九上期末数学试卷17

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人教版九年级上学期期末考试数学试卷(解析版)

人教版九年级上学期期末数学试卷（含答案）一、选择题（在下列四个选项中，只有-项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．﹣2C．D．22．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．绿色饮品B．绿色食品C．有机食品D．速冻食品3．电影《长津湖》票房突破58亿元，5800000000用科学记数法表示为（）A．5.8×108B．5.8×109C．0.58×109D．58×1084．下列运算结果正确的是（）A．3a﹣a＝2B．a2•a4＝a8C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（﹣a）2＝﹣a25．在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A．B．C．D．6．sin60°＝（）A．B．C．D．7．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．3000x2＝5000B．3000（1+x）2＝5000C．3000（1+x%）2＝5000D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝50008．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC为（）A．4：9B．9：4C．2：3D．3：29．今年“五一”节，小雨骑自行车从家出发去图书馆学习，她从家到图书馆过程中，中途休息了一段时间，设她从家出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为S（米），S与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）A．小雨中途休息用了4分钟B．小雨休息前骑车的速度为每分钟400米C．小雨在上述过程中所走的路程为6600米D．小雨休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度10．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30cm，斜坡的倾角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75cm B．50cm C．30cm D．45cm二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：2a2﹣8a＝．12．在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是．13．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到6天的数据如下：61，74，70，56，80，91．该组数据的中位数是．14．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为．15．扇形的半径为5，圆心角等于120°，则扇形的面积等于．16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C 恰好落在AD边上的点P处，则∠EFC＝，FP＝．三、解答题（本大题共9个题，第17，18，19每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题9分，第24，25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（﹣π）0．18．（6分）计算： 19．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC 沿x 轴翻折得到△AB 1C 1，在图中画出△AB 1C 1．（2）将△ABC 以点A 为位似中心放大2倍．（3）求△ABC 的面积．20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：社团名称 A ．酵素制作社团B ．回收材料小制作社团C ．垃圾分类社团D ．环保义工社团E ．绿植养护社团人数 10 15 5 10 5（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是；（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．21．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？22．（9分）在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉树．经市场调查发现：购买2棵柏树和3棵杉树共需440元，购买3棵柏树和1棵杉树共需380元．（1）求柏树和杉树的单价；（2）若本次美化乡村道路购买柏树和杉树共150棵（两种树都必须购买），且柏树的棵数不少于杉树的3倍，设本次活动中购买柏树x棵，此次购树的费用为w元．①求w与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围？②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？23．（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，⊙O的切线DF与AC垂直，垂足为F．（1）求证：AB＝AC．（2）若CF＝2AF，AE＝4，求⊙O的半径．24．（10分）定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．（1）判断函数y＝x+2m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的合作点；如果不是，请说明理由；（2）判断函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（3，0），D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），点E，P为抛物线的对称轴上的动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）当BE+DE最小时，求此时点E的坐标；（3）若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（在下列四个选项中，只有-项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．﹣2C．D．2【分析】根据绝对值的定义直接计算即可解答．【解答】解：﹣的绝对值为．故选：C．【点评】本题主要考查绝对值的性质．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．绿色饮品B．绿色食品C．有机食品D．速冻食品【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．3．电影《长津湖》票房突破58亿元，5800000000用科学记数法表示为（）A．5.8×108B．5.8×109C．0.58×109D．58×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：5800000000＝5.8×109．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．4．下列运算结果正确的是（）A．3a﹣a＝2B．a2•a4＝a8C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（﹣a）2＝﹣a2【分析】根据合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则正确计算即可求出正确答案．【解答】解：3a和a属于同类项，所以3a﹣a＝2a，故A项不符合题意，根据同底数幂的乘法运算法则可得a2•a4＝a6，故B项不符合题意，根据平方差公式（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故C项符合题意，（﹣a）2＝a2，故D项不符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则，熟练运用运算法则是解题的关键．5．在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A．B．C．D．【分析】直接利用概率公式计算可得．【解答】解：在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为＝．故选：C．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．6．sin60°＝（）A．B．C．D．【分析】利用特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：sin60°＝．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝．7．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．3000x2＝5000B．3000（1+x）2＝5000C．3000（1+x%）2＝5000D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元”，可以分别用x表示2012以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2013的教育经费为：3000×（1+x）万元，2014的教育经费为：3000×（1+x）2万元，那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．8．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC为（）A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2【分析】根据相似三角形的面积比等于对应边长的平方比．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，DE：BC＝2：3∴S△ADE：S△ABC＝4：9故选：A．【点评】熟练掌握三角形的性质．9．今年“五一”节，小雨骑自行车从家出发去图书馆学习，她从家到图书馆过程中，中途休息了一段时间，设她从家出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为S（米），S与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）A．小雨中途休息用了4分钟B．小雨休息前骑车的速度为每分钟400米C．小雨在上述过程中所走的路程为6600米D．小雨休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度【分析】根据函数图象可知，小雨6分钟所走的路程为2400米，6～10分钟休息，10～16分钟所走的路程为（4200﹣2400）米，所走的总路程为4200米，根据路程、速度、时间之间的关系进行解答即可．【解答】解：A、小雨中途休息用了10﹣6＝4（分钟），正确，不符合题意；B、小雨休息前骑车的速度为每分钟＝400（米），正确，不符合题意；C、小雨在上述过程中所走的路程为4200米，错误，符合题意；D、小雨休息后骑车的速度为每分钟＝300（米）＜400米，∴小雨休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度，正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．10．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30cm，斜坡的倾角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75cm B．50cm C．30cm D．45cm【分析】根据正切的定义计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，tan A＝，则＝，解得：AC＝75，则斜坡的水平距离AC为75cm，故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：2a2﹣8a＝2a（a﹣4）．【分析】原式提取2a即可得到结果．【解答】解：原式＝2a（a﹣4），故答案为：2a（a﹣4）【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．12．在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是x≥5．【分析】根据二次根式的性质被开方数大于等于0，列不等式求解．【解答】解：依题意，得x﹣5≥0，解得x≥5．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．13．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到6天的数据如下：61，74，70，56，80，91．该组数据的中位数是72．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：从小到大排列此数据为：56，61，70，74，80，91，处在第3和第4位两个数的平均数为中位数，故中位数是（70+74）÷2＝72．故答案为：72．【点评】本题考查了中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．14．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为1．【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝0，得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝0，解得m＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．15．扇形的半径为5，圆心角等于120°，则扇形的面积等于π．【分析】根据扇形面积公式S＝进行计算即可．【解答】解：S扇形＝＝π．故答案为π．【点评】本题考查了扇形的面积的计算．解答该题的关键是熟记扇形的面积公式．16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C 恰好落在AD边上的点P处，则∠EFC＝30°，FP＝2．【分析】先求出DE＝a，CE＝2a，再根据翻折变换的性质可得PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE ＝∠PFE，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠DPE＝30°，从而得到∠DPF，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CFP，再求出∠CFE＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF，利用勾股定理列式求出FC，从而得解．【解答】解：∵DC＝3DE＝3a，∴DE＝a，CE＝2a，由翻折变换得，PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE＝∠PFE，∴在Rt△DPE中，∠DPE＝30°，∴∠DPF＝∠EPF+∠DPE＝90°+30°＝120°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠CFP＝180°﹣∠DPF＝180°﹣120°＝60°，∴∠CFE＝∠CFP＝×60°＝30°，∴EF＝2CE＝2×2a＝4a，在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FP＝FC＝＝＝2a，故答案为：30°，2a．【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并确定出直角三角形中30°的角是解题的关键．三、解答题（本大题共9个题，第17，18，19每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题9分，第24，25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（﹣π）0．【分析】按照实数的运算法则依次展开计算即可得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+2+4×﹣1＝﹣1+2+2﹣1＝2．【点评】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、正整数幂，特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握其运算法则，细心运算是解题的关键．18．（6分）计算：【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝×﹣＝﹣＝＝﹣1【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．19．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC沿x轴翻折得到△AB1C1，在图中画出△AB1C1．（2）将△ABC以点A为位似中心放大2倍．（3）求△ABC的面积．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出B ，C 的对应点B 1，C 1即可；（2）利用位似变换的性质分别作出B ，C 的对应点E ，F 即可；（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．【解答】解：（1）如图，△AB 1C 1即为所求；（2）如图，△AEF 即为所求；（3）△ABC 的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝2.5．【点评】本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：社团名称 A ．酵素制作社团B ．回收材料小制作社团C ．垃圾分类社团D ．环保义工社团E ．绿植养护社团人数 10 15 5 10 5（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是 10 ；（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．【分析】（1）根据中位数的定义即可判断；（2）求出没有选择的百分比，高度和E相同，即可画出图形；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；（4）画出树状图即可解决问题；【解答】解：（1）这5个数从小到大排列：5，5，10，10，15，故中位数为10，故答案为10．（2）没有选择的占1﹣10%﹣30%﹣20%﹣10%﹣20%＝10%，条形图的高度和E相同；如图所示：（3）1400×20%＝280（名）答：估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团有280名；（4）酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示：树状图如图所示，共有4种可能，两人同时选择绿植养护社团只有一种情形，∴这两名同学同时选择绿植养护社团的概率＝．【点评】此题考查了扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【分析】（1）在△ABP中，求出∠P AB、∠PBA的度数即可解决问题；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定；【解答】解：（1）∵∠P AB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠P AB﹣∠ABP＝30°．（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP＝∠BP A＝30°，∴BA＝BP＝50，在Rt△PBH中，PH＝PB•sin60°＝50×＝25，∵25＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．22．（9分）在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉树．经市场调查发现：购买2棵柏树和3棵杉树共需440元，购买3棵柏树和1棵杉树共需380元．（1）求柏树和杉树的单价；（2）若本次美化乡村道路购买柏树和杉树共150棵（两种树都必须购买），且柏树的棵数不少于杉树的3倍，设本次活动中购买柏树x棵，此次购树的费用为w元．①求w与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围？②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？【分析】（1）设柏树每棵m元，杉树每棵n元，可得：，即可解得柏树每棵100元，杉树每棵80元；（2）①由柏树的棵数不少于杉树的3倍，有x≥3（150﹣x），而w＝100x+80（150﹣x）＝20x+12000，即知w ＝20x+12000（x≥112.5且x是整数）；②由一次函数性质可得柏树购买113棵，杉树购买37棵，最少费用为14260元．【解答】解：（1）设柏树每棵m元，杉树每棵n元，根据题意得：，解得，∴柏树每棵100元，杉树每棵80元；（2）①∵柏树的棵数不少于杉树的3倍，∴x≥3（150﹣x），解得x≥112.5，根据题意得：w＝100x+80（150﹣x）＝20x+12000，∴w＝20x+12000（x≥112.5且x是整数）；②∵20＞0，∴w随x的增大而增大，∵x是整数，∴x最小取113，∴当x＝113时，w取最小值20×113+12000＝14260，此时150﹣x＝150﹣113＝37，答：要使此次购树费用最少，柏树购买113棵，杉树购买37棵，最少费用为14260元．【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．23．（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，⊙O的切线DF与AC垂直，垂足为F．（1）求证：AB＝AC．（2）若CF＝2AF，AE＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DF，进而得出OD∥AC，根据平行线的性质、等腰三角形的判定和性质定理证明结论；（2）连接BE、AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，BE⊥EC，根据等腰三角形的性质得到BD＝DC，进而得到AC＝12，得到答案．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∵DF⊥AC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠OBD＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：如图，连接BE、AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，BE⊥EC，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵DF⊥AC，BE⊥EC，∴DF∥BE，∵BD＝DC，∴CF＝FE，∵CF＝2AF，AE＝4，∴AC＝12，∴AB＝AC＝12，∴⊙O的半径为6．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．24．（10分）定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．（1）判断函数y＝x+2m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的合作点；如果不是，请说明理由；（2）判断函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．【分析】（1）由于y＝x+2m与y＝都经过第一、第三象限，所以两个函数有公共点，可以判断两个函数是“合作函数”，再联立x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，即可求“合作点”；（2）假设是“合作函数”，可求“合作点”为x＝m+，再由|x|≤2，可得当﹣≤m≤时，是“合作函数”；当m＞或m＜﹣时，不是“合作函数”；（3）①由已知可得：x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），解得x＝m+3或x＝m﹣1，再由已知可得当0≤m+3≤5时，﹣3≤m≤2，当0≤m﹣1≤5时，1≤m≤6，因为只有一个“合作点”则﹣3≤m＜1或2＜m≤6；②y1+y2＝（x﹣m）2+6m﹣3，由①可分两种情况求m的值：当﹣3≤m＜1时，x＝5时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2﹣4m+22＝24，当2＜m≤6时，x＝0时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2+6m﹣3＝24，分别求出符合条件的m值即可．【解答】解：（1）∵y＝x+2m是经过第一、第三象限的直线，y＝是经过第一、第三象限的双曲线，∴两函数有公共点，∴存在x取同一个值，使得y1＝y2，∴函数y＝x+2m与y＝是“合作函数”；当m＝1时，y＝x+2，∴x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，∴“合作点”为x＝2或x＝﹣4；（2）假设函数y＝x+2m与y＝3x﹣1是“合作函数”，∴x+2m＝3x﹣1，∴x＝m+，∵|x|≤2，∴﹣2≤m+≤2，∴﹣≤m≤，∴当﹣≤m≤时，函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是“合作函数”；当m＞或m＜﹣时，函数y＝x+2m 与y＝3x﹣1（|x|≤2）不是“合作函数”；（3）①∵函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，∴x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），∴x2﹣（2m+2）x+（m2+2m﹣3）＝0，∴x＝m+3或x＝m﹣1，∵0≤x≤5时有唯一合作点，当0≤m+3≤5时，﹣3≤m≤2，当0≤m﹣1≤5时，1≤m≤6，∴﹣3≤m＜1或2＜m≤6时，满足题意；②∵y1+y2＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）+x+2m＝x2﹣2mx+m2+6m﹣3＝（x﹣m）2+6m﹣3，∴对称轴为x＝m，∵﹣3≤m＜1或2＜m≤6，当﹣3≤m＜1时，x＝5时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2﹣4m+22，∴m2﹣4m+22＝24，∴m＝2+或m＝2﹣，∴m＝2﹣；当2＜m≤6时，x＝0时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2+6m﹣3，∴m2+6m﹣3＝24，∴m＝3或m＝﹣9，∴m＝3；综上所述：m＝2﹣或m＝3．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；理解题意，熟练掌握一次函数、二次函数的图象及性质是解题的关键．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（3，0），D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），点E，P为抛物线的对称轴上的动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）当BE+DE最小时，求此时点E的坐标；（3）若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由对称轴﹣＝1，可知b＝﹣2a，再将A（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，即可求函数的解析式；（2）连接BA交对称轴于点E，连接DE，当A、B、E三点共线时，BE+DE的值最小，又由∠OAB＝45°，可求CE＝2，则E（1，2）；（3）设P（1，t），当AM为正方形的对角线时，PM＝P A，过M点作MG⊥PC交于G，证明△PGM≌△ACP（AAS），可求M（1+t，t+2），再将M代入函数解析式即可求M（2，3）；当∠P AM＝90°时，AM＝AP，过A点作AH⊥x 轴，过M点作MH⊥AH交于点H，同理可证△MAH≌△P AC（AAS），求出M（3+t，2），再将M代入函数解析式即可求M（2+，2）；当∠PMA＝90°时，PM＝AM，过点M作TS∥x轴交对称轴于点T，过点A作AS⊥ST交于点S，同理可得△MPT≌△AMS（AAS），求出M（2+t，1+t），再将M代入函数解析式即可求M（，）．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+3，将A（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，∴9a﹣6a+3＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴D（﹣1，0），令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，连接BA交对称轴于点E，连接DE，∵A、D关于直线x＝1对称，∴DE＝AE，∴BE+DE＝AE+BE≥AB，当A、B、E三点共线时，BE+DE的值最小，∵OA＝OB＝3，∴∠OAB＝45°，∴AC＝CE，∵AC＝2，∴CE＝2，∴E（1，2）；（3）存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形，理由如下：设P（1，t），当AM为正方形的对角线时，如图2，PM＝P A，过M点作MG⊥PC交于G，∵∠MP A＝90°，∴∠GPM+∠CP A＝90°，∵∠GPM+∠GMP＝90°，∴∠CP A＝∠GMP，∵PM＝AP，∴△PGM≌△ACP（AAS），∴GM＝CP＝t，PG＝AC＝2，∴M（1+t，t+2），∴t+2＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，解得t＝﹣2或t＝1，∵M点在x轴上方，∴t＝1，∴M（2，3）；当∠P AM＝90°时，AM＝AP，如图3，过A点作AH⊥x轴，过M点作MH⊥AH交于点H，同理可证△MAH≌△P AC（AAS），∴AH＝AC＝2，CP＝MH＝﹣t，∴M（3+t，2），∴2＝﹣（t+3）2+2（t+3）+3，解得t＝﹣2+或t＝﹣2﹣，∴M（2+，2）或（2﹣，2）（舍去）；当∠PMA＝90°时，PM＝AM，如图4，过点M作TS∥x轴交对称轴于点T，过点A作AS⊥ST交于点S，同理可得△MPT≌△AMS（AAS），∴TP＝SM，SA＝MT，∴M（2+t，1+t），∴1+t＝﹣（2+t）2+2（2+t）+3，解得t＝﹣3+或t＝﹣3﹣（舍去），∴M（，）；综上所述：M点坐标为（2，3）或（2+，2）或（，）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．。

浙教版九年级(上)期末数学试卷(含答案)

浙教版九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分1．（3分）抛物线y＝4x2﹣3的顶点坐标是（）A．（0，3）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（4，﹣3）2．（3分）下列各组中得四条线段成比例的是（）A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、3cm、5cmC．3cm、4cm、5cm、6cm D．1cm、2cm、2cm、4cm3．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦心距OC＝3，则弦AB的长是（）A．4B．6C．8D．54．（3分）在△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝6，BC＝8，则cos B的值是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝6．（3分）有四张背面一模一样的卡片，卡片正面分别写着一个函数关系式，分别是y＝2x，y＝x2﹣3（x＞0），y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0），将卡片顺序打乱后，随意从中抽取一张，取出的卡片上的函数是y随x的增大而增大的概率是（）A．B．C．D．17．（3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'＝1，则A'D等于（）A．2B．3C．D．8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）A．0B．﹣1C．1D．29．（3分）已知点A、B、C、D、E、F是半径为r的⊙O的六等分点，分别以A、D为圆心，AE和DF长为半径画圆弧交于点P．以下说法正确的是（）①∠P AD＝∠PDA＝60°；②△P AO≌△ADE；③PO＝r；④AO：OP：P A＝1：：．A．①④B．②③C．③④D．①③④10．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）一个不透明的布袋里装有100个只有颜色不同的球，这100个球中有m个红球．通过大量重复试验后发现，从布袋中随机摸出一个球摸到红球的频率稳定在0.2左右，则m的值约为．12．（4分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是．13．（4分）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为度．14．（4分）如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，若，则的值为．15．（4分）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是．16．（4分）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．若抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3与x轴围成的区域内（不包括抛物线和x轴上的点）恰好有8个“整点”，则a的取值范围是．三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：2cos30°+sin45°﹣tan260°．18．（6分）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠ADE＝∠B．求证：（1）△ABD∽△ADE；（2）AD2＝AE•AB．19．（6分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾．（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率．20．（8分）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）21．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y＝﹣x+3交于C、D两点．连接BD、AD．（1）求m的值．（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP＝4S△ABD，求点P的坐标．22．（10分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？23．（10分）如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD、AC于点F、G．（1）判断△F AG的形状，并说明理由；（2）如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG＝26，BD﹣DF＝7，求AB的长．24．（12分）如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分1．【解答】解：∵抛物线y＝4x2﹣3，∴该抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），故选：B．2．【解答】解：A、从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；B、从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；C、从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；D、从小到大排列，由于1×4＝2×2，所以成比例，符合题意．故选：D．3．【解答】解：连接OA，如图所示：∵OC⊥AB，OC＝3，OA＝5，∴AB＝2AC，∵AC＝＝＝4，∴AB＝2AC＝8．故选：C．4．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴cos B＝＝＝，故选：C．5．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2＝AD•AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．6．【解答】解：函数y＝2x，y＝x2﹣3（x＞0），y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）中，有y＝2x，y＝x2﹣3（x＞0），y＝﹣（x＜0），是y随x的增大而增大，所以随意从中抽取一张，取出的卡片上的函数是y随x的增大而增大的概率是．故选：C．7．【解答】解：如图，∵S△ABC＝9、S△A′EF＝4，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE＝S△A′EF＝2，S△ABD＝S△ABC＝，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则（）2＝，即（）2＝，解得A′D＝2或A′D＝﹣（舍），故选：A．8．【解答】解：因为对称轴x＝1且经过点P（3，0）所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c中，得a﹣b+c＝0．故选：A．9．【解答】解：∵A、B、C、D、E、F是半径为r的⊙O的六等分点，∴，∴AE＝DF＜AD，根据题意得：AP＝AE，DP＝DF，∴AP＝DP＜AD，∴△P AD是等腰三角形，∠P AD＝∠PDA≠60°，①错误；连接OP、AE、DE，如图所示，∵AD是⊙O的直径，∴AD＞AE＝AP，②△P AO≌△ADE错误，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，∴DE＝r，AE＝DE＝r，∴AP＝AE＝r，∵OA＝OD，AP＝DP，∴PO⊥AD，∴PO＝＝r，③正确；∵AO：OP：P A＝r：r：r＝1：：．∴④正确；说法正确的是③④，故选：C．10．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，∴易证AE⊥BC，∵A、C关于BD对称，∴P A＝PC，∴PC+PE＝P A+PE，∴当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，即AE的长．观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，∴在Rt△AEB中，BE＝2，∴PC+PE的最小值为2，∴点H的纵坐标a＝2，∵BC∥AD，∴＝2，∵BD＝4，∴PD＝＝，∴点H的横坐标b＝，∴a+b＝2+＝；故选：C．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．【解答】解：根据题意，得：＝0.2，解得：m＝20，故答案为：20．12．【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2．故答案为：y＝3（x﹣1）2﹣2．13．【解答】解：∵扇形的半径是1，弧长是，∴l＝＝，即＝，解得：n＝60，∴此扇形所对的圆心角为：60°．故答案为：60．14．【解答】解：∵＝，∴＝；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD；∴△ABF∽△CEF；∴；∵＝＝，∴＝．15．【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN＝AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB＝∠D＝45°，AB＝4，∴AD＝4，∴MN＝AD＝2，故答案为：2．16．【解答】解：y＝ax2﹣2ax+a+3＝a（x﹣1）2+3，故抛物线的顶点为：（1，3）；如图所示，a＜0，图象实心点为8个“整点”，则符合条件的抛物线过点A、B之间（不含点B），当抛物线过点A（3，1）时，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣；同理当抛物线过点B（4，1）时，a＝﹣，故答案为：﹣＜a＜﹣．三、解答题（本题有8小题，共66分）17．【解答】解：2cos30°+sin45°﹣tan260°＝2×+×﹣＝+1﹣3＝﹣218．【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAE，∵∠ADE＝∠B．∴△ABD∽△ADE；（2）∵△ABD∽△ADE，∴∴AD2＝AE•AB．19．【解答】解：（1）将有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾分别记为A，B，C，D，∵小明投放了一袋垃圾，∴小明投放的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：；（2）画树状图如下：由树状图知，小丽投放的垃圾共有16种等可能结果，其中小丽投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以小丽投放的两袋垃圾不同类的概率为＝．20．【解答】解：设OE＝OB＝2x，∴OD＝DE+OE＝190+2x，∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝95+x，∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝95﹣x，∵tan∠BAD＝，∴2.14＝，解得：x≈9.4，∴OB＝2x≈19．21．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+3过（3，0），∴0＝﹣9+3m+3，∴m＝2（2）由，得或，∴D（，﹣），∵S△ABP＝4S△ABD，∴AB×|P y|＝4×AB×，∴|P y||＝9，P y＝±9，当y＝9时，﹣x2+2x+3＝9，无实数解，当y＝﹣9时，﹣x2+2x+3＝﹣9，x1＝1+，x2＝1﹣，∴P（1+，﹣9）或P（1﹣，﹣9）．22．【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，所以W1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000，W2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；（2）根据题意，得：W＝W1+W2＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950＝﹣2x2+41x+8950＝﹣2（x﹣）2+，∵﹣2＜0，且x为整数，∴当x＝10时，W取得最大值，最大值为9160，答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9160元．23．【解答】解：（1）等腰三角形；理由：如图1，∵BC为直径，AD⊥BC，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，∵＝，∴∠ABE＝∠C，∴∠ABE＝∠BAD，∴AF＝BF，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠ABE+∠AGB＝90°，∴∠DAC＝∠AGB，∴F A＝FG，∴△F AG是等腰三角形；（2）成立；∵BC为直径，AD⊥BC，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，∵＝，∴∠ABE＝∠C，∴∠ABE＝∠BAD，∴AF＝BF，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠ABE+∠AGB＝90°，∴∠DAC＝∠AGB，∴F A＝FG，∴△F AG是等腰三角形；（3）由（2）得：AF＝BF＝FG，∵BG＝26，∴FB＝13，∴解得：BD＝12，DF＝5，∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，∴AB＝＝4．24．【解答】解：（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝3（舍去）或m＝0.5；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝3（舍去）或m＝﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝3（舍去）或m＝﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为0.5或﹣1或﹣．。

