全等三角形证明中考题选(答案齐全)

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智皓教育姓名:全等三角形中考证明题一.解答题1.(2013•泉州)如图,已知AD是△ABC的中线,分别过点B、C作BE⊥AD于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,求证:BE=CF.2.(2013•河南)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:①线段DE与AC的位置关系是_________;②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是_________.(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.3.(2013•大庆)如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB 边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.(1)求证:CF=DG;(2)求出∠FHG的度数.4.(2012•阜新)(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.①当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论;②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立?不必说明理由.甲:AB:AC=AD:AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°;乙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;丙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.5.(2009•仙桃)如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,然后将△ADE绕A 点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题:(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:①在图②中,BD与CE的数量关系是_________;②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;(2)若AB=k•AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC 的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.6.(2008•台州)CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE_________CF;EF_________|BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”);②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_________,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).7.(2007•绍兴)课外兴趣小组活动时,许老师出示了如下问题:如图1,己知四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,∠B与∠D互补,求证:AB+AD=AC.小敏反复探索,不得其解.她想,若将四边形ABCD特殊化,看如何解决该问题.(1)特殊情况入手添加条件:“∠B=∠D”,如图2,可证AB+AD=AC;(请你完成此证明)(2)解决原来问题受到(1)的启发,在原问题中,添加辅助线:如图3,过C点分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F.(请你补全证明)8.(2007•常德)如图,已知AB=AC,(1)若CE=BD,求证:GE=GD;(2)若CE=m•BD(m为正数),试猜想GE与GD有何关系.(只写结论,不证明)9.(2006•泰安)(1)已知:如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=60°,求证:①AC=BD;②∠APB=60度;(2)如图②,在△AOB和△COD中,若OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为_________;∠APB的大小为_________;(3)如图③,在△AOB和△COD中,若OA=k•OB,OC=k•OD(k>1),∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为_________;∠APB的大小为10.(2005•南宁)(A类)如图,DE⊥AB、DF⊥AC.垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中,再选出两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).①AB=AC;②BD=CD;③BE=CF已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=AC,BD=CD求证:BE=CF已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=AC,BE=CF求证:BD=CD已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,BD=CD,BE=CF求证:AB=AC(B类)如图,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).①AB=AC;②DE=DF;③BE=CF已知:EG∥AF,AB=AC,DE=DF求证:BE=CF参考答案与试题解析一.解答题(共10小题)1.(2013•泉州)如图,已知AD是△ABC的中线,分别过点B、C作BE⊥AD于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,求证:BE=CF.考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:根据中线的定义可得BD=CD,然后利用“角角边”证明△BDE和△CDF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证.解答:证明:∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED=∠CFD=90°,在△BDE和△CDF中,,∴△BDE≌△CDF(AAS),∴BE=CF.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一,要熟练掌握并灵活运用.2.(2013•河南)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC;②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是S1=S2.(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.考点:全等三角形的判定与性质.专题:几何综合题;压轴题.分析:(1)①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°,然后根据内错角相等,两直线平行解答;②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB,然后求出AC=BE,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答;(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明;(3)过点D作DF1∥BE,求出四边形BEDF1是菱形,根据菱形的对边相等可得BE=DF1,然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点,过点D作DF2⊥BD,求出∠F1DF2=60°,从而得到△DF1F2是等边三角形,然后求出DF1=DF2,再求出∠CDF1=∠CDF2,利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等,根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点,然后在等腰△BDE中求出BE的长,即可得解.解答:解:(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上,∴AC=CD,∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,∴△ACD是等边三角形,∴∠ACD=60°,又∵∠CDE=∠BAC=60°,∴∠ACD=∠CDE,∴DE∥AC;②∵∠B=30°,∠C=90°,∴CD=AC=AB,∴BD=AD=AC,根据等边三角形的性质,△ACD的边AC、AD上的高相等,∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1=S2;故答案为:DE∥AC;S1=S2;(2)如图,∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,∴BC=CE,AC=CD,∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,∴∠ACN=∠DCM,∵在△ACN和△DCM中,,∴△ACN≌△DCM(AAS),∴AN=DM,∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1=S2;(3)如图,过点D作DF1∥BE,易求四边形BEDF1是菱形,所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,此时S△DCF=S△BDE,过点D作DF2⊥BD,∵∠ABC=60°,∴∠F1DF2=∠ABC=60°,∴△DF1F2是等边三角形,∴DF1=DF2,∵BD=CD,∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°,∴∠CDF1=180°﹣30°=150°,∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°,∴∠CDF1=∠CDF2,∵在△CDF1和△CDF2中,,∴△CDF1≌△CDF2(SAS),∴点F2也是所求的点,∵∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,DE∥AB,∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°,又∵BD=4,∴BE=×4÷cos30°=2÷=,∴BF1=,BF2=BF1+F1F2=+=,故BF的长为或.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的面积,等边三角形的判定与性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟练掌握等底等高的三角形的面积相等,以及全等三角形的面积相等是解题的关键,(3)要注意符合条件的点F有两个.3.(2013•大庆)如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB 边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.(1)求证:CF=DG;(2)求出∠FHG的度数.考点:全等三角形的判定与性质.分析:(1)在△CBF和△DBG中,利用SAS即可证得两个三角形全等,利用全等三角形的对应边相等即可证得;(2)根据全等三角形的对应角相等,即可证得∠DHF=∠CBF=60°,从而求解.解答:(1)证明:∵在△CBF和△DBG中,,∴△CBF≌△DBG(SAS),∴CF=DG;(2)解:∵△CBF≌△DBG,∴∠BCF=∠BDG,又∵∠CFB=∠DFH,∴∠DHF=∠CBF=60°,∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,正确证明三角形全等是关键.4.(2012•阜新)(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.①当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论;②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立?不必说明理由.甲:AB:AC=AD:AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°;乙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;丙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.考点:全等三角形的判定与性质.专题:几何综合题;压轴题.分析:(1)①BD=CE,BD⊥CE.根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA;然后在△ABD和△CDF中,由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°,即BD⊥CF;②BD=CE,BD⊥CE.根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA;作辅助线(延长BD交AC于F,交CE于H)BH构建对顶角∠ABF=∠HCF,再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°;(2)根据结论①、②的证明过程知,∠BAC=∠DFC(或∠FHC=90°)时,该结论成立了,所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适.解答:解:(1)①结论:BD=CE,BD⊥CE;②结论:BD=CE,BD⊥CE…1分理由如下:∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE…1分在△ABD与△ACE中,∵∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE…1分延长BD交AC于F,交CE于H.在△ABF与△HCF中,∵∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC∴∠CHF=∠BAF=90°∴BD⊥CE…3分(2)结论:乙.AB:AC=AD:AE,∠BAC=∠DAE=90°…2分点评:本题考查了全等三角形的判定与性质.SSS,SAS,ASA,AAS,HL均可作为判定三角形全等的定理.注意:在全等的判定中,没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例:直角三角形为HL,因为勾股定理,只要确定了斜边和一条直角边,另一直角边也确定,属于SSS),因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状;另外三条中线(或高、角平分线)分别对应相等的两个三角形也全等.5.(2009•仙桃)如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,然后将△ADE绕A 点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题:(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:①在图②中,BD与CE的数量关系是;②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;(2)若AB=k•AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC 的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.考点:全等三角形的判定.专题:压轴题;探究型.分析:(1)①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB,所以BD=CE;②根据题意可知∠CAE=BAD,AB=AC,AD=AE,所以得到△BAD≌△CAE,在△ABM和△ACN中,DM=BD,EN=CE,可证△ABM≌△ACN,所以AM=AN,即∠MAN=∠BAC.(2)直接类比(1)中结果可知AM=k•AN,∠MAN=∠BAC.解答:解:(1)①BD=CE;②AM=AN,∠MAN=∠BAC,∵∠DAE=∠BAC,∴∠CAE=∠BAD,在△BAD和△CAE中∵∴△CAE≌△BAD(SAS),∴∠ACE=∠ABD,∵DM=BD,EN=CE,∴BM=CN,在△ABM和△ACN中,∵∴△ABM≌△ACN(SAS),∴AM=AN,∴∠BAM=∠CAN,即∠MAN=∠BAC;(2)AM=k•AN,∠MAN=∠BAC.点评:本题考查三角形全等的判定方法和性质.判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目.6.(2008•台州)CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE=CF;EF=|BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”);②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).考点:直角三角形全等的判定;三角形内角和定理.专题:几何综合题;压轴题.分析:由题意推出∠CBE=∠ACF,再由AAS定理证△BCE≌△CAF,继而得答案.解答:解:(1)①∵∠BCA=90°,∠α=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,∴∠CBE=∠ACF,∵CA=CB,∠BEC=∠CFA;∴△BCE≌△CAF,∴BE=CF;EF=|BE﹣AF|.②所填的条件是:∠α+∠BCA=180°.证明:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α.∵∠BCA=180°﹣∠α,∴∠CBE+∠BCE=∠BCA.又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA,∴∠CBE=∠ACF,又∵BC=CA,∠BEC=∠CFA,∴△BCE≌△CAF(AAS)∴BE=CF,CE=AF,又∵EF=CF﹣CE,∴EF=|BE﹣AF|.(2)EF=BE+AF.点评:本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识.注意对三角形全等,相似的综合应用.7.(2007•绍兴)课外兴趣小组活动时,许老师出示了如下问题:如图1,己知四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,∠B与∠D互补,求证:AB+AD=AC.小敏反复探索,不得其解.她想,若将四边形ABCD特殊化,看如何解决该问题.(1)特殊情况入手添加条件:“∠B=∠D”,如图2,可证AB+AD=AC;(请你完成此证明)(2)解决原来问题受到(1)的启发,在原问题中,添加辅助线:如图3,过C点分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F.(请你补全证明)考点:直角三角形全等的判定.专题:证明题;压轴题;开放型.分析:(1)如果:“∠B=∠D”,根据∠B与∠D互补,那么∠B=∠D=90°,又因为∠DAC=∠BAC=30°,因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC,那么AD+AB=AC.(2)按(1)的思路,作好辅助线后,我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到(1)的条件.根据AAS可证两三角形全等,DF=BE.然后按照(1)的解法进行计算即可.解答:证明:(1)∵∠B与∠D互补,∠B=∠D,∴∠B=∠D=90°,∠CAD=∠CAB=∠DAB=30°,∵在△ADC中,cos30°=,在△ABC中,cos30°=,∴AB=AC,AD=.∴AB+AD=.(2)由(1)知,AE+AF=AC,∵AC为角平分线,CF⊥CD,CE⊥AB,∴CE=CF.而∠ABC与∠D互补,∠ABC与∠CBE也互补,∴∠D=∠CBE.∵在Rt△CDF与Rt△CBE中,∴Rt△CDF≌Rt△CBE.∴DF=BE.∴AB+AD=AB+(AF+FD)=(AB+BE)+AF=AE+AF=AC.点评:本题考查了直角三角形全等的判定及性质;通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法,也是解决本题的关键.8.(2007•常德)如图,已知AB=AC,(1)若CE=BD,求证:GE=GD;(2)若CE=m•BD(m为正数),试猜想GE与GD有何关系.(只写结论,不证明)考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题;压轴题;探究型.分析:(1)要证GE=GD,需证△GDF≌△GEC,由已知条件可根据AAS判定.(2)若CE=m•BD(m为正数),那么GE=m•GD.解答:证明:(1)过D作DF∥CE,交BC于F,则∠E=∠GDF.∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC∵DF∥CE,∴∠DFB=∠ACB,∴∠DFB=∠ACB=∠ABC.∴DF=DB.∵CE=BD,∴DF=CE,在△GDF和△GEC中,,∴△GDF≌△GEC(AAS).∴GE=GD.(2)GE=m•GD.点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.本题的辅助线是解决题目的关键.9.(2006•泰安)(1)已知:如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=60°,求证:①AC=BD;②∠APB=60度;(2)如图②,在△AOB和△COD中,若OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为AC=BD;∠APB的大小为α;(3)如图③,在△AOB和△COD中,若OA=k•OB,OC=k•OD(k>1),∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为AC=k•BD;∠APB的大小为180°﹣α.考点:全等三角形的判定;三角形内角和定理.专题:探究型.分析:(1)分析结论AC=BD可知,需要证明△AOC≌△BOD,围绕这个目标找全等的条件;(2)与图①比较,图形条件发生了变化,仍然可以证明△AOC≌△BOD,方法类似;(3)转化为证明△AOC∽△BOD.解答:解:(1)①∵∠AOB=∠COD=60°,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC.即:∠AOC=∠BOD.又∵OA=OB,OC=OD,∴△AOC≌△BOD.∴AC=BD.②由①得:∠OAC=∠OBD,∵∠AEO=∠PEB,∠APB=180°﹣(∠BEP+∠OBD),∠AOB=180°﹣(∠OAC+∠AEO),∴∠APB=∠AOB=60°.(2)AC=BD,α(3)AC=k•BD,180°﹣α.点评:三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.10.(2005•南宁)(A类)如图,DE⊥AB、DF⊥AC.垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中,再选出两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).①AB=AC;②BD=CD;③BE=CF已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=AC,BD=CD求证:BE=CF已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=AC,BE=CF求证:BD=CD已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,BD=CD,BE=CF求证:AB=AC(B类)如图,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).①AB=AC;②DE=DF;③BE=CF已知:EG∥AF,AB=AC,DE=DF求证:BE=CF友情提醒:若两题都做的同学,请你确认以哪类题记分,你的选择是A类类题.考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题;开放型.分析:本题是开放题,应先确定选择哪对三角形,对应三角形全等条件求解;再根据全等三角形的性质得出结论.解答:解:(A类)已知:…,AB=AC,BD=CD求证:BE=CF.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.在△BDE和△CDF中∴△BDE≌△CDF.∴BE=CF.已知:…,AB=AC,DE=DF,求证:BE=CF.证明:∵EG∥AF,∴∠GED=∠F,∠BGE=∠BCA.∵AB=AC,∴∠B=∠BCA,∴∠B=∠BGE,∴BE=EG.在△DEG和△DFC中∴△DEG≌△DFC,∴EG=CF,∴BE=CF.点评:这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目,答案可有多种.同时还考查了全等三角形的性质.。

