2019版理数练习:第十章 第五节 古典概型
10.5 古典概型
第10章 第5节
第23页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学(理)
4.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2
报
告 一
种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红
课
色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C )
时 作
业
1
报
A.3
B.12
告
二
2
C.3
D.56
第10章 第5节
第24页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学(理)
课
邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为( C )
时 作
业
1
报
A.8
B.16
告
二
1
作 业
报 告
故选C.
二
第10章 第5节
第21页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学(理)
报 告
3.[2019广东深圳一模]两名同学分3本不同的书,其中一
一 人没有分到书,另一人分得3本书的概率为( B )
课
时
A.12
B.14
作 业
报 告 二
1 C.3
D.16
第10章 第5节
第22页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学(理)
第10章 第5节
第15页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学(理)
报
告
一
课
报告二 名校备考方案调研
时 作 业
报 告 二
第10章 第5节
第16页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学(理)
1 简单古典概型的问题
1.[2018全国卷Ⅱ]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研
第十章 第五节 古典概型1
7 答案:10
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[冲关锦囊]
计算古典概型事件的概率可分三步:
①算出基本事件的总个数n;②求出事件A所包含的基本
事件个数m;③代入公式求出概率P.
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[精析考题]
[例2] (2011· 天津高考改编)学校游园活动有这样一个游戏项
目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白 球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两 个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获 奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)求在1次游戏中,
时,可利用排列或组合的知识. 返回
2.对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事 件概率问题去求.
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[精析考题] [例1] (2011· 陕西高考)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”,
他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个 景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( 1 A.36 5 C.36 1 B.9 1 D.6 )
第十 章 计数 原理、 概率、 随机 变量 及其 分布
抓 基 础
第 五 节
古 典 概 型
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
提 能 力
[备考方向要明了] 考 什 么 1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件
发生的概率.
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怎 么 考 1.古典概型的概率求法是考查重点,多与排列组合知识交
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解析:依题意k和b的所有可能的取法一共有3×3=9种,其 中当直线y=kx+b不经过第二象限时应有k>0,b<0,一共 4 有2×2=4种,所以所求概率为9.
答案: C
2019届高考数学一轮复习第十篇计数原理概率随机变量及其分布第5节古典概型与几何概型训练理新人教版
第5节古典概型与几何概型基础巩固(时间:30分钟)1.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(3,6).则向量p与q共线的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:由题意可得,基本事件(m,n)(m,n=1,2,…,6)的个数=6×6=36.若p∥q,则6m-3n=0,得到n=2m.满足此条件的共有(1,2),(2,4),(3,6)三个基本事件.因此向量p与q共线的概率为P==.故选D.2.(2017·黑龙江大庆市二模)男女生共8人,从中任选3人,出现2个男生,1个女生的概率为,则其中女生人数是( C )(A)2人 (B)3人(C)2人或3人(D)4人解析:设女生人数是x人,则男生(8-x)人,又因为从中任选3人,出现2个男生,1个女生的概率为,所以=,所以x=2或3.故选C.3.(2017·兰州调研)从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于40的概率为( B )(A) (B) (C) (D)解析:构成的两位数共有=20个,其中大于40的两位数有=8个,所以所求概率为=,故选B.4.(2017·湖南湘西州一模)已知f(x)=在区间(0,4)内任取一个为x,则不等式log2x-(lo4x-1)f(log3x+1)≤的概率为( B )(A) (B)(C) (D)解析:由题意,log3x+1≥1且log2x-(lo4x-1)≤,或0<log3x+1<1且log2x+2(lo4x-1)≤, 解得1≤x≤2或<x<1,所以原不等式的解集为(,2],所求概率为=.故选B.5.(2017·河北邢台市模拟)某值日小组共有3名男生和2名女生,现安排这5名同学负责周一至周五擦黑板,每天1名同学,则这 5 名同学值日日期恰好男生与女生间隔的概率为( B )(A)(B)(C) (D)解析:5名同学所有的值日方法有=120种,其中男生女生间隔的方法有=12种,所以所求的概率为=.故选B.6.在二项式(+)n的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:注意到二项式(+)n的展开式的通项是T r+1=()n-r()r=.依题意有+=2=n,即n2-9n+8=0,(n-1)(n-8)=0(n≥2),因此n=8.因为二项式(+)8的展开式的通项是T r+1=2-r,其展开式中的有理项共有3项,所求的概率等于=.故选D.7.用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是.解析:由于只有两种颜色,不妨将其设为1和2,若只用一种颜色有111;222.若用两种颜色有122;212;221;211;121;112.所以基本事件共有8种.又相邻颜色各不相同的有2种,故所求概率为.答案:8.(2018·济南市一模)在平面直角坐标系内任取一个点P(x,y)满足则点P落在曲线y=与直线x=2,y=2围成的阴影区域(如图所示)内的概率为.解析:S阴影=2×(2-)-dx=3-ln x=3-(ln 2-ln)=3-ln 4S正方形=4,则点P落在曲线y=与直线x=2,y=2围成的阴影区域(如题图所示)内的概率为.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2017·新余模拟)如图,将半径为1的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点,此点落在星形区域内的概率为( A )(A) -1 (B)(C)1- (D)解析:作圆的外接正方形,并连接星形的对角线,可知正方形内圆外部分面积与星形面积相等,则星形区域的面积等于22-π=4-π,又因为圆的面积等于π×12=π,因此所求的概率等于=-1.故选A.10.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到一瓶饮料已过保质期的概率为.(结果用最简分数表示)解析:法一由题意知本题属古典概型,概率为P==.法二本题属古典概型,概率为P=1-=.答案:11.(2017·海口调研)张先生订了一份《南昌晚报》,送报人在早上6:30~7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是.解析:以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示张先生离家时间,建立平面直角坐标系,如图.因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意只要点落在阴影部分,就表示张先生在离开家之前能拿到报纸,即所求事件A发生,所以P(A)==.答案:12.(2017·信阳模拟)在某项大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到A, B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.解:(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件E A,那么P(E A)==,即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E,那么P(E)==,所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()=1-P(E)=.(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2==,所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1=1-P2=.13.设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2), (3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件,故事件A发生的概率为P(A)==.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},构成事件A的区域为{ (a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},如图.所以所求的概率为P(A)==.14.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率;(2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.解:(1)设甲、乙两船到达时间分别为x,y,则0≤x<24,0≤y<24且y-x>4或y-x<-4.作出区域设“两船无需等待码头空出”为事件A,则P(A)==.(2)当甲船的停泊时间为4小时,乙船停泊时间为2小时,两船不需等待码头空出,则满足x-y>2或y-x>4,设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B,画出区域P(B)===.。
第十章 第五节 古典概型 (理 )
[悟一法] 求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实 际含义,把实际问题转化为概率模型;二是合理利用计数 原理、排列、组合的有关性质;三是将所求事件转化成彼 此互斥的事件的和,或者先求其对立事件的概率.
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[通一类] 2.某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有10名
工人,其中有6名女工人.现采用分层抽样方法(层内采用 不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行 技术考核. (1)求从甲、乙两组各抽取的人数; (2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率; (3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.
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4.设A={1,2,3,4,5,6},B={1,3,5,7,9},集合C是从A∪B中任取 2个元素组成的集合,则CÜ (A∩B)的概率是________. 解析:A∪B={1,2,3,4,5,6,7,9},则A∪B中有8个元素,在A ∪B中任取两个元素的取法有C82种. 又A∩B={1,3,5}且CÜ (A∩B),∴P=CC8223=238. 答案:238
根,取到长度超过 30 mm 的纤维的概率是 ( )
A.34
B.130
2 C.5
D.以上都不对
解析:从40根纤维中取一根,共有40种等可能结果,取
到长度超过30 mm的纤维的可能结果有12种,
∴所求事件的概率为1420=130.
答案:B
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2.下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学,如果没有
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(2)计算公式:P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
.
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[做一题]
[例1] 在中国西部博览会期间,成都吸引了众多中外
客商和游人,各展馆都需要大量的志愿者参加服
2019高三数学人教A版理一轮课件:第10章 第5节 古典概
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(2016· 全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得 第一位是 M,I,N 中的一个字母,第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输 入一次密码能够成功开机的概率是( 8 A. 15 1 C. 15 ) 1 B. 8 1 D. 30
4.从 3 名男同学,2 名女同学中任选 2 人参加知识竞赛,则选到的 2 名同 学中至少有 1 名男同学的概率是________.
9 10 C2 9 2 [所求概率为 P=1- 2= .] C5 10
5.(教材改编)同时掷两个骰子,向上点数不相同的概率为________.
5 [掷两个骰子一次,向上的点数共有 6×6=36 种可能的结果,其中点数 6 6 5 相同的结果共有 6 个,所以点数不同的概率 P=1- = .] 6×6 6
基本事件总数为 25,第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10, 10 2 ∴所求概率 P= = . 25 5 故选 D.]
[规律方法] 1.求古典概型概率的步骤 1判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件 A; 2分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m; m 3利用公式 PA= ,求出事件 A 的概率. n
4.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 P(A)= .
[知识拓展] 划分基本事件的标准必须统一,保证基本事件的等可能性.
[基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基 本事件是“发芽与不发芽”.( 个结果是等可能事件.( 性相同.( ) ) ) ) (2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三 (3)从-3,-2,-1,0,1,2 中任取一数,取到的数小于 0 与不小于 0 的可能 (4)利用古典概型的概率可求“在边长为 2 的正方形内任取一点,这点到正 方形中心距离小于或等于 1”的概率.(
第十章 第五节 古典概型
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(2)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的 正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 ________.
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2 解析: (1)从袋中任取 2 个球共有 C15 =105(种)取法, 其中恰有 1 个白 1 球,1 个红球共有 C1 10C5=50(种)取法,所以所取的球恰有 1 个白球,1 个
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解析:(1)A、B 两项中的基本事件的发生不是等可能的; C 项中基本事件的个数是无限多个; D 项中基本事件的发生是等可能的,且是有限个. (2)设出现正面为 1, 反面为 0, 则共有(1,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (1,0,0), (0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0),8 种结果.
考点 3 复杂的古典概型的概率 【例 3】袋内装有 6 个球,这些球依次被编号为 1、2、3、„、6, 设编号为 n 的球重 n2-6n+12(单位: 克), 这些球等可能地从袋中取出(不 受重量、编号的影响). (1)从袋中任意取出一个,求其重量大于其编号的概率; (2)如果不放回地任意取出 2 个球,求它们重量相等的概率.
