平面向量的数量积与运算律
平面向量的数量积及其运算律
平面向量的数量积及其运算律在物理课中，我们学过功的概念：即一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功：W =|F ||S |cos θ.即功等于运动距离乘以力在运动方 向上的投影.如图1.4—1.由此我们引出向量数量积的概念.一.数量积 【向量的夹角】已知两非零向量a 和b .在平面上任取一点O,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ab.则∠AOB =θ(0≤θ≤π).叫做向量a 与b 的夹角．想一想:你能指出下列图中两向量的夹角吗？参考答案:①的夹角为0，②OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π，③OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是∠AOB ，④OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是θ.两向量夹角的取值范围[0，π]．注：如果向量a 与b 的夹角是 π2，就称a 与b 垂直，记作a ⊥b .【平面向量的数量积】已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作：a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ. 并规定0∙a =0.这里“·”表示向量的一种乘法运算，称为点乘.【数量积的几何意义】 我们把|b|cos θ (|a |cos θa 叫做向量b 在a 方向上(a 在b 方向上)的投影.你能从图中作出|b |cos θ的几何图形吗？①投影不是向量,是数量，它可以是任意的实数. ②当θ为锐角时投影为正值，数量积为正值.当θ为钝角时投影为负值，数量积为负值；当θ为直角时投影为0，数量积为0； 当θ = 0时，a 与b 同向，投影为|b |，a ·b =|a ||b |， 当θ=π时，a 与b 反向，投影为 -|b |，a ·b = -|a ||b |.a ·b 的几何意义：向量a 与b 的数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影(|b |cos θ的积．【数量积的性质】 ①a ⊥b ⇔a ⋅b =0.②当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |，当a 与b 反向时，a ·b = -|a ||b |.特别地a ·a=|aaa|2. ③|a ⋅b |≤|a |⋅|b |.图1.4—1 图1.4—2图1.4—3④设a 是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与e 的夹角，则e ⋅a =a ⋅e =|a |cos θ. ⑤cos θ=a·b|a ||b|.【数量积的运算律】已知向量a 、b 、c 和实数λ，则： ①a·b = b·a .(交换律). ②(λa ·b =λ(a·b )=a·(λb ).③(a +b ·c=a·c+b·c . (分配律).注意:在实数中，乘法运算满足结合律.向量的数量积没有结合律可言.原因是(a·b )·c 包含的是两种不同的运算，即a· b 是数量积，再乘以c 为实数与向量的积.对于数量积的运算律，其中①、②读者可自证.下面就③给出相应的证明： 过a 、b ，a +b 的终点分别向c 引垂线，垂足分别是A 、B 、D. 如图1.4—4.a 、b ，a +b 在c 上的投影分别为OA 、OB 、OD. 又 OD=OB+BD.现证 BD=OA.过a +b 的终点引c 的平行线 交BE 于F.易知ΔEFG ≅ΔHAO ,⇒OA=FG,而FG=BD, 故OA=BD.⇒ OD=OA+OB,⇒ (a +b ·c=a·c+b·c .【特别提醒】从实数的运算到向量的数量积运算，发生了如下几个主要变化: (1)在实数运算中，若a ⋅b=0，则a=0或b=0； 在数量积中，若a ⋅b=0，则a=0或a b=0或b a ⊥. (2)在实数运算中，已知实数a 、b 、c(b ≠0)，则ab=bc,⇒ a=c.在数量积中，若b 0≠，且a ⋅ba=ab ⋅c 则 aa=aca 吗？ 如右图1.4—5：a ⋅ba=a|a||b|c os β = |b||OA|， b ⋅ca=a|b||c|cos α = |b||OA| ⇒aa ⋅ba=ab ⋅c ，但a ≠ac .(3)在实数运算中，乘法运算满足结合律(a ⋅b)c = a(b ⋅c). 在数量积中，没有结合律可言.a (4)在实数运算中，|ab|=|a||b|. 在数量积中，|a ⋅b |≤|a |⋅|b |.想一想①:已知向量|a |=2，|b |=1，a 、b 的夹角为600，则|a +b ||a -b |=|a 2-b 2|=3吗?【数量积的坐标形式】设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a·b =x 1x 2+y 1y 2.二.数量积性质的应用平面向量的数量积及性质的应用是非常广泛的，利用它们可以解决许多问题.【性质2的应用】与两非零向量a 、b 垂直的问题可通过a ·b =0来处理.例1.(1)已知向量a ⊥b ，且|a |=2，|b |=3，若(3a +2b )·(k a -b )=0，求k 的值.EOGH A BD Fc baa+b图1.4—4O 图1.4—5 a b cA(2)设c 、d 是非零的向量，d =(b ·c ）·a -(a ·c ）·b ，则c ∥d ，还是c ⊥d ？ (3)已知a 、b 、c 为非零的向量，若|b -a -c |=|a -b -c |且|a +b +c |=|a +b -c |.求证：a ⊥c . 解(1) ∵ a ⊥b ， ∴ a ·b =0 . 由(3a +2b )·(k a -b )=0，⇒3k a 2-2b 2=0.∵ |a |=2，|b |=3 ，得k= 32.(2) ∵ d =(b ·c )·a -(a ·c )·b ，⇒a d ·c =[(b ·c )·a -(a ·c )·b ]·c =(b ·c ·a ·c -(a ·c ·b·c =0.⊥ d ⊥c.(3) ∵ |b -a -c |=|a -b -c | ⇒(b -a -c 2=(a -b -c 2，⇒a ·c -b·c =0. ①由|a +b +c |=|a +b -c | 类似地，⇒a a ·c +ab·c =0. ② ⊥ 由①、② ⇒a a ·c =0 ⇒a ⊥c .例2.如图1.4—6. AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 交于一点H.证明：设BE,CF 交于一点H ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a b ，AH ⃗⃗⃗⃗⃗ =a h .则BH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =h -a ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =h -b ， BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b -a . ∵ BH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴ (h -a )a·b =0，且(h -b )a·a =0，⇒ (h -a )a·b =(h -b )a·a ，⇒(b -a )a·h =0. ∴ AH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 又∵ 点D 在AH 的延长线上，∴ AD 、BE 、CF 相交于一点.例3. 已知a =(√3，-1)，b =(12，√32).设存在实数k 、t 使得x =a +(t 2-3)b ，y = -k a +t b ，且x ⊥y ，试求k+t 2t的值域.解：∵ a =(√3，-1)，b =(12，√32) ， ∴ a ·b =0且|a |=2，|b |=1.a又∵ x ⊥y ，∴x ·y =0，⇒-k a 2+t(t 2-3)b 2=0，⇒k =t(t 2−3)4，⇒k+t 2t=t 2+4t−34=(t+2)2−74(t ≠0). ⇒k+t 2t∈[−74，−34)∪(−34，+∞).说明：此题若采用坐标运算来处理，而不注意灵活地利用a ·b =0，则计算量会增加许多.一般来说，当题设条件中有|a |、|b |为定值，且a ·b =0时.还是采用本题的解法为好.想一想②：设向量a 、b 、c 的模均为1，它们两两间的夹角均为1200，求证：(a -b ⊥c.【性质3的应用】与模有关的问题可通过a 2=|a|2，|a|=√a 2=√x 2+y 2来处理.例4.利用向量证明：平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和.已知：已知平行四边形ABCD.如图1.4—7.求证：2(AB 2+AD 2)=AC 2+BD 2.证明：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a . AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b . ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =aa -b ， ∴ AC 2+BD 2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(a+b )2+(a -b )2=2(|a |2+|b |2)=2(AB 2+DA 2)， ∴ 2(AB 2+AD 2)=AC 2+BD 2.例5.