2018版数学-第7章第三讲 基本不等式
2018年版高考数学第1轮复习第七章不等式、推理与证明7.2基本不等式及应用课件文新人教A版
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;
考点1
考点2
考点3
解析: (1)因为 x<54,所以 5-4x>0. 所以 f(x)=4x-2+4���1���-5
=-
5-4������
+
1 5-4������
+3≤-2+3=1,
当且仅当 5-4x=5-14������,即 x=1 时,等号成立.
(2)因为 x>2,所以 x-2>0.
7.2 基本不等式及其应用
知识梳理
双基自测
自测点评
123
-2-
1.基本不等式:
������������
≤
������+������ 2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号.
(3)其中������+2 ������称为正数 a,b 的算术平均数, ������������称为正数 a,b 的几何 平均数.
∴ab≤
������+������ 2
2
= 14,当且仅当 a=b=12时,等号成立.
于是���1���������≥4,���2���������≥8,当且仅当 a=b=12时,等号成立.
∴
1
+
1 ������
1
+
1 ������
≥1+8=9,
当且仅当 a=b=12时,等号成立.
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考点1
考点2
考点1
考点2
考点3
考点 1 利用基本不等式证明不等式
例
1(1)设
a,b,c
都是正数,求证:������������������
高考数学(理)一轮资源库 第七章 7.3基本不等式及其应用
思维启迪 解析 答案 思维升华
(1)∵x>0，y>0，且 2x＋y＝1，
∴1x＋1y＝2xx＋y＋2x＋ y y ＝3＋xy＋2yx≥3＋2 2.当且仅当 xy＝2yx时，取等号. (2)∵x>0，∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x ≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x ＝1 时取等号.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
利用基本不等式求最值
【例 3】 (1)已知 x>0，y>0， 且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值 为___3_＋__2__2______； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的
最大值为___1_____.
思维启迪 解析 答案 思维升华
数学 苏（理）
§7.3 基本不等式及其应用
第七章 不等式、推理与证明
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1.基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件： a≥0，b≥0
.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R). (2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号). (3)ab≤a＋2 b2 (a，b∈R). (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2 (a，b∈R).
∴xy≤3.当且仅当3x＝4y时取等号.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
不等式与函数的综合问题
【例 2】 (1)已知 f(x)＝32x－(k＋ 思维启迪 解析 答案 思维升华
基本不等式(课件)
比较大小
学习如何比较不等式中的数值大小。
证明基本不等式的方法
数学归纳法
使用数学归纳法证明基本 不等式。
反证法
使用反证法证明基本不等 式。
代入法
使用代入法证明基本不等 式。
基本不等式形式讲解
1
三角不等式
学习三角函数中常用的不等式。
2
均值不等式
介绍均值不等式及其不同形式。
3
柯西-施瓦兹不等式
探讨柯西-施瓦兹不等式及其几何和向量形式。
基本不等式的推广
绝对值不等式
学习利用基本不等式解决绝对值不等式。
积分不等式
探讨基本不等式在积分中的运用。
幂不等式
介绍基本不等式在幂函数中的应用。
例题和练习
例题
通过例题加深对基本不等式的理解。
练习
加强基本不等式的应用能力。
基本不等式的应用
实际应用
了解基本不等式在实际生活中的应用，如经济学、 物理学等领域。
最优化问题
学习如何使用基本不等式解决最优化问题。
概率
探索基本不等式在概率论中的应用。
基本不等式与均值不等式的关系
深入研究基本不等式与均值不等式之间的联系，包括均值不等式是基本不等式的特殊情况，以及它们在 数学推导和证明中的应用。
基式的概念、证明方法以及各种形式的基 本不等式。我们还将探讨基本不等式的应用、与均值不等式的关系以及推广 内容，并提供例题和练习。
不等式的概念
符号表达
学习不等式中的符号表示以及它们在数学中的含 义。
数轴表示
