5-2 二叉树应用

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二叉树的应用
Huffman编码树及其应用 编码树及其应用
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哈夫曼树及其应用
1. HaffMan树的定义 树的定义
扩充二叉树外部路径长度： 扩充二叉树外部路径长度： 外部路径长度
1. HaffMan树的定义 树的定义 2. HaffMan算法构造最优二叉树 算法构造最优二叉树 3. HaffMan编码 编码
2 4 2 3 3 4 11 2 11 3 4
11
WPL=1x11+2x4+3x(2+3)=34
WPL=2x3+3x(4+11)+1x2=53 WPL=2x(2+11+3+4)=40
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对于扩充二叉树，外部结点个数=内部结点个数+1。 对于扩充二叉树，外部结点个数=内部结点个数+1。 +1 另外，从上面图可以看出，在不同的扩充二叉树中，为了WPL 另外，从上面图可以看出，在不同的扩充二叉树中，为了WPL 值尽可能小，必须是： 值尽可能小，必须是：加权值较大的外部结点应尽可能地靠近 路径长度短），这样才能使得总的WPL值降低。 ），这样才能使得总的WPL值降低 根（路径长度短），这样才能使得总的WPL值降低。 给定一组加权值，有没有一个通用的方法来寻找WPL最小的 给定一组加权值，有没有一个通用的方法来寻找WPL最小的 WPL HaffMan树 HaffMan树？
10
3 6
建堆示例
Step 3. 8 7 3 6 6 5 5 8 9 9 9 4 7 4 N=└3/2┘+1= 2 elements
11
2 3
1 1
4 2
建堆 & 筛选
void BuildHeap() { for (int idx = CurrentSize/2-1; idx >= 0; idx--) SiftDown(Idx); } void SiftDown(int toSift) { while ( !isLeaf(toSift) ) { int MaxChild = leftChild(toSift); //判断哪个子女较大 if (MaxChild < CurrentSize -1 ) && (heapArray[MaxChild ]< heapArray [MaxChild+1])) MaxChild ++; //判断是否需要筛选 if (heapArray[toSift] >= heapArray[MaxChild]) return; //若需要，与较大的子女交换 tmpItem = heapArray [toSift]; heapArray [toSift] = heapArray [MaxChild]; heapArray [MaxChild] = tmpItem; toSift = MaxChild; } }
2
满足某种特性的二叉树
最大值堆（ 最大值堆（max-heap) 任一个结点的值都大于 或者等于其任一子女的 值 根结点存储着树中所有 结点的最大值
根结点含有大于或等于 其子女的值， 其子女的值，而其子女 又依次大于或等于各自 子女的值
3
堆的定义 （heap） ）
一个关键码序列{ 一个关键码序列 K0, K1, …, Kn-1}，如果满足 ， Ki≥K2i+1 / Ki≤K2i+1, Ki≥K2i+2 / Ki≤K2i+2, (i = 0, 1, …, n/2) 堆序性）则称其为堆 （堆序性）则称其为堆。 即： 最小值堆（ 最大值堆 /最小值堆（根据数据间的大小关系） 最小值堆 根据数据间的大小关系） 或称大根堆/小根堆 或称大根堆 小根堆
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SiftDown的时间代价 的时间代价
最坏情况，进行： 最坏情况，进行： 两次比较（判断子女的大小，及结点是否需要筛选） 两次比较（判断子女的大小，及结点是否需要筛选） 一次交换 一个N个结点的完全二叉树，最多具有logN 层 一个 个结点的完全二叉树，最多具有 个结点的完全二叉树 因为每次循环把目标结点移动一层， 因为每次循环把目标结点移动一层，故循环最多为 logN 次 的最差时间代价为O(log N) 所以 SiftDown 的最差时间代价为
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哈夫曼树构造
(1)根据给定的n个权值{w1,w2, ,wn}，构成n棵二叉树的集合 1)根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn} 构成n 1)根据给定的 {w1,w2, ,wn}， F={T1,T2,…,Tn}，其中每一棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的根结点， F={T1,T2, ,Tn}，其中每一棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的根结点， ,Tn} Ti中只有一个带权为wi的根结点 其左右子树为空。 其左右子树为空。 (2)在F中选取两棵权值最小的树作为左右子树以构造一棵新的二叉树，且新二 在 中选取两棵权值最小的树作为左右子树以构造一棵新的二叉树， 叉树的根结点的权值为其左右子树根结点权值之和。 叉树的根结点的权值为其左右子树根结点权值之和。 (3)在 中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入F (3)在F中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入F中。 (4)重复(2)和(3)，直到F中只含一棵树为止。 (4)重复(2)和(3)，直到F中只含一棵树为止。 重复(2)
