2009常微分方程期中试卷

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《常微分方程》考试参考答案（A卷）

《常微分方程》考试参考答案（A卷）《常微分方程》考试参考答案（A 卷）一、填空题（每空2分，共30分）1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ，使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题（每题2分，共10分）1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题（每题15分，共60分）1、解：231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为：222(1)(1)x y cx ++=2、解：先求30dx x dt+=的通解：33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法，令原方程解为3()t x c t e -= 解得：3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为：533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解：先求对应齐线性方程：(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为：1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解，这里：2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根，即原方程有形如：2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有：2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为：21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解：令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为：11sin 242y t t c =++ 5、解：由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。

武汉大学2009—2010学年上学期高等数学期中考试试卷及答案

武汉大学2009—2010学年上学期期末考试试卷《微积分（上）》解答（总学时216）一、填空题：1、!2004dx ；2、32e 3、21；4、e 1；5、1)1()!(2)1(++⨯-n n x n 。

二、选择题：1、D ；2、B ；3、D ；4、A ；5、D 。

三、讨论函数⎩⎨⎧>≤=-00)(2x xe x x x f x的单调性，并求其单调区间和极值。

解：函数的定义为),(+∞-∞，且0=x 为函数的分段点，当0<x 时，x x f 2)(='；当0>x 时，x e x x f --=')1()(；当0=x 时，1)1(lim )0(,02lim )0(0=-='=='-→+→-+-xx x e x f x f 故)0(f '不存在，令0)(='x f ，得1=x ，点1,0==x x 将),(+∞-∞分成三部份：),1(),1,0(),0,(+∞-∞在各区间内的符号如下表所示：0=x 处函数取得极小值0)0(=f ；在1=x 处函数取得极大值1)1(-=e f 。

四、当a 为何值时，函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=00])1([)(11x e x e x x f a x x 在0=x 处的连续。

解：由ae f =)0(，)0()(lim 0f e x f a x ==-→，故)(x f 在0=x 处左连续，又记xxe x y 11]/)1[(+=，则2)1ln(]1)1[ln(1ln 1x xx x x y -+=-+=而21])1(1[lim 2121lim ln lim 201100-=+-=-=+++→+→→x x y x x x x ，故a x e f e y ===-→+)0(lim 210 所以21-=a ，故当21-=a 时)(x f 在0=x 处连续。

五、计算下列各题： 1、解:2ln 2cos 2cos 2sin 2x x xy ⋅+=';x x y x d 2d )2ln 22cos cos 2(d 2sin 22=⋅+==ππππ2、解：由：⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-x x x x x x x x x x x x x x sin cos sin sin cos sin sin cos sin 222222，而2cos sin 1sin cos sin →+=+x xxx x x x （0→x ）。

