(名师导学)2020版高考数学总复习第十一章坐标系与参数方程第74讲参数方程课件理新人教A版选修4_4

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2020版高考数学理科一轮复习课件(北师大版): 参数方程

2020版高考数学理科一轮复习课件(北师大版): 参数方程

= =
������������((������������)),(*),并且对于
t
的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点
M(x,y)都在这条曲线上,那
么方程(*)就叫作这条曲线的
,联系变数 x,y 的变数 t 叫作参变数,简称
.
课前双基巩固
2.直线、圆、椭圆的参数方程
曲线
参数方程
过点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l
α
的直线
l
的参数方程为
������ ������
= =
������0 ������0
+ +
������cos������, ������sin������ (t
为参数).
(2)圆的参数方程.
若圆心为点
M0(x0,y0),半径为
r,则圆的参数方程为
������ ������
= =
������0 ������0
(4)若 M0 为线段 M1M2 的中点,则 t1+t2=0.
课堂考点探究
探究点一 曲线的参数方程
例 1 在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A(a,2a) 的直线 l 的倾斜角为π6,点 P(x,y)为直线 l 上的动 点,且|AP|=t.圆 C 以 C(2a,2a)为圆心, 2为半 径,Q(x,y)为圆 C 上的动点,且 CQ 与 x 轴正方 向所成的角为 θ. (1)分别以 t,θ 为参数,写出直线 l 和圆 C 的参数 方程; (2)当直线 l 和圆 C 有公共点时,求 a 的取值范 围.
+ +
������������csoins������������,(θ
为参数).
(3)椭圆������������

2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》

2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》

【解析】(1)C1
的普通方程为x2+y2=1,曲线 3
C2
的直角坐标方程为
x+y-4=0.
(2)由题意,可设点 P 的直角坐标为( 3cos α,sin α).因为 C2 是直线,所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d(α)的最小值.
| | 又 d(α)=| 3cos α+sin α-4|= 2
学魁榜
2020 年高考理科数学《坐标系与参数方程》
【题型归纳】
题型一 曲线的极坐标方程 例 1 、在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; (2)若直线 C3 的极坐标方程为θ=π(ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积.
【答案】(1)2x+y-6=0;(2)最大值为22 5,最小值为2 5.
5
5
1
x=2cos θ,
【解析】(1)曲线 C 的参数方程为
(θ为参数).
y=3sin θ
直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0.
(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ)到 l 的距离为
d= 5|4cos θ+3sin θ-6|. 5
cos θ+sin θ
Байду номын сангаас
4
C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π 2
D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π 4
【答案】A
【解析】∵
x y
cos , sin ,
∴y=1-x
化为极坐标方程为ρcos
θ+ρsin
θ=1,即ρ= cos

(新课标)2020年高考数学一轮总复习第十一章选修系列11坐标系与参数方程课件理新人教A版选修4_4

(新课标)2020年高考数学一轮总复习第十一章选修系列11坐标系与参数方程课件理新人教A版选修4_4

5.直线、圆、椭圆的参数方程
[三基自测]
1.点 P 的直角坐标为(1,- 3),则点 P 的极坐标为

答案:2,-π3
2.在极坐标系中,圆心在 2,π且过极点的圆的方程为

答案:ρ=-2 2 cos θ
3.参数方程xy==1412+ -+t2t2t2t2,2
(2)极坐标系 在平面内取一个定点 O,叫作极点;自极点 O 引一条射线 Ox,叫作极轴;再选一 个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就 建立了一个极坐标系.
设 M 是平面内任意一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫作点 M 的极径,记为 ρ;以 极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫作点 M 的极角,记为 θ,有序数对(ρ, θ)叫作点 M 的极坐标,记为 M(ρ,θ).
设 A,B,P 对应的参数分别为 tA,tB,tP,则 tP=tA+2 tB,且 tA,tB 满足 t2-2 2tsin α+1=0.
于是 tA+tB=2 2sin α,tP= 2sin α,又点 P 坐标(x,y)满足xy= =t-Pcos2+α,tPsin α,
故点
P
x= 的参数方程为
(2)由xx2-+yy+2-1=x-0,y=0,

x=0, y=1,
故直线
l
与圆 O
公共点的一个极坐标为
1,π2.
考点二|曲线的参数方程 (思维突破)
【例 2】 (2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O 的参数方程为
x=cos θ, y=sin θ
(1)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (2)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tan α0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共 点都在 C3 上,求 a.

2020版高考数学总复习第十一章选修模块第1节选修4-4坐标系与参数方程课时冲关

2020版高考数学总复习第十一章选修模块第1节选修4-4坐标系与参数方程课时冲关

(艺术生专用)2020版高考数学总复习第十一章选修模块第1节选修4-4坐标系与参数方程课时冲关何编辑)选修4-4坐标系与参数方程课时分组冲关索能提升规范演壕1. (2020 •太原市质检)已知曲线G:x+书y =错误!和Q:错误!(0为参数).以原点0为极点,"轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.(1) 把曲线&和Q的方程化为极坐标方程;(2)设G与x, y轴交于饥〃两点,且线段例的中点为R若射线〃与G, G交于P, 0两点,求P,。

两点间的距离。

解:(1)曲线G化为QCOS &+护Qsin & =护。

・•• psin错误!=错误!.曲线Q化为错误!+错误!=1。

(*)将x= QCOS &, y= p s i n & 代入(*)式得错误!cos'& + 错误!sin'& = 1,即p2 (cos20 +3sin26) =6.・•・曲线G的极坐标方程为,=错误!.(2) •・•〃(错课!,0), N (0.1),・■•借课!,・•・〃的极坐标方程为&=错误!,把&=错误!代入Qsin错误!=错误!得0 = 1,疇误!.把&=*代入Q2 =错误!得处=2,储误!。

・•・ I P0| = I p2— Pi|=1,即只0两点间的距离为1.2. (2018 •全国II卷)在直角坐标系中,曲线C的参数方程为错谋!( e为参数),直线/的参数方程为错误!(十为参数).(1)求C和/的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线/所得线段的中点坐标为(1, 2),求/的斜率.解:(1)曲线6•的参数方程为错谋!(&为参数),・••错误!+错误! = 1。

直线/的参数方程为错误!(上为参数)・••错误! =tan a( a =#90°),即tan a• x—y4-2—tan a =0,当a = 90°时,x=1.综上:/:错误!(2)当Q=90°,点(1,2)不为中点,・••不成立.当a *90° ,把/代入曲线C中得:4,+ [tan a・(xT)+2] 2=16,化简得:(4 + tan2a) H+(4tan a—2tan2a) x+tan2a —4tan a—12 = 0,•・•点(1, 2)为弦的中点,••‘+ X2=2,即错谋!=2, •••tan a = -2,直线 /的斜率k=-2。

