2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学同步测试卷 (1)
(名师导学)2020版高考数学总复习综合试题(一)理(含解析)新人教A版
综合试题(一)理科数学 【p 323】 时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x∈R |x 2－2x －3<0}，B ＝{x ∈R |－1<x <m }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(－1，3)C ．[3，＋∞)D ．(－1，3]【解析】因为A ＝{x ∈R |x 2－2x －3<0}＝(－1，3)，又A B ，所以m >3.【答案】A2．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．43B ．55C ．61D ．81【解析】模拟运行：S ＝25，n ＝18，18＞0，S ＝43，n ＝12，12＞0，S ＝55，n ＝6，6＞0，S ＝61，n ＝0，输出S ＝61.【答案】C3．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23【解析】由题意得x ＝CO CB ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.【答案】C4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为双曲线x 2－2y 2＝1的右支上的一个动点，若点P 到直线2x －2y ＋2＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为( )A ．2 B.32C.63D.263【解析】令P (x ，y )，由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤|2x －2y ＋2|6min>c ，而直线2x －2y ＋2＝0与渐近线2x －2y ＝0距离为|2|6＝63，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤|2x －2y ＋2|6min >63，即c ≤63，实数c 的最大值为63. 【答案】C5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为4π3，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．123B ．23C ．63D ．48 3 【解析】由43πR 3＝43π，得R ＝1，∴正三棱柱的高等于球的直经h ＝2R ＝2， 设其底面边长为a ， 则13×32a ＝1，∴a ＝23， ∴V ＝34×(23)2×2＝6 3. 【答案】C6．若函数f ()x ＝a ()x －2e x＋ln x ＋1x在()0，2上存在两个极值点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－14e 2 B.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，14e 2∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1eD.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，－14e 2 【解析】f ′()x ＝a ()x －1e x＋x －1x 2＝()x －1⎝⎛⎭⎪⎫a e x ＋1x 2， 令f ′()x ＝0，得x ＝1或a ＝－1x 2e x ，设g ()x ＝－1x 2e x，则g ′()x ＝e x()x 2＋2x ()x 2e x 2，当x >0时，g ′()x >0，∴g ()x 在()0，2上递增，当x →0时，g ()x →－∞，又g ()2＝－14e2， ∴g ()x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14e 2，∴a <－14e 2， 又a ≠g ()1，∴a ≠－1e ，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，－14e 2. 【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≤4，f （x －2），x>4，则f(7)的值为________．【解析】f(7)＝f(5)＝f(3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.【答案】188．已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离为5，则△PFO(O 为坐标原点)的面积为________．【解析】由题意得x P ＝5－1＝4⇒y P ＝±4，因此△PFO 的面积为12×4×1＝2.【答案】29．二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是________． 【解析】由T r ＋1＝C r 8·(3x)8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12rC r8·x 8－4r3.令8－4r3＝0，得r ＝2. ∴二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 28＝7.【答案】710．如图，将绘有函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω＞0)部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若AB 之间的空间距离为15，则f(－1)＝____________．【解析】作AC⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，连接CB ，则CD ＝T 2，则AB 2＝AC 2＋BC 2＝AC 2＋CD 2＋BD 2，即(15)2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋(3)2,即15＝3＋3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＝9，即T 2＝3，即T＝6＝2πω，∴ω＝π3，即f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6，则f(－1)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋5π6＝3sinπ2＝ 3.【答案】 3三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且b n －1＋b n ＋1＝2b n (n≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝b na n ，求数列{c n }的前n 项和T n .【解析】(1)由题意知S n ＝2－a n ，① 当n≥2时，S n －1＝2－a n －1，②①－②得a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a n ＝12a n －1，又a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1，故数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以a n ＝12n －1，由b n －1＋b n ＋1＝2b n (n≥2)知，数列{b n }是等差数列， 设其公差为d ，则b 5＝12(b 3＋b 7)＝9，故d ＝b 5－b 14＝2，b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n －1，综上，数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝12n －1，b n ＝2n －1.(2)∵c n ＝b n a n＝(2n －1)·2n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1×20＋3×21＋…＋(2n －1)×2n －1，③2T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，④③－④得－T n ＝1＋2(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n，即－T n ＝1＋2(2n－2)－(2n －1)2n＝－(2n －3)2n－3， ∴T n ＝(2n －3)·2n＋3.12．(16分)如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，且DE ＝6，AF ＝2.(1)试在线段BD 上确定一点M 的位置，使得AM∥平面BEF ； (2)求二面角A －BE －C 的余弦值．【解析】(1)取BE 的三等分点K(靠近点B)，过K 作KM⊥BD 交BD 于M ，则有KM ＝13DE＝2，由DE⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，可知AF⊥平面ABCD ，∴AF ⊥BD ，∴FA ∥KM ，且FA ＝KM.所以四边形FAMK 为平行四边形，可知AM∥FK ⇒AM ∥平面BEF ， ∵MK ED ＝BM BD ＝13，∴M 为BD 的一个三等分点(靠近点B)． (2)如图建立空间直角坐标系：则A(3，0，0)，B(3，3，0)，E(0，0，6)，C(0，3，0)，EB →＝(3，3，－6)，AB →＝(0，3，0)，BC →＝(－3，0，0)，设平面AEB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋3y 1－6＝0，3y 1＝0，可得n ＝(2，0，1)． 设平面BCE 的法向量为m ＝(x 2，y 2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2－6＝0，3x 2＝0可得m ＝(0，2，1)， 因为二面角A －BE －C 为钝二面角， 可得cos θ＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×0＋0×2＋122＋1·22＋1＝－15， 所以二面角A －BE －C 的余弦值为－15.13．(18分)给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，称圆C 1：x 2＋y 2＝a 2＋b 2为椭圆C 的“伴随圆”．已知点A (2，1)是椭圆G ：x 2＋4y 2＝m 上的点．(1)若过点P (0，10)的直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求l 被椭圆G 的伴随圆G 1所截得的弦长；(2)椭圆G 上的B ，C 两点满足4k 1·k 2＝－1(其中k 1，k 2是直线AB ，AC 的斜率)，求证：B ，C ，O 三点共线．【解析】(1)因为点A (2，1)是椭圆G ：x 2＋4y 2＝m 上的点， ∴22＋4·12＝m ，∴m ＝8，即椭圆G ：x 28＋y 22＝1.∴a 2＝8，b 2＝2，∴伴随圆G 1：x 2＋y 2＝10.当直线l 的斜率不存在时，显然不满足l 与椭圆G 有且只有一个公共点．当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋10与椭圆G ：x 2＋4y 2＝8联立得(1＋4k 2)x 2＋810kx ＋32＝0.由直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点得Δ＝(810k )2－4·(1＋4k 2)·32＝0， 解得k ＝±1，由对称性取直线l ：y ＝x ＋10，即l ：x －y ＋10＝0. 圆心到直线l 的距离为d ＝|0＋0＋10|1＋1＝5，直线l 被椭圆G 的伴随圆G 1所截得的弦长＝210－5＝2 5. (2)设直线AB ，AC 的方程分别为y －1＝k 1(x －2)，y －1＝k 2(x －2)． 设点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立y －1＝k 1(x －2)与x 2＋4y 2＝8，得(1＋4k 21)x 2－(16k 21－8k 1)x ＋16k 21－16k 1－4＝0， 则2x 1＝16k 21－16k 1－41＋4k 21，得x 1＝8k 21－8k 1－21＋4k 21. 同理x 2＝8k 22－8k 2－21＋4k 22. 斜率k OB ＝y 1x 1＝k 1（x 1－2）＋1x 1＝－4k 21－4k 1＋18k 21－8k 1－2，同理k OC ＝－4k 22－4k 2＋18k 22－8k 2－2.因为4k 1·k 2＝－1，所以k OC ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 1＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 12－8⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 1－2＝－1＋4k 1＋4k 212＋8k 1－8k 21＝k OB .∴B ，O ，C 三点共线．。
2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学(课件 学案 考点集训 ) (1)
【点评】向量共线充要条件的 2 种形式： (1)a∥b a＝λb(b≠0)； (2)a∥b x1y2－x2y1＝0(其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2， y2)). 当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方 便.
