高考数学-基本不等式(知识点归纳)汇编
高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二 利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高考不等式知识点总结
高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。
下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。
当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。
2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。
3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。
4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。
5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。
二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。
在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。
2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。
求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。
三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。
可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。
2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。
四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。
2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。
将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
高中基本不等式知识点归纳总结
高中基本不等式知识点归纳总结一、基本概念：不等式是数学中的一种关系，表示两个数之间的大小关系。
高中基本不等式主要包括一元一次不等式、一元二次不等式和简单的多元不等式。
二、一元一次不等式：一元一次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。
解一元一次不等式的关键是确定未知数的取值范围。
常用的解法有图像法、代入法和分段讨论法。
三、一元二次不等式：一元二次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式。
解一元二次不等式的关键是找到不等式的根，并确定根的取值范围。
常用的解法有图像法、配方法和开口方向法。
四、基本性质：1. 对称性：如果a>b，则-b>-a。
2. 传递性：如果a>b，并且b>c，则a>c。
3. 加减性：如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
4. 倍数性：如果a>b，并且c>0，则ac>bc；如果a>b，并且c<0，则ac<bc。
五、常用不等式：1. 平均值不等式：对于任意非负实数a和b，有(a+b)/2 >= √(ab)。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)| <= √(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b| <= |a|+|b|。
六、应用：1. 解实际问题：不等式在解决实际问题中起着重要作用，例如在优化问题、最值问题和约束问题中常常会用到不等式。
2. 推导其他不等式：基本不等式可以推导出其他不等式，例如根据平均值不等式可以推导出均值不等式和加权均值不等式。
七、注意事项：1. 在解不等式时，需要注意不等号的方向，切勿将不等号颠倒。
2. 在使用不等式进行推导时，需要保持不等式的严格性，即不等号不能变为等号，否则可能导致错误的结论。
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳不等式是数学中重要的概念之一，其在代数中应用广泛。
基本的不等式知识点包括一元一次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式以及高次不等式等内容。
本文将对这些基本不等式知识点进行归纳总结。
一、一元一次不等式一元一次不等式即只含有一个变量的一次方程，形如ax+b>0或ax+b<0，其中a、b均为已知常数，x为未知变量。
解一元一次不等式的关键是将其转化为等价的简单形式。
具体解法如下：1.当a>0时，将不等式转化为x>-b/a或x<-b/a，即可得到不等式的解集。
令x=-b/a，即x=b/a为关键点，将实数轴分成两个半区间，选取其中一个半区间，即可确定不等式的解集。
2.当a<0时，将不等式转化为x<-b/a或x>-b/a，即可得到不等式的解集。
同样令x=-b/a，即x=b/a为关键点，将实数轴分成两个半区间，选取其中一个半区间，即可确定不等式的解集。
二、二元一次不等式二元一次不等式即含有两个变量的一次方程，形如ax+by>c或ax+by<c，其中a、b、c均为已知常数，x、y为未知变量。
解二元一次不等式的关键是确定不等式的解集。
具体解法如下：1. 将不等式转化为等价的简单形式，即将不等式化为一个以上的不等式。
例如，对于ax+by>c，可以根据a、b的正负情况，分别得到x>c/a、x<c/a、y>c/b和y<c/b四个不等式。
2.根据得到的不等式，确定不等式的解集。
根据不等式的关系，将x、y的解集分别标在坐标平面上，其中各个解集的交集即为该二元一次不等式的解集。
三、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值的不等式，形如，ax+b，>c或，ax+b，<c，其中a、b、c均为已知常数，x为未知变量。
解绝对值不等式的关键是确定绝对值不等式的情况，然后将其转化为简单的不等式。
具体解法如下：1. 当a>0时，原绝对值不等式可以转化为ax+b>c或ax+b<c的形式。
基本不等式知识点归纳
2.基本不等式知识点归纳5性，易知x=2时畑I［自测•牛刀小试已知m >0, n >0,且mn =81，贝U m +n 的最小值为（ ）解析：选 A 因为 m >0, n >0,所以 m u n >2mn = ^81 = 18.1若函数f （x ）=x+ ------ （x>2）在x=a 处取最小值，则 a =（X —21 .基本不等式丿乔 < 葺匕2（1）基本不等式成立的条件： a >0,b >0. ⑵ 等号成立的条件：当且仅当 a =b 时取等号. ［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义? 提示：①当心时，宁,寸莎取等号，即a 心苇^=届②仅当a =b 时，丈巴取等号，即 HP a =b.2 22.几个重要的不等式22b aa 2 +b 2>2ab(a,b 壬 R); —+—>2(abA 0). a b 2 a +b 2 a + b 2 a +b ab <(——)2(a,b-R);(——)2<2 2 22 一 ("R)3.算术平均数与几何平均数设a >0,b >0,则a,b 的算术平均数为 ，几何平均数为 Jab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术2平均数不小于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知X :>0,y >0,则 ⑴ 如果积xy 是定值P,那么当且仅当 x=y 时，x + y 有最小值是 2/P. （简记：积定和最小）.2⑵如果和x+y 是定值P,,那么当且仅当x = y 时，xy 有最大值是—.（简记：和定积最大）.4［探究］2.当利用基本不等式求最大（小）值时，等号取不到时，如何处理?提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解.例如,y=x+」在x>2时的最小值，利用单调X1. A. 18 B. 36C. 81 D . 243最小值是1 1[例 1] 已知 a >0,b 》0, a +b =1,求证：（1 +丄）（1+丄）>9.a b-規律］利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用 基本不等式条件的可通过“变形”来转换， 常见的变形技巧有： 拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等.II 闢代UH 练1.已知 a >0, b >0, C >0,求证：些 +ca+ 亚 >a + b+c. a b cA. D. 43.xz已知 X A 0, y ；>0, z >0, X — y + 2z=0,则弋的（A.1 1最小值为8 B .最大值为8C.最小值为8D-最大值为84.1函数y =x +—的值域为x5.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x) = 2的图象交于P 、Q 两点，则线段 PQ 长的x保持例题条件不变，证明:利用基本不等式证明不等式b + 2 W2.■^1(1)将该厂家20XX 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数;利用基本不等式求最值[例2] (1)(2012 •浙江高考)若x>0,y>0,满足x+3y=5xy,则3x + 4y 的最小值是( )应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件:(1) 一正二定三相等.“一正”就是各项必须为正数;(2) “二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积 的因式的和转化成定值;(3) “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求 的最值，这也是最容易发生错误的地方.4 d1. (1)函数y = aJ(a :>0,a H 1)的图象过定点A,若点A 在直线mx + ny —1 = 0(m, n >0)上，求一+ —的最小值;m n⑵ 若正数a,b 满足ab = a +b +3,求ab 的取值范围.［例3］为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在20XX 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量 (即该k厂的年产量)x万件与年促销费用gO)万元满足x=4-齐(k为常数)•如果不搞促销活动，则该产品的年销 量只能是1万件.已知20XX 年生产该产品的固定投入为 6万元，每生产1万件该产品需要再投入 12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分 )•24 A.亏B.28C . 5 D • 62(2)已知a 》0,b 》0, a+—=1,则a J 1 + b2的最大值为利用基本不等式解决实际问题⑵该厂家20XX 年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大?［方法■规律］解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;⑵根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值;4有些实际问题中， 要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值II 國代UII 练3.某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并1 提高定价到x 元.