误区2.3+对定积分概念或几何意义理解不清致误-2018届高三数学成功在我之优等生提分精品+Word版含解析

合集下载

对于定积分的理解和认识

对于定积分的理解和认识一、什么是定积分定积分是微积分中的一个重要概念，它是一个数学工具，用于计算曲线下面的面积。

在数学上，定积分可以看作是一个区间内函数值的加权平均值。

它可以用来求解许多实际问题，如物理学中的速度、加速度、质心等问题。

二、定积分的定义定积分的定义可以通过极限来进行表述。

假设有一个函数f(x)，我们要求解它在[a,b]区间内的定积分，则可以将[a,b]区间划分成n个小区间，并假设每个小区间长度为Δx。

那么我们可以将[a,b]区间内f(x)函数所对应的曲线下面的面积近似地表示为：S ≈ f(x1)Δx + f(x2)Δx + ... + f(xn)Δx其中，xi表示每个小区间中任意一点。

当n趋向于无穷大时，这个近似值就会越来越接近真实值。

因此，我们可以用极限来表示这个面积：S = lim(Δx→0) Σf(xi)Δx这里，lim表示取极限。

三、定积分与不定积分不同于定积分需要具有上下限和被积函数，不定积分只需要被积函数即可。

不定积分的结果是一个函数，而定积分的结果是一个数值。

不定积分可以看作是对原函数的求解，而定积分则是对曲线下面的面积进行求解。

四、定积分的性质1. 反比例如果将被积函数f(x)乘以一个常数k，则其定积分也会乘以k。

∫kf(x)dx = k∫f(x)dx2. 线性性如果有两个函数f(x)和g(x)，则它们的和或差的定积分等于它们各自的定积分之和或差。

∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx∫[f(x)-g(x)]dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx3. 区间可加性如果将一个区间[a,b]划分成两个子区间[a,c]和[c,b]，则整个区间[a,b]上的定积分等于两个子区间上的定积分之和。

∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx五、如何计算定积分在实际计算中，我们通常使用牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等方法来计算定积分。

定积分的几何意义右中学数学中的应用——一道高考题引发的思考

。
～
线＝，＝胛ｌ＝０＋，和曲线Ｊ＝一，１围成的曲边梯形的面积，记为；
图１
— ．
设函数ｆｘ＝＋ｌｘ１，（）ｂ（＋）其中ｂ０ｎ ≠ ．
（Ｉ）略；（ＩＩ）略；
”＋１、
ｆ１ｎ表示矩形＋一１
示梯形的面积，记为．如图３所示，显然有＞，即①式成立．
ｙＩ
ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ，Ｙ＝０曲线Ｙ＝一和１围成的曲边梯形的
面积，记为Ｓ；一（一）１口６表示矩形ＡＣ・ＢＤ的面积，
资料，发现它在不等式证明中的应用还很广泛，而且用起来很简单．
例２若６。求证：ｌ一６）＞＞，ｎｌ＞ｂａｂ口ｎ２（－
．
原解原式中的左边
则ｔ＋＞一．有ｎ Leabharlann （）一，ｎ力新解
ＤＤａ
ａ
．
只要证ｌｎ
＞一，
＝，
即ＩｎｉＩ＞１证ｎ＋）ｎ一１－ｎ
构造函数ｆｘ＝ｎ＋－１，（）ｌ￣Ｉ（＞）ｘ
，
，
．
又ｌ１Ｉｎ十）ｎｎ（一＝＋，ｌ
・
．．
÷ 孚＝
一
１
…
容，它的几何意义是：如果在区间［，上函数／ｘａｂ］（）
‘
①
ｙ’
连且有（０那定分ｒ（表由续恒＿），么积／）示厂 ’
直线ａ＝，ａｂ，一０＝，ｂ（≠ ）Ｊ和曲线Ｙ／ｘ所＝（）

2017届高三数学误区：2.3-对定积分概念或几何意义理解不清致误

2017届高三数学跨越一本线精品误区三：对定积分概念及几何意义理解不清致误定积分是高考数学理科试卷常考问题,一般以客观题形式出现,主要考查求定积分及利用定积分求曲边多边形的面积,难度是中等或中等以下,在高考试题中属于得分题,但由于教材中定积分的内容比较少,安排的课时比较少,教学中对其重视不够,致使相当一部分同学对定积分概念及几何意义理解不清,在基础试题上失分,实在可惜.总结近几年高考试卷定积分失分情况主要有以下几种类型：求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错,不会用面积法求积分, 对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确．下面对这几类典型问题进行扼要剖析, 供同学们参考.一、求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错要求定积分首先要要求出被积函数的原函数,为此对高中阶段我们需要掌握的函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、五个特殊的幂函数、三角函数、对勾函数等要会求其定积分．当被积函数比较复杂,看不出原函数时,我们可以先化简,再积分.【例1】【2016届湖北省龙泉中学、宜昌一中高三10月联考】40cos 2cos sin x dx x x π+⎰=（）A．1) B1 C1 D．2【错因分析】本题易出错的原因有两方面,一是不知道如何化简被积函数,求不出原函数,由于被积函数比较复杂,可先化简三角函数式,然后再求定积分.二是对公式的记忆不准确,误以为sin x 的原函数是cos x .【答案】C 【解析】22444000cos 2cos sin (cos sin )(sin cos )4cos sin cos sin 0x x x dx dx x x dx x x x x x x ππππ-==-=+++⎰⎰⎰1=,故选C ．【小试牛刀】【2017河南百校联盟高三理11月质监】曲线()221f x x =-直线2x =,3x =以及轴所围成的封闭图形的面积是（）A.ln 2B.ln 3C.2ln 2D.3ln2【答案】D 【解析】所求面积()()3333222222111113ln 1n 1ln ln ln ln 1111232x dx dx x l x x x x x -⎛⎫=-=--+==-=⎡⎤ ⎪⎣⎦--++⎝⎭⎰⎰,故选D. 二、不会用面积法求积分根据定积分的几何意义,我们可以用定积分求曲边多边形的面积,反过来,我们也可以通过求曲边多边形的面积来求定积分,特别是被积函数的原函数不易求的,高中阶段一些被积函数是二次根式的一般用面积法去求,求的时候注意取值区间.【例2】【2017届四川双流中学高三训练】定积分0⎰的值为（） A ．4π B ．2π C ．π D ．2π,又不知道利用面积求定积分,导致解题受阻,或忽略y 的范围,把定积分的值等同于整个圆的面积.【答案】A【小试牛刀】【2016届黑龙江牡丹江一中高三10月】．【答案】【解析】,表示的几何意义是以为圆心,1为半径,四分之一圆的面积为,,三、对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确．定积分的主要应用是求曲边多边形的面积,其步骤是：（1）画图；（2）求交点坐标,分出函数的上下关系；（3）分割曲边梯形,根据交点坐标,分成几个部分；（4）对每个部分求积分,找出每个部分的面积,然后相加【例3】抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为__________．【错因分析】一是对定积分理解不透彻．不知道面积肯定是正的,而积分可以为任意实数致误；二是对于有交叉的图形,不知道分段处理；对于具有对称性的图形,不善于利用对称性,使问题简化；三是在求面积的时候找不到上下关系,求出的值易出错；四是有些题目让我们求封闭图形的面积,有些同学们误认为坐标轴也是封闭图形的一条线,事实上有些题目的封闭图形中,并不包含坐标轴．。