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设编号为 m 的球与编号为 n 的球重量相等,则有 m2-6m+12=n2- 6n+12,即(m-n)(m+n-6)=0, 结合题意可得 m+n-6=0,即 m+n=6. 故满足 m+n=6 的情况为 1、5;2、4,共两种情形. 2 故所求事件的概率为 . 15
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(4)利用古典概型的概率可求“在边长为 2 的正方形内任取一点,这 点到正方形中心距离小于或等于 1”的概率.(
第五节 古典概型与几何概型
第五节古典概型与几何概型1.古典概型(1)古典概型的特征:①有限性:在一次试验中,可能出现的结果是有限的,即只有有限个不同的基本事件;,②等可能性:每个基本事件出现的可能性是相等的.一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.(2)古典概型的概率计算的基本步骤:①判断本次试验的结果是否是等可能的,设出所求的事件为A;②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m;③利用古典概型的概率公式P(A)=mn,求出事件A的概率.(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同(1)概念:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)几何概型的基本特点:①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;②每个基本事件出现的可能性相等.(3)计算公式:P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).几何概型应用中的关注点(1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率.(2)确定基本事件时一定要选准度量,注意基本事件的等可能性.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( )(2)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的,其基本事件个数都有限.( )(3)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个事件是等可能事件.( )(4)在古典概型中,如果事件A 中基本事件构成集合A ,所有的基本事件构成集合I ,则事件A 的概率为card (A )card (I ).( )答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、选填题1.一枚硬币连掷2次,只有一次出现正面的概率为( ) A.23 B.14 C.13D.12解析:选D 一枚硬币连掷2次可能出现(正,正)、(反,反)、(正,反)、(反,正)四种情况,只有一次出现正面的情况有两种,故P =24=12.2.某路公共汽车每5分钟发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间不超过2分钟的概率是( )A.35 B.45 C.25D.15解析:选C 试验的全部结果构成的区域长度为5,所求事件的区域长度为2,故所求概率为P =25.3.已知四边形ABCD 为长方形,AB =2,BC =1,O 为AB 的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4B.1-π4C.π8D.1-π8解析:选B 如图,依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比,即所求概率P =S 阴影S 长方形ABCD=2-π22=1-π4.4.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是________.解析:两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3),总的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,故所求概率P =210=15.答案:155.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.解析:P =1-C 22C 24=1-16=56.答案:56考点一 古典概型[师生共研过关][典例精析](1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A.112 B.114 C.115D.118(2)(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次,得到的点数依次记为a 和b ,则方程ax 2+bx +1=0有实数解的概率是( )A.736B.12C.1936D.518[解析] (1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,随机选取两个不同的数,共有C 210=45种情况,而和为30的有7+23,11+19,13+17这3种情况,所以所求概率P =345=115.(2)投掷骰子两次,所得的点数a 和b 满足的关系为⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤6,a ∈N *,1≤b ≤6,b ∈N *,所以a 和b 的组合有36种.若方程ax 2+bx +1=0有实数解, 则Δ=b 2-4a ≥0,所以b 2≥4a .当b =1时,没有a 符合条件;当b =2时,a 可取1;当b =3时,a 可取1,2;当b =4时,a 可取1,2,3,4;当b =5时,a 可取1,2,3,4,5,6;当b =6时,a 可取1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有19种,则方程ax 2+bx +1=0有实数解的概率P =1936.[答案] (1)C (2)C[解题技法]1.古典概型的概率求解步骤 (1)求出所有基本事件的个数n .(2)求出事件A 包含的所有基本事件的个数m . (3)代入公式P (A )=mn 求解. 2.基本事件个数的确定方法(1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型.(2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标法. (3)树状图法:树状图是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求.(4)运用排列组合知识计算.[过关训练]1.(2019·益阳、湘潭调研)已知a ∈{-2,0,1,2,3},b ∈{3,5},则函数f (x )=(a 2-2)e x +b 为减函数的概率是( )A.310B.35C.25D.15解析:选C 若函数f (x )=(a 2-2)e x +b 为减函数,则a 2-2<0,又a ∈{-2,0,1,2,3},故只有a =0,a =1满足题意,又b ∈{3,5},所以函数f (x )=(a 2-2)e x +b 为减函数的概率是2×25×2=25.2.从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A.518B.49C.59D.79解析:选C 由题意得,所求概率P =5×4×29×8=59.3.将A ,B ,C ,D 这4名同学从左至右随机地排成一排,则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是( )A.12 B.14 C.16D.18解析:选B A ,B ,C ,D 4名同学排成一排有A 44=24种排法.当A ,C 之间是B 时,有2×2=4种排法,当A ,C 之间是D 时,有2种排法,所以所求概率P =4+224=14.考点二 几何概型[全析考法过关][考法全析]类型(一) 与长度有关的几何概型[例1] (2019·濮阳模拟)在[-6,9]内任取一个实数m ,设f (x )=-x 2+mx +m ,则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( )A.215 B.715 C.35D.1115[解析] ∵f (x )=-x 2+mx +m 的图象与x 轴有公共点,∴Δ=m 2+4m ≥0,∴m ≤-4或m ≥0,∴在[-6,9]内取一个实数m ,函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率P =[-4-(-6)]+(9-0)9-(-6)=1115,故选D. [答案] D类型(二) 与面积有关的几何概型[例2] (1)(2018·潍坊模拟)如图,六边形ABCDEF 是一个正六边形,若在正六边形内任取一点,则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )A.14B.13C.23D.34(2)(2019·洛阳联考)如图,圆O :x 2+y 2=π2内的正弦曲线y =sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分),随机往圆O 内投一个点A ,则点A 落在区域M 内的概率是( )A.4π2B.4π3C.2π2 D.2π3 [解析] (1)设正六边形的中心为点O ,BD 与AC 交于点G ,BC =1,则BG =CG ,∠BGC =120°,在△BCG 中,由余弦定理得1=BG 2+BG 2-2BG 2cos 120°,得BG =33,所以S △BCG =12×BG ×BG ×sin 120°=12×33×33×32=312,因为S六边形ABCDEF =S △BOC ×6=12×1×1×sin 60°×6=332,所以该点恰好在图中阴影部分的概率P =1-6S △BCG S 六边形ABCDEF =23.(2)由题意知圆O 的面积为π3,正弦曲线y =sin x ,x ∈[-π,π]与x 轴围成的区域记为M ,根据图形的对称性得区域M 的面积S =2∫π0 sin x d x =-2cos x |π0 =4,由几何概型的概率计算公式可得,随机往圆O 内投一个点A ,则点A 落在区域M 内的概率P =4π3.[答案] (1)C (2)B类型(三) 与体积有关的几何概型[例3] 已知在四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,PA =AB =2,现在该四棱锥内部或表面任取一点O ,则四棱锥O -ABCD 的体积不小于23的概率为________.[解析] 当四棱锥O -ABCD 的体积为23时,设O 到平面ABCD 的距离为h ,则13×22×h =23,解得h =12.如图所示,在四棱锥P -ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ,且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为PA ⊥底面ABCD ,且PA =2,所以PH PA =34,又四棱锥P -ABCD 与四棱锥P -EFGH 相似,所以四棱锥O -ABCD 的体积不小于23的概率P =V 四棱锥P -EFGH V 四棱锥P -ABCD =⎝⎛⎭⎫PH PA 3=⎝⎛⎭⎫343=2764. [答案]2764类型(四) 与角度有关的几何概型[例4] 如图,四边形ABCD 为矩形,AB =3,BC =1,以A 为圆心,1为半径作四分之一个圆弧,在∠DAB 内任作射线AP ,则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.[解析] 连接AC ,如图, 因为tan ∠CAB =BC AB =33,所以∠CAB =π6,满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内,且AP 与AC 相交时,即直线AP 与线段BC 有公共点,所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率P =∠CAB ∠DAB =π6π2=13.[答案]13[规律探求]要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度类型(二)是与面积有关的几何概型.求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造1.(2019·豫东名校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M 是AB 的中点,一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔,则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为( )A.34 B.23 C.13D.12解析:选D 由题图可知V F -AMCD =13×S 四边形AMCD ×DF =14a 3,V ADF -BCE =12a 3, 所以它飞入几何体F -AMCD 内的概率P =14a 312a 3=12.2.在区间[0,π]上随机取一个数x ,则事件“sin x +cos x ≥22”发生的概率为________. 解析:由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧sin x +cos x ≥22,0≤x ≤π,即⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝⎛⎭⎫x +π4≥12,0≤x ≤π,解得0≤x ≤7π12,故所求的概率为7π12π=712.答案:7123.(2018·唐山模拟)向圆(x -2)2+(y -3)2=4内随机投掷一点,则该点落在x 轴下方的概率为________.解析:如图,连接CA ,CB ,依题意,圆心C 到x 轴的距离为3,所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2,所以弓形ADB 的面积为12×23π×2-12×2×3=23π-3,所以向圆(x -2)2+(y -3)2=4内随机投掷一点,则该点落在x 轴下方的概率P =16-34π.答案:16-34π。
第十章 第五节 古典概型、几何概型(理)
名成员记作S 解:把数学小组的3名成员记作 1,S2,S3,自然科学 把数学小组的 名成员记作 小组的3名成员记作 人文科学小组的3名成 小组的 名成员记作Z1,Z2,Z3,人文科学小组的 名成 名成员记作 员记作R 则基本事件是(S 员记作 1,R2,R3,则基本事件是 1,Z1,R1),(S1,Z1, , R2),(S1,Z1,R3),(S1,Z2,R1),(S1,Z2,R2),(S1,Z2, , , , , R3),(S1,Z3,R1),(S1,Z3,R2),(S1,Z3,R3),然后把 , , , , 个基本事件中S 又各得9个基本事件 个基本事件, 这9个基本事件中 1换成 2,S3又各得 个基本事件,故 个基本事件中 换成S 基本事件的总数是27个 基本事件的总数是 个. 表示数学组中的甲同学、 以S1表示数学组中的甲同学、Z2表示自然科学小组的乙 同学. 同学.
[理 要 点] 理 一、基本事件的两个特点 1.任何两个基本事件是 互斥 的; . 2.任何事件(除不可能事件 都可以表示成 基本事件 的和. .任何事件 除不可能事件 除不可能事件)都可以表示成 的和. 二、古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型, 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简 称古典概型. 称古典概型. 1.试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 . . 2.每个基本事件出现的可能性 相等 . .
古典概型、几何概型[理] 古典概型、几何概型 理 1.理解古典概型及其概率计算公式. .理解古典概型及其概率计算公式. 2.会用计算一些随机事件所含的基本事件数 . 及事件发生的概率. 及事件发生的概率. 3.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. .了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. 4.了解几何概型的意义. .了解几何概型的意义.
第十章 统计与概率10-5古典概型与几何概型
x 2 y 解析:(1)由题意可得,18=36=54,所以x=1,y=3. (2)记从高校B抽取的2人为b1,b2,从高校C抽取的3人为 c1,c2,c3,则从高校B,C抽取的5人中选2人作专题发言的基 本事件有 (b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2, c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共10种. 设选中的2人都来自高校C的事件为X,则X包含的基本事 3 件有(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共3种.因此P(X)= . 10 3 故选中的2人都来自高校C的概率为10.
根据几何概型的计算公式可知
2 2 - --1+1- 3 3
P=
1--1
1 =3,故选A.
答案:A
(文)(2010·青岛市质检)已知区域Ω={(x, y)|x+y≤10,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x- y≥0,x≤5,y≥0},若向区域Ω内随机投1个 点,则这个点落入区域A内的概率P(A)= ________.
[例4] (09·天津)为了了解某市工厂开展群 众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法 从A、B、C三个区中抽取7个工厂进行调 查.已知A、B、C区中分别有18、27、18 个工厂. (1)求从A、B、C区中应分别抽取的工厂个 数; (2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进 行调查结果的对比,用列举法计算这2个工 厂中至少有1个来自A区的概率.
2.古典概型 满足以下两个条件的随机试验的概率模型称 为古典概型: (1)有限性:在一次试验中,可能出现的不 同的基本事件只有有限个; (2)等可能性:每个基本事件的发生都是等 可能的. 古典概型中事件的概率计算
2019高考数学(理)一轮复习全套学案
2019高考数学(理)一轮复习全套学案目录第一章集合与常用逻辑用语第1节集合第2节命题及其关系、充分条件与必要条件第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”第二章函数、导数及其应用第1节函数及其表示第2节函数的单调性与最值第3节函数的奇偶性、周期性与对称性第4节二次函数与幂函数第5节指数与指数函数第6节对数与对数函数第7节函数的图像第8节函数与方程第9节函数模型及其应用第10节变化率与导数、计算导数第11节第1课时导数与函数的单调性第11节第2课时导数与函数的极值、最值学案第11节第3课时导数与函数的综合问题学案第12节定积分与微积分基本定理第三章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式第3节三角函数的图像与性质第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用学案第5节两角和与差及二倍角的三角函数第6节正弦定理和余弦定理第6节简单的三角恒等变换第7节正弦定理和余弦定理第8节解三角形实际应用举例第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算第2节平面向量的基本定理及坐标表示第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例第4节数系的扩充与复数的引入第五章数列第1节数列的概念与简单表示法第2节等差数列及其前n项和第3节等比数列及其前n项和第4节数列求和第六章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式第2节基本不等式及其应用第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第4节归纳与类比第5节综合法、分析法、反证法第6节数学归纳法第七章立体几何第1节简单几何体的结构及其三视图和直观图第2节空间图形的基本关系与公理第3节平行关系第4节垂直关系第5节简单几何体的表面积与体积第6节空间向量及其运算第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直第7节第2课时利用空间向量求空间角第八章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第2节两条直线的位置关系第3节圆的方程第4节直线与圆、圆与圆的位置关系第5节椭圆第6节抛物线第7节双曲线第8节曲线与方程第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题第九章算法初步、统计与统计案例第1节算法与算法框图第2节随机抽样第3节统计图表、用样本估计总体学案第4节变量间的相关关系与统计案例第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2节排列与组合第3节二项式定理第4节随机事件的概率学案第5节古典概型第6节几何概型第7节离散型随机变量及其分布列第8节二项分布与正态分布第9节离散型随机变量的均值与方差不等式选讲第1节绝对值不等式不等式选讲第2节不等式的证明坐标系与参数方程第1节坐标系坐标系与参数方程第2节参数方程第一节 集 合[考纲传真] 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.[基础知识填充]1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、Venn 图法. (4)常见数集的记法2.中至少有一AB3.A ∪BA ∩B∁A[(1)若有限集A 中有n 个元素,则A 的子集有2n个,真子集有2n-1个. (2)任何集合是其本身的子集,即:A ⊆A . (3)子集的传递性:A ⊆B ,B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)A ⊆B ⇔A ∩B =A ⇔A ∪B =B .(5)∁U (A ∩B )=(∁U A )∪(∁U B ),∁U (A ∪B )=(∁U A )∩(∁U B ).[基本能力自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集.( )(2){x |y =x 2}={y |y =x 2}={(x ,y )|y =x 2}.( ) (3)若{x 2,1}={0,1},则x =0,1.( ) (4){x |x ≤1}={t |t ≤1}.