公司拟投入一(X 2-600)万元作为技改费用，投入 50万元作为固定宣传费用，投入6a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.1个技巧一一公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2+ b 2>2ab 逆用就是ab <a+b(a A0,b >0),逆用就是ab <(a +b )2(a,b >0)等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条2 2件等.2个变形一一基本不等式的变形⑴晋)2兰于曲a,*当且仅当a 讪取-3在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围 内求.1-X 万元作为 5浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量 ［通法归纳领悟］1.本题具有以下创新点(1) 本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题.(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力. 2.解决本题的关键有以下几点正确理解a,b 的几何意义，并能正确用 A 、B 、C 、D 的坐标表示;8能用拼凑法将m +(m A 0)化成利用基本不等式求最值的形式.2m +1［变式训练］21•已知X A0, y :>0, x,a,b, y 成等差数列x, c,d, y 成等比数列，则(a b)的最小值是( )cd一 112.若直线ax —by +2 =0(a :>0,b 》0),被圆x 2+y 2+ 2x-4y+1=0截得的弦长为4,则一+—的最小值为()a bA. 4B . #2c. 3+ 72D . 2 + 2^/23.若X >0, y >0,且勺G + j y 兰a J x + y 恒成立，则a 的最小值是⑵君芦.竽二丁孔吕(a>0，b >0,当且仅当a = b 时取“「)a b3个关注一一利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件.(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致创新交汇一一基本不等式在其他数学知识中的应用1.考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题.2.解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件.8［典例］(2012 •湖南高考)已知两条直线l 1:y=m 和l 2：y =2m+1(m 〉。
高考数学基本不等式知识点汇总与解题方法
基本不等式【高考真题】1．（2021·全国乙卷文数）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意； 对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 244sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，242222442x x x x y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．2．（2022·新高考全国II 卷）（多选）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ） A ．1x y +≤ B ．2x y +≥- C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos ,sin 22y x y θθ-==，所以12cos sin ,sin 33x y θθθ=+=，因此222252111cos sin sin cos 1sin 2cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++++ 42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33,33x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误． 故选：BC ．3．（2020·新高考全国I/II 卷）(多选)已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b -> C ．22log log 2a b +≥- D 2a b【答案】ABD【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为()21212a bab a b +=+≤++=，所以2a b +≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.【基础知识】1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2 (a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值 用基本不等式ab ≤a ＋b2求最值应注意：一正二定三相等. (1)a ，b 是正数；(2)①如果ab 等于定值P ，那么当a ＝b 时，和a ＋b 有最小值2P ； ②如果a ＋b 等于定值S ，那么当a ＝b 时，积ab 有最大值14S 2.(3)讨论等号成立的条件是否满足．【题型方法】一、基本不等式比较大小1．已知a ，b >1且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）A abB ．2a b +C ．22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．222a b +【答案】D【详解】因为a ，b >1，a ≠b ，由基本不等式得：12a bab +，由不等式性质得：2()22a b a b ++>， 又222222222()()022244a b a b a b a ab b a b +++++--=-=>， 222()222a b a b a b ab +++<<<. 故选：D2．(多选)当a ，R b ∈时，下列不等关系不成立的是（ ）A ．2a bab +≥ B ．2a b ab -≥ C ．222a b ab +≥ D ．222a b ab -≥【答案】ABD 【详解】 A ：当,0a b <时，2a bab +≥ B ：当2,1a b ==时，a b ab -≥C ：由重要不等式知：222a b ab +≥当且仅当a b =时等号成立；D ：当1,2a b ==时，222a b ab -≥不成立. 故选：ABD3．（多选）a 、b 是正实数，以下不等式 2abab a b>+；①a >|a －b |－b ；①a 2＋b 2>4ab －3b 2；①22ab ab+>恒成立的 序号为（ ） A ．① B ．① C ．① D ．①【答案】BD 【详解】①22ab a ab a b b ≤+2abab a b≥+当且仅当a b =时等号成立，①不正确； ①①a 、b 是正实数，则a b a b -<+，①a b b a b b a --<+-<，①正确；①()()22224320a b ab b a b +--=-≥，即22243a b ab b +≥-，当且仅当2a b =时等号成立，①不正确；①222222ab ab ab ab+≥⨯>，当且仅当2ab ab =时等号成立，即22ab ab +>，①正确； 故选：BD ．二、基本不等式求和的最小值1．已知x <3，则f (x )＝4x －3＋x 的最大值为 .【详解】∵x <3，∴x －3<0. ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号.∴f (x )的最大值为－1.2．已知0a >，0b >，1ab =，则226a b a b +++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．22D ．2【答案】B【详解】因为0a >，0b >，1ab =．所以()()2222264644a b ab a b a b a b a b a b a b a b+-+++++===++≥++++，当且仅当1a b ==时，等号成立． 故选：B.3．已知01a <<，则141a a+-的最小值是______． 【答案】9【详解】因为01a <<，则14144(1)()[(1)]5111a a a a a a a a a a -+=+-+=++--- 4(1)55491a a a a -≥+⨯=+=-， 当且仅当4(1)1a a a a -=-时，即23a =时，等号成立， 所以141a a+-的最小值是9. 故答案为：9.三、基本不等式求积的最大值1．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．14【答案】A【详解】∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0， lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2， 即x ＝y ＝100时取等号.2．设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；【详解】∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32. ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.3．已知0x >，0y >，且满足134x y+=，求xy 的最大值【详解】因为0,0x y >>，且123412x y xy+=≥3xy ≤，当且仅当34x y =时，即3,22x y ==时取得最大值3．四、二次与二次（或一次）的商式的最值1．函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-1【答案】D【详解】2233(1)(1)111x x x x y x x ++++++==++ 1[(1)]1(1)x x =--+++-+1[(1)]()111x x ≤--+-=-+， 当且仅当1111x x +==-+,即2x =-等号成立. 故选：D.2．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________.【答案】9【详解】∵x >－1，∴x ＋1>0， 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9.3．已知x >y >0，xy ＝1，则x 2＋y 2x －y 的最小值为________.【答案】22【详解】∵xy ＝1，x >y >0，∴x －y >0， ∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝2 2.当且仅当⎩⎨⎧x －y ＝2x －yxy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22，y ＝6－22时取等号，∴x 2＋y 2x －y的最小值为2 2.五、基本不等式“1”的妙用求最值1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．10 【答案】A【详解】x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝xy ，即x ＝4y ＝12时，等号成立． 2．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14【答案】B【详解】由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2 b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立.3．已知非负实数x ，y 满足111322x y y +=++，则x y +的最小值为______________. 