高三年实验班数学(文)科直线与圆专题训练参考答案
高考数学直线与圆的方程复习题及答案
高考数学直线与圆的方程复习题及参考答案：一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.(2009•重庆市高三联合诊断性考试)将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y-3=0的角为 ( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案：A解析：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3=-1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°，选A.2.(2009•湖北荆州质检二)过点P(1,2)，且方向向量v=(-1,1)的直线的方程为( )A.x-y-3=0B.x+y+3=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案：C解析：方向向量为v=(-1,1)，则直线的斜率为-1，直线方程为y-2=-(x-1)即x+y-3=0，故选C.3.(2009•东城3月)设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程x-y+1=0，则直线PB的方程为 ( )A.2x+y-7=0B.2x-y-1=0C.x-2y+4=0D.x+y-5=0答案：D解析：因kPA=1，则kPB=-1，又A(-1,0)，点P的横坐标为2，则B(5,0)，直线PB的方程为x+y-5=0，故选D.4.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 ( )A.-32B.32C.3D.-3答案：A解析：由两点式，得y-31-3=x-0-1-0，即2x-y+3=0，令y=0，得x=-32，即在x轴上的截距为-32.5.直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点，则a的值是 ( )A.3B.0C.-1D.0或-1答案：D解析：当a=0时，两直线方程分别为x+6=0和x=0，显然无公共点;当a≠0时，-1a2=-a-23a，∴a=-1或a=3.而当a=3时，两直线重合，∴a=0或-1.6.两直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是( )A.-32≤m≤2B.-32C.-32≤m<2D.-32答案：B解析：由2x-my+4=0，2mx+3y-6=0，解得两直线的交点坐标为(3m-6m2+3，4m+6m2+3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m-6m2+3<0且4m+6m2+3>0⇒-327.(2009•福建，9)在平面直角坐标系中，若不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 ( )A.-5B.1C.2D.3答案：D解析：不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0所围成的区域如图所示.∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为(1,4)，代入ax-y+1=0，得a=3.故选D.8.(2009•陕西，4)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为( )A.3B.2C.6D.23答案：D解析：∵直线的方程为y=3x，圆心为(0,2)，半径r=2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222-12=23.故选D.9.(2009•西城4月，6)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y+1)=4答案：C解析：圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1)，半径为2，过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62=32，则所求的圆的半径为2，故选C.10.(2009•安阳，6)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，其中O为原点，则实数a的值为 ( )A.2B.-2C.2或-2D.6或-6答案：C解析：由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|得|OA→+OB→|2=|OA→-OB→|2，OA→•OB→=0，OA→⊥OB→，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a|2=2，a=±2，故选C.11.(2009•河南实验中学3月)若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是 ( )A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定答案：C解析：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则1a2+b2<1，a2+b2>1，点P(a，b)在圆C外部，故选C.12.(2010•保定市高三摸底考试)从原点向圆x2+(y-6)2=4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为 ( )A.π6B.π2C.arccos79D.arcsin229答案：C解析：如图，sin∠AOB=26=13，cos∠BOC=cos2∠AOB=1-2sin2∠AOB=1-29=79，∴∠BOC=arccos79，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。
高考数学复习专题训练—直线与圆(含答案及解析)
高考数学复习专题训练—直线与圆一、单项选择题1.(2021·全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x 216−y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.452.(2021·湖南湘潭模拟)已知半径为r(r>0)的圆被直线y=-2x和y=-2x+5所截得的弦长均为2,则r的值为()A.54B.√2C.32D.√33.(2021·北京清华附中月考)已知点P与点(3,4)的距离不大于1,则点P到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.74.(2021·江西鹰潭一中月考)已知点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9与圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64上,则|MN|的最大值为()A.√7+11B.17C.√37+11D.155.(2021·湖北黄冈中学三模)已知直线l:mx+y+√3m-1=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=()A.2B.4√33C.2√3D.46.(2021·重庆八中月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为()A.4√2B.2√2C.8D.8√27.(2021·山西临汾适应性训练)直线x+y+4=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-4)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[8,12]B.[8√2,12√2]C.[12,20]D.[12√2,20√2]8.(2021·山东青岛三模)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法正确的是()A.“m>1”是曲线C表示圆的充要条件B.当m=3√3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C.“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点9.(2021·河北邢台模拟)已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=1,圆N:(x+2)2+(y+1)2=1,则下列不是M,N 两圆公切线的直线方程为()A.y=0B.4x-3y=0C.x-2y+√5=0D.x+2y-√5=0二、多项选择题10.(2021·广东潮州二模)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是()A.-3B.3C.2D.-211.(2021·海南三亚模拟)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2三、填空题12.(2021·辽宁营口期末)若直线l1:y=kx+4与直线l2关于点M(1,2)对称,则当l2经过点N(0,-1)时,点M到直线l2的距离为.13.(2021·山东滨州检测)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0,圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,则圆N的标准方程为.14.(2021·山东烟台二模)已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B,C,D四点,且构成正方形ABCD,则|m-n|的值为.15.(2021·河北沧州模拟)已知圆C:x2+y2-4x+2my+1=0(m>0),直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,则k=,直线l与圆C的位置关系为.答案及解析1.A 解析 由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x ,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为√32+(−4)2=95.故选A . 2.C 解析 直线y=-2x 和y=-2x+5截圆所得弦长相等,且两直线平行,则圆心到两条直线的距离相等且为两条平行直线间距离的一半,故圆心到直线y=-2x 的距离d=12×√4+1=√52,2√r2-d 2=2√r 2-54=2,解得r=32.3.B 解析 设点P (x ,y ),则(x-3)2+(y-4)2≤1,圆心(3,4)到3x+4y+5=0的距离为d=√32+42=6,则点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为6-1=5. 4.C 解析 依题意,圆C 1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心C 1(1,2),半径r 1=3.圆C 2:(x-2)2+(y-8)2=64,圆心C 2(2,8),半径r 2=8, 故|MN|max =|C 1C 2|+r 1+r 2=√37+11.5.B 解析 直线过定点(-√3,1),该点在圆上.圆半径为r=2,且|AB|=2,所以△OAB 是等边三角形,圆心O 到直线AB 的距离为√3,所以√3m-1|√1+m 2=√3,m=-√33,直线斜率为k=-m=√33,倾斜角为θ=π6, 所以|CD|=|AB|cosθ=2cosπ6=4√33. 6.A 解析 将圆C 的方程整理为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C (2,1),半径r=2.将直线l 的方程整理为y=k (x-1)+2,则直线l 恒过定点(1,2),且(1,2)在圆C 内. 最长弦MN 为过(1,2)的圆的直径,则|MN|=4,最短弦PQ 为过(1,2),且与最长弦MN 垂直的弦,∵k MN =2−11−2=-1,∴k PQ =1.直线PQ 方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 圆心C 到直线PQ 的距离为d=√2=√2,|PQ|=2√r 2-d 2=2√4−2=2√2.四边形PMQN 的面积S=12|MN|·|PQ|=12×4×2√2=4√2.7.C 解析 直线x+y+4=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,A (-4,0),B (0,-4),故|AB|=4√2.设圆心(4,0)到直线x+y+4=0的距离为d ,则d=√1+1=4√2.设点P 到直线x+y+4=0的距离为h ,故h max =d+r=4√2+√2=5√2,h min =d-r=4√2−√2=3√2,故h 的取值范围为[3√2,5√2],即△ABP 的高的取值范围是[3√2,5√2],又△ABP 的面积为12·|AB|·h ,所以△ABP 面积的取值范围为[12,20].8.C 解析 对于A,曲线C :x 2+y 2+4x+2my+5=0整理为(x+2)2+(y+m )2=m 2-1,曲线C 要表示圆,则m 2-1>0,解得m<-1或m>1,所以“m>1”是曲线C 表示圆的充分不必要条件,故A 错误;对于B,m=3√3时,直线l :x+√3y+1=0,曲线C :(x+2)2+(y+3√3)2=26, 圆心到直线l 的距离d=√3×(−3√3)+1|√1+3=5,所以弦长=2√r 2-d 2=2√26−25=2,故B错误;对于C,若直线l 与圆相切,圆心到直线l 的距离d=2√9+m 2=√m 2-1,解得m=±3,所以“m=-3”是直线l 与曲线C 表示的圆相切的充分不必要条件,C 正确;对于D,当m=-2时,曲线C :(x+2)2+(y-2)2=3,其圆心坐标为(-2,2),r=√3,曲线C 与圆x 2+y 2=1两圆圆心距离为√(-2-0)2+(2−0)2=2√2>√3+1,故两圆相离,不会有两个公共点,D 错误.9.D 解析 由题意,圆M :(x-2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为M (2,1),半径为r 1=1,圆N :(x+2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为N (-2,-1),半径为r 2=1.如图所示,两圆相离,有四条公切线.两圆心坐标关于原点O 对称,则有两条切线过原点O , 设切线l :y=kx ,则圆心M 到直线l 的距离为√1+k 2=1,解得k=0或k=43.故此时切线方程为y=0或4x-3y=0.另两条切线与直线MN 平行且相距为1,又由l MN :y=12x , 设切线l':y=12x+b ,则√1+14=1,解得b=±√52, 此时切线方程为x-2y+√5=0或x-2y-√5=0. 结合选项,可得D 不正确.10.CD 解析 圆C 方程可化为(x-a )2+y 2=1,则圆心C (a ,0),半径r 1=1;由圆D 方程知圆心D (0,0),半径r 2=2.因为圆C 与圆D 有且仅有两条公切线,所以两圆相交.又两圆圆心距d=|a|,有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3.观察4个选项,可知C,D两项中的a的取值满足题意.11.ABD解析对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为√2=√2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2,D正确.12.√5解析因为直线l1:y=kx+4恒过定点P(0,4),所以P(0,4)关于点M(1,2)对称,所以P(0,4)关于点M(1,2)的对称点为(2,0),此时(2,0)和N(0,-1)都在直线l2上,可得直线l2的方程y-0-1-0=x-20−2,即x-2y-2=0,所以点M到直线l2的距离为d=√1+4=√5.13.(x-6)2+(y-1)2=1解析圆的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.14.2√10解析由题设知:l1∥l2,要使A,B,C,D四点构成正方形ABCD,正方形的边长等于.直线l1,l2之间的距离d,则d=√5若圆的半径为r,由正方形的性质知d=√2r=2√2,故=2√2,即有|m-n|=2√10.√515.√3相离解析x2+y2-4x+2my+1=0,即(x-2)2+(y+m)2=m2+3,圆心C(2,-m),半径r=√m2+3,)=-1,解得k=√3.因为直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,所以k·√3=√3+m.直线l:y=√3x+m.因为m>0,所以圆心到直线l的距离d=√3+m+m|√3+1因为d2=m2+2√3m+3>m2+3=r2,所以d>r.所以直线l与圆C的位置关系是相离.。
完整版)直线与圆综合练习题含答案
完整版)直线与圆综合练习题含答案直线与圆的方程训练题1.选择题:1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A。
45,1B。
不存在C。
不存在D。
-12.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=√2/2，则a,b满足（）A。