常微分方程期中考试题

优秀学习资料欢迎下载常微分方程期中测试试卷(1)一、填空(dy)ndy y 2 x 21 微分方程 dx dx的阶数是 ____________2若M ( x, y)和N ( x, y)在矩形区域 R 内是 (x, y)的连续函数 , 且有连续的一阶偏导数 , 则方程 M ( x, y) dx N ( x, y)dy0 有只与 y有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 3 _________________________________________ 称为齐次方程 .dyf ( x, y)4 如果f ( x, y)___________________________________________ , 则 dx存在唯一的解 y(x) , 定义于区间 x x 0h 上 , 连续且满足初始条件 y 0( x 0 ) , 其中h_______________________ .5 对于任意的( x, y 1 ) ,( x, y 2)R (R 为某一矩形区域), 若存在常数N(N0) 使______________________ , 则称f (x, y)在 R 上关于 y满足利普希兹条件 .dy x 2 y 22 x2, 2 y2上 , 则经过点(0,0) 的解6 方程 dx定义在矩形区域 R :的存在区间是 ___________________7 若 x i (t )(i 1,2,.....n) 是齐次线性方程的n 个解 , w(t )为其伏朗斯基行列式 , 则w(t )满足一阶线性方程 ___________________________________8若 x i (t)(i1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组,x(t)为非齐次线性方程的一个特解 , 则非齐次线性方程的所有解可表为_________________________9 若( x)为毕卡逼近序列 n (x)的极限，则有 (x) n ( x)__________________10 _________________________________________称为黎卡提方程，若它有一个特解y(x) ，则经过变换___________________，可化为伯努利方程．二求下列方程的解dyy１dx x y 3dy xy 2２求方程dx经过( 0,0)的第三次近似解dyy21的解的存在区间３讨论方程 dx， y(1)(dy)2y 21 04 求方程 dx的奇解(cos x1)dx (1x)dy5y yy 26y ' y 2 2 y sin x cosx sin 2 x 7( 2xy 23y 3 )dx (7 3xy 2 ) dy 0三证明题1 试证 : 若已知黎卡提方程的一个特解, 则可用初等积分法求它的通解2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明: 一阶线性方程 P( x) , Q( x) 在 ,上连续时 , 其解存在唯一参考答案一填空题 1 1dyQ( x)P(x) ydx, 当234 56M N1()()( y)yx Mdy g ( y)形如dxx 的方程在 R 上连续且关于y满足利普希兹条件f ( x, y 1 ) f (x, y 2 ) N y 1y 21 1 x44h min( a, b)m7w ' a 1 (t )w 0n8xc i x ixi 1nMLh n 19(n 1)!dyp( x) y 2 q( x) y r ( x)y z y10 形如 dx的方程二求下列方程的解dxxy 3x 211 dyy3y x eydyxcy1解：dyyy( y 2 eydy c)，则所以2另外 y 0也是方程的解2解：0 ( x)x2( x) dx1x 2 1 ( x)x2x12( x) dx 1 x 2 1 x 5 2 ( x)x220x22( x) dx1x 21x 51 x 111x 83 (x)x2204400160dydx3解： y21x c两边积分y1y所以方程的通解为x c过 y(1) 1 的解为y12故x通过点(1,1)的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到２，所以解的存在区间为(,2)4 解 : 利用 p判别曲线得p 2y 2 1 02 p 0消去 p 得 y21 即 y1所以方程的通解为ysin( x c) , 所以 y1是方程的奇解My 2N y2MN5 解 :y = ,x =,y =x, 所以方程是恰当方程 .u cos x1x yv 1 x得usin xx( y)y y y2yu xy2'( y)( y)ln yy所以sin xx ln y cy故原方程的解为6解 :y ' y 2 2 ysin x cosx sin 2 x 故方程为黎卡提方程 . 