考点 4 向量问题坐标化
例5如图，平面内有三个向量O→A、O→B、O→C，其 中O→A与O→B的夹角为 120°，O→A与O→C的夹角为 30°， 且|O→A|＝|O→B|＝1，|O→C|＝2 3，若O→C＝λO→A＋μO→B(λ、 μ∈R)，则 λ＋μ 的值为________.
第 29 讲 平面向量的基本定理及坐标运算
【学习目标】 1. 了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面 向量的正交分解及其坐标表示； 2. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运 算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件.
【基础检测】 1. 已知向量 a＝(4，3)，b＝(－2，1)，如果向量 a ＋λb 与 b 垂直，则|2a－λb|的值为________.
考点 1 平面向量基本定理的应用
例1如果 e1，e2 是平面 α 内一组不共线的向量，那么 下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的 是( )
A. e1 与 e1＋e2 B. e1－2e2 与 e1＋2e2 C. e1＋e2 与 e1－e2 D. e1＋3e2 与 6e2＋2e1
【解析】选项 A 中，设 e1＋e2＝λe1，则11＝＝λ0，无解； 选项 B 中，设 e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则λ－＝21＝，2λ无解； 选项 C 中，设 e1＋e2＝λ(e1－e2)，则λ1＝＝1－，λ无解； 选项 D 中，e1＋3e2＝12(6e2＋2e1)，所以两向量是共线 向量.
【答案】D
2020版《名师导学》高考理科数学新课标总复习练习：同步测试卷(一) Word版含解析
姓名，年级：时间：2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(一) 【p285】(集合、常用逻辑用语、算法初步及框图)时间：60分钟总分：100分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝｛x|x2＋x－2≤0，x∈R｝，B＝｛x｜x＝2k,k∈Z｝,则A∩B 等于( ）A．{0，1} B．｛－2，0｝C．{－1，0} D．｛－4，－2｝【解析】集合A＝｛x｜x2＋x－2≤0，x∈R｝＝{x|－2≤x≤1}，所以A∩B＝｛－2，0}．【答案】B2．对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，<－1.1〉＝－1，那么“｜x－y|＜1"是“〈x〉＝<y〉”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由已知可得令x＝1.8,y＝0.9，满足｜x－y｜＜1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y>，而<x〉＝〈y>时，必有|x－y|＜1,所以“｜x－y|<1”是“〈x>＝〈y〉”的必要不充分条件．【答案】B3．如图所示，程序框图的功能是( )A．求错误!的前10项和B．求错误!的前10项和C．求错误!的前11项和D．求错误!的前11项和【解析】运行程序如下：S＝0＋错误!，n＝4,k＝2,S＝0＋错误!＋错误!，n＝6，k＝3,…,S＝0＋错误!＋错误!＋…＋错误!，n＝22，k＝11，所以该程序求的是错误!的前10项和．【答案】B4．已知集合A＝｛x|y＝错误!｝，B＝{x｜a≤x≤a＋1｝，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是( )A．(－∞,－3]∪［2，＋∞）B．［－1，2]C．[－2，1] D．[2，＋∞)【解析】函数y＝4－x2有意义,则4－x2≥0，据此可得：A＝{x|－2≤x≤2｝,A∪B＝A，则集合B是集合A的子集，据此有：错误!求解不等式组可得实数a的取值范围是[－2，1］．【答案】C5．下列结论错误的是（)A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题是“若x≠4，则x2－3x －4≠0”B．命题“若m〉0，则方程x2＋x－m＝0有实根"的逆命题为真命题C．“x＝4"是“x2－3x－4＝0"的充分条件D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0"的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0"【解析】逆否命题，条件、结论均否定，并交换,所以命题“若x2－3x－4＝0,则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”,故A正确；命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m〉0”，由Δ＝1＋4m≥0,解得m≥－错误!，推不出m〉0，是假命题,故B 错误;x＝4时，x2－3x－4＝0，是充分条件,故C正确;命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0"的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．【答案】B6．某班有49位同学玩“数字接龙”游戏,具体规则按如图所示的程序框图执行(其中a为座位号）,并以输出的值作为下一轮输入的值．若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（)A．8 B．15C．20 D．36【解析】输入a＝8后，满足条件，则输出a＝2×8－1＝15；输入a＝15，满足条件，则输出a＝2×15－1＝29；输入a＝29，不满足条件，a＝29－25＝4,a＝2×4＝8，输出a＝8，故第三次输出的值为8。
2020版《名师导学》高考理科数学新课标总复习练习：同步测试卷(五) Word版含解析
姓名，年级：时间：2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(五) 【p293】(导数及其应用）时间：60分钟总分:100分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分,共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数y＝x sin x＋错误!的导数是( )A．y′＝sin x＋x cos x＋错误!B．y′＝sin x－x cos x＋错误!C．y′＝sin x＋x cos x－错误!D．y′＝sin x－x cos x－错误!【解析】f′（x)＝（x）′sin x＋x（sin x)′＋错误!′＝sin x＋x cos x＋12x－错误!＝sin x＋x cos x＋错误!。
【答案】A2．已知a为函数f（x）＝x3－12x的极小值点，则a＝（)A．－4 B．－2C．4 D．2【解析】f′错误!＝3x2－12＝3错误!错误!，令f′错误!＝0得x＝－2或x ＝2，易得f错误!在错误!上单调递减，在错误!上单调递增，故f错误!的极小值点为2，即a＝2.【答案】D3．定积分错误!错误!d x等于（）A.错误!πa2B。
错误!πa2C．πa2D．2πa2【解析】由题意可知定积分表示半径为a的半个圆的面积，所以S＝错误! (πa2)＝错误!πa2.【答案】B4．直线y＝kx＋1与曲线f（x)＝a ln x＋b相切于点P(1,2)，则a＋b＝( ）A．1 B．4C．3 D．2【解析】由f（x）＝a ln x＋b，得f′（x)＝错误!,∴f′（1）＝a.再由直线y＝kx＋1与曲线f（x）＝a ln x＋b相切于点P（1，2），得错误!∴错误!∴a＋b＝3。
【答案】C5．已知函数y＝f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋错误!>0,则函数F(x）＝xf(x)＋错误!的零点个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】由已知得错误!〉0,得错误!>0，得(xf(x)）′与x同号,令g(x)＝xf(x）．则可知g（x)在（－∞，0)上单调递减，在（0，＋∞)上单调递增，且g(0）＝0，又由xf（x)＋1x＝0,即g（x)＝－错误!，显然y＝g(x）的图象与y＝－错误!的图象只有一个交点，选B.【答案】B6．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x）,若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′（x）〈2恒成立,则使x2f（x）－f（1)〈x2－1成立的实数x 的取值范围是（)A．｛x｜x≠±1}B．(－∞，－1)∪(1，＋∞）C．（－1，1)D．（－1，0)∪(0，1)【解析】f（x）是R上的偶函数,则函数g(x）＝x2f(x)－x2也是R上的偶函数，对任意的实数x,都有2f(x)＋xf′（x)<2恒成立，则g′(x)＝x[2f（x）＋xf′（x)－2］．当x≥0时，g′（x）<0，当x〈0时,g′(x）>0，即偶函数g(x)在区间（－∞,0)上单调递增，在区间(0,＋∞)上单调递减,不等式x2f（x）－f(1)〈x2－1即x2f（x）－x2〈12f（1）－12，据此可知g(x)<g(1)，则x<－1或x〉1。
2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学_三角函数第四章 (1)
【点评】1.终边在某直线上角的求法 4 步骤： (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角； (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的 集合； (4)求并集化简集合.
2. 确定 kα，αk(k∈N*)的终边位置 3 步骤： (1)用终边相同角的形式表示出角 α 的范围；
①1°＝1π80rad；②1 rad＝1π80°
弧长公式
弧长 l＝__ |α|r __
扇形面积公式
S＝__12lr__＝__12|α|r_2_
3.任意角的三角函数
三角函 数
正弦
余弦
正切
设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么
定 义
__ y __叫做 α 的
正弦,记作 sin α
∴2sin α＋cos α＝－35×2＋45＝－25.
【答案】A
3. 半径为 2，圆心角为 60°的扇形面积为( )
2π
4π
A. 120 B. 240 C. 3 D. 3
π
【解析】因为扇形的圆心角为 θ＝ 3 ，半径为 2，
所以弧长 l＝θr＝2π3 ， ∴S＝12lr＝12×2π3 ×2＝2π3 .