a+b=1B。
a-b=1C。
a+b=√2D。
a-b=√23.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A。
2x+y-1=0B。
2x+y-5=0C。
x+2y-5=0D。
x-2y+7=04.已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A。
4x+2y=5B。
4x-2y=5C。
x+2y=5D。
x-2y=55.直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ-ycosθ+b=0的位置关系是（）θ的值有关A。
平行B。
垂直C。
斜交D。
与a,b,θ的值有关6.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A。
4B。
13√10C。
26√5D。
207.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（）A。
-1/3B。
-3C。
1D。
38.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点，若线段AB的中点为M(1,-1)，则直线l的斜率为（）A。
2/3B。
-3/2C。
-2D。
-39.若动点P到点F(1,1)和直线3x+y-4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A。
3x+y-6=0B。
x-3y+2=0C。
x+3y-2=0D。
3x-y+2=010.若P(2,-1)为(x-1)+y^2=25圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=011.圆x^2+y^2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1+2√2D。
1+2√512.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
高中数学-直线和圆基础习题和经典习题加答案
直线和圆基础习题和经典习题加答案【知识网络】综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力． 【典型例题】[例1]（1）直线x ＋y=1与圆x 2＋y 2－2ay=0(a ＞0)没有公共点，则a 的取值范围是 （ ） A ．（0， 2 －1） B ．（ 2 －1， 2 ＋1）C ．（－ 2 －1， 2 －1）D ．（0， 2 ＋1（2）圆（x －1)2＋(y ＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是 （ ） A ．x －y=0 B ．x ＋y=0 C ．x=0 D ．y=0（3）“a =b ”是“直线222()()2y x x a y b =+-++=与圆相切”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件（4）已知直线5x ＋12y ＋a=0与圆x 2＋y 2－2x=0相切，则a 的值为 ．（5）过点（1， 2 ）的直线l 将圆（x －2)2＋y 2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k= ．[例2] 设圆上点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程．[例3] 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2＋y 2=1,动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．[例4] 已知与曲线C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1=0相切的直线l 叫x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA|=a,|OB|=b(a ＞2,b ＞2)． (1)求证：（a －2)(b －2)=2；(2)求线段AB 中点的轨迹方程； （3）求△AOB 面积的最小值．【课内练习】1．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋52=0相切的直线的方程为（）A．y=－3x 或y=13x B．y=3x 或y=－13xC．y=－3x 或y=－13x D．y=3x 或y=13x2．圆(x－2)2＋y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A．(x＋2)2＋y2=5 B．x2＋(y－2)2=5C．(x－2)2＋(y－2)2=5 D．x2＋(y＋2)2=53．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点轴对称D．关于y=x轴对称4．直线l1：y=kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－4=0的两个交点关于直线l2：y＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是（）A．（1，2）B．（－1，2）C．（－3，2）D．（2，－3）5．若直线y=kx＋2与圆（x－2)2＋(y－3)2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是．6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则 ＝.7．直线l1：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是．8．求直线l1：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程．9．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；（2）从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．10．由动点P引圆x2＋y2=10的两条切线PA，PB，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2．(1)若k1＋k2＋k1k2=－1,求动点P的轨迹方程；（2）若点P在直线x＋y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．11．5直线与圆的综合应用A 组1．设直线过点（0，a ），其斜率为1，且与圆x 2＋y 2=2相切，则a 的值为 （ ） A ．±2 B ．±2 C ．±2 2 D ．±42．将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y=0相切，则实数λ的值为 A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10 D ．1或11 3．从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A ．π B ． 2π C ． 4π D ． 6π4．若三点A （2，2），B （a,0)，C （0，b)（a ，b 均不为0）共线，则11a b+的值等于 ．5．设直线ax －y ＋3=0与圆（x －1)2＋(y －2)2=4有两个不同的交点A ，B ，且弦AB 的长为2 3 ，则a 等于 ．6．光线经过点A （1，74），经直线l ：x ＋y ＋1=0反射，反射线经过点B （1，1）．（1）求入射线所在的方程； （2）求反射点的坐标．7．在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1=0,∠A 的平分线所在直线方程为y=0,若B 点的坐标为（1，2），求点A 和点C 的坐标．8．过圆O ：x 2＋y 2=4与y 轴正半轴的交点A 作这个圆的切线l ，M 为l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，当点M 在直线l 上移动时，求△MAQ 垂心H 的轨迹方程．B 组1．已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （ ）A ．πB ．4πC ．8πD ．9π2．和x 轴相切，且与圆x 2＋y 2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ） A ．x 2=2y ＋1 B ．x 2=－2y ＋1 C ．x 2=2y －1 D ．x 2=2|y|＋13．设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ）A ．20B ．19C ．18D ．164．设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 . 5．已知圆M ：（x ＋cosθ)2＋(y －sinθ)2=1，直线l ：y=kx ，下面四个命题 A ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 都相切； B ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点；C ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切；D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切． 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 6．已知点A ，B 的坐标为（－3，0），（3，0），C 为线段AB 上的任意一点，P ，Q 是分别以AC ，BC 为直径的两圆O 1，O 2的外公切线的切点，求PQ 中点的轨迹方程． 7．已知△ABC 的顶点A （－1，－4），且∠B 和∠C 的平分线分别为l BT ：y ＋1=0,l CK :x ＋y ＋1=0,求BC 边所在直线的方程．8．设a,b,c,都是整数，过圆x 2＋y 2=（3a ＋1)2外一点P （b 3－b,c 3－c)向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点）．11．5直线与圆的综合应用【典型例题】例1 （1）A ．提示：用点到直线的距离公式． （2）C ．提示：依据圆心和半径判断．（3）A ．提示：将直线与圆相切转化成关于ab 的等量关系．（4）－18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况． （5）22．提示：过圆心（2，0）与点（1， 2 ）的直线m 的斜率是－ 2 ，要使劣弧所对圆心角最小，只需直线l 与直线m 垂直．例2、设圆的方程为（x －a)2＋(y －b)2=r 2, 点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y=0上，a ＋2b=0，又（2－a)2＋(3－b)2=r 2,而圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，，故r 2－)2=2,依据上述方程解得：｛b 1=－3a 1=6r 12=52或｛b 2=－7a 2=14r 22=244∴所求圆的方程为（x －6)2＋(y ＋3)2=52，或（x －14)2＋(y ＋7)2=224．例3、设切点为N ，则|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，设M （x,y),则λ2－1）（x 2＋y 2)－4λx ＋(1＋4λ2）=0 当λ=1时，表示直线x=54；当λ≠1时，方程化为2222222213()1(1)x y λλλλ+-+=--，它表示圆心在222(,0)1λλ-，的一个圆．例4、（1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于1，化减即得；（2）设AB 中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入（a －2)(b －2)=2，得（x －1)(y －1)=12 (x ＞1,y ＞1)；(3)由（a －2)(b －2)=2得ab ＋2=2(a ＋b)≥4ab ,解得ab ≥2＋ 2 （ab ≤2－ 2 不合，舍去），当且仅当a=b 时，ab 取最小值6＋4 2 ，△AOB 面积的最小值是3＋2 2 ． 【课内练习】1．A ．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率． 2．D ．提示：求圆心关于原点的对称点．3．C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律． 4．A ．提示：圆心在直线l 2上．5．0＜k ＜43 ．提示：直接用点到直线的距离公式或用△法．6．21-．提示：求弦所对圆心角． 7．2x ＋y －10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在已知直线上．8．2x ＋11y ＋16=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l 的对称点，用两点式写l 2的方程；或直接设l 2上的任意一点，求其关于l 的对称点，对称点在直线l 1上．求对称点时注意，一是垂直，二是平分． 9．（1）提示：∵切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x ＋y －3=0, x ＋y ＋1=0, x －y ＋5=0, x －y ＋1=0．(2)将圆的方程化成标准式（x ＋1)2＋(y －2)2=2，圆心C （－1，2），半径r= 2 ， ∵切线PM 与CM 垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2， 又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x 1－4y 1＋3=0．|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P 点到直线2x 1－4y 1＋3=0． 从而解方程组2211119202430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得满足条件的点P 坐标为（－310 ，35 ）．10．（1）由题意设P （x 0,y 0)在圆外,切线l ：y －y 0=k(x －x 0)=∴（x 02－10)k 2－2x 0·y 0k ＋y 02－10=0由k 1＋k 2＋k 1k 2=－1得点P 的轨迹方程是x ＋y±2 5 =0．（2）∵P （x 0,y 0)在直线x ＋y=m 上，∴y 0=m －x 0,又PA ⊥PB ，∴k 1k 2=－1,202010110y x -=--,即：x 02＋y 02=20,将y 0=m －x 0代入化简得,2x 02－2mx 0＋m 2－20=0∵△≥0,∴－210 ≤m≤210 ,又∵x 02＋y 02＞10恒成立，∴m ＞2,或m ＜－2 5 ∴m 的取值范围是[－210 ，－2 5 ]∪（2 5 ，210 ]11．5直线与圆的综合应用A 组1．B ．提示：用点到直线的距离公式或用△法．2．A ．提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式． 3．B ．提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角．4．12 ．提示：由三点共线得两两连线斜率相等，2a ＋2b=ab ，两边同除以ab 即可．5．0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解．6．（1）入射线所在直线的方程是：5x －4y ＋2=0；（2）反射点（－23 ，－13 ）．提示：用入射角等于反射角原理．7．点A 既在BC 边上的高所在的直线上，又在∠A 的平分线所在直线上，由⎩⎨⎧x －2y ＋1=0y=0得A （－1，0） ∴k AB =1又∠A 的平分线所在直线方程为y=0 ∴k AC =－1∴AC 边所在的直线方程为 y=－（x ＋1） ① 又k BC =－2,∴BC 边所在的直线方程为 y －2=－2（x －1） ② ①②联列得C 的坐标为（5，－6）8．设所求轨迹上的任意一点H （x,y)，圆上的切点Q （x 0,y 0)∵QH ⊥l,AH ⊥MQ,∴AH ∥OQ,AQ ∥QH ．又|OA|=|OQ|，∴四边形AOQH 为菱形． ∴x 0=x,y 0=y －2．∵点Q （x 0,y 0)在圆上，x 02＋y 02=4∴H 点的轨迹方程是：x 2＋（y －2）2=4（x≠0)．B 组1．B ．提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2为半径的圆．2．D ．提示：设圆心（x,y)||1y +3．C ．提示：考虑斜率不相等的情况．4．0323=--y x ．提示：弦的垂直平分线过圆心．5． B ，D ．提示：圆心到直线的距离d ==|sin(θ＋ϕ）|≤1． 6．作MC ⊥AB 交PQ 于M ，则MC 是两圆的公切线．|MC|=|MQ|=|MP|，M 为PQ 的中点．设M （x,y),则点C ，O 1，O 2的坐标分别为（x,0),(－3＋x 2 ,0),( 3＋x 2,0)连O 1M ，O 2M ，由平面几何知识知∠O 1MO 2=90°．∴|O 1M|2＋|O 2M|2=|O 1O 2|2，代入坐标化简得：x 2＋4y 2=9(－3＜x ＜3)7．∵BT,CK 分别是∠B 和∠C 的平分线，∴点A 关于BT,CK 的对称点A′，A″必在BC 所在直线上，所以BC 的方程是x ＋2y －3=0．8．线段OP 的中点坐标为（12 （b 3－b),12 (c 3－c)),以OP 为直径的圆的方程是[x －12 （b 3－b)]2＋[y －12 (c 3－c)]2=[ 12 （b 3－b)]2＋[12(c 3－c)]2……①将x 2＋y 2=（3a ＋1)2代入①得：（b 3－b)x ＋(c 3－c)y=（3a ＋1)2这就是过两切点的切线方程．因b 3－b=b(b ＋1)(b －1)，它为三个连续整数的乘积，显然能被整除． 同理，c 3－c 也能被3整除．于是（3a ＋1)2要能被3整除，3a ＋1要能被3整除，因a 是整数，故这是不可能的． 从而原命题得证．。