【答案】23【详解】非负实数x ，y 满足111322x y y +=++，有30,220x y y +>+>， 则121112[(3)(22)]()[(3)(22)]3333223x y y x y y y y x x y +++-=++++=-+++ 1223212232(2)23322333223y x y y x y x y y x y y ++++=++-≥⋅⋅=++++，当且仅当223322y x y x y y ++=++，即322x y y +=+时取“=”， 由322x y y +=+，111322x y y +=++得2,03x y ==， 所以当2,03x y ==时，x y +的最小值为23.故答案为：23六、条件等式求最值1．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在 【答案】B【详解】∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立.2．设220,0,4x y x y x y >>+-=，则11x y+的最小值等于（ ）A ．2B ．4C ．12D ．14【答案】B【详解】因为224x y x y +-=，可得224x y x y +=+且0,0x y >>，所以221144424x y x y xy xy x y xy xy xy xy+++===+≥⋅，当且仅当4xy xy=时，即2xy =等号成立， 所以11x y+的最小值为4.故选：B.3．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1C ．94 D ．3【答案】B【详解】由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2， 所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.【高考必刷】一、单选题1．下列不等关系中正确的是（ ）A ．5ln 2ln 32ln 2+>B ．11ln 3ln 232<+<C ．ln 2ln31⋅>D ．ln 33ln 22> 【答案】D【分析】对A ，2524ln 2ln 3ln ln 0425+-=<； 对B ，ln3ln 2ln61+=>；对C ，由均值不等式得()22ln 2ln 3ln 2ln 3ln 612+⎛⎫⋅<=< ⎪⎝⎭；对D ，ln 33ln 9ln8ln 22>⇔> 【详解】对A ，252524ln 2ln 3lnln 6ln ln ln104425+-=-=<=，故5ln 2ln 32ln 2+<，A 错； 对B ， ln3ln 2ln61+=>，B 错；对C ，0ln 2ln3<<，故()()222ln 2ln 3ln 2ln 3ln 6ln e 12+⎛⎫⋅<=<= ⎪⎝⎭，C 错；对D ，0ln 2ln3<<，ln 332ln 33ln 2ln 9ln8ln 22>⇔>⇔>，D 对； 故选：D2．当0x <时，函数4y x x=+（ ） A ．有最大值4- B ．有最小值4- C ．有最大值4 D ．有最小值4【答案】A【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值. 【详解】0x <，0x ∴->，444()2()4y x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=+=--+-≤--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2x =-时等号成立， 故选：A3．已知1a >，1b >，且ln 4ln 2a b +=，则4log lo e e g a b +的最小值为（ ） A ．9lg 2 B ．212C ．252D ．12【答案】C【分析】变换得到()4114log log ln 4ln 2ln e ln e a b a b a b ⎛⎫+=⨯++ ⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】n e 1log l a a =，44l l e og n b b=，因为1a >，1b >，故ln 0a >，ln 0b >， ()414114log log ln 4ln ln ln 2ln ln e e a b a b a b a b ⎛⎫+=+=⨯++ ⎪⎝⎭14ln 4ln 14ln 4ln 25171722ln ln 2ln ln 2b a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯++≥⨯+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当ln ln a b =时，即25e a b ==时等号成立．所以4log lo e e g a b +的最小值为252． 故选：C4．已知2x >-，0y >，23x y +=，则2x y++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B【分析】将已知条件等式化为()227x y ++=，整体代入结合基本不等式即可得解. 【详解】因为2x >-，0y >，23x y +=， 所以()227x y ++=，20x +>， 所以()()22722222222222x y x y yx y x x y x y x y+++++=+++=++++++()2222226y x yx ⋅+≥+=+， 当且仅当2x y +=，即13x =，73y =时等号成立，即2272x y x y++++的最小值为6， 故选：B.5．已知正实数,a b 满足1a b +=，则41b a b+的是小值为（ ） A ．5 B ．163C ．4D ．3【答案】A【分析】利用1a b +=，将41b a b +化为41b a a b++，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知正实数,a b 满足1a b +=，则41441b b a b b a b baa b a ++=+=++， 而4424b b ab a a a b +≥⨯=，当且仅当4b a a b =即223a b ==时取等号， 故41b a b+的是小值为5， 故选：A.6．若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞【答案】C【分析】依题意2max21x a x x ⎛⎫≥ ⎪++⎝⎭，利用基本不等式求出221xx x ++的最大值，即可得解； 【详解】解：因为0x >，所以222221131121x x x x x x x=≤=++++⋅+，当且仅当1x x =即1x =时取等号，因为221x a x x ≥++恒成立，所以23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；故选：C7．已知,αβ为锐角，且2tan tan 2tan tan 0αβαβ-+=，则tan α的最大值为（ ） A 2B 2C 2D 2【答案】A【分析】由题意得2tan tan 12tan βαβ=+，进而结合均值不等式即可求出结果.【详解】因为β为锐角，所以tan 0β>，由题意可得2tan 1tan 112tan 2tan tan βαβββ==≤++12422=，当且仅当2tan 2β=时取等号，故tan α的最大值为24，故选：A ．8．已知3515a b ==，则,a b 不可能满足的关系是（ ） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．22(1)(1)2a b -+-<D ．226a b +>【答案】C【分析】根据题意表示出35log 15,log 15==a b ，利用对数的换底公式即可判断选项A ，再利用基本不等式以及不等式的性质判断选项B ，C ，构造二次函数，利用二次函数的性质求解最小值，即可判断选项D.【详解】因为3515ab==，35log 15,log 15==a b ，对A ，1515351111log 3log 51log 15log 15+=+=+=a b ，所以1a b ab+=，即a b ab +=，故A 正确；对B ，由基本不等式可得2(0,0)a b ab a b +≥>>，因为a b ，a b ab +=，所以2ab ab >，即224>a b ab ，得4ab >，所以4a b +>，故B 正确；对C ，22222222()(1222()2)(1)2=+-++=+-+=-+--+>a b a b a b ab a a b b ，故C 错误；对D ，2222()2()2()=+-=+++-a b ab a b a a b b ，令(4)+=>a b t t ，2()2=-f t t t ，则函数2()2=-f t t t 在(4,)+∞上单调递增，所以min ()(4)8>=f t f ，即222()2()8=++-+>a b a b a b ，所以226a b +>成立，故D 正确； 故选：C.【点睛】一般涉及对数的乘法运算时需要利用对数的换底公式代入求解，关于基本不等式的应用，需要注意“一正二定三相等”的原则.9．已知3515a b == ）A ．2a b ab +=B ．1ab >C ．22log log 0a b +>D ．22111222a b ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】结合对数运算以及基本不等式对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】由3515a b ==，得3 log 15a =，5log 15b =，所以151511log3log52a b+=+=，整理得2a b ab +=，故A 正确； 由111122a b a b=+≥⋅，得1≥ab ，又a b ，所以1ab >，故B 正确.因为()222log log log a b ab +=，1ab >，所以()222log log log 0a b ab +=>，故C 正确； 因为112a b +=，所以112221b a =+-，22221111122221162a b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当且仅当1a =时，等号成立，又3log 151a =>， 所以22111222a b ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误．故选：D10．若1a b >>，lg lg P a b ⋅，1(lg lg )2Q a b =+，lg()2a b R +=，则（ ） A ．R P Q << B ．P Q R << C ．Q P R << D ．P R Q <<【答案】B【分析】利用对数函数lg y x =，结合基本不等式即可确定P 、Q 、R 的大小关系 【详解】由于函数lg y x =在(0,)+∞上是增函数1a b >>，则lg lg 0a b >>由基本不等式可得11lg lg (lg lg )lg()lg lg 222a bP a b a b ab ab R +=⋅<+==<=因此，P Q R << 故选：B【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小二、多选题11．已知实数,a b 满足0a b >>且2a b +=，则下列结论正确的有（ ） A ．222a b +> B ．829a b+≥C ．ln ln 0a b +>D ．11a b a b+>+ 【答案】AB【分析】A ，C 选项利用基本不等式进行比较，B 选项利用基本不等式中1的妙用处理，D 选项利用作差法结合基本不等式处理.【详解】①0a b >>且2a b +=，由基本不等式222222a b a b ab +>=，①()()2222222221112()2222a b a b a b a b ab a b ⎡⎤+=+++>++=+=⎣⎦，故A 正确；82182182182()101029222b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当82b aa b =即43a =，23b =时等号成立，故B 正确；2ln ln ln()ln ln102a b a b ab +⎛⎫+=<== ⎪⎝⎭，故C 错误；①212a b ab +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，①01ab <<，①11()b a a b a b a b ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1()(1)()10a b ab a b ab ab --⎛⎫=--=< ⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：AB12．