group 6 chapter10(直线回归与相关分析)

（2）F检验 SSy将分解成两个部分，即： 2 ˆ )2 + ∑ ( y − y )2 ˆ ∑( y − y) = ∑( y − y ˆ ∑( y − y )2 即离回归平方和Q，是试验误 上式的 差及y对x的非直线关系的影响引起的，它和x ∑( y − y ) 2 的大小无关，具有v= n-2， ˆ 则为回归平 方和,简记作U，它是由x的取值不同而引起 的，具有υ=(n-1) - (n-2)=1。由 即可测定回归关系的显著性。
解：首先由表10.1算得回归分析所必须的6个一 级数据：
n = 12 ∑ x = 42 + 42 + L + 58 = 592
2 2 2 2
∑ x = 42 + 42 + L + 58 = 29512 ∑ y = 2.55 + 2.20 + L + 3.00 = 34.83 * ∑ y = 2.55 + 2.20 + L + 3.00 = 102.9833 ∑ xy = (42 × 2.55) + (42 × 2.20) + L + 58 × 3.00 = 1736.32
表10.1 体重与肺活量关系
体重（kg）x 42 42 46 46 46 50 50 50 52 52 58 58 肺活量(L) y 2.55 2.20 2.75 2.40 2.80 2.81 3.41 3.10 3.46 2.85 3.50 3.00
散点图
4 肺 活 量 (L ) y 3.5 3 2.5 2 40 45 50 体重 (kg)x 55 60
（3）相关系数法 相关系数即标准化的回归系数。因此，同一 资料的回归关系与相关关系的显著与否是一 致的，由于相关系数的计算和检验都比较容 易，所以在实践中常采用计算相关系数假设 检验来完成对回归关系的假设检验。 该方法在直线相关中介绍
三、回归预测与控制
1．条件总体平均数μY/X ( μ y )的区间预测 ˆ 根据回归模型的定义，每一个X上都有一个 变量的条件总体，当X = x0 时，该条件总体 的平均数为 μ y0 其标准误为 ˆ
二、回归分析和相关分析
1．回归分析 对两个变量进行回归分析是定量地研究X和Y 的数值变化规律，根据这种规律可由一个变 量的变化来估计另一个变量的变化。 在回归模型中，两个变量有因果关系，原因 变量称自变量(independent variable) ，一般 用X表示；结果变量称依变量(dependent variable)，以Y表示。X是已知的或是可控制 的，没有误差或误差很小，而Y则不仅随X的 变化而变化，还要受到随机误差的影响。
1 1 n n
分别对a和b求偏导数并令其为0，即可获得正 规方程组（normal equations）：
⎧ ∂Q ⎪ ∂a = −2∑ ( y − a − bx ) = 0 ⎪ ⎨ ⎪ ∂Q = −2 x( y − a − bx ) = 0 ∑ ⎪ ∂b ⎩
⎧an + b ∑ x = ∑ y ⎨ 2 ⎩a ∑ x + b ∑ x = ∑ xy 解得： 1 ∑ xy − ( ∑ x )( ∑ y ) ∑( x − x )( y − y ) SP n = = b= 2 1 ∑( x − x ) SS x ∑ x 2 − (∑ x )2 n a = y − bx
上述方程中回归系数和回归截距的意义为： 当体重(x)每增加1kg时，则肺活量平均增加 0.558L；若体重为0，则肺活量为0.0004L。 限定x的区间为[42,58];如要在x<42或>58的区 间外延，则必须有新的依据。
3、直线回归方程的图示
4 y = 0.0588x + 0.0004 肺 活 量 (L ) y 3.5 3 2.5 2 40 45 50 体重 (kg)x 55 60
Y
( X ,Y )
ˆ ε = Y −Y
ˆ ( X ,Y )
( X ,Y )
θ
β (X − X )
μ Y/X
=
+βX α
X
Y
X
Байду номын сангаас
X
因此，总体直线回归的数学模型可表示为： Y = Y + β(X − X)+ ε = α + βX + ε (Qα = Y − β X )
ˆ 或Y = Y + ε
其中， ε ~ N (0, σ ε2 ) 相应的样本线性组成为：
2．相关分析 对两个变量进行相关分析，其目的是研究X 和Y间有无相关以及相关程度、相关性质（方 向）。 在相关模型中，两个变量是平行的，没有因 果关系的自变量和依变量之分，且皆有随机 误差。
第二节 直线回归
一、直线回归方程(linear regression equation)
1．直线回归方程与参数估计
代入（10.5）式有：
Sy/ x =
