(名师导学)2020版高考数学总复习第十一章坐标系与参数方程第74讲参数方程课件理新人教A版选修4_4

【点评】(1)过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 参数方程的标准式为xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα，(t 为参数)，t 的几 何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0，y0)的数量，即|t|＝ |PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点 P1、P2 对 应的参数分别为 t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2 的中点 对应的参数为12(t1＋t2)．
6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可 考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函 数问题求解．
7．在直线与圆和圆锥曲线位置关系问题中，涉及 距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何 意义求解．
8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找 x，y 的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立 动点的参数方程后求解．
4．已知直线 l1：xy＝ ＝12－ ＋2ktt，(t 为参数)与直线 l2：
x＝s， y＝1－2s(s
为参数)垂直，求
k
的值．
【解析】直线 l1 的普通方程为 y＝－k2x＋4＋2 k，
斜率为－k2； 直线 l2 的普通方程为 y＝－2x＋1，斜率为－2. ∵l1 与 l2 垂直， ∴－k2×(－2)＝－1⇒k＝－1.
例2在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1：xy＝＝ttcsions
Βιβλιοθήκη Baiduα， α
(t 为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π.在以 O 为极点，x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sin θ，C3：
ρ＝2 3cos θ.
(1)求 C2 与 C3 的交点的直角坐标； (2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B， 求|AB|的最大值．
【解析】消去参数，转化为普通方程得 y＝x－2， 其中 x∈[2，3]，y∈[0，1]．故选 C.
【答案】C
2．参数方程x＝t＋1t，(t 为参数)表示的曲线是 y＝2
________．
【解析】由 x＝t＋1t知 x≥2 或 x≤－2， ∴曲线方程为 y＝2(x≥2 或 x≤－2)，表示两条 射线．
(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)， 其中 0≤α＜π.
因此 A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(2 3 cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2 3cos α|＝4sinα－π3. 当 α＝56π时，|AB|取得最大值，最大值为 4.
2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立 直角坐标系，在曲线上设任意一点 P(x，y)；(2)选择适 当的参数；(3)找出 x，y 与参数的关系，列出解析式； (4)证明(常常省略)．
3．根据直线的参数方程标准式中 t 的几何意义， 有如下常用结论：(1)若 M1，M2 为 l 上任意两点，M1， M2 对应 t 的值分别为 t1，t2，则|M1M2|＝|t1－t2|；(2)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则有 t1＋t2＝0；(3)若线段 M1M2 的中点为 M，则 M0M＝tM＝t1＋2 t2.一般地，若点
为
标
准方
程
是
x＝x0±
y＝y0＋
a2|a＋| b2t′，
|b|
(t′∈R)，式中“±”
a2＋b2t′
号，当 a，b 同号时取正；当 a，b 异号时取负．
5．参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是 所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程 为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通 方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参 数的选择是由具体的问题来决定的．
【解析】(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y ＝0，
曲线 C3 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 3x＝0.
联立xx22＋＋yy22－－22y＝3x0＝，0，
解得xy＝＝00，，或xy＝＝322.3，
所以
C2 与

C3
交点的直角坐标为(0，0)和

23，32.
第74讲 参数方程
【学习目标】 1．了解曲线参数方程的意义，掌握直线、圆及圆 锥曲线的参数方程，会应用参数方程解决有关的问题． 2．掌握参数方程与普通方程的互化，会根据已知 给出的参数，依据条件建立参数方程．
【基础检测】 1．将参数方程xy＝ ＝2si＋n2sθin2θ，(θ 为参数)化为普通 方程为( ) A．y＝x－2 B．y＝x＋2 C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
【答案】两条射线
3．在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆xy＝＝2c3ossinθ，θ (θ 为参数)的右焦点，且与直线xy＝＝43－－2t t，(t 为参数) 平行的直线截椭圆所得的弦长为________．
【解析】椭圆的普通方程为x42＋y32＝1，则右焦点 的坐标为(1，0)．
(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方 程；
(2)若直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A，B，当 |PA|·|PB|最大时，求出直线 l 的直角坐标方程．
【解析】(1)直线 l 的参数方程为xy＝＝－tsin4＋α tcos α，
(t 为参数)，
把xy＝＝ρρcsions
【知识要点】 1.参数方程的定义 在平面直角坐标系中,如果x＝曲f线（上t）任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数,即_y＝g（t）___,并且对于 t 的 每一个允许值,由该方程组所确定的点 M(x,y)都在这条 曲线上,那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系 变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数.相对于参数方程 而言,直接给出点的坐标间关系的方程 F(x,y)＝0 叫做普 通方程.
∴曲线 C2 的普通方程是 2x＋3y－10＝0.
(2)设点 P(2cos θ，sin θ)为曲线 C1 上任意一点，则
点 P 到直线 2x＋3y－10＝0 的距离为 d，则
d＝|4cos
θ＋3sin 13
θ－10|＝|5sin（θ＋φ）－10|， 13
∵sin(θ＋φ)∈[－1，1]，
∴d∈5
θ， 代入曲线
θ
C
的极坐标方程可得直
角坐标方程为x42＋y2＝1.
(2)设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， 把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 可得(4sin2α＋cos2α)t2－(8cos α)t＋12＝0， 因为有两个交点，所以 Δ＝64cos2α－48(4sin2α＋ cos2α)>0，
解得 0≤sin2α＜113，
∵|PA|·|PB|＝|t1t2|＝4sin2α1＋2 cos2α＝3sin12α2＋1， ∴当 sin α＝0 时，|PA|·|PB|最大， 此时 k＝tan α＝0， 所以直线 l 的直角坐标方程为 y＝0.
1．选取参数时的一般原则是：(1)x，y 与参数的 关系较明显，并列出关系式；(2)当参数取一值时，可 唯一确定 x，y 的值；(3)在研究与时间有关的运动物体 时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用 旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、 斜率、截距等作为参数．
方程的互化中,必须使 x,y 的取值范围保持一致.
考点 1 参数方程与普通方程的互化
例1已知曲线
C1
的参数方程是xy＝＝2sicnosθ
θ， (θ
为参数)，
x＝3－t， 曲线 C2 的参数方程是y＝4＋32t (t 为参数)．
(1)将曲线 C1，C2 的参数方程化为普通方程； (2)求曲线 C1 上的点到曲线 C2 的距离的最大值和最小值．

