2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学同步测试卷 (1)
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故△ABM 与△ABC 的面积之比为14.
(2)因为A→M＝34A→B＋14A→C，A→M∥A→P， A→P＝xA→B＋yA→C(x，y∈R)，所以 x＝3y, 因为 N 为 AB 中点，所以N→P＝A→P－A→N＝xA→B＋yA→C－12A→B＝x－12 A→B＋yA→C，C→P＝A→P－A→C＝xA→B＋yA→C－A→C＝xA→B＋(y－ 1)A→C，因为N→P∥C→P，所以x－12(y－1)＝xy，即 2x＋y＝ 1，又 x＝3y，所以 x＝37，y＝17，所以 x＋y＝47.
13. (18 分)向量 a＝(2，2)，向量 b 与向量 a 的夹角
为3π4 ，且 a·b＝－2. (1)求向量 b；
(2)若
t＝(1，0)，且
b⊥t，c＝cos
A，2cos2C2 ，其
中 A，B，C 是△ABC 的内角，若 A、B、C 依次成等
差数列，试求|b＋c|的取值范围.
【解析】(1)设 b＝(x，y)，则 a·b＝2x＋2y＝－2， 且|b|＝ a·b3π＝1＝ x2＋y2，
b 与 a 的夹角是( )
π
π
π
π
A.12 B. 6 C. 4 D. 3
【解析】法一：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b| ＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
∴a·b＝12|a|2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，
∴|a＋b|＝ 3|a|. 设 a 与 a＋b 的夹角为 θ，
故 22≤|b＋c|< 25.
则 cos θ＝a·|（a||aa＋＋bb）| ＝|a|a|2|＋· 312||aa||2＝ 23， ∴θ＝π6 .
法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取 一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，以 OA、OB 为邻边作平 行四边形 OACB.
∵|a|＝|b|，即|O→A|＝|O→B|，∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB，这时O→C＝a＋b，B→A＝a－b.而|a|＝|b|＝|a －b|，即|O→A|＝|O→B|＝|B→A|.
法二：由几何意义知，|A→B|就是以O→A，O→B为邻边 的正方形的对角线长，所以|A→B|＝2 5.
【答案】2 5
10. 已知△ABC，其中顶点坐标分别为 A－1，1，
B1，2，C－2，－1，点 D 为边 BC 的中点，则向量A→D 在向量A→B方向上的投影为__________.
有：mmax＝1－2 2，nmin＝1＋2 2，(n－m)min＝4 2.
【答案】A
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将各小题的结果填在题中横线上. )
7. 已知复数 z 满足2－iz＝－3＋4i，则 z 的共轭 复数是________.
【解析】因为
z
＝
－3＋4i 2－i
B. 2 2
C. 2
D. 4
【解析】如图所示，建立直角坐标系，则： A(－ 2，
0)，B( 2，0)，P(cos θ， 2＋sin θ)，由平面向量的 性质可得： A→P＝(cos θ＋ 2，sin θ＋ 2)，B→P＝(cos θ－ 2，sin θ＋ 2)，由平面向量的数量积： A→P·B→P＝ cos2θ－2＋sin2θ＋2 2sin θ＋2＝1＋2 2sin θ，据此
5 10 .
【答案】
5 10
三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分. 解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. )
11. (16 分)已知平面上三点 A，B，C，B→C＝(2－k，3)， A→C＝(2，4).
(1)若三点 A，B，C 不能构成三角形，求实数 k 应满 足的条件；
(2)若△ABC 中角 A 为直角，求 k 的值.
∴|b＋c|2＝cos2A＋cos2C＝1＋12cos 2A＋cos 2C
＝1＋12cos 2A＋cos4π3 －2A
＝1＋12cos
2A－12cos
2A－
3 2 sin
2A
＝1＋12cos2A＋π3 .
∵A∈0，2π 3 ， ∴2A＋π3 ∈π3 ，5π 3 ， ∴－1≤cos2A＋π3 ＜12， ∴12≤|b＋c|2<54，
【答案】5 2
9. 若向量O→A＝(1，－3)，|O→A|＝|O→B|，O→A ·O→B＝ 0，则 |A→B |＝________.
【解析】法一：设O→B＝(x，y)，由|O→A|＝|O→B|知， x2＋y2＝ 10，又O→A ·O→B＝x－3y＝0，所以 x＝3，y ＝1 或 x＝－3，y＝－1.当 x＝3，y＝1 时，|A→B|＝2 5； 当 x＝－3，y＝－1 时，|A→B|＝2 5.则|A→B|＝2 5.