7
筛选法（ 筛选法（siftdown） ）
从堆的最后一个分支结点 从堆的最后一个分支结点 最后一个分支 开始， （kn-1/2）开始，自底向上逐 步把以各分支结点为根的子树 调整成堆 当调整到某一个位置k 当调整到某一个位置 pos时， 由于其子树都已经是堆
如果它也正好满足堆定义， 如果它也正好满足堆定义，则 不用调整； 不用调整； 否则取其子树结点中较大的与 kpos交换； 交换； 交换后此子树根可能不满足堆 定义（但其子树还是堆）； ）；这 定义（但其子树还是堆）；这 样，可以继续一层层交换下去， 可以继续一层层交换下去， 最多到叶停止（过筛） 最多到叶停止（过筛）
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删除根结点
堆最常做的操作是删除根结点， 堆最常做的操作是删除根结点，并在删除后保持堆的特性
保持堆序性， 保持堆序性ห้องสมุดไป่ตู้形成新的根
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删除示例
删除99 删除
8 7 3 6 6 5 5 8 9 9 9 4 7 4
2 3
11
4 2
15
删除示例
把最后的42替换到根结点 把最后的 替换到根结点
4 2 8 7 3 6 2 3 11 6 5 5 8 9 4 7 4 2 3 3 6 11
二叉树的应用
堆与优先队列 哈夫曼树及其应用
1
满足某种特性的二叉树
21 81
42
最小值堆（ 最小值堆（min-heap) 每一个结点存储的值都 小于或等于其子女存储 的值 根结点存储了树的所有 结点的最小值
83
55
79
83
73
90
93
97
84
根结点含有小于或等于 其子女的值， 其子女的值，而其子女 又依次小于或等于各自 子女的值
16
9 4 8 7 6 5 5 8 7 4 4 2
插入新值
插在堆的最后， 插在堆的最后，然后逐步向上与其父结点进行比 若不满足堆序性则往上拉（ ），直到 较，若不满足堆序性则往上拉（SiftUp），直到 其父结点的值不再小于它
94 94
8 7 36 65 5 8
7 4 42 36
8 7 65 5 8
8
建堆示例
按42 23 74 11 65 58 94 36 99 87 Step 1.
2 3 1 1 6 5 5 8
4 2
7 4 9 4 Last half (N=10/2) 5 elements
9
3 6
9 9
8 7
建堆示例
Step 2.
4 2 2 3 9 9 9 4 8 5 7 7 8 4 N=└5/2┘+1= 3 elements 1 1 6 5
7 4 42
23
11
23
11
93
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优先队列实现特点
根据需求，放松了全局排序， 根据需求，放松了全局排序，实现了局部排序 利用顺序表的随机访问特性 利用交换而非插入操作 重用前面的构建结果 交换操作的步骤不是线性的，而是2的倍数的 的倍数的， 交换操作的步骤不是线性的，而是 的倍数的，加 快数据的稳定效率 抽象数组为完全二叉树， 抽象数组为完全二叉树，通过完全二叉树的特性 保证交换的完备性。 保证交换的完备性。
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建堆示例
（a）和（b）均建 成一个堆，但经过 的步骤大不相同， 故而效率也就不同
(a) (4-2) (4-1) (2-1) (5-2) (5-4) (6-3) (6-5) (7-5) (7-6) (b) (7-3) (5-2) (7-1) (6-1)
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如何建堆？ 如何建堆？
不必将值一个个地插入堆中，通过交换形成堆。 不必将值一个个地插入堆中，通过交换形成堆。 交换形成堆 以最大值堆为例，假设根的左、右子树都已是堆， 以最大值堆为例，假设根的左、右子树都已是堆，且根 可能： 为R。这种情况下，有两种可能： 。这种情况下， 两种可能 (1) R的值大于或等于其两个子女，此时堆已完成； 的值大于或等于其两个子女， 的值大于或等于其两个子女 此时堆已完成； (2) R的值小于其某一个或全部两个子女的值，此时 应与 的值小于其某一个或全部两个子女的值， 的值小于其某一个或全部两个子女的值 此时R应与 两个子女之一，譬如，值较大的一个交换， 两个子女之一，譬如，值较大的一个交换，结果得到一 个堆，除非R仍然小于其新子女的一个或全部的两个 仍然小于其新子女的一个或全部的两个。 个堆，除非 仍然小于其新子女的一个或全部的两个。这 种情况下，我们只需简单地继续这种将R“拉下来 拉下来” 种情况下，我们只需简单地继续这种将 拉下来” （siftdown）的过程，直至到达某一个层使它不小于它 ）的过程， 的子女， 的子女，或者它成了叶结点 提出） 筛选法 （1964年Floyd提出） 年 提出