第十三讲 方程组解题(竞赛班)

第十三讲 方程组解题
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【知识要点】：
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)把一个方程或者两个方程的两边都乘以一个适当的数，使两个方程里的某一个未知
数的系数相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得出一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；把求出的未知数的值代入方程组里的
任何一个方程，求出另一个未知数的值；
(4)把所求得的两个未知数的值写在一起，就是方程组的解。

例题1：
923513425
2x y x y +=+=⎧⎨⎩()() 318513452y x x y =-=+⎧⎨⎩()()
例题2： 某次大会安排代表住宿，若每间2人，则有12人没有床位；若每间3人，则多出2个空床位．问宿舍共有几间？代表共有几人？
例题3、
商店里有大、小两种书包．买大书包4个，小书包6个，需392元；买大书包7个，小书包3个，需416元；买小书包9个，大书包1个，需多少元？
例题4：
某校活跃体育活动，购买同样的篮球7个，排球5个，足球3个，共花费用450元，后来又买同样的篮球3个，排球2个，足球1个共花费170元，问买同样的篮球1个，排球1个，足球1个，共需多少元？
例题5： 甲、乙两人加工零件．甲做4小时，乙做6小时，共加工零件196个；甲做7小时，乙做3小时，共加工零件208个．甲乙两人每小时各加工多少个零件？
例题6：丽丽和家家去书店买书，他们同时喜欢上了一本书，最后丽丽用自己的钱的5分之3，家家用自己的钱的3分之2各买了一本，丽丽剩下的钱比家家剩下的钱多5块。

两人原来各有多少钱？书多少钱？
池中戏水
1.在解方程组时，究竟采用哪种方法比较简便？请解下列方程组。

5318233x y x y +=-=⎧⎨⎩
2311253x y x y +=-=⎧⎨⎩
2. 一个分数a b ，把它的分母减2，即2
-a b ，约分后等于43；如果原来的分数的分母加上9，即9+
a b ，约分后等于75，则a b 等于多少？
3. 如图，在矩形ABCD 中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的总面积．
4. 用如下图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2中竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使仓库的纸板用完？
5. 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米．车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需217
小时．问：甲、乙两地间的公路有多少千米?从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路?
江中畅游
6. 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀.如果同时打开进水阀一个排水阀,则30分钟能把水池的水排完;如果同时打开进水阀及两个排水阀,则10分钟把水池的水排完.那么,关闭进水阀并且同时打开三个排水阀,需多少分钟才能排完水池的水？
7.张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封，共30个，其中买A 型号的信封用了1元5角，买B 型号的信封用了1元5角，B 型号的信封每个比A 型号的信封便宜2分。