高中数学-定积分在几何中的应用-教后反思

课后反思
通过本堂课设计，应该能充分调动学生的积极性，明确定积分在几何中的应用的解题原理和方法。

学生能应用定积分求出某些平面图形的面积，知道某些简单的定积分表达式的几何意义．通过学习，对“面积”的概念有较为完整的认识．知道在求平面图形的面积时，定积分是一种普通适用的方法．培养了学生应用数学的意识和能力，进一步培养逻辑思维能力，以及用定积分的基本思想解决问题的能力。

不足之处：在课堂的调控中，老师讲解仍然过多，学生的动手能力还有欠缺，学生的主题意识还有待提高。

定积分的意义及其在几何中的应用

定积分的意义及其在几何中的应用定积分是微积分中的一种重要概念，它是反映了函数在一些区间上面积的大小。

定积分的含义非常丰富，不仅可以用于求函数的面积、周长、体积等几何问题，还广泛应用于物理学、经济学、生物学等领域的计算与分析中。

首先，定积分的最基本的含义是求函数在一些区间上的面积。

对于非负连续函数f(x)，可以将其图像以下方的函数图形为界，通过分割区间，构造出一系列较窄的矩形，然后求出这些矩形的面积之和，即可近似地得到曲线下面积的值。

随着分割区间的无穷细小，这个近似的面积将趋近一个确切的值，即定积分。

如果函数是负值或者非连续的情况，面积的计算则需要对函数图像进行分段处理，并分别计算每个部分的面积。

所以，定积分在几何中的应用可以明确地用于求曲线与坐标轴之间的面积。

其次，定积分也可以用于求曲线的弧长。

由于曲线的形状较为复杂，无法直接计算其弧长，但通过将曲线分成许多较小的线段，并每个线段用直线段来代替，再对这些直线段进行求和的方式，可以用定积分来近似计算曲线的长度。

当分割的线段无限细小时，这个近似的弧长将趋近于曲线的实际弧长。

这种方法虽然只能得到近似值，但对于一些无法获得解析解的复杂曲线来说，这种近似是非常有用的。

此外，在三维几何中，定积分可以应用于计算旋转体的体积。

对于一个曲线沿着坐标轴旋转形成的立体，可以将其分成许多非常薄的盘状元素，并计算每个盘状元素的体积，然后通过定积分将这些体积相加，即可得到整个旋转体的体积。

这个方法适用于各种形状的旋转体，能够有效地求解这些体积。

除了在几何中的应用，定积分在物理学、经济学、生物学等领域也有广泛的应用。

在物理学中，定积分可以用于计算各种形状物体的质心、重心等。

在经济学中，定积分常用于求解定量经济模型中的微积分方程，如求解需求曲线、利润函数等。

在生物学中，定积分可以用于计算生物体的体积、质量、功率等。

总之，定积分是微积分中一个重要的概念，不仅在几何中用于求解曲线的面积、弧长、旋转体的体积等问题，还在许多学科中都有广泛的应用。

高考数学复习点拨：走出定积分运用的误区

走出定积分运用的误区通过定积分与微积分基本定理部分知识的学习，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础．同时体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值，培养学生的创新意识和创新精神．在实际解题中，由于这部分知识的特殊性，经常会由于种种原因出现一些错误，下面结合实际加以剖析．1．公式应用出错微积分基本定理为：一般地，如果)(x f 是区间[a ，b]上的连续函数，并且)(x F '=)(x f ，那么⎰badx x f )(=)()(a F b F -．例1．计算⎰+212)1(dx x x ．错解：⎰+212)1(dx xx =⎰++2122)12(dx x x =|213)1231(x x x -+=|213)31(x +|21)2(x +|21)1(x -=)21(3133-+)21(2-－)211(-=－629．错解剖析：错误的原因在于对微积分基本定理记忆不准，定理的条件与对应的公式不清而导致错误．根据微积分基本定理，相应的公式是⎰badx x f )(=|)(bax F =)()(a F b F -，而不是⎰badx x f )(=)()(b F a F -．正解：⎰+212)1(dx x x =⎰++2122)12(dx x x =|213)1231(x x x -+ =|213)31(x +|21)2(x +|21)1(x -=)12(3133-+)12(2-－)121(-=629．评注：利用微积分基本定理来计算时通常是把求原函数与计算原函数值的差用一串等式表示出来．注意，把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误．2．几何意义出错我们知道，当函数)(x f 在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是以曲线)(x f 为曲边的曲边梯形的面积．在一般情况下，定积分⎰badx x f )(的几何意义是介于x轴，函数)(x f 的图象以及直线x=a ，x=b 之间各部分面积的代数和．例2．如图，函数)(x f y =在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为（） A ．⎰badx x f )( B ．⎰c adx x f )(－⎰bcdx x f )(C ．―⎰cadx x f )(―⎰b cdx x f )( D ．―⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(错解：选择答案：A 或B 或C ．错解剖析：错误的原因在于对微积分的几何意义不理解或理解得不够透彻而导致出错．根据微积分的几何意义，若0)(≥x f ，则在[a ，b ]上的阴影面积S =⎰badx x f )(；若0)(≤x f ，则在[a ，b ]上的阴影面积S =－⎰badx x f )(．正解：如图所示，在[a ，c ]上，0)(≤x f ；在[c ，b]上，0)(≥x f ；所以函数)(x f y =在区间[a ，b ]上的阴影部分的面积S =―⎰cadx x f )(+⎰bcdx x f )(，故选择答案：D ．评注：在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．各部分面积的代数和即为：x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积．3．实际应用出错利用定积分可以用来解决平面几何中的面积问题．其实，除几何方面外，定积分在工程物理等方面的应用也极其广泛，可以用来处理变速直线运动的路程和速度问题，也可以用来解决变力的作功问题等．例3．模拟火箭自静止开始竖直向上发射，设起动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足24100)(t t a -=，求火箭前s 5内的位移．错解：由题设知，⎰=50)()5(dt t a s =⎰-502)4100(dt t =|503)34100(t t -=35345100⨯-⨯=31000，即火箭前s 5内的位移为31000．错解剖析：错误的原因在于对实际应用中的相关问题理解不够透彻，关系混淆．一般地，变速直线运动的路程问题的一般解法：作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v （t ）（v （t ）≥0）在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s=⎰badt t v )(．而一般地，变速直线运动的速度问题的一般解法：作变速直线运动的物体所具有的速度v ，等于其加速度函数a =a （t ）在时间区间[a ，b ]上的定积分，即v =⎰badt t a )(．正解：由题设知，00==t t ，0)0(=v ，0)0(=s ，所以⎰-=t dt t t v 02)4100()(=334100t t -，那么⎰=50)()5(dt t v s =⎰-503)34100(dt t t =|5042)3150(t t -=33125，即火箭前s 5内的位移为33125．评注：先通过定积分求解变速直线运动的物体所具有的速度函数v （t ），再根据已求的速度函数，通过定积分求解在对应时间的位移．。