人教版九年级(上)期末数学试卷(解析版)

人教版九年级第一学期期末数学试卷及答案一、选择题（本大题共16小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1），则A、B两点（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝﹣x对称3．抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）4．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A．B．C．D．15．方程x2﹣3＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定6．下列说法正确的是（）A．过圆心的线段是直径B．面积相等的圆是等圆C．两个半圆是等弧D．相等的圆心角所对的弧相等7．2021年顺平县森林覆盖率为39.7%，被评为“河北省森林城市”．为进一步巩固成果，全县大力开展植树造林活动，计划到2023年森林覆盖率达到50%，如果这两年的森林覆盖年平均增长率相同，均为x，那么符合题意的方程是（）A．0.397（1+x）＝0.5B．0.397（1+2x）＝0.5C．0.397（1+x）2＝0.5D．0.397（1﹣x）2＝0.58．矩形的面积是200，它的长y和宽x之间的关系表达式是（）A．y＝200x B．y＝200+x C．D．9．对于二次函数y＝x2+4x+5的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝2C．顶点坐标是（﹣2，1）D．与x轴没有交点10．一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15，则四边形A1B1C1D1的最短边长为（）A．2B．4C．6D．811．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的是（）A．B．y＝2x﹣1C．y＝﹣3x2D．y＝x2+4x+512．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）A．1B．C．2D．413．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．3B．2C．5D．414．二次函数y＝a2+bx+c的图象如图所示，OP＝1，则下列判断正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．a+b+c＜015．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（）A．πB．C．D．16．对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二，四象限；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③图象经过点（﹣2，3）；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④二、填空题（本大题有3个小题，每小题各有2空，每空2分，共12分．把答案写在题中横线上）17．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的一个根是2，则另一个根为，m的值是．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为1，则弦BC的长为，劣弧BC长为．19．二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象如图，对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝；（2）若直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，则t的取值范围是．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2．21．一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，形把它放回不斯重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表．摸球次数10018060010001500摸到白球次数2446149251371摸到白球频率0.240.2560.2480.2510.247（1）当揽球次数很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01），若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是．（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．22．G234国道顺平段改造工程于2021年10月顺利完工，花园式路景成为顺平一道美丽的风景线．工程队在路边改造中，计划建造一个面积为60m2的长方形花坛，花坛的一边靠墙（墙AB长为11m），另外三边用木栏围成，木栏总长22m，求花坛CD边和DE边的长分别是多少？设花坛CD边的长为xm．（1）填空：花坛DE边的长为m（用含x的代数式表示）；（2）请列出方程，求出问题的解．23．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，EF的长为．（1）求BF的长；（2）若AE＝1，EC＝3，求∠AEB的度数．24．如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为E．（1）求证：DE为⊙O切线．（2）若AE＝2，AC＝3，求⊙O的半径．25．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过A（2，6）点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B在该反比例函数图象上，过B点作y轴的垂线，垂足为C，当△ABC的面积为9时，求点B的坐标．（3）请直接写出y＜3时，自变量x的取值范围．26．疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当0≤x≤30时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，1800）；当30＜x≤40时，累计人数保持不变．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？参考答案一、选择题（本大题共16小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1），则A、B两点（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝﹣x对称【分析】直接利用关于原点对称点的性质可得答案．解：因为点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1）的横坐标和纵坐标均互为相反数，所以A、B两点关于原点对称．故选：C．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．3．抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）【分析】根据二次函数的顶点式解析式解答即可．解：抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．4．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A．B．C．D．1【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．解：观察这个图可知：黑砖（4块）的面积占总面积（9块）的．故选：B．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．5．方程x2﹣3＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．解：∵a＝1，b＝0，c＝﹣3，∴Δ＝02﹣4×1×（﹣3）＝12＞0，则方程x2﹣3＝0有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．6．下列说法正确的是（）A．过圆心的线段是直径B．面积相等的圆是等圆C．两个半圆是等弧D．相等的圆心角所对的弧相等【分析】根据直径的定义，等圆的定义，等弧的定义，弧和圆心角的关系定理解答即可．解：A．过圆心且两个端点在圆上的线段是直径，故A选项说法错误；B．面积相等的圆，则半径相等，是等圆，故B选项说法正确；C．在同圆或等圆中，两个半圆是等弧，故C选项说法错误；D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C选项说法错误；故选：B．【点评】本题主要考查了对圆的认识和弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握相关定义和定理是解答本题的关键．7．2021年顺平县森林覆盖率为39.7%，被评为“河北省森林城市”．为进一步巩固成果，全县大力开展植树造林活动，计划到2023年森林覆盖率达到50%，如果这两年的森林覆盖年平均增长率相同，均为x，那么符合题意的方程是（）A．0.397（1+x）＝0.5B．0.397（1+2x）＝0.5C．0.397（1+x）2＝0.5D．0.397（1﹣x）2＝0.5【分析】利用2023年顺平县森林覆盖率＝2021年顺平县森林覆盖率×（1+这两年顺平县的森林覆盖年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：根据题意得39.7%（1+x）2＝50%，即0.397（1+x）2＝0.5，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．矩形的面积是200，它的长y和宽x之间的关系表达式是（）A．y＝200x B．y＝200+x C．D．【分析】根据题意得到xy＝200（定值），故y与x之间的函数解析式，且根据x、y实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限；于是得到结论．解：∵根据题意xy＝200，∴y＝（x＞0，y＞0）．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．9．对于二次函数y＝x2+4x+5的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝2C．顶点坐标是（﹣2，1）D．与x轴没有交点【分析】把解析式化为顶点式，利用二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，1），∴抛物线与x轴没有交点．故A，C，D正确；B不正确．故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15，则四边形A1B1C1D1的最短边长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】设四边形A1B1C1D1的最短边长为x，然后利用相似多边形的性质可得＝，进行计算即可解答．解：设四边形A1B1C1D1的最短边长为x，∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∴＝，解得：x＝6，故选：C．【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．11．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的是（）A．B．y＝2x﹣1C．y＝﹣3x2D．y＝x2+4x+5【分析】直接利用正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质分别判断得出答案．解：A、y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，符合题意；B、y＝2x﹣1，y随x的增大与增大，不合题意；C、y＝﹣3x2，当x＜0时，y随x的增大而增大，不合题意；D、y＝x2+4x+5，当x＜0时，y随x先减小，然后增大，不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．12．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）A．1B．C．2D．4【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等边三角形的性质求出OH即可．解：如图所示，连接OB、OA，过点O作OH⊥AB于点H，∵⊙O的直径为4cm，∴OB＝OA＝2cm，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，∵六边形ABCDEF是正六边形∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，∵OH⊥AB，∴BH＝AB＝×2＝1（cm），∴OH＝＝（cm），∴正六边形纸片的边心距是cm，故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．13．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．3B．2C．5D．4【分析】过O作OM′⊥AB，连接OA，由“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”的知识可知，当OM于OM′重合时OM最短，由垂径定理可得出AM′的长，再根据勾股定理可求出OM′的长，即线段OM 长的最小值．解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB＝8，OA＝5，∴AM′＝×8＝4，∴在Rt△OAM′中，OM′＝＝＝3，∴线段OM长的最小值为3．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．14．二次函数y＝a2+bx+c的图象如图所示，OP＝1，则下列判断正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．a+b+c＜0【分析】根据抛物线开口方向、对称轴和与y轴交点位置确定a、b、c的取值范围，结合函数图象，当x＝1时，函数值为负，求得a+b+c＜0，从而求解．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；故A错误；∵﹣＜0，∴b＜0，故B错误；∵与y轴的交点在正半轴，∴c＞0；故C错误；由图象观察知，当x＝1时，函数值为负，∴a+b+c＜0，故D正确；故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．15．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（）A．πB．C．D．【分析】解直角三角形得到AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．16．对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二，四象限；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③图象经过点（﹣2，3）；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确．解：∵反比例函数y＝﹣，∴该函数的图象分布在第二、四象限，故①正确；当x＞0时，y随x的增大而增大，故②正确；当x＝﹣2时，y＝3，故③正确；若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则点A和点B都在第二象限或都在第四象限时y1＜y2，点A在第二象限，点B在第四象限时y1＞y2，故④错误；故选：A．【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．二、填空题（本大题有3个小题，每小题各有2空，每空2分，共12分．把答案写在题中横线上）17．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的一个根是2，则另一个根为3，m的值是6．【分析】设另一个根为x1，则根据根与系数的关系得出x1+2＝5，2x1＝m，求出即可．解：设另一个根为x1，则x1+2＝5，2x1＝m，解得：x1＝3，m＝6．故答案为：3，6．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与系数的关系得出x1+2＝5，2x1＝m．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为1，则弦BC的长为，劣弧BC长为．【分析】先作OD⊥BC于D，由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，BD＝BC，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求BD，进而可求BC．解：如右图所示，作OD⊥BC于D，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，BD＝BC，∴BD＝sin60°×OB＝，∴BC＝2BD＝，劣弧BC＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD⊥BC，并求出BD．19．二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象如图，对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝﹣2；（2）若直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，则t的取值范围是0≤t＜4．【分析】（1）通过抛物线对称轴为直线x＝﹣求解；（2）将抛物线解析式化为顶点式，通过﹣3≤x≤1时y的取值范围求解．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴函数最大值为y＝4，∵（﹣1）﹣（﹣3）＞1﹣（﹣1），∴x＝1时，y＝﹣1﹣2+3＝0为﹣3≤x≤1的函数最小值，∴0≤t＜4时，直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，故答案为：0≤t＜4．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线顶点坐标公式，掌握二次函数与方程的关系．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2．【分析】（1）先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．解：（1）x2+4x＝5，x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，x﹣1＝0或x+5＝0，x1＝1，x2＝﹣5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2，x（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）（x﹣2）＝0，x﹣2＝0或2x﹣1＝0，x1＝2，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．21．一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，形把它放回不斯重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表．摸球次数10018060010001500摸到白球次数2446149251371摸到白球频率0.240.2560.2480.2510.247（1）当揽球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.25（精确到0.01），若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是．（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．【分析】（1）当试验次数达到1500次时，摸到白球的频率接近于0.25，据此可得答案；（2）用总数量乘以摸到白球的频率求出其个数，再列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得答案．解：（1）由频率统计表知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.25，从箱子中摸一次球，摸到红球的概率为1﹣0.25＝0.75＝，故答案为：0.25，；（2）由（1）知，袋中白球的个数约为4×0.25＝1，红球的个数为4﹣1＝3，列表如下：白红1红2红3白白红1白红2白红3红1红1白红1红2红1红3红2红2白红2红1红2红3红3红3白红3红1红3红2由表可知共有12种情况，其中一红一白的有6种，所以摸到一个红球一个白球的概率为＝．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．也考查了列表法与树状图法．22．G234国道顺平段改造工程于2021年10月顺利完工，花园式路景成为顺平一道美丽的风景线．工程队在路边改造中，计划建造一个面积为60m2的长方形花坛，花坛的一边靠墙（墙AB长为11m），另外三边用木栏围成，木栏总长22m，求花坛CD边和DE边的长分别是多少？设花坛CD边的长为xm．（1）填空：花坛DE边的长为（22﹣2x）m（用含x的代数式表示）；（2）请列出方程，求出问题的解．【分析】（1）由题意即可得出结论；（2）由题意：建造一个面积为60m2的长方形花坛，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．解：（1）由题意得：花坛DE边的长为（22﹣2x）m，故答案为：（22﹣2x），（2）根据题意得：x（22﹣2x）＝60，整理得：x2﹣11x+30＝0，解得：x1＝5，x2＝6，当x＝5时，DE＝22﹣2×5＝12＞11（不符合题意，舍去）；当x＝6时，DE＝22﹣2×6＝10＜11，符合题意；答：CD边的长为6m，DE边的长为10m．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，EF的长为．（1）求BF的长；（2）若AE＝1，EC＝3，求∠AEB的度数．【分析】（1）由旋转的性质可得BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°，由等腰直角三角形的性质可求解；（2）由勾股定理的逆定理可求∠EFC＝90°，即可求解．解：（1）∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°，∴△BEF为等腰直角三角形，设BE＝BF＝x，则x2+x2＝（2）2，解得：x＝2，∴BF的长为2；（2）∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴∠AEB＝∠BFC，AE＝CF＝1，在△CEF中，EF＝2，CF＝1，EC＝3，∵CF2+EF2＝12+（2）2＝9，CE2＝9，∴CF2+EF2＝CE2，∴△CEF为直角三角形，∴∠EFC＝90°，∴∠BFC＝∠BFE+∠CFE＝135°，∴∠AEB＝135°．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是解题的关键．24．如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为E．（1）求证：DE为⊙O切线．（2）若AE＝2，AC＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，由AC平分∠EAB得到∠BAC＝∠EAC，加上∠OAC＝∠ACO，则∠EAC＝∠ACO，于是可判断OC∥AE，根据平行线的性质得OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．（2）通过证明△AEC∽△ACB，进而根据比例式求得半径．【解答】（1）连OC（如图），∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC＝∠OAC，∵∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∴OC⊥DE，∵点C在⊙O上，∴OC＝r，∴DE为⊙O的切线．（2）连BC（如上图），∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACB＝∠AEC，又∵∠EAC＝∠BAC，∴△AEC∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AB＝r＝，∴r＝．【点评】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．25．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过A（2，6）点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B在该反比例函数图象上，过B点作y轴的垂线，垂足为C，当△ABC的面积为9时，求点B的坐标．（3）请直接写出y＜3时，自变量x的取值范围．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k＝6×2＝12，进而可得反比例函数解析式；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得mn＝12，再根据△ABC面积为9，可得×BC×（6﹣n）＝9，解可得m的值，进而可得n的值，从而可得点B的坐标；（3）根据函数图象即可得到结论．【解答】解；（1）把A点坐标为（2，6）代入反比例函数y＝得，k＝12，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）设点B坐标为（m，n），分三种情况：①当B点在第一象限且在A点的上方时，（y B﹣y A）×CB＝9 即（n﹣6）×m＝9，×（﹣6）×m＝9，解得m＝﹣1（不符合题意，舍去），②当B点在第一象限且在A点的下方时，（y A﹣y B）×CB＝9 即（6﹣n）×m＝9，（6﹣）×m＝9，解得m＝5，∴点B坐标为（5，）；③当B点在第三象限时，（y A﹣y B）×CB＝9，（6﹣n）×（﹣m）＝9 （6）×（﹣m）＝9，解得m＝﹣1，∴点B坐标为（﹣1，﹣12），所以点B的坐标为（5，）或（﹣1，﹣12）；（3）由图象知，当y＜3时，自变量x的取值范围为x＞4 或x＜0．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．26．疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当0≤x≤30时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，1800）；当30＜x≤40时，累计人数保持不变．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【分析】（1）①当0≤x≤30时由顶点坐标为（10，1800），可设y＝a（x﹣30）2+1800，再将（0，0）代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式；②当30＜x≤40时，根据等候的人数不变得出函数解析式；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，根据w＝y﹣40x及（1）中所得的y与x之间的函数解析式，可得w 关于x的二次函数和一次函数，按照二次函数和一次函数的性质可得答案；（3）设从一开始就应该增加m个监测点，根据在10分钟内让全部学生完成体温检测得到关于m的不等式解不等式即可．解：（1）①当0≤x≤30时，∴设y＝a（x﹣30）2+1800，将（0，0）代入，得：900a+1800＝0，解得a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣30）2+1800＝﹣2x2+120x（0≤x≤30），②当30＜x≤40时，y＝1800（30＜x≤40），∴y与x之间的函数表达式为y＝；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，由题意可得：w＝y﹣40x，①0≤x≤30时，w＝﹣2x2+120x﹣40x＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，∵﹣2＜0，∴当x＝20时，w的最大值是800；②当30＜x≤40时，w＝1800﹣40x，∵﹣4＜0，∴w随x的增大而减小，∴200≤w＜600，∴排队人数最多是600人，要全部学生都完成体温检测：1800﹣40x＝0，解得：x＝45，∴要全部学生都完成体温检测需要45分钟，（3）设从一开始就应该增加m个监测点，由题意得：10×20（m+2）≥1800，解得：m≥7，∴从一开始就应该增加7个监测点．【点评】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．。

2022-2023学年天津市南开中学九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年天津市南开中学九年级（上）期末数学试卷1. 下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A.B.C.D.2. 下列事件中，是随机事件的是( )A. 画一个三角形，其内角和是B. 明天太阳从西方升起C. 任意选择电视的某一频道，正在播放动画片D. 在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天3. 如图，过原点O 的直线与反比例函数的图象相交于点A 、B ，根据图中提供的信息可知，这个反比例函数的解析式为( )A. B. C. D.4. 一个不透明布袋里共有4个球只有编号不同，编号为1，2，3，从中任意摸出一个球，记下编号后不放回，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是( )A.B.C.D.5.如图，在中，，，，，则AC 的长为( )A. 14B. 12C. 10D. 96. 某种药品经过了两次降价，从每盒54元降到每盒42元．若平均每次降低的百分率都为x，则根据题意，可得方程( )A. B. C. D.7. 在中，，，，是它的内切圆．则的半径为( )A. 1B. 2C. 3D.8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，那么、、的大小关系是( )A. B. C. D.9. 若双曲线的一个分支位于第三象限，则k的取值范围是( )A. B. C. D.10. 如图，，，将绕点O顺时针旋转角度得到，旋转角为若点落在AB上，则旋转角的大小是( )A.B.C.D.11. 已知，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是( )A. B.C. D.12. 如图，已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论：①；②关于x的一元二次方程的根是，；③当时，y随x增大而减小；④；⑤y最大值其中正确的有个．( )A. 2B. 3C. 4D. 513. 若方程的两根为、，则______.14. 以方程的两根分别为腰和底的等腰三角形的周长为______.15. 已知两个相似三角形的周长比为，若较大三角形的面积等于，则较小三角形面积等于__________.16. 如图，在正十边形中，连接、，则______17. 如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，且E是CD的中点，，，则阴影部分面积为______.18. 如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过A，B，C三个格点，线段AB的长度为______；用无刻度的直尺，在上找一点D，使点D平分保留画图痕迹19. 将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．从中随机抽出一张牌，牌面数字小于3的概率是______；先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍数的概率．20. 已知：正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，当时，求反比例函数的值；当时，反比例函数的取值范围是______；当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是______.21. 如图，在中，CD是AB边上的高，且求的度数；若，的面积为2，求的面积．22. 已知AB是的直径，点C在上．如图1，点D在上，且，若，求；如图2，过点C作的切线，交BA的延长线于点E，若的直径为6，，求23. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于64元，设每件商品的售价上涨x元为整数时，月销售利润为y元．分析数量关系填表：每台售价元606162…月销售量台300290280…______求y与x之间的函数解析式和x的取值范围；当售价定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大？最大利润是多少？24. 平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标轴上，点，P是射线OB上一点，将绕点A顺时针旋转，得，Q是点P旋转后的对应点．如图当时，求点Q的坐标；如图，设点，的面积为求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；当时，求点Q的坐标直接写出结果即可25. 已知：抛物线：交x轴于点A，点A在点B的左侧，交y轴于点C，抛物线经过点A，与x轴的另一个交点为，交y轴于点求抛物线的函数表达式；为抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PC，当时，求点P的坐标；为抛物线上一动点，过点M作直线轴，交抛物线于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．2.【答案】C【解析】解：A、画一个三角形，其内角和是，是必然事件，不符合题意；B、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；C、任意选择电视的某一频道，正在播放动画片，是随机事件，符合题意；D、在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天，是必然事件，不符合题意；故选：根据事件发生的可能性大小判断即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.【答案】C【解析】解：因为A、B是反比例函数和正比例函数的交点，所以A、B关于原点对称，由图可知，A点坐标为，设反比例函数解析式为，将代入解析式得：，可得函数解析式为故选：根据中心对称的性质求出A点的坐标，再用待定系数法求函数解析式．从图中观察出A、B两点关于原点对称是解题的关键．另外对待定系数法因该有正确的认识：先设出某个未知的系数，然后根据已知条件求出未知系数的方法叫待定系数法．4.【答案】B【解析】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的结果有6种，两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是，故选：画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的结果有6种，再由概率公式求解即可．本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5.【答案】D【解析】解：，，即，，故选：利用平行线分线段成比例计算出EC，然后计算即可．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．6.【答案】A【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，故选：设平均每次降价的百分率为x，某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的54元降至42元，可列方程．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键知道经过了两次降价，降价前和降价后的价格，可列方程．7.【答案】B【解析】解：，，由勾股定理得：，如图，连接OA、OB、OC、OF，由是的内切圆．可以设，，，，答：R的值是故选：根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积得出，代入求出即可．本题主要考查对正方形的判定，三角形的内切圆与内心，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．8.【答案】A【解析】解：，，是正数，反比例函数的图象位于第一三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，，，都在反比例函数图象上，，，故选：先判断出是正数，再根据反比例函数图象的性质，比例系数时，函数图象位于第一三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小判断出、、的大小关系，然后即可选取答案．本题考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限；，反比例函数图象在第二、四象限内，本题先判断出比例系数是正数是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：双曲线的一个分支位于第三象限，，解得，故选：反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x的增大而减小．本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数，当时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．10.【答案】D【解析】解：，，，绕点O顺时针旋转角度得到，，，，，即旋转角的大小可以是，故选：由，，得出，由旋转的性质可得，进而求出的度数，即可得出旋转角的大小．本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的两个三角形是全等三角形及等腰三角形的性质是解决问11.【答案】D【解析】本题考查了尺规作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用等线段代换得到，利用线段的垂直平分线的性质和基本作图进行判断．解：A、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；B、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；C、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；D、由图可知，故能得出，故此选项正确.故选：12.【答案】C【解析】解：抛物线开口向下，，抛物线的对称轴为直线，，抛物线与y轴的交点在x轴上方，，，所以①正确；抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，关于x的一元二次方程的根是，3，所以②正确；抛物线的对称轴为直线，且开口向下，当时，y随x的增大而减小，故③不正确；当时，，，而，，即，，即，当时，函数有最大值，函数有最大值，所以⑤正确．故选：利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；由函数的性质可判断③；由于时，，再利用得到，则可对④⑤进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．13.【答案】【解析】解：方程的两根为、，，，则原式故答案为：利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式变形后代入计算即可求出值．此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．14.【答案】7【解析】解：解方程，得，，当1为腰，3为底时，不能构成等腰三角形；当3为腰，1为底时，能构成等腰三角形，周长为故周长为故答案为：求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．15.【答案】【解析】解：两个相似三角形的周长之比为2：3，两个相似三角形的相似比是2：3，两个相似三角形的面积比是4：9，又较大三角形的面积等于，较小三角形的面积为，故答案为：根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．16.【答案】54【解析】解：如图，连接，，正十边形的各边都相等，，故答案为：找出正十边形的圆心O，连接，，再由圆周角定理即可得出结论．本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．17.【答案】【解析】解：连接BC，，，，又，是等边三角形，为OB的中点，，，，，解得：，故阴影部分的面积为：故答案为：根据题意得出是等边三角形，进而得出，再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出CO的长，进而结合扇形面积求出答案．此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出CO的长是解题关键．18.【答案】【解析】解：，故答案为：；如图，点D即为所求．利用勾股定理求解即可；作线段AC的垂直平分线交于点D，点D即为所求．本题考查作图-复杂作图，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】【解析】解：从中随机抽出一张牌，牌面数字小于3的概率是；故答案为：；列表格如下：十位个位A234A11121314 221222324331323334441424344共得到16个数，其中是3的倍数的是12，21，24，33，42，共5个，这个两位数是3的倍数牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌中是小于3的有2张，再利用概率公式可得答案；首先列出树状图，然后再确定组成的两位数，进一步分析是3的倍数的数的个数，进而可得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】或或【解析】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，这个交点的横坐标，即这个交点的坐标为，，反比例函数的关系式为，当时，，即当时，反比例函数的值为；当时，，当时，，由反比例函数的图象可知，当时，即图象在第三象限，，当时，即图象在第一象限，，当时，反比例函数的取值范围是或，故答案为：或；由对称性可知正比例函数的图象与反比例函数的图象交点，，所以当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是或，故答案为：或求出交点坐标，再求出反比例函数的关系式，代入计算即可得出答案；求出当，时，相应的反比例函数的值，再根据反比例函数图象得出答案即可；根据对称性求出两个交点坐标，根据两个函数图象及交点坐标得出答案．本题考查反比例函数、一次函数图象的交点坐标，理解反比例函数、一次函数的图象和性质是正确解答的前提．21.【答案】解：是AB边上的高，，，：：BD，∽，，又，，又，，；由可知，∽，AD：：BD，，：：：3，即，的面积：的面积：9，的面积为2，的面积为18，的面积为【解析】由垂直的定义得，相似三角的判定方法证明∽，其性质得，，最后余角的性质，角的和差求出的度数为，继而可得结论；根据相似三角形的性质可得的面积：的面积：9，求出的面积即可得出的面积．本题综合考查了垂直的定义，余角的性质，相似三角形的判定与性质，角的和差等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质．22.【答案】解：如图①，连接OC，，，，，，，；如图②，连接OC，BC，是的直径，，，，，，，，是的切线，，，，，【解析】如图①，连接OC，根据等腰三角形的性质得到，，根据圆周角定理即可得到结论；如图②，连接OC，BC，根据圆周角定理得到，求得，得到，根据切线的性质得到，求得，于是得到结论．本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23.【答案】【解析】解：，，以此类推可得每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，所以当每件商品的售价上涨x元为整数时，则月销售量为，故答案为：；由题意得：，每件售价不能高于64元，，与x之间的函数解析式为为整数；由知，，，，当时，y有最大值，最大值为6240，此时，答：当售价定为64时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，最大利润是6240元．由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10台，由此填空即可；由销售利润=每件商品的利润上涨的钱数，根据每件售价不能高于64元，可得自变量的取值；利用公式法结合得到的函数解析式可得二次函数的最值．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．24.【答案】解：如图，过P点作轴，垂足为G，过Q点作轴，垂足为四边形OABC是正方形，，在中，，绕点A顺时针旋转，得，，，，，，≌，；如图，过P点作轴，垂足为绕点A顺时针旋转，得，，，，，在中，根据勾股定理，，整理得，当S取最小值时，有，；理由如下：如图，绕点A旋转得到，，，点P在OB的延长线上．由解得：，，，同：，，，，【解析】如图，过P点作轴，垂足为G，过Q点作轴，垂足为证明即可求点Q的坐标；如图，过P点作轴，垂足为根据勾股定理可得，整理得由，进而可求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；根据，可得因为，说明点P在OB的延长线上．可得联立方程组可得BP和OP的长，结合进而可求点Q的坐标．本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质-旋转、二元一次方程组、三角形的面积、勾股定理、特殊角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识．属于中考几何压轴题．25.【答案】解：当时，，解得，，则设抛物线的解析式为，把代入得，解得，所以抛物线的解析式为，即；当时，，则抛物线的对称轴为直线，设，则，，，，，即，整理得，解得，，点P的坐标为或；抛物线与抛物线经过的另一个交点为F，如图2，解方程得，，则，设，则，当时，，此时时，MN有最大值；当时，，此时时，MN有最大值21；所以点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为【解析】通过解方程得设交点式，然后把D点坐标代入求出a的值即可得到得抛物线的解析式；先求出和抛物线的对称轴为直线，则设，利用两点间的距离公式和勾股定理得到，然后解方程求出t即可得到点P的坐标；抛物线与抛物线经过的另一个交点为F，如图2，先通过解方程得，设，则，讨论：当时，；当时，，然后分别利用二次函数的性质求出两种情况下的MN的最大值，再比较大小即可得到点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式和勾股定理．。