高中数学直线与圆精选题目(附答案)
高中数学直线与圆精选题目（附答案）一、两直线的位置关系1．求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2．判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2.(2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法(1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2.1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝－(－b )．④由③④联立，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23 ，b ＝2.注：已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去．(2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－43 C ．2D ．3解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D.3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0D ．－2解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝32.故选A.二、直线方程1．直线方程的五种形式2．常见的直线系方程(1)经过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2.(2)平行直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )．(3)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0.4.过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．[解] 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝3， ∴B (3,0)，C (3,6)．此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |， ∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)， 显然k ≠0且k ≠2. 令y ＝0，得x ＝3＋1k ， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1k ，0，由⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＋1＝k (x －3)，得点C 的横坐标x C ＝3k ＋1k －2.∵|BC |＝2|AB |，∴|x B －x C |＝2|x A －x B |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ＋1k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ， ∴3k ＋1k －2－1k －3＝2k 或3k ＋1k －2－1k －3＝－2k ， 解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0. 注：求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．5．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程．解：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行(否则d 1＝0或d 2＝0，不符合题意)．设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13，d 2＝|m ＋13|13，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|，解得m ＝－25或m ＝－9.故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0. 6．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.三、圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：①过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C 2；②过圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ为参数，λ∈R)．7.在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)，经过这三个点的圆记为M .(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程； (2)求圆M 的方程．[解] (1)法一：由B (2,0)，C (0，－4)，知BC 的中点D 的坐标为(1，－2)． 又A (－3,0)，所以直线AD 的方程为y －0－2－0＝x ＋31＋3，即中线AD 所在直线的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. 法二：由题意，得|AB |＝|AC |＝5， 则△ABC 是等腰三角形， 所以AD ⊥BC .因为直线BC 的斜率k BC ＝2， 所以直线AD 的斜率k AD ＝－12，由直线的点斜式方程，得y －0＝－12(x ＋3)， 所以直线AD 的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. (2)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)三点的坐标分别代入方程，得⎩⎨⎧9－3D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，16－4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝52，F ＝－6.所以圆M 的方程是x 2＋y 2＋x ＋52y －6＝0. 注：利用待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，从而求出D ，E ，F 的值．8．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.9．已知圆C 经过点A (2，－3)，B (－2，－5)，且圆心在直线l ：x －2y －3＝0上，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意，得⎩⎨⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.10．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．解：联立两圆的方程得方程组 ⎩⎨⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径长为12 (5＋1)2＋(－6－2)2＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.四、直线与圆的位置关系1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离．2．过圆外一点(x 0，y 0)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，化成一般式kx －y ＋y 0－kx 0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k ；②当切线斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式为0，求出k .当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程．3．圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解． (2)利用圆的弦长公式l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2(其中x 1，x 2为两交点的横坐标)．(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d 、圆的半径r 与弦长的一半l 2为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l ＝2r 2－d 2.4．圆与圆的位置关系：(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． (2)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交．则两圆方程相减后得到的新方程：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．11.(1)直线x ＋y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.22B.32C. 3D. 2(2)若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3(3)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 过定点A (1,0)． ①若l 与圆C 相切，求l 的方程；②若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝22，求此时直线l 的方程． [解析] (1)∵圆心(1,2)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝22，∴|AB |＝212－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，故选D.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m2＝1，解得m ＝±3. 答案：(1)D (2)C(3)解：①若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝1，符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3,4)到直线l的距离等于2，即|3k－4－k|k2＋1＝2，解得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y－3＝0.综上可得，所求直线l的方程是x＝1或3x－4y－3＝0.②由直线l与圆C相交可知，直线l的斜率必定存在，且不为0，设直线l的方程为k0x－y－k0＝0，圆心(3,4)到直线l的距离为d，因为|PQ|＝24－d2＝22，所以d＝2，即|3k0－4－k0|k20＋1＝2，解得k0＝1或k0＝7，所以所求直线l的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.注：研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k不存在情形，要注意作出图形进行判断．12．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()A．1 B．2 2C.7 D．3解析：选C切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.13．P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值是()A. 2 B．2 2C. 3 D．2 3解析：选C圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(1,1)，半径r＝1.根据对称性可知四边形P ACB的面积等于2S△APC ＝2×12×|P A|×r＝|P A|＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.要使四边形P ACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2，所以四边形P ACB面积的最小值为4－1＝ 3.14．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点．解：假设存在且设l ：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)，则过圆心C 垂直弦AB 的直线为y ＋2＝－x ＋1，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y ＋2＝－x ＋1得AB 的中点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋12，m －12，由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN |＝|ON |. 又|AN |＝|CA |2－|CN |2＝ 9－2×⎝⎛⎭⎪⎫m ＋322， |ON |＝⎝⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122.所以9－2×⎝⎛⎭⎪⎫3＋m 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122， 解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的．。
直线和圆综合练习题集附答案解析
直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．B ．C ． ，不存在D ． ，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若为 圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限的部分有交点，则k 的取值围是（ ）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（ ）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。
高考数学 几何模块 直线和圆考卷及答案解析1
