函数模型的应用实例 优秀教案
高中数学必修一教案-函数模型的应用实例
《函数模型的应用实例》一、教学内容分析：本节课选自人民教育出版社A版的普通高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．本节课的内容是在《几类不同增长的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容之后，对于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了一定的学习，本节课是对以上两节内容的延续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确定性函数模型的实际问题进行建模和应用．这节课的内容继续通过一些实例来感受函数模型的建立和应用，逐步体会实际问题中构建函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包括建立确定性函数模型解决问题及选择或建立拟合函数模型解决问题．例5所给的问题的特点是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律建立数学模型，注意变化范围和检验结果的合理性，同时使用这种有规律的简单数据实例提供了建立数学模型的方法．例6与例5有所区别，表中数据的变化规律特点不是和明显，需要自己根据对数据的理解选择模型，这反映一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，让学生逐步感受和明确这一点．整节课要求学生分析数据，比较各个函数模型的优劣，选择接近实际的函数模型，并应用函数模型解决实际问题．强化读图、读表能力；优化学生思维，提高学生探究和解决问题的能力；强化学生数学应用意识，感受数学的实用性；锻炼学生的吃苦精神，提高学生的团队合作能力．二、教学目标：知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图．2．会利用选择或建立的函数模型．3．会运用函数模型解决实际问题．过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度．3．提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度．三、学生学情分析：1．已掌握了一些基本初等函数的相关知识，有相应的数学基础知识储备．2．在前面的学习中，初步体会了利用给定函数模型解决实际问题的经历，为本节课积累解决问题的经验．3．学生从文字语言向图像语言和符号语言转化较弱；应用意识和应用能力不强；抽象概括和局部处理能力薄弱．四、教学重点、难点重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．五、教学策略分析：基于新课程标准倡导以学生为主体进行探究性学习，教师应成为学生学习的引导者、组织者和合作者的教学理念和最近发展区理论，结合本节课的教学目标，采用如下教学方法：1．问题教学法．在例1的教学中，提出如何能更为直观的发现函数模型，引导学生思考，发现选择函数模型的重要方法，即散点图图像，从而让学生有收获，有成就感．在例2的解决过程中，提出一系列的问题串，学会对问题的剖析，直达问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，并使学生从中体会学习的兴趣．这样可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃，同时培养了学生自主学习，动手探究的能力．2．分组讨论法．在例2的教学中，遇到难以选择模型时，通过小组讨论，拓展思维，加强合作，解决问题；在获得函数模型后和课堂总结中，组织小组讨论，相互交流成果，扩大成果影响力．这样不仅能够培养学生对数学知识的探索精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，培养其学习的主动性．3．多媒体辅助教学法：在教学过程中，采用多媒体教学工具，通过动态演示有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。
高中数学3.2.2函数模型的应用实例第1课时教学设计新人教A版必修1-经典通用宝藏文档
函数模型的运用实例(第一课时)【教学设计】一、教学内容本课是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的运用实例的第一课时。
经过对例3，例4的教学让先生学习领会利用已知的函数模型解决成绩和建立确定的函数模型解决理论成绩，进而掌握建立数学模型解决理论成绩的普通步骤。
二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，发掘隐含条件，建立函数模型；2.领会分段函数模型的理论运用，规范分段函数的标准方式；3.掌握用待定系数法求解已知函数类型的函数模型；4.学会验证数学模型与理论情况能否吻合的方法及运用数学模型进行预测。
5.会利用建立的函数模型解决理论成绩，掌握求解函数运用题的普通步骤；6.培养先生浏览理解、分析成绩、数形结合、抽象概括、数据处理、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.经过实例分析，巩固练习,结合多媒体教学，培养先生读图的能力；2.经过实例使先生感受函数的广泛运用，领会建立函数模型解决理论成绩的普通过程；3.浸透数形结合、转化与化归等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.经过切身感受数学建模的过程，让先生体验数学在理论生活中的运用，领会数学来源于生活又服务于生活，体验数学在解决理论成绩中的价值和作用，激发学习数学的兴味与动力，加强学好数学的认识。
2.培养先生的应意图识、创新认识和勇于探求、勤于考虑的精神，优化先生的理性思想和求真务虚的科学态度。
三、教材分析本课时共有2个例题，其中例3是根据图形信息建立确定的函数模型解决理论成绩；例4 是利用已知的确定的函数模型解决理论成绩，并验证求解出的数学模型与理论情况的吻合程度及用数学模型进行预测。
分别在汽车和人口成绩这两种不同运用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决理论成绩.教学重点1.根据图形信息建立函数模型解决理论成绩.2.用待定系数法求解函数模型并运用.3.将理论成绩转化为数学成绩的过程。
4.示范教案(2.2函数模型的应用举例第1课时)
3.2.2函数模型的使用举例全体规划教育剖析函数根本模型的使用是本章的要点内容之一.教科书用4个例题作演示，并装备了较多的实践问题让学生进行操练.在4个例题中，别离介绍了分段函数、对数函数、二次函数的使用.教科书中还浸透了函数拟合的根本思想.经过本节学习让学生进一步娴熟函数根本模型的使用，进步学生处理实践问题的才能.三维方针1.培育学生由实践问题转化为数学问题的建模才能，即依据实践问题进行信息归纳列出函数解析式.2.会使用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学定论，并依据数学定论处理实践问题.3.经过学习函数根本模型的使用，领会实践与理论的联系，开端向学生浸透理论与实践的辩证联系.要点难点依据实践问题剖析树立数学模型和依据实践问题拟合判别数学模型，并依据数学模型处理实践问题.课时组织2课时教育进程第1课时函数模型的使用实例导入新课思路1.(情形导入)在讲义第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，可是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，因为澳洲有旺盛的牧草，并且没有兔子的天敌，兔子数量不断添加，不到100年，兔子们占据了整个澳大利亚，数量到达75亿只.心爱的兔子变得憎恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大下降，而牛羊是澳大利亚的首要牲口.这使澳大利亚人头痛不已，他们选用各种办法消除这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家选用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.与之相应的图中话道出了其间的意蕴：关于一个种群的数量，假如在抱负状况(如没有天敌、食物足够等)下，那么它将呈指数增加；但在天然状况下，种群数量一般契合对数增加模型.上一节咱们学习了不同的函数模型的增加差异，这一节咱们进一步评论不同函数模型的使用.思路2.(直接导入)上一节咱们学习了不同的函数模型的增加差异，这一节咱们进一步评论不同函数模型的使用.推动新课新知探求提出问题①我市有甲、乙两家乒乓球沙龙，两家设备和服务都很好，但收费办法不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超越30小时的部分每张球台每小时2元.小张预备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时刻不少于15小时，也不超越40小时.设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x).②A、B两城相距100 km，在两地之间隔A城x km处D 地建一核电站给A、B两城供电，为确保城市安全.核电站距城市间隔不得少于10 km.已知供电费用与供电间隔的平方和供电量之积成正比，份额系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月.把月供电总费用y表明成x的函数，并求定义域.③剖析以上实例归于那种函数模型.评论成果：①f(x)=5x(15≤x≤40).g(x)=②y=5x2+(100—x)2(10≤x≤90)；③别离归于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型.使用示例思路1例1一辆轿车在某段旅程中的行进速率与时刻的联系如图所示.1.求图3-2-2-1中暗影部分的面积，并阐明所求面积的实践意义；2.假定这辆轿车的里程表在轿车行进这段旅程前的读数为2004km,试树立行进这段旅程时轿车里程表读数s km与时刻t h的函数解析式，并作出相应的图象.图3-2-2-1活动：学生先考虑或评论，再答复.教师依据实践，能够提示引导：图中横轴表明时刻，纵轴表明速度，面积为旅程；因为每个时刻段速度不断改变，轿车里程表读数s km与时刻t h 的函数为分段函数.解：(1)暗影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.暗影部分的面积表明轿车在这5小时内行进的旅程为360 km.(2)依据图，有s=这个函数的图象如图3-2-2-2所示.图3-2-2-2变式练习2007深圳高三模仿，理19电信局为了满意客户不同需求，设有A、B两种优惠计划，这两种计划敷衍话费(元)与通话时刻(分钟)之间联系如下图(图3-2-2-3)所示(其间MN∥CD).1.别离求出计划A、B敷衍话费(元)与通话时刻x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；2.假设你是一位电信局推销人员，你是怎么协助客户挑选A、B两种优惠计划？并阐明理由.图3-2-2-3解：(1)先列出两种优惠计划所对应的函数解析式：f(x)=g(x)=(2)当f(x)=g(x)时,x-10=50,∴x=200.∴当客户通话时刻为200分钟时，两种计划均可;当客户通话时刻为0≤x＜200分钟，g(x)>f(x),故挑选计划A；当客户通话时刻为x>200分钟时，g(x)<f(x),故选计划B.点评：在处理实践问题进程中，函数图象能够发挥很好的效果，因而，咱们应当留意进步读图的才能.别的，本例题用到了分段函数，分段函数是描写现实问题的重要模型.例2人口问题是当今世界各国遍及重视的问题.