,AB AC AA AA ==，所以11A AB A AC ≅，所以11A B AC =，所以1AO BC ⊥， 因为1AOAO O =，1,AO AO ⊂平面1AAO ， 所以BC ⊥平面1AAO ， 因为1AA ⊂平面1AAO ， 所以1AA BC ⊥；(2)连接OD ，则平面1AAO 即为平面1AA DO ， 由（1）知BC ⊥平面1AA DO ，因为BC ⊂平面ABC ，且BC ⊂平面11BCC B ， 故平面1AA DO ⊥平面ABC ，平面1AA DO ⊥平面11BCC B ，过O 作1OM A D ⊥于M ，则OM ⊥平面ABC ，过1A 作1A H OD ⊥于H ，则1A H ⊥平面11BCC B ，因为11DO BB AA ∥∥知DO BC ⊥，在ABC中：2,AB AC BC ===所以1112BDB S DB DO =⋅△所以111111113B A BD A BDB BDB A A V V S h --==⋅==△，所以11A A H h = 法一：设MOD α∠=，则1DA H α∠=，在1Rt A HD △中11cos A H A D α===所以sin cos DM DO OM OD αα=⋅==⋅=又1A D M 为线段1A D 的中点，以O 为原点，分别以,,OA OB OM 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，1(0,A B C A ⎝⎭，1,2222B D ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 设面1A BD 的法向量为()1111,,x n y z =，则有111111*********n BA xn BD x⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，两式相减得：10x =，所以110=，令12z =，可得：1y = 所以1(0,7,2)n =，设面11CBB C 的法向量为()2222,,n x y z =，则有221122220202n CB n CB ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 解得：20y =，令21z =，解得：2x =所以2(7,0,1)n=， 设锐二面角为θ，则有1212cos 4n n n n θ⋅===+⋅. 法二：过H 做HE BD ⊥，连接1A E ，1A H ⊥面11BCC B，1A H DB ∴⊥，则DB ⊥面1AHE ，1A E BD ∴⊥，则1A EH ∠即为所求二面角.在1Rt A DH △中，11A H A D =12DH =，在Rt DOB 中，2,DO OB DB == 由RtRt DEHDOB 可得：HE DHOB DB=，HE ∴=，则1A E =11cos HE A EH A E ∴∠===22．己知函数()e sin 1(0)x f x a x a =-->在区间(0,)π内有唯一极值点1x ． (1)求实数a 的取值范围；(2)证明：()f x 在区间(0,)π内有唯一零点2x ，且212x x <． 【答案】(1)(1,)∈+∞a (2)证明见解析【分析】（1）根据极值点的定义，求导，进而求导函数的零点，研究零点左右与零大小关系，可得答案；（2）由（1）明确函数的单调区间，分别在两个单调区间上，利用零点存在性定理，证明零点唯一存在，根据单调性证明不等式成立. 【详解】(1)()e cos x f x a x '=-，①当01a <≤时，因为()0,x π∈，所以cos 1a x <，1e e x π<<，()0f x '>，()f x 在()0,π上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；②当1a >时，令()=()g x f x '，则()e sin x g x a x '=+，因为()0,x π∈，所以()0g x '>，所以()f x '在()0,π上递增，又因为(0)10f a '=-<，2e 02f ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，所以()f x '在()0,π上有唯一零点1x ，且10,2x π⎛⎫⎪⎝⎭∈，所以()10,x x ∈，()0f x '<；1,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>，所以()f x 在()0,π上有唯一极值点，符合题意. 综上，(1,)∈+∞a .(2)由（1）知1a >，所以,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()e cos 0x f x a x '=->，所以()10,x x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；()1,x x π∈，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()10,x x ∈时，()(0)0f x f <=，则()10f x <，又因为()e 10f ππ=->， 所以()f x 在()1,πx 上有唯一零点2x ，即()f x 在(0,)π上有唯一零点2x .因为()112211112e sin 21e 2sin cos 1x xf x a x a x x =--=--，由（1）知()10f x '=，所以11e cos x a x =，则()112112e 2e sin 1x x f x x =--，构造2()e 2e sin 1,0,2t tp t t t π⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，所以()2()2e 2e (sin cos )2e e sin cos t t t tp t t t t t '=-+=--，记()e sin cos ,0,2tt t t t πϕ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则()e c o s s i n t t t t ϕ'=-+，显然()t ϕ'在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0t ϕϕ''>=，所以()t ϕ在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0t ϕϕ>=，所以()0p t '>，所以()p t 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0p t p >=，所以()()1220f x f x >=，由前面讨论可知：112x x π<<，12x x π<<，且()f x 在()1,x x π∈单调递增，所以122x x >.【点睛】在利用导数证明不等式成立时，一定明确单调区间，在同一单调区间上，由函数值的大小关系，可得自变量的大小关系，探究函数的单调性，可通过研究导数过着导数中部分代数式所构成函数的单调性，求其最值，可得函数的单调性.。
高三数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞04．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣26．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．278．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．49．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．2011．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=__________．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是__________．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=__________．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；集合思想；定义法；集合．【分析】由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）M={x|y=ln（x2﹣2x） }∴x2﹣2x＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M={x|x＜0，或x＞2}，∴C U M={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={y|y=}={y|y≥1}=[1，+∞），∴N∩（C U M）=[1，2]，故选：C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用命题的否定判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；充要条件判断C 的正误；命题的真假判断D的正误；【解答】解：对于A，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠x0，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于B，命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5，不满足否命题的形式，所以不正确；对于C，若ω=1是函数f（x）=cosx在区间[0，π]上单调递减的，而函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的，ω≤1，所以ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件，正确．对于D，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则命题：a≥0，∀x∈R，x2+a≥0是真命题；所以，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0，不正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．4．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过题意可推断出当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．进而可根据椭圆的方程求得焦点的坐标和P的坐标，进而求得和，则•的值可求得．【解答】解：根据题意可知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．这时，F1（﹣，0），F2（，0），P（0，1），∴=（﹣，﹣1），=（，﹣1），∴•=﹣2．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析问题的能力．6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值X围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．4【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】先根据对数的运算性质求出tanθ，再化简代值计算即可．【解答】解：点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，∴tanθ=log216=4，∴====，故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式，函数值的求法，以及对数的运算性质，属于基础题．9．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的性质可知，f（x）=（）x﹣log3x在（0，+∞）上是减函数，且可得f（x0）=0，由0＜x0＜x1，可得f（x1）＜f（x0）=0，即可判断【解答】解：∵实数x0是方程f（x）=0的解，∴f（x0）=0．