( )(5)对于任意两个集合A ,B ,关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立. (6)若A ∩B =A ∩C ,则B =C .( )[解析] (1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.(2)错误.三个集合分别表示函数y =x 2的定义域(-∞,+∞),值域[0,+∞),抛物线y =x 2上的点集.(3)错误.当x =1时,不满足互异性.(4)正确.两个集合均为不大于1的实数组成的集合. (5)正确.由交集、并集、子集的概念知,正确. (6)错误.当A =∅时,B ,C 可为任意集合.[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×2.(教材改编)若集合A ={x ∈N |x ≤22},a =2,则下列结论正确的是( )A .{a }⊆AB .a ⊆AC .{a }∈AD .a ∉A D [由题意知A ={0,1,2},由a =2,知a ∉A .]3.若集合A ={x |-2<x <1},B ={x |x <-1或x >3},则A ∩B =( )A .{x |-2<x <-1}B .{x |-2<x <3}C .{x |-1<x <1}D .{x |1<x <3}A [∵A ={x |-2<x <1},B ={x |x <-1或x >3}, ∴A ∩B ={x |-2<x <-1}.故选A.]4.设全集U ={x |x ∈N +,x <6},集合A ={1,3},B ={3,5},则∁U (A ∪B )等于( )A .{1,4}B .{1,5}C .{2,5}D .{2,4}D [由题意得A ∪B ={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U ={1,2,3,4,5},∴∁U (A ∪B )={2,4}.] 5.已知集合A ={x 2+x,4x },若0∈A ,则x =________.-1 [由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x =0,4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x =0,x 2+x ≠0,解得x =-1.](第2页)(1)设集合A ={1,2,3},B ={4,5},M ={x |x =a +b ,a ∈A ,b ∈B },则M 中的元素个数为( ) A .3 B .4 C .5 D .6(2)已知a ,b ∈R ,若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ,b a,1={a 2,a +b,0},则a 2 019+b 2 019为( )A .1B .0C .-1D .±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x =a +b ,a ∈A ,b ∈B ,所以当b =4,a =1,2,3时,x =5,6,7. 当b =5,a =1,2,3时,x =6,7,8. 由集合元素的互异性,可知x =5,6,7,8. 即M ={5,6,7,8},共有4个元素. (2)由已知得a ≠0,则b a=0,所以b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1,又根据集合中元素的互异性可知a =1应舍去,因此a =-1,故a2 019+b2 019=(-1)2 019+02 019=-1.]确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集看这些元素满足什么限制条件根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,要注意检验集合是否满足元素的互异性[跟踪训练A.92 B.98 C .0 D .0或98(2)已知集合A ={m +2,2m 2+m },若3∈A ,则m 的值为________.【79140001】(1)D (2)-32 [(1)若集合A 中只有一个元素,则方程ax 2-3x +2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a =0时,x =23,符合题意;当a ≠0时,由Δ=(-3)2-8a =0得a =98,所以a 的取值为0或98.(2)因为3∈A ,所以m +2=3或2m 2+m =3.当m +2=3,即m =1时,2m 2+m =3, 此时集合A 中有重复元素3, 所以m =1不符合题意,舍去;当2m 2+m =3时,解得m =-32或m =1(舍去),此时当m =-32时,m +2=12≠3符合题意.所以m =-32.](1)已知集合A ={x |y =1-x 2,x ∈R },B ={x |x =m 2,m ∈A },则( ) A .A B B .B A C .A ⊆BD .B =A(2)已知集合A ={x |(x +1)(x -3)<0},B ={x |-m <x <m }.若B ⊆A ,则m 的取值范围为________. (1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ={x |-1≤x ≤1}, 所以B ={x |x =m 2,m ∈A }={x |0≤x ≤1}, 因此B A .(2)当m ≤0时,B =∅,显然B ⊆A ,当m >0时,因为A ={x |(x +1)(x -3)<0}={x |-1<x <3}. 当B ⊆A 时,有所以⎩⎪⎨⎪⎧-m ≥-1,m ≤3,-m <m .所以0<m ≤1.综上所述,m 的取值范围为m ≤1.] 化简集合,从表达式中寻找两集合的关系用列举法或图示法等表示各个集合,从元素或图形中寻找关系2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、A ≠,应分[跟踪训练] (1)已知集合A ={x |x 2-3x +2=0,x ∈R },B ={x |0<x <5,x ∈N },则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4(2)已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是________. (1)D (2)(-∞,4] [(1)由x 2-3x +2=0,得x =1或x =2,所以A ={1,2}. 由题意知B ={1,2,3,4},所以满足条件的C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)∵B ⊆A ,∴当B =∅时,有m +1≥2m -1,则m ≤2. 当B ≠∅时,若B ⊆A ,如图.则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≥-2,2m -1≤7,m +1<2m -1,解得2<m ≤4.综上,m 的取值范围为m ≤4.]◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ={x |x <1},B ={x |3x<1},则( ) A .A ∩B ={x |x <0} B .A ∪B =R C .A ∪B ={x |x >1}D .A ∩B =∅(2)(2018·九江一中)设U =R ,A ={-3,-2,-1,0,1,2},B ={x |x ≥1},则A ∩(∁U B )=( ) A .{1,2}B .{-1,0,1,2}C .{-3,-2,-1,0}D .{2}(1)A (2)C [(1)∵B ={x |3x<1},∴B ={x |x <0}.又A ={x |x <1},∴A ∩B ={x |x <0},A ∪B ={x |x <1}.故选A. (2)由题意得∁U B ={x |x <1},∴A ∩(∁U B )={-3,-2,-1,0},故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A =[1,+∞),B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a -1,若A ∩B ≠∅,则实数a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞ D .(1,+∞)A [集合A ∩B ≠∅,则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a -1,2a -1≥1,解得a ≥1,故选A.] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ,则-x ∈A ,那么就称集合A 为“对称集合”.已知集合A ={2x,0,x 2+x },且A 是对称集合,集合B 是自然数集,则A ∩B =______.{0,6} [由题意可知-2x =x 2+x ,所以x =0或x =-3.而当x =0时不符合元素的互异性,所以舍去.当x =-3时,A ={-6,0,6},所以A ∩B ={0,6}.]看元素组成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提看集合能否化简,集合能化简的先化简,再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于求解要借助用数轴表示,并注意端点值的取舍以集合为依托,对集合的定义、运算、性质加以创新,但最终应转化为原来的集合问题来解决[跟踪训练A .{1,-3} B .{1,0} C .{1,3}D .{1,5}(2)已知全集U =R ,集合M ={x |(x -1)(x +3)<0},N ={x ||x |≤1},则阴影部分(如图111)表示的集合是( )图111A .[-1,1)B .(-3,1]C .(-∞,-3)∪[-1,+∞)D .(-3,-1)(3)设A ,B 是非空集合,定义A ⊗B ={x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }.已知集合A ={x |0<x <2},B ={y |y ≥0},则A ⊗B =________.【79140002】(1)C (2)D (3){0}∪[2,+∞) [(1)∵A ∩B ={1}, ∴1∈B .∴1-4+m =0,即m =3. ∴B ={x |x 2-4x +3=0}={1,3}.故选C.(2)由题意可知,M=(-3,1),N=[-1,1],∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)=(-3,-1).(3)由已知A={x|0<x<2},B={y|y≥0},又由新定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},结合数轴得A⊗B={0}∪[2,+∞).]第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念;了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.(第3页)[基础知识填充]1.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.2.充分条件与必要条件(1)若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;(2)若p⇒q,且⇒/p,则p是q的充分不必要条件;(3)若p⇒/q且q⇒p,则p是q的必要不充分条件;(4)若p⇔q,则p是q的充要条件;(5)若p⇒/q且q⇒/p,则p是q的既不充分也不必要条件.[知识拓展] 集合与充要条件设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有:(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,若A B,则p是q的充分不必要条件.(2)若B⊆A,则p是q的必要条件,若B A,则p是q的必要不充分条件.(3)若A=B,则p是q的充要条件.[基本能力自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“x 2+2x -3<0”是命题.( )(2)命题“若p ,则q ”的否命题是“若p ,则﹁q ”.( ) (3)四种形式的命题中,真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q 是p 的必要条件时,p 是q 的充分条件.( )(5)“若p 不成立,则q 不成立”等价于“若q 成立,则p 成立”.( ) [解析] (1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的. (2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.(3)正确.因为两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性. (4)正确.q 是p 的必要条件说明p ⇒q ,所以p 是q 的充分条件. (5)正确.原命题与逆否命题是等价命题. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.(教材改编)命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是( )A .若α≠π4,则tan α≠1B .若α=π4,则tan α≠1C .若tan α≠1,则α≠π4D .若tan α≠1,则α=π4C [“若p ,则q ”的逆否命题是“若﹁q ,则﹁p ”,显然﹁q :tan α≠1,﹁p :α≠π4,所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠π4”.]3.“x =1”是“(x -1)(x +2)=0”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件A [若x =1,则(x -1)(x +2)=0显然成立,但反之不一定成立,即若(x -1)(x +2)=0,则x =1或-2.]4.命题“若a >-3,则a >-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A .1B .2C .3D .4B [原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若a >-6,则a >-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此4个命题中有2个真命题.]5.(2017·天津高考)设x ∈R ,则“2-x ≥0”是“|x -1|≤1”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 B [∵2-x ≥0,∴x ≤2. ∵|x -1|≤1,∴0≤x ≤2.∵当x ≤2时不一定有x ≥0,当0≤x ≤2时一定有x ≤2, ∴“2-x ≥0”是“|x -1|≤1”的必要而不充分条件. 故选B.](第4页)(1)命题“若a 2>b 2,则a >b ”的否命题是( ) A .若a 2>b 2,则a ≤b B .若a 2≤b 2,则a ≤b C .若a ≤b ,则a 2>b 2D .若a ≤b ,则a 2≤b 2(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A .命题“若x >1,则x 2>1”的否命题 B .命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题 C .命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题 D .命题“若1x>1,则x >1”的逆否命题(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知,命题“若p ,则q ”的否命题是“若﹁p ,则﹁q ”.该题中,p 为a 2>b 2,q 为a >b ,故﹁p 为a 2≤b 2,﹁q 为a ≤b .所以原命题的否命题为:若a 2≤b 2,则a ≤b .(2)对于A ,命题“若x >1,则x 2>1”的否命题为“若x ≤1,则x 2≤1”,易知当x =-2时,x2=4>1,故为假命题;对于B ,命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |,则x >y ”,分析可知为真命题;对于C ,命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题为“若x ≠1,则x 2+x -2≠0”,易知当x =-2时,x 2+x -2=0,故为假命题;对于D ,命题“若1x>1,则x >1”的逆否命题为“若x ≤1,则1x≤1”,易知为假命题,故选B.]联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断易错警示:写一个命题的其他三种命题时,需注意:判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例[跟踪训练个等于0”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )【79140007】A.0 B.1C.2 D.3D[原命题为真命题,逆命题为“已知a,b,c为实数,若a,b,c中至少有一个等于0,则abc=0”,也为真命题.根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题,故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为3.](1)(2017·北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3>b3”是“ln a>ln b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(1)A(2)B[(1)法一:由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ,使得m=λn,则m与n反向共线,θ=180°,∴m·n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.法二:∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2.∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.反之,由m ·n =|m ||n |cos 〈m ,n 〉<0⇔cos 〈m ,n 〉<0⇔〈m ,n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2,π, 当〈m ,n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2,π时,m ,n 不共线.故“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件. 故选A.(2)由a 3>b 3可得a >b ,当a <0,b <0时,ln a ,ln b 无意义;反之,由ln a >ln b 可得a >b ,故a 3>b 3.因此“a 3>b 3”是“ln a >ln b ”的必要不充分条件.]定义法:根据集合法:根据断问题.等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ-12<12”是“sin θ<2”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)(2018·合肥第一次质检)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设A ,B 为两个同高的几何体,p :A ,B 的体积不相等,q :A ,B 在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12,∴-π12<θ-π12<π12,即0<θ<π6.显然0<θ<π6时,sin θ<12成立.但sin θ<12时,由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立.故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件.故选A.(2)由祖暅原理可得﹁q ⇒﹁p ,即p ⇒q ,则充分性成立;反之不成立,如将同一个圆锥正放和倒放,在等高处的截面积不恒相等,但体积相等,∴p 是q 的充分不必要条件,故选A.]m 的取值范围为________.[0,3] [由x 2-8x -20≤0得-2≤x ≤10, ∴P ={x |-2≤x ≤10},由x ∈P 是x ∈S 的必要条件,知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1-m ≤1+m ,1-m ≥-2,1+m ≤10,∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3].]1.把本例中的“必要条件”改为“充分条件”,求m 的取值范围.[解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件,知P ⊆S ,则⎩⎪⎨⎪⎧1-m ≤1+m ,1-m ≤-2,1+m ≥10,解得m ≥9,即所求m 的取值范围是[9,+∞).2.本例条件不变,问是否存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件?并说明理由.[解] 不存在.理由:若x ∈P 是x ∈S 的充要条件,则P =S ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1-m =-2,1+m =10,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =3,m =9,无解,∴不存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 组求解易错警示:求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象[跟踪训练] (1)已知p :x ≥k ,q :x +1<1,如果p 是q 的充分不必要条件,则实数k 的取值范围是( ) A .[2,+∞) B .(2,+∞) C .[1,+∞)D .(-∞,-1)(2)已知条件p :2x 2-3x +1≤0,条件q :a ≤x ≤a +1.若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________.【79140008】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12 [(1)∵3x +1<1,∴3x +1-1=2-x x +1<0,即(x -2)(x +1)>0,∴x >2或x <-1, ∵p 是q 的充分不必要条件,∴k >2.(2)命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1, 命题q 为{x |a ≤x ≤a +1}.