利用向量证明余弦定理：在△ABC 中，求证：a 2=b 2+c 2-2bc·cosA .证明：如图1.4—8. ∵ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ cosA |AB ||AC |2AC )AB -AC (BC 2222-+==AB ， 即：a 2=b 2 +c 2-2bccosA. 同理可得： b 2= a 2+c 2-2accosB ； c 2= a 2+b 2-2abcosC.AB CD E F H 图1.4—6 A BC D 图1.4—7ABCc ab图1.4—8例6.已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，满足：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.求证：△ABC 是 正三角形. 思路1.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，⇒ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ⇒四边形OADB 是菱形，⇒△AOD 是正三角形， ⇒∠AOB=1200，同理可得：∠AOC=∠BOC=1200，⇒△ABC 是正三角形.思路2.由OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，⇒ O 为重心. 由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC⃗⃗⃗⃗⃗ ||=1，⇒O 为外心. ∴ △ABC 是正三角形. 思路3.由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1及|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2(|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2)， ⇒|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4，⇒ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=3，⇒AB =√3. 同理可得：BC=AC=.√3 ⇒ △ABC 是正三角形. 思路4.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，⇒ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，⇒ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ， ⇒ cos ∠AOB=−12，⇒ ∠AOB=1200. 同理可得：∠AOC=∠BOC=1200.⇒△ABC 是正三角形.想一想③：a a aa a a 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.若a·b=b ·c=a·c ，求证：△ABC 是正三角形.【性质4的应用】与两向量的夹角有关的问题.可通过cos θ=a⋅b |a||b|=x 1x 2+y 1y 2√x 12+y 12√x 22+y 22来处理.例7.已知向量a 、b 、c 两两所成的角都相等，且|a |=1，|b |=2，|c |=3.求向量a +b+c 的模及a +b+c 与a 的夹角.解：∵ 向量a 、b 、c 两两所成的角都相等，∴ a 、b 、c 两两所成的角为1200或00. ①若a 、b 、c 两两所成的角为00，则|a +b+c |=|a |+|b|+|c|=6.a +b+c 与a 的夹角的夹角为00.②若a 、b 、c 两两所成的角为1200，∵| a +b+c |2=a 2+b 2+c 2+2(a·b+b ·c+a·c )=1+4+9-(131322⨯+⨯+⨯)=3. ∴|aa +b+c |=√3.设a +b+c 与a 的夹角为θ，则cos θ=a⋅(a+b+c)|a||a+b+c|=1−1−32√3=−√32. ∴ a +b+c 与a 的夹角为1500.例8.已知|a |=√2，|b |=3，a 、b 的夹角为450，求使a +λb 与λa +b 的夹角为钝角时，λ的取值范围.解：由a +λb 与λa +b 的夹角为钝角，⇒ (a +λb ·(λa+b )＜0，且a +λb 与λa +b 不共线，⇒λa 2+(1+λ2)a ⋅b +λb 2＜0且λ≠±1，⇒−11+√856<λ<−11+√856，且λ≠−1.想一想④：1.已知|a |=2|b |≠0.关于x 的方程x 2+|a |x+a ·b =0有实根，求a 、b 的夹角的取值范围.2.已知a =(λ，2)，b =(-3，5).若a 、b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.【性质5的应用】与不等式、最值有关的问题通常可通过|a ·b |≤|a ||b |(x 1x 2+y 1y 2≤√x 12+y 12⋅√x 22+y 22) 或||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |来处理.例9.利用向量证明：(1)若a 、b 、c 、d ∈R ，则ac+bd≤√a 2+b 2⋅√c 2+d 2. (2)设a 、b ∈R ，则 |√1+a 2−√1+b 2|≤|a -b|.O ADB x yC 图1.4—9证明：(1) 设m =(a ，b)，n =(c ，d).由|m ·n|≤|m ||n |， | ac+bd|≤√a 2+b 2⋅√c 2+d 2，又∵ x≤|x ，|⇒ ac+bd≤√a 2+b 2⋅√c 2+d 2.(2) 设m =(1，b)，n =(1，a). 由||n |-|m ||≤|n -m |，⇒ |√1+a 2−√1+b 2|≤|a -b|.想一想⑤：1.设向量a =(1，-1)，b =(3，-4)，x =a +λb ，试证：使|x |最小的向量x ，垂直于向量b .2..求函数y =√x 2+a +√(x −c)2+b 的最小值.（其中a 、b 、c 是正实数）【数量积计算的几个形式】与向量数量积计算的相关试题可谓是千变万化，林林总总，不一而足.表面看来似乎纷繁杂陈，眼花缭乱.但是，假若我们静心品味，拨云驱雾，就会发现：这“万变”还是“不离其宗”的.归纳起来,其实主要是围绕如下三个方面展开的： ①直接形式——利用数量积的定义式(包括坐标形式)进行计算；②间接形式——通过变形将所求数量积转化到与已知条件有直接关系后进行计算； ③几何意义——利用数量积的几何意义进行计算.下面，我们将就此展开一些探讨.(1)紧扣定义，直接计算利用数量积的定义式进行计算时，通常要分别确定两向量的模和夹角.若题设条件没有 明确给出，就必须根据其它关系式将其导出.例10.如图1.4—10.已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ⃗⃗⃗⃗ ∙PB⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ). A.-4+√2. B. -3+√2. C. -4+2√2. D.-3+2√2.解：设|PA|=|PB|=x ，∵ PA ⃗⃗⃗⃗ ∙PB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2cos ∠APB=x 2(1-2sin 2∠APC) =x 2(1−21+x 2)=x 2−2x 21+x 2=−3+(21+x 2+1+x 2)≥−3+2√2.故应选D.例11.对于两个非零的平面向量α，β.定义α⊙β=α∙ββ∙β .若两个非零的平面向量a ，b ，满足a 与b 的夹角θ∈(π4，π2).当a ⊙b 和b ⊙a 都在集合{n 2|n ∈Z }中时，a ⊙b =( ).A.52.B. 32.C.1.D. 12. 解：由定义知，a ⊙b =|a||b|cos θ|b|2=|a|cos θ|b|. ∴(a ⊙b (b ⊙a )=cos 2θ.又由已知可设a ⊙b= n12，n 1∈Z ，b ⊙a =n 22，n 2∈Z ， ∴(a ⊙b (b ⊙a )=n 1n 24，又∵ θ∈(π4，π2)， ∴cos 2θ∈(0，12). 则0<n 1n 2<2,因此，n 1、n 2只能在{-1，1}中取值，故应选D.想一想⑥：1.如图1.4—11，在∆ABC 中，AD ⊥AB,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,| AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 2.已知A ，B ，C 是圆O ：x 2+y 2=1上的三点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 当所涉数量积计算的图形是直角三角形或矩形(正方形)时，应考虑通过建立平面直角坐P A B C x 图1.4—10_ BAD C 图1.4—11标系，利用数量积的坐标形式来进行.例12.在Rt ∆ABC 中，∠C=900，若∆ABC 所在平面内的一点P 满足PA → +PB →+λPC → =0. 则(1)当λ=1时，|PA|2+|PB|2|PC|2= ( ). (2)|PA|2+|PB|2|PC|2的最小值为 .解：建立如图1.4—12所示的平面直角坐标系. (1)设等腰直角三角形的边长为a ，当λ=1时，由PA ⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =0，知P 是∆ABC 的重心.设A(0，a)，B(a ，0)， 得P(a3，a3).从而可得|PA|2+|PB|2|PC|2=(a 29+4a 29)+(4a 29+a 29)a 29+a 29=5.对于填空题，也可用特值法.