它的一个特解为ysin x , 令 yzsin x ,dz z 2z1 则方程可化为 dx,x cy sin x1ysin x1x c ,xc即故7解 : 两边同除以 y 2得2xdx 3ydx7 dy 3xdy 0y 2dx2d3xyd7y优秀学习资料欢迎下载x 23xy7c y 0也是方程的解所以y, 另外三证明题1证明 : 设黎卡提方程的一个特解为y y令yz y ,dy dz d y dy p( x) y2q( x) y r ( x)dx dx dx又dxdz p( x)( z y) 2q( x)( z y)r ( x) d y dx dxd y2q( x) y r ( x)dzp( x) z2 2 p( x) yp( x) y得 dx由假设dx此方程是一个 n2的伯努利方程,可用初等积分法求解2证明 :令 R :x,,y RP( x) ,Q( x) 在,上连续, 则f ( x, y)P(x) y Q( x)显然在 R 上连续,因为 P( x)为,上的连续函数 ,故 P(x) 在,上也连续且存在最大植,记为L即 P( x)L ,x,y1, y2R f ( x, y1 ) f ( x, y2 )P(x) y1P( x) y2=P(x) y1因此一阶线性方程当P( x) ,Q ( x) 在,上连续时 , 其解存在唯一q( x) zy2L y1y2常微分方程期中测试卷(2)1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)dydy4322x 2x sin yd y2 d yd y 0y x（1） dx（ 2） dx（3） dx 4dx 3 dx 2dr3d 2r（4） x xx x t（ 5） ( ds)1 ds 2（ 6） x2dy y 2dx 02、填空题 (8%)dyx tan y（1）．方程dx的所有常数解是 ___________.（ 2）．若 y=y 1( x ) ， y=y 2( x ) 是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ________________.（ 3 ） . 若方程 M ( x, y )d x + N ( x, y )d y = 0 是全微分方程，同它的通积分是________________. （4） . 设 M ( x 0, y 0) 是可微曲线的截距分别是 _________________.3、单选题 (14%)y = y ( x ) 上的任意一点，过该点的切线在 x轴和 y 轴上（1）．方程y ln ydx( x ln y)dy是（） .(A) 可分离变量方程（ B ）线性方程 (C) 全微分方程（ D ）贝努利方程dyy (0y)（ 2）．方程 dx，过点（ 0， 0）有（） .(A) 一个解（ B ）两个解(C) 无数个解 22 （ D ）三个解（ 3）．方程 (1)d( 1)d=0 的所有常数解是（） .y － yxx+y x －(A) y =± 1, x =±1,(B) y =± 1(C) x =± 1(D)y =1, x =1（ 4）．若函数 y ( x ) 满足方程xyy y 2 ln x，且在 x =1 时， y =1, 则在 x = e 时y =().11(A)e(B)2(C)2(D) e（ 5）． n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（ A ） n 维（ B ）n1维（ C ）n1维（ D ）n2 维dyxy 2（ 6） . 方程 dx（）奇解．（ A ）有三个（ B ）无（ C ）有一个（ D ）有两个dy23y3（ 7）．方程 dx 过点 (0, 0) （）．（ A ）有无数个解（B ）只有三个解（C ）只有解y（ D ）只有两个解4. 计算题 (40%)求下列方程的通解或通积分：dy xy（ 1） . dx 1 x 2dy 3ye 2 x（2）. dx（3） .(x 3xy 2 )dx (x 2 y y 3 )dy 0dy y ( y ) 2（4）.dxxx（5） . y (x ln y ) 15. 计算题 (10%)求方程y5 y sin 5x 的通解．6．证明题（ 16%）设f ( x, y) 在整个xoy平面上连续可微，且f ( x, y 0 ) 0 ．求证：方程dy f (x, y)dx的非常数解yy( x) ，当 xx0 时，有y(x)y0 ，那么x0 必为或．参考答案： 1．辨别题（ 1）一阶，非线性（ 2）一阶，非线性（3）四阶，线性（ 4）三阶，非线性（ 5）二阶，非线性（6）一阶，非线性2．填空题（ 1）．yk , k 0, 1, 2,（2）．C 1[ y 1( x)y 2 ( x)] y 1 (x) xM (x, y) dxy N ( x 0 , y) dyx 0y0 ,y 0 x 0 y（ 3）． x 0 y 0（ 4）．y3．单选题（ 1）．B （2）．C（3）．A （4）．B （5）. A （6）.B 7.A4. 计算题（ 1）．解当y 0时，分离变量得dy xdxy1 x2 等式两端积分得ln y1ln(1 x 2 ) ln C2即通解为y C 1 x 2（ 2）．解齐次方程的通解为y Ce 3x令非齐次方程的特解为y C (x)e 3 xC (x)1e 5 x C代入原方程，确定出5原方程的通解为yCe 3x 1e 2 x+ 5M 2xyN（3）．解yx，所以原方程是全微分方程．由于取 ( x 0 , y 0 )( 0, 0)，原方程的通积分为x xy 2)dxyC 10 (x3y 3dy即x 4 2 x 2 y 2 y 4 C令yxuy ux du（4）. ，则dx ，代入原方程，得ux duu u 2x duu 2dx，dx当u时，分离变量，再积分，得du dxCu2x1 ln x Cu1uln xC，yxln xC即：5. 计算题令yp，则原方程的参数形式为x 1 ln ppypdy y由基本关系式dx，有dy y dxp (1 1)dp1 p2p (1p )dp积分得y p ln p C得原方程参数形式通解为x1 ln ppy p ln pC5．计算题解方程的特征根为 1， 25齐次方程的通解为 yC 1 C 2e 5 x因为i5i不是特征根。