知道人口数量的改变规则，可认为有用控制人口增加供给依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了天然状况下的人口增加模型：y=y0e rt,其间t表明经过的时刻，y0表明t=0时的人口数，r表明人口的年均匀增加率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料：年份1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959人数／万人55196563057482587966026661456628286456365994672071.假如以各年人口增加率的均匀值作为我国这一时期的人口增加率(准确到0.000 1),用马尔萨斯人口增加模型树立我国在这一时期的详细人口增加模型，并查验所得模型与实践人口数据是否相符；2.假如按表的增加趋势，大约在哪一年我国的人口到达13亿？解：(1)设1951～1959年的人口增加率别离为r1,r2,r3,…,r9.由55196(1+r1)=56300，可得1951年的人口增加率为r1≈0.020 0.同理,可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.所以，1950～1959年期间，我国人口的年均匀增加率为r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.令y0=55 196，则我国在1951～1959年期间的人口增加模型为y=55 196e0.0221t,t∈N.依据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t(t∈N)的图象(图3-2-2-4).图3-2-2-4由图能够看出，所得模型与1950～1959年的实践人口数据根本符合.(2)将y=130000代入y=55 196e0.0221t,由核算器可得t≈38.76.所以，假如按表的增加趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已到达13亿.由此能够看到，假如不实施计划生育，而是让人口天然增加，今日我国将面对难以承受的人口压力.变式练习一种放射性元素,开端的质量为500 g,按每年10%衰减.1.求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式;2.由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为本来的一半所需的时刻叫做半衰期).(准确到0.1.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)解：(1)开端的质量为500 g.经过1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91;经过2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92;由此推知,t年后,ω=500×0.9t.(2)解方程500×0.9t=250,则0.9t=0.5,所以t==≈6.6(年),即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.知能训练某电器公司出产A型电脑.1993年这种电脑每台均匀出产本钱为5 000元,并以纯赢利20%确认出厂价.从1994年开端,公司经过更新设备和加强管理,使出产本钱逐年下降.到1997年,虽然A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却完成了50%纯赢利的高效益.1.求1997年每台A型电脑的出产本钱;2.以1993年的出产本钱为基数,求1993年至1997年出产本钱均匀每年下降的百分数.(准确到0.01,以下数据可供参考:=2.236,=2.449)活动：学生先考虑或评论，再答复.教师依据实践，能够提示引导.出厂价=单位产品的本钱+单位产品的赢利.解：(1)设1997年每台电脑的出产本钱为x元,依题意,得x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).(2)设1993年至1997年间每年均匀出产本钱下降的百分率为y,则依题意,得5000(1－y)4=3200,解得y1=1－,y2=1+(舍去).所以y=1－≈0.11=11%,即1997年每台电脑的出产本钱为3 200元,1993年至1997年出产本钱均匀每年下降11%.点评：函数与方程的使用是本章的要点，请同学们领会它们的联系.拓宽提高某家电企业依据市场调查剖析，决议调整产品出产计划，预备每周(按120个工时核算)出产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少出产60台.已知出产这些家电产品每台所需工时和每台产量如下表：家电称号空调彩电冰箱每台所需工时每台产量(千元) 4 3 2问每周应出产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产量最高？最高产量是多少?(以千元为单位)解：设每周出产空调、彩电、冰箱别离为x台、y台、z 台，每周产量为f千元，则f=4x+3y+2z，其间由①②可得y=360-3x,z=2x,代入③得则有30≤x≤120.故f=4x+3(360-3x)+2·2x=1080-x,当x=30时，f max=1 080-30=1050.此刻y=360-3x=270,z=2x=60.答:每周应出产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产量最高，最高产量为1 050千元.点评：函数方程不等式有着亲近的联系，它们彼此转化组成一个有机的全体,请同学们凭借上面的实例仔细领会.讲堂小结本节要点学习了函数模型的实例使用，包含一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；别的还应重视函数方程不等式之间的彼此联系.活动：学生先考虑或评论，再答复.教师提示、指点，及时点评.引导办法：从根本知识和根本技能两方面来总结.作业讲义P107习题3.2A组5、6.规划感触本节规划从风趣的故事开端，让学生从故事中领会函数模型的挑选，然后经过几个实例介绍常用函数模型.接着经过最新题型练习学生由图表转化为函数解析式的才能，然后处理实践问题，本节的每个例题的资料都是靠近现代生活,学生十分感兴趣的问题,很简单引起学生的共识.(规划者：林大华)。
函数模型的应用实例教案
函数模型的应用实例教案教案：函数模型的应用实例一、课程背景在数学教学中，函数是一个非常重要的概念，在实际生活中也有许多应用。
函数模型是数学中一种常用的模型方法，它可以很好地描述和解决一些实际问题。
本课程将以函数模型的应用实例为切入点，帮助学生理解函数模型的概念和运用方法。
二、教学目标1.知识与能力目标：-理解函数模型的基本概念；-掌握函数模型的建立方法；-运用函数模型解决实际问题。
2.过程与方法目标：-引导学生发现问题和解决问题的方法；-培养学生的创新思维和实际应用能力；-培养学生的合作学习和表达能力。
3.情感态度和价值观目标：-培养学生对数学的兴趣和热爱；-培养学生的团队协作和分享精神；-培养学生的实际问题解决能力。
三、教学过程1.引入（10分钟）-介绍函数的概念和作用，以及函数模型在实际中的应用；-分享一个有关函数模型的实际问题，如汽车行驶的距离与时间的关系。
2.探究（20分钟）- 提出一个问题：假设一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶时间为t小时，求行驶的距离d；-学生们自主讨论解决此问题的思路和方法；-指导学生建立函数模型：行驶距离d与行驶时间t之间的关系可以用函数d(t)表示，其中d(t)=60t。
3.拓展（30分钟）-提出更多有关函数模型的实际问题，如货物运输成本与距离的关系、人口增长与时间的关系等；-学生们自主讨论解决这些问题的方法，并建立相应的函数模型；-学生们分为小组，互相分享并比较各自的解决方法和函数模型。
4.总结（15分钟）-引导学生总结函数模型的建立方法：观察题目中的各种因素，确定变量及其之间的关系，建立函数模型；-引导学生总结函数模型的应用领域：经济、物理、生物等各个领域均有函数模型的应用。
5.展示（20分钟）-邀请几个学生上台演示他们解决实际问题的步骤和函数模型；-学生们展示自己的函数模型，分享成功的经验和困惑；-整理和归纳学生们的展示内容，进行点评和讨论。
六、教学评价1.形成性评价：观察学生的探究过程和成果，给予及时的反馈和指导；2.自评和互评：学生们根据课堂表现、参与度和拓展能力进行自我评价和互评；3.总结性评价：布置作业，让学生运用函数模型解决其他实际问题，并提交书面报告。
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。
1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。
（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。
1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。
（2）函数模型在实际问题中的应用实例。
第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。
2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。
2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。
（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。
第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。
3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。
3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。
（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。
第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。
4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。
4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。
（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。
第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。
5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。
（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。
5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。
（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。
高中数学教材必修一《函数模型的应用实例》教案
3.2.2函数模型的应用实例教案教学目标知识与技能掌握一些普遍使用的函数模型（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例。
过程与方法通过实例，感知并体会函数在实际生活中的应用，能利用函数图象、解析式等有关知识正确解决生活中的数学问题。
情感、态度与价值观通过实例，提高解决实际问题的能力，发挥个人的能力，构建数学模型，养成独立思考问题的能力。