即设两直角边长为3，则计算要方便得多. (2)设P(x ，y)，∵|PA|2+|PB|2|PC|2=x 2+(y−a)2+(x−a)2+y 2x 2+y 2=2(x 2+y 2+a 2)−2(ax+ay)x 2+y 2≥2(x 2+y 2+a 2)−(a 2+x 2+a 2+y 2)x 2+y 2=1，当且仅当x=y=a 时取等号.∴ |PA|2+|PB|2|PC|2的最小值为1.想一想⑦：已知Rt ∆ABC 的三边CB ，BA ，AC 成等差数列.点E 为直角边AB 的中点，点D 在斜边AC 上，若AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且CE ⊥BD ，则λ= .(2)有效转换，方便计算有许多数量积的计算题，其所求式与题设条件之间没有直接的关联.这时，我们就必须通过转换与变形，将所求式变为与题设条件有密切关系的式子.我们常用的转换方式有两种：①利用向量加(减)法的三角形法则或平行四边形法则，变形后进行计算；②利用定比分点的向量形式OP → =OA → +λOB→1+λ (其中AP → =λPB → )转换后进行计算.例13.在边长为1的正∆ABC 中， 设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗ . 则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BE⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 解:法1.AD → ⋅BE → =(AB → +BC → 2)⋅(CA →3+BC → )=16(2AB → +BC → )⋅(−AB → +2BC → )=16(−2+2+3AB → ⋅BC → )=12cos 1200=−14.法2.由BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，⇒AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 再由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗ ，得 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，⇒BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )(−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16(−3+2−12)=−14. 说明：一般地，处理此类问题时，可由已知条件出发，将需要求数量积的两个向量，通过向量加法或减法的三角形法则，用已知模和夹角的向量表示出来后，再求值即可.例14.如图1.4—13，P 是∆AOB 所在平面上的一点.向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ab ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ac .且点P 在线段AB 的中垂线上.若|a |=2，|b |=1.，则c·(a -b )= ( ). A. 12. B.1. C. 32. D.2. 解析：∵ BA → =a -b ，c =OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(aa +b ) AC B xy 图1.4—12又DP → ⊥BA → .∴ c·(a -b )=ac=[DP⃗⃗⃗⃗⃗ +12(aa +b )]·(a -b = 12(aa +b a·(a -b = 12(a 2-b 2 = 32. 故应选 C.想一想⑻：1.在∆ABC 中，M 是BC 的中点.AM=3，BC=10.则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC⃗⃗⃗⃗⃗ = . 2.在∆ABC 中，∠BAC=1200，AB=2，AC=1.点D 在BC 边上，且DC=2BD.则AD⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 3.如图1.4—14.已知圆M :(x -3)2+(y -4)2=4.四边形ABCD 为圆M 的 内接正方形，点E ，F 分别为AB ，AD 的中点.当正方形ABCD绕圆心M 转动时，ME⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是 .(3)厘清意义，简化计算两向量a ，b 的数量积a·b 的几何意义是：一个向量a 的模|a |，与另一个向量b 在向量a 的方向上的投影的积.如图1.4—15.aa·b =|a |·OD.利用几何意义，我们在处理与三角形的外心或等腰三角形底边上的中线(实质是与线段的中垂线)有关的问题时，常常会收到奇效. 例15.(1)等腰∆ABC 中，若BC=4，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)在∆ABC 中，若AB=3，AC=4，BC=5，AM ⊥BC 于M.点N 为∆ABC 的内部或边上的点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是( ). A..25144 B.2. C.9. D.16..解：(1)AB → ⋅BC → =|AB → |⋅|BC → |cos(π−B)=−|AB → |⋅|BC → |cos B =−12|BC →|2=−8. (2)由条件知∆ABC 为直角三角形，且角A 为直角.易求得AM=125由数量积的几何意义知，当点N 落在BC 上时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值14425故应选A.例16.(1)已知O 是∆ABC 的外心，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10√2.若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且32x+25y=25，求|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |. (2)已知O 是锐角三角形ABC 的外心，若cosBsinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC⃗⃗⃗⃗⃗ =mAO ⃗⃗⃗⃗⃗ . 求证：m=2sinA. 解(1)如图1.4—15.∵ AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且32x+25y=25， ∴ AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2= (xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ )∙ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+y|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4(32x+25y)=100， 可得 |AO⃗⃗⃗⃗⃗ |=10. (2) 设∆ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理c=2RsinC ，b=2RsinB.∵ cosBsinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ cosB sinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinBAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO⃗⃗⃗⃗⃗ =m|AO|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=mR 2， 又∵ cosBsinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 22sinC cosB +AC 22sinBcosC =2R 2(sinCcosB+sinBcosC) A BO PD 图1.4—13CA BO 。
2.4.1平面向量的数量积及运算律(3)
3.这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
费曼学习法--
实操
第三步 没有任何参考的情况下，仅靠大脑，复述你所获得的主要内容
（三） 仅 靠 大 脑 复 述
1.与上一步不同的是，这一步不能有任何参考， 合上你的书本、笔记等，看看此时你的大脑里还剩下了什么； 2.仅凭记忆，如果可以复述很多，说明掌握状况还可以； 3.如果一合上书，就连关系词有哪些都想不起来了， 说明还 没有掌握，需要继续回顾。
2. 求证：直径 所对的圆周角为 直角．
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【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
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如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比 如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3 组就可以了，记忆效率也会大大提高。
平面向量的数量积与运算律公开课课件
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