﹁p 对应的集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <12, ﹁q 对应的集合B ={}x |x >a +1或x <a .∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件,∴⎩⎪⎨⎪⎧a +1>1,a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a +1≥1,a <12,∴0≤a ≤12.]第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(第5页) [基础知识填充]1.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词. (2)命题p 且q ,p 或q ,﹁p 的真假判断2.(1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.3.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题.4.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p 或q 的否定为:﹁p 且﹁q ;p 且q 的否定为:﹁p 或﹁q .[基本能力自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.( )(2)命题﹁(p 且q )是假命题,则命题p ,q 中至少有一个是假命题.( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( ) [解析] (1)错误.命题p 或q 中,p ,q 有一真则真. (2)错误.p 且q 是真命题,则p ,q 都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”,是全称命题. (4)错误.“对顶角相等”是全称命题,其否定为“有些对顶角不相等”. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2.(教材改编)已知p :2是偶数,q :2是质数,则命题﹁p ,﹁q ,p 或q ,p 且q 中真命题的个数为( )A .1B .2C .3D .4B [p 和q 显然都是真命题,所以﹁p ,﹁q 都是假命题,p 或q ,p 且q 都是真命题.] 3.下列四个命题中的真命题为( )A .存在x 0∈Z,1<4x 0<3B .存在x 0∈Z,5x 0+1=0C .任意x ∈R ,x 2-1=0 D .任意x ∈R ,x 2+x +2>0D [选项A 中,14<x 0<34且x 0∈Z ,不成立;选项B 中,x 0=-15,与x 0∈Z 矛盾;选项C 中,x ≠±1时,x 2-1≠0;选项D 正确.]4.命题:“存在x 0∈R ,x 20-ax 0+1<0”的否定为________.任意x ∈R ,x 2-ax +1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“存在x 0∈R ,x 20-ax 0+1<0”的否定是“任意x ∈R ,x 2-ax +1≥0”.]5.若命题“任意x ∈R ,ax 2-ax -2≤0”是真命题,则实数a 的取值范围是________.[-8,0] [当a =0时,不等式显然成立.当a ≠0时,依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0,Δ=a 2+8a ≤0,解得-8≤a <0.综上可知-8≤a≤0.](第6页)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p:函数y=lg(1-x)在(-∞,1)上单调递减,命题q:函数y=2cos x是偶函数,则下列命题中为真命题的是( )A.p且q B.(﹁p)或(﹁q)C.(﹁p)且q D.p且(﹁q)(2)若命题“p或q”是真命题,“﹁p为真命题”,则( )A.p真,q真B.p假,q真C.p真,q假D.p假,q假(1)A(2)B[(1)命题p中,因为函数u=1-x在(-∞,1)上为减函数,所以函数y=lg(1-x)在(-∞,1)上为减函数,所以p是真命题;命题q中,设f(x)=2cos x,则f(-x)=2cos(-x)=2cos x=f(x),x∈R,所以函数y=2cos x是偶函数,所以q是真命题,所以p且q是真命题,故选A.(2)因为﹁p为真命题,所以p为假命题,又因为p或q为真命题,所以q为真命题.]确定命题的构成形式;判断依据“或”——一真即真,p”等形式命题的真假是y=|tan x| [跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p:x=2π是函数y=|sin x|的一条对称轴,q:2的最小正周期,下列命题①p或q;②p且q;③p;④﹁q,其中真命题有( )【79140013】A.1个B.2个C.3个D.4个C[由已知得命题p为真命题,命题q为假命题,所以p或q为真命题,p且q为假命题,﹁q为真命题,所以真命题有①③④,共3个,故选C.]◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断下列命题中,真命题是( ) A .任意x ∈R ,x 2-x -1>0B .任意α,β∈R ,sin(α+β)<sin α+sin βC .存在x ∈R ,x 2-x +1=0D .存在α,β∈R ,sin(α+β)=cos α+cos βD [因为x 2-x -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122-54≥-54,所以A 是假命题.当α=β=0时,有sin(α+β)=sin α+sin β,所以B 是假命题.x 2-x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34≥34,所以C 是假命题.当α=β=π2时,有sin(α+β)=cos α+cos β,所以D 是真命题,故选D.] ◎角度2 含有一个量词的命题的否定命题“任意n ∈N +,f (n )∈N +且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A .任意n ∈N +,f (n )∉N +且f (n )>n B .任意n ∈N +,f (n )∉N +或f (n )>n C .存在n 0∈N +,f (n 0)∉N +且f (n 0)>n 0 D .存在n 0∈N +,f (n 0)∉N +或f (n 0)>n 0D [写全称命题的否定时,要把量词“任意”改为“存在”,并且否定结论,注意把“且”改为“或”.]要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合x 成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合x 0不成立即可要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合中,至少能找到一个=x 0,使x 0成立即可,否则,这一特称命题就是假命题2.全称命题与特称命题的否定改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写否定结论:对原命题的结论进行否定[跟踪训练] (1)已知命题p :存在x ∈⎝⎭⎪⎫0,2,使得cos x ≤x ,则﹁p 为( )A .存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,使得cos x >xB .存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,使得cos x <xC .任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,总有cos x >xD .任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,总有cos x ≤x(2)下列命题中的假命题是( ) A .存在x 0∈R ,lg x 0=0 B .存在x 0∈R ,tan x 0= 3 C .任意x ∈R ,x 3>0D .任意x ∈R,2x>0(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题,其否定是一个全称命题,而“cos x ≤x ”的否定是“cos x >x ”.故选C.(2)当x =1时,lg x =0,故命题“存在x 0∈R ,lg x 0=0”是真命题;当x =π3时,tan x =3,故命题“存在x 0∈R ,tan x 0=3”是真命题;由于x =-1时,x 3<0,故命题“任意x ∈R ,x 3>0”是假命题;根据指数函数的性质,对任意x ∈R,2x>0,故命题“任意x ∈R,2x>0”是真命题.]给定命题p :对任意实数x 都有ax 2+ax +1>0成立;q :关于x 的方程x 2-x +a =0有实数根.如果p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求实数a 的取值范围.[解] 当p 为真命题时,“对任意实数x 都有ax 2+ax +1>0成立”⇔a =0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ<0,∴0≤a <4.当q 为真命题时,“关于x 的方程x 2-x +a =0有实数根”⇔Δ=1-4a ≥0,∴a ≤14.∵p 或q 为真命题,p 且q 为假命题, ∴p ,q 一真一假.∴若p 真q 假,则0≤a <4,且a >14,∴14<a <4;若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a ≥4,a ≤14,即a <0.故实数a 的取值范围为(-∞,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14,4.先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况最后由的结果求出满足条件的参数取值范围[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x ∈(0,+∞),x +x≥m ”是假命题,则实数m 的取值范围是________.【79140014】(2)已知p :存在x 0∈R ,mx 20+1≤0,q :任意x ∈R ,x 2+mx +1>0,若p 或q 为假命题,则实数m 的取值范围为( ) A .m ≥2B .m ≤-2C .m ≤-2或m ≥2D .-2≤m ≤2(1)(2,+∞) (2)A [(1)由题意,知“存在x ∈(0,+∞),x +1x<m ”是真命题,又因为x ∈(0,+∞),所以x +1x≥2,当且仅当x =1时等号成立,所以实数m 的取值范围为(2,+∞).(2)依题意知,p ,q 均为假命题.当p 是假命题时,任意x ∈R ,mx 2+1>0恒成立,则有m ≥0;当q 是假命题时,则有Δ=m 2-4≥0,m ≤-2或m ≥2.因此,由p ,q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0,m ≤-2或m ≥2,即m ≥2.]第一节 函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).(第8页) [基础知识填充]1.函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域:数集A 叫作函数的定义域;函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域. (2)函数的三要素:定义域、对应关系和值域.(3)相等函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数. (4)函数的表示法:表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法. 3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.[知识拓展]1.函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系.2.分段函数是高考必考内容,常考查(1)求最值;(2)求分段函数单调性;(3)分段函数解析式;(4)利用分段函数求值,解题的关键是分析用哪一段函数,一般需要讨论.[基本能力自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射.( )(2)函数y =1与y =x 0是同一个函数.( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点.( ) (4)分段函数是两个或多个函数.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2.(教材改编)函数y =2x -3+1x -3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞ B .(-∞,3)∪(3,+∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,3∪(3,+∞) D .(3,+∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x -3≥0,x -3≠0,解得x ≥32且x ≠3.]3.如图211所示,所给图像是函数图像的有( )图211A .1个B .2个C .3个D .4个B [(1)中,当x >0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此(1)不是函数图像;(2)中,当x =x 0时,y 的值有两个,因此(2)不是函数图像;(3)(4)中,每一个x 的值对应唯一的y 值,因此(3)(4)是函数图像,故选B.]4.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≤1,2x,x >1,则f (f (3))=________.139 [f (3)=23,f (f (3))=⎝ ⎛⎭⎪⎫232+1=139.]5.(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )=ax 3-2x 的图像过点(-1,4),则a =________.-2 [∵f (x )=ax 3-2x 的图像过点(-1,4), ∴4=a ×(-1)3-2×(-1),解得a =-2.](第9页)(1)(2018·济南一模)函数f (x )=2x-12+3x +1的定义域为________.(2)若函数y =f (x )的定义域为[0,2],则函数g (x )=f x x -1的定义域是________.(1)(-1,+∞) (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎨⎧2x -12≥0,x +1≠0,解得x >-1,所以函数f (x )的定义域为(-1,+∞).(2)由0≤2x ≤2,得0≤x ≤1,又x -1≠0,即x ≠1,所以0≤x <1,即g (x )的定义域为[0,1).]已知函数解析式,构造使解析式有意义的不等式组求解实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解抽象函数:①若已知函数x 的定义域为g x 的定义域由不等式x b 求出;②若已知函数g x 的定义域为x 的定义域为x 在时的值域.x 定义域为[m x 定义域,先求φx 值域[a a ≤h xb ,.[跟踪训练] (1)函数f (x )=1-x+lg(3x +1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,+∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,13 D.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-13 (2)已知函数f (2x)的定义域为[-1,1],则f (x )的定义域为________.【79140019】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2 [(1)由题意可知{ 1-x >0,x +1>0,解得⎩⎨⎧x <1,x >-13,∴-13<x <1,故选A.(2)∵f (2x)的定义域为[-1,1], ∴12≤2x ≤2,即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2.](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x +1x =x 2+1x2,求f (x )的解析式;(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x+1=lg x ,求f (x )的解析式;(3)已知f (x )是二次函数且f (0)=2,f (x +1)-f (x )=x -1,求f (x )的解析式;(4)已知f (x )+2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x (x ≠0),求f (x )的解析式.[解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x =x 2+1x2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x 2-2,令t =x +1x,当x >0时,t ≥2x ·1x=2,当且仅当x =1时取等号;当x <0时,t =-⎝ ⎛⎭⎪⎫-x -1x ≤-2,当且仅当x =-1时取等号,∴f (t )=t 2-2t ∈(-∞,-2]∪[2,+∞).综上所述.f (x )的解析式是f (x )=x 2-2,x ∈(-∞,-2]∪[2,+∞).(2)令2x +1=t ,由于x >0,∴t >1且x =2t -1,∴f (t )=lg2t -1,即f (x )=lg 2x -1(x >1). (3)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),由f (0)=2,得c =2,f (x +1)-f (x )=a (x +1)2+b (x +1)-ax 2-bx =x -1,即2ax +a +b =x -1,∴{ 2a =1,a +b =-1,即⎩⎨⎧a =12,b =-32,∴f (x )=12x 2-32x +2.(4)∵f (x )+2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x+2f (x )=1x.联立方程组⎩⎨⎧fx +2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +2f x =1x ,解得f (x )=23x -x3(x ≠0).待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法换元法:已知复合函数gx 的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围构造法:已知关于x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f -x 的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,通过解方程组求出x已知f x +1)=,求f (x )的解析式;(2)设y =f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等实根,且f ′(x )=2x +2,求f (x )的解析式. [解] (1)法一:(换元法)设x +1=t (t ≥1),则x =t -1,所以f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1(t ≥1),所以f (x )=x 2-1(x ≥1).法二:(配凑法)f (x +1)=x +2x =(x +1)2-1, 又x +1≥1,所以f (x )=x 2-1(x ≥1). (2)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 则f ′(x )=2ax +b =2x +2, 所以a =1,b =2,f (x )=x 2+2x +c . 又因为方程f (x )=0有两个相等的实根, 所以Δ=4-4c =0,c =1, 故f (x )=x 2+2x +1.◎角度1 求分段函数的函数值(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )={ 1+log 2-x ,x <1,x -1,x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A .3B .6C .9D .12C [∵-2<1,∴f (-2)=1+log 2(2+2)=1+log 24=1+2=3. ∵log 212>1,∴f (log 212)=2log 212-1=122=6.∴f (-2)+f (log 212)=3+6=9.故选C.]。
第10章 10.1 10.1.3 古典概型-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
知
养
取 2 道题解答.试求:
合
作
课
探
(1)所取的 2 道题都是甲类题的概率;
究
时 分
层
释
(2)所取的 2 道题不是同一类题的概率.
作
疑
业
难
返 首 页
·
25
·
情
[解] (1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道乙类题依次编号为 5,6. 课
境
堂
导 学
任取
2
道题,这个试验的样本空间为
Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
究
分
释 正确计算事件 A 所包含的样本点数.
层 作
疑
业
难
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·
29
·
情
课
境
【例 3】 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一
堂
导
小
学
结
探 项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两
·
提
新
素
知 次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区
养
合 作
域中的数.设两次记录的数分别为 x,y.奖励规则如下:
堂 小
学
结
·
探 一一对应.
提
新
素
知
养
因为 S 中元素的个数是 4×4=16,所以样本点总数 n=16.
合
作 探
(1)记“xy≤3”为事件 A,则事件 A 包含的样本点个数共 5 个,
课 时
究
分
释
即 A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}.