教学重点与难点:函数模型的选取与求解。
教学过程设计第一课时已知函数模型解实际问题例1、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。
（1）求略中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。
解：（1）阴影部分的面积为50×1 + 80×1 + 90×1 + 75×1 +65×1 = 360，阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km。
（2）根据上图，有502004,0180(1)2054,1290(2)2134,2375(3)2224,3465(4)2299,45t tt ts t tt tt t+≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩，这个函数的图象如右图所示。
h VH 小结：由函数图象，可以形象直观地研究推断函数关系，可以定性地研究变量之间的变化趋势，是近年来常见的应用题的一种题型，其出发点是函数的图象，处理问题的基本方法就是数形结合。
练习1：向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）(A) (B) (C) (D)练习2：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案一、教学目标1. 理解函数模型在实际问题中的应用。
2. 学会构建函数模型解决实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力和创新思维。
二、教学内容1. 函数模型概述2. 常见函数模型及其应用3. 函数模型的构建方法4. 函数模型在实际问题中的应用案例分析5. 函数模型的评估与优化三、教学重点与难点1. 教学重点：函数模型在实际问题中的应用，函数模型的构建方法。
2. 教学难点：函数模型的评估与优化。
四、教学方法1. 案例分析法：通过实际问题案例，引导学生学会构建函数模型解决问题。
2. 讨论法：分组讨论，分享不同函数模型在实际问题中的应用。
3. 实践操作法：让学生动手实践，优化函数模型。
五、教学准备1. 教学PPT2. 实际问题案例及解决方案3. 计算机软件（如MATLAB、Excel等）4. 练习题教案内容示例：第一课时：函数模型概述1. 导入：介绍函数模型在实际生活中的应用，如线性规划、最优化问题等。
2. 讲解：讲解函数模型的概念、特点和分类。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生理解函数模型。
4. 练习：让学生练习构建简单的函数模型。
第二课时：常见函数模型及其应用1. 导入：介绍常见函数模型，如线性函数、二次函数等。
2. 讲解：讲解常见函数模型的性质及其在实际问题中的应用。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生运用常见函数模型解决问题。
4. 练习：让学生运用常见函数模型解决实际问题。
后续课时依次讲解函数模型的构建方法、函数模型在实际问题中的应用案例分析、函数模型的评估与优化等内容。
教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数模型在实际问题中的应用。
注重培养学生的创新思维和动手实践能力，提高他们的数学建模能力。
六、教学活动设计1. 课堂讲解：介绍函数模型的基本概念和重要性。
2. 案例分析：分析实际问题，引导学生识别和构建函数模型。
人教版高中必修13.2.2函数模型的应用实例教学设计
人教版高中必修13.2.2函数模型的应用实例教学设计一、背景函数模型在数学教育中占据重要的地位。
它是数学学科的一个重要的概念，不仅是后续内容的基础，而且在现实中也有着广泛的应用。
应用函数模型来解决实际问题是数学教育的一个重要目标。
在高中数学教育中，必修13.2.2通过一系列的例子，让学生更深入地了解函数模型的应用和意义。
二、教学目标1.了解什么是函数模型；2.掌握函数模型的建立方法和应用技巧；3.通过具体实例了解函数模型在实际中的应用；4.提高分析解决实际问题的能力和思维方式。
三、教学内容1.函数模型的定义、基本性质和应用场景；2.函数模型的建立方法及步骤；3.函数模型的应用实例，如卡路里计算器、房屋面积计算器等。
四、教学步骤第一步：引入通过介绍“什么是函数模型”，让学生明确本节课的学习目标。
可以通过简单的实例，例如汽车耗油量和速度之间的关系，引出函数模型的概念。
第二步：知识点讲解讲解函数模型的定义、基本性质以及应用场景。
特别是要重点讲解函数模型在实际应用中的作用和意义。
教师可以通过多个实例来解释函数模型，让学生更加深入地理解。
第三步：实例分析选取一个具体的应用场景，例如卡路里计算器，引导学生分析这个问题，通过解决问题的过程引出函数模型的建立。
1.首先，让学生了解什么是卡路里，以及怎样计算卡路里的数量；2.其次，引导学生思考如何建立一个计算卡路里的函数模型；3.最后，让学生自己动手建立函数模型，根据不同的输入变量（例如食品的重量、脂肪含量等），计算出相应的输出结果（卡路里的数量）。
第四步：总结通过对实例的分析，引导学生总结建立函数模型的步骤和方法，并让他们思考函数模型在实际应用中的作用和意义。
五、教学评价1.学生能够正确理解什么是函数模型以及函数模型的应用场景；2.学生能够熟练掌握函数模型的建立方法及步骤；3.学生能够应用函数模型解决实际问题，并给出合理的解释；4.学生能够分析解决实际问题的能力和思维方式得到提升。
函数模型的应用实例 优秀教案
函数模型的应用实例【教学目标】1．知识与技能：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题。
2．过程与方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性。
3．情感、态度、价值观：体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值。
【教学重难点】1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题。
2．教学难点：将实际问题转变为数学模型。
【教学过程】一、问题情境：问题1：函数的定义是什么？函数的三要素是什么？函数关系有几种表现形式？问题2：根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7．3%，那么在2001年至2020年，各年的GDP 可望为2000年的多少倍？二、生活动与数学运用：例1.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元。
分别写出总成本C （万元）、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式。
例2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T-T a =（T 0-T a ）·（21）h t，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期。
现有一杯用880C热水冲的速溶咖啡，放在24C0的房间中，如果咖啡降温到400C需要20min，那么降温到350C时，需要多长时间？例3.在经济学中，函数f（x）的边际成本函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+（1）-f（x）。
某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台（x∈N*）的收入函数为R（x）=3000x-20x2（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差。
教学设计：3.2.2 函数模型的应用实例
§3.2.2函数模型的实际应用教学目标：知识与技能：将实际问题转化为函数模型．过程与方法：能够借助函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）解决实际问题，了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点：将实际问题转化为函数模型，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学过程例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x－250).付给报社的总价为30·0.20x.解：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y为y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x－250)－30·0.20x=0.5x+625，x∈［250，400］.因函数y在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？图3－2－1－15解：(1)依题意，得y =⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤.101,32032,10,6t t t t (2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则32-t 1+320=4，t 1=4.因而第二次服药应在11:00； 设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有32-t 2+32032-(t 2－4)+320=4，解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00； 设第四次服药在第一次后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，32-(t 2－4)+32032-(t 2－9)+320=4，解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f (x )表示学生接受概念的能力〔f (x )的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式： f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-.3016.1073,1610.59,100.436.21.02x x x x x x(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解：(1)当0<x ≤10时，f (x )=－0.1x 2+2.6x +43=－0.1(x －13)2+59.9，由f (x )的图象，知当x =10时，［f (x )］max =f (10)=59；当10<x ≤16时，f (x )=59；当16<x ≤30时，f (x )=－3x +107，由f (x )的图象，知f (x )<－3×16+107=59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟.(2)∵f (5)=－0.1×(5－13)2+59.9=53.5，f (20)=－3×20+107=47<53.5，∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练. 拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式.②分段函数解析式的求法.③函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3－2－1－18(1)、图3－2－1－18(2)、图3－2－1－18(3)所示.