高考数学总复习 热点重点难点专题透析 专题5 第3课时高考中的解析几何解答题练习题 理(1)

（人教专用）2014高考数学总复习 热点重点难点专题透析 专题5

第3课时高考中的解析几何解答题练习题 理

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

1．(2013·山东卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为3

2

，

过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2.若k ≠0，试证明1

kk 1＋

1

kk 2

为

定值，并求出这个定值．

解析： (1)由于c 2

＝a 2

－b 2

，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2

a

.

由题意知2b 2

a

＝1，即a ＝2b 2

.

又e ＝c a ＝

3

2

，所以a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 2

4＋y 2

＝1.

(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0

，

直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．

联立得⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

4

＋y 2＝1，y －y 0＝k x －x 0，

整理得(1＋4k 2

)x 2

＋8(ky 0－k 2

x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 2

0－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－x 2

0)k 2

＋2x 0y 0k ＋1－y 2

0＝0. 又x 20

4

＋y 2

0＝1， 所以16y 20k 2

＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 0

4y 0

.

所以1kk 1＋

1

kk 2＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1＋1k 2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－4y 0x 0·2x 0

y 0

＝－8，

因此

1

kk 1＋1

kk 2

为定值，这个定值为－8.

2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相

交于A ，B 两点，且|AF |＋|BF |＝22，|AB |的最小值为2.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)若圆x 2＋y 2

＝23

的切线L 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当P ，Q 两点横坐标不相等时，

OP (O 为坐标原点)与OQ 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

解析： (1)设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)，F (c,0)(c 2

＝a 2

－b 2

) |AF |＋|BF |＝2a ＝22，∴a ＝ 2. 又|AB |＝2x 0

2

＋2y 0

2

＝2

x 20

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－x 2

0a 2b 2 ＝2

b 2

＋c 2x 20a

2，0≤x 20≤a 2

，

∴|AB |min ＝2b ＝2，∴b ＝1，∴椭圆E 的方程为x 2

2

＋y 2

＝1.

(2)由题设条件可知直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为y ＝kx ＋m . ∵直线L 与圆x 2＋y 2

＝23相切，∴|m |1＋k 2

＝63， ∴m 2

＝23

(k 2＋1)．

将y ＝kx ＋m 代入x 2

2

＋y 2

＝1中得，

(1＋2k 2

)x 2

＋4kmx ＋2m 2

－2＝0，Δ＝8(2k 2

＋1－m 2

)＞0. 令P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2， 则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2①，x 1x 2＝2m 2

－2

1＋2k

2②，

y 1y 2＝k 2

x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2

＝m 2－2k 2

1＋2k

2③.

∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝3m 2－2k 2

－21＋2k 2

＝0， ∴OP

→⊥OQ →，即OP 与OQ 垂直． 3．设点P 是圆x 2＋y 2＝4上任意一点，由点P 向x 轴作垂线PP 0，垂足为P 0，且MP 0

→＝32

PP 0

→. (1)求点M 的轨迹C 的方程；

(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)与(1)中的轨迹C 交于不同的两点A ，B . 若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，求实数m 的取值范围． 解析： (1)设点M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则由题意知P 0(x 0,0)． 由MP 0→＝(x 0－x ，－y )，PP 0→＝(0，－y 0)，且MP 0→＝32PP 0

→，得 (x 0－x ，－y )＝

3

2

(0，－y 0)． ∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x 0－x ＝0，－y ＝－3

2y 0，于是⎩

⎪⎨⎪

⎧

x 0＝x ，y 0＝23y .

又x 20＋y 20＝4，∴x 2

＋43y 2＝4.

∴点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2

3＝1.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

联立⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋m ，x 24＋y

2

3

＝1，

得(3＋4k 2

)x 2

＋8mkx ＋4(m 2

－3)＝0. ∴Δ＝(8mk )2

－16(3＋4k 2

)(m 2

－3)＞0， 即3＋4k 2

－m 2＞0.(*) 且⎩⎪⎨⎪⎧

x 1

＋x 2

＝－8mk 3＋4k 2

，x 1

·x 2

＝4m 2

－3

3＋4k

2

.

依题意，k 2

＝

y 1y 2x 1x 2，即k 2

＝kx 1＋m x 1·kx 2＋m x 2

. ∴x 1x 2k 2

＝k 2

x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2

. ∴km (x 1＋x 2)＋m 2

＝0，即km ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫－8mk 3＋4k 2＋m 2＝0.

∵m ≠0，∴k ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－

8k 3＋4k 2＋1＝0，解得k 2

＝34.

将k 2＝34

代入(*)，得m 2

＜6.