常微分方程答案

《常微分方程》测试题 1 答案一、填空题（每空5分）12、 z=34、5、二、计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。

此外方程还有解y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性方程的特征方程为，，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程于是原方程通解为4、解三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为(t)= ,这时(t)==(t)故(t)是一个解。

同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)== (t)这样(t)也是一个解。

因此是解矩阵。

又因为det=-t故是基解矩阵。

2、证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。

（2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)《常微分方程》测试题2 答案一、填空题：（每小题3分，10×3=30分）1. 2. 3 3.4. 充分条件5. 平面6. 无7. 1 8. 9.10. 解组线性无关二. 求下列微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分）1、解：将方程变形为………（2分）令，于是得……（2分）时，，积分得从而…（2分）另外，即也是原方程的解………（2分）2、解：由于……………………（3分）方程为恰当方程，分项组合可得…………（2分）故原方程的通解为……（3分）3、解：齐线性方程的特征方程为特征根…（2分）对于方程，因为不是特征根，故有特解…（3分）代入非齐次方程，可得.所以原方程的解为…（3分）4、解：线性方程的特征方程,故特征根…………………（2分）对于，因为是一重特征根，故有特解,代入，可得……（2分）对于，因为不是特征根，故有特解，代入原方程，可得…（2分）所以原方程的解为…（2分）5、解:当时，方程两边乘以，则方程变为…（2分），即于是有，即……（3分）故原方程的通解为另外也是原方程的解. …（3分）三、解：, ，解的存在区间为…（3分）即令……（4分）又误差估计为：（3分）四、解：方程组的特征方程为特征根为，（2分）对应的特征向量应满足可解得类似对应的特征向量分量为…（3分）原方程组的的基解矩阵为…………………（2分）………（3分）五、证明题：(10分)证明：设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为…………………（3分）由已知条件，得…………………（2分）故这两个解是线性相关的．由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得，由于，可知．否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾．（3分）故（2分）《常微分方程》测试题3答案1．辨别题（1）一阶，非线性（2）一阶，非线性（3）四阶，线性（4）三阶，非线性（5）二阶，非线性（6）一阶，非线性2．填空题（1）．（2）．（3）．（4）．3．单选题（1）．B （2）．C （3）．A （4）．B （5）. A （6）. B 7. A 4. 计算题（1）．解当时，分离变量得等式两端积分得即通解为（2）．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+（3）．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即（4）. 令，则，代入原方程，得，当时，分离变量，再积分，得，即：5. 计算题令，则原方程的参数形式为由基本关系式，有积分得得原方程参数形式通解为5．计算题解方程的特征根为，齐次方程的通解为因为不是特征根。

常微分方程期中考试题

y sin x 1
, 另外
又
y 0
xc
dz z 2 z 1
也是方程的解
dy p(x) y 2 q(x) y r(x) dx
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

(2009.2-2009.6)数学分析II期中考试试卷

上海师范大学标准试卷2008 ~ 2009 学年第二学期期中考试日期 2009 年4 月27 日考试时间 100分钟科目数学分析II （期中）专业本、专科 08 年级班姓名学号我承诺，遵守《上海师范大学考场规则》，诚信考试。