定积分的几何、物理意义

定积分的几何、物理意义定积分是微积分中的重要概念，它在几何和物理学中具有重要的意义。

在本文中，我们将探讨定积分的几何和物理意义，并解释这些概念在不同领域中的应用。

定积分的几何意义在几何学中，定积分可以理解为曲线下面的面积。

假设我们有一个函数 f(x)，它表示一个曲线在 x 轴上方的部分。

我们可以通过定积分来计算这个曲线下面的面积。

定积分的几何意义可以通过以下公式表示：定积分的几何意义公式定积分的几何意义公式其中，a 和 b 是积分的上下限。

这个公式告诉我们，定积分是将函数 f(x) 的值乘以一个微元 dx，并将它们加起来，最后得到的结果是曲线下面的面积。

定积分的几何意义在计算不规则形状的面积时非常有用。

通过将不规则形状分割成无限小的矩形，我们可以用定积分精确地计算出这个形状的面积。

这种方法被广泛应用于计算几何中的曲线、曲面和体积。

定积分的物理意义在物理学中，定积分具有许多重要的应用。

下面我们将介绍一些常见的物理意义。

1. 速度和位移假设一个物体在不同的时间点的速度被函数 v(t) 描述。

为了计算物体在给定时间间隔内的位移，我们可以使用定积分。

定积分的物理意义是将速度函数 v(t) 乘以微元 dt，并将它们加起来，得到位移的值。

公式如下：速度和位移的定积分公式速度和位移的定积分公式其中，v(t) 是速度函数，t1 和 t2 是时间的上下限。

这个公式告诉我们，位移等于速度乘以时间的累积。

2. 功和能量在物理学中，功是力在物体上所做的功。

假设一个物体在不同的位置点的力被函数 F(x) 描述。

为了计算力在给定位置间隔上所做的功，我们可以使用定积分。

定积分的物理意义是将力函数 F(x) 乘以微元 dx，并将它们加起来，得到功的值。

公式如下：功和能量的定积分公式功和能量的定积分公式其中，F(x) 是力函数，x1 和 x2 是位置的上下限。

这个公式告诉我们，功等于力乘以位移的累积。

功和能量之间有一个重要的关系。

定积分的几何意义

定积分的几何意义定积分是微积分的一个重要概念，与导数一样，也是牛顿和莱布尼茨在17世纪中期发明的。

定积分可以用于计算曲线下面积、曲线长度、体积、质量、质心等几何量，因此在几何中具有重要的意义。

首先，我们先来考虑较为简单的几何问题：曲线下的面积。

假设有一个函数f(x)，定义在闭区间[a, b]上，现在我们要计算这个函数所定义的曲线和x轴以及直线x=a, x=b所围成的图形的面积。

我们将x轴的分成n个等分，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。

然后在每个小区间内选择一个任意点xi（在第i个小区间内）进行计算，将这个点的纵坐标f(xi)和小区间的宽度Δx相乘得到该小矩形的面积。

最后，将所有小矩形的面积相加并取极限即可得到曲线下的面积。

形式化表示为：曲线下的面积= lim[n→∞] Σ[i=1, n] f(xi)Δx，其中Δx=(b-a)/n。

这个过程其实就是将曲线下的面积近似地等分成n个小矩形，然后对每个小矩形的面积进行求和。

当n趋于无穷大时，这个近似过程无限细化，得到的面积也就趋近于准确值。

除了曲线下的面积，定积分还可以用于计算曲线的弧长。

同样以一个函数f(x)为例，现在我们要计算它所定义的曲线从x=a到x=b的弧长。

同样地，我们将x轴的分成n个等分，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。

然后在每个小区间内选择一个任意点xi进行计算，这个点对应的坐标为(x,y)=(xi, f(xi))。

接下来，计算这些点之间的距离，将它们相加即得到曲线的弧长。

形式化表示为：曲线的弧长= lim[n→∞] Σ[i=1, n] √(Δx)^2 + (Δy)^2，其中Δx=(b-a)/n，Δy=f(xi)-f(xi+1)。

同样地，当n趋于无穷大时，这个近似过程无限细化，得到的弧长也就趋近于准确值。

除了面积和弧长，定积分还可以用于计算曲线围成的旋转体体积。

以函数f(x)为底，x=a到x=b的曲线段为母线，围绕x轴旋转一周所形成的体积就是通过定积分计算得到的。

定积分和二重积分的几何意义

定积分和二重积分的几何意义一、定积分的几何意义1. 当函数y = f(x)≥0，x∈[a,b]时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。

例如，对于函数y=x + 1，x∈[0,2]，∫_{0}^2(x + 1)dx表示由直线y=x + 1，x = 0，x = 2和x轴围成的梯形的面积。

2. 当函数y = f(x)≤0，x∈[a,b]时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的相反数。