了解如何使用数轴来可视化不等式并确定不等式 的解集。
基本不等式ppt课件
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
基本不等式课件
均值不等式的证明
均值不等式的证明可以通过数学归纳法、柯西不等式等方法 进行。
其中，利用柯西不等式进行证明的方法较为简洁明了，可以 通过构造向量并应用柯西不等式得出结论。
均值不等式的应用
均值不等式在数学中有着广泛的应用，例如在证明不等式 、求最值、解决方程等问题中都可以发挥作用。
在实际应用中，均值不等式也可以用于解决一些实际问题 ，例如在经济学中的收入分配、物理学中的能量均分等问 题中都可以应用均值不等式进行分析和求解。
一元二次不等式的解集
满足不等式的 $x$ 的取值范围。
3
一元二次不等式的图像
一元二次函数的图像在 $x$ 轴上方的部分或下方 的部分。
一元二次不等式的解法
判别式法
通过计算判别式 $Delta = b^2 4ac$，判断一元二次方程的根的 情况，从而确定不等式的解集。
配方法
通过配方将一元二次不等式转化为 完全平方的形式，然后利用平方根 的性质求解。
THANKS
感谢观看
05
柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式的定义
对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$（$i=1,2,...,n$），有
$left( sum_{i=1}^{n} a_i^2 right) left( sum_{i=1}^{n} b_i^2 right) geq left( sum_{i=1}^{n} a_i b_i right)^2$
基本不等式的重要性
01
02
03
数学基础
基本不等式是数学中的重 要内容，是后续学习不等 式解法、函数性质等的基 础。
实际应用
在实际问题中，经常需要 比较大小、求解最值等问 题，基本不等式是解决这 些问题的有效工具。
基本不等式完整版(非常全面)[整理]
![基本不等式完整版(非常全面)[整理]](https://img.taocdn.com/s3/m/9348b628cd1755270722192e453610661ed95ab5.png)
基本不等式完整版(非常全面)[整理]
基本不等式可以指几乎所有组成分析和数学的基础。
它可以使许多不同的数学问题变
得更容易理解，因此使用它们进行计算是极其重要的。
基本不等式包括了三类不等式：大
小不等式，加法不等式和乘法不等式。
以下是一些基本的不等式定义。
1、大小不等式：大小不等式表示一个数与另一个数之间的存在或缺失的关系。
例如，如果A > B，则表示A大于B，而A ≤ B表示A小于或等于B，A ≠ B表示A与B之间存
在某种不同。
2、加法不等式：加法不等式表示两个数相加时的结果。
例如，A + B > C的意思是A
与B的和大于C，A + B ≤ C的意思是A与B的和小于或等于C，A + B = C的意思是A
与B的和等于C。
一般地，一个数与另一个数之间的关系可以用不等式来表示，但也可以用不等式来表
示多个数之间的关系：
1、省略不等式：3x + 2y = 4z，这表示3x + 2y至少等于4z的意思。
基本不等式可以用来处理大量数学问题，比如解一元不等式、求函数的极值以及进行
多元函数分析等。
它们对于熟悉数学理论和解决数学问题都极其重要。
基本不等式 课件
法二：∵x，y∈R＋，且 x＋y＝4， ∴1x＋3y＝x4＋xy＋3x4＋y y＝1＋(4yx＋34xy)≥1＋2 4yx·34xy＝1
＋ 23.当且仅当4yx＝34xy，即 x＝2( 3－1)，y＝2(3－ 3)时 取“＝”号．
∴1x＋3y的最小值为
1＋
3 2.
(3)∵x<3，∴x－3<0. ∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋(x－3)＋3 ＝－[3－4 x＋(3－x)]＋3 ≤－2 3－4 x·3－x＋3＝－1，
当且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时取“＝”号． ∴f(x)的最大值为－1.
答案：(1)3
(2)1＋3 2(3 Nhomakorabea－1[例3] (12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城 市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位： 千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的 车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0； 当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时， 研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次 函数．
[思路点拨] 结合条件a＋b＝1，将不等式左边 进行适当变形．然后利用基本不等式进行放缩即可．
[精解详析] 法一：∵a>0，b>0，且 a＋b＝1， ∴(1＋1a)(1＋1b)＝(1＋a＋a b)·(1＋a＋b b) ＝(2＋ba)·(2＋ab) ＝5＋2(ba＋ab) ≥5＋4 ba·ab＝9.
