第十七章 多元函数微分学
《数学分析》第十七章多元函数微分学
06 曲线积分与曲面积分在多 元函数中的应用
曲线积分计算及其在电磁学中的应用
曲线积分的定义与计算方法
包括第一类曲线积分和第二类曲线积分的概念、性质及计算 方法。
曲线积分在电磁学中的应用
通过曲线积分可以计算电场强度、磁场强度等物理量，进而 研究电磁场的分布和变化规律。
曲面积分计算及其在流体力学中的应用
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，且$lim_{(x,y) to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称 函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续。
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 不连续，则称$P_0(x_0,y_0)$为函数 $f(x,y)$的间断点。
全微分概念与计算
全微分的定义
全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，表示函数在某一点附 近的变化量可以近似地用一个线性函数来表示。
全微分的计算
全微分可以通过偏导数来计算，具体为将函数的增量表示为各自变 量增量的线性组合，系数即为偏导数。
全微分的几何意义
全微分表示函数在某一点附近的变化量，可以用来近似计算函数值 的增量。
多元反函数微分法
多元反函数存在定理
若函数$f: D subseteq mathbb{R}^n to mathbb{R}^n$在点$x_0$处可逆，即存在反函数$f^{-1}$，则$f^{1}$在点$f(x_0)$处也可微。
多元反函数微分法
设$y = f(x)$在点$x_0$处可微，且$f'(x_0)$可逆，则反函数$x = f^{-1}(y)$在点$y_0 = f(x_0)$处也可微，且其 导数为$[f^{-1}]'(y_0) = [f'(x_0)]^{-1}$。
《多元函数微分学》word版
第十七章 多元函数微分学一、证明题1. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有x y1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=()22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1x Z ∂∂+y 1y Z ∂∂=2yZ . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:x Z ∂∂ sec x + y Z ∂∂secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ之下.()2x f +()2y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ).则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2vg .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x x F x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy y x xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx m k =f t n (x,y,z)(t>0) 证明: (1) f(x,y,z)=⎪⎭⎫ ⎝⎛m k n x Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x x f x +()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x m zf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n 1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n k n k 21k 1n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;(4) grad f(u)=f '(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-. 16.证明:函数 u=()t a 4b x 22e t a 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:tu ∂∂=222x u a ∂∂ 17.证明:函数u=()()22b y a x ln -+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ∂∂+22y u ∂∂=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: 22x u ∂∂+22y u ∂∂=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y +)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+ϕ,证明:⋅∂∂xu y x u 2∂∂∂=⋅∂∂y u 22x u ∂∂. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22y x 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctgx y ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=zx y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=z y x .2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx ; 求f x (x,1). 3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在.5. 考察函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分;(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1); (2) Z=22y x x+在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分;(1) Z=ysin(x+y);(2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctgx y 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的切平面方程和法线方程. 9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043;(2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续(1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性?(2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角. 15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=vw 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求xdZ α; (2) 设Z=xy y x 2222e xyy x ++,求x Z ∂∂,y Z ∂∂; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ∂; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ∂∂，v Z ∂∂； (5) 设u=f(x+y,xy),求x u ∂∂,yu ∂∂; (6) 设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z y ,y x ,求x u ∂∂,y u ∂∂,Z u ∂∂. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z )处的梯度以及它们的模.20.设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+- 求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1.21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度. 22.设r=222z y r ++,试求:(1)grad r; (2)grad r1.23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)≡0,试问此函数f 有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数;(2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数; (3) Z=xln(xy),y x z 23∂∂∂,23y x z ∂∂∂; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u ∂∂∂∂++; (5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数; (6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数；(7)Z=f(x+y,xy,yx ),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止);(2) f(x,y)=yx 在点(1,1)(到三阶为止); (3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤； (2) Z=22y x y x +-,(){}1y x y ,x ≤+; (3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是 ()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1nn1n 21n 12n 2221n21 x x x x x x x x x 11 1u ---=证明: (1)∑==∂∂n1k k 0;x u (2) ∑=-=∂∂n 1k k k u 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数 kt)b ht,f(a y k xh dt g(t)d n n n ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=. 5. 设 22x 求xk z h y g y f x e z d z c y b x a z)y,(x,∂∂+++++++++=ϕϕ. 6. 设 (z)h (z)h (z)h (y)g (y)g (y)g (x)f (x)f (x)f z)y,Φ(x,321321321=求z y x Φ3∂∂∂∂. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明 ∑==n 1i 0Li 0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明 1)f m (n 1)n(n f y y x x m +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ . 10. 对于函数f(x,y)=sin xy ,试证 my y x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂f=0. 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
《数学分析》第十七章 多元函数微分学
第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 )一． 可微性与全微分：1． 可微性：由一元函数引入.))()((22y x ∆+∆ο亦可写为y x ∆+∆βα,→∆∆) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (.2． 全微分:例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1二. 偏导数:1. 偏导数的定义、记法:2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1.3. 求偏导数:例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 .例5 设 . 0, 0, 0 ,),(22222223⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=y x y x y x y x y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f .证ρθθρρρθρθρ)sin cos (lim ),(lim2320sin ,cos )0,0(),(+===========→==→y x y x y x f=)0,0(0)sin cos (lim 230f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 .) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 200y y y yf y f y y →→=-= 不存在 .Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 .三. 可微条件:1. 必要条件:Th 1 设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点.),(y x f 在点) , (00y x 可微⇒) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在, 且==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆. (证)由于dy y dx x =∆=∆ , ,微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.例6 考查函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f 在原点的可微性. [1]P 110 E5 .2. 充分条件:Th 2 若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在, 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微. (证) [1]P 111 Th 3 若),(y x f y 在点) , (00y x 处连续, ),(y x f x 点) , (00y x 存在,则函数f 在点) , (00y x 可微.证 f y y x x f -∆+∆+) , (00) , (00y x[][]) , () , () , () , (00000000y x f y x x f y x x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+= 0 1,0 ),() , (0000→<<∆+∆+∆∆+∆+=αθαθx x y x f y y y x x f x y []x x y x f y y x f x y ∆+∆+∆+=αβ),(),(0000 0→β y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=βα) , () , (0000.即f 在点) , (00y x 可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例7 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=.0 , 0, 0 ,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f验证函数),(y x f 在点) 0 , 0 (可微, 但x f 和y f 在点) 0 , 0 (处不连续 . 证).0 , 0(),( , 01sin),(2222→→++=y x yx y x y x f ρ因此)(),(ρο=y x f ,即 )(00)0,0(),(ρο+∆+∆=-y x f y x f ,f 在点)0 , 0(可微,0)0,0( , 0)0,0(==y x f f . 但≠),(y x ) 0 , 0 (时, 有2222221cos1sin2),(yx y x x yx x y x f x ++-+=,沿方向,kx y = 2221||limlimkx xy x x x x +=+→→不存在, ⇒沿方向,kx y = 极限22221cos limyx y x x x ++→不存在; 又→),(y x ) 0 , 0 (时, 01sin222→+yx x ,因此,),(lim)0,0(),(y x f x y x →不存在, x f 在点) 0 , 0 (处不连续.由f 关于x 和y 对称,y f 也在点) 0 , 0 (处不连续 .四. 中值定理:Th 4 设函数f 在点) , (00y x 的某邻域内存在偏导数. 若),(y x 属于该邻域, 则存在)(010x x x -+=θξ和)(020y y y -+=θη, 10 , 1021<<<<θθ, 使得))( , ())( , (),(),(00000y y x f x x y f y x f y x f y x -+-=-ηξ. ( 证 ) 例8 设在区域D 内0==y x f f . 证明在D 内c x f ≡)(.五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1． 可微性的几何意义： 切平面的定义. [1]P 115.Th 5 曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 存在不平行于Z 轴的切平面的充要条件是函数),(y x f 在点),(000y x P 可微 . (证略) 2. 切平面的求法: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，则曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 处的切平面方程为 (其中),(000y x f z =)))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-， 法线方向数为()1 , ),( , ),( 0000-±y x f y x f y x ， 法线方程为1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x . 例9试求抛物面 22by ax z +=在点),,(000z y x M 处的切平面方程和法线方程 .[1] P 115 E63.作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理.例10 求96.308.1的近似值. [1] P 115 E7例11 应用公式C ab S sin 21=计算某三角形面积.现测得50.12=a , 30 , 30.8==C b . 若测量b a , 的误差为C , 01.0±的误差为1.0± . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. [1] P 116 E8 Ex [1]P 116—117 5—14 ；§ 2复合函数微分法 （ 5 时 ）简介二元复合函数 : ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===. 以下列三种情况介绍复合线路图: 参阅[4] P 327—328 . ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===;, ),,(z y x f u =),( , ),( t s y t s x ψφ==, ),(t s z η=;, ),,(z y x f u = ),,( , ),,( z t s y z t s x ψφ==.一. 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数),( , ),( t s y t s x ψφ==在点∈),(t s D 可微, 函数),(y x f z =在点=),(y x ()),( , ),(t s t s ψφ可微 , 则复合函数f z =()),( , ),(t s t s ψφ在点),(t s 可微, 且),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s s y y z s x x z s z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s ty yz tx xz tz ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. ( 证 ) [1] P 155称这一公式为链导公式. 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”（或“并联加，串联乘”）来概括.对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数. 但对外函数的可微性假设不能减弱. 如[1] P 156的例.对外m 元),,,(21m u u u f , 内n 元),,,(21n i k x x x u φ= ) , , 2 , 1(m k =, 有∑=∂∂∂∂=∂∂mk ikk i x u u f x f 1 ， n i , , 2 , 1 =. 外n 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例1 y x v e u v u z y x +==+=+22 , , )ln(2. 求x z ∂∂和y z∂∂. [1] P 157 E1 例2 22uv v u z -=, y x v y x u sin , cos ==. 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例3 ())3(222y x yx z ++=, 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例4 设函数),,(w v u f 可微 . ),,(),,(xyz xy x f z y x F =. 求x F 、y F 和z F . 例5 用链导公式计算下列一元函数的导数 :ⅰ> xx y = ; ⅱ> xx xx y cos sin ln )1(2++= . [1] P 158 E4例6 设函数),(y x u u =可微. 在极坐标变换θθsin , cos r y r x ==下 , 证明222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u u r r u θ. [1] P 157 E2 例7 设函数)(u f 可微 , )(22y x yf z -=. 求证xz yzxy x z y=∂∂+∂∂2. 二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8 )sin(y x e z xy+=. 利用全微分形式不变性求dz , 并由此导出x z ∂∂和yz∂∂. [1] P 160 E5Ex [1]P 160—161 1—5.三. 高阶偏导数:1. 高阶偏导数的定义、记法： 例9 ,2yx ez += 求二阶偏导数和23xy z∂∂∂. [1]P 167 E1 例10 xyarctgz =. 求二阶偏导数. [1]P 167 E2 2. 关于混合偏导数: [1]P 167—170.3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , [1]P 171例11 ) , (y xx f z =. 求22xz ∂∂和y x z ∂∂∂2. [1]P 171 E34. 验证或化简偏微分方程:例12 22ln y x z +=. 证明22x z ∂∂ + 22y z∂∂0=. ( Laplace 方程 )例13 将方程0=∂∂-∂∂xu y y u x变为极坐标形式. 解 xyarctgy x r r y r x =+=⇒==θθθ , .sin , cos 22.r xy x x xr =+=∂∂22, r y y r =∂∂ , 2ry x -=∂∂θ ,2r x y =∂∂θ. θθθ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ur y r u r x x u x r r u x u 2, θθθ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u r x r u r y y u y r r u y u 2; 因此, θθθθ∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂uu ry x u r y r u r xy u r x r u r xy x u y y u x 2222222 . 方程化简为0=∂∂θu. 例14 试确定a 和b , 利用线性变换 by x t ay x s +=+= , 将方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yu y x u x u 化为02=∂∂∂ts u. 解tus u x t t u x s s u x u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ , t u b s u a y t t u y s s u y u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 22x u ∂∂=x∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂x s ∂∂+t s u ∂∂∂2x t ∂∂+s t u ∂∂∂2x s ∂∂+22t u ∂∂xt∂∂= =22s u∂∂+2t s u ∂∂∂2+22t u ∂∂.y x u ∂∂∂2=y∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂y s ∂∂+t s u ∂∂∂2y t ∂∂+s t u ∂∂∂2y s ∂∂+22t u ∂∂yt∂∂= =22s ua ∂∂+)(b a +t s u ∂∂∂2+b 22tu ∂∂.22y u ∂∂=y ∂∂==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ t u b s u a 222s u a ∂∂+ab 2t s u ∂∂∂2+2b 22t u ∂∂. 