全等三角形的判定中考题

全等三角形的判定中考题

全等三角形的判定中考题一、已知两个三角形两边及夹角分别相等,根据哪种全等判定定理可以确定这两个三角形全等?A. SSS(三边相等)B. SAS(两边及夹角相等)C. ASA(两角及夹边相等)D. AAS(两角及非夹边相等)(答案:B)二、在△ABC与△DEF中,若∠A=∠D,∠C=∠F,且AC=DF,则依据哪个判定定理可证明两三角形全等?A. SSSB. SASC. ASAD. AAS(答案:C)三、若△PQR与△STU中,PQ=ST,QR=TU,且∠Q=∠T,但∠Q并非PQ与QR的夹角,则根据哪个判定不能直接证明两三角形全等?A. SSSB. SASC. ASAD. 以上均不可(答案:D)四、两个三角形中,如果两个角和一条边分别相等,且这条边是这两个角的夹边,应使用哪个全等判定定理?A. SSSB. SASC. ASAD. AAS(答案:C)五、在△ABC与△MNP中,若AB=MN,BC=NP,且∠B=∠N,但∠B不是AB和BC的夹角,则不能直接通过哪个判定证明两三角形全等?A. SSSB. SASC. AASD. 以上都不是直接证明的依据(答案:B)六、若两个三角形的两个角及非夹边分别相等,应依据哪个全等判定定理来确定它们全等?A. SSSB. SASC. ASAD. AAS(答案:D)七、在△XYZ与△LMN中,若XY=LM,YZ=MN,且∠YZX=∠LMN,但∠YZX并非XY与YZ的夹角,则不能直接应用哪个全等判定?A. SSSB. SAS(答案)C. 这种情况无法判定三角形全等D. AAS八、已知△ABC与△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,若要证明两三角形全等,还需满足以下条件中的哪一个?A. AB=DEB. AC=EF(非夹角对应的边)C. BC=DF(夹角对应的边,即SAS情况)(答案)D. ∠C=∠F(已有两角相等,再加一角无法判定全等)。

(完整版)全等三角形证明经典50题(含答案)

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全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD2. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠24. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠CDAB B A CDF2 1 EAC D E F 21 A D BC A6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。

求证:BC=AB+DC 。

13.已知:AB//ED ,∠EAB=∠BDE ,AF=CD ,EF=BC ,求证:∠F=∠C14. P 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB<AC-AB15. 已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证:AC-AB=2BED C B A FE PD A CB16. 已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC18.如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证:AD ⊥BC .19.如图,OM 平分∠POQ ,MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ,A 、B 为垂足,AB 交OM 于点N .求证:∠OAB =∠OBA20.(5分)如图,已知AD ∥BC ,∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB .21.如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B22.(6分)如图①,E 、F 分别为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F ,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M .(1)求证:MB =MD ,ME =MF(2)当E 、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.F AEDCB P E D CB A DC B A23.已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点, (1)求证:△AED ≌△EBC . (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):24.(7分)如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F .求证:BD =2CE .证明:25、如图:DF=CE ,AD=BC ,∠D=∠C 。

全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形证明经典50题(含答案)

1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,111749AD 是整数,求AD 之蔡仲巾千创作解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=22. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:AD B C延长CD与P,使D为CP中点。

连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP为矩形∴AB=CP=1/2AB3.已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。

∵∠ABC=∠AED。

∴∠ABE=∠AEB。

∴ AB=AE。

在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC过C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点GCG∥EF ,可得,∠EFD =CGDDE =DC∠FDE =∠GDC (对顶角)∴△EFD≌△CGDEF =CG∠CGD =∠EFD 又,EF∥AB∴,∠EFD =∠1∠1=∠2∴∠CGD=∠2∴△AGC 为等腰三角形,AC =CG 又 EF =CG∴EF=AC5. 已知:AD 平分∠BAC,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠CB ACDF21 E A证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD (SAS)∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴B D=BE∴∠BDE=∠E∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C6.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB=∠CEF=90°∵EB=EF ,CE =CE ,∴△CEB≌△CEF∴∠B=∠CFE∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°∴∠D=∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC=∠FAC∵AC=AC∴△ADC≌△AFC(SAS )∴AD=AF∴AE=AF +FE =AD +BE7. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=2AD B C8. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=2 9. 已知:BC=DE ,∠B=∠E,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF 。

初中专项训练全等三角形证明经典50题(含答案)

初中专项训练全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形经典证明题50道1、已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证:AC-AB=2BE2、已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC3、如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证:AD ⊥BC .FAEDC B4.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:∠OAB=∠OBA5.(5分)如图,已知AD∥BC,∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:AD+BC=AB.PCEDBA6.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE ⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC 于点M.(1)求证:MB=MD,ME=MF(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.7.已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点,(1)求证:△AED ≌△EBC .(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):8.(7分)如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F .求证:BD =2CE .OEDCB AFE D CB A25、如图:DF=CE ,AD=BC ,∠D=∠C 。

求证:△AED ≌△BFC 。

FEDCBA证明:∵DF=CE , ∴DF-EF=CE-EF , 即DE=CF ,在△AED 和△BFC 中,∵ AD=BC , ∠D=∠C ,DE=CF ∴△AED ≌△BFC (SAS )26、(10分)如图:AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上,BE ∥CF ,BE=CF 。

三角形全等证明题目60题目(有详解)

三角形全等证明题目60题目(有详解)