高考数学总复习第十一章坐标系与参数方程第74讲参数方程练习理新人教版

高考数学总复习第十一章坐标系与参数方程第74讲参数方程练习理新人教版

第74讲 参数方程夯实基础 【p 168】【学习目标】1.了解曲线参数方程的意义,掌握直线、圆及圆锥曲线的参数方程,会应用参数方程解决有关的问题.2.掌握参数方程与普通方程的互化,会根据已知给出的参数,依据条件建立参数方程. 【基础检测】1.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2+sin 2θ,y =sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A .y =x -2 B .y =x +2C .y =x -2(2≤x≤3)D .y =x +2(0≤y≤1)【解析】消去参数,转化为普通方程得y =x -2,其中x∈[2,3],y∈[0,1].故选C . 【答案】C2.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1t ,y =2(t 为参数)表示的曲线是________. 【解析】由x =t +1t知x≥2或x≤-2,∴曲线方程为y =2(x≥2或x≤-2),表示两条射线. 【答案】两条射线3.在平面直角坐标系xOy 中,过椭圆⎩⎨⎧x =2cos θ,y =3sin θ(θ为参数)的右焦点,且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x =4-2t ,y =3-t (t 为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________. 【解析】椭圆的普通方程为x 24+y23=1,则右焦点的坐标为(1,0).直线的普通方程为x -2y +2=0,过点(1,0)与直线x -2y +2=0平行的直线方程为x -2y -1=0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 23=1,x -2y -1=0得4x 2-2x -11=0,所以所求的弦长为1+⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫122-4×⎝ ⎛⎭⎪⎫-114=154. 【答案】1544.已知直线l 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =1-2t ,y =2+kt (t 为参数)与直线l 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =s ,y =1-2s (s 为参数)垂直,求k 的值.【解析】直线l 1的普通方程为y =-k 2x +4+k 2,斜率为-k2;直线l 2的普通方程为y =-2x +1,斜率为-2. ∵l 1与l 2垂直,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫-k 2×(-2)=-1⇒k =-1.【知识要点】 1.参数方程的定义在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数,即__⎩⎪⎨⎪⎧x =f (t )y =g (t )__,并且对于t 的每一个允许值,由该方程组所确定的点M(x ,y)都在这条曲线上,那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F(x ,y)=0叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程:__消去参数__,消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等.如果知道变数x ,y 中的一个与参数t 的关系,例如x =f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y =g(t),那么⎩⎪⎨⎪⎧x =f (t ),y =g (t )就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x ,y 的取值范围保持一致.3.直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程典例剖析 【p 168】考点1 参数方程与普通方程的互化例1已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =sin θ(θ为参数),曲线C 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =3-t ,y =4+2t 3(t 为参数). (1)将曲线C 1,C 2的参数方程化为普通方程;(2)求曲线C 1上的点到曲线C 2的距离的最大值和最小值.【解析】(1)曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =sin θ(θ为参数),则cos θ=x2,∵sin 2θ+cos 2θ=1, 可得x 24+y 2=1,∴曲线C 1的普通方程是x 24+y 2=1;曲线C 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =3-t ,y =4+2t 3(t 为参数),消去参数t ,t =3-x ,代入y =4+2(3-x )3,即2x +3y -10=0,∴曲线C 2的普通方程是2x +3y -10=0.(2)设点P (2cos θ,sin θ)为曲线C 1上任意一点,则点P 到直线2x +3y -10=0的距离为d ,则d =|4cos θ+3sin θ-10|13=|5sin (θ+φ)-10|13,∵sin (θ+φ)∈[-1,1],∴d∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤51313,151313,∴d max =151313,d min =51313.【点评】(1)将参数方程化为普通方程,消参数常用代入法与加减消元法.(2)把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,以及参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响. 考点2 直线与圆的参数方程及应用例2在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =tcos α,y =tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=23cos θ.(1)求C 2与C 3的交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB|的最大值. 【解析】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y =0, 曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-23x =0.联立⎩⎨⎧x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-23x =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =0,或⎩⎪⎨⎪⎧x =32,y =32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32,32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(23cos α,α).所以|AB |=|2sin α-23cos α|=4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π3. 当α=5π6时,|AB |取得最大值,最大值为4.【点评】(1)过定点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线参数方程的标准式为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α(t 为参数),t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0,y 0)的数量,即|t |=|PP 0|时为距离.使用该式时直线上任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2,则|P 1P 2|=|t 1-t 2|,P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1+t 2).(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+at ,y =y 0+bt(t 为参数),当a 2+b 2≠1时,应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.考点3 参数方程与极坐标方程的综合问题例3在直角坐标系xOy 中,直线l 过点P (-4,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是4ρ2sin 2θ+ρ2cos 2θ-4=0.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于不同的两点A ,B ,当|PA|·|PB|最大时,求出直线l 的直角坐标方程.【解析】(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-4+tcos α,y =tsin α(t 为参数),把⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ代入曲线C 的极坐标方程可得直角坐标方程为x 24+y 2=1.(2)设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程可得(4sin 2α+cos 2α)t 2-(8cos α)t +12=0,因为有两个交点,所以Δ=64cos 2α-48(4sin 2α+cos 2α)>0, 解得0≤sin 2α<113,∵|PA|·|PB|=|t 1t 2|=124sin 2α+cos 2α=123sin 2α+1, ∴当sin α=0时,|PA|·|PB|最大,此时k =tan α=0, 所以直线l 的直角坐标方程为y =0.方法总结 【p 169】1.选取参数时的一般原则是:(1)x ,y 与参数的关系较明显,并列出关系式;(2)当参数取一值时,可唯一确定x ,y 的值;(3)在研究与时间有关的运动物体时,常选时间作为参数;在研究旋转物体时,常选用旋转角作为参数;此外,也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.2.求曲线的参数方程常常分成以下几步:(1)建立直角坐标系,在曲线上设任意一点P (x ,y );(2)选择适当的参数;(3)找出x ,y 与参数的关系,列出解析式;(4)证明(常常省略).3.根据直线的参数方程标准式中t 的几何意义,有如下常用结论:(1)若M 1,M 2为l 上任意两点,M 1,M 2对应t 的值分别为t 1,t 2,则|M 1M 2|=|t 1-t 2|;(2)若M 0为线段M 1M 2的中点,则有t 1+t 2=0;(3)若线段M 1M 2的中点为M ,则M 0M =t M =t 1+t 22.一般地,若点P 分线段M 1M 2所成的比为λ,则t P =t 1+λt 21+λ.4.直线的参数方程的一般式⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+at ,y =y 0+bt (t 为参数),是过点M 0(x 0,y 0),斜率为ba 的直线的参数方程.当且仅当a 2+b 2=1且b≥0时,才是标准方程,t 才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+at ,y =y 0+bt 化为标准方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0±|a|a 2+b 2t′,y =y 0+|b|a 2+b2t′(t′∈R ),式中“±”号,当a ,b 同号时取正;当a ,b 异号时取负.5.参数方程与普通方程互化时,要注意:(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程;(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小;(3)把普通方程化为参数方程时,由于参数选择的不同而不同,参数的选择是由具体的问题来决定的.6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标,将问题转化为三角函数问题求解.7.在直线与圆和圆锥曲线位置关系问题中,涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解.8.在求某些动点的轨迹方程时,直接寻找x ,y 的关系困难,甚至找不出时,可以通过引入参数,建立动点的参数方程后求解.走进高考 【p 170】1.(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos θ,y =sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a +4t ,y =1-t (t 为参数).(1)若a =-1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17,求a . 【解析】(1)曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1.当a =-1时,直线l 的普通方程为x +4y -3=0,由⎩⎪⎨⎪⎧x +4y -3=0,x 29+y 2=1, 解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =0或⎩⎪⎨⎪⎧x =-2125,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫-2125,2425. (2)直线l 的普通方程为x +4y -a -4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离为d =|3cos θ+4sin θ-a -4|17.当a ≥-4时,d 的最大值为a +917.由题设得a +917=17,所以a =8;当a <-4时,d 的最大值为-a +117. 由题设得-a +117=17,所以a =-16.综上,a =8或a =-16.2.(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中,⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ(θ为参数),过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 【解析】(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1. 当α=π2时,l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时,记tan α=k ,则l 的方程为y =kx - 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21+k 2<1,解得k <-1或k >1,即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,3π4.综上,α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t cos α,y =-2+t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数,π4<α<3π4.设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P ,则t P =t A +t B2,且t A ,t B 满足t 2-22t sin α+1=0.于是t A +t B =22sin α,t P =2sin α.又点P 的坐标(x ,y )满足⎩⎨⎧x =t P cos α,y =-2+t P sin α.所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =22sin 2α,y =-22-22cos 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数,π4<α<3π4. 考点集训 【p 278】A 组题1.求直线⎩⎪⎨⎪⎧x =1-12t ,y =32t (t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x =cos θ,y =3sin θ(θ为参数)所截得的弦长.【解析】直线方程可化为3x +y -3=0, 曲线方程可化为x 2+y 23=1.由⎩⎪⎨⎪⎧y =-3x +3,x 2+y 23=1,得x 2-x =0,∴x =0或x =1.可得交点为A (0,3),B (1,0). ∴AB =1+3=2. ∴所截得的弦长为2.2.直线⎩⎪⎨⎪⎧x =4+at ,y =bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x =2+3cos θ,y =3sin θ(θ为参数)相切,求切线的倾斜角.【解析】直线的普通方程为bx -ay -4b =0,圆的普通方程为(x -2)2+y 2=3,直线与圆相切,则圆心(2,0)到直线的距离为3,从而有3=|2b -a ·0-4b |a 2+b2,即3a 2+3b 2=4b 2,∴b =±3a ,而直线的倾斜角的正切值为tan α=b a,∴tan α=±3,因此切线的倾斜角为π3或2π3. 3.已知直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程:⎩⎪⎨⎪⎧x =22t -2,y =22t(t 为参数),以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程.【解析】∵直线l 的直角坐标方程为x -y +2=0.∴原点到直线的距离r =22=1. ∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ=1.4.在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t -1t,y =t +1t (t 为参数),l与C 相交于A ,B 两点,求AB 的长.【解析】直线l 的极坐标方程ρ(sin θ-3cos θ)=0化为直角坐标方程为3x -y =0,曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =t -1t,y =t +1t两式经过平方相减,化为普通方程为y 2-x 2=4,联立⎩⎪⎨⎪⎧3x -y =0,y 2-x 2=4,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-22,y =-322或⎩⎪⎨⎪⎧x =22,y =322. 所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,-322,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22,322. 所以|AB |=⎝ ⎛⎭⎪⎫-22-222+⎝ ⎛⎭⎪⎫-322-3222=2 5.5.已知曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =-4+cos t ,y =3+sin t (t 为参数),C 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =8cos θ,y =3sin θ(θ为参数). (1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C 1上的点P 对应的参数为t =π2,Q 为C 2上的动点,求PQ 中点M 到直线C 3:⎩⎪⎨⎪⎧x =3+2t ,y =-2+t (t 为参数)距离的最小值. 【解析】(1)C 1:(x +4)2+(y -3)2=1,C 2:x 264+y 29=1,C 1为圆心是(-4,3),半径是1的圆,C 2为中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)当t =π2时,P (-4,4),Q (8cos θ,3sin θ),故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2+4cos θ,2+32sin θ, C 3为直线x -2y -7=0, M 到C 3的距离d =55|4cos θ-3sin θ-13|=55|-5sin(θ+φ)-13|, 从而当cos θ=45,sin θ=-35时,d 取得最小值855.6.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t cos α,y =t sin α(t 为参数),以O为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为9ρ2cos 2θ+16ρ2sin 2θ=144,且直线l 与曲线C 交于P ,Q 两点.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 恒过的定点A 的坐标; (2)在(1)的条件下,若||AP ·||AQ =9,求直线l 的普通方程.【解析】(1)因为x =ρcos θ,y =ρsin θ,所以C :x 216+y 29=1.直线l 恒过的定点为A (2,0).(2)把直线l 的方程代入曲线C 的直角坐标方程中得:(9+7sin 2α)t 2+36t cos α-9×12=0.由t 的几何意义知|AP |=|t 1|,|AQ |=|t 2|.因为点A 在椭圆内,这个方程必有两个实根, 所以t 1t 2=-36×39+7sin 2α,因为||AP ·||AQ =||t 1t 2=9,即36×39+7sin 2α=9, 所以sin 2α=37,因为α∈(0,π),所以tan α=±32,因此,直线l 的方程为y =±32(x -2). B 组题1.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2=123cos 2θ+4sin 2θ,曲线C 1经过坐标变换⎩⎨⎧x =2x ′,y =3y ′得到曲线C 2,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+22t ,y =22t (t 为参数,t ∈R ).(1)求直线l 的普通方程和曲线C 1的直角坐标方程; (2)若P 为曲线C 2上的点,求点P 到直线l 的距离的最大值.【解析】(1)直线l 的普通方程为x -y -2=0,曲线C 1的直角坐标方程为3x 2+4y 2=12,即x 24+y 23=1. (2)由题意知,曲线C 2的方程为x ′2+y ′2=1,其圆心C 2(0,0),半径r =1, 所以圆心C 2到直线l 的距离d =22=2,所以点P 到直线l 的距离的最大值为d +1=2+1.2.已知曲线C :⎩⎪⎨⎪⎧x =8k 1+k 2,y =2(1-k 2)1+k2(k 为参数)和直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t cos θ,y =1+t sin θ(t 为参数).(1)将曲线C 的方程化为普通方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且P (2,1)为弦AB 的中点,求弦AB 所在直线的方程.【解析】(1)由y =2(1-k 2)1+k 2,得y 2=-1+21+k2,即y 2+1=21+k2. 又x =8k 1+k 2,所以k =x 2y +4,代入8k1+k2=x ,得8×x2y +41+⎝⎛⎭⎪⎫x 2y +42=x ,整理得x 216+y 24=1,即曲线C 的普通方程为x 216+y 24=1.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t cos θy =1+t sin θ代入x 216+y 24=1,整理得(4sin 2θ+cos 2θ)t 2+(4cos θ+8sin θ)t -8=0. 由P 为AB 的中点,得4cos θ+8sin θ4sin 2θ+cos 2θ=0,所以cos θ+2sin θ=0,即tan θ=-12,故直线AB :y -1=-12(x -2),即x +2y -4=0.所以所求直线的方程为x +2y -4=0.3.将圆x 2+y 2=1上每个点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标变为原来的3倍,得曲线C ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为:ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4=32,且直线l 在直角坐标系中与x ,y 轴分别交于A ,B 两点. (1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(2)问在曲线C 上是否存在点P ,使得△ABP 的面积S △ABP =3,若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)曲线C :x 216+y 29=1,故曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos αy =3sin α(α为参数),直线l 的普通方程为:x +y -6=0.(2)设曲线C 上点P (4cos α,3sin α),点P 到直线l 的距离为d ,则d =||4cos α+3sin α-62=||5sin (α+φ)-62≥22, 故S ΔABP ≥12×62×22=3,当sin(α+φ)=1时取等号,即sin α=35,cos α=45,此时P ⎝⎛⎭⎪⎫165,95. 4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a +a cos β,y =a sin β(a >0,β为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π6=32.(1)若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为1,求实数a 的值; (2)若A ,B 为曲线C 上的两点,且∠AOB =π3,求△OAB 的周长的最大值.【解析】(1)曲线C 是以()a ,0为圆心,以a 为半径的圆; 直线l 的直角坐标方程为x +3y -3=0. 若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为1,则有||a -32=a +1,解得a =13.故所求实数a 的值为13.(2)由题意,曲线C 的极坐标方程为ρ=2a cos θ,θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-π2,π2,设A 的极角为θ,B 的极角为θ+π3,则:||OA =||2a cos θ,||OB =⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π3, 由正弦定理得:||AB sinπ3=2a ,所以||AB =3a ,所以△ABO 的周长为C △ABO =||OA +||OB +||AB =a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3+2||cos θ+2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3, 而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3+cos θ=-32sin θ+32cos θ =-3sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π3≤3,所以当θ=-π6时,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3+cos θ取得最大值 3.所以△OAB 的周长的最大值为33a .。