因此 , =∂∂+∂∂∂+∂∂2222234yuy x u x u)341(2a a ++=22s u ∂∂ + ()6442ab b a +++t s u ∂∂∂2 + )341(2b b ++22t u ∂∂. 令 03412=++a a , 1 , 31 , 03412-=-=⇒=++b a b b 或31 , 1-=-=b a 或 ……, 此时方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u 化简为02=∂∂∂t s u .Ex [1]P 183 1，2 .§3 方向导数和梯度 （ 3 时 ）一． 方向导数：1． 方向导数的定义：定义 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ⊂3R 内有定义.l 为从点0P 出发的射线.),,(z y x P 为l 上且含于)(0P 内的任一点,以ρ表示P 与0P 两点间的距离.若极限 ρρρρfP f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在,则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数,记为P lf ∂∂或)(0P f l 、),,(000z y x f l .对二元函数),(y x f z =在点),(000y x P , 可仿此定义方向导数. 易见,x f ∂∂、y f ∂∂ 和 zf ∂∂是三元函数f 在点0P 分别沿X 轴正向、Y 轴正向和Z 轴正向的方向导数 .例1 ),,(z y x f =32z y x ++. 求f 在点0P ) 1 , 1 , 1 (处沿l 方向的方向导数,其中ⅰ> l 为方向) 1 , 2 , 2 (-; ⅱ> l 为从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向.解 ⅰ> l 为方向的射线为令===-=--=-112121z y x )0 ( >t . 即)0 ( , 1 , 12 , 12≥+=+-=+=t t z t y t x .3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ,37) 1 () 12 () 12 ( ) 1 , 12 , 12 ()(2332+++=+++-++=++-+=t t t t t t t t t f P ft t t t z y x 3)2()2()1()1()1(222222=+-+=-+-+-=ρ.因此 ,.3137lim )()(lim 23000=++=-=∂∂++→→t t t t P f P f lft P ρρ ⅱ> 从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向l 的方向数为), 0 , 3 , 1 (-l 方向的 射线为 ) 0 ( , 1 , 13 , 1≥=+-=+=t z t y t x .359) 1 , 13 , 1()(2+-=+-+=t t t t f P f , 3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ;t t t z y x 10)3()1()1()1(22222=-+=-+-+-=ρ.因此 ,.1051059lim )()(lim 2000-=-=-=∂∂++→→tt t P f P f lft P ρρ2. 方向导数的计算:Th 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微, 则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在, 且 =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos ,其中αcos 、βcos 和γcos 为l 的方向余弦. ( 证 ) [1]P 163对二元函数),(y x f , =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos , 其中α和β是l 的方向角.注：由=)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos=()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )(⋅αcos , βcos , γcos ),可见, )(0P f l 为向量()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )在方向l 上的投影.例2 ( 上述例1 )解 ⅰ> l 的方向余弦为αcos =321)2(22222=+-+, βcos =32-, γcos =31.)(0P f x =1 , )(0P f y =221==y y , )(0P f z =3312==z z .因此 ,l f ∂∂=)(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos =31313) 32(232=⋅+-⋅+. ⅱ> l 的方向余弦为αcos =101)11()12()12(12222=-+--+--, βcos =103-, γcos =0 .因此 ,l f∂∂=10510321011-=⋅-⋅.可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .例3 [1]P 164 E2 .二. 梯度 ( 陡度 ):1. 梯度的定义: =gradf ()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z ) .||gradf =()()()202020)()()(P f P f P f z y x ++.易见, 对可微函数f , 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为=)(0P f l =⋅l gradf ||)(0P gradf θcos .其中θ是l 与)(0P gradf 夹角. 可见0=θ时)(0P f l 取最大值 , 在l 的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算:ⅰ> grad =+)(c u grad u .ⅱ> grad (αu +βv ) = αgrad u +βgrad v .ⅲ> grad (u v ) = u grad v +v grad u .ⅳ> grad 2uvgradu ugradv u v -=. ⅴ> grad f (u ) = gradu u f )('.证ⅳ> 2u v u uv u v x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ , 2u v u uv u v y y y-=⎪⎭⎫ ⎝⎛. grad =--=) , (12v u uv v u uv uu v y y x x []=-=) , ( ) , (12v u v u v u uv uy x y x []=-=) , () , (12y x y x u u v v v u u 2u vgradu ugradv -.Ex [1]P 165 1，2 ，3 ，6 .§4 Taylor 公式和极值问题 （ 4 时 ）一． 中值定理： 凸区域 . Th 1 设二元函数f 在凸区域D 2R ⊂上连续, 在D 的所有内点处可微. 则对D 内任意两点int ) , ( , ),(∈++k b h a Q b a P D , 存在) 10 ( <<θθ, 使k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f x ) , () , (),() , (θθθθ+++++=-++. 证 令 , ) , ()(tk b th a f t ++=Φ.在闭凸区域上的情况: [1]P 173—174.推论 若函数f 在区域D 上存在偏导数 , 且x f ≡y f ≡0, 则f 是D 上的常值函数.二. Taylor 公式:Th 2 (Taylor 公式) 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P 内有直到1+n 阶连续偏导数, 则对)(0P 内任一点) , (00k y h x ++,存在相应的) 1 , 0(∈θ, 使∑=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=++ni n i k y h x f y k x h n y x f y k x h i k y h x f 00010000). , ()!1(1),(!1 ) , (θθ 证 [1]P 175 例1 求函数y x y x f =),(在点) 4 , 1 (的Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算.) 08.1 (96.3 [1]P 175—176 E4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 [1]P 176 E5Ex [1]P 183 5，6，7⑴⑷.2． 极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设0P 为函数)(P f 的极值点. 则当)(0P f x 和存在时,有)(0P f x =)(0P f y 0=. (证)函数的驻点、不可导点 ， 函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 222),(cy bxy ax y x g ++=. 其矩阵为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a . ⅰ> ),(y x g 是正定的,⇔ 顺序主子式全0 >,),(y x g 是半正定的,⇔ 顺序主子式全 0 ≥;ⅱ> ),(y x g 是负定的,⇔ 0||) 1(1>-k ij k a , 其中k ij a 1||为k 阶顺序主子式. ),(y x g 是半负定的, ⇔ 0||) 1(1≥-k ij k a .ⅲ> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a < 0时, ),(y x g 是不定的. 充分条件的讨论: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 某邻域有二阶连续偏导数.由Taylor公式, 有)()(!21)(),() , (20200000ρ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=-++P f y k x h P f y k x h y x f k y h x f =)(0P f x h +)(0P f y k + [])()()(2)(!21220020ρ +++k P f hk P f h P f yy xy xx . 令 )(0P f A xx = , )(0P f B xy =, )(0P f C yy =, 则当0P 为驻点时, 有[])(221),() , (2220000ρ +++=-++Ck Bhk Ah y x f k y h x f . 其中22k h +=ρ. 可见式),() , (0000y x f k y h x f -++的符号由二次型222Ck Bhk Ah ++完全决定.称该二次型的矩阵为函数),(y x f 的Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> 0 , 02>->B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极小值点 ;ⅱ> 0 , 02>-<B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极大值点 ;ⅲ> 0 2<-B AC 时, 0P 不是极值点;ⅳ> 0 2=-B AC 时, 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上, 有以下定理.Th 4 设函数)(P f 在点0P 的某邻域内有连续的二阶偏导数, 0P 是驻点. 则ⅰ> ()0)( , 0)(020>->P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极小值点; ⅱ> ()0)( , 0)(020>-<P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极大值点;ⅲ> ()0)( 02<-P f f f xy yy xx 时 , 0P 不是极值点;ⅳ> ()0)( 02=-P f f f xy yy xx 时 , 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .例3—7 [1]P 179—182 E6—10 .四． 函数的最值：例8 求函数),(y x f y x y xy x 4102422+--+=在域D = } 4 , 0 , 0 |),( {≤+≥≥y x y x y x 上的最值 .解 令 ⎩⎨⎧=+-==-+=.04 44),(,01042),(y x y x f y x y x f yx 解得驻点为) 2 , 1 (. 1) 2 , 1 (-=f . 在边界) 40 ( 0≤≤=y x 上 , y y y f 42),0(2+-=, 驻点为1=y , 2)1,0(=f ; 在边界) 40 ( 0≤≤=x y 上 , x x x f 10)0,(2-=, 没有驻点;在边界) 40 ( 4≤≤-=x x y 上 , 16185)4 , (2-+-=-x x x x f ,驻点为8.1=x , 2.0)8.14 , 8.1(=-f .又24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0(-=-==f f f .于是 , )}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max f f f f f f y x f D = 2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{=---=.),(min y x f D24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{-=---=.Ex [1]P 184 8⑴⑵，9⑴⑵，10，11 .。
第十七章多元函数的微分学
第十七章 多元函数的微分学 §1 可微性教学目的 掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件． 教学要求(1) 基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件．(2) 较高要求：切平面存在定理的证明．教学建议(1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．(2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．教学程序一、 可微性与全微分:由一元函数可微性引入二元函数可微性.定义1（可微性） 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00(,)(,)P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 00(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+,其中A ，B 是仅与点0P 有关的常数，22,()x y ρρ=∆+∆是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微。
全微分:当,x y ∆∆充分小时0000(,)(,)()()dz zf x y f x y A x x B y y ≈∆≈+-+-. 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性 .二 、 偏导数（一）、偏导数的定义、记法),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为：000000),(),(lim ),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 xy x f y x x f y x f x x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 000000),(),(lim ),(0y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 y y x f y y x f y x f y y y ∆-∆+=→),(),(lim ),(0000000 偏导数的几何意义:（二）、求偏导数:例2 ),(y x f =)12sin()32(2+++y x x . 求偏导数.例3 ),(y x f = 1)1ln(2+++y x x . 求偏导数.例4 ),(y x f =22y x y x ++. 求偏导数, 并求) 1 , 2 (-x f . 三 、 可微条件（一）、必要条件定理17.1设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点 . ),(y x f 在点) , (00y x 可微的必要条件是) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在 , 且==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆.证明：由于dy y dx x =∆=∆ , , 微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy .定理17.1给出了计算可微函数全微分的方法. 但是两个偏导数存在只是可微的必要条件, 而不是充分条件.例5．考查函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f在原点的可微性 .这个例子说明，偏导存在不一定可微，（这一点与一元函数不同！）（二）、充分条件定理17.2（可微的充分条件）若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在 , 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微。
17-3——华东师范大学数学分析课件PPT
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§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
数学分析第十七章多元函数微分学
§1 可微性
一、 可微性与全微分
f(x)在点 x0可微 : f(x0x)f(x0)Axo(x)
其中 Af(x0).
定义1. 设函数z f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U(P0)
内有定义, 对于U(P0)中点P(x, y) (x0 x, y0 y),
若函数f在点P0处的全增量 z可表示为:
若(x,y)属于该邻,则 域存在 x0 1(x-x0)和y0 2(yy0),01,2 1,使得
f(x,y) f (x0,y0) fx(,y)(xx0) fy(x0,)(yy0).(12
偏导数连续
可微 连续
偏导数存在
练 :考 习 f(x察 ), y x y e x的 y 可 ,求 (微 2 1 在 )的 , 性 全 .
y)
x2 y2,
0,
在原点的可微.性
x2 y2 0, x2 y2 0
这个例子 :函说 数明 即使在一 存点 ,在 也偏 不导 一 在该点(但 可一 微元函数在 与一 导点 数可 存).微 在
编辑ppt
7
课堂练习: P116, 1(8), 4, 9(2).
作业:
P116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1).
z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0)
AxByo(),
(1)
其中A,B是仅与点P0有关的常数 , x2 y2, o()
是较高阶的无穷小,量 则称函数在P点0可微. 并称(1)式
编辑ppt
1
中关 x,y 于 的线A 性 xB 函 y为 数 函 f在数 P 0 点 的 全微 ,记 分 作
f (x, y0)在x0的某邻域内有定 ,则义当极限
高等数学第17章第1节可微性
第十七章 多元函数微分学§1可微性一 可微性与全微分与一元函数一样,在多元函数微分学中,主要讨论多元函数的可微性及其应用.本章首先建立二元函数可微性概念,至于一般n 元函数的可微性不难据此相应地给出(对此,在第二十三章有更详细的论述).定义1 设函数),(y x f z =在点()000,y x P 的某领域)(0P U 内有定义,对于)(0P U 中的点),,(),(00y y x x y x P ∆+∆+=若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为: ),(),(00y x f y y x x f z -∆+∆+=∆),(ρo y B x A +∆+∆= )1(其中A,B 是仅与点0P 有关的常数,)(,22ρρo y x ∆+∆=是较ρ高阶的无穷小量,则称函数f 在点0P 可微,并称)1(式中关于y x ∆∆,的线性函数y B x A ∆+∆为函数f 在点0P 的全微分,记作y B x A y x df dz P ∆+∆==),(|000)2(由)1()2(可见dz 是z ∆的线性主部,特别当y x ∆∆,充分小时,全微分dz 可作为全增量z ∆的近似值,即).()(),(),(0000y y B x x A y x f y x f -+-+≈ )3(在使用上,有时.也把()1式写成如下形式,y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα )4( 这里()()()().0lim lim 0,0,0,0,==→∆∆→∆∆βαy x y x例1 考察函数xy y x f =),(在点),(00y x 处的可微性. 解 在点),(00y x 处函数f 的全增量为()000000,),(,y x y y x x y x f -∆+∆+=∆ =.00y x y x x y ∆∆+∆+∆ 由于(),00→→≤∆∆=∆∆ρρρρρρyx yx因此()p o y x =∆∆.从而函数f 在00,y x 可微，且.00y x x y df ∆+∆= □二 偏导数由一元函数微分学知道：若()x f 在点0x 可微，则函数增量(),)()(00x o x A x f x x f ∆+∆=-∆+其中()0'x f =A ．同样，由上一段已知，若二元函数f 在点),(00y x 可微，则f 在点),(00y x 处的全增量可由（1）式表示.现在讨论其中A 、B 的值与函数f 的关系.为此，在（4）式中令()00≠∆=∆x y ，这时得到z ∆关于x 的偏增量z x ∆，且有x x A z x ∆+∆=∆α或.α+=∆∆A xzx 现让0→∆x ，由上式便得A 的一个极限表示式.),(),(lim lim000000xy x f y x x f x z A x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆ ()5容易看出，（5）式右边的极限正是关于x 的一元函数()0,y x f 在0x x =处的导数．类似地，令()00≠∆=∆y x ，由（4）式又可得到.),(),(limlim000000yy x f y y x f y zB y y y ∆-∆+=∆∆=→∆→∆ ()6它是关于y 的一元函数()y x f ,0在0y y =处的导数．二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自变量的导数称为偏导数，定义如下： 定义2 设函数.),(),,(D y x y x f z ∈=若D y x ∈),(00，且()0,y x f 在0x 的某一邻域内有定义，则当极限.),(),(lim ),(lim00000000xy x f y x x f x y x f x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ ()7存在时，称这个极限为函数f 在点),(00y x 关于x 的偏导数，记作()00,y x f x 或 ().00,y x xf ∂∂注意1 这里符号y x ∂∂∂∂,专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号dxd相仿，但又有差别．注意2 在上述定义中，f 在点),(00y x 关于x （或y ）的偏导数，f 至少在(){}(){}),|,(,|,000δδ<-=<-=y y x x y x xx y y y x 或上必须有定义． 若函数()y x f z ,=在区域D 上每一点()y x ,都存在对x （或对y ）的偏导数，则得到函数),(y x f z =在区域D 上对x （或对)y 的偏导函数（也简称偏导数），记作),(y x f x 或xy x f ∂∂),( ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y y x f y x f y ),(,或， 也可简单地写作x f ，x z 或x f ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂.,y f z f y y 或 在上一章中已指出，二元函数),(y x f z =的几何图象通常是三维空间中的曲面．设()0000,,z y x P 为这曲面上一点，其中),(000y x f z =，过0P 作平面0y y =，它与曲面的交线⎩⎨⎧==),(,:0y x f z y y C是平面0y y =上的一条曲线。
多元函数微分学
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C .
第三步 定出 AC B2的符号，再判定是否是极值.
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的
可能极值点，
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
x
(
x4
f1
x2
f2)
4 x3 f1
x4[ f11y
f12(
y x2
)]
2
xf
2
x
2[
f
21
y
f
22
(
y x2
)]
4x3
f1
2
xf
2
x4 yf11
yf
22
.