2023-2024学年北京市朝阳区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（﹣4，3）2．（2分）下列事件中，是不可能事件的是（）A．一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8B．射击运动员射击一次，命中靶心C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰D．在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行3．（2分）在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2分）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的长为（）A．4B．6C．8D．105．（2分）不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（）A．B．C．D．6．（2分）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝3（x﹣5）2+2B．y＝3（x+5）2+2C．y＝3（x+2）2+5D．y＝3（x﹣2）2+57．（2分）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q8．（2分）用一个圆心角为n°（n为常数，0＜n＜180）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为S，当R在一定范围内变化时，l与S 都随R的变化而变化，则l与R，S与R满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，一次函数关系B．二次函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，二次函数关系D．二次函数关系，一次函数关系二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）一元二次方程x2﹣9＝0的根为．10．（2分）⊙O的直径为15cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是（填“相交”、“相切”或“相离”）．11．（2分）抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是．12．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，∠AEC＝74°，∠ABD＝36°，则∠BOC的度数为．13．（2分）某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据：抽取的产品数n5001000150020002500300035004000合格的产品数m476967143119262395288333673836合格的产品频率0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959估计这批产品合格的产品的概率为．14．（2分）如图，AB是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转30°，点B的对应点为B′，连接AB′，若AB＝8，则图中阴影部分的面积是．15．（2分）对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h，初速度v，抛出后所经历的时间t，这三个量之间有如下关系：h＝vt﹣gt2（其中g是重力加速度，g取10m/s2）．将一物体以v＝21m/s的初速度向上抛，当物体处在离抛出点18m高的地方时，t的值为．16．（2分）已知函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0），（a是常数，a≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a 的取值范围是．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解方程x2﹣1＝6x．18．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+3（m+1）＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一根小于0，求m的取值范围．19．（5分）已知一次函数y1＝mx+n（m≠0）和二次函数，下表给出了y1，y2与自变量x的几组对应值：x…﹣2﹣101234…y1…543210﹣1…y2…﹣503430﹣5…（1）求y2的解析式；（2）直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集．20．（5分）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上任意一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，DE．（1）求∠ECD的度数；（2）若AB＝4，，求DE的长．21．（5分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况．（1）列举出所有可能的情况；（2）求出至少有一辆车向左转的概率．22．（5分）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．已知：如图①，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°．求证：点A，B，C，D在同一个圆上．他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点A，B，C的⊙O，再证明第四个顶点D也在⊙O上．具体过程如下；步骤一、作出过A，B，C三点的⊙O．如图1，分别作出线段AB，BC的垂直平分线m，n，设它们的交点为O，以O为圆心，OA的长为半径作⊙O．连接OA，OB，OC，∴OA＝OB，OB＝OC（①）．（填推理依据）∴OA＝OB＝OC．∴点B，C在⊙O上．步骤二、用反证法证明点D也在⊙O上．假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或⊙O外．i、如图2，假设点D在⊙O内．延长CD交⊙O于点D1，连接AD1．∴∠B+∠D1＝180°（②）．（填推理依据）∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC＝∠DAD1+∠D1（③）．（填推理依据）∴∠ADC＞∠D1．∴∠B+∠ADC＞180°．这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O内．ii、如图3，假设点D在⊙O外．设CD与⊙O交于点D2，连接AD2．∴∠B+∠AD2C＝180°．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD2+∠ADC．∴∠ADC＜∠AD2C．∴∠B+∠ADC＜180°．这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O外．综上所述，点D在⊙O上．∴点A，B，C，D在同一个圆上．阅读上述材料，并解答问题：（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）填推理依据：①，②，③．23．（6分）某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分，本次比赛一共进行了210场，用时两天完成，下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表：队员号码比赛场次胜场负场积分11082182101002038711548621457077（1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？（2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负场．24．（6分）如图，AC，BD是圆内接四边形ABCD的对角线，AC⊥BD于点E，BD平分∠ADC．（1）求∠BAD的度数；（2）点P在DB的延长线上，PA是该圆的切线．①求证：PC是该圆的切线；②若，直接写出PD的长．25．（6分）如图1所示，草坪上的喷水装置PA高1m，喷头P一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置PA的水平距离为4m处，达到最高点C，点C距离地面．（1）请建立适当的平面直角坐标系xOy，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；（2）这个喷水装置的喷头P能旋转220°，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（π取3，结果保留整数）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（x1，m），（x2，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）若对于x1＝1，x2＝3，有m＝n，求t的值；（2）若对于t﹣1＜x1＜t，2＜x2＜3，存在m＞n，求t的取值范围．27．（7分）已知线段AB和点C，将线段AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣α，得到线段BE，连接DE，F为DE的中点，连接AF，BF．（1）如图1，点C在线段AB上，依题意补全图1，直接写出∠AFB的度数；（2）如图2，点C在线段AB的上方，写出一个α的度数，使得成立，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（t﹣2，0），B（t+2，0）．对于点P给出如下定义：若∠APB＝45°，则称P为线段AB的“等直点”．（1）当t＝0时，①在点，P2（﹣4，0），，P4（2，5）中，线段AB 的“等直点”是；②点Q在直线y＝x上，若点Q为线段AB的“等直点”，直接写出点Q的横坐标．（2）当直线y＝x+t上存在线段AB的两个“等直点”时，直接写出t的取值范围．2023-2024学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（﹣4，3）【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【解答】解：由题意，得点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4），故选：C．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2．（2分）下列事件中，是不可能事件的是（）A．一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8B．射击运动员射击一次，命中靶心C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰D．在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行【分析】根据随机事件、不可能事件、必然事件的定义进行解题即可．【解答】解：A、一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8是不可能事件，符合题意；B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；C、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰是必然事件，不符合题意；D、在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行是随机事件，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查随机事件，掌握随机事件、不可能事件、必然事件的定义是解题的关键．3．（2分）在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有圆、正六边形，共两个．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．（2分）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的长为（）A．4B．6C．8D．10【分析】利用点到直线的距离的定义得到OC⊥AB，则根据垂径定理得到AC＝BC，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长．【解答】解：∵圆心O到弦AB的距离OC＝3，∴OC⊥AB，∴AC＝BC，在Rt△OAC中，∵OA＝5，OC＝3，∴AC＝＝4，∴AB＝2AC＝8．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．5．（2分）不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（）A．B．C．D．【分析】直接根据概率公式求解即可．【解答】解：随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为，故选：A．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．6．（2分）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝3（x﹣5）2+2B．y＝3（x+5）2+2C．y＝3（x+2）2+5D．y＝3（x﹣2）2+5【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+5．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．7．（2分）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交点M为旋转中心．【解答】解：连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．故选：A．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及学生的理解能力和观察图形的能力．注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．8．（2分）用一个圆心角为n°（n为常数，0＜n＜180）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为S，当R在一定范围内变化时，l与S 都随R的变化而变化，则l与R，S与R满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，一次函数关系B．二次函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，二次函数关系D．二次函数关系，一次函数关系【分析】根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出l与R，S与R的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义进行判断即可．【解答】解：圆锥的底面圆的周长为l，即扇形的弧长l＝＝R；圆锥的侧面积S，即扇形的面积S＝＝R2，所以l是R的一次函数，S是R的二次函数，故选：C．【点评】本题考查一次函数、二次函数的定义以及弧长、扇形面积的计算，掌握弧长、扇形面积的计算方法，理解一次函数、二次函数的定义是正确解答的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）一元二次方程x2﹣9＝0的根为x1＝3，x2＝﹣3．【分析】利用直接开平方法求解即可得到答案．【解答】解：x2﹣9＝0，x2＝9，∴x1＝3，x2＝﹣3，故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．（2分）⊙O的直径为15cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是相切（填“相交”、“相切”或“相离”）．【分析】由⊙O的直径为15cm，求得⊙O的半径为7.5cm，而圆心O与直线l的距离为7.5cm，则圆心O与直线l的距离等于⊙O的半径，所以l与⊙O相切，于是得到问题的答案．【解答】解：∵⊙O的直径为15cm，×15＝7.5（cm），∴⊙O的半径为7.5cm，∵圆心O与直线l的距离为7.5cm，∴圆心O与直线l的距离等于⊙O的半径，∴l与⊙O相切，故答案为：相切．【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地求出⊙O的半径长并且证明圆心O 与直线l的距离等于⊙O的半径是解题的关键．11．（2分）抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是（1，3）．【分析】本题可以运用配方法求顶点坐标，也可以根据顶点坐标公式求坐标．【解答】解：解法1：利用公式法y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），代入数值求得顶点坐标为（1，3）；解法2：利用配方法y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3，故顶点的坐标是（1，3）．【点评】求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．12．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，∠AEC＝74°，∠ABD＝36°，则∠BOC的度数为140°．【分析】先根据对顶角相等得出∠DEB的度数，再由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠AEC＝74°，∠ABD＝36°，∴∠DEB＝∠AEC＝74°，∴∠D＝180°﹣∠DEB﹣∠ABD＝180°﹣74°﹣36°＝70°，∴∠BOC＝2∠D＝2×70°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．13．（2分）某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据：抽取的产品数n5001000150020002500300035004000合格的产品数m476967143119262395288333673836合格的产品频率0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959估计这批产品合格的产品的概率为0.96．【分析】根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即可估计这批产品合格的产品的概率．【解答】解：由图表可知合格的产品频率都在0.95左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为0.96，故答案为：0.96．【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．（2分）如图，AB是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转30°，点B的对应点为B ′，连接AB ′，若AB ＝8，则图中阴影部分的面积是π+4．【分析】如图，连接OC ．根据S 阴＝S 半圆﹣（S 扇形AOC ﹣S △AOC ）求解即可．【解答】解：如图，连接OC ．∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∴∠AOC ＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴S 阴＝S 半圆﹣（S 扇形AOC ﹣S △AOC ）＝×π×42﹣（﹣×4×2）＝8π﹣（π﹣4）＝π+4．故答案为：π+4．【点评】本题考查扇形的面积，旋转的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．15．（2分）对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h ，初速度v ，抛出后所经历的时间t ，这三个量之间有如下关系：h ＝vt ﹣gt 2（其中g 是重力加速度，g 取10m /s 2）．将一物体以v ＝21m /s 的初速度向上抛，当物体处在离抛出点18m 高的地方时，t 的值为或3．【分析】把v ＝21，h ＝18代入h ＝vt ﹣gt 2得一元二次方程，求解即可．【解答】解：把v＝21，h＝18代入h＝vt﹣gt2得，18＝21t﹣×10t2，整理得：5t2﹣21t+18＝0，解得t1＝，t2＝3，∴当物体处在离抛出点18m高的地方时，t的值为或3．故答案为：或3．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确把已知数据代入是解题关键．16．（2分）已知函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0），（a是常数，a≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a的取值范围是a＜0或a≥．【分析】求得函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0）的图象过定点（﹣4，2），函数（a是常数，a≠0）与x轴的交点为（﹣5，0），（1，0），然后分两种情况讨论即可求得a的取值．【解答】解：∵y1＝kx+4k﹣2＝k（x+4）﹣2，∴函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0）的图象过定点（﹣4，﹣2），∵＝a（x+5）（x﹣1），∴函数（a是常数，a≠0）与x轴的交点为（﹣5，0），（1，0），当a＜0时，无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，∴a＜0满足题意；当a＞0时，∵无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，∴x＝﹣4时，y2≤﹣2，即16a﹣16a﹣5a≤﹣2，解得a≥，∴a≥满足题意；∴无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a的取值范围是a＜0或a≥．故答案为：a＜0或a≥．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解方程x2﹣1＝6x．【分析】利用公式法求解即可．【解答】解：x2﹣1＝6x，x2﹣6x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣1）＝40＞0，∴x＝＝3±，∴x1＝3+，x2＝3﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．18．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+3（m+1）＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一根小于0，求m的取值范围．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2，则Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）先利用求根公式解方程得到x1＝m+1，x2＝3，则根据题意得到m+1＜0，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×3（m+1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴该方程总有两个实数根；（2）解：x＝，解得x1＝m+1，x2＝3，∴m+1＜0，解得m＜﹣1，即m的取值范围为m＜﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．19．（5分）已知一次函数y1＝mx+n（m≠0）和二次函数，下表给出了y1，y2与自变量x的几组对应值：x…﹣2﹣101234…y1…543210﹣1…y2…﹣503430﹣5…（1）求y2的解析式；（2）直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集．【分析】（1）利用待定系数法即可求得y2的解析式；（2）根据表格数据即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数过（﹣1，0），（3，0），（0，3），∴y2＝a（x+1）（x﹣3），∴3＝﹣3a，解得a＝﹣1，∴y2的解析式为y2＝﹣（x+1）（x﹣3），即y2＝﹣x2+2x+3；（2）比较表格数据可知，关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集是0＜x＜3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式（组），熟练掌握待定系数法是解题的关键．20．（5分）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上任意一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，DE．（1）求∠ECD的度数；（2）若AB＝4，，求DE的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝45°，再根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝90°，推出判定△BAD≌△CAE的条件，最后根据全等三角形的对应角相等即可求出结果；（2）根据勾股定理和全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，由旋转可知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠ECD＝45°+45°＝90°；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝＝4，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝，∴CD＝BC﹣BD＝3，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，∴DE＝＝2．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．（5分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况．（1）列举出所有可能的情况；（2）求出至少有一辆车向左转的概率．【分析】（1）根据题意列表即可．（2）由表格可得出所有等可能的结果数以及至少有一辆车向左转的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）列表如下：直行左转右转直行（直行，直行）（直行，左转）（直行，右转）左转（左转，直行）（左转，左转）（左转，右转）右转（右转，直行）（右转，左转）（右转，右转）由表格可知，共有9种等可能的结果．（2）由表格可知，至少有一辆车向左转的结果有：（直行，左转），（左转，直行），（左转，左转），（左转，右转），（右转，左转），共5种，∴至少有一辆车向左转的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．22．（5分）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．已知：如图①，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°．求证：点A，B，C，D在同一个圆上．他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点A，B，C的⊙O，再证明第四个顶点D也在⊙O上．具体过程如下；步骤一、作出过A，B，C三点的⊙O．如图1，分别作出线段AB，BC的垂直平分线m，n，设它们的交点为O，以O为圆心，OA的长为半径作⊙O．连接OA，OB，OC，∴OA＝OB，OB＝OC（①）．（填推理依据）∴OA＝OB＝OC．∴点B，C在⊙O上．步骤二、用反证法证明点D也在⊙O上．假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或⊙O外．i、如图2，假设点D在⊙O内．延长CD交⊙O于点D1，连接AD1．∴∠B+∠D1＝180°（②）．（填推理依据）∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC＝∠DAD1+∠D1（③）．（填推理依据）∴∠ADC＞∠D1．∴∠B+∠ADC＞180°．这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O内．ii、如图3，假设点D在⊙O外．设CD与⊙O交于点D2，连接AD2．∴∠B+∠AD2C＝180°．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD2+∠ADC．∴∠ADC＜∠AD2C．∴∠B+∠ADC＜180°．这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O外．综上所述，点D在⊙O上．∴点A，B，C，D在同一个圆上．阅读上述材料，并解答问题：（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）填推理依据：①线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，②圆内接四边形的对角互补，③三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的基本作法作图；（2）根据反证法的步骤进行证明．【解答】解：（1）如图：⊙O即为所求；（2）步骤一、作出过A，B，C三点的⊙O．如图1，分别作出线段AB，BC的垂直平分线m，n，设它们的交点为O，以O为圆心，OA的长为半径作⊙O．连接OA，OB，OC，∴OA＝OB，OB＝OC（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）．∴OA＝OB＝OC．∴点B，C在⊙O上．步骤二、用反证法证明点D也在⊙O上．假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或⊙O外．i、如图2，假设点D在⊙O内．延长CD交⊙O于点D1，连接AD1．∴∠B+∠D1＝180°（圆内接四边形的对角互补）．∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC＝∠DAD1+∠D1（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）．∴∠ADC＞∠D1．∴∠B+∠ADC＞180°．这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O内．ii、如图3，假设点D在⊙O外．设CD与⊙O交于点D2，连接AD2．∴∠B+∠AD2C＝180°．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD2+∠ADC．∴∠ADC＜∠AD2C．∴∠B+∠ADC＜180°．这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O外．综上所述，点D在⊙O上．∴点A，B，C，D在同一个圆上．故答案为：①线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②圆内接四边形的对角互补；③三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．【点评】本题考查了反证法，掌握线段的垂直平分线的性质及有关圆的性质是解题的关键．23．（6分）某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分，本次比赛一共进行了210场，用时两天完成，下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表：队员号码比赛场次胜场负场积分11082182101002038711548621457077（1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？（2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负6场．【分析】（1）设在本次比赛共有x个队员参加比赛，由表格可得赢一场比赛得2分，输掉一场比赛得1分，根据本次比赛一共进行了210场，列方程求出共有多少个队员参加比赛，即可求解；（2）根据有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，列一元一次不等式即可求解．【解答】解：（1）设在本次比赛共有x个队员参加比赛，由表格得赢一场比赛得20÷10＝2（分），输掉一场比赛得7÷7＝1（分），由题意得x（x﹣1）＝210，解得x＝21（负值舍去），∴共有21个队员参加比赛，∴每个队员一共比赛20场，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是（20﹣1）×2+1＝39（分），答：该名队员的积分是39分；（2）设该名队员在本次比赛中最多负y场，由题意得（20﹣y）×2+y≥34，解得y≤6，∴该名队员在本次比赛中最多负6场，故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，列出一元二次方程和一元一次不等式是解题的关键．24．（6分）如图，AC，BD是圆内接四边形ABCD的对角线，AC⊥BD于点E，BD平分∠ADC．（1）求∠BAD的度数；（2）点P在DB的延长线上，PA是该圆的切线．①求证：PC是该圆的切线；②若，直接写出PD的长．【分析】（1）证出∠BAC+∠CAD＝90°，则可得出结论；。