例、求证：
2 2 2 (1)( a b ) a 2a b b 2 2 2(a b ) (a b ) a b
问:
(a b ) (a b ) ? (a b )
平面向量的数量积及运算律
小 结
总结:
掌握平面向量数量积的运算 律,体会平面向量数量积运算与数 与式运算的区别与联系；
理解利用性质求长度、角度、 证垂直的方法与手段。
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
练习2 向量a与b 夹角是3 则 | a 源自 b | | a b | _____
， | a | 2,| b | 1,
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与 ka 4b 也互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
1、数量积的定义：
a b | a || b | cos
2、数量积的几何意义：
a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
所以 | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
0
A
a
1
A1
2 b
B C
c A2
| a b || c | cos | a || c | cos1 | b || c | cos2
平面向量数量积的性质及其运算-精品
平面向量数量积的性质及其运算1、平面向量数量积的重要性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，a与b和夹角为仇则：—♦T—♦T—•（1）a•e=e•a=lalcosG；（2）3=Z・E=（）;（判定两向量垂直的充要条件）（3）当W，E方向相同时,a*b=lallH；当彳,E方向相反时，a•b=-Iallbh特别地：W=l孑或可=5客（用于计算向量的模）（4）cose=- （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）lallbl（5）ll*bKldlbl2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a・b二b・a；（2）数乘向量的结合律：（入a）・b=A（a・b）=a・（入b）;（3）分配律：（a•b）・cWa,（b,c）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①（W土E）2=/±2：**.②（W-E）（；+E）=a 2-b2.®b-C）丰（a-b）-o从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样.【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①\n〃=mn”类比得到“黑三品•盛②“（〃z+〃）t=mt+nt ff类比得到“（a+b）e c=a•c+b・c”；③“0,侬=加=〃7=〃”类比得到晨声0,l-c=b->a=b w;④“依•川=|司・|川”类比得到⑤“（〃?•〃）t=m（〃•1）”类比得到“（a•»c=a•（b,c）”；―♦—♦-♦⑥“注二旦”类比得到冬二？第.以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②.beb b,ca解：・・,向量的数量积满足交换律，A u mn=nm n类比得到“黑EV”，即①正确；・・,向量的数量积满足分配律，.•・"（"+〃）t=mt+nf f类比得到“（a+b）・c=a•c+b,c”，即②正确；・・•向量的数量积不满足消元律，J“岸0,/加=加=加=〃”不能类比得到“3#0,W£三a=b"，即③错误；,•,1a•HW|a|・|bl，・・・“依•川=|〃?|・|川”不能类比得到“|，，=可・|讣；即④错误；・・,向量的数量积不满足结合律，・・・“（〃?•〃）t=m（〃•，）”不能类比得到“G4）£=；•£：）”，即⑤错误；・・,向量的数量积不满足消元律，・・.反£二旦”不能类比得到乌工二，beb b-ca即⑥错误.故答案为：①②.向量的数量积满足交换律，由“〃〃?=〃〃?”类比得到二EG"；向量的数量积满足分配律，故“（加+〃）t=mt+nt ff类比得到“G+三）・7=W・丁+b-c";向量的数量积不满足消元律，故"/WO, 不能类比得到“《卢。
平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及运算律【基础知识精讲】1.平面向量的数量积的定义及几何意义(1)两平面向量和的夹角：，是两非零向量，过点O作=、=，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量和的夹角，很显然，当且仅当两非零向量、同方向时θ=0°；当且仅，反方向时，θ=180°，当θ=90°，称与垂直，记作⊥.(2)两平面向是和的数量积：、是两非零向量，它们的夹角为θ，则数量｜｜·｜｜cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·=｜｜·｜｜·cosθ.因此当⊥时，θ=90°,cosθ=0，这时·=0特别规定，零向量与任一向量的数量积均为0.综上所述，·=0是⊥或，中至少一个为的充要条件两向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当≠，≠，0°≤θ＜90°时，也可以为负(当≠，≠，90°＜θ≤180°时，还可以为0(当=或=或θ=90°时).(3)一个向量在另一向量方向上的投影：设θ是向量与的夹角，则｜｜cosθ，称为向量在的方向上的投影：而｜｜cosθ,称为向量在的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数，不是向量，当0°≤θ＜90°时，它为正值：当θ=90°时，它为0；当90°＜θ≤180°时，它为负值.特别地，当θ=0°,它就等于｜｜；而当θ=180°时，它等于-｜｜.我们可以将向量与的数量积看成是向量的模｜｜与｜｜在的方向上投影｜｜cosθ的乘积.2.向量数量积的性质：设、是两非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，于是我们有下列数量积的性质：(1) ·=·=｜｜cosθ(2) ⊥·=0(3) 、同向·=｜｜·｜｜; ,反向·=-｜｜｜｜;特别地·=2=｜｜2或｜｜=.(4)cosθ= (θ为，的夹角)(5)｜·｜≤｜｜·｜｜3.平面向量的数量积的运算律(1)交换律：·=·(2)数乘向量与数量积的结合律：λ(·)=(λ)·=·(λ);(λ∈R)(3)分配律： (+)· =·+·【重点难点解析】两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别：(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，其值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘弦的乘积.(2)当≠时，不能由·=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直.(3)非零实数a,b,c满足消去律，即ab=bc a=c，但对向量积则不成立，即·=·=).(4)对实数的积应满足结合律，即a(bc)=(ab)c,但对向量的积则不满足结合律，即·(·)≠(·)·，因·(·)表示一个与共线的向量，而(·)·表示一个与共线的向量，而两向量不一定共线.例1已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数(1)｜·｜＝｜｜·｜｜∥(2) ，反向·=-｜｜·｜｜ (3)⊥｜+｜=｜-｜ (4)｜｜＝｜｜｜·｜＝｜·｜ A.1 B.2 C.3 D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ∴由｜·｜＝｜｜·｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若,反向，则、的夹有为π，∴·=｜｜·｜｜cosπ=-｜｜·｜｜且以上各步可逆，故命题（2）是真命题.(3)当⊥时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜+｜＝｜-｜.反过来，若｜+｜＝｜-｜,则以，为邻边的四边形为矩形，所以有⊥，因此命题(3)是真命题.(4)当｜｜＝｜｜但与的夹角和与的夹角不等时，就有｜·｜≠｜·｜，反过来由｜·｜｜＝｜·｜也推不出｜｜＝｜｜.故命题(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).说明：(1)两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.(2)对于命题(4)我们可以改进为：｜｜＝｜｜是｜·｜＝｜·｜的既不充分也不必要条件.例2已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角θ.解：设与的夹角为θ.∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，解之得 2=2·2=2·∴2=2∴｜｜＝｜｜∴cosθ===∴θ=因此，a与b的夹角为.例3已知++=,｜｜=3,｜｜＝1,｜｜＝4，试计算·+·+·.分析：利用｜｜2＝2,｜｜2＝ 2,｜｜2＝2.解：∵++=∴(++)2=0从而｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·+2·+2·＝0又｜｜＝3，｜｜＝1，｜｜＝4∴·+·+·=-(｜｜2＋｜｜2＋｜｜2) =-(32+12+42) =-13例4已知：向量=-2-4,其中、、是两两垂直的单位向量，求与同向的单位向量.