高考数学二轮复习 专题七 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想训练 文

第1讲函数与方程思想、数形结合思想

一、选择题

1.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于( )

A.3或－ 3

B.－3或3 3

C.－33或 3

D.－33或3 3

解析圆的方程(x－1)2＋y2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径⇒|3＋m|

3＋1

＝3⇒|3

＋m|＝23⇒m＝3或m＝－3 3.

答案 C

2.已知函数f(x)满足下面关系：①f (x＋1)＝f (x－1)；②当x∈[－1，1]时，f (x)＝x2，

则方程f (x)＝lg x解的个数是( )

A.5

B.7

C.9

D.10

解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)＝lg x，则x∈(0，10]，画出两函数图象，

则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.

答案 C

3.函数f(x)的定义域为R，f (－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f (x)＞2x＋4的解集

为( )

A.(－1，1)

B.(－1，＋∞)

C.(－∞，－1)

D.(－∞，＋∞)

解析f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f (x)－2x，得F(x)在R上是增函数.

又F(－1)＝f (－1)－2×(－1)＝4，f (x)＞2x＋4，

即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1.

答案 B

4.(2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品

所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )

甲乙原料限额

A(吨)3212

B(吨)128

A.12万元

C.17万元

D.18万元

解析设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，每天可获得利润为8万元，由已知可得⎩⎪

⎨

⎪⎧3x＋2y≤12，

x＋2y≤8，

x≥0，

y≥0，

目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：

可得目标函数在点A处取到最大值.

由

⎩⎪

⎨

⎪⎧x＋2y＝8，

3x＋2y＝12，

得A(2，3).则z max＝3×2＋4×3＝18(万元).

答案 D

二、填空题

5.(2015·福建卷)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，

－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________.

解析由题意知，a＋b＝p，ab＝q，

∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0，在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有a，－2，b；b，－2，a.

∵

⎩⎪

⎨

⎪⎧ab＝4，

2b＝a－2

或

⎩⎪

⎨

⎪⎧ab＝4，

2a＝b－2，

解得

⎩⎪

⎨

⎪⎧a＝4，

b＝1

或

⎩⎪

⎨

⎪⎧a＝1，

b＝4.

∴p ＝5，q ＝4， 故p ＋q ＝9. 答案 9

6.若不等式|x －2a |≥1

2x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是

________.

解析 作出y ＝|x －2a |和y ＝1

2x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2

－2a ，故a ≤1

2.

答案 ⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，12 7.经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2，1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________. 解析 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则

k PA ≤k ≤k PB ，而k PB ＞0，k PA ＜0，

又k PA ＝－2－（－1）

1－0

＝－1，

k PB ＝

－1－1

0－2

＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π

4；

当－1≤k ＜0时，3π

4

≤α＜π.

故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.

答案 [－1，1] ⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣

⎢⎡⎭

⎪⎫3π4

，π

8.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2

－y 2

＝1右支上的一个动点.若点

P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________.

解析 双曲线x 2

－y 2

＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行， 故两平行线的距离d ＝

|1－0|12

＋1

2

＝2

2

. 由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22

. 答案

2

2