名师导学高考数学总复习第十一章坐标系与参数方程第73讲坐标系练习理含解析新人教A版选修44

名师导学高考数学总复习第十一章坐标系与参数方程第73讲坐标系练习理含解析新人教A版选修44

名师导学高考数学总复习第十一章坐标系与参数方程第73讲坐标系练习理含解析新人教A版选修44 知识体系【p165】第73讲坐标系夯实基础【p165】【学习目标】1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.【基础检测】1.在同一坐标系中,将曲线y =3sin 2x 变为曲线y′=sin x′的伸缩变换是( ) A .⎩⎪⎨⎪⎧x =2x′y =13y′B .⎩⎪⎨⎪⎧x′=2x y′=13yC .⎩⎪⎨⎪⎧x =2x′y =3y′D .⎩⎪⎨⎪⎧x′=2x y′=3y 【解析】将曲线y =3sin 2x 变为曲线y′=sin x′,横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的13倍,将曲线y =3sin 2x 变为曲线y′=sin x′的伸缩变换是:⎩⎪⎨⎪⎧x′=2x ,y′=13y.【答案】B2.化极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0为直角坐标方程为( )A .x 2+y 2=0或y =1B .x =1C .x 2+y 2=0或x =1D .y =1【解析】由题得ρ(ρcos θ-1)=0,∴ρ=0或ρcos θ=1, ∴x 2+y 2=0或x =1. 【答案】C3.圆ρ=r 与圆ρ=2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )A .2ρ(sin θ+cos θ)=rB .2ρ(sin θ+cos θ)=-rC .2ρ(sin θ+cos θ)=rD .2ρ(sin θ+cos θ)=-r【解析】圆ρ=r 的直角坐标方程为:x 2+y 2=r 2,圆ρ=2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4(r >0)的直角坐标方程为x 2+y 2-2rx -2ry =0,∴圆ρ=r 与圆ρ=2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4(r >0)的公共弦所在直线的方程为2x +2y =r ,即圆ρ=r 与圆ρ=2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4(r >0)的公共弦所在直线的方程为2ρ(sin θ+cos θ)=r.【答案】C4.若直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=32,曲线C :ρ=1上的点到直线l 的距离为d ,则d 的最大值为________.【解析】直线的直角坐标方程为x +y -6=0,曲线C 的方程为x 2+y 2=1,为圆;d 的最大值为圆心到直线的距离加半径,即为d max =|0+0-6|2+1=32+1.【答案】32+15.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cos θ,曲线C 2的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R ),曲线C 1、曲线C 2的交点为A ,B ,则弦AB 的长为________.【解析】由ρ2=x 2+y 2,tan θ=yx,将曲线C 1与C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程为C 1:x 2+y 2=6x ,即(x -3)2+y 2=9,故C 1为圆心为(3,0),半径为3的圆,C 2:θ=π4,即y =x ,表示过原点倾斜角为π4的直线,由⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,x 2+y 2=6x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=0,y 1=0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2=3,y 2=3,所以|AB |=3 2. 【答案】3 2 【知识要点】1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x ,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:__⎩⎪⎨⎪⎧x′=λx(λ>0)y′=μy(μ>0)__的作用下,点P(x ,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点O ,自点O 引一条射线Ox ,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系.其中,点O 称为极点,射线Ox 称为极轴.设M 是平面上任意一点,ρ表示OM 的长度,θ表示以射线Ox 为始边、射线OM 为终边所成的角.那么,有序数对__(ρ,θ)__称为点M 的极坐标.显然,每一个有序实数对(ρ,θ)决定一个点的位置.其中,ρ称为点M 的__极径__,θ称为点M 的__极角__.由极径的意义可知ρ≥0,当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系,我们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角θ可取任意角.3.坐标之间的互化点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图).平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为(x ,y)和(ρ,θ),则由三角函数的定义可以得到如下两组公式:__⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θy =ρsin θ__,__⎩⎪⎨⎪⎧ρ2=x 2+y 2tan θ=y x (x≠0)__. 通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取ρ≥0,0≤θ<2π.4.直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程:(2)一般位置的直线的极坐标方程:若直线l经过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,直线l的极坐标方程为:__ρsin(α-θ)=ρ0sin(α-θ0)__.5.半径为r的圆的极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐标方程:(2)一般位置圆的极坐标方程:若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的极坐标方程是ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ20-r2=0.典例剖析【p166】考点1平面直角坐标系下图形的伸缩变换例1将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C 上的点(x ,y ),依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧x =x 1,y =2y 1. 由x 21+y 21=1得x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22=1,即曲线C 的方程为x 2+y24=1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos t ,y =2sin t (t 为参数).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 24=1,2x +y -2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =0,或⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =2.不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,所求直线的斜率为k =12,于是所求直线方程为y -1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 即ρ=34sin θ-2cos θ.【点评】(1)解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;二是明确变换前的P (x ,y )与变换后的点P′(x′,y′)的坐标关系,利用方程思想求解.(2)求交点坐标,得直线方程,最后化为极坐标方程,其实质是将x =ρcos θ,y =ρsin θ 代入转化.考点2 极坐标与直角坐标的互化例2以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π3=3,曲线C 的极坐标方程为ρ=4acos θ(a>1). (1)请分别写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程;(2)已知直线l 与曲线C 交于P ,Q 两点,设M ()0,-23,且|PQ|2=|MP|·|MQ|,求实数a 的值.【解析】(1)直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3=3,所以12ρcos θ-32ρsin θ=3,化为直角坐标方程12x -32y =3,即x -3y -6=0.曲线C 的极坐标方程为ρ=4acos θ,所以ρ2=4aρcos θ, 化为直角坐标方程x 2+y 2=4ax ,即x 2+y 2-4ax =0. (2)因为点M (0,-23)在直线l 上,所以可取直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =32t ,y =-23+12t(t 为参数).设点P ,Q 分别对应参数t 1,t 2,则|MP|=|t 1|,|MQ|=|t 2|,|PQ|=|t 1-t 2|, 将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程,并化简得t 2-23(1+a )t +12=0. 因为a>1,所以Δ=[23(1+a )]2-4×12=12[(1+a )2-4]>0. 且t 1+t 2=23(1+a ),t 1t 2=12, 因为|PQ|2=|MP|·|MQ|,所以|t 1-t 2|2=|t 1t 2|=t 1t 2,所以(t 1+t 2)2-4t 1t 2=t 1t 2,即(t 1+t 2)2=5t 1t 2, 则有(1+a )2=5,得a =5-1或a =-1- 5.因为a>1,所以a =5-1.【点评】(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式:x =ρcos θ,y =ρsin θ,ρ2=x 2+y 2,tan θ=y x(x≠0).(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,注意ρ,θ的取值范围及其影响;善于对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使用;灵活运用代入法和平方法等技巧. 考点3 极坐标方程的应用例3在平面直角坐标系中,圆C 的方程为:x 2+y 2-23x -2y -1=0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,过极点的直线l 过点C.(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程;(2)若直线l 绕极点按逆时针方向旋转π6得l′,求l′被圆截得的弦长.【解析】(1)由x 2+y 2-23x -2y -1=0得圆C 的极坐标方程ρ2-23ρcos θ-2ρsin θ-1=0, 圆C 的圆心C 的直角坐标为(3,1),tan θ=33,所以直线l 的方程为θ=π6(ρ∈R ), (2)由题意可知直线l ′的方程为θ=π6+π6=π3(ρ∈R ),设圆C 与l ′的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫ρ1,π3,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2,π3, ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2-23ρcos θ-2ρsin θ-1=0,θ=π3,得:ρ2-23ρ-1=0, 则⎩⎨⎧ρ1+ρ2=23,ρ1ρ2=-1,|AB |=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=4, 直线l ′被圆截得的弦长为4.【点评】(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程;(2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性.方法总结 【p 167】1.点M (ρ,θ)的极坐标通式是(ρ,θ+2k π)或(-ρ,θ+2k π+π)(k ∈Z ).如果限定ρ>0,0≤θ<2π或-π<θ≤π,那么除极点外,平面内的点和极坐标(ρ,θ)一一对应.2.极坐标和直角坐标的互化公式是⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2=x 2+y 2,tan θ=yx (x ≠0).这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用:(1)原点与极点重合;(2)x 轴正半轴与极轴重合;(3)长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中,需注意等价性,特别是两边乘以ρn时,方程增了一个n 重解ρ=0,要判断它是否是方程的解,若不是要去掉该解.3.极坐标方程的应用及求法(1)合理建立极坐标系,使所求曲线方程尽量简单.(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式,把问题转化为熟悉的知识解决问题.(3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出关于极坐标(ρ,θ)的方程是求极坐标系曲线方程的法宝.(4)极坐标系内点的对称关系:①点P (ρ,θ)关于极点的对称点为P ′(ρ,θ±π);②点P (ρ,θ)关于极轴所在直线的对称点为P ′(ρ,-θ);③点P (ρ,θ)关于直线θ=π2的对称点为P ′(ρ,π-θ);④点P (ρ,θ)关于直线θ=π4的对称点为P ′⎝⎛⎭⎪⎫ρ,π2-θ.4.极坐标系下A (ρ1,θ1),B (ρ2,θ2)间的距离公式|AB |=ρ21+ρ22-2ρ1ρ2cos (θ1-θ2).走进高考 【p 167】1.(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y =k |x |+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.(1)求C 2的直角坐标方程;(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程.【解析】(1)由x =ρcos θ,y =ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x +1)2+y 2=4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线. 设y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2, 所以|-k +2|k 2+1=2,故k =-43或k =0. 经检验,当k =0时,l 1与C 2没有公共点;当k =-43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2, 所以|k +2|k 2+1=2,故k =0或k =43.经检验,当k =0时,l 1与C 2没有公共点;当k =43时,l 2与C 2没有公共点.综上,所求C 1的方程为y =-43|x |+2.2.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM |·|OP |=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2,π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值.【解析】(1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0), 由题设知|OP |=ρ,|OM |=ρ1=4cos θ.由|OM |·|OP |=16得C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0),由题设知|OA |=2,ρB =4cos α,于是△OAB 面积S =12|OA |·ρB ·sin∠AOB=4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π3=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π3-32 ≤2+ 3.当α=-π12时,S 取得最大值2+ 3.考点集训 【p 276】A 组题1.求双曲线C :x 2-y 264=1经过φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标.【解析】设曲线C ′上任意一点P ′(x ′,y ′), 将⎩⎪⎨⎪⎧x =13x ′,y =2y ′代入x 2-y 264=1,得x ′29-4y ′264=1,化简得x ′29-y ′216=1,即x 29-y 216=1为曲线C ′的方程. 可见仍是双曲线,则焦点为F 1(-5,0),F 2(5,0).2.已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=2,点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22,7π4,求点A 到直线l 的距离.【解析】依题可知直线l :2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=2和点A ⎝⎛⎭⎪⎫22,7π4的直角坐标表示法为l :x -y +1=0和A (2,-2),所以点A 到直线l 的距离为d =|2-(-2)+1|12+(-1)2=522. 3.在极坐标系中,已知圆ρ=3cos θ与直线2ρcos θ+4ρsin θ+a =0相切,求实数a 的值.【解析】圆ρ=3cos θ的直角坐标方程为x 2+y 2=3x ,即⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+y 2=94,直线2ρcos θ+4ρsin θ+a =0的直角坐标方程为2x +4y +a =0.因为圆与直线相切,所以|2×32+4×0+a |22+42=32, 解得a =-3±3 5.4.在极坐标系中,已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π4,圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=-32与极轴的交点,求圆C 的直角坐标方程.【解析】在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=-32中,令θ=0,得ρ=1,所以圆C 的圆心坐标为(1,0). 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π4, 所以圆C 的半径PC =(2)2+12-2×1×2cos π4=1,于是圆C 过极点,所以圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ. 则ρ2=2ρcos θ,∴x 2+y 2=2x , 故圆C 的直角坐标方程为(x -1)2+y 2=1.5.在极坐标系中,P 是曲线C 1:ρ=12sin θ上的动点,Q 是曲线C 2:ρ=12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π6上的动点,求|PQ |的最大值.【解析】将曲线C 1的极坐标方程化为直角坐标方程: ∵ρ=12sin θ,∴ρ2=12ρsin θ,∴x 2+y 2-12y =0, 即x 2+(y -6)2=36.将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程: ∵ρ=12cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π6, ∴ρ2=12ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6+sin θsin π6,∴x 2+y 2-63x -6y =0,∴(x -33)2+(y -3)2=36,∴|PQ |max =6+6+(33)2+32=18.6.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,θ∈[0,2π).(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)在曲线C 上求一点D ,使它到直线l :y =-3x +5的距离最短,并求出点D 的直角坐标.【解析】(1)由ρ=2sin θ,θ∈[0,2π),可得ρ2=2ρsin θ. 因为ρ2=x 2+y 2,ρsin θ=y ,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y -1)2=1.(2)因为曲线C :x 2+(y -1)2=1是以C (0,1)为圆心、1为半径的圆,易知曲线C 与直线l 相离.设点D (x 0,y 0),且点D 到直线l :y =-3x +5的距离最短, 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l :y =-3x +5平行. 即直线CD 与l 的斜率的乘积等于-1,即y 0-1x 0×(-3)=-1,又x 20+(y 0-1)2=1, 可得x 0=-32(舍去)或x 0=32,所以y 0=32,即点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32,32. B 组题1.已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 【解析】(1)由ρ=2知ρ2=4,所以x 2+y 2=4. 因为ρ2-22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π4=2,所以ρ2-22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4+sin θsin π4=2.所以x 2+y 2-2x -2y -2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x +y =1. 化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1, 即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4=22.2.在极坐标系中,已知直线l 过点A (1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3,求:(1)直线l 的极坐标方程; (2)极点到该直线的距离.【解析】(1)如图,由正弦定理得ρsin 2π3=1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-θ. 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-θ=sin 2π3=32,∴直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-θ=32.(2)作OH ⊥l ,垂足为H ,在△OHA 中,OA =1,∠OHA =π2,∠OAH =π3,则OH =OA sin π3=32,即极点到该直线的距离等于32. 3.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+2cos φ,y =2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α(0<α<π,ρ∈R ),点A 是曲线C 3与C 1的交点,点B 是曲线C 3与C 2的交点,且A ,B 均异于原点O ,且|AB |=42,求实数α的值.【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x =2+2cos φ,y =2sin φ消去参数φ可得C 1的普通方程为(x -2)2+y 2=4,∵ρ=4sin θ,∴ρ2=4ρsin θ,由⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θy =ρsin θ,得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+(y -2)2=4. (2)由(1)得曲线C 1:(x -2)2+y 2=4,其极坐标方程为ρ=4cos θ, 由题意设A (ρ1,α),B (ρ2,α),则|AB |=|ρ1-ρ2|=4|sin α-cos α| =42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=42, ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=±1, ∴α-π4=π2+k π(k ∈Z ),∵0<α<π,∴α=3π4.4.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2=21+sin 2θ,直线l 的极坐标方程为ρ=42sin θ+cos θ. (1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程;(2)设Q 为曲线C 1上一动点,求Q 点到直线l 距离的最小值. 【解析】(1)C 1:x 2+2y 2=2,l :2y +x =4. (2)设Q (2cos θ,sin θ),则点Q 到直线l 的距离d =|2sin θ+2cos θ-4|3=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4-43≥23=233, 当且仅当θ+π4=2k π+π2,即θ=2k π+π4(k ∈Z )时,Q 点到直线l 距离的最小值为233.。

《坐标系与参数方程》讲义.docx

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选修4-4极坐标系与参数方程一、极坐标系与极坐标1、极坐标系的概念:在平面内取一个定点o,叫做极点;自极点0引一条射线Ox 叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。

2、点M的极坐标:设M是平面内一点,极点0与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为以以极轴Ox为始边,射线0M为终边的ZXOM叫做点M的极角,记为0。

有序数对___________ 叫做点M的极坐标,记为 __________ ・极点0的坐标为(0,0)(& G R)・3、若p<0,则- /9>0,规定点(-Q, 0)与点(Q, 0)关于极点对称,即(-Q, &)与(Q,兀+ &)表示同一点。

女口果规定°>0,03&5 2兀,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(/?,&)表示;同吋,极坐标(°,&)表示的点也是唯一确定的。

4、 _________________________________________________ 极坐标与直角坐标的互化:, ________________________________________________5、圆的极坐标方程:在极坐标系中,以极点为圆心,r为半径的圆的极坐标方程是___________________在极坐标系中,以C(a,O) (a>0)为圆心,a为半径的圆的极坐标方程__________________ 在极坐标系中,以C(a,彳)@>0)为圆心,a为半径的圆的极坐标方程是 ________________ 6、直线的极坐标方程在极坐标系屮,& = 口(°»0)表示以极点为起点的一条射线( )在极坐标系中,过点A(a,b)(a>0),且垂直于极轴的直线I的极坐标方程是_____________________________________________________________________________ ・在极坐标系中,过点A(a"),且平行于极轴的直线I的极坐标方程是 ____________________ 二、参数方程1、参数方程的概念:在平面直角坐标系屮,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数/X = f(t),并且对于t的每一个允许值,由这个方程所确定的点M(x,y) 〔y = g(t),都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t 叫做参变数,简称参数。