例4 设 u f ( x, y, z), ( x2 ,e y , z) 0, y sin x,
(
f
,
具有一阶连续偏导数
)，且
z
0, 求
du . dx
解
du dx
f x
f y
dy dx
f z
dz dx
,
显然 dy cos x, dx
求 dz , 对 ( x2 ,e y , z) 0 两边求 x 的导数,得
dx
1
2x
2
e
y
dy dx
3
dz dx
0
,
于是可得,
dz dx
1
3
(
2
x
1
esin x
cos
x
2
数学分析17.2多元函数微分学之复合函数微分法
第十七章 多元函数微分学2复合函数微分法一、复合函数的求导法则定义1：设函数x=φ(s,t)与y=ψ(s,t)定义在st 平面的区域D 上，z=f(x,y)定义在xy 平面的区域D 1上，{(x,y)|x=φ(s,t),y=ψ(s,t), (s,t)∈D}⊂D 1， 则函数z=F(s,t)=f(φ(s,t),ψ(s,t)), (s,t)∈D 是以f 为外函数，φ,ψ为内函数的复合函数. 其中x,y 称为函数F 的中间变量，s,t 为F 的自变量.定理17.5：若函数x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)∈D 可微， z=f(x,y)在点(x,y)= (φ(s,t),ψ(s,t))可微，则复合函数z=f(φ(s,t),ψ(s,t))在点(s,t)可微，且它关于s 与t 的偏导数分别为：t)(s,sz ∂∂=t)(s,y )(x,sx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,sy y z ∂∂∂∂，t)(s,tz ∂∂=t)(s,y )(x,tx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,ty y z ∂∂∂∂.证：∵x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)可微， ∴△x=s x ∂∂△s+t x ∂∂△t+α1△s+β1△t; △y=s y ∂∂△s+ty∂∂△t+α2△s+β2△t ， 其中当△s,△t →0时，α1,α2,β1,β2→0， 又由z=f(x,y)在点(x,y)可微，∴△z=xz ∂∂△x+y z∂∂△y+α△x+β△y ，其中当△x,△y →0时，α,β→0，补充定义：当△x=0,△y=0时, α=β=0，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆∆∂∂∆∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆∆∂∂∆∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂∆t β+s α+t t y +s sy βy z t β+s α+t t x +s s x αx z =z 2211=t β+s αt t y y z + t x x z s s y y z s x x z ∆∆+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂，其中 α=x z ∂∂α1+y z ∂∂α2+s x ∂∂α+sy∂∂β+αα1+βα2,β=x z ∂∂β1+y z ∂∂β2+t x ∂∂α+ty∂∂β+αβ1+ββ2,由x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)可微知，x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)都连续， 即当△s,△t →0时，△x △y →0时，从而α,α1,α2,β,β1,β2→0，于是， 当△s,△t →0时，α,β→0，即z=F(s,t)在(s,t)可微，从而得：(链式法则)t)(s,sz∂∂=t)(s,y )(x,sx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,sy y z ∂∂∂∂，t)(s,tz ∂∂=t)(s,y )(x,tx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,ty y z ∂∂∂∂.注：1、若只求复合函数f(φ(s,t),ψ(s,t))关于s 或t 的偏导数，则内函数只需具有关于s 或t 的偏导数，但对外函数f 的可微性假设不能省略.如：函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x yx 2222222，有f x (0,0)=f y (0,0)=0，但f 在(0,0)处不可微. 若以f(x,y)为外函数，x=t, y=t 为内函数，则得 以t 为自变量的复合函数z=F(t)=f(t,t)=2t , ∴dt dz =21, 这时用链式法则， 将得到错误的结果：0t tz=∂∂=0t (0,0)tx x z =∂∂∂∂+t (0,0)tx yz =∂∂∂∂=0·1+0·1=0.2、若f(u 1,…,u m )在点(u 1,…,u m )可微，u k =g k (x 1,…,x n ) (k=1,2,…,m)在点(x 1,…,x n )具有关于x i (i=1,2,…,n)的偏导数，则复合函数关于自变量x i的偏导数为：i x z∂∂=∑=∂∂∂∂m1k ik k x u u z (i=1,2,…,n).例1：设z=ln(u 2+v), 而u=2y x e +, v=x 2+y ，求x z ∂∂,yz ∂∂. 解：x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂+x v v z ∂∂∂∂=2y x 2e v u u 2+⋅++x 2v u 12⋅+=yx e x 2e 22y 22x y 22x 22+++++;y z ∂∂=y u u z ∂∂∂∂+y v v z ∂∂∂∂=2y x 2ye 2v u u 2+⋅++v u 12+=yx e 1ye 42y 22x y 22x 22+++++.例2：设u=u(x,y)可微，在极坐标变换x=rcos θ, y=rsin θ下，证明：2r u ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂. 解：∵r x ∂∂=cos θ, r y ∂∂=sin θ; θx ∂∂=-rsin θ, θy∂∂=rcos θ; 又 r u ∂∂=r x x u ∂∂∂∂+r y y u ∂∂∂∂=x u ∂∂cos θ+y u ∂∂sin θ;θu ∂∂=θy y u ∂∂∂∂+θx x u ∂∂∂∂=y u ∂∂rcos θ-xu ∂∂rsin θ;∴2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂cos 2θ+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂sin 2θ+y u x u ∂∂∂∂sin2θ; 22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂sin 2θ+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂cos 2θ-y u x u ∂∂∂∂sin2θ; ∴2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂.例3：设z=uv+sint, 其中u=e t ,v=cost, 求dtdz. 解法一：dt dz =dt du u z ∂∂+dt dv v z ∂∂+dtdt t z ∂∂=ve t -usint+cost=e t (cost-sint)+cost. 解法二：z=uv+sint=e t cost+sint ，∴dtdz=(e t cost+sint)’=e t (cost-sint)+cost.例4：用多元复合微分法计算下列一元函数的导数.(1)y=x x; (2)y=cosxsinx )lnxx (12++.解：(1)令y=u v , u=x, v=x ， 则dx dy =dx du u y ∂∂+dxdv v y ∂∂=vu v-1+u v lnu=x x (1+lnx). (2)令y=uvw, u=sinx+cosx, v=1+x 2, w=lnx ，则dx dy =dx du u y ∂∂+dx dv v y ∂∂+dx dw w y ∂∂=-2uvw (cosx-sinx)+u w ·2x+x 1u v =22cosx)(sinx )lnx x (1++(sinx-cosx)+ cosx sinx 2xlnx ++cosx )x (sinx x 12++.例5：设u=f(x,y,z), y=φ(x,t), t=ψ(x,z)都有一阶连续偏导数，求x u ∂∂,zu ∂∂. 解：∵u=f(x,y,z)=f(x,φ(x,ψ(x,z)),z); ∴x u ∂∂=x f ∂∂+dx d φy f ∂∂+dxd ψdt d φy f ∂∂. 又u=f(x,y,z)=f(x,φ(x,ψ(x,z)),z); ∴z u ∂∂=dz d ψdt d φy f ∂∂+zf ∂∂.例6：设f(x,y)在R 2上可微，且满足方程y·f x (x,y)=x·f y (x,y). 证明：在极坐标中f 只是r 的函数，即θf∂∂=0. 证：设u=f(x,y), x=rcos θ, y=rsin θ，则有θf ∂∂=θx x f ∂∂∂∂+θyy f ∂∂∂∂=-f x (x,y)rsin θ+f y (x,y)rcos θ=-yf x (x,y)+x·f y (x,y)=0.二、复合函数的微分定义2：或以x 和y 为自变量的函数z=f(x,y)可微，则其全微分为： dz=xz∂∂dx+y z ∂∂dy. 如果x,y 作为中间变量又是自变量s,t 的可微函数：x=φ(s,t),y=ψ(s,t)，则复合函数z=f(φ(s,t),ψ(s,t))是可微的，其全微分为： dz=s z ∂∂ds+t z ∂∂dt= ⎝⎛∂∂∂∂s x x z +⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂s y y z ds+ ⎝⎛∂∂∂∂t x x z +⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂t y y z dt =⎝⎛∂∂∂∂ds s x x z +⎪⎭⎫∂∂dt t x + ⎝⎛∂∂∂∂ds s y y z +⎪⎭⎫∂∂dt t y , 又x,y 是(s,t)的可微函数，因此有：dx=s x ∂∂ds+t x ∂∂dt; dy=s y ∂∂ds+t y ∂∂dt ；∴dz=xz∂∂dx+y z ∂∂dy ，结果与非复合函数完全相同，即多元函数有一阶(全)微分形式不变性.例7：设z=e xy sin(x+y), 利用微分形式不变性求dz, 并导出xz∂∂与y z ∂∂. 解：令z=e u sinv, 即u=xy, v=x+y, 则dz=u z ∂∂du+vz∂∂dv=e u sinvdu+e u cosvdv. 又du=ydx+xdy, dv=dx+dy,∴dz=e xy sin(x+y)(ydx+xdy)+e xy cos(x+y)(dx+dy)=e xy [ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+e xy [xsin(x+y)+cos(x+y)]dy. 并可得：xz ∂∂=e xy[ysin(x+y)+cos(x+y)]；y z ∂∂=e xy [xsin(x+y)+cos(x+y)].习题1、求下列复合函数的偏导数或导数： (1)设z=arctan(xy), y=e x , 求dxdz；(2)设z=xy y x 22+exyy x 22+, 求x z ∂∂,yz ∂∂； (3)设z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtdz；(4)设z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u z ∂∂,v z ∂∂；(5)设u=f(x+y,xy), 求x u ∂∂,y u ∂∂；(6)设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y ,y x , 求x u ∂∂,y u ∂∂,z u∂∂. 解：(1)dx dz =x z ∂∂+dx dy y z ∂∂=22yx 1y ++ 22y x 1x +e x =2x2xe x 1x )(1e ++. (2)令u=x yy x 22+, 则z=ue u ,∴x z ∂∂=x u du dz ∂∂=(1+u)e u (y 1-2x y )=232222yx )y x )(y xy (x -++e xyy x 22+；y z ∂∂=y u du dz ∂∂=(1+u)e u (x 1-2y x )=322222yx )x y )(y xy (x -++e xyy x 22+.(3)dt dz =dtdxx z ∂∂+ dt dy y z ∂∂=(2x+y)·2t+(x+2y)·1=2t(2t 2+t)+t 2+2t=4t 3+3t 2+2t.(4)u z ∂∂=u x x z ∂∂∂∂+u y y z ∂∂∂∂=2xlny·v 1+y x 2·3=2v 2u ln(3u-2v) +2v)-(3u v 3u 22； v z ∂∂=v x x z ∂∂∂∂+v y y z ∂∂∂∂=2xlny·⎪⎭⎫ ⎝⎛-2v u +y x2·(-2)=-32v 2u ln(3u-2v)-2v)-(3u v 2u 22.(5)∵du=f 1d(x+y)+f 2d(xy)=f 1dx+f 1dy+f 2ydx+f 2xdy=(f 1+yf 2)dx+(f 1+xf 2)dy ； ∴xu∂∂=f 1+yf 2；y u ∂∂=f 1+xf 2.(6)∵du=f 1d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x +f 2d ⎪⎭⎫ ⎝⎛z y =211y x dy f -ydx f +222zydzf -zdy f =y f 1dx+(z f 2-21y xf )dy-22zyf dz ； ∴x u ∂∂=y f 1；y u ∂∂=z f 2-21y xf ；z u∂∂=-22zyf .2、设z=(x+y)xy , 求dz.解： 令u=x+y, v=xy ，则z=u v ，且du=dx+dy ，dv=ydx+xdy. ∴dz=u z ∂∂du+vz∂∂dv=vu v-1(dx+dy)+u v (ydx+xdy)lnv =xy(x+y)xy-1dx+xy(x+y)xy-1dy+y(x+y)xy (lnx+lny)dx+x(x+y)xy (lnx+lny)dy =[xy(x+y)xy-1+y(x+y)xy (lnx+lny)]dx+[xy(x+y)xy-1+x(x+y)xy (lnx+lny)]dy. 3、设z=)y -f(x y 22，其中f 为可微函数，验证：xz x 1∂∂+y z y 1∂∂=2y z.证：令u=x 2-y 2, 则x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂=(u)f (u)f x y 22'-; y z ∂∂=y z ∂∂+y u u z ∂∂∂∂=(u)f (u)f y 2f(u)22'+; ∴x z x 1∂∂+y z y 1∂∂=(u)f (u)f y 22'-+(u)f (u)f y 2yf(u)2'+=(u)yf f(u)2=yf(u)1；又2y z =2y )f(u y=yf(u)1；∴x z x 1∂∂+y z y 1∂∂=2y z.4、设z=siny+f(sinx-siny), 其中f 为可微函数，证明：xz ∂∂secx+y z∂∂secy=1.证：令u=sinx-siny ，则x z ∂∂=xuu z ∂∂∂∂=f ’(u)cosx; y z ∂∂=y z ∂∂+y u u z ∂∂∂∂=[1-f ’(u)]cosy;∴xz ∂∂secx+y z∂∂secy=f ’(u)cosxsecx+[1-f ’(u)]cosysecy= f ’(u)+1-f ’(u)=1.5、设f(x,y)可微，证明：在坐标旋转变换x=ucos θ-vsin θ, y=usin θ+vcos θ之下(旋转角θ为常数)，(f x )2+(f y )2是一个形式不变量，即 若g(u,v)=f(ucos θ-vsin θ,usin θ+vcos θ)，则必有(f x )2+(f y )2=(g u )2+(g v )2. 证：g u =u x x f ∂∂∂∂+u y y f ∂∂∂∂=f x cos θ+f y sin θ；g v =v x x f ∂∂∂∂+vy y f ∂∂∂∂=-f x sin θ+f y cos θ； ∴(g u )2+(g v )2=(f x cos θ+f y sin θ)+(-f x sin θ+f y cos θ)2=(cos 2θ+sin 2θ)(f x )2+(sin 2θ+cos 2θ)(f y )2+2f x cos θ·f y sin θ-2f x sin θ·f y cos θ =(f x )2+(f y )2.6、设f(u)是可微函数，F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t). 试求：F x (0,0)与F t (0,0). 解：令u=x+2t, v=2x-2t ，则F u |(0,0)=f ’(0)；F v |(0,0)=f ’(0).又F x =x u u F ∂∂∂∂+x v v F ∂∂∂∂=F u +3 F v ; F t =t u u F ∂∂∂∂+tvv F ∂∂∂∂=2F u -2 F v ; ∴F x (0,0)=F u |(0,0)+ 3F v |(0,0)=4f ’(0)；F t (0,0)=2F u |(0,0)-2F v |(0,0)=0.7、若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z), (t>0), 则称F(x,y,z)为k 次齐次函数. 试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数F(x,y,z)为k 次齐次函数的充要条件是：xF x (x,y,z)+yF y (x,y,z)+zF z (x,y,z)=kF(x,y,z).并证明：z=222yx xy +-xy 为2次齐次函数.证：(1)令a=tx,b=ty,c=tz.