1313，151313，
∴dmax＝151313，dmin＝5
13 13 .
【点评】(1)将参数方程化为普通方程，消参数常 用代入法与加减消元法．
(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量 是参数，以及参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取值 范围的影响．
考点 2 直线与圆的参数方程及应用
1．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的参数方程为xy＝＝s3icnoθs
θ， (θ
为参数)，直线
l
的参数方
程为xy＝＝1a－＋t4t，(t 为参数)． (1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标；
(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17，求 a.
由题设得－a＋1＝ 17
17，所以 a＝－16.
综上，a＝8 或 a＝－16.
2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O
的参数方程为xy＝＝scions
θ， θ (θ
为参数)，过点(0，－
2)
且倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A，B 两点． (1)求 α 的取值范围； (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．
2.参数方程和普通方程的互化 由参数方程化为普通方程：_消_ 去参数__,消参数的方 法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等.如果 知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x＝f(t),把它 代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t),那
么xy＝＝fg（（tt）），就是曲线的参数方程,在参数方程与普通
【解析】(1)曲线 C 的普通方程为x92＋y2＝1. 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0，
x＋4y－3＝0， 由x92＋y2＝1， 解得xy＝＝03，或xy＝＝22－45.2215，
从而 C 与 l 的交点坐标为(3，0)，－2215，2245.
(2)直线 l 的普通方程为 x＋4y－a－4＝0，故 C 上
的 点 (3cos θ ， sin θ) 到 l 的 距 离 为 d ＝
|3cos θ＋4sin θ－a－4|
17
.
当 a≥－4 时，d 的最大值为a＋179.
由题设得a＋9＝ 17
17，所以 a＝8；
当 a<－4 时，d 的最大值为－a1＋7 1.
直线的普通方程为 x－2y＋2＝0，过点(1，0)与直 线 x－2y＋2＝0 平行的直线方程为 x－2y－1＝0.
由x42＋y32＝1， 得 4x2－2x－11＝0，所以所求的 x－2y－1＝0
弦长为 1＋122× 122－4×－141＝145.
【答案】145
【解析】(1)⊙O 的直角坐标方程为 x2＋y2＝1. 当 α＝π2时，l 与⊙O 交于两点． 当 α≠π2时，记 tan α＝k，则 l 的方程为 y＝kx－ 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当 1＋2 k2<1，解得 k<－1 或 k>1，即 α∈π4，π2或 α∈π2，34π. 综上，α 的取值范围是π4，34π.
(2)对于形如xy＝＝yx00＋＋batt，(t 为参数)，当 a2＋b2≠1 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题．
考点 3 参数方程与极坐标方程的综合问题
例3在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 P(－4，0)，
倾斜角为 α，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 4ρ2sin2θ＋ρ2cos2θ －4＝0.
P 分线段 M1M2 所成的比为 λ，则 tP＝t11＋＋λλt2.
4．直线的参数方程的一般式xy＝＝xy00＋＋abtt，(t 为参
数)，是过点 M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程．当 且仅当 a2＋b2＝1 且 b≥0 时，才是标准方程，t 才具有
标准方程中的几何意义．将非标准方程xy＝＝xy00＋＋abtt，化
【解析】(1)曲线
C1
的参数方程是xy＝＝2sicnosθ
θ， (θ
为参数)，则 cos θ＝x2， ∵sin2θ＋cos2θ＝1，可得x42＋y2＝1， ∴曲线 C1 的普通方程是x42＋y2＝1；
x＝3－t， 曲线 C2 的参数方程是y＝4＋32t (t 为参数)，消去
参数 t，t＝3－x，代入 y＝4＋2（33－x），即 2x＋3y －10＝0，