＝
－3＋4i2＋i 5
＝
－105＋5i＝－2＋i，所以 z 的共轭复数是－2－i.
【答案】－2－i
8. 设 x，y∈R，向量 a＝(x，2)，b＝(1，y)，c＝ (2，－6)，且 a⊥c，b∥c，则a＋b＝__________.
【解析】a⊥c 2x－12＝0 x＝6 a＝(6，2)， b∥c －6－2y＝0 y＝－3 b＝(1，－3) a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝40＋10＝50 a＋b＝5 2.
12. (16 分)在△ABC 中， A→M＝34A→B＋14A→C. (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比； (2)若 N 为 AB 中点， A→M与C→N交于点 P，且A→P＝ xA→B＋yA→C(x，y∈R)，求 x＋y 的值.
【解析】(1)在△ABC 中，A→M＝34A→B＋14A→C，可得 3B→M＝M→C，即点 M 在线段 BC 靠近 B 点的四等分点.
【解析】当 m＝1 时，a＝b 可以推出 a∥b；当 a∥b
时， m1 ＝m1 m2＝1，m＝±1，不能推出 m＝1.所以，
“m＝1”是“a∥b”成立的充分不必要条件.
【答案】A
3. 在复平面上，复数 z1，z2 对应的点关于直线 y ＝x 对称，且 z1z2＝4i，则复数 z1 的模长为( )
2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷 理科数学(八)
(平面向量、复数的概念及运算) 时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. )
1. 复数 1＋1－5 2i(i 是虚数单位)的模等于(
B.152a－34b D.152b－34a
【解析】由平面向量的三角形法则可知：D→E＝D→C ＋C→E＝34B→C＋－13A→C＝34(A→C－A→B)－13A→C＝－34A→B＋ 152A→C＝－34a＋152b.
【答案】D
5. 已知不共线向量 a，b，|a|＝|b|＝|a－b|，则 a＋
来自百度文库
)
A. 4 B. 5 C. 2 2 D. 2
【解析】1＋1－5 2i＝1＋（1－5（2i）1＋（21i）＋2i）＝1＋1 ＋2i＝2＋2i，
则它的模等于 22＋22＝2 2.
【答案】C
2. 已知向量 a＝1，m，b＝m，1，则“m＝1”
是“a∥b”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】设 z1＝a＋bi，则 z2＝b＋ai，由 z1z2＝4i， 可知 a2＋b2＝4，所以z1＝ a2＋b2＝2.
【答案】A
4. 如图，已知A→B＝a, A→C＝b, D→C＝3B→D， A→E＝ 2E→C，则D→E＝( )
A.34b－13a C.34a－13b
【解析】因为A→B＝2，1，A→C＝(－1，－2)，A→D
＝12A→B＋A→C＝12，－12，故A→B·A→D＝2×12－12＝12，由
于A→B＝ 5，所以向量A→D在向量A→B方向上的投影为
A→BA→·BA→D＝12×
1＝ 5
∴△AOB 为正三角形，则∠AOB＝60°，于是 π
∠AOC＝30°，即 a 与 a＋b 的夹角为 6 .
【答案】B
6. △ABC 是底边边长为 2 2的等腰直角三角形，
P 是以直角顶点 C 为圆心，半径为 1 的圆上任意一点， 若 m≤A→P·B→P≤n，则 n－m 的最小值为( )
A. 4 2
【解析】(1)由三点 A，B，C 不能构成三角形， 得 A，B，C 在同一直线上，即向量B→C与A→C平行，
∴4(2－k)－2×3＝0，解得 k＝12. (2)∵B→C＝(2－k，3)，∴C→B＝(k－2，－3)， ∴A→B＝A→C＋C→B＝(k，1). 当 A 是直角时，A→B⊥A→C，即A→B·A→C＝0， ∴2k＋4＝0，解得 k＝－2.
|a|cos 4 联立方程得2xx2＋＋y22y＝＝1－，2， 解得xy＝＝0－1，或xy＝＝－0，1. ∴b＝(－1，0)或 b＝(0，－1).
π (2)∵A，B，C 依次成等差数列，∴B＝ 3 .
