最新初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习(精选)

三角函数专项复习
锐角三角函数知识点总结
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦 斜边的对边A A ∠=
sin c a
A =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)
B A cos sin =
B A sin cos =
1cos sin 22=+A A
余弦 斜边的邻边A A ∠=
cos c b
A =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角) 正切 的邻边
的对边A tan ∠∠=
A A b a
A =tan 0tan >A (∠A 为锐角)
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30°
45°
60°
90° αsin 0 2
1 2
2 2
3 1 αcos
1 23 2
2
2
1 0 αtan
3
3 1 3
-
5、正弦、余弦的增减性：
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

6、正切的增减性：
当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，
7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法) )90cos(sin A A -︒=)
90sin(cos A A -︒=
B
A cos sin =B
A sin cos =A
90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A
对
边
邻边
斜边 A
C
B
b
a c
8、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角铅垂线
水平线
视线
视线俯角
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即h
i l
=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h
i l
α=
=。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西45°（西南方向）， 北偏西45°（西北方向）。

类型一：直角三角形求值
例1．已知Rt △ABC 中，,12,43
tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
例2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=
∠4
3sin AOC 求：AB 及OC 的长．
:i h l =h
l
α
例3.已知A ∠是锐角，17
8
sin =A ，求A cos ，A tan 的值
对应训练：
1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为
A ．
55 B ．255 C ．12
D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5
3
，那么tan A 的值等于（ ）.
A ．35
B . 45
C . 34
D . 43
类型二. 利用角度转化求值：
例1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．
DE ∶AE ＝1∶2．
求：sin B 、cos B 、tan B ．
例2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，
和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）
A ．12
B ．32
C ．35
D ．4
5
对应训练:
3.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为
3
2
，2AC =，则sin B 的值是（ ）
D C B A O
y
x
第8题图
A ．
23 B ．32 C ．34 D ．43
4. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )
Ａ．34 Ｂ．43
Ｃ．3
5
Ｄ．
45
A D E
C
B F
类型三. 化斜三角形为直角三角形
例1 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．
例2
．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．
求：sin ∠ABC 的值．
对应训练 1
．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△
ABC 的周长．（结果保留根号）
2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．
3. △ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是
A.23 cm 2
B.43 cm 2
C.63 cm 2
D.12 cm 2
类型四：利用网格构造直角三角形
例1 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．
12 B ．55 C ．1010 D ．255
对应训练：
1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.
2．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）
A ．
5 5
B.
2 5 5 C.1
2
D. 2 类型五:取特殊角三角函数的值
1）.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2．
2）计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2
.
3)计算：3－
1+(2π－1)0－
3
3
tan30°－tan45°
4)
．计算：
30tan 2345sin 60cos 221
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+．
5)．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒
-︒
；
C
B
A
A
B
O
类型六：解直角三角形的实际应用
例1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）
A ． 200米
B ． 200米
C ． 220米
D ． 100（）米
例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．
例3如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ． 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°， 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长．
对应训练:
1..如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.
2．如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）
A B
C
D E
A ． 10
米
B ． 10米
C ． 20
米
D ．
米
类型七:三角函数与圆：
例1． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B
是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．
12
B ．32
C ．35
D ．4
5
例2. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D,
(1) 求证：∠AOD=2∠C (2) 若AD=8，tanC=
3
4
，求⊙O 的半径。

对应训练:
1.如图，DE 是⊙O 的直径，CE 与⊙O 相切，E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B ，在EC 上取一个点F ，使EF=BF.
（1）求证:BF 是⊙O 的切线;
（2）若5
4
C cos , DE =9，求BF 的长．
D
B O
A
C
D C B
A
O
y
x
第8题图
C
F
D
O
B
E
C
B A
作业： 1．已知2
1
sin =
A ，则锐角A 的度数是( ) A ．75︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒ 2．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为( )
A ．
55 B ．255 C ．1
2
D ．2 3．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5
3
，那么tan A 的值等于（ ）.
A ．35
B . 45
C . 34
D . 43
4. 若sin α=3
2
，则锐角α＝ . 5．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan α的值是
A ．
21 B ．2 C ．25 D ．5
52 6．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若OB 长为10，
3
cos 5
BOD ∠=， 则AB 的长是
A . 20 B. 16 C. 12 D. 8
7.在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果cosA=
5
4，那么tanA 的值是( ) A ．53 B ．35 C ．43 D ．3
4
8． 如图，在△ABC 中，∠ACB =∠ADC= 90°，若sin A =3
5
，则cos ∠BCD 的值为 ．
α
D
C
B
A
9.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2
10．计算︒+︒-︒-︒45tan 30tan 345cos 260sin 2.
11．计算：2
2sin 604cos 30+sin 45tan 60-⋅．
12．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a=64，b=212.解这个直角三角形
13. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D, (3) 求证：∠AOD=2∠C (4) 若AD=8，tanC=
3
4
，求⊙O 的半径。

14．如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为30︒，荷塘另一端D 处C 、B 在 同一条直线上，已知32AC =米，16CD =米， 求荷塘宽BD 为多少米？（结果保留根号）
15．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔100海
里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处.
（1）B 处距离灯塔P 有多远？ D
B
O
A
C
（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．
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