其中图3－2－1－18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3－2－1－18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3－2－1－18(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系.图3－2－1－18(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )、国内市场的日销售量g (t )与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元? 分析：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式.2.在t ∈［0，40］上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段.3.回忆函数最值的求法.解：(1)f (t )=⎩⎨⎧≤<+-≤≤,4030,2406,300,2t t t t g (t )=203-t 2+6t (0≤t ≤40).(2)每件A 产品销售利润h (t )=⎩⎨⎧≤≤≤≤.4020,60,200,3t t t . 该公司的日销售利润F(t )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+-≤≤--,4030),240203(60,3020),8203(60,200),8203(3222t t t t t t t t t ， 当0≤t ≤20时，F(t )=3t (203-t 2+8t )，先判断其单调性. 设0≤t 1＜t 2≤20，则F(t 1)－F(t 2)=3t 1(203-t 12+8t 1)－3t 2(203-t 22+8t 2)=209-(t 1+t 2)(t 1－t 2)2. ∴F(t )在［0，20］上为增函数.∴F(t )max =F(20)=6 000<6 300.当20<t ≤30时，令60(203-t 2+8t )>6 300，则370<t <30; 当30<t ≤40时，F(t )=60(203-t 2+240)<60(203-×302+240)=6 300， 故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6 300万元.点评：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点.2.在t ∈［0，40］上，有几个分界点，t =20，t =30两点把区间分为三段.3.二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一.课堂小结本节学习了:幂函数、指数函数、对数函数的应用.作业课本P 107习题3.2A 组3、4.。
函数模型的应用举例 优秀教案
下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 … y 300×20 = 6000 (300 – 10×1)(20 + 2×1) = 6380 (300 – 10×2)(20 + 2×2) = 6720 (300 – 10×3)(20 + 2×3) = 7020 (300 – 10×4)(20 + 2×4) = 7280 (300 – 10×5)(20 + 2×5) = 7500 (300 – 10×6)(20 + 2×6) = 7680 (300 – 10×7)(20 + 2×7) = 7820 (300 – 10×8)(20 + 2×8) =7920 (300 – 10×9)(20 + 2×9) = 7980 (300 – 10×10)(20 + 2×10) = 8000 (300 – 10×11)(20 + 2×11) = 7980 (300 – 10×12)(20 + 2×12) = 7920 (300 – 10×13)(20 + 2×13) = 7820 …
培养学生 分析归纳、概 括能力.从而初 步体验解应用 题的规律和方 法.
让学生自己读题，并回答下列问 2．二次函数模型的 应用 例 2 某农家旅游公司 有客房 300 间，每间日 房租 20 元，每天都客 满.公司欲提高档次，并 提高租金.如果每间客房 每日增加 2 元，客房出 租数就会减少 10 间.若 不考虑其他因素，旅社 将房间租金提高到多少 时，每天客房的租金总 收入最高？ 师生合作由实际问题建模，让学生尝试 解答. 例 2 解答：方法一 依题意可列表如 题： ①题目求什么，应怎样设未知量； ②每天客房的租金收入与每间客房 的租金、客房的出租数有怎样的关系； ③学生完成题目. 法一：用列表法求解.此法可作为学 生探求思路的方法，但由于运算比较繁 琐，一般不用，应以法二求解为重点.对 法二让学生读题，回答问题.教师指导， 学生自己动手解题. 解应用题 首先要读懂题 意，设计出问 题指导学生审 题，建立正确 的数学模型. 同时，培养学 生独立解决问 题的能力.
函数模型的应用 高中数学获奖教案
4.5.3函数模型的应用（第一课时）(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第四章)一、教学目标1. 能够认识数学模型的含义，利用已知的函数模型解决实际问题；2. 体会求解模型的过程，初步体验数学建模的基本步骤，能够正确认识数学求解的结论与实际问题结果的差异；3. 感悟数学的科学价值、应用价值，提升数据分析与数学建模核心素养.二、教学重难点重点：利用已知的函数模型解决实际问题.难点：对于碳14半衰期及衰减率的理解及验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合.三、教学过程1.情境引入1.1创设情境，引发思考例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据，早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus ，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型： ，其中t 表示经过的时间， 表示t=0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率.（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型.（2）利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿?2.例题讲解2.1问题串引导，体会建模过程问题1：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，要确定其中的哪些量？0rt y y e【预设答案】人口初始量及年平均增长率． 追问1：我国自1950年起的人口增长模型中人口初始量是多少？【预设答案】依题意是1950年末的人口总数55196万．追问2：如果1950年为初始年记作，1959年是经过了几年，？ 【预设答案】1959年是经过了9年，．追问３：如何计算1950年－1959年的年平均增长率？【预设答案】根据已知得，，，利用人口增长模型可以求出年平均增长率．解：（1）设1950年至1959年我国各年人口增长率为，由，由计算工具得我国1950年至1959年期间人口增长率 ． 已知，则我国1950年至1959年期间人口增长模型为．【设计意图】数学建模是为了解决实际问题，在2021年全国第七次人口普查的背景下借助人口增长这一实例，让学生感受“数学建模”是非常具有现实意义的，有科学价值.问题2：所得模型与实际人口数据是否相符？【预设答案】利用我们确定的人口增长模型求得我国1950年至1959年期间各年末人口总数，再与国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数相比较，检验所得模型与实际人口数据是否相符．解：首先我们利用人口增长模型求得我国1950年至1959年期间各年末人口总数，再查阅国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数列出下表，相比较知所得模型与实际人口数据基本相符． 年份 1951 19521953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得人口总数／万5641757665 58940 60243 61576 62938 64330 65753 人口数/万 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994【教师活动】我们也可以画出函数的图象，并根据国家统计局0y r 0y 0t =?t =9t =r 055196y =67202y=9t =0rt y y e =r r 96720755196r e =0.021876r ≈055196y =[]0.021*********,9t y e t =∈，[]0.021*********,9t y e t =∈，[]0.021*********,9t y e t =∈，网站公布的各年末的实际人口总数数据画出散点图，通过函数图象观察所得模型与1950年至1959年期间实际人口数据是否吻合．【教师活动】教师通过计算机工具呈现函数图象与实际人口数据散点图．【设计意图】引导学生验证模型，体会数学建模的思维过程.问题3：如果利用所得模型计算，那么大约在哪一年我国人口数达到13亿？ 【预设答案】将代入，得即 由计算工具得 ．那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国人口达到13亿．问题4：事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿，对由函数模型所得结果与实际状况不符，你有何看法？【预设答案】因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大的矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策，因此，这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，所以得到的结果与实际不符的情况．【教师活动】在人口红利出现拐点，老龄化加速的背景下我国逐步放开了二胎政策，有兴趣的同学可以继续关注国家统计局网站中有关人口数据，探究我国人口变化的规律．【设计意图】使学生明确使用已知模型的前提条件，并正确认识数学求解的结论与实际问题结果的差异.问题5：根据上述例题建模过程，总结数学建模的过程步骤？【预设答案】提出问题、建模、求解、检验.【设计意图】引导学生经历数学建模的完整过程步骤.[]0.021*********,9t y e t =∈，130000y =[]0.021*********,9t y e t =∈，0.02178613000055196t e =，0.02178613000055196t e =，39.15t ≈3.巩固练习，实际应用例4 2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？问题1：我们可以建立怎样的数学模型来推断良渚古城水利系统中水坝的建成年代？【预设活动】学生回答，教师补充（寻找死亡生物体内碳14残留量与时间的关系）【设计意图】引导学生自主探究，培养学生解决问题的能力.问题2：根据课本P115的阅读与思考，了解碳14年代推测模型，你能选出合适的函数模型吗？【预设活动】学生：可以选择指数模型.教师：若设死亡生物体内碳14的初始含量为，年衰减率为，生物死亡的年数为，死亡生物体内碳14含量为，则与间有何种对应关系？学生：（教师各变量范围）【设计意图】从课本中的拓展材料出发，提高学生解决问题的兴趣与好奇心.