全等三角形证明题专项练习60 题(有答案)1.已知如图,△ABC≌△ ADE,∠ B=30°,∠ E=20°,∠ BAE=105°,求∠ BAC的度数.∠ BAC= _________.2.已知:如图,四边形ABCD中, AB∥CD, AD∥BC.求证:△ ABD≌△ CDB.3.如图,点 E 在△ ABC外面,点 D 在边 BC上, DE交 AC于 F.若∠ 1=∠ 2=∠ 3, AC=AE,请说明△ ABC≌△ ADE的道理.4.如图,△ ABC的两条高AD, BE订交于 H,且 AD=BD.试说明以下结论成立的原由.(1)∠ DBH=∠ DAC;(2)△ BDH≌△ ADC.5.如图,在△ABC中, D 是 BC边的中点, DE⊥ AB, DF⊥ AC,垂足分别为E、 F,且 DE=DF,则 AB=AC,并说明原由.6.如图, AE是∠ BAC的均分线, AB=AC, D 是 AE反向延长线的一点,则△ABD与△ ACD全等吗?为什么?第1页共28页7.以下列图,A、 D、 F、 B 在同素来线上,A F=BD, AE=BC,且 AE∥BC.求证:△ AEF≌△ BCD.8.如图,已知AB=AC, AD=AE, BE 与 CD订交于 O,△ ABE与△ ACD全等吗?说明你的原由.9.如图,在△ ABC中, AB=AC, D 是 BC的中点,点 E 在 AD上,找出图中全等的三角形,并说明它们为什么是全等的.10.以下列图, CD=CA,∠ 1=∠ 2, EC=BC,求证:△ ABC≌△ DEC.11.已知 AC=FE, BC=DE,点 A、 D、 B、F 在一条直线上,要使△ ABC≌△ FDE,应增加什么条件?并依照你所增加的条件证明:△ ABC≌△ FDE.12.如图,已知AB=AC, BD=CE,请说明△ ABE≌△ ACD.13.如图,△ ABC中,∠ ACB=90°, AC=BC,将△ ABC绕点 C 逆时针旋转角α( 0°<α< 90°)获取△ A1B1C,连接BB1.设 CB1交 AB于 D, A1B1分别交 AB, AC于 E, F,在图中不再增加其他任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明.(△ ABC与△ A1B1 C1全等除外)14.如图, AB∥ DE,AC∥ DF,BE=CF.求证:△ ABC≌△ DEF.15.如图, AB=AC, AD=AE, AB,DC订交于点M, AC, BE订交于点N,∠ DAB=∠EAC.求证:△ADM≌△ AEN.16.将两个大小不同样的含 45°角的直角三角板如图 1 所示放置在同一平面内.从图1中抽象出一个几何图形(如图2), B、 C、E 三点在同一条直线上,连接DC.求证:△ ABE≌△ ACD.优秀文档17.如图,已知△ ABC是等边三角形, D、E 分别在边 BC、AC上,且 CD=CE,连接 DE并延长至点 F,使 EF=AE,连接AF、 BE和 CF.请在图中找出所有全等的三角形,用符号“≌”表示,并选择一对加以证明.18.如图,已知∠1=∠ 2,∠ 3=∠ 4, EC=AD.(1)求证:△ ABD≌△ EBC.(2)你能够从中得出哪些结论?请写出两个.19.等边△ ABC边长为 8, D为 AB边上一动点,过点 D 作 DE⊥ BC于点 E,过点 E 作 EF⊥ AC于点 F.(1)若 AD=2,求 AF的长;(2)求当 AD取何值时, DE=EF.20.巳知:如图,AB=AC, D、E 分别是 AB、 AC上的点, AD=AE, BE与 CD订交于 G.(Ⅰ)问图中有多少对全等三角形?并将它们写出来.(Ⅱ)请你选出一对三角形,说明它们全等的原由(根椐所选三角形说理难易不同样给分,即难的说对给分高,易的说对给分低)21.已知:如图,AB=DC, AC=BD, AC、BD订交于点E,过 E 点作 EF∥ BC,交 CD于 F,(1)依照给出的条件,能够直接证明哪两个三角形全等?并加以证明.(2) EF 均分∠ DEC吗?为什么?22.如图,己知∠1=∠ 2,∠ ABC=∠ DCB,那么△ ABC与△ DCB全等吗?为什么?23.如图, B, F, E, D 在一条直线上,AB=CD,∠ B=∠ D,BF=DE.试证明:(1)△ DFC≌△ BEA;(2)△ AFE≌△ CEF.24.如图, AC=AE,∠ BAF=∠BGD=∠ EAC,图中可否存在与△ABE全等的三角形?并证明.25.如图, D 是△ ABC的边 BC的中点, CE∥ AB,E 在 AD的延长线上.试证明:△ ABD≌△ ECD.26.如图,已知AB=CD,∠ B=∠C, AC和 BD订交于点O,E 是 AD的中点,连接OE.(1)求证:△ AOB≌△ DOC;(2)求∠ AEO的度数.27.如图,已知AB∥ DE, AB=DE, AF=DC.(1)求证:△ ABF≌△ DEC;(2)请你找出图中还有的其他几对全等三角形.(只要直接写出结果,不要证明)28.如图:在△ ABC中, BE、CF分别是 AC、AB 两边上的高,在 BE 上截取 BD=AC,在 CF的延长线上截取CG=AB,连接 AD、 AG.(1)求证:△ ABD≌△ GCA;(2)请你确定△ ADG的形状,并证明你的结论.29.如图,点D、 F、 E 分别在△ ABC的三边上,∠ 1=∠ 2=∠ 3, DE=DF,请你说明△ ADE≌△ CFD的原由.30.如图,在△ ABC中,∠ ABC=90°, BE⊥ AC于点 E,点 F 在线段 BE 上,∠ 1=∠ 2,点 D在线段 EC上,给出两个条件:① DF∥BC;② BF=DF.请你从中选择一个作为条件,证明:△AFD≌△ AFB.31.如图,在△ ABC中,点 D在 AB 上,点 E 在 BC上, AB=BC, BD=BE,EA=DC,求证:△ BEA≌△ BDC.32.阅读并填空:如图,在△ ABC中,∠ ACB=90°, AC=BC, BE⊥ CE于点 E,AD⊥ CE于点 D.请说明△ ADC≌△ CEB的原由.解:∵ BE⊥CE于点 E(已知),∴∠ E=90°_________,同理∠ ADC=90°,∴∠ E=∠ ADC(等量代换).在△ ADC中,∵∠ 1+∠ 2+∠ ADC=180°_________,∴∠ 1+∠ 2=90°_________.∵∠ ACB=90°(已知),∴∠ 3+∠ 2=90°,∴_________ .在△ ADC和△ CEB中, .∴△ ADC≌△ CEB ( A. A. S)33.已知:以下列图,AB∥ DE,AB=DE, AF=DC.( 1)写出图中你认为全等的三角形(不再增加辅助线);( 2)选择你在(1)中写出的全等三角形中的任意一对进行证明.34.如图,点 E 在△ ABC外面,点 D在 BC边上, DE交 AC于点 F,若∠ 1=∠ 2=∠ 3, AC=AE.试说明以下结论正确的原由:(1)∠ C=∠ E;(2)△ ABC≌△ ADE.35.如图,在 Rt△ ABC中,∠ ACB=90°,AC=BC,D 是斜边 AB上的一点, AE⊥ CD于 E,BF⊥ CD交 CD的延长线于F.求证:△ ACE≌△ CBF.36.如图,在△ ABC中, D 是 BC的中点, DE∥ CA交 AB 于 E,点 P 是线段 AC上的一动点,连接PE.研究:当动点P 运动到 AC边上什么地址时,△APE≌△ EDB?请你画出图形并证明△APE≌△ EDB.37.已知:如图,AD∥ BC, AD=BC, E 为 BC上一点,且AE=AB.求证:( 1)∠ DAE=∠B;(2)△ ABC≌△ EAD.38.如图, D 为 AB边上一点,△ ABC和△ ECD都是等腰直角三角形,∠ ACB=∠ DCE=90°, CA=CB, CD=CE,图中有全等三角形吗?指出来并说明原由.39.如图, AB=AC, AD=AE,∠ BAC=∠ DAE.求证:△ ABD≌△ ACE.40.如图,已知D是△ ABC的边 BC的中点,过D 作两条互相垂直的射线,分别交AB于 E,交 AC于 F,求证: BE+CF >EF.41.以下列图,在△MNP中, H是高 MQ与 NE的交点,且QN=QM,猜想 PM与 HN有什么关系?试说明原由.42.如图,在△ ABC中, D 是 BC的中点,过 D 点的直线 GF交 AC于 F,交 AC的平行线 BG于 G点, DE⊥ GF,交 AB于点 E,连接 EG.(1)求证: BG=CF;(2)请你判断 BE+CF与 EF 的大小关系,并证明你的结论.43.如图,在△ ABC中,∠ ACB=90°, AC=BC, BE⊥ CE于 E, AD⊥ CE于 D,,,求 BE 的长.44.如图,小明在完成数学作业时,遇到了这样一个问题,AB=CD, BC=AD,请说明:∠ A=∠ C 的道理,小明着手测量了一下,发现∠A确实与∠ C相等,但他不能够说明其中的道理,你能帮助他说明这个道理吗?试一试看.45.如图, AD是△ ABC的中线, CE⊥ AD于 E, BF⊥AD,交 AD的延长线于F.求证: CE=BF.46.如图,已知 AB∥ CD,AD∥ BC,F 在 DC的延长线上, AM=CF,FM交 DA的延长线上于E.交 BC于 N,试说明:AE=CN.47.已知:如图,△ABC中,∠ C=90°, CM⊥ AB于 M, AT均分∠ BAC交 CM于 D,交 BC于 T,过 D 作 DE∥ AB交 BC 于 E,求证: CT=BE.48.如图,已知AB=AD, AC=AE,∠ BAE=∠ DAC.∠ B 与∠ D 相等吗?请你说明原由.49. D 是 AB上一点, DF交 AC于点 E, DE=EF, AE=CE,求证: AB∥CF.50.如图, M是△ ABC的边 BC上一点, BE∥ CF,且 BE=CF,求证: AM是△ ABC的中线.优秀文档合用标准文案51.如图,在△ ABC中, AC⊥BC, AC=BC, D 为 AB上一点, AF⊥ CD交于 CD的延长线于点F, BE⊥ CD于点 E,求证:EF=CF﹣ AF.52.如图,在△ ABC中,∠ BAC=90°, AB=AC,若 MN是经过点 A 的直线, BD⊥ MN于 D,EC⊥ MN于 E.(1)求证: BD=AE;(2)若将 MN绕点 A 旋转,使 MN与 BC订交于点 O,其他条件都不变, BD与 AE边相等吗?为什么?(3) BD、 CE与 DE有何关系?53.已知:如图,△ABC中, AB=AC, BD和 CE为△ ABC的高, BD和 CE订交于点O.求证: OB=OC.54.在△ ABC中,∠ ACB=90°, D 是 AB边的中点,点 F 在 AC边上, DE与 CF平行且相等.试说明AE=DF的原由.55.如图,在△ ABC中, D 是边 BC上一点, AD均分∠ BAC,在 AB 上截取 AE=AC,连接 DE,已知 DE=2cm, BD=3cm,求线段 BC的长.优秀文档56.如图:已知∠B=∠ C, AD=AE,则 AB=AC,请说明原由.57.如图△ ABC中,点 D 在 AC上, E 在 AB上,且 AB=AC,BC=CD, AD=DE=BE.( 1)求证△ BCE≌△ DCE;( 2)求∠ EDC的度数.58.已知:∠ A=90°, AB=AC, BD均分∠ ABC, CE⊥ BD,垂足为E.求证: BD=2CE.59.如图,已知:AB=CD, AD=BC,过 BD上一点 O的直线分别交DA、 BC的延长线于E、 F.(1)求证:∠ E=∠ F;(2) OE与 OF相等吗?若相等请证明,若不相等,需增加什么条件就能证得它们相等?请写出并证明你的想法.60.以以下列图, AD是∠ BAC的均分线, DE垂直 AB于点 E, DF垂直 AC于点 F,且 BD=DC.求证: BE=CF.全等三角形证明题专项练习60 题参照答案:1.∵△ ABC≌△ ADE 且∠ B≠∠ E,∴∠ C=∠ E,∠ B=∠ D;∴∠ BAC=180°﹣∠ B﹣∠ C=180°﹣ 30°﹣ 20° =130°.2.∵ AB∥ CD, AD∥ BC,∴∠ ABD=∠ CDB、∠ ADB=∠CBD.又 BD=DB,∴△ ABD≌△ CDB(ASA).3.△ ADF与△ AEF中,∵∠ 2=∠ 3,∠ AFE=∠ CFD,∴∠ E=∠ C.∵∠ 1=∠ 2,∴∠ BAC=∠DAE.∵AC=AE,∴△ ABC≌△ ADE.4.( 1)∵∠ BHD=∠ AHE,∠ BDH=∠ AEH=90°∴∠ DBH+∠BHD=∠ HAE+∠ AHE=90°∴∠ DBH=∠HAE∵∠ HAE=∠DAC∴∠ DBH=∠DAC;(2)∵ AD⊥ BC∴∠ ADB=∠ADC在△ BDH与△ ADC中,∴△ BDH≌△ ADC.5.∵ DE⊥ AB, DF⊥ AC,∴△ DBE与△ DCF是直角三角形,∵BD=CD, DE=DF,∴Rt △ DBE≌ Rt △ DCF( HL),∴∠ B=∠ C,∴AB=AC.6.∵ AE 是∠ BAC的均分线,∴∠ BAE=∠CAE;∴180°﹣∠BAE=180°﹣∠CAE,即∠ DAB=∠DAC;又∵ AB=AC, AD=AD,∴在△ ABD和△ ACD中,∴△ ABD≌△ ACD( SAS)7.∵ AE∥ BC,∴∠ B=∠ C.∵AF=BD, AE=BC,∴△ AEF≌△ BCD( SAS).8.△ ABE与△ ACD全等.原由:∵ AB=AC,∠ A=∠ A(公共角), AE=AD,∴△ ABE≌△ ACD.9.图中的全等三角形有:△ABD≌△ ACD,△ABE≌△ ACE,△BDE≌△ CDE.原由:∵ D是 BC的中点,∴BD=DC, AB=AC, AD=AD∴△ ABD≌△ ACD( SSS);∵AE=AE,∠ BAE=∠ CAE, AB=AC,∴△ ABE≌△ ACE( SAS);∵BE=CE, BD=DC, DE=DE,∴△ BDE≌△ CDE( SSS).10.:∵∠ 1=∠ 2,∴∠ ACB=∠DCE,在△ ABC和△ DEC中,,∴△ ABC≌△ DEC( SAS)11.增加AB=DF.在△ ABC和△ FDE中,∴△ ABC≌△ FDE(SSS).12.∵ AB=AC, BD=CE,∴ AD=AE.又∵∠ A=∠ A,∴△ ABE≌△ ACD(SAS).13.△ CBD≌△ CA1F 证明以下:∵AC=BC,∴∠A=∠ ABC.∵△ ABC绕点 C 逆时针旋转角α( 0°<α< 90°)获取△ A1B1C1,∴∠ A1 =∠ A, A1C=AC,∠ ACA1=∠ BCB1=α.∴∠ A1 =∠ ABC(1 分), A1C=BC.∴△ CBD≌△ CAF( ASA)114.∵ AB∥DE, AC∥DF,∴∠ B=∠ DEF,∠ F=∠ ACB.