∵函数y（）x，y=log3x在（0，+∞）上分别具有单调递减、单调递增，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．又∵0＜x0＜x1，∴f（x1）＜f（x0）=0．∴f（x1）的值恒为负．故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性的简单应用，解题的关键是准确判断函数f（x）的单调性并能灵活应用．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．20【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先根据题中的已知条件已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，进一步求出数列的通项公式，然后根据通项公式求出各项的值，最后确定结果．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2则：∴a n=3n﹣5a2+a4+a5+a9=40故选：B【点评】本题考查的知识点：根据点的斜率求出数列的通项公式，由通项公式求数列的项．11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．【点评】本题考查了对数和幂的运算性质，关键是掌握性质，属于基础题．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是﹣8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将z=x﹣3y变形为，此式可看作是斜率为，纵截距为的一系列平行直线，当最大时，z最小．作出原不等式组表示的平面区域，让直线向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值．【解答】解：由z=x﹣3y，得，此式可看作是斜率为，纵截距为的直线，当最大时，z最小．画出直线y=x，x+2y=2，x=﹣2，从而可标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由图知，当动直线经过点P时，z最小，此时由，得P（﹣2，2），从而z min=﹣2﹣3×2=﹣8，即z=x﹣3y的最小值是﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了线性规划的应用，为高考常考的题型，求解此类问题的一般步骤是：（1）作出已知不等式组表示的平面区域；（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】数形结合．【分析】由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为﹣8．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】是结合复合函数单调性的关系进行判断．②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断；③利用对勾函数的单调性判断；④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：①函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵=2，∴f（x）=lg≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正确，②∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故②正确；③当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，故③错误；④∵函数f（x）是偶函数，由③知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴在（﹣1，0）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上得到递减，故④正确，故答案为：①②④【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【专题】规律型．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件是解决本题的关键．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+≥2=2e，从而求m的取值X围；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值X围．【解答】解：（1）∵g（x）=x+≥2=2e；（当且仅当x=，即x=e时，等号成立）∴若使函数y=g（x）﹣m有零点，则m≥2e；故m的取值X围为[2e，+∞）；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，故只需使F（e）＜0，即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；故m＞2e﹣e2+1．【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．【考点】求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q （﹣x，﹣y）在函数f（x）图象上，把Q（﹣x，﹣y）代入f（x），整理可得g（x）（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min【解答】解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（﹣x，﹣y）在函数f （x）的图象上，即﹣y=log a（﹣x+1），则∴（2）f（x）+g（x）≥m 即，也就是在[0，1）上恒成立．设，则由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．m的取值X围是（﹣∞，0]【点评】本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M （a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a﹣x，2b﹣y）在函数y=g（x）的图象上．（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）m≤h（x）恒成立，max则m≤h（x）min20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，（2）由（1）的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利．（3）算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．【解答】解：（1）y=﹣2x2+40x﹣98，x∈N*．（2）由﹣2x2+40x﹣98＞0解得，，且x∈N*，所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．（3）由，当且仅当x=7时“=”号成立，所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114（万元）．由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2（x﹣10）2+102≤102，所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）．∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．【点评】考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力，其中第二问中考查了一元二次不等式的解法，第三问中考查到了基本不等式求最值，本题是一个函数基本不等式相结合的题．属应用题中盈利最大化的问题．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx 恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值X围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），x 2g′（x）0 ﹣0 +g（x）﹣递减极小值递增 13由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x 2lnx恒成立，记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，所以a≥1，故实数a的取值X围是[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值X围，属于中档题．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】参数的意义；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点的坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标；（2）画出图象，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．【解答】解：（1）由（θ为参数），消去参数得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（2，）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=2+4，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=×（2+4）×=2+2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4，2]内的值域，结合|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，求得a的X围．【解答】解：（1）当a=0时，不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|＞0，可得①，或②，或③．解①求得 x＜﹣3，解②求得﹣＜x＜1，解③求得x≥1．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣}．（2）当x∈[﹣4，2]，f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2，3]，而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，故有a≤3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想；还考查了分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．。
2022-2023学年福建省福州格致中学高三上学期第二次月考(10月)数学试卷带讲解
11.已知 是平面向量， 是单位向量，非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足 ，则 可能取到的值为（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，由给定条件，确定 ， 的终点的轨迹即可求解作答.
【详解】将向量 平移到共起点O，以点O为原点，单位向量 的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图，
又因为C选项 ，
所以 ，故 ，D正确.
故选：ACD.
【点睛】注意将问题化为 在 上有两个变号零点求参数范围问题，由此得到的 的单调性和零点情况判断 的单调性和零点，根据零点得到 ，利用对数均值不等式求证不等式.
三、填空题
13.若 为纯虚数（ 为虚数单位），则实数 ___________；
【答案】-1
12.已知函数 有两个极值点 ， ，则下列选项正确的有（）