签名：________________一、单项选择题（每小题2分，共10分）1．下列等式正确的是（）(A) ⎰=)()(/x f dx x f (B)⎰+=C x f dx x f dxd)()( (C) )()(x f dx x f dx d b a =⎰ (D) 0)(=⎰badx x f dx d2. 下列积分可直接使用牛顿—莱布尼茨公式的是（）(A) ⎰+50231dx x x (B) ⎰--1121xdx (C) ⎰-40223)5(x xdx (D) ⎰11ln exx dx3. 已知反常积分⎰∞+>=+02)0(11k kxdx，则=k （） (A)2π(B)22π (C)2π (D) 42π4．下列级数条件收敛的是（）(A) ∑∞=--113)1(n n n (B) ∑∞=-+-12112)1(n n n n (C) ∑∞=-1)1(n n n (D) ∑∞=-12)1(n n n5．设级数∑∞=1n n u 收敛，则下列级数中发散的是（）(A) ∑∞=1100n n u (B) ∑∞=+1)100(n n u (C) 100+∑∞=1n n u (D) ∑∞=+1100n n u二、（每小题2分，共10分）（请在括号内打上“√”或“⨯”）1．（）设=⎰dx x xf I x f )(,)(2/则上可导在区间C x f +)(212 2．（）=-⎰124x dx 2π3．（）设0lim =∞→n n u ，则级数n n u ∑+∞=1必收敛4．（）设级数n n u ∑+∞=1绝对收敛，则它必条件收敛5．（）设正项级数∑∞=1n n u 收敛，而正项级数∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1),(min n n n v u 必收敛三、（5分）叙述题叙述题无穷限反常积分⎰∞-a dx x f )(收敛的柯西准则四、计算下列积分（5分⨯3=15分）（1）⎰+24x （2）⎰+dx x )1(ln 2 （3）⎰+-202|23|dx x x五、证明题（5分⨯2=10分）1．设f 为),(∞+-∞上的连续函数，0>T ，T 为f 的一个周期。

常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。

2009学年度第二学期期中联考初二数学试卷

第二学期初二数学期中考试试题一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）1. 若一次函数m x y +=2的图像过点（－1，0），则m = .2. 将直线321-=x y 向上平移1个单位得到的直线的解析式为 .3. 若函数b x y +-=3的图像不经过第一象限，则b 的取值范围是 .4. 函数43+-=x y 中，y 的值随x 的增大而 .5. 直线b kx y +=与直线12+=x y 平行的条件k ， b .6. 如图，一次函数b kx y +=的图像经过点A （3，0），则关于x 的不等式0<+b kx 的解集是 .7. 若方程k x =++153没有实数解，则k 的取值范围是 . 8. 方程02)1=--x x （的解是 .9. 用换元法解方程2511322=-+-xx x x 时，设y x x =-12，原方程可化为关于y 的整式．．方程是 . 10. 已知正多边形的每一个外角都等于它相邻内角的三分之二，那么这个多边形是_______边形。

11. 写出同时具备下列两个条件的一次函数解析式（写出一个即可） . （1）y 的值随x 的增大而增大（2）图像经过点（0，3-）12. 在除夕夜，某校初二（3）班的每个同学都向本班的其他同学发了一条祝福短信，已知全班共发出短信870条，设该班有x 个学生，则可列出方程为____________________________ .二、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分）3 xOy题613. 在函数① y=2x －1 ② y=2x ③ y= －x ④y=x2 中一次函数有………………（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个14. 下列方程是关于x 的高次方程是…………………………………（）A 、03232=-+x xB 、133=++x x xC 、13144=++-x x xD 、04=x15. 一次函数2b x k y +=中，如果k ＜0，b ＜0，那么它的图象大致是……………（）16. 在下列方程中，有实数根的是…………………………（）A 、054=-+x xB 、x x -=-12C 、02332=++x x D 、222x 2x +-=+x x17. 如果关于x 的分式方程111++=+x m x x 无解，则m =（）A 、0B 、1C 、－2D 、－118. 已知直线y=kx+4与坐标轴围成的三角形面积为4，且y 随着x 的增大而减小，则k 的值为………………………………………（） A 、k=2- B 、k=4- C 、k=2 D 、k=2或k=2- 三、解答题（本大题共7题, 满分52分）B CyxO yx O yxOyx O A 、D19. 解方程：21416222+=---+x x x x 20. 解方程: x x =++105221.解方程组: ⎩⎨⎧=++=+944022y xy x y x 22.解方程22a bx b ax +=+23. （本题满分8分）某周日上午十点，小明从外地乘车回上海，一路上记下如下数据：观察时间 10:00（t=0） 10:06(t=6) 10:18(t=18) 路牌内容上海90 km上海80 km上海60 km(注：①上海90 km 表示距离上海90千米，②汽车作匀速行驶) 假设汽车离上海的距离s(千米)是行驶时间t （分钟）的一次函数（1）求s 关于t 的函数关系式. （2）求小明到达上海的时间.24．（本题满分8分）举世瞩目的第41届世博会即将于2010年5月1日在上海举行。