两种型号的信封的单价各是多少？
海中冲浪
8.已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从一开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度？
教师答案：
1、解方程组：9x+2y=35 ⑴
9x+12y=75 ⑵
10y=40
Y=4 x=3
解方程组：3y=18－5x ⑴
3x=4+5y ⑵
5x+3y=18
3x －5y=4
y=1
x=3
2、14，40
解：设有x 间屋，y 个人，那么有
⎩
⎨⎧+==+23122y x y x 解之得x =14（间），y =40（人）
3、 368
解：⎩⎨⎧=+=+)
2(41637)1(39264 小大小大 2⨯(2)-(1)得，10大=440．
所以每个大书包44元，代入（1），解得每个小书包36元．
所以，9小+1大=36⨯9+44⨯1=368(元)．
4、110
解：设篮球、排球、足球的定价为每个x 元，y 元，z 元，依题意得：
⎩⎨⎧=++=++)2(17023)1(450357z y x z y x
(2)⨯2： 340246=++z y x (3)
(1)-(3)：110=++z y x ．
即买篮球1个，排球1个，足球1个需110元．
5、22，18
解法一：甲做4小时、乙做6小时，共做196个 ①，
甲做7小时、乙做3小时，共做208个 ②，
由②得，甲做14小时、乙做6小时，共做416个 ③，
比较①和③，可得：甲（14-4=）10小时做零件（416-196）=220个，由此可得甲每小时做零件（208⨯2-196）÷（7⨯2-4）=22（个），
乙每小时做零件（196-22⨯4）÷6=18（个）．
解法二：设甲每小时加工x 个零件，乙每小时加工y 个零件，则
⎩
⎨⎧=+=+2083719664y x y x 解得⎩⎨⎧==18
22y x ．
答：甲每小时做22个零件，乙每小时做18个零件．
6、设丽丽有x 元钱 家家有y 元钱 得出：
3/5x=2/3y
2/5x=1/3y+5 （丽丽剩下2/5 家家剩下1/3）
解2元一次方程得x=50 y=45 即丽丽50元 家家45元 书30元一本
池中戏水
1、① 5x+3y=18 ② 2x+3y=11
2x －3y=3 2x －5y=3
7x=15 8y=8
x=3 y=1
y=1 x=4
2、 222
165 解：依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-7
59432a b a b 所以⎩⎨⎧+=-=45
57634a b a b 解得a =222，b =165，故222
165=a b ．
3、44
解：设小长方形的长为x 厘米，宽为y 厘米，
依题意得⎩
⎨⎧=-+=+62)(143y y x y x 解得 x =8，y =2． 则AD =6+2y =6+2⨯2=10．
矩形ABCD 面积=14⨯10=140(平方厘米)．
阴影部分总面积=140-6⨯2⨯8=44(平方厘米)．
4、200，400
解：设做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个．根据题意，得：
⎩
⎨⎧=+=+)2(200034)1(10002 y x y x (1)⨯4-(2)，得20005=y ，400=y ．
把400=y 代入(1)，得1000800=+x ，∴ 200=x ．
∴⎩
⎨⎧==400200y x 答：竖式纸盒做200只，横式纸盒做400只．
5、210，140
解：设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米．依题意得：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(21
720
35)1(93520y x y x 于是(x +y )(35
1201+)=16.5． 所以，x +y =210．将y =210-x 代入①式， 得
9140
4352101407=-+x x ， 即961403=+x ，解得x =140(千米)．
6、8
77
解法一：设汽车的速度为v 千米/小时，则 60
9)4(607)4(⨯-=⨯+v v 解得32=v ．
)(608
776086360327)432(小时÷=⨯=⨯⨯+ 8
77=（分钟） ∴汽车发车间隔是8
77分钟． 解法二：设两车之间的相等的间隔距离为l ，小玲和小车的速度分别为人V 和车V ．
则由题意列方程有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-9171＝＝＋人车
人车V V V V ， ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-91
71＝＝＋人车人车V V V V ，所以638=车V 得出8
778631==车V （分钟），也即是两车间隔时间，结果与前一方法一致．
7、 5
设水池容量为A ,每个排水阀每分钟排水量为x ,进水阀每分钟进水量为y ,于是 A =(x -y )⨯30 A =(2x -y )⨯10
即 30x -30y =20x -10y 或10x =20y ,即x =2y .于是A =30y .30y ÷3x =30y ÷6y =5(分钟).
8、解：设A 型信封的单价为a 分，则B 型信封单价为a-2分
设买A 型信封b 个，则买B 型信封30-b 个
1元5角=150分
ab=150（1）
（a-2）（30-b ）=150（2） 由（2）
30a-60-ab+2b=150
把（1）代入
30a-150+2b=210
30a+2b=360
15a+b=180
b=180-15a
代入（1）
a （180-15a ）=150
a²-12a+10=0
（a-6)²=36-10
a-6=±√26
a=6±√26
a1≈11分，那么B 型信封11-2=9分
a2≈0.9分，那么B 型信封0.9-2=-1.1不合题意，舍去
A 型单价11分，
B 型9分
9、设火车的速度为a 米/秒，车身长为b 米
1分钟=60秒
60a=1000+b
40a=1000-b
100a=2000
a=20米/秒
b=60x20-1000
b=200米
车身长为200米。

车速为20米/秒。