2019版高考数学理培优增分一轮全国经典版培优讲义:第
第5讲古典概型板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1基本事件的特点1.任何两个基本事件是互斥的.2.任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.考点2古典概型1.古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.2.古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数.[必会结论]一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键.[考点自测]1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同.()(2)从-3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( )(3)利用古典概型的概率公式求“在边长为2的正方形内任取一点,这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( )(4)“从长为1的线段AB 上任取一点C ,求满足AC ≤13的概率是多少”是古典概型. ( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.[2018·武汉调研]同时抛掷两颗均匀的骰子,则向上的点数之差的绝对值为4的概率为( )A.118B.112C.19D.16答案 C解析 同时抛掷两颗骰子,基本事件总数为C 16C 16=36,记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A ,则事件A 包含的基本事件有(1,5),(2,6),(5,1),(6,2),共4种,故P (A )=436=19.3.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( )A.521B.1021C.1121D .1答案 B解析 P =C 110C 15C 215=1021. 4.[2016·全国卷Ⅰ]为美化环境,从红,黄,白,紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56答案 C 解析 从4种不同的花中任取2种共有C 24=6种选法,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,故红色和紫色的花不在同一花坛的概率P =46=23.故选C.5.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________.答案 13解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,共有C 13C 13=9种情况,他们选择相同颜色有3种情况,故他们选择相同颜色运动服的概率P =39=13.6.[2018·江苏模拟]从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是________.答案 13解析 从1,2,3,6中随机取2个数,共有6种不同的取法,其中所取2个数的乘积是6的有1,6和2,3,共2种,故所求概率是26=13.板块二 典例探究·考向突破考向 简单的古典概型问题例 1 (1)[2017·全国卷Ⅱ]从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110B.15105答案 D 解析 从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的基本事件总数为C 15C 15=25,第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10,故所求事件的概率P =1025=25.故选D.(2)[2017·山东高考]从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A.518B.49C.59D.79答案 C解析 ∵9张卡片中有5张奇数卡片,4张偶数卡片,∴P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)=C 15C 14C 29=59.故选C. 触类旁通求古典概型概率的步骤(1)读题,理解题意;(2)判断试验结果是否为等可能事件,设出所求事件A ;(3)分别求出基本事件总数n 与所求事件A 所包含的基本事件的个数m ;(4)利用公式P (A )=m n 求出事件A 的概率.【变式训练】 (1)[2017·天津高考]有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.3555答案 C 解析 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法共有C 25种,其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有C 14种,故所求事件的概率P =C 14C 25=410=25.故选C. (2)10张奖券中只有3张有奖,5人购买,每人1张,至少有1人中奖的概率是( )A.310B.112C.12D.1112答案 D解析 无人中奖的概率为C 57C 510=112,则至少有1人中奖的概率为1-112=1112.故选D.考向 较复杂的古典概型问题 命题角度1 古典概型与平面几何相结合例 2 [2018·洛阳统考]将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ,b ,则直线ax +by =0与圆(x -2)2+y 2=2有公共点的概率为________.答案 712解析 依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ,b )有C 16C 16=36种,其中满足直线ax +by =0与圆(x -2)2+y 2=2有公共点,即满足2a a 2+b2≤2,a 2≤b 2的数组(a ,b )有6+5+4+3+2+1=21种,因此所求的概率等于2136=712.命题角度2 古典概型与函数相结合例 3 已知M ={1,2,3,4},若a ∈M ,b ∈M ,则函数f (x )=ax 3+bx 2+x -3在R 上为增函数的概率是( )A.916B.716C.14D.316答案 A解析 记事件A 为“函数f (x )=ax 3+bx 2+x -3在R 上为增函数”.因为f (x )=ax 3+bx 2+x -3,所以f ′(x )=3ax 2+2bx +1.当函数f (x )在R 上为增函数时,f ′(x )≥0在R 上恒成立.又a >0,所以Δ=(2b )2-4×3a =4b 2-12a ≤0在R 上恒成立,即a ≥b 23. 当b =1时,有a ≥13,故a 可取1,2,3,4,共4个数;当b =2时,有a ≥43,故a 可取2,3,4,共3个数;当b =3时,有a ≥3,故a 可取3,4,共2个数;当b =4时,有a ≥163,故a 无可取值.综上,事件A 包含的基本事件有4+3+2=9种.又a ,b ∈{1,2,3,4},所以所有的基本事件共有4×4=16种.故所求事件A 的概率为P (A )=916.故选A. 命题角度3 古典概型与平面向量相结合例 4 [2018·宿迁模拟]已知k ∈Z ,AB →=(k,1), AC →=(2,4),若|AB →|≤4,则△ABC 是直角三角形的概率是________.答案 37 解析 因为|AB →|=k 2+1≤4,所以-15≤k ≤15,因为k ∈Z ,所以k =-3,-2,-1,0,1,2,3,当△ABC 为直角三角形时,应有AB ⊥AC ,或AB ⊥BC ,或AC⊥BC ,由AB →·AC →=0,得2k +4=0,所以k =-2,因为BC →=AC →-AB→=(2-k,3),由AB →·BC →=0,得k (2-k )+3=0,所以k =-1或3,由AC →·BC →=0,得2(2-k )+12=0,所以k =8(舍去),故使△ABC为直角三角形的k 值为-2,-1或3,所以所求概率P =37.触类旁通较复杂的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.核心规律古典概型的两种破题技巧(1)树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求.另外在确定基本事件时,(x ,y )可以看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同;有时也可以看成是无序的,如(1,2)与(2,1)相同.(2)含有“至多”“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较繁琐时,考虑其反面,即对立事件,应用P (A )=1-P (A )求解较好.满分策略古典概型求解中的注意事项(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性,一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时,他们是否是等可能的.(2)用列举法求古典概型,是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏.(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别:一次性抽取是无顺序的问题,逐次抽取是有顺序的问题.板块三启智培优·破译高考创新交汇系列9——古典概型与统计的精彩交汇[2018·长春模拟]某教师为了了解高三一模所教两个班级的数学成绩情况,将两个班的数学成绩(单位:分)绘制成如图所示的茎叶图.(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数;(2)若规定成绩大于等于115分为优秀,分别求出两个班级数学成绩的优秀率;(3)从甲班中130分以上的5名同学中随机抽取3人,求至多有1人的数学成绩在140分以上的概率.解题视点(1)利用中位数、众数的概念求解;(2)由频率的定义求解优秀率即可;(3)分别求出总的基本事件和满足条件的基本事件,利用古典概型的概率计算公式求解.解(1)由所给的茎叶图知,甲班50名同学的成绩由小到大排序,排在第25,26位的是108,109,数量最多的是103,故甲班数学成绩的中位数是108.5,众数是103;乙班48名同学的成绩由小到大排序,排在第24,25位的是106,107,数量最多的是92和101,故乙班数学成绩的中位数是106.5,众数为92和101.(2)由茎叶图中的数据可知,甲班中数学成绩为优秀的人数为20,优秀率为2050=25;乙班中数学成绩为优秀的人数为18,优秀率为1848=38.(3)从5人中抽取3人的不同情况共有C 35种,其中至多有1人的数学成绩在140分以上的情况有C 12C 23+C 33种,故至多有1人的数学成绩在140分以上的概率P =C 12C 23+C 33C 35=710. 答题启示 求解古典概型与统计交汇问题的思路(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息,提炼出需要的信息.(2)进行统计与古典概型概率的正确计算.跟踪训练某学校高一年级共有20个班,为参加全市钢琴比赛,调查了各班中会弹钢琴的人数,并以组距5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40],作出频率分布直方图如图所示.(1)由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值;(2)若会弹钢琴的人数为[35,40]的班级作为第一类备选班级,会弹钢琴的人数为[30,35)的班级作为第二类备选班级,现要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛,求这两类备选班级中均有班级被选中的概率.解 (1)设各班中会弹钢琴的人数的平均值为x -,由频率分布直方图知,x -= 2.5×0.01×5+7.5×0.01×5+12.5×0.04×5+17.5×0.02×5+22.5×0.04×5+27.5×0.03×5+32.5×0.03×5+37.5×0.02×5=22,所以各班中会弹钢琴的人数的平均值为22.(2)由频率分布直方图知,第一备选班级为2个,第二备选班级为3个,从这5个备选班级中选出两个班共有C 25种情况,其中两类备选班级均有班级被选中的情况有C 12C 13种,故两类备选班级中均有班级被选中的概率P =C 12C 13C 25=610=35. 板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1.袋中有2个白球,2个黑球,若从中任意摸出2个,则至少摸出1个黑球的概率是( )A.34B.56C.16D.13答案 B解析 从4个球中任意摸出2个有C 24=6种方法,至少摸出1个黑球有C 12C 12+C 22=5种方法,故至少摸出1个黑球的概率P =56.2.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15答案 D解析 在正六边形中,6个顶点选取4个,种数为15.选取的4点能构成矩形的,只有对边的4个顶点(例如AB 与DE ),共有3种,∴所求概率为315=15.3.10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是( )A.34B.14 C.12 D.38答案 C解析 从10件产品中任取4件有C 410种取法,取出的4件产品中恰有1件次品有C 37C 13种取法,则所求的概率P =C 37C 13C 410=12. 4.为了纪念抗日战争胜利70周年,从甲、乙、丙、丁、戊5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员,为阅兵提供安保服务,则甲、乙、丙中有2名被选中的概率为( )A.310B.110C.320D.120答案 A解析 从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人的所有情况有C 25种,其中甲、乙、丙中有2人被选中的情况有C 23种,故所求概率P =C 23C 25=310.5.[2018·梅州质检]如图所示方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是1,2,3,4中的任何一个,允许重复.则填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为( )B A.12 B.14 C.34 D.38答案 D解析 只考虑A ,B 两个方格的排法.不考虑大小,A ,B 两个方格有C 14C 14=16(种)排法.要使填入A 方格的数字大于B 方格的数字,则从1,2,3,4中选2个数字,大的放入A 格,小的放入B 格,有C 24=6种,故填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为616=38,选D.6.[2018·海淀模拟]袋中有红、黄、白色球各1个,每次任取1个,有放回地取三次,则三次颜色各不相同的概率为( )A.16B.13C.29 D .1答案 C解析 每次取球都有3种方法,共有33=27种不同结果,即27个基本事件,记事件A 为“三次颜色各不相同”,则P (A )=A 3327=29.7.为了拍某部电影,某导演先从2位获金鸡奖和3位获百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角,后又从剩下的3位演员中挑选1名演配角,则该导演挑选出2位获金鸡奖的演员和1位获百花奖的演员的概率为( )A.13 B.110 C.25 D.310答案 D解析 ∵从5位演员中任选3名有C 35种方法,挑选出2位获金鸡奖的演员和1位获百花奖的演员的基本事件有C 22C 13个,∴所求事件的概率P =C 22C 13C 35=310.故选D.8.[2018·湖北模拟]在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________.(结果用最简分数表示)答案 28145解析 由对立事件的概率公式可得所求概率P =1-C 227C 230=28145.9.[2018·合肥模拟]从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________.答案 13解析 设2名男生记为A 1,A 2,2名女生记为B 1,B 2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,共有A 24=12种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A 22·A 22=4种情况,则发生的概率为P =412=13.10.[2018·大同模拟]为支持西部开发,需要从8名男干部和2名女干部中选拔4人到某地,要求男性干部不少于3人,则干部配置合理的概率为________.答案 1315解析 配置合理分为两种情况:一是4人中有3人为男干部,二是4人全部为男干部,则配置合理的概率为P =C 38·C 12+C 48C 410=1315. [B 级 知能提升]1.[2018·南京模拟]一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a ,b ,c ,当且仅当a >b ,b <c 时称为“凹数”(如213,312)等.若a ,b ,c ∈{1,2,3,4},且a ,b ,c 互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.16 B.524 C.13 D.724答案 C解析 a ,b ,c ∈{1,2,3,4},由它们构成的三位数共有A 34=24种,适合题意的有8种,∴所求事件的概率P =824=13.2.从2,4,6中选两个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的四位数,该四位数为偶数的概率为( )A.13B.12 C.23 D.34答案 B解析 从2,4,6中选两个数字,有C 23=3种不同选法,从1,3,5中选两个数字,有C 23=3种不同选法,共组成C 23C 23A 44=216个不同的四位数,其中偶数的个数为C 23C 23C 12A 33=108,所以该四位数为偶数的概率为108216=12.选B.3.[2018·洛阳调研]锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为________.答案48 91解析P=C26C15C14+C16C25C14+C16C15C24C415=4891.4.按照国家环保部发布的新修订的《环境空气质量标准》,规定:PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米.国家环保部门在2017年10月1日到2018年1月30日这120天对全国的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下:(1)多少天?(2)在(1)中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75微克/立方米的若干天中,随机抽取2天,求恰好有一天平均浓度超过115微克/立方米的概率.解(1)在这120天中抽取30天,应采取分层抽样,第一组应抽取32×30120=8天;第二组应抽取64×30120=16天;第三组应抽取16×30120=4天;第四组应抽取8×30120=2天.(2)设PM2.5的平均浓度在(75,115]内的4天记为A1,A2,A3,A4,PM2.5的平均浓度在115以上的2天记为B 1,B 2.从这6天中任取2天有C 26=15(种)情况,适合恰好有一天平均浓度超过115微克/立方米的有C 14C 12=8种,所以所求事件的概率P =815.5.[2018·兰州双基测试]一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取一张,将抽取的卡片上的数字依次记为a ,b ,c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a +b =c ”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同”的概率. 解 (1)∵有放回的抽取3次,∴总的结果有:3×3×3=27(种),满足要求的有3种,设“抽取卡片上的数字满足a +b =c ”为事件A ,则事件A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3)共3种,∴概率P (A )=327=19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同”为事件B ,则事件B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种,所以P (B )=1-P (B )=1-327=89,因此,“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同”的概率为89.。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册:10.1.3 古典概型 学案