[必要性]由F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z), (t>0)，两边对t 求导得：t a a F ∂∂∂∂+t b b F ∂∂∂∂+tc c F ∂∂∂∂=kt k-1F(x,y,z)，即 xF a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)=kt k-1F(x,y,z)，令t=1，则有 xF x (x,y,z)+yF y (x,y,z)+zF z (x,y,z)=kF(x,y,z). [充分性]设f(x,y,z,t)=k t1F(tx,ty,tz), (t>0)，求f 关于t 的偏导数得 t f∂∂=1k t1+{[xF a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)]t-kF(a,b,c)}； ∵F a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)=kF(a,b,c)，∴tf∂∂=0. 即f 与t 无关，只是x,y,z 的函数，可记g(x,y,z)=f(x,y,z,t)， ∴t k g(x,y,z)=F(tx,ty,tz), (t>0). 当t=1时，g(x,y,z)=F(x,y,z)， ∴F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z). (2)∵当t>0时，z(tx,ty)=2223y x t xy t +-t 2xy=t 2(222y x xy +-xy)=t 2z(x,y)；∴z(x,y)为2次齐次函数.8、设f(x,y,z)具有性质f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z)，证明：(1)f(x,y,z)=x n f(1,kx y ,m xz)；(2)xf x (x,y,z)+kyf y (x,y,z)+mzf z (x,y,z)=nf(x,y,z). 证：(1)由f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z), 令t=x 1，则f(1,k x y ,m x z )=n x1f(x,y,z)，即有f(x,y,z)=x n f(1,k x y ,m xz).(2)令a=tx, b=t k y, c=t m z ，对f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z)两边关于t 求偏导数得： xf a (a,b,c)+yf b (a,b,c)+f c (a,b,c)=nt n-1f(x,y,z)，当t=1时，即有 xf x (x,y,z)+kyf y (x,y,z)+mzf z (x,y,z)=nf(x,y,z).9、设由行列式表示的函数D(t)=)t (a )t (a )t (a )t (a nn n11n 11⋯⋯⋯⋯⋯, 其中a ij (t) (i,j=1,2,…,n)的导数都存在. 证明：dt dD(t)=∑=⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯n1k nn n2n1k n k 2k 11n 1211)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a . 证：记x ij =a ij (t) (i,j=1,2,…,n), f(x 11,x 12,…,x ij ,…,x nn )=nnn11n11x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯.由行列式定义知f 为n 2元的可微函数且D(t)=f(a 11(t),…,a ij (t),…,a nn (t))，又由复合函数求导法则知D ’(t)=dt dx x f ij n1j ,i ij ∑=∂∂=∑=∂∂n 1j ,i ijx f a ’ij (t)，记nnn11n 11x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯中x ij 的代数余子式为A ij ，则f(x 11,…,x ij ,…,x nn )=∑=n1j ,i ij ij A x .又ij x f ∂∂=A ij ，∴D ’(t)=∑∑==n 1i n1j ij (t)A a ’ij (t)，其中A ij (t)是将A ij 的元素x hl 换为a hl (t)后得到的n-1阶行列式，恰为行列式)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a nn n2n1in i2i11n 1211⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯中a ’ij (t)的代数余分式，于是知 D ’(t)=∑=⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯n1k nn n2n1k n k 2k 11n 1211)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a .。
数学分析第十七章多元函数微分学
数学分析第十七章多元函数微分学首先介绍多元函数的偏导数。
偏导数是指多元函数在其中一点处，沿着其中一坐标轴方向求导得到的导数。
对于函数$z=f(x, y)$，其偏导数可以表示为$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$和$\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$。
求解偏导数的方法与一元函数的求导类似，将其它变量视为常数，对变量进行求导。
然后介绍全微分。
对于函数$z=f(x, y)$，它的全微分表示为$d z =\frac{{\partial z}}{{\partial x}}dx+\frac{{\partialz}}{{\partial y}}dy$。
全微分可以看作是函数在其中一点附近的变化率，可以用来近似表示函数的变化情况。
通过全微分可以推导出偏导数和方向导数的关系。
接下来介绍方向导数和梯度。
方向导数表示函数在其中一点沿着其中一方向的变化率，可以用来描述函数的变化速度和方向。
对于函数$z=f(x, y)$，它的方向导数可以表示为$\frac{{\partial z}}{{\partialx}}cos\alpha+\frac{{\partial z}}{{\partial y}}cos\beta$，其中$\alpha$和$\beta$是方向向量的夹角。
梯度是一个向量，它的方向与函数在其中一点的最大方向导数方向相同，大小为最大方向导数的值。
对于函数$z=f(x, y)$，它的梯度可以表示为$\nabla z = \frac{{\partial z}}{{\partialx}}\mathbf{i}+\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\mathbf{j}$。
梯度可以用来判断函数在其中一点的变化速度最快的方向和大小。
最后介绍多元函数的极值。
对于函数$z=f(x, y)$，要求出它的极值，首先需要求出函数的偏导数，并解出偏导数为零的方程组。
数学分析17.4多元函数微分学之泰勒公式与极值问题
第十七章 多元函数微分学4泰勒公式与极值问题一、高价偏导数概念1：二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数有如下四种情形： (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =22x z ∂∂=f xx (x,y); (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z y =yx z 2∂∂∂=f xy (x,y); (3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z x =x y z 2∂∂∂=f yx (x,y); (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z y =22y z ∂∂=f yy (x,y). 二元函数z=f(x,y)的三阶偏导数有共有八种情形，如：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂22x z x =33x z ∂∂=3x f (x,y)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂22x z y =y x z 23∂∂∂=y x 2f (x,y)；……例1：求函数z=e x+2y 的所有二阶偏导数和23xy z ∂∂∂. 解：∵z x =e x+2y ; z y =2e x+2y ;∴z xx =ex+2y ; z xy =2e x+2y ; z yx =2e x+2y ; z yy =4e x+2y ;23x y z ∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂x y z x 2=2e x+2y .例2：求函数z=arctan xy 的所有二阶偏导数.解：∵z x =22x y 1xy -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-22y x y +; z y =2x y 1x1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22y x x +; ∴z xx =222)y (x 2x y +; z xy =-222222)y (x y 2y x +-+=22222)y (x x y +-; z yx =222222)y (x x 2y x +-+=22222)y (x x y +-; z yy =-222)y (x 2x y +.注：既有关于x又有关于y的高阶偏导数，称为混合偏导数.定理17.7：若f xy(x,y)和f yx(x,y)都在点(x0,y0)连续，则f xy(x0,y0)=f yx(x0,y0). 证：令F(△x,△y)=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0+△x,y0)-f(x0,y0+△y)+f(x0,y0)，φ(x)=f(x,y0+△y)-f(x,y0)，则F(△x,△y)=φ(x0+△x)-φ(x0).∵f存在关于x的偏导数，∴φ可导，应用一元函数的中值定理，有φ(x0+△x)-φ(x0)=φ’(x0+θ1△x)△x=[f x(x0+θ1△x,y0+△y)-f x(x0+θ1△x,y0)]△x, (0<θ1<1).又由f x存在关于y的偏导数，∴对以y为自变量的函数f x(x0+θ1△x,y) 应用一元函数的中值定理，又有φ(x0+△x)-φ(x0)=f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)△x△y, (0<θ1,θ2<1).∴F(△x,△y)=f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)△x△y, (0<θ1,θ2<1).若令ψ(y)=f(x0+△x,y)-f(x0,y)，则有F(△x,△y)=ψ(y0+△y)-φ(y0).同理可得F(△x,△y)=f yx(x0+θ3△x,y0+θ4△y)△x△y, (0<θ3,θ4<1).当△x,△y不为零时，就有f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)=f yx(x0+θ3△x,y0+θ4△y), (0<θ1,θ2,θ3,θ4<1).又f xy(x,y)和f yx(x,y)都在点(x0,y0)连续，∴当△x→0,△y→0时，上式两边极限存在且相等，∴f xy(x0,y0)=f yx(x0,y0).注：n元函数m阶混合偏导数在某点都连续时，则与顺序无关.概念2：设z 是通过中间变量x,y 而成为s,t 的函数，即z=f(x,y), 其中x=φ(s,t), y=ψ(x,t). 若函数f,φ,ψ都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数z 对s,t 同样存在二阶连续偏导数，即由一阶偏导数： s z ∂∂=s x x z ∂∂∂∂+s y y z ∂∂∂∂，t z ∂∂=t x x z ∂∂∂∂+ty y z ∂∂∂∂，可得二阶偏导数： 22s z ∂∂=s x x z s ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⋅∂∂s x s x z +s y y z s ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⋅∂∂s y s y z =s x x z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+s x s y y x z 2∂∂⎪⎭⎫∂∂∂∂∂+22s x x z ∂∂⋅∂∂+s y y z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+s y s x x y z 2∂∂⎪⎭⎫∂∂∂∂∂+22s y y z ∂∂⋅∂∂ =222s x x z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+2s x s y y x z 2∂∂∂∂∂∂∂+222s y y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22s x x z ∂∂⋅∂∂+22s y y z ∂∂⋅∂∂. 同理可得： 22t z ∂∂=222t x x z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+2t x t y y x z 2∂∂∂∂∂∂∂+222t y y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22t x x z ∂∂⋅∂∂+22t y y z ∂∂⋅∂∂. t s z 2∂∂∂=t x s x x z 22∂∂∂∂∂∂+t y s x y x z 2∂∂ ⎝⎛∂∂∂∂∂+⎪⎭⎫∂∂∂∂s y t x +t y s y y z 22∂∂∂∂∂∂+t s x x z 2∂∂∂⋅∂∂+t s y y z 2∂∂∂⋅∂∂=s t z 2∂∂∂.例3：设z=f(x,y x ), 求22x z ∂∂,yx z 2∂∂∂. 解：记z=f(u,v), u=x, v=yx ，由复合函数求导公式有：x z ∂∂=x u u f ∂∂∂∂+x v v f ∂∂∂∂=u f ∂∂+vf y 1∂∂， ∴22xz ∂∂= ⎝⎛∂∂∂∂u f x +⎪⎭⎫∂∂v f y 1=x u u f 22∂∂∂∂+x v v u f 2∂∂∂∂∂+ ⎝⎛∂∂∂∂∂x u u v f y 12+⎪⎭⎫∂∂∂∂x v v f 22 =22uf ∂∂+v u f y 22∂∂∂+222v f y 1∂∂. y x z 2∂∂∂= ⎝⎛∂∂∂∂u f y +⎪⎭⎫∂∂v f y 1=y u u f 22∂∂∂∂+y v v u f 2∂∂∂∂∂-v f y 12∂∂+ ⎝⎛∂∂∂∂∂y u u v f y 12+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂y v v f 22=-v u f y x 22∂∂∂-v f y 12∂∂-223vf y x ∂∂.二、中值定理和泰勒公式概念3：若区域D 上任意两点的连线都含于D ，则称D 为凸区域，即 若D 为凸区域，则对任意两点P 1(x 1,x 2), P 2(x 2,y 2)∈D 和一切λ(0≤λ≤1), 恒有P(x 1+λ(x 2-x 1),y 1+λ(y 2-y 1))∈D.定理17.8：(中值定理)设二元函数f 在凸开域D ⊂R 2上连续，在D 的所有内点都可微，则对任意两点P(a,b),Q(a+h,b+k)∈D ，存在θ(0<θ<1), 使得f(a+h,b+k)-f(a,b)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k.证：令φ(t)=f(a+th,b+tk)，它是定义在[0,1]上的一元函数；∵φ(t)在[0,1]上连续，在(0,1)上可微；∴根据一元函数中值定理， 存在θ(0<θ<1), 使得φ(1)-φ(0)=φ’(θ). 由复合函数的求导法则知， φ’(θ)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k. 又由D 为凸区域知，(a+θh,b+θk)∈D, ∴f(a+h,b+k)-f(a,b)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k.注：对闭凸域D ，任意两点P 1(x 1,x 2), P 2(x 2,y 2)∈D 和一切λ(0<λ<1),都有 P(x 1+λ(x 2-x 1),y 1+λ(y 2-y 1))∈intD ，则对D 上连续，intD 内可微的函数f ， 只要P ,Q ∈intD ，也存在θ∈(0,1)使中值定理成立. 如，若D 为圆域{(x,y)|(x-ξ)2+(y-ζ)2≤r 2}, f 在D 上连续，在intD 内可微，则中值定理成立；若D 为矩形区域[a,b]×[c,d]，则不能保证对D 上任意两点P ,Q 都有中值定理成立.推论：若函数f 在区域D 上存在偏导数，且f x ≡f y ≡0，则f 在区域D 上为常量函数.证：设P 和P ’是区域D 上任意两点，由于D 为区域，可用一条完全在D 内的折线连接PP ’. 设x 1为折线上第一个折点， 直线段Px 1上每一点P 0(x 0,y 0), 存在邻域U(P 0)⊂D, 由中值定理知， 在U(P 0)内任一点M(x m ,y m )有f(M)-f(P 0)=f x (θ1)(x m -x 0)+f y (θ1)(y m -y 0), ∵f x ≡f y ≡0，∴f(M)-f(P 0)=0, 即f(M)=f(P 0)，∴在U(P 0)内f 是常数函数. 由Px 1上每一点都有这样的邻域U(P 0)，使得f(x,y)=常数.由有限覆盖定理知，存在有限个邻域U(P 1),…,U(P N )覆盖Px 1, ∴f(P)=f(x 1), 以x 1,…,x n 表示折线上的所有折点，同理有f(P)=f(x 1)=…=f(x n )=f(P ’). 又由P ,P ’在区域D 内的任意性，知在D 内,f(x,y)=常数.例4：对f(x,y)=1xy 2x 12+-应用微分中值定理，证明存在θ(0<θ<1),使得1-2=2(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2.解：f 定义在E={(x,y)|x 2-2xy+1>0}上，凸区域D={(x,y)|x 2+y 2≤1}⊂E. 