s21数理统计的基本概念与抽样分布

(2)
E ( S ) = D (ξ ) = E (ξ ) = 1 / 2.
*2
2
(3) 由中心极限定理 P ( ξ > 0.02) = 1 − P ( ξ ≤ 0.02)
∑ξ
= 1 − P(
i =1
50
i
1 50 ⋅ 2
≤
1 1 50 ⋅ 2
∑ξ
) = 1 − P(
i =1
50
i
1 50 ⋅ 2
≤ 0.2)
ξ( k ) 总是以 x( k ) , k = 1,2,L, n 为其观测值, 为其观测值,则称
统计量 ξ (1) , ξ ( 2 ) ,L, ξ ( n ) 为顺序统计量. 顺序统计量 min {ξ k }, ξ ( n ) = max {ξ k } 其中, 其中 , ξ (1 ) = 1 ≤k ≤n 1≤ k ≤ n 称
∏ P (ξ
i =1
i
= xi )
若总体 ξ 的密度函数为 p( x),则 ),则样本 的联合密度函数为
n
p ( x1 , x 2 , L , x n ) =
∏
i =1
p ( xi )
例 设某批产品共有N 个,其中的次品数 p=M /N 为M, 其次品率为 若 p 是未知的, 是未知的,则可用抽样方法来估计它. 则可用抽样方法来估计它. 从这批产品中任取一个产品, 从这批产品中任取一个产品,用随机变量 ξ 来描述它是否是次品: 来描述它是否是次品:
例 ξ ~ N ( µ ,σ 2 ) , µ , σ 2 是未知参数, 是未知参数,
( ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n ) 是一样本, 是一样本, 则
n 2 1 n 1 * ξ = ∑ ξi , S = ξi − ξ ∑ n i =1 n − 1 i =1
(
)
2
是统计量, 是统计量, 其中 ξi ~ N ( µ ,σ ) 1 n 2 但 (ξ − µ ) 2 ∑ i σ i=1 不是统计量. 不是统计量.若 µ ,σ 已知, 已知,则为统计量
*2
例3 从一批机器零件毛坯中随机地抽取 10件, 测得其重量为(单位: 公斤):
210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199
求这组样本值的均值、修正方差、二阶 原点矩与二阶中心矩. 解 令 (x1, x2 ,L, x10)
= ( 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199 )
53.8−52 50.8−52 = Φ −Φ 6.3/ 6 6.3/ 6 = Φ (1.7143) − Φ (−1.1429) = 0.8239
例5
设总体 ξ 的概率密度函数为
x x < 1 f (x) = x ≥ 1 0 ( ξ 1 , ξ 2 , L , ξ 50 ) 为总体的样本,求
∑
∑ ∑
n 1 2 2 2 E ξ − D ξ + E ξ ES = ∑ i 故 n i =1 n −1 2 1 2 2 2 2 =σ + µ − σ + µ = σ n n
2 1 n 2 = (∑ξi − nξ 2 2 2 E (S ) = E S = ES = σ n −1 n −1
Dn = ξ ( n ) − ξ (1)
为极差 极差
定理1 设 ( ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n ) 是来自总体 ξ 的一个
Eξ = µ , Dξ = σ , 则 样本， ， 样本 （1） E ξ = µ , D (ξ ) = 1 σ 2
2
n −1 2 *2 2 E (S ) = σ , E (S ) = σ n n n 证 （1） 1 1 E ξ = E ∑ ξ i = ∑ E ξ i =µ n i =1 n i =1
§ 2.1 基本概念
总体 —— 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标 的全体,它是一个随机变量(或多维随机变 量)，记为ξ . 个体 —— 组成总体的每一个元素 总体中所包含的个体的个数称为总体 的容量。容量为有限的称为有限总体，容 量为无限的称为无限总体。
样本 —— 从总体中抽取n个个体称为 容量为n的样本.用 (ξ1, ξ2 ,L, ξn ) 表示。 表示。 第i次抽取的个体可看作随机变量, 次抽取的个体可看作随机变量,用ξi 表示. 表示 .
(ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n )
的联合分布列为
∑ xi
n
n−
P (ξ1 = x1 , L , ξ n = x n ) = p i =1 (1 − p ) 其中 xi = 0 或1。
∑ xi
i =1
n
统计量
定义 设 ( ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n )是取自总体 ξ 的一个样 本,g ( y1, y2 ,L, yn )为一实值函数, 为一实值函数,且不含有 未知参数, 未知参数,则称随机 变量 g (ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n ) 为统计量 统计量. 统计量 若 ( x1 , x 2 , L , x n ) 是一个样本值 是一个样本值, , 称 g ( x1 , x2 ,L, xn ) 为统计量 g (ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n ) 的一个观测值. 一个观测值.
为样本的一次观测值. 为样本的一次观测值.
以后如不加特别说明， 以后如不加特别说明，所提到的样本都是简单随机样本 所提到的样本都是简单随机样本
设总体 ξ 的分布律为 P{ξ = xk } = pk , k = 1,2,L , 则样本 ( ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n ) 的分布律为
n
P (ξ 1 = x1 , L , ξ n = x n ) =
所取的产品是次品 1, ξ = 0, 所取的产品不是次品 ξ 服从参数为p 的0-1分布, 分布,可用如下表示
方法: 方法: P(ξ = x) = p (1− p) ,
x
1−x
x = 0,1
设有放回地抽取一个容量为 n 的样本
(ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n )
其样本值为 ( x 1 , x 2 , L , x n )
（2）
2
n
()
1 1 D ξ = D ∑ ξi = 2 n i =1 n
()
n
∑ Dξ
i =1
n
i
=
σ
2
n
n n 2 1 1 2 2 （2）S 2 = (ξi − ξ ) = ∑ (ξi − 2ξi ξ + ξ ) ∑ n i=1 n i=1 n n 2 2 1 n 2 2 1 n 2 = ( ξi − 2ξ ξi + ξ ) = (∑ ξi − 2nξ + nξ ) n i=1 n i=1 i=1 i=1
9 *2 1 2 ′ m2 = s = ∑( xi − x) = 390.0 10 10 i=1
10
2 N ( 52 , 6 . 3 )中,随机抽取一个容量 例4 在总体
为36的样本,求样本均值 ξ 落在50.8到53.8 之间的概率. 解 ξ ~ N ( 52 , 6 . 3 2 / 36 ) 故 P ( 50 . 8 < ξ < 53 . 8 )
简单随机样本 若总体 ξ 的样本 ( ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n ) 满足: (1) ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n 与 ξ 有相同的分布; (2) ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n 相互独立;
则称 (ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n ) 为简单随机样本.
记xi为ξ i的一次观测值，并称 (x1, x2 ,L, xn )
2
常用的统计量
设 ( ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n ) 是来自总体 ξ 的容量 为 n 的样本 的样本, ,称统计量 1 n (1) ξ = ∑ ξ i n i =1
( 2) S
*2
为样本均值
1 n = ξi − ξ ∑ n − 1 i =1
(
)
2
2
为修正样本方差 为修正样本标准差
n 1 ξi − ξ S* = ∑ n − 1 i =1
≈ 1− (Φ(0.2) − Φ(− 0.2))
= 2(1− Φ(0.2))
= 0.8414
(5) 顺序统计量与极差 设 (ξ1 , ξ 2 ,L, ξ n ) 为样本, 为样本, 其样本值为 ( x1 , x2 , L , xn ) 。现将 ( x1 , x2 , L , xn ) 从小到大重 新排列， 新排列，并记为 x(1) ≤ x( 2 ) ≤ L ≤ x( n ) .定义随机变量
(
)
1 n k (3) M k = ∑ξi 为样本的k 阶原点矩 n i=1
1 n ′ = ∑ ξi − ξ ( 4) M k n i =1
(
)
k
为样本的k 阶中心矩
M1 = ξ 2 ′ 记 S = M2 n 2 n − 1 1 2 * S = ∑ ξi − ξ 则S = n n i =1
(
)
2
称样本方差。 称样本方差。
Zhu fengfeng
第2章 数理统计的基本概念与抽样分布
数理统计学是数学的一个重要分支。 数理统计学是数学的一个重要分支。它研 究怎样有效地收集、 究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的 数据， 数据，以对所考察的问题作出推断或预测， 以对所考察的问题作出推断或预测，直 至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 它的内容大致包括两大类： 它的内容大致包括两大类：一类是试验设计与 抽样调查设计， 抽样调查设计，即如何有效地收集数据； 即如何有效地收集数据；一类 是统计推断， 是统计推断，即如何分析数据作出推论。 即如何分析数据作出推论。本课 程主要讨论统计推断的理论与方法。 程主要讨论统计推断的理论与方法。