问题3：如果利用这一对应关系由碳14的残留量推断此水坝建成的大概年代，需要确定(,0;0,1)x y ka k R k a a =∈≠>≠k (01)p p <<x x y x (1)(R,0;01,0)x y k p k k p x =-∈≠<<≥哪个参数？【预设答案】需要确定和教师：如何求解年衰减率学生：用半衰期求解，阅读材料中已知碳14半衰期为5730年，代入函数关系式求解. 解：由，解得问题4：利用模型推断此水坝大概是什么年代建成的？【预设活动】学生代入条件解决问题，教师在一边指导，最后，请学生将他的解答过程通过黑板或者多媒体展示给大家.解：由已知检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，得 即 ，解得， 由计算工具得 ．因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此大坝是公元前2902年建成的．【设计意图】在探究的基础上，遵循严谨的科学原则，巩固建模的思维过程和求解步骤. 4.归纳小结问题1：在本节课中，我们主要研究了哪些函数模型？它们可以帮助我们解决怎样的实际问题？给定函数模型，如何根据实际数据确定模型中的参数？利用具体的函数模型分析和解决实际问题时需要注意些什么？【预设答案】本节课主要学习了马尔萨斯人口增长模型和碳14年代推测模型，它们分别在人口增长以及考古研究中有重要的应用.当给定函数模型时，要正确理解所给函数模型中变量的实际意义，结合条件得到方程，并利用信息技术求出参数的值.利用具体的函数模型分析和解决实际问题时，需要注意其适用条件.【教师活动】通过本节课的学习，我们体会到函数在描述客观世界中变量关系和规律的作k pp 57301(1)2k k p =-1p -=1p =-((R,0;01,0)x y k k k p x =∈≠<<≥55.2%(x k k =55.2%(x =log 0.552x =4912x ≈用，在面临实际问题时应该选择合适的函数模型刻画规律.问题2：回顾数学建模的过程和步骤？【预设答案】提出问题、建模、求解、检验.【设计意图】（1）梳理本节课对于数学建模的认知；（2）回顾本节课所学内容，感悟函数在实际生活中的应用价值.四、课后作业课本P150 T1&T3【设计意图】考察学生本节课的掌握情况，巩固数学建模过程和步骤.。
高中数学《函数模型的应用实例》教案2新人教A版必修1(优秀经典公开课比赛教案)
课题：§321几类不同增长的函数模型教学目标：知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性.过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.教学重点：重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.难点怎样选择数学模型分析解决实际问题.教学程序与环节设计: 实际问题引入，激发学生兴趣.选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异.总结例题的探究方法，并进一步探索研究幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，形成结论性报告.师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤.强化基本方法，规范基本格式.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用.4）你能借助计算器或计算机作出函数图象, 并通过图象描述一下三种方案的特点吗？生：对三种方案的不同 变化趋势作出描述，并 为方案选择提供依据.师：引导学生分析影响 方案选择的因素，使学 生认识到要做出正确 选择除了考虑每天的 收益，还要考虑一段时 间内的总收益.例2•某公司为了实现 1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利 润达到10万元时，按销售利润进行奖励， 且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过 5万元，同时奖金不超过利 润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x y = log 7 x 1 y = 1.002x .问：其中哪个模型能符合公司的要求？ 探究：师：引导学生分析问题 使学生得出：要对每一 个奖励模型的奖金总 额是否超出5万元，以 及奖励比例是否超过 25%进行分析，才能做 出正确选择.环节 呈现教学材料 师生互动设计师：引导学生利用函数 图象分析三种方案的 不同变化趋势.5）根据以上分析，你认为就作出如何选择?组织探究生：通过自主活动，分 析整理数据，并根据其 中的信息做出推理判 断，获得累计收益并给 出本全的完整解答，然 后全班进行交流.师：引导学生分析三种 函数的不同增长情况 对于奖励模型的影响， 使学生明确问题的实 质就是比较三个函数 的增长情况.生：进一步体会三种基 本函数模型在实际中 的广泛应用，体会它们 的增长差异.1）本例涉及了哪几类函数模型? 本例的实质是什么？2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励 模型是否符合公司要求吗？。
函数模型的应用实例 说课稿 教案 教学设计
函数模型的应用实例●三维目标1．知识与技能(1)能利用给定函数模型解决实际问题；(2)通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合；(3)增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力．2．过程与方法(1)通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型；(2)根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式．3．情感、态度与价值观应用数学知识解决实际问题．培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务．●重点难点重点：根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式．难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．重难点突破：结合学生的知识水平，在引导学生选择数学模型分析解决实际问题的同时总结该类问题的解法：(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；(2)列式比较法：若题中所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决.课前自主导学指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0) 分段函数模型 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f 1(x )，x ∈D 1f 2(x )，x ∈D 2……f n (x )，x ∈D n知识2应用函数模型解决问题的基本过程课堂互动探究类型1 一次(二次)函数建模问题某校高一(2)班共有学生51人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a 元，若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用228元，其中，纯净水的销售价x (元/桶)与年购买总量y (桶)之间满足如图3－2－7所示关系．图3－2－7(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当a ＝120时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由；(3)当a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？【思路探究】 用待定系数法求(1)→分别计算全体学生饮用纯净水的年总费用与购买饮料的总费用并比较大小→建立函数模型→利用函数最值求解．【自主解答】 (1)设y ＝kx ＋b (k ≠0)，∵x ＝8时，y ＝400；x ＝10时，y ＝320.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 400＝8k ＋b ，320＝10k ＋b ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－40，b ＝720， ∴y 关于x 的函数关系式为y ＝－40x ＋720(x >0)．(2)该班学生买饮料每年总费用为51×120＝6 120(元)．当y ＝380时，380＝－40x ＋720，得x ＝8.5，该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×8.5＋228＝3 458(元)，所以，饮用桶装纯净水的年总费用少．(3)设该班每年购买纯净水的费用为P 元，则P ＝xy ＝x (－40x ＋720)＝－40(x －9)2＋3 240，∴当x ＝9时，P max ＝3 240.要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少，则51a ≥P max ＋228，解得a ≥68，故a 至少为68元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少．1．用一次函数模型解决实际问题的原则和关注点(1)原则：一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也较简单．(2)关注点：用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式．对于一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)，当a >0时为增函数，当a <0时为减函数．另外，要结合题目理解(0，b )或⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0这些特殊点的意义． 2．利用二次函数求最值的方法及注意点(1)一般方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．(2)注意点：利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低，为17.5万元，构成二次函数对应图象的顶点．(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数关系式；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？【解】 (1)y ＝a (x －15)2＋17.5，将x ＝10，y ＝20代入上式，得20＝25a ＋17.5.解得a ＝110.所以y ＝110(x －15)2＋17.5(10≤x ≤25)．(2)设利润为Q (x )，则Q (x )＝1.6x －y ＝1.6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2－3x ＋40＝－110(x －23)2＋12.9(10≤x ≤25)．因为x ＝23∈[10,25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.类型2 分段函数建模问题某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x 吨．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费．【思路探究】 由收费标准可知，水费与用水量之间存在两种不同对应关系，所以应分类讨论，建立分段函数模型．