2020届高考数学二轮教师用书:第十一章第1节 选修4-4 坐标系与参数方程 Word版含解析

2020届高考数学二轮教师用书:第十一章第1节 选修4-4 坐标系与参数方程 Word版含解析

第1节 选修4-4 坐标系与参数方程1.极坐标系与点的极坐标9(1)极坐标系:如图1所示,在平面内取一个定点O (极点),自极点O 引一条射线Ox (极轴);再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取 逆时针 方向),这样就建立了一个极坐标系.图1(2)极坐标:平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的 极角 .2.极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x ,y )极坐标(ρ,θ)互化公式 ⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y = ρsin θρ2= x 2+y 2 tan θ=yx(x ≠0)3.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆ρ=r (0≤θ<2π)圆心为(r,0),半径为r 的圆ρ=2r cos θ ⎝⎛⎭⎫-π2≤θ≤π24.直线的极坐标方程(1)直线l 过极点,且极轴与此直线的角为α,则直线l 的极坐标方程是 θ=α (ρ∈R ). (2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴,则直线l 的极坐标方程为ρcos θ=a ⎝⎛⎭⎫-π2<θ<π2. (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ,π2且平行于极轴,则直线l 的极坐标方程为 ρsin_θ=b (0<θ<π). 5.曲线的参数方程一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x =f (t ),y =g (t )并且对于t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做 参变数 ,简称 参数 .6.常见曲线的参数方程和普通方程温馨提示:在直线的参数方程中,参数t 的系数的平方和为1时,t 才有几何意义且几何意义为:|t |是直线上任一点M (x ,y )到M 0(x 0,y 0)的距离.[思考辨析]判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”: (1)若点P 的直角坐标为(1,-3),则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2,-π3.( ) (2)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (3)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( )(4)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =f (t ),y =g (t )中的x ,y 都是参数t 的函数.( )(5)方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =1+2sin θ表示以点(0,1)为圆心,以2为半径的圆.( )答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√ [小题查验]1.(教材改编)在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫1,π2 B.⎝⎛⎭⎫1,-π2 C .(1,0)D .(1,π)解析:B [方法一 由ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为x 2+y 2=-2y ,化成标准方程为x 2+(y +1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1,-π2. 方法二 由ρ=-2sin θ=2cos ⎝⎛⎭⎫θ+π2,知圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫1,-π2,故选B.] 2.若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+3t ,y =2-4t ,(t 为参数),则直线l 的倾斜角的余弦值为( )A.45 B .-45C.35D .-35解析:D [由⎩⎪⎨⎪⎧x =1+3t ,y =2-4t (t 为参数)得直线方程为4x +3y -10=0,且斜率为k =-43,令直线l 的倾斜角为α,则tan α=-43,所以cos α=-35.]3.在极坐标系中,过点(1,0)且与极轴垂直的直线方程是( ) A .ρ=cos θ B .ρ=sin θ C .ρcos θ=1D .ρsin θ=1解析:C [由过点(1,0)与x 轴垂直的直线方程为x =1可知,过点(1,0)且与极轴垂直的直线方程为ρcos θ=1,选C.]4.在平面直角坐标系中,曲线C :⎩⎨⎧x =2+22t ,y =1+22t (t 为参数)的普通方程为 ________ .解析:由x =2+22t ,且y =1+22t , 消去t ,得x -y =1, 即x -y -1=0. 答案:x -y -1=05.直线⎩⎪⎨⎪⎧x =4+at ,y =bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x =2+3cos θ,y =3sin θ(θ为参数)相切,则切线的倾斜角为 ________ .解析:直线的普通方程为bx -ay -4b =0,圆的普通方程为(x -2)2+y 2=3,因为直线与圆相切,则圆心(2,0)到直线的距离为3,从而有3=|2b -a ·0-4b |a 2+b2,即3a 2+3b 2=4b 2,所以b =±3a ,而直线的倾斜角α的正切值tan α=b a ,所以tan α=±3,因此切线的倾斜角为π3或2π3.答案:π3或2π3考点一 极坐标与直角坐标的互化(师生共研)[典例] 在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM |·|OP |=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2,π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值. [解] (1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP |=ρ,|OM |=ρ1=4cos θ.由|OM |·|OP |=16得C 2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0),由题设知|OA |=2,ρB =4cos α,于是△OAB 面积 S =12|OA |·ρB ·sin ∠AOB =4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α-π3=4⎪⎪⎪⎪cos αsin ⎝⎛⎭⎫α-π3=2|cos αsin α-3cos 2α|=2⎪⎪⎪⎪12sin 2α-3cos 2α2-32 =2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α-π3-32≤2+ 3.当α=-π12时,S 取得最大值2+ 3.所以△OAB 面积的最大值为2+ 3.1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点. (2)以x 轴的非负半轴为极轴. (3)两种坐标系规定相同的长度单位. 2.极坐标与直角坐标互化的策略(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只要运用公式x =ρcos θ及y =ρsin θ直接代入并化简即可;(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换.[跟踪训练](2019·合肥检测)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ.(1)求出圆C 的直角坐标方程;(2)已知圆C 与x 轴相交于A ,B 两点,直线l :y =2x 关于点M (0,m )(m ≠0)对称的直线为l ′.若直线l ′上存在点P 使得∠APB =90°,求实数m 的最大值.解:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,即x 2+y 2-4x =0,即圆C 的标准方程为(x -2)2+y 2=4.(2)直线l :y =2x 关于点M (0,m )的对称直线l ′的方程为y =2x +2m ,而AB 为圆C 的直径,故直线l ′上存在点P 使得∠APB =90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点,故|4+2m |5≤2,解得-2-5≤m ≤5-2, 所以实数m 的最大值为5-2.考点二 极坐标方程的应用(师生共研)[典例] (2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y =k |x |+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.(1)求C 2的直角坐标方程;(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程.[解] (1)由x =ρcos θ,y =ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x +1)2+y 2=4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (-1,0),半径为2的圆.由题设知,C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.当l 1与C 2只有一个公共点时,点A 到l 1所在直线的距离为2,所以|-k +2|k 2+1=2,故k =-43或k =0.经检验,当k =0时,l 1与C 2没有公共点;当k =-43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时,点A 到l 2所在直线的距离为2,所以|k +2|k 2+1=2,故k =0或k =43,经检验,当k =0时,l 1与C 2没有公共点;当k =43时,l 2与C 2没有公共点.综上,所求C 1的方程为y =-43|x |+2.在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时,将极坐标方程化为直角坐标方程,有助于对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用.[跟踪训练](2019·全国Ⅱ卷)在极坐标系中,O 为极点,点M (ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C :ρ=4sin θ上,直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直,垂足为P .(1)当θ0=π3时,求ρ0及l 的极坐标方程;(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程. 解:(1)因为M (ρ0,θ0)在C 上,当θ0=π3时,ρ0=4sin π3=2 3.由已知得|OP |=|OA |cos π3=2.设Q (ρ,θ)为l 上除P 的任意一点,在Rt △OPQ 中,ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π3=|OP |=2. 经检验,点P ⎝⎛⎭⎫2,π3在曲线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π3=2上. 所以,l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π3=2. (2)设P (ρ,θ),在Rt △OAP 中,|OP |=|OA |cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ, 因为P 在线段OM 上,且AP ⊥OM ,故θ的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4,π2. 所以,P 点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈⎣⎡⎦⎤π4,π2.考点三 参数方程与普通方程的互化(师生共研)[典例] 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1,y =2t (t 为参数),曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2tan 2θy =2tan θ(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.[解] 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1,y =2t (t 为参数),由x =t +1得t =x -1,代入y =2t ,得到直线l 的普通方程为2x -y -2=0.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2tan 2θ ①y =2tan θ ②,由y =2tan θ,得tan θ=y 2,代入①得y 2=2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =2(x -1),y 2=2x ,得公共点的坐标为(2,2),⎝⎛⎭⎫12,-1.1.将参数方程化为普通方程,消参数常用代入法与加减消元法.2.把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,以及参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响.[跟踪训练]在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos θ,y =sin θ,(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a +4t ,y =1-t ,(t 为参数). (1)若a =-1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17,求a . 解:(1)曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1.当a =-1时,直线l 的普通方程为x +4y -3=0, 由⎩⎪⎨⎪⎧x +4y -3=0,x 29+y 2=1解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =0或⎩⎨⎧x =-2125,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),⎝⎛⎭⎫-2125,2425. (2)直线l 的普通方程为x +4y -a -4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离为 d =|3cos θ+4sin θ-a -4|17.当a ≥-4时,d 的最大值为a +917 .由题设知a +917=17,所以a =8; 当a <-4时,d 的最大值为-a +117.由题设得-a +117=17,所以a =-16. 综上,a =8或a =-16.考点四 参数方程的应用(师生共研) [典例] (2019·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1-t 21+t 2y =4t1+t2,(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+3ρsin θ+11=0.(1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.解:(1)曲线C 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1-t 21+t 2①y =4t1+t 2②由①2+⎝⎛⎭⎫②22得x 2+⎝⎛⎭⎫y 22=1,又∵-1<1-t 21+t 2≤1, ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x ≠-1).由⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θy =ρsin θ,得直线l 的直角坐标方程为2x +3y +11=0. (2)C 上的点(cos θ,2sin θ)到直线l 的距离d =|2cos θ+23sin θ+11|4+3=⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ+π6+117当sin ⎝⎛⎭⎫θ+π6=-1时,d min =7. 即C 上的点到l 距离的最小值为7.一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单了.[跟踪训练]在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos t ,y =1+a sin t (t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .解:(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2+(y -1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0,ρ=4cos θ.若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a =-1(舍去)或a =1.a =1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.所以a =1.1.(2020·太原市质检)已知曲线C 1:x +3y =3和C 2:⎩⎨⎧x =6cos φ,y =2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程;(2)设C 1与x ,y 轴交于M ,N 两点,且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1,C 2交于P ,Q 两点,求P ,Q 两点间的距离.解:(1)曲线C 1化为ρcos θ+3ρsin θ= 3. ∴ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π6=32. 曲线C 2化为x 26+y 22=1.(*)将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ+ρ22sin 2θ=1,即ρ2(cos 2θ+3sin 2θ)=6. ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2=61+2sin 2θ.(2)∵M (3,0),N (0,1),∴P ⎝⎛⎭⎫32,12,∴OP 的极坐标方程为θ=π6,把θ=π6代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π6=32得ρ1=1,P ⎝⎛⎭⎫1,π6. 把θ=π6代入ρ2=61+2sin 2θ得ρ2=2,Q ⎝⎛⎭⎫2,π6. ∴|PQ |=|ρ2-ρ1|=1, 即P ,Q 两点间的距离为1.2.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =4sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t cos α,y =2+t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.解:(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θy =4sin θ(θ为参数),∴x 24+y 216=1. 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t cos αy =2+t sin α(t 为参数)∴y -2x -1=tan α(α≠90°),即tan α·x -y +2-tan α=0,当α=90°时,x =1.综上:l :⎩⎪⎨⎪⎧tan α·x -y +2-tan α=0(α≠90°)x =1(α=90°).(2)当α=90°,点(1,2)不为中点,∴不成立.当α≠90°,把l 代入曲线C 中得:4x 2+[tan α·(x -1)+2]2=16, 化简得:(4+tan 2α)x 2+(4tan α-2tan 2α)x +tan 2α- 4tan α-12=0,∵点(1,2)为弦的中点,∴x 1+x 2=2,即2tan 2α-4tan α4+tan 2α=2,∴tan α=-2,∴直线l 的斜率k =-2.3.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1:ρcos θ=3,曲线C 2:ρ=4cos θ(0≤θ≤π2).(1)求C 1与C 2交点的极坐标;(2)设点Q 在C 2上,OQ →=23OP →,求动点P 的极坐标方程.解:(1)联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ=3,ρ=4cos θ,得cos θ=±32,∵0≤θ<π2,∴cos θ=32,∴θ=π6,∴ρ=23,∴所求交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫23,π6. (2)设P (ρ,θ),Q (ρ0,θ0)且ρ0=4cos θ0,θ0∈⎣⎡⎦⎤0,π2, 由已知OQ →=23OP ―→,得⎩⎪⎨⎪⎧ρ0=25ρ,θ0=θ,∴25ρ=4cos θ(θ∈[0,π2),故点P 的极坐标方程为ρ=10cos θ,θ∈[0,π2). 4.(2020·石家庄模拟)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =2t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求|AB |.解:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =2t 消去t 得y =2x ,把⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ代入y =2x ,得ρsin θ=2ρcos θ, ∴直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ. (2)∵ρ2=x 2+y 2,y =ρsin θ.∴曲线C 的方程可化为x 2+y 2+2y -3=0,即x 2+(y +1)2=4, 圆C 的圆心C (0,-1)到直线l 的距离d =55, ∴|AB |=24-d 2=2955.5.(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θy =sin θ,(θ为参数),过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.解:(1)根据⊙O 的参数方程,可得⊙O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1, 当α=π2时,直线l 与圆⊙O 交于两点.当α≠π2时,tan α=k设过点(0,-2)的直线为y =kx -2,要使直线与⊙O 相交于两点,则d =|-2|k 2+1<1.故k ∈(-∞,-1)∪(1,+∞) ∴α∈⎝⎛⎭⎫π4,3π4.(2)设P 点的坐标为(x ,y ),联立方程⎩⎨⎧x 2+y 2=1,y =kx -2,得(k 2+1)x 2-22kx +1=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=22k 2+1,x 1·x 2=1k 2+1,故x =x 1+x 22=2k k 2+1,y =2k 2k 2+1- 2.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k k 2+1,2k 2k 2+1-2.∵k =tan α,∴点P 的轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x =2tan α1+tan 2α,y =-21+tan 2α,⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫π4,π2∪⎝⎛⎭⎫π2,3π4.6.(2020·桂林联考)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,长度单位相同,建立极坐标系,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =y 0+t sin α(t 为参数,α为l 的倾斜角),曲线E 的极坐标方程为ρ=4sin θ,射线θ=β,θ=β+π6,θ=β-π6与曲线E 分别交于不同于极点的A ,B ,C 三点.(1)求证:|OB |+|OC |=3|OA |;(2)当β=π3时,直线l 过B ,C 两点,求y 0与α的值.解:(1)证明:依题意知,|OA |=4sin β, |OB |=4sin ⎝⎛⎭⎫β+π6, |OC |=4sin ⎝⎛⎭⎫β-π6, 则|OB |+|OC |=4sin ⎝⎛⎭⎫β+π6+4sin ⎝⎛⎭⎫β-π6 =43sin β=3|OA |.(2)当β=π3时,点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4sin π2,π2=⎝⎛⎭⎫4,π2, 点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4sin π6,π6=⎝⎛⎭⎫2,π6, 故B 、C 化为直角坐标为B (0,4),C (3,1), 所以直线l :y =-3x +4, ∴y 0=4,α=2π3.。

高中数学总复习专题74 坐标系与极坐标方程(解析版)

高中数学总复习专题74 坐标系与极坐标方程(解析版)