若1a b >>，且35a b +=，则（ ） A ．141a b b +--的最小值为24 B ．141a b b +--的最小值为25 C ．2ab b a b --+的最大值为14D ．2ab b a b --+的最大值为116【答案】BD【分析】利用已知条件构造()()411a b b -+-=，然后与141a b b +--相乘构造基本不等式，利用基本不等式即可判断选项A 和B ；由()()21ab b a b a b b --+=-⋅-，结合()()411a b b -+-=利用基本不等式即可判断C 和D .【详解】由1a b >>，可知0a b ->，10b ->，()()4134541a b b a b -+-=+-=-=，()()()()441411411a b b a b b a b b a b b -+-⎡⎤-+-⎣⎦+=+---- ()()414171b a b a b b --=++-- ()()4141721b a b a b b --≥+⋅--25=当且仅当115a b b -=-=时，等号成立，141a b b +--的最小值为25． 又()()()()()()14124141a b b a b b a b b =-+--⋅-=-⋅-≥．当且仅当()1412a b b -=-=时，等号成立， 所以()()21116ab b a b a b b --+=-⋅-≤， 故2ab b a b --+的最大值为116． 故选：BD .13．已知x ，y 是正数，且21x y +=，则下列结论正确的是（ ）A ．xy 的最大值为18B ．224x y +的最小值为12C ．()x x y +的最大值为14D ．1y x xy-+的最小值为9 【答案】ABD【分析】根据基本不等式，结合配方法以及“1”的妙用，可得答案.【详解】对于A 项，因为2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时取等号，此时xy 的最大值为18，故A 项正确；对于B 项，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，因为18xy ≤，所以22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时取等号，即224x y +的最小值为12，故B 项正确； 对于C 项，()2124x x y x x y ++⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当x x y =+，即12x =，0y =时取等号，又x ，y 都是正数，所以等号不成立，故C 项错误； 对于D 项，122121y x x y xy xy x y x y ⎛⎫-++==+=+ ⎪⎝⎭()222225529y x y x x y xy x y ⎛⎫+=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当22y x x y =，即13x y ==时取等号，此时1y x xy -+的最小值为9，故D 项正确．故选：ABD ．14．已知,x y 是正数，且2x y +=，下列叙述正确的是（ ） A ．xy 最大值为1 B ．22x y +的最小值为2C x y 2D ．14x y +的最小值为92【答案】ABD【分析】根据基本不等式得出212x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，可判断A 项；因为()222242y x x y x x y y =+-+=-，又1xy ≤，可判断B 项； 因为()222x yxy +=+，又22xy ≤，所以()24x y+≤，开方可判断C 项；根据“1”的代换，代入展开用基本不等式求出结果，可判断D 项.【详解】对于A ，根据基本不等式可知，2x y xy +≥，当且仅当x y =，即1x y ==时等号成立.所以有212x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭成立，故A 项正确；对于B ，()222242y x x y x x y y =+-+=-，因为1xy ≤，所以1xy -≥-，所以2242422x y xy =≥-+-=，当且仅当x y =，即1x y ==时等号成立.故B 项正确； 对于C ，()2222x yx y xy xy +=++=+，因为22xy x y ≤+=，当且仅当x y =，即1x y ==时等号成立.所以有()2224x yxy +=+≤，所以2x y +≤，即x y +的最大值为2，故C 项错误；对于D ，由已知得，12x y+=，则14142x y x y x y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭2522y x x y =++25222y x x y ≥⋅+59222=+=，当且仅当22y x x y =，且2x y +=，,0x y >， 即23x =，43y =时等号成立.故D 正确.故选：ABD.15．已知0a >，0b >，1a b +=，则（ ） A ．114a b+≤B ．2222a b +≥C ．22log log 2a b +≤-D ．1sin sin 2sin 2a b +≤【答案】BCD【分析】结合基本不等式即可判断A 、B 、C 选项，D 选项先利用和差化积公式可得到sin sin 2sin cos 22a b a ba b +-+=⋅，再结合三角函数性质即可判断. 【详解】0a >，0b >，1a b +=，112224a b a b b a b aa b a b a b a b++∴+=+=++≥⋅+=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，故A 不正确；又222222222a b a b a b ++≥⋅==，当且仅当22a b =，即12a b ==时取等号，故B 正确； ()2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，故C 正确； 又sin sin 2sin cos 22a b a ba b +-+=⋅， 1cos12a b--≤≤,1sin sin 2sin 2a b ∴+≤，故D 正确；故选：BCD.16．若实数,0m n >，满足21m n +=，以下选项中正确的有（ ）A ．mn 的最大值为18.B ．11m n+的最小值为2C ．224m n +的最小值为12D ．2912m n +++的最小值为5 【答案】AC【分析】直接利用均值不等式判断A ；根据“1”的代换的方法判断B ；整理21m n +=为 ()()2125m n +++=，对21m n +=作平方处理，结合均值不等式判断C ，利用“1”的代换的方法判断D ；【详解】实数m ，0n >，2122m n mn ∴+=≥， 整理得18mn ≤，当且仅当1214n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“=”，故选项A 正确；()112m n m n +=+(112)3322n mm n m n+=++≥+， 当且仅当22221m n ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩时取“=”，故选项B 错误； 21m n +=，()()222222222124442424m n m n mn m n m n m n ∴=+=++=++⋅≤+， 22142m n ∴+≥，当且仅当1214n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“=”，故选项C 正确，21m n +=，()()2125m n ∴+++=，()()2912921212512m n m n m n ⎛⎫⎡⎤∴+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()()2218111131323655125n m m n ⎡⎤++=++≥+=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当01m n =⎧⎨=⎩时取“=”， 但已知0m >,故不等式中的等号取不到， 29512m n ∴+>++，故选项D 错误； 故选：AC17．已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则（ ） A ．2222a b +≥B ．221a b +≥C ．23log 12a b ⎛⎫-+>- ⎪⎝⎭D ．()ln 1a a +≥的充要条件是1b =【答案】AD【分析】由均值不等式可判断A ，B ；由题意可得出1a b -≥-，代入2231log log 122a b ⎛⎫-+≥=- ⎪⎝⎭，可判断C ；由ln(1)x x +≤，当且仅当0x =时取等，可判断D.【详解】对于A ，222222a b a b ++≥=，当且仅当22a b =时取等，所以A 正确； 对于B ，22221()21212,22a b a b a b ab ab +⎛⎫+=+-=-≥-⨯≥ ⎪⎝⎭所以B 错误；对于C ，因为1a b +=，()=1211a b a a a ---=-≥-， 所以2231log log 122a b ⎛⎫-+≥=- ⎪⎝⎭，当0,1a b ==时取等，所以C 错误； 对于D ，因为令()()()ln 11g x x x x =+->-， ()1111111x x g x x x x ---'=-==+++， 所以()g x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减， 所以()()max 00g x g ==，所以()0g x ≤， 所以ln(1)x x +≤，当且仅当0x =时取等，所以若ln(1)a a +≥，则0a =，此时1b =，反之也成立，D 正确 故选：AD18．在下列函数中，最小值是4的是（ ）A ．4y x x=+B ．0)1y x x =>+ C ．4sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．144x x y -=+【答案】BD【分析】根据基本不等式2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号，即可作出判断. 【详解】对于A ，当0x >时，4424y x x x x=+≥⋅=， 当且仅当4x x=，即2x =时取等号； 当0x <时，444[()]24y x x x x x x=+=--+-≤-⋅=-， 当且仅当4x x -=-，即2x =-时取等号，所以(,4][4,)y ∈-∞-+∞，A 错误；对于B ，51441111x x y x x x x +++===+++++， 因为0x >，所以11x +>，44121411x x x x ++≥+⋅=++， 当且仅当411x x +=+，即3x =时取等号， 所以5(0)1x y x x +=>+的最小值为4，B 正确； 对于C ，因为0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin (0,1]x ∈，由对勾函数性质可知：4sin [5,)sin y x x=+∈+∞，C 错误；对于D ，40x >，14424444444x x x x xxy -=++⨯=≥=， 当且仅当444xx =，即12x =时取等号，所以144x x y -=+的最小值为4，D 正确. 故选：BD19．若62a =，63b =，则下列不等关系正确的有（ ） A 112a b ++< B ．114a b+>C ．2212a b +>D ．1123b a b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】指对互化后求得1a b +=，对A 、C 选项可利用不等式222()2a b a b ++≥及变形判断结论是否正确；对B 选项可用“1”的代换判断结论是否正确；对D 选项：由换底公式得11ln6ln3ln63ln2ln63ln3b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别计算ln6ln2与ln3ln6ln63ln3+的范围可判断结论是否正确. 