A. B.函数 有两个零点
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】问题化为 在 上有两个变号零点，讨论参数a研究 的单调性，结合零点存在性定理判断区间零点情况，进而求出a的范围，再研究 的单调性，结合零点存在性定理判断 零点个数，且可得 ，最后应用对数均值不等式 判断C、D.
夜晚天气
日落云里走
下雨
未下雨
出现
25
5
未出现
25
45
附： ，其中 ．
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C.依据 的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
河南省南阳市第一中学2022届高三数学上学期第二次月考(9月)试题 文
河南省南阳市第一中学2022届高三数学上学期第二次月考（9月）试题 文一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}|02A x x =<<，13|log 2B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =( )A ．{}|0x x >B ．1|09x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}|02x x << D ．1|29x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．已知函数()2xy f =的定义域是[1,1]-，则函数()3log f x 的定义域是（ ）A ．[1,1]-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[1,3]D ．[3,9]3．已知x 、y R ∈，若:224x yp +>，:2q x y +>，则p 是q 的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 设命题0:(0,)p x ∃∈+∞，00132016xx +=；命题:,(0,)q a b ∀∈+∞，11,a b b a++中至少有一个不小于2。
则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5．设，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>6．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ）A ．y x =-B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-7．已知函数()()()1,0ln 2,20a x a x f x x x ⎧-+>⎪=⎨+-<≤⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln 2a <B ．ln 2a ≤C ．0a >D ．12ln <≤a 8．函数()()22xf x x x e =-的图象大致为( )A B C D9.已知函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取值范围是（ ）A ．[2,1]--B ．[1,)+∞C ．RD ．(,2][1,)-∞-+∞10．已知函数521log (21),(,3)()21022,[3,)x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨⎪-+∈+∞⎩，若方程()f x m =有4个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则341211()()x x x x ++=( ) A ．12B ．16C ．18D ．2011．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与)1()1(x f x f +=-成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ） A ．2020 B ．2019C ．1010D ．100912．已知函数()31443f x x x =-+在区间()225,a a -上存在最大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．()2,2-C ．2,2⎡⎤-⎣⎦D ．32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()()2322log log 4f x x x =-+，(]1,4x ∈的值域为__________.14．已知函数21()3ln 2f x x ax x =+-在区间1[,2]3上是增函数，则实数a 的取值范围为 15．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()(1)f x f x y f x '>=+且是偶函数，2(0)2f e =，则不等式()2x f x e <的解集为16．已知函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）设p ：实数a 满足不等式3113a -≥（），:q 函数3213()392a f x x x x -=++无极值点. （1）若p q ⌝∧为假命题，p q ⌝∨为真命题，求实数a 的取值范围；20001202020192019,2019log ,2020log ===c b a（2）若p q ∧为真命题，并记为r ，且t ：12a m >+或a m <，若t 是r ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=.（1）求,a b 的值； （2）若不等式()220xxf k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.19．（本小题满分12分）某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位:千元)与市场供应量p (单位:万件)之间近似满足关系式:2))(1(2b x kt p --=,其中k 、b 均为常数.当关税税率75%t =时,若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件. （1）试确定k 、b 的值；（2）市场需求量q (单位:万件)与市场价格x 近似满足关系式：2xq -=,当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.20．（本小题满分12分）已知函数()()()()2ln 0,f x a x x a g x x =+>=．（1）若()f x 的图象在1x =处的切线恰好也是()g x 图象的切线．求实数a 的值；（2）对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数12,x x 且12x x <，都有()()()()2121f x f x g x g x -<-成立．试求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数R m x m x x f ∈+-=,ln )1()(2.若函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，求12)(x x f 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈.（1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围； （2）当1x >时，()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围.高三2022年秋期第二次月考文科数学答案DDABCA BBDDAD 13.7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 14.8[,)9+∞ 15.(,2)-∞ 16.1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭16.若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解等价于21162a y x x =++关于原点对称的函数21162a y x x =-+-与函数f (x )=lnx -x (x >0)的图象有两个交点，联立可得211ln 062a x x x x -++=-有两个解，即2311ln 62a x x x x x =-++可设()2311ln 62g x x x x x x =-++，则()21ln 2232g x x x x '=-++，进而()120g x x x''=+-≥且不恒为零，可得()g x '在()0,∞+单调递增.由()10g '=可得01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减；1x >时，()0,()'>g x g x 单调递增，即()g x 在1x =处取得极小值且为13-作出()y g x =的图象，可得103-<<a 时，211ln 062a x x x x -++=-有两个解. 17.解：若p 为真，则3a ≤， 又21'()(3)33f x x a x =+-+，若q 为真，令0∆≤，则15a ≤≤；（1）由p q⌝∧为假命题，p q ⌝∨为真命题，则p ⌝与q 一真一假 若p ⌝为真，q 为假，则351a a a >⎧⎨><⎩或，5a ∴>若p ⌝为假，q 为真，则315a a ≤⎧⎨≤≤⎩，13a ∴≤≤综上，实数a 的取值范围为5a >或13a ≤≤ ；（2）若p q ∧为真，则13a ≤≤，:3r a ∴⌝>或1a <1:2t a m ∴>+或a m <又t 是r ⌝的必要不充分条件，1132m m ≥⎧⎪∴⎨+≤⎪⎩，512m ∴≤≤. 18.（1）()()2g x a x 11b a =-++-，因为a 0>，所以()g x 在区间[]23，上是增函数，故()()21{34g g ==，解得1{0a b ==． （2）由已知可得()12=+-f x x x ，所以()20-≥x f kx 可化为12222+-≥⋅x xx k ，化为2111+222-⋅≥x x k （），令12=x t ，则221≤-+k t t ，因[]1,1∈-x ，故1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，记()221=-+h t t t ，因为1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，故()0=min h t ， 所以k 的取值范围是(],0∞-．19.（1）由已知22(10.75)(5)(10.75)(7)1222k b k b ----⎧=⎪⎨=⎪⎩，22(10.75)(5)0(10.75)(7)1k b k b ⎧--=⎨--=⎩解得，5,1b k == （2）当p q =时，2(1)(5)22t x x ---=所以221(1)(5)1125(5)10x t x x t x x x--=-=+=++-⇒- 而25()f x x x =+在(0,4]上单调递减，所以当4x =时，()f x 最小值414， 故当4x =时，关税税率的最大值为500%. 20.（1）∵()()ln f x a x x =+,∴()11f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'， ∴ ()12f a '=， 又()1f a =，∴()f x 的图象在1x =处的切线方程为()21y a a x -=-， 即2y ax a =-，由22y ax a y x=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得得220,x ax a -+= 则2440a a ∆=-=，解得 1a =；（2）由条件可知()()()()()221112f x g x f x g x x x -<-<，设()()()()2ln F x f x g x a x x x =-=+-，则由条件可得()F x 在[]1,2上单调递减， ∴ ()()2120a x x F x x+-'=≤在[]1,2上恒成立，∴ ()2120a x x +-≤在[]1,2上恒成立，即221x a x ≤+在[]1,2上恒成立， ∵ 22221111124x x x =≥+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当x 2=时等号成立。