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题74坐标系与极坐标方程最新考纲1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.基础知识融会贯通1.平面直角坐标系设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=λ·x ,λ>0,y ′=μ·y ,μ>0的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ,自点O 引一条射线Ox ,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.点O 称为极点,射线Ox 称为极轴.平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定,极点的极坐标中,极径ρ=0,极角θ可取任意角.(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点,它的直角坐标为(x ,y ),极坐标为(ρ,θ).由图可知下面关系式成立:⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2=x 2+y 2,tan θ=y x(x ≠0),这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.常见曲线的极坐标方程重点难点突破【题型一】极坐标与直角坐标的互化【典型例题】曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化为直角坐标为( ) A .x 2+(y +2)2=4 B .x 2+(y ﹣2)2=4 C .(x ﹣2)2+y 2=4D .(x +2)2+y 2=4【解答】解:曲线的极坐标方程ρ=4sin θ 即 ρ2=4ρsin θ,即 x 2+y 2=4y , 化简为x 2+(y ﹣2)2=4, 故选:B .【再练一题】 点M 的直角坐标为(,﹣1)化为极坐标为( )A.(2,)B.(2,)C.(2,)D.(2,)【解答】解:∵点M的直角坐标为(,﹣1),∴ρ2,再根据此点位于第三象限,且tanθ,∴可取θ,故选:B.思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极点与原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合;③取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换.【题型二】求曲线的极坐标方程【典型例题】过点(4,0),与极轴垂直的直线的极坐标方程为()A.ρsinθ=4 B.ρ=4sinθC.ρcosθ=4 D.ρ=4cosθ【解答】解:因为过点(4,0),与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x=4,所以过点(4,0),与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcosθ=4,故选:C.【再练一题】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),直线m与直线l平行,且过坐标原点,圆C的参数方程为(φ为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线m和圆C的极坐标方程;(2)设直线m和圆C相交于点A、B两点,求△ABC的周长.【解答】解:(1)∵直线l的参数方程为(t为参数),∴直线l的斜率为1,∵直线m与直线l平行,且过坐标原点,∴直线m的直角坐标方程为y=x,∴直线m的极坐标方程为;∵圆C的参数方程为(φ为参数),∴圆C的普通方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,即x2+y2﹣2x﹣4y+4=0,∴圆C的极方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0;(2)把直线m的极坐标方程代入ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0中,得,则,ρ1ρ2=4,∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|,∴△ABC的周长为.思维升华求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.【题型三】极坐标方程的应用【典型例题】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y+1)2=3,以O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)判断:直线l与曲线C是否相交?若相交,请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.【解答】解:(1)由(x﹣1)2+(y+1)2=3,得x2+y2﹣2x+2y﹣1=0.∴ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0.即曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0;(2)把代入ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0,得.∵△0,∴方程有两不等实数根,则直线l与曲线C相交.且,ρ1ρ2=﹣1.∴弦长为.【再练一题】在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(t 为参数).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆C 2:ρ=4cos θ的圆心为C 2.(Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)过原点且与直线(t 为参数,0≤α<π)平行的直线C 3与C 2的交点为M ,N ,且△C 2MN 的面积为2,求α的值.【解答】解:(Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2+(y ﹣1)2=1, 故C 1是以(0,1)为圆心,1为半径的圆.将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ=0或ρ=2sin θ,而当θ=0时得ρ=0,故C 1的极坐标方程为ρ=2sin θ.(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α,与C 2的交点分别为M (cos α,α),N (0,α),,得|sin2α|=1(0≤α<π),得或.思维升华 极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极点与原点重合;②极轴与x 轴正半轴重合;③取相同的长度单位.(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时,应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的,如果限定ρ取正值,θ∈[0,2π),平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.基础知识训练1.把圆2sin ρθ=绕极点按顺时针方向旋转4π而得圆的极坐标方程为( ) A .2sin()4πρθ=− B .2cos()4πρθ=+C .2cos()4πρθ=−D .2sin()4πρθ=+【答案】D 【解析】因为圆2sin ρθ=的半径为1r =,圆心极坐标为(1,)2π,所以,将圆2sin ρθ=绕极点按顺时针方向旋转4π所得圆的圆心极坐标为(1,)4π,半径不变;因此,旋转后的圆的圆心直角坐标为()22,所以,所求圆的直角坐标方程为221x y ⎛⎛−+−= ⎝⎭⎝⎭,即220x y +=,化为极坐标方程可得2cos sin 0ρθθ−=, 整理得2sin()4πρθ=+.故选D2.在极坐标系中,圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是( ) A .,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭B .1,2π⎛⎫⎪⎝⎭C .()0,1D .()1,0【答案】B 【解析】圆2sin ρθ=化为22sin ρρθ=,222x y y +=,配方为22(1)1x y +−= ,因此圆心直角坐标为(0,1),可得圆心的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭故选:B3.在极坐标系中,4sin ρθ=表示的曲线是( ) A .双曲线 B .抛物线 C .椭圆 D .圆【答案】D 【解析】因为4sin ρθ=,即24sin ρρθ=,所以224yx y +=,因此原曲线为圆.故选D. 4.极坐标方程2sin 22ρθ=表示的曲线是( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线【答案】C 【解析】由2sin22ρθ=,得2sin cos 1ρθθ=,又由x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩,则xy=1,即1y x =,所以表示的曲线是双曲线.故选C.5.在极坐标系中,曲线1C :4cos()3πρθ=−上恰有3个不同的点到直线2C sin cos m θρθ+=的距离等于1,则m =( ) A .2 B .2或6 C .-6 D .-2或-6【答案】B 【解析】曲线1C 的直角坐标方程为()(2214x y −+=,曲线2C 的直角坐标方程为0x m +−=,由题意知直线与圆相交,且曲线1C 的圆心(到直线2C 的距离为1,1=,故2m =或6.故选B.6.在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,与圆交于两点,则的长为( ) A .B .1C .D .【答案】B 【解析】 把代入圆.所以|OA|=1. 故选:B7.在极坐标系中,曲线1C :4cos()3πρθ=−上恰有3个不同的点到直线2C sin cos m θρθ+=的距离等于1,则m =( ) A .2或6 B .2C .-6D .-2或-6【答案】A 【解析】224cos()(1)(43x y πρθ=−⇒−+=,圆心为1C ,半径为2,sin cos 0m x m θρθ+=⇒+−=,由题意可知:圆心1C 到直线2C 的距离为1,所以11+326m m =⇒−=⇒=或2m =,故本题选A.8.设点P 在曲线 sin 2ρθ=上,点Q 在曲线 2cos ρθ=−上,则PQ 的最小值为( ). A .2 B .1 C .3 D .0【答案】B 【解析】根据极坐标与直角坐标的互化公式,可得曲线sin 2ρθ=的直角坐标方程为2y =,曲线2cos ρθ=−,则22cos ρρθ=−,所以直角坐标方程为2220x y x ++=,即22(1)1x y ++=,表示圆心为(1,0)−,半径1r =的圆,则圆心到直线2y =的距离为2,所以PQ 的最小值为2211r −=−=,故选B . 9.在极坐标系中,直线sin cos 1ρθρθ−=被曲线ρ=截得的线段长为( )AB.2CD .2【答案】C 【解析】直线sin cos 1ρθρθ−=的直角坐标方程为1y x −=,即10x y −+=,ρ=化为22ρ=,直角坐标方程为222x y +=,圆心为原点,半径为r =圆心到直线10x y −+=的距离为2d ==,10x y −+=被圆222x y +=截得的弦长为==,故选C.10.在极坐标系中,点A 是曲线8sin ρθ=上一动点,以极点O 为中心,将点A 绕O 顺时针旋转90︒得到点B ,设点B 的轨迹为曲线C ,则曲线C 的极坐标方程为( ) A .8cos ρθ= B .8sin ρθ= C .8cos ρθ=− D .8sin ρθ=−【答案】A 【解析】设点(),B ρθ,则点,2A πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭,代入8sin ρθ=,得8sin 8cos 2πρθρθ⎛⎫=+⇒= ⎪⎝⎭.故选A. 11.在极坐标系中,设圆8:sin C ρθ=与直线 ():4l R πθρ=∈交于A B ,两点,则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为( )A .4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭B .4πρθ⎛⎫=−⎪⎝⎭C .4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D .4πρθ⎛⎫=−⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由题意,圆8:sin C ρθ=化为直角坐标方程,可得22(4)16x y +−=,直线():4l R πθρ=∈化为直角坐标方程,可得y x =,由直线与圆交于,A B 两点,把直线y x =代入圆22(4)16x y +−=,解得00x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩,所以以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为(2,2),半径为, 则圆的方程为22(2)(2)8x y −+−=,即22440x y x y +−−=,又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,代入可得24cos 4sin 0ρρθρθ−−=,即4cos 4sin 4θπρθθ⎛⎫=+= ⎝+⎪⎭,故选A . 12.在极坐标中,O 为极点,曲线C :=2cos ρθ上两点A B 、对应的极角分别为63,ππ,则AOB ∆的面积为A .4B .34C .2D .32【答案】A 【解析】依题意得:6A π⎫⎪⎭、1,3B π⎛⎫⎪⎝⎭,366AOB πππ∠=−=,所以111=sin 126224AOB S OA OB π∆⋅⋅=⋅=,故选:A 。

2020版高考数学大一轮复习第十一章坐标系与参数方程第69讲参数方程课件理新人教A版

2020版高考数学大一轮复习第十一章坐标系与参数方程第69讲参数方程课件理新人教A版

(2)曲线 C1 的极坐标为方程 θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中 0≤α≤π.
因此 A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2 3cos α, α),
所以 AB=|2sin α-2 3cos α|=4sinα-π3. 当 α=56π时,AB 取得最大值,最大值为 4.
θ+m, θ-m,
当 m 为参数时表示直线,当
θ 为参数时,表示的曲线为圆.( )
(3)直线
x=-2+tcos 30°, y=1+tsin 150°
(t 为参数)的倾斜角 α 为
30°.( )
(4)参
数方程
x=2cos y=5sin
θ, θ
θ为参数,且θ∈0,π2表示的
(2)l
的参数方程为xy==t-cos
α, 2+tsin
α
t为参数,π4<α<34π.
设 A,B,P 对应的参数分别为 tA,tB,tP,则 tP=tA+2 tB,
且 tA,tB 满足 t2-2 2tsin α+1=0.于是 tA+tB=2 2sin α, tP= 2sin α.
[递进题组] 1.[考法一]将下列参数方程化为普通方程.
x=1+3kk2, (1)y=16+k2k2
(k 为参数);
x=1-sin 2θ, (2)y=sin θ+cos θ
(θ 为参数).
解析 (1)两式相除,得 k=2yx,将其代入 x=1+3kk2得
y x=1+3·22yxx2, 化简得所求的普通方程是 4x2+y2-6y=0(y≠6). (2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ)得 y2=2- x.又 x=1-sin 2θ∈[0,2],得所求的普通方程 y2=2-x,x∈ [0,2].

高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十一章 第四节参数方程 理

高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十一章 第四节参数方程 理

第四节 参数方程知识梳理一、参数方程的定义一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x =f t ,y =g t ,(*) 并且对于t 的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普通方程.二、圆的参数方程 圆(x -x 0)2+(y -y 0)2=r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+r cos θ,y =y 0+r sin θ. (θ为参数)特别地,圆心在原点,半径为r 的圆x 2+y 2=r 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =r cos θ,y =r sin θ.(θ为参数)其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时,OM 0转过的角度. 三、椭圆的参数方程中心在原点O ,焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos φ,y =b sin φ.(φ为参数)其中参数φ的范围为φ∈[0,2π). 四、双曲线的参数方程中心在原点O ,焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =a sec φ,y =b tan φ. (φ为参数)其中参数φ的范围为φ∈[0,2π),且φ≠π2,φ≠3π2注意:sec φ=1cos φ.五、抛物线的参数方程开口向右,焦点在x 轴上的抛物线y 2=2px (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =2pt 2,y =2pt . (t 为参数),其中参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数,其范围为t ∈(-∞,+∞).六、直线的参数方程 1.标准式.经过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为θ的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos θ,y =y 0+t sin θ.(t 为参数)其中,t 是直线上的定点M 0(x 0,y 0)到动点M (x ,y )的有向线段M 0M →的数量,即M 0M =t ,当点(x ,y )在点(x 0,y 0)的上方时,t >0;当点(x ,y )在点(x 0,y 0)的下方时,t <0,当点(x ,y )与点(x 0,y 0)重合时,t =0.以上反之亦然.于是参数t 的绝对值等于直线上的动点M 到定点M 0的距离. 由于直线的标准参数方程中t 具有这样的几何意义,所以在解决直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时,用参数方程来解决,方便了很多.2.点斜式.⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+at ,y =y 0+bt . (t 为参数)其中,(x 0,y 0)表示该直线上的一点,ba表示直线的斜率.当a ,b 分别表示点M (x ,y )在x 方向与y 方向的分速度时,t 就具有物理意义——时间,相应的at ,bt 则表示点M (x ,y )在x 方向,y 方向上相对(x 0,y 0)的位移.七、渐开线与摆线的参数方程(了解) 1.渐开线的参数方程.⎩⎪⎨⎪⎧x =r cos φ+φsin φ,y =r sin φ-φcos φ. (φ为参数),其中r 为基圆的半径,φ为过切点的半径与x 轴正方向所成的角.(如图1)图1图22.摆线的参数方程. ⎩⎪⎨⎪⎧x =r φ-sin φ,y =r1-cos φ. (φ为参数),其中r 为圆的半径,φ为定点作圆周运动时所转过的角(如图2).八、参数方程和普通方程的互化 1.由参数方程化为普通方程(重点)——消去参数.消参数常用的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等.消参时应特别注意参数的取值范围对x ,y 的限制.由参数方程化为普通方程一般是唯一的.2.由普通方程化为参数方程(难点)——选参数.参数选法多种多样,所以由普通方程化为参数方程是不唯一的.基础自测1.若直线⎩⎪⎨⎪⎧x =1-2t ,y =2+3t ,(t 为实数)与直线4x +ky =1垂直,则常数k =________.解析:参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =1-2t ,y =2+3t ,所表示的直线方程为3x +2y -7=0,由此直线与直线4x +ky =1垂直可得⎝ ⎛⎭⎪⎫-32×⎝ ⎛⎭⎪⎫-4k =-1,解得k =-6. 答案:-62.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos α,y =2-cos 2α (α是参数)表示的曲线的普通方程是____________________.答案:y =-x 22+3(|x |≤2)3.(2013·湖南卷)在平面直角坐标系xOy中,若直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =t -a ,(t 为参数)过椭圆C :⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos φ,y =2sin φ,(φ为参数)的右顶点,则常数a 的值为__________.解析:直线l 的普通方程为y =x -a ,椭圆C 的普通方程为x 29+y 24=1,右顶点为(3,0),代入直线l 的方程中,得0=3-a ,所以a =3.答案:34. (2013·宝鸡三模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ=6sin θ,以极点为原点,极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =12t ,y =32t +1,(t 为参数),则直线l 被曲线C 截得的线段长度为________.解析:曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-6y =0,该曲线是圆,圆心为(0,3),半径为3;直线l 的普通方程为3x -y +1=0,圆心到直线的距离为d =|-3+1|2=1,所以,直线l被曲线C 截得的线段长度为232-12=4 2.答案:4 21.(2013·重庆卷)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =t 2,y =t3(t 为参数)相交于A ,B两点,则|AB |=__________.解析:将极坐标方程ρcos θ=4化为直角坐标方程得x =4,将x =4代入⎩⎪⎨⎪⎧x =t 2,y =t 3得t =±2,从而y =±8.于是得A (4,8),B (4,-8).所以|AB |=8-(-8)=16.答案:162.(2013·江西卷)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =t 2(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧ x =t ,y =t 2得曲线C 的普通方程为y =x 2,利用互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ将y =x 2化为极坐标方程为sin θ=ρcos 2θ.答案:sin θ=ρcos 2θ1.(2013·华南师大附中三模)以平面直角坐标系的原点为极点,并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知圆C 的极坐标方程是ρ=4cos θ,则它的圆心到直线l :⎩⎨⎧x =-2-2t ,y =3+2t(t 为参数)的距离等于__________.解析:圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0,圆心为C (2,0),直线l 的普通方程为x+y -1=0,所以圆心到该直线的距离为d =|2+0-1|2=22.答案:222.(2013·湖南十二校二模)设极点与坐标原点重合,极轴与x 轴正半轴重合,已知直线l 的极坐标方程是:ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=a ,a ∈R ,圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x =23+2cos θ,y =2+2sin θ(θ为参数),若圆C 关于直线l 对称,则a =__________.解析:直线l 的直角坐标方程为3x -y +2a =0,圆C 的圆心为(23,2),因为圆C 关于直线l 对称,所以,圆心(23,2)在直线l 上,得3×(23)-2+2a =0,解得a =-2.答案:-23.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3t ,y =2t 2+1 (t 为参数),则过曲线C 上横坐标为1的点的切线方程为____________.解析:曲线C 的普通方程为y =29x 2+1,则切点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1,119.由y ′=49x 得切线斜率k =y ′|x =1=49,故所求的切线方程为4x -9y +7=0.答案:4x -9y +7=0。