【自主解答】 (1)当甲用户的用水量不超过4吨，即5x ≤4时，乙用户的用水量也不超过4吨，即：y ＝(5x ＋3x )×1.80＝14.4x ；同理可得当45<x ≤43时，y ＝20.4x －4.8；当x >43时，y ＝24x －9.6.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 14.4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤45，20.4x －4.8 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<x ≤43，24x －9.6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.40；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.40；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.40，得x ＝1.5. ∴甲用户用水量为5x ＝7.5(吨)，付费y 1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)．乙用户用水量为3x＝4.5(吨)，付费y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各个边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．2．本题在求解过程中，个别同学常因不理解“超过部分”而导致运算出错．如图3－2－8，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(t>0)左侧的图形的面积为f(t)，试求函数f(t)的解析式．图3－2－8【解】OB所在的直线方程为y＝3x.当x∈(0,1]时，由x＝t，求得y＝3t，所以f(t)＝32t2；当t∈(1,2]时，f(t)＝3－32(2－t)2；当t∈(2，＋∞)时，f(t)＝3，∴f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2，t ∈(0，1]，3－32(2－t )2，t ∈(1，2]，3，t ∈(2，＋∞).类型3 指数(对数)型函数建模问题大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现v 与log 3Q 100成正比，且当Q ＝900时，v ＝1.(1)求出v 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s 时耗氧量的单位数；(3)一条鲑鱼要想把游速提高1m/s ，其耗氧量的单位数应怎样变化？【思路探究】 设出v ＝k log 3Q 100→由点(900,1)在曲线上求k →由v ＝1.5，求Q →由v 2－v 1＝1，求Q 2Q 1. 【自主解答】 (1)设v ＝k ·log 3Q 100，∵当Q ＝900时，v ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴v 关于Q 的函数解析式为v ＝12log 3Q 100.(2)令v ＝1.5，则1.5＝12log 3Q 100，∴Q ＝2700，故一条鲑鱼的游速是1.5m/s 时耗氧量为2700个单位．(3)设鲑鱼耗氧量为Q 1，Q 2时，游速分别为v 1、v 2，由题意：v 2－v 1＝1，即12log 3Q 2100－12log 3Q 1100＝1.∴12log 3Q 2Q 1＝1，∴Q 2Q 1＝9，即Q 2＝9Q 1. 故鲑鱼要想把游速提高1m/s ，其耗氧量单位数应变为原来的9倍．1．指数函数模型：y ＝m ·a x ＋b (a ＞0且a ≠1，m ≠0)．2．对数函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a ＞0且a ≠1)．3．幂函数模型：y ＝k ·x n ＋b (k ≠0)．如果已知函数模型，可用待定系数法求解相应参数．某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题：(1)写出该城市人口数y (万人)与年份x (年)的函数关系．(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)．(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．【解】 (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)3，……x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x (x ∈N)．(2)10年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．(3)设x 年后人口将达到120万人，即可得到100×(1＋1.2%)x ＝120，x ＝log 1.012120100＝log 1.0121.2＝lg1.2lg1.012≈15.28.所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.思想方法技巧拟合函数模型的建立与应用(12分)某企业常年生产一种出口产品，自2010年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2010年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示： x1 2 3 4 f (x ) 4.00 5.58 7.00 8.44(1)画出2010～2013年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2014年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2014年的年产量为多少？【思路点拨】 描点――→依散点图选模――→待定系数法求模――→误差验模→用模【规范解答】 (1)画出散点图，如图所示.2分(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1.5，b ＝2.5，∴f (x )＝1.5x ＋2.5.4分 检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1.f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.6分∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化.8分(3)根据所建的函数模型，预计2014年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2014年的年产量为7万件.12分思维启迪函数拟合与预测的一般步骤是：(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．课堂总结1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．2．(1)解应用题的一般思路可表示如下：(2)解应用题的一般步骤：①读：阅读并理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一步是基础；②建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键；③解：求解数学模型，得到数学结论，既要充分注意数学模型中字母的实际意义，也要注意巧思妙解，优化过程；④答：将数学结论还原为实际问题的结论．当堂检测1．一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图3－2－9所示，那么图象所对应的函数模型是()图3－2－9A．一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型【解析】由图可知s＝kt，故选A.【答案】 A2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是()A．y＝2x B．y＝2x－1C．y＝2x D．y＝2x＋1【解析】分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．【答案】 D3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A．300只B．400只C．600只D．700只【解析】将x＝1，y＝100代入y＝a log2(x＋1)得，100＝a log2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.【答案】 A4．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎨⎧ 400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)【解】 (1)设每月产量为x 台，则总成本为(20 000＋100x )元，从而f (x )＝⎩⎨⎧ －12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，f (x )有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数．f (x )<60 000－100×400<25 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000.∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元.。
函数模型的应用实例教学设计新部编版
精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan教师学科教课方案[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan《函数模型的应用实例》教课方案一、教课内容一般高中课程标准实验教科书（人民教育第一版社 A 版）数学 1（必修），3.2.2 函数模型的应用实例 .二、教课目的知识与技术目标：1.能依据图象和表格供给的有关信息和数据，成立函数模型；2.会利用成立的函数模型解决实质问题；3.培育学生阅读理解、抽象归纳、数据办理、语言变换、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.经过实例剖析，使学生感觉函数的宽泛应用，领会成立函数模型解决实质问题的思想过程；2.浸透数形联合、分类议论、化归变换等数学思想方法.感情、态度与价值观目标：1.让学生体验“问题解决”的成功愉悦，激发学习数学的兴趣，加强学好数学的自信心；2.培育学生的应企图识、创新意识和研究精神，优化学生的理性思想和求真求实的科学态度；3.经历成立函数模型解决实质问题的过程，意会“认识根源于实践又服务于实践”的辩证观点.三、教材剖析本小节教材共有 4 个例题，大概分为两类，此中例 3 和例 5 是依据图表信息成立确立性函数模型解决实质问题；例 4 和例 6 是成立拟合函数模型解决实质问题. 本小节分两个教课课时，本节课是第一课时. 我以教材例 3 和例 5 为基础，分别在图形和数表两种不一样应用情境中，指引学生自主成立函数模型来解决实质问题. 所以，本节课的教课要点是：依据图、表信息成立函数模型解决实质问题.四、学情剖析学生已掌握了一些基本初等函数的有关知识，并在上一节《几类不一样增添的函数模型》的学习中，初步领会了成立函数模型解决实质问题的过程，这为本节课的学习确立了知识基础. 但学生的应企图识、应用能力比较弱，且正确运用数学知识解决实质问题，需要有较高的抽象归纳能力、整体驾御能力和局部办理能力，这些能力要求对学生的学习造成了必定的困难 .