最新函数模型的应用实例教学讲义PPT课件
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请根据以上数据作出分析，这个经营 部怎样定价才能获得最大利润？
分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日 均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？ 解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利 润为y元，则有日均销售量为
480-40（x-1）=520-40x（桶）
而 x 0,且520 40x 0,即0 x 13
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖, 低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm ,体重 为78kg 的在校男生的体重是否正常?
分 析
作出散点图
60 y
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
x
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
根据图象，选择函数 y a bx 进行拟合．
如果取其中的两组数据（70，7.90）,（160，47.25）
代入函数
y
a bx
得
7.9 a 47.25
y (520 40x)x 200 40x2 520x 200 40( x 6.5)2 1490
当x 6.5时，y 有最大值
只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。
自己建立函数模型解题的一般过程 :
选模 解模 验模 用模
例6 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
r2 ,, r9 ,由 55196(1 r1 ) 56300,
可得1951年的人口增长率
同理可得，
r1
0.0200.
r2 0.0210, r3 0.0229, r4 0.0250, r5 0.0197,
r6 0.0223, r7 0.0276, r8 0.0222, r9 0.0184.
t≈38.76
这就是说按照这个增长趋势，那么大约 在1950年后的第39年（即1989年），我国的 人口就已经达到13亿。
用已知的函数模型 解题的一般过程 :
解模
验模
用模
例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定 成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日 均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
2100
. .
2000 .
x
123 45
解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺 数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用 数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论， 还原为实际问题的意义．
例4：人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题。认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型：
画出大致图像
60 y
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
x
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲
线，根据这些点的分布情况，我们可以考虑用函数
y=a•bx来近似反映.
解：⑴将已知数据输入计算机，画出图象；
y y0ert
其中t表示经过的时间，y0 表示t =0时的人
口数，r表示人口的年平均增长率。
下面是1950~1959年我国的人口数据资料：
19501951 19521953195419551956195719581959
55196 56300 57482587966026661456628286456365994 67207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口 增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否 相符；
(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年 我国的人口达到13亿？
解：(1)设1951 ~ 1959年的人口增长率分别为 r1,
身高 60 70 80 90 /cm
体重 6.13 7.90 9.99 12.15 /kg
100 110
15.02 17.50
120 130 140 150 160 170
20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表所提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它 能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高 x cm 的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.
5x (x 5)
f（x）＝ 25 3(x 5)
( x＞5)
从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联系， 有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实例来感 受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实际问题中 建立函数模型呢？
y
分段函数是刻画现实 世界的重要模型
2400 2300 2200
. . .
于是,1951~1959年期间,我国人口的年平均增长率
为 r (r1 r2 r9 ) 9 0.0221
令y0 55196,则我国在1951 ~ 1959年期间的人口 增长模型为
y 55196e0.0221t , t N .
根据上表的数据作出散点图,并作出函数 y 55196e0.0221t (t N )的图象(下图).
y
70000
65000 60000
55000 50000
0
8
1
2
3
4
5
6
7
9
t
由上图可以看出,所得模型与 1950~1959年的实际人中数据基本吻合.
（2）将y=1300000代入
y=55196e如0.0果22不1t实，行计划生育，而让
由计算机可得：
人口自然增长，今天我国将 面临难以承受的人口压力！
函数模型的应用实例
导入新课
到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？
一次函数 y ax b
二次函数 y ax2 bx c （a≠0）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
指数函数 对数函数 幂函数
y ax (a 0,且a 1)
y log x(a 0,且a 1) a y xa
大家首先来看一个例子
邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元， 超过5千克的超出部分按每千克3元收费，邮费与邮寄包 裹重量的函数关系式为____．
分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日 均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？ 解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利 润为y元，则有日均销售量为
480-40（x-1）=520-40x（桶）
而 x 0,且520 40x 0,即0 x 13
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖, 低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm ,体重 为78kg 的在校男生的体重是否正常?
分 析
作出散点图
60 y
55
50
45
40
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30
25
20
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10
5
x
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
根据图象，选择函数 y a bx 进行拟合．
如果取其中的两组数据（70，7.90）,（160，47.25）
代入函数
y
a bx
得
7.9 a 47.25
y (520 40x)x 200 40x2 520x 200 40( x 6.5)2 1490
当x 6.5时，y 有最大值
只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。
自己建立函数模型解题的一般过程 :
选模 解模 验模 用模
例6 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
r2 ,, r9 ,由 55196(1 r1 ) 56300,
可得1951年的人口增长率
同理可得，
r1
0.0200.
r2 0.0210, r3 0.0229, r4 0.0250, r5 0.0197,
r6 0.0223, r7 0.0276, r8 0.0222, r9 0.0184.
t≈38.76
这就是说按照这个增长趋势，那么大约 在1950年后的第39年（即1989年），我国的 人口就已经达到13亿。
用已知的函数模型 解题的一般过程 :
解模
验模
用模
例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定 成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日 均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
2100
. .
2000 .
x
123 45
解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺 数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用 数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论， 还原为实际问题的意义．
例4：人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题。认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型：
画出大致图像
60 y
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
x
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲
线，根据这些点的分布情况，我们可以考虑用函数
y=a•bx来近似反映.
解：⑴将已知数据输入计算机，画出图象；
y y0ert
其中t表示经过的时间，y0 表示t =0时的人
口数，r表示人口的年平均增长率。
下面是1950~1959年我国的人口数据资料：
19501951 19521953195419551956195719581959
55196 56300 57482587966026661456628286456365994 67207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口 增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否 相符；
(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年 我国的人口达到13亿？
解：(1)设1951 ~ 1959年的人口增长率分别为 r1,
身高 60 70 80 90 /cm
体重 6.13 7.90 9.99 12.15 /kg
100 110
15.02 17.50
120 130 140 150 160 170
20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表所提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它 能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高 x cm 的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.
5x (x 5)
f（x）＝ 25 3(x 5)
( x＞5)
从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联系， 有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实例来感 受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实际问题中 建立函数模型呢？
y
分段函数是刻画现实 世界的重要模型
2400 2300 2200
. . .
于是,1951~1959年期间,我国人口的年平均增长率
为 r (r1 r2 r9 ) 9 0.0221
令y0 55196,则我国在1951 ~ 1959年期间的人口 增长模型为
y 55196e0.0221t , t N .
根据上表的数据作出散点图,并作出函数 y 55196e0.0221t (t N )的图象(下图).
y
70000
65000 60000
55000 50000
0
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4
5
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7
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t
由上图可以看出,所得模型与 1950~1959年的实际人中数据基本吻合.
（2）将y=1300000代入
y=55196e如0.0果22不1t实，行计划生育，而让
由计算机可得：
人口自然增长，今天我国将 面临难以承受的人口压力！
函数模型的应用实例
导入新课
到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？
一次函数 y ax b
二次函数 y ax2 bx c （a≠0）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
指数函数 对数函数 幂函数
y ax (a 0,且a 1)
y log x(a 0,且a 1) a y xa
大家首先来看一个例子
邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元， 超过5千克的超出部分按每千克3元收费，邮费与邮寄包 裹重量的函数关系式为____．