例如，对于函数y=-x，x∈[0,1]，∫_{0}^1(-x)dx的值为-(1)/(2)，其绝对值(1)/(2)就是由y =-x，x = 0，x = 1和x轴围成的三角形的面积。

3. 当函数y = f(x)在[a,b]上有正有负时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去在x轴下方部分的面积。

例如，对于函数y=sin x，x∈[0,2π]，∫_{0}^2πsin xdx=0，这是因为sin x在[0,2π]上，x轴上方和下方的图形面积相等。

二、二重积分的几何意义1. 当z = f(x,y)≥0，(x,y)∈ D时（D为积分区域）- 二重积分∬_{D}f(x,y)dσ表示以曲面z = f(x,y)为顶，以xOy平面上的区域D 为底的曲顶柱体的体积。

例如，对于z = x^2+y^2，D为x^2+y^2≤1的圆形区域，∬_{D}(x^2+y^2)dσ表示以抛物面z = x^2+y^2为顶，以单位圆x^2+y^2≤1在xOy平面上的区域为底的曲顶柱体的体积。

2. 当z = f(x,y)≤0，(x,y)∈ D时- 二重积分∬_{D}f(x,y)dσ表示以曲面z = f(x,y)为顶（此时z值为负），以xOy 平面上的区域D为底的曲顶柱体体积的相反数。

对定积分应用的理解和认识

对定积分应用的理解和认识定积分的正式名称是黎曼积分，用黎曼自己的话来说定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。

即由 y=0, x=a ,x=b, y=f(X)所围成图形的面积。

定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n 份，用平行于y 轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n →+∞时所有这些矩形面积的和。

习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx 是相等的。

但是必须指出，即使Δx 不相等，积分值仍然相同。

我们假设这些“矩形面积和S=f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1),那么当n →+∞时，Δx 的最大值趋于0，所以所有的Δx 趋于0，所以S 仍然趋于积分值.一、定积分的理解1.定积分的性质设()()x g x f ,在所讨论的区间上都是可积的，则有性质1 线性()()[]()()()为常数αββαβαdx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰+⎰=+⎰ ()()()()[]()()dx x g x f dx x g x f dx x f A dx x Af b a b a b a b a b a ⎰±⎰=±⎰⎰=⎰⇔且性质2 区间可加性()()()()都成立或或不论b ac c b a b c a dx x f dx x f dx x f b c c a b a <<<<<<⎰+⎰=⎰性质3 保号性若()()0,0≥⎰<≥dx x f b a x f b a 则有且性质4 不等式若()()()()()dx x g dx x f b x a x g x f b a b a ⎰≤⎰≤≤≤则有,性质5 绝对值不等式 ()()()b a dx x f dx x f ba b a <⎰≤⎰性质6 估值不等式()()()[]则有上的最小值和最大值，在分别为和即b a x f M m b x a M x f m ,,≤≤≤≤ ()()()a b M dx x f a b m b a -≤⎰≤-2.积分中值定理若ƒ (x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b ]，使()()()a b f dx x f b a -=⎰ξ 3.定积分的换元法⎰⎰⎰+=⋅=c x d x f A dx x x f A dx x g )]([)([)(')]([)(ϕϕϕϕ⎰⎰⎰=⋅=⋅=bab abab a x AF x d x f A dx x x f A dx x g |)]([)]([)]([)(')]([)(ϕϕϕϕϕ注：1.用凑微分法尽量不要引入新的变量,否则积分上下限要改变.2.用凑微分时不变积分基本公式一定要熟()()()()[]()()C t F dt t t f dtt dx t x dx f +⎰==⎰易积出令..''ϕϕϕϕ 条件：x=ψ(t)具有连续的导数ψ′(t)()()()()[]()()βαβαϕϕϕϕ1..''t F dt t t f dtt dx t x dxx f b a =⎰==⎰令条件：（1）ψ(α)=a ，ψ(β)=b ，（2）x=ψ(x)具有连续的导数ψ′(t)且a ≤ψ(t)≤b(α≤t ≤β)4.定积分的分部积分法()()()()()()x du x v x v x u x dv x u ⎰-=⎰.条件：u=u （x ），v=v （x ）在[a ，b]上具有连续导数注：u （x ）v （x ）上不要忘记写上[]b a5．利用简化定积分计算的公式（１）．奇偶函数在关于原点对称区间上的积分设ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则有()()()()()图示是奇函数，当是偶函数，当⎩⎨⎧⎰=⎰--x f x f dx x f dx x f aa a a,0,2 （２）. wallis 公式()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧------⎰⎰为偶数，当为奇数，当n n n n n n n n n n xdx xdx n n ,2.21,23,1,1.3223,12cos 1sin 2020πππ注wallis 公式在计算［０，2π］上正弦或余弦函数高次方的积分非常方便。

高考数学一轮总复习积分与定积分应用常见错误与解题技巧

高考数学一轮总复习积分与定积分应用常见错误与解题技巧一. 积分与定积分应用的概念和基本原理在高考数学中，积分与定积分应用是一个重要的考点。

积分是微积分的一个重要概念，它可以用来求解曲线下的面积、曲线的长度、空间曲面的面积和体积等问题。

定积分应用则是积分的一种具体应用形式，用于解决实际问题。

二. 常见错误分析1.忽略曲线方程的定义域限制在解题过程中，有时候我们会遇到曲线方程具有一定的定义域限制的情况，这时候我们需要仔细分析曲线方程的定义域，并在进行积分计算的时候切不可忽略它。