1．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52 =0相切的直线的方程为( )A ．y=－3x 或y=13 xB ．y=3x 或y=－13 xC ．y=－3x 或y=－13 xD ．y=3x 或y=13 x2．圆(x －2)2＋y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A ．(x ＋2)2＋y 2=5B ．x 2 ＋(y －2)2=5C ． (x －2)2＋(y －2)2=5D ．x 2 ＋(y ＋2)2=5 3．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是 （ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点轴对称D ．关于y=x 轴对称4．直线l 1：y=kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －4=0的两个交点关于直线l 2：y ＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是 （ ）A ．（1，2）B ．（－1，2）C ．（－3，2）D ．（2，－3）5．若直线y=kx ＋2与圆（x －2)2＋(y －3)2=1有两个不同的交点，则k 的取值范围是多少？6．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则OB OA ＝值.7．直线l1：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是？8．求直线l1：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程．9．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．10．由动点P引圆x2＋y2=10的两条切线PA，PB，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2．(1)若k1＋k2＋k1k2=－1,求动点P的轨迹方程；（2）若点P在直线x＋y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．1．A ．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率．2．D ．提示：求圆心关于原点的对称点．3．C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律．4．A ．提示：圆心在直线l 2上．5．0＜k ＜43．提示：直接用点到直线的距离公式或用△法． 6．21-．提示：求弦所对圆心角． 7．2x ＋y －10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在已知直线上．8．2x ＋11y ＋16=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l 的对称点，用两点式写l 2的方程；或直接设l 2上的任意一点，求其关于l 的对称点，对称点在直线l 1上．求对称点时注意，一是垂直，二是平分．9．（1）提示：∵切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x ＋y －3=0, x ＋y ＋1=0, x －y ＋5=0, x －y ＋1=0．(2)将圆的方程化成标准式（x ＋1)2＋(y －2)2=2，圆心C （－1，2），半径r= 2 ，∵切线PM 与CM 垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2，又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x 1－4y 1＋3=0．|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P 点到直线2x 1－4y 1＋3=0． 从而解方程组2211119202430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得满足条件的点P 坐标为（－310 ，35 ）． 10．（1）由题意设P （x 0,y 0)在圆外,切线l ：y －y 0=k(x －x 0)=∴（x 02－10)k 2－2x 0·y 0k ＋y 02－10=0由k 1＋k 2＋k 1k 2=－1得点P 的轨迹方程是x ＋y±2 5 =0． （2）∵P （x 0,y 0)在直线x ＋y=m 上，∴y 0=m －x 0,又PA ⊥PB ，∴k 1k 2=－1,202010110y x -=--,即：x 02＋y 02=20,将y 0=m －x 0代入化简得,2x 02－2mx 0＋m 2－20=0∵△≥0,∴－210 ≤m≤210 ,又∵x 02＋y 02＞10恒成立，∴m ＞2,或m ＜－2 5∴m 的取值范围是[－210 ，－2 5 ]∪（2 5 ，210 ]。
高考数学直线和圆专题辅导测试练习
高考数学直线和圆专题辅导测试练习1． 直线l 经过A （2，1）、B （1，m 2）(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．),0[πB ．),2(]4,0[πππ⋃C ．]4,0[πD ．),43[]4,0[πππ⋃ 2． 已知点A （6，－4），B （1，2）、C （x ,y ）,O 为坐标原点，若),(R OB OA OC ∈+=λλ 则点C 的轨迹方程是 ( )A ．2x －y +16＝0B ．2x －y －16＝0C ．x －y +10＝0D ．x －y －10＝03． 若点（5，b ）在两条平行直线6x －8y +1=0与3x －4y +5=0之间，则整数b 的值为( )A ．5B ．－5C ．4D ．－44．直线ax +by +b －a ＝0与圆x 2+y 2－x －2＝0的位置关系是 （ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．与a ,b 的取值有关5．已知直线ax +3y +1=0与直线x +(a -2)y +a =0，当a =_________时，两直线平行；当a ＝_________时，两直线重合；当a ∈_____________________________时，两直线相交.6．将直线y x 绕点（2，0）按顺时针方向旋转30°所得直线方程是______7．在坐标平面内，由不等式组⎩⎨⎧+-≤--≥3||21||x y x y 所确定的平面区域的面积为________8．已知定点P （2，1），分别在y =x 及x 轴上各取一点B 与C ，使∆BPC 的周长最小，最小值为_________9．经过点M (1，3)的圆x 2＋y 2＝1的切线方程是________________10．若圆经过点A (a ,0),B (2a ,0),C (0,a )(a ≠0),则这个圆的方程为_______________11．一直线被两条平行直线x +2y -1=0及x +2y -3=0所截的线段的中点在直线x -y -1=0上，且这条直线与两平行线的夹角为45°，求此直线的方程.12．当C 为何值时，圆x 2+y 2+x -6y +C =0与直线x +2y -3=0的两交点P 、Q 满足OP ⊥OQ ？(其中O 为坐标原点)13．已知圆C :x 2+(y -2)2=5,直线l :mx -y +1=0，(1)求证：对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)设l 与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |=17，求l 的倾斜角；(3)求弦AB 的中点M 的轨迹方程.14．圆的方程为x 2+y 2－6x －8y ＝0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程。
高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.已知直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为 .【答案】4【解析】∵直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O为坐标原点，且为直角三角形，∴，∴圆心O（0,0）到直线的距离，化为，∴，当且仅当取等号，∴的最小值为4.【考点】基本不等式.2.已知直线，若曲线上存在两点P、Q关于直线对称，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为已知直线，若曲线上存在两点P、Q关于直线对称，所以直线必过圆的圆心(-1,3),从而有,故选D.【考点】1.圆的一般方程;2.圆的对称性.3.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时, 的面积为.所以不要性不成立.故选A.【考点】1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.4.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则 .【答案】2【解析】依题意，设与单位圆相交于两点，则∠°.如图，当时满足题意，所以.【考点】直线与圆相交，相等弧的概念，容易题.5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．C．D．【答案】B【解析】可知点(3,5)在圆内,所以最长弦AC 为圆的直径.设AC 与BD 的交点为M(3,5) x 2+y 2-6x-8y=0(x-3)2+(y-4)2="25" AC=10,圆心O(3,4) ∵BD 为最短弦∴AC 与BD 相垂直,垂足为M,所以OM==1 ∴BD=2BM=2=4∵S 四边形ABCD =S △ABD +S △BDC =×BD×MA+×BD×MC=×BD×(MA+MC) =×BD×AC ∴S 四边形ABCD =×4×10=20.6. 已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－2mx －2y ＋4m －4＝0(m ∈R)． (1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(1，－2)的直线方程．【答案】（1）当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． （2）x ＝1或4x －3y －10＝0.【解析】圆C 的方程：(x －m)2＋(y －1)2＝(m －2)2＋1.(1)当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． (2)当m ＝2时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1， 设所求的直线方程为y ＋2＝k(x －1)， 即kx －y －k －2＝0， 由直线与圆相切，得＝1，k ＝，所以切线方程为y ＋2＝(x －1)，即4x －3y －10＝0，又因为过点(1，－2)且与x 轴垂直的直线x ＝1与圆也相切， 所以所求的切线方程为x ＝1或4x －3y －10＝0.7. 设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－，1＋]B ．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)C ．[2－2，2＋2]D ．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)【答案】D【解析】圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为＝1，所以m ＋n ＋1＝mn≤(m ＋n)2， 所以m ＋n≥2＋2或m ＋n≤2－2.8. 在平面直角坐标系中，直线（为参数）与圆（为参数）相切，切点在第一象限，则实数的值为 . 【答案】. 【解析】直线的一般式方程为，圆的圆心坐标为，半径长为，则有，解得或，由于切点在第一象限，则直线必过第一象限，则，因此.【考点】1.参数方程与普通方程间的转化；2.直线与圆的位置关系9.已知，则直线与圆：的位置关系是( )．A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】B【解析】方程组只有一解，即题设中直线与圆只有一个公共点，因此它们相切，选B.【考点】直线和圆的位置关系.10.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)．(1)若l1与圆相切，求l1的方程；(2)若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）x＝1或3x－4y－3＝0（2）6【解析】(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解得k＝. ∴所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.(2)(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.由得N.又直线CM与l1垂直，由得M.∴AM·AN＝·＝＝6为定值．故AM·AN是定值，且为6.(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.由得N.再由得(1＋k2)x2－(2k2＋8k＋6)x＋k2＋8k＋21＝0.∴x1＋x2＝，得M.以下同解法1. (解法3)用几何法连结CA并延长交l2于点B，kAC＝2，kl2＝－，∴CB⊥l.如图所示，△AMC∽△ABN，则，2可得AM·AN＝AC·AB＝2·＝6，是定值11.已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.(1)若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．【答案】（1）x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0（2）过定点(2，0)．【解析】(1)配方得(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心C(t，t2)．依题意t－t2＋2＝0t＝－1或2.即x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0为所求方程．(2)整理圆C的方程为(x2＋y2－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t2＝0，令故圆C过定点(2，0)．12.已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，且＝6，求圆C的方程．【答案】x2＋(y＋1)2＝18.【解析】设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心C(a，b)，由题意得解得故C(0，－1)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝3.∵AB＝6，∴r2＝d2＋＝18，∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.13.已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P、Q两点．(1)求圆C的方程；(2)若·＝－2，求实数k的值．【答案】（1）x2＋y2＝4（2）k＝0.【解析】(1)设圆心C(a，a)，半径为r.因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是x2＋y2＝4.(2)因为·＝2×2×cos〈，〉＝－2，且与的夹角为∠POQ，所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，又d＝，所以k＝0.14.在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为________．【答案】－2【解析】点Q在直线x－2y－6＝0上，圆心(1，0)到该直线的距离为d＝＝，因此线段PQ长度的最小值为－2.15.如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA.【答案】见解析【解析】证明连接OT，因为AT是切线，所以OT⊥AP.又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA＝∠BTO.又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT，所以∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.16.已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：x cos θ＋y sin θ＝1.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.【答案】4【解析】圆心O到直线l的距离d＝＝1，又圆O半径为，∴圆O上到l的距离等于1的点有4个．17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为为参数），圆的极坐标方程为.（1）若圆关于直线对称，求的值；（2）若圆与直线相切，求的值.【答案】（1）2；（2）或【解析】（1）因为要求圆关于直线对称的圆，首先将直线的参数方程化为普通方程，同样的要将圆的极坐标方程化为普通方程，由于圆关于直线对称，所以直线经过圆的圆心.所以将圆心的坐标代入直线方程即可求出结论.（2）若圆与直线相切，则圆心到直线的距离为半径的长，由（1）可得的直线方程和圆的方程可得相应的量，从而可求出结论.试题解析：（1）直线;圆,圆心为,半径.由题设知,直线过圆心,所以,所以；（2）点到直线的距离为因此整理得,所以或【考点】1.直线的参数方程.2.圆的极坐标方程.3.直线与圆的位置关系.18.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是()．A．－B．－C．－D．－【答案】A【解析】因为圆C的方程可化为：(x－4)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(4,0)，半径为1.依题意知直线y＝kx＋2上至少存在一点A(x0，kx＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，所以存在x0∈R，使得|AC|≤1＋1成立，即|AC|min≤2.因为|AC|min即为点C到直线y＝kx＋2的距离.所以≤2，解得－≤k≤0，所以k的最小值为－.19.