∵BE=CF,∴BE+CE=CF+EC.∴BC=EF.∴△ ABC≌△ DEF ( ASA).15.∵ AB=AC, AD=AE,∠ DAB=∠ EAC,∴∠ DAC=∠AEB,∴△ ACD≌△ ABE,∴∠ D=∠ E,又 AD=AE,∠ DAB=∠EAC,∴△ ADM≌△ AEN16.∵△ ABC和△ ADE均为等腰直角三角形,∴AB=AC, AD=AE,∠ BAC=∠DAE=90,即∠ BAC+∠CAE=∠DAE+∠ CAE,∴∠ BAE=∠CAD,在△ ABE和△ ACD中,,∴△ ABE≌△ ACD17.答:△ BDE≌△ FEC,△ BCE≌△ FDC,△ ABE≌△ ACF;证明:(以△ BDE≌△ FEC为例)∵△ ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠ ACB=60°,∵CD=CE,∴△ EDC是等边三角形,∴∠ EDC=∠DEC=60°,∴∠ BDE=∠FEC=120°,∵CD=CE,∴BC﹣ CD=AC﹣ CE,∴BD=AE,又∵ EF=AE,∴B D=FE,在△ BDE与△ FEC中,∵,∴△ BDE≌△ FEC( SAS).18.( 1)证明以下:∵∠ ABD=∠1+∠ EBC,∠ CBE=∠ 2+∠ EBC,∠ 1=∠2.∴∠ ABD=∠CBE.在△ ABD和△ EBC中∴△ ABD≌△ EBC( AAS);(2)从中还可获取 AB=BC,∠ BAD=∠ BEC19.( 1)∵ AB=8, AD=2∴BD=AB﹣ AD=6在 Rt △ BDE中∠BDE=90°﹣∠B=30°∴ BE= BD=3∴CE=BC﹣ BE=5在 Rt △ CFE中∠CEF=90°﹣∠C=30°∴ CF= CE=∴AF=AC﹣ FC= ;(2)在△ BDE和△ EFC中,∴△ BDE≌△ CFE( AAS)∴BE=CF∴BE=CF= EC∴BE= BC=∴BD=2BE=∴AD=AB﹣ BD=∴AD= 时, DE=EF20.( 1)图中全等的三角形有四对,分别为:①△ DBG≌△ EGC,②△ ADG≌△ AEG,③△ ABG≌△ ACG,④△ABE≌△ ACD;( 4 分)(Ⅱ)∵ AB=AC, AD=AE,∠ A 是公共角,∴△ ABE≌△ ACD( SAS)④;∵AB=AC, AD=AE,∴AB﹣ AD=AC﹣ AE,即 BD=CE;由④得∠ B=∠ C,又∵∠ DGB=∠ EGC(对顶角相等), BD=CE(已证),∴△ DBG≌△ EGC( AAS)①;由①得 BG=CG,由④得∠ B=∠C,又∵ AB=AC,∴△ ABG≌△ ACG( SAS)③;由①得 BG=CG,且 AD=AE, AG为公共边,∴△ ADG≌△ AEG( SSS)②;21.( 1)△ ABC≌△ DCB.证明:∵ AB=CD, AC=BD, BC=CB,∴△ ABC≌△ DCB.( SSS)(2) EF 均分∠ DEC.原由:∵ EF∥ BC,∴∠ DEF=∠EBC,∠ FEC=∠ ECB;由( 1)知:∠ EBC=∠ ECB;∴∠ DEF=∠FEC;∴ FE 均分∠ DEC22.△ ABC≌△ DCB.原由以下:∵∠ABC=∠ DCB,∠ 1=∠ 2,∴∠ DBC=∠ACB.∵BC=CB,∴△ ABC≌△ DCB23.( 1)∵ BF=DE,∴BF+EF=DE+EF.即 BE=DF.在△ DFC和△ BEA中,∵,∴△ DFC≌△ BEA( SAS).(2)∵△ DFC≌△ BEA,∴CF=AE,∠ CFD=∠ AEB.∵在△ AFE与△ CEF中,∵,∴△ AFE≌△ CEF( SAS)24.△ ABF与△ DFG中,∠ BAF=∠ BGD,∠ BFA=∠DFG,∴∠ B=∠ D,∵∠ BAF=∠EAC,∴∠ BAE=∠DAC,∵AC=AE,∠ BAE=∠ DAC,∠B=∠D,∴△ BAE≌△ DAC.答案:有.△ BAE≌△ DAC25.∵ CE∥AB,∴∠ ABD=∠ECD.在△ ABD和△ ECD中,,∴△ ABD≌△ ECD( ASA)26.( 1)证明:在△ AOB和△ COD中∵∴△ AOB≌△ COD( AAS)(2)解:∵△ AOB≌△ COD,∴ AO=DO∵ E 是 AD的中点∴OE⊥ AD∴∠ AEO=90°27. 1)证明:∵ AB∥ DE,∴∠ A=∠ D.∵AB=DE, AF=DC,∴△ ABF≌△ DEC.( 2)解:全等三角形有:△ ABC和△ DEF;△ CBF和△ FEC28.证明:( 1)∵ BE、 CF分别是 AC、 AB两边上的高,∴∠ AFC=∠AEB=90°(垂直定义),∴∠ ACG=∠DBA(同角的余角相等),又∵ BD=CA,AB=GC,∴△ ABD≌△ GCA;(2)连接 DG,则△ ADG是等腰三角形.证明以下:∵△ ABD≌△ GCA,∴AG=AD,∴△ ADG是等腰三角形.29.解:∵∠ 4+∠ 6=180°﹣∠ 3,∠ 5+∠ 6=180°﹣∠ 2,∠ 3=∠2,∴∠ 4+∠ 6=∠ 5+∠ 6,∴∠ 4=∠ 5,∵在△ ADE和△ CFD中,,∴△ ADE≌△ CFD( AAS).30.① DF∥BC.证明:∵ BE⊥ AC,∴∠ BEC=90°,∴∠ C+∠ CBE=90°,∵∠ ABC=90°,∴∠ ABF+∠CBE=90°,∴∠ C=∠ ABF,∵DF∥ BC,∴∠C=∠ ADF,∴∠ABF=∠ADF,在△ AFD和△ AFB中∴△ AFD≌△ AFB( AAS).31.在△ BEA和△ BDC中:,故△ BEA≌△ BDC(SSS).32.如图,在△ ABC中,∠ ACB=90°, AC=BC, BE⊥ CE于点 E, AD⊥CE于点 D.请说明△ ADC≌△ CEB的原由.解:∵ BE⊥CE于点 E(已知),∴∠ E=90°(垂直的意义),同理∠ ADC=90°,∴∠ E=∠ ADC(等量代换).在△ ADC中,∵∠ 1+∠ 2+∠ ADC=180°(三角形的内角和等于180°),∴∠ 1+∠ 2=90°(等式的性质).∵∠ ACB=90°(已知),∴∠ 3+∠ 2=90°,∴∠ 1=∠3(同角的余角相等).在△ ADC和△ CEB中, .∴△ ADC≌△ CEB ( A. A. S)33.( 1)△ ABF≌△ DEC,△ ABC≌△ DEF,△ BCF≌△ EFC;(2 分)(2)△ ABF≌△ DEC,证明:∵ AB∥ DE,∴∠ A=∠ D,( 3 分)在△ ABF和△ DEC中,(4 分)∴△ ABF≌△ DEC.(5 分)34.( 1)△ ADF与△ AEF中,∵∠ 2=∠ 3,∠ AFE=∠ CFD,∴∠ C=∠ E;(2)∵∠ 1=∠ 2,∴∠BAC=∠DAE.∵AC=AE,又∠ C=∠ E,∴△ ABC≌△ ADE.35.∵ AE⊥CD,∴∠ AEC=90°,∴∠ ACE+∠CAE=90°,(直角三角形两个锐角互余)∵∠ ACE+∠BCF=90°,∴∠ CAE=∠BCF,(等角的余角相等)∵AE⊥ CD,BF⊥ CD,∴∠ AEC=∠BFC=90°,在△ ACE与△ CBF中,∠ CAE=∠ BCF,∠ AEC=∠ BFC,AC=BC,∴△ ACE≌△ CBF( AAS).优秀文档36.当动点 P 运动到 AC边上中点地址时,△APE≌△ EDB,∵DE∥ CA,∴△ BED∽△ BAC,∴= ,∵D是BC的中点,∴ = ,∴= ,∴E 是 AB中点,∴DE= AC, BE=AE,∵DE∥ AC,∴∠ A=∠ BED,要使△ APE≌△ EDB,还缺少一个条件DE=AP,又有 DE= AC,∴ P 必定是 AC中点.37.( 1)∵ AE=AB,∴∠ B=∠ AEB,又∵ AD∥ BC,∴∠ AEB=∠DAE,∴∠ DAE=∠B;(2)∵∠ DAE=∠ B,AD=BC,AE=AB,∴△ ABC≌△ EAD.38.△ ACE≌△ BCD.∵△ ABC和△ ECD都是等腰直角三角形,∴∠ ECD=∠ACB=90°,∴∠ ACE=∠BCD(都是∠ ACD的余角),在△ ACE和△ BCD中,∵,∴△ ACE≌△ BCD.39.∵∠ BAC=∠ DAE,∴∠ BAC+∠CAD=∠ DAE+∠ CAD,即∠ BAD=∠EAC,在△ ABD和△ ACE中,∴△ ABD≌△ ACE.40.证明:延长FD到 M使 MD=DF,连接 BM,EM.∵D 为 BC中点,∴BD=DC.∵∠ FDC=∠BDM,∴△ BDM≌△ CDF.∴BM=FC.∵ED⊥ DF,∴EM=EF.∵BE+BM> EM,∴B E+FC> EF.41. PM=HN.原由:∵在△ MNP中, H是高 MQ与 NE的交点,∴∠ MEH=∠NQH=90°,∠ MQP=∠ NQH=90°∵∠ MHE=∠NHQ(对顶角相等),∴∠ EMH=∠QNH(等角的余角相等)在△ MPQ和△ NHQ中,,∴△ MPQ≌△ NHQ( ASA),∴MP=NH.42.( 1)∵ BG∥ AC,∴∠ DBG=∠DCF.∵D为BC的中点,∴ BD=CD又∵∠ BDG=∠ CDF,在△ BGD与△ CFD中,∵∴△ BGD≌△ CFD( ASA).∴BG=CF.(2)BE+CF>EF.∵△BGD≌△CFD,∴GD=FD, BG=CF.又∵ DE⊥ FG,∴EG=EF(垂直均分线到线段端点的距离相等).∴在△ EBG中, BE+BG> EG,即 BE+CF>EF.43.∵ BE⊥CE于 E,AD⊥ CE于 D∴∠ E=∠ ADC=90°∵∠ BCE+∠ACE=∠ DAC+∠ ACE=90°∴∠ BCE=∠DAC∵AC=BC∴△ ACD≌△ CBE∴CE=AD,﹣ 1.7=0.8 ( cm)44.∵ AB=CD, BC=AD,又∵ BD=DB,在△ ABD和△ CDB中,∴△ ABD≌△ CDB,∴∠ A=∠ C.45.∵ AD是△ ABC中 BC边上的中线,∴BD=CD.∵CE⊥ AD于 E, BF⊥AD,∴∠ BFD=∠CED.在△ BFD和△ CED中,∴△ BFD≌△ CED( AAS).∴CE=BF46.∵ AD∥BC,∴∠ E=∠ ENB,∵∠ ENB=∠CNF,∴∠ E=∠ CNF,∵AB∥ CD,∴∠A=∠B,∵∠ C=∠ B,∴∠ EAB=∠DCB,∵AM=CF,∴△ AME≌△ CFN,优秀文档47.证明:过T 作 TF⊥ AB于 F,∵A T 均分∠ BAC,∠ ACB=90°,∴CT=TF(角均分线上的点到角两边的距离相等),∵∠ ACB=90°, CM⊥AB,∴∠ ADM+∠DAM=90°,∠ ATC+∠ CAT=90°,∵AT 均分∠ BAC,∴∠DAM=∠CAT,∴∠ ADM=∠ATC,∴∠ CDT=∠CTD,∴CD=CT,又∵ CT=TF(已证),∴C D=TF,∵CM⊥ AB,DE∥ AB,∴∠ CDE=90°,∠ B=∠ DEC,在△ CDE和△ TFB 中,,∴△ CDE≌△ TFB( AAS),∴C E=TB,∴CE﹣ TE=TB﹣ TE,即 CT=BE.48.∵∠ BAE=∠ DAC∴∠ BAE+∠CAE=∠ DAC+∠ CAE即∠ BAC=∠DAE又∵ AB=AD, AC=AE,∴△ ABC≌△ ADE( SAS)∴∠ B=∠ D(全等三角形的对应角相等)49.∵ DE=EF, AE=CE,∠ AED=∠ FEC,∴△ AED≌△ FEC.∴∠ ADE=∠CFE.∴AD∥ FC.∵D是AB上一点,∴ AB∥ CF50.∵ BE∥CF,∴∠ CMF=∠BME,∠ FCM=∠ EBM.又∵ BE=CF,即 AM是△ ABC的中线51.∵ AC⊥BC, BE⊥CD,∴∠ ACF+∠FCB=∠ FCB+∠ CBE=90°.∴∠ FCA=∠EBC.∵∠ BEC=∠CFA=90°, AC=BC,∴△ BEC≌△ CFA.∴CE=AF.∴EF=CF﹣ CE=CF﹣ AF52.解:( 1)证明:由题意可知, BD⊥ MN与 D, EC⊥ MN与 E,∠BAC=90°,则△ ABD与△ CEA是直角三角形,∠ DAB=∠ ECA,在△ ABD与△ CEA中,∵,∴△ ABD≌△ CEA,∴B D=AE;(2)若将 MN绕点 A 旋转,与 BC订交于点 O,则 BD, CE与 MN垂直,∴△ABD与△CEA仍是直角三角形,两个三角形仍全等,∴BD与 AE边仍相等;(3)∵△ ABD≌△ CEA,∴B D=AE, AD=EC,∴DE=BD+EC或 DE=CE﹣ BD或 DE=BD﹣ CE.53.∵ AB=AC,∴∠ ABC=∠ACB,∵BD、CE分别为△ABC的高,∴∠ BEC=∠BDC=90°,∴在△ BEC和△ CDB中,∴△ BEC≌△ CDB,∴∠ 1=∠ 2,∴OB=OC∵∠ ACB=90°, D 是 AB 边的中点∴CD=AD,∠ DAC=∠ DCF∵DE与 CF平行且相等∴∠ EDA=∠DAC∴∠ EDA=∠DCF在△ AED和△ CFD中CD=AD,∠ EDA=∠ DCF, DE=CF∴△ AED≌△ CFD∴A E=DF.55.∵ AD均分∠ BAC∴∠ BAD=∠CAD在△ ADE和△ ADC中∵∴△ ADE≌△ ADC( SAS)∴DE=DC∴BC=BD+DC=BD+DE=2+3=5(cm)56.在△ AEB与△ ADC中,.∴△ AEB≌△ ADC( AAS).∴ AB=AC(全等三角形,对应边相等)57.( 1)证明:在△ BCE和△ DCE中∴△ BCE≌△ DCE( SSS).(2)解:∵ AD=DE,∴∠ A=∠ AED;∴∠ EDC=∠A+∠ AED=2∠ A,设∠ A=x,依照题意得,5x=180°,解得x=36°∴∠ EDC=2∠ A=72°证明:延长CE、 BA 交于点 F.∵CE⊥ BD于 E,∠ BAC=90°,∴∠ ABD=∠ACF.又 AB=AC,∠ BAD=∠ CAF=90°,∴△ ABD≌△ ACF,∴B D=CF.∵BD均分∠ ABC,∴∠ CBE=∠FBE.有 BE=BE,∴△ BCE≌△ BFE,∴C E=EF,∴C E= BD,∴B D=2CE.59.( 1)证明:在△ ABD和△ CDB中∵AB=CD,AD=BC,BD=DB,∴△ ABD≌△ CDB( SSS),∴∠ ADB=∠DBC,∴ DE∥ BF.∴∠ E=∠ F.(2)答:当 O是 BD中点时,OE=OF.证明以下:∵ O是 BD中点,∴OB=OD.又∵∠ ADB=∠ DBC,∠ E=∠ F,∴△ ODE≌△ OBF( AAS).∴OE=OF.(当 AE=CF时也可证得60.∵ DE⊥AB, DF⊥AC,∴∠ E=∠ DFC=90°.∵AD均分∠ EAC,∴ DE=DF.在 Rt △ DBE和 Rt △ DCF中,∴Rt △ DBE≌ Rt △ CDF( HL).∴BE=CF.。