湖南省湘阴县知源高级中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题含答案
湘阴县知源高级中学2023届高三第二次月考数学科试卷满分：150分 考试时量：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x|x >−1}，B ={x|x <2}，则A ∪(∁R B)= ( )A. {x|x >−1}B. {x|x ≥−1}C. {x|x <−1}D. {x|−1<x ⩽2} 2．对于实数a ，b ，c ，“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．三个数50.6，0.65，log 0.65的大小顺序是( )A. 0.65<log 0.65<50.6B. 0.65<50.6<log 0.65C. log 0.65<0.65<50.6D. log 0.65<50.6<0.654．若实数x,y 满足：x,y >0,3xy −x −y −1=0，则xy 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．函数f (x )=2xx 2−1的图象大致为( )A. B.C. D.6．设函数f(x)={−x 2+4x −3,x ≤2log 2x,x >2，则满足不等式f (2x −1)<2的解集是（ ）A ．(−∞,32)B ．[2,52)C ．(32,2]D ．(−∞,52)7．当x =1时，函数f(x)=alnx +bx 2+3取得最大值2，则f(3)=（ ） A ．2ln3+2B ．−163C ．2ln3−6D ．−48．已知函数f (x )={|log 3x |,x >03x,x ≤0，若函数g (x )=[f (x )]2−(m +2)f (x )+2m 恰好有5个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[1,+∞)D ．(1,+∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列求导错误的是( )A. (e 3x)′=3ex B.(x 22x+1)′=xC. (2sinx −3)′=2cosxD. (xcosx)′=cosx −xsinx10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则( )A. a >0B. 不等式bx +c >0的解集是{x|x <−6}C. a +b +c >0D. 不等式cx 2−bx +a <0的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)11．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是θ0（单位：oC ），环境温度是θ1（单位：o C ），其中θ0>θ1则经过t 分钟后物体的温度θ将满足θ=f (t )=θ1+(θ0−θ1)⋅e −kt (k ∈R 且k >0）.现有一杯80∘C 的热红茶置于20∘C 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值ln 2≈0.7) A ．若f (3)=50∘C ，则f (6)=35∘C B ．若k =110，则红茶下降到50∘C 所需时间大约为7分钟C ．若f ′(3)=−5，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5∘C 的速率下降D ．红茶温度从80∘C 下降到60∘C 所需的时间比从60∘C 下降到40∘C 所需的时间多12．函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R ，且f(x)是奇函数，设g(x)=f ′(x)，ℎ(x)=f(x −4)+x ，则以下结论正确的有（ ） A ．函数g(x −2)的图象关于直线x =−2对称B ．若g(x)的导函数为g ′(x)，定义域为R ，则g ′(0)=0C ．ℎ(x)的图象关于点(4,4)中心对称D ．设{a n }为等差数列，若a 1+a 2+⋯+a 11=44，则ℎ(a 1)+ℎ(a 2)+⋯+ℎ(a 11)=44三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数f (x )=(2m −1)x m 是幂函数，则实数m =______.14．求值：2log 214−(827)−23+lg 1100+(√2−1)lg 1= ．15．已知点P 为曲线y =lnx 上的动点，则P 到直线y =x +4的最小距离为______.16．设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)，对任意的x ∈(0,+∞)，都有f [f(x)−log 3x ]=4，若x 0是方程f(x)−2f ′(x)=3的一个解，且x 0∈(a,a +1),a ∈N ∗，则实数a =_____．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数f(x)=sin (π4+x)sin (π4−x)+√3sin xcos x ．(1)求f(π6)的值；(2)在△ABC中，若f(A2)=1，求sin B+sin C的最大值．18．（本小题满分12分）已知在数列{a n}中，a1=3，且a n+a n+1=3n+1.(1)证明：数列{a n3n −34}是等比数列.(2)求{a n}的前n项和S n.19．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2√2，AD=√2，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM(1)求证：AD⊥BM(2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E−AM−D的余弦值为√55．20．（本小题满分12分）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格P(x)（元）与时间x（天）的函数关系近似满足P(x)=1+kx（k为正常数）．该商品的日销售量Q(x)（个）与时间x（天）的部分数据如下表所示：x/天10202530Q(x)/个110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k的值；(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)=ax+b，①Q(x)=a|x−25|+b，①Q(x)=a⋅b x，①Q(x)=a⋅log b x．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N+)（元）的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数f(x)=log141−axx−1的图象关于原点对称，其中a为常数．(1)求a的值；(2)当x∈(1,+∞)时，f(x)+log14(x−1)<m恒成立，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)=log14(x+k)在[2,3]上有解，求实数k的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数f(x)=e x−m+ln3x.(1)设x=1是函数f(x)的极值点，求m的值并讨论f(x)的单调性；(2)当m⩽2时，证明：f(x)>ln3.湘阴县知源高级中学2023届高三第二次月考数学科试卷（答案）一、单选题1．【答案】A【详解】已知集合A={x|x>−1}，B={x|x<2}，则∁R B={x|x≥2}，因此A∪(∁R B)= {x|x>−1}.故选A．2．【答案】B【详解】当a>b时，不能推出ac2>bc2，当ac2>bc2，可推出a>b．故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．故选：B．3．【答案】C【详解】∵50.6>1，1>0.65>0，log0.65<0∴50.6>0.65>log0.65，故选C．4．【答案】A【详解】因为3xy−x−y−1=0，所以3xy−1=x+y，由基本不等式可得3xy−1=x+y≥2√xy，（舍），即xy≥1故3xy−2√xy−1≥0，解得√xy≥1或√xy≤−13当且仅当x=y=1时等号成立，故xy的最小值为1，故选：A.5．【答案】A，定义域为{x|x≠±1}，【详解】函数f(x)=2xx2−1由f(−x)=−f(x)，故f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B，D；当0<x<1时，f(x)<0，排除C．故本题选A．6．【答案】D【详解】函数f(x)的图象如下图所示：由图可知：函数f(x)在R上单调递增，因为f(4)=2，所以f(2x−1)<2等价于f(2x−1)<f(4)，故2x−1<4，即x<5，故选：D27．【答案】C【详解】因为f (x )=alnx +bx 2+3，所以f ′(x )=ax +2bx ， 又当x =1时，函数f (x )=alnx +bx 2+3取得最大值2，所以f (1)=2，f ′(1)=0，即{b +3=2a +2b =0，解得b =−1，a =2，所以f (x )=2lnx −x 2+3，f ′(x )=2x−2x =2(1−x )(1+x )x ，所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，符合题意， 所以f (3)=2ln3−6故选：C ． 8．【答案】A【详解】画出函数的大致图象，如下图所示： ∵函数g (x )=[f (x )]2−(m +2)f (x )+2m 恰好有5个不同的零点，∴方程[f (x )]2−(m +2)f (x )+2m =0有5个根，设t =f(x)，则方程化为t 2−(m +2)t +2m =0，易知此方程有两个不等的实根t 1，t 2，结合f(x)的图象可知，t 1∈(0,1]，t 2∈(1,+∞)，令ℎ(t)=t 2−(m +2)t +2m ，则由二次函数的根的分布情况得：{Δ=(m +2)2−8m >0ℎ(0)>0ℎ(1)≤0 ，解得：0<m ≤1.故选：A 二、多选题 9．【答案】AB【详解】(e 3x )′=3e 3x ，故A 错误；(x 22x+1)′=2x (2x+1)−2x 2(2x+1)2≠x ，故B 错误；(2sin x −3)′=2cos x ，故C 正确；(xcos x)′=x′cosx +x (cosx )′=cos x −xsin x ，故D 正确．故答案选：AB ．10．【答案】ABD【详解】由题意可知，−2和3是方程ax 2+bx +c =0的两根，且a >0， ∴−2+3=−ba ，(−2)×3=ca ，∴b =−a ，c =−6a ，a >0，即选项A 正确； 不等式bx +c >0等价于a(x +6)<0，∴x <−6，即选项B 正确； ∵不等式ax 2+bx +c >0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)， ∴当x =1时，有a +b +c <0，即选项C 错误；不等式cx 2−bx +a <0等价于a(6x 2−x −1)>0，即a(3x +1)(2x −1)>0， ∴x <−13或x >12，即选项D 正确．故选：ABD ． 11．【答案】ABC【详解】由题知θ=f (t )=20+60e −kt ，A ：若f (3)=50∘C ，即50=20+60e −3k ，所以e −3k =12，则f (6)=20+60e −6k =20+60(e −3k )2=20+60×(12)2=35∘C ，A 正确；B ：若k =110，则20+60⋅e −110t =50，则e −110t =12，两边同时取对数得−110t =ln 12=−ln 2，所以t =10ln 2≈7， 所以红茶下降到50∘C 所需时间大约为7分钟，B 正确；C ：f ′(3)表示t =3处的函数值的变化情况，若f ′(3)=−5<0，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5∘C 的速率下降，故C 正确；D :f (t )为指数型函数，如图，可得红茶温度从80∘C 下降到60∘C 所需的时间(t 2−t 1)比从60∘C 下降到40∘C 所需的时间(t 3−t 2)少，故D 错误. 