的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需 角.
(2)利用终边相同的角的集合 S＝{β|β＝2kπ ＋α，k ∈Z}判断一个角 β 所在的象限时，只需把这个角写成 [0，2π )范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和，然后 判断角 α 的象限.
2. 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函数的定义求解；
第四章 三角函数
2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学 同步测试卷 (13)
2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(十三) 【p 309】(统计)时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则普通职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为( )A ．16，3，1B ．16，2，2C ．8，15，7D ．12，5，3【解析】∵普通职员、中级管理人员和高级管理人员之比为160∶30∶10＝16∶3∶1，∴从中抽取20个人进行身体健康检查，普通职员、中级管理人员和高级管理人员各应抽取的人数为16，3，1.【答案】A2．某单位为了解用电量y(单位：度)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天由表中数据得到回归直线方程y ＝－2x ＋a ，预测当气温为－4 ℃时，用电量为( ) A ．68.2度 B ．68度 C ．69度 D ．67度【解析】x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40，中心点的坐标为(10，40)，代入回归直线方程y ^＝－2x ＋a ，解得a ^＝60，当x ＝－4时，y ^＝8＋60＝68. 【答案】B3．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为( )A ．13B ．12C ．11.52D .1009【解析】设中位数为a ，样本数列落在[2，6)上的频率为0.02×4＝0.08，在[6，10)上的频率为0.08×4＝0.32，0.5－0.08－0.32＝0.1，则0.1＝(a －10)×0.09，故a ＝109＋10＝1009.【答案】D4．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为( )A 【解析】被选中的红色球号码依次为17，12，33，06，所以第四个被选中的红色球号码为06.【答案】C5．已知X 的分布列则在下列式子中①E(X)＝－13；②D(X)＝2327；③P(X ＝0)＝13，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】由E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，知①正确；由D(x)＝⎝⎛⎭⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎫1＋132×16＝59，知②不正确；由分布列知③正确．【答案】C6．某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布N(110，100)，则分数位于区间(130，150]分的考生人数近似为( )(已知若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜x ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜x ＜μ＋3σ)＝0.997 4)A ．1 140B ．1 075C ．2 280D ．2 150【解析】由题意得μ＝110，σ＝10， ∴P(110－20＜X ＜110＋20)＝0.954 4，因此P(110＜X ＜130)＝12×0.954 4＝0.477 2，所以P(130＜X ＜150)＝0.5－0.477 2＝0.022 8，即分数位于区间(130，150]分的考生人数近似为0.022 8×10×104＝2 280. 【答案】C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．已知随机变量ξ～B(36，p)，且E(ξ)＝12，则D(ξ)＝________________________________________________________________________.【解析】由E(ξ)＝36p ＝12，得p ＝13，∴D (ξ)＝36×13×23＝8.【答案】88．某次测量中，测量结果ξ～N(2，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0，2)内取值的概率为0，4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为________．【解析】由正态分布ξ～N(2，σ2)(σ＞0)，可知正态分布密度曲线的对称轴为x ＝2，由P(0＜ξ＜2)＝0.4，得P(2＜ξ＜4)＝0.4，P (ξ＜0)＝0.1，P (ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝0.1，所以P(ξ＜4)＝1－P(ξ＞4)＝0.9. 【答案】0.99．如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知以下说法正确的是________．(填序号)①甲运动员的成绩好于乙运动员； ②乙运动员的成绩好于甲运动员；③甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异； ④甲运动员的最低得分为0分． 【解析】分析茎叶图可得：甲运动员的得分为：10，15，22，23，31，32，34，36，37，38，44，44，49，51. 乙运动员的得分为：8，12，14，17，21，29，29，33，36，52.则甲运动员得分的平均数为114(10＋15＋22＋23＋31＋32＋34＋36＋37＋38＋44＋44＋49＋51)＝33.3，乙运动员得分的平均数为110(8＋12＋14＋17＋21＋29＋29＋33＋36＋52)＝25.1.甲运动员的最低得分为10分．故甲运动员的成绩好于乙运动员． 【答案】① 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X 为“|a －b|的取值”，则X 的数学期望E(X)为________．【解析】对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126(条)，X 的可能取值有0，1，2.P(X ＝0)＝6×7126＝13，P(X ＝1)＝8×7126＝49，P(X ＝2)＝4×7126＝29，故E(X)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.【答案】89三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815.(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加活动，记反感“中国式过马路”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.【解析】(1)列联表补充如下：由已知数据得，K 2＝30×（10×8－6×6）16×14×16×14≈1.158<2.706.所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关． (2)X 的可能取值为0，1，2.P(X ＝0)＝C 28C 214＝413，P(X ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891，P(X ＝2)＝C 26C 214＝1591，所以X 的分布列为X 的数学期望为E(X)＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.12．(16分)随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大．某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包．该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价x ：(单位：元/月)和购买人数y(单位：万人)的关系如表：(1)y 与x 的关系？并指出是正相关还是负相关；(2)①求出y 关于x 的回归方程；②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/月，请用所求回归方程预测该城市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人．参考数据：25 000≈158，26 000≈161，27 000≈164.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 （x i －x ）（y i －y ）∑ni ＝1（x i －x ）2∑ni ＝1（y i －y ）2，回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b^＝∑n i ＝1（x i －x ）（y i －y ）∑ni ＝1（x i －x ）2，a ^＝y －b ^x. 【解析】(1)根据题意，得x ＝15(30＋35＋40＋45＋50)＝40，y ＝15(18＋14＋10＋8＋5)＝11. 可列表如下根据表格和参考数据，得∑i ＝1(x i －x )(y i －y )＝－160， ∑5i ＝1（x i －x ）2∑5i ＝1（y i －y ）2＝250×104＝26 000≈161. 因而相关系数r ＝∑5i ＝1（x i －x ）（y i －y ）∑5i ＝1（x i －x ）2∑5i ＝1（y i －y ）2＝－160161≈－0.99. 由于|r|＝0.99很接近1，因而可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系．由于r ＜0，故其关系为负相关．(2)①b ^＝∑5i ＝1 （x i －x ）（y i －y ）∑5i ＝1（x i －x ）2＝－160250＝－0.64，a ^＝11＋0.64×40＝36.6，因而y 关于x 的回归方程为y ^＝－0.64x ＋36.6.②由①知，若x ＝25，则y ^＝－0.64×25＋36.6＝20.6，故若将流量包的价格定为25元/月，可预测该城市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人．13．(18分)乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图所示，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．【解析】(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)，则P(A 3)＝12，P(A 1)＝13，P(A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)，则P(B 3)＝15，P(B 1)＝35，P(B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性， P(D)＝P(A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P(A 3B 0)＋P(A 1B 0)＋P(A 0B 1)＋P(A 0B 3)＝P(A 3)P(B 0)＋P(A 1)P(B 0)＋P(A 0)P(B 1)＋P(A 0)P(B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性和互斥性，得P (ξ＝0)＝P(A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P(A 1B 0＋A 0B 1)＝P(A 1B 0)＋P(A 0B 1) ＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P(A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P(A 3B 0＋A 0B 3)＝P(A 3B 0)＋P(A 0B 3) ＝12×15＋16×15＝215， P (ξ＝4)＝P(A 3B 1＋A 1B 3)＝P(A 3B 1)＋P(A 1B 3) ＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P(A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为：所以数学期望E(ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.。