又f x =-()321xy 2x y-x +-; f y =()321xy 2x x+-，且f,f x ,f y 都在D 上连续，取(1,0),(0,1)∈D ，根据微分中值定理，存在θ(0<θ<1), 使得 f(1,0)-f(0,1)=f x (θ,1-θ)-f y (θ,1-θ), 即21-1=-[]321θ)-θ(12θθ)-(1-θ+--[]321θ)-θ(12θθ+-=(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2，∴1-2=2(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2.定理17.9：(泰勒定理)若函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上有直到n+1阶的连续偏导数，则对U(P 0)内任一点(x 0+h,y 0+k), 存在相应的 θ∈(0,1)，使得有二元函数f 在点P 0的n 阶泰勒公式：f(x 0+h,y 0+k)=f(x 0,y 0) + ⎝⎛∂∂x h +⎪⎪⎭⎫∂∂y k f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂x h !21+2y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+… + ⎝⎛∂∂x h !n 1+n y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂+x h !1)(n 1+1n y k +⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+θh,y 0+θk).证：令φ(t)=f(x 0+th,y 0+tk),其定义域为[0,1],且满足一元函数泰勒条件； ∴φ(1)=φ(0)+φ’(0)+!21φ”(0)+…+!n 1φ(n)(0)+!)1(n 1+φ(n+1)(θ), (0<θ<1). 应用复合函数求导法则，可求得φ(t)的各阶导数：φ(m)(t)= ⎝⎛∂∂xh +m y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+th,y 0+tk), (m=1,2,…,n+1). 当t=0时，则有 φ(m)(0)= ⎝⎛∂∂x h +m y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0), (m=1,2,…,n) 及φ(n+1)(θ)= ⎝⎛∂∂x h +1n y k +⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+θh,y 0+θk)，将φ(m)(0), φ(n+1)(θ)代入φ(1)，得f(x 0+h,y 0+k)=f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂x h +⎪⎪⎭⎫∂∂y k f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂x h !21+2y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+… + ⎝⎛∂∂x h !n 1+n y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂+x h !1)(n 1+1n y k +⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+θh,y 0+θk), (0<θ<1).注：1、中值公式为泰勒公式在n=0时的特列情形；2、若只要求余项R n =o (ρn ) (ρ=22k h +)，则仅需f 在U(P 0)内存在直到n 阶连续偏导数，便有f(x 0+h,y 0+k)=f(x 0,y 0)+∑= ⎝⎛∂∂n 1p x h !p 1+py k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+o (ρn ).例5：求f(x,y)=x y 在点(1,4)的泰勒公式(到二阶)，并用它计算(1.08)3.96. 解：∵f(1,4)=1; f x (1,4)=yx y-1|(1,4)=4; f y (1,4)=x y lnx|(1,4)=0;f xx (1,4)=y(y-1)x y-2|(1,4)=12; f yy (1,4)= x y (lnx) 2|(1,4)=0;f xy (1,4)=f yx (1,4)=x y-1+yx y-1lnx|(1,4)=1.∴x y =1+4(x-1)+6(x-1)2+(x-1)(y-4)+ o (ρ2). 当x=1.08, y=3.96时，有 (1.08)3.96≈1+4×0.08+6×0.082-0.08×0.04=1.3552.三、极值问题定义：设函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)内有定义，若对于任何点P(x,y)∈U(P 0)，有f(P)≤f(P 0)或f(P)≥f(P 0)，则称f 在点P 0取得极大(或极小)值，统称为极值. 极大值点、极小值点统称极值点.注：1、极值点只限于定义域的内点;2、若f 在点(x 0,y 0)取得极值，则当固定y=y 0时，一元函数f(x,y 0)必定在x=x 0取相同的极值；同理，一元函数f(x 0,y)在y=y 0也取相同的极值.例6：设f(x,y)=2x 2+y 2, g(x,y)=22y -x -1，h(x,y)=xy ，讨论原点(0,0)是不是它们的极值点.解：∵f(x,y)=2x 2+y 2≥f(0,0)=0，∴原点(0,0)是f 的极小值点； 又对任何(x,y)∈{(x,y)|x 2+y 2≤1}，有 g(x,y)=22y -x -1≤g(0,0)=1，∴原点(0,0)是g 的极大值点；但在原点的任意邻域内，对I,III 象限的任意点有h(x,y)>h(0,0)=0; 对II, IV 象限中的任意点有h(x,y)<h(0,0)=0; ∴(0,0)不是h 的极值点.定理17.10：(极值必要条件)若函数在点P 0(x 0,y 0)存在偏导数，且在P 0取得极值，则有f x (x 0,y 0)=0, f y (x 0,y 0)=0. 反之，若函数在点P 0满足上式，则称点P 0为f 的稳定点.注：1、极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点. 如例6中的函数h ，原点为其稳定点，但不是其极值点.2、函数在偏导数不存在的点也有可能取得极值，如f(x,y)=22y x +在原点没有偏导数，但f(0,0)=0是f 的极小值.概念4：假定f 具有二阶连续偏导数，并记H f (P 0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)(P f )(P f )(P f )(P f 0y y 0y x 0xy 0xx =0P y y y x xy xx f f f f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，称之为P 0的黑赛矩阵.定理17.11：(极值充分条件)设二元函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上具有二阶连续偏导数，且P 0是f 的稳定点，则当H f (P 0)是正定矩阵时，f 在点P 0取得极小值；当H f (P 0)是负定矩阵时，f 在点P 0取得极大值；当H f (P 0)是不定矩阵时，f 在点P 0不取极值.证：由f 在点P 0的二阶泰勒公式，及f x (P 0)= f y (P 0)=0，得f(x,y)-f(x 0,y 0)=21(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T +o (△x 2+△y 2).当H f (P 0)正定时，对任何(△x,△y)≠(0,0)，恒有二次型Q(△x,△y)=(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T >0，∴存在一个与△x,△y 无关的正数q, 使得Q(△x,△y)≥2q(△x 2+△y 2). 从而对充分小的U(P 0), 只要(x,y)∈U(P 0), 就有f(x,y)-f(x 0,y 0)≥q(△x 2+△y 2)+o (△x 2+△y 2)=(△x 2+△y 2)(q+o (1))≥0, 即f 在点P 0取得极小值；同理, 当H f (P 0)负定时，f 在点P 0取得极大值； 当H f (P 0)不定时，若f 取极值，不妨设取极大值，则沿任何过P 0的直线x=x 0+t △x, y=y 0+t △y, f(x,y)=f(x 0+t △x,y 0+t △y)=φ(t) 在t=0亦取得极大值. 由一元函数取极大值的充分条件知 φ”(0)≤0. 而φ’(t)=f x △x+f y △y, φ”(t)=f xx △x 2+2f xy △x △y+f yy △y 2,又φ”(0)=(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T , 即H f (P 0)必须为负半定，矛盾！ 同理，若f 取极小值，则H f (P 0)必须为正半定，亦矛盾！∴当H f (P 0)是不定矩阵时，f 在点P 0不取极值.注：根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，定理17.11又可写成为：若函数f 如定理所设，P 0是f 的稳定点，则有：(1)当f xx (P 0)>0, (f xx f yy -f xy 2)(P 0)>0时，f 在点P 0 取得极小值；(2)当f xx (P 0)<0, (f xx f yy -f xy 2)(P 0)>0时，f 在点P 0取得极大值；(3)当(f xx f yy -f xy 2)(P 0)<0时，f 在点P 0不能取得极值；(4)当(f xx f yy -f xy 2)(P 0)=0时，不能肯定f 在点P 0是否取得极值.例7：设f(x,y)=x2+5y2-6x+10y+6的极值.解：当f x=2x-6=0, f y=10y+10=0时, x=3, y=-1，即点(3,-1)是f的稳定点. ∵f xx=2>0, f yy=10, f xy=0, 即有(f xx f yy-f xy2)(3,-1)=20>0，∴f在点(3,-1)取得极小值f(3,-1)=9+5-18-10+6=-8.又f在R2上处处存在偏导数，∴(3,-1)是f唯一的极值点.例8：讨论f(x,y)=x2+xy是否存在极值.解：当f x=2x+y=0, f y=x=0时, x=0, y=0，即点(0,0)是f的稳定点.∵f xx=2, f yy=0, f xy=1, 即有(f xx f yy-f xy2)(0,0)=-1<0，∴(0,0)不是f的极值点. 又f在R2上处处存可微，∴f不存在极值.例9：设f(x,y)=(y-x2)(y-2x2)，试用定理17.11能否判定f在原点是否取得极值？如果不能，请试用其它方法判定？解：∵f x(0,0)=8x3-6xy|(0,0)=0, f y(0,0)=2y-3x2|(0,0)=0, ∴原点是f的稳定点. 又f xx=24x2-6y, f yy=2, f xy=-6x, 即有(f xx f yy-f xy2)(0,0)=0，∴由定理17.11无法判定f在原点是否取得极值.但当x2<y<2x2时，有f(x,y)<f(0,0)，而当y>2x2或y<x2时，f(x,y)>f(0,0)，∴f不可能在原点取得极值.例10：证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小. 证：记圆的半径为1，任一外切三角形切点间弧长分别为α,β,γ，其中γ=2π-(α+β)，则外切三角形的面积可以表示为：S=tan 2α+tan 2β+tan 2γ= tan 2α+tan 2β-tan2β+α, 0<α,β<π.当S α=21(sec 22α-sec 22β+α)=0, S β=21(sec 22β-sec 22β+α)=0时，α=β=32π,即S 有稳定点(32π,32π). ∵S αα(32π,32π)=43>0, S ββ(32π,32π)=23,S αβ(32π,32π)=43, 即有(S ααS ββ-S αβ2)(32π,32π)=36>0,∴S 在(32π,32π)取得极小值. 又S 在定义域内处处存在偏导数，∴(32π,32π)是S 唯一的极小值点，∴当α=β=32π, γ=2π-(α+β)=32π,即外切三角形为正三角形时,面积最小.例11：(最小二乘法问题)设通过观测或实验得到一列点(x i ,y i ),i=1,2,…,n.它们大体上在一条直线上，即大体上可用直线方程来反映变量x 与y 之间的对应关系. 现要确定一直线使得与这n 个点的偏差平方和最小(最小二乘方).解：设所求直线方程为y=ax+b ，则这n 个点的偏差平方和可表示为： f(a,b)=∑=+n 1i 2i i )y -b (ax .当f a =2∑=+n 1i i i i )y -b (ax x =0, f b =2∑=+n1i i i )y -b (ax =0时,整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n1i i n 1i i n1i i i n 1i i n 1i 2i y bn x a y x x b x a , 解方程组，得f(a,b)的稳定点： a 0=∑∑∑∑∑=====⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 1i 2n 1i i 2i n 1i i n 1i i n1i i i x x n y x y x n , b 0=2n1i i n 1i 2i n 1i i n 1i i i n 1i i n 1i 2i x x n x y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑∑======. 又A=f aa =2∑=n 1i 2ix >0, B=f ab =2∑=n1i i x , C=f bb =2n, D=AC-B 2=4n ∑=n1i 2ix -4(∑=n1i i x )2>0,从而f(a,b)在点(a 0,b 0)取得极小值，根据实际可知该极小值就是最小值.习题1、求下列函数的高阶偏导数.(1)z=x 4+y 4-4x 2y 2, 二阶偏导数；(2)z=e x (cosy+xsiny), 二阶偏导数；(3)z=xln(xy), y x z 23∂∂∂,23y x z ∂∂∂；(4)u=xyze x+y+z , r q p r q p zy x z ∂∂∂∂++； (5)z=f(xy 2,x 2y), 二阶偏导数；(6)u=f(x 2+y 2+z 2), 二阶偏导数； (7)z=f(x+y,xy,yx), z x ,z xx ,z xy .解：(1)z x =4x 3-8xy 2, z y =4y 3-8x 2y, z xx =12x 2-8y 2, z yy =12y 2-8x 2, z xy =z yx =-16xy. (2)z x =e x (cosy+xsiny)+e x siny=e x (cosy+siny+xsiny), z y =e x (xcosy-siny), z xx =e x (cosy+siny+xsiny)+e x siny=e x (cosy+2siny+xsiny), z yy =-e x (xsiny+cosy), z xy =z yx =e x (cosy-siny+xcosy).(3)∵x z ∂∂=ln(xy)+1, 22x z ∂∂=x 1, y x z 2∂∂∂=y 1, ∴y x z 23∂∂∂=0; 23yx z∂∂∂=-2y 1. (4)方法一：∵x u ∂∂=(yz+xyz)e x+y+z, ∴p p xu ∂∂=(pyz+xyz)e x+y+z ；∵y x u p 1p ∂∂+=(pz+pyz+xz+xyz)e x+y+z, ∴q p q p y x u ∂∂+=(qpz+pyz+qxz+xyz)e x+y+z ,∵zy x uq p q p ∂∂+=(qp+qpz+py+pyz+qx+qxz+xy+xyz)e x+y+z , ∴r q p r q p zy x z∂∂∂∂++=(rqp+qpz+rpy+pyz+rqx+qxz+rxy+xyz)e x+y+z . 方法二：u=xyze x+y+z =xe x ·ye y ·ze z . 由归纳法知： (xe x )(p)=(x+p)e x , (ye y )(q)=(y+q)e y , (ze z )(r)=(z+r)e x ,∴r q p r q p zy x z∂∂∂∂++=(xe x )(p)(ye y )(q)(ze z )(r)=(x+p)(y+q)(z+r)e x+y+z . (5)∵z x =y 2f 1+2xyf 2, z y =2xyf 1+x 2f 2,∴z xx =y 4f 11+4xy 3f 12+4x 2y 2f 22+2yf 2, z yy =2xf 1+4x 2y 2f 11+4x 3yf 21+x 4f 22, z xy =z yx =2yf 1+y 2(2xyf 11+x 2f 12)+2xf 2+2xy(x 2f 22+2xyf 21) =2yf 1+2xf 2+2xy(x 2f 22+y 2f 11)+5x 2y 2f 21.(6)设w=x 2+y 2+z 2, 则u=f(w). ∵u x =2xf ’(w), u y =2yf ’(w), u z =2zf ’(w), ∴u xx =2f ’(w)+4x 2f ”(w), u yy =2f ’(w)+4y 2f ”(w), u zz =2f ’(w)+4z 2f ”(w), u xy =u yx =4xyf ”(w); u yz =u zy =4yzf ”(w); u zz =u zx =4xzf ”(w). (7)z x =f 1+yf 2+y1f 3,z xx =f 11+yf 12+y 1f 13+y(f 21+yf 22+y 1f 23)+y 1(f 31+yf 32+y1f 33) =f 11+f 23+f 32+y(f 12+f 21)+y 2f 22+y 1(f 13+f 31)+2y 1f 33 = f 11+2yf 12+y2f 13+y 2f 22+2f 23+2y1f 33. z xy =f 11+xf 12-2y x f 13+f 2+y(f 21+xf 22-2y x f 23)-2y 1f 3+y 1(f 31+xf 32-2y x f 33) =f 11+(x+y)f 12+ ⎝⎛y 1-⎪⎪⎭⎫2y x f 13+xyf 22 -3y x f 33+f 2-2y 1f 3.2、设u=f(x,y), x=rcos θ, y=rsin θ, 证明：22ru ∂∂+r u r 1∂∂+222θu r 1∂∂=22x u ∂∂+22y u∂∂.