10.1.3古典概型问题导学预习教材P233-P238的内容,思考以下问题:1.古典概型的定义是什么?2.古典概型有哪些特征?3.古典概型的计算公式是什么?1.古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.■名师点拨古典概型的判断一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.下列三类试验都不是古典概型:①样本点个数有限,但非等可能.②样本点个数无限,但等可能.③样本点个数无限,也不等可能.2.古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=kn=n(A)n(Ω).其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.同时投掷两枚大小完全相同的骰子,用(x ,y )表示结果,记A 为“所得点数之和小于5”,则事件A 包含的基本事件数是( )A .3B .4C .5D .6解析:选D.事件A 包含的基本事件有6个:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1).故选D.若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是物理书的概率为( )A.15B.310C.35D.12解析:选B.基本事件总数为10,“抽出一本是物理书”包含3个基本事件,所以其概率为310,故选B. (2019·河北省石家庄市期末考试)将一枚骰子连续抛掷两次,则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是( )A.23B.56C.2936D.34解析:选B.由题意,连续抛掷两次骰子共有6×6=36种情况;绝对值大于3的有(1,5),(1,6),(2,6),(5,1),(6,1),(6,2)共6种,所以绝对值不大于3有:36-6=30种,故所求概率P =3036=56.故选B.下列概率模型:①在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点; ②某射手射击一次,可能命中0环,1环,2环,…,10环; ③某小组有男生5人,女生3人,从中任选1人做演讲; ④一只使用中的灯泡的寿命长短;⑤中秋节前夕,某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量,给该品牌月饼评“优”或“差”.其中属于古典概型的是________.解析:①不属于,原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个,不满足有限性;②不属于,原因是命中0环,1环,…,10环的概率不一定相同,不满足等可能性;③属于,显然满足有限性和等可能性;④不属于,原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数,有无限多种可能,不满足有限性;⑤不属于,原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同,不满足等可能性.答案:③样本点的列举一只口袋内装有5个大小相同的球,白球3个,黑球2个,从中一次摸出2个球.(1)共有多少个样本点?(2)“2个都是白球”包含几个样本点?【解】(1)法一:采用列举法.分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,则样本点如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号,2号球).法二:采用列表法.设5个球的编号分别为a,b,c,d,e,其中a,b,c为白球,d,e为黑球.列表如下:有10个样本点.(2)法一中“2个都是白球”包括(1,2),(1,3),(2,3),共3个样本点,法二中“2个都是白球”包括(a,b),(b,c),(a,c),共3个样本点.样本点的三种列举方法(1)直接列举法:把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.(2)列表法:将样本点用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清样本点的总数,以及要求的事件所包含的样本点数.列表法适用于较简单的试验的题目,样本点较多的试验不适合用列表法.(3)树状图法:树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法,树状图法便于分析样本点间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段,树状图法适用于较复杂的试验的题目.袋中有2个标号分别为1,2的白球和2个标号分别为3,4的黑球.这4个球除颜色、标号外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出1个球,求样本点的个数.解:4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树状图表示如图所示:共24个样本点.古典概型的概率计算(1)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45 B.35 C.25D.15(2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为________.【解析】 (1)从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,有10种不同取法:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫).而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),共4种,故所求概率P =410=25.(2)记2名男生分别为A ,B ,3名女生分别为a ,b ,c ,则从中任选2名学生有AB ,Aa ,Ab ,Ac ,Ba ,Bb ,Bc ,ab ,ac ,bc ,共10种情况,其中恰好选中2名女生有ab ,ac ,bc ,共3种情况,故所求概率为310.【答案】 (1)C (2)310求古典概型概率的步骤(1)判断是否为古典概型. (2)算出样本点的总数n .(3)算出事件A 中包含的样本点个数m .(4)算出事件A 的概率,即P (A )=mn.在运用公式计算时,关键在于求出m ,n .在求n 时,应注意这n 种结果必须是等可能的,在这一点上比较容易出错.1.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120解析:选C.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,共有如下10个不同的结果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),所以概率为110.故选C.2.从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45解析:选C.如图可知从5个点中选取2个点的全部情况有(O ,A ),(O ,B ),(O ,C ),(O ,D ),(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(B ,C ),(B ,D ),(C ,D ),共10种.选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(B ,C ),(B ,D ),(C ,D ),共6种.故所求概率为610=35.数学建模——古典概型的实际应用已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.【解】(1)由已知,甲,乙,丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G),共21种.(ii)由(1)设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(F,G),共5种.所以事件M发生的概率P(M)=521.如何建立概率模型(古典概型)(1)在建立概率模型(古典概型)时,把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的.我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现.对于同一个随机试验,可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型.(2)注意验证是否满足古典概型的两个特性,即①样本点的有限性;②每个样本点发生的可能性相等.(3)求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.(2019·高考天津卷)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.②设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M 发生的概率.解:(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F ),共15种.②由表格知,符合题意的所有可能结果为(A ,B ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,E ),(C ,F ),(D ,F ),(E ,F ),共11种.所以事件M 发生的概率P (M )=1115.1.下列是古典概型的是( )①从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小. ②同时掷两颗骰子,点数和为7的概率. ③近三天中有一天降雨的概率.④10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率. A .①②③④ B .①②④ C .②③④D .①③④解析:选B.①②④为古典概型,因为都适合古典概型的两个特征:有限性和等可能性,而③不适合等可能性,故不为古典概型.2.甲、乙两人有三个不同的学习小组A ,B ,C 可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组的可能性相同),则两人参加同一个学习小组的概率为 ( )A.13B.14C.15D.16解析:选A.甲乙两人参加学习小组,若以(A ,B )表示甲参加学习小组A ,乙参加学习小组B ,则一共有如下情形:(A ,A ),(A ,B ),(A ,C ),(B ,A ),(B ,B ),(B ,C ),(C ,A ),(C ,B ),(C ,C ),共有9种情形,其中两人参加同一个学习小组共有3种情形,根据古典概型概率公式,得P =13.3.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛,则甲、乙都当选的概率为( ) A.25 B.15 C.310D.35解析:选C.从五个人中选取三人有10种不同结果:(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),而甲、乙都当选的结果有3种,故所求的概率为310.4.在1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的2倍的概率是________.解析:可重复地选取两个数共有16种可能,其中一个数是另一个数的2倍的有1,2;2,1;2,4;4,2共4种,故所求的概率为416=14.答案:145.一只口袋装有形状大小都相同的6只小球,其中2只白球,2只红球,2只黄球,从中随机摸出2只球,试求:(1)2只球都是红球的概率; (2)2只球同色的概率;(3)“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍?解:记两只白球分别为a 1,a 2;两只红球分别为b 1,b 2;两只黄球分别为c 1,c 2. 从中随机取2只球的所有结果为(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,c 1),(a 1,c 2),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,c 1),(a 2,c 2),(b 1,b 2),(b 1,c 1),(b 1,c 2),(b 2,c 1),(b 2,c 2),(c 1,c 2)共15种结果.(1)2只球都是红球为(b 1,b 2)共1种, 故2只球都是红球的概率P =115.(2)2只球同色的有:(a 1,a 2),(b 1,b 2),(c 1,c 2),共3种, 故2只球同色的概率P =315=15.(3)恰有一只是白球的有:(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,c 1),(a 1,c 2),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,c 1),(a 2,c 2),共8种,其概率P =815;2只球都是白球的有:(a 1,a 2),1种,故概率P =115,所以“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍.[A 基础达标]1.(2019·高考全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23 B.35 C.25D.15解析:选B.设3只测量过某项指标的兔子为A ,B ,C ,另2只兔子为a ,b ,从这5只兔子中随机取出3只,则样本点共有10种,分别为(A ,B ,C ),(A ,B ,a ),(A ,B ,b ),(A ,C ,a ),(A ,C ,b ),(A ,a ,b ),(B ,C ,a ),(B ,C ,b ),(B ,a ,b ),(C ,a ,b ),其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种,分别为(A ,B ,a ),(A ,B ,b ),(A ,C ,a ),(A ,C ,b ),(B ,C ,a ),(B ,C ,b ),因此所求的概率为610=35,选B.2.(2019·高考全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( )A.16B.14C.13D.12解析:选D.将两位男同学分别记为A 1,A 2,两位女同学分别记为B 1,B 2,则四位同学排成一列,情况有A 1A 2B 1B 2,A 1A 2B 2B 1,A 2A 1B 1B 2,A 2A 1B 2B 1,A 1B 1A 2B 2,A 1B 2A 2B 1,A 2B 1A 1B 2,A 2B 2A 1B 1,B 1A 1A 2B 2,B 1A 2A 1B 2,B 2A 1A 2B 1,B 2A 2A 1B 1,A 1B 1B 2A 2,A 1B 2B 1A 2,A 2B 1B 2A 1,A 2B 2B 1A 1,B 1B 2A 1A 2,B 1B 2A 2A 1,B 2B 1A 1A 2,B 2B 1A 2A 1,B 1A 1B 2A 2,B 1A 2B 2A 1,B 2A 1B 1A 2,B 2A 2B 1A 1,共有24种,其中2名女同学相邻的有12种,所以所求概率P =12,故选D.3.(2019·福建省三明市质量检测)同时投掷两个骰子,向上的点数分别记为a ,b ,则方程2x 2+ax +b =0有两个不等实根的概率为( )A.15B.14C.13D.12解析:选B.因为方程2x 2+ax +b =0有两个不等实根,所以Δ=a 2-8b >0, 又同时投掷两个骰子,向上的点数分别记为a ,b ,则共包含36个样本点,满足a 2-8b >0的有(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(5,1),(5,2),(5,3),(4,1),(3,1)共9个样本点,所以方程2x 2+ax +b =0有两个不等实根的概率为936=14.故选B.4.某部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A.16B.13C.12D.23解析:选B.所有样本点为(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1).其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个样本点,所以P =26=13.故选B.5.(2019·河北省沧州市期末考试)定义:abcde =10 000a +1 000b +100c +10d +e ,当五位数abcde 满足a <b <c ,且c >d >e 时,称这个五位数为“凸数”.由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个,从中任意抽取一个,则其恰好为“凸数”的概率为( )A.16B.110C.112D.120解析:选D.由题意,由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有:12543,13542,14532,23541,24531,34521,共6个样本点,所以恰好为“凸数”的概率为P =6120=120.故选D.6.(2019·湖北省四地七校联考)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为6的概率等于________. 解析:掷两颗均匀的骰子,共有36个样本点,点数之和为6的样本点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)这五种,因此所求概率为536.答案:5367.(2019·广西钦州市期末考试)在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1,2,3,4,5的五本书,若某同学从中任意选出2本书,则选出的2本书编号相连的概率为________.解析:从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)共10种,满足2本书编号相连的所有可能情况为(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)共4种, 故选出的2本书编号相连的概率为410=25.答案:258.某城市有8个商场A ,B ,C ,D ,E ,F ,G ,H 和市中心O 排成如图所示的格局,其中每个小方格为正方形,某人从网格中随机地选择一条最短路径,欲从商场A 前往商场H ,则他经过市中心O 的概率为________.解析:此人从商场A 前往商场H 的所有最短路径有A →B →C →E →H ,A →B →O →E →H ,A →B →O →G →H ,A →D →O →E →H ,A →D →O →G →H ,A →D →F →G →H ,共6条,其中经过市中心O 的有4条,所以所求概率为23. 答案:239.(2019·广西钦州市期末考试)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,并分别记为x ,y .(1)若记“x +y =5”为事件A ,求事件A 发生的概率;(2)若记“x 2+y 2≤10”为事件B ,求事件B 发生的概率.解:将一颗质地均匀的骰子抛掷1次,它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果, 抛掷第2次,它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果,因为骰子共抛掷2次,所以共有6×6=36种结果.(1)事件A 发生的样本点有(1,4)、(2,3)、(4,1)、(3,2)共4种结果,所以事件A 发生的概率为P (A )=436=19. (2)事件B 发生的样本点有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6种结果,所以事件B 发生的概率为P (B ) =636=16. 10.某市举行职工技能比赛活动,甲厂派出2男1女共3名职工,乙厂派出2男2女共4名职工.(1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛,求选出的2名职工性别相同的概率;(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛,求选出的这2名职工来自同一工厂的概率.解:记甲厂派出的2名男职工为A 1,A 2,1名女职工为a ;乙厂派出的2名男职工为B 1,B 2,2名女职工为b 1,b 2.(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名,不同的结果有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,b 1),(A 1,b 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,b 1),(A 2,b 2),(a ,B 1),(a ,B 2),(a ,b 1),(a ,b 2),共12种.其中选出的2名职工性别相同的选法有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(a ,b 1),(a ,b 2),共6种.故选出的2名职工性别相同的概率P =612=12. (2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名,不同的结果有(A 1,A 2),(A 1,a ),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,b 1),(A 1,b 2),(A 2,a ),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,b 1),(A 2,b 2),(a ,B 1),(a ,B 2),(a ,b 1),(a ,b 2),(B 1,B 2),(B 1,b 1),(B 1,b 2),(B 2,b 1),(B 2,b 2),(b 1,b 2),共21种.其中选出的2名职工来自同一工厂的选法有(A 1,A 2),(A 1,a ),(A 2,a ),(B 1,B 2),(B 1,b 1),(B 1,b 2),(B 2,b 1),(B 2,b 2),(b 1,b 2),共9种.故选出的2名职工来自同一工厂的概率为P =921=37. [B 能力提升]11.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为( )A.310B.25C.12D.35解析:选C.从五种不同属性的物质中随机抽取两种,有(金,木)、(金,水)、(金,火)、(金,土)、(木,水)、(木,火)、(木,土)、(水,火)、(水,土)、(火,土)共10种等可能发生的结果,其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,则不相克的也是5种,所以抽取的两种物质不相克的概率为12. 12.