所以，本节课的教课难点是：将实质问题抽象为数学识题，达成从文字语言、图表语言向符号语言的转变，并成立函数模型.五、教课过程（一）沟通成就提出课题学生沟通上节课作业题“请举出生活中函数模型的应用实例”的成就，提出课题.【设计企图】让学生领会函数与现实生活的亲密联系，感觉建立函数模型解决实质问题的必需性，进而激发他们的学习内驱力，也很自然地引入课题.（二）剖析研究解决实例【例 1】一辆汽车在某段行程中的行驶速率与时间的关系，如图1所示.（1）求出图中暗影部分的面积，并说明所求面积的实质意义；（ 2）假定这辆汽车的里程表在汽车行驶这段行程前的读数为2010 km，试成立行驶这段行程时汽车里程表读数s( km) 与时间 t( h) 的函数分析式，并作出相应的图象.【教课活动1】第（ 1）题：暗影部分面积为五个小矩形的面积之和，那么只需知道求此中一个矩形的面积并知道其实质意义，就能解决整个问题. 所以，我借助多媒体设置动画，指引学生对第一个矩形进行剖析，让学生说出它的长度、宽度各是多少？其实质意义分别是什么？依据“矩形面积＝长×宽＝速率×时间＝行程”，学生就能很快说出第一个矩形的面积及其实质意义，整个问题也就水到渠成了.【设计企图】利用从“局部到整体”、“特别到一般” 的思想剖析问题, 进而化解难点 , 教会学生剖析问题的方法.【教课活动2】第（ 2）题：要点剖析如何成立s 与 t 的函数关系式.因为“汽车里程表读数s＝ 2010 ＋汽车行驶行程” ，而汽车行驶的行程＝速率×时间，剖析 v 与 t 的图象，得v 是 t 的分段函数，进而s 是 t 的分段函数 .求这个分段函数的分析式，要点是求出前两段的函数分析式. 此中求第二段函数分析式是难点 . 由第一问可知“行程”的几何意义为“图形的面积”，于是能够将求行程转变为求图形的面积 . 设置多媒体动画要点剖析： t 在 0 至 2 小时内变化时， s 与 t 的函数分析式变化，使得有效打破难点 . 而后让学生自主达成整个题目的解答，并利用实物投影仪展现学生的解答过程，师生共同评论，得出以下结论：（1）暗影部分的面积为 50× 1＋ 80× 1＋ 90× 1＋ 75×1+65× 1＝ 360.暗影部分的面积表示汽车在这 5 小时行家驶的行程为360km .(2)据 v 与 t 的关系图，有50t 2010, 0 t1,80t 1980, 1 t2,s90t 1960, 2 t 3,75t 2005, 3 t 4,65t 2045, 4 t 5.这个函数的图象如图2所示.【设计企图】经过本例的教课，让学生领会成立分段函数模型的思想过程，培育学生读图、识图、解图、绘图的能力，浸透数形联合、分类整合的数学思想，养成自主研究与合作沟通相联合的学习习惯.【例 2】某桶装水经营部每日的房租、人职薪资等固定成本为200 元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系以下表所示：销售单价 / 元6789101112日均销售量 / 桶480440400360320280240请依据以上数据作出剖析，这个经营部如何订价才能获取最大收益？【教课活动】对本例的教课，要点解决以下三个问题：（ 1）指导学生审题后提炼出题目中的已知条件与要解决的任务.已知：固定成本为200 元；每桶水的进价是 5 元；销售单价与日均销售量之间的数据表格；任务：订价为多少时收益最大？（ 2）指导学生剖析表格数据，成立日均销售量与销售单价之间的函数模型；进而成立收益与售价之间的函数关系；（ 3）实质问题中自变量取值范围确实定.为此我设计了以下问题，指引学生自主研究、议论沟通：①收益与哪些量有关？试用等式表示.收益＝销售的金额－销售成本－固定成本（或收益＝单桶水的销售收益×销售量－固定成本） .②剖析表格数据，日均销售量随销售单价的变化规律是什么？销售单价在 6 元基础上每涨价 1 元销售量就减少40 桶 .③当销售单价为x 元 / 桶时，销售量为多少？销售量＝ 480－ 40( x－ 6) ＝720－ 40x( 桶 ).④销售单价x 受哪些条件的限制？其取值范围是什么？x＞ 5 且 720－ 40x＞ 0，即 5＜ x＜ 18..在解决上述问题后要修业生自主达成本例的解答，再用实物投影仪展现学生的解题作品考虑到本例的自变量还能够是每桶水在进价基础上的增添量，因此我设置了链接，以达到预设与生成的和睦一致.【设计企图】让学生体验解决实质问题的过程和方法.培育学生剖析归纳、归纳能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.经过上述剖析，预设学生得出以下两种解法：解法一：设每桶水订价为x 元时，日均销售收益为y 元 .因为销售单价每增添 1 元，日均销售量就减少40 桶，则日均销售量＝ 480－ 40( x－ 6)＝720－ 40x(桶 ).因为 x＞ 5 且 720－ 40x＞ 0，即 5＜ x＜ 18，2所以 y＝ (720 － 40x)( x－5) － 200＝－ 40x＋920x－ 3800， 5＜ x＜ 18.易知，当 x＝11.5 时， y 有最大值 . 故将销售单价定为11.5 元，便可获取最大的收益 .解法二：设每桶水在进价基础上增添x 元后，日均销售收益为y 元 .因为销售单价每增添 1 元，日均销售量就减少40 桶，则日均销售量＝ 480－ 40( x－ 1)＝520－ 40x( 桶 ).因为 x＞ 0 且 520－ 40x＞ 0，即 0＜ x＜ 13，所以 y＝ (520 － 40x) x－ 200＝－ 40x2＋ 520x－ 200， 0＜x＜ 13.易知，当 x＝6.5 时， y 有最大值 . 故将销售单价定为11.5 元，便可获取最大的收益 .【设计企图】经过本例的教课，使学生感知提取数表信息、抽象函数关系的思想过程，意会成立函数模型解决最值问题的基本方法，浸透化归变换的数学思想.（三）反省过程发现规律我指引学生总结出成立函数模【教课活动】经过比较、归纳上述两个实例的求解过程，型解决实质问题的思想流程：抽象归纳【设计企图 】 学会归纳、总结解决数学识题的思想方法，掌握成立函数模型解决实质问题的一般规律，提升理性思想能力.（四）反应调控 方法迁徙【练习】某上市企业股票在 30 天内每股的日交易均价 P( 元 ) 与时间 t( 天) 构成有序数对 ( t ，P) ，且点 ( t ， P) 落在图中的两条线段上 . 该股票在 30 天内（含 30 天）的日交易量 Q( 万股) 与时间 t( 天) 的部分数据以下表所示：第 t 天4 10 16 22 Q(万股)36302418（ 1）写出这支股票每股的日交易均价P （元）与时间 t （天）所知足的函数关系式； （ 2）依据表中数据确立日交易量Q( 万股 ) 与时间 t( 天 ) 的一次函数关系式；（ 3）求这 30 天中第几日的日交易额最大，最大值为多少万元？【教课活动】 经过前方的学习与思虑， 学生对解决这种问题已有必定的方法基础，面对此题表现出一种一展身手的亢奋状态. 我要修业生以自主研究与合作沟通相联合的方式对本问题求解， 老师巡视答疑，再抽取几份不一样解答的答卷作实物投影展现，师生一同评论、纠错，形成共同解答 .【分析】(1) 当 0t 20,且 tN 时,设P k 1t b 1 b 1 2，解得, 由图象得20k 1 b 1 6k 11， 即 P 15 2 ；tb 1 25相同的方法可求适当20t30, 且 t N 时， 1 t 8 .P101 t 2, 0t 20综上可得， P5(t N ).1t 8, 20 t3010(2) 设 Q (t) ktb , 由题意知：Q(4) 364k b 36 k 1Q(10) ，即b，解得b.3010k 3040所以： Q (t )t 40 (0 t30, t N )（3）设第 t 天的日交易额为 f( t) 万元，则(1t 2)( t 40),t 20,f (t )P Q5(t N )1 t( 8)( t40), 20t30,101(t 15)2125,t 20,即 f (t )5(t N )1(t60) 2 40,20t 30,10当 0 t20,且 t N 时， f (t ) max f (15) 125; 当 20 t30,且 t N 时， f (t ) maxf (20)120;所以这 30 天中第 15 天的日交易额最大，最大日交易额为125 万元 .【设计企图 】选择一个既有图形， 又有数表的实例，能有效地检测、反应学生对两类成立函数模型的应用问题的掌握程度，同时培育学生在综合问题情境中对知识和方法的迁徙能力.（五）归纳小结 深入认识指引学生从总结解题方法，提炼数学思想等方面对本节课所学内容进行归纳小结 .（ 1）成立函数模型解决实质问题的基本步骤是什么？ （ 2）在本节课的学习过程中，运用到了哪些数学思想方法？【 设计企图 】启迪学生对本节课学习的内容进行总结，提示学生重视研究问题的方法和过程 .（六）部署作业 稳固提升课外作业：必做题：教材P 106 练习第 1 题， P 107 习题 3.2A 组第 3， 4 题 .选做题： P 108 习题 3.2B 组第 2 题 .【设计企图 】让学生稳固函数建模的思想方法，并进行自我检测与评论 .经过分层作业，表现对不一样能力层次的学生有不一样学习要求 .。
高一数学教案：函数模型的应用实例
高一数学教案：函数模型的应用实例【】欢迎来到查字典数学网高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习适应和能力。
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本文题目：高一数学教案：函数模型的应用实例学习目标1. 通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的明白得与应用;2. 初步了解对统计数据表的分析与处理.学习过程一、课前预备(预习教材P104~ P106，找出疑问之处)阅读：2021年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动建立非典流行趋势推测与操纵策略数学模型研究项目，马知恩教授带领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件.这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了运算仿真，结果指出，将患者及时隔离关于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加10 00人左右，推迟两天约增加工能力100人左右;若外界输入1000人中包含一个病人和一个埋伏病人，将增加患病人数100人左右;若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人.这项研究在充分考虑传染病操纵中心每日工资公布的数据，建立了非典流行趋势推测动力学模型和优化操纵模型，并对非典以后的流行趋势做了分析推测.二、新课导学※典型例题例1某桶装水经营部每天的房租、人职员资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元. 销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240请依照以上数据作出分析,那个经营部如何样定价才能获得最大利润?变式：某农家旅行公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，假如每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高?小结：找出实际问题中涉及的函数变量依照变量间的关系建立函数模型利用模型解决实际问题小结：二次函数模型。
函数模型的应用举例--优质获奖精品教案 (9)
必修一第三章 3.2.2 函数模型的应用实例【教学目标】
1.知识与技能：
掌握应用指数型，拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征，提升学生解决简单的实际应用问题的能力.
