函数教学设计

第五届全国北师大版初中数学优质课评比与观摩活动作品欣赏函数一、教材分析变化是永恒的,我们周围的一切事物都在时刻发生着变化.那么，事物变化的规律怎样？它们变化之间是如何互相影响的？如何从数学的角度对变量与变量之间的关系进行描述？这些问题的提出，就是我本次要上课的内容——函数.（一）对函数内容价值和定位的思考20世纪以前的中学代数的主要内容是“数、式、方程”，其中方程占据着中心的位置.到了20世纪初，在英国数学家贝利（Perry，J.1850~1920）和德国数学家克莱因（Klein，C.F.1849~1925）的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学，这不仅是中学数学教育改革的一件大事，也是整个数学教育改革的一个里程碑.函数是中学数学中最重要的内容之一，它揭示了事物运动变化规律和函数关系的本质，作为一条主线贯穿于中学数学的始终.（二）北师大版初中数学教材对函数内容的具体处理根据国际上对数学课程的研究表明，儿童早期对函数的丰富经验十分重要.因此，在教材中采用“提前渗透”的方式，具体如下：1.在七年级上册《整式及其加减》一章的“代数式”一节中，教材设计了一个“数值转换机”，要求根据输入的数值写出输出的结果，并在随后的“议一议”栏目中要求根据代数式的值探索代数式所表示的规律.这里体现了函数“对应”的特征，同时也是教材第一次渗透了变化思想，对于学生理解抽象的函数概念有所帮助.2.七年级下册《变量之间的关系》一章，第一次初步讨论变量之间的关系，认识变化现象，对今天函数内容的学习作准备.教材通过大量学生感兴趣的日常生活事件或其他学科中的问题(如骆驼的体温)，让学生初步体会变量之间的相互依赖的关系，并让他们经历研究函数的过程，尝试根据具体变化现象中的特征做预测的活动.正是有了七年级的铺垫，本章将继续通过变量间关系的考察，让学生初步体会函数的概念，并进一步研究一次函数，力图通过解剖一次函数这一“麻雀“，使学生了解函数的有关性质和研究方法.（三）函数的学习是循序渐进、螺旋上升的当然，对于理解函数所反映的对应与变化的思想，我们不能一蹴而就.初中阶段对函数的认识仅仅是一个开始，高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时用集合与对应的语言来刻画函数，进一步抽象概括出函数的严格数学定义.此外，在今后的学习中，函数依然扮演着重要的角色，比如大学课程中微积分（又作数学分析）的基本研究对象就是“函数”.总之，函数作为刻画客观世界的一个重要数学模型贯穿了初中阶段学习的始终.同时，函数思想是数学课程的一条主线，它从一个角度链接起了数学课程的许多内容.二、学情分析(一) 学生的知识结构学生在七年级上册已经会结合具体情境列出相应的代数式，而这里所列的代数式实际上就是函数对应值的数学表达式，只是没将函数值对应的量用字母表示出来而已.学生在七年级下册已经体会了变量之间相依关系的普遍性，知道如何判断自变量和因变量，并初步感受了函数的三种表示方式.(二) 学生的身心发展特点八年级学生认知结构简单，知识经验具体而缺乏.在学习过程中，仍以感性思维为主导，理性思维欠缺.(三) 预设学生会碰到的问题学生对于理解抽象的概念有一定的难度，特别是正确认识概念中的“唯一性”.三、教学任务分析（一）教学目标：知识技能：1. 初步理解函数的概念，会在具体情境中判断两个变量间的关系是不是函数关系；2. 会举出现实生活中简单函数的实例，认识到函数是描述客观世界的重要模型；3. 了解在实际问题中自变量的取值范围.数学思考：1. 通过用三种不同方式表示函数的过程,体会模型的思想,进一步发展符号意识；2. 体会抽象出本质属性的过程，发展合情推理能力；3. 能独立思考，体会抽象概括的思维方式.问题解决：1. 初步学会在具体的例证中发现问题，增强应用意识；2. 在小组合作交流的过程中，理解他人的方法，并能进行评价与反思.情感态度：1.积极参与例证的分析，对数学有好奇心和求知欲；2. 在小组合作中敢于发表自己的想法，养成先独立思考，再合作交流的良好习惯.（二）教学重点：建构函数的概念.（三）教学难点：正确认识概念中的“唯一性”.四、教法、学法分析采用“启发式”的教学方法，重心放在学生的“学”上，引导学生经历抽象、归纳、概括的过程，坚持以学生为主体，以教师为主导.具体的教与学将体现在我下面的教学流程中.