故选：ABC ．12．【答案】BCD【详解】由导数的几何意义及f (x )的对称性，f (x )在x 和−x 处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故g (x )=g (−x ),g (x )是偶函数，g (x −2)对称轴为x =2,A 错；由g (x )的对称性，g (x )在x 和−x 处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故g ′(−x )=−g ′(x ),g ′(x )为奇函数，又定义域为R,g ′(0)=0，B 对；ℎ(x )=f (x −4)+(x −4)+4，由f (x )为奇函数知u (x )=f (x )+x 为奇函数，图像关于(0,0)对称，ℎ(x )可以看作由u (x )按向量(4,4)平移而得，故C 对； 由C 选项知，当x 1+x 2=8时，ℎ(x 1)+ℎ(x 2)=8，由等差数列性质a 1+a 11=8,∴ℎ(a 1)+ℎ(a 11)=8，以此类推倒序相加，D 正确. 故选：BCD 三、填空题 13．【答案】1【详解】因为f (x )=(2m −1)x m 是幂函数，所以2m −1=1，解得m =1. 故答案为：1 14．【答案】−3【详解】2log 214−(827)−23+lg 1100+(√2−1)lg1=14−[(23)3]−23−lg100+(√2−1)0=14−94−2+1=−3．故答案为−3．15．【答案】5√22【详解】解：设y =x +m (m ≠4)与y =lnx 相切与点Q (x 0,lnx 0)，则 y ′=1x 0，令y ′=1x 0=1，得x 0=1，则切点Q (1,0)，代入y =x +m (m ≠4)，得m =−1，即直线方程为y =x −1， 所以与直线y =x +4间的距离为d =|4+1|√2=5√22， 即为P 到直线y =x +4的最小距离， 故答案为：5√2216．【答案】2【详解】对任意的x ∈(0,+∞)，都有f [f(x)−log 3x ]=4，且f(x)是(0,+∞)上的单调函数，因此f (x )−log 3x 为定值，设t =f (x )−log 3x ，则f (x )=t +log 3x ，显然f (t )=4， 即t +log 3t =4，而函数ℎ(t)=t +log 3t 在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(3)=4，于是得t =3， 从而f (x )=log 3x +3，求导得f ′(x )=1xln3，方程f(x)−2f ′(x)=3⇔log 3x −2xln3=0， 依题意，x 0是函数g(x)=log 3x −2xln3的零点，而函数g(x)在(0,+∞)上单调递增， 且g(2)=log 32−1ln3=ln2−1ln3<0,g(3)=1−23ln3>0，即函数g(x)的零点x 0∈(2,3)，又x 0∈(a,a +1),a ∈N ∗，所以a =2. 故答案为：2 四、解答题17．【答案】(1)∵f(x)=sin (π 4+x)sin (π 4−x)+√3sin x cos x=sin (π4+x)sin [π2−(π4+x)]+√3sinxcosx =sin (π4+x)cos (π4+x)+√3sinxcosx =12cos2x +√32sin2x =sin (2x +π6)，∴f (π6)=sin (2×π6+π6)=1． (2)由f (A2)=sin (A +π6)=1，而0<A <π，可得A +π6=π2，即A =π3， ∴sinB +sinC =sinB +sin (2π3−B)=32sinB +√32cosB =√3sin (B +π6)，∵0<B <2π3，∴π6<B +π6<5π6，12<sin (B +π6)≤1，则√32<√3sin (B +π6)≤√3，故当B =π3时，sinB +sinC 取最大值，最大值为√3． 18．【答案】（1）因为a n +a n+1=3n+1，所以a n+13n+1−34a n 3n −34=3n+1−a n 3n+1−34a n 3n −34=14−a n 3n+1a n 3n −34=−13．又a13−34=14，所以{an3n−34}是以a13−34=14为首项，−13为公比的等比数列. （2）由（1）可知a n3n −34=14×(−13)n−1，则a n =3n+14+34×(−1)n−1.S n =14×(32+33+⋯+3n+1)+34×[(−1)0+(−1)1+⋯+(−1)n−1] =14×32−3n+21−3+34×1−(−1)n 1−(−1)=3n+2−6+3×(−1)n+18.19．【答案】(Ⅰ)证明：∵长方形ABCD 中，AB =2√2，AD =√2，M 为DC 的中点，∴AM =BM =2，可得AM 2+BM 2=AB 2， ∴BM ⊥AM ．∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM =AM ，BM ⊂平面ABCM ， ∴BM ⊥平面ADM ，∵AD ⊂平面ADM ，∴AD ⊥BM.(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系，则A(1,0,0)，B(−1,2,0)，D(0,0,1)，M(−1,0,0) 设DE⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则平面AMD 的一个法向量n ⃗ =(0,1,0)， ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,2λ,1−λ)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)， 设平面AME 的一个法向量为m⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x =0m ⃗⃗ ·ME⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)x +2λy +(1−λ)z =0, 取y =1，得x =0，z =2λλ−1，则m ⃗⃗ =(0,1,2λλ−1)，∵|cos <m →，n →>|=|m⃗⃗⃗ ·n ⃗ ||m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√55， 解得λ=12，故E 为BD 的中点．20．【答案】（1）由题意得P (10)⋅Q (10)=(1+k10)×110=121，解得k =1．（2）由题表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，①，①中的函数为单调函数，故只能选①，即Q (x )=a |x −25|+b ． 由题表可得Q (10)=110，Q (20)=120，即{15a +b =110,5a +b =120,解得{a =−1,b =125, 故Q (x )=125−|x −25|(1≤x ≤30,x ∈N +)．（3）由（2）知Q (x )=125−|x −25|={100+x,1≤x <25,x ∈N +,150−x,25≤x ≤30,x ∈N +,①f (x )=P (x )⋅Q (x )={x +100x+101,1≤x <25,x ∈N +,150x−x +149,25≤x ≤30,x ∈N +.当1≤x <25时，y =x +100x在区间[1,10)上单调递减，在区间[10,25)上单调递增，①当x =10时，f (x )取得最小值，且f (x )min =121； 当25≤x ≤30时，y =150x−x 是单调递减的，①当x =30时，f (x )取得最小值，且f (x )min =124．综上所述，当x =10时，f (x )取得最小值，且f (x )min =121． 故该商品的日销售收入f (x )的最小值为121元． 21．【答案】（1）解：因为函数f (x )=log 141−ax x−1的图象关于原点对称，所以f (x )+f (−x )=0，即log 141−ax x−1+log 141+ax−x−1=0，所以log 14(1−ax x−1×1+ax −x−1)=0恒成立，所以1−ax x−1×1+ax−x−1=1恒成立，即1−a 2x 2=1−x 2恒成立，即(a 2−1)x 2=0恒成立，所以a 2−1=0，解得a =±1又a =1时，f (x )=log 141−ax x−1无意义，故a =−1．（2）因为x ∈(1,+∞)时，f (x )+log 14(x −1)<m 恒成立， 所以log 141+xx−1+log 14(x −1)<m 恒成立，所以log 14(x +1)<m 在x ∈(1,+∞)上恒成立，因为y =log 14(x +1)是减函数， 所以当x ∈(1,+∞)时，log 14(x +1)∈(−∞,−1)，所以m ≥−1， 所以实数m 的取值范围是[−1,+∞)．（3）因为f (x )=log 141+x x−1=log 14(1+2x−1)在[2,3]上单调递增，g (x )=log 14(x +k )在[2,3]上单调递减，因为关于x 的方程f (x )=log 14(x +k )在[2,3]上有解， 所以{f (2)≤g (2),f (3)≥g (3), 即{log 143≤log 14(2+k ),log 142≥log 14(3+k ),解得−1≤k ≤1，所以实数k 的取值范围是[−1,1]． 22．【答案】（1）∵f(x)=e x−m +ln 3x ，∴x >0，f ′(x)=e x−m −1x ，∵x =1是函数f(x)的极值点， ∴f ′(1)=e 1−m −1=0，解得m =1，∴f ′(x)=e x−1−1x ，设g (x )=e x−1−1x ，则g ′(x )=e x−1+1x 2>0， ∴x =1是f ′(x)=0的唯一零点，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x ∈(1,+∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增.（2）当m ⩽2，x ∈(0,+∞)时，e x−m ⩾e x−2， 设φ(x )=e x −x −1，则φ′(x )=e x −1， 所以当x ∈(0,+∞)时φ′(x )>0，φ(x )单调递增， 所以φ(x )=e x −x −1>φ(0)=0，即e x >x +1， ∴e x−m ⩾e x−2>x −1，取函数ℎ(x)=x −1+ln 3x (x >0)，则ℎ′(x)=1−1x ，当0<x <1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x >1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， 所以函数ℎ(x)在x =1处取得唯一的极小值，即最小值为ℎ(1)=ln3， ∴f(x)=e x−m +ln 3x ⩾e x−2+ln 3x >x −1+ln 3x ⩾ln3，故f(x)>ln3.。
湖南师大附中2021届高三(上)月考数学试题(二)(wd无答案)