2023-2024学年广东省深圳市南山区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用2B铅笔填涂在答题卡上）1．（3分）如图所示，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．2．（3分）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（）A．4B．﹣4C．3D．﹣33．（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（）A．（﹣3，）B．（﹣2，3）C．（﹣，3）D．（﹣3，2）5．（3分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（）A．8B．12C．0.4D．0.66．（3分）如图，嘉嘉在A时测得一棵4m高的树的影长DF为8m，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长DE为（）A．2m B．C．4m D．7．（3分）下面说法正确的是（）A．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例B．对于反比例函数，y随x的增大而减小C．关于x的方程ax2+b＝0是一元二次方程D．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形8．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（）A．16（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝16C．16（1+2x）2＝23D．23（1﹣2x）2＝169．（3分）如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画圆弧，交BC于点E，以E 为圆心AE长为半径画圆弧与BC的延长线交于点F，连接AF分别与DE、DC交于点M、N，连接DF，下列结论中错误的是（）A．四边形AEFD为菱形B．CN＝CEC．△CFN∽△DAN D．△ABE≌△DCF10．（3分）某学习小组用绘图软件绘制出了函数如图所示的图象，根据你学习函数的经验，下列对a，b大小的判断，正确的是（）A．a＞0，b＜0B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＞0D．a＜0，b＜0二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若，则＝．12．（3分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点P为AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果BP的长度为2cm，那么AP的长度为_____cm．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为．14．（3分）如图，在矩形OABC中，OA＝12，OC＝10，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC边交于点E，若S△AEF＝k 时，则k＝．15．（3分）如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，D是AB边上的中点，将△ACB绕着点A逆时针旋转，使点C落在线段CD上的点E处，点B的对应点为F，边EF与边AB交于点G，则DG的长是．三、解答题：（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第20题10分，共55分）16．（6分）解下列方程：（1）（x﹣3）2＝4x（x﹣3）；（2）x2+8x﹣9＝0．17．（6分）已知：▱ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+2m＝0的两个实数根．（1）当m为何值时，▱ABCD是菱形？（2）若AB的长为3，求▱ABCD的周长．18．（8分）某校在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：90≤x≤100为网络安全意识非常强，80≤x＜90为网络安全意识比较强，x＜80为网络安全意识一般）．收集整理的数据制成了如下统计图表：平均数中位数众数甲组a8080乙组83b c根据以上信息回答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）已知该校九年级有500人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？（3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．19．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，AF⊥BE，垂足为M．（1）求证：AE＝DF；（2）若正方形ABCD的边长是8，，点N是BF的中点，求MN的长．20．（8分）园林部门计划在公园建一个如图（甲）所示的长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图（甲）总面积不变的情况下，在花圃内部设计了一个如图（乙）所示的正方形网红打卡点和两条宽度相等的小路，其中，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．（1）求长方形ABCD花圃的长和宽；（2）求出网红打卡点的面积．21．（9分）【综合与实践】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考．＝1.5m2，AB＝【特例感知】：（1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，S△ABC1.5m，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形DEFG的边长是．【问题解决】：若木板是面积仍然为1.5m2的锐角三角形ABC，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形DEFG的面积为S，如何求S的最大值呢？某学习小组做了如下思考：＝ah，∴h＝，由△BDE∽△BAC 设DE＝x，AC＝a，AC边上的高BH＝h，则S△ABC得：，从而可以求得x＝，若要内接正方形面积S最大，即就是求x的最大值．因为S＝1.5为定值，因此只需要分母最小即可．（2）小组同学借鉴研究函数的经验，令y＝a+h＝a+（a＞0）．探索函数y＝a+的图象和性质：①下表列出了y与a的几组对应值，其中m＝；a…1234…y…129m43344…②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；③结合表格观察函数y＝a+图象，以下说法正确的是．A．当a＞1时，y随a的增大而增大．B．该函数的图象可能与坐标轴相交．C．该函数图象关于直线y＝a对称．D．当该函数取最小值时，所对应的自变量a的取值范围在1～2之间．22．（10分）某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形EFGH为矩形，请你帮助他们解决下列问题：（1）【初步尝试】：他们将矩形EFGH的顶点E、G分别在如图（1）所示的▱ABCD的边AD、BC上，顶点F、H恰好落在▱ABCD的对角线BD上，求证：BF＝DH；（2）【深入探究】：如图2，若▱ABCD为菱形，∠ABC＝60°，若AE＝ED，求的值；（3）【拓展延伸】：如图（3），若▱ABCD为矩形，AD＝m，AB＝n且AE＝ED，请直接写出此时的值是（用含有m，n的代数式表示）．2023-2024学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分。

2022-2023学年北京市丰台区九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷1. 下列图形是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2. 将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为( )A. B.C. D.3. 不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是( )A. B. C. D.4. 如图，点A，B，C，D在上，，则的度数为( )A. B.C. D.5. 下列事件：①篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；②在平面上任意画一个三角形，其内角和是；③明天太阳从东边升起，其中是随机事件的有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6. 图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则n的值至少是( )A. 144B. 120C. 72D. 607. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是( )A.， B. ，C. ，D. ，8. 下面的四个问题中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )A. 汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程y与行驶时间xB. 当电压一定时，通过某用电器的电流y与该用电器的电阻xC. 圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积y与底面圆的半径xD. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x9. 一元二次方程的实数根为__________.10. 如图，AB是的弦，于点C，若，，则半径的长为__________.11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为__________.12. 若一个扇形的半径是3cm，所对圆心角为，则这个扇形的面积是__________13. 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式__________.14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为__________.15. 十八世纪法国的博物学家布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表：试验次数15002000250030003500400045005000相交频数4956237999541123126914341590相交频率可以估计出针与直线相交的概率为__________精确到，由此估计的近似值为__________精确到16. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系小明进行了两次掷实心球训练．第一次训练时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离123456竖直高度根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是____ m ；第二次训练时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为，则____填“>”，“=”或“<”17. 解方程：18. 已知二次函数在平面直角坐标系xOy 中，画出该函数的图象；当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．19. 已知关于x的一元二次方程求证：方程总有两个实数根；如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．20. 下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，及外一点求作：过点P的的切线．作法：①连接OP，分别以点O、点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线MN交OP于点T；②以点T为圆心，TP的长为半径作圆，交于点A、点B；③作直线PA，所以直线PA，PB就是所求作的的切线．根据小东设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；完成下面的证明．证明：连接是的直径，________填推理的依据又为的半径，直线PA是的切线____填推理的依据同理可证，直线PB也是的切线．21. 某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地，其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构．2022年7月份该科技园的总收入为500亿元，到9月份达到720亿元，求该科技园总收入的月平均增长率．22. 在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：中，所对的圆周角为，圆心角为求证：证明：情况一如图：点O 在的一边上．，，即情况二如图：点O 在的内部．情况三如图：点O 在的外部．23. 在一次试验中，每个电子元件的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中A ，B 之间电流能够通过的概率．24. 如图，AB 是的直径，AC ，BC 是弦，过点O 作交AC 于点D ，过点A作的切线与OD 的延长线交于点P ，连接求证：PC 是的切线；如果，，求PC 的长．25. 数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省底面边长不超过3dm，且不考虑接缝某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：设长方体包装盒的底面边长为xdm，表面积为可以用含x的代数式表示长方体的高为根据长方体的表面积公式：长方体表面积底面积+侧面积．得到y与x的关系式：____；列出y与x的几组对应值：…………a说明：表格中相关数值精确到十分位则____；在图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为____ dm时，需要的材料最省．26. 在平面直角坐标系xOy中，点和点在抛物线上．当时，①求抛物线的对称轴；②若点，在抛物线上，且，直接写出t的取值范围；若，求b的取值范围．27. 已知等边，点D、点B位于直线AC异侧，如图1，当点D在BC的延长线上时，①根据题意补全图形；②下列用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系：；，其中正确的是____填“Ⅰ”或“Ⅱ”；如图2，当点D不在BC的延长线上时，连接BD，判断②中线段AD，BD，CD之间的正确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．28. 对于平面直角坐标系xOy内的点P 和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M 关于原点O的“伴随点”．已知点，，①在点，，中，点____是线段AB关于原点O的“伴随点”；②如果点是关于原点O的“伴随点”，求m的取值范围；的圆心坐标为，半径为1，如果直线上存在关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：2.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：将抛物线向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为，故选：3.【答案】A【解析】【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：从不透明的袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是，故选：4.【答案】C【解析】【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质求解即可．【解答】解：四边形ABCD是的内接四边形，，，，故选：5.【答案】B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：①篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件；②在平面上任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件；③明天太阳从东边升起，是必然事件；故其中是随机事件的有1个．故选：6.【答案】C【解析】【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合，旋转的度数至少为，故选：7.【答案】A【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，在求出抛物线与x轴的另一个交点，最后根据抛物线与一元二次方程的关系求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：，根据抛物线的对称性得：抛物线与x轴的另一个交点是，关于x的一元二次方程的两个实数根是：，，故选：8.【答案】D【解析】【分析】根据每个选项的意义，找出它们之间的函数关系，逐一判断．【解答】解：汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程y是行驶时间x的一次函数，图象应该是线段，故A不符合题意；当电压一定时，通过某用电器的电流y与该用电器的电阻x成反比例关系，图象应该是双曲线的一支，故B不符合题意；圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积y与底面圆的半径x成二次函数关系，开口向上，故C不符合题意；用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x成二次函数关系，开口向下，故D符合题意.故选：9.【答案】，【解析】【解答】解：，，解得，故答案为：，10.【答案】5【解析】【分析】根据垂径定理得出AC，根据勾股定理解答即可．【解答】解：连接OA，，为AB的中点，在中，，，的半径5，故答案为：11.【答案】【解析】【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式，解方程可求得k的值．【解答】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，，解得：故答案为：12.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得故答案为13.【答案】答案不唯一【解析】【分析】根据二次函数的性质得到，由于二次函数图象经过点，则当a取1，b取0时可得到满足条件的一个二次函数解析式．【解答】解：设二次函数解析式为，二次函数的图象开口向上，二次函数图象经过点，，当a取1，b取0时，二次函数解析式为故答案为：答案不唯一14.【答案】【解析】【分析】利用外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点的性质，找出点P的位置，利用网格图确定点P的坐标．【解答】解：分别作出边OA，OB的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，如图，则，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】根据频率和概率的关系判断即可．【解答】解：由题意可以估计出针与直线相交的概率为，由此估计的近似值为：故答案为：；16.【答案】解：：【解析】【分析】先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；设着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可．解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，实心球竖直高度的最大值是故答案为：把代入得：，解得，当时，负值舍去，在中，令得：，解得负值舍去，，，，故答案为：17.【答案】解：，或，所以，【解析】【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为或，然后解两个一次方程即可．18.【答案】解：，则抛物线的顶点坐标为，函数图象如图所示：观察图象得：当时，；当时，，当时，y的取值范围为【解析】【分析】先把解析式配成顶点式为，则抛物线的顶点坐标为，再求出抛物线与y轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；先计算，时，y的值，然后利用图象写出对应的y的范围．19.【答案】证明：，方程总有两个实数根．，解得，，方程只有一个根是正数，，【解析】【分析】先计算判别式的意义得到，然后根据判别式的意义得到结论；先利用求根公式解方程得，，再根据题意得到，从而得到m的范围．20.【答案】解：如图，PA、PB为所作；，直径所对的圆周角为直角；过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．【解析】【分析】根据几何语言画出对应的几何图形；连接OA，先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线PA为切线，同理可证，直线PB也是的切线．21.【答案】解：设该科技园总收入的月平均增长率为x，根据题意得：，解得：，不符合题意，舍去答：该科技园总收入的月平均增长率为【解析】【分析】设该科技园总收入的月平均增长率为x，利用2022年9月份该科技园的总收入年7月份该科技园的总收入该科技园总收入的月平均增长率，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．22.【答案】证明：情况二：当点O在的内部，如图2：连接AO并延长交于点D，，，同理可得：，，；情况三：当点O在的外部，如图3：连接AO并延长交于点，，，，同理可得：，，【解析】【分析】情况二：当点O在的内部，如图2：连接AO并延长交于点D，利用等腰三角形的性质可得，，从而利用三角形的外角性质可得，同理可得：，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；情况三：当点O在的外部，如图3：连接AO并延长交于点E，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，同理可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．23.【答案】解：画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，、B之间电流能够正常通过的概率为【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，再由概率公式求解即可．24.【答案】证明：如图1，连接OC，是的切线，，是的直径，，，，，，，，≌，，点C在上，是的切线，解：由得：≌，，，，，，，，，，，，，，，，，【解析】【分析】连接OC，可证明OD是AC的垂直平分线，从而得出，进而证明≌，进而得出，进一步得出结果；可证明，进而得出，在中求出AP，进而得出结果．25.【答案】解：函数图像如图所示：【解析】【分析】根据长方体的表面积公式求解即可；求出时，y的值即可；利用描点法画出函数图象即可；利用图象法判断即可．26.【答案】解：①，把代入，得，，抛物线的对称轴为直线：②在上，，，它的对称点为，，或把点和点代入，得，，当，有两种情况，①，得，解不等式①，得，解不等式②，得，此不等式组无解．②，则，解不等式①，得，解不等式②，得，此不等式组的解集为，综上所述，b的取值范围是：【解析】【分析】①把代入，得，求出解析式，进而求出顶点坐标；②把代入，求出，再求出它的对称点，根据，求出t的取值范围；当，有两种情况，①，得，②，则，求出不等式组的解．27.【答案】解：①图形如图所示．②是等边三角形，，，，，故Ⅰ错误．，，，，，故Ⅱ正确．故答案为：结论：理由：如图2中，以AD为边向下作等边，连接为等边三角形，，为等边三角形，，，，，≌，，，，为直角三角形，，【解析】【分析】①根据要求作出图形即可；②证明，，利用勾股定理，三角形的三边关系判断即可；结论：如图2中，以AD为边向下作等边，连接证明≌，推出，，推出，可得结论．28.【答案】解：①，②过点D作轴交于点P，过点作轴交于点Q，，，，，，≌，，，，，，在第一象限，，设直线AC的解析式为，，解得，，当在AC上时，，当在AB上时，，时，点是关于原点O的“伴随点”．在直线上，圆E的半径为1，将圆E绕点O逆时针旋转得到圆，圆E关于原点的“伴随点”在圆的内部及其边界上，，在直线上，直线上存在关于原点O的“伴随点”，当圆与直线有交点，过作垂直直线交于点G，与直线平行，，，，令，解得，，，解得，时，直线上存在关于原点O的“伴随点”．【解析】【分析】①，，轴，顺时针旋转后，得到点，不是线段AB关于原点O的“伴随点”．顺时针旋转后，得到点，是线段AB关于原点O的“伴随点”．顺时针旋转后，得到点，是线段AB关于原点O的“伴随点”，是线段AB关于原点O的“伴随点”；故答案为：，②由三角形全等可知，当在AC上时，，当在AB上时，，则时，点是关于原点O的“伴随点”；圆E上的点顺时针旋转后的对应点在以，半径为1的圆上，由直线上存在关于原点O的“伴随点”，可知当圆与直线有交点，过作垂直直线交于点G，由，可知，求出，则，解得。

人教版九年级上册数学期末考试试卷带答案

人教版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．在下列二次函数中，图象的开口向下，顶点坐标为（－2，－1）的是（） A ．22()1y x =-+ B ．2(2)1=---y x C ．2(2)1y x =++D ．2(2)1y x =-+-3．下列事件中，是必然事件的是（）A ．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B ．13个人中至少有两个人生肖相同C ．车辆经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D ．明天一定会下雨 4．反比例函数1y x=-的图象不经过（）A ．第一、二象限B ．第二、四象限C ．第一、四象限D ．第一、三象限 5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，36ACO ∠=︒，则B 的度数等于（）A ．36°B ．44°C ．54°D ．60°6．一元二次方程22560x x p -+-=的根的情况是（）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定 7．把函数()212y x =-+的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A ．()211y x =++B ．()231y x =-+C ．()213y x =++ D ．()233y x =-+8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，115BCD ∠=︒，则BOD ∠的度数是（）A ．130°B ．120°C ．1l5°D ．105°9．如图，P 是等边ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转60°到1BP ，已知1150APB ∠=︒，11:1:2P A PC =，则1:PB P A =（）A B ．2:1 C ．3:1 D10．如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是()1,n ，以下结论：⊙0abc >；⊙30a c +<；⊙520a b c -+>；⊙()24b a c n =-．正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．已知二次函数21y x =+，当0x <时，y 随x 的增大而________．（填“增大”或“减小”） 12．为了估计鱼塘中鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞200条鱼，在每条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，发现其中50条鱼有标记，则鱼塘中鱼的条数大约有________条．13．如图，以点O 为圆心的两个同心圆的半径分别等于3和6，大圆的弦AB 是小圆的切线，则AB =________．14．如果m 是方程210x x -+=的一个根，那么代数式()1m m -的值等于________． 15．点()1,2A a +和点()3,1B a -均在反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象上，则=a ________．16．已知一个圆锥的母线长为3cm ，它的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面圆的半径等于________cm ．17．如图，ABC 的内切圆⊙O 分别与AB ，AC ，BC 相切于点D ，E ，F ．若90C ∠=︒，6AC =，8BC =，则⊙O 的半径等于________．三、解答题18．解方程：(25)410x x x -=-19．一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为A ，B ，C ，D ．随机抽出一个小球然后放回，再随机抽出一个小球．（1）请用列表法或画树状图法列举出两次抽出的球的所有可能结果；（2）求两次抽出的小球的标号不相同的概率．20．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，通过尺规作图（作图痕迹如图所示）得到的射线与AC 相交于点P ．以点P 为圆心，AP 为半径的圆与尺规作图得到的射线的一个交点为F ，连接AF ．（1）求证：BC 是⊙P 的切线；（2）若56ABC ∠=︒，求AFP ∠的大小． 21．已知反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象经过点()2,6A ．（1）求这个函数的解析式；（2）判断点()3,4B -，142,425C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭是否在这个函数的图象上，并说明理由；（3）当42x -<<-时，求y 的取值范围． 22．已知抛物线22y x x c =++．（1）若抛物线与x 轴有两个公共点，求c 的取值范围；（2）当3c =-时，在平面直角坐标系中画出这条抛物线，并根据图象，直接写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．23．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，通过调查发现，这种水产品的销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．现商店把这种水产品的售价定为x （单位：元/千克）．（1）填空：每月的销售量是千克（用含x 的代数式表示）；（2）求月销售利润y （单位：元）与售价x （单位：元/千克）之间的函数解析式；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？24．如图，AB 是O 的直径，点C ，D ，E 分别是⊙O 上异于A ，B 的三点，弦CD 与直径AB 相交于点H ，E ADC ∠=∠，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点F ．（1）求证：AB CD ⊥；（2）若点B 是OF 的中点，求证：DAF △是等腰三角形．25．如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象相交于A ，B 两点，点A 的坐标为（﹣1，3），点B 的坐标为（3，n ）．（1）求这两个函数的表达式；（2）点P 在线段AB 上，且S⊙APO ：S⊙BOP ＝1：3，求点P 的坐标．26．如图，一次函数y=x+b 和反比例函数y=xk（k≠0）交于点A （4，1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求⊙AOB 的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．27．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当⊙PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使⊙MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．A2．D3．B4．D5．C 6．C 7．B 8．A 9．D 10．A 11．减小 12．80013．14．-1 15．5 16．1 17．2 18．152x =，22x =【详解】解：(25)2(25)0x x x ---=，(25)(2)0x x --=，250x -=或20x -=，152x =，22x =.19．（1）(A ，A)，(B ，A)，(C ，A)，(D ，A)，(A ，B)，(B ，B)，(C ，B)，(D ，B)，(A ，C)，(B ，C)，(C ，C)，(D ，C)，(A ，D)，(B ，D)，(C ，D)，(D ，D)，见解析；（2）34【分析】（1）根据题意利用列表法求出所有的结果即可得到答案；（2）根据（1）中的结果，求出标号不同的所有结果数，然后根据概率公式求解即可得到答案.【详解】解：（1）列表如下：（2）由（1）知，共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两次抽出的小球的标号不相同的结果有12种．⊙两次抽出的小球的标号不相同的概率为123164P ==. 20．（1）见解析；（2）31°【分析】（1）过点P 作PD⊙BC ，根据尺规作图可知，BP 是⊙ABC 的平分线，由⊙BAC=90°得，PA⊙AB ，再根据角平分线的性质和切线的判定可得；（2）由（1）可知，以及角平分线的性质得，⊙ ABP=12⊙ABC ，求出⊙APB 的度数，再根据等腰三角形以及三角形的外角的性质即可求出；【详解】（1）证明：过点P 作PD BC ⊥，垂足为D 由尺规作图知，BP 是ABC ∠的平分线；由90BAC ∠=︒得，PA AB ⊥ ⊙PD PA = ⊙BC 是P 的切线（2）解：由（1）得，11562822ABP ABC ∠=∠==︒⨯︒⊙9062APB ABP ∠=-∠=︒︒ ⊙1312AFP APB ∠=∠=︒21．（1）12y x =；（2）点()3,4B -不在函数12y x =的图象上，点142,425C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在函数12y x =的图象上，见解析；（3）63y -<<-【分析】（1）把点A 的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k 的值．（2）只要把点B 、C 的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于12时，即该点在函数图象上；（3）根据反比例函数图象的增减性解答问题．【详解】解：（1）⊙反比例函数ky x=的图象经过点()2,6A ． ⊙62k=解得12k =⊙反比例函数的解析式为12y x=（2）⊙()3412⨯-≠，14241225⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⊙点()3,4B -不在函数12y x =的图象上，点142,425C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在函数12y x =的图象上（3）当4x =-时，1234y ==--；当2x =-时，1262y ==-- ⊙函数12y x=的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小 ⊙当42x -<<-时，求y 的取值范围为63y -<<-． 22．（1）1c <；（2）见解析，3x <-，或1x >【分析】（1）根据抛物线与x 轴有两个公共点，得出方程220x x c ++=有两个不相等的实数根，再根据0∆>列出关于c 的不等式求解即可；（2）将3c =-代入二次函数，再列表、描点、连线即可得出图象，再根据图象即可得出范围．【详解】解：（1）⊙抛物线与x 轴有两个公共点 ⊙方程220x x c ++=有两个不相等的实数根 ⊙224240b ac c ∆=-=-> 解得1c <⊙c 的取值范围1c <（2）当3c =-时，223y x x =+-列表：描点，连线，得图象当y 为正数时，自变量x 的取值范围是3x <-，或1x >．23．（1）100010x -；（2）210140040000y x x =-+-（50100x ≤≤）；（3）在月销售成本不超过13000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元/千克【分析】（1）根据销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克劣势即可；（2）根据销售利润和售价的关系列式即可；（3）当月销售利润达到8000元，求出x 的值，判断即可；【详解】解：（1）()5005010100010x x --⨯=-；故答案是100010x -；（2）()()24010001010140040000y x x x x =--=-+-，其中50100x ≤≤；（3）当月销售利润达到8000元时，有2101400400008000x x -+-=，化简，得214048000x x -+=，解得60x =，或80x =，当60x =时，月销售成本为()40100010601600010000⨯-⨯=>，当80x =时，月销售成本为40(10001080)800010000⨯-⨯=<， ⊙月销售成本不超过10000元， ⊙80x =；答：在月销售成本不超过13000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元/千克．24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OC，OD，证明BOD BOC∠=∠，运用等腰三角形三线合一的性质即可证明出结论；（2）连接BD，由切线的性质可证明OB=BD=BF以及BOD是等边三角形，进一步可得出结论．【详解】解：（1）证明：连接OC，OD⊙E ADC∠=∠⊙AOD AOC∠=∠⊙AD AC=⊙AB是O的直径⊙ADB ACB=⊙ADB AD ACB AC-=-即DB CB=⊙BOD BOC∠=∠，⊙OC OD=⊙OH CD⊥即AB CD⊥（2）连接BD⊙DF是O的切线⊙OD DF⊥，即90ODF∠=︒⊙点B是OF的中点⊙12BD OF OB ==⊙OD OB =⊙OD OB BD ==⊙BOD 是等边三角形⊙60BOD ∠=︒⊙30BAD ∠=︒，30F ∠=︒⊙BAD F ∠=∠⊙DA DF =⊙DAF △是等腰三角形25．（1）反比例函数解析式为y ＝﹣3x；一次函数解析式为y ＝﹣x+2；（2）P 点坐标为（0，2）．【分析】（1））先把点A 点坐标代入y=2k x中求出k 2得到反比例函数解析式为y=-3x ；再把B （3，n ）代入y=-3x中求出n 得到得B （3，-1），然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）设P （x ，-x+2），利用三角形面积公式得到AP ：PB=1：3，即PB=3PA ，根据两点间的距离公式得到（x -3）2+（-x+2+1）2=9[（x+1）2+（-x+2-3）2]，然后解方程求出x 即可得到P 点坐标．【详解】（1）把点A （﹣1，3）代入y ＝2k x得k 2＝﹣1×3＝﹣3，则反比例函数解析式为y ＝﹣3x；把B （3，n ）代入y ＝﹣3x 得3n ＝﹣3，解得n ＝﹣1，则B （3，﹣1），把A （﹣1，3），B （3，﹣1）代入y ＝k 1x+b 得11331k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得1k 1b 2=-⎧⎨=⎩， ⊙一次函数解析式为y ＝﹣x+2；（2）设P （x ，﹣x+2），⊙S⊙APO ：S⊙BOP ＝1：3，⊙AP ：PB ＝1：3，即PB ＝3PA ，⊙（x ﹣3）2+（﹣x+2+1）2＝9[（x+1）2+（﹣x+2﹣3）2]，解得x 1＝0，x 2＝﹣3（舍去），⊙P 点坐标为（0，2）．26．（1）反比例函数的解析式为：y=4x；一次函数的解析式为：y=x﹣3；（2）S⊙AOB=152；（3）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞4．【分析】（1）把A的坐标代入y=kx，求出反比例函数的解析式，把A的坐标代入y=x+b求出一次函数的解析式；（2）求出D、B的坐标，利用S⊙AOB=S⊙AOD+S⊙BOD计算，即可求出答案；（3）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案．【详解】（1）⊙反比例函数y=kx的图象过点A（4，1），⊙1=k4，即k=4，⊙反比例函数的解析式为：y=4x．⊙一次函数y=x+b（k≠0）的图象过点A（4，1），⊙1=4+b，解得b=﹣3，⊙一次函数的解析式为：y=x﹣3；（2）⊙令x=0，则y=﹣3，⊙D（0，﹣3），即DO=3．解方程4x=x﹣3，得x=﹣1，⊙B（﹣1，﹣4），⊙S⊙AOB=S⊙AOD+S⊙BOD=12×3×4+12×3×1=152；（3）⊙A（4，1），B（﹣1，﹣4），⊙一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞4．27．（1）y＝-x2+2x+3．（2）P的坐标(1，2)．（3）存在．点M的坐标为(1)，(1，)，(1，1)，(1，0)．【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可．（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．（3）由于⊙MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：⊙MA＝AC、⊙MA＝MC、⊙AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示⊙MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解【详解】（1）⊙A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，⊙可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）．又⊙C(0，3) 经过抛物线，⊙代入，得3＝a （0＋1）（0－3），即a=-1．⊙抛物线的解析式为y ＝-（x+1）（x -3），即y ＝-x 2+2x+3．（2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ．则此时的点P ，使⊙PAC 的周长最小．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13kb =-⎧⎨=⎩．⊙直线BC 的函数关系式y ＝－x ＋3．当x －1时，y ＝2，即P 的坐标(1，2)．（3）存在．点M 的坐标为(1)，(1)，(1，1)，(1，0)．⊙抛物线的对称轴为： x=1，⊙设M(1，m)．⊙A(－1，0)、C(0，3)，⊙MA 2＝m 2＋4，MC 2＝m 2－6m ＋10，AC 2＝10．若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得：m 2＋4＝m 2－6m ＋10，得：m ＝1．⊙若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得：m 2＋4＝10，得：m ＝．⊙若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得：m 2－6m ＋10＝10，得：m ＝0，m ＝6，当m ＝6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1)，(1)，(1，1)，(1，0)．。