【详解】由62a=，63b=，得6log 2a =，6log 3b =，所以，对于A ，由不等式222x y xy +≥得222()2x y x y ++≥，()222x y x y ∴+≤+，又ab ，()()112116a b a b ⎡⎤∴+++<+++=⎣⎦，所以A 不正确；对于B ，因为6log 20a =>，6log 30b =>，1a b +=，所以()111124b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，因为ab ，所以等号不成立，所以114a b +>，所以B 正确；对于C ，因为222a b ab +≥，所以222()122b a a b +≥=+，因为ab ，所以等号不成立，所以2212a b +>，所以C 正确；对于D ，因为ln2ln6a =，ln3ln6b =，所以11ln6ln3ln63ln2ln63ln3b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于ln6ln42ln2ln2>=，且ln3ln6ln3ln6122ln63ln3ln63ln33+≥⋅=，因为ln3ln6ln63ln3≠，所以等号不成立，所以ln3ln612ln63ln33+>， 所以11ln6ln3ln612223ln2ln63ln33b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+>⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1123b a b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以D 正确， 故选：BCD.20．已知,0a b >，2a b ab +=，则下列表达式正确的是（ ） A ．2a >，1b > B ．a b +的最小值为3C ．ab 的最小值为8D ．22(2)(1)a b -+-的最小值为4【答案】ACD【分析】对A ，通过用a 表示b 以及用b 表示a ，即可求出,a b 范围，对B ，对等式变形得211a b+=，利用乘“1”法即可得到最值，对C 直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出ab 最小值，对D 通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.【详解】对A 选项，,0,2a b a b ab >+=，即()2b a a -=，则2ab a =-， 则02aa >-，且0,a >解得2a >， 2ab ab +=，则()12,a b b -=则201ba b =>-，且0b >，解得1b >，故A 正确； 对B 选项，,0,2a b a b ab >+=，两边同除ab 得211a b+=，则()1223323222a b a b a b a b b a a a b b ⎛⎫+=+=++≥+⋅=+ ⎝⎭+⎪，当且仅当2a bb a =，且211a b+=，即22,21a b =+=+时等号成立，故B 错误； 对C 选项，222a b ab ab +=≥，,0a b >，解得22ab ≥，故8ab ≥， 当且仅当2a b =，且8ab =，即4,2a b ==时等号成立，故C 正确； 对D 选项，由A 选项2a b a =-代入得2222(2)(1)(2)12a a b a a ⎛⎫-+--+- ⎝=⎪-⎭()()222222244(2)(2)2(2)4222a a a a a a =⎛⎫-+=-+≥-⋅= ⎪-⎝⎭--， 当且仅当224(2)(2)a a -=-，2a >，即22a =+时，此时21b =+时，等号成立，故D 正确. 故选：ACD.21．当0x >，0y >时，下列不等式中恒成立的有（ ） A ．2xyxy x y≤+B ．114x y x y +≥+C ．11x y xy +D ．22334x y x y x y++≥【答案】ABD【分析】利用基本不等式变形，判断ABC 选项，选项D 首先利用立方和公式化简，再利用基本不等式判断. 【详解】对于A ，222xy xyxy x y xy=+≤当且仅当x y =时取等号，正确. 对于B ，()1124y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时取等号，正确.对于C ，2112xy x y x y xy xy xy++=≥=，当且仅当x y =时取等号，错误.对于D ，()()()()23322224x y x y x y x y xy x y ++=++-≥，当且仅当x y =时取等号，正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式判断不等式，本题的关键选项是D ，需利用立方和公式，先化简再判断.22．已知a 、()0,1b ∈，且1a b +=，则（ ） A ．2212a b +≥B ．ln ln 2ln 2a b +≤-C ．2ln ln ln 2≥a bD ．ln 0+<a b【答案】ABD【分析】利用基本不等式可判断A 选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断B 选项；利用特殊值法可判断C 选项；构造函数()1ln f x x x =-+，利用函数()f x 在()0,1上的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为()()22222122a b a b ab a b =+=++≤+，所以，2212a b +≥，当且仅当12a b ==时，等号成立，A 对；对于B 选项，由基本不等式可得2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立， 所以，1ln ln ln ln 2ln 24a b ab +=≤=-，B 对； 对于C 选项，取14a =，34b =，则222133ln ln ln 2ln ln ln 22ln 2ln ln 2444a b -=-=--16ln 2ln ln 209⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，此时2ln ln ln 2a b <，C 错；对于D 选项，令()1ln f x x x =-+，其中01x <<， 则()1110xf x x x-'=-=>，所以，函数()f x 在()0,1上为增函数， 因为01b <<，则()()1ln ln 10f b b b a b f =-+=+<=，D 对. 故选：ABD.23．若a ＞b ＞0＞c ，则( ) A ．c c a b> B ．b c ba c a->- C ．c c a b > D ．2a c bc ->-【答案】ABD【分析】利用作差法可判断AB ，根据幂函数单调性可判断C ，根据基本不等式可判断D. 【详解】A ：()c c b a ca b ab--=，①0a b c >>>，0,0,0ab b a c ∴>-<<， ()0b a cab-∴>，c c a b ∴>，故A 正确；B ：()()()()()a b c b a c b a cb c b a c a a c a a c a------==---， ①0a b c >>>，①0,0,0,0a c a b a c ->>-<<， ()0,()b a c b c ba c a a c a--∴>∴>--，故B 正确；C ：,0c y x c =<时，y 在()0,∞+单调递减，①,c c a b a b >∴<，故C 错误；D ：①a ＞b ＞0＞c ，①－c ＞0，①()2a c b c b c bc ->-=+-≥-，①a ≠b ，故等号取不到，故2a c bc ->-，故D 正确.故选：ABD.24．若ln ln a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b a b-<- B ．24a bb a +<C ．()2021lg lg b a a b -<-D ．lg lg 2021b a b a --<【答案】CD【分析】由条件可知0a b >>，利用作差判断选项A ，利用基本不等式判断选项B,利用两边函数值和特殊值比较，判断选项CD.【详解】本题考查利用不等式的性质与函数的性质比较大小．由ln ln a b >，知0b a <<，则()()()11110b a a b a b a b a b ab ab -⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=--=-+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b ->-，故A 不正确； 因为222224a ba bb ab a ⨯+≥==，只有a b =时等号成立，但ab ，故222224a b a b b ab a⨯+>==故B 不正确；因为()20210b a -<，lg lg lglg10aa b b-=>=， 所以()2021lg lg b a a b -<-，故C 正确；因为020211b a -<<，lg lg lglg10bb a a-=<=， 所以lg lg 2021b a b a --<，故D 正确． 故选：CD ．【点睛】思路点睛：本题考查不等式与函数的性质，一般比较大小，1.可以用作差法比较大小，2.构造函数，利用单调性比较大小，3.与特殊值比较大小，或是利用不等式的传递性比较大小。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,abc d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：a b cc b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a bc ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
高考数学-第4节-基本不等式及其应用
错解二：z＝2＋x2xyy2－2xy＝(x2y＋xy)－2≥2 x2y·xy－2＝2( 2－1)，所以 z 的最小值是
2( 2－1)． 错解分析：错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式
一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．
正解：z＝(x＋1x)(y＋1y)＝xy＋x1y＋yx＋xy＝xy＋x1y＋x＋yx2y－2xy＝x2y＋xy－2，
(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意， 明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
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备考指南
基础梳理
典例研习
考点演练
变式探究 31：经观测，某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间有函数关系 y＝v2＋39v2＋0v1600(v>0)．在该时段内，当汽车的平均速度 v 为 多少时流量 y 最大？最大车流量为多少？
常用的几个重要不等式：
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)．
(3)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
(4)ba＋ab≥2(a·b>0)．
(5)a1＋2 b1≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a>0，b>0)．
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典例研习
1 (A)8 (B)4 (C)1 (D)4 思路点拨：先由已知写出 a 与 b 的关系式，然后用基本不等式求解． 解析： 3是 3a 与 3b 的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，∵a＞0，b＞0， ∴ ab≤a＋2 b＝12⇒ab≤14. ∴1a＋1b＝aa＋bb＝a1b≥11＝4.当且仅当 a＝b＝12时，等号成立．故选 B.