湖南师大附中2021届高三（上）月考数学试题（二）一、单选题(★★) 1. 已知集合，则（）A．B．C．D．(★★★) 2. 已知，则（）A．B．C．D．(★★★) 3. 刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n边形等分成 n个等腰三角形(如图所示)，当 n变得很大时，这 n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（）A．B．C．D．(★★★) 4. 的展开式的常数项是（）A．B．C．D．(★★) 5. 对任意实数给出下列命题:①“ ”是“ ”的充要条件;②“ 是无理数”是“ 是无理数”的充要条件;③“ ”是“ ”的充分条件;④“ ”是“ ”的必要条件.其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4二、未知(★★★) 6. 若，则 z=（） A ． B ． C ． D ．1(★★★) 7. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算.算筹的摆放有纵式､横式两种(如图所示).当表示一个多位数时，个位､百位､万位数用纵式表示，十位､千位､十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如3266用算筹表示就是 ，则8771用算筹应表示为（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 8. 四棱锥的底面是矩形，侧面 平面，，，则该四棱锥外接球的体积为（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 9. 甲､乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，考生成绩都分布在 内，并作出了如下频数分布统计表，规定考试成绩在 内为优秀，则下列说法正确的有（）分组甲校频数3481515x32乙校频数 12891010y3A．计算得B．估计甲校优秀率为25%，乙校优秀率为40%C．估计甲校和乙校众数均为120D．估计乙校的数学平均成绩比甲校高(★★★) 10. 函数的部分图象如图中实线所示，图中圆 C与的图象交于 M， N两点，且 M在 y轴上，则下列说法中正确的是（）A．函数在上单调递增B．函数的图象关于点成中心对称C．函数的图象向右平移个单位后关于直线成轴对称D．若圆半径为，则函数的解析式为(★★★) 11. 正方体中， E是棱的中点， F在侧面上运动，且满足平面.以下命题正确的有（）A．侧面上存在点F，使得B．直线与直线所成角可能为C．平面与平面所成锐二面角的正切值为D．设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为(★★★) 12. 如图，过点作两条直线和分别交抛物线于和(其中位于 x轴上方)，直线交于点 Q.则下列说法正确的是（）A．两点的纵坐标之积为B．点Q在定直线上C．点P与抛物线上各点的连线中，最短D．无论旋转到什么位置，始终有(★★★) 13. 如图所示，在平面直角坐标系中，，则点 D的坐标为_________.(★★★) 14. 在① ，② ，③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知的内角的对边分别为，，而且_____.（1）求；（2）求周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(★★★) 15. 如图1，在中，， D为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角.（1）求证：平面平面；（2）设 E为的中点，，求二面角的余弦值.(★★★) 16. 设函数，其中.（1）若，证明：当时，；（2）若在区间内有两个不同的零点，求 a的取值范围.(★★★) 17. 已知点 P是圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线 l与半径相交于 M点， P在圆周上运动时，设点 M的运动轨迹为.（1）求点 M的轨迹的方程；（2）若点N在双曲线(顶点除外)上运动，过点N，R的直线与曲线相交于，过点的直线与曲线相交于，试探究是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由.三、填空题(★★) 18. 已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.(★★★)19. 过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为__________．(★★★) 20. 已知函数，其中为自然对数的底数.若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是__________________.四、解答题(★★) 21. 已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求出所有的正整数m ，使得．(★) 22. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.。
安徽省六安市新安中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题
安徽省六安市新安中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ＝{1，3，4，5，6}，B ＝{2，4，5，7}，则A ∩B 等于（ ） A ．{4} B ．{4，5}C ．{3，4，5}D ．{1，2，3，4，5，6，7}2．命题“1x =”是命题“210x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数()2268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()22f x x x =+ B ．()268f x x x =++C ．()24f x x x =+ D ．()286f x x x =++4．函数()2||24x x f x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．关于x 的一元二次不等式2210mx mx --恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞ B ．(],1-∞ C ．[)1,0-D ．[]1,0-6．若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）. A ．ac bd <B ．ac bd >C ．b a d c> D ．b a d c< 7．函数()2,01(1)2,0xx f x x x a x a x ⎧≤⎪=-⎨⎪--++>⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()10-，B ．[]10-，C ．()1∞-+，D ．[)1-+∞， 8．已知26,312,420a b c ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >>D ．c b a >>9．方程ln 42x x =-的根所在的区间是（ ）A ．()01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，10．已知()f x 为R 上的奇函数，满足()()4f x f x +=-，且当[]0,4x ∈时，()24f x x x =-+，则()2022f =（ ）.A ．4B ．－3C ．－4D ．311．已知()22231,0log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()()g x f x b =+有四个不同的零点1234,,,x x x x ，且满足：1234x x x x <<<.则下列结论中不正确的是（ ） A ．10b -<<B ．341x x =C ．3112x <≤D ．1232x x +=-12．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '，且()()0f x f x <'<，则（ ） A ．()()e 21f f >，()()2e 1f f > B ．()()e 21f f >，()()2e 1f f < C ．()()e 21f f <，()()2e 1f f <D ．()()e 21f f <，()()2e 1f f >二、填空题13．命题“0x ∃∈R ，2007210x x -+≤”的否定是_____________．14．当()0,x ∈+∞时，幂函数()22231mm y m m x --=--为减函数，则m =_________．15．已知直线0x y a ++=是曲线10xy -=的切线，则=a ___________.16．美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）成正比，已知投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为()0ay kx x =>，其图象如图所示．现在公司准备投入40千万元资金同时生产A ，B 两种芯片，则可以获得的最大利润是______千万元．（毛收入＝营业收入－营业成本）三、解答题17．已知集合={4<<2}A x x -，={<5B x x -或1}x >．求A B ⋃，()R A B ⋂． 18．若x 、y 为正实数，且145y x+=，求x y +的最小值． 19．（1）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（2）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；（3）已知()f x 是R 上的函数，()01f =，并且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式. 20．已知函数21()log 1xf x x+=-. (1)判断()f x 的奇偶性并证明你的结论; (2)解不等式()1f x <-21．已知函数()932x xf x a =-⋅+，且[]31,log 2x ∈-．(1)当1a =时，求函数()f x 的最大值；(2)若函数()f x 有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 22．已知函数()ln2x xf x e a =-，a ∈R .(1)当a e =时，求函数()f x 的极值； (2)当0a >时，求证：()22ln f x a a a≥+.参考答案：1．B【分析】利用集合的交集运算进行求解.【详解】因为A ＝{1，3，4，5，6}，B ＝{2，4，5，7}， 所以A ∩B ={4，5}，故A ，C ，D 错误. 故选：B. 2．A【分析】由推出关系可判断出结果.【详解】当1x =时，210x ，即2110x x =⇒-=，充分性成立； 当210x 时，1x =±，即2101x x -==，必要性不成立；∴“1x =”是命题“210x ”的充分不必要条件.故选：A. 3．A【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.【详解】解：方法一（配凑法）∵()()()22268222f x x x x x +=++=+++， ∴2()2f x x x =+.方法二（换元法）令2t x =+，则2x t =-，∴()()()2226282f t t t t t =-+-+=+， ∴2()2f x x x =+. 故选：A 4．D【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据函数值的情况判断即可. 【详解】解：因为函数()224x x f x =-的定义域为{}2x x ≠±，()()()222424xx x x f x f x ----===--， 所以()f x 是偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，B ； 当()0,2x ∈时124x <<，()2024x x f x =<-，当()2,x ∈+∞时，()2024x x f x =>-，排除C ． 故选：D ． 5．C【分析】利用二次不等式恒成立列出不等式组求解即可. 【详解】因为不等式为一元二次不等式，所以0m ≠, 若一元二次不等式2210mx mx --恒成立，则20Δ440m m m <⎧⎨=+⎩，可得10m -<，此时不等式恒成立. 故选：C 6．A【分析】根据不等式性质及特例法可得结果.【详解】∵0a b >>，0c d ->->，∴ac bd ->-，∴ac bd <，故A 正确，B 错误； 当2,1,2,1a b c d ===-=-时，1b ad c==-，故CD ，错误. 故选：A 7．B【分析】由分段函数单调性列不等式组求解 【详解】1111x x x =+--，故()f x 在(,0]-∞上单调递减， 由题意得(1)020201a a -+⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪-⎩解得10a -≤≤，故选：B 8．