全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形证明经典50题(含答案)

1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=22. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB延长CD 与P ,使D 为CP 中点。

连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2AD BC证明:连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ,可得,∠EFD =CGDDE =DC∠FDE =∠GDC (对顶角)∴△EFD ≌△CGDEF =CGB ACDF21 E∠CGD=∠EFD又,EF∥AB∴,∠EFD=∠1∠1=∠2∴∠CGD=∠2∴△AGC为等腰三角形,AC=CG又EF=CG∴EF=AC5.已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠CA证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD (SAS)∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠BDE=∠E∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C6.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB =∠CEF =90°∵EB =EF ,CE =CE ,∴△CEB ≌△CEF∴∠B =∠CFE∵∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180°∴∠D =∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC =∠FAC∵AC =AC∴△ADC ≌△AFC (SAS )∴AD =AF∴AE =AF +FE =AD +BE7. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADC AD BCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=28. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:1CD AB9. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF 。

全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形证明经典50题(含答案)

1、已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证:AC-AB=2BE2、已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC3、如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证:AD⊥BC .4.如图,OM 平分∠POQ ,MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ,A 、B 为垂足,AB 交OM 于点N . 求证:∠OAB =∠OBA 5.(5分)如图,已知AD ∥BC ,∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB .6.(6分)如图①,E 、F 分别为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F ,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M .(1)求证:MB =MD ,ME =MF(2)当E 、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.7.已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点,(1)求证:△AED ≌△EBC .(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):8.(7分)如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F .求证:BD =2CE . 25、如图:DF=CE ,AD=BC ,∠D=∠C 。

求证:△AED ≌△BFC 。

证明:∵DF=CE ,∴DF-EF=CE-EF ,即DE=CF ,在△AED 和△BFC 中,∵ AD=BC , ∠D=∠C ,DE=CF∴△AED ≌△BFC (SAS )26、(10分)如图:AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上,BE ∥CF ,BE=CF 。

求证:AM 是△ABC 的中线。

全等三角形证明50题(含答案)

全等三角形证明50题(含答案)

全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4即4-2<2AD <4+2 1<AD <3 ∴AD=2ADBC2. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB延长CD 与P ,使D 为CP 中点。

连接AP ,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD DE =DC∠FDE =∠GDC (对顶角)BA CDF2 1 EEF=CG∠CGD=∠EFD又,EF∥AB∴,∠EFD=∠1∠1=∠2∴∠CGD=∠2∴△AGC为等腰三角形,AC=CG又EF=CG∴EF=AC5.已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠CA证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE∵AD平分∠BAC∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD (SAS)∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠BDE=∠E∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C6.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF ∵CE ⊥AB∴∠CEB =∠CEF =90° ∵EB =EF ,CE =CE , ∴△CEB ≌△CEF ∴∠B =∠CFE∵∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° ∴∠D =∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC =∠FAC ∵AC =AC∴△ADC ≌△AFC (SAS ) ∴AD =AF∴AE =AF +FE =AD +BE7. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DEADB C∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4即4-2<2AD <4+2 1<AD <3 ∴AD=28. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB解:延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE<AE<AB+BE∵AB=4即4-2<2AD<4+21<AD<3∴AD=29.已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF和EF。

全等三角形证明经典50题(含答案)

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1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD2. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠23. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC4. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BEAD B CB ACDF21 E5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。

求证:BC=AB+DC 。

14. 已知:AB=CD ,∠A=∠D ,求证:∠B=∠C15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB<AC-AB16. 已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证:AC-AB=2BECDB PD A CB A17. 已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC18.如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证:AD ⊥BC .19.如图,OM 平分∠POQ ,MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ,A 、B 为垂足,AB 交OM 于点N .求证:∠OAB =∠OBA20.(5分)如图,已知AD ∥BC ,∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB .21.如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B22.(6分)如图①,E 、F 分别为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F,F AEDC B P E DCB A DC B A若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M .(1)求证:MB =MD ,ME =MF(2)当E 、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.23.已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点, (1)求证:△AED ≌△EBC . (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):24.(7分)如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F .求证:BD =2CE .O ED C B A F EDCB A25、如图:DF=CE ,AD=BC ,∠D=∠C 。

全等三角形证明经典50题(含答案)

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1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4 即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=22. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB延长CD 与P ,使D 为CP 中点。

连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2) 4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ,可得,∠EFD =CGDDE =DC ∠FDE =∠GDC (对顶角) ∴△EFD ≌△CGD EF =CG ∠CGD =∠EFD 又,EF ∥AB ∴,∠EFD =∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD =∠2∴△AGC 为等腰三角形, AC =CG 又 EF =CG ∴EF =AC5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C证明:延长AB 取点E ,使AE =AC ,连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD =∠CAD ∵AE =AC ,AD =AD∴△AED ≌△ACD (SAS )A C DEF 21 ADBCDABBA CDF2 1 EA∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠BDE=∠E∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C6.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE上取F,使EF=EB,连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB=∠CEF=90°∵EB=EF,CE=CE,∴△CEB≌△CEF∴∠B=∠CFE∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°∴∠D=∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC=∠FAC∵AC=AC∴△ADC≌△AFC(SAS)∴AD=AF ∴AE=AF+FE=AD+BE12. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。

全等三角形证明中考题精选(有答案)

全等三角形证明中考题精选(有答案)