(2019·江西省上饶市期末统考)图1和图2中所有的正方形都全等,图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置,所组成的图形能围成正方体的概率是( )A.34B.12C.14 D .1解析:选A.由题意,可得样本点的总数为n =4,又由题图1中的正方形放在题图2中的①处时,所组成的图形不能围成正方体;题图1中的正方形放在题图2中的②③④处的某一位置时,所组成的图形能围成正方体, 所以将题图1中的正方形放在题图2中的①②③④的某一位置,所组成的图形能围成正方体的概率为P =34.故选A. 13.设a 是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数,b 是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数,构成一个样本点(a ,b ).记“这些样本点中,满足log b a ≥1”为事件E ,则E 发生的概率是________.解析:事件E 发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字,共有12种结果,满足条件的样本点是满足log b a ≥1,可以列举出所有的样本点,当b =2时,a =2,3,4,当b =3时,a =3,4,共有3+2=5个,所以根据古典概型的概率公式得到概率是512. 答案:51214.某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参加书画比赛,其中从高二甲班选出了1名女同学、2名男同学,从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学.(1)若从这6名同学中抽出2名进行活动发言,写出所有可能的结果,并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率;(2)若从高二甲班和乙班各选1名同学现场作画,写出所有可能的结果,并求选出的2名同学性别相同的概率.解:(1)设选出的3名高二甲班同学为A ,B ,C ,其中A 为女同学,B ,C 为男同学,选出的3名高二乙班同学为D ,E ,F ,其中D 为男同学,E ,F 为女同学.从这6名同学中抽出2人的所有可能结果有(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F ),共15种.其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(C ,D ),(D ,E ),(D ,F ),共9种,故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率P =915=35. (2)高二甲班和乙班各选1名的所有可能结果为(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),共9种,选出的2名同学性别相同的有(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(C ,D ),共4种,所以选出的2名同学性别相同的概率为49. [C 拓展探究]15.在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动,抽奖规则是:盒子里面共有4个小球,小球上分别写有0,1,2,3的数字,小球除数字外其他完全相同,每对亲子中,家长先从盒子中取出一个小球,记下数字后将小球放回,孩子再从盒子中取出一个小球,记下小球上数字将小球放回.①若取出的两个小球上数字之积大于4,则奖励飞机玩具一个;②若取出的两个小球上数字之积在区间[1,4]上,则奖励汽车玩具一个;③若取出的两个小球上数字之积小于1,则奖励饮料一瓶.(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率;(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率,哪个更大?请说明理由.解:样本空间Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)}共16个样本点.(1)记“获得飞机玩具”为事件A ,事件A 包含的样本点有(2,3),(3,2),(3,3)共3个.故每对亲子获得飞机玩具的概率为P (A )=316. (2)记“获得汽车玩具”为事件B ,记“获得饮料”为事件C .事件B 包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6个.所以P (B )=616=38, 事件C 包含的样本点有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(2,0),(3,0)共7个,所以P (C )=7 6. 所以P (B )<P (C ),即每对亲子获得饮料的概率大于获得汽车玩具的概率.。
近年高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.5古典概型学案理(2021年整理)
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5 古典概型[知识梳理]1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.3.如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是1n;如果某个事件A包括的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=错误!。
4.古典概型的概率公式P(A)=错误!.[诊断自测]1.概念思辨(1)在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的。
( )(2)事件A,B至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大.( )(3)在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,那么事件A的概率为错误!。
( )(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点,这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( )答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.教材衍化(1)(必修A3P134A组T5)在平面直角坐标系中点(x,y),其中x,y∈{0,1,2,3,4,5},且x≠y,则点(x,y)在直线y=x的上方的概率是() A。
【创新方案】2019高考数学(理)一轮复习配套文档:第10章 第5节 古典概型
第五节古典概型【考纲下载】1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率.1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.3.古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数.1.在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的吗?提示:不一定.如试验一粒种子是否发芽,其发芽和不发芽的可能性是不相等的.2.如何判断一个试验是否为古典概型?提示:关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.1.一枚硬币连掷2次,恰有一次正面朝上的概率为( )A.23B.14C.13D.12解析:选D 一枚硬币连掷2次,其结果共有正正,正反,反正,反反四种结果,恰有一次正面朝上的有正反、反正两种结果.因此,恰有一次正面朝上的概率为24=12.2.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是( )A.16B.12C.13D.23解析:选C 甲、乙、丙三名同学站成一排共有如下6种情况:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,而甲站在中间的共有乙甲丙,丙甲乙两种情况,因此,甲站在中间的概率为26=13.3.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ,从{1,2,3}中随机选取一个数为b ,则b>a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15解析:选D 依题意可知a ,b 共有如下15种情况:(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),其中b>a 的共有3种情况.所以b>a 的概率为315=15. 4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ,n 作为点P 的横、纵坐标,则点P 在直线x +y =5的下方的概率为________.解析:点P 在直线x +y =5下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6种可能,故P =66×6=16. 答案:165.在集合A ={2,3}中随机取一个元素m ,在集合B ={1,2,3}中随机取一个元素n ,得到点P(m ,n),则点P 在圆x 2+y 2=9内部的概率为________.解析:点P(m ,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)6种情况,只有(2,1),(2,2)这两种情况满足在圆x 2+y 2=9内部,所以所求概率为26=13.答案:13[例1] (1)(2018·江西高考)集合A ={2,3},B ={1,2,3},从A ,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16(2)(2018·新课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C.14D.16[自主解答] (1)从A ,B 中各任意取一个数,共有6种取法,其中两数之和为4的是(2,2),(3,1).所以两数之和等于4的概率为26=13.(2)任取两个数共有6种取法,取出两个数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4)2种结果.所以概率为26=13.[答案] (1)C (2)B【互动探究】在本例(1)中,若将“则这两数之和等于4的概率”改为“则这两数之和等于5的概率”,则结果如何? 解:由原题知从A ,B 中各任意取一个数共有6种取法,其中两数之和等于5的是(2,3),(3,2),故其概率为26=13.【方法规律】1.求古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数n. (2)求出事件A 包含的所有基本事件数m. (3)代入公式P(A)=mn ,求出P(A).2.基本事件个数的确定方法(1)列举法:此法适合于基本事件较少的古典概型.(2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法.(2018·重庆模拟)有编号为A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6的6位同学,进行100米赛跑,得到下面的成绩:其中成绩在13(1)从上述6名同学中,随机抽取一名,求这名同学成绩优秀的概率;(2)从成绩优秀的同学中,随机抽取2名,用同学的编号列出所有可能的抽取结果,并求这2名同学的成绩都在12.3秒内的概率.解:(1)由所给的成绩可知,优秀的同学有4名,设“从6名同学中随机抽取一名是优秀”为事件A ,则P(A)=46=23. (2)优秀的同学编号是A 1,A 2,A 3,A 5,从这4名同学中抽取2名,所有的可能情况是:(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,A 5),(A 2,A 3),(A 2,A 5),(A 3,A 5);设“这2名同学成绩都在12.3以内”为事件B ,符合要求的情况有:(A 1,A 3),(A 1,A 5),(A 3,A 5),所以P(B)=36=12.[例2] (1)(2018·安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910(2)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别,公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A 饮料,另外2杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A 饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力.①求此人被评为优秀的概率; ②求此人被评为良好及以上的概率.[自主解答] (1)记事件A 为“甲或乙被录用”.从五人中录用三人,基本事件有(甲,乙,丙)、(甲,乙,丁)、(甲,乙,戊)、(甲,丙,丁)、(甲,丙,戊)、(甲,丁,戊)、(乙,丙,丁)、(乙,丙,戊)、(乙,丁,戊)、(丙,丁,戊),共10种可能,而A 的对立事件A -仅有(丙,丁,戊)一种可能,则A 的对立事件A -的概率为P(A -)=110.故P(A)=1-P(A -)=910.(2)将5杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A 饮料,编号4,5表示B 饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有10种.令D 表示事件“此人被评为优秀”,E 表示事件“此人被评为良好”,F 表示事件“此人被评为良好及以上”,则①P(D)=110.②因为P(E)=610=35,所以P(F)=P(D)+P(E)=710.[答案] (1)D 【方法规律】求较复杂事件的概率问题的方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件,再利用互斥事件的概率加法公式求解. (2)先求其对立事件的概率,再利用对立事件的概率公式求解.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率; (2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率. 解:(1)甲校两名男教师分别用A ,B 表示,女教师用C 表示;乙校男教师用D 表示,两名女教师分别用E ,F 表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为:(A ,D),(A ,E),(A ,F),(B ,D),(B ,E),(B ,F),(C ,D),(C ,E),(C ,F),共9种.从中选出两名教师性别相同的结果有:(A ,D),(B ,D),(C ,E),(C ,F),共4种,所以选出的2名教师性别相同的概率为P =49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为:(A ,B),(A ,C),(A ,D),(A ,E),(A ,F),(B ,C),(B ,D),(B ,E),(B ,F),(C ,D),(C ,E),(C ,F),(D ,E),(D ,F),(E ,F),共15种.从中选出两名教师来自同一学校的结果有:(A ,B),(A ,C),(B ,C),(D ,E),(D ,F),(E ,F),共6种.所以选出的2名教师来自同一学校的概率为P =6=2.1.古典概型与统计的综合应用,是高考2.高考对古典概型与统计的综合应用的考查主要有以下几个(1)由频率来估计概率;(2)由频率估计部分事件发生的概率;(3)求方差(或均值)等.[例3] (2018·天津高考)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4, 则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,①用产品编号列出所有可能的结果;②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.[自主解答] (1)计算10件产品的综合指标S,如下表:其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为10=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共15种.②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6种.所以P(B)=615=25.古典概型与统计综合应用的常见类型及解题策略(1)由频率来估计概率.利用频率与概率的关系来估计.(2)由频率来估计部分事件发生的概率.往往结合题设条件.注意事件的互斥、对立,利用概率的加法公式求解.(3)求方差(或均值).结合题设中的数据、方差(或均值公式)求解.一汽车厂生产A ,B ,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):10辆. (1)求z 的值;(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下: 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解:(1)依据条件可知,轿车A 、B 的抽样,A 类轿车抽样比为10100+300.因此本月共生产轿车40010×50=2 000(辆).故z =2 000-(100+300+150+450+600)=400(辆). (2)设所抽取样本中有a 辆舒适型轿车, 由题意得4001 000=a5,则a =2.因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.用A 1,A 2表示2辆舒适型轿车,用B 1,B 2,B 3表示3辆标准型轿车,用E 表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有:(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 2,B 3),共10个.事件E 包含的基本事件有:(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),共7个. 故P(E)=710,即所求概率为710.(3)样本平均数x -=18×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.设D 表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件D 包含的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个,所以P(D)=34,即所求概率为34. ————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————3种方法——基本事件个数的确定方法 (1)列举法:(见本节考点一[方法规律]);(2)列表法:(见本节考点一[方法规律]);(3)树状图法:树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求.个技巧——求解古典概型问题概率的技巧(1)较为简单问题可直接使用古典概型的概率公式计算;(2)较为复杂的概率问题的处理方法:一是转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式进行求解;二是采用间接法,先求事件A的对立事件A的概率,再由P(A)=1-P(A)求事件A的概率.个构建——构建不同的概率模型解决问题(1)原则:建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”,这就要求选择恰当的观察角度,把问题转化为易解决的古典概型问题;(2)作用:一方面,对于同一个实际问题,我们有时可以通过建立不同“模型”来解决,即“一题多解”,在这“多解”的方法中,再寻求较为“简捷”的解法;另一方面,我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题,即“多题一解”.答题模板(七)求古典概型的概率[典例] (2018·山东高考)(12分)某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:(1)从该小组身高低于(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.[快速规范审题]第(1)问1.审结论,明解题方向观察所求结论:求选到的2人身高都在1.78以下的概率应求2人身高都在1.78以下的选法与2人身高都在1.80以下选法之比――→2.审条件,挖解题信息观察条件:由表中的数据得出身高1.80以下的有A,B,C,D 4人,身高在1.78以下的有A,B,C 3人.3.建联系,找解题突破口身高1.80以下选2人有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6种情况;身高1.78以下选2人有(A,B),(A,C),(B,C),共3种情况,利用公式求解.第(2)问1.审结论,明解题方向观察所求结论:求选到2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率 应求从身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的选2――→人的种数与从该小组同学中选2人的种数之比2.审条件,挖解题信息观察条件:如表中数据得出该小组共有5人,其中身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的人有C ,D ,E ,共3人.3.建联系,找解题突破口从该小组中选2人共有10种方法,从C ,D ,E 中选2人共有3种方法,利用公式求解.