2019-2020年高三上学期一轮复习检测一数学(理)试题 含答案
2019-2020年高三上学期一轮复习检测一数学（理）试题含答案一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x=∈+-≤Z，，则A、B、C、D、2、是虚数单位，若，则的值是A、B、C、D、3、已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则A、B、C、D、4、设，，，则a, b, c的大小顺序是A、B、C、D、5、已知为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是A、若，则B、若，则C、若，则D、若，则6、已知菱形边长为2，，点P满足，．若，则的值为A、B、C、D、7、函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A、B、 C、 D、8、某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是A、B、C、D、9、将函数()3cos siny x x x R=+∈的图像向左平移个单位长度后,所得到的图像关于y轴对称，则的最小值是A、B、C、D、10、若变量满足，则关于的函数图象大致是（）11、设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为A、B、C、D、12、已知函数2|1|,70()ln,x xf xx e x e-+-≤≤⎧=⎨≤<⎩，g（x）=x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，则实数a的取值范围为( )A、B、C、D、第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。
将答案填入答题纸相应位置)13、已知满足条件102x yx yy-+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则的最小值是。
14、设是等比数列的前n项的和，若，则的值是。
15、已知的展开式中的系数为0，则________．16、若三棱锥P-ABC的最长的棱，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是。
三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17、（本小题满分12分）已知向量31(cos2,sin cos)22m x x x=-u r，，设函数．（Ⅰ）求函数取得最大值时取值的集合；（Ⅱ）设，，为锐角三角形的三个内角.若，，求的值。
2020版高考数学（理）大一轮复习：全册精品学案（含答案）
2020版高考数学（理）大一轮复习：全册精品学案（含答案）第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.(3)集合的表示方法:列举法、和.(4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素x∈A?x∈BA?B或集合A是集合B的子集,但集合B中有一个元素不属于AA?B,?x0∈B,x0?AAB或B?A 相等集合A,B的元素完全A?B,B?A空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集x,x?,A3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于 A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}并集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}补集全集U中属于A的元素组成的集合{x|x∈U,xA}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ?B?A.(2)交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A B.(3)补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)= ;U(?U A)= ;?U(A∪B)=(?U A)(?U B);?U(A∩B)= ∪.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A,B,C,若A?B,B?C,则A?C(真子集也满足);④若A?B,则有A=?和A≠?两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).题组一常识题1.[教材改编]已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(?UA)∪B= .4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a 的值为.题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B?A,则m= .6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是.7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈r},若a?b,则a的取值范围为.< p="">探究点一集合的含义与表示例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()A.-1?AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34?A(2)[2018·上海黄浦区二模]已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.探究点二集合间的基本关系例2 (1)[2018·武汉4月调研]已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N?M,则实数a的取值集合为()A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0}(2)设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是()A.M=NB.M?NC.N?MD.M∈N[总结反思] (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.变式题(1)设x,y∈R,集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B间的关系为() A.A?B B.B?AC.A=BD.A∩B=?(2)已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=?,则a的取值范围是.探究点三集合的基本运算角度1集合的运算例3 (1)[2018·长沙周南中学月考]已知集合A={x|x<1},B={x|e x<1},则()A.A∩B={x|x<1}B.A∪B={x|x<e}< p="">C.A∪(?R B)=RD.(?R A)∩B={x|0<x<1}< p="">(2)[2018·山西大学附中5月调研]已知集合A={x|2x≤1},B={x|ln x<1},则A∪B=()A.{x|x<e}< p="">B.{x|0≤x≤e}C.{x|x≤e}D.{x|x>e}[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.角度2利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4](2)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(?U A)∩B=?,则p应该满足的条件是()A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤1[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.角度3集合语言的运用例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1?A且x+1?A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为 ()A.16B.17C.18D.20(2)对于a,b∈N,规定a*b=与的奇偶性相同与的奇偶性不同集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},则M中的元素个数为.[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.第1讲集合考试说明 1.集合的含义与表示:(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.</e}<></x<1}<></e}<></x<5,x∈r},若a?b,则a的取值范围为.<>。
2020版高中数学(理)一轮复习：第一章 答案
第一章 集合与常用逻辑用语第1讲 集合及其运算A 应知应会1. A2. C3. C4. A5. C 【解析】 由题知B ＝{x|－1<x<2，x ∈Z }＝{0，1}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}．6. 【解答】 若函数y ＝11－2x 有意义，则1－2x>0，所以x<12，即M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<12.结合二次函数的性质可得函数y ＝x 2－4的值域为[－4，＋∞)，即N ＝{x|x ≥－4}， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－4≤x<12.7. 【解答】 由题知赞成A 的人数为100×35＝60，赞成B 的人数为60＋3＝63.如图，记100名学生组成的集合为U ，赞成A 的学生的全体记为集合A ，赞成B 的学生的全体记为集合B ，并设对A ，B 都赞成的学生数为x ，则对A ，B 都不赞成的人数为x3＋1，由题意，知(60－x)＋(63－x)＋x ＋x3＋1＝100，解得x ＝36.所以对A ，B 都赞成的学生人数为36人，对A ，B 都不赞成的学生人数为13人．(第7题)B 巩固提升 1. {x|2<x<3}2. [1，4) 【解析】 集合A ＝{x|x 2－3x －4<0}＝(－1，4)，B ＝{y|y ＝2x －3＋1}＝[1，＋∞)，所以A ∩B ＝[1，4)．3. {x|x>1} 【解析】 依题意B ＝{x|x>log 32}，所以A ∩B ＝{x|x>1}．4. {0，2，3} 【解析】 因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B.又因为集合A ＝{x|ax －6＝0}，B＝{x ∈N |1≤log 2x <2}＝{2，3}，所以当a ＝0时，A ＝∅，符合题意；当a ≠0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫6a .由6a＝2或6a＝3，可得a ＝2或a ＝3，所以实数a 的所有值构成的集合是{0，2，3}．5. 【解答】 (1) 因为A ＝{1，2，3}，B ＝{y|y ＝2x －1，x ∈A}，当x ＝1时，y ＝2×1－1＝1；当x ＝2时，y ＝2×2－1＝3；当x ＝3时，y ＝2×3－1＝5，所以B ＝{1，3，5}，其所有子集为：∅，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．(2) 由(1)知B ＝{1，3，5}，所以A ∩B ＝{1，3}，其真子集的个数为22－1＝3.6. 【解答】 由|x ＋1|－1＞0，得|x ＋1|＞1，即x ＜－2或x ＞0，所以A ＝{x|x ＜－2或x ＞0}，则∁U A ＝{x|－2≤x ≤0}．由sinπx ＝0，得πx ＝k π，k ∈Z ，所以x ＝k ，k ∈Z ， 则B ＝{x |sinπx ＝0}＝{x |x ＝k ，k ∈Z }．则(∁U A )∩B ＝{x |－2≤x ≤0}∩{x |x ＝k ，k ∈Z }＝{－2，－1，0}，所以(∁U A )∩B 的子集的个数为23＝8.7. 【解答】 因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B.