已知椭圆的离心率为，且经过点，圆的直径为的长轴.如图，是椭圆短轴端点，动直线过点且与圆交于两点，垂直于交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）已知椭圆的离心率为即可得到与的关系式,再结合椭圆过点,代入椭圆方程组成方程组可求解得到椭圆方程; （2）要求面积可先求两个弦长度,是一直线与圆相交得到的弦长,可采用圆的弦长公式,而是椭圆的弦长,使用公式求解,把面积表示成变量的函数, 求其最值时可用换元法求解.对当斜率为0时要单独讨论.试题解析：（1）由已知得到,所以,即.又椭圆经过点,故,解得,所以椭圆的方程是（2）因为直线且都过点①当斜率存在且不为0时,设直线,直线,即,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截弦由得,所以所以.令,则,当,即时,等号成立,故面积的最大值为,此时直线的方程为②当斜率为0时,即,此时当的斜率不存在时,不合题意;综上, 面积的最大值为,此时直线的方程为.【考点】直线与圆的位置关系,弦长公式,换元法求函数最值.20.已知的三个顶点，，，其外接圆为．(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）求的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心，再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（2）可设出点的坐标，再把点的坐标用其表示，把点的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的取值范围，但要注意三点不能重合，即圆和线段无公共点.试题解析：(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，的方程为． 4分设圆心到直线的距离为，因为直线被截得的弦长为2，所以．当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求； 6分当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或． 8分(2) 直线的方程为，设，因为点是点，的中点，所以，又都在半径为的上，所以即 10分因为该关于的方程组有解，即以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆有公共点，所以， 12分又，所以对]成立．而在[0，1]上的值域为[，10]，故且． 15分又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故的半径的取值范围为． 16分【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.21.已知圆的方程为，直线l的方程为，若圆与直线相切，则实数m= .【答案】2或－8【解析】因为直线与圆相切，所以.【考点】直线与圆的位置关系.22.若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是 .【答案】.【解析】曲线（为参数，）表示的是以点为圆心，以为半径长的圆，令，即，即点既在直线上，也在圆上，则圆心到直线的距离，解得，即的取值范围是.【考点】1.圆的参数方程；2.直线与圆的位置关系23.过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（）A．2x+y-3=0B．2x-y-3="0"C．4x-y-3=0D．4x+y-3=0【答案】A【解析】因为过点作圆的两条切线，切点分别为，所以圆的一条切线方程为，切点之一为，显然B、D选项不过，B、D不满足题意；另一个切点的坐标在的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．【考点】圆的切线方程，直线的一般方程．24.直线与圆有两个不同交点,则满足（）．A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】直线与圆有两个不同交点，则圆心到直线距离小于半径，即，解得．【考点】直线与圆的位置关系．25.如图，已知半径为的⊙与轴交于、两点，为⊙的切线，切点为，且在第一象限，圆心的坐标为，二次函数的图象经过、两点.（1）求二次函数的解析式；（2）求切线的函数解析式；（3）线段上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）切线的函数解析式为；（3）点的坐标为或.【解析】（1）先求出圆的方程，并求出圆与轴的交点和的坐标，然后将点和的坐标代入二次函数中解出和的值，从而确定二次函数的解析式；（2）由于切线过原点，可设切线的函数解析式为，利用直线与圆求出值，结合点的位置确定切线的函数解析式；（3）对或进行分类讨论，充分利用几何性质，从而确定点的坐标.试题解析：（1）由题意知，圆的方程为，令，解得或，故点的坐标为，点的坐标为，由于二次函数经过、两点，则有，解得，故二次函数的解析式为；（2）设直线所对应的函数解析式为，由于点在第一象限，则，由于直线与圆相切，则，解得，故切线的函数解析式为；（3）由图形知，在中，，，，在中，，由于，因为，则必有或，联立，解得，故点的坐标为，当时，直线的方程为，联立，于是点的坐标为；当时，，由于点为线段的中点，故点为线段的中点，此时点的坐标为.综上所述，当点的坐标为或时，.【考点】1.二次函数的解析式；2.直线与圆的位置关系；3.相似三角形26.设，，直线：，圆：．若圆既与线段又与直线有公共点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】圆：，圆心，圆与直线相交，则，；当圆过时，圆心，从该位置圆向左平移至与相切时，取负值，直线为：，相切时有：，即（），所以，则.所以.【考点】1.点到直线的距离公式；2.圆与直线的位置关系.27.过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，圆的一条切线方程为，切点之一为，显然、选项直线不过，、不符合题意；另一个切点的坐标在的右侧，所以切线的斜率为负，选项不满足，满足．故选．【考点】直线与圆的位置关系28.若，则直线被圆所截得的弦长为 ( )A．B．1C．D．【答案】D【解析】因为，所以设弦长为，则，即.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.29.若直线经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知直线经过点，而点在圆上，所以直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离小于或等于半径：．【考点】点与圆、直线与圆的位置关系．30.在极坐标系中，直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【答案】C【解析】直线方程为，圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离.【考点】极坐标方程、直线与圆的位置关系.31.直线y= x+1被圆x2-2x +y2-3 =0所截得的弦长为_____【答案】【解析】圆的标准方程为，圆心，半径．圆心到直线的距离，所以弦长．【考点】直线与圆的位置关系．32.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为直线y=kx与圆（x-2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，直线2x+y+b=0的斜率为-2，所以k=，并且直线经过圆的圆心，所以圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上，所以4+0+b=0，b=-4．故选A．【考点】直线与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程．点评：本题考查直线与圆的位置关系，对称直线方程的应用，考查分析问题解决问题与计算能力. 33.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，则根据圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形可以得到，圆心到直线的距离等于1，若，则圆心到直线的距离小于等于1，根据点到直线的距离公式可知，解得k的取值范围是.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用.点评：遇到直线与圆相交的题目，常常用到圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形，进而用点到直线的距离公式或数形结合解决问题.34.直线R与圆的交点个数是( )A．0B．1C．2D．无数个【答案】C【解析】判断直线与圆的位置关系经常利用圆的几何性质来解决，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，故本题应先求圆心（2，0）到直线x+ay-1=0的距离，再证明此距离小于半径，即可判断交点个数。
高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|＝2，则直线l的方程为()A．x＝－1或4x＋3y－4＝0B．x＝－1或4x－3y＋4＝0C．x＝1或4x－3y＋4＝0D．x＝1或4x＋3y－4＝0【答案】B【解析】当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，过圆C作CM⊥PQ，垂足为M，由于|PQ|＝2，可求得|CM|＝1.由|CM|＝＝1，解得k＝，此时直线l的方程为y＝ (x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.故选B.2.已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为()A．6B．C．8D．【答案】B【解析】如图，过圆心C向直线AB做垂线交圆于点P，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝＝，∴△ABP的面积的最小值为×5×(－1)＝.3.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2【答案】A【解析】由切割线定理可知CE·CB＝CD2．又由平面几何知识知△ADC∽△CDB，得相似比＝，即AD·DB＝CD2，∴CE·CB＝AD·DB．故选A．4.如图，⊙O中弦AB、CD相交于点F，AB＝10，AF＝2．若CF∶DF＝1∶4，则CF的长等于()A． B．2 C．3 D．2【答案】B【解析】∵CF∶DF＝1∶4，∴DF＝4CF．∵AB＝10，AF＝2，∴BF＝8．∵CF·DF＝AF·BF，∴CF·4CF＝2×8，∴CF＝2．5.如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为()A．B．C．D．【答案】C【解析】延长BO交圆O于点F，由D为OB的中点，知DF＝3，DB＝1，又∠AOB＝90°，所以AD＝，由相交弦定理知AD·DE＝DF·DB，即3×1＝×DE，解得DE＝．6.如图所示，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG．其中正确结论的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】A【解析】逐个判断：由切线定理得CE＝CF，BD＝BF，所以AD＋AE＝AB＋BD＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC，即①正确；由切割线定理得AF·AG＝AD2＝AD·AE，即②正确；因为△ADF∽△AGD，所以③错误．故选A．7.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，则线段CE的长为________．【答案】【解析】因为AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，所以可设AF＝4x，FB＝2x，BE＝x．由割线定理，得AF·FB＝DF·FC，即4x×2x＝×，解得x＝．所以AF＝2，FB＝1，BE＝．由切割线定理，得EC2＝BE·EA，即EC2＝×(＋3)，解得EC＝．8.如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC＝CB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若AD＝2，且tan∠ACD＝，求⊙O的半径r的长．【答案】（1）见解析（2）3【解析】解：(1)证明：∵AB∥DE，∴＝，又OD＝OE，∴OA＝OB．如图，连接OC，∵AC＝CB，∴OC⊥AB．又点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)如图，延长DO交⊙O于点F，连接FC．由(1)知AB是⊙O的切线，∴弦切角∠ACD＝∠F，∴△ACD∽△AFC．∴tan∠ACD＝tan∠F＝，又∠DCF＝90°，∴＝．∴＝＝，而AD＝2，得AC＝4．又AC2＝AD·AF，∴2·(2＋2r)＝42，于是r＝3．9.若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是() A．x＋y＝0B．x－y＝0C．x－y＋2＝0D．x＋y＋2＝0【答案】C【解析】圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心C的坐标为(－2,2)．直线l过OC的中点(－1,1)，且垂直于直线OC，易知k＝－1，故直线l的斜率为1，直线l的方程为yOC－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.故选C.10.（5分）（2011•重庆）过原点的直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为．【答案】2x﹣y=0【解析】用配方法将圆的方程转化为标准方程，求出圆心坐标和半径，设直线方程为y=kx，求出圆心到直线的距离，利用直线和圆相交所成的直角三角形知识求解即可．解：直线方程为y=kx，圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0即（x﹣1）2+（y﹣2）2=1即圆心坐标为（1，2），半径为r=1因为弦长为2，为直径，故y=kx过圆心，所以k=2所以该直线的方程为：y=2x故答案为：2x﹣y=0点评：本题考查直线和圆的相交弦长问题，属基础知识的考查．注意弦长和半径的关系．11.如图，是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于. 若，，求的长.【答案】【解析】由题中所给是圆的直径且，根据等腰三角形的性质可得：，再由直线为圆的切线，易得，可引入辅助线使得：，运用三角形知识即可求出：，进而得到：.是圆的直径且，，连，为圆的切线，，记是圆的交点，连，，，，，. 10分【考点】1.圆的几何性质;2.三角形的知识12.已知圆C的方程为：x2＋y2－2mx－2y＋4m－4＝0(m∈R)．(1)试求m的值，使圆C的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(1，－2)的直线方程．【答案】（1）当m＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小．（2）x＝1或4x－3y－10＝0.【解析】圆C的方程：(x－m)2＋(y－1)2＝(m－2)2＋1.(1)当m＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小．(2)当m＝2时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设所求的直线方程为y＋2＝k(x－1)，即kx－y－k－2＝0，由直线与圆相切，得＝1，k＝，所以切线方程为y＋2＝(x－1)，即4x－3y－10＝0，又因为过点(1，－2)且与x轴垂直的直线x＝1与圆也相切，所以所求的切线方程为x＝1或4x－3y－10＝0.13.圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共弦的长度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】联立，解得或．∴两圆的交点P（0，0），Q．∴|PQ|==．故选C．14.过点(-1，2)的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为．【答案】或【解析】设过点的直线方程为，即.即，由已知得，，解得，直线的斜率为或.【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式.15.设圆的一条切线与轴、轴分别交于点, 则的最小值为( )A．4B．C．6D．8【答案】【解析】设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径得所以令，即，则，得即最小值为4故选.【考点】点到直线的距离；基本不等式.16.已知圆，点在直线上，若过点存在直线与圆交于、两点，且点为的中点，则点横坐标的取值范围是．【答案】【解析】法一：数形结合法：设，由题意可得，即，解之得．法二：设点，，则由条件得A点坐标为，，从而，整理得，化归为，从而，于是由得。