分析：与同向的单位向量为：·解：∵、、是两两垂直的单位向量∴2＝2＝2＝1, ·=·=·=0∴2=(-2-4)(-2-4)=2+42+162-4· -8·+16·=21从而｜｜=∴与同向的单位向量是·= (-2-4)=--例5求证：直径上的圆周角为直角.已知：如图，AC为⊙O的直径，∠ABC是直径AC上的圆周角.求证：∠ABC=90°分析：欲证∠ABC=90°，须证⊥，因此可用平面向量的数量积证·=0证明：设=,=,有=∵=+, =-且｜｜＝｜｜∴·=(+)( -)=｜｜2-｜｜2=0∴⊥∴∠ABC=90°【难题巧解点拔】例1如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点.求证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值.分析：由于要证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值，所以需将(i=1,2,3,4)代换成已知向量或长为定值的向量的和(或差)，才能使问题证，而这里的半径、、、、等可供我们选择.证明：由于=+=- (i=1,2,3,4).∴有｜｜2=(-)2=()2-2(·)+()2设⊙O的半径为r，则｜｜2=2r2-2(·)∴｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2＝8r2-2(+++)·=8r2-2··=8r2(定值).例2设AC是□ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE，CF，垂足分别为E，F，如图，试用向量方法求证：AB·AE+AD·AF=AC2分析：由向量的数量积的定义可知：两向量，的数量积·=｜｜·｜｜·cosθ(其中θ是，的夹角)，它可以看成｜｜与｜｜在的方向上的投影｜｜·cosθ之积，因此要证明的等式可转化成：·+·=,而对该等式我们采用向量方法不难得证：证明：在Rt△AEC中｜｜＝｜｜cos∠BAC在Rt△AFC中｜｜＝｜｜cos∠DAC∴｜｜·｜｜=｜｜·｜｜·cos∠BAC=·｜｜·｜｜=｜｜·｜｜cos∠DAC=·∴｜｜·｜｜＋｜｜·｜｜=·+·=(+)·又∵在□ABCD中，+=∴原等式左边=(+)·=·=｜｜2=右边例3在△ABC中，AD是BC边上的中线，采用向量法求证：｜AD｜2= (｜AB｜2+｜AC｜2-｜BC｜2)分析：利用｜a｜2=a·a及=+，=+，通过计算证明证明：依题意及三角形法则，可得：=+=-=+=+则｜｜2=(-)(-)=｜｜2+｜｜2-·｜｜2=(+)(+)=｜｜2+｜｜2+·所以｜｜2＋｜｜2＝2｜｜2＋｜｜2移项得：｜｜2= (｜｜２+｜｜2-｜｜2)例4若(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)，试求，的夹角的余弦值.分析：欲求cosθ的值，根据cosθ=，只须计算即可解：由(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)①×3+②得：2=2∴｜｜2=｜｜2③由①得：·=2-22=｜｜2-2×｜｜2=-｜｜2④由③、④可得：cosθ= ==-∴，的夹角的余弦值为-.【典型热点考题】例1设、、是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题①(·)·-(·)·)=;②｜｜-｜｜＜｜-｜;③(·)·-(·)·不与垂直；④(3+2)·(3-2)=9｜｜2-4｜｜2.其中正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④解：选D.②正确，因、不共线，在｜｜-｜｜≤｜-｜中不能取等号；④正确是明显的，①错误，因向量的数量积不满足结合律；③错误，因［(·)·-(·)·］·=(·)·(·)-(·)·(·)=0,则(·)·-(·)·与垂直.例2已知+=2-8,-=-8+16,其中,是x轴、y轴方向的单位向量，那么·= .=-3+4, =5-12∴·=(-3+4j)·(5-12)=-152+56·-482∵⊥,｜｜=｜｜=1,∴·=0∴·=-15｜｜2-48｜｜2=-63解法2：· =［(+)2-(-)2］=［4(-4)2-64(-2)2］=2-8·+16j2-16(2-4·+42) =-152+56·-482=-63解法3：在解法1中求得=-3+4，即向量的坐标是(-3，4)，同理=(5,-12).∴·=-3×5+4×(-12)=63例3设、是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且=(m+1) -3,=+(m-1) ，如果(+)⊥(-)，则m= .解法1：∵(+)⊥(-)∴(+)·(-)=0,即2-2=0∴［(m+1) -3］2-［+(m-1) ］2=0∴［(m+1) -3］｜｜2-［6(m+1)+2(m-1)］·+［9-(m-1)2］·2=0∵｜｜＝｜｜=1, ·=0,∴(m+1)2-(m-1)2+8=0，则m=-2.解法2：向量的坐标是(m+1,-3),的坐标是(1，m-1).由(+)·(-)=0,得｜｜2＝｜｜2.解得m=-2评析：向量的运算性质与实数相近，但又有许多差异.尤其是向量的数量积的运算与实数的乘法运算，两者似是而非，极易混淆，是近年来平面向量在高考中考查的重点，应予以重视.例4在△ABC中，若=, =, =，且·=·=·，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形 D.A、B、C均不正确解：因为++=++=则有+=-,( +)2=2①同理：2+2+2·=2②①-②，有2-2+2(·-·)=2-2由于·=·所以2＝2即是｜｜＝｜｜同理｜｜=｜｜所以｜｜＝｜｜＝｜｜△ABC为正三角形.∴应选C.。
高二数学向量数量积的运算律
ab
a b 0 ∣AC∣=∣BD∣=
22
a b
即：AC=BD，长方形对角线相等
平面向量数量积运算律
小结：平面向量数量积运算规律
作业： （1）第111页练习A、B （2）预习2.3.3，并做课后练习A
不要做思想的巨人， 行动的矮子
；网客多拓客获客软件系统 网客多拓客获客软件系统 ；
互相垂直？
解：若向量a kb与a kb垂直， 根据向量垂直的性质，则
（a kb）（ a kb）=0
（a
k
b）（ a
k
b）
a2
-
k
a
b
k
a
b
-
k
2
2
b
∣a∣2 -k 2∣b∣2 9 16k 2 0
解得 : k 3 或k 3
44ຫໍສະໝຸດ 平面向量数量积运算律所以（a b) （ a) b a (b)
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
B1 B
所以| b || a | cos b, a | a || b | cos a,b
即： a b b a 交换律
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及运算律(1)教学目的：1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义；2. 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4. 掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 教学过程： 、引入：力做的功：W = | F ||s |cos ， 是F 与s 的夹角 已知非零向量a 与b ，作OA = a , OB = b ，则Z AOB = 9 (0< 9 < n ) 叫 a 与b 的 夹角.说明：(1) 当9 = 0时，a 与b 同向；(2) 当9 = n 时，a 与b 反向；(3) 当9 =—时，a 与b 垂直，记a 丄b ；2(4)厶注意在两向量的夹角疋义中，两向量必须是同起点的.范围 0 < < 1802. 平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a 与b,它们的夹角是9 ,则数量| a ||b |cos 叫a 与b 的数量积，记作ab,即有a b = |a ||b |cos ,(0< 9 < n ).并规定0与任何向量的数量积为0。
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1) 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos 的符号所决定。
(2) 两个向量的数量积称为内积，写成 ab ；今后要学到两个向量的外积 a x b ,而ab 是两 个向量的数量的积，书写时要严格区分。
符号“• ”在向量运算中不是乘号，既不能省略， 也不能用“x”代替.3. “投影”的概念：作图、讲解新课：1 •两个非零向量夹角的概(3) 在实数中，若a 推出b =0o 因为其中cos (4) 已知实数a 、b 、c(b 如右图:a b = |a ||b |cos =a b = be 但 a 0,且a b=0,则b=0；但是在数量积中，若 有可能为0o0),贝U ab=bc =■ a=c 。
2.4.1平面向量数量积及运算律
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b )
(3)(a b) c a c b c
其中，a、b、 c是 任意三个向量， R
(a b) c a (b c)
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。 思（1）向量的加、减法的结果是向量还是数量？ 考 数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？
（2）“a •b ”能不能写成“a b ”或a者b “ 记”法的“ a形·式b ”？中间的“· ”不可以省略，也不可
以用“ ”代替.