∴b＋c＝cos A，2cos2
C2－1＝(cos A，cos C)，
(2)因为A→M＝34A→B＋14A→C，A→M∥A→P， A→P＝xA→B＋yA→C(x，y∈R)，所以 x＝3y, 因为 N 为 AB 中点，所以N→P＝A→P－A→N＝xA→B＋yA→C－12A→B＝x－12 A→B＋yA→C，C→P＝A→P－A→C＝xA→B＋yA→C－A→C＝xA→B＋(y－ 1)A→C，因为N→P∥C→P，所以x－12(y－1)＝xy，即 2x＋y＝ 1，又 x＝3y，所以 x＝37，y＝17，所以 x＋y＝47.
13. (18 分)向量 a＝(2，2)，向量 b 与向量 a 的夹角
为3π4 ，且 a·b＝－2. (1)求向量 b；
(2)若
t＝(1，0)，且
b⊥t，c＝cos
A，2cos2C2 ，其
中 A，B，C 是△ABC 的内角，若 A、B、C 依次成等
差数列，试求|b＋c|的取值范围.
【解析】(1)设 b＝(x，y)，则 a·b＝2x＋2y＝－2， 且|b|＝ a·b3π＝1＝ x2＋y2，
b 与 a 的夹角是( )
π
π
π
π
A.12 B. 6 C. 4 D. 3
【解析】法一：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b| ＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
∴a·b＝12|a|2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，
∴|a＋b|＝ 3|a|. 设 a 与 a＋b 的夹角为 θ，
故 22≤|b＋c|< 25.
则 cos θ＝a·|（a||aa＋＋bb）| ＝|a|a|2|＋· 312||aa||2＝ 23， ∴θ＝π6 .
法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取 一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，以 OA、OB 为邻边作平 行四边形 OACB.
∵|a|＝|b|，即|O→A|＝|O→B|，∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB，这时O→C＝a＋b，B→A＝a－b.而|a|＝|b|＝|a －b|，即|O→A|＝|O→B|＝|B→A|.
法二：由几何意义知，|A→B|就是以O→A，O→B为邻边 的正方形的对角线长，所以|A→B|＝2 5.
【答案】2 5
10. 已知△ABC，其中顶点坐标分别为 A－1，1，
B1，2，C－2，－1，点 D 为边 BC 的中点，则向量A→D 在向量A→B方向上的投影为__________.
有：mmax＝1－2 2，nmin＝1＋2 2，(n－m)min＝4 2.
【答案】A
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将各小题的结果填在题中横线上. )
7. 已知复数 z 满足2－iz＝－3＋4i，则 z 的共轭 复数是________.
【解析】因为
z
＝
－3＋4i 2－i
B. 2 2
C. 2
D. 4
【解析】如图所示，建立直角坐标系，则： A(－ 2，
0)，B( 2，0)，P(cos θ， 2＋sin θ)，由平面向量的 性质可得： A→P＝(cos θ＋ 2，sin θ＋ 2)，B→P＝(cos θ－ 2，sin θ＋ 2)，由平面向量的数量积： A→P·B→P＝ cos2θ－2＋sin2θ＋2 2sin θ＋2＝1＋2 2sin θ，据此
5 10 .
【答案】
5 10
三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分. 解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. )
11. (16 分)已知平面上三点 A，B，C，B→C＝(2－k，3)， A→C＝(2，4).
(1)若三点 A，B，C 不能构成三角形，求实数 k 应满 足的条件；
(2)若△ABC 中角 A 为直角，求 k 的值.
∴|b＋c|2＝cos2A＋cos2C＝1＋12cos 2A＋cos 2C
＝1＋12cos 2A＋cos4π3 －2A
＝1＋12cos
2A－12cos
2A－
3 2 sin
2A
＝1＋12cos2A＋π3 .
∵A∈0，2π 3 ， ∴2A＋π3 ∈π3 ，5π 3 ， ∴－1≤cos2A＋π3 ＜12， ∴12≤|b＋c|2<54，
【答案】5 2
9. 若向量O→A＝(1，－3)，|O→A|＝|O→B|，O→A ·O→B＝ 0，则 |A→B |＝________.
【解析】法一：设O→B＝(x，y)，由|O→A|＝|O→B|知， x2＋y2＝ 10，又O→A ·O→B＝x－3y＝0，所以 x＝3，y ＝1 或 x＝－3，y＝－1.当 x＝3，y＝1 时，|A→B|＝2 5； 当 x＝－3，y＝－1 时，|A→B|＝2 5.则|A→B|＝2 5.
