河北武邑中学高三周日考试(.1.17)

河北武邑中学2015-2016学年高三周日考试（2016.1.17）数学试题满分150分本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足z=(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是（）A.B.-C.12 D.12-2. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A ．π2B ．πC ．2D ．13.在等差数列{}n a 中，,3321=++a a a 165302928=++a a a ,则此数列前30项和等于（ ）A ．810B ．840C ．870D ．9004.设:12,:21xp x q <<>，则p 是q 成立的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5.设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=()（A ）3（B ）6（C ）9（D ）12 6.将函数x y sin =的图像左移2π个单位，得到函数)(x f y =的图像，则下列说法正确的是（） A ．)(x f y =是奇函数B ．)(x f y =的周期是π C ．)(x f y =的图像关于直线2π=x 对称D ．)(x f y =的图像关于)0,2(π-对称A ．2或32-B ．32C ．-2或32D ．27-7..若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于（）A ．10cm 3B ．20cm 3C ．30cm 3D ．40cm 38.下列命题中正确的个数是（）①过异面直线a,b 外一点P 有且只有一个平面与a,b 都平行；②异面直线a,b 在平面α内的射影相互垂直则a ⊥b ；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④直线a,b 分别在平面α，β内，且a ⊥b 则α⊥β； A ．0B ．1C ．2D ．39．等比数列{}n a 的各项均为正数，且299a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++L ＝( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 510．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤3第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把将答案填在答题卡的相应的横线上．11.已知数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式n a =________． 12.已知1tan 2,tan()7ααβ=-+=，则tan β的值为________．13.菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅u u u u r u u u r的最大值为____________.14.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_______.15．已知函数()1ax f x e x =--，(0≠a ).若对一切0)(,≥∈x f R x 恒成立，则a 的取值集合为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知f(x)＝3sin ωx －2sin2ωx2(ω>0)的最小正周期为3π.(1)当x ∈[π2，3π4]时，求函数f(x)的最小值；(2)在△ABC 中，若f(C)＝1，且2sin2B ＝cosB ＋cos(A －C)，求sinA 的值．17.（本小题满分12分）已知函数2()sin(2)4sin 2(0)6f x x x πωωω=--+>，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为2π． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向左平移(0)m m >个长度单位得函数()g x 的图象恰好经过点(,0)3π-，求当m 取得最小值时，()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间．18.已知函数()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭x R ∈.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，11D A D D ==ABCD 为直角梯形，其中// , BC AD AB AD ⊥，222AD AB BC ===，为AD 中点.ODCBAD 1C 1B 1A 1（1）求证：1//AO 平面1AB C；（2）求锐二面角C D C A --11的余弦值．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：*121113,,2(2,)44n n n a a a a a n n N +-===+≥∈，数列{}nb 满足：10b <，*13(2,)n n b b n n n N --=≥∈，数列{}n b 的前n 项和为nS .（1）求证：数列}{n n a b -为等比数列；（2）求证：数列}{n b 为递增数列；（3）若当且仅当3n =时，nS 取得最小值，求1b 的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数2()ln f x x ax =- （1）求()f x 的单调区间；（2）设()()1(0)g x f x x a =-+≥，l 是曲线()y g x =的一条切线，证明()y g x =上的任意一点都不能在直线l 的上方；（3）当1a =时，方程[]22()(12)m x f x m x +=-有唯一实数解，求正数m 的值．河北武邑中学2015-2016学年高三周日考试（1.17）数学试题答案1. D2.A3.B4.A5.C6.D7.B8.A9.B 10.A 11.1(2)n -- 12.313.13. 914. 615.{}116..解∵f(x)＝3sin(ωx)－2·1－cos ωx 2＝3sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2sin(ωx ＋π6)－1，由2πω＝3π得ω＝23，∴f(x)＝2sin(23x ＋π6)－1. (1)由π2≤x ≤3π4得π2≤23x ＋π6≤2π3，∴当sin(23x ＋π6)＝32时，f(x)min ＝2×32－1＝3－1.…………6分(2)由f(C)＝2sin(23C ＋π6)－1及f(C)＝1，得sin(23C ＋π6)＝1，而π6≤23C ＋π6≤5π6，所以23C ＋π6＝π2，解得C ＝π2. 在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2，2sin2B ＝cosB ＋cos(A －C)，∴2cos2A －sinA －sinA ＝0，∴sin2A ＋sinA －1＝0，解得sinA ＝－1±52.∵0<sinA<1，∴sinA ＝5－12.…………12分17.17.解：（1）函数231()sin(2)4sin 2(0)2cos 2621cos 23342sin 2cos 23)2223f x x x x xx x x x πωωωωωωπωωω=-+>=--+=+=+g g g ，．．．．．．．．．．4分根据图象与x 轴相邻两个交点的距离为2π，可得函数的最小周期为2222ππω⨯=，求得1ω=，故函A 1B 1C 1D 1ABCDO数()3sin(2)3f x x π=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）将()f x 的图象向左平移(0)m m >个长度单位得到函数()3sin 2()3sin(22)33g x x m x m ππ⎡⎤=++=++⎢⎥⎣⎦的图象，．．．．．．．．．．．．．．．