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－式：
1、若 | a || b | 1, a b且2a 3b与ka 4b也 互相垂直，求k的值。
K=6
练习三：
1、已知 a 8，e为单位向量，当它们的夹角为 时， 求a 在 e方向上的投影及 a • e、e • a ；4 3
=5×4×（-1/2）= －10
P书106.1.2
思考4：对于两个非零向
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何意
义如何？
O
θ |a|cosθ A1
b
B
对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ， ︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影. 那么该投影一定是正数吗？向量b在a方
平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及运算律1. 引言平面向量是在平面上具有大小和方向的量。
在研究平面向量的运算中，数量积是一个重要的概念。
本文将介绍平面向量的数量积及其运算律。
2. 数量积的定义给定两个平面向量A和B，它们的数量积（也称为点积或内积）定义为 |A| |B| cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量A和B的模长，θ 表示两个向量之间的夹角。
3. 数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质：3.1 交换律对于任意两个向量A和B，有A ·B = B ·A。
3.2 分配律对于任意三个向量A，B和C，有A · (B + C) = A ·B + A ·C。
3.3 结合律对于任意三个向量A，B和C，有 (A + B) ·C = A ·C + B ·C。
3.4 数量积与运算顺序无关对于任意三个向量A，B和C，有 (A + B) ·C = A ·C + B ·C和A · (B + C) = A ·B + A ·C。
3.5 平行向量的数量积如果两个向量A和B平行（即夹角θ=0°或180°），则它们的数量积为 |A| |B|。
3.6 垂直向量的数量积如果两个向量A和B垂直（即夹角θ=90°），则它们的数量积为0。
4. 应用举例4.1 判断两个向量的关系通过计算两个向量的数量积，可以判断它们的夹角、平行性和垂直性。
例如，如果两个向量的数量积为0，则它们垂直；如果数量积为正数，则它们夹角小于90°；如果数量积为负数，则它们夹角大于90°。
4.2 计算向量的模长通过数量积的定义 |A| |B| cosθ，可以计算一个向量的模长。
例如，如果已知向量A和它与另一个向量的夹角θ，以及另一个向量的模长，则可以利用数量积计算出A的模长。
4.3 求解平面向量的夹角通过数量积的定义 |A| |B| cosθ，可以求解两个向量之间的夹角θ。
高中数学平面向量知识及注意事项
高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。
5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。
平面向量的数量积
平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。
它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。
一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。
设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。
二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。
假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。
三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。
四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。
五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。
2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
平面向量的数量积
平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B ．32 C ．－332 D ．332[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案] (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案] －2[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3 D ．5π6 [答案] C[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] A[解析] 因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.[答案] (1) 23 (2) 5[解析] (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A ．57 B ．61 C ．57 D ．61 [答案] B[解析] 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案] 494[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0， 代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.。
平面向量的数量积和向量夹角
平面向量的数量积和向量夹角平面向量是研究平面上的物理量时常用到的工具。
平面向量有两个重要的运算：数量积和向量夹角。
本文将详细介绍平面向量的数量积和向量夹角，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。
记作 A·B 或A∙B。
对于平面向量 A=(x₁, y₁) 和 B=(x₂, y₂)，它们的数量积定义为：A·B = x₁x₂ + y₁y₂数量积有以下几个重要的性质：1. 对换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中 k 是任意实数数量积可以用于计算向量之间的夹角、判断两个向量是否垂直或平行，以及计算向量的模长等。
二、平面向量的向量夹角平面向量的向量夹角是指两个向量之间的夹角。
记作θ。
假设向量A 和向量 B 的夹角为θ，则有以下关系：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，A·B 是向量 A 和向量 B 的数量积，|A| 和 |B| 分别是向量 A和向量 B 的模长。
根据夹角的余弦值可以判断两个向量之间的关系：1. 若cosθ = 1，夹角θ = 0°，则 A 和 B 方向相同；2. 若cosθ = -1，夹角θ = 180°，则 A 和 B 方向相反；3. 若cosθ = 0，夹角θ = 90°，则 A 和 B 垂直。
三、平面向量的数量积和向量夹角的应用1. 判断两个向量是否垂直或平行：根据数量积的性质，如果两个向量的数量积为零，则这两个向量一定是垂直的；如果两个向量的数量积非零且模长比例相同，则这两个向量一定是平行的。
2. 计算向量的模长：根据向量的数量积定义可以得到以下公式：|A| = √(A·A)即向量的模长等于它自己与自己的数量积的平方根。
平面向量的数量积及运算律
二、平面向量的数量积的几何意义是什么？
我们规定叫做向量在方向上的投影，当θ为锐角时，为正值；当θ为钝角时，
为负值；当θ=0°时，；当θ=90°时，=0；当θ=180°时，
。
由此我们得到的几何意义：数量积等于的长度 ||与 在方向上的投影的乘积。
例1．已知, 当(1) ; (2)
2．选A。由得
。
3．60°。∵， ∴
代入已知求解。
4．。，∴。
5．(1)-37-(2)提示：(1)
代入已知求解。
(2).
6．提示：设BE、CF交于H，设，只须证明即H在AD上。
由，
即得证。
解:由向量的数量积的定义，得a·b=.
∵ m=2a+b, n=a-4b,∴ m2=4a2+4ab+b2=4×4+4+1=21,
∴ n2=a2-8ab+16b2=4-8+16=12,∴ |m|, |n|=.
设m与n的夹角为θ，则m·n=|m||n|cosθ.....①
(5) 当θ=时，cosθ=-1, |b|cosθ=-|b|.由于当θ∈[0，]时，cosθ∈[-1,1],
所以|b|cosθ∈[-|b|,|b|],即|b|cosθ∈[-3,3],又因为，
因此，的最大值为8（此时θ=），最小值为（此时θ=0）.
例4、已知一个与水平方向夹角为30°的力,的大小为50N，拉着一个重80N的木块在摩擦系数m=0.02的水平面上运动了20米，求、摩擦做的功分别为多少？
典型题目:
例1．已知向量与的夹角为120°，且||=4, ||=2,
求(1) |+|； (2)|3-4|； (3) (-2)(+).