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳基本不等式是数学中的重要概念，涉及到数值之间的大小关系。
在数学学习中，掌握基本不等式的知识点对于解决各类问题至关重要。
本文将对基本不等式的定义、性质以及常用的基本不等式进行归纳总结。
一、基本不等式的定义基本不等式是指关于变量的不等关系式，通常形式为a ≤ b 或 a < b，其中 a、b 为实数，表示 a 与 b 之间的大小关系。
二、基本不等式的性质1. 传递律：若a ≤ b 且b ≤ c，则a ≤ c。
2. 对称律：若a ≤ b，则b ≥ a。
3. 加法性：若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。
4. 减法性：若a ≤ b，则 a - c ≤ b - c（其中 c 为正数）。
5. 乘法性：若a ≤ b 且c ≥ 0，则ac ≤ bc。
若c ≤ 0，则ac ≥ bc。
6. 除法性：若a ≤ b 且 c > 0，则a/c ≤ b/c。
若 c < 0，则a/c ≥ b/c。
三、常用的基本不等式1. 平均值不等式：对于任意非负实数 a₁、a₂、...、aₙ，有 (a₁ +a₂ + ... + aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。
该不等式表明，若 n 个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，那么这些数之间存在不等关系。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数 a₁、a₂、...、aₙ 和 b₁、b₂、...、bₙ，有(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂²+ ... + bₙ²)。
柯西-施瓦茨不等式表明了两个向量内积的平方与两个向量长度乘积的平方之间的关系。
该不等式在数学分析、线性代数等领域有广泛应用。
3. 三角不等式：对于任意实数 a、b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
三角不等式表明了两个实数之和的绝对值小于等于两个实数的绝对值之和。
数学基本不等式知识点(高中数学知识点复习资料归纳整理)
数学基本不等式知识点（高中数学知识点复习资料归纳整理）基本不等式【考纲要求】1. 了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 会用基本不等式解决最大（小）值问题.3. 会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。
（3）可以变形为：，可以变形为：.3. 如图，是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b，过点C作交圆于点D，连接AD、BD易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.要点诠释：1. 在数学中，我们称为a,b的算术平均数，称为a,b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2. 如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式的证明1. 几何面积法如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形ABCD的面积为。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果a>0，b>0，我们用、分别代替a、b，可得：如果a>0，b>0，则，（当且仅当a=b时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果a>0，b>0，，（当且仅当a=b时取等号“=”）2. 代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.要点三、用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
2022年新高考数学总复习：基本不等式
2022年新高考数学总复习：基本不等式知识点一重要不等式a 2＋b 2≥__2ab __(a ，b ∈R )(当且仅当__a ＝b __时等号成立)．知识点二基本不等式ab ≤a ＋b2(均值定理)(1)基本不等式成立的条件：__a >0，b >0__；(2)等号成立的条件：当且仅当__a ＝b __时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的__算术平均数__，ab 叫做正数a ，b 的__几何平均数__.知识点三利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当__x ＝y __时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”)(2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)归纳拓展常用的几个重要不等式(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(当且仅当a ＝b 时取等号)(2)ab (a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)(4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(当且仅当a ＝b 时取等号)．(5)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b >0当且仅当a ＝b 时取等号)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x 4.(×)(2)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．(×)(3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．(√)(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .(×)(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．(×)(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(√)题组二走进教材2．(必修5P 100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x (D)A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2[解析]因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x≥2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.3．(必修5P 100练习T3改编)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是(B )A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b2<b[解析]解法一(特值法)：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b2＝1.5<b ＝2.解法二(直接法)：我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B ．4．(必修5P 100A 组T2改编)若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__25__m 2.[解析]设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三走向高考5．(2020·江苏，12,5分)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是__45__.[解析]由5x 2y 2＋y 4＝1知y ≠0，∴x 2＝1－y 45y 2，∴x 2＋y 2＝1－y 45y 2y 2＝1＋4y 45y 2＝15y 2＋4y 25≥2425＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12，x 2＝310时取“＝”．故x 2＋y 2的最小值为45.6．(2019·天津，13)设x >0，y >0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为__92__.[解析](x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy＝2＋5xy .∵x >0，y >0，∴4＝x ＋2y ≥2x ·2y ，解得0<xy ≤2，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2且y ＝1时“＝”成立．此时1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92，故(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为92.考点突破·互动探究考点一利用基本不等式求最值——多维探究角度1拼凑法求最值例1(1)(2020·天津，14,5分)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为__4__.(2)(2021·吉林模拟)已知x >2，若f (x )＝x ＋1x －2在x ＝n 处取得最小值，则n ＝(B )A ．52B ．3C ．72D ．4(3)(2021·重庆南开中学质检)已知实数a ，b >1，且满足ab －a －b ＝5，则2a ＋3b 的最小值为__17__.[解析](1)12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即(a ＋b )2＝16，也即a ＋b ＝4时取等号．又∵ab ＝1＝2＋3，＝2－3或＝2－3，＝2＋3时取等号，∴12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4.(2)由f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x －2＝1x －2>0，即x ＝3时，取得等号，故选B ．(3)由ab－a－b＝5⇒6＝(a－1)(b－1)⇒36＝(2a－2)(3b－3)则2a＋3b≥17，当且仅当a＝4，b＝3取最小值．[引申]f(x)＝x＋1x－2的值域为__(－∞，0]∪[4，＋∞)__.[解析]f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2，∵|(x－2)＋1x－2|＝|x－2|＋1|x－2|≥2(当且仅当|x－2|＝1即x＝3或1时取等号)∴(x－2)＋1x－2≥2或x－2＋1x－2≤－2，∴f(x)≥4或f(x)≤0，即f(x)的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)．名师点拨拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性．(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数．角度2换元法求最值例2(1)已知x>54，求函数y＝16x2－28x＋114x－5的最小值；(2)(2021·百校联盟尖子生联考)已知a，b∈R＋，且a＋2b＝ab－16，则ab的最小值为(B)A．16B．32C．64D．128[思路](1)通过换元转化为形如Ax＋Bx＋C形式的函数．[解析](1)设4x－5＝t，则x＝t＋54.∵x>54，∴t>0.∴y＝－28·t＋54＋11t＝t2＋3t＋1t＝t ＋1t＋3≥2＋3＝5.当且仅当t ＝1即x ＝32时，上式取“＝”号．∴x ＝32时，y min ＝5.(2)ab －16＝a ＋2b ≥22ab ，令ab ＝t ，则t 2－22t －16≥0⇒t ≥22＋722＝42，故ab ≥32，即ab 最小值为32.(当且仅当a ＝8，b ＝4时取等号)故选B ．[答案](1)5角度3常数代换法求最值例3(1)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝4，则2x ＋1y最小值为__2__；(2)已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值为__18__.[思路](2)先利用乘常数法或消元法，再利用基本不等式求解最值．[解析](1)2x ＋1y ＝x ＋2y )×14＝＋x y ＋＋ 2.当且仅当x y ＝4yx ，即y 2＝x 2，＋2y ＝4＝2，＝1时取等号．(2)解法一：x ＋2y x ＋2y )＝10＋x y ＋16yx ≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当＋1y ＝1，＝16y x＝12，＝3时“＝”成立，故x ＋2y 的最小值是18.解法二(消元法)：由8x ＋1y ＝1，得y ＝x x －8，由y >0⇒x x －8>0，又x >0⇒x >8，则x ＋2y ＝x＋2x x －8＝x ＋2(x －8)＋16x －8＝x ＋2＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)·16x －8＋10＝18，当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12(x ＝4舍去)，y ＝3时，“＝”成立，故x ＋2y 的最小值为18.名师点拨常数代换法的技巧(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值．(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2021·宁夏银川一中月考)已知正数x 、y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41＋y 的最小值为(B)A ．2B ．92C ．143D ．5(2)(角度2)(2021·山东师大附中模拟)若正数x ，y 满足x ＋5y ＝3xy ，则5x ＋y 的最小值为__12__；(3)(角度3)(2020·天津七校期中联考)已知a >0，b >0，且1a ＋1＋1b ＝1，求a ＋b 的最小值__3__.[解析](1)∵x ＋y ＝1，所以x ＋(1＋y )＝2，则[x＋(1＋y ＝4x 1＋y ＋1＋y x ＋5≥24x 1＋y ·1＋y x＋5＝9，所以1x ＋41＋y ≥92，＝1＋yx 1＝23＝13时取等号∴1x ＋41＋y 的最小值为92，故选B ．