高三数学《直线与圆》专题测试题含答案
高三数学《直线与圆》专题测试题含答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．直线l 过点(2，2)，且点(5，1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0 D ．x －3y －4＝03．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C.3D ．24．过点P (－2，2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条5．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0 6．已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝07．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.438．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝59．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]10．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．26B ．4 C.6D ．211．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离12．已知两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
直线与圆单元测试题及答案
直线与圆单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 直线与圆相切时，直线与圆心的距离等于（）。
A. 圆的半径B. 圆的直径C. 圆的周长D. 圆的面积2. 圆的方程为 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)，其中 \( a \) 和\( b \) 分别代表（）。
A. 圆的半径和直径B. 圆的中心坐标C. 圆的周长和面积D. 圆的直径和面积3. 如果直线 \( y = mx + c \) 与圆 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) 相切，则直线到圆心的距离是（）。
A. \( \sqrt{m^2 + 1} \cdot r \)B. \( \frac{|ma - mb + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)C. \( \frac{|ma + mb + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)D. \( \frac{|ma - mb - c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)4. 直线 \( x = 3 \) 与圆 \( (x-2)^2 + (y-1)^2 = 5 \) 的位置关系是（）。
A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定5. 圆心在原点，半径为 \( \sqrt{5} \) 的圆的方程是（）。
A. \( x^2 + y^2 = 5 \)B. \( x^2 + y^2 = 3 \)C. \( x^2 + y^2 = 4 \)D. \( x^2 + y^2 = 2 \)二、填空题（每题3分，共15分）6. 若直线 \( y = kx + 1 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = 9 \) 相切，则\( k \) 的值为________。
7. 圆 \( x^2 + y^2 - 6x - 8y + 16 = 0 \) 的圆心坐标是________。
8. 若直线 \( x - 2y + 3 = 0 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 相切，则圆心到直线的距离是________。
直线与圆的位置关系练习(含参考答案)
直线与圆的位置关系习题课班级 学号 姓名-----------------------------------------------------【基础训练】-------------------------------------------------------1．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值解析 由y ＝kx ＋1知直线过定点(0,1)，由x 2＋y 2－2y ＝0得x 2＋(y －1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别 为（ ）A ．k ＝12，b ＝－4B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4 解析 因为直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝k x与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4. 答案 A4．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为 ． 解析 显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m ＜3)的一条弦AB 的中点为P (0,1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为 .解析 由圆的方程得该圆圆心为C (－1,2)，则CP ⊥AB ，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.6．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 ．解析 由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝07．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，求实数a 的值.解析：圆C ∶x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.8．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2， 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎨⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.-------------------------------------------------------【能力提升】-----------------------------------------------------9．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析 选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.10．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析 根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 A11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1（0<θ<π2）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝ .解析 圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1>1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1.答案：412．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于 ．解析 依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y轴的交点A 的坐标为(0，3)．由2211x y y +==-⎧⎪⎨⎪⎩，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案 3413．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是 ．解析 法一 如图所示，|OP |＝|OA |sin ∠OP A＝2，易得P 为CD 中点，故P (2，2)． 法二 设P (x ，y )，由法一可得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．答案 (2，2)14．半径为5的圆C 过点A )4,2(-，且以)3,1(-M 为中点的弦长为34，求圆C 的方程.解析 设圆方程为22()()25x a y b -+-=，依题意，2222(2)(4)2525a b ⎧--+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩. 所以圆C 方程为：22(1)25x y -+=或22(2)(1)25x y -+-=. 15. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求下列各式的最大值与最小值：（1）y x； （2）y －x ； （3）(x +1)2＋y 2．解析 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y +x 可看作是直线y ＝-x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝-x＋b 与圆相切时，纵截距b取得=，解得b ＝2±6.所以y +x 的最大值为2＋6，最小值为2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与点(-1,0)距离的平方，由平面几何知识知，在点(-1,0)与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．3=，所以x 2＋y 2的最大值是(3＋3)2＝12＋63，x 2＋y 2的最小值是(3－3)2＝12－6 3.16．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；（2）求四边形QAMB 面积的最小值；（3）若|AB |＝423，求直线MQ 的方程． 解析 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
高考数学复习-直线与圆练习试题、参考答案
高考数学复习-直线与圆练习试题第Ⅰ卷 (选择题 共40分)一、选择题(10×4′＝40′)1.直线l 与直线y =1、x-y -7=0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1,-1)，则直线l 的斜率为( )A.23 B.32 C.-32D.-232.点P 在直线2x +y +10=0上，P A 、PB 与圆422=+y x 分别相切于A 、B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为 ( )A.24B.16C.8D.43.已知直线1l ：y =x ,2l ：ax -y =0，其中a 为实数，当这两直线的夹角θ∈(0,12π)时，a 的取值范围为 ( )A.(0，1)B.(33,3) C.(33,1)∪(1,3) D.(1,3) 4.设a 、b 、k 、p 分别表示同一直线的横截距、纵截距、斜率和原点到直线的距离，则有( ) A.)1(2222k p k a += B.k =abC.b a 11+=pD.a =-kb5.已知直线x +3y -7=0，kx-y -2=0和x 轴、y 轴围成四边形有外接圆，则实数k 等于 ( ) A.-3 B.3 C.-6 D.66.若圆222r y x =+(r >0)上恰有相异两点到直线4x -3y +25=0的距离等于1，则r 的取值范围是( ) A.［4，6］ B.[4,6） C.（4,6] D.(4，6)7.直线1l :0=++c by ax ,2l :0=++p ny mx ,则bnam=-1是1l ⊥2l 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.过圆422=+y x 外一点P(4，-1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为 ( ) A.4x -y -4=0 B.4x +y -4=0 C.4x +y +4=0 D.4x -y +4=09.倾斜角为60°，且过原点的直线被圆222)()(r b y a x =-+-(r >0)截得弦长恰好等于圆的半径，则a 、b 、r 满足的条件是 ( )A.)3(|3|3a b b a r ≠-=B.)3(|3|23a b b a r ≠-=C.)3(|3|3a b b a r ≠+=D.)3(|3|23a b b a r ≠-=10.直线y =kx +1与圆0922=--++y kx y x 的两个交点关于y 轴对称，则k 为 ( )A.-1B.0C.1D.任何实数第Ⅱ卷 (非选择题 共60分)二、填空题(4×3′＝12′)11.若点P (a ,b )与点Q (b +1,a -1)关于直线l 对称，则直线l 的方程是 .12.已知圆16)1()2(22=-+-y x 的一条直径通过直线x -2y -3=0被圆截弦的中点，则该直径所在直线的方程为 .13.关于x 的方程kx +1=21x -有且只有一个实根，则实数k 的取值范围是 . 14.经过点P (-2,4)，且以两圆0622=-+x y x 和422=+y x 的公共弦为一条弦的圆的方程是 .三、解答题(6×8′＝48′)15.若直线1l :x+y+a =0,2l :x+ay +1=0,3l :ax+y +1=0能围成三角形,求a 的取值范围.16.已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转α(0<α<2π)所得直线1l 的方程为3x -y -4=0，若继续绕点P 逆时针方向旋转α-π2，则得2l 的方程为x +2y +1=0，试求直线l 的方程.17.设P 是圆M ：1)5()5(22=-+-y x 上的动点，它关于A (9,0)的对称点为Q ，把P 绕原点依逆时针方向旋转90°到点S ，求|SQ |的最值.18.已知点A (3,0)，点P 在圆122=+y x 的上半圆周上，∠AOP 的平分线交P A 于Q ，求点Q 的轨迹方程.19.如图，已知⊙A :425)2(22=++y x ,⊙B :41)2(22=+-y x ,动圆P 与⊙A 、⊙B 都外切. (1)求动圆圆心P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；(2)若直线y=kx +1与(1)中的曲线有两个不同的交点1P 、2P ，求k 的取值范围； (3)若直线l 垂直平分(2)中的弦21P P ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围.20.已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使得l 被圆C 截得弦AB 为直径的圆过原点?若存在，求出l 的方程;若不存在，说明理由.参考答案1.C 方法1 设直线l 为y=kx+b ，分别与y =1，x-y -7=0联立解得P (-b k ,1)，Q (k b -+17，kb k -+17).由PQ 中点为(1，-1)，∴217=-++-k b b k ，且1＋kb k -+17＝-2，∴k =-32，故选C. 方法2 设P (a ,1)，Q (b +7,b )，因PQ 的中点为(1，-1)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=++121127b b a ，解得⎩⎨⎧-=-=32b a ，故P 为(-2,1),Q 为(4，-3)，∴3224131-=+--==PQ k k ,故选C. 2.C 如图，PAOB S ＝22||||2||2||||21232AO PO PA OA PA PAO -==⋅⋅=⋅∆=24||2-PO . 要求PAOB S 的最小值，只需求|PO |的最小值即可.5212|10002|||22min =+++⨯=PO ，∴8)(min =PAOB S ，故选C.3.C 如图，设直线y=ax 的倾斜角为α, 则α≠4π,∴|α-4π|<12π, ∴6π<α<3π,且α≠4π.a =tan α∈(33,1)∪(1,3).4.A 应用点到直线的距离公式,选A.5.B 如图，设围成四边形为OABC ，因OABC 有外接圆，且∠AOC ＝90°，故∠ABC ＝90°. ∴两条直线x +3y -7=0,kx -y -2=0互相垂直，(-31)·k =-1，即k =3，故选Ｂ.