否则，我们很可能得到错误的结果。

2.未进行合理的变量代换变量代换是积分计算中的一个重要技巧，可以帮助我们简化计算过程。

然而，有些同学在解题时未能进行合理的变量代换，导致计算变得繁琐，错误率增加。

因此，在解题过程中要善于运用变量代换，合理简化计算。

3.错误地确定积分上下限在定积分应用问题中，我们需要根据实际问题来确定积分的上下限。

但有些同学在此过程中容易出错，导致结果不准确。

因此，在解题过程中，我们要仔细分析问题，并确定积分的正确上下限。

三. 解题技巧总结1.合理利用换元法换元法在解决积分计算问题中是非常常见的技巧。

我们可以通过合理的换元，将积分转化为容易计算的形式，从而简化计算过程。

在进行换元时，要根据问题的特点选择合适的代换变量，并注意变量的变化范围。

2.注意积分上下限的确定积分上下限的确定是定积分应用问题中关键的一步。

在确定上下限时，要根据问题的要求来选择合适的区间，并注意区间的取值范围。

如果确定不准确，很可能得到错误的结果。

3.提炼问题核心在解决定积分应用问题时，有时候问题比较复杂，涉及多个因素。

为了避免计算过程的复杂性，我们可以尝试提炼出问题的核心内容，化繁为简。

通过将问题简化，可以更容易找到解题的思路和方法。

四. 练习题示例1.已知一条曲线的方程为y = x^2 - 2x + 1，求曲线与x轴所围成的面积。

解题思路：首先，我们需要确定曲线与x轴的交点，即解方程x^2 - 2x + 1 = 0。

2017高考数学必考点【定积分的概念及几何意义】整理.doc

2017高考数学必考点【定积分的概念及几何意义】整理高考数学想要取得好成绩必须要掌握好数学考点，很多考生在记忆数学考点的时候不够准确，因此在考试答题的时候就会模棱两可，为此下面为大家带来2017高考数学必考点【定积分的概念及几何意义】整理，希望大家能够认真掌握这些考点。

高考数学知识点：定积分的概念及几何意义定积分的定义：设函数f(x)在[a，b]上有界(通常指有最大值和最小值)，在a与b之间任意插入n-1个分点，，将区间[a，b]分成n个小区间(i=1，2，，n)，记每个小区间的长度为(i=1，2，，n)，在上任取一点i，作函数值f(i)与小区间长度的乘积f(i)(i=1，2,高考学习方法，，n)，并求和，记=max{△xi;i=1，2，，n }，如果当0时，和s总是趋向于一个定值，则该定值便称为函数f(x)在[a，b]上的定积分，记为，即，其中，称为函数f(x)在区间[a，b]的积分和。

定积分的几何意义：定积分在几何上，当f(x)0时，表示由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积;当f(x)0时，表示由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值;一般情况下，表示介于曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴之间的个部分面积的代数和。

定积分的性质：(1)(k为常数);(2);(3)(其中a定积分特别提醒：①定积分不是一个表达式，而是一个常数，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，例如：②定义中区间的分法和的取法是任意的2017高考数学必考点【定积分的概念及几何意义】整理为大家带来过了，数学考点是我们解题的重要依据，希望大家在记忆数学考点的时候多下功夫。

高中数学人教A版选修优化课件第一章定积分的概念

求 f(x)在区间[0,5]上的定积分．
[解析] (1)如图，
由定积分的几何意义，得
3

9－x2dx＝π×2 32＝92π，3 x3dx＝0.
－3
－3
由定积分的性质，得3－3( 9－x2－x3)dx
＝3
9－x2dx－3
x3dx＝92π.
－3
－3
(2)如图，由定积分的几何意义，得2xdx＝21×2×2＝2， 0

a
a
a
c
中 a<c<b)．
解析：由已知可得bf(x)dx＋bg(x)dx＝3，

a
a
bf(x)dx－bg(x)dx＝1，

a
a
解得bf(x)dx＝2，bg(x)dx＝1，

a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx

a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
如果 Δx 无限接近于 0(亦即 n→∞)时，上述和式 Sn 无限趋近于常数 S，那么称该
S＝bf(x)dx
常数 S 为函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分．记为：____a______.
其中：∫——叫作积分号． f(x)——叫作被积函数． f(x)dx——叫作被积式． x——叫作积分变量． a——叫作积分下限． b——叫作积分上限． [a，b]——叫作积分区间．
0
答案：12
探究一利用定义计算定积分 [典例 1] 利用定积分的定义，计算1(x2＋2)dx.