九年级(上)期末数学试卷(答案解析)

九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN 与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°2．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．3．（3分）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图改变，左视图不变4．（3分）在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，则（）A．k1+k2＜0 B．k1+k2＞0 C．k1k2＜0 D．k1k2＞05．（3分）函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A． B．C．D．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB=B．cosB=C．tanB=D．tanB=7．（3分）对于二次函数y=3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x=﹣2C．开口向下D．与x轴有两个交点8．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有个．10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF=．11．（3分）如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE=5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为m．12．（3分）点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，则y1y2（填“＞”“＜”或“=”）13．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于．14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三、简答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（6分）如图是一个密封纸盒的三视图，请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积（结果保留根号）16．（12分）用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣x﹣1=0；（2）x2﹣2x=2x+1；（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1；（4）（x+3）2=（1﹣2x）2．17．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．求证：DF=DC．18．（7分）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．19．（7分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=，求AB的长．20．（7分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E 点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．21．（7分）如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．22．（7分）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．23．（9分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第=．二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO（1）求这两个函数的表达式；（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，M N 与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB=BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=28°，∴∠BCA=∠DAC=28°，∴∠OBC=90°﹣28°=62°．故选：C．2．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选：B．3．（3分）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图改变，左视图不变【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．故选：D．4．（3分）在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，则（）A．k1+k2＜0 B．k1+k2＞0 C．k1k2＜0 D．k1k2＞0【解答】解：根据题意，方程k1x=没有实数解，而x2=，所以k1与k2异号，即k1k2＜0．故选：C．5．（3分）函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=﹣＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选：C．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB=B．cosB=C．tanB=D．tanB=【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，∴AB==，则sinB===，cosB===，tanB==，故选：C．7．（3分）对于二次函数y=3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x=﹣2C．开口向下D．与x轴有两个交点【解答】解：A、顶点坐标是（2，1），说法正确；B、对称轴是直线x=2，故原题说法错误；C、开口向上，故原题说法错误；D、与x轴没有交点，故原题说法错误；故选：A．8．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m，∵∠A OB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵∠DBO+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，∵∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO∽△OCA，∴==，∵OB=2OA，∴BD=2m，OD=2n，因为点A在反比例函数y=的图象上，则mn=1，∵点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），∴k=﹣2n•2m=﹣4mn=﹣4．故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有8个．【解答】解：设黑色的数目为x，则黑、白色小球一共有2x个，∵多次试验发现摸到红球的频率是20%，则得出摸到红球的概率为20%，∴=20%，解得：x=8，∴黑色小球的数目是8个．故答案为：8．10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF= 2.4．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE∽△FCB，∴=，∵AB=2，BC=3，E是AD的中点，∴BE=2.5，∴=，解得：FC=2.4．故答案为：2.4．11．（3分）如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE=5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为7.5m．【解答】解：当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB，∵最小值3m，∴AB=3m，∵影长最大时，木杆与光线垂直，即AC=5m，∴BC=4，又可得△CAB∽△CFE，∴=，∵AE=5m，∴=，解得：EF=7.5m．故答案为：7.5．12．（3分）点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，则y1＜y2（填“＞”“＜”或“=”）【解答】解：∵点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，∴﹣2×y1=3×y2=2，∴y1=﹣1，y2=，∴y1＜y2，故答案为：＜．13．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于．【解答】解：BD是边长为2的正方形的对角线，由勾股定理得，BD=BD′=2．∴tan∠BAD′===．故答案为：．14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是①④（填写序号）．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴2a+b=0，所以①正确；∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b=﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三、简答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（6分）如图是一个密封纸盒的三视图，请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积（结果保留根号）【解答】解：根据该密封纸盒的三视图知道它是一个六棱柱，∵其高为12cm，底面边长为5cm，∴其侧面积为6×5×12=360（cm2），密封纸盒的上、下底面的面积和为：12×5××5×=75（cm2），∴其表面积为（75+360）c m2．16．（12分）用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣x﹣1=0；（2）x2﹣2x=2x+1；（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1；（4）（x+3）2=（1﹣2x）2．【解答】解：（1）x2﹣x﹣1=0；这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5．x==，所以：x1=，x2=．（2）移项，得x2﹣4x=1，配方，得x2﹣4x+4=1+4，即（x﹣2）2=5．两边开平方，得x﹣2=±，即x=2±所以x1=2+，x2=2﹣．（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1整理，得2x2+2x﹣1=0，这里a=2，b=2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=22﹣4×2×（﹣1）=12．x===，即原方程的根为x1=，x2=．（4）移项，得（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，因式分解，得（x+3+1﹣2x）[x+3﹣（1﹣2x）]=0整理，得（3x+2）（﹣x+4）=0，解得x1=﹣，x2=4．17．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．求证：DF=DC．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB=CD，且∠B=90°，∴∠DAF=∠BEA，∵DF⊥AE，∴∠DFA=∠B，在△ADF和△EBA中∴△ADF≌△EBA（AAS），∴AB=DF，∴DF=DC．18．（7分）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．【解答】解：根据题意画图如下：（1）共有12种情况，积为奇数的情况有6种，所以欢欢胜的概率是=；（2）由（1）得乐乐胜的概率为1﹣=，两人获胜的概率相同，所以游戏公平．19．（7分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=，求AB的长．【解答】解；过点C作CD⊥AB，交AB于D．∵∠B=45°，∴CD=BD，∵BC=，∴BD=，∵∠A=30°，∴tan30°=，∴AD===3，∴AB=AD+BD=3+．20．（7分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E 点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF∽△CDF；（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．∴=，即=，解得：CF=169．即：CF的长度是169cm．21．（7分）如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．【解答】解：（1）把A（﹣2，b）代入y=﹣得b=﹣=4，所以A点坐标为（﹣2，4），把A（﹣2，4）代入y=kx+5得﹣2k+5=4，解得k=，所以一次函数解析式为y=x+5；（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=x+5﹣m，根据题意方程组只有一组解，消去y得﹣=x+5﹣m，整理得x2﹣（m﹣5）x+8=0，△=（m﹣5）2﹣4××8=0，解得m=9或m=1，即m的值为1或9．22．（7分）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣1），B（3，﹣9）代入，得，∴a=1，c=﹣6，∴y=x2﹣4x﹣6；（2）对称轴：直线x=2，顶点坐标：（2，﹣10）；（3）∵点P（m，m）在函数图象上，∴m2﹣4m﹣6=m，∴m=6或﹣1．23．（9分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第=．二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO（1）求这两个函数的表达式；（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．==，【解答】解：（1）由题意S△ABO∵k＜0，∴k=﹣3，∴y=﹣y=﹣x+2（2）由，解得或，∴A（﹣1，3）C（3，﹣1），∵直线y=﹣x+2交y轴与D（0，2），S△AOC=S△AOD+S△OCD=×2×1+×2×3=4．24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．【解答】解：（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴B（﹣3，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得：，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2∴M（﹣1，2）．即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）．。

2022-2023学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为( )A. B.C. D.2. 点关于原点对称的点的坐标为( )A. B. C. D.3. 二次函数的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为( )A. B.C. D.4. 如图，已知正方形ABCD，以点A为圆心，AB长为半径作，点C与的位置关系为( )A. 点C在外B. 点C在内C. 点C在上D. 无法确定5. 若点，在抛物线上，则m的值为( )A. 2B. 1C. 0D.6. 勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心O旋转一定角度a后能与自身重合，则该角度a可以为( )A. B.C. D.7. 如图，过点A作的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接过上一点D作的切线，交AB，AC于点E，若，的周长为4，则BC的长为( )A. 2B.C. 4D.8. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从F口驶出的概率是( )A. B. C. D.9. 二次函数的图象与y轴的交点坐标为_____________.10. 半径为3，圆心角120度的扇形面积为__________.11. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．投篮次数n50100150200300400500投中次数m284978102153208255投中频率根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为__________.12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为__________.13. 二次函数的图象如图所示，则ab__________填“>”“<”或“=”14. 如图，是的内接三角形，于点E，若的半径为，，则__________.15. 对于二次函数，y与x的部分对应值如表所示．x在某一范围内，y 随x的增大而减小，写出一个符合条件的x的取值范围__________.X…0123…y…1331…16. 如图，AB，AC，AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中，①该圆的半径为2；②的长为；③AC 平分；④连接BC，CD，则与的面积比为1：，所有正确结论的序号是__________.17. 解方程：18. 已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．19. 已知a为方程的一个根，求代数式的值．20. 如图，四边形ABCD内接于，AB为直径，若，求的度数．21. 为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．小明抽到甲训练场的概率为____；用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．22. 已知：如图，AP是的切线，A为切点．求作：的另一条切线PB，B为切点．作法：以P为圆心，PA长为半径画弧，交于点B；作直线直线PB即为所求．根据上面的作法，补全图形保留作图痕迹；完成下面证明过程．证明：连接OA，OB，是的切线，A为切点，在与中，( )≌于点是的半径，是的切线____填推理的依据23. 紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及，使用方法如图当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B 两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点若，，求这个紫砂壶的壶口半径r的长．24. 如图，AB是的直径，点C在上．过点C作的切线l，过点B作于点求证：BC 平分；连接OD，若，，求OD的长．25. 学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场入口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字如图，其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面米．请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；“技”与“之”的水平距离为2a米．小明想同时达到如下两个设计效果：①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；②“技”与“科”距地面的高度差为米．小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现，请说明理由．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点求用含a的式子表示；抛物线过点，，，①判断：____填“>”“<”或“=”；②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．27. 如图，在中，，是AB边上一点，交CA的延长线于点用等式表示AD与AE的数量关系，并证明；连接BE，延长BE至F，使连接DC，CF，①依题意补全图形；②判断的形状，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．已知，，①在点，，中，线段AB的融合点是____；②若直线上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；对称线段为若对于实数a，存在直线l，使得上有的融合点，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：2.【答案】A【解析】【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标特征判断即可．【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是故选：3.【答案】D【解析】【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：，将二次函数的图象在平面直角坐标系中向左平移1个单位长度所得函数解析式为：，故选：4.【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论．【解答】解：正方形ABCD的对角线，点C在外，故选：5.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的对称性即可求解．【解答】解：因为点，的纵坐标相同，都是5，所以对称轴为直线，故m的值为故选：6.【答案】C【解析】【分析】由于是等边三角形，那么，所以要使等边三角形旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为，由此即可求出绕中心旋转的角度．【解答】解：如图，连接OA、OB、是等边三角形，，它们都是旋转角，而它们的和为，将该勒洛三角形绕其中心O旋转后能与自身重合．故选：7.【答案】B【解析】【分析】根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：、AC为的切线，，、FC为的切线，，同理，，的周长，，故选：8.【答案】B【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，该赛车从F口驶出的概率为，故选：9.【答案】【解析】【分析】将代入解析式求解．【解答】解：将代入得，抛物线与y轴交点坐标为，故答案为：10.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：，故答案为：11.【答案】【解析】【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为，故答案为：12.【答案】【解析】【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于m 的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：方程有两个不相等的实数根，，，，解得，故答案为：13.【答案】<【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由图象可知：，，，故答案为：14.【答案】1【解析】【分析】连接AO，BO，根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接AO，BO，，，，，，，，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】根据表格确定二次函数的对称轴，然后结合x、y的值确定答案即可．【解答】解：观察表格知：二次函数的图象经过点和，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，故答案为：16.【答案】①③④【解析】【分析】设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作交AB延长线于M，于N，应用圆内接正多边形的性质，圆周角定理，弧长计算公式，三角形面积的计算公式，可以解决问题．【解答】解：设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作交AB延长线于M，于N，是圆内接正六边形的一边，的度数，是等边三角形，，该圆的半径为是圆内接正方形的一边，的度数，的度数，是圆内接正三边形的一边，的度数，的度数，，，平分的长，，，中，，，平分，，，，：：正确的有①③④．故答案为：①③④．17.【答案】解：，，即，，，【解析】利用配方法求解即可．18.【答案】解：抛物线过点和，，解得，所以，该二次函数的解析式为【解析】将，代入求得b，c的值，得到此函数的解析式．19.【答案】解：原式为方程的一个根，，原式【解析】直接利用平方差公式以及单项式乘多项式计算，进而合并同类项，把已知数据整体代入得出答案．20.【答案】解：如图，连接，，，为直径，，【解析】【分析】连接AC，根据圆周角定理得到，再利用AB为直径得到，然后利用直角三角形两锐角互余计算的度数．21.【答案】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率为【解析】【分析】直接由概率公式求解即可；画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，再由概率公式求解即可.22.【答案】解：如图，PB为所作；；经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线【解析】【分析】根据几何语言画出对应的几何图形即可；先根据切线的性质得再证明≌得到，然后根据切线的判定定理得到PB是的切线．23.【答案】解：连接OB，若，在中，，，，，解得答：这个紫砂壶的壶口半径r的长为【解析】【分析】连接OB，根据垂径定理求出BD，在中，根据勾股定理即可求出24.【答案】证明：连接，是的切线，OC是的半径，，，，，平分解：连接OD，过点O作于点G，得矩形OCDG，在中，，设，，则，，在中，根据勾股定理得：【解析】【分析】连接OC，由题意可证，进而证明BC平分；连接OD，过点O作于点G，得矩形OCDG，可得，由勾股定理求出OB的长，再由勾股定理可得出答案．25.【答案】解：以过拱顶为原点，以过拱顶平行于地面的直线为x轴建立如图所示坐标系.设抛物线解析式为，抛物线过点，，解得，抛物线解析式为能实现，由知抛物线解析式为，设“之”的坐标为，则“星”的坐标为，，，，解得，，，能实现，【解析】【分析】建立如图所示坐标系，由待定系数法求函数解析式即可；根据题意求出“之”和“星”的坐标，然后求出a 的值即可．26.【答案】解：将代入抛物线表达式得：，解得：由得，抛物线的表达式为：，则抛物线的对称轴为直线，将点M 、N 、P 的坐标代入抛物线表达式得：，，，①，故答案为：②当时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，即且，解得：当时，同理可得：点N、P在x轴上方，即且，解得：；综上所述，a的取值范围的为：或【解析】【分析】将代入抛物线表达式得：，即可求解；①，即可求解；②当时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，进而求解；当时，同理可解．27.【答案】解：结论：理由：，，，，，①图形如图所示：②结论：是等边三角形．证明：延长BA至点H使，连接CH，FH，如图.，，是等边三角形.，，，，，，，≌，是等边三角形.【解析】【分析】结论：利用直角三角形30度角的性质证明即可；①根据要求作出图形即可；②结论：是等边三角形．延长BA至点H使，连接CH，FH，.证明≌，推出，，可得结论．28.【答案】解：①，②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，，，，当与圆相切时，或，当时，直线上存在线段AB 的融合点．由可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部，，，上有的融合点，圆O 与圆、有交点，圆O 与圆、圆的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当时，a 的最大值为，最小值为，；当时，a 的最大值为，最小值为，综上所述：a 的取值范围为或【解析】【分析】①，，的线段垂直平分线与x 轴的交点为，是线段AB的融合点．，，设直线的垂直平分线与x轴的交点为，，解得，直线的垂直平分线与x轴的交点为，不是线段AB的融合点．，，设直线的垂直平分线与x轴的交点为，，解得，直线的垂直平分线与x轴的交点为，是线段AB的融合点．故答案为：，②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，当与圆有交点时，直线上存在线段AB的融合点；由可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部，圆O与圆、圆的公共区域为以O为圆心2为半径，以O为圆心6为半径的圆环及内部区域满足题意，当时，a的最大值为，最小值为，当时，a的最大值为，最小值为，由此可求a的取值范围为或。

2023-2024学年广东省中山市九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年广东省中山市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.“明天连云港会下雨”，这个事件是( )A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 确定事件3.抛物线y=2(x−2)2+5的顶点坐标是( )A. (2,5)B. (−2,5)C. (−2,−5)D. (2,−5)4.平面内，已知⊙O的半径是8cm，线段OP=7cm，则点P( )A. 在⊙O外B. 在⊙O上C. 在⊙O内D. 不能确定5.在一个不透明的布袋中装有10个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球可能有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 7个6.据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人.设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为( )A. 12.1(1+2x)=14.4B. 12.1(1+x)2=14.4C. 14.4(1−x)2=12.1D. 12.1+12.1x+12.1(1+x)2=14.47.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是( )A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°8.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠ACD=51°，则∠BAC的度数为( )A. 39°B. 49°C. 51°D. 29°9.对于实数a，b，定义运算“※”：a※b=a2−2b，例如：5※1=52−2×1=23.若x※x=−1，则x的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 1或−110.如表是一组二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值：x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6y−0.36−0.010.360.75 1.16那么下列选项中可能是方程ax2+bx+c=0的近似根的是( )A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.5二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

九年级(上)期末数学试卷(含答案)