2.过程与方法：经历实际应用问题的求解过程，体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题.
3.情感态度价值观：
了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣.
【重点难点】
1.教学重点：指数函数模型、拟合函数模型的应用；
2.教学难点：依据题设情境，建立函数模型.
【教学策略与方法】
1.教学方法：合作探究、启发诱导，学生动手尝试相结合.
2.教具准备：多媒体
【教学过程】
1）求图中阴影部分的面积，并说明所
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到
由上图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
（2）将y=130000代入
y=55196e0.0221t（t∈N），
由计算器可得t≈38.76. 所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第
如果取其中的两组数据(70，7.90)
，代入y=a·b x得：
7.9 47.25
a ⎧=⎪
⎨
⎪⎩。
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取 2 得： 20000
当
x
=
y max 50 时，
9 ab 8
即该商品的价格上涨 50%时，销售总金额最大 y ab [kx2 100(1 k)x 10000]
2．∵二次函数 10000
(x, 50(1 k)]
[50(1 k) ,)
在
k 上递增，在 k
上递减
50(1 k) 0 ∴适当地涨价，即 x > 0 ， 即 k
王新敞 奎屯
算）里，有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，但每天从报社买进的 份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一 个月最多可赚得多少元？
解：若设每天从报社买进 x （ 250 x 400, x N ）份，则每月共可销售 (20x 10 250) 份，每份可获利润 0.10 元，退回报社10(x 250) 份，每份亏损 0.15 元，建立月纯利润函数 f (x) ，再求 f (x) 的最大值，可得一个月的最大利润。
即摊主每天从报社买进 400 份时，每月所获得的利润最大，最大利润为 825 元 小结：① 在实际问题中函数的定义域必须根据自变量所代表的实际意义来确定，准确确 定函数的定义域是建立函数模型解答实际问题的一个关键环节，不可忽视；②闭区间上的单 调函数的最值勤在区间的端点取得 三、练习：
1．某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为 8 元的商品按 10 元一件的 价格出售时，每天可销售 60 件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这 种商品每涨 1 元，其销售量就要减少 10 件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大，并 求出最大利润
函数模型的应用实例
【教学目标】
1．掌握“增长率”、“利息”、“利润最大”等应用问题的解法； 2．掌握根据已知条件建立函数关系式； 3．培养学生的数学应用意识。
【教学重点】
根据已知条件建立函数关系式
【教学难点】
数学建模意识。
【授课类型】
新授课
【课时安排】1 课时【源自学准备】多媒体、实物投影仪
【教学过程】
y 1000 (1 2.25%)5 1000 1.02255
由计算器算得：y = 1117．68（元） 答：复利函数式为 y a(1 r) x ，5 年后的本例和为 1117．68 元 例 2 已知某商品的价格每上涨 x%，销售的数量就减少 kx%，其中 k 为正常数
k1 1． 当 2 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？
2． 如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求 k 的取值范围 解：1．设商品现在定价 a 元，卖出的数量为 b 个 由题设：当价格上涨 x%时，销售总额为 y a(1 x%) b(1 kx%)
y ab [kx2 100(1 k)x 10000] 即 10000
k1
y ab [(x 50)2 22500]
设每天从报社买进 x 份报纸，每月获得的总利润为 y 元，则依题意，得
y 0.10(20x 10 250) 0.1510(x 250) 0.5x 625, x 250,400
函数 y 在 250,400上单调递增， x 400 时， ymax 825 （元）
一、复习引入： 上一节，我们了解了数学建模的方法、函数的拟合和较简单的情形，并总结了解答应用
题的基本步骤，这一节，我们继续学习有关数学建模的方法，加强大家的函数应用意识。 二、新授内容：
例 1 按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a 元，每期利率为 r，设本利和为 y，存期为 x，写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式 新疆 如果存入本金 1000 元，每期利率为 2．25%，试
就是 0 < k <1 ， 能使销售总金额增加 例 3 某乡镇现在人均一年占有粮食 360 千克，如果该乡镇人口平均每年增长 1．2%，粮食 总产量平均每年增长 4%，那么 x 年后若人均一年占有 y 千克粮食，求出函数 y 关于 x 的解析 式。 分析：此题解决的关键在于恰当引入变量，抓准数量关系，并转化成数学表达式，具体 解答可以仿照例子。 解：设该乡镇现在人口量为 M，则该乡镇现在一年的粮食总产量 360M
王新敞 奎屯
计算 5 期后本利和是多少？ “复利”：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息 解：1 期后 y1 a a r a(1 r) 2 期后 y2 a(1 r)2 …… ∴x 期后，本利和为： y a(1 r) x 将 a = 1000 元，r = 2．25%，x = 5 代入上式：
经过 1 年后，该乡镇粮食总产量为 360M（1+4%），人口量为 M（1+1．2%） 360M (1 4%)
则人均占有粮食为 M (1 1.2%)
360M (1 4%)2 经过 2 年后，人均占有粮食为 M (1 1.2%)2
…… 经过 x 年后，人均占有粮食
360M (1 4%) x y= M (1 1.2%) x ，
解：设商品售价定为 x 元时，利润为 y 元，则 y=（x-8）[60-10（x-10）]=-10[（x-12） 2 -16]=-10（x-12） 2 +160 （x>10）
当且仅当 x=12 时，y 有最大值 160 元， 即售价定为 12 元时可获最大利润 160 元 2．一种产品的年产量是 a 件，在今后的 m 年内，计划使年产量平均每年比上一年增加 P%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式。 解：设年产量经过 x 年增加到 y 件，则 y=a（1+P%） x （x∈N*且 x≤m）
1.04 即所求函数式为：y=360（ 1.012 ） x
评述：例 3 是一个有关平均增长率的问题，如果原来的产值的基础数为 N，平均增长率为 R，则对于时间 x 的总产值 y 可以用下面的公式，即 y=N（1+P） x
解决平均增长率的问题，常用这个函数式。 例 4 北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份是 0.20 元，卖出的 价格是每份 0.30 元，卖不掉的报纸可以以每份 0.05 元的价格退回报社 新疆 在一个月（30 天计