新人教版八年级上学期全等三角形证明题一.解答题(共10小题)1.(泉州)如图,已知AD是△ABC的中线,分别过点B、C作BE⊥AD于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,求证:BE=CF.2.(河南)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:①线段DE与AC的位置关系是_________;②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是_________.(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA 上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.3.(大庆)如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.(1)求证:CF=DG;(2)求出∠FHG的度数.4.(阜新)(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.①当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论;②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立?不必说明理由.甲:AB:AC=AD:AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°;乙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;丙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.5.(仙桃)如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,然后将△ADE 绕A点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题:(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:①在图②中,BD与CE的数量关系是_________;②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;(2)若AB=k•AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:AM与AN的数量关系、∠MAN 与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.6.(四川)CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE_________CF;EF_________|BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”);②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_________,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).7.(绍兴)课外兴趣小组活动时,许老师出示了如下问题:如图1,己知四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,∠B与∠D互补,求证:AB+AD=AC.小敏反复探索,不得其解.她想,若将四边形ABCD 特殊化,看如何解决该问题.(1)特殊情况入手添加条件:“∠B=∠D”,如图2,可证AB+AD=AC;(请你完成此证明)(2)解决原来问题受到(1)的启发,在原问题中,添加辅助线:如图3,过C点分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F.(请你补全证明)8.(常德)如图,已知AB=AC,(1)若CE=BD,求证:GE=GD;(2)若CE=m•BD(m为正数),试猜想GE与GD有何关系.(只写结论,不证明)9.(泰安)(1)已知:如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=60°,求证:①AC=BD;②∠APB=60度;(2)如图②,在△AOB和△COD中,若OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为_________;∠APB的大小为_________;(3)如图③,在△AOB和△COD中,若OA=k•OB,OC=k•OD(k>1),∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为_________;∠APB的大小为10.(南宁)(A类)如图,DE⊥AB、DF⊥AC.垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中,再选出两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).①AB=AC;②BD=CD;③BE=CF已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=AC,BD=CD求证:BE=CF已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=AC,BE=CF求证:BD=CD已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,BD=CD,BE=CF求证:AB=AC(B类)如图,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).①AB=AC;②DE=DF;③BE=CF已知:EG∥AF,AB=AC,DE=DF求证:BE=CF新人教版八年级上学期全等三角形证明题参考答案与试题解析一.解答题(共10小题)1.(泉州)如图,已知AD是△ABC的中线,分别过点B、C作BE⊥AD于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,求证:BE=CF.考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:根据中线的定义可得BD=CD,然后利用“角角边”证明△BDE和△CDF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证.解答:证明:∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED=∠CFD=90°,在△BDE和△CDF中,,∴△BDE≌△CDF(AAS),∴BE=CF.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一,要熟练掌握并灵活运用.2.(河南)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC;②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是S1=S2.(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA 上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.考点:全等三角形的判定与性质.专题:几何综合题;压轴题.分析:(1)①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°,然后根据内错角相等,两直线平行解答;②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB,然后求出AC=BE,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答;(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用“角角边”证明△ACN 和△DCM全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明;(3)过点D作DF1∥BE,求出四边形BEDF1是菱形,根据菱形的对边相等可得BE=DF1,然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点,过点D作DF2⊥BD,求出∠F1DF2=60°,从而得到△DF1F2是等边三角形,然后求出DF1=DF2,再求出∠CDF1=∠CDF2,利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等,根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点,然后在等腰△BDE 中求出BE的长,即可得解.解答:解:(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上,∴AC=CD,∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,∴△ACD是等边三角形,∴∠ACD=60°,又∵∠CDE=∠BAC=60°,∴∠ACD=∠CDE,∴DE∥AC;②∵∠B=30°,∠C=90°,∴BD=AD=AC,根据等边三角形的性质,△ACD的边AC、AD上的高相等,∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1=S2;故答案为:DE∥AC;S1=S2;(2)如图,∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,∴BC=CE,AC=CD,∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,∴∠ACN=∠DCM,∵在△ACN和△DCM中,,∴△ACN≌△DCM(AAS),∴AN=DM,∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1=S2;(3)如图,过点D作DF1∥BE,易求四边形BEDF1是菱形,所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,此时S△DCF=S△BDE,过点D作DF2⊥BD,∵∠ABC=60°,∴∠F1DF2=∠ABC=60°,∴△DF1F2是等边三角形,∴DF1=DF2,∵BD=CD,∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°,∴∠CDF1=180°﹣30°=150°,∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°,∴∠CDF1=∠CDF2,∵在△CDF1和△CDF2中,,∴△CDF1≌△CDF2(SAS),∴点F2也是所求的点,∵∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,DE∥AB,∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°,又∵BD=4,∴BE=×4÷cos30°=2÷=,∴BF1=,BF2=BF1+F1F2=+=,故BF的长为或.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的面积,等边三角形的判定与性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟练掌握等底等高的三角形的面积相等,以及全等三角形的面积相等是解题的关键,(3)要注意符合条件的点F有两个.3.(大庆)如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.(1)求证:CF=DG;(2)求出∠FHG的度数.考点:全等三角形的判定与性质.分析:(1)在△CBF和△DBG中,利用SAS即可证得两个三角形全等,利用全等三角形的对应边相等即可证得;(2)根据全等三角形的对应角相等,即可证得∠DHF=∠CBF=60°,从而求解.解答:(1)证明:∵在△CBF和△DBG中,,∴△CBF≌△DBG(SAS),∴CF=DG;(2)解:∵△CBF≌△DBG,∴∠BCF=∠BDG,又∵∠CFB=∠DFH,∴∠DHF=∠CBF=60°,∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,正确证明三角形全等是关键.4.(阜新)(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.①当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论;②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立?不必说明理由.甲:AB:AC=AD:AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°;乙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;丙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.考点:全等三角形的判定与性质.专题:几何综合题;压轴题.分析:(1)①BD=CE,BD⊥CE.根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA;然后在△ABD和△CDF中,由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°,即BD⊥CF;②BD=CE,BD⊥CE.根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA;作辅助线(延长BD交AC于F,交CE 于H)BH构建对顶角∠ABF=∠HCF,再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°;(2)根据结论①、②的证明过程知,∠BAC=∠DFC(或∠FHC=90°)时,该结论成立了,所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适.解答:解:(1)①结论:BD=CE,BD⊥CE;②结论:BD=CE,BD⊥CE…1分理由如下:∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE…1分在△ABD与△ACE中,∵∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE…1分延长BD交AC于F,交CE于H.在△ABF与△HCF中,∵∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC∴∠CHF=∠BAF=90°∴BD⊥CE…3分(2)结论:乙.AB:AC=AD:AE,∠BAC=∠DAE=90°…2分点评:本题考查了全等三角形的判定与性质.SSS,SAS,ASA,AAS,HL均可作为判定三角形全等的定理.注意:在全等的判定中,没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例:直角三角形为HL,因为勾股定理,只要确定了斜边和一条直角边,另一直角边也确定,属于SSS),因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状;另外三条中线(或高、角平分线)分别对应相等的两个三角形也全等.5.(仙桃)如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,然后将△ADE 绕A点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题:(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:①在图②中,BD与CE的数量关系是;②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;(2)若AB=k•AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:AM与AN的数量关系、∠MAN 与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.考点:全等三角形的判定.专题:压轴题;探究型.分析:(1)①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB,所以BD=CE;②根据题意可知∠CAE=BAD,AB=AC,AD=AE,所以得到△BAD≌△CAE,在△ABM和△ACN中,DM=BD,EN=CE,可证△ABM≌△ACN,所以AM=AN,即∠MAN=∠BAC.(2)直接类比(1)中结果可知AM=k•AN,∠MAN=∠BAC.解答:解:(1)①BD=CE;②AM=AN,∠MAN=∠BAC,∵∠DAE=∠BAC,∴∠CAE=∠BAD,在△BAD和△CAE中∵∴△CAE≌△BAD(SAS),∴∠ACE=∠ABD,∵DM=BD,EN=CE,∴BM=CN,在△ABM和△ACN中,∵∴△ABM≌△ACN(SAS),∴AM=AN,∴∠BAM=∠CAN,即∠MAN=∠BAC;(2)AM=k•AN,∠MAN=∠BAC.点评:本题考查三角形全等的判定方法和性质.判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目.6.(台州)CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE=CF;EF=|BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”);②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).考点:直角三角形全等的判定;三角形内角和定理.专题:几何综合题;压轴题.分析:由题意推出∠CBE=∠ACF,再由AAS定理证△BCE≌△CAF,继而得答案.解答:解:(1)①∵∠BCA=90°,∠α=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,∴∠CBE=∠ACF,∵CA=CB,∠BEC=∠CFA;∴△BCE≌△CAF,∴BE=CF;EF=|BE﹣AF|.②所填的条件是:∠α+∠BCA=180°.证明:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α.∵∠BCA=180°﹣∠α,∴∠CBE+∠BCE=∠BCA.又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA,∴∠CBE=∠ACF,又∵BC=CA,∠BEC=∠CFA,∴△BCE≌△CAF(AAS)∴BE=CF,CE=AF,又∵EF=CF﹣CE,∴EF=|BE﹣AF|.(2)EF=BE+AF.点评:本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识.注意对三角形全等,相似的综合应用.7.(绍兴)课外兴趣小组活动时,许老师出示了如下问题:如图1,己知四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,∠B与∠D互补,求证:AB+AD=AC.小敏反复探索,不得其解.她想,若将四边形ABCD 特殊化,看如何解决该问题.(1)特殊情况入手添加条件:“∠B=∠D”,如图2,可证AB+AD=AC;(请你完成此证明)(2)解决原来问题受到(1)的启发,在原问题中,添加辅助线:如图3,过C点分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F.(请你补全证明)考点:直角三角形全等的判定.专题:证明题;压轴题;开放型.分析:(1)如果:“∠B=∠D”,根据∠B与∠D互补,那么∠B=∠D=90°,又因为∠DAC=∠BAC=30°,因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC,那么AD+AB=AC.(2)按(1)的思路,作好辅助线后,我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到(1)的条件.根据AAS可证两三角形全等,DF=BE.然后按照(1)的解法进行计算即可.解答:证明:(1)∵∠B与∠D互补,∠B=∠D,∴∠B=∠D=90°,∠CAD=∠CAB=∠DAB=30°,∵在△ADC中,cos30°=,在△ABC中,cos30°=,∴AB=AC,AD=.∴AB+AD=.(2)由(1)知,AE+AF=AC,∵AC为角平分线,CF⊥CD,CE⊥AB,∴CE=CF.而∠ABC与∠D互补,∠ABC与∠CBE也互补,∴∠D=∠CBE.∵在Rt△CDF与Rt△CBE中,∴Rt△CDF≌Rt△CBE.∴DF=BE.∴AB+AD=AB+(AF+FD)=(AB+BE)+AF=AE+AF=AC.点评:本题考查了直角三角形全等的判定及性质;通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法,也是解决本题的关键.8.(常德)如图,已知AB=AC,(1)若CE=BD,求证:GE=GD;(2)若CE=m•BD(m为正数),试猜想GE与GD有何关系.(只写结论,不证明)考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题;压轴题;探究型.分析:(1)要证GE=GD,需证△GDF≌△GEC,由已知条件可根据AAS判定.(2)若CE=m•BD(m为正数),那么GE=m•GD.解答:证明:(1)过D作DF∥CE,交BC于F,则∠E=∠GDF.∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC∵DF∥CE,∴∠DFB=∠ACB,∴∠DFB=∠ACB=∠ABC.∴DF=DB.∵CE=BD,∴DF=CE,在△GDF和△GEC中,,∴△GDF≌△GEC(AAS).∴GE=GD.(2)GE=m•GD.点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.本题的辅助线是解决题目的关键.9.(泰安)(1)已知:如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=60°,求证:①AC=BD;②∠APB=60度;(2)如图②,在△AOB和△COD中,若OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为AC=BD;∠APB的大小为α;(3)如图③,在△AOB和△COD中,若OA=k•OB,OC=k•OD(k>1),∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为AC=k•BD;∠APB的大小为180°﹣α.考点:全等三角形的判定;三角形内角和定理.专题:探究型.分析:(1)分析结论AC=BD可知,需要证明△AOC≌△BOD,围绕这个目标找全等的条件;(2)与图①比较,图形条件发生了变化,仍然可以证明△AOC≌△BOD,方法类似;(3)转化为证明△AOC∽△BOD.解答:解:(1)①∵∠AOB=∠COD=60°,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC.即:∠AOC=∠BOD.又∵OA=OB,OC=OD,∴△AOC≌△BOD.∴AC=BD.②由①得:∠OAC=∠OBD,∵∠AEO=∠PEB,∠APB=180°﹣(∠BEP+∠OBD),∠AOB=180°﹣(∠OAC+∠AEO),∴∠APB=∠AOB=60°.(2)AC=BD,α(3)AC=k•BD,180°﹣α.点评:三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.10.(南宁)(A类)如图,DE⊥AB、DF⊥AC.垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中,再选出两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).①AB=AC;②BD=CD;③BE=CF已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=AC,BD=CD求证:BE=CF已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=AC,BE=CF求证:BD=CD已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,BD=CD,BE=CF求证:AB=AC(B类)如图,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).①AB=AC;②DE=DF;③BE=CF已知:EG∥AF,AB=AC,DE=DF求证:BE=CF友情提醒:若两题都做的同学,请你确认以哪类题记分,你的选择是A类类题.考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题;开放型.分析:本题是开放题,应先确定选择哪对三角形,对应三角形全等条件求解;再根据全等三角形的性质得出结论.解答:解:(A类)已知:…,AB=AC,BD=CD求证:BE=CF.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.在△BDE和△CDF中∴△BDE≌△CDF.∴BE=CF.已知:…,AB=AC,DE=DF,求证:BE=CF.证明:∵EG∥AF,∴∠GED=∠F,∠BGE=∠BCA.∵AB=AC,∴∠B=∠BCA,∴∠B=∠BGE,∴BE=EG.在△DEG和△DFC中∴△DEG≌△DFC,∴EG=CF,∴BE=CF.点评:这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目,答案可有多种.同时还考查了全等三角形的性质.。

全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形证明经典50题(含答案)

1.已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,已知 AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=2已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ,可得,∠EFD =CGDDE =DC∠FDE =∠GDC (对顶角)∴△EFD ≌△CGDEF =CG∠CGD =∠EFD又,EF ∥AB∴,∠EFD =∠1∠1=∠2 AD B CBACDF21 E∴∠CGD=∠2∴△AGC为等腰三角形,AC=CG又EF=CG∴EF=AC已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE上取F,使EF=EB,连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB=∠CEF=90°∵EB=EF,CE=CE,∴△CEB≌△CEF∴∠B=∠CFE∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°∴∠D=∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC=∠FAC∵AC=AC∴△ADC≌△AFC(SAS)∴AD=AF∴AE=AF+FE=AD+BE如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。