说明 运用圆的几何性质是解决圆的问题的有效途径.6.D 如图，设l :4x -3y +25=0，与l 平行且距离等于1的直线为4x -3y +b =0. ∴2015|25|=⇒=-b b 或b =30.第2题图解第3题图解第5题图解1l :4x -3y +20=0，2l :4x -3y +30=0.圆心(0，0)到1l 和2l 的距离分别为5201=d =4，5302=d =6. 故满足条件的r 取值范围(4，6).实际上，圆222r y x =+没有点到直线4x -3y +25=0的距离等于1， 则0<r <4，若圆上只有一点到直线4x -3y +25=0的距离等于1，则r =4，类似可求出圆上有三点、四点到直线的距离等于1 的r 的取值范围.7.A 由1-=bnam,可得1l ⊥2l ,∴选A. 8.A 方法1 设切点为A 、B ，则AB ⊥OP ， ∵410401-=---=OP k ，∴4=AB k .故排除B 、C. 又由图可知，AB 在y 轴的截距为负，故排除Ｄ，所以选A.方法2 设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )， 由AP ⊥OA 可得AP k ·OA k =-1， 即1411111-=⋅-+x y x y .∴04112121=+-+y x y x ，又42121=+y x , ∴04411=++-y x .同理可得04422=++-y x ，∴AB 直线为-4x +y +4=0，即4x -y -4=0.方法3 设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则切线P A 为411=+y y x x ，422=+y y x x . ∴4411=-y x ,4422=-y x ，∴A 、B 在直线4x -y -4=0上.另:此题可推广到一般结论，若P (0x ,0y )为圆222r y x =+ (r >0)外一点，过P 引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为200r y y x x =+.9.A 直线方程为x y 3=，则圆心(a ,b )到直线3x -y =0的距离为d =2|3|b a -，又因截得弦长恰好等于圆的半径，故d =23r ,∴|3a -b |=3r ，故选A. 10.B 方法1 将y =kx +1代入922=-++y kx y x 中有092)1(22=-++kx x k . 设交点为 A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，∵A 、B 关于y 轴对称，∴021=+x x ， ∴k =0.故选B.方法2 因直线与圆的两个交点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )关于y 轴对称 ∴021=+x x ,21y y =,故圆心在y 轴上，∴k =0，故选B.11.x-y -1=0 P 、Q 关于直线l 对称，故1k k PQ ⋅=-1且PQ 中点在l 上， ∴11111=---+-=-=aa bb k k PQ，又PQ 中点为(21++b a ,21-+a b )，第6题图解第8题图解∴l 的方程为y -21-+a b ＝x -21++b a ，即x-y -1=0.此题也可将a ,b 赋特殊值去求直线l .12.2x +y -3=0 由圆的几何意义知该直径与直线x -2y -3=0垂直.故该直径方程为y +1=-2(x -2),即2x +y -3=0.13.{k |k >1或k =0或k <-1} 画出函数y =kx +1、y =21x -的图象，两曲线相切及只有一个交点时如图所示.14.08622=-++x y x 设圆的方程为0)4(62222=-+λ+-+y x x y x 经过P (-2,4)， ∴0]44)2[()2(64)2(2222=-+-λ+--+-， ∴λ=-2，∴所求的圆的方程为08622=-++x y x .15.解 由1l 、2l 相交，需1·a -1·1≠0,得a ≠1，此时解方程组⎩⎨⎧=++=++010ay x a y x ,可解得⎩⎨⎧=-=11y x 即1l 、2l 的交点为(-1-a ,1),由1l 、3l 相交,需1·1-1·a ≠0,∴a ≠1,由2l ,3l 相交，需1·1-a ·a ≠0,∴a ≠±1,又(-1-a ,1)∉3l , ∴a ·(-1-a )+1+1≠0,得a ≠1且a ≠-2,综上所述，a ∈R 且a ≠±1且a ≠-2,能保证三交点(-1-a ,1),(1,-1-a )、(-1-a ,-1+a +2a )互不重合，所以所求a 的范围为a ∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).16.解 由已知条件知P 为直线3x -y -4=0和直线x +2y +1=0的交点,联立两直线方程得⎩⎨⎧=++=--012043y x y x ，∴⎩⎨⎧-==11y x .∴P 点为(1，-1). 又l 与2l 垂直，故l 的方程为y +1=2(x -1)，即l 的方程为2x -y -3=0. 17.解 设P (x ,y ),则Q （18-x ,-y ）,记P 点对应的复数为x +y i, 则S 点对应的复数为:（x +y i ）·i=-y +x i,即S (-y ,x ),∴|SQ |=xy y x xy y x y x x y y x 22363618)()18(2222222+++-+-++=--++- =2222)9()9(2818118182++-⋅=+++-+⋅y x y x y x其中22)9()9(++-y x 可以看作是点P 到定点B (9,-9)的距离，其最大值为|MB |+r =253+1，最小值为|MB |-r =253-1,则|SQ |的最大值为2106+2,|SQ |的最小值为2106-2.第13题图解18.解 方法1 如图，设P (0x ,0y )(0y >0)，Q (x ,y ). ∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴31||||==OA OP QA PQ ， ∴Q 分P A 的比为31.∴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=000043311031)1(43311313y y y x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y y x x 3413400.又因12020=+y x ，且0y >0，∴1916)43(91622=+-y x . ∴Q 的轨迹方程为169)43(22=+-y x (y >0). 方法2 设∠AOP =α，α∈(0，π)，则P (cos α，sin α)，∠AOQ =2α， 则OQ 直线方程为y =x ·tan2α=kx ① 3cos sin -αα=PA k ，∴直线P A 方程为y =3cos sin -αα(x -3) ②由Q 满足①②且k =tan2α. 由②得y =12)3()3(311122222+--=-⋅-+-+k x k x k k k k.消去k 有y =12)3(22+--x y x x y，∴02322=-+x y x ,由图知y >0. 故所求Q 点轨迹方程为02322=-+x y x (y >0). 说明 上述两种方程为求轨迹的基本方法、相关点及参数法. 19.解 (1)如图，设⊙P 的圆心P (x ,y )，半径为R ， 由题设，有|P A |=R +25,|PB |=R +21,∴|P A |-|PB |=2. ∴⊙P 的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在x 轴上，且焦距长 为4的双曲线的右支，其方程为1322=-y x (x >0).第18题图解第19题图解(2)由方程组⎪⎩⎪⎨⎧>=-+=)0(13122x y x kx y ，有042)3(22=---kx x k (x >0). ①因为直线与双曲线有两个不同交点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠->⋅>+>∆030022121k x x x x .从而，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-<3034222k k kk ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<<<-<<<-3330322k k k k k 或或. ∴-2<k <-3. (3)设21P P 的中点为M (M x 、M y )，则M x =22132k kx x -=+. 又M 在y=kx +1上，∴M y =k M x +1=233k-.∴M (23k k-,233k -).∴21P P 的垂直平分线l 的方程为:y-M y =-k 1(x -M x ),即y -233k -=-k 1(x -23kk -). 令x =0,得截距b =234k-,k ∈(-2,-3),又-2<k <-3,∴-1<3-2k <0.∴b <-4.20.解 假设存在这样的直线，设直线l 方程为y=x+b .方法1 将y=x+b 代入圆的方程有0222)1(22=+-+++b b x b x .由题设知OA ⊥OB ,设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，∴1x 2x ＋1y 2y ＝0.又1y 2y ＝(1x ＋b )(2x +b )=1x 2x ＋b (1x ＋2x )＋2b ,∴21x 2x ＋b (1x ＋2x )＋2b ＝0. 又∵1x +2x =-(b +1)，1x 2x ＝2b -2+22b ,∴2(22b +2b -2)-b (b +1)+ 2b =0.∴b =1或b =-4.此时Δ＝0)22(4)1(2>--+b b ， ∴存在这样的直线l :y=x +1或y=x -4满足题设.方法2 设过圆C 与l 的交点的圆系D 为.0)(44222=+-λ+-+-+b y x y x y x 即04)4()2(22=-λ+λ-+-λ++b y x y x . 圆心为(-22-λ,-24λ-)，在直线y=x+b 上，∴-24λ-=-22-λ+b ，即λ=3+b . ①又圆D 过原点，∴b λ-4=0. ② 由①②得，0432=-+b b ，即b =1或b =-4.此时圆D 的方程存在.故存在直线y=x +1或y=x -4.。
高考数学专题重组卷第1部分专题15直线与圆的方程 含解析 (2)
专题十五 直线与圆的方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分,考试时间60分钟．第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(2019·广东七校联考)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－1,2)C ．(－∞,0)D ．(－∞,－2)∪(1,＋∞)答案 A解析 解法一：∵过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,∴直线的斜率小于0,即2a －a －13－1＋a <0,即a －12＋a<0,解得－2<a<1,故选A.解法二：当a ＝0时,P(1,1),Q(3,0),因为k PQ ＝0－13－1＝－12<0,此时过点P(1,1),Q(3,0)的直线的倾斜角为钝角,排除C,D ；当a ＝1时,P(0,2),Q(3,2),因为k PQ ＝0,不符合题意,排除B,故选A.2．(2019·河南天一大联考)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x －1)2＋y 2＝5 D ．x 2＋(y －1)2＝5答案 A解析 由题意,得圆心在直线2x －y －1＝0上,将点(a,1)代入可得a ＝1,即圆心为(1,1),半径为r ＝|2－1＋4|5＝5,∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5,故选A. 3．(2019·大庆质检)已知⊙O 1：(x ＋3)2＋y 2＝4,⊙O 2：x 2＋(y －4)2＝r 2(r>0),则“r＝3”是“⊙O 1与⊙O 2相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知,⊙O 1的圆心为O 1(－3,0),半径为2,⊙O 2的圆心为O 2(0,4),半径为r.若⊙O 1与⊙O 2相切,则|O 1O 2|＝r ＋2或|O 1O 2|＝|r －2|,解得r ＝3或7,所以“r＝3”是“⊙O 1与⊙O 2相切”的充分不必要条件．故选A.4．(2019·景德镇二模)一条光线从点A(－2,－3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析 点A(－2,－3)关于y 轴的对称点为A(2,－3),故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k(x －2),即kx －y －2k －3＝0.∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,∴圆心(－3,2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1,化简得24k 2＋50k ＋24＝0,解得k ＝－43或－34.故选D. 5．(2019·凌源联考)已知直线l ：x ＋y －1＝0截圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r>0)所得的弦长为14,点M,N 在圆Ω上,且直线l′：(1＋2m)x ＋(m －1)y －3m ＝0过定点P,若PM ⊥PN,则|MN|的取值范围为( )A ．[2－2,2＋3]B ．[2－2,2＋2]C ．[6－2,6＋3]D ．[6－2,6＋2]答案 D 解析 依题意得2r 2－12＝14,解得r ＝2.因为直线l′：(1＋2m)x ＋(m －1)y －3m ＝0过定点P,所以P(1,1),设MN 的中点为Q(x,y),则OM 2＝OQ 2＋MQ 2＝OQ 2＋PQ 2,即4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2,化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32,所以点Q 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心,62为半径的圆,所以|PQ|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22,|MN|的取值范围为[6－2,6＋2]．故选D.6．(2019·济宁市高三期末)圆C 1：x 2＋(y －1)2＝1与圆C 2：(x ＋4)2＋(y －1)2＝4的公切线的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A 解析 ∵|C 1C 2|＝0＋42＋1－12＝4,r 1＝1,r 2＝2,r 1＋r 2＝1＋2＝3,∴|C 1C 2|＞r 1＋r 2,所以圆C 1与圆C 2相离,有4条公切线．故选A.7．(2019·广州市三校联考)已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点,直线m 是以P 为中点的弦所在直线,直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2,那么( )A ．m ∥l,且l 与圆相交B ．m ⊥l,且l 与圆相切C ．m ∥l,且l 与圆相离D ．m ⊥l,且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P(a,b)(ab≠0)在圆内,∴a 2＋b 2<r 2,∵k OP ＝b a ,直线OP ⊥直线m,∴k m ＝－ab ,∵直线l 的斜率k l ＝－ab ＝k m ,∴m ∥l,∵圆心O 到直线l 的距离d ＝r2a 2＋b 2>r2r ＝r, ∴l 与圆相离．故选C.8．(2019·惠州市高三第三次调研)已知直线l 过点P(－2,0),当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时,其斜率k 的取值范围为( )A ．(－22,22) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 C ．(－2,2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，18 答案 B解析 直线l 为kx －y ＋2k ＝0,又直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点,故|k ＋2k|k 2＋1<1,得－24<k<24.故选B.9．(2019·宝鸡中学高三一模)平面直角坐标系xOy 中,动点P 到圆(x －2)2＋y 2＝1上的点的最小距离与其到直线x ＝－1的距离相等,则P 点的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．x 2＝8y C ．y 2＝4x D ．x 2＝4y 答案 A解析 设动点P(x,y),∵动点P 到直线x ＝－1的距离等于它到圆：(x －2)2＋y 2＝1的点的最小距离, ∴|x ＋1|＝x －22＋y －02－1,化简得6x －2＋2|x ＋1|＝y 2, 当x≥－1时,y 2＝8x,当x<－1时,y 2＝4x －4<－8,不符合题意． ∴点P 的轨迹方程为y 2＝8x.故选A.10．