2020高考数学分项版汇编《专题11坐标系与参数方程》学生版

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专题11:坐标系与参数方程(生)41.在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为{x =1−√3t y =√3+t(t 为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ,射线l 2的极坐标方程为θ=π6(ρ≥0). (Ⅰ)求直线l 1的倾斜角及极坐标方程;(Ⅱ)若射线l 2与l 1交于点M ,与圆C 交于点N (异于原点),求|OM |⋅|ON |.【来源】【市级联考】黑龙江省大庆市2019届高三第三次教学质量检测数学(文)试题 【答案】(Ⅰ)α=5π6,ρcosθ+√3ρsinθ=4(Ⅱ)8.【解析】 【分析】(Ⅰ)消去直线l 1参数方程中的参数后得到直角坐标方程,进而得到倾斜角;根据互化公式可得直线l 1的极坐标方程.(Ⅱ)把θ=π6代入l 1的极坐标方程中得|OM |=ρ1=√3,把θ=π6代入圆的极坐标方程中得|ON |=ρ2=2√3,于是可得|OM |⋅|ON |=ρ1ρ2=8. 【详解】(Ⅰ)消去方程{x =1−√3t y =√3+t 中的参数t ,整理得x +√3y −4=0,∴直线l 1的普通方程为x +√3y −4=0. 设直线l 1的倾斜角为α,则tanα=−√33, ∵0≤α<π, ∴α=5π6.把x =ρcosθ,y =ρsinθ代入x +√3y −4=0,可得得直线l 1的极坐标方程为ρcosθ+√3ρsinθ=4. (Ⅱ)把θ=π6代入l 1的极坐标方程中得|OM |=ρ1=√3,把θ=π6代入圆的极坐标方程中得|ON |=ρ2=2√3, ∴|OM |⋅|ON |=ρ1ρ2=8. 【点睛】本题考查各种方程间的转化,注意消参、转化公式的灵活应用.另外,应用极坐标中点的极径和直线参数方程中参数的几何意义可求弦长,解题中要合理运用这些方法.42.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα (α为参数,α∈R ),在以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρsin(θ−π4)=√2.(Ⅰ)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程;(Ⅱ)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ,B 两点,求|AB |的值.【来源】【全国百强校】新疆兵团第二师华山中学2018-2019学年高二下学期第一次调研数学(文)试题 【答案】(Ⅰ)C 1:x 2+(y −1)2=1;C 2:x -y +2=0;(Ⅱ)√2. 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用三种方程互化方法,求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程(Ⅱ)若曲线C 1和曲线C 2相交于A,B 两点,求出圆心到直线的距离,即可求出|AB |的值 【详解】解:(Ⅰ)由{x =cosαy =1+sinα⇒{x =cosαy −1=sinα⇒x 2+(y −1)2=1 由ρsin (θ−π4)=√2⇒√22ρsinθ−√22ρcosθ=√2⇒y −x =2即C 2:x −y +2=0(Ⅱ)∵直线x −y +2=0与圆x 2+(y −1)2=1相交于A,B 两点, 又x 2+(y −1)2=1的圆心为(0,1),半径为1,故圆心到直线的距离d =22=√22, ∴|AB |=2(√22)=√2. 【点睛】本题主要考查了直线的极坐标方程化为直角坐标方程,圆的参数方程化为普通方程,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,勾股定理,考查了推理能力和计算能力,属于中档题。

参数方程讲义

参数方程讲义

再相互转化。
直角坐标方程
极坐标方程
参数方程
x2 a2
y2 b2
1
带入法
x cos y sin
( cos )2 ( sin )2
a2
b2
1
两边同乘 sin y
cos x
x a cos y b sin
化为普通
两边平方 ,两式子相加
( x )2 cos2 a ( y )2 sin 2 b
2
2
x
过 点(, )与 极 轴 平 (a, )
2
2
行的直线
O
sin (0 )
x
(四)参数方程
1 参数方程的定义:
在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某
个变数 t 的函数,即
x f (t) y f (t)
并且对于 t 每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y)都
系. (1)求 C1 , C2 的极坐标方程;(2)若曲线 c3 的极坐标方程
sin( ) 2 4
2 ,求曲线 c3 的直角坐标方程
【答案】(Ⅰ) cos 2 , 2 2 cos 4 sin 4 0(II)x y 4 0
【解析】 用直角坐标与极坐标互化公式即可;用和差公式张开化
,则点 M
对应的参数值 tM
t1
t2 2
二、考点突破
题型一:参数方程化普通方程、极坐标方程化普通方程
对直线、曲线方程进行消参,通过定义及公式进行化简
经典例题分析:例 1. 在直角坐标系 xy 中,直线 l 的参数方程为
x
3
1 2
t

t
为参数).以原点为极点,
x
轴正半轴为极轴建立极坐标

2020届高考一轮数学(文)课件:11.1-坐标系-ppt课件全集(含答案)

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回顾教材夯实基础 考点分类深度剖析 课时规范练
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考点一 考点二 考点三
2.求正弦曲线 y=sin x 按:φ:xy′′==1213yx,变换后的函数解析式.
解析:设点 P(x,y)为正弦曲线 y=sin x 上的任意一点, 在变换 φ:xy′′==1213yx,的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′). 即 φxy==23yx′′,,代入 y=sin x 得 2y′=sin 3x′, 所以 y′=12sin3x′,即 y=12sin 3x 为所求.
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考点一 考点二 考点三
1.平面上的曲线 y=f(x)在变换 φ:xy′′==μλxy((λμ>>00)),的作用下的变换方程的求法是将 xy==yxμλ′′,代入 y=f(x), 得yμ′=fxλ′,整理之后得到 y′=h(x′),即为所求变换之后的方程. 2.应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x,y)与变换后的坐标(x′,y′).
解析:法一:设变换为 φ:xy′′==μλxy((λμ>>00)),,可将其代入 x′2+y′2=1,得 λ2x2+μ2y2=
1. 将 4x2+9y2=36 变形为x92+y42=1,
比较系数得 λ=13,μ=12.
所以xy′′==1213yx.,
故将椭圆 4x2+9y2=36 上的所有点的横坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的12,可得
第十一章 选修系列
选修4-4 坐标系与参数方程 第一节 坐标系
考点一 考点二 考点三
1.坐标系 (1)坐标变换
[基础梳理]
设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:xy′′==μλ··xy((λμ>>00)),的作用下,

专题10 坐标系与参数方程-2020届高三数学三轮复习回归课本复习讲义

专题10 坐标系与参数方程-2020届高三数学三轮复习回归课本复习讲义

坐标系与参数方程热点一 极坐标方程及其应用(综合型) 1.圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0,θ0),半径为r ,则圆的方程为:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ20-r 2=0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点,半径为r :ρ=r ;(2)当圆心位于M (a ,0),半径为a :ρ=2a cos θ; (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ,π2,半径为a :ρ=2a sin θ. 2.直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0,θ0),且极轴与此直线所成的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0;(2)直线过点M (a ,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a ; (3)直线过点M ⎝⎛⎭⎫b ,π2且平行于极轴:ρsin θ=b . 例1.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θy =2sin θ+2(θ为参数),以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 的极坐标方程;(2)若直线l 1,l 2的极坐标方程分别为θ=π6(ρ∈R ),θ=2π3(ρ∈R ),设直线l 1,l 2与曲线C 的交点为O ,M ,N ,求△OMN的面积.及时归纳 (1)极坐标方程与普通方程互化的技巧①巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形成,然后利用公式代入化简得到普通方程.②巧借两角和差公式,转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程.③将直角坐标方程中的x 换成ρcosθ,将y 换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程. (2)求解与极坐标有关问题的主要方法①直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用.②转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.变式训练1(1)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π3=1,M ,N 分别为曲线C 与x 轴,y 轴的交点.①写出曲线C 的直角坐标方程,并求M ,N 的极坐极;②设M ,N 的中点为P ,求直线OP 的极坐标方程. (2)(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y =k |x |+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.①求C 2的直角坐标方程;②若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程. 热点二 参数方程及其应用(综合型)直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程例2 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪y =2sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t +3,y =2t -23(t 为参数),直线l 与曲线C 交于A ,B 两点.(1)求|AB |的值;(2)若F 为曲线C 的左焦点,求F A →·FB →的值.及时归纳 (1)有关参数方程问题的2个关键点①参数方程化为普通方程的关键是消参数,要根据参数的特点进行转化. ②利用参数方程解决问题,关键是选准参数,理解参数的几何意义. (2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P (x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α(t 为参数).若A ,B 为直线l 上两点,其对应的参数分别为t 1,t 2,线段AB 的中点为M ,点M 所对应的参数为t 0,则以下结论在解题中经常用到:①t 0=t 1+t 22. ②|PM |=|t 0|=⎪⎪⎪⎪t 1+t 22. ③|AB |=|t 2-t 1|. ④|P A |·|PB |=|t 1·t 2|.变式训练2(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θy =4sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t cos αy =2+t sin α(t 为参数).①求C 和l 的直角坐标方程;②若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.(2)已知曲线C :x 24+y 29=1,直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t ,y =2-2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|P A |的最大值与最小值.热点三 极坐标方程与参数方程的综合问题(综合型)例3 在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2,π4,直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π4=a ,且l 过点A ,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =2cos αy =3sin α(α为参数).(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值;(2)过点B (-1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ,N 两点,求|BM |·|BN |的值. 及时归纳 解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下,我们可以先化成直角坐标的普通方程,这样思路可能更加清晰.(2)对于一些运算比较复杂的问题,用参数方程计算会比较简捷.(3)利用极坐标方程解决问题时,要注意题目所给的限制条件及隐含条件.变式训练3 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C :⎩⎨⎧x =3cos αy =sin α(α为参数),在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ+π4=-1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)过点M (-1,0)且与直线l 平行的直线l 1交曲线C 于A ,B 两点,求点M 到A ,B 两点的距离之和. 课时作业 1.已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=,直线l的参数方程为1212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). (1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程;(2)已知点()1,0M ,直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,求||MA MB -‖‖. 2.在平面直角坐标系xOy 中曲线C的直角坐标方程为2220x y x +--=,直线l过点(0,P ,且倾斜角为3π.以坐标原点为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l 的参数方程和曲线C 的极坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求||||PA PB +的值. 3.已知直线l的参数方程为1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t 为参数),以原点为极点,以x 轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin m ρθ=(m 为常数,且0m >),直线l 与曲线C交于A 、B 两点.(1)若2AB =,求实数m 的值;(2)若点P 的直角坐标为(-1,2),且4PA PB ⋅>,求实数m 的取值范围.4.在直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩(θ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程;(2)若点P 的极坐标为()1,π,过P 的直线与曲线C 交于A ,B 两点,求11PA PB+的最大值. 5.在平面直角坐标系xOy 中,曲线21240x y C x +-=:,直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t为参数),其中0,6πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,以坐标原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求曲线C 1的极坐标方程和直线l 的普通方程;(2)设(4,0)M ,C 2的极坐标方程ρθ=,A 、B 分别为直线l 与曲线C 1、C 2异于原点的公共点,当30AMB ∠=︒时,求直线l 的斜率; 6.在平面直角坐标系xOy 中,直线l:3y x =,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2cos 02πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭. (Ⅰ)求曲线C 被直线l 截得的弦长;(Ⅱ)与直线l 垂直的直线EF 与曲线C 相切于点Q ,求点Q 的直角坐标坐标系与参数方程答案热点一 极坐标方程及其应用(综合型)例1.【解】 (1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θy =2sin θ+2(θ为参数),得普通方程为x 2+(y -2)2=4,所以C的极坐标方程为ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ-4ρsin θ=0,即ρ=4sin θ.(2)不妨设直线l 1:θ=π6(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ,M ,则ρM =|OM |=4sin π6=2.又直线l 2:θ=2π3(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ,N ,则ρN =|ON |=4sin 2π3=2 3.又∠MON =π2,所以S △OMN=12|OM ||ON |=12×2×23=2 3. 变式训练1(1)解:①因为ρcos ()θ-π3=1,所以ρcos θ·cos π3+ρsin θ·sin π3=1.又⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ,所以12x +32y =1,即曲线C 的直角坐标方程为x +3y -2=0,令y =0,则x =2;令x =0,则y =233.所以M (2,0),N ⎝⎛⎭⎫0,233.所以M 的极坐标为(2,0),N 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233,π2.②因为M ,N 连线的中点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1,33,所以P 的极角为θ=π6,所以直线OP 的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R ).(2)解:①由x =ρcos θ,y =ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x +1)2+y 2=4.②由①知C 2是圆心为A (-1,0),半径为2的圆.由题设知,C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,所以|-k +2|k 2+1=2,故k =-43或k =0.经检验,当k =0时,l 1与C 2没有公共点;当k =-43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2,所以|k +2|k 2+1=2,故k =0或k =43.经检验,当k =0时,l 1与C 2没有公共点;当k =43时,l 2与C 2没有公共点.综上,所求C 1的方程为y =-43|x |+2.热点二 参数方程及其应用(综合型)例2 【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos θy =2sin θ(θ为参数),消去参数θ得x 216+y 24=1.由⎩⎨⎧x =t +3,y =2t -23消去参数t 得y =2x -4 3.将y =2x -43代入x 2+4y 2=16中,得17x 2-643x +176=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎨⎧x 1+x 2=64317,x 1x 2=17617.所以|AB |=1+22|x 1-x 2|=1+417×(643)2-4×17×176=4017,所以|AB |的值为4017. (2)由(1)得,F (-23,0),则F A →·FB →=(x 1+23,y 1)·(x 2+23,y 2)=(x 1+23)(x 2+23)+(2x 1-43)(2x 2-43)=x 1x 2+23(x 1+x 2)+12+4[x 1x 2-23(x 1+x 2)+12]=5x 1x 2-63(x 1+x 2)+60=5×17617-63×64317+60=44,所以F A →·FB →的值为44.变式训练2(1)解:(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 216=1.当cos α≠0时,l 的直角坐标方程为y =tan α·x +2-tan α,当cos α=0时,l 的直角坐标方程为x =1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程(1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t -8=0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0.又由①得t 1+t 2=-4(2cos α+sin α)1+3cos 2α,故2cos α+sin α=0,于是直线l 的斜率k =tan α=-2.(2)解:(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θy =3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x +y -6=0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为d =55|4cos θ+3sin θ-6|.则|P A |=dsin 30°=255|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|P A |取得最大值,最大值为2255.当sin(θ+α)=1时,|P A |取得最小值,最小值为255.热点三 极坐标方程与参数方程的综合问题(综合型)例3 【解】 (1)由直线l 过点A 可得2cos ⎝⎛⎭⎫π4-π4=a ,故a =2,则易得直线l 的直角坐标方程为x +y -2=0.根据点到直线的距离公式可得曲线C 1上的点到直线l 的距离d =|2cos α+3sin α-2|2=|7(sin α+φ)-2|2,其中sin φ=277,cos φ=217,所以d max =7+22=14+222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14+222.(2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4,则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x =-1+t cos3π4y =1+t sin3π4(t 为参数).易知曲线C 1的普通方程为x 24+y 23=1.把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程可得72t 2+72t -5=0,设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2,所以t 1t 2=-107,根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |=|t 1t 2|=107.变式训练3 解:(1)曲线C 的普通方程为x 23+y 2=1,由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ+π4=-1,得ρcos θ-ρsinθ=-2,所以直线l 的直角坐标方程为x -y +2=0.(2)直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x =-1+22ty =22t(t 为参数),将其代入x23+y 2=1中,化简得:2t 2-2t-2=0,设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=22,t 1t 2=-1,所以|MA |+|MB |=|t 1|+|t 2|=|t 1-t 2|=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=⎝⎛⎭⎫222-4×(-1)=322.课时作业1.(1) ()2224xy -+=.33y x =-(2)【分析】(1)根据极坐标与直角坐标互化公式,以及消去参数,即可求解;(2)设,A B 两点对应的参数分别为1t ,2t ,将直线l 的参数方程代入曲线方程,结合根与系数的关系,即可求解.【详解】(1)对于曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=,可得24cos ρρθ=,又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,可得224x y x +=,即()2224x y -+=,所以曲线C 的普通方程为()2224x y -+=.由直线l 的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),消去参数可得1y x =-,即 直线l 的方程为1)3y x =-,即33y x =-.(2)设,A B 两点对应的参数分别为1t ,2t ,将直线l的参数方程112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入曲线22:40C x y x +-=中,可得22114104t ⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.化简得:230t --=,则12t t +=所以1212||||||||||||MA MB t t t t -=-=+=【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及直线的参数方程的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.2.(1)12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),2cos ρθθ=+(2)7 【分析】(1)根据直线的参数方程的定义和已知条件可求得直线l 的参数方程,根据极坐标与平面直角坐标方程的互化公式可得曲线C 的极坐标方程;(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中,可得2790t t -+=,再运用方程的根与系数的关系和直线的参数的几何意义可求得所求的值.【详解】(1)直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),由2220x y x +--=,得22cos sin 0ρρθθ--=,即曲线C 的极坐标方程为2cos ρθθ=+.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中,得2790t t -+=,设A ,B 两点对应的参数分别为1,t 2t ,则127t t +=,1290t t =>,10,t ∴>20t >,12127PA PB t t t t ∴+=+=+=.【点睛】本题考查参数方程与普通方程,极坐标方程与平面直角方程的互化,以及直线的参数方程中的几何意义的运用,注意在运用直线参数方程中的几何意义时,直线的参数方程必需是关于所需定点的直线的标准参数方程,属于基础题. 3.(1)1m =; (2)9(,)4+∞. 【分析】(1)将直线的参数方程化为为普通方程,曲线C 的极坐标方程化为普通方程,再利用直线与圆的弦长公式求解.(2)直线的参数方程与圆的普通方程联立,根据参数的几何意义,则有12||||||PA PB t t ⋅=求解. 【详解】(1)曲线C 的极坐标方程可化为22sin m ρρθ=,化为直角坐标系下的普通方程为:222x y my +=,即222()x y m m +-=. 直线l 的普通方程为:10x y +-=,而点(0,)m 到直线l 的距离为d ,所以||2AB =,即2230m m +-=,又因为0m >,所以1m =.(2)显然点P 在直线l上,把1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y my +=并整理可得2(3450t m m +--+=, 设点,A B 对应的参数分别为12,t t .则22(3)4(45)0m m ∆=---+>,解得1m <-1m >.则12|||||||45|4PA PB t t m ⋅==-+>,解得94m >或14m <.而0m >,∴实数m 的取值范围是9(,)4+∞.【点睛】本题主要考查了参数方程,极坐标方程与普通方程间的转化以及直线与圆的弦长,参数的几何意义,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题. 4.(1)4cos 2sin ρθθ=-(2)5【分析】(1)先将21x y θθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩中的θ消去得普通方程,再利用cos sin x y ρθρθ==,可得极坐标方程;(2)先求出AB 的参数方程,代入曲线C 的普通方程,利用韦达定理及三角函数的性质可得11PA PB+的最大值. 【详解】解:(1)由21x y θθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩,得()()22215x y -++=,即2242x y x y +=-,所以24cos 2sin ρρθρθ=-,即4cos 2sin ρθθ=-,故曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-. (2)因为P 的极坐标为()1,π,所以P 的直角坐标为()1,0-,故可设AB 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数).将1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入()()22215x y -++=,得()22sin 6cos 50t t αα+-+=, 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ,则122sin 6cos t t αα+=-+,1250t t =>,所以1112122sin 6cos 11115t t PA PB t t t t αα+-+=+=== 故11PA PB +. 【点睛】本题考查普通方程,参数方程,极坐标方程之间的互化,考查直线参数方程中参数几何意义的应用,是中档题. 5.(1)曲线的C 1极坐标方程为4cos ρθ=,直线l 的普通方程为tan ,0,6y x παα⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭(2)【分析】(1)利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩将1C 的普通方程转化为极坐标方程,消去参数t 将直线l 的参数方程转化为普通方程; (2)根据题意求出||||OA OB 、及||AB ,又点M 在曲线1C 上,则1||tan 4sin AM ραα==,由|||AM AB =列出方程即可得解.【详解】(1)将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线1C 的普通方程得极坐标方程为4cos ρθ=,直线l 的普通方程为tan ,0,6y x παα⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭;(2)由已知可得θα=,则12||4cos ,||OA OB ραρα====,||4cos ,AB αα=-因为点M 在曲线1C 上且AM AB ⊥,所以1||tan 4sin ,AM ραα==在直角三角形ABM 中30AMB ∠=︒,则|||AM AB =所以4sin )ααα=-,得直线l 的斜率tan k α==【点睛】本题考查普通方程与极坐标方程的互化,参数方程化成普通方程,直线与圆的位置关系,直径所对的圆周角是直角,属于中档题. 6.1122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭或1122⎛⎫+⎪⎪⎝⎭.【分析】(Ⅰ)首先把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,进一步利用点到直线的距离公式和勾股定理的应用求出弦长.(Ⅱ)利用直线垂直的充要条件求出圆的切线方程,进一步利用直线和曲线的位置关系求出切点的直角坐标.【详解】解:(Ⅰ)曲线2cos02πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭转换为直角坐标方程为()2211x y-+=.直线l:y x=,转换为0x-=,所以圆心()1,0到直线0x-=的距离12d==,所以曲线C被直线l截得的弦长为l==(Ⅱ)与直线l垂直的直线设为:y b=+,由于直线EF与曲线C相切,所以圆心()1,0到直线y b=+的距离1d==,解得2b=或2,所以直线EF的方程为2y=+或2y=+.所以设切点(),Q x y ,故()22112x y y ⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,或()22112x y y ⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩,解得1212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即切点坐标为112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或112⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识,考查了在极坐标系下直线与圆的交点问题,解题的关键是正确使用222cos x y x y sin ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩这一转化公式,还要能结合图形求解问题.。