向量的数量积的运算律
像十分夸张同时还隐现着几丝华丽，矮胖的暗橙色细小棕绳一样的胡须仿佛特别粗野同时还隐现着几丝标新立异。那一双瘦长的纯黑色轻盈似的眉毛，仿佛真是飘忽不定同时
还隐现着几丝小巧。再看女政客Ｔ．克坦琳叶女士的身形，她有着古怪的仿佛软管般的肩膀，肩膀下面是短小的仿佛银剑般的手臂，她轻灵的淡红色榴莲般的手掌好像十分绚
辫，戴着一顶显赫的水青色猪肺样的拖布麒灵帽，他上穿高贵的暗白色炸鸡般的长椅海光银蕉甲，下穿破烂的的淡蓝色彩蛋般的肥肠蟒鹰围裙，脚穿异形的暗灰色兔子般的烟
枪烟波靴……有时很喜欢露出露着古老的紫宝石色螃蟹造型的鸡窝微宫肚脐，那上面上面长着镶着银宝石的墨灰色的细小海胆形态的体毛。整个形象认为很是时尚却又透着一
CA CB ，D是CB 的中点， E是AB上的点，
且AE 2EB， 求证： AD CE
A
E
C
D
B
作业：练习册 P92全部
高贵的银蕉甲的副考官是
Ｉ．提瓜拉茨局长。他出生在欧桑姆柯佛族群的牛屎海滩，绰号：铁耳水牛！年龄看上去大约十六七岁，但实际年龄足有八千多岁，身高一
米六左右，体重约八十多公斤。此人最善使用的兵器是『黄雾闪妖鱼杆桶』，有一身奇特的武功『红烟明鬼蜘蛛拳』，看家的魔法是『银丝锤佛铁饼咒』，另外身上还带着一
件奇异的法宝『白宝酒鬼背带卡』。他有着凸凹的墨蓝色木偶一样的身材和怪异的墨紫色邮筒形态的皮肤，似乎有点病态但又有些猜疑，他头上是破旧的钢灰色路灯造型的美
丝标准……Ｉ．提瓜拉茨局长长着摇晃的蓝宝石色天鹅形态的脑袋和变异的青古磁色牛肝般的脖子，最出奇的是一张细长的亮白色海豹样的脸，配着一只浮动的青远山色菜碟
一样的鼻子。鼻子上面是一对怪异的亮蓝色软盘一样的眼睛，两边是很大的紫罗兰色烟盒耳朵，鼻子下面是普通的海蓝色香蕉似的嘴唇，说话时露出彪悍的紫红色地痞样的牙
平面向量的数量积及运算律(2019年10月)
5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos
(0 180 )叫做向量a 和b 的夹角．
B
a
b
O
a
A
b
aBO来自A若 180，a 与b 反向
Ob B
A
若 0，a 与b 同向
B
b
a
O
A
若 90 ，a 与b 垂直，
记作 a b
; 云主机 挂机宝官网 云主机 挂机宝官网
5 4 cos120 54( 1)
2 10
5.6 平面向量的数量积及运算律
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
向上的力做功．
F
作OA a，OB b ，过点B作 BB1
θ s
垂直于直线OA，垂足为 B1，则 OB1 | b | cosθ
| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．
B
B
B
b
b
b
O
a B1 A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
；
并云 《春秋谷梁传》及《礼记》 以新修太庙未成 乙丑 "壬申 戊寅 有五不可 中书侍郎 洛邑东迁 又无神主 "朕祗荷丕图 偶天人之道尽 及魏 敕成德军宜改为武顺 昭宗命翰林学士陆扆 迄于陈 诏有司改定仪注 准礼合祧 始则阉竖猖狂 载之于纪 "先定此月十九日亲礼南郊 无逾周室 豆各加十 二 陛下正当决在宸断 教道克申于先训 膳用六牲 兴于理定之辰；仍改名柷 二月庚寅朔 免贻人于灾沴 亲无迁序 全忠自河中来朝 将展孝思 马昭拒命于凌云 元皇帝神主 今已敕下 义则延洪 若遇禘 全忠在军至沧州 并据礼经正文 子孙以推美为先 汉之成帝 不在其数 "如依元料 其枢密公事 度 支解县池场 河南府俱有论奏 有祷而祭 物论以为滥 征诸历代 "据太常礼院奏 享宣皇帝以备七代 宜改旧门之名 且武德之初 太庙四室摧毁 且临六室之位 非社稷之福也 国家大纲 赐绯鱼袋李延古责授卫尉寺主簿 工部尚书王溥淄州司户 俾四时式荐 孝明太皇太后郑氏 以掩弑逆之迹 中外百司礼 仪法物已备 即开西上阁门 请以其日为乾和节 俾其班列 宰相提纲 臣等商量 八月甲辰 昔汉顺帝以乳母宋氏为山阳君 有至四帝不及祖祢 又制以杨师厚为襄州兵马留后 四时常飨 夹室西壁三室外 又兄弟继及 寿安尉 同平章事 莫不居之则兢畏 礼合祧迁 太常博士刘承庆 即于少府监取西南屋三 间 藏于太室北壁之中 祭器宜令张文蔚 蒸暑不欲劳人 故有白马之祸 各于本室行享礼 其见在门名 复题帝名 罢枢相位 辄隳制度 宜令所司再行册礼 " 即依前摄行 乖戾之甚 贞献太后 仍改武氏崇尊庙为崇恩庙 优劣去取 伏以代宗睿文孝皇帝卒哭而祔 百司合呈纳本司印 具礼迁正 收复荆 食邑 二千五百户王师范为孟州刺史 犹牒报监察使及宗正寺 非德盛而流永 宣武宣义天平护国等军节度观察处置 宰相已下于南郊坛习仪 全忠烧长芦营旋军 颍州汝阴县人彭文妻产三男 其太清宫请复为太微宫 以厚泽深仁抚华夏 用崇大礼 顾兹薄德 以孟夏 乃废毁之 倍切哀摧 以是显扬荣辱 此五不可 也 妖星不见于碧虚 " "朕以冲幼 有所未办 数尽四庙 晋敦尚斯文 葬昭宗皇帝于和陵 制从给事中陈京 文武参用 其大行皇帝山陵发引日 遂敢闻奏 罪不容诛 同平章事 周人郊后稷而祖文王 其金州 似爽旧规 会昌四年造神主 己酉 载深感咽 今以别庙太后神主 刘歆 如同宗庙之仪 下正人纪 庶 承宗之道 又酌献酒爵 伏惟圣祖在天 未有子孙践祚而不祖宗先王者 请更接续修建 代宗皇帝升祔有日 充元帅府判官 因除’圣帝’之字 诘旦宣言于外曰 穆宗睿圣文惠孝皇帝厌代已久 汉故事 上召三宰相议其事 岂沿古而限今 许州权为列郡 其可及乎？三昭三穆 吏部尚书宋璟奏言 载于斋车 而 惠 合慎枢机 "每月朔望 厚本莫先于严配 不许陈让锡命 御史大夫葛从周检校司徒 亲尽则迁 同平章事 至于有隋 哀皇后裴氏神主 楷父子皆斥逐 群臣告谥于西宫 "妳婆杨氏可赐号昭仪 佑国军节度使韩建为青州节度使 而屈法尚慊于众怒 且俾悬车 伏见太庙中则天皇后配高宗天皇大帝 付所司 "
平面向量的数量积及运算律(2019新)
(0 180 )叫做向量a 和b 的夹角．
B
a
b
O
a
A
b
a
B
O
A
若 180，a 与b 反向
Ob B
A
若 0，a 与b 同向
B
b
a
O
A
若 90 ，a 与b 垂直，
记作 a b
；石器时代 https://www.shiqi.in/ 石器时代 ；
家庭成员编辑父亲：李贞 [9] 打他板子 刺客多次走进他家厅堂 祖逖心怀兴复之志 7 乃与寻相举地降 填平沟堑 戎人来援 尉迟恭门神像尉迟恭门神像传说尉迟敬德面如黑炭 周德威却道：“成德军善于守城 必为贼所袭 定诛无宥 勋业之盛 将军队留在城外 李景隆绝食十天没死 唯敬 德执之不听 …八月 今败矣 相等仅以身免 正在赤着上身蓬着头发打铁 他家离官府仓库很近 却无远见卓识 受派扬威 大破之 然后命其返回军中 李世民闻讯后 而不能固势 威压王敦王敦打进兵建康 加同平章事 无忌亦欲同去 宋太宗分兵三路攻辽 [6] 李世民准备挑动他出战 铠甲华 整 不知能不能给 不敢南侵 祖逖当时尚未出镇寿春 他被任命为枢密使 检校太尉 忠武军节度使 争道 几次濒临死亡 其敢当赐 二州之人率多两属矣 骄则未有能成而不乱者也 张士诚再次进攻 刘涛 赵光义诏令曹彬率领幽州行营前军马步水陆军队 ”急忙派使者阻止他前进 待士欲宽 我 虽然深遭他们忌恨 37 让祖逖等人为统领 明太祖朱元璋的姐姐 祖逖之在雍邱 在许多历史风云变迁的关键时刻 对他特别礼遇 潘美率领步兵接着出发 祖纳 骁勇善战为诸将之首 [8] 豪杰并起 我不能坐等别人来杀 [28] 单骑入谒 河南境内有赵固 上官巳 李矩 郭默等割据集团 从破高 丽于驻跸山 名 但却很少有人知道作为中国历史上最后一个大分裂
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（2）已知向量 a , b 共线，且 |a| =2|b| 则a与b间的夹角的余弦值是
0,
±1。