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某 测观点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最 大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：7.3 基本不等式与绝对值不等式(专题拔高配套PPT课件)
当且仅当 a=b= 时上式
2
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答案
第七章
知识梳理 双击自测
7.3 基本不等式与绝对值不等式
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-9-
2.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(
������+������ 称为正数 a,b 的算术平均数, 2
������+������ 2
������������称为正数 a,b 的几何
������+������ 2 (2)ab≤ (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 2 ������2 +������2 ������+������ 2 (3) ≥ (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 2 2 ������ ������ (4) + ≥2 (a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号. ������ ������
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法. ①|ax+b|≤c⇔ -c≤ax+b≤c ; ②|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c ;
第七章
知识梳理 双击自测
7.3 基本不等式与绝对值不等式
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
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(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法. ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思 想. 5.含有绝对值的不等式的性质 |a|+|b| (1)如果a,b是实数,则 |a|-|b| ≤|a±b|≤ ,当且 仅当 ab≥0 时,等号成立. (2)如果a,b,c是实数,那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c| ,当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.
《基本不等式》课件
欢迎来到《基本不等式》PPT课件！在本次课程中，我们将深入探讨基本不等 式的概述、定义、性质以及证明方法。通过应用实例，我们将进一步理解如 何求最小值和进行定理证明。让我们一起展望本课件带来的新知识和启示！
基本不等式的概述
基本不等式是数学中的重要概念，用于比较两个数或者两个代数式的大小关 系。它是我们学习不等式的基石，掌握基本不等式对于解决更复杂的不等式 问题至关重要。
乘法性
将不等式的两边同时乘以 （或除以）相实数时， 不等式的符号反向。
基本不等式的证明方法
数学归纳法
通过归纳假设和递推关系，逐 步证明基本不等式的成立。
代数证明
将基本不等式转化为代数表达 式，通过代数运算和推导来证 明。
几何证明
借助几何图形和几何关系，通 过几何推理来证明基本不等式。
应用实例1：求最小值
基本不等式在求解数学问题时扮演着重要角色。通过对一些实际问题的分析，我们可以利用基本不等式的性质 来找到函数的最小值，有效地解决各种优化问题。
应用实例2：定理证明
基本不等式被广泛运用于数学定理的证明中。通过灵活应用基本不等式的定 义和性质，我们可以推导出一系列重要的数学结论和定理，拓展数学领域的 边界。
基本不等式的定义
基本不等式指的是一类具有特定形式的不等式，其中常见的包括平均数不等 式、均方根不等式和柯西-施瓦茨不等式。这些定义为我们解决各种数学问题 提供了强大的工具。
基本不等式的性质
单调性
基本不等式满足严格单调性， 即当其中的变量递增（或递 减）时，不等式的符号也相 应地改变。
加法性
将不等式的两边同时加上 （或减去）相同的实数时， 不等式的符号保持不变。
总结和展望
2018年高考高考数学(理)一轮复习真题演练：第7章 7-3 基本(均值)不等式及应用
真题演练集训1．[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin Bsin C ，则tan Atan Btan C 的最小值是________．答案：8解析：由sin A ＝sin(B ＋C)＝2sin Bsin C ，得sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bsin C ，两边同时除以cos Bcos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan Btan C ，令tan B ＋tan C ＝2tan Btan C ＝m ，因为△ABC 是锐角三角形，所以2tan Btan C>2tan Btan C ，则tan Btan C>1，m>2.又在三角形中有tan Atan Btan C ＝－tan(B ＋C)tan Btan C＝－m 1－12m ·12m ＝m 2m －2＝m －2＋4m －2＋4 ≥2m －24m －2＋4＝8， 当且仅当m －2＝4m －2，即m ＝4时等号成立， 故tan Atan Btan C 的最小值为8.2．[2014·福建卷]要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)． 答案：160解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4x m ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ×4x ＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立， 所以该容器的最低总造价为160元．3．[2013·天津卷]设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 答案：－2解析：∵a ＋b ＝2，∴12|a|＋|a|b ＝24|a|＋|a|b＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b≥a 4|a|＋2 b 4|a|×|a|b ＝a 4|a|＋1. 