A【分析】根据指对互化，只需要比较234log 3,log 4,log 5的大小，根据3223<和2343<即可转化为对数式比较a b >，再由244log 3log 9log 5=>可排除BD ，即可求解.【详解】由已知得：223344log 61log 3,log 121log 4,log 201log 5a b c ==+==+==+， 故,,a b c 的大小顺序与234log 3,log 4,log 5的大小一致. 由244log 3log 9log 5=>知a c >，排除B,D. 由3223<得23log 32>；由2343<得32log 43<，即33log 42<，所以a b >，排除C. 故选:A. 9．B【分析】构造函数()ln 24f x x x =+-，确定其单调性，结合零点存在性定理得到结论. 【详解】令()ln 24f x x x =+-，显然()ln 24f x x x =+-单调递增， 又因为()12420f =-=-<，()2ln 244ln 20f =+-=>，由零点存在性定理可知：()ln 24f x x x =+-的零点所在区间为()12，， 所以ln 42x x =-的根所在区间为()12，. 故选：B 10．C【分析】根据()()4f x f x +=-得到()f x 的周期，然后结合奇偶性求函数值即可.【详解】由()()4f x f x +=-，得()()()84f x f x f x +=-+=，所以8是()f x 的一个周期，又()f x 为奇函数，所以()()()2022224f f f =-=-=-. 故选：C. 11．A【分析】作出()f x 图象，利用函数有四个不同的交点求出10b -≤<，A 错误；根据二次函数的对称轴求出1232x x +=-可判断D ；数形结合结合对数运算得到341x x =可判断B ；数形结合求出231log 0x -≤<，解得3112x <≤，可判断C.【详解】如图，作出()f x 图象，若y ＝－b 与()y f x =有四个交点，需01b <-≤，则10b -≤<，故A 错误；这四个交点的横坐标依次为1234,,,x x x x ，因为抛物线2231y x x =++的对称轴为34x =-，所以1232x x +=-，故D 正确；因为2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，故B 正确；()(]323log 0,1f x x =-∈，即231log 0x -≤<，所以3112x <≤，故C 正确.故选：A. 12．D【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】构造函数()()()()()e ex xf x f x f xg x g x '-'=⇒=，因为()()f x f x '<， 所以()0g x '>，因此函数()g x 是增函数， 于是有2(2)(1)(2)(1)(2)e (1)e ef fg g f f >⇒>⇒>， 构造函数()()e ()e [()()]x x h x f x h x f x f x ''=⋅⇒=+，因为()()0f x f x <'<， 所以()0h x '<，因此()h x 是单调递减函数， 于是有2(2)(1)e (2)e (1)e (2)(1)h h f f f f <⇒<⇒<， 故选：D13．x ∀∈R ，27210x x -+>【分析】由存在性命题的否定可直接得到结果.【详解】由存在性命题的否定可得原命题的否定为：x ∀∈R ，27210x x -+>. 故答案为：x ∀∈R ，27210x x -+>. 14．2【分析】利用幂函数定义即可得到结果.【详解】函数为幂函数，则211m m --=，解得1m =-或2m =， 又因为函数在(0,)+∞上单调递减， 可得2230m m --<，可得2m =，故答案为：2 15．2±【分析】利用导数求出切线斜率，再由切线方程得斜率，列出方程求出切点坐标，代入切线即可得解.【详解】设切点为00(,)x y ，由10xy -=，可得1y x=， 21y x '∴=-，直线0x y a ++=是切线， 0201|1x y x '∴=-=-，解得01x =±，当01x =时，0011y x ==，切点(1,1)代入切线方程0x y a ++=，可得2a =-， 当01x =-时，0011y x ==-，切点(1,1)--代入切线方程0x y a ++=，可得2a =， 综上可知，2a =±. 故答案为：2± 16．9【分析】首先求出生产A 、B 芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式，设投入x 千万元生产B 芯片，则投入()40x -千万元生产A芯片，则公司所获利润21()2)94f x =-+，根据二次函数的性质计算可得.【详解】解：因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设()0y mx m =>， 因为当1x =时，0.25y =，所以0.25m =，所以0.25y x =，即生产A 芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式为0.25y x =．对于B 芯片，因为函数()0ay kx x =>的图象过点()1,1，()4,2，所以142ak k =⎧⎨⋅=⎩，解得112k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以12y x =，即生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为)0y x >． 设投入x ，[]0,40x ∈千万元生产B 芯片，则投入()40x -千万元生产A 芯片，则公司所获利润21()0.25(40)22)94f x x =-=-+，[]0,40x ∈，2=，即4x =时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元． 故答案为：917．={<5A B x x ⋃-或4}x >-，(){}R =4<1A B x x ⋂-≤. 【分析】利用交并补运算，即可得到结果.【详解】∵={4<<2}A x x -，={<5B x x -或1}x >， ∴={<5A B x x ⋃-或4}x >-，{}R =51B x x -≤≤， ∴(){}R =4<1A B x x ⋂-≤. 18．95【分析】根据已知，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.【详解】由题设，1141419()()(5)(55555x y x y x y y x y x +=++=++≥+=，当且仅当625x y ==时等号成立. ∴x y +的最小值为9519．（1）()21f x x x =-+；（2）()23x f x x =+；（3）()21f x x x =++. 【分析】（1）待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数.（2）方程组法：已知关于()f x 与()f x -的表达式，构造出另外一个等式，通过解方程组求出()f x .（3）特殊值法（赋值法）：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式.【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，由()01f =得：c ＝1.由()()12f x f x x +=+得：()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，∴2200a a b -=⎧⎨+=⎩，则11a b =⎧⎨=-⎩，∴()21f x x x =-+.（2）∵()()22f x f x x x +-=-，①∴()()22f x f x x x -+=+，②②×2－①得：()233f x x x =+，∴()23x f x x =+. （3）令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，∴()21f x x x =++.20．(1) ()f x 为奇函数；证明见解析；(2) 11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）求出函数定义域(1,1)-关于原点对称，再求得()()0f x f x ，从而得到原函数为奇函数；（2）利用对数式与指数式的互化，得到分式不等式111212x x -+<=-，求得113x -<<-. 【详解】（1）根据题意()f x 为奇函数； 证明：10111x x x+>⇒-<<-，所以()f x 定义域为(1,1)-，关于原点对称． 任取(1,1)x ∈-， 则22221111()()log log log log 101111x x x x f x f x x x x x -+-+⎛⎫-+=+=⋅== ⎪+-+-⎝⎭． 则有()()f x f x -=-，()f x 为奇函数．（2）由（1）知11x -<<，21()1log 11x f x x +<-⇒<--，即111212x x -+<=-， 11(22)(1)310122(1)2(1)x x x x x x x ++--+-==<---，即3101x x +>-， ∴13x <-或1x >． 又由11x -<<，则有113x -<<-， 综上不等式解集为11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题以对数函数、分式函数复合的复合函数为背景，考查奇偶性和解不等式，求解时注意对数式与指数式互化.21．(1)4(2)(⎤⎦【分析】利用换元令3x t =，注意t 的范围. （1）结合二次函数性质求最大值；（2）利用参变分离整理可得2a t t=+，结合对勾函数分析运算. （1）令3x t =，则1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ∵函数()22g t t t =-+在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 又11639g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()24g =， ∴函数()f x 的最大值为4．（2）∵3x t =是单调函数，∴函数()f x 有两个零点等价于方程220t at -+=在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个根， 即2a t t =+在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个根，等价于函数y a =的图象与函数()2h t t t =+的图象在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点．又函数()2h t t t =+在13⎡⎢⎣单调递减，在2⎤⎦单调递增，又11933h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()23h =，h =∴3a <≤．综上，实数a 取值范围为(⎤⎦．22．(1)有极小值(1ln 2)e +，无极大值(2)证明见解析【分析】（1）求函数的导数，结合函数极值和单调性的关系进行求解即可；（2）当0a >时，利用零点的存在性定理可得函数()x e f x e x'=-存在零点，结合函数极值和导数之间的关系求最值，利用基本不等式法进行证明即可.（1）函数()f x 的定义域为(0)+∞，，当a e =时()ln ln ln 22x x x f x e e e e x e =-=-+， 函数的导数为()x e f x e x'=-，且()01f '= 又2()0x e f x e x ''=+>，故()x e f x e x'=-在区间(0)+∞，上单调递增， 则当01x <<时()0f x '<，当1x >时()0f x '>，所以函数()f x 在(01)，单调递减，在(1)+∞，单调递增， 所以函数在1x =时有极小值(1)(1ln 2)f e =+，无极大值（2）当0a >时，2()()0x x a a f x e f x e x x'''=-=+>， 故()x a f x e x'=-在区间(0)+∞，上单调递增，其中()10a f a e -'=>且当)1(0x ∈，上时，()a f x e x <-'，取min 1a x e ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭， 则有()0a f x e x-'<< 故导函数()y f x '=存在零点0x ，且0x 为极小值点， 满足0000ln ln x a e x a x x ==-，， 故00022()()ln 2ln a f x f x ax a a a x a a ≥=+≥'++(当且仅当00a ax x =即01x =时取等号)， 即2()2ln f x a a a≥+。