[准确规范答题]列举从4人中选2人的可能结果时,易漏掉或重复某种结果(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A ,B),(A ,C),(A ,D),(B ,C),(B ,D),(C ,D),共6种. ⇨2分由于每个人被选到的机会均等,因此这些 基本事件的出现是等可能的.选到的2人的身高都在1.78以下的事件有:(A ,B),(A ,C),(B ,C),共3种. ⇨4分 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P =36=12. ⇨6分所有事件包含的事件数列举不全或重复(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A ,B),(A ,C),(A ,D),(A ,E),(B ,C),(B ,D),(B ,E),(C ,D),(C ,E),(D ,E),共10种. ⇨8分由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有:(C ,D),(C ,E),(D ,E),共3种. ⇨10分因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P 1=310.⇨12分 [答题模板速成]求古典概型概率的一般步骤:[全盘巩固]1.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则得到点数相同的概率为( )A.13B.14C.16D.112解析:选C 投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种,所以所求概率为66×6=16.2.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体,若将这些小正方体均匀地搅混在一起,则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )A.112B.110C.325D.1125解析:选D 小正方体三面涂有油漆的有8种情况,故所求概率为81 000=1125.3.连掷两次骰子分别得到点数m、n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512 B.712C.13D.12解析:选A 因为(m,n)·(-1,1)=-m+n<0,所以m>n.基本事件总共有6×6=36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共1+2+3+4+5=15(个).故P=1536=512.4.(2018·杭州模拟)在一个盒子中有编号为1,2的红球2个,编号为1,2的白球2个,现从盒子中摸出两个球,每个球被摸到的概率相同,则摸出的两个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率是( )A.16B.14C.13D.12解析:选C 从4个球中摸出2个球的情况共有6种,其中2球颜色不同且编号不同的情况有2种,故所求概率P=26=13.5.已知A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是( )A.29B.13C.89D.1解析:选C 因为A∩B=B,所以B可能为∅,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3}.当B=∅时,a2-4b<0,满足条件的a,b为a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,b=3. 当B={1}时,满足条件的a,b为a=2,b=1.当B={2},{3}时,没有满足条件的a,b.当B={1,2}时,满足条件的a,b为a=3,b=2.当B={2,3},{1,3}时,没有满足条件的a,b.故A∩B=B的概率为83×3=89.6.(2018·深圳模拟)一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x ,第二次向上的点数记为y ,在直角坐标系xOy 中,以(x ,y)为坐标的点落在直线2x +y =8上的概率为( )A.16B.112C.536D.19解析:选B 基本事件的总数是36,随机事件包含的基本事件是(1,6),(2,4),(3,2),根据古典概型的公式,得所求的概率是336=112.7.(2018·新课标全国卷Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是________.解析:任取两个不同的数的情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个,其中和为5的有2个,所以所求概率为210=0.2.答案:0.28.(2018·浙江高考)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于________.解析:设3名男同学分别为a 1、a 2、a 3,3名女同学分别为b 1、b 2、b 3,则从6名同学中任选2名的结果有a 1a 2,a 1a 3,a 2a 3,a 1b 1,a 1b 2,a 1b 3,a 2b 1,a 2b 2,a 2b 3,a 3b 1,a 3b 2,a 3b 3,b 1b 2,b 1b 3,b 2b 3,共15种,其中都是女同学的有3种,所以概率P =315=15.答案:159.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为22的概率是________.解析:设正方形ABCD 的中心为O ,从A 、B 、C 、D 、O 五点中,随机取两点,所有可能的结果为AB ,AC ,AD ,BC ,BD ,CD ,AO ,BO ,CO ,DO ,共10种,其中距离为22的结果有AO ,BO ,CO ,DO ,共4种,故所求概率为410=25.答案:2510. (2018·江西高考)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X ,若X>0就去打球,若X =0就去唱歌,若X<0就去下棋.(1)写出数量积X 的所有可能取值;(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率. 解:(1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1. (2)数量积为-2的有2OA ·5OA ,共1种;数量积为-1的有1OA ·5OA ,1OA ·6OA ,2OA ·4OA ,2OA ·6OA ,3OA ·4OA ,3OA ·5OA ,共6种;数量积为0的有1OA ·3OA ,1OA ·4OA ,3OA ·6OA ,4OA ·6OA ,共4种; 数量积为1的有1OA ·2OA ,2OA ·3OA ,4OA ·5OA ,5OA ·6OA ,共4种. 故所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为P 1=715; 因为去唱歌的概率为P 2=415, 所以小波不去唱歌的概率P =1-P 2=1-415=1115. 11.将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求:(1)两数之和为5的概率;(2)两数中至少有一个奇数的概率.解:将一颗骰子先后抛掷2次,此问题中含有36个等可能的基本事件. (1)记“两数之和为5”为事件A ,则事件A 中含有4个基本事件,所以P(A)=436=19. 所以两数之和为5的概率为19. (2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B ,则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件.所以P(B)=1-936=34. 所以两数中至少有一个奇数的概率为34. 12.(2018·雅安模拟)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.(1)设(i ,j)表示甲、乙抽到的牌面数字(如果甲抽到红桃2,乙抽到红桃3,记为(2,3)),写出甲乙两人抽到的牌的所有情况;(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少?(3)甲乙约定,若甲抽到的牌面数字比乙大,则甲胜;否则,乙胜,你认为此游戏是否公平?请说明理由. 解:(1)方片4用4′表示,则甲乙两人抽到的牌的所有情况为:(2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′),(4′,2),(4′,3),(4′,4)共12种不同的情况(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4′,因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为23. (3)甲抽到的牌比乙大,有(4,2),(4,3),(4′,2),(4′,3),(3,2),共5种情况.甲胜的概率为P 1=512,乙胜的概率为P 2=712.因为512<712,所以此游戏不公平. [冲击名校]现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题.甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题,每道题被抽到的概率是相等的,用符号(x ,y)表示事件“抽到的两道题的编号分别为x 、y ,且x<y”.(1)问有多少个基本事件,并列举出来;(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率.解:(1)共有36个等可能的基本事件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9).(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11”为事件A ,则事件A 为“x,y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且x +y ∈[11,17),其中x<y”.由(1)可知事件A 共包含15个基本事件,列举如下:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),所以P(A)=1536=512.即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率为512.。
2019版高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用(课件+讲义)第5节 古典概型
[例 1] (1)(2017·山东卷)从分别标有 1,2,…,9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2
次,每次抽取 1 张,则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
5
4
5
7
A.18 B.9 C.9 D.9
(2)(2018·沈阳模拟)将 A,B,C,D 这 4 名同学从左至右随机地排成一排,则“A 与 B
(2,3),共 9 种. 由 ax-y+b=0 得 y=ax+b, 当a≥0,时,直线不经过第四象限,
b≥0
限的概率 P=92.
y
a<0直线 b 一定过第
四象限
x
O
答案
y
O b
(1)B (2)A
a>0,只要 x b<0直线
一定过第 四象限
7
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考点二 复杂的古典概型的概率(典例迁移)
象限的概率为( ) A.29 B.13 C.49 D.14
解析 (2)(a,b)所有可能的结果为
符合条件的(a,b)的结果为
(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1), (2,1),(2,3),共 2 种,
(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),
∴直线 ax-y+b=0 不经过第四象
在O→G=O→E+O→F中,当O→G=O→P+O→Q,O→G=O→P+O→N,
O→G=O→N+O→M,O→G=O→M+O→Q时,
点 G 在平行四边形的边界上,而其余情况的点 G 都在平行 四边形外,故所求的概率是 1-146=34. 答案 (1)C (2)34
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考考点三 古典概型与统计知识的交汇问题
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课时作业 A 组——基础对点练1.抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为3的概率是( ) A.19 B.16 C.118D.112解析:抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为3的情况有:1,4;4,1;2,5;5,2;3,6;6,3共6种,而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有36种,所以所求概率P =636=16,故选B. 答案:B2.(2018·兰州实战)已知函数:①y =x 3+3x 2;②y =e x +e -x 2;③y =log 23-x3+x;④y =x sin x .从中任取两个函数,则这两个函数的奇偶性相同的概率为( ) A.23 B.12 C.13 D.16解析:①中函数y =x 3+3x 2是非奇非偶函数,②中函数y =e x+e-x 2是偶函数,③中函数y =log 23-x3+x是奇函数,④中函数y =x sin x 是偶函数.从上述4个函数中任取两个函数,有6种取法:①②、①③、①④、②③、②④、③④,其中②④的奇偶性相同,均为偶函数,∴所求概率为P =16. 答案:D3.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( ) A.23 B.25 C.35D.910解析:由题意知,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙,丁,戌)这1种,故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种,所求概率P =910. 答案:D4.(2018·武汉市调研)若同时掷两枚骰子,则向上的点数之和是6的概率为( ) A.16 B.112 C.536D.518解析:同时掷两枚骰子,共有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),36种可能,其中点数之和为6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),5种可能,故所求概率为536. 答案:C5.从集合A ={-2,-1,2}中随机选取一个数记为a ,从集合B ={-1,1,3}中随机选取一个数记为b ,则直线ax -y +b =0不经过第四象限的概率为 .解析:从集合A ,B 中随机选取后,组合成的数对有(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9种,要使直线ax -y +b =0不经过第四象限,则需a >0,b >0,共有2种满足,所以所求概率P =29. 答案:296.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 .解析:从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,基本事件共有C 710=120(个),记事件“七个数的中位数为6”为事件A ,则事件A 包含的基本事件的个数为C 36C 33=20,故所求概率P (A )=20120=16.答案:167.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ,n ,令平面向量a =(m ,n ),b =(1,-3).(1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率; (2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率.解析:(1)由题意知,m ∈{1,2,3,4,5,6},n ∈{1,2,3,4,5,6},故(m ,n )所有可能的取法共36种.a ⊥b ,即m -3n =0,即m =3n ,共有2种:(3,1)、(6,2),所以事件a ⊥b 的概率为236=118.(2)|a |≤|b |,即m 2+n 2≤10,共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种,其概率为636=16.8.某校高三学生体检后,为了解高三学生的视力情况,该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人),每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据.其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表:(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较,求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.解析:(1)高三(1)班学生视力的平均值为4.4×2+4.6×2+4.8×2+4.9+5.18=4.7,故估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较,所有的取法共有15种,而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有:(4.3,4.5),(4.3,4.6),(4.3,4.7),(4.3,4.8),(4.4,4.6),(4.4,4.7),(4.4,4.8),(4.5,4.7),(4.5,4.8),(4.6,4.8),共有10种,故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P =1015=23.B 组——能力提升练1.(2018·沈阳市监测)将A ,B ,C ,D 这4名同学从左至右随机地排成一排,则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是( ) A.12 B.14 C.16D.18解析:A ,B ,C ,D 4名同学排成一排有A 44=24种排法.当A ,C 之间是B 时,有2×2=4种排法,当A ,C 之间是D 时,有2种排法,所以所求概率为4+224=14,故选B. 答案:B2.从1至9共9个自然数中任取七个不同的数,则这七个数的平均数是5的概率为( ) A.23 B.13 C.19D.18解析:1至9共9个自然数中任取七个不同的数的取法共有C 79=9×82=36种,因为1+9=2+8=3+7=4+6,所以从(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)中任选三组,则有C 34=4种,故这七个数的平均数是5的概率为436=19,选C. 答案:C3.(2018·湖北七市联考)从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于12的概率为( ) A.225 B.13125 C.18125D.9125解析:从5个数字中任意抽取3个数字组成一个三位数,并且允许有重复的数字,这样构成的数字有53=125个,但要使各位数字之和等于12且没有重复数字时,则该数只能含有3,4,5三个数字,它们有A 33=6种;若三位数的各位数字均重复,则该数为444;若三位数中有2个数字重复,则该数为552,525,255,有3种.因此,所求概率为P =6+1+3125=225,故选A.答案:A4.(2018·广州市测试)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时抛出自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着,那么,没有相邻的两个人站起来的概率为 .解析:假设有甲、乙、丙、丁、戊五个人按顺序围成一桌,五个人同时抛出自己的硬币,基本事件总数共有2×2×2×2×2=32种.若五个人同时坐着有1种情况;若四个人同时坐着,一个人站着有C 15=5种情况;若三个人同时坐着,两个人站着有(甲丙、甲丁、乙丁、乙戊、丙戊)5种情况.没有相邻的两个人站起来的情况共有1+5+5=11种,故所求的概率为1132. 答案:11325.某食品厂制作了3种与“福”字有关的精美卡片,分别是“富强福”“和谐福”“友善福”,每袋食品中随机装入一张卡片.若只有集齐3种卡片才可获奖,则购买该食品4袋,获奖的概率为 .解析:将3种不同的精美卡片随机放进4个食品袋中,根据分步乘法计数原理可知共有34=81种不同放法,4个食品袋中3种不同的卡片都有的放法共有3×C 24×A 22=36种,根据古典概型概率公式得,能获奖的概率为3681=49. 答案:496.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛. (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.①用所给编号列出所有可能的结果;②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A 发生的概率.解析:(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.因此,事件A发生的概率P(A)=915=35.7.某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:现从这6).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.解析:(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.因此,事件M发生的概率为615=25.。