常微分方程试题库试卷库2

常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（3０％）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )。

有只含y 的积分因子的充要条件是_＿_____＿______。

２、______＿______称为黎卡提方程，它有积分因子＿_＿__＿_＿____＿_。

３、____＿＿＿_＿_______＿_称为伯努利方程,它有积分因子____＿＿___。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是____＿______＿＿＿__＿____＿____。

5、形如＿＿___＿_____＿＿__＿_＿_的方程称为欧拉方程。

6、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是____＿__＿_____＿＿__＿__＿____＿__＿。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为___＿__＿＿＿时,零解是稳定的,对应的奇点称为_＿＿____＿___。

二、计算题（6０%）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求exp Ａt４、32()480dy dyxy y dx dx-+=5、求方程2dyx y dx =+经过（０，０)的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点，并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（1０%）1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷(２)一、填空题 30％1、形如_＿____＿__＿_＿的方程,称为变量分离方程，这里．)().(y x f ϕ分别为x ．y的连续函数。

2、形如＿_＿___＿__＿___的方程，称为伯努利方程,这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。

常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。

1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。

2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。

3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。

4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。

xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。

6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。

8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。

9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。

10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。

11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。

12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。

常微分方程2009试卷

五 1 0 分 . 设 a i ( t ) ( i 1, 2, n ) 是 [a,b] 上的连续函数 ,如果方程 d x dt
n n
a1 ( t )
d
n 1
x
dt
n 1
a n (t ) x 0
的解 x1 ( t ), x 2 ( t ) , x n ( t ) 在区间 [ a , b ] 上线性无关，证明它们的 W ronsky 行列式在 [ a , b ]上任何点都不等于零 , 即 W ( t ) 0 ( a t b ).
一. (50 分)
dy
求下列微分方程解的一般形式：(每小题 10 分)
x y5
1. d x x y 2 ;
2.
yd x x y
4.
4
3
d y 0;
dy x y ; 3. dx
2
x
x ' '
0;
5.
2x d
dx 6 9 x sin 3 t. 2 dt dt
的解的存在区间，并求第二次近似解. 给出解在存在区间的误差估计
.
四
5分 .
设 Φ t 为方程 x' = A x
A为 n n 常数矩阵的
标准基解矩阵即 Φ 0 E , 证明： Φ tΦ 其中 t 0为某一值 .
1
t0 Φ t t0 ,
1 3 dx 2 x y x y x dt 3 . d y x y yx 2 2 y 3 dt 3 问题的解，

(整理)《常微分方程》试题.

常微分方程试卷1一、填空题（每题3分，共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是区间． 5．方程21d d y xy-=的常数解是．二、单项选择题（每题3分，共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （）奇解．（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（）条件．（A ）必要（B ）充分（C ）充分必要（D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每题６分，共30分）求下列方程的通解或通积分：11. y y x yln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy+= 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．32y y x y '+'=四、计算题（每题10分，共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每题10分，共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程试卷1答案及评分标准一、填空题（每题3分，共15分）1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 3．xxx e ,e 4．开5．1±=y二、单项选择题（每题3分，共15分）6．D 7．C 8．B 9．C 10．A三、计算题（每题６分，共30分）11．解当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分）通积分为xC y e ln = （6分）12．解令xu y =，则xuxu x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x ux-= （3分）分离变量，取不定积分，得C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ）通积分为： Cx xyln arcsin= （6分）13．解方程两端同乘以5-y ，得x y xyy+=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41 （3分）通解为41e 4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C yx （6分）14．解因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．（2分）取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx =-⎰⎰020d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 （6分）15．解原方程是克莱洛方程，通解为32C Cx y += （6分）四、计算题（每题10分，共20分）16．解对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为 xC C y 521e += （4分）因为0=α是特征根。