证：∵r u ∂∂=r x x u ∂∂∂∂+r y y u ∂∂∂∂=cos θxu ∂∂+sin θy u∂∂,θu ∂∂=θx x u ∂∂∂∂+θy y u ∂∂∂∂=rcos θy u ∂∂-rsin θxu ∂∂;∴22r u ∂∂=cos 2θ22x u ∂∂+2sin θcos θy x u 2∂∂∂+sin 2θ22yu ∂∂, 22θu ∂∂=r 2cos 2θyu 22∂∂-rsin θy u ∂∂+r 2sin 2θ22x u ∂∂-rcos θx u ∂∂-2r 2sin θcos θy x u 2∂∂∂; 又r u r 1∂∂=r 1cos θx u ∂∂+r1sin θy u∂∂,222θu r 1∂∂= cos 2θy u 22∂∂-r1sin θy u ∂∂+sin 2θx u ∂∂-r 1cos θx u ∂∂-2sin θcos θy x u 2∂∂∂; ∴22r u ∂∂+r u r 1∂∂+222θu r 1∂∂=22x u ∂∂+22yu∂∂.3、设u=f(r), r2=x 12+x 22+…+x n 2,证明：212x u ∂∂+222x u ∂∂+…+2n 2x u ∂∂=22dru d +dr dur 1-n .证：记∵k x u ∂∂=k x r dr du ∂∂=dr du r x k , ∴2k 2x u ∂∂=dr du rx r 132k⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+r d u d r x 2222k , k=1,2,…,n ∴∑=∂∂n1k 2k2x u =212x u ∂∂+222x u ∂∂+…+2n 2x u ∂∂=22dr u d +dr du r 1r n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22dr u d +dr dur 1-n .4、设v=r 1g ⎪⎭⎫ ⎝⎛-c r t , c 为常数，r=222z y x ++. 证明：v xx +v yy +v zz =2c1v tt .证：∵v x =-r x r 12g+r 1⎪⎭⎫⎝⎛-cr x g ’=-3r x g-2cr x g ’, v y =-3r y g-2cr y g ’, v z =-3r z g-2crz g ’; ∴v xx =522r r -3x g+42cr x g ’+422cr r -2x g ’+322r c x g ” =522r r -3x g+422cr r -3x g ’+322r c x g ”, v yy =522r r -3y g+422cr r -3y g ’+322r c y g ”, v zz =522rr -3z g+422cr r -3z g ’+322r c z g ”,∵522r r -3x +522r r -3y +522r r -3z =0, 422cr r -3x +422cr r -3y +422cr r -3z =0, 322r c x +322r c y +322r c z =r c 12, ∴v xx +v yy +v zz =rc 12g ”; 又v t =r 1g ’, v tt =r 1g ”, ∴v xx +v yy +v zz =2c 1v tt .5、证明定理17.8的推论. 证：证明过程见17.8推论.6、通过对F(x,y)=sinxcosy 施用中值定理，证明对某θ∈(0,1)，有43=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6πθ. 证：F x =cosxcosy, F y =-sinxsiny. 对点(3π,6π)和(0,0)运用中值定理知，存在某θ∈(0,1)，有F(3π,6π)-F(0,0)=3πF x (3πθ,6πθ)+6πF y (3πθ,6πθ)，即sin 3πcos 6π-sin0cos0=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6πθ， 又sin 3πcos 6π-sin0cos0=43，∴43=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6πθ.7、求下列函数在指定点处的泰勒公式：(1)f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0) (至二阶)；(2)f(x,y)=yx在点(1,1) (至三阶)； (3)f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0)；(4)f(x,y)=2x 2-xy-y 2-6x-3y+5在点(1,-2). 解：(1)∵f(0,0)=sin0=0, f x (0,0)=2xcos(x 2+y 2)|(0,0)=0, f y (0,0)=0, f xx (0,0)=[2cos(x 2+y 2)-4x 2sin(x 2+y 2)]|(0,0)=2, f yy (0,0)=2, f xy (0,0)=f yx (0,0)=-4xysin(x 2+y 2)|(0,0)=0, f xxx (θx,θy)=[-12xsin(x 2+y 2)-8x 3cos(x 2+y 2)]|(θx,θy)=-4θxsin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3x 3cos(θ2x 2+θ2y 2), f xxy (θx,θy)=[-4ysin(x 2+y 2)-8x 2ycos(x 2+y 2)]|(θx,θy) =-4θysin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3x 2ycos(θ2x 2+θ2y 2), f yyx (θx,θy)=-4θxsin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3xy 2cos(θ2x 2+θ2y 2), f yyy (θx,θy)=-12θysin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3y 3cos(θ2x 2+θ2y 2), ∴sin(x 2+y 2)=x 2+y 2+R 2(x,y)，其中R 2(x,y)=61[x 3f xxx (θx,θy)+3x 2yf xxy (θx,θy)+3xy 2f yyx (θx,θy) +y 3f yyy (θx,θy)] =-32[3θ(x 2+y 2)2sin(θ2x 2+θ2y 2) +2θ3(x 2+y 2)3cos(θ2x 2+θ2y 2)]. (2)∵f(1,1)=1, f x (1,1)=y1|(1,1)=1, f y (1,1)=-2y x|(1,1)=-1, f xx =0, f yy (1,1)=3y 2x |(1,1)=2, f xy (1,1)=f yx (1,1)=-2y1|(1,1)=-1, f xxx =f xxy =0, f yyx (1,1)=3y 2|(1,1)=2, f yyy (1,1)=-4y 6x|(1,1)=-6, f xxxx =f xxxy =f xxxy =f xxyy =0, f yyyx (1+θx,1+θy)=-4θy)(16+, f yyyy (1+θx,1+θy)=5θy)(1θx )24(1++. ∴yx=1+(x-1)-(y-1)-(x-1)(y-1)+(y-1)2+(x-1)(y-1)2-(y-1)3+R 3(x,y)，其中 R 3(x,y)=241[4(x-1)(y-1)3f yyyx (1+θx,1+θy)+(y-1)4f yyyy (1+θx,1+θy)] =-431)]-θ(y [11)-1)(y -(x ++51)]-θ(y [11)-θ(x 1++(y-1)4. (3)∵k k x f ∂∂=k 1-k y)x (11)!-(k (-1)++=k k yf ∂∂, ∴k k x f(0,0)∂∂=kk y f(0,0)∂∂=(-1)k-1(k-1)!; ∵p -n p n y x f ∂∂∂=n1-n y)x (11)!-(n (-1)++, ∴p -n p n yx f(0,0)∂∂∂=(-1)n-1(n-1)!;∴ ⎝⎛∂∂x x p!1+py y ⎪⎪⎭⎫∂∂f(0,0)=∑=p 0i p iC p!1(-1)p-1(p-1)!x i y p-i =p (-1)1-p (x+y)p. ⎝⎛∂∂+x x 1)!(n 1+py y ⎪⎪⎭⎫∂∂f(θx,θy)=1n n 1-n 0p p 1n θy)θx (1n!)1(C 1)!(n 1+=+++-+∑x p y n-p =1n n θy)θx 1)(1(n )1(++++- (x+y)n+1. ∴ln(1+x+y)=p y)(x )1(p n1p 1-p +-∑=+(-1)n1n 1n θy)θx 1)(1(n )y x (++++++, (0<θ<1). (4)∵f(1,-2)=5, f x (1,-2)=(4x-y-6)|(1,-2)=0, f y (1,-2)=(-x-2y-3)|(1,-2)=0, f xx =4, f yy =-2, f xy =f yx =-1, ∴f 的三阶偏导数都为0, ∴2x 2-xy-y 2-6x-3y+5=5+2(x-1)2-(x-1)(y+2)-(y+2)2.8、求下列函数的极值点：(1)z=3axy-x 3-y 3 (a>0)；(2)z=x 2-xy+y 2-2x+y ；(3)z=e 2x (x+y 2+2y). 解：(1)当z x =3ay-3x 2=0, z y =3ax-3y 2=0时,x=y=0或x=y=a, ∴函数z 有稳定点(0,0)和(a,a).又z xx (a,a)=-6a<0, z yy (a,a)=-6a, z xx (0,0)=0, z yy (0,0)=0, z xy =z yx =3a, 即有 (z xx z yy -z xy 2)(a,a)=27a 2>0; (z xx z yy -z xy 2)(a,a)=-9a 2<0, ∴(a,a)是极大值点, (0,0)不是极值点.(2)当z x =2x-y-2=0, z y =-x+2y +1=0时,x=1, y=0,∴函数z 有稳定点(1,0). 又z xx =2>0, z yy =2, z xy =z yx =-1, 即有z xx z yy -z xy 2=3>0;∴(1,0)是极小值点. (3)当z x =e 2x (2x+2y 2+4y+1)=0, z y =e 2x (2y+2)=0时,x=21, y=-1,∴函数z 有稳定点(21,-1). 又z xx =e 2x (4x+4y 2+8y+4), z xx (21,-1)=2e>0; z yy =2e 2x , z yy (21,-1)=2e; z xy =z yx =e 2x (4y+4), z xy (21,-1)=z yx (21,-1)=0, 即有(z xx z yy -z xy 2)(21,-1)=4e 2>0; ∴(21,-1)是极小值点.9、求下列函数在指定范围内的最大值与最小值：(1)z=x 2-y 2, {(x,y)|x 2+y 2≤4}；(2)z=x 2-xy+y 2, {(x,y)||x|+|y|≤1}； (3)z=sinx+siny-sin(x+y), {(x,y)|x ≥0,y ≥0,x+y ≤2π}.解：(1)当z x =2x=0, z y =-2y=0时,x=0, y=0,∴函数z 有稳定点(0,0). 又z xx =2>0, z yy =-2, z xy =z yx =0, 即有z xx z yy -z xy 2=-4<0;∴(0,0)不是极值点. 当x 2+y 2=4时，y 2=4-x 2，∴z=2x 2-4. 由z ’=4x=0，得稳定点x=0, y=±2, z(0,2)=z(0,-2)=-4. 又x 2=4-y 2,∴z=4-2y 2.由z ’=-4y=0,得稳定点y=0, x=±2, z(2,0)=z(-2,0)=4. ∴在(2,0),(-2,0)取最大值4, 在(2,0),(-2,0)取最小值-4. (2)当z x =2x-y=0, z y =2y-x=0时,x=0, y=0,∴函数z 有稳定点(0,0). 又z xx =2>0, z yy =2, z xy =z yx =-1, 即有z xx z yy -z xy 2=3>0;∴z(0,0)=0是极小值. 当x+y=1, 即y=1-x 时, z=x 2-x(1-x)+(1-x)2=3x 2-3x+1, 由z ’=6x-3=0, 得稳定点x=21, y=21, z(21,21)=41;当x-y=1, 即y=x-1时, z=x 2-x(x-1)+(x-1)2=x 2-x+1, 由z ’=2x-1=0, 得 稳定点x=21,y=-21, z(21,-21)=43;当-x-y=1, 即y=-x-1时, z=x 2-x(-x-1)+(-x-1)2=3x 2+3x+1, 由z ’=6x+3=0, 得 稳定点x=-21,y=-21, z(-21,-21)=43; 又z(1,0)=z(0,1)=z(-1,0)=z(0,-1)=1, ∴函数在(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)取最大值1, 在(0,0)取最小值0. (3)当z x =cosx-cos(x+y)=0, z y =cosy-cos(x+y)=0时,cosx=cosy, ∴函数的稳定点在x=y 或x+y=2π上.当x=y 时cosx-cos2x=-2cos 2x+cosx+1=0, ∴cosx=cosy=-21或1,∴x=y=32π或x=y=0, z(32π,32π)=233, z(0,0)=0. 又在边界{(x,y)|x=0, 0≤y ≤2π}∪{(x,y)|y=0, 0≤x ≤2π}∪{(x,y)|x+y=2π}上, z=0, ∴函数在(32π,32π)取最大值233, 在边界上取最小值0.10、在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形. 解：设三边分别为x,y,y. 则面积S=z)-y)(p -x)(p -p(p , x+y+z=2p. ∴S=p)-y y)(x -x)(p -p(p , (x,y)∈D={(x,y)|0≤x ≤p, 0≤y ≤p, x+y ≥p }. 根据S 偏导数的特点，可知S 与f=(p-x)(p-y)(x+y-p)有相同的稳定点. 又当f x =(p-y)(2p-2x-y)=0, f y =(p-x)(2p-2y-x)=0时, x=y=32p , z=2p-x-y=32p, 且S 在D 的边界上有S ≡0, ∴S 在(32p ,32p)处取得最大值，即 边长为32p 的等边三角形面积最大为S(32p ,32p)=9p 3.11、在xy 平面上求一点，使它到三直线x=0, y=0及x+2y-16=0的距离平方和最小.解：所求点(x,y)到三直线的距离平方和为：s=x 2+y 2+516)-2y +(x 2.当s x =2x+516)-2y +2(x =0, s y =2y+516)-2y +4(x =0时，x=58, y=516. ∴(58,516)是s 的稳定点. 又s 在R 2内处处存在连续的偏导数, ∴(58,516)是s 唯一的稳定点，也是s 的最小值点.12、已知平面上n 个点的坐标分别为A 1(x 1,x 1), A 2(x 2,y 2), …,A n (x n ,y n )，试求一点，使它与这n 个点距离的平方和最小.解： 设点(x,y)为所求，它与各点距离平方和为：S=∑=+n1i 2i 2i ])y -(y )x -[(x .当S x =2nx-2∑=n 1i i x =0, S y =2ny-2∑=n1i i y =0时，x=∑=n 1i i x n 1, y=∑=n1i i y n 1.又S 在R 2内处处存在连续的偏导数，∴(∑=n 1i i x n 1,∑=n1i i y n 1)是S 唯一的稳定点，也是S 的最小值点.13、证明：函数u=ta 4b)-(x 22eπta 21-(a,b 为常数)满足热传导方程：t u ∂∂=a 222xu∂∂.证：t u∂∂=-ta 4b)-(x 322e πta 41-+ta 4b)-(x 22222e t a 4b)-(x πta 21-. x u ∂∂=-ta 4b)-(x 222e ta 4b)-2(x πt a 21-, 22x u∂∂=-ta 4b)-(x 3322e πta 41+ta 4b)-(x 24222e t a 4b)-(x πt 2a 1-,∴a 222x u∂∂=-ta 4b)-(x 322e πta 41-+ta 4b)-(x 22222e t a 4b)-(x πta 21-=tu∂∂.14、证明：函数u=ln 22b)-(y a)-(x +(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程：22x u ∂∂+22yu∂∂=0. 证：∵x u∂∂=2222b)-(y a)-(x b)-(y a)-(x a -x +⋅+=22b)-(y a)-(x a -x +, ∴22x u ∂∂=222222]b)-(y a)-[(x a)-(x 2b)-(y a)-(x +-+=22222]b)-(y a)-[(x a)-(x b)-(y +-; 同理可得22y u∂∂=22222]b)-(y a)-[(x b)-(y a)-(x +-; ∴22x u ∂∂+22yu ∂∂=0.15、证明：若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程：22x u ∂∂+22yu∂∂=0；则函数v=f(22y x x +,22y x y+)也满足此方程. 证：记s=22y x x +, t=22y x y +, 则x s ∂∂=22222)y x (x y +-=-y t ∂∂,y s∂∂=-222)y x (x y 2+=xt ∂∂.x v ∂∂=x s s f ∂∂∂∂+x t t f ∂∂∂∂,22x v ∂∂=222x s s f⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+2x t x s t s f 2∂∂∂∂∂∂∂+222x t t f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22x s s f ∂∂∂∂+22x tt f ∂∂∂∂; 同理22y v ∂∂=222y s s f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+2y t y s t s f 2∂∂∂∂∂∂∂+222y t t f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22y s s f ∂∂∂∂+22y tt f ∂∂∂∂; ∵22x s ∂∂=-x y t 2∂∂∂,22y s ∂∂=y x t 2∂∂∂, ∴22x s ∂∂+22y s ∂∂=0, 同理22x t ∂∂+22yt∂∂=0. 