①当m>0时，由mx ＋1>0，得x>－1m ，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x>－1m ，由题意知－1m <－1，所以0<m<1.②当m ＝0时，B ＝R ，此时A ⊆B .③当m <0时，得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1m ，由题意知－1m >2，所以－12<m <0.综上，实数m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－12<m <1.第2讲 命题及充要条件A 应知应会 1. D2. A 【解析】 对于A ，其逆命题：若x>|y|，则x>y ，是真命题；对于B ，其否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题，如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x ≠0，所以原命题为假命题，因此原命题的逆否命题是假命题．3. B 【解析】 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2>b ＝1，c ＝0时，ac>bc 不成立，所以充分性不成立；当⎩⎪⎨⎪⎧ac>bc ，a>b 时，c>0成立，c ≥0也成立，所以必要性成立．所以“c ≥0”是“ac>bc”的必要不充分条件，故选B .4. A5. B 【解析】 因为f(x)＝x 2＋mx ＋1在(2，＋∞)内单调递增，所以－m2≤2，解得m≥－4，故p 是q 的必要不充分条件，故选B .6. 【解答】 逆命题：若x ＝－2且y ＝3，则x ＋2＋(y －3)2＝0，真命题；否命题：若x ＋2＋(y －3)2≠0，则x ≠－2或y ≠3，真命题；逆否命题：若x ≠－2或y ≠3，则x ＋2＋(y －3)2≠0，真命题．7. 【解答】 对于p ：(x ＋2)(x －6)≤0，解得－2≤x ≤6. 又m ＞0，q ：2－m ≤x ≤2＋m.由p 是q 的必要条件，即q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2－m ，2＋m ≤6，解得0＜m ≤4.所以实数m 的取值范围是(0，4]． B 巩固提升1. 若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数2. －2 【解答】 a 与b 反向则存在唯一的实数λ，使得a ＝λb (λ<0)，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，x ＝4λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，λ＝－12. 3. [0，1) 【解析】 命题p 的逆命题：若x>a ，则x>0，故a ≥0.命题q 的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则a －2<－1，即a<1.故实数a 的取值范围是[0，1)． 4. ⎣⎡⎦⎤0，12 【解答】 由|4x －3|≤1，得12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)＝(x －a)[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1.因为p 是q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1＞1 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ＋1≥1，得0≤a ≤12，即a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12.5. 【解答】 由已知易得{x|x 2－2x －3>0}{x|x<m －1或x>m ＋1}，又{x|x 2－2x －3>0}＝{x|x<－1或x>3}，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1＜3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －1，m ＋1≤3， 解得0≤m ≤2，即实数m 的取值范围为[0，2]．6. 【解答】 B ＝{x||x －a|＜4，x ∈R }＝{x |－4＜x －a ＜4}＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4≥3，a －4≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ≤5，即－1≤a ≤5，所以实数a 的取值范围是[－1，5]．7. 【解答】 设A ＝{x|p(x)}＝{x|x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＞0}＝{x|a ＜x ＜3a}，B ＝{x|q(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0＝{x|2＜x ≤3}．因为p 是q 的必要不充分条件，所以BA ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＞3⇒1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围是(1，2]．第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词A 应知应会1. C 【解析】 根据含有量词的命题的否定可得p ：∃a ≥0，关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数解．故选C .2. D 【解析】 由题知，存在性命题的否定既要变存在量词为全称量词，同时还要否定结论．故选D .3. B 【解析】 因为x 20－x 0＋1≥0恒成立，所以p 为真命题，则p 是假命题；若a＝－1，b＝1，则a<b，但1a>1b不成立，所q为假命题，q为真命题．所以由复合命题的真值表可知p∧(q)为真命题．故选B.4. C【解析】由题意可知，对∀x∈R，x2＋2mx＋m＋2≥0恒成立，即Δ＝4m2－4(m＋2)≤0，解得－1≤m≤2.5. B【解析】由p是假命题，可知p是真命题，但q的真假无法判断，所以充分性不成立；由p∧(q)是真命题，可知p与q均为真命题，所以必要性成立．故选B.6. 【解答】(1) p∨q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p∧q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；p：2不是4的约数，假命题．(2) p∨q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p∧q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；p ：矩形的对角线不相等，假命题．7. 【解答】 由题知p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m<0⇒m>2.q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0⇒1<m<3.因为p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，所以p 真q 假或p 假q 真．所以⎩⎪⎨⎪⎧m>2，m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m<3，故m ≥3或1<m ≤2.故实数m 的取值范围为{m|1<m ≤2或m ≥3}．B 巩固提升1. ② 【解析】 命题“∃x 0∈R, x 20－x 0－2＝0”的否定是“∀x ∈R, x 20－x 0－2≠0”， 故①正确；在△ABC 中，因为sin30°>cos120°，但△ABC 不是锐角三角形，故②错误；命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”， 故③正确；若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题， 故④正确．2. ③ 【解析】 “若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角”是假命题，逆命题为真，故①错误；若p ：∀x ∈R ，2x >0，则p ：∃x 0∈R ，2x 0≤0，故②错误；“a >1，b >1”是“ab >1”的充分不必要条件，故③正确；若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个是假命题，故④错误．3. ①③④ 【解析】 ①中，若“p ∧q ”为假命题，则命题p 与命题q 中至少有一个是假命题，故①不正确．②中，“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，故其逆否命题为真命题，所以②正确．③中，“am 2<bm 2”是“a<b”成立的充分不必要条件，故③不正确．④中，所给命题的否定为“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，故④不正确．4. ②③ 【解析】 当a ＝0，b ≠0时，a ·b ＝a 2，但a ≠b ，所以①错误；sin x ＋2cos x ＝5sin(x ＋φ)≤5，其中tan φ＝2，则②正确；因为f (x )＝1x 的图象关于原点(0，0)成中心对称，所以f (x )＝1＋1x 关于点(0，1)成中心对称，则③正确；当直线与抛物线有且只有一个公共点时，直线与抛物线相切或与抛物线的对称轴平行，故④错误，综上可知②③正确．5. 【解答】 (1) ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0，它的否定是： ∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3≤0.原命题是全称命题，它的否定是存在性命题．(2) ∀x ∈Q ，x 2＋2x ＋32是有理数，它的否定是：∃x 0∈Q ，x 20＋2x 0＋32不是有理数. 原命题是全称命题，它的否定是存在性命题．(3) ∃α，β∈R 使cos(α＋β)＝cos α＋cos β，它的否定是：∀α，β∈R 使cos(α＋β)≠cos α＋cos β.原命题是存在性命题，它的否定是全称命题．(4) ∃x ，y ∈R ，使2x －3y ≤6，它的否定是：∀x ，y ∈R ，使2x －3y >6.原命题是存在性命题，它的否定是全称命题．6. 【解答】 因为不等式mx 2＋1>0的解集是R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0或m ＝0，解得m ≥0，即p ：m ≥0.又f (x )＝log m x 是减函数，所以0<m <1，即q ：0<m <1.又p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 真，q 假或p 假，q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤0或m ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，0<m <1，解得m ≥1或m ＝0.7. 【解答】 (1) 若a ＝1，则p ：1<x<3.当p ∧q 为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，2<x ≤3，得2<x<3.(2) 若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，则必有a>0且⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a>3，得1<a ≤2.。
2020高考全国卷一轮复习理科数学(所有内容)
集合的并集!$# 集合的交集!## 集合的补集0*!
图形 表示
知识梳理
一集合与元素 !$集 合 中 元 素 的 三 个 特 性&! ! ! !'! ! ! !' !!!!$
意义 !""")!或")#" !""")!且")#" !""")* 且"*!"
四常见结论与等价关系 !##$!1!!!!(!$#$!1!!!!( $0*!%$!$!!!!(0* $0*!%$!!!!$
$#%#(!0佛山调研若集合!$!!##"##$!$"#+%"")
!#+)!"#则集合# 中元素的个数为
$!!%
)!*!!!!!!+!*!#! !!!!,!*!&! !!!!-*'
$&%#(!0全国卷!已知集合 !$!$"#+%""#2+#(&#
"))#+))"#则! 中元素的个数为
$!!%
等价转换常使较复杂的集合运算变的简单$
4
4
!!"