九年级（上）期末数学试卷一、选一选，本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．2．（3分）将6.18×10﹣3化为小数是（）A．0.000618 B．0.00618 C．0.0618 D．0.6183．（3分）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b|D．b+c＞04．（3分）下列运算正确的是（）A．a0=0 B．a3+a2=a5 C．a2•a﹣1=a D． +=5．（3分）若多边形的边数由3增加到n（n为大于3的整数）则其外角和的度数（）A．增加B．减少C．不变D．不能确定6．（3分）已知k1＞0＞k2，则函数y=k1x和y=的图象在同一平面直角坐标系中大致是（）A．B．C．D．7．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣5 B．x≤﹣5 C．x≥5 D．x≤58．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=5709．（3分）已知圆锥的底面面积为9πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（）A．18πcm2B．27πcm2C．18cm2D．27cm210．（3分）如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x （m）时，相应影子的长度为y （m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（）A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C二、认真填一填，本大题共8小题，每小题4分，共32分．11．（4分）因式分解：x2y﹣4y=．12．（4分）购买单价为a元的笔记本3本和单价为b元的铅笔5支应付款元．13．（4分）一台空调标价2000元，若按6折销售仍可获利20%，则这台空调的进价是元．14．（4分）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，可列方程．15．（4分）一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是．16．（4分）如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，若△ABC的周长为8cm，则△ADE的周长为．17．（4分）如图，是一个圆心人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB=30°，则这个人工湖的直径为m．18．（4分）按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（7分）计算：﹣（）﹣1+（﹣1）﹣20080﹣|﹣2|．20．（7分）化简分式：（﹣）÷，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．21．（8分）（1）作Rt△ABC的外接圆⊙P（不写作法，保留作图痕迹）（2）Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=8，AC=6．求：⊙P的面积．22．（8分）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，求建筑物AB的高度．（注：结果保留到0.1，≈1.414，≈1.732）23．（8分）甘肃省省府兰州，又名金城，在金城，黄河母亲河通过自身文化的演绎，衍生和流传了独特的“金城八宝”美食，“金城八宝”美食中甜品类有：味甜汤糊“灰豆子”、醇香软糯“甜胚子”、生津润肺“热冬果”、香甜什锦“八宝百合”；其他类有：青白红绿“牛肉面”、酸辣清凉“酿皮子”、清爽溜滑“浆水面”、香醇肥美“手抓羊肉”，李华和王涛同时去品尝美食，李华准备在“甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉”这四种美食中选择一种，王涛准备在“八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面”这四种美食中选择一种．（甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉分别记为A，B，C，D，八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面分别记为E，F，G，H）（1）用树状图或表格的方法表示李华和王涛同学选择美食的所有可能结果；（2）求李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的概率．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤24．（8分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．请结合以上信息解答下列问题：（1）m=；（2）请补全上面的条形统计图；（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为；（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有名学生最喜爱足球活动．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+4（k≠0）与y轴交于点A．直线y=﹣2x+1与直线y=kx+4（k≠0）交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为﹣1．（1）求点B的坐标及k的值；（2）求直线y=﹣2x+1、直线y=kx+4与y轴所围成的△ABC的面积．26．（10分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．27．（10分）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．28．（12分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．参考答案与试题解析一、选一选，本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．【解答】解：|﹣2|=2．故选：B．2．（3分）将6.18×10﹣3化为小数是（）A．0.000618 B．0.00618 C．0.0618 D．0.618【解答】解：∵0.00618=6.18×10﹣3，∴6.18×10﹣3=0.00618，故选：B．3．（3分）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b|D．b+c＞0【解答】解：由数轴上点的位置，得a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．A、a＜﹣4，故A不符合题意；B、bd＜0，故B不符合题意；C、∵|a|＞4，|b|＜2，∴|a|＞|b|，故C符合题意；D、b+c＜0，故D不符合题意；故选：C．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a0=0 B．a3+a2=a5 C．a2•a﹣1=a D． +=【解答】解：（A）a0=1（a≠0），故A错误；（B）a2与a3不是同类项，故B错误；（D）原式=，故D错误；故选：C．5．（3分）若多边形的边数由3增加到n（n为大于3的整数）则其外角和的度数（）A．增加B．减少C．不变D．不能确定【解答】解：因为多边形外角和固定为360°，所以外角和的读数是不变的．故选：C．6．（3分）已知k1＞0＞k2，则函数y=k1x和y=的图象在同一平面直角坐标系中大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵k1＞0＞k2，∴函数y=k1x的结果第一、三象限，反比例y=的图象分布在第二、四象限．故选：C．7．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣5 B．x≤﹣5 C．x≥5 D．x≤5【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，解得x≥5．故选：C．8．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）=570，故选：A．9．（3分）已知圆锥的底面面积为9πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（）A．18πcm2B．27πcm2C．18cm2D．27cm2【解答】解：∵圆锥的底面积为9πcm2，∴圆锥的底面半径为3，∵母线长为6cm，∴侧面积为3×6π=18πcm2，故选：A．10．（3分）如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x （m）时，相应影子的长度为y （m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（）A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C【解答】解：根据图3可得，函数图象的中间一部分为水平方向的线段，故影子的长度不变，即沿着弧形道路步行，因为函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对应的x的范围，故中间一段图象对应的路径为，又因为第一段和第三段图象都从左往右上升，所以第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD，第三段函数图象对应的路径为BC或DC，故行走的路线是A→B→D→C（或A→D→B→C），故选：D．二、认真填一填，本大题共8小题，每小题4分，共32分．11．（4分）因式分解：x2y﹣4y=y（x﹣2）（x+2）．【解答】解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x﹣2）（x+2）．故答案为：y（x﹣2）（x+2）．12．（4分）购买单价为a元的笔记本3本和单价为b元的铅笔5支应付款3a+5b 元．【解答】解：应付款3a+5b元．故答案为：3a+5b．13．（4分）一台空调标价2000元，若按6折销售仍可获利20%，则这台空调的进价是1000元．【解答】解：设这台空调的进价为x元，根据题意得：2000×0.6﹣x=x×20%，解得：x=1000．故这台空调的进价是1000元．故答案为：1000．14．（4分）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，可列方程=．【解答】解：由题意可得，=，故答案为：=．15．（4分）一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是13或．【解答】解：设第三边为x，（1）若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：52+122=x2，∴x=13；（2）若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：52+x2=122，∴x=；∴第三边的长为13或．故答案为：13或．16．（4分）如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，若△ABC的周长为8cm，则△ADE的周长为4cm．【解答】解：∵在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ABC的周长：△ADE的周长=，∵△ABC的周长为8cm，∴△ADE的周长为4cm，故答案为：4cm．17．（4分）如图，是一个圆心人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB=30°，则这个人工湖的直径为200m．【解答】解：连结OA、OB，如图，∵∠AOB=2∠ACB=2×30°=60°，而OA=OB，∴△OAB为等边三角形，∴OA=AB=100m，∴个人工湖的直径为200m．故答案为200m．18．（4分）按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是．【解答】解：按一定规律排列的一列数依次为：，，，，，，…，按此规律，第n个数为，∴当n=100时，=，即这列数中的第100个数是，故答案为：．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（7分）计算：﹣（）﹣1+（﹣1）﹣20080﹣|﹣2|．【解答】解：原式=2﹣+3﹣﹣1﹣（2﹣）=2﹣2+=．20．（7分）化简分式：（﹣）÷，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．【解答】解：（﹣）÷=[﹣）÷=（﹣）÷=×=x+2，∵x2﹣4≠0，x﹣3≠0，∴x≠2且x≠﹣2且x≠3，∴可取x=1代入，原式=3．21．（8分）（1）作Rt△ABC的外接圆⊙P（不写作法，保留作图痕迹）（2）Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=8，AC=6．求：⊙P的面积．【解答】解：（1）Rt△ABC的外接圆⊙P如图所示：（2）在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∴⊙P的面积=25π．22．（8分）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，求建筑物AB的高度．（注：结果保留到0.1，≈1.414，≈1.732）【解答】解：设AB=x米，在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，∴BC=AB=x米，则BD=BC+C D=x+100（米），在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°，∴tan∠ADB==，即=，解得：x=50+50≈136.6，即建筑物AB的高度约为136.6米．23．（8分）甘肃省省府兰州，又名金城，在金城，黄河母亲河通过自身文化的演绎，衍生和流传了独特的“金城八宝”美食，“金城八宝”美食中甜品类有：味甜汤糊“灰豆子”、醇香软糯“甜胚子”、生津润肺“热冬果”、香甜什锦“八宝百合”；其他类有：青白红绿“牛肉面”、酸辣清凉“酿皮子”、清爽溜滑“浆水面”、香醇肥美“手抓羊肉”，李华和王涛同时去品尝美食，李华准备在“甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉”这四种美食中选择一种，王涛准备在“八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面”这四种美食中选择一种．（甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉分别记为A，B，C，D，八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面分别记为E，F，G，H）（1）用树状图或表格的方法表示李华和王涛同学选择美食的所有可能结果；（2）求李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的概率．【解答】解：（1）列表得：E F G H李华王涛A AE AF AG AHB BE BF BG BHC CE CF CG CHD DE DF DG DH由列表可知共有16种情况；（2）由（1）可知有16种情况，其中李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的情况有AE，AF，AG三种情况，所以李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的概率=．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤24．（8分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．请结合以上信息解答下列问题：（1）m=150；（2）请补全上面的条形统计图；（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为36°；（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有240名学生最喜爱足球活动．【解答】解：（1）m=21÷14%=150，（2）“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图如图所示；（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×=36°；（4）1200×20%=240人，答：估计该校约有240名学生最喜爱足球活动．故答案为：150，36°，240．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+4（k≠0）与y轴交于点A．直线y=﹣2x+1与直线y=kx+4（k≠0）交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为﹣1．（1）求点B的坐标及k的值；（2）求直线y=﹣2x+1、直线y=kx+4与y轴所围成的△ABC的面积．【解答】解：（1）∵直线y=﹣2x+1过点B，点B的横坐标为﹣1，∴y=2+1=3，∴B（﹣1，3），∵直线y=kx+4过B点，∴3=﹣k+4，解得：k=1；（2）∵k=1，∴一次函数解析式为：y=x+4，∴A（0，4），∵y=﹣2x+1，∴C（0，1），∴AC=4﹣1=3，∴△ABC的面积为：×1×3=．26．（10分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE=x，则DE=x，AE=6﹣x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6﹣x）2，解得：x=，∵BD==2，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO==，∴EF=2EO=．27．（10分）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）如图所示，连接BO，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE⊥AC，CB=BD，∴Rt△DCE中，BE=CD=BC，∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，∴BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，BC=3，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，又∵∠ACB=30°，∴AB=tan30°×BC=，∴AC=2AB=2，AO=，∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt△ABC的面积=π×AO2﹣AB×BC=π×3﹣××3=﹣．28．（12分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵对称轴为直线x=2，∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+k．将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．设P（x，﹣x2+4x+5），如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x2+4x+5，∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME=（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE=（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x•（﹣x2+4x+4）﹣×1×1=﹣x2+x+=﹣（x﹣）2+∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为，把x=时，y=﹣（﹣2）2+9=．此时点P坐标为（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3．令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2±．∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF 的周长将取得最小值．如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：，解得：m=，n=﹣，∴y=x﹣．当y=0时，解得x=．∴F（，0）．∵a+1=，∴a=．∴a=时，四边形PMEF周长最小．方法二：（1）略．（2）连接MF，过点P作x轴垂线，交MF于点H，有最大值时，四边形MEFP面积最大．显然当S△PMF当a=1时，E（1，0），F（2，0），∵M（0，1），∴l MF：y=﹣x+1，设P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣t+1），=（P Y﹣H Y）（F X﹣M X），∴S△PMF=（﹣t2+4t+5+t﹣1）（2﹣0）=﹣t2+t+4，∴S△PMF最大值为，∴当t=时，S△PMF=EF×MY=×1×1=，∵S△MEF的最大值为+=．∴S四边形MEFP（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+4x+5=0，解得：x=2±，∵点P在第一象限，∴P（2+，3），PM、EF长度固定，当ME+PF最小时，PMEF的周长取得最小值，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1），∵四边形MEFM1为平行四边形，∴ME=M1F，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1），∴M2F=M1F=ME，当且仅当P，F，M2三点共线时，此时ME+PF=PM2最小，∵P（2+，3），M2（1，﹣1），F（a+1，0），∴K PF=K M1F，∴，∴a=．。

四川省成都市双流区2021-2022学年九上期末数学试题(解析版)

（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积．
【小问1详解】
如图所示，即为所求．
【小问2详解】
△A1B1C1的面积为4×4- ×4×2- ×2×2- ×2×4=6．
【点睛】本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质．
17.如图，一教学楼AB的高为20m，教学楼后面水塔CD的高为30m，已知BC＝30m，小张的身高EF为1.6m．当小张站在教学楼前E处时，刚好看到教学楼顶端A与水塔顶端D在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE．
∴DN=CD-CN=30-1.6=28.4m，AM=AB-BM=20-1.6=18.4m．
∴ ．
解得BE=55.2m．
故此时他与教学楼的距离BE为55.2m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知得出△AMF∽△DNF是解题关键．
18.小明设计了一个摸球实验：在一个不透明的箱子里放入4个相同的小球，球上分别标有数字0，10，20和30，然后从箱子里先后摸出两个小球（第一次摸出后不放回）．
【详解】解：（1）根据题意最少可判断为0+10=10，最多为20+30=50，
故答案为：10，50；
（2）根据题意，列表如下：
第一次
第二次
0
10
20
30
0
10
20
30
10
10
30
40
20
20
30
50
30
30
40
50
从上表可以看出，共有12种等可能结果，其中大于或等于30的共有8种可能结果，因此P（不低于30）＝＝．
9.已知 ABC∽ A1B1C1，且＝．若 ABC的面积为4，则 A1B1C1的面积是（）

九年级(上)期末数学试卷(附答案解析)

九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列事件中是必然事件的是（）A．平安夜下雪B．地球在自转的同时还不停的公转C．所有人15岁时身高必达到1.70米D．下雨时一定打雷2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．3．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=54．下列关系式中：①y=2x；；③y=﹣；④y=5x+1；⑤y=x2﹣1；⑥y=；⑦x y=11，y是x的反比例函数的共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．56．对于函数y=，下列说法错误的是（）A．这个函数的图象位于第一、第三象限B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小7．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣18．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣29．已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A．（2，3）B．（3，1）C．（2，1）D．（3，3）10．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则的值为（）A．B．C．D．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2）12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．在比例尺为1：1000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15cm，则两地的实际距离km．14．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．15．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有个．16．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM为．17．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．18．在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α=60°，且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，此时∠CDB 的度数为（2）在图2中，点P不与点B、M重合，线段CQ的延长线交射线BM于点D，则∠CDB的度数为（用含α的代数式表示）．（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B、M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=DQ，则α的取值范围是．三、解答题（共7小题，满分66分）19．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象的对称轴和顶点坐标．20．在x2□2x□1的空格中，任意填上“+”“﹣”，求其中能构成完全平方的概率（列出表格或画出树形图）21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（﹣6，﹣1），DE=3．（1）求反比例函数与一次函数的解析式．（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．22．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B的大小；（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长．23．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤1）．（1）用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为元．（2）求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．24．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=5，AD=时，求线段BG的长．25．已知二次函数的图象如图．（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C 三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列事件中是必然事件的是（）A．平安夜下雪B．地球在自转的同时还不停的公转C．所有人15岁时身高必达到1.70米D．下雨时一定打雷【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【解答】解：A、平安夜下雪是随机事件，故A错误；B、地球在自转的同时还不停的公转，是必然事件，故B正确；C、所有人15岁时身高必达到1.70米是随机事件，故C错误；D、下雪时一定打雷是不可能事件，故D错误；故选：B．2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可作出判断．【解答】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．3．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形后，即可得到结果．【解答】解：方程移项得：x2+4x=﹣1，配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3．故选A．4．下列关系式中：①y=2x；；③y=﹣；④y=5x+1；⑤y=x2﹣1；⑥y=；⑦xy=11，y是x的反比例函数的共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】分别根据反比例函数、二次函数及一次函数的定义对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：①y=2x是正比例函数；可化为y=5x，是正比例函数；③y=﹣符合反比例函数的定义，是反比例函数；④y=5x+1是一次函数；⑤y=x2﹣1是二次函数；⑥y=不是函数；⑦xy=11可化为y=，符合反比例函数的定义，是反比例函数．故选C．5．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．【解答】解：连接OD．由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，则R2=（）2+（R﹣1）2，由此得2R=3，或由相交弦定理得（）2=1×（2R﹣1），由此得2R=3，所以AB=3故选B．6．对于函数y=，下列说法错误的是（）A．这个函数的图象位于第一、第三象限B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大解答即可．【解答】解：函数y=的图象位于第一、第三象限，A正确；图象既是轴对称图形又是中心对称图形，B正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，C错误；当x＜0时，y随x的增大而减小，D正确，由于该题选择错误的，故选：C．7．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x＜1时，y随x的增大而增大．【解答】解：∵a=﹣1＜0，∴二次函数图象开口向下，又∵对称轴是直线x=﹣=1，∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大而增大．故选B．8．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣2【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．【解答】解：在Rt△ACB中，AB==2，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，∴D为半圆的中点，S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．故选A．9．已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A．（2，3）B．（3，1）C．（2，1）D．（3，3）【分析】先根据点平移的规律得到A点平移后的对应点的坐标为（4，6），然后根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k求解．【解答】解：∵线段AB向左平移一个单位，∴A点平移后的对应点的坐标为（4，6），∴点C的坐标为（4×，6×），即（2，3）．故选A．10．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由S△BDE：S△CDE=1：3，得到=，于是得到=，根据DE∥AC，推出△BDE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴=，∴=，∵DE∥AC，∴△BDE∽△ABC，∴==，故选D．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2）【分析】作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，2），再利用旋转的性质得BC=BA=2，∠ABC=60°，则∠CBH=30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=BC=，BH=CH=3，所以OH=BH﹣OB=3﹣2=1，于是可写出C点坐标．【解答】解：作CH⊥x轴于H，如图，∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，∴A点横坐标为2，当x=2时，y=x=2，∴A（2，2），∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，∴BC=BA=2，∠ABC=60°，∴∠CBH=30°，在Rt△CBH中，CH=BC=，BH=CH=3，OH=BH﹣OB=3﹣2=1，∴C（﹣1，）．故选：A．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③【分析】①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，∴=﹣3，则a=﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a=﹣，﹣=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．在比例尺为1：1000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15cm，则两地的实际距离150 km．【分析】设两地的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到15：x=1：1000 000，然后根据比例的性质计算出x，再把单位由cm化为km即可．【解答】解：设两地的实际距离为xcm，根据题意得15：x=1：1000 000，所以x=15000000cm=150km．故答案为150．14．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为4：9．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个相似三角形的面积比为4：9．15．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有18个．【分析】让球的总数×黄色玻璃球的概率即为所求的黄色玻璃球的球数．【解答】解：∵摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，∴摸到黄球的概率为0.25，故口袋中黄色玻璃球有0.25×72=18（个）．故答案为：18．16．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM为2．【分析】由正六边形的性质得出∠AOM=60°，OA=4，求出∠OAM=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OM=OA=2即可．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，OM⊥AC，∴∠AOM=60°，∠OMA=90°，OA=4，∴∠OAM=30°，∴OM=OA=2，即这个正三角形的边心距OM为2；故答案为：2．17．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为2．【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1，∵点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3，∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3﹣1=2．故答案为：2．18．在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α=60°，且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，此时∠CDB 的度数为30°（2）在图2中，点P不与点B、M重合，线段CQ的延长线交射线BM于点D，则∠CDB的度数为（用含α的代数式表示）90°﹣α．（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B、M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=DQ，则α的取值范围是45°＜α＜60°．【分析】（1）由条件可得出AB=BC=AC，再利用旋转可得出QM=MC，证得CB=CD=BA，再由三角形外角的性质即可得出结论；（2）由（1）可得BM为AC的垂直平分线，结合条件可以得出Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，由圆周角定理可得∠ACQ=∠APQ=α，可得出∠CDB和α的关系；（3）借助（2）的结论和PQ=QD，可得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α，结合∠BAD ＞∠PAD＞∠MAD，代入可得出α的范围．【解答】解：（1）如图1，∵BA=BC，∠BAC=60°，∴AB=BC=AC，∠ABC=60°，∵M为AC的中点，∴MB⊥AC，∠CBM=30°，AM=MC．∵PQ由PA旋转而成，∴AP=PQ=QM=MC．∵∠AMQ=2α=120°，∴∠MCQ=60°，∠QMD=30°，∴∠MQC=60°．∴∠CDB=30°．故答案为：30°；（2）如图2，连接PC，∵由（1）得BM垂直平分AC，∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，又∵PQ=PA，∴PQ=PC=PA，∴Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，∴∠ACQ=∠APQ=α，∴∠BAC=∠ACD，∴DC∥BA，∴∠CDB=∠ABD=90°﹣α．故答案为：90°﹣α；（3）∵∠CDB=90°﹣α，且PQ=QD，∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α，∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，∴2α＞180°﹣2α＞α，∴45°＜α＜60°．故答案为：45°＜α＜60°．三、解答题（共7小题，满分66分）19．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象的对称轴和顶点坐标．【分析】（1）根据一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，可推△≥0，求出k的取值范围，得出k 的数值即可；（2）分别把k的值代入方程2x2+4x+k﹣1=0，解得结果根据方程有两个非零的整数根进行分析，确定k的值，进一步利用二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，∴△=4﹣4（k﹣1）≥0．∴k≤2．∵k为正整数，∴k=1，2；（2）设方程x2+2x+k﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣2，x1•x2=k﹣1，当k=1时，方程x2+2x+k﹣1=0有一个根为零；当k=2时，方程x2+2x+k﹣1=0有两个相同的非零实数根﹣1．k=2符合题意．二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2，对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，0）．20．在x2□2x□1的空格中，任意填上“+”“﹣”，求其中能构成完全平方的概率（列出表格或画出树形图）【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中能构成完全平方的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，其中能构成完全平方的有2种情况，∴其中能构成完全平方的概率为：=．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（﹣6，﹣1），DE=3．（1）求反比例函数与一次函数的解析式．（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．【分析】（1）先由点C的坐标求出反比例函数的关系式，再由DE=3，求出点D的坐标，把点C，点D的坐标代入一次函数关系式求出k，b即可求一次函数的关系式．（2）由图象可知：一次函数的值小于反比例函数的值．【解答】解：（1）点C（﹣6，﹣1）在反比例函数y=的图象上，∴m=﹣6×（﹣1）=6，∴反比例函数的关系式为y=，∵点D在反比例函数y=上，且DE=3，∴y=3，代入求得：x=2，∴点D的坐标为（2，3）．∵C、D两点在直线y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的关系式为y=x+2．（2）由图象可知：当x＜﹣6或0＜x＜2时，一次函数的值小于反比例函数的值．22．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B的大小；（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长．【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根据平角是180°求得∠BPD=115°；最后在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可；（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OE∥AD；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是△ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度．【解答】解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°，∴∠CDB=40°；又∵∠APD=65°，∴∠BPD=115°；∴在△BPD中，∴∠B=180°﹣∠CDB﹣∠BPD=25°；（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．∵AB是直径，∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）；∴OE∥AD；又∵O是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴AD=2OE=6．23．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤1）．（1）用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为（10+7x）元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为（12+6x）元．（2）求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．【分析】（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即为（10+10•0.7x）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，即为（12+12•0.5x）元/件；（2）今年这种玩具的每件利润y等于每件的出厂价减去每件的成本价，即y=（12+6x）﹣（10+7x），然后整理即可；（3）今年的年销售量为（2+2x）万件，再根据年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量，得到w=2（1+x）（2﹣x），然后把它配成顶点式，利用二次函数的最值问题即可得到答案．【解答】解：（1）10+7x；12+6x；（2）y=（12+6x）﹣（10+7x），∴y=2﹣x （0＜x≤1）；（3）∵w=2（1+x）•y=2（1+x）（2﹣x）=﹣2x2+2x+4，∴w=﹣2（x﹣0.5）2+4.5∵﹣2＜0，0＜x≤1，∴w有最大值，∴当x=0.5时，w最大=4.5（万元）．答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．24．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=5，AD=时，求线段BG的长．【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形和ADEF是正方形得到判断△ABD≌△ACF的条件；（2）由全等得到∠BGC=90°，利用勾股定理计算即可．【解答】解：（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵ADEF是正方形，∴AD=AF，∠BAC=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF，∴BD=CF．（2）①由（1）全等得：∠ABD=∠ACE，∴∠GBC+∠GCB=∠GBC+∠ACF+∠ACB=（∠ABG+∠GBC）+∠ACB=45°+45°=90°，∴∠BGC=90°，∴BG⊥CF．②过D作DH⊥AB于H，AH=DH=AD÷=1，∴BH=3，∴BD==，延长AD交BC于P，则BP=CP，（AD平分∠BAC，AB=AC，等腰三角形三线合一）由∠BCG=90°知：DP∥CG，∴=1，∴BG=2BD=2．25．已知二次函数的图象如图．（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C 三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据对称轴公式求出x=﹣，求出即可；（2）假设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可；（3）由抛物线的解析式可得，A，B，C，M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可证明．【解答】解：（1）由，得x=﹣=﹣=3，∴D（3，0）；（2）方法一：如图1，设平移后的抛物线的解析式为，则C（0，k）OC=k，令y=0即，得，x2=3﹣，∴A，B，∴，=2k2+8k+36，∵AC2+BC2=AB2即：2k2+8k+36=16k+36，得k1=4，k2=0（舍去），∴抛物线的解析式为，方法二：∵，∴顶点坐标，设抛物线向上平移h个单位，则得到C（0，h），顶点坐标，∴平移后的抛物线：，当y=0时，，得，x2=3+，∴A，B，∵∠ACB=90°，∴△AOC∽△COB，则OC2=OA•OB，即，解得h1=4，h2=0（不合题意舍去），∴平移后的抛物线：；（3）方法一：如图2，由抛物线的解析式可得，A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M，过C、M作直线，连接CD，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，∴，，在Rt△COD中，CD==AD，∴点C在⊙D上，∵，∴DM2=CM2+CD2∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM，∴直线CM与⊙D相切．方法二：如图3，由抛物线的解析式可得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M，作直线CM，过D作DE⊥CM于E，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，，由勾股定理得，∵DM∥OC，∴∠MCH=∠EMD，∴Rt△CMH∽Rt△DME，∴得DE=5，由（2）知AB=10，∴⊙D的半径为5．∴直线CM与⊙D相切．。

北师大版九年级(上)期末数学试卷(含答案)