当且仅当b 4|a|＝|a|b且a<0， 即b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值．课外拓展阅读基本(均值)不等式在压轴题中的应用关于基本(均值)不等式的高考试题，它可以涉及的知识点很多，尤其是在数列、解析几何中运用时，难度一般较大，需要有较强的分析问题及解决问题的能力．1．与数列搭配基本不等式在数列解答题中多出现在第(2)问中，常见的是比较大小或证明不等式，问题的求解需要有较强的运算能力．[典例1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，a 1＝1，且a 1，a 2，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设b n ＝2S n 2n －1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：2T n －9b n －1＋18>64b n n ＋9b n ＋1(n>1)． [思路分析] (1)根据等差数列和等比数列的性质易求；(2)中数列{b n }满足b n ＝2S n 2n －1，这是一个等差数列的前n 项和与一个关于n 的一次函数之比，数列{b n }极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决．(1)[解] 因为a 1，a 2，a 7成等比数列，所以a 22＝a 1a 7，即(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋6d)．又a 1＝1，d ≠0，所以d ＝4.所以S n ＝na 1＋n n －12d ＝n ＋2n(n －1)＝2n 2－n.(2)[证明] 因为b n ＝2S n 2n －1＝2n 2n －12n －1＝2n ， 所以{b n }是首项为2，公差为2的等差数列．所以T n ＝n 2＋2n 2＝n 2＋n.所以2T n －9b n －1＋18＝2n 2＋2n －18(n －1)＋18＝2n 2－16n ＋36＝2(n 2－8n ＋16)＋4＝2(n －4)2＋4≥4，当且仅当n ＝4时等号成立．①64b nn ＋9b n ＋1＝64×2n n ＋92n ＋1 ＝64nn 2＋10n ＋9＝64n ＋9n ＋10≤646＋10 ＝4，当且仅当n ＝9n，即n ＝3时等号成立．② 又①②中等号不可能同时取到，所以2T n －9b n －1＋18>64b n n ＋9b n ＋1(n>1)．温馨提示 本题在求解时注意，两次放缩取等号的条件不一致，最后结果不能取等号．2．与函数、导数共现在函数的解答题中出现的基本(均值)不等式一般都与导数有密切的联系，在多数情况下问题的求解需要构造新的函数，通过合理转化，巧妙放缩去完成．求解这类问题一般难度较大，在高考中常以压轴题的形式出现，需要较强的综合能力．[典例2] 已知h(x)＝ln(x ＋1)－ax x ＋1. (1)当a>0时，若对任意的x ≥0，恒有h(x)≥0，求实数a 的取值范围；(2)设x ∈N 且x>2，试证明：ln x ≥12＋13＋14＋…＋1x. (1)[解] h(x)＝ln(x ＋1)－ax x ＋1， 则h(x)的定义域为(－1，＋∞)，h ′(x)＝11＋x －a 1＋x 2＝x ＋1－a1＋x 2.①当0<a ≤1时，对任意的x ≥0，h ′(x)≥0恒成立，则h(x)在[0，＋∞)上单调递增，h(x)≥h(0)＝0，所以满足题意．②当a>1时，h(x)在x ∈(0，a －1]上单调递减，h(x)在x ∈[a －1，＋∞)上单调递增．若对任意的x ≥0，恒有h(x)≥0，则h(x)的最小值h(a －1)＝ln a ＋1－a ≥0恒成立．令m(a)＝ln a ＋1－a(a>1)，则m ′(a)＝1－a a，m ′(a)<0， m(a)在a ∈(1，＋∞)上单调递减，所以当a ∈(1，＋∞)时，有m(a)<m(1)＝0， 与h(a －1)＝ln a ＋1－a ≥0恒成立矛盾． 所以实数a 的取值范围为(0,1]．(2)[证明] 由(1)知，ln(1＋x)≥x 1＋x， 所以ln x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21×32×43×…×x x －1 ＝ln 2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln xx －1 ＝ln(1＋1)＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1 ≥12＋121＋12＋…＋1x －11＋1x －1＝12＋13＋14＋…＋1x. 所以ln x ≥12＋13＋14＋…＋1x.。
基本不等式公开课课件
基本不等式公开课课件一、引言基本不等式是数学中的重要概念，它在解决实际问题、证明数学定理等方面起到了重要的作用。
本课件旨在介绍基本不等式的概念、性质和解题方法，帮助学生理解并掌握基本不等式的应用。
二、基本不等式的概念1. 不等式的定义和符号不等式是数学中一种表示大小关系的表达式。
通常用不等号（>、<、≥、≤）表示。
2. 基本不等式的定义基本不等式是指具有普遍适用性和重要性的不等式。
常见的基本不等式有：算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。
三、基本不等式的性质1. 不等式的运算性质基本不等式满足不等式的运算性质，包括加法法则、乘法法则和取反法则等。
2. 不等式的传递性质如果对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。
这种传递性质在解决不等式问题时具有重要意义。
四、基本不等式的应用1. 不等式求解方法不等式求解的一般步骤包括：将不等式转化为等价的形式、求解等价不等式，最后给出不等式的解集。
2. 基本不等式的应用举例例1：应用算术平均-几何平均不等式证明某个数值组的最优解。
例2：利用基本不等式解决实际问题，如最优化问题、优化调整问题等。
五、基本不等式的证明1. 不等式的证明方法常见的不等式证明方法有：直接证明法、间接证明法（反证法）、数学归纳法等。
2. 不等式的证明举例例：使用间接证明法证明算术平均-几何平均不等式。
六、课堂练习为了巩固学生对基本不等式的掌握，本课件设置了一些课堂练习，供学生在课后完成。
七、总结通过本课件的学习，我们了解了基本不等式的概念、性质和应用。
基本不等式作为数学中的重要工具，在解决实际问题和证明数学定理中具有广泛的应用。
希望同学们能够通过课后的练习进一步巩固对基本不等式的理解和运用能力。
2018届高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.2基本不等式及其应用课件文北师大版
1.下列结论正确的画“ ”,错误的画“×”.