常微分方程试题及解答

常微分期终考试试卷(1)一、填空题( 30%)1、方程M (x, y)dx N( x, y)dy 0有只含x 的积分因子的充要条件是( )。

有只含y 的积分因子的充要条件是 ____________________ 。

２、_____________ 称为黎卡提方程，它有积分因子_________________ 。

３、__________________ 称为伯努利方程，它有积分因子______________________ 。

４、若X1(t),X2(t), ,X n(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是______________________________ 。

５、形如__________________ 的方程称为欧拉方程。

６、若(t)和(t)都是x' A(t) x的基解矩阵，则(t)和(t )具有的关系是__________________________________ 。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_______ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为__________ 。

二、解答题(６０％)1、ydx ( x y3)dy 0２、 x x sin t cos2t21 14 试求方程组 x Ax 的解 (t), (0)21并求dyx y 2经过( 0，0)的第三次近似解 dx４、(d dy x )3 dx4xy d d y x 8 y 2 0３、若 A expAt５、求方程6.求d d x t x y 1,d d y t x y 5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）、n 阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。

试卷答案填空题MNy x(x)N MNyxM(y)２、dy p(x y) 2 Q x(y )R x dx()ddyxp(x)y Q x( y)n u(x, y) n e (n 1)p(x)dx４、 w[x 1(t),x 2(t), ,x n (t)] 0６、 (t) (t)C ７、零稳定中心二计算题MN1, 1１、解：因为 y x ，所以此方程不是恰当方程，方程有积x y2 x yc 即 2x y(y 2 c) 另外 y=0 也是解 y2２、线性方程 x x 0的特征方程 2 1 0 故特征根if 1(t) sinti 是特征单根，原方程有特解 x t(Acost Bsint)1代入原方程 A=- 1 B=0f 2(t) cos2t 2i 不是特征221根，原方程有特解 x Acos2t B sin 2t 代入原方程 A 1 B=0311 所以原方程的解为 x c 1cost c 2 sint tcost cos2tdx na n 1d d y x a n y 02dy 2分因子 (y) e y e ln y2x y 3dy 0所以解为1y dx yd n ya1两边同乘y 2x y 3y 2k=1n 1 2*)两边对 y 求导： 2y(p 3 4y 2)dp p(8y 2 p 3) 4y 2pdy即(p 3 4y 2)(2y dp p) 0由2y dp p 0得 p cy 21即y (p )2将 ydy dy c３、解：p( )26 9 0解得1,23 此时1 (t) e 3ti0t i i!(A 3E)i 1e 3t 1 t( 1 2)2 t( 1 2)n 1t i由公式 expAt= e t t (A E)i 得i 0 i!3t 3t 1 01expAt e 3t E t(A 3E) e 3tt0 1111 e 3t 1 t t t1t４、解：方程可化为 xdy dx4y dydx8y2dy 令dy p则有xdx32 p 3 8y 2(*)4yp代入（*）c 2x 422p即方程的含参数形式的通解为：c 2xc 2 2px 2 4 c 2 4c p p 2 y ( )2c为参数又由 p 34y 2140得 p （4y 2）3代入（ *）得： y 4 x 3也是方程的解x y 1 0６、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2 则xy50dx x y d d t y dy dt 因为 1 1=1+1 0 故有唯一零解( 0，0)111 12 2由2 2 1 1 2 2 2 0得 1 i 故( 3，-2)11为稳定焦点三、证明题由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n 解：x1(t0) 1,x2(t0) 0, ,x n(t0) 0x1'(t0) 0,x2'(t0) 1, ,x n(t0) 0x1n 1(t0) 0,x2n 1(t0) 0, ,x n n 1(t0) 1考虑w[x1(t0),x2(t0), ,x n(t0)]0 01 0100 11５、解：2x x1y0xdx1 0022 x x y0(x )dx x20 04 24 10x x x043 y0 (x5 x207 2 5x x x)dx400 20 2 20 4400 160x11 x8xy从而x i(t)(i 1,2, n) 是线性无关的。