北师大版九年级（上）期末数学试卷及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A ．菱形B ．平行四边形C ．等边三角形D ．等腰梯形2．（3分）若一元二次方程220x x --=的两根为1x ，2x ，则121(1)(1)x x x ++-的值是( ) A ．4B ．2C ．1D ．2-3．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关1S ，2S ，3S 中的两个，能让灯泡1L 发光的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．254．（3分）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m 的位置上，则球拍击球的高度h 为( )A ．0.6mB ．1.2mC ．1.3mD ．1.4m5．（3分）如图，把抛物线2y x =沿直线y x =平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是( )A ．2(1)1y x =+-B ．2(1)1y x =++C ．2(1)1y x =-+D ．2(1)1y x =--6．（3分）如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBE 的面积始终等于433；④BDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）已知α，β均为锐角，且满足21|sin |(tan 1)02αβ-+-=，则αβ+= ．8．（3分）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为(1,3)，则另一个交点坐标是． 9．（3分）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有名学生．10．（3分）如图，菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，DF AB ⊥于点E ，且DF DC =，连接FC ，则ACF ∠的度数为度．11．（3分）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n ，则n 的所有可能的值之和为．12．（3分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，43AD =，点E 是BC 的中点，点F 在AB 上，2FB =，P 是矩形上一动点．若点P 从点F 出发，沿F A D C →→→的路线运动，当30FPE ∠=︒时，FP 的长为．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）解方程：（1）2(21)9x +=；（2）2(4)3(4)x x +=+．14．（6分）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥，CF AD ⊥，E ，F 分别为垂足．（1）求证：BE DF =；（2）求证：四边形AECF 是矩形．15．（6分）如图，反比例函数(0)k y k x=≠的图象与正比例函数2y x =的图象相交于点(1,)A a ，B 两点，点C 在第四象限，//CA y 轴，90ABC ∠=︒．（1）求k 的值及B 点坐标；（2）求ABC ∆的面积．16．（6分）如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在BC 上找点F ，使点F 是BC 的中点；（2）如图2，在AC 上取两点P ，Q ，使P ，Q 是AC 的三等分点．17．（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M 处垂直海面发射，当火箭到达点A 处时，海岸边N 处的雷达站测得点N 到点A 的距离为8千米，仰角为30︒．火箭继续直线上升到达点B 处，此时海岸边N 处的雷达测得B 处的仰角增加15︒，求此时火箭所在点B 处与发射站点M 处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）已知如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 在AB 上，且2BD BE BC =；（1）求证：BDE C ∠=∠；（2）求证：2AD AE AB =．19．（8分）如图，//AB CD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，连接EF ，AEF ∠、CFE ∠的平分线交于点G ，BEF ∠、DFE ∠的平分线交于点H ．（1）求证：四边形EGFH 是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G 作//MN EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，过H 作//PQ EF ，分别交AB ，CD 于点P ，Q ，得到四边形MNQP ，此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，他的猜想是否正确，请予以说明．20．（8分）小聪同学周六到某欢乐谷玩迷宫游戏，从迷宫口A到达迷宫口D有多个路口，如图所示（迷宫的一部分），规定从迷宫口A到达D处不能重复走同一路线，且小聪走每一条路线的可能性相同．（1）请用画树状图的方法，求小聪同学从迷宫口A到达D处所走的所有可能路线；（2）求小聪同学从迷宫口A到达D处经过路口B的概率．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件)与销售单价x（元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元)最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？22．（9分）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号{max a，}b表示a，b中的较大值，如{2max，3}2-=，{1max-，0}0=．请解答下列问题：（1）2{1,1}5max--=；（2）如果{max x，2}x x-=，求x的取值范围；（3）如果{max x ，2}2|1|5x x -=--，求x 的值．六、（本大题共12分）23．（12分）如图，抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点(2,0)A ，点(3,3)B ，BC x ⊥轴于点C ，连接OB ，等腰直角三角形DEF 的斜边EF 在x 轴上，点E 的坐标为(4,0)-，点F 与原点重合（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；（2）DEF ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为t 秒，当点D 落在BC 边上时停止运动，设DEF ∆与OBC ∆的重叠部分的面积为S ，求出S 关于t 的函数关系式；（3）点P 是抛物线对称轴上一点，当ABP ∆是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P 坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A ．菱形B ．平行四边形C ．等边三角形D ．等腰梯形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A ．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；B ．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C ．等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D ．等腰梯形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A ．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 2．（3分）若一元二次方程220x x --=的两根为1x ，2x ，则121(1)(1)x x x ++-的值是( ) A ．4B ．2C ．1D ．2-【分析】根据根与系数的关系得到121x x +=，122x x =-，然后利用整体代入的方法计算121(1)(1)x x x ++-的值．【解答】解：根据题意得121x x +=，122x x =-，所以1211212(1)(1)111(2)4x x x x x x x ++-=++-=+--=．故选：A ．【点评】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a+=-，12cx x a=． 3．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关1S ，2S ，3S 中的两个，能让灯泡1L 发光的概率是( )A ．12 B ．13C ．14D ．25【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡1L 发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：共有6种等可能的结果，能让灯泡1L 发光的有2种情况，∴能让灯泡1L 发光的概率为2163=，故选：B ．【点评】本题考查了列表法、树状图法求概率，画出树状图得出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键． 4．（3分）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m 的位置上，则球拍击球的高度h 为( )A ．0.6mB ．1.2mC ．1.3mD ．1.4m【分析】利用平行得出三角形相似，运用相似比即可解答．【解答】解：//AB DE ，∴AB CBDE CD =， ∴40.87h=， 1.4h m ∴=，经检验： 1.4h =是原方程的根．故选：D ．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，根据已知得出AB CBDE CE=是解决问题的关键． 5．（3分）如图，把抛物线2y x =沿直线y x =平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是( )A ．2(1)1y x =+-B ．2(1)1y x =++C ．2(1)1y x =-+D ．2(1)1y x =--【分析】首先根据A 点所在位置设出A 点坐标为(,)m m 再根据2AO =，利用勾股定理求出m 的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式．【解答】解：A 在直线y x =上，∴设(,)A m m ，2OA =222(2)m m ∴+=，解得：1(1m m =±=-舍去）， 1m ∴=，(1,1)A ∴，∴平移后的抛物线解析式为：2(1)1y x =-+，故选：C ．【点评】此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A 点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．6．（3分）如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBE 的433④BDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】连接OB 、OC ，如图，利用等边三角形的性质得30ABO OBC OCB ∠=∠=∠=︒，再证明BOD COE ∠=∠，于是可判断BOD COE ∆≅∆，所以BD CE =，OD OE =，则可对①进行判断；利用BOD COE S S ∆∆=得到四边形ODBE 的面积14333ABC S ∆==则可对③进行判断；作OH DE ⊥，如图，则DH EH =，计算出23ODE S ∆=，利用ODE S ∆随OE 的变化而变化和四边形ODBE 的面积为定值可对②进行判断；由于BDE ∆的周长443BC DE DE OE =+=+=，根据垂线段最短，当OE BC ⊥时，OE 最小，BDE ∆的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．【解答】解：连接OB 、OC ，如图， ABC ∆为等边三角形， 60ABC ACB ∴∠=∠=︒，点O 是ABC ∆的中心，OB OC ∴=，OB 、OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，30ABO OBC OCB ∴∠=∠=∠=︒120BOC ∴∠=︒，即120BOE COE ∠+∠=︒，而120DOE ∠=︒，即120BOE BOD ∠+∠=︒， BOD COE ∴∠=∠，在BOD ∆和COE ∆中 BOD COEBO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， BOD COE ∴∆≅∆，BD CE ∴=，OD OE =，所以①正确； BOD COE S S ∆∆∴=，∴四边形ODBE 的面积21134433343OBC ABC S S ∆∆===⨯⨯=，所以③正确；作OH DE ⊥，如图，则DH EH =，120DOE ∠=︒，30ODE OEH ∴∠=∠=︒，12OH OE ∴=，332HE OH OE ==， 3DE OE ∴=，21133224ODE S OE OE OE ∆∴=⋅⋅=，即ODE S ∆随OE 的变化而变化，而四边形ODBE 的面积为定值，ODE BDE S S ∆∆∴≠；所以②错误；BD CE =，BDE ∴∆的周长443BD BE DE CE BE DE BC DE DE OE =++=++=+=+=+，当OE BC ⊥时，OE 最小，BDE ∆的周长最小，此时233OE =， BDE ∴∆周长的最小值426=+=，所以④正确．故选：C ．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）已知α，β均为锐角，且满足21|sin |(tan 1)02αβ-+-=，则αβ+= 75︒ ．【分析】直接利用绝对值的非负性和偶次方的非负性得出1sin 02α-=，tan 10β-=，再结合特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：21|sin |(tan 1)02αβ-+-=， 1sin 02α∴-=，tan 10β-=， 1sin 2α∴=，tan 1β=， 30α∴=︒，45β=︒，则304575αβ+=︒+︒=︒．故答案为：75︒．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．8．（3分）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为(1,3)，则另一个交点坐标是(1,3)-- ．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点(1,3)关于原点对称，∴该点的坐标为(1,3)--．故答案为：(1,3)--．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．9．（3分）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有 40 名学生．【分析】设九（1）班有x 名学生，则每名学生需送出(1)x -张新年贺卡，利用九（1）班共用去贺卡的数量=人数⨯每人送出新年贺卡的数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设九（1）班有x 名学生，则每名学生需送出(1)x -张新年贺卡，依题意得：(1)1560x x -=，整理得：215600x x --=，解得：140x =，239x =-（不合题意，舍去），∴九（1）班有40名学生．故答案为：40．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（3分）如图，菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，DF AB ⊥于点E ，且DF DC =，连接FC ，则ACF ∠的度数为 15度．【分析】利用菱形的性质得出DCB∠的度数，进而得出答案．∠的度数，再利用等腰三角形的性质得出DCF【解答】解：菱形ABCD中，60∠=︒，DF DC=，DAB∠=∠，AB CD，DFC DCF∴∠=︒，//60BCD⊥于点E，DF AB90∴∠=︒，FDCDFC DCF∴∠=∠=︒，45菱形ABCD中，DCA ACB∠=∠，∴∠=∠=︒，30DCA ACB︒-︒=︒．ACF∴∠的度数为：453015故答案为：15︒．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出45∠=∠=︒是解题关键．DFC DCF11．（3分）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n的所有可能的值之和为38．【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【解答】解：主视图最右边可能有4或5或6个小正方体；由主视图最左边看到只有一列，俯视图也只有一列，则左边有一个小正方体；主视图中间有两列，俯视图亦有两列，则中间可以有3或4个小正方形．n∴的值可能为：1438++=，16411++=，++=，15410++=，1539++=，16310++=，1449则n的所有可能的值之和89101138=+++=．故本题答案为：38．【点评】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．12．（3分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，43AD =，点E 是BC 的中点，点F 在AB 上，2FB =，P 是矩形上一动点．若点P 从点F 出发，沿F A D C →→→的路线运动，当30FPE ∠=︒时，FP 的长为 4或8或43 ．【分析】如图，连接DF ，AE ，DE ，取DF 的中点O ，连接OA 、OE ．以O 为圆心画O 交CD 于3P ．只要证明12330EPF FP F FP E ∠=∠=∠=︒，即可推出14FP =，28FP =，343FP=解决问题．【解答】解：如图，连接DF ，AE ，DE ，取DF 的中点O ，连接OA 、OE ．以O 为圆心OE 的长度为半径，画O 交CD 于3P ．四边形ABCD 是矩形，90BAD B ∴∠=∠=︒，2BF =，23BE =4AF =，43AD =3tan tan FEB ADF ∴∠=∠=， 30ADF FEB ∴∠=∠=︒，易知4EF OF OD ===，OEF ∴∆是等边三角形，12330EPF FP F FP E ∴∠=∠=∠=︒， 14FP ∴=，28FP=，343FP =，故答案为4或8或3【点评】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）解方程：（1）2(21)9x +=；（2）2(4)3(4)x x +=+．【分析】（1）两边直接开平方，继而得到两个关于x 的一元一次方程，解之即可；（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）2(21)9x +=，213x ∴+=或213x +=-，解得11x =，22x =-；（2）2(4)3(4)x x +=+，2(4)3(4)0x x ∴+-+=，则(4)(1)0x x ++=，40x ∴+=或10x +=，解得14x =-，21x =-．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．14．（6分）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥，CF AD ⊥，E ，F 分别为垂足．（1）求证：BE DF =；（2）求证：四边形AECF 是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出B D ∠=∠，AB CD =，//AD BC ，由已知得出90AEB AEC CFD AFC ∠=∠=∠=∠=︒，由AAS 证明ABE CDF ∆≅∆即可；（2）证出90EAF AEC AFC ∠=∠=∠=︒，即可得出结论．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，B D ∴∠=∠，AB CD =，//AD BC ，AE BC ⊥，CF AD ⊥，90AEB AEC CFD AFC ∴∠=∠=∠=∠=︒，在ABE ∆和CDF ∆中，B D AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CDF AAS ∴∆≅∆，BE DF ∴=；（2）证明：//AD BC ，90EAF AEB ∴∠=∠=︒，90EAF AEC AFC ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AECF 是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．15．（6分）如图，反比例函数(0)k y k x=≠的图象与正比例函数2y x =的图象相交于点(1,)A a ，B 两点，点C 在第四象限，//CA y 轴，90ABC ∠=︒．（1）求k 的值及B 点坐标；（2）求ABC ∆的面积．【分析】（1）先把(1,)A a 代入2y x =中求出a 得到(1,2)A ；再把A 点坐标代入k y x=中可确定k 的值，然后利用反比例函数和正比例函数图象的性质确定B 点坐标；（2）设(1,)C t ，根据两点间的距离公式和勾股定理得到22222(11)(2)(11)(22)(2)t t +++++++=-，求出t 得到(1,3)C -，从而得到AC 的长，然后关键三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）把(1,)A a 代入2y x =得2a =，则(1,2)A ；把(1,2)A 代入k y x =得122k =⨯=，点A 与点B 关于原点对称，(1,2)B ∴--；（2）//CA y 轴，C ∴点的横坐标为1，设(1,)C t ，90ABC ∠=︒．222BC AC AB ∴+=，即22222(11)(2)(11)(22)(2)t t +++++++=-，解得3t =-，(1,3)C ∴-，5AC ∴=，11()5(11)522ABC A B S AC x x ∆∴=-=⨯⨯+=．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．16．（6分）如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在BC 上找点F ，使点F 是BC 的中点；（2）如图2，在AC 上取两点P ，Q ，使P ，Q 是AC 的三等分点．【分析】（1）根据矩形的对角线相等且互相平分作出图形即可；（2）根据矩形的性质和三角形中位线定理作出图形即可．【解答】解：（1）如图1，连接AC 、BD 交于点O ，延长EO 交BC 于F ，则点F 即为所求；（2）如图2，BD 交AC 于O ，延长EO 交BC 于F ，连接EB 交AC 于P ，连接DF 交AC 于Q ，则P 、Q 即为所求．【点评】本题考查的是作图的应用，掌握矩形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．17．（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M 处垂直海面发射，当火箭到达点A 处时，海岸边N 处的雷达站测得点N 到点A 的距离为8千米，仰角为30︒．火箭继续直线上升到达点B 处，此时海岸边N 处的雷达测得B 处的仰角增加15︒，求此时火箭所在点B 处与发射站点M 处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出BM 的长．【解答】解：如图所示：连接MN ，由题意可得：90AMN ∠=︒，30ANM ∠=︒，45BNM ∠=︒，8AN km =，在直角AMN ∆中，3cos30843()MN AN km =︒==．在直角BMN ∆中，tan 4543 6.9BM MN km km =︒=≈．答：此时火箭所在点B 处与发射站点M 处的距离约为6.9km ．【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）已知如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 在AB 上，且2BD BE BC =；（1）求证：BDE C ∠=∠；（2）求证：2AD AE AB =．【分析】（1）根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，由2BD BE BC =，得到BD BC BE BD=，推出EBD DBC ∆∆∽，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由BDE C ∠=∠，推出DBC ADE ∠=∠，等量代换得到ABD ADE ∠=∠，证得ADE ABD ∆∆∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）BD 平分ABC ∠，ABD CBD ∴∠=∠， 2BD BE BC =， ∴BD BC BE BD=， EBD DBC ∴∆∆∽，BDE C ∴∠=∠；（2）BDE C ∠=∠，DBC C BDE ADE ∠+∠=∠+∠，DBC ADE ∴∠=∠，ABD CBD ∠=∠，ABD ADE ∴∠=∠，ADE ABD ∴∆∆∽， ∴AD AE AB AD=，即2AD AE AB =．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的性质即可得到结论．19．（8分）如图，//AB CD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，连接EF ，AEF ∠、CFE ∠的平分线交于点G ，BEF ∠、DFE ∠的平分线交于点H ．（1）求证：四边形EGFH 是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G 作//MN EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，过H 作//PQ EF ，分别交AB ，CD 于点P ，Q ，得到四边形MNQP ，此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，他的猜想是否正确，请予以说明．【分析】（1）根据角平分线的性质进行导角，可求得四边形EGFH 的四个内角均为90︒，进而可说明其为矩形．（2）根据题目条件可得四边形MNQP 为平行四边形，要证菱形只需邻边相等，连接GH ，由于MN EF GH ==，要证MN MP =，只需证GH MP =，只需证四边形MFHP 为平行四边形，可证G 、H 点分别为MN 、PQ 中点，即可得出结果．【解答】（1）证明：EH 平分BEF ∠，FH 平分DFE ∠，12FEH BEF ∴∠=∠，12EFH DFE ∠=∠， //AB CD ，180BEF DFE ∴∠+∠=︒，11()1809022FEH EFH BEF DFE ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， 180FEH EFH EHF ∠+∠+∠=︒，180()1809090EHF FEH EFH ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，同理可得：90EGF ∠=︒，EG 平分AEF ∠，EH 平分BEF ∠，12GEF AEF ∴∠=∠，12FEH BEF ∠=∠，点A 、E 、B 在同一条直线上，180AEB ∴∠=︒，即180AEF BEF ∠+∠=︒，11()1809022FEG FEH AEF BEF ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，即90GEH ∠=︒，∴四边形EGFH 是矩形（2）解：他的猜想正确，理由是：////MN EF PQ ，//MP NQ ，∴四边形MNQP 为平行四边形．如图，延长EH 交CD 于点O ，PEO FEO ∠=∠，PEO FOE ∠=∠，FOE FEO ∴∠=∠，EF FD ∴=，FH EO ⊥，HE HO ∴=，EHP OHQ ∠=∠，EPH OQH ∠=∠，EHP OHQ ∴∆≅∆，HP HQ ∴=，同理可得GM GN =，MN PQ =，MG HP ∴=，∴四边形MGHP 为平行四边形，GH MP ∴=，//MN EF ，//ME NF ，∴四边形MEFN 为平行四边形，MN EF ∴=，四边形EGFH 是矩形，GH EF ∴=，MN MP∴=，∴平行四边形MNQP为菱形．【点评】本题考查矩形、菱形的性质与判定，属于综合题，熟练掌握菱形和矩形的性质及判定方法是解题关键．20．（8分）小聪同学周六到某欢乐谷玩迷宫游戏，从迷宫口A到达迷宫口D有多个路口，如图所示（迷宫的一部分），规定从迷宫口A到达D处不能重复走同一路线，且小聪走每一条路线的可能性相同．（1）请用画树状图的方法，求小聪同学从迷宫口A到达D处所走的所有可能路线；（2）求小聪同学从迷宫口A到达D处经过路口B的概率．【分析】（1）根据题意得出小聪同学从迷宫口A到达D处所走的所有可能路线共有4种；（2）根据概率公式进行求解即可．【解答】解：（1）根据题意画图如下：小聪同学从迷宫口A到达D处所走的所有可能路线共有4种；（2）一共有4种情况，而过B的有3种，故小聪同学从迷宫口A到达D处经过路口B的概率为34．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件)与销售单价x （元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w （元)最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？【分析】（1）将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，即可求解；（3）由题意得(30)(2160)800x x --+，解不等式即可得到结论．【解答】解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+，将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得：100307045k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：2160k b =-⎧⎨=⎩，故函数的表达式为：2160y x =-+；（2）由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，20-<，故当55x <时，w 随x 的增大而增大，而3050x ，∴当50x =时，w 有最大值，此时，1200w =，故销售单价定为50元时，该商店每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：(30)(2160)800x x --+，解得：4070x ，又216020y x =-+，则y 的最小值为27016020-⨯+=，每天的销售量最少应为20件．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量⨯每件的利润w =得出函数关系式是解题关键．22．（9分）对于两个不相等的有理数a ，b ，我们规定符号{max a ，}b 表示a ，b 中的较大值，如{2max ，3}2-=，{1max -，0}0=．请解答下列问题：（1）2{1,1}5max --= 1- ；（2）如果{max x ，2}x x -=，求x 的取值范围；（3）如果{max x ，2}2|1|5x x -=--，求x 的值．【分析】（1）根据定义即可得；（2）由已知等式知2x x >-，解之可得；（3）分2x x >-和2x x <-两种情况分别求解可得．【解答】解：（1）2115->-， ∴2{1,1}15max --=-．故答案为：1-；（2）{max x ，2}x x -=，2x x ∴>-．1x ∴>．x ∴的取值范围是1x >．（3）由题意，得：2x x ≠-．①若2x x >-，即1x >时，{max x ，2}x x -=，|1|1x x -=-．{max x ，2}2|1|5x x -=--，2(1)5x x ∴=--．解得7x =符合题意；)②若2x x <-，即1x <时，{max x ，2}2x x -=-，|1|(1)1x x x -=--=-．{max x ，2}2|1|5x x -=--，22(1)5x x ∴-=--．解得5x =-符合题意．综上所述，7x =或5x =-．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是理解新定义，并根据新定义列出关于x 的不等式及分类讨论思想的运用．六、（本大题共12分）23．（12分）如图，抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点(2,0)A ，点(3,3)B ，BC x ⊥轴于点C ，连接OB ，等腰直角三角形DEF 的斜边EF 在x 轴上，点E 的坐标为(4,0)-，点F 与原点重合（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；（2）DEF ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为t 秒，当点D 落在BC 边上时停止运动，设DEF ∆与OBC ∆的重叠部分的面积为S ，求出S 关于t 的函数关系式；（3）点P 是抛物线对称轴上一点，当ABP ∆是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P 坐标．【分析】（1）根据待定系数法解出解析式和对称轴即可；（2）从三种情况分析①当03t 时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分为等腰直角三角形；②当34t <时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分是四边形；③当45t <时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分是四边形得出S 关于t 的函数关系式即可；（3）直接写出当ABP ∆是直角三角形时符合条件的点P 坐标．【解答】解：（1）根据题意得042393a b a b=+⎧⎨=+⎩，解得1a =，2b =-，∴抛物线解析式是22y x x =-，对称轴是直线1x =；（2）有3种情况：①当03t 时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分为等腰直角三角形，如图1:214S t =； ②当34t <时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分是四边形，如图2:219342S t t =-+-； ③当45t <时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分是四边形，如图3:211322S t t =-+-；（3）当ABP ∆是直角三角形时，可得符合条件的点P 坐标为(1,1)或(1,2)或1(1,)3或11(1,)3．【点评】此题考查了难度较大的函数与几何的综合题，关键是根据03t ，34t <，45t <三种情况进行分析．。