0
[解析] 把区间[0,1]分成 n 等份，分别为0，n1，n1，n2，…，i－n 1，ni ，…，n－n 1，1，小区间的长度为 Δx＝n1，

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题与详解

课程信息一、教学目标：1.理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2.理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题^二、知识要点分析 b1.定积分的概念：函数f(x)在区间［a, b］上的定积分表示为：L f(x)dx2.定积分的几何意义：(1)当函数f (x)在区间［a, b］上恒为正时，定积分f f(x)dx的几何意义是：y=f (x) ab与x=a, x=b及x轴围成的曲边梯形面积，在一般f#形下.［f (x)dx的几何意义是介于x轴、函数f (x)的图象、以及直线x=a, x=b之间的各部分的面积代数和，在x轴上方的面积取正号，x轴下方的面积取负号.b b b在图(1)中：ff (x)dx =s >0 ,在图(2)中：「(x)dx =s<0 ,在图(3)中：［f (x)dxa -a -a表示函数y=f (x)图象及直线x=a, x=b、x轴围成的面积的代数和. b 注：函数y=f (x)图象与x轴及直线x=a, x=b围成的面积不一定等于 f f(x)dx,仅a b当在区间［a, b］上f (x)恒正时，其面积才等于 f f(x)dx.a3.定积分的性质，(设函数f (x), g (x)在区间［a, b］上可积)b b b(1)［f(x) -g(x)］dx = J f(x)dx - g(x)dxa a ab b(2)ikf(x)dx = k j f (x)dx , (k 为常数)a ab c b(3)f(x)dx = f(x)dx，I f (x)dxa a cb(4)若在区间［a, b］上，f(x)之0,则1 f(x)dx >0a⑵ | a f(x)dx 匡 a | f(x)|dx aa a (3)若 f(x)是偶函数,则 f f (x)dx = 2 f f (x)dx ,若 f(x)是奇函数，则 f f (x)dx=0 ’.a ’0 」 4.微积分基本定理：b一般地,右 F (x) = f (x)，且f (x)在［a,b ］上可积,则 f f (x)dx = F (b) - F (a) a 注：(1)若F ‛(x) = f(x)则F (x)叫函数f (x)在区间［a, b ］上的一个原函数，根b据导数定义知：F (x) +C 也是f (x)的原函数，求定积分 f f(x)dx 的关键是求f (x)的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F (x).(2)求导运算与求原函数的运算互为逆运算 . 【典型例题】知识点一：定积分的几何意义2二'sinxdx=0推断：求直线 x=0, x=2n , y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是(2：：,题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意［sin xdx 与y=sinx 及直线x=a, x=b 和x 轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间［0, 2冗］内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断. 解：对于(A):由于直线x=0 , x= 2冗,y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于(B), (C)根据y=sinx 在［0, 2n ］内关于(冗,0)对称知两个答案都是错误的.根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案( D)是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点2 .只是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0, x= 2几围成的面积等于 (f(x)dx .例2.利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 1(1) 0 2xdx =11f 2推论：(1)若在区间［a, b ］上,f (x) «g(x)，则 J f (x)dx « J g(x)dx例1 .根据 A.面积为0B.曲边梯形在C.曲边梯形在D.曲边梯形在 x 轴上方的面积大于在 x 轴上方的面积小于在 x 轴上方的面积等于在 x 轴下方的面积 x 轴下方的面积 x 轴下方的面积*(2)0 1 -x dx =屋题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间［0, 1］上函数y=2x,及y= J1 —x2恒为正时，定积分(2xdx表示函数y=2x图象与x=0,x=1围成的图形的面积，(，1 -x2dx表示函数y二11一x2图象与x=0, x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x及y=\；1—x2的图象，求此图象与直线x=0 , x=1围成的面积.解：(1)在同一坐标系中画出函数y=2x的图象及直线x=0 , x=1 (如图)，它们围成的图形图所示，所以函数y = <1 — x2与直线x=0 , x=1围成的图形面积是圆x2+ y2= 1面积的四分之一，又y = /1 —x2在区间［0, 1］上恒为正.f h -x2dx =—0 4解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x及函数y= Q1 — x2在区间［0, 1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.4例3.利用定积分的几何意义求r (| x —1|十| x — 3 |)dx的值.4题意分析：本题考查定积分的几何意义，］(|xT| + |x-3|)dx的值是函数y」x -1| +|x—3|的图象与直线x=0, x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间[0, 4]分割为[0, 1], [1, 3], [3, 4],在每个区间上讨论x—1, x-3的符号，把函数y=|x-1|+|x-3|化为分段函数，再根据定积分的几何意义求40(|x-1| +|x-3|)dx 的值.-2x 4,(x [0,1]解：函数y =| x —1| + | x —3 |化为y = {2,(x w [1,3]2x-4,(x [3,4]-2x 4,(x [0,1]由于函数y ={2,(xW[1,3] 在区间[0, 1], [1, 3], [3, 4]都恒为正. 2x-4,(x [3,4] 设函数y= — 2x+4的图象与直线x=0, x=1围成的面积为 &函数y=2的图象与直线x=1 , x=3围成的面积是S2函数y=2x — 4的图象与直线x=3 , x=4围成的面积是S3一 1 一一一由图知：S1=S3=-(4 2) 1=3,S2=2 2 = 44由定积分的几何意义知：o(|x-1| • |x-3|)dx=& • S3 • S2 =10解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分40 (| x-1| +|x -3|)dx的值，体现了等价转化的数学思想(把区间[ 0, 4]分割，把函数y=|x—1|+|x —3|化成分段函数)、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间[0, 4]分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间[ a, b]上f (x)恒为正时，f (x) 在区间[a, b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a, x=b围成的面积.在画函数图象时注意x的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.一、选择题1.(2010 山东日照模考)a=「2xdx, b= f2e x dx, c=「2sinxdx,则a、b、c 的大小关系是'0 10 ' O( )A. a<c<bB. a<b<cC. c<b<aD. c<a<b2.(2010山东理，7)由曲线y=x2, y = x3围成的封闭图形面积为()C. (e 11, e) 8. （2010福建厦门一中）如图所示，在一个长为兀，宽为2的矩形OABC 内，曲线y = sinx （0<x<兀后x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点（该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）1A.— C .3 7 D- 12（2010湖南师大附中）设点P 在曲线y=x 2上从原点到A （2,4）移动，如果把由直线直线y=x 2及直线x = 2所围成的面积分别记作S 1, 5.如图所示，当S I =S 2时，点POP,的坐标是（） A. *C. 3, 157 D .百3. 由二条直线x= 0、 x= 2、y=0和曲线y=x 3所围成的图形的面积为（）4.C. 5.4B.3D. 6 （2010湖南省考试院调研）j 1 —1（sinx+1）dx 的值为（） 2 + 2cos1 B. 2D. 2—2cos1曲线y= cosx （0wxw 2兀后直线y= 1所围成的图形面积是（） B. 3兀C 3jt D.兀6 .函数 F(x)=「t(t —4)dt 在［―1,5］上()A .有最大值0,无最小值B.有最大值0和最小值-323C.有最小值-警，无最大值3D.既无最大值也无最小值7 .已知等差数列｛a n ｝的前n 项和S n=2n 2+n,函数 f(x)=「一dt,若 f(x)<a 3,则 , 1 t x 的取值范围是（）A. -k OO ? 18 . (0, e 21) D. (0, e 11)10. (2010沈阳二十中)设函数f(x) = x-［x ］,其中［x ］表示不超过x 的最大整数，如［—1.2］x =—2, [1.2]= 1, [1] = 1.又函数g(x) = -x, f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m, f(x)与g(x) 3的图象交点的个数记为 n,则f ng(x)dx 的值是('m 8. -43C.(2010江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间上随机等可能地抽取一个实数记为b,乙从区间［0,1］上随机等可能地抽取一个实数记为 c 可以相等),若关于x 的方程x 2+2bx+c=0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )1 A 「兀2 B.- 兀 3C.兀D.49. (2010吉林质检)函数 f(x) = S x + 2(-2<x<02cosx(0WxW]) 兀的图象与x 轴所围成的图形面积 S 为( )A.2B. 1C. 4 1D.2 [0,1] c(b 、 A.1 3 B.2 C -C.2D.312. (2010吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1),曲线y=x 2(x>0)与x 轴，直线落在区域M 内的概率是(x=1构成区域M,现将一个质点随机地投入正方形中，则质点 1A.21 B.4 1C"32 D.5二、填空题 13. (2010芜湖十二中)已知函数f(x)=3x2+2x+1 ,若1f(x)dx= 2f(a)成立,则 a=兀 L 1 A 一一一，、，人一, 1 一S I14 .已知 a= 2 2°（sinx+ cosx ）dx,则二项式（aF —了）的展开式中含 x 项的系数是 15 .抛物线y 2=2x 与直线y= 4 —x 围成的平面图形的面积为若直线l 与抛物线相切且平行于直线 2x —y+6= 0,则l 的方程为f （x ）= - x 3+ax 2+bx （a, bC R ）的图象如图所示，它与. ........ 一一一，，一一一一， ,， ............... .. . 1 ............ 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为112,则a 的值为三、解答题18 .如图所示，在区间［0,1］上给定曲线y = x 2,试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S I + S 2最小. 16. （2010安徽合肥质检）抛物线 y 2= ax （a>0）与直线x= 1围成的封闭图形的面积为 4 3'17. （2010福建福州市）已知函数。