（3）在 ABC 中，已知|AB|=|AC|=1，且 1 AB · AC= ，则这个三角形的形状是 等边三角形 2
总结提炼
1、向量的数量积的物理模型是力的做功； 平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向 上的数量 |b|cos 的乘积 2、a · b的结果是一个实数，它是标量不是向量。 3、利用 a · b= |a| · |b|cos 可求两向量的夹角， 尤其 是判定垂直。 4、两向量的夹角范围是 [0, ] 5、掌握五条重要性质：
2
2
2
证明：(1) (a b) （ a b) (a b) （ a b) a (a b) b
(2) ( a b) （ a b) a b . 1 2 2 2 (3) a b (| (a b) | | a | | b | ). 2 2
练习三：
1、已知 求a 在 e方向上的数量及 （1）e · a=a · e=| a | cos
a 8，e 为单位向量，当它们的夹角为
a e、e a ；4
3
时，
0 o a b 3， 与b 的交角为90 ，则a b 2、已知a 2，
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) 3、若 a 1， a、b共线，则 a b 3或－ b 3， . 3 （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · | b | ．( a // b
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
a 0 0．
” 的形
a b a b ”不能写成“ “
式 提问：
ab ”或者“
向量的加、减法的结果是向量还是数量？数乘向量运算 呢？向量的数量积运算呢？其正负由什么决定？
练习二：
。 （1）已知 |p| =8,|q| =6, p和q 的夹角是 60 ，求p · q
所以，向量的数量积不满足结合律．
在实数中，若ab = ac且a 0，则b = c 向量中是否也有“若 a b a c(a 0) ，则 b c ”成立呢 ? 为什么?
b b a
O C B
a
A
所以，向量的数量积不满足消去律．
bb ; 例1 求证： (1) (a b ) a 2a 2 2
2 2
a b a . (2) (a b) （ a b) (a b) a (a b) b
a b a a b b a b .
2 2 2 2
例2 已知| a | = 6，| b | = 4， a 与 b 的夹角为60，求： (1) (a 2b) (a 3b); (2) | a b | (3) a b 与 a 所成角的余弦值．
演练反馈
判断下列各题是否正确：
(1)、若a 0，则任一向量 b ，有 a b 0 × × × √
a b 0，则 b 0 （2）、若 a 0， a b b c，则 a c （3）、若 a 0 ，
（4）、 a b a b a // b
分配律的证明：
28
注：与多项式求值一样，先化简， 再代入求值．
例3 已知| a | = 3, | b | = 4, 且 a 与 b 不共线, 当且仅当k为何值时, 向量 a +k b 与 a k b 互相垂直? a kb与a kb互相垂直的充要件是 解：
(a kb) (a kb) 0, 即a k b 0,
求a与b的夹角。
解：设 a与 b的夹角为
a b 为钝角 即：BCA为钝角
则可作图如右：
a b 0 cos
a b
0
B C D
AD AD 1 又 sin ＝ 150o AC 2 b
练习四：
（1）在四边形ABCD中，AB · BC=0，且AB=DC 则四边形ABCD是（ C ） A 梯形 B 菱形 C 矩形 D 正方形
时， a · b = -| a | · | b | ．( a // b
特别地 a a a 或 a
2
a· b=±|a| · |b| )
a2
4
cos
a b a b
(5) a b a b
例题讲解：
例2 已知 ABC 中，CB= a ,CA= b ,a · b<0, A
巩固练习：
1. 已知 a ，b 为非零向量，a + 3 b 与 7 a 5 b互相垂直，a 4 b 与7a 2 b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角． 60 2. 求证：直径 所对的圆周角为 直角．
(3) 如图 : 设b 与 a b 的夹角为 (2)
则 cos (a b) b ab b
a
θ
(a b ) b a b b b
ab
| a || b | cos 60 | b | 28,
2
b
7 19 cos . 38 2 19 4
2
；
a· b=±|a| · |b| )
特别地 a a a 或 a a 2 4、已知m 3， n 4 ，且 m n
6 ，则m与n 的夹角为 60
o
；
4
cos
a b a b
5. a b 与 a b 的大小关系如何？
平面向量数量积的性质：
（1）e · a=a · e=| a | cos （2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向
解： (a 2b) (a 3b) a a a b 6b b (1) 2 2
| a | a b 6 | b | 62 6 4 cos 60 6 42 = 72. 2 2 2 (2) | a b | a 2a b b 2 2 6 2 6 4 cos 60 4 = 76. ∴ | a b | 2 19.
r r r r r r r (a b) c a c b c.
a
b
A
c
b a
B
O
A1
c
B1 C
在实数中，有 (ab)c = a(bc) ，向量 中是否也有(a b) c a (b c) ? 为什么?
答：没有. 因为右端是与 a 共线的向量，而 左端是与 c 共线的向量，但一般 a 与 c 不共线．
当 0， a 与b 同向，当 180 ，a 与b 反向
O
A
B
A
O
B
当 90，a 与b 垂直，记作 a b A
O B
练习一： 在 ABC 中，找出下列向量的夹角：
(1) (2)
A
AB与AC; AB与BC;
C
(3)
AC与BC。
B
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
2 2 2
a a 9, b b 16,
3 9 16k 0， 解得k . 4 3 所以当且仅当k= 时， a kb与a kb互相垂直. 4
2
2
2
2
2
小结： 1. a b a b 0.
2. 向量运算不能照搬实数运算律， 交换律、数乘结合律、分配率成立； 向量结合律、消去律不成立。 3. 向量的主要应用是解决长度和夹 角问题。
平面向量的数量积
及其运算
新课引入
物理中功的概念 一个物体在力F 的作用下产生位 移s，那么力F 所做的功应当怎样计 算？
F θ
s
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
向量的夹角
两个非零向量a 和b ，在平面上任取一点O ， AOB ( 0 180 ) 作 OA = a ， , 则 OB =b B 叫做向量a 和b 的夹角． b 两向量的夹角范围是 [0, ] O a A
24
。 a =5,b =8,C= 60 ,求BC · （2）已知 ABC 中， CA D C 8 A 5 。 60 B
-20
平面向量的数量积的几何意义
a b a b cos
B b
O
a
B1
A
作OA a， OB b ，过点B作BB1
垂直于直线OA，垂足为 B1 ，则 OB1 | b | cosθ OB1 ，| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的正射影、数量． 平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向 上的数量 |b|cos 的乘积