常微分方程试题综合

常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（）。

有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx -+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

试卷答案一填空题１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy M ϕ∂∂-∂∂=- ２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++y y z =+３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰=４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠５、11110n n nn n n n d y d dy x a a a y dx dx dx ---++++=６、()()t t C ψφ= ７、零稳定中心二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyyy y ee y μ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=02()cos2f t t=-2i λ=不是特征根，原方程有特解cos2sin2x A t B t =+代入原方程13A =B=0 所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时 k=112n = 12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦111123322120()()(3)()!it i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!in tii t e A E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭４、解：方程可化为3284dyydxxdyydx⎛⎫+⎪⎝⎭=令dypdx=则有3284p yxyp+=（*）（*）两边对y求导：32232 2(4)(8)4dpy p y p y p y pdy-+-=即32(4)(2)0dpp y y pdy--=由20dpy pdy-=得12p cy=即2()pyc=将y代入（*）2224c pxc=+即方程的含参数形式的通解为：22224()c pxcpyc⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p为参数又由3240p y-=得123(4)p y=代入（*）得：3427y x=也是方程的解５、解：002100225200410725118 3002()4220()4400202204400160 xxxyxy xdxx x xy x dxx x x x x x x y x dxϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰６、解：由1050x yx y--+=⎧⎨--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxx ydtdyx ydt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为1111---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）由221121122011λλλλλλ+=+++=++=-+得1iλ=-±故（3，-2）为稳定焦点。

2009级下期微积分期中考试试题解答

2009级下期微积分期中考试试题评分标准 2010-5-9二、填空题（每题３分，合计１５分）1．1234cos sin x x C e C e C x C x -+++；2. {或；3.()v vu vv f y f xf ++或22122()f y f xf ++； 4.2121d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y +⎰⎰⎰⎰；三、（8分）设函数(,)z x y 由方程(2,,)0z f x x z yz -+=确定，其中f 具有连续的偏导数，求d .z [解] 令(,,)(2,,)F x y z z f x x z yz =-+， ……………………………………… ①則 123232, , 1,x y z F f f F zf F f yf =--=-=-- ………………………………………… ④31223232 =, .11y x z z F F zf f f z zx F f yf y F f yf +∂∂-==-=∂--∂-- …………………………………… ⑥ 31223232d d d =d d .11zf f f z zz x y x y x y f yf f yf +∂∂=++∂∂---- …………………………………… ⑧ 四、( 9分) 求曲面22z x y =+的一个切平面，使此切平面与直线2122x z y z +=⎧⎨+=⎩垂直.[解] 直浅的方向向量为 (1,0,2)(1,0,2)(2,2,1)s =⨯=-- ……………………… ①设切点为000(,,)x y z ，则曲面在切点处的法向量为 00(2,2,1)n x y =- …………………………… ② 由题意 0000221//1,1221x y s n x y -⇒==⇒==-- …………………………………………… ⑤ 代入曲面方程得00002(,,)(1,1,2)z x y z =⇒= …………………………………………… ⑥ 在切点(1,1,2)处的法向量为 (2,2,1)n =- …………………………………………… ⑦ 故切平面方程为 2(1)2(1)(2)0222x y z x y z -+---=⇒+-= …………………………… ⑨五、( 9分) 求函数22(,)(1)yf x y x y e y =++-的极值.[解]222(1)0210x y yf x y f x y e ⎧=+=⎪⎨=+-=⎪⎩ 0,0;x y ⇒== …………………………………………… ③ 2(0,0)(0,0)2(1)|2xx A f y ==+=，(0,0)(0,0)(4)|0xy B f xy ===，2(0,0)(0,0)(2)|1y yy C f x e ==+= ……⑥220,0AC B A -=>>⇒函数有极小值(0,0)1f = …………………………………… ⑨六、(9分) 求微分方程2x y y xe '''-= 满足初始条件 (0)0,(0)0y y '== 的特解。