五、教学过程(一)回顾回顾七年级下册“变量之间的关系”部分内容，过去的都是散的例子，在此基础上，本节继续通过变量关系的考察，逐个分析，寻找共同特征，使学生明确“给定其中某个变量的值，相应的就确定了另一个变量的值”这一共性.（二）提供函数概念例证：提供学生熟悉的具体例证，呈现背景材料，提问学生“如何将摩天轮中存在的变量之间的关系数学化？如何用图像来描述这种变化？”先让学生想象图像应该是什么样子的，之后用微课形式向学生展示摩天轮上一点的高度与时间关系的图像的作图过程，帮助学生理解图像.感受图像中上升、下降的变化.由实际问题到用图像来描述这一变化过程，对学生来讲是个难点.得到图像之后，思考并完成题目：实例1:下图反映了摩天轮上一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的关系.根据上图填表：问：对于给定的时间t ，相应的高度h 确定吗？有七年级以及第三章位置与坐标的学习背景，此处填表学生来讲并不困难，可以独立完成，此处的重点应该放在让学生感受变量之间的对应关系，这有助于学生对后面两个例子的处理以及后面寻找三个例子的本质特征.实例2:罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？问：随着层数n 的增加，物体总数y 是如何变化的？实例3:一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273C ︒，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273C ︒作为热力学温度的零度.热力学温度()T K 与摄氏温度()t C ︒之间有如下数量关系：273,0.T t T =+≥问：当t 分别为43,27C C -︒-︒，0C ︒ 时，相应的热力学温度T 是多少？ 例2、例3的处理让学生独立完成，有例1的铺垫，学生在处理例2、3时寻找具体的对应关系，体会“唯一对应”的函数值.学生从3个熟悉的具体例证出发，思考并分析每个例证的属性.（三）抽象出函数本质属性初步形成概念：舍弃其非本质属性，保留其本质属性.1、独立思考：在这3个例证中，存在着哪些共同点？学生独立思考.2、小组合作，在小组中交流发现的共同点教师巡视，并对小组组员的想法给予鼓励和肯定，对有困难的小组给予一定的指导和帮助；在小组内，鼓励学生质疑，要求学生思考与交流，帮助学生形成自己的看法，并验证其合理性.学生在小组中发表自己的看法，并与同伴交流讨论，找出3个实例中的共同点；每个小组确立一个代表，收集并整理小组成员的想法，准备好发言3、师生共同探讨，请每个小组代表发言，说出小组内找到的这3个例证的共同点；根据小组的回答及时的反馈与调节，小组代表发言，总结小组成员在讨论的过程中发现的共同点；学生可能提出下面一些共同本质属性：小组1跟着教师顺势的引导来找出其共同本质属性：“2个变量，一个变量随着另一个变量的改变而改变，并且一个变量的值确定了另一个变量的值”在小组1的表述中可看出这个小组已经找到了一部分属性，但并不完全正确.此时教师再在此基础上去顺势引导学生.小组2：“以一个未知数的规律得出另一个未知数”在小组2的表述中可看出归纳有所欠缺，没有认识到另一个数的唯一性.针对小组2的情况，设置了下列3个问题来帮助梳理和引导：①在这3个实例所描述的变化过程中存在着几个变量？（预设：学生很容易发现3个实例中都存在2个变量）②在3个实例中，哪个是自变量？哪个是因变量？自变量与因变量之间是否存在关系？对于自变量的每一个值，因变量是否有值与它对应？有几个？小组2跟着教师的引导来发现共同本质属性：①都是2个；②实例1中，t是自变量，h是因变量；实例2中，n是自变量，y是因变量；实例3中，t是自变量，T是因变量.都存在关系.有，1个.4、抽象归纳，与学生共同抽象归纳出3个实例中的共同本质属性——在一个变化过程中，存在着2个变量，对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都能取到唯一的一个值与它对应；在数学中，我们就将拥有这3个实例的共同特征的事物归为一类，并给它起了一个名——就叫做“函数”.“函数”一词最早是由我国数学家李善兰提出的.函数的概念一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数（fuction），其中x是自变量.表示函数的方法一般有：列表法、关系式法和图象法.