7分再根据()g x 的图象恰好经过点(,0)3π-，可得sin(2)03m π=g ，故2,()3sin(2)63m g x x ππ==+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分再结合7,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦、57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18.18.（1）π=T （2）2141—，最小值最大值是 19.(1)证明：如图，连接 , CO AC ，则四边形ABCO 为正方形，所以11OC AB A B ==，且11////OC AB A B ，………2分故四边形11A B CO为平行四边形，所以11//A O B C．又1AO ⊄平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C，所以1//A O 平面1AB C.……………5分 (2)因为11 , D A D D O =为AD 的中点，所以1 D O AD⊥，又侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，交线为AD ，故1D O ⊥底面ABCD 。

…………6分zyxO DC BAD 1C 1B 1A 1以O 为原点，所1, , OC OD OD 在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的坐标系，则()()1,0,0 , 0,1,0 , C D ()()10,0,1 , 0,1,0D A -，()()11,1,0 , 0,1,1 , DC DD ∴--u u u r u u u u u r ()()1110,1,1 , 1,1,0D A DC DC --==-u u u u r u u u u r u u u r，设(),,m x y z =u r为平面11CDD C 的一个法向量，由1 , m DC m DD ⊥⊥u r u u u r u r u u u u r，得00x y y z -=⎧⎨-+=⎩， 令1z =，则()1, 1 , 1,1,1y x m ==∴=u r．又设()111,,n x y z =r为平面11AC D 的一个法向量，由111 , n D A n DC ⊥⊥r u u u u r r u u u u r ，得111100y z x y --=⎧⎨-=⎩，令11z =，则()111, 1 , 1,1,1y x n =-=-∴=--r，…………9分则1cos ,3m n <>==-u r r ， 故所求锐二面角C D C A --11的余弦值为13．…………12分注：第2问用几何法做的酌情给分． 20.解：（Ⅰ）),2(2*11N n n a a a n n n ∈≥+=-+Θ．}{n a ∴是等差数列．又43,4121==a a Θ41221)1(41-=⋅-+=∴n n a n ………………2分),2(331*1N n n nb b n n ∈≥+=-Θ)412(31121231412313111--=--=+-++=-∴++n b n b n n b a b n n n n n)(31n n a b -=．又041111≠-=-b a b Θ41}{1--∴b a b n n 是为首项，以31为公比的等比数列．………………5分（Ⅱ）412,)31()41(11-=⋅-=--n a b a b n n n n Θ．412)31()41(11-+⋅-=∴-n b b n n ．当211)31)(41(3221,2----=-≥n n n b b b n 时．又01<b ， 01>-∴-n n b b ．}{n b ∴是单调递增数列．………………8分（Ⅲ）3=n 当且仅当Θ时，取最小值n S ．⎩⎨⎧><∴0043b b ，即2131511()()0443711()()0443b b ⎧+-<⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩，)11,47(1--∈∴b ．………………12分21.解：（I ）()f x 的定义域为3121(0,),()2,(0,)ax f x x x x x-+'+∞=-=∈+∞，．．．．．．．．．．．．．．1分①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 为增函数，增区间是(0,)+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分②当0a >时，令()0f x '=得：12x x ==（舍去）x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 综上所述:当0a ≤时，增区间是(0,)+∞当0a >时，增区间是，减区间是)+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（II ）2()ln 1(0)g x x ax x a =--+≥， 设0(,())M x g x 是曲线()g x 上的一点，则()y g x =在点M 处的切线方程为000()()()y g x g x x x '-=-， 即00001(21)()()y ax x x g x x =---+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分令00001()()(21)()()h x g x ax x x g x x ⎡⎤=----+⎢⎥⎣⎦则0011()21(21)h x ax ax x x '=-----，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 显然()h x '在(0,)+∞上是增函数，又∵()0h x '=∴0(0,)x x ∈时，0()()0,()h x h x h x ''≥=为增函数0()x x ∈+∞时，0()()0,()h x h x h x ''≤=为减函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∴()h x 在0x x =处取得最大值0()0h x =，即()0h x ≤恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 故曲线()y g x =上的任意一点都不能在直线l 的上方．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 （III ）∵方程[]22()(12)m x f x m x +=-有唯一实数解 ∴22ln 20x m x mx --=有唯一解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设2()2ln 2g x x m x mx =-- 则2222()x mx m g x x--'= 令2()0,0g x x mx m '=--=∵0,0m x >>∴12m x =（舍），22m x += 2(0,)x x ∈时，()0g x '<∴()g x 在2(,)x +∞上单调递增∴当2x x =时，2()0,()g x g x '=有最小值2()g x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ∵方程有唯一解则22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩ 即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩∴222ln 0m x mx m +-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 ∵0m >∴222ln 10x x +-=设()2ln 1h x x x =+-，当0x >时，()h x 是增函数∴()h x 至多有一解∵(1)0h =∴方程222ln 10x x +-=的解是21x =，1= ∴12m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。