2020届高考数学(文)总复习讲义: 参数方程

2020届高考数学(文)总复习讲义:  参数方程

第二节参数方程一、基础知识批注——理解深一点1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x =f (t ),y =g (t ),并且对于t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F (x ,y )=0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程:利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程:如果x =f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y =g (t ),则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =f (t ),y =g (t ).3.直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α(t 为参数).直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α.若M 1,M 2是l上的两点,其对应参数分别为t 1,t 2,则①|M 1M 2|=|t 1-t 2|.在参数方程与普通方程的互化中,一定要注意变量的范围以及转化的等价性.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ,则t =t 1+t 22,中点M 到定点M 0的距离|MM 0|=|t |=⎪⎪⎪⎪t 1+t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点,则t 1+t 2=0. ④|M 0M 1||M 0M 2|=|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+r cos θ,y =y 0+r sin θ(θ为参数).(3)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos φ,y =b sin φ (φ为参数).二、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”,错的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =f (t ),y =g (t )中的x ,y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示:直线l 上以定点M 0为起点,任一点M (x ,y )为终点的有向线段M 0M ―→的数量.( )(3)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos t ,y =4sin t (t 为参数),点M 在椭圆上,对应参数t =π3,点O为原点,则直线OM 的斜率为 3.( )答案:(1)√ (2)√ (3)×(二)填一填1.在平面直角坐标系中,若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =2+22t ,y =1+22t (t 为参数),则其普通方程为____________.解析:依题意,消去参数可得x -2=y -1,即x -y -1=0. 答案:x -y -1=02.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =sin θ,y =cos 2θ+1(θ为参数),则曲线C 的普通方程为____________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧x =sin θ,y =cos 2θ+1(θ为参数)消去参数θ,得y =2-2x 2(-1≤x ≤1).答案:y =2-2x 2(-1≤x ≤1)3.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =1+12t ,y =32t(t 为参数),椭圆C 的方程为x 2+y 24=1,设直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,则线段AB 的长为____________.解析:将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x =1+12t ,y =32t代入x 2+y 24=1,得⎝⎛⎭⎫1+12t 2+⎝⎛⎭⎫32t 24=1,即7t 2+16t =0,解得t 1=0,t 2=-167, 所以|AB |=|t 1-t 2|=167. 答案:167考点一 参数方程与普通方程的互化[典例] 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a -2t ,y =-4t (t 为参数),圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos θ,y =4sin θ(θ为参数). (1)求直线l 和圆C 的普通方程;(2)若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围. [解] (1)直线l 的普通方程为2x -y -2a =0, 圆C 的普通方程为x 2+y 2=16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离d =|-2a |5≤4,解得-25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[-25,2 5 ]. [解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参(如sin 2θ+cos 2θ=1等).[提醒] 将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,防止增解. [题组训练]1.将下列参数方程化为普通方程.(1)⎩⎨⎧x =12(e t +e -t),y =12(e t-e-t)(t 为参数).(2)⎩⎪⎨⎪⎧x =2tan 2θ,y =2tan θ(θ为参数). 解:(1)由参数方程得e t =x +y ,e -t =x -y ,所以(x +y )(x -y )=1,即x 2-y 2=1.(2)因为曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x =2tan 2θ,y =2tan θ(θ为参数),①②由y =2tan θ,得tan θ=y2,代入①得y 2=2x .2.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,求圆x 2+y 2-x =0的参数方程.解:圆的半径为12,记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12,0,连接CP , 则∠PCx =2θ,故x P =12+12cos 2θ=cos 2θ,y P =12sin 2θ=sin θcos θ.所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos 2θ,y =sin θcos θ(θ为参数).考点二 参数方程的应用[典例] (2019·广州高中综合测试)已知过点P (m,0)的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x =m +32t ,y =12t(t 为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,且|PA |·|PB |=2,求实数m 的值. [解] (1)消去参数t ,可得直线l 的普通方程为x =3y +m ,即x -3y -m =0. 因为ρ=2cos θ,所以ρ2=2ρcos θ.可得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2x ,即x 2-2x +y 2=0.(2)把⎩⎨⎧x =m +32t ,y =12t代入x 2-2x +y 2=0,得t 2+(3m -3)t +m 2-2m =0. 由Δ>0,得-1<m <3.设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1·t 2=m 2-2m . 因为|PA |·|PB |=|t 1·t 2|=2,所以m 2-2m =±2, 解得m =1±3.因为-1<m <3,所以m =1±3. [解题技法]1.应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时,要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值,否则参数不具备该几何含义.2.圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解,掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键.[题组训练]1.(2019·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =3cos α,y =sin α(α为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4= 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程;(2)设P 为曲线C 1上的动点,求点P 到C 2的距离的最大值,并求此时点P 的坐标. 解:(1)曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1,由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=2,得ρsin θ+ρcos θ=2,得曲线C 2的直角坐标方程为x +y -2=0. (2)设点P 的坐标为(3cos α,sin α),则点P 到C 2的距离为|3cos α+sin α-2|2=⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α+π3-22,当sin ⎝⎛⎭⎫α+π3=-1,即α+π3=-π2+2k π(k ∈Z),α=-5π6+2k π(k ∈Z)时,所求距离最大,最大值为22,此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫-32,-12. 2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =4sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t cos α,y =2+t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 解:(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 216=1.当cos α≠0时,直线l 的直角坐标方程为y =tan α·x +2-tan α, 当cos α=0时,直线l 的直角坐标方程为x =1.(2)将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程(1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t -8=0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内, 所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0. 又由①得t 1+t 2=-4(2cos α+sin α)1+3cos 2α,故2cos α+sin α=0,于是直线l 的斜率k =tan α=-2.考点三 极坐标、参数方程的综合应用[典例] (2018·河北保定一中摸底)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x =-5+2cos t ,y =3+2sin t(t 为参数),在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ+π4=-1. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)设直线l 与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点,点P 是圆C 上任一点,求A ,B 两点的极坐标和△PAB 面积的最小值.[解] (1)由⎩⎨⎧x =-5+2cos t ,y =3+2sin t消去参数t ,得(x +5)2+(y -3)2=2,所以圆C 的普通方程为(x +5)2+(y -3)2=2.由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ+π4=-1,得ρcos θ-ρsin θ=-2, 所以直线l 的直角坐标方程为x -y +2=0.(2)直线l 与x 轴,y 轴的交点分别为A (-2,0),B (0,2),则点A ,B 的极坐标分别为(2,π+2k π)(k ∈Z),⎝⎛⎭⎫2,π2+2k π(k ∈Z). 设点P 的坐标为(-5+2cos α,3+2sin α),则点P 到直线l 的距离d =|-5+2cos α-3-2sin α+2|2=⎪⎪⎪⎪-6+2cos ⎝⎛⎭⎫α+π42,当cos ⎝⎛⎭⎫α+π4=1,即α+π4=2k π(k ∈Z),α=-π4+2k π(k ∈Z)时,点P 到直线l 的距离取得最小值,所以d min =42=22,又|AB |=22, 所以△PAB 面积的最小值S =12×d min ×|AB |=12×22×22=4.[解题技法] 极坐标、参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标系方程,然后求解. (2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程,然后再作出判断.(3)求参数方程与极坐标方程综合问题.一般是先将方程化为直角坐标方程,利用直角坐标方程来研究问题.[题组训练]1.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 1:ρ2-4ρcos θ+3=0,θ∈[0,2π],曲线C 2:ρ=34sin ⎝⎛⎭⎫π6-θ,θ∈[0,2π].(1)求曲线C 1的一个参数方程;(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ,B 两点,求|AB |的值. 解:(1)由ρ2-4ρcos θ+3=0,得x 2+y 2-4x +3=0, 所以(x -2)2+y 2=1. 令x -2=cos α,y =sin α,所以C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+cos α,y =sin α(α为参数).(2)因为C 2:4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ-cos π6sin θ=3, 所以4⎝⎛⎭⎫12x -32y =3,即2x -23y -3=0,因为直线2x -23y -3=0与圆(x -2)2+y 2=1相交于A ,B 两点, 所以圆心到直线的距离为d =|4-0-3|22+(-23)2=14,所以|AB |=21-⎝⎛⎭⎫142=2×154=152. 2.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =2+t cos φ,y =3+t sin φ⎝⎛⎭⎫t 为参数,φ∈⎣⎡⎦⎤0,π3,以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2,π3,半径为2,直线l 与圆C 交于M ,N 两点. (1)求圆C 的极坐标方程;(2)当φ变化时,求弦长|MN |的取值范围.解:(1)由已知,得圆心C 的直角坐标为(1,3),圆的半径为2, ∴圆C 的直角坐标方程为(x -1)2+(y -3)2=4, 即x 2+y 2-2x -23y =0,∵x =ρcos θ,y =ρsin θ,∴ρ2-2ρcos θ-23ρsin θ=0, 故圆C 的极坐标方程为ρ=4cos ⎝⎛⎭⎫π3-θ.(2)由(1)知,圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x -23y =0, 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得,(2+t cos φ)2+(3+t sin φ)2-2(2+t cos φ)-23(3+t sin φ)=0, 整理得,t 2+2t cos φ-3=0,设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=-2cos φ,t 1·t 2=-3,∴|MN |=|t 1-t 2|=(t 1+t 2)2-4t 1·t 2=4cos 2φ+12. ∵φ∈⎣⎡⎦⎤0,π3,∴cos φ∈⎣⎡⎦⎤12,1,∴|MN |∈[13,4]. 故弦长|MN |的取值范围为[13,4].[课时跟踪检测]1.若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x =t cos α,y =t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x =4+2cos θ,y =2sin θ(θ为参数)相切,求直线的倾斜角α.解:直线⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =t sin α(t 为参数)的普通方程为y =x tan α.圆⎩⎪⎨⎪⎧x =4+2cos θ,y =2sin θ(θ为参数)的普通方程为(x -4)2+y 2=4. 由于直线与圆相切,则|4tan α|1+tan 2α=2,即tan 2α=13,解得tan α=±33,由于α∈[0,π),故α=π6或5π6.2.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-8+t ,y =t2(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =2s 2,y =22s (s 为参数),设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.解:直线l 的普通方程为x -2y +8=0. 因为点P 在曲线C 上,设P (2s 2,22s ), 从而点P 到直线l 的距离d =|2s 2-42s +8|12+(-2)2=2(s -2)2+45,当s =2时,d min =455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.3.已知P 为半圆C :⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标; (2)求直线AM 的参数方程. 解:(1)由已知,点M 的极角为π3,且点M 的极径等于π3,故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫π3,π3.(2)由(1)知点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π6,3π6,A (1,0). 故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x =1+⎝⎛⎭⎫π6-1t ,y =3π6t (t 为参数).4.(2019·长春质检)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P 的直角坐标为(1,2),点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3,π2,若直线l 过点P ,且倾斜角为π6,圆C 以点C 为圆心,3为半径.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程; (2)设直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,求|PA |·|PB |.解:(1)由题意得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =1+32t ,y =2+12t (t 为参数),圆C 的极坐标方程为ρ=6sin θ.(2)由(1)易知圆C 的直角坐标方程为x 2+(y -3)2=9,把⎩⎨⎧x =1+32t ,y =2+12t 代入x 2+(y -3)2=9,得t 2+(3-1)t -7=0,设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,∴t 1t 2=-7, 又|PA |=|t 1|,|PB |=|t 2|,∴|PA |·|PB |=7.5.(2018·南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos t ,y =2sin t +2(t为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)若直线l 1,l 2的极坐标方程分别为θ1=π6(ρ1∈R ),θ2=2π3(ρ2∈R ),设直线l 1,l 2与曲线C 的交点分别为O ,M 和O ,N ,求△OMN 的面积.解:(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos t ,y =2sin t +2得普通方程为x 2+(y -2)2=4,把⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ代入x 2+(y -2)2=4,得ρ2-4ρsin θ=0. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ.(2)由直线l 1:θ1=π6(ρ1∈R )与曲线C 的交点为O ,M ,得|OM |=4sin π6=2.由直线l 2:θ2=2π3(ρ2∈R )与曲线C 的交点为O ,N ,得|ON |=4sin 2π3=2 3. 易知∠MON =π2,所以S △OMN =12|OM |×|ON |=12×2×23=2 3.6.(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ(θ为参数),过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 解:(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1. 当α=π2时,l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时,记tan α=k ,则l 的方程为y =kx - 2.l 与⊙O 交于两点需满足21+k 2<1, 解得k <-1或k >1, 即α∈⎝⎛⎭⎫π2,3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4,π2. 综上,α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4,3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t cos α,y =-2+t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数,π4<α<3π4. 设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P , 则t P =t A +t B2,且t A ,t B 满足t 2-22t sin α+1=0.于是t A +t B =22sin α,t P =2sin α.又点P 的坐标(x ,y )满足⎩⎨⎧x =t P cos α,y =-2+t P sin α,所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x =22sin 2α,y =-22-22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数,π4<α<3π4.7.(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =m +t (t 为参数,m ∈R ),以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2=33-2cos 2θ(0≤θ≤π).(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)已知点P 是曲线C 2上一点,若点P 到曲线C 1的最小距离为22,求m 的值. 解:(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t ,可得C 1的普通方程为x -y +m =0. 由曲线C 2的极坐标方程得3ρ2-2ρ2cos 2θ=3,θ∈[0,π], ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 23+y 2=1(0≤y ≤1).(2)设曲线C 2上任意一点P 的坐标为(3cos α,sin α),α∈[0,π],则点P 到曲线C 1的距离d =|3cos α-sin α+m |2=⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α+π6+m 2.∵α∈[0,π],∴cos ⎝⎛⎭⎫α+π6∈⎣⎡⎦⎤-1,32,2cos ⎝⎛⎭⎫α+π6∈[-2, 3 ], 当m +3<0时,m +3=-4,即m =-4- 3. 当m -2>0时,m -2=4,即m =6.当m +3≥0,m -2≤0,即-3≤m ≤2时,d min =0,不合题意,舍去. 综上,m =-4-3或m =6.8.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t cos θ,y =t sin θ(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =3cos α,y =sin α(α为参数),且直线l 交曲线C 于A ,B 两点. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程,并求θ=π3时,|AB |的值;(2)已知点P (1,0),求当直线l 的倾斜角θ变化时,|PA |·|PB |的取值范围. 解:(1)曲线C 的普通方程为x 23+y 2=1.当θ=π3时,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =1+12ty =32t(t 为参数),将l 的参数方程代入x 23+y 2=1,得5t 2+2t -4=0,设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=-25,t 1t 2=-45,所以|AB |=|t 1-t 2|=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=2215. (2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t cos θ,y =t sin θ代入x 23+y 2=1,得(1+2sin 2θ)t 2+2t cos θ-2=0,设A ,B 对应的参数分别为t 3,t 4,则t 3t 4=-21+2sin 2θ,则|PA |·|PB |=-t 3t 4=21+2sin 2θ.又0≤sin 2θ≤1,所以23≤|PA |·|PB |≤2,所以|PA |·|PB |的取值范围是⎣⎡⎦⎤23,2.。