定积分的概念学法

定积分的概念学法定积分的概念学习是数学中一个非常重要的内容,也是许多科学领域中不可或缺的一部分。

在这篇文章中,我们将深入探讨定积分的概念和应用。

定积分的定义在数学中,定积分是一种用来计算一个函数与一个变量的乘积的函数。

换句话说,定积分就是对一个函数进行累加,从而得到这个函数在一个区间上的总量。

我们可以通过一个简单的例子来更好地理解定积分的概念。

假设我们有一个函数f(x)=x^2,它的一个定积分可以表示为:∫(x^2)dx=∫(x^2)dx=x^3/3+C其中C是一个常数项。

这个定积分可以表示为在一个区间上的函数值之和,它的值为x^3/3加上一个常数项C。

定积分的应用在数学中,定积分有广泛的应用。

例如,可以使用定积分来计算一个函数在一个区间上的值,或者用来定义一个函数的导数。

定积分也可以用于求解曲线的最值。

在二维或三维空间中,我们可以通过计算函数的定积分来找到一个曲线的最高点或最低点。

定积分的计算定积分的计算是一个比较复杂的过程。

虽然定积分看起来很简单,但在实践中,我们需要注意一些细节。

首先,我们需要确定被积函数的积分区间。

这可以通过对函数进行不定积分来完成。

然后,我们需要计算不定积分。

这可以通过对函数进行求导来完成。

不过,在一些情况下,不定积分可能无法给出精确的结果,这时候我们需要使用数值积分来得到一个近似值。

最后,我们需要将定积分转化为定积分。

这可以通过对函数进行积分来实现。

定积分的实例下面是一个利用定积分计算曲线最值的例子。

假设我们有一个函数f(x)=x^3,我们需要计算这个函数在一个区间[0,2]上的最值。

首先,我们需要计算函数在区间[0,2]上的定积分。

定积分的计算结果为:∫(x^3)dx=∫(x^3)dx=(1/3)x^4+C其中C是一个常数项。

然后,我们对这个定积分求导,得到:d/dx(1/3)x^4)=(4/3)x^5这个导数的值为:(4/3)x^5=4x^5/3因此,函数f(x)=x^3在区间[0,2]上的最值为:f(2)=2^3-1=15除此之外,定积分还可以用于求解曲线的最值。

误区23 对定积分概念或几何意义理解不清致误-2021届高三数学成功在我之优等生提分精品(解析版)