求证:BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB,连接EF∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE ≌⊿FBE (SAS )∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º∵∠BFE+∠CFE=180º∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE∴⊿DCE ≌⊿FCE (AAS )∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD5.已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC∵作AG ∥BD 交DE 延长线于G∴AGE 全等BDE∴AG=BD=5∴AGF ∽CDFAF=AG=5∴DC=CF=26.(5分)如图,已知AD ∥BC ,∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB .做BE 的延长线,与AP 相交于F 点,∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE ,BE 均为∠PAB 和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB 为直角三角形在三角形ABF 中,AE ⊥BF ,且AE 为∠FAB 的角平分线∴三角形FAB 为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形DEF 与三角形BEC 中,F A EDCB P E DCB A∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC7.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证:BD=2CE.证明:∵∠CEB=∠CAB=90°∴ABCE四点共元∵∠AB E=∠CB E∴AE=CE∴∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G,连接AG,则:AG=BG=DG∴∠GAB=∠ABG而:∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等)∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而:AC=AB∴△AEC≌△AGB∴EC=BG=DG∴BE=2CE8.在△ABC中,︒=∠90ACB,BCAC=,直线MN经过点C,且MNAD⊥于D,MNBE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①ADC∆≌CEB∆;②BEADDE+=;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.(1)①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°.FEDCBA∴∠CAD=∠BCE.∵AC=BC,∴△ADC≌△CEB.②∵△ADC≌△CEB,∴CE=AD,CD=BE.∴DE=CE+CD=AD+BE.(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,∴∠ACD=∠CBE.又∵AC=BC,∴△ACD≌△CBE.∴CE=AD,CD=BE.∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE9.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD 相等吗?请说明理由在AB上取点N ,使得AN=AC∵∠CAE=∠EAN∴AE为公共,∴△CAE≌△EAN∴∠ANE=∠ACE又∵AC平行BD∴∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180∴∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBN∵BE为公共边∴△EBN≌△EBD∴BD=BN∴AB=AN+BN=AC+BD10.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C 作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:∠ADC=∠BDE.作CG ⊥AB,交AD 于H,则∠ACH=45º,∠BCH=45º∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE 又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º∴△ACH ≌△CBE, ∴CH=BE又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB∴△CFD ≌△BED∴∠ADC=∠BDE AB CD E F图9。

全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形证明经典50题(含答案)

1.已知: AB=4, AC=2, D 是 BC中点, AD 是整数,求 ADAB CD解:延伸 AD 到 E,使 AD=DE∵ D 是 BC中点∴ BD=DC在△ ACD和△ BDE 中 AD=DE∠ BDE=∠ADCBD=DC∴△ ACD≌△ BDE∴AC=BE=2∵在△ ABE 中 AB-BE< AE< AB+BE∵ AB=4即 4-2< 2AD< 4+21<AD< 3∴ AD=22. 已知: D 是 AB 中点,∠ ACB=90°,求证:CD 1 AB2ADC B延伸 CD 与 P,使 D 为 CP中点。

连结AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ ACBP为平行四边形又∠ ACB=90∴平行四边形 ACBP为矩形∴ AB=CP=1/2AB3.已知: BC=DE,∠ B=∠E,∠ C=∠D, F 是 CD 中点,求证:∠ 1=∠ 2A12B EC F D4.5.证明:连结 BF 和 EF∵ BC=ED,CF=DF,∠ BCF=∠EDF∴三角形 BCF全等于三角形 EDF(边角边 ) ∴BF=EF,∠ CBF=∠DEF连结 BE在三角形 BEF中,BF=EF∴∠ EBF=∠ BEF。

∵ ∠ ABC=∠AED。

∴ ∠ABE=∠AEB。

∴AB=AE。

在三角形 ABF 和三角形 AEF中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ ABE+∠ EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴三角形 ABF 和三角形AEF全等。

∴∠ BAF=∠ EAF (∠1=∠ 2)A1 2FCDEB已知:∠ 1=∠ 2, CD=DE,EFA C如图,四边形 ABCD中,AB∥DC,BE、 CE分别均分∠ ABC、∠ BCD,且点 E 在 AD 上。

求证: BC=AB+DC。

在 BC上截取 BF=AB,连结 EF∵BE 均分∠ ABC∴∠ ABE=∠ FBE又∵ BE=BE∴⊿ ABE≌⊿ FBE( SAS)∴∠ A=∠BFEE D A DFCA B B C∵AB 知: AB14. P 是∠ BAC均分线 AD 上一点, AC>AB,求证: PC-PB<AC-ABAP DB在 AC 上取点 E,使 AE= AB。

全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形证明经典50题1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=22. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB延长CD 与P ,使D 为CP 中点。

连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2AD BC证明:连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ,可得,∠EFD =CGDDE =DC∠FDE =∠GDC (对顶角)∴△EFD ≌△CGDEF =CG∠CGD =∠EFD又,EF ∥AB∴,∠EFD =∠1∠1=∠2∴∠CGD =∠2∴△AGC 为等腰三角形,BA CD F2 1EAC=CG又EF=CG∴EF=AC5.已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠CA证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD (SAS)∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠BDE=∠E∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C6.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE上取F,使EF=EB,连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB=∠CEF=90°∵EB=EF,CE=CE,∴△CEB≌△CEF∴∠B=∠CFE∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°∴∠D=∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC=∠FAC∵AC=AC∴△ADC≌△AFC(SAS)∴AD =AF∴AE =AF +FE =AD +BE7. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=28. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD ABAD BBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=29. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF 。

(完整版)初中数学全等三角形的证明题含答案

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1.已知:AB=4 , AC=2 , D是BC中点,AD是整数,求AD解:延长AD至【J E,使AD=DE• D是BC中点••• BD=DC在左ACD和左BDE中AD=DEZ BDE= Z ADCBD=DC••• A ACD^A BDE. .AC=BE=2•在△ ABE 中AB-BE < AE< AB+BE••AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3•••AD=21 2.已知:D是AB中点,Z ACB=90 ,求证:CD —AB延长CD与P,使D为CP中点。

连接AP.BP ••DP=DC,DA=DB• •ACBP为平行四边形又/ ACB=90平行四边形ACBP为矩形•••AB=CP=1/2AB证明:连接BF和EF. • BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)••• BF=EF, Z CBF= / DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF/ EBF= / BEF。

. • Z ABC= Z AED。

••• Z ABE= Z AEB。

AB=AE 。

在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,Z ABF= Z ABE+ Z EBF= Z AEB+ Z BEF= Z AEF三角形ABF和三角形AEF全等。

Z BAF= Z EAF ( Z 1 = Z 2)。

EF=AC 4,已知:/ 1 = Z 2, CD=DE , EF//AB ,求证:过C作CG // EF交AD的延长线于点GCG// EF,可得,/ EFD= CGDDE= DC/ FDE=Z GDC (对顶角). EFD^A CGDZCGD=Z EFD又,EF// AB. Z EFD=Z 1/ 1= / 2•••Z CGD=Z 2AGC为等腰三角形,AC= CG又EF= CGEF= AC证明:延长AB取点E,使AE = AC,连接DE . • AD 平分Z BAC••• Z EAD = Z CAD. . AE = AC , AD = AD. AED^A ACD (SAS)Z E= Z C. . AC = AB+BDAE = AB+BD. . AE = AB+BE. .BD = BE•••Z BDE = / E. Z ABC = Z E+ Z BDE•••Z ABC = 2 / E•.•Z ABC = 2 Z C6. 已知:AC 平分Z BAD , CE± AB , Z B+ / D=180 °,求证:AE=AD+BE证明:在AE上取F,使EF = EB,连接CF. • CE ± ABCEB = Z CEF = 90°. • EB = EF, CE = CE,. CEB^A CEF•••Z B=Z CFE. Z B+Z D= 180° , Z CFE + Z CFA = 180°•••Z D = Z CFA. • AC 平分Z BAD/ DAC = / FAC. . AC = AC. ADC^A AFC (SAS)AD = AFAE = AF + FE= AD + BE7, 已知:AB=4 , AC=2 , D是BC中点,AD是整数,求AD解:延长AD至ij E,使AD=DED是BC中点. . BD=DC在^ ACD和^ BDE中AD=DEZ BDE= Z ADCBD=DC. ACD^A BDE••• AC=BE=2•.•在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE. . AB=4即4-2 V 2AD V 4+21 v AD v 3AD=21—8. 已知:D是AB中点,/ACB=9,求证:CD-AB2 解:延长AD至ij E,使AD=DED是BC中点. . BD=DC在^ ACD和^ BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DC. ACD^A BDE ••• AC=BE=2•.•在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE . . AB=4即4-2 V 2AD V 4+2 1 v AD v 3AD=2证明:连接BF和EF。

(完整版)初中数学全等三角形的证明题含答案

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1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=22. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB延长CD 与P ,使D 为CP 中点。

连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2AD BC证明:连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ,可得,∠EFD =CGDDE =DC∠FDE =∠GDC (对顶角)∴△EFD ≌△CGDEF =CGB ACDF21 E∠CGD=∠EFD又,EF∥AB∴,∠EFD=∠1∠1=∠2∴∠CGD=∠2∴△AGC为等腰三角形,AC=CG又EF=CG∴EF=AC5.已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠CA证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD (SAS)∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠BDE=∠E∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C6.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB =∠CEF =90°∵EB =EF ,CE =CE ,∴△CEB ≌△CEF∴∠B =∠CFE∵∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180°∴∠D =∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC =∠FAC∵AC =AC∴△ADC ≌△AFC (SAS )∴AD =AF∴AE =AF +FE =AD +BE7. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCAD BCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE<AE<AB+BE ∵AB=4即4-2<2AD<4+21<AD<3∴AD=28.已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:12 CD AB9.已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF 。