又2x s ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2y t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂, 2x t ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2y s ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂, x t x s ∂∂∂∂=-y t y s ∂∂∂∂,22s f ∂∂+22t f ∂∂=0, 代入上述各式子，可得22x v ∂∂+22yv∂∂=0.16、设函数u=φ(x+ψ(y))，证明y x u x u 2∂∂∂∂∂=22x uy u ∂∂∂∂.证：令s=x+ψ(y), 则∵x u ∂∂=ds d φ,y x u 2∂∂∂=dy d ψds φd 22, ∴y x u x u 2∂∂∂∂∂=dy d ψds φd ds d φ2;又y u ∂∂=dy d ψds d φ, 22x u ∂∂=22dsφd , ∴22x u y u ∂∂∂∂=dy d ψds φd ds d φ22=y x u x u 2∂∂∂∂∂.17、设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0)在某邻域内存在，f yx 在点(x 0,y 0)连续，证明：f xy 也存在，且f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0). 证：由已知条件及中值定理得：F(△x,△y)=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0+△x,y 0)-f(x 0,y 0+△y)+f(x 0,y 0) =f yx (x 0+θ1△x,y 0+θ2△y)△x △y, 0<θ1,θ2<1，即有 f yx (x 0+θ1△x,y 0+θ2△y) =y1x )y ,f(x -)y x,f(x x y)y ,f(x -y)y x,f(x 00000000∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆+-∆∆+∆+∆+. 又f yx 在点(x 0,y 0)连续，故对上式两边取△x →0得 f yx (x 0,y 0+θ2△y)=y)y ,f(x -)y x ,f(x 0000∆∆+，再让△y →0,由f yx 在点(x 0,y 0)连续及f xy 的定义知，f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0).18、证明：若f x ,f y 在点(x 0,y 0)在某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微，则有f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0).证：由已知条件及中值定理得：F(△x,△y)=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0+△x,y 0)-f(x 0,y 0+△y)+f(x 0,y 0) =[f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)-f x (x 0+θ1△x,y 0)]△x, 0<θ1<1. 由f x 在点(x 0,y 0)可微知F(△x,△y)=f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)-f x (x 0,y 0)]△x-f x (x 0+θ1△x,y 0)-f x (x 0,y 0)]△x =[f xx (x 0,y 0)θ1△x+f xy (x 0,y 0)△y+o (ρ)-f xx (x 0,y 0)θ1△x-o (ρ)]△x= f xy (x 0,y 0)△x △y+o (ρ)△x. ∴yx y)x ,f(lim (0,0)y )x,(∆⋅∆∆∆→∆∆=f xy (x 0,y 0). 同理， 由f y 在点(x 0,y 0)可微得yx y)x ,f(lim (0,0)y )x,(∆⋅∆∆∆→∆∆=f yx (x 0,y 0). ∴f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0).19、设u=222z y x z y x111, 求(1)u x +u y +u z ；(2)xu x +yu y +zu z ；(3)u xx +u yy +u zz . 解：u x =22z y 2x z y1110=2xz+y 2-2xy-z 2=(y-z)(-2x+y+z), 同理 u y =(x-z)(-2y+x+z), u z =(x-y)(-2z+x+y),∴(1)u x +u y +u z =0; (2)xu x +yu y +zu z =3(z-y)(x-y)(x-z). 又∵u xx =2(z-y), u yy =2(x-z), u zz =2(y-x),∴(3)u xx +u yy +u zz =0.20、设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx, 试按h,k,l 的正数幂展开f(x+h,y+k,z+l).解：∵f x =2Ax+Dy+Fz, f y =2By+Dx+Ez, f z =2Cz+Ey+Fx; f xx =2A, f yy =2B, f zz =2C; f xy =f yx =D, f xz =f zx =F, f yz =f zy =E.∴f(x+h,y+k,z+l)=f(x,y,z)+(2Ax+Dy+Fz)h+(2By+Dx+Ez)k+(2By+Dx+Ez)l +Ah 2+Bk 2+Cl 2+Dhk+Ekl+Fhl= f(x,y,z)+(2Ax+Dy+Fz)h+(2By+Dx+Ez)k+(2By+Dx+Ez)l+f(h,k,l).。
数学分析17.3多元函数微分学之方向导数与梯度
第十七章 多元函数微分学3方向导数与梯度定义1：设三元函数f 在点P 0(x 0,y 0,z 0)的某邻域U(P 0)⊂R 3有定义，l 为从点P 0出发的射线，P(x,y,z)为l 上且含于U(P 0)内的任一点，以ρ表示P 与P 0两点间的距离. 若极限ρ)f(P -f(P)lim00ρ+→=ρflim 0ρl ∆+→存在，则称此极限为函数f 在点P 0沿方向l 的方向导数，记作0P lz ∂∂,f l (P 0)或f l (x 0,y 0,z 0).若f 在点P 0存在关于x 的偏导数，则f 在P 0沿x 轴正向的方向导数为：P lz ∂∂=P xz ∂∂；当l 的方向为x 轴的负方向时，则有P lz ∂∂=-P xz ∂∂.定理17.6：若函数f 在点P 0(x 0,y 0,z 0)可微，则f 在点P 0沿任一方向l 的方向导数都存在，且f l (P 0)=f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ，其中 cos α,cos β,cos γ是方向l 的方向余弦.证：设P(x,y,z)为l 上任一点，于是有⎪⎩⎪⎨⎧=∆==∆==∆=ρcosγz z -z ρcosβy y -y ρcosαx x -x 000，∵f 在点P 0可微，∴f(P)-f(P 0)=f x (P 0)△x +f y (P 0)△y +f z (P 0)△z+o (ρ)， 两边除以= f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ+ρ)ρ(o ，∴f l (P 0)=ρ)f(P -f(P)lim 00ρ+→=f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ.注：二元函数f(x,y)对应的结果是：f l (P 0)=f x (x 0,y 0)cos α+f y (x 0,y 0)cos β， 其中α,β是平面向量l 的方向角.例1：设f(x,y,z)=x+y 2+z 3,求f 在点P 0(1,1,1)沿方向l:(2,-2,1)的方向导数. 解：∵f x (P 0)=1; f y (P 0)=2y|(1,1,1)=2; f z (P 0)=3z 2|(1,1,1)=3; 又cos α=2221)2(22+-+=32; cos β=-32; cos γ=31;∴f l (P 0)=f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ=32-34+1=31.例2：讨论f(x,y)=⎩⎨⎧+∞<<∞<<其余部分时当，，0x -，x y 012在原点处的方向导数.解：f 在原点不连续，所有不可微. 但在始于原点的任何射线上， 都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上，f 的函数值恒为0. 根据方向导数的定义，在原点处沿任何方向l 都有)(0,0lf∂∂=0.注：例2说明：(1)函数在一点可微是方向导数存在的充分条件，不是必要条件； (2)函数在一点连续既不是方向导数存在的必要条件也不是充分条件.定义2：若f(x,y,z)在点P 0(x 0,y 0,z 0)存在对所有自变量的偏导数，则称向量(f x (P 0),f y (P 0),f z (P 0))为函数f 在点P 0的梯度，记作：gradf=(f x (P 0),f y (P 0),f z (P 0)). 向量gradf 的长度(或模)为：|gradf|=)P (f )P (f )P (f 02z 02y 02x ++. 若记l 方向上的单位向量为：l 0=(cos α,cos β,cos γ)，则方向导数公式可写成：f l (P 0)=gradf(P 0)·l 0=|gradf(P 0)|cos θ，这里θ是梯度向量gradf(P 0)与l 0的夹角. 因此当θ=0时， f l (P 0)取得最大值|gradf(P 0)|，即当f 在点P 0可微时， f 在点P 0的梯度方向是f 的值增长最快的方向，且 沿这一方面的变化率就是梯度的模；而当l 与梯度向量反方向(θ=π)时，方向导数取得最小值-|gradf(P 0)|.例3：设f(x,y,z)=xy 2+yz 3, 求f 在P 0(2,-1,1)的梯度及它的模.解：由f x (P 0)=y 2|(2,-1,1)=1; f y (P 0)=2xy+z 3|(2,-1,1)=-3; f z (P 0)=3yz 2|(2,-1,1)=-3得， f 在P 0的梯度gradf=(1,-3,-3)，模为：222)3()3(1-+-+=19.习题1、求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)沿方向l(方向角分别为60⁰,45⁰,60⁰)的方向导数.解：∵u x (1,1,2)=y 2-yz|(1,1,2)=-1; u y (1,1,2)=2xy-xz|(1,1,2)=0; u z (1,1,2)=3z 2-xy|(1,1,2)=11; cos60⁰=21; cos45⁰=22; ∴f l (1,1,2)=(-1)×21+0+11×21=5.2、求函数u=xyz 在点A(5,1,2)沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数. 解：∵u x (5,1,2)=yz|(5,1,2)=2; u y (5,1,2)=xz|(5,1,2)=10; u z (5,1,2)=xy|(5,1,2)=5; cos α=222)214()14()59(59-+-+--=134; cos β=133; cos γ=1312; ∴f l (5,1,2)=2×134+10×133+5×1312=1398.3、求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在A(0,0,0)及B(5,-3,32)的梯度以及它们的模.解：∵u x (0,0,0)=2x+y-4|(0,0,0)=-4; u x (5,-3,32)=2x+y-4|(5,-3,2/3)=3； u y (0,0,0)=4y+x+2|(0,0,0)=2; u y (5,-3,32)=4y+x+2|(5,-3,2/3)=-5； u z (0,0,0)=6z-4|(0,0,0)=-4; u z (5,-3,32)=6z-4|(5,-3,2/3)=0；∴gradu(0,0,0)=(-4,2,-4)，|gradu(0,0,0)|=222)4(2)4(-++-=6； gradu(5,-3,32)=(3,-5,0)，|gradu(5,-3,32)|=2220)5(3+-+=34.4、设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1, 其中r=222)c z ()b y ()a -(x -+-+, 求u 的梯度，并指出在空间哪些点上等式|gradu|=1成立. 解：u x =x r dr du ∂∂=-r a -x r 1=2r x -a ; u y =y r dr du ∂∂=2ry -b ; u z =z r dr du ∂∂=2r z -c ;∴gradu=(2r x -a ,2r y -b ,2rz-c ). 当|gradu|=1时，由 222222r z -c r y -b r x -a ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222r z)-(c y)-(b x)-(a ++=42r r =r 1=1，知 222)c z ()b y ()a -(x -+-+=1，即空间以(a,b,c)为球心，以1为半径的球面上的所有点，都有|gradu|=1.5、设函数u=22c z -22ax -22b y ，求它在点(a,b,c)的梯度.解：∵u x (a,b,c)=-2a 2x |(a,b,c)=-a 2; u y (a,b,c)=-2b 2y |(a,b,c)= -b 2; u z (a,b,c)=2c2z|(a,b,c)=c 2; ∴gradu(a,bc)=(-a 2,-b 2,c 2).6、证明：(1)grad(u+c)=gradu,(c 为常数)； (2)grad(αu+βv)=αgradu+βgradv ； (3)grad(uv)=ugradv+vgradu ； (4)gradf(u)=f ’(u)gradu.证：设u=u(x 1,…,x n )，v=v(x 1,…,x n )；则 (1)grad(u+c)=(u x1,…,u xn )=gradu.(2)grad(αu+βv)=(αu x1+βv x1,…,αu xn +βv xn )=α(u x1,…,u xn )+β(v x1,…,v xn ) = αgradu+βgradv.(3)grad(uv)=(vu x1+uv x1,…,vu xn +uv xn )=u(v x1,…,v xn )+v(u x1,…,u xn ) =ugradv+vgradu.(4)gradf(u)=(f ’(u)u x1,…,f ’(u)u xn )=f ’(u)gradu.7、设r=222z y x ++, 试求：(1)gradr; (2)grad r1.解：(1)∵r x =rx ; r y =r y ; r z =r z; ∴gradr=r1(x,y,z).(2)令u=r 1, 则u x =dr du r x =-3r x ; r y =-3r y ; r z =-3rz ; ∴grad r 1=-3r 1(x,y,z).8、设u=x 2+y 2+z 2-3xyz, 试问在怎样的点集上gradu 分别满足： (1)垂直于x 轴；(3)平行于x 轴；(3)恒为零向量.解：∵u x =2x-3yz; u y =2y-3xz; u z =2z-3xy; ∵gradu=(2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy). (1)当gradu 垂直于x 轴时，∵x 轴的方向向量为(1,0,0)， ∴(2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy)(1,0,0)=2x-3yz=0，即2x=3yz.(3)当gradu 平行于z 轴时，13yz -2x =03xz -2y =03xy-2z =c(常数)，即 2x-3yz=c, 2y=3xz, 2z=3xy.(3)当gradu 恒为零向量时， (2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy)=(0,0,0)，即 2x=3yz, 2y=3xz, 2z=3xy ；解得x 2=y 2=z 2=94.9、设f(x,y)可微，l 是R 2上的一个确定向量. 倘若处处有f l (x,y)=0，试问此函数f 有何特征？解：若f l (x,y)=f x cos α+f y cos β≡0，即(f x ,f y )(cos α,cos β)=0，说明 函数f 在定义域内任一点P(x,y)的梯度向量与向量l 垂直.10、设f(x,y)可微，l 1与l 2是R 2上的一组线性无关向量. 试证明：若i l f (x,y)≡0, (i=1,2)，则f(x,y)≡常数.证：依题意，f l1(x,y)=f x cos α1+f y cos β1=0，f l2(x,y)=f x cos α2+f y cos β2=0， cos α1,cos β1为l 1的方向余弦; cos α2,cos β2为l 2的方向余弦; 又l 1与l 2性线无关，即2121βcos βcos αcos αcos ，，≠0，∴f x =f y =0，∴f(x,y)≡常数.。
数学分析2课件：第十七章 多元函数微分学
x2 y2 ( xy)
| y|
( x2 y2 )3
x2
x
y2
sgn
1 y
( y 0)
z
不存在．
y x0
y0
例 5 已知理想气体的状态方程 pV RT （ R为常
数），求证： p V
V T
T p
1.
证
p
RT V
p V
RT V2
;
V
RT p
V T
R p
;
T
pV R
T p
V R
;
p V
V T
y y0
xx0 或
y y0
f x ( x0 , y0 ).
f
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) .
x xx0 x0
x
y y0
同理可定义函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 y的偏导
数为
lim
y0
f
( x0 , y0 y) y
f
( x0 , y0 )
f
(x, y,z) ,
f
y
(
x,
y,z
)
lim
y0
f
( x, yy,z) y
f
(x, y,z)
,
f
z
(
x,
y,z)
lim
z0
f
( x, y,zz) z
f
(x, y,z) .