������+������ (1)当 a≥0,b≥0 时, ≥ 2
������������ . (
������+������
)
(2)两个不等式 a2+b2≥2ab 与 ≥ ������������成立的条件是相同的. 2 ( )
(3)函数 y=x+ 的最小值是 2. (
条件及内在联系,两个公式也体现了 ab 和 a+b 的转化关系.
3.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式. 若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.
考点 1
利用基本不等式证明不等式
������������ ������������ ������������
例 1(1)设 a,b,c 都是正数,求证: ������ + ������ + ������ ≥a+b+c. 1 1 1 (2)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:������ + ������ + ������������≥8.
(2)∵a+b=1,
1 1 1 1 1 ∴������ + ������ + ������������=2 ������ + ������
思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些?
证明 (1)∵a,b,c 都是正数,
������������ ������������ ������������ ∴ ������ , ������ , ������ 都是正数. ������������ ������������ ∴ ������ + ������ ≥2c,当且仅当 a=b 时等号成立, ������������ ������������ + ������ ≥2a,当且仅当 b=c 时等号成立, ������ ������������ ������������ + ≥2b,当且仅当 a=c 时等号成立. ������ ������ ������������ ������������ ������������ 三式相加,得 2 ������ + ������ + ������ ≥2(a+b+c), ������������ ������������ ������������ 即 ������ + ������ + ������ ≥a+b+c,当且仅当 a=b=c 时等号成立.
《基本不等式》课件
01
传递性
如果a≥b且b≥c，则a≥c。
02
对称性
如果a≥b，则对于任意正实数d，有a+d≥b+d。
02
CHAPTER
基本不等式的证明
面积法
利用几何图形面积的性质，通过比较不同形状的面积来证明基本不等式。
体积法
利用几何体体积的性质，通过比较不同几何体的体积来证明基本不等式。
三角法
利用三角形的性质，通过比较不同三角形的边长或角度来证明基本不等式。
在化学反应速率的研究中，基本不等式可以用来分析反应速率与反应物浓度的关系，从而优化反应条件。
生物医学研究
在生物医学研究中，基本不等式可以用来研究药物剂量与治疗效果的关系，以找到最佳用药方案。
市场占有率分析
在市场占有率分析中，基本不等式可以用来确定企业产品的最大市场份额，以提高市场竞争力。
广告投放策略
AM≥GM，即算术平均数大于等于几何平均数。
柯西不等式形式
对于任意的正实数a₁，a₂，…，an和b₁，b₂，…，bn，都有(a₁²+a₂²+…+an²)(b₁²+b₂₂+…+bn²)≥(a₁b₁+a₂b₂+…+anbn)²。
平方和与平方差形式
a²+b²≥2ab和a²-b²≥0。
03
可加性
如果a≥b且c≥d，则a+c≥b+d。
基本不等式
目录
基本不等式的定义基本不等式的证明基本不等式的应用基本不等式的扩展基本不等式的实际例子
01
CHAPTER
或多个正数之间大小关系的数学式子。
表达形式简单明了，是数学中常用的一个概念。
基本不等式 课件
【自我校正】 当 x>0 时，由基本不等 式得
y＝x＋2x≥2 x·2x＝2 2， 当且仅当 x＝ 2时，等号成立； 当 x<0 时，y＝x＋2x＝－[(－x)＋－2x]．
∵－x>0，∴(－x)＋－2x≥2 2，
当且仅当－x＝－2x，即 x＝－ 2时，等 号成立． ∴y≤－2 2， 所以函数的值域为(－∞，－2 2]∪[2 2， ＋∞)． 因此，在其定义域内不存在最值．
求含两个变量的最值 问题
例2
用基本不等式解决实 际问题
例3 工厂对某种原料的全年需求量是 Q 吨， 为保证生产，节省开支，打算全年分若干次 等量订购，且每次用完后可立即购进．已知 每次订购费用是 a 元，又年保管费用率是 p， 它与每次购进的数量 x 吨及全年保管费 S 元 之间的关系是 S＝12px.