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智皓教育姓名:全等三角形中考证明题一.解答题1.(2013•泉州)如图,已知AD是△ABC的中线,分别过点B、C作BE⊥AD于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,求证:BE=CF.2.(2013•河南)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:①线段DE与AC的位置关系是_________;②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是_________.(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.3.(2013•大庆)如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB 边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.(1)求证:CF=DG;(2)求出∠FHG的度数.4.(2012•阜新)(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.①当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论;②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立?不必说明理由.甲:AB:AC=AD:AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°;乙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;丙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.5.(2009•仙桃)如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,然后将△ADE绕A 点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题:(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:①在图②中,BD与CE的数量关系是_________;②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;(2)若AB=k•AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC 的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.6.(2008•台州)CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE_________CF;EF_________|BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”);②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_________,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).7.(2007•绍兴)课外兴趣小组活动时,许老师出示了如下问题:如图1,己知四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,∠B与∠D互补,求证:AB+AD=AC.小敏反复探索,不得其解.她想,若将四边形ABCD特殊化,看如何解决该问题.(1)特殊情况入手添加条件:“∠B=∠D”,如图2,可证AB+AD=AC;(请你完成此证明)(2)解决原来问题受到(1)的启发,在原问题中,添加辅助线:如图3,过C点分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F.(请你补全证明)8.(2007•常德)如图,已知AB=AC,(1)若CE=BD,求证:GE=GD;(2)若CE=m•BD(m为正数),试猜想GE与GD有何关系.(只写结论,不证明)9.(2006•泰安)(1)已知:如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=60°,求证:①AC=BD;②∠APB=60度;(2)如图②,在△AOB和△COD中,若OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为_________;∠APB的大小为_________;(3)如图③,在△AOB和△COD中,若OA=k•OB,OC=k•OD(k>1),∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为_________;∠APB的大小为10.(2005•南宁)(A类)如图,DE⊥AB、DF⊥AC.垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中,再选出两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).①AB=AC;②BD=CD;③BE=CF已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=AC,BD=CD求证:BE=CF已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=AC,BE=CF求证:BD=CD已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,BD=CD,BE=CF求证:AB=AC(B类)如图,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).①AB=AC;②DE=DF;③BE=CF已知:EG∥AF,AB=AC,DE=DF求证:BE=CF参考答案与试题解析一.解答题(共10小题)1.(2013•泉州)如图,已知AD是△ABC的中线,分别过点B、C作BE⊥AD于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,求证:BE=CF.考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:根据中线的定义可得BD=CD,然后利用“角角边”证明△BDE和△CDF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证.解答:证明:∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED=∠CFD=90°,在△BDE和△CDF中,,∴△BDE≌△CDF(AAS),∴BE=CF.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一,要熟练掌握并灵活运用.2.(2013•河南)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC;②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是S1=S2.(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.考点:全等三角形的判定与性质.专题:几何综合题;压轴题.分析:(1)①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°,然后根据内错角相等,两直线平行解答;②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB,然后求出AC=BE,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答;(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明;(3)过点D作DF1∥BE,求出四边形BEDF1是菱形,根据菱形的对边相等可得BE=DF1,然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点,过点D作DF2⊥BD,求出∠F1DF2=60°,从而得到△DF1F2是等边三角形,然后求出DF1=DF2,再求出∠CDF1=∠CDF2,利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等,根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点,然后在等腰△BDE中求出BE的长,即可得解.解答:解:(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上,∴AC=CD,∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,∴△ACD是等边三角形,∴∠ACD=60°,又∵∠CDE=∠BAC=60°,∴∠ACD=∠CDE,∴DE∥AC;②∵∠B=30°,∠C=90°,∴CD=AC=AB,∴BD=AD=AC,根据等边三角形的性质,△ACD的边AC、AD上的高相等,∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1=S2;故答案为:DE∥AC;S1=S2;(2)如图,∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,∴BC=CE,AC=CD,∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,∴∠ACN=∠DCM,∵在△ACN和△DCM中,,∴△ACN≌△DCM(AAS),∴AN=DM,∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1=S2;(3)如图,过点D作DF1∥BE,易求四边形BEDF1是菱形,所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,此时S△DCF=S△BDE,过点D作DF2⊥BD,∵∠ABC=60°,∴∠F1DF2=∠ABC=60°,∴△DF1F2是等边三角形,∴DF1=DF2,∵BD=CD,∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°,∴∠CDF1=180°﹣30°=150°,∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°,∴∠CDF1=∠CDF2,∵在△CDF1和△CDF2中,,∴△CDF1≌△CDF2(SAS),∴点F2也是所求的点,∵∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,DE∥AB,∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°,又∵BD=4,∴BE=×4÷cos30°=2÷=,∴BF1=,BF2=BF1+F1F2=+=,故BF的长为或.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的面积,等边三角形的判定与性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟练掌握等底等高的三角形的面积相等,以及全等三角形的面积相等是解题的关键,(3)要注意符合条件的点F有两个.3.(2013•大庆)如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB 边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.(1)求证:CF=DG;(2)求出∠FHG的度数.考点:全等三角形的判定与性质.分析:(1)在△CBF和△DBG中,利用SAS即可证得两个三角形全等,利用全等三角形的对应边相等即可证得;(2)根据全等三角形的对应角相等,即可证得∠DHF=∠CBF=60°,从而求解.解答:(1)证明:∵在△CBF和△DBG中,,∴△CBF≌△DBG(SAS),∴CF=DG;(2)解:∵△CBF≌△DBG,∴∠BCF=∠BDG,又∵∠CFB=∠DFH,∴∠DHF=∠CBF=60°,∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,正确证明三角形全等是关键.4.(2012•阜新)(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.①当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论;②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立?不必说明理由.甲:AB:AC=AD:AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°;乙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;丙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.考点:全等三角形的判定与性质.专题:几何综合题;压轴题.分析:(1)①BD=CE,BD⊥CE.根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA;然后在△ABD和△CDF中,由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°,即BD⊥CF;②BD=CE,BD⊥CE.根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA;作辅助线(延长BD交AC于F,交CE于H)BH构建对顶角∠ABF=∠HCF,再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°;(2)根据结论①、②的证明过程知,∠BAC=∠DFC(或∠FHC=90°)时,该结论成立了,所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适.解答:解:(1)①结论:BD=CE,BD⊥CE;②结论:BD=CE,BD⊥CE…1分理由如下:∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE…1分在△ABD与△ACE中,∵∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE…1分延长BD交AC于F,交CE于H.在△ABF与△HCF中,∵∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC∴∠CHF=∠BAF=90°∴BD⊥CE…3分(2)结论:乙.AB:AC=AD:AE,∠BAC=∠DAE=90°…2分点评:本题考查了全等三角形的判定与性质.SSS,SAS,ASA,AAS,HL均可作为判定三角形全等的定理.注意:在全等的判定中,没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例:直角三角形为HL,因为勾股定理,只要确定了斜边和一条直角边,另一直角边也确定,属于SSS),因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状;另外三条中线(或高、角平分线)分别对应相等的两个三角形也全等.5.(2009•仙桃)如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,然后将△ADE绕A 点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题:(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:①在图②中,BD与CE的数量关系是;②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;(2)若AB=k•AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC 的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.考点:全等三角形的判定.专题:压轴题;探究型.分析:(1)①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB,所以BD=CE;②根据题意可知∠CAE=BAD,AB=AC,AD=AE,所以得到△BAD≌△CAE,在△ABM和△ACN中,DM=BD,EN=CE,可证△ABM≌△ACN,所以AM=AN,即∠MAN=∠BAC.(2)直接类比(1)中结果可知AM=k•AN,∠MAN=∠BAC.解答:解:(1)①BD=CE;②AM=AN,∠MAN=∠BAC,∵∠DAE=∠BAC,∴∠CAE=∠BAD,在△BAD和△CAE中∵∴△CAE≌△BAD(SAS),∴∠ACE=∠ABD,∵DM=BD,EN=CE,∴BM=CN,在△ABM和△ACN中,∵∴△ABM≌△ACN(SAS),∴AM=AN,∴∠BAM=∠CAN,即∠MAN=∠BAC;(2)AM=k•AN,∠MAN=∠BAC.点评:本题考查三角形全等的判定方法和性质.判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目.6.(2008•台州)CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE=CF;EF=|BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”);②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).考点:直角三角形全等的判定;三角形内角和定理.专题:几何综合题;压轴题.分析:由题意推出∠CBE=∠ACF,再由AAS定理证△BCE≌△CAF,继而得答案.解答:解:(1)①∵∠BCA=90°,∠α=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,∴∠CBE=∠ACF,∵CA=CB,∠BEC=∠CFA;∴△BCE≌△CAF,∴BE=CF;EF=|BE﹣AF|.②所填的条件是:∠α+∠BCA=180°.证明:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α.∵∠BCA=180°﹣∠α,∴∠CBE+∠BCE=∠BCA.又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA,∴∠CBE=∠ACF,又∵BC=CA,∠BEC=∠CFA,∴△BCE≌△CAF(AAS)∴BE=CF,CE=AF,又∵EF=CF﹣CE,∴EF=|BE﹣AF|.(2)EF=BE+AF.点评:本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识.注意对三角形全等,相似的综合应用.7.(2007•绍兴)课外兴趣小组活动时,许老师出示了如下问题:如图1,己知四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,∠B与∠D互补,求证:AB+AD=AC.小敏反复探索,不得其解.她想,若将四边形ABCD特殊化,看如何解决该问题.(1)特殊情况入手添加条件:“∠B=∠D”,如图2,可证AB+AD=AC;(请你完成此证明)(2)解决原来问题受到(1)的启发,在原问题中,添加辅助线:如图3,过C点分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F.(请你补全证明)考点:直角三角形全等的判定.专题:证明题;压轴题;开放型.分析:(1)如果:“∠B=∠D”,根据∠B与∠D互补,那么∠B=∠D=90°,又因为∠DAC=∠BAC=30°,因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC,那么AD+AB=AC.(2)按(1)的思路,作好辅助线后,我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到(1)的条件.根据AAS可证两三角形全等,DF=BE.然后按照(1)的解法进行计算即可.解答:证明:(1)∵∠B与∠D互补,∠B=∠D,∴∠B=∠D=90°,∠CAD=∠CAB=∠DAB=30°,∵在△ADC中,cos30°=,在△ABC中,cos30°=,∴AB=AC,AD=.∴AB+AD=.(2)由(1)知,AE+AF=AC,∵AC为角平分线,CF⊥CD,CE⊥AB,∴CE=CF.而∠ABC与∠D互补,∠ABC与∠CBE也互补,∴∠D=∠CBE.∵在Rt△CDF与Rt△CBE中,∴Rt△CDF≌Rt△CBE.∴DF=BE.∴AB+AD=AB+(AF+FD)=(AB+BE)+AF=AE+AF=AC.点评:本题考查了直角三角形全等的判定及性质;通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法,也是解决本题的关键.8.(2007•常德)如图,已知AB=AC,(1)若CE=BD,求证:GE=GD;(2)若CE=m•BD(m为正数),试猜想GE与GD有何关系.(只写结论,不证明)考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题;压轴题;探究型.分析:(1)要证GE=GD,需证△GDF≌△GEC,由已知条件可根据AAS判定.(2)若CE=m•BD(m为正数),那么GE=m•GD.解答:证明:(1)过D作DF∥CE,交BC于F,则∠E=∠GDF.∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC∵DF∥CE,∴∠DFB=∠ACB,∴∠DFB=∠ACB=∠ABC.∴DF=DB.∵CE=BD,∴DF=CE,在△GDF和△GEC中,,∴△GDF≌△GEC(AAS).∴GE=GD.(2)GE=m•GD.点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.本题的辅助线是解决题目的关键.9.(2006•泰安)(1)已知:如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=60°,求证:①AC=BD;②∠APB=60度;(2)如图②,在△AOB和△COD中,若OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为AC=BD;∠APB的大小为α;(3)如图③,在△AOB和△COD中,若OA=k•OB,OC=k•OD(k>1),∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为AC=k•BD;∠APB的大小为180°﹣α.考点:全等三角形的判定;三角形内角和定理.专题:探究型.分析:(1)分析结论AC=BD可知,需要证明△AOC≌△BOD,围绕这个目标找全等的条件;(2)与图①比较,图形条件发生了变化,仍然可以证明△AOC≌△BOD,方法类似;(3)转化为证明△AOC∽△BOD.解答:解:(1)①∵∠AOB=∠COD=60°,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC.即:∠AOC=∠BOD.又∵OA=OB,OC=OD,∴△AOC≌△BOD.∴AC=BD.②由①得:∠OAC=∠OBD,∵∠AEO=∠PEB,∠APB=180°﹣(∠BEP+∠OBD),∠AOB=180°﹣(∠OAC+∠AEO),∴∠APB=∠AOB=60°.(2)AC=BD,α(3)AC=k•BD,180°﹣α.点评:三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.10.(2005•南宁)(A类)如图,DE⊥AB、DF⊥AC.垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中,再选出两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).①AB=AC;②BD=CD;③BE=CF已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=AC,BD=CD求证:BE=CF已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=AC,BE=CF求证:BD=CD已知:DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,BD=CD,BE=CF求证:AB=AC(B类)如图,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).①AB=AC;②DE=DF;③BE=CF已知:EG∥AF,AB=AC,DE=DF求证:BE=CF友情提醒:若两题都做的同学,请你确认以哪类题记分,你的选择是A类类题.考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题;开放型.分析:本题是开放题,应先确定选择哪对三角形,对应三角形全等条件求解;再根据全等三角形的性质得出结论.解答:解:(A类)已知:…,AB=AC,BD=CD求证:BE=CF.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.在△BDE和△CDF中∴△BDE≌△CDF.∴BE=CF.已知:…,AB=AC,DE=DF,求证:BE=CF.证明:∵EG∥AF,∴∠GED=∠F,∠BGE=∠BCA.∵AB=AC,∴∠B=∠BCA,∴∠B=∠BGE,∴BE=EG.在△DEG和△DFC中∴△DEG≌△DFC,∴EG=CF,∴BE=CF.点评:这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目,答案可有多种.同时还考查了全等三角形的性质.。

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