(2019·广州市高三调研)若点P(1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点,则弦MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0 答案 D解析 圆方程为(x －3)2＋y 2＝9,圆心O(3,0), 因为P 为弦MN 的中点,所以OP ⊥MN, 又k OP ＝1－01－3＝－12,所以k MN ＝2,所以直线MN 的方程为y －1＝2(x －1),化简, 得2x －y －1＝0.故选D.11．(2019·陕西四校联考)直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 答案 B解析 将圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24,∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2,半径r ＝a 2＋b 22,∵圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝a 2＋b22a 2＋b 2＝a 2＋b22＝r,∴圆与直线的位置关系是相切．故选B. 12．(2019·黄冈市高三元月调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称,则k 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1 D．0 答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1.则圆心坐标为(－k 2,－1),∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称,∴－k 2＝－1,得k ＝±1.当k ＝1时,k 4－4k ＋1<0,不符合题意,∴k ＝－1.故选A.第Ⅱ卷 (非选择题,共40分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．(2019·汉中市高三第一次检测)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0,若直线y ＝kx －2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则实数k 的最大值是________．答案 43解析 圆C ：x 2＋y 2－8x ＋15＝0化为标准式为(x －4)2＋y 2＝1.问题“若直线y ＝kx －2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点”可转化为“直线y ＝kx －2到点(4,0)的距离小于等于2”,则根据点到直线距离公式有d ＝|4k －2|1＋k2≤2,解得0≤k≤43,则k 的最大值为43.14．(2019·安徽淮北、宿迁一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1,定点M(3,0),过点M 的直线l 与圆O 交于P,Q 两点,P,Q 两点均在x 轴的上方,如图,若OP 平分∠MOQ,则直线l 的方程为________．答案 y ＝－57(x －3) 解析 设∠MOQ ＝2θ,由S △MOQ ＝S △POQ ＋S △POM 得32sin2θ＝12sinθ＋32sinθ,得cosθ＝23,进而得直线的斜率k ＝－57,故直线方程为y ＝－57(x －3)． 15．(2019·浙江高考)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A(－2,－1),则m ＝________,r ＝________.答案 －25解析 根据题意画出图形,可知A(－2,－1),C(0,m),B(0,3),则AB ＝－2－02＋－1－32＝25, AC ＝－2－02＋－1－m2＝4＋m ＋12,BC ＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A, ∴∠BAC ＝90°,∴AB 2＋AC 2＝BC 2. 即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2, 解得m ＝－2.因此r ＝AC ＝4＋－2＋12＝ 5.16．(2019·河北联考)在平面直角坐标系xOy 中,已知A(0,a),B(3,a ＋4),若圆x 2＋y 2＝9上有且仅有四个不同的点C,使得△ABC 的面积为5,则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，53 解析 如图,AB 的斜率k ＝a ＋4－a 3－0＝43,|AB|＝3－02＋a ＋4－a2＝32＋42＝5,设△ABC 的高为h,∵△ABC 的面积为5, ∴S ＝12|AB|h ＝12×5h＝5,即h ＝2,直线AB 的方程为y －a ＝43x,即4x －3y ＋3a ＝0.若圆x 2＋y 2＝9上有且仅有四个不同的点C,则圆心O 到直线4x －3y ＋3a ＝0的距离d ＝|3a|42＋－32＝|3a|5,则应该满足d ＜R －h ＝3－2＝1, 即|3a|5<1,得|3a|＜5,得－53<a<53. 三、解答题(本大题共2小题,共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·绵阳二模)已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0.(1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．解 (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3),半径r 1＝11,圆C 2的圆心C 2(5,6),半径r 2＝4,两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5,r 1＋r 2＝11＋4,|r 1－r 2|＝4－11,∴|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2,∴圆C 1和圆C 2相交．(2)圆C 1和圆C 2的方程左、右分别相减,得4x ＋3y －23＝0,∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3,故公共弦长为216－9＝27.18．(本小题满分10分)(2019·湖北稳派教育联考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,且y 轴和直线x －3y ＋2＝0均与圆C 相切．(1)求圆C 的标准方程；(2)设点P(0,1),若直线y ＝x ＋m 与圆C 相交于M,N 两点,且∠MPN 为锐角,求实数m 的取值范围．解 (1)设圆C 的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0),由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＝0，|a|＝r ，|a －3b ＋2|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，r ＝2，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x －22＋y 2＝4，消去y 整理,得2x 2＋2(m －2)x ＋m 2＝0.∵直线y ＝x ＋m 与圆C 相交于M,N 两点, ∴Δ＝4(m －2)2－8m 2>0, 解得－2－22<m<－2＋22, 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝2－m,x 1x 2＝m 22.∴PM →＝(x 1,y 1－1),PN →＝(x 2,y 2－1),依题意,得PM →·PN →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(x 1＋m －1)(x 2＋m －1)＝2x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2>0,∴m 2＋(m －1)(2－m)＋(m －1)2>0, 整理,得m 2＋m －1>0,解得m<－1－52或m>－1＋52.又－2－22<m<－2＋22,∴－2－22<m<－1－52或－1＋52<m<－2＋2 2.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－22，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，－2＋22.。
高三专题复习直线和圆知识点和经典例题(附含答案解析)
高三专题复习直线和圆知识点和经典例题(附含(Han)答案解析)【知识要(Yao)点】圆的(De)定义：平面内与一定点距离(Li)等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标(Biao)准方程形如：这个方程叫做圆的标准方程。
说明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定a,b,r ，可以根据3个条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :。
问题：形如022=++++F Ey Dx y x 的方程的曲线是不是圆？ 将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：（1）当时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以为圆心，以为半径的圆。
（2）当时，方程022=++++F Ey Dx y x 只有实数解，解为,所以表示一个点)2,2(ED --.（3）当时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当0422>-+F E D 时，方程022=++++F Ey Dx y x 称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（i ）的系数相同，不等于零；（ii ）没有xy 这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线； （3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式(Shi)，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利(Li)用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作(Zuo)判断(Duan): 当(Dang)d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三年实验班数学（文）科“直线与圆”专题训练参考答案 （2014.12）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题
4分，共16分） 13. -2 14.
1
2
1 16. )2,2( 三、解答题：（第22题14分，其他每题12分，共74分） 17. 解：∵圆C 的方程可化为：()2
241x y -+=，
∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。
∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -， 以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；
∴存在0
x R ∈，使得||11AC ≤+
成立，即min ||2AC ≤。
∵min |
|AC 即为点C 到直线2y kx =-，
2
≤，解得403
k ≤≤。
∴k
的最大值是
4
3。
18. （Ⅰ）解法1. 圆O ：22
4x y +=和圆C ：()2
226x y a a ++=+的圆心距OC a =．
设公共弦为AB ，其中点为D ，则AD =
1OD CD ===，，
因为OC OD CD =±，
有1a =或1a =，解得1a =或1a =-， 因为0a >，所以1a =．
解法2．两圆的公共弦所在所谓直线方程为
()()2
2222640x
y ay x y ++--+-=,即1ay =,
由解法
1,CD =,则圆心C 到直线2ay =
的距离为CD =,
于是
1
a a
+=解得21a =,因为0a >，所以1a =． （Ⅱ）解：依题意，得0mn ≠。
直线与两坐标轴的交点坐标为11
(,0),(0,)A B m n
，直线与圆相交所得的弦长为2，
圆心到直线的距离d 满足31412
22=-=-=r d ，
所以3=d ，即圆心到直线的距离312
2
=+-=
n
m d ，
所以3
12
2=
+n m 。
三角形的面积为mn
n m S 21
1121=
⋅=
， 又31212
2=+≥=
n
m mn S
，当且仅当m n ==时取等号， 所以最小值为3。
19. 解：
（Ⅰ）因为
3
c a =
，且c =
1a b === 所以椭圆C 的方程为2
213
x y +=,由题意知(0,)(11)p t t -<< 由22
13
y t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩
得x =所以圆P 的半径为||t
=
,
解得2
t =±
所以点P 的坐标是（0，2
±
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆P 的方程222()3(1)x y t t +-=-。
因为点(,)Q x y 在圆P 上。
所以y t t =±
设cos ,(0,)t θθπ=∈，则cos 2sin()6
t π
θθθ+=+
当3
π
θ=
，即1
2
t =
，且0x =，y 取最大值2. 20. （Ⅰ）解：设C 的圆心的坐标为(,)x y ，由题设条件知
|4,=
化简得L 的方程为2
2 1.
4
x y -= （Ⅱ）解：过M ，F 的直线l 方程为
2()
y x =--
，将其代入L 的方程得
215840.x -+=
解得
1212((515551515
x x l L T T =
=-故与交点为 因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故11||||||2,MT FT MF -==
22|||||| 2.MT FT MF -<=，若P 不在直线MF 上，在MFP ∆中有
|||||| 2.MP FP MF -<=
故当且仅当P 与1T 重合即P 时，||||MP FP -取得最大值2。
21. 解：（Ⅰ）由题意，可行域是以）
（及点2,0)0,2(),0,2(21M A A -为顶点的三角形
因为M A M A k k M A M A 21,121⊥-=⋅所以，∴ M A A 21∆为直角三角形 ∴外接圆1C 是以原点O 为圆心，线段21A A ＝22为直径的圆 故其方程为222=+y x
设椭圆的方程为122
22=+b
y a x ∵222=a ∴2=a
又2
2
=
e ∴ 1=c ，可得1=b 故椭圆2C 的方程为12
22
=+y x
所以直线OQ 的方程为x y x y 001--
=，，因此点Q 的坐标为（2, )2
20
0y x --， ∵0
00000002
000000)2()2()2(2222
2y x
x y x x x y y x x y y x k PQ -=--=-+-=----
=
∴当000==PQ k x 时，，PQ OP ⊥
∴当0
00x y k x OP =
≠时，， ∴ 1-=⋅PQ O P k k PQ OP ⊥
综上，当20±≠x 时，PQ OP ⊥，故直线PQ 始终与圆1C 相切。
22. 解：（Ⅰ）依题意N (k,－l )，∵klmn ≠0及MP 、NP 与x 轴有交点知：
M 、P 、N 为不同点，直线PM 的方程为()n l
y x m n m k
-=-+-， 则E nk ml x n l -=
-，同理可得F nk ml
x n l
+=+. （Ⅱ）∵M,P 在圆C ： x 2+y 2=R 2上,
222222
m R n k R l
⎧=-∴⎨=-⎩,222222222222222()()E F n k m l n R l R n l x x R n l n l ----⋅===--(定值). ∴E F x x ⋅的值是与点M 、N 、P 位置无关.
同理∵M,P 在椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>上,
2222
222
222a n m a b
a l k a
b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩
, 22222
2
2
222222222222
()()E F a l a n n a a l
n k m l b b x x a n l n l
----⋅===--(定值). ∴E F x x ⋅的值是与点M 、N 、P 位置无关. （Ⅲ）一个探究结论是：0E F x x +=． 证明如下：依题意, E nk ml x n l -=
-,F nk ml
x n l
+=+. ∵M,P 在抛物线C ：y 2=2px (p >0)上,∴n 2=2pm,l 2=2pk.
222222
2()2(22)
0E F n k ml pmk pmk x x n l n l
--+===--. ∴E F x x +为定值。