222222222222222222222 第一章!集合与常用逻辑用语
#!!! 命题及充要条件
激活思维
!" 选修! !"'练习#改编下列命题中#真命题是 $!!% )* 命题)若(0&10#则(&1* +* 命题)若"$&#则"#$3*的逆命题 ,* 命题)若"&##则"#%&"2#&(*的否命题 -* 命题)相似三角形的对应角相等*的逆否命题
2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学同步测试卷 (15)
2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(十) 【p 303】(不等式的性质、解法及线性规划) 时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列不等式中，正确的是( ) A ．若a>b ，c>d ，则a ＋c>b ＋d B ．若a>b ，则a ＋c<b ＋c C ．若a>b ，c>d ，则ac>bdD ．若a>b ，c>d ，则a c >bd【解析】若a>b ，则a ＋c>b ＋c ，故B 错，设a ＝3，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac<bd ，a c <bd，所以C 、D 错，故选A .【答案】A2．若关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a<0)的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，且x 2－x 1＝52，则a ＝( )A ．－ 2B ．－ 5C ．－52D ．－32【解析】x 2－x 1＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝a 2＋24a 2＝52，又a<0，∴a ＝－ 2.【答案】A3．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y ＋1的最小值是( )A ．－14B ．1C ．－5D ．－9【解析】作出不等式组⎩⎨⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0表示的平面区域，如图所示的阴影部分，由z ＝2x ＋4y ＋1可得y ＝－12x ＋z 4－14，则z 4－14表示直线y ＝－12x ＋z 4－14在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当y ＝－12x ＋z 4－14经过点A 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0，x －y ＝0可得A ⎝⎛⎭⎫－52，－52，此时z ＝－2×52－4×52＋1＝－14. 【答案】A4．若a>1，b>1，ab ＝a ＋b ＋1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．32＋3 B ．32－3 C ．3＋13 D ．7【解析】由ab ＝a ＋b ＋1得a ＝b ＋1b －1＝1＋2b －1，所以a ＋2b ＝1＋2b －1＋2b ＝3＋2b －1＋2(b －1)≥3＋22b －1×2（b －1）≥3＋2×2＝7(当a ＝3，b ＝2时取等号)，即最小值为7.【答案】D5．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元 【解析】设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为 4 m 3，高为 1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x·4x ＝160(当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号)．所以该容器的最低总造价为160元．【答案】C6．点M(x ，y)在曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0上运动，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ，且t 的最大值为b ，若a ，b ∈R ＋，则1a ＋1＋1b的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】曲线C ：x 2－4y ＋y 2－21＝0可化为(x －2)2＋y 2＝25，表示圆心为A (2，0)，半径为5的圆．t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ＝(x ＋6)2＋(y －6)2－222－a ，(x ＋6)2＋(y －6)2可以看作点M 到点N (－6，6)的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为|AN |＋5，即点M 是直线AN 与圆C 的离点N 最远的交点，所以直线AN 的方程为y ＝－34(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34（x －2），（x －2）2＋y 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝6，y 1＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 1＝3(舍去)，∴当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－3时，t 取得最大值，且t max ＝(6＋6)2＋(－3－6)2－222－a ＝b ，∴a ＋b ＝3，∴(a ＋1)＋b ＝4， ∴1a ＋1＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b [(a ＋1)＋b ]＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋1＋a ＋1b ＋2≥1， 当且仅当ba ＋1＝a ＋1b ，且a ＋b ＝3，即a ＝1，b ＝2时等号成立．【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．不等式1－2xx ＋3≥1的解集为________．【解析】不等式1－2x x ＋3≥1⇔3x ＋2x ＋3≤0⇔(3x ＋2)(x ＋3)≤0且x ≠－3⇔－3＜x ≤－23，即不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－3，－23. 【答案】⎝⎛⎦⎤－3，－23 8．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则(x ＋1)2＋y 2的最大值为________．【解析】根据约束条件画出可行域，z ＝(x ＋1)2＋y 2表示(－1，0)到可行域内的点的距离的平方，当在区域内点A 时，距离最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0，x ＝3，可得A(3，8)，此时最大距离4 5. 即(x ＋1)2＋y 2的最大值为(45)2＝80. 【答案】809．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[]1，5上有解，则a 的取值范围是__________． 【解析】由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[]1，5上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－235.【答案】⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 10．如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0，kx －my ≤0，y ≥0表示的平面区域的面积是________．【解析】∵M ，N 两点关于直线x ＋y ＝0对称， ∴直线y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直，∴k ＝1，且圆心⎝⎛⎭⎫－k 2，－m2在直线x ＋y ＝0上， ∴－k 2－m2＝0，∴m ＝－1，∴原不等式组变为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域，△AOB 为不等式所表示的平面区域，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝x ＋1，解得B ⎝⎛⎭⎫－12，12，A(－1，0)， 所以S △AOB ＝12×|－1|×12＝14.【答案】14三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)已知f(x)＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f(x)<0的解集为(0，5)． (1)求实数b ，c 的值；(2)若对任意的x ∈[－1，1]，不等式f(x)＋t ≤2恒成立，求实数t 的取值范围． 【解析】(1)因为f(x)＝2x 2＋bx ＋c ，所以不等式f(x)<0即2x 2＋bx ＋c<0，因为不等式2x 2＋bx ＋c<0的解集为(0，5)，所以方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根为0和5，所以⎩⎨⎧0＋5＝－b2，0×5＝c 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10，c ＝0.(2)法一：由(1)知：f(x)＝2x 2－10x ，所以“对任意的x ∈[－1，1]，不等式f(x)＋t ≤2恒成立”等价于“对任意的x ∈[－1，1]，不等式2x 2－10x ＋t ≤2恒成立”，即对任意的x ∈[－1，1]，不等式t ≤－2x 2＋10x ＋2恒成立，所以t ≤(－2x 2＋10x ＋2)min ，x ∈[－1，1]，令g(x)＝－2x 2＋10x ＋2，x ∈[－1，1]，则g(x)＝－2⎝⎛⎭⎫x －522＋292，所以g(x)＝－2x 2＋10x ＋2在x ∈[－1，1]上为增函数， 所以g(x)min ＝g(－1)＝－10，所以t ≤－10， 故实数t 的取值范围是(－∞，－10]． 法二：由(1)知：f(x)＝2x 2－10x ，所以“对任意的x ∈[－1，1]，不等式f(x)＋t ≤2恒成立”等价于“对任意的x ∈[－1，1]，不等式2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立”，令g(x)＝2x 2－10x ＋t －2，x ∈[－1，1]， 则g(x)max ≤0，x ∈[－1，1]，因为g(x)＝2x 2－10x ＋t －2在[－1，1]上为减函数， 所以g(x)max ＝g(－1)＝10＋t ≤0，所以t ≤－10.故实数t 的取值范围是(－∞，－10]．12．(16分)甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．【解析】(1)根据题意，200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0， 即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3，10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112， 故x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500.13．(16分)在平面直角坐标系中，已知射线y ＝3x(x ≥0)与射线y ＝－3x(x ≥0)，过点M(1，0)作直线l 分别交两射线于点A ，B(不同于原点O)．(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l 的方程； (2)求|MA|2＋|MB|2的最小值．【解析】(1)设A(a ，3a)，B(b ，－3b)(a ，b>0)， 因为A ，B ，M 三点共线，所以MA →与MB →共线，因为MA →＝(a －1，3a)，MB →＝(b －1，－3b)， 所以－3b(a －1)－3a(b －1)＝0，得a ＋b ＝2ab ，即1a ＋1b＝2，|OA|＋|OB|＝2a ＋2b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba ≥4， 当且仅当a ＝b ＝1时取得等号， 此时直线l 的方程为x ＝1.(2)|MA|2＋|MB|2＝(a －1)2＋3a 2＋(b －1)2＋3b 2＝4(a 2＋b 2)－2(a ＋b)＋2＝4(a ＋b)2－2(a ＋b)－8ab ＋2＝4(a ＋b)2－6(a ＋b)＋2＝4⎝⎛⎭⎫a ＋b －342－14，因为由a ＋b ＝2ab ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时取得等号，所以当a ＋b ＝2时，|MA|2＋|MB|2取最小值6.。
2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学同步测试卷 (3)
ห้องสมุดไป่ตู้
【解析】∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n，① 当 n≥2 时， a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(2n－3)·3n－1，② 由①－②得 nan＝4n·3n－1，即 an＝4·3n－1. 当 n＝1 时，a1＝3≠4，
2 S1＝a1＋1 a1＝1，an＝2n－1，由 b1，b2，bm 成等 差数列，可得 bm＝2b2－b1，2m2m－－1＋1 t＝3＋6 t－1＋1 t，分离 m 化简得 m＝3＋t－4 1，故(t，m)＝(2，7)，(3，5)，(5，4)， mt max＝54.
【答案】D
6. 已知数列{an}满足 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n －1)·3n.设 bn＝4ann ，Sn 为数列{bn}的前 n 项和. 若 Sn＜ λ (常数)，n∈N*，则 λ 的最小值是( )
＝1－2×22n－－11＋(2n－1)·2n，
∴Tn＝3＋(2n－3)·2n，n∈N*.
13. (18 分)设函数 f(x)＝x2－(3k＋2k)x＋3k·2k，x∈
R. (1)若 f(1)≤0，求实数 k 的取值范围； (2)若 k 为正整数，设 f(x)≤0 的解集为[a2k－1，a2k]，
求 a1＋a2＋a3＋a4 及数列{an}的前 2n 项和 S2n；
【解析】等差数列的首项为 a1＝2，设公差为 d， 由 a8＝a1＋7d，a10＝a1＋9d， ∵a8＋a10＝28， 即 4＋16d＝28，得 d＝32， 那么 S9＝2×9＋9×2 8×32＝72.