专题二函数与导数误区二：对定积分概念及几何意义理解不清致误一、易错提醒定积分是高考数学理科试卷常考问题,一般以客观题形式出现,主要考查求定积分及利用定积分求曲边多边形的面积,难度是中等或中等以下,在高考试题中属于得分题,但由于教材中定积分的内容比较少,安排的课时比较少,教学中对其重视不够,致使相当一部分同学对定积分概念及几何意义理解不清,在基础试题上失分,实在可惜.总结近几年高考试卷定积分失分情况主要有以下几种类型：求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错,不会用面积法求积分, 对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确．二、典例精析(一) 求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错要求定积分首先要要求出被积函数的原函数,为此对高中阶段我们需要掌握的函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、五个特殊的幂函数、三角函数、对勾函数等要会求其定积分．当被积函数比较复杂,看不出原函数时,我们可以先化简,再积分.【例1】【2018届山东省师大附中高三第三次模拟】．π4cos2d cos sin xx x x =+⎰ A. ()221- B.21+ C. 21- D. 22-【错因分析】本题易出错的原因有两方面,一是不知道如何化简被积函数,求不出原函数,由于被积函数比较复杂,可先化简三角函数式,然后再求定积分.二是对公式的记忆不准确,误以为sin x 的原函数是cos x . 【答案】C【解析】22444000cos 2cos sin (cos sin )(sin cos )4cos sin cos sin 0x x xdx dx x x dx x x x x x xππππ-==-=+++⎰⎰⎰21=-,故选C ．学科#网【小试牛刀】【2017河南百校联盟高三理11月质监】曲线()221f x x =-直线2x =,3x =以及x 轴所围成的封闭图形的面积是（）A.ln 2B.ln 3C.2ln 2D.3ln 2【答案】D(二) 不会用面积法求积分根据定积分的几何意义,我们可以用定积分求曲边多边形的面积,反过来,我们也可以通过求曲边多边形的面积来求定积分,特别是被积函数的原函数不易求的,高中阶段一些被积函数是二次根式的一般用面积法去求,求的时候注意取值区间.【例2】【2017届四川双流中学高三训练】定积分()12x x dx -⎰的值为（）【错因分析】由于无法求出()2y x x =-的原函数,又不知道利用面积求定积分,导致解题受阻,或忽略y的范围,把定积分的值等同于整个圆的面积. 【答案】A 【解析】因()12x x dx -⎰dx x ⎰--=12)1(1,令t x =-1,则()12x x dx -⎰4arcsin 21120012ππ==-=--⎰t dt t ,故应选A.【小试牛刀】【2018届湖南省长沙市高三第三次月考】已知60,a x x ⎫>- ⎪⎝⎭展开式的常数项为15，则()21sin2aax x dx --+=⎰__________．【答案】2π(三) 对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确．（1）画图；（2）求交点坐标,分出函数的上下关系；（3）分割曲边梯形,根据交点坐标,分成几个部分；（4）对每个部分求积分,找出每个部分的面积,然后相加【例3】抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x围成的平面图形的面积为__________．【错因分析】一是对定积分理解不透彻．不知道面积肯定是正的,而积分可以为任意实数致误；二是对于有交叉的图形,不知道分段处理；对于具有对称性的图形,不善于利用对称性,使问题简化；三是在求面积的时候找不到上下关系,求出的值易出错；四是有些题目让我们求封闭图形的面积,有些同学们误认为坐标轴也是封闭图形的一条线,事实上有些题目的封闭图形中,并不包含坐标轴．【解析】如图所示,所求面积S ＝S A ＋S B ,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，得交点坐标为(2,2),(8,－4)．学科@网A 部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ,下半支方程为y ＝－2x ,所以： S A ＝⎠⎛02[2x －(－2x )]dx ＝22⎠⎛02x 12dx ＝22·23x 32|20＝163. B 部分：S B ＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －12x 2＋223x 32|82＝383.于是S ＝163＋383＝18. 【小试牛刀】【2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考】如图所示，曲线2y x =和直线0,1x x ==及14y =所围成的图形（阴影部分）的面积为__________．【答案】14【解析】根据题意得曲线2(0)y x x =>与14y =的交点坐标为11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭∵曲线2y x =和直线0x =， 1x =， 14y =所围成的图形（阴影部分）的面积为112221021144S x dx x dx ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰∴围成的图形的面积为331111*********| | 21433482434248402S x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为14三、迁移运用1.【2018届湖南省长沙市第二次模拟】若()2sin 18aaxx dx -+=⎰，则a =__________．【答案】3【解析】()3322sin cos 1833aaaa x a x x dx x --⎛⎫+=-==⎪⎝⎭⎰ ， 327a = ，则3a =. 2．【2018届北京市东城区65中学高三上学期期中】定积分3112d x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰__________．【答案】8ln3- 【解析】3112d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰ ()231ln |x x =- ()()223ln311ln =--- 8ln3=-．【答案】π2e 22+- 4．【2017届黑龙江虎林一中高三理上学期月考】曲线 2y x =和曲线 2y x =围成的图形面积是（）A ．13 B ．23 C. 1 D ．43【答案】A【解析】由2200y x x y y x ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩或11x y =⎧⎨=⎩⇒所求的面积为31231200211()()|333x x dx x x ⇒-=⎰,故选A.422468105510155．【2017届山东临沂市高三理上学期期中】已知等差数列{}574680sin 2n a a a xdx a a a π+=++⎰中，，则的值为A.8B.6C.4D.2【答案】C【解析】⎰=-===+ππ006752cos sin 2x xdx a a a ,所以16=a ,根据等差数列的性质,4426864==++a a a a ,故选C.6．由曲线x y 1=,直线21=x ,2=x 及x 轴所围成图形的面积是（） A ．2ln 21 B ．2ln2 C ．415 D ．417[【答案】B【解析】曲线x y 1=,直线21=x ,2=x 及x 轴所围成图形的面积221221|ln 1x dx x =⎰2ln 221ln 2ln =-=,故答案为B ．7．曲线xy e =在点()22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） A ．292e B ．23e C ．2e D ．212e 【答案】D【解析】根据题意,曲线xy e =在点()22,e 处的切线方程为220e x y e --=,从而求得该切线与坐标轴所围三角形的面积为2211122S e e =⋅⋅=,故选D ． 8.若函数f (x ),g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝0,则称f (x ),g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数,给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ,g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1,g (x )＝x －1；③f (x )＝x ,g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C9.直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43B ．2 C.83D.1623【答案】C【解析】由已知得l ：y ＝1,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1，得交点坐标为(－2,1),(2,1)．如图阴影部分,由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称,所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24dx ＝2⎝⎛⎭⎫x －112x 3|20＝2⎝⎛⎭⎫2－812＝83.故选C. 10．【2017届甘肃天水一中高三理12月月考】由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为．【答案】92【解析】由22223211119(1,1),(2,4)(2)(2)|2322y x A B S x x dx x x x y x --⎧=⇒-⇒=+-⇒+-=⎨=+⎩⎰．11．【2017届河北武邑中学高三理上学期调研】已知()1201x m dx +=⎰,则函数()()2log 2m f x x x =-的单调递减区间是______. 【答案】(]0,112．【2017届福建福州外国语学校高三上学期期中】函数221(x+1),(2x 0)f(x)=x x,(0<x 1)⎧≤≤⎪⎨≤⎪⎩－－－的图象与x 轴所围成的封闭图形面积为．【答案】1π+62【解析】∵221(x+1),(2x 0)f(x)=x x,(0<x 1)⎧≤≤⎪⎨≤⎪⎩－－－,∴函数221(x+1),(2x 0)f(x)=x x,(0<x 1)⎧≤≤⎪⎨≤⎪⎩－－－的图象与x 轴所围成的封闭图形面积为12213001()(1)2136222x x dx x x πππ+-=+-=+⎰．故答案为：1π+62. 13．【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】曲线xy 1=与直线x y =,2=x 所围成图形面积为 .【解析】222111113ln 2ln 2ln 2222S x dx x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰,故填3ln 22-. 14．【2017届广东七校联合体高三上学期联考】()2204x x dx -+⎰的值等于_____________．【答案】2+π 【解析】()⎰⎰⎰+-=+-20222244xdx dx x dx x x ,其中dx x ⎰-224表示半径为2的圆的面积的41,ππ=⋅⋅=-⎰22022414dx x ,22120220==⎰x xdx ,因此原式等于2+π,故填2+π.15．【2017届山东陵县一中高三12月月考】定积分⎰-1031dx x的值为．【答案】23【解析】因⎰-1031dx x 23023|231032=-==x ．故应填答案23．学#科网16．【2017山东潍坊市高三上学期期中联考】定积分()12031x x e dx ++⎰的值为．【答案】1e +【解析】()()()12310031|211x x x e dx x e x e e ++=++=+-=+⎰,故答案为1e +.17．【2017届河南中原名校高三上质检】已知函数()[](]2213,3,039,0,3x x f x x x ⎧-+∈-⎪=⎨⎪-∈⎩,则()33f x -=⎰ . 【答案】964π+【解析】()⎰⎰⎰---+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=033022339331dx x dx x x f ,其中6391331033032=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎰x x dx x ,其中dx x ⎰-329由定积分的几何意义可知,其表示半径为3的圆的面积的41,即49π,故()49633π+=⎰-dx x f .18．【2017届安徽蚌埠怀远县高三上学期摸底】()11sin x x dx -+=⎰___________．【答案】119.设a >0,若曲线y ＝x 与直线x ＝a ,y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2,则a ＝________．【答案】49【解析】由题意知⎠⎛0a x d x ＝a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′＝x ,则23x 32⎪⎪⎪a 0＝a 2.即23a 32＝a 2,所以a ＝49.【答案】2π＋1。