Q = n−2
0.8280 = 0.288(L) 12 − 2
它的统计意义是：在
ˆ y ± 0.288L 范围内约有68.27%个
ˆ 观察点，在 y = 0.576 L 范围内约有95.45%个观察点
等。
5．直线回归的数学模型和基本假定 Y总体的每一个值由以下三部分组成： ①Y的总体平均数 Y ②由X变化而引起的Y的离均 异β ( X − X ) ， ③Y变量的随机误差εij。
ˆ y = a + bx
上式读作“y依x的直线回归方程”。 x是自变量； ˆ 是和x的量相对应的依变量y的点估计值； y a是x=0时的值，即回归直线在y轴上的截 距；
b是x每增加一个单位数时，y 平均地将要增 ˆ 加（b>0时）或减少（b<0时）的单位数，叫 回归系数。
ˆ Q = ∑ ( y − y ) 2 = ∑ ( y − a − bx ) 2 = 最小
2 2
18.04 SP = = 0.058826(L/kg) b= SS x 306.6667 a = y − bx = 2.9025 − 0.058826 × 49.3333 = 0.000419(L )
故得表10.1资料的回归方程为：
ˆ y = 0.000419 + 0.058826 x ˆ 或简化为： y = 0.0004 + 0.0588 x
S y0 = S y / x ˆ 1 ( x0 − x ) 2 + n SSx
于是预测条件总体平均数μY/X ( μ y )的95%置信 ˆ 区间为：
ˆ [y
0
ˆ − tα ( n − 2 ) s y 0 , y 0 + tα ( n − 2 ) s y 0 ˆ ˆ
二、直线回归的假设检验
1．回归关系的假设检验 (1) t检验
H 0 : β = 0对 H A : β ≠ 0 sb = s2/ x y ∑( x − x )
2
=
sy/ x SS x
b−β b t= = sb sb
遵循v=n-2的t分布
0.025
0.025
β=0
[例10.3] 试检验例10.1资料回归关系的显著性。 在例10.1和10.2已算得 b = 0.058826，SSx = 306.66667， sy/x = 0.288，故有：
对具有统计关系的两个变量的资料进行初步 考察的简便而有效的方法，是将这两个变量 的n对观察值（x1，y1）、（x2，y2）、…、 （xn，yn）分别以坐标点的形式标记于同一 直角坐标平面上，获得散点图（scatter diagram）。
根据散点图可初步判定双变量X和Y间的关 系，包括： ①X和Y相关的性质（正或负）和密切程度； ②X和Y的关系是直线型的还是非直线型的； ③是否有一些特殊的点表示着其他因素的干 扰等。
例10.1资料回归关系的方差分析 SS MS F F0.01 P 1.0612 1.0612 12.82 10.04 0.0050 0.0828 0.8280 1.8892
在表10.2，得到F=12.82>F0.01=10.04，所以同样表明 一年级女大学生体重和肺活量是有真实直线回归关 系的。用t检验和用F检验的结果是完全一致的。
算得的b、a值带入方程式，即可保证
(1) ( 2) ( 3) ( y − y ) 2 = 最小 ∑ ˆ ˆ ∑ ( y − y) = 0 y = a + bx
2．直线回归方程的计算
〔例10.1〕某地一年级12名女大学生的体重 与肺活量的关系数据列于表10.1，试求肺活 量（L）对体重（kg）的直线回归方程。
第一节 回归和相关意义
一、基本概念
一般变量之间的关系可以分为两类：一类是 函数关系，另一类是统计关系。 函数关系是一种确定性的关系，一个变量的 取值和变化完全取决于另一个或几个变量的 取值和变化。 统计关系是一种非确定性的关系，即一个变 量的取值受到另一变量的影响，两者之间既 有关系，但又不存在完全确定的函数关系。
2 2 2 2
然后，由一级数据算得5个二级数据：
1 SS x = ∑ x − ( ∑ x ) / n = 29512 − (592) 2 = 306.6667 12 1 * SS y = ∑ y 2 − ( ∑ y ) 2 / n = 102.9833 − ( 34.83) 2 = 1.8892 12 1 SP = ∑ xy − ∑ x ∑ y / n = 1736.32 − (592 × 34.83) = 18.04 12 ∑ x 592 = = 49.3333 x= 12 n ∑ y 34.83 = = 2.9025 y= 12 n 进而算得三级数据
y
2
y 结 实
75 70 65 60
稻 1.6 谷 产 量 (g)
1.2 0.8 0.4 0
0 1 2 3 4
率 55 (%) 50