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例2在直角坐标系
xOy
中,曲线
C1:xy==ttcsions
α, α
(t 为参数,t≠0),其中 0≤α<π.在以 O 为极点,x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=2sin θ,C3:
ρ=2 3cos θ.
(1)求 C2 与 C3 的交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B, 求|AB|的最大值.
【解析】(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2y =0,
曲线 C3 的直角坐标方程为 x2+y2-2 3x=0.
联立xx22++yy22--22y=3x0=,0,
解得xy==00,,或xy==322.3,
所以
C2 与

C3
交点的直角坐标为(0,0)和

23,32.
2.求曲线的参数方程常常分成以下几步:(1)建立 直角坐标系,在曲线上设任意一点 P(x,y);(2)选择适 当的参数;(3)找出 x,y 与参数的关系,列出解析式; (4)证明(常常省略).
3.根据直线的参数方程标准式中 t 的几何意义, 有如下常用结论:(1)若 M1,M2 为 l 上任意两点,M1, M2 对应 t 的值分别为 t1,t2,则|M1M2|=|t1-t2|;(2)若 M0 为线段 M1M2 的中点,则有 t1+t2=0;(3)若线段 M1M2 的中点为 M,则 M0M=tM=t1+2 t2.一般地,若点
【解析】(1)曲线
C1
的参数方程是xy==2sicnosθ
θ, (θ
为参数),则 cos θ=x2, ∵sin2θ+cos2θ=1,可得x42+y2=1, ∴曲线 C1 的普通方程是x42+y2=1;
x=3-t, 曲线 C2 的参数方程是y=4+32t (t 为参数),消去
参数 t,t=3-x,代入 y=4+2(33-x),即 2x+3y -10=0,
P 分线段 M1M2 所成的比为 λ,则 tP=t11++λλt2.
4.直线的参数方程的一般式xy==xy00++abtt,(t 为参
数),是过点 M0(x0,y0),斜率为ba的直线的参数方程.当 且仅当 a2+b2=1 且 b≥0 时,才是标准方程,t 才具有
标准方程中的几何意义.将非标准方程xy==xy00++abtt,化
(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R,ρ≠0), 其中 0≤α<π.
因此 A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2 3 cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-2 3cos α|=4sinα-π3. 当 α=56π时,|AB|取得最大值,最大值为 4.
1.(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C
的参数方程为xy==s3icnoθs
θ, (θ
为参数),直线
l
的参数方
程为xy==1a-+t4t,(t 为参数). (1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标;
(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17,求 a.
【知识要点】 1.参数方程的定义 在平面直角坐标系中,如果x=曲f线(上t)任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数,即_y=g(t)___,并且对于 t 的 每一个允许值,由该方程组所确定的点 M(x,y)都在这条 曲线上,那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系 变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数.相对于参数方程 而言,直接给出点的坐标间关系的方程 F(x,y)=0 叫做普 通方程.
【解析】(1)⊙O 的直角坐标方程为 x2+y2=1. 当 α=π2时,l 与⊙O 交于两点. 当 α≠π2时,记 tan α=k,则 l 的方程为 y=kx- 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当 1+2 k2<1,解得 k<-1 或 k>1,即 α∈π4,π2或 α∈π2,34π. 综上,α 的取值范围是π4,34π.
4.已知直线 l1:xy= =12- +2ktt,(t 为参数)与直线 l2:
x=s, y=1-2s(s
为参数)垂直,求
k
的值.
【解析】直线 l1 的普通方程为 y=-k2x+4+2 k,
斜率为-k2; 直线 l2 的普通方程为 y=-2x+1,斜率为-2. ∵l1 与 l2 垂直, ∴-k2×(-2)=-1⇒k=-1.
解得 0≤sin2α<113,
∵|PA|·|PB|=|t1t2|=4sin2α1+2 cos2α=3sin12α2+1, ∴当 sin α=0 时,|PA|·|PB|最大, 此时 k=tan α=0, 所以直线 l 的直角坐标方程为 y=0.
1.选取参数时的一般原则是:(1)x,y 与参数的 关系较明显,并列出关系式;(2)当参数取一值时,可 唯一确定 x,y 的值;(3)在研究与时间有关的运动物体 时,常选时间作为参数;在研究旋转物体时,常选用 旋转角作为参数;此外,也常用线段的长度、倾斜角、 斜率、截距等作为参数.
【解析】(1)曲线 C 的普通方程为x92+y2=1. 当 a=-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0,
x+4y-3=0, 由x92+y2=1, 解得xy==03,或xy==22-45.2215,
从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0),-2215,2245.
6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可 考虑用其参数方程设定点的坐标,将问题转化为三角函 数问题求解.
7.在直线与圆和圆锥曲线位置关系问题中,涉及 距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何 意义求解.
8.在求某些动点的轨迹方程时,直接寻找 x,y 的关系困代入曲线
θ
C
的极坐标方程可得直
角坐标方程为x42+y2=1.
(2)设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2, 把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 可得(4sin2α+cos2α)t2-(8cos α)t+12=0, 因为有两个交点,所以 Δ=64cos2α-48(4sin2α+ cos2α)>0,
∴曲线 C2 的普通方程是 2x+3y-10=0.
(2)设点 P(2cos θ,sin θ)为曲线 C1 上任意一点,则
点 P 到直线 2x+3y-10=0 的距离为 d,则
d=|4cos
θ+3sin 13
θ-10|=|5sin(θ+φ)-10|, 13
∵sin(θ+φ)∈[-1,1],
∴d∈5


准方


x=x0±
y=y0+
a2|a+| b2t′,
|b|
(t′∈R),式中“±”
a2+b2t′
号,当 a,b 同号时取正;当 a,b 异号时取负.
5.参数方程与普通方程互化时,要注意:(1)不是 所有的参数方程都能化为普通方程;(2)在化参数方程 为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小;(3)把普通 方程化为参数方程时,由于参数选择的不同而不同,参 数的选择是由具体的问题来决定的.
(2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,故 C 上
的 点 (3cos θ , sin θ) 到 l 的 距 离 为 d =
|3cos θ+4sin θ-a-4|
17
.
当 a≥-4 时,d 的最大值为a+179.
由题设得a+9= 17
17,所以 a=8;
当 a<-4 时,d 的最大值为-a1+7 1.
(2)对于形如xy==yx00++batt,(t 为参数),当 a2+b2≠1 时,应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题.
考点 3 参数方程与极坐标方程的综合问题
例3在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 P(-4,0),
倾斜角为 α,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ -4=0.
【解析】消去参数,转化为普通方程得 y=x-2, 其中 x∈[2,3],y∈[0,1].故选 C.
【答案】C
2.参数方程x=t+1t,(t 为参数)表示的曲线是 y=2
________.
【解析】由 x=t+1t知 x≥2 或 x≤-2, ∴曲线方程为 y=2(x≥2 或 x≤-2),表示两条 射线.
(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方 程;
(2)若直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A,B,当 |PA|·|PB|最大时,求出直线 l 的直角坐标方程.
【解析】(1)直线 l 的参数方程为xy==-tsin4+α tcos α,
(t 为参数),
把xy==ρρcsions
2.参数方程和普通方程的互化 由参数方程化为普通方程:_消_ 去参数__,消参数的方 法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等.如果 知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x=f(t),把它 代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那
么xy==fg((tt)),就是曲线的参数方程,在参数方程与普通
【点评】(1)过定点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 参数方程的标准式为xy==yx00++ttscionsαα,(t 为参数),t 的几 何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的数量,即|t|= |PP0|时为距离.使用该式时直线上任意两点 P1、P2 对 应的参数分别为 t1、t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2 的中点 对应的参数为12(t1+t2).
由题设得-a+1= 17
17,所以 a=-16.
综上,a=8 或 a=-16.
2.(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系 xOy 中,⊙O
的参数方程为xy==scions
θ, θ (θ
为参数),过点(0,-
2)
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