(2)∵x >0，y >0，x ＋5y ＝3xy ，即5x ＋1y ＝3，∵5x ＋yx ＋y )＋5y x ＋＋12，(当且仅当x ＝y ＝2时取等号)∴5x ＋y 的最小值为12，另解：∵x >0，y >0，x ＋5y ＝3xy ，即x ＝5y3y －1，令3y －1＝t ，则y ＝t ＋13，(t >0)，∴5x ＋y ＝25y 3y －1＋y＋t ＋13＝263＋≥263＋2325t·t ＝12.(当且仅当t ＝5，即x ＝y ＝2时取等号)∴5x ＋y 的最小值为12.(3)∵a >0，b >0，且1a ＋1＋1b＝1，∴a ＋b ＝[(a ＋1)＋b ]－1a ＋1)＋b ]－1＝b a ＋1＋a ＋1b＋1≥2b a ＋1·a ＋1b＋1＝3，当且仅当a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号，∴a ＋b 的最小值为3，另解：(换元法)由1a ＋1＋1b ＝1得b ＝1＋1a ，(a >0)，∴a ＋b ＝a ＋1a＋1≥2a ·1a＋1＝3，当且仅当a ＝1，b ＝2时取等号，∴a ＋b 的最小值为3.考点二利用基本不等式求参数的范围——师生共研例4若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则(1)ab 的取值范围是__[9，＋∞)__；(2)a ＋b 的取值范围是__[6，＋∞)__.[解析](1)∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab >0，∴t 2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0.∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．(2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3.今t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0.∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．名师点拨利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b＝a＋3a－1>0，∴a－1>0，∴a＋b＝a＋a＋3a－1＝a＋a－1＋4a－1＝a＋1＋4a－1＝(a－1)＋4a－1＋2≥6.当且仅当a＝b＝3时取等号．〔变式训练2〕(2020·黑龙江哈尔滨三中期中)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是__4__. [解析]解法一：∵x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8.∴(2y＋1)(x＋1)＝9且x＋1>0,2y＋1>0∴x＋2y＝(2y＋1)＋(x＋1)－2≥2(2y＋1)·(x＋1)－2＝4.(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)∴x＋2y的最小值为4.解法二：∵x>0，y>0，∴2xy＝(2y＋x)42(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)又x＋2y＋2xy＝8，∴x＋2y＋(x＋2y)42≥8，∴(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，∴x＋2y－4≥0，即x＋2y≥4(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)∴x＋2y的最小值为4.解法三：∵x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，∴x＝8－2y1＋2y＝92y＋1－1，∴x＋2y＝92y＋1＋(2y＋1)－2≥292y＋1·(2y＋1)－2＝4(当且仅当y＝1时取等号)∴x＋2y的最小值为4.秒杀解法：x＋2y＋2xy＝8，即x＋2y＋x·2y＝8.由条件及结论关于x、2y的对称性知当x ＝2y＝2时x＋2y取最小值为4.考点三利用基本不等式解决实际问题——师生共研例5某人准备在一块占地面积为1800m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1m的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，其中a∶b＝1∶2，则S 的最大值为__1568__.[解析]由题意可得xy＝1800，b＝2a，x>3，y>3，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)y－33＝1808－3x－83y＝1808－3x－83×1800x＝18083x＋4800x1808－23x×4800x＝1808－240＝1568，当且仅当3x＝4800x，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最大值，所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1568.名师点拨应用基本不等式解决实际问题的步骤：①仔细阅读题目，深刻理解题意；②找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；③利用基本不等式求出最值；④再还原成实际问题，作出解答．〔变式训练3〕某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为3m．如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为__160__m.[解析]设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为48003xm，由题意可得水池总造价f(x)＝150×48003＋1202×3x＋2×3×48003x＝240000＋720x＋1600x(x>0)，则f(x)＝720x＋1600x240000≥720×2x ·1600x＋240000＝720×2×40＋240000＝297600，当且仅当x ＝1600x，即x ＝40时，f (x )有最小值297600，此时另一边的长度为48003x＝40(m)，因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160m.名师讲坛·素养提升基本不等式的综合应用角度1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例6设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是__92__.[解析]a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2，所以S n ＋8a n＝n (1＋n )2＋8n ＝＋16n＋2n ·16n＋＝92，当且仅当n ＝4时取等号，所以S n ＋8a n 的最小值是92.角度2求参数值或取值范围例7已知不等式(x ＋y 9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为(B)A ．2B ．4C ．6D ．8[解析]已知不等式(x ＋y 9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y 最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，第11页共11页∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a的最小值为4，故选B ．名师点拨求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．〔变式训练4〕(1)(角度1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋b ab的最小值是(B )A ．10B ．9C ．8D ．32(2)设x >0，y >0，不等式1x ＋1y ＋m x ＋y≥0恒成立，则实数m 的最小值是__－4__.[解析](1)由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ，由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab＝1a ＋8b ＝a＋b )＋b a ＋＋＝12(10＋8)＝9，当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立，所以8a ＋b ab 的最小值为9，故选B ．(2)原问题等价于m x ＋y≥∵x >0，y >0，∴等价于m ≥x ＋y )的最大值．x ＋y )＝－2－2－2＝－4，当且仅当x ＝y 时取“＝”，故m ≥－4.。
高中数学知识点归纳不等式的性质与求解方法
高中数学知识点归纳不等式的性质与求解方法高中数学知识点归纳——不等式的性质与求解方法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数或者表达式之间大小的关系。
不等式是数学中重要且广泛应用的概念，在高中数学学习中，学生需要掌握不等式的性质及求解方法。
本文将对不等式的性质及求解方法进行归纳总结。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式的传递性是指如果a>b，b>c，则有a>c。
这个性质在求解不等式问题时经常会使用到。
2. 不等式的加减性对于不等式a>b和一个非负实数c，有以下结论：a+c > b+ca-c > b-c利用这个性质可以对不等式进行加减运算，从而简化不等式的形式。
3. 不等式的乘除性对于不等式a>b和一个正实数c，有以下结论：a*c > b*c (当c>0时)a*c < b*c (当c<0时)同样地，利用这个性质可以对不等式进行乘除运算，从而简化不等式的形式。
4. 不等式的倒置性对于不等式a>b，将不等式两边同时取负，得到-b>-a，即b<a。
这就是不等式的倒置性。
二、不等式的求解方法1. 图像法图像法是一种简单可行的不等式求解方法。
对于一元一次不等式，可以将其转化为一条直线，根据直线在数轴上的位置来判断不等式的解集。
2. 实数集合法通过观察不等式中的变量范围，结合实数集合的性质，可以得到不等式的解集。
例如，对于不等式2x-3<5，可以通过观察得到x的范围应该是(-∞, 4)。
3. 符号法符号法是一种常用的不等式求解方法，通过对不等式两边进行推导和变形，利用不等式的性质进行运算，最终得到不等式的解集。
4. 区间法对于一元一次不等式，可以通过构造不等式的区间来求解。
例如，对于不等式x+2>5，可以通过将不等式两边同时减去2，得到x>3，表示x的取值范围是(3, +∞)。
三、不等式的分类与求解1. 一元一次不等式一元一次不等式是最简单的一类不等式，通常形式为ax+b>c或者ax+b<c，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 2、不等式的性质：（1）a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< （反对称性） （2）c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, （传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ （移项法则） 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向不等式相加） （4）bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。
3、常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（4）222)2(2b a b a +≤+4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=（2）如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大。
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:证法一：（比较法）a b b a R b a -=∴=+∈1,1,,()()2222259224()22a b a b a b ∴+++-=+++- 2222911(1)4222()0222a a a a a =+-+-=-+=-≥即()()2252222≥+++b a （当且仅当21==b a 时，取等号）。
不等式 专题 高考数学专题复习精细高效梳理(附详解)