学生与教师共同抽象归纳出3个实例的共同本质属性.听讲、理解、辨析、记忆.（四）概念的深化：1、辨析关键词2、函数自变量的取值范围：提问：在刚刚的3个例证中，自变量是不是可以取任何值？学生思考并回答，此部分内容让学生了解即可.3、函数值（五）概念的运用：1、举出由概念引发的例子,生活中有哪些变量的关系可以看作函数呢？学生观察，思考并回答.（在这一过程中，提醒学生在举例时紧扣住函数的概念，特别是是否扣住关键词）2、用学生得到的函数概念再去检验其他的对应问题是否符合函数的概念,学生回答并简单说理.①教材P77 随堂练习;②反例(练习并简单辨析)：下列图像中不能表示y是x的函数是（）归纳出概念之后，要对它进行巩固和深化，并检验学生是否真正了解概念，对概念的理解是一个不断细化的过程，抽象的概念必须经过具体的应用才能得到深刻的理解.（六）归纳小结、能力提升：回顾本节课的学习，你收获了什么？先让学生畅谈，再教师补充.强调本节课抽象概括的方法；让学生用自己的语言重述函数的概念.学生回顾、总结、体会.教师应该在此向学生传授本节课我们运用了归纳的数学思想方法抽象出函数的概念.（七）课堂效果检测已知一根铁丝围成一个正方形，若边长为x,周长为y：（1）写出y关于x的函数关系式;（2）写出自变量x的取值范围；（3）求当x=4时所对应的函数值.（八）走出课堂、应用数学：布置作业：1、习题4.1 知识技能1、2，联系拓广 4六、教学设计总体思路作为函数内容的起始课，也是能够体现概念形成过程的一个很好的载体.概念的形成是由特殊到一般，由具体到抽象的过程.对于概念形成的教学，可分为以下几个基本的教学环节：（一）提供函数概念例证：本节课最重要的任务是完成新概念（函数）的建构.新概念的建构，必须抓住概念的本质属性，函数的本质是蕴含在变量之间的一种依存关系，而不是其代数表达式，这是贯穿本节课的一条主线.当然，函数本质属性的揭示，应基于对大量函数原型的分析.对于八年级的学生来说，函数的概念相当抽象，学生认识起来有一定的困难.为此，在这里选择从具有函数关系、生动有趣、简单而又能说明问题的生活实例开始，进行分析说明，以激发学生的好奇心与求知欲.（二）抽象出函数本质属性初步形成概念：独立思考：是一种重要的思维品质，只有经历了独立思考之后的小组合作才是有真正价值的.小组合作：教师引导学生在与他人合作交流中，较好地理解他人的思想方法和结论.共同探讨：在这一过程中，及时地对学生提出的问题进行反馈和调节.从而引导学生舍弃函数的非本质属性，保留其本质属性.小组汇报：因材施教：对较好的小组进行顺势引导即可；对有困难的小组，则根据组员的特点，设置宽窄适宜的路来引导.抽象归纳：本节函数概念的教学，主要是通过概念的获得过程，让学生感悟抽象的数学思想，积累抽象概括的活动经验.因此，教学中不应简单地由教师分析、归纳、概括出函数概念，而应让学生经历抽象、归纳、概括的过程，哪怕这个时间稍长、归纳概括不是那么准确，但只有经历这一过程，学生才能逐渐领悟其中的数学思想，积累相应的活动经验（三）概念的深化：辨析关键词：数学概念是借助于数学语言符号来表述的，其用语、用词一般都非常严谨、精炼，具有高度的概括性.因此，对于函数的概念，教师必须抓住概念中的关键词进行解剖分析，揭示每一个词句、符号的内在含义，使学生深刻理解概念的本质属性.正反两方面认识函数概念：教材中一般都是从正面阐述概念，这容易使学生形成思维定势，妨碍对概念的深刻理解.因此，教师应注意引导学生从正、反两方面去认识概念.利用反例，让学生从反面去认识概念的内涵与外延. 对于函数的概念，对“唯一性”的正确理解是本节课的难点.要让学生正确理解“唯一性”，最好的方法是借助反例.所以，本节课直到这里，才真正全面地完成了函数概念的形成.(四) 概念的运用：学生举例:这种例子越简单越好，学生在举例的过程，就是学生自我消化概念的过程.同时培养了学生“用数学的眼光认识世界”的意识.检验函数:数学概念教学的目的主要是使学生深刻地理解概念，牢固的掌握概念，灵活地运用概念.因此，在学生获得概念之后，就要在实践中运用概念.在实践中运用概念的过程，实质上是概念具体化的过程，而概念的具体化有助于学生对概念的深刻理解和牢固地掌握概念.（五）归纳小结.概念课是数学教学中最重要的内容，而函数的概念又是所有概念中最抽象的.我认为，要较好的完成本节课的教学，必须抓住本节课的一条主线（完成函数概念的建构）来进行展开，而在这建构的过程中，核心是——舍弃其非本质属性，保留其本质属性.。