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的
微分法问题。 求 f 时，只要把 x 之外的其他自变量暂时看成
x 常量，对 x 求导数即可。
( x, y) 可微分， Ax By 称为函数 z f ( x, y) 在点( x, y)的全微分，记为dz ，即
第十七章多元函数微分学
第十七章 多元函数微分学§17.1 多元函数微分学1．求下列函数的偏导数： (1)22,;x y z xy z x == (2)cos z y x =sin ,cos ;x y z y x z x =-=(3)33222222,;()()x y x y z z x y x y --==++(4)22ln()z x y =+222222,;x y x yz z x y x y==++ (5),;xy xy x y z ye z xe == (6)arctanxz y= 2222221.,;1()x y y y xz z y x x y x y x--===+++ (7)sin()2sin()sin()sin()cos()[1cos()],[1cos()];xy xy xy x xy y z ye xy e xy ye xu xy z xy xy xe=+=+=+(8) y x x u x y z=+- 222111,,;x y z y z x u u u x z x y y z=--=-=+ (9)11(),(),()ln();z z z x y z u zy xy u zx xy u xy xy --=== (10) zyu x =11,ln ,ln ln ;zz zz y z y y z x y z u y x u zy x x u x y x y --=== 2.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x 解法1：(,1)1f x =+则(,1)1f x =解法2：(,1)0,(,1)1x f x x x f x =+?=3．设2222221sin ,0,(,)0,0y x y x y f x y x y ìïï+?ï+=íïïï+=ïî，考察函数f 在原点（0，0）的偏导数。
(完整word版)(整理)数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学
第十七章多元函数微分学教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。
教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。
教学时数：18学时§1 可微性一．可微性与全微分：1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时.2．全微分:例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1二.偏导数:1.偏导数的定义、记法:2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.3.求偏导数:例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 .例5. 求偏导数.例6. 求偏导数.例7. 求偏导数, 并求.例8. 求和.解=,=.例9证明函数在点连续, 并求和.证. 在点连续 .,不存在 .三.可微条件:1.必要条件:Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微, 和存在, 且. ( 证) 由于, 微分记为.定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件, 但不充分.例10考查函数在原点的可微性 . [1]P110 例5 .2.充分条件:Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在,则函数在点可微 .证.即在点可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例11验证函数在点可微, 但和在点处不连续 . (简证,留为作业)证因此, 即,在点可微, . 但时, 有,沿方向不存在, 沿方向极限不存在; 又时,,因此, 不存在, 在点处不连续. 由关于和对称,也在点处不连续 .四.中值定理:Th 4 设函数在点的某邻域内存在偏导数 . 若属于该邻域, 则存在和, , 使得. ( 证) 例12设在区域D内. 证明在D内.五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1．可微性的几何意义：切平面的定义. P113.Th 5 曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条件是函数在点可微 . ( 证略)2. 切平面的求法: 设函数在点可微，则曲面在点处的切平面方程为（其中），法线方向数为，法线方程为.例13试求抛物面在点处的切平面方程和法线方程 . P115例63. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理 .例14 求的近似值. P115例7例15 应用公式计算某三角形面积 . 现测得,. 若测量的误差为的误差为. 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116.§2 复合函数微分法简介二元复合函数: .以下列三种情况介绍复合线路图;, ;.一.链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数在点D可微, 函数在点可微, 则复合函数在点可微, 且,. ( 证) P118称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”或“并联加，串联乘”）来概括 .对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱.对外元, 内元, 有，.外元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数.例1. 求和. P120例1例2, . 求和.例3, 求和.例4设函数可微 ..求、和.例5用链导公式计算下列一元函数的导数:ⅰ> ; ⅱ> . P121例4例6设函数可微. 在极坐标变换下, 证明. P120例2 例7设函数可微, . 求证.二.复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8. 利用全微分形式不变性求, 并由此导出和.P122 例5§3 方向导数和梯度一．方向导数：1．方向导数的定义：定义设三元函数在点的某邻域内有定义 .为从点出发的射线 . 为上且含于内的任一点, 以表示与两点间的距离 . 若极限存在, 则称此极限为函数在点沿方向的方向导数, 记为或、.对二元函数在点, 可仿此定义方向导数 .易见, 、和是三元函数在点分别沿轴正向、轴正向和轴正向的方向导数 .例1=. 求在点处沿方向的方向导数,其中ⅰ>为方向; ⅱ>为从点到点的方向.解ⅰ>为方向的射线为. 即. ,.因此,ⅱ>从点到点的方向的方向数为方向的射线为., ;.因此,2. 方向导数的计算:Th 若函数在点可微, 则在点处沿任一方向的方向导数都存在, 且++,其中、和为的方向余弦. ( 证) P125 对二元函数, +, 其中和是的方向角.註由++==, , , , , 可见, 为向量, , 在方向上的投影.例2 ( 上述例1 )解ⅰ>的方向余弦为=, =, =.=1 , =, =.因此, =++=.ⅱ>的方向余弦为=, =, =. 因此, =.可微是方向导数存在的充分条件, 但不必要 .例3 P126 .二. 梯度( 陡度):1. 梯度的定义: , , .|= .易见, 对可微函数, 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数, 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为|.其中是与夹角. 可见时取最大值, 在的反方向取最小值 .3. 梯度的运算:ⅰ> .ⅱ>(+) = +.ⅲ> () = +.ⅳ> .ⅴ> () = .证ⅳ> , ..§4 Taylor公式和极值问题一、高阶偏导数:1.高阶偏导数的定义、记法：例9 求二阶偏导数和. P128例1 例10 . 求二阶偏导数. P128例2 2.关于混合偏导数: P129—131.3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式, P131-132例11 . 求和. P132例34. 验证或化简偏微分方程:例12 . 证明+ . ( Laplace方程) 例13 将方程变为极坐标形式.解., , , ., ;因此, .方程化简为.例14试确定和, 利用线性变换将方程化为.解, .=+++==+2+.=+++==++.=++.因此,+ (+ . 令, 或或……, 此时方程化简为.二．中值定理和泰肋公式：凸区域 .Th 1 设二元函数在凸区域D 上连续, 在D的所有内点处可微 . 则对D内任意两点 D , 存在, 使.证令.系若函数在区域D上存在偏导数, 且, 则是D上的常值函数.二. Taylor公式:Th 2 (Taylor公式) 若函数在点的某邻域内有直到阶连续偏导数, 则对内任一点,存在相应的, 使证P134例1 求函数在点的Taylor公式( 到二阶为止) . 并用它计算P135—136例4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 P136例52．极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设为函数的极值点 . 则当和存在时, 有=. ( 证)函数的驻点、不可导点，函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实)二次型. 其矩阵为.ⅰ> 是正定的,顺序主子式全,是半正定的,顺序主子式全;ⅱ> 是负定的,, 其中为阶顺序主子式.是半负定的, .ⅲ> < 0时, 是不定的.充分条件的讨论: 设函数在点某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor公式, 有++ .令, , , 则当为驻点时, 有.其中.可见式的符号由二次型完全决定.称该二次型的矩阵为函数的Hesse矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> , 为( 严格) 极小值点;ⅱ> , 为( 严格) 极大值点;ⅲ> 时, 不是极值点;ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .综上, 有以下定理 .Th 4 设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数, 是驻点 . 则ⅰ> 时, 为极小值点;ⅱ> 时, 为极大值点;ⅲ> 时, 不是极值点;ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .例3—7 P138—140 例6—10 .四．函数的最值：例8 求函数在域D = 上的最值 .解令解得驻点为. .在边界上, , 驻点为, ;在边界上, , 没有驻点;在边界上, , 驻点为, .又.于是,..[]。
数学分析第十七章 多元函数微分学
2.02
f (1.04,2.02)
f (1,2) f x (1,2)x f0 0.02 1.08.
课堂练习: P116, 12
小结
1、理解可微和全微分的概念，会证明可微性； 2、掌握偏导数定义和计算，会求全微分； 3、了解可微的必要条件和充分条件，及其有关例子；
这个例子说明: 函数即使在一点偏导数存在, 也不一定 在该点可微 (但一元函数在一点可微与导数存在等价 ).
课堂练习: P116, 1(8), 4, 9(2). 作业:
P116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1).
定理 1 7.2(可微的充分条件) 若函数f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内存在偏导数, 且f x与f y在点( x0 , y0 )处连续, 则函数f在该点可微.
因此, f在( x0 , y0 )的全微分(2)可唯一地表示为 df |( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y.
因 dx x, dy y, 故全微分可写为 dz |( x , y ) f x ( x0 , y0 )dx f y ( x0 , y0 )dy.
下面证明过P0的平面 Z z0 f x ( x0 , y0 )( X x0 ) f y ( x0 , y0 )( Y y0 ) 就是z f ( x, y )在P0的切平面。 事实上，
h z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) 1 f x2 ( x0 , y0 ) f y2 ( x0 , y0 )
它是关于x的一元函数z f ( x, y0 )在x x0处的导数.
多元函数微分学
2 2
问在(0,0)处，f(x, y)的偏导数是否存在？偏 Biblioteka 数是否连续？f(x, y)是否可微？
5.方向导数 , 定义5 设 z f ( x , y )在 点M 0 ( x0, y0 )的 某 邻 域 内 有 定 义
xy si n x y ) （ 证 明l i m 0. 2 2 x 0 x y y 0
si n ( ) xy 求lim x 0 y y 0
例2
例3
xy 2 lim 2 是否存在? 4 x 0 x y y0
xy l n (x 2 y 2 ) x 2 y 2 0, 研 究 函 数 ( x, y) f 0 x2 y2 0 在( 0,0)处 的 连 续 性 。
(2) z x 4 y 3 2 x
在1, 2处
( 34dx 12dy)
xy x2 y2 0 2 例9 设f ( x , y ) x y 2 x2 y2 0 0 求f x (0,0), f y (0,0), 并 讨 论 f ( x , y ) 在 (0,0) 处 的 可 微 性 .
在 点M 0沿 任 一 方 向的 方 向 导 数 都 存 在 ， 且 l
M0 M0
当 l 与grad f ( M 0 )同方向时，z在M 0的方向 导数取最大值，且最大 grad f ( M 0 )， 值 当 l 与grad f ( M 0 )反方向时，z在M 0的方向 导数取最小值，且最小 grad f ( M 0 ) 值
多元函数微分法
1. 多元函数的极限:
第十七章多元函数微分学
第十七章多元函数的微分学一、主要内容与教学要求主要内容多元函数的可微性与全微分，偏导数及其几何意义,全微分存在的必要条件、充分条件，可微性的几何意义及应用。
复合函数的求导法则，复合函数的全微分。
方向导数与梯度。
高阶偏导数，二元函数的中值定理和秦勒公式，二元函数的极值与最值。
教学要求1 深刻理解偏导数、全微分的概念, 偏导数及全微分的几何意义。
2 熟练掌握计算多元函数偏导数和全微分的方法，特别是求复合函数的偏导数的运算。
掌握求高阶偏导数的运算3 理解全微分存在的必要条件和充分条件。
理解多元函数的偏导数存在、可微、连续三者之间的关系，混合偏导数与求导顺序无关的条件。
4 了解全微分在近似计算中的应用5 理解方向导数和梯度的概念、并掌握其计算方法。
6了解二元函数的中值定理和秦勒公式，能够将简单的二元函数展成秦勒公式7 理解多元函数（无条件）极值的概念、多元函数取极值的必要条件，充分条件，会求二元函数的极值和最大（小）值，会解一些简单应用题。
8 会求显函数给出的空间曲面的切平面和法线。
教学重点（1）偏导数、全微分的概念；（2）计算多元函数偏导数和全微分的方法；（3）复合函数的微分法；（4）方向导数﹑梯度﹑切线与法平面的概念；（5）二元函数的极值和最大（小）值，会解一些简单应用题教学难点（1）全微分的概念；（2）复合函数高阶偏导数的计算，复合函数的微分法（3）泰勒公式与多元函数取极值的条件极值。
二、本章教材处理建议（1）多元函数的微分是本章的重难点，它与一元函数的微分有很大不同，注意多从几何图形加深理解。
（2）复合函数的微分无论一元函数还是多元函数都是一个学生很难理解的概念，需要加重讲解的力度和练习强度。
初学复合函数求导时，可利用所谓“链式法则”帮助学生理解，以免丢掉一些项。
建议采用函数“分解”图分析出各个坐标分量。
（3）教材安排顺序是先讲可微性，后讲偏导数.可以调整为先讲偏导数，后讲可微性.（4）二元函数的极值问题，在讲授时注意与线性代数知识相结合，引入矩阵、二次型、正定等概念。
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第十七章多元函数微分学基本概念可微性定义：设函数()yxf,在点）（,P yx某邻域()0PU有定义对()0PU中的点()()yyxxyx∆+∆+=,,P，若函数f在点P0处的全增量可表示为()()()ρoyBxAyxfyyxxf+∆+∆=-∆+∆+=∆,,z其中22yx∆+∆=ρ,()ρo是较ρ高阶无穷小量,则函数在点可微。
必要条件：若f在定义域内一点可微，则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在。
（定义A=()0,yxfx，B=()0,yxfy）充分条件：若f的偏导数在某点的某邻域内存在，且f x与f y在该点连续，则f在该点可微。
几何意义：曲面Z=f（x，y）在点）（,P yx，()0,yxf存在不平行Z轴的切平面的充要条件是函数f在点）（,P yx可微，切平面方程为()()()(),,z-z yyyxfxxyxfyx-+-=，法线方程为()()1,,--=-=-zzyxfyyyxfxxyx全微分称yBxA∆+∆为函数f在点P0的全微分，记作()yBxAyxdfdzP∆+∆==,偏导数定义：设函数z=f（x,y）,(x,y)∈D，且f(x,y0)在x0的某一邻域内有定义，则当()()xyxfyxxfx∆--∆+→∆,lim存在时，称这个极限为f在点（x0,y0）关于x的偏导数，记作f x(x0,y0)或(),yxxf∂∂复合函数微分法求导法则若函数()()()()()()可微，且有可微，则复合函数在在可微，在点tsyxyxfztstsytsx,,,D,,,,=∈==ψϕ()()()()()()()()()()t syxtsyxtstsyxtsyxts tzyztzxztzszyzszxzsz,,,,,,,,,,,∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂复合函数的全微分若对上的复合函数是可微的，则其全微分为⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂=dttydssyyzdttxdssxxzdttyyztxxzdssyyzsxxzdttzdsszdz方向导数与梯度方向导数定义：()()()()()存在，则称此极限上，若在发出的射线，为有定义，在三原函数ρρρρfPfPfllzyxf l∆=-⊂∀⊂++→→03limlimPUPPRPU,,为f在P0沿方向l的方向导数，记作()()0,,,zyxfPflfllP或∂∂梯度定义：()()()()()()()222,,,PfPfPffgradPfPfPffgradzyxzyx++==其模长高阶偏导数定义中值定理.),(),(),(),(,1,int),(PDDRD2kkbhafhkbhafbafkbhafDkbhaQbafyxθθθθθθ+++++=-++<<∈++⊂使）（存在），，（内任意两点对的所有内点处可微，则上连续，在在凸区域设二元函数泰勒公式()()()()()()().,11,!1,1,0,,PU1PU,P1kyhxfykxhnyxfykxhikyhxfkyhxnyxfniniθθθ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=++∈++++=∑，使存在相应的））内任意一点（（阶连续偏导数，则对内有直到在某邻域在点若函数极值问题定义()()()()()取极大或极小值。
在点成立。
则称函数或不等式：）（点内有定义，若对于任何的某邻域在点设函数P)(,P,PPU,P fPfPfUyxyxf≥≤∈必要条件()()()0,,0,,P==yxfyxfyxfyx取得极值，则存在偏导数，且在该点在点若函数充分条件。