＝
－3＋4i2＋i 5
＝
－105＋5i＝－2＋i，所以 z 的共轭复数是－2－i.
【答案】－2－i
8. 设 x，y∈R，向量 a＝(x，2)，b＝(1，y)，c＝ (2，－6)，且 a⊥c，b∥c，则a＋b＝__________.
【解析】a⊥c 2x－12＝0 x＝6 a＝(6，2)， b∥c －6－2y＝0 y＝－3 b＝(1，－3) a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝40＋10＝50 a＋b＝5 2.
12. (16 分)在△ABC 中， A→M＝34A→B＋14A→C. (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比； (2)若 N 为 AB 中点， A→M与C→N交于点 P，且A→P＝ xA→B＋yA→C(x，y∈R)，求 x＋y 的值.
【解析】(1)在△ABC 中，A→M＝34A→B＋14A→C，可得 3B→M＝M→C，即点 M 在线段 BC 靠近 B 点的四等分点.
【解析】当 m＝1 时，a＝b 可以推出 a∥b；当 a∥b
时， m1 ＝m1 m2＝1，m＝±1，不能推出 m＝1.所以，
“m＝1”是“a∥b”成立的充分不必要条件.
【答案】A
3. 在复平面上，复数 z1，z2 对应的点关于直线 y ＝x 对称，且 z1z2＝4i，则复数 z1 的模长为( )
2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷 理科数学(八)
(平面向量、复数的概念及运算) 时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. )
1. 复数 1＋1－5 2i(i 是虚数单位)的模等于(
B.152a－34b D.152b－34a
【解析】由平面向量的三角形法则可知：D→E＝D→C ＋C→E＝34B→C＋－13A→C＝34(A→C－A→B)－13A→C＝－34A→B＋ 152A→C＝－34a＋152b.
【答案】D
5. 已知不共线向量 a，b，|a|＝|b|＝|a－b|，则 a＋
来自百度文库
)
A. 4 B. 5 C. 2 2 D. 2
【解析】1＋1－5 2i＝1＋（1－5（2i）1＋（21i）＋2i）＝1＋1 ＋2i＝2＋2i，
则它的模等于 22＋22＝2 2.
【答案】C
2. 已知向量 a＝1，m，b＝m，1，则“m＝1”
是“a∥b”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】设 z1＝a＋bi，则 z2＝b＋ai，由 z1z2＝4i， 可知 a2＋b2＝4，所以z1＝ a2＋b2＝2.
【答案】A
4. 如图，已知A→B＝a, A→C＝b, D→C＝3B→D， A→E＝ 2E→C，则D→E＝( )
A.34b－13a C.34a－13b
【解析】因为A→B＝2，1，A→C＝(－1，－2)，A→D
＝12A→B＋A→C＝12，－12，故A→B·A→D＝2×12－12＝12，由
于A→B＝ 5，所以向量A→D在向量A→B方向上的投影为
A→BA→·BA→D＝12×
1＝ 5
∴△AOB 为正三角形，则∠AOB＝60°，于是 π
∠AOC＝30°，即 a 与 a＋b 的夹角为 6 .
【答案】B
6. △ABC 是底边边长为 2 2的等腰直角三角形，
P 是以直角顶点 C 为圆心，半径为 1 的圆上任意一点， 若 m≤A→P·B→P≤n，则 n－m 的最小值为( )
A. 4 2
【解析】(1)由三点 A，B，C 不能构成三角形， 得 A，B，C 在同一直线上，即向量B→C与A→C平行，
∴4(2－k)－2×3＝0，解得 k＝12. (2)∵B→C＝(2－k，3)，∴C→B＝(k－2，－3)， ∴A→B＝A→C＋C→B＝(k，1). 当 A 是直角时，A→B⊥A→C，即A→B·A→C＝0， ∴2k＋4＝0，解得 k＝－2.
|a|cos 4 联立方程得2xx2＋＋y22y＝＝1－，2， 解得xy＝＝0－1，或xy＝＝－0，1. ∴b＝(－1，0)或 b＝(0，－1).
π (2)∵A，B，C 依次成等差数列，∴B＝ 3 .
∴b＋c＝cos A，2cos2
C2－1＝(cos A，cos C)，