【解】 (1)∵x<0，∴－x>0， 则 f(x)＝－[－12x＋3(－x)]≤－2 36＝－ 12， 当且仅当－1x2＝－3x， 即 x＝－2 时 f(x)取得最大值－12.
(2)y＝x2－x－1＋1 9＝x－1x－x＋11＋9 ＝(x－1)＋x－9 1＋2. ∵x－1>0，∴y≥2 x－1·x－9 1＋2＝8. 当且仅当 x－1＝x－9 1， 即 x＝4 时取“＝”号， ∴ymin＝8.
问：全年订购多少次，才能使订购费用与保
管费用之和最少？(为简便计算，不必讨论 订购次数是否为整数)
【解】 Байду номын сангаас题意得
全年订购费为 a·Qx ，全年保管费 S＝12px. 订购费与保管费之和 y＝a·Qx ＋12px.
由于 a·Qx ＋12px≥2
1 2
paQ＝
2paQ.
当且仅当 a·Qx ＝12px，即 x＝ 2ppaQ时取等号． 即最优批量订购数为 x0＝ 2ppaQ(吨)． 最少费用数为 ymin＝ 2paQ(元)． 全年最佳订购次数 n＝xQ0＝ 22paaQ(次)．
基本不等式 课件
【证明】
a>0，b>0， a＋b＝1， a＋2 b≥ ab
⇒ ab≤12⇒ab≤14⇒a1b≥4.
(1)∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
＝1－2ab≥1－2×14＝12，
∴a2＋b2≥12.
(2)∵a12＋b12≥2·a1b≥8，∴a12＋b12≥8. (3)由(1)、(2)的结论知： a＋1a2＋b＋1b2＝a2＋b2＋4＋a12＋b12≥12＋4＋8＝225. ∴a＋1a2＋b＋1b2≥225.
(4)∵a＋1ab＋1b＝ba＋ab＋ab＋a1b＝ba＋ab＋
1－ ab
ab2＋
2≥2＋2－122＋2＝245，
∴a＋1ab＋1b≥245.
【例 2】 (1)已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小 值．
(2)已知 x<54，求函数 y＝4x＋4x－1 5的最大值． (3)设 0<x<32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值．
(3)利用基本不等式还可以得到以下不等式： a＋1a≥2(a>0，当且仅当 a＝1 时取等号)． 当 ab>0 时，ba＋ab≥2(当且仅当 a＝b 时取等号)． a2＋b2≥a＋2b2≥2ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时，等号 成立)．
2．均值不等式的应用 应用均值不等式中等号成立的条件，可以求最值． (1)x，y∈R＋，且 xy＝m(m 为定值)，那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 m； (2)x，y∈R＋，且 x＋y＝n(n 为定值)，那么当 x＝y 时，xy 有最大值n42. 在应用均值不等式求最值时，应强调“一正、二定、三相 等”．否则会得出错误的结果.
当且仅当 25a＝40b 时等号成立，此时 b＝58a，代入 ab＝9 000，解得 a＝120，从而 b＝75.
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继续学习
数学
题型全突破 8
第七章·第三讲 考法三
基本不等式 利用基本不等式解决实际问题
考法指导 应用基本不等式解决实际问题的基本步骤为:
(1)理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或
最小值问题; (2)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (3)还原为实际问题,写出答案. 注意 当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内,就不能使用 基本不等式求解,此时根据变量的取值范围利用对应函数的单调性求解.