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高三年级数学上学期第二次月考试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．集合{}{}24,21,,M x x N x x n n =<==+∈Z 则MN =（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}1,0-2．节假日时，国人发手机短信问候亲友已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信问候的概率为1，0.8，0.5，0.3 的人数分别是8，15，14，3（人），通常情况下，小李应收到同事问候的信息条数为 （ ） A ．27 B ．37 C ．38 D ．28 3、"ABC ∆01在中,"A>30"是"sinA>2的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件 4．设a 为正数，43,x x a a -+-<使在R 上解集非空则的取值范围是 （ ）A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,+∞D ．[)1,+∞5．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域为R ，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，4）B ．[0，4]C ．),4[+∞D ．]4,0( 6．若a 、b 、c b a R >∈,，则下列不等式成立的是 （ ）A ．b a 11< B ．22b a >C ．1122+>+c bc a D ．||||c b c a >7．在给定的映射()()()R y x xy y x y x f ∈+→,,2,的条件下，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,61的原象是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-361,61 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-324121,31，或 .C.⎪⎭⎫⎝⎛-61,361 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-41323121，或，8．已知数列{}n a 为等比数列，且项的乘积为则此数列前17,59-=a （ ） A ．75B ．75-C ．85D ．75-9．已知函数)(x f y =的图象在点（1，f （1））处的切线方程是)1(2)1(,012f f y x '+=+-则 的值是（ ）A ．21B ．1C ．23 D ．2 10．函数()()01≠-=x xxx f 的反函数的图象大致是（ ）11．的值为式子000040tan 20tan 340tan 20tan ++ （ ）1.1.3.3.--D C B A12．某人于1995年7月1日去银行存款a 元，存的是一年定期储蓄，1996年7月1日他将到期存款的本息一起取出，在加a 元之后,续存一年定期存款。
此后每年的7月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款。
设银行一年定期储蓄的年利率r 不变,则到2000年7月1日，他将所有存款和利息全部取出，取出的钱数共为 （ ）元。
()()()()()[]r r raD r a C r a B r a A +-++++11.1.1.1.6654第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上） 13．不等式x x >-|23|的解集是14．等差数列{}n a 中，若13626,240,28n n S S a -===，则n 的值为 15．下列函数①x x f 1)(=；②x x f 2sin )(=；③||2)(x x f -=；④xx f cot 1)(=中，满足“存在与x 无关的正常数M ，使得M x f ≤)(对定义域内的一切实数x 都成立”的有 （把满足条件的函数序号都填上）16．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如下图所示，则新生儿的体重在[)2700,3000的频率为 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）()的值。
求若⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+4tan ,414tan ,52tan πβπαβα 18. （本题满分12分）已知函数34)(2++=x x x f ，（1）若0)1(=+a f ，求a 的值；（2）若cx x f x g +=)()(为偶函数，求c 。
19．（本题满分12分）甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标概率都是0.8。
求 （1）两人都击中目标概率；（2）其中恰有一人击中目标的概率； （3）至少有一人击中目标的概率。
20．（本题满分12分）已知22{7100},{0},A x x x B x x ax b =-+≤=++<且A B ⋂≠∅，{27}A B x x =≤<，求a b +的取值范围. 21．（本题满分12分）若函数34)(,2,4)(3-=+-=有极值函数时当x f x bx ax x f ， （1）求函数的解析式；（2）若关于x 的方程k x f =)(有三个零点，求实数k 的取值范围. 22．（本题满分12分）已知等比数列{}n a 中，641=a ，公比1≠q ，432,,a a a 又是一个等差数列的第7项、第3项、第1项。
（1） 求等比数列{}n a 的通项公式n a ；（2） 设n n a b 2log =，求数列{}n b 的前n 项和n S第二次月考文科数学参考答案一、选择题：二、填空题：13. ),1()21,(+∞⋃-∞ 14. 1615. (2)(3) 16. 0.3三、解答题：17． 解:()()()()分分102234152141524tan tan 14tan tan 4tan 4tan 444=⨯+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+παβαπαβαπαβαπβπαβαπβ18．解： （1） 由()342++=x x x f ，得()()()0314112=++++=+a a a f ，解之，得 42-=-=a a 或………………6分 （2）由已知，得()()()343422+++=+++=+=x c x cx x x cx x f x g ， 又()x g 为偶函数，所以有()()()()()3434,22++--=+++-=x c x x c x x g x g 即19．解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“甲射击一次，击中目标” 为事件B,(1)“两人各射击一次，都击中目标”就是事件B ⋅A ,又由于事件A 和B 相互独立，()()()64.08.08.0=⨯=⋅=⋅∴B P A P B A P ………………4分（2）“两人各射击一次，其中恰好有一人击中目标”包括“甲击中目标乙击不中目分124-=∴c标，即()B A ⋅”或“乙击中目标甲击不中目标，即()B A ⋅”，又这两种情况不可能同时发生，即事件“()B A ⋅”与“()B A ⋅”是互斥的，所以所求概率为：()()()()32.016.016.08.08.018.018.0=+=⨯-+-⨯=⋅+⋅=B A P B A P P ………………………………………………………………….............8分 （3）“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为：()()()96.032.064.0=+=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P ………………..12分20、解:由{}{},52,01072≤≤=≤+-=x x A x x x A 得 ……………………………………2分∵ A ∩B ≠φ,∴B ≠φ 设02<++b ax x 的解为21x x x <<,即),(21x x B = ∵A ∩B ≠φ,A ∪B={}72<≤x x ,∴52,712<≤=x x ……………………………6分 由韦达定理，得b x x a x x =-=+2121,,即117,7x b x a =--=∴a ＋b ＝6x 1－7∈[)23,5 …………………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）由()43+-=bx ax x f ，得()b ax x f-=2/3…………………………………………………2分又()342-=有极值时，x f x ， 所以有 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==-=3442820122/b a f b a f ………………………………………4分解之，得⎪⎩⎪⎨⎧==431b a 所以函数的解析式为()44313+-=x x x f ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()44313+-=x x x f ，则()42/-=xx f令()22,0/-===x x x f 或则有()()()()()()()()分有三个不同的交点，则的图象与直线有三个零点，即为的方程所以要使关于时，，时，为减函数时，为增函数，时或又极小值极大值12 (3)283434223282222,22<<-==-====-=-=∴<<->-<k ky x f k x f x f x f x f x f x x f x x f x x22．解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则有3423264,64,64q a q a q a ===……………………………………1分又432,,a a a 是另一等差数列的第7项、第3项、第1项∴()43322a a a a -=-()31212112q a q a q a q a -=- ……………………………………3分即()212,212=∴≠-=-q q q q q 又 {}n n n n n q a a a ---=⎪⎭⎫⎝⎛⋅==∴711122164的通项公式数列 ……………6分（Ⅱ）由（1）得，n n a -=72{}()()()()()()()()()分分时，当分时，当项和的前数列时，时，则1274221321213427213212131021342278;21327.07;077log 22872172198721872112121 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=--≤+-=-=∴--=++++++-+++=----+++=+++++=>-=+=+++=+++=≤∴<>≥≤-==∴n n n n n n n n n n S n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a S n n n a a n a a a a a a S n n b b n b n n a b n n nnn n nn n n n n n n沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。