九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．1．cos60°•sin60°的值等于（）A．B．C．D．2．一元二次方程x2﹣81=0的解是（）A．x=﹣9 B．x=9 C．x1=9，x2=﹣9 D．x=813．下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（）A．y=﹣x2B．y=﹣C．y=﹣x+1 D．y=4．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：45．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC 的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°6．将函数y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（）A．y=2（x+2）2+3 B．y=2（x﹣2）2+3 C．y=2（x+2）2﹣3 D．y=2（x﹣2）2﹣37．一元二次方程x2﹣5x+7=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA=，则AC的长是（）A．3 B．4 C．6 D．89．下列命题中，正确的是（）A．平分弦的直线必垂直于这条弦B．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧D．垂直于弦的直线必过圆心10．面积为2的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（）A．B．C．D．11．小洋用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）A．120πcm2B．240πcm2C．260πcm2D．480πcm212．如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（）A．B．3C．6D．9二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果．13．若关于x的方程ax2﹣4x+3=0有两个相等的实数根，则常数a的值是．14．圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D=度．15．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF=cm2．16．如图，⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O上一点，点D平分，DE=2cm，则弦AC=．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．三、解答题：本大题共8小题，共69分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．按下列的要求解一元二次方程：（1）（因式分解法）x2+7x+12=0（2）（配方法）x2+4x+1=0．19．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．20．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）21．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD=3，AB=7，求AC的长．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是20元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销量是300件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，若商场想获得利润3750元，并规定每件玩具的利润不得超过进价时单价的100%，问该玩具的销售单价应定为多少元？23．如图，抛物线经过点A、B、C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．24．如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若，AD=2，求线段BC的长．25．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．1．cos60°•sin60°的值等于（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：cos60°•sin60°=×=，故选：D．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．2．一元二次方程x2﹣81=0的解是（）A．x=﹣9 B．x=9 C．x1=9，x2=﹣9 D．x=81【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】首先移项，把﹣81移到等号右边，再两边直接开平方即可．【解答】解：x2﹣81=0，移项得：x2=81，两边直接开平方得：x=±9，到x1=9，x2=﹣9，故选：C．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．3．下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（）A．y=﹣x2B．y=﹣C．y=﹣x+1 D．y=【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质进行解答即可．【解答】解：A、∵y=﹣x2，∴对称轴x=0，当x＞0时，y随着x的增大而减小，故本选项错误；B、∵反比例函数y=﹣中，k=﹣1＜0，∴当x＞0时y随x的增大而增大，故本选项正确；C、∵k＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项错误；D、∵k＞0，∴y随着x的增大而增大，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，主要掌握二次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是解题的关键，是一道难度中等的题目．4．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：4【考点】相似三角形的应用．【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：如图，∵OA=20cm，OA′=50cm，∴===，∵三角尺与影子是相似三角形，∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比==2：5．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质．5．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC 的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°【考点】圆周角定理；正多边形和圆．【分析】连接OB、OC，首先根据正方形的性质，得∠BOC=90°，再根据圆周角定理，得∠BPC=45°．【解答】解：如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．故选A．【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．6．将函数y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（）A．y=2（x+2）2+3 B．y=2（x﹣2）2+3 C．y=2（x+2）2﹣3 D．y=2（x﹣2）2﹣3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】由于所给的函数解析式为顶点坐标式，可直接利用“上加下减、左加右减”的平移规律进行解答．【解答】解：将函数y=2x2向左平移2个单位，得：y=2（x+2）2；再向下平移3个单位，得：y=2（x+2）2﹣3；故选C．【点评】此题主要考查的是二次函数图象的平移规律，即：左加右减，上加下减．7．一元二次方程x2﹣5x+7=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】求出根的判别式△的值再进行判断即可．【解答】解：一元二次方程x2﹣5x+7=0中，△=（﹣5）2﹣4×1×7=﹣3＜0，所以原方程无实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA=，则AC的长是（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】根据锐角三角函数正切等于对边比邻边，可得BC与AC的关系，根据勾股定理，可得AC 的长．【解答】解：由tanA==，得BC=3x，CA=4x，由勾股定理，得BC2+AC2=AB2，即（3x）2+（4x）2=100，解得x=2，AC=4x=4×2=8．故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数，利用了锐角三角函数正切等于对边比邻边，还利用了勾股定理．9．下列命题中，正确的是（）A．平分弦的直线必垂直于这条弦B．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧D．垂直于弦的直线必过圆心【考点】命题与定理．【分析】根据垂径定理及其推论对各选项分别进行判断．【解答】解：A、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，所以A选项错误；B、垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧，所以B选项正确；C、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，所以C选项错误；D、垂直平分弦的直线必过圆心，所以D选项错误．故选B．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．10．面积为2的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．【分析】根据题意有：xy=4；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限．【解答】解：∵xy=4，∴xy=4，∴y=（x＞0，y＞0），当x=1时，y=4，当x=4时，y=1，故选：C．【点评】考查了反比例函数的图象及应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．11．小洋用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）A．120πcm2B．240πcm2C．260πcm2D．480πcm2【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：圆锥的侧面积=•2π•10•24=240π（cm2），所以这张扇形纸板的面积为240πcm2．故选B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12．如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（）A．B．3C．6D．9【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用△ADE沿DE翻折的特性求出AM=A′M，再由DE∥BC，得到=，求得AE，再求出AM，利用△ADE的面积=DE•AM求解．【解答】解：△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处∴AM=A′M，又∵A′为MN的中点，∴AM=A′M=A′N，∵DE∥AC，∴=，∵△ABC是等边三角形，BC=6，∴BC=AC，∴=∴AE=2，∵AN是△ABC的BC边上的高，中线及角平分线，∴∠MAE=30°，∴AM=，ME=1，∴DE=2，∴△ADE的面积=DE•AM=××2=，故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的折叠问题上，解题的关键是运用比例求出AE，再求面积．二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果．13．若关于x的方程ax2﹣4x+3=0有两个相等的实数根，则常数a的值是．【考点】根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4a×3=0，然后求解即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣4）2﹣4a×3=0，解得a=．故答案为．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D=90度．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为360°，从而求得∠D的度数．【解答】解：∵圆内接四边形的对角互补∴∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：4：3设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，∠D=3x∴2x+3x+4x+3x=360°∴x=30°∴∠D=90°．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用．15．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF=cm2．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求S△DEF的值．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4∴S△ABC：S△DEF=9：16∴S△DEF=．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．16．如图，⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O上一点，点D平分，DE=2cm，则弦AC=6cm．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】由题意可知OD平分BC，OE为△ABC的中位线，根据直径求出半径，进而求出OE的长度，再根据中位线原理即可解答．【解答】解：∵点D平分，∴OD平分BC，∴OE为△ABC的中位线，又∵⊙O的直径AB=10cm，∴OD=5cm，DE=2cm，∴0E=3cm则弦AC=6cm．故答案为6cm．【点评】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为0．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】数形结合．【分析】依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，∴4a﹣2b+c=0，故答案为：0．【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键．三、解答题：本大题共8小题，共69分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．按下列的要求解一元二次方程：（1）（因式分解法）x2+7x+12=0（2）（配方法）x2+4x+1=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】（1）利用因式分解法把原方程化为x+4=0或x+3=0，然后解两个一次方程即可；（2）利用配方法得到（x+2）2=3，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）（x+4）（x+3）=0，x+4=0或x+3=0，所以x1=﹣4，x2=﹣3；（2）x2+4x=﹣1，x2+4x+4=3，（x+2）2=3，x+2=±所以x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．19．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】探究型．【分析】（1）先把A（1，6）代入反比例函数的解析式求出m的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把B（a，2）代入反比例函数的解析式即可求出a的值，把点A（1，6），B（3，2）代入函数y1=kx+b即可求出k、b的值，进而得出一次函数的解析式；（2）根据函数图象可知，当x在A、B点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由A、B两点的横坐标即可求出x的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（1，6），B（a，2）在y2=的图象上，∴=6，m=6．∴反比例函数的解析式为：y2=，∴=2，a==3，∵点A（1，6），B（3，2）在函数y1=kx+b的图象上，∴，解这个方程组，得∴一次函数的解析式为y1=﹣2x+8，反比例函数的解析式为y2=；（2）由函数图象可知，当x在A、B之间时一次函数的图象在反比例函数图象的上方，∵点A（1，6），B（3，2），∴1≤x≤3．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用数形结合求不等式的解集是解答此题的关键．20．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】几何图形问题．【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．【解答】解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．答：这棵树CD的高度为8.7米．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．21．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD=3，AB=7，求AC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明△ADC∽△ACB；（2）根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB•AD，将数值代入计算即可求出AC的长．【解答】（1）证明：在△ADC与△ACB中，∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AB•AD，∵AD=2，AB=7，∴AC2=7×2=14，∴AC=．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）；②相似三角形的对应边成比例．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是20元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销量是300件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，若商场想获得利润3750元，并规定每件玩具的利润不得超过进价时单价的100%，问该玩具的销售单价应定为多少元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】利用每件利润×销量=3750，进而求出答案即可．【解答】解：设该玩具的销售单价为x元，则依题意有：[300﹣10（x﹣30）]（x﹣20）=3750化简得x2﹣80x+1575=0解这个方程得：x1=35，x2=45因为利润不得超过原价的100%，所以x2=45应舍去．答：该玩具应定价为35元．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润等于单件利润乘以销量，难度不大．23．如图，抛物线经过点A、B、C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．【专题】计算题．【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把A点坐标代入求出a的值即可；（2）利用抛物线的对称性易得D点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入得a•（﹣1﹣1）2﹣4=0，解得a=1，所以抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4；（2）因为抛物线的对称轴为直线x=1，则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点D的坐标为（3，0），所以△ODC的面积=×3×4=6．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．24．如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若，AD=2，求线段BC的长．【考点】切线的判定与性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】（1）因为BC经过圆的半径的外端，只要证明AB⊥BC即可．连接OE、OC，利用△OBC≌△OEC，得到∠OBC=90°即可证明BC为⊙O的切线．（2）作DF⊥BC于点F，构造Rt△DFC，利用勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OE、OC．∵CB=CE，OB=OE，OC=OC，∴△OBC≌△OEC．∴∠OBC=∠OEC．又∵DE与⊙O相切于点E，∴∠OEC=90°．∴∠OBC=90°．∴BC为⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2．∵AD、DC、BC分别切⊙O于点A、E、B，∴DA=DE，CE=CB．设BC为x，则CF=x﹣2，DC=x+2．在Rt△DFC中，（x+2）2﹣（x﹣2）2=（2）2，解得x=．∴BC=．【点评】此题考查了切线的判定和勾股定理的应用，作出辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键．25．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；②设直线AC的解析式为y=kx+t （k≠0）将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．。

2023-2024学年天津市河西区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年天津市河西区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，岸只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知⊙O的直径为15cm，若直线l与⊙O只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（）A．7cm B．7.5cm C．8cm D．10cm2．（3分）2sin60°的值等于（）A．B．C．D．3．（3分）下列是与中国航天事业相关的图标，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（）A．B．1C．D．5．（3分）如图，在△ABC中，若∠C＝90°，则有（）A．B．C．D．6．（3分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B的大小是（）A．43°B．35°C．34°D．44°7．（3分）一元二次方程4x2＝5x﹣1的两根之和与两根之积分别为（）A．，B．﹣，C．D．8．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点分别为（）A．（3，0）和（﹣1，0）B．（﹣3，0）和（1，0）C．（2，0）和（﹣4，0）D．（4，0）和（﹣2，0）9．（3分）一个扇形的半径为24cm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角为（）A．300°B．240°C．180°D．150°10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°；将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（）A．CB＝CD B．DE+DC＝BC C．AB∥CD D．∠ABC＝∠ADC11．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB'C′，连接B'C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（）A．B．C．D．12．（3分）如图所示，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为100，小正方形面积为4，则图中∠θ的正切值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）将点P（2，6）绕原点顺时针旋转180°，点P的对应点的坐标为．14．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．15．（3分）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，，AC＝3，则∠A的度数为．16．（3分）若抛物线y＝x2﹣6x+k与x轴没有交点，则实数k的值可以是（写出一个即可）．17．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点C、D为圆心，2为半径的两弧交于点E，点F为AB边的中点，连接EF，则EF的长为．18．（3分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，线段AB的端点A，B均落在格点上．（Ⅰ）线段AB的长等于；（Ⅱ）经过点A，B的圆交网格线于点C，在上有一点E，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点E，并简要说明点E的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．20．（8分）学生甲与学生乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：学生甲手中有5、7、9三张扑克牌，学生乙手中有6、8、10三张扑克牌．每人从手中取出一张牌进行比较，数字小的为本局获胜．（Ⅰ）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，请列举出所有情况；（Ⅱ）求学生乙本局获胜的概率．21．（10分）请你结合题意，分别画出示意图，并完成解答：（Ⅰ）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，若∠A＝30°，AC＝3，求AB的长；（Ⅱ）在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6，求∠C的正弦．22．（10分）小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB 的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．（Ⅰ）求证：FG是⊙O的切线；（Ⅱ）若⊙O的半径长为，BF＝3，求BE的长．24．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点A出发，以1单位长度/秒的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．（Ⅰ）当点P运动到AB的中点，求此时x的值和△APQ的面积；（Ⅱ）①当0＜x＜2时，求y与x之间的函数关系式；②当2＜x≤4时，求y与x之间的函数关系式；（Ⅲ）求在运动过程中△APQ面积的最大值．（直接写出结果即可）25．（10分）已知抛物线y＝（x﹣n）（x﹣m），其中n，m为常数，且n≠m．（Ⅰ）若n＝﹣1，m＝3，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线的对称轴为x＝2，且抛物线经过点（1，p）．请你用含m的式子表示p，并求出p的取值范围；（Ⅲ）若n＝1，点M（m，0），抛物线与y轴负半轴交于点G，过点G作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，，点H是EF的中点，当MH的最小值是时，求y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标．2023-2024学年天津市河西区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，岸只有一项是符合题目要求的）1．【分析】根据已知直线l与⊙O有唯一的一个交点得出直线与圆相切，即可得出d与r的关系．【解答】解：圆心O到直线l的距离为dcm，∵直线l与⊙O有唯一的一个交点，∴直线与圆相切，∵⊙O的直径为15cm，∴半径为7.5cm，∴d＝r＝7.5cm．故选：B．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据已知直线l与⊙O有唯一的一个交点得出直线与圆相切是解决问题的关键．2．【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．【解答】解：2sin60°＝2×＝，故选：A．【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握sin60°的值是正确计算的关键．3．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．【分析】构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用直角三角形的30度特殊角的三角函数即可求解．【解答】解：如图：过O点作OD⊥AB，则AD＝AB＝1，∵∠OAD＝30°，∴OD＝tan30°•AD＝．故选：C．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心的计算．解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关边长或角．5．【分析】根据锐角三角函数的定义逐项判断即可．【解答】解：已知在△ABC中，若∠C＝90°，那么tan A＝，则A符合题意；sin A＝，则B，D均不符合题意；cos A＝，则C不符合题意；故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．6．【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A＝∠D＝42°，然后根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠D＝∠A＝42°，∴∠B＝∠APD﹣∠D＝35°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．7．【分析】先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解．【解答】解：方程4x2＝5x﹣1化为一般式为4x2﹣5x+1＝0，所以方程4x2＝5x﹣1的两个根之和为，两根之积为．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．8．【分析】依据题意，通过解方程x2﹣2x﹣3＝0得到抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点坐标．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．故选：A．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．9．【分析】设扇形的圆心角为n，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：设扇形的圆心角为n，则＝240π，解得，n＝150°，故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．10．【分析】由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，则可得出结论．【解答】解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠EDC＝60°，∴∠CAD＝∠EDC＝60°，∴∠BAD＝60°，∴AB∥CD．故选：C．【点评】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质及等腰三角形的性质．11．【分析】证明α＝30°，根据已知可算出AD的长度，根据弧长公式即可得出答案．【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，∴，∴的长度l＝＝π．故选：B．【点评】本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．12．【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，设AC＝BD＝a，由勾股定理解得a的值，按照正切函数的定义即可求解．【解答】解：∵大正方形的面积是100，小正方形面积是4，∴大正方形的边长是10，小正方形的边长是2，设AC＝BD＝a，如图，在Rt△ABD中，由勾股定理得：a2+（2+a）2＝100，解得a＝6或﹣8（舍去），∴tanθ＝＝．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，明确相关性质及定理是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．【分析】根据两点关于原点的对称的坐标特征：横纵坐标均互为相反数，即可求解．【解答】解：点P（2，6）绕原点O旋转180°后，P点的对应点与点P关于原点对称，则其坐标为（﹣2，﹣6）．故答案为：（﹣2，﹣6）．【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣旋转，熟知平面直角坐标系中关于原点对称的两点的坐标特征是解题的关键．14．【分析】用绿球的个数除以球的总数即可．【解答】解：∵不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．15．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，，AC＝3，∴AB＝＝2，∵AB＝2BC，∴∠A＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．16．【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+k与x轴没有交点，可以得到Δ＜0，从而可以得到k的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+k与x轴没有交点，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×k＜0，解得，k＞9，故答案为：10（答案不唯一）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确Δ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．17．【分析】延长FE交DC于点H，连接CE，根据题意可得EF∥BC，在Rt△CEH中，根据勾股定理即可求解EH，从而求出EF．【解答】解：延长FE交DC于点H，连接CE，如图：∵E为两弧交于点，点F为AB边的中点，∴EF∥BC，∵C是圆心，E在弧上，∴CE＝CB＝2，在Rt△CEH中，EH＝＝，∴EF＝2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．18．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解；（Ⅱ）取圆与格线的交点P，Q，连接PQ，则PQ是直径，连接AC，AB，得到AC，AB 的中点J，K，取格点W，Z，R，S，连接WR，SZ交于点L．连接KL交PQ于点O，作直线JO交AB于点T，连接CT，延长CT交⊙O于点E，点E即为所求．【解答】解：（1）AB＝＝，故答案为：；（Ⅱ）如图，点E即为所求．步骤：取圆与格线的交点P，Q，连接PQ，则PQ是直径，连接AC，AB，得到ACAB 的中点J，K，取格点W，Z，R，S，连接WR，SZ交于点L．连接KL交PQ于点O，作直线JO交AB于点T，连接CT，延长CT交⊙O于点E，点E即为所求．故答案为：取圆与格线的交点P，Q，连接PQ，则PQ是直径，连接AC，AB，得到ACAB 的中点J，K，取格点W，Z，R，S，连接WR，SZ交于点L．连接KL交PQ于点O，作直线JO交AB于点T，连接CT，延长CT交⊙O于点E，点E即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，题目比较难．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．【分析】把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．【解答】解：∵（x﹣3）2＝（5﹣2x）2，∴x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝2x﹣5解之得：x1＝2，x2＝．【点评】解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．20．【分析】（1）利用树状图展示所有9种等可能的结果数；（2）找出学生乙本局获胜的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）画树状图为：共有9种等可能的结果数；（2）学生乙本局获胜的结果数为3，所以学生乙本局获胜的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法，解答本题的关键是利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．21．【分析】（Ⅰ）由锐角的余弦定义得到cos A＝＝，即可求出AB长．（Ⅱ）过A作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质得到CH＝BC＝3，由勾股定理求出AH＝＝6，即可得到sin C＝＝．【解答】解：（Ⅰ）如图：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴cos A＝cos30°＝＝，∵AC＝3，∴AB＝2；（Ⅱ）如图：过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴CH＝BC＝3，∴AH＝＝6，∴sin C＝＝＝【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，关键是掌握锐角三角函数定义．22．【分析】根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC＝CD，CB＝，可得答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB垂足为D．，在Rt△ACD中，tan A＝tan45°＝＝1，CD＝AD，sin A＝sin45°＝＝，AC＝CD．在Rt△BCD中，tan B＝tan37°＝≈0.75，BD＝；sin B＝sin37°＝≈0.60，CB＝．∵AD+BD＝AB＝63，∴CD+＝63，解得CD≈27（m），AC＝CD≈1.414×27＝38.178≈38.2（m），CB＝≈＝45.0（m），答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，利用线段的和差得出关于CD的方程是解题关键．23．【分析】（1）由等腰三角形的性质可证∠B＝∠C＝∠OFC，可证OF∥AB，可得结论；（2）由切线的性质可证四边形GFOE是矩形，可得OE＝GF＝2，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：如图，连接OF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，∴∠OFC＝∠B，∴OF∥AB，∵FG⊥AB，∴FG⊥OF，又∵OF是半径，∴GF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OE，∵⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，又∵AB⊥GF，OF⊥GF，∴四边形GFOE是矩形，∴GF＝OE＝EG＝2，在Rt△BFG中，由勾股定理得，BG＝＝＝1，∴BE＝BG+EG＝2+1．【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24．【分析】（Ⅰ）由菱形的性质可得AB＝BC＝2，可证△ABC是等边三角形，可得AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，可证△APQ是等边三角形，即可求解；（Ⅱ）①由锐角三角函数可求QH的长，由三角形的面积公式可求解；②由锐角三角函数可求QN的长，由三角形的面积公式可求解；（Ⅲ）由二次函数的性质可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，∵点P运动到AB的中点，∴AP＝BP＝1，∴x＝＝1，∴AQ＝1，∴AP＝AQ＝1，∴△APQ是等边三角形，＝×12＝；∴S△APQ（Ⅱ）①当0≤x≤2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于H，由题意可得BP＝AQ＝x，∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴AC＝AB＝2，∠BAC＝60°＝∠ACD，∵sin∠BAC＝，∴HQ＝AQ•sin60°＝x，∴△APQ的面积＝y＝（2﹣x）×x＝﹣（x﹣1）2+；②当2＜x≤4时，如图2，过点Q作QN⊥AC于N，由题意可得AP＝CQ＝x﹣2，∵sin∠ACD＝＝，∴NQ＝（x﹣2），∴△APQ的面积＝y＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x﹣2）2，（Ⅲ）当0≤x≤2时，y＝﹣（x﹣1）2+；∴当x＝1时，y的最大值为；当2＜x≤4时，y＝（x﹣2）2，∴当x＝4时，y的最大值为，∴△APQ面积的最大值为．【点评】本题是四边形综合题，考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25．【分析】（1）n＝﹣1，m＝3时，抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的对称轴为直线x＝＝1，把x＝1代入y＝（x+1）（x﹣3）即得抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）可得＝2，n＝4﹣m，而抛物线y＝（x﹣n）（x﹣m）经过点（1，p），知p＝（1﹣n）（1﹣m）＝（1﹣4+m）（1﹣m）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，有二次函数性质可得答案；（3）求出G（0，m），直线l为y＝m，连接GM、GH，由H是EF的中点，得GH＝EF＝，故点H在以点G为圆心，为半径的圆上，可得MG＝﹣m，①当MG≥，即m≤﹣1时，满足条件的点H在线段MG上，有MG﹣GH＝﹣m﹣＝，m＝﹣；可得抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+），﹣2m﹣1≤x≤﹣2m即是2≤x≤3，即可知y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（2，）；②当MG＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段GM的延长线上，同类可得y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（，﹣）．【解答】解：（1）n＝﹣1，m＝3时，抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴交点为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴为直线x＝＝1，把x＝1代入y＝（x+1）（x﹣3）得y＝2×（﹣2）＝﹣4；∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）∵抛物线y＝（x﹣n）（x﹣m）的对称轴为直线x＝，∴＝2，∴n＝4﹣m，∵抛物线y＝（x﹣n）（x﹣m）经过点（1，p），∴p＝（1﹣n）（1﹣m）＝（1﹣4+m）（1﹣m）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，∵n≠m，∴m≠2，∴﹣（m﹣2）2+1＜1，∴p＜1；（3）n＝1时，y＝（x﹣1）（x﹣m），令x＝0得y＝m，∴G（0，m），直线l为y＝m，连接GM、GH，如图：∵H是EF的中点，∴GH＝EF＝，∴点H在以点G为圆心，为半径的圆上，∵M（m，0），G（0，m），∴MO＝﹣m，GO＝﹣m，在Rt△MGO中，MG＝﹣m，①当MG≥，即m≤﹣1时，满足条件的点H在线段MG上，此时MH的最小值为MG﹣GH＝﹣m﹣＝，解得m＝﹣；∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+），﹣2m﹣1≤x≤﹣2m即是2≤x≤3，此时图象在对称轴直线x＝﹣右侧，开口向上，当x＝2时，y＝（2﹣1）×（2+）＝；∴y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（2，）；②当MG＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段GM的延长线上，此时MH的最小值为HG﹣MG＝﹣（﹣m）＝，解得m＝﹣；∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+），﹣2m﹣1≤x≤﹣2m即是0≤x≤1，此时图象包含顶点（，﹣），开口向上，∴y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（，﹣）；综上所述，y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（2，）或（，﹣）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数图象与系数的关系，动点问题等，解题的关键是分类讨论思想的应用。

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九上期末数学试卷17
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图所示的几何体的俯视图是
A. B.
C. D.
2. 在中，，如果，，那么的值为
A. B. C.
3. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是
A. B.
C. D.
4. 两三角形的相似比是，则其面积之比是
A. B. C. D.
5. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列关系式一定正确的是
A. B. C. D.
6. 下列四条线段能成比例线段的是
A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，
7. 某口袋里装有红色、蓝色玻璃球共个，它们除颜色外都相同，小明通过多次摸球试验发现摸
到红球的频率稳定在左右，则可估计口袋中红色玻璃球的个数为
A. B. C. D.
8. 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为元，市场调研表明，当销售价为元时，平均
每天能售出台，而当销售价每降低元时，平均每天就能多售出台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，设每台冰箱的定价为元，则满足的关系式为
A.
B.
C.
D.
9. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是
上一点，连接，若，则的长是
A. C. D.
10. 下列图中是太阳光下形成的影子是
A. B.
C. D.
二、填空题（共7小题；共35分）
11. 已知若是锐角，，则度．
12. 关于的一元二次方程有一个根为，则．
13. 已知菱形的边长为，一个角为，那么菱形的面积为．
14. 如图，直线轴于点，且与反比例的数及的图象
分别交点，，连接，，已知，则的面积是．
15. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．
16. 如图，从甲楼底部处测得乙楼顶部处的仰角是，从甲楼顶部处测得乙楼底部处
的俯角是．已知甲楼的高是，则乙楼的高是（结果保留根号）．
17. 王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为的圆形
纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用彩色纸片覆盖圆面积的，请你根据数形
结合的思想，依据图形的变化，推断当为正整数时，．
三、解答题（共8小题；共104分）
18. 计算：．
19. 用配方法说明代数式的值总大于．
20. 一个布袋内只装有个黑球和个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回
搅匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球都是黑球的概率．
21. 【问题背景】
在中，，，三边的边长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点，如图所示．这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积．
（1）直接写出的面积，．
（2）【思维拓展】
若三边的长分别为，，，请利用图的正方形网格中画出（每个小正方形的边长为），并直接写出的面积，
．
（3）【探索创新】
若的三边长分别为，，（，，且），请直接写出的面积，．
22. 在如图所示的直角坐标系中画出反比例函数与的图象．
23. 已知一次函数的图象过点与点，求这个一次函数的解析式．
24. 如图，点，分别在线段和上，与相交于点，，
，求证：．
25. 已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标．
（1）点在轴上．
（2）点在过点且与轴平行的直线上．
答案
第一部分
1. B
2. A 【解析】如图：
在中，，，，
．
3. D
4. C
5. A
6. C
7. B
8. C 【解析】设每台冰箱的定价为元，则由题意得，．
9. B
10. A
第二部分
11.
13.
14.
【解析】，
，
反比例的数及的图象均在第一象限内，
，．
直线轴于点，
，．
．
【解析】根据题意得，
解得．
16.
17.
第三部分
18.
19. 因为，所以的值总大于．
20. 画树状图如下：
共有种等可能结果，两次摸出的球都是黑色的结果有种．
．
21. （1）
【解析】由图可知．
（2）如图；
【解析】．
（3）
【解析】构造如图所示，
．22. （）列表：
（）描点、连线，如图所示．
23. 设其解析式为．
代入，得
解得
这次函数的解析式为．
24. ，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
．
25. （1）令，解得，所以点的坐标为．
（2）令，解得．所以点的坐标为．。