基本不等式
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数学
题型全突破 6
第七章·第三讲
基本不等式
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数学
题型全突破 7
第七章·第三讲
基本不等式
【突破攻略】
常数代换法求解最值的基本步骤为:①根据已知条件或其变形确 定定值(常数);②把确定的定值(常数)变形为1;③把“1”的表达式 与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;④利用 基本不等式求解最值.
2.趋势分析 以生活中的优化问题为背景命制综合性
命题趋势
问题的趋势较强,2018年高考复习时应予以高度关注.
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知识全通关
数学
知识全通关 1
第七章·第三讲 考点一
基本不等式 基本不等式
继续学习
数学
知识全通关 2
第七章·第三讲
基本不等式
继续学习
数学
知识全通关 3
第七章·第三讲
基本不等式
【名师提醒】
第七章·第三讲
基本不等式
考纲解读
考点
利用基本不
2016全国
2015全国
2014全国
自主命题区域
命题规律
等式求最值 【5%】
命题趋势
基本不等式 的实际应用 【3%】
数学
考情精解读 3
第七章·第三讲
基本不等式
考纲解读
1.热点预测 2018年高考对本讲内容的考查仍将以不
命题规律
等式与函数、数列、集合等相结合的最值问题为主,题 型以解答题为主,分值为12分.
题型全突破 1
第七章·第三讲 考法1
基本不等式 利用基本不等式证明不等式
考法指导 利用基本不等式证明不等式应注意: (1)创设运用基本不等式的条件,合理拆分项或配凑项是常用技巧,其中拆与凑的目 的在于使不等号成立. (2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取 等号条件的一致性,否则就会出错. (3)注意“1”的代换的妙用.
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数学
题型全突破 2
第七章·第三讲
基本不等式
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数学
题型全突破 3
第七章·第三讲
基本不等式
继续学习
数学
题型全突破 4
第七章·第三讲 考法二
基本不等式 利用基本不等式求最值
考法指导
求最值时常见以下几种情形:
(1)若直接满足基本不等式条件,即满足求最值的三个前提条件“一正、二定、三
相等”,则直接应用基本不等式.
换算导致代数式求解时造成错解;易漏掉实际问题中的一些定量导致最值
求错.
继续学习能力大提升来自数学能力大提升 1
第七章·第三讲
基本不等式
易混易错 忽视基本不等式应用的前提条件致误
应用基本不等式求最值时,务必注意三个条件:一正、二定、三相等,同时还要依据
题目条件,合理构建“定值”
继续学习
数学
能力大提升 2
1.基本不等式成立的条件是a,b都是正数.在解题时,如 果a,b为负数,可提取负号,创造变量为正数的条件,再利
用基本不等式解题.
2.在运用基本不等式的变形时,注意一定要验证它们成 立的条件是否满足.
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数学
知识全通关 4
第七章·第三讲 考点二
基本不等式 基本不等式与最值
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题型全突破
数学
(2)若不能直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进行恒等变形,如构造 “1”的代换,对不等式进行分拆、组合、添加系数等方法使之能变成可用基本不 等式的形式,创造使不等式中等号成立的条件.
(3)若可用基本不等式,但等号不成立,则一般利用函数单调性求解.
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数学
题型全突破 5
第七章·第三讲
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数学
题型全突破 9
第七章·第三讲
基本不等式
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数学
题型全突破 10
第七章·第三讲
基本不等式
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数学
题型全突破 11
第七章·第三讲
基本不等式
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化学
题型全突破 12
有机化学基础（选修五）
【突破攻略】
求解与不等式相关的实际应用问题时,一定要注意变量是否与实际相符.一 般易忽视变量的取值要求,生搬硬套均值不等式,特别是变量取值为正整数 (如人数、楼层数作为变量)时,不检验等号成立的条件;易忽视变量的单位
目 录 Contents
考情精解读 A.知识全通关 B.题型全突破 C.能力大提升
考点1
考点2
考法1
考法2
易错
考法3
考情精解读
数学
考情精解读 1
第七章·第三讲
基本不等式
考纲解读 考试大纲 命题规律
01
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
命题趋势
数学
考情精解读 2
第七章·第三讲
基本不等式
继续学习
数学
能力大提升 3
第七章·第三讲
基本不等式
【温馨提示】
(1)利用基本不等式求最值时,一定要注意应用条件;
(2)尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.
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