不等式第一节 不等关系与不等式一、必记4个知识点1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a >b ⇔①________.(2)a ＝b ⇔a －b ＝0.(3)a <b ⇔②________.2．不等式的基本性质(1)对称性：a >b ⇔③________.(双向性)(2)传递性：a >b ，b >c ⇒④________.(单向性)(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c .(双向性)(4)同向可加性：a >b ，c >d ⇔⑤________.(单向性)(5)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc .(6)a >b >0，c >d >0⇒⑥________.(单向性)(7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)．(单向性)(8)开方法则：a >b >0⇒n a >n b (n ∈N ，n ≥2)．(单向性) 3．倒数性质(1)ab >0，则a <b ⇔1a >1b.(双向性) (2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a. 4．有关分数的性质若a >b >0，m >0，则(1)b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m(b －m >0) (2)a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0) 二、必明2个易误点1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c .2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．三、技法1. 用作差法比较两个实数大小的四步曲2. 不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.3. 利用不等式性质求范围(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.参考答案①a－b>0 ②a－b<0 ③b<a④a>c⑤a＋c>b＋d⑥ac>bd第二节一元二次不等式及其解法一、必记2个知识点1．一元二次不等式的特征一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于0. 2．一元二次不等式的解法1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R还是∅.三、技法1. 解一元二次不等式的4个步骤2. 含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向．(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数．(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集.3. 一元二次不等式在R上恒成立的条件(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围.5. 已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法．把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解.参考答案①{x|x＜x1或x＞x2} ②{x|x≠x1} ③R④{x|x1＜x＜x2} ⑤∅⑥∅第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、必记6个知识点1．二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：(1)满足Ax＋By＋C＝0的点．(2)满足Ax＋By＋C>0的点．(3)满足Ax＋By＋C<0的点．2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有相反的符号．3．线性规划中的基本概念(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．5．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．6．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．二、必明2个易误点1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．三、技法1. 平面区域面积问题的解题思路(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.2. 求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．3．常见的3类目标函数(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值． (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.(3)斜率型：形如z ＝y －b x －a. [提醒] 注意转化的等价性及几何意义.4. 解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题．(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．5．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.第四节 基本不等式一、必记3个知识点1．基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：①________.(2)等号成立的条件：当且仅当②________时取等号．(3)两个平均数：a ＋b 2称为正数a ，b 的③________，ab 称为正数a ，b 的④________.2．几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥⑤________(a ，b ∈R )．(2)ab ≤⑥________(a ，b ∈R )．(3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22≤⑦________(a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b≥⑧________(a ·b ＞0)． (5)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．3．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当⑨________时，x ＋y 有最小值是⑩________(简记：“积定和最小”)．(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当⑪________时，xy 有最大值是⑫________(简记：“和定积最大”)．二、必明2个易误点1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．三、技法1. 配凑法的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；变形的目的是配凑出和或积为定值．2. 常值代换法：根据已知条件或其变形确定定值(常数)，再把其变形为1，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．3. 消元法：根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.4. 利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到.5. 利用基本不等式求解含参数的不等式的策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.参考答案①a ＞0，b ＞0 ②a ＝b ③算术平均数 ④几何平均数 ⑤2ab⑥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22 ⑦a 2＋b 22 ⑧2 ⑨x ＝y ⑩2p ⑪x ＝y ⑫s 24第五节合情推理与演绎推理一、必记知识点二、必明1个易误点演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．三、技法1.在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.2.归纳推理问题的常见类型及解题策略用三段论写演绎推理的过程，关键是明确大前提、小前提，大前提提供了一个一般性的原理，在演绎推理的过程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有将二者结合起来才能得到完整的三段论．一般地，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.参考答案①归纳推理②全部对象③部分④个别⑤类比推理⑥这些特征⑦由特殊到特殊⑧一般原理⑨对象⑩特殊问题⑪一般⑫特殊第六节直接证明与间接证明一、必记3个知识点1．综合法一般地，利用①______________________，经过一系列的②________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q2．分析法一般地，从要③________出发，逐步寻求使它成立的④________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明的方法叫做分析法．用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件3．反证法一般地，假设⑤____________，经过正确的推理，最后得出⑥________，因此说明⑦________，从而证明了原命题成立，这样的证。
高考数学知识点总结—不等式
高考数学知识点总结—不等式（一）高考对该部分主要从以下几个方面考察：一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。
高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽同样，但总的趋向是难度在降落；试卷中没有不等式解答题，往常会在小题中设置 1 到 2 道，而对不等式的深层考察则在数列解答题、分析几何解答题、函数导数解答题中考察。
下边由酷课网供给不等式高考知识点总结，其重点以下：知识点总结 :1. 不等式的基本观点（1）不等（等）号的定义： a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b. （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式 .（4）同解不等式与不等式的同解变形 .2. 不等式的基天性质（1）a b b a（对称性）（2）a b,b c a c （传达性）（3）a b a c b c （加法单一性）（4） a b, c d a c b d （同向不等式相加）（5） a b,c d a c b d （异向不等式相减）（6）a. b,c 0 ac bc（7）a b,c 0 ac bc （乘法单一性）（8） a b 0,c d 0 ac bd （同向不等式相乘）(9) a b 0,0 c d a b（异向不等式相除）c d(10) a b,ab 0 1 1（倒数关系）a b（11） a b 0 a n b n ( n Z , 且 n 1) （平方法例）（12）a b 0 n a n b(n Z ,且 n 1) （开方法例）3. 几个重要不等式（1）若a R,则 | a | 0,a2 0（2）若a、b R , 则a2 b2 2ab(或a2 b2 2 | ab | 2ab)（当仅当 a=b 时取等号）（3）假如 a,b 都是正数，那么ab a b （当仅当 a=b 时取等号）2 .极值定理：若x, y R , x y S, xy P, 则：○1假如 P是定值 , 那么当 x=y 时， S 的值最小；○2假如 S是定值 , 那么当 x=y 时， P 的值最大 .利用极值定理求最值的必需条件：一正、二定、三相等 .(4) 若 a、b、 c R , 则a bc3abc（当仅当a=b=c时取等号）3(5) 若 ab 0, 则b a2 （当仅当 a=b 时取等号）a b(6) a 0时，|x | a x2a2x a 或 x a;| x| a x2a2 a x a（7）若a、b R,则 || a | | b|| | a b | | a || b |酷课网供给了不等式高考知识点总结，化复杂为简单，化难为简，希望能给考生带来很大提升 , 能助考生一臂之力。
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高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t =时,4259y t t≥⨯+=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
例：求函数2254x y x +=+的值域。
解：令24(2)x t t +=≥，则2254x y x +=+22114(2)4x t t t x =++=+≥+因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。
所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x =-的最大值.；3．203x <<，求函数(23)y x x =-的最大值. 条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是 .分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba 33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： ba33和都是正数，ba33+≥632332==⋅+b a b a当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，ba 33+的最小值是6．变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
错解．．：0,0x y >>，且191xy +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用基本不等式，在2x y xy +≥等号成立条件是x y =，在1992xyxy+≥等号成立条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。
变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22。
同时还应化简1＋y 2中y 2前面的系数为 12 ， x 1＋y 2＝x2·1＋y 22＝ 2 x ·12 ＋y22下面将x ，12 ＋y22分别看成两个因式： x ·12 ＋y22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x 1＋y 2＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤ 342技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t≥2t ·16t＝8∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考查不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 22，本题很简单3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2＝ 2 3x ＋2y ＝2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20∴ W ≤20 ＝2 5变式: 求函数152152()22y x x x =-+-<<的最大值。
解析：注意到21x -与52x -的和为定值。
22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8y x x x x x x =-+-=+--≤+-+-=又0y >，所以022y <≤ 当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号。