初三数学圆的复习课件_一轮复习

A
O EB
r2
d
2
a
2
2
变式1：AC、BD有什么关系？
AC
O
D
变式2：AC＝BD依然成
B
立吗？
变式3：EA＝_F_B__, EC=__F_D__。 A C E O F D B
AC
DB
O
变式4：_O_A_=_O_B_
AC=BD.
变式5：_O_C_=_O_D_
AC=BD. A C
DB
O
• 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点， PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
圆的定义（运动观点）
在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段 OA叫做半径，以点O为圆心的圆， 记作☉O，读作“圆O”
圆的定义（集合观点）
• 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
– 圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； – 到定点的距离等于定长的点都在圆上。
知识体系
圆
基本性质
直线与圆的 点与圆的 正多边形 位置关系 位置关系 和圆
概 对 圆周角与 念 称 圆心角的
性 关系 垂 圆心角、
切切 切切 位 线线 线线 置 的的 长的 分 性判 定作 类 质定 理图
判 定
关 系
有 关
定计
理算
径 弧、弦之
定 间的关系
弧长、扇形面积和圆锥
理 定理
的侧面积相关计算
圆的有关性质
A
E
C
O
D
B
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，
你能得到什么结论？
E
A
弧AE＝弧BF
C
O
D
B F
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
圆的性质
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线 都是对称轴。
• 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 • 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任
意一个角度α，都能与原来的图形重合。
圆心角：顶点在圆心的角。
（如：∠AOB）
A 弦心距：从圆心到弦的距离。
（如：OC）
O
C
B
题设
结论
在
同
()
前 提
圆 或 等
圆
中
（ 条 件 ）
圆 心 角 相 等
圆心角所对的弧相等， 圆 心角所对的弦相等， 圆心 角所对弦的弦心距相等。
推论 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。
垂直于弦的直径
及其推 论
垂径定理 垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧。
A
C
O
ED
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C
DC
DC
A
A
O
O
E DC
D
A
注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一不 可！
若圆心到弦的距离用d表示， 半径用r表示，弦长用a表示， 这三者之间有怎样的关系？
圆周角：如∠BDA
•角的顶点在圆周上 •是否顶点在圆周上 的角就是圆周角呢?
B
A
C
C
O
O
B
A B
B A
A
C
O
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角。
圆心角: 顶点在圆心的角.
画图:同一条弧所对的圆周角和圆心角 之间可能出现哪几种不同的位置关系?
C
C
C
O
O
A
B
A
O A
B
B
回顾：圆周角等于它所对的弧的度数的一半。
B
C
E
A
O
D
O
A
B
F
C
D
关于等积式的证明
• 如图，已知AB是⊙O的弦，半径OP⊥AB， 弦PD交AB于C，求证：PA2＝PC·PD P
经验： •证明等积式，通常利 用相似； •找角相等，要有找同 弧或等弧所对的圆周角 的意识；
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份 的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做 1°的弧。
n°弧
C
一般地，n°的圆心角
对着n°的弧。
D
n°圆心角
圆心角的度数
O
A
1°圆心角 B
1°弧 和它所对的弧 的度数相等。
圆周角
角的顶点 在圆心
F
D C
O
圆心角：如∠BOA 圆内角：如∠BCA
圆外角：如∠BFA
B
M
A
P
关于弦的问题，常常需
O
要过圆心作弦的垂线段，
这是一条非常重要的辅
助线。
圆心到弦的距离、半径、
弦长构成直角三角形，
便将问题转化为直角三
角形的问题。
画图叙述垂径定理，并说出
定理的题设和结论。
题设
结论
①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB
③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB
推论
• 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ • 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ • 直角三角形斜边中线有什么性质？反过
来呢？
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。
想结换①③一论，③ ④想中情：的况如会5个果怎条② ④ ⑤将样① ② ⑤件题？适设②③当③⑤和互
①④④ ⑤
② ③ ⑤① ② ③
② ④
①① ④② ⑤④
①
C
③
⑤
A
E
O
D
B
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并 且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
• 一个圆把平面内的所有点 分成了多少类？
• 你能模仿圆的集合定义思 想，说说什么是圆的内部 和圆的外部吗？
点与圆的位置关系
• 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点的集合。
• 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。
• 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
• 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定 的呢？ 如果圆的半径为r， 点到圆心的距离为d，则： 点在圆上 d=r 点在圆内 d<r 点在圆外 d>r
• 弦和直径
与圆有关的概念
– 什么是弦？什么是直径？
– 直径是弦吗？弦是直径吗？
• 弧与半圆
– 什么是圆弧（弧）？怎样表示？
– 弧分成哪几类？
– 半圆是弧吗？弧是半圆吗？
• 弓形是什么？
• 同心圆、同圆、等圆和等弧
– 怎样的两个圆叫同心圆？
– 怎样的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个圆叫等圆？
– 同圆和等圆有什么性质？
– 什么叫等弧？
猜想：圆周角和圆心角都是与圆有关的角， 它们之间有什么关系？
一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半
C
C
C
O
化
归
B
A
化
O
归
A
O A
分类讨论 B
完全归纳法 B
圆周角定理
• 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半。
• 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是 它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数 等于它所对的弧的度数的一半。