【答案】B
3. “今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠 日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问 几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚 7.875 尺，两鼠 从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一 天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍， 小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天 打通相逢？”，两鼠相逢需要的天数为( )
【新课标人教版】2020届高考数学(理)一轮复习导航单元测试(1)
2020届高考导航系列试题高三上学期理科数学单元测试（1）[新课标人教版] 命题范围集合（必修1第一章）与常用逻辑（选修2-1第一章）注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，试题和答题卡一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =U ,则a 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 2．命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ）A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤C ．存在x ∈R ，3210x x -+> D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+> 3．集合A 、B 各有2个元素，B A ⋂中有一个元素，若集合C 同时满足①B A C Y ⊆，②B A C I ⊇，则满足条件的集合C 的个数是 （ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 44．已知全集U=R ，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x +x=0} 关系的韦恩（Venn ）图是（ ）5．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -= （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 6．有下列四个命题，其中真命题有：（ ）①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④7．已知集合}0,2|{)},2lg(|{2>==-==x y y B x x y x A x ，Ｒ是实数集，则A B C R ⋂)(＝（ ）A ．[]1,0B ．(]1,0C ．(]0,∞-D ．以上都不对8．“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．设全集)},1ln(|{},12|{,)3(x y x B x A R U x x --==<==+则右图中阴影部分表示的集合为 （ ） A ．{x |x ＞0}B ．}03|{<<-x xC ．}13|{-<<-x xD ．}1|{-<x x10．若{}8222<≤∈=-x Z x A {}1log R <∈=x x B x ，则)(C R B A ⋂的元素个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．311．设集合},21,|{},,2|2||{2≤≤--==∈≤-=x x y y B R x x x A 则 C R （A ∩B ）等于（ ）A ．RB ．}0|{≠∈x R x x 且C ．{0}D ．012．设集合},2|{},0|{R x y y N m x x M x∈==≤-=-，若φ≠N M I ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0≥mB ．m >0C ．m ≤0D ．m < 0第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。
2020版高考第一轮总复习数学(课件 学案 考点集训 同步测试卷) (1)
1．不等式x－x 2>x－x 2的解集是(
)
A．(0，2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
【解析】∵x－x 2>x－x 2， ∴x－x 2<0， 解得 0<x<2. ∴不等式的解集为0，2. 【答案】A
2．函数 y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为( ) A．2 B．10 C．4 D．6
解法 2：(几何意义法)实数 x 到－1 的距离与到 2 的 距离之差等于 1 的位置即 x＝1 的位置，
大 于 等 于 1 ， 即 x≥1 ， 所 以 f(x)≥1 的 解 集 为 {x|x≥1}．
－3，x<－1， 解法 3：(构造函数法)f(x)＝ 2x－1，－1≤x≤2，
3，x>2， 画出 f(x)＝│x＋1│－│x－2│ 的图象和 g(x)＝1 图象， 两图象交点的横坐标为 x＝1， 所以不等式的解集为{x|x≥1}．
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥g(x)的解集； (2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求 a 的取值范围．
【解析】(1)当 a＝1 时，不等式 f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①
当 x<－1 时，①式化为 x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1 时，①式化为 x2－x－2≤0，从而－
A. x0≤x<1
B.
xx<0，x≠－1
C. x－1<x<1
D.
xx<1，x≠－1
【解析】当 x＞0 时，不等式可化为(1＋x)(1－x) ＞0，
∴(x－1)(x＋1)＜0，－1＜x＜1， 又 x＞0，∴0＜x＜1， 当 x≤0 时，不等式可化为(1＋x)(1＋x)＞0， 即(1＋x)2＞0，∴x≠－1， 又 x≤0，∴x＜－1 或－1＜x≤0， 综上，原不等式的解集为{x|x＜1，x≠－1}． 故选 D.
2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第一章 第四节 函数的单调性与最值
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1．(2018·江西上饶模拟)函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( )A.32 B ．－83C ．－2D ．2解析：选A.函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上单调递减，可知f (x )的最大值为f (－2)＝2－12＝32.2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1，2] B ．[－1，0) C ．[0，2]D ．[2，＋∞)解析：选A.由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2.作出函数图象如图所示：结合图象可知函数的单调递减区间是[1，2]．3．(2018·陕西汉中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x ＜1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若函数f (x )在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1⇒/ c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．4．(2018·厦门调研)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D.由x 2－4＞0，得x ＞2或x ＜－2，故f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－4，则f (x )＝log 12t (t ＞0)．∵t ＝x 2－4在(－∞，－2)上是减函数，且f (x )＝log 12t 在(0，＋∞)上是减函数，∴函数f (x )在(－∞，－2)上是增函数，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)．5．(2018·深圳质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C.作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0，的图象，如图，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a ，即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.6．(2018·苏州模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤k ，k ，f （x ）＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C.由f (x )＞12，得－1＜x ＜1，由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1，故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．7．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析：解法一：选A.易知y ＝ln(1＋|x |)，y ＝－11＋x 2是偶函数，所以f (x )是偶函数．当x ＞0时，y ＝ln(1＋|x |)单调递增，y ＝－11＋x 2单调递增，所以f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2在x ∈(0，＋∞)上单调递增．求使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围等价于解绝对值不等式|x |＞|2x －1|，即x 2＞(2x －1)2，化简为(3x －1)(x －1)＜0，解得13＜x ＜1.因此选A.解法二：(特殊值法)当x ＝0时，f (x )＝－1，f (2x －1)＝f (－1)＝ln 2－12，－1＜ln 2－12，排除选项B 和C.当x ＝1时，f (x )＝f (2x －1)，排除选项D.因此选A.8．(2018·太原模拟)已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，a ＋3＞0，a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)9．(2018·石家庄调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．解析：由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上单调递减，y ＝－log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递减，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：310．(2018·张家口检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.函数图象如图所示，由函数图象易得函数g (x )的单调递减区间是[0，1)． 答案：[0，1)B 级 能力提升练11．(2018·长沙模拟)已知函数f(x)＝log2x＋11－x，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则()A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0解析：选B.因为函数y＝log2x与函数y＝11－x ＝－1x－1的单调性在(1，＋∞)上均为增函数，所以函数f(x)＝log2x＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1，2)时，f(x1)＜f(2)＝0；当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)＞f(2)＝0，即f(x1)＜0，f(x2)＞0.12．(2018·株洲二模)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于()A．－1 B．1C．6 D．12解析：选C.由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.13．已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0，2)单调递增B．f(x)在(0，2)单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称解析：解法一：选C.f(x)的定义域为(0，2)．由于f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln(2x－x2)，从而对f(x)的研究可转化为对二次函数g(x)＝2x－x2(x∈(0，2))的研究．因为g(x)＝2x －x2＝－(x－1)2＋1，所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，直线x＝1是y＝g(x)的图象的对称轴．从而排除A，B，D，故选C.解法二：由于f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ，即f (x )＝f (2－x )，故可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故选C.14．(2018·潍坊二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，0)C ．(0，2)D ．(－2，0)解析：选A.作出函数f (x )的图象如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a ＜2a －x ，即x ＜a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1＜a2，即a＜－2.故选A.15．(2018·唐山模拟)如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝e x＋x ；②y ＝x 2；③y ＝3x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________． 解析：因为对任意两个不相等的实数x 1，x 2， 都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立， 所以不等式等价为(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立， 即函数f (x )是定义在R 上的增函数．①函数y ＝e x ＋x 在定义域上为增函数，满足条件． ②函数y ＝x 2在定义域上不单调，不满足条件．③y ＝3x －sin x ，y ′＝3－cos x ＞0，函数单调递增，满足条件．④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0，当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上，满足“H 函数”的函数为①③.答案：①③C 级 素养加强练16．(2018·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －2，（x ≤0）2ax －1，（x ＞0）(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a ＞1；④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2.其中正确命题的所有序号是________．解析：根据题意可画出函数图象，由图象可知，①显然正确；＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2成立，故④正确．答案：①③④。
2020新课标高考第一轮总复习数学理(课件 课时规范练) (1)
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第一轮总复习•数学(理)
2．注意事项 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端 点值的取舍． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连 接，而应该用并集符号“∪”连接．
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第一轮总复习•数学(理)
跟踪训练 (1)若本例条件不变，若f(a)＞f(1)，求a的范围． 解析：当a＞0时，f(a)＝2a，f(1)＝2， ∴2a＞2，∴a＞1， 当a＜0时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＞2， ∴a＞1与a＜0矛盾． ∴a的范围为(1，＋∞)．
上一页
＝
.
答案：x2－4x＋3
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第一轮总复习•数学(理)
考点一|求函数的定义域 (易错突破)
【例1】 (1)函数f(x)＝ x3－x 2＋lg(3－x)的定义域是(
)
A．(3，＋∞)
B．(2,3)
C．[2,3)
D．(2，＋∞)
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第一轮总复习•数学(理)
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第一轮总复习•数学(理)
名师点拨 1.函数定义域的求解策略 (1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式 a≤g(x)≤b求出； ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值 域．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【答案】2 5
10. 已知△ABC，其中顶点坐标分别为 A－1，1，
B1，2，C－2，－1，点 D 为边 BC 的中点，则向量A→D 在向量A→B方向上的投影为__________.
|a|cos 4 联立方程得2xx2＋＋y22y＝＝1－，2， 解得xy＝＝0－1，或xy＝＝－0，1. ∴b＝(－1，0)或 b＝(0，－1).
π (2)∵A，B，C 依次成等差数列，∴B＝ 3 .
∴b＋c＝cos A，2cos2
C2－1＝(cos A，cos C)，
【解析】因为A→B＝2，1，A→C＝(－1，－2)，A→D
＝12A→B＋A→C＝12，－12，故A→B·A→D＝2×12－12＝12，由
于A→B＝ 5，所以向量A→D在向量A→B方向上的投影为
A→BA→·BA→D＝12×
1＝ 5
有：mmax＝1－2 2，nmin＝1＋2 2，(n－m)min＝4 2.
【答案】A
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将各小题的结果填在题中横线上. )
7. 已知复数 z 满足2－iz＝－3＋4i，则 z 的共轭 复数是________.
【解析】因为
z
＝
－3＋4i 2－i
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】设 z1＝a＋bi，则 z2＝b＋ai，由 z1z2＝4i， 可知 a2＋b2＝4，所以z1＝ a2＋b2＝2.
【答案】A
4. 如图，已知A→B＝a, A→C＝b, D→C＝3B→D， A→E＝ 2E→C，则D→E＝( )
A.34b－13a C.34a－13b
【解析】(1)由三点 A，B，C 不能构成三角形， 得 A，B，C 在同一直线上，即向量B→C与A→C平行，
∴4(2－k)－2×3＝0，解得 k＝12. (2)∵B→C＝(2－k，3)，∴C→B＝(k－2，－3)， ∴A→B＝A→C＋C→B＝(k，1). 当 A 是直角时，A→B⊥A→C，即A→B·A→C＝0， ∴2k＋4＝0，解得 k＝－2.
＝
－3＋4i2＋i 5
＝
－105＋5i＝－2＋i，所以 z 的共轭复数是－2－i.
【答案】－2－i
8. 设 x，y∈R，向量 a＝(x，2)，b＝(1，y)，c＝ (2，－6)，且 a⊥c，b∥c，则a＋b＝__________.
【解析】a⊥c 2x－12＝0 x＝6 a＝(6，2)， b∥c －6－2y＝0 y＝－3 b＝(1，－3) a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝40＋10＝50 a＋b＝5 2.
∴△AOB 为正三角形，则∠AOB＝60°，于是 π
∠AOC＝30°，即 a 与 a＋b 的夹角为 6 .
【答案】B
6. △ABC 是底边边长为 2 2的等腰直角三角形，
P 是以直角顶点 C 为圆心，半径为 1 的圆上任意一点， 若 m≤A→P·B→P≤n，则 n－m 的最小值为( )
A. 4 2
故 22≤|b＋c|< 25.
故△ABM 与△ABC 的面积之比为14.
(2)因为A→M＝34A→B＋14A→C，A→M∥A→P， A→P＝xA→B＋yA→C(x，y∈R)，所以 x＝3y, 因为 N 为 AB 中点，所以N→P＝A→P－A→N＝xA→B＋yA→C－12A→B＝x－12 A→B＋yA→C，C→P＝A→P－A→C＝xA→B＋yA→C－A→C＝xA→B＋(y－ 1)A→C，因为N→P∥C→P，所以x－12(y－1)＝xy，即 2x＋y＝ 1，又 x＝3y，所以 x＝37，y＝17，所以 x＋y＝47.
13. (18 分)向量 a＝(2，2)，向量 b 与向量 a 的夹角
为3π4 ，且 a·b＝－2. (1)求向量 b；
(2)若
t＝(1，0)，且
b⊥t，c＝cos
A，2cos2C2 ，其
中 A，B，C 是△ABC 的内角，若 A、B、C 依次成等
差数列，试求|b＋c|的取值范围.
【解析】(1)设 b＝(x，y)，则 a·b＝2x＋2y＝－2， 且|b|＝ a·b3π＝1＝ x2＋y2，
∴|b＋c|2＝cos2A＋cos2C＝1＋1s4π3 －2A
＝1＋12cos
2A－12cos
2A－
3 2 sin
2A
＝1＋12cos2A＋π3 .
∵A∈0，2π 3 ， ∴2A＋π3 ∈π3 ，5π 3 ， ∴－1≤cos2A＋π3 ＜12， ∴12≤|b＋c|2<54，
B. 2 2
C. 2
D. 4
【解析】如图所示，建立直角坐标系，则： A(－ 2，
0)，B( 2，0)，P(cos θ， 2＋sin θ)，由平面向量的 性质可得： A→P＝(cos θ＋ 2，sin θ＋ 2)，B→P＝(cos θ－ 2，sin θ＋ 2)，由平面向量的数量积： A→P·B→P＝ cos2θ－2＋sin2θ＋2 2sin θ＋2＝1＋2 2sin θ，据此
)
A. 4 B. 5 C. 2 2 D. 2
【解析】1＋1－5 2i＝1＋（1－5（2i）1＋（21i）＋2i）＝1＋1 ＋2i＝2＋2i，
则它的模等于 22＋22＝2 2.
【答案】C
2. 已知向量 a＝1，m，b＝m，1，则“m＝1”
是“a∥b”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷 理科数学(八)
(平面向量、复数的概念及运算) 时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. )
1. 复数 1＋1－5 2i(i 是虚数单位)的模等于(
5 10 .
【答案】
5 10
三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分. 解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. )
11. (16 分)已知平面上三点 A，B，C，B→C＝(2－k，3)， A→C＝(2，4).
(1)若三点 A，B，C 不能构成三角形，求实数 k 应满 足的条件；
(2)若△ABC 中角 A 为直角，求 k 的值.
B.152a－34b D.152b－34a
【解析】由平面向量的三角形法则可知：D→E＝D→C ＋C→E＝34B→C＋－13A→C＝34(A→C－A→B)－13A→C＝－34A→B＋ 152A→C＝－34a＋152b.
【答案】D
5. 已知不共线向量 a，b，|a|＝|b|＝|a－b|，则 a＋
则 cos θ＝a·|（a||aa＋＋bb）| ＝|a|a|2|＋· 312||aa||2＝ 23， ∴θ＝π6 .
法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取 一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，以 OA、OB 为邻边作平 行四边形 OACB.
∵|a|＝|b|，即|O→A|＝|O→B|，∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB，这时O→C＝a＋b，B→A＝a－b.而|a|＝|b|＝|a －b|，即|O→A|＝|O→B|＝|B→A|.
b 与 a 的夹角是( )
π
π
π
π
A.12 B. 6 C. 4 D. 3
【解析】法一：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b| ＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
∴a·b＝12|a|2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，
∴|a＋b|＝ 3|a|. 设 a 与 a＋b 的夹角为 θ，
12. (16 分)在△ABC 中， A→M＝34A→B＋14A→C. (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比； (2)若 N 为 AB 中点， A→M与C→N交于点 P，且A→P＝ xA→B＋yA→C(x，y∈R)，求 x＋y 的值.
【解析】(1)在△ABC 中，A→M＝34A→B＋14A→C，可得 3B→M＝M→C，即点 M 在线段 BC 靠近 B 点的四等分点.
【解析】当 m＝1 时，a＝b 可以推出 a∥b；当 a∥b
时， m1 ＝m1 m2＝1，m＝±1，不能推出 m＝1.所以，
“m＝1”是“a∥b”成立的充分不必要条件.
【答案】A
3. 在复平面上，复数 z1，z2 对应的点关于直线 y ＝x 对称，且 z1z2＝4i，则复数 z1 的模长为( )
【答案】5 2
9. 若向量O→A＝(1，－3)，|O→A|＝|O→B|，O→A ·O→B＝ 0，则 |A→B |＝________.
【解析】法一：设O→B＝(x，y)，由|O→A|＝|O→B|知， x2＋y2＝ 10，又O→A ·O→B＝x－3y＝0，所以 x＝3，y ＝1 或 x＝－3，y＝－1.当 x＝3，y＝1 时，|